مقالات

2.4: مراجعة المشاكل - الرياضيات


1. أثناء إجراء حذف Gaussian على هذه المصفوفات المعززة ، اكتب نظام المعادلات الكامل الذي يصف الصفوف الجديدة من حيث الصفوف القديمة فوق كل رمز معادل كما في المثال 20.

[
يسار ( ابدأ {مجموعة} {rr | r}
2 & 2 & 10 \
1 & 2 & 8 \
نهاية {مجموعة} يمين)
,~
يسار ( ابدأ {مجموعة} {rrr | r}
1 & 1 & 0 & 5 \
1 & 1 & -1& 11 \
-1 & 1 & 1 & -5 \
نهاية {مجموعة} يمين)
]

2. حل معادلة المتجه عن طريق تطبيق مصفوفات ERO على كل جانب من المعادلة لإجراء الحذف. اعرض كل مصفوفة بشكل صريح كما في المثال 23.

ابدأ {eqnarray *}
ابدأ {pmatrix}
3 &6 &2 \ -3
5 &9 &4 \ 1
2 &4 &2 \ 0
نهاية {pmatrix}
ابدأ {pmatrix}
x
ص
ض
نهاية {pmatrix}
=
ابدأ {pmatrix}
-3 \
1 \
0 \
نهاية {pmatrix}
نهاية {eqnarray *}

3. حل معادلة المتجه هذه بإيجاد معكوس المصفوفة من خلال ((M | I) sim (I | M ^ {- 1}) ) ثم تطبيق (M ^ {- 1} ) على كليهما جوانب المعادلة.

ابدأ {eqnarray *}
ابدأ {pmatrix}
2 &1 &1 \ 9
1 &1 &1 \ 6
1 &1 &2 \ 7
نهاية {pmatrix}
ابدأ {pmatrix}
x
ص
ض
نهاية {pmatrix}
=
ابدأ {pmatrix}
9 \
6 \
7 \
نهاية {pmatrix}
نهاية {eqnarray *}

4. اتبع طريقة الأمثلة 28 و 29 للعثور على عوامل (LU ) و (LDU )

ابدأ {eqnarray *}
ابدأ {pmatrix}
3 &3 &6 \
3 &5 &2 \
6 &2 &5 \
نهاية {pmatrix}
نهاية {eqnarray *}

5. يمكن حل معادلات المصفوفة المتعددة بنفس المصفوفة في وقت واحد.

أ) قم بحل كلا النظامين عن طريق إجراء الحذف على مصفوفة واحدة فقط.

ابدأ {eqnarray *}
ابدأ {pmatrix}
2 &-1 &-1 \
-1 &1 &1 \
1 &-1 &0 \
نهاية {pmatrix}
ابدأ {pmatrix}
x
ص
ض
نهاية {pmatrix}
=
ابدأ {pmatrix}
0\
1 \
0 \
نهاية {pmatrix}
,~
ابدأ {pmatrix}
2 &-1 &-1 \
-1 &1 &1 \
1 &-1 &0 \
نهاية {pmatrix}
ابدأ {pmatrix}
أ
ب
ج
نهاية {pmatrix}
=
ابدأ {pmatrix}
2\
1 \
1 \
نهاية {pmatrix}
نهاية {eqnarray *}

ب) ما هي أعمدة (M ^ {- 1} ) في ((M | I) sim (I | M ^ {- 1}) )؟

6. كيف تقنع زملائك الطلاب بعدم ارتكاب هذا الخطأ أبدًا؟

ابدأ {eqnarray *}
يسار ( ابدأ {مجموعة} {rrr | r}
1 & 0 & 2 & 3 \
0 & 1 & 2& 3 \
2 & 0 & 1 & 4 \
نهاية {مجموعة} يمين)
&
مكدس {R_1 '= R_1 + R_2} {
مكدس {R_2 '= R_1-R_2} {
مكدس { R_3 '= R_1 + 2R_2} { sim}}}
&
يسار ( ابدأ {مجموعة} {rrr | r}
1 & 1 & 4 & 6 \
1 & -1 & 0& 0 \
1 & 2 & 6 & 9
نهاية {مجموعة} يمين)
نهاية {eqnarray *}

7. هل تحليل المصفوفة إلى عوامل فريدة من نوعها؟ برر جوابك.
( infty ). إذا قمت بإنشاء مصفوفة بشكل عشوائي عن طريق اختيار الأرقام من اللون الأزرق ، فمن المحتمل أن يكون من الصعب إجراء الحذف أو التحليل إلى عوامل ؛ من المحتمل أن تكون الكسور والأعداد الكبيرة متضمنة. لابتكار مشاكل بسيطة ، من الأفضل البدء بإجابة بسيطة:

  1. ابدأ بأي مصفوفة معززة في RREF. قم بإجراء EROs لجعل معظم المكونات غير صفرية. اكتب النتيجة على ورقة منفصلة وأعطها لصديقك. اطلب من هذا الصديق العثور على RREF للمصفوفة المعززة التي قدمتها له. تأكد من حصولهم على نفس المصفوفة المعززة التي بدأت بها.
  2. قم بإنشاء مصفوفة مثلثة عليا (U ) ومصفوفة مثلثة سفلية (L ) مع (1 ) s فقط على القطر. أعط النتيجة لصديق ليأخذها في الاعتبار في شكل (LU ).
  3. افعل الشيء نفسه مع عامل (LDU ).

2.4: مراجعة المشاكل - الرياضيات

المشكلة 1
ما هي قيم B التي تكون الدالة التالية متصلة عند x = 2؟
f (x) = 3x ^ 3-x ^ 2 + Bx إذا كانت x & gt1 وتكون Bx-2 إذا كانت x & lt = 1.

حل مقدم من
مايكل باندولفو

المشكلة 2
أوجد معادلة أي خطوط مماس للمنحنى y = (x-1) / (x + 1) الموازية للخط x-2y = 2.

حل مقدم من
مايكل باندولفو

مشكلة 3
أوجد المماس للمنحنى المحدد بالمعادلة ln (xy) + 2x-y + 1 = 0 عند النقطة (1/2، 2)

حل مقدم من
مايكل باندولفو

حلمقدم من
ماثيو دوبير

حلمقدم من
ماثيو دوبير

المشكلة 10
يريد المزارع الذي يبلغ طوله 450 قدمًا من السياج إحاطة الجوانب الأربعة لمنطقة مستطيلة ثم يقسم المنطقة إلى أربعة أقلام مع سياج موازٍ لجانب واحد من المستطيل. ما هي أكبر مساحة ممكنة للأقلام الأربعة؟

  • مجال الوظيفة A هو [0،90] (حيث يوجد 5 x وإجمالي 450 قدمًا فقط من السياج). لكن A (0) = 0 و A (90) = 0 ، لذا يكون الحد الأقصى عند A (45) = 5062.5.
  • A '(x) موجبة لـ x & lt45 وسالبة لـ x & gt45 وبالتالي يجب أن تكون A (45) هي القيمة القصوى للدالة.
  • A '' (45) = - 10/2 & lt0 ، لذا فإن A (x) مقعر لأسفل عند x = 45 ، وبالتالي فإن A (x) لها حد أقصى عند x = 45.

المشكلة 7
حدد التعريف الرسمي لمشتق الوظيفة f (x). استخدم التعريف لحساب f '(x) لـ f (x) = sqrt (3-5x).

حلمقدم من
ميغان بروندج

المشكلة 11
سلم طوله 13 قدمًا متكئًا على الحائط. تبدأ قاعدتها في الانزلاق على طول الأرض بعيدًا عن الحائط. عندما تكون القاعدة على بعد 12 قدمًا من الحائط ، تتحرك القاعدة بمعدل 5 أقدام / ثانية. ما مدى سرعة انزلاق الجزء العلوي من السلم على الحائط بعد ذلك؟ ما مدى سرعة مساحة المثلث التي يتكون منها السلم والجدار والأرضية في ذلك الوقت؟

حلمقدم من
ماثيو دوبير

المشكلة 12
دع f (x) = 3x / (x ^ 2-1). أوجد مجال الوظيفة ، والفترات التي تكون فيها f (x) تتزايد أو تتناقص ، وأي حد أقصى ودنيا ، ونقاط التقعر والانعطاف ، وأي خطوط مقاربة أفقية ورأسية للرسم البياني لـ f (x). ثم ارسم الرسم البياني لـ f (x).

حل إليك تلميح رئيسي: تحقق من إجابتك (إجاباتك) بصورة من إنتاج خشب القيقب أمر
المؤامرة (3 * x / (x ^ 2-1) ، x = -5..5 ، y = -10..10 ، discont = true) ال discont = صحيح يسمح خشب القيقب لتخطي ربط النقاط عندما تكون متباعدة. الصورة مرتبطة هنا.

مقدم من
لا أحد حتى الآن!

المشكلة 18
دع f (x) = 3x ^ 7 - 2x ^ 2 + x -1. بيّن أن f (x) يجب أن يكون لها جذر حقيقي في [0،1].

حلمقدم من
زيشان فرمان

المشكلة 22
أوجد الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى المطلق لـ f (x) = x / (x ^ 2 + 1) في [0،2].


2.4: مراجعة المشاكل - الرياضيات

مشاكل الحروف ذات الخلفيات هذا اللون لها
يجيب هنا. أولئك الذين لديهم خلفيات بهذا اللون لا يفعلون ذلك.

هل فعلت مشكلة؟

أ ب ج ه F
جي ح أنا ي ك إل
م ن ا ص س
في اليوميات
ر
س تي يو الخامس
أ) فقط
دبليو X

النصيحة

الإجابات التي ساهم بها القسم
5678910
64122.51


أ
أسهم بواسطة روبرت جيه كوميتو من القسم 5:

ارسم المنطقة الموصوفة في الإحداثيات الكروية بواسطة 0 & lt = phi & lt = Pi / 3 و 0 & lt = rho cos (phi) & lt = 2 and 0 & lt = & lt = 2Pi.

ب
أسهم بواسطة شيراج والاوالكر من القسم 9:

دع f (x، y) = 1 / x + 1 / y + xy. صحيحة أو خاطئة؟ اشرح باختصار:
أ) f لها حد أقصى محلي عند (1،1).
ب) f لها نقطة سرج عند (1، -1).

أ. (1 ، 1) هل Local max؟
نأخذ أولًا المشتق الأول بالنسبة إلى x ثم بالنسبة إلى y:
Fx(س ، ص) = - 1 / س ^ 2 + ص وx(1,1)=0
Fذ(س ، ص) = - 1 / ص ^ 2 + س وذ(1,1)=0
لذلك (1،1) هي نقطة حرجة.
الآن نقوم باختبار المشتق الثاني (S.D.T)
Fxx(س ، ص) = 2 / س ^ 3 ، صس ص(س ، ص) = 2 / ص ^ 3 وس ص(س ، ص) = 1
ح = وxx(1،1) وس ص(1،1) - [صس ص(1,1)^2]
ع = (2) (2) -1
ع = 3
بواسطة S.D.T منذ H> 0 و fxx(1،1)> 0 f لها دقيقة محلية عند (1،1) لذا فإن الإجابة خطأ.

ب) وx= -1 / س 2 + ص == & جي تي وx(1، -1) = - 1 + -1 = -2 ليس صفرًا.
إنها ليست نقطة حرجة ، وبالتالي فإن العبارة ب) خاطئة أيضًا.

ج
أسهم بواسطة شبحة سارود من القسم 6:

أوجد الحد الأقصى المطلق والدقيق لـ f (x، y) = x 2 + 2x + 2y 2 على الدائرة G (x، y) = x 2 + y 2 = 4.

نستخدم مضاعفات لاجرانج لحل المعادلة F = G:
Fx= 2x + 2، Gx= 2 س ، وذ= 4y ، و Gذ= 2 ص
2 س + 2 = 2 س
4y = 2y ملاحظة: يمكن أن تساوي 2 أو y = 0
إذا كانت تساوي 2 ، فإننا نعوض بهذه القيمة في المعادلة 2x + 2 = 2x ونحصل على 2x + 2 = 4x. بحل هذه المعادلة نحصل على x = 1. إذا عوضنا بهذه القيمة في G (x، y) = 4 نحصل على y = + / - sqrt (3).
لذلك يمكن أن يحدث الحد الأقصى / دقيقة المحتملة عند (1، sqrt (3)) و (1، -sqrt (3)). نحتاج إلى إيجاد قيمة هاتين النقطتين في F (x، y) لمعرفة قيمهما. بالتعويض في مجموعتي النقاط ، نحصل على القيمة 9.
نحتاج الآن إلى معرفة النقاط المحتملة إذا كانت y = 0. بالتعويض عن y = 0 في المعادلة x 2 + y 2 = 4 نحصل على قيم x لـ +2 و -2. لذلك ، فإن النقاط المحتملة هي (2،0) و (-2،0) بإيجاد قيمة F (x، y) عند هذه النقطتين نحصل على 8 و 0 على التوالي.
وبالتالي:
(1، sqrt (3)) و (1، -sqrt (3)) تعطي F = 9 ، هذا هو الحد الأقصى.
(2،0) يعطي 8.
(-2،0) تعطي 0. هذا هو الحد الأدنى.

ب) لإيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى على القرص x 2 + y 2 أقل من ذلك أو يساوي 4 ، نحتاج فقط إلى مقارنة قيم F عند النقاط الحرجة داخل القرص مع القيم الموجودة عند النقاط الموجودة على الحدود.
النقاط الحرجة هي:
Fx= 2 س + 2 إذن س = -1 فذ= 2y وبالتالي y = 0.
قيمة F (x، y) عند (-1،0) هي -1.

لذلك ، سيكون -1 هو الحد الأدنى المطلق و 9 (من أعلى) سيبقى على أنه الحد الأقصى المطلق.

تعليق يرجى ملاحظة أنه في هذا الحل ، كان تتبع كل بديل (بما في ذلك ما يحدث إذا كان أحد المتغيرات صفرًا) من الضروري للحصول على الجواب. لا يمكنك فقط افتراض كل أو أي من المتغيرات ذات الصلة وليس 0.

د
أسهم بواسطة جينيفر نج من القسم 22 في خريف 2008: انظر هنا.
تم العثور على خطأ بواسطة S. Speights (4/11/2010). يجب أن يكون اليعقوبي للإحداثيات الكروية & rho 2 sin (& phi) ، لذا يجب أن يكون للحل قوة أخرى لـ & rho وبالتالي يجب أن تكون الإجابة النهائية (4/15) & Pi.

ه
أسهم بواسطة سونام باتيل من القسم 5:

أوجد جميع النقاط الحرجة لـ F (x، y) = x ^ 2-4xy + y ^ 3-3y ووصف نوع كل نقطة حرجة.

الآن ، ضع المعادلتين مساويتين للصفر لإيجاد النقاط الحرجة:
x = 2y و -4x + 3y ^ 2-3 = 0 بالتعويض تحصل على -4 (2y) + 3y ^ 2-3 = 0 والتي يمكن كتابتها أيضًا كـ 3y ^ 2-8y-3 = 0. عند التحليل ، تحصل على (3y + 1) (y-3) = 0 وبالتالي y = -1 / 3 أو y = 3.
عندما ص = 3 ، س = 6. لذا فإن النقطة الحرجة الأولى هي (6،3). عندما تكون y = -1 / 3 ، x = -2 / 3 ، وبالتالي فإن النقطة الحرجة الثانية هي (-2 / 3 ، -1 / 3).

لتصنيفها ، خذ المشتقات الجزئية الثانية. Fxx= 2 ، وس ص= -4 ، وس ص= 6 ص ، وyx= -4 د = د (أ ، ب) = وxx(أ ، ب) وس ص(أ ، ب) - [واوس ص(أ ، ب)] 2 = 12y-16 أي أن D (6،3) = 20 و Fx(6،3) = 2. عندما D (أ ، ب)> 0 و F.x(أ ، ب)> 0 ، ثم F (أ ، ب) هو الحد الأدنى المحلي. لذلك (6،3) هو الحد الأدنى المحلي لـ F.
د (-2 / 3 ، -1 / 3) = - 20. د (-2 / 3 ، -1 / 3) سونام باتيل وصل في السبت ، 1 أبريل 2006 15:24:14. حل مشابه مع نفس الإجابات بواسطة ديميتري كولوسوس-جاجنون وصل في السبت ، 1 أبريل 2006 15:34:33. المنافسة تحتدم! شكرا لكل من هؤلاء الناس.

F
أسهم بواسطة آدم سكرزيبكزاك من القسم 10:

أوجد القيم القصوى والدنيا لـ x-4y + 2z الخاضعة للقيود التي (x ، y ، z) تقع على الشكل البيضاوي x 2 + y 2 + 5z 2 = 1.

F (x، y، z) = x-4y + 2z and G (x، y، z) = x 2 + y 2 + 5z 2 = 1 F = G (للتباين. funct x، y، z) لذلك أنت احصل على 4 معادلات:
1. 1 = (2x)
2. -4 = (2 س)
3. 2 = (10z)
4. × 2 + ص 2 + 5 ع 2 = 1
لا يمكن أن تكون 0 لأن المعادلة الأولى ستكون 1 = 0.
حل لكل من المتغيرات وأدخلها في معادلة القيد للحصول على:
1 / (4 2) + 4 / (2) + 1 / (5 2) = 1 لذا = الجذر التربيعي (89/20).
ثم عوض مرة أخرى في eq من 1 إلى 3 وابحث عن قيم x و y و z:
x = (+/-) 1 / [2sqrt (89/20)] و y = (+/-) - 2 / sqrt (89/20) and z = (+/-) 1 / [5sqrt (89/20) )]
مما يعطيك نقطتين:
(1 / 2sqrt (89/20) ، - 2 / sqrt (89/20) ، 1 / ​​5sqrt (89/20)) و (-1 / 2sqrt (89/20) ، 2 / sqrt (89/20) ، -1 / 5sqrt (89/20)) ثم قم بالتوصيل مرة أخرى بـ F (x ، y ، z) وستجد الحد الأقصى والحد الأدنى! الحد الأقصى يحدث عند (1 / 2sqrt (89/20)، - 2 / sqrt (89/20)، 1 / ​​5sqrt (89/20)) و هو sqrt (89/20) ([1/2] +8+ [ 2/5]).
الحد الأدنى يحدث عند (-1 / 2sqrt (89/20) ، 2 / sqrt (89/20) ، - 1 / 5sqrt (89/20)) and -sqrt (89/20) ([1/2] +8 + [2/5]).

جي
أسهم بواسطة ديميتري كولوسوس-جاجنون من القسم 6:

قم بتغيير ترتيب التكامل في 1 2 0 ln y f (x، y) dx dy.

تعليق بالتأكيد الجواب صحيح. ومع ذلك ، فإنني أشير إلى أن الإجابة وحدها قد لا تحظى بتقدير كامل. في هذه الحالة ، هناك حاجة إلى بعض الشرح. ربما تكون الصورة مع بعض الجبر هي الأفضل. على سبيل المثال ، منحنى حد واحد لبيان المشكلة هو x = ln (y) والذي يتحول إلى y = e x. يجب أن تُظهر الصورة الموجودة على يمين منطقة التكامل ما يكفي لإقناع قارئ حل المشكلة بأن الطالب يفهم المشكلة.

ح
أسهم بواسطة روبرت جيه كوميتو من القسم 5: تغيير التكامل 0 3 0 الجذر التربيعي (9 سنوات 2) الجذر التربيعي (× 2 + ص 2) sqrt (18-x 2 -y 2) (x 2 + y 2 + z 2) dz dx dy للإحداثيات الكروية. لا تقيم التكامل.


تعليق تم تصحيح هذا اليوم (4/5/2006) نتيجة لبريد إلكتروني من كارين جنسن من القسم 6. أحد الحدود السابقة كان غير صحيح. هذا "صلب" فقط في الثماني الأول ، فوق ربع دائرة (ربع قرص!) في الربع الأول من المستوى xy. أشكر السيدة جنسن على قراءتها المتأنية!
يوجد أيضًا خطأ في التكامل ، مثل مايكل بوكسر من إشعارات القسم 6. بما أن rho 2 = xs 2 + y 2 + z 2 ، يجب أن يكون التكامل rho 4. أنا آسف ، وأشكر السيد بوكسر.

أنا
أسهم بواسطة روبرت جيه كوميتو من القسم 5:

أ) احسب 2 3 1 / س x 2 x 2 y-2x dy dx.
ب) اكتب هذا التكامل المتكرر بترتيب `` dx dy ''. قد ترغب في البدء برسم المنطقة التي يتم فيها تقييم التكامل المزدوج. أنت ليس طلب تقييم نتيجة dx dy ، والتي قد تكون تكاملًا متكررًا واحدًا أو أكثر.


تعليق إجابة جيدة جدا. شكرا لك.
بالطبع يمكننا حساب إصدار dx dy ومعرفة ما إذا كانت الإجابة هي نفسها إجابة a) ، أو يمكننا الكتابة والقراءة.
> int (int (x ^ 2 * y-2 * x، x = 1 / y..3)، y = 1 / 3..1 / 2) + int (x ^ 2 * y-2 * x ، x = 2..3) ، y = 1 / 2..4) + int (int (x ^ 2 * y-2 * x ، x = sqrt (y) .. 3) ، y = 4..9 )

ك
أسهم بواسطة Sejalkumari باتيل من القسم السابع:

احسب دy dA حيث D يحدها y = x-1 و y 2 = 2x + 6.

يتقاطع الخط y = x-1 مع المنحنى y 2 = 2x + 6 في مكانين ، لذلك يمكننا نقطتين (-1 ، -2) و (5،4). يمكنك إيجاد هاتين النقطتين بالتعويض عن قيمة x = y + 1 في الصيغة y 2 = 2x + 6. يصبح هذا ص 2 = 2 (ص + 1) + 6 = 2 س + 8 ، إذن ص 2 -2 ص -2 = 0 و (ص + 2) (ص -4) = 0.

حدود x و y هي:
(y 2 -6) / 2 & lt = x & lt = y + 1 and -2 & lt = y & lt = 4.
يصبح التكامل المزدوج هو التكامل المتكرر:
-2 4 (ص 2-6) / 2 y + 1 y dx dy =-2 4 س ص ] (ص 2-6) / 2 ص + 1.
بعد بعض الجبر ، هذا هو -2 4 -2 (ص 2 - ص 3/2 + 4 س) صق = -2 (ص 3/3-ص 4/8 + 2 س 2) ] -2 4 =18.

تعليق ليس من باب الكفر ، بل محض لأن الجميع يجب أن يلبسوا على حد سواء الحمالات والحزام ، أقدم:

إل
أسهم بواسطة تشى ون من القسم 6:

يترك F(س ، ص) = ه 2 ص أنا+ (1 + 2xe 2y ي. أوجد دالة f (x، y) بحيث تكون f =F واستخدامها للتقييم جم & ميدوتدص أين ص(ر) = الجذر التربيعي (ر)أنا+ (1 + ر 3)ي، و 0 = & ltt & lt = 1.

Fx= ه 2 ص
Fxdx = e 2y dx = xe 2y + g (y)
[xe 2y + g (y)] / y = 2x e 2y + g & # 180 (y).
الوظيفة الأصلية لملف ي المكون هو 1 + 2x e 2y ، وبالتالي فإن g '(y) تساوي 1 ، ثم g (y) = y.
و (س ، ص) = س 2 ص + ص

لأن ص(ر) = الجذر التربيعي (ر)أنا+ (1 + ر 3)ي و 0 & lt = t & lt = 1. لذلك فإن نقاط البداية والنهاية هي (0،1) و (1،2).
جم & ميدوتدص= و (س2، ذ2) -f (x1، ذ1) و f (x2، ذ2) -f (x1، ذ1) = f (1،2) -f (0،1) و f (1،2) -f (0،1) = e 4 +1.

ا
أسهم بواسطة ستيف سويرن من القسم 8:

في هذه المسألة H هو النصف العلوي من وحدة المجال في R 3: تلك (x ، y ، z) مع x 2 + y 2 + z 2 & lt = 1 و z & gt = 0. يوجد مخروط دائري قائم رأسه (0،0،0) ومحور تناظره هو المحور z الموجب الذي يقسم حجم H إلى جزأين متساويين. أوجد الزاوية ألفا التي تحدد هذا المخروط. يعرّف الرسم التخطيطي ألفا ، وهي الزاوية التي يصنعها المحور z الموجب مع خط على المخروط عبر الرأس.

ص
أسهم بواسطة ستيف سويرن من القسم 8:

افترض أن D هو المسار الذي يتكون من ثلاثة مقاطع مستقيمة ، أولاً من (1،2) إلى (4 ، -3) ، ثم من (4 ، -3) إلى (2،6) ، ثم من (2،6) إلى (3،4). إحصاء - عد د(2xy 3) dx + (3x 2 y 2 + 4y 3) dy.

نظرًا لأننا نحسب خط عمل متكاملًا لحقل متجه ، فمن الواضح أن التدرج اللوني لدالة أخرى. يمكننا أن ننظر إليه ونكتشف ما هي الإمكانيات.

سنستخدم الجانب المصبوغ لأنه أكثر تحديدًا: 3 (x 2) y 2 + 4y 3 dy == & gt القليل من التباين == & gt f (x، y) = x 2 (y 3) + y 4
هذا يتحقق من الضلع dx أيضًا لأن الدالة fx= 2xy 3.
المعطى في ورقة الصيغة هو هذا:
"بالنسبة لـ V المحافظ مع القدرة المحتملة f (تم إعطاؤنا V ووضحت لك كيفية العثور على f) .. التكامل لـ V .. بلاه بلاه بلاه. = f (النهاية) - f (البداية)"
البداية كانت (1،2) .. رقصت حول نقطتين. وانتهى عند (3،4). و (3،4) -f (1،2) = 832-24 = 808

تعليق نهج السيد سويرن "المنسم" صحيح. قد تقلق بشأن تحديد المنحنى في عدة أجزاء ، لكن الأمور تسير على ما يرام. بالتأكيد يمكن لكل مقطع خطي استخدام الإمكانات ، بحيث يكون التكامل الكلي مساويًا لهذا المجموع:
f (3،4) -f (2،6) (من مقطع الخط الثالث) + f (2،6) -f (4 ، -3) (من مقطع السطر الثاني) + f (4، -3) -f (1،2) (من مقطع السطر الأول)
ومجموع "التلسكوبات" لإعطاء f (3،4) -f (1،2) ، حتى كما أكد السيد Swern.

ر
أسهم بواسطة روبرت جيه كوميتو من القسم 5:

س
أسهم بواسطة جوسلين الكسندر من القسم 5:

افترض أن C هي قطعة الخط المستقيم من (0،1) إلى (4،3). تجد ج× 2 ص س.

تمثيل متجه لقطعة مستقيمة تبدأ عند r0 وينتهي عند r1:
ص (ر) = (1-ر) ص0+ ر * ص1
للقطعة المستقيمة المعطاة ، r0= (0،1) و ص1= (4،3) r (t) = (1-t) & lt0،1 & gt + t & lt4،3 & gt = & lt0 + 4t، 1-t + 3t & gt = & lt4t، 1 + 2t & gt.
تمثيل حدودي:
س = 4 طن لذا dx / dt = 4
ص = 1 + 2 طن لذا dy / dt = 2
(0 2 + (dy / dt) 2] dt = sqrt (4 2 +2 2) dt = sqrt (16 + 4) dt = sqrt (20) dt
جس 2 ص س =ر = 0 ر = 1 (4 طن) 2 (1 + 2 طن) الجذر التربيعي (20) دت = الجذر التربيعي (20)0 1 (16 طن 2 + 32 طن 3) dt = الجذر التربيعي (20) [16 طنًا 3/3 + 8 طن 4 ] 0 1 = ([16/3] +8) 2 (الجذر التربيعي (5))

تي
أسهم بواسطة شيراج والاوالكر من القسم 9:

إحصاء - عد رx dA حيث R هي المنطقة على يمين المحور y وتحدها دائرة نصف القطر 2 المتمركزة عند نقطة الأصل والجزء الموجب من المحور y والخط y = -x.

R يحدها محور y الموجب ودائرة نصف القطر 2 متمركزة عند نقطة الأصل موجب المحور x والخط y = -x.
1 هي الزاوية بين المحور x الموجب والمحور y الموجب. إنه Pi / 2.
2 هي الزاوية بين المحور x الموجب والخط y = -x. يمكننا إيجاد هذه الزاوية باستخدام الصورة وحقيقة أن الخط يقطع ربع الدائرة إلى نصفين وبالتالي فإن ثيتا 2 ستكون نصف Pi / 2 أو Pi / 4.
يمكننا أن نجد أيضًا 2 باستخدام حقيقة أن y = -x وعندما x = 2 ، يجب أن يساوي y -2 و 2= arctan (-2/2) = - Pi / 4. تحدث العلامة السالبة لأن الزاوية تقع في الربع الرابع (الصورة أفضل هنا). r ببساطة بين 0 و 2.
x = r cos () و dA = r dr d بحيث يصبح التكامل -بي / 4 بي / 2 0 2 r cos () r drd = ( -بي / 4 Pi / 2 cos () د )( 0 2 ص 2 د ) = ( ص 3/3 ] 0 2 )( الخطيئة () ] -بي / 4 Pi / 2 = (8/3) (1 + sqrt (2) / 2) (

يو
أسهم بواسطة تينا لي من القسم 6:

تغيير x 2 & lty & lt1 و 0 & ltx & lt1 إلى 0 & lty & lt1 and 0 & ltx & ltsqrt (y).
الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ: x 2 = y في الربع الأول ، x = 0 ، y = 1 و y = 0 (الخطوط فقط). (0،0) و (0،1) و (1،0) و (1،1) هي نقاط مشتركة.
المنطقة فوق القطع المكافئ ولكن تحت y = 1 هي القوة الحقيقية اللازمة للدمج (في "المربع")
معطى: 0 1 × 2 1 x 3 sin (y 3 dy dx يمكن تغييره إلى
0 1 0 الجذر التربيعي (y) x 3 sin (y 3) dx dy
لا يتجزأ من الداخل: 0 الجذر التربيعي (y) x 3 sin (y 3) dx = (1/4) (x 4) sin (y 3) ] 0 الجذر التربيعي (y) = (1/4) (y 2 -0) sin (y 3) = (1/4) y 2 sin (y 3).
ثم التكامل الخارجي: 0 1 (1/4) y 2 sin (y 3) dy.
إذا كانت y 3 = u ، فإن 3y 2 dy = du (y 2 dy = du / 3) ويصبح 0 & lty ^ 3 & lt1 0 & ltu & lt1 لذا فإن التكامل أعلاه هو (1/4)0 1 sin (u) du / 3 = (1/12) ( -cos (u) ) ] 0 1 = -1 / 12 (cos (1) -cos (0)) = - 1/12 (cos1-1) = 1/12 (1-cos1).

الخامس
أسهم بواسطة شيراج والاوالكر من القسم 9: أ) 0 1 0 x 0 y int (0، y) xy 2 z 3 dz dy dx
التكامل الأعمق: س ص 2 0 y z 3 dz = xy 2 z 4/4 ] 0 ص = س ص 4/4
التالي: 0 x xy 6/4 dy = xy 7 / (7 & middot4) ] 0 x = x & middotx 7 / (28) = x 8/28
أخيرا، 0 1 × 8/28 dx = x 9 / (28 & middot9) ] 0 1 = 1 / (28 & middot9): لن نبسط !!

ب) اكتب هذا في صورة تكامل واحد أو أكثر بترتيب dx dy dz.

تعليق الحل الصحيح للجزء ب) لم يتم استلامه بعد. ربما الصورة أدناه يمكن أن تساعد في "حل" ب). أو ربما لا.
من السهل اختبار الحلول للجزء ب). على سبيل المثال ، إليك حساب التكامل الأصلي في خشب القيقب: لذا فإن أي حل مقترح يجب أن يكون "قويًا" (قويًا) بما يكفي للحصول على الإجابة المحسوبة 1/252 مع Integrand xy 2 z 3 ، اقترح السيد Walawalkar أن "V للثأر."


مشاكل الجبر

المشكلة 4: أوجد المسافة بين النقطتين (-4 ، -5) و (-1 ، -1).

المشكلة 5: أوجد تقاطع x في الرسم البياني للمعادلة.

المشكلة 6: أوجد قيمة f (2) - f (1)

المشكلة 7: أوجد ميل الخط المار بالنقطتين (-1 ، -1) و (2 ، 2).

المشكلة 8: العثور على منحدر من الخط

المشكلة 9: أوجد معادلة الخط المار بالنقطتين (-1 ، -1) و (-1 ، 2).

المشكلة 10: حل المعادلة

المزيد من مشاكل الجبر - بريمج

  1. انقر فوق الزر أعلاه "انقر هنا للبدء" لبدء تشغيل التطبيق الصغير و تحقيق أقصى قدر تم الحصول على النافذة.
  2. انقر فوق "ابدأ" في القائمة الرئيسية.
  3. أجب عن السؤال عن طريق تحديد a أو b أو c أو d أو e في الجزء السفلي من لوحة التطبيق الصغير.

يمكنك مراجعة إجاباتك وتغييرها عن طريق التحقق من الحرف المطلوب. بمجرد الانتهاء ، اضغط على "إنهاء" وستحصل على جدول بإجاباتك والإجابات الصحيحة للمقارنة معها.

لبدء مجموعة أخرى من المشاكل ، اضغط على "إعادة تعيين".


2.4: مراجعة المشاكل - الرياضيات

التدوين العلمي هو الطريقة التي يتعامل بها العلماء بسهولة مع الأعداد الكبيرة جدًا أو الأعداد الصغيرة جدًا. على سبيل المثال ، بدلاً من كتابة 0.0000000056 ، نكتب 5.6 × 10-9. فكيف يعمل هذا؟

يمكننا أن نفكر في 5.6 × 10-9 على أنه حاصل ضرب رقمين: 5.6 (حد الرقم) و10-9 (المصطلح الأسي).

فيما يلي بعض الأمثلة على التدوين العلمي.

10000 = 1 × 10 4 24327 = 2.4327 × 10 4
1000 = 1 × 10 3 7354 = 7.354 × 10 3
100 = 1 × 10 2 482 = 4.82 × 10 2
10 = 1 × 10 1 89 = 8.9 × 10 1 (لا يتم ذلك عادةً)
1 = 10 0
1/10 = 0.1 = 1 × 10-1 0.32 = 3.2 × 10-1 (لا يتم عادة)
1/100 = 0.01 = 1 × 10-2 0.053 = 5.3 × 10-2
1/1000 = 0.001 = 1 × 10-3 0.0078 = 7.8 × 10-3
1/10000 = 0.0001 = 1 × 10-4 0.00044 = 4.4 × 10-4

كما ترى ، فإن الأس 10 هو عدد الأماكن التي يجب إزاحة العلامة العشرية بها لإعطاء الرقم في شكل طويل. يُظهر الأس الموجب أن الفاصلة العشرية قد تم إزاحتها في هذا العدد من الأماكن جهة اليمين. يُظهر الأس السالب أن الفاصلة العشرية قد تم إزاحتها في هذا العدد من الأماكن إلى اليسار.

في الترميز العلمي ، يشير مصطلح الرقم إلى عدد الأرقام المهمة في الرقم. المصطلح الأسي يضع فقط العلامة العشرية. كمثال،
46600000 = 4.66 × 10 7 هذا الرقم يحتوي فقط على 3 أرقام معنوية. الأصفار ليست مهمة فهي تحتفظ بمكان فقط. كمثال آخر ، 0.00053 = 5.3 × 10-4 هذا الرقم له رقمان معنويان. الأصفار هي فقط حوامل أماكن.

على الآلة الحاسبة العلمية الخاصة بك:

  1. اضغط على الرقم (رقم الرقم) في الآلة الحاسبة.
  2. اضغط على زر EE أو EXP. لا تستخدم زر x (times) !!
  3. أدخل رقم الأس. استخدم زر +/- لتغيير علامته.
  4. هاهو! تعامل مع هذا الرقم بشكل طبيعي في جميع الحسابات اللاحقة.

للتحقق من نفسك ، اضرب 6.0 × 10 5 مرات 4.0 × 10 3 على الآلة الحاسبة. يجب أن تكون إجابتك 2.4 × 10 9.

على الآلة الحاسبة الرخيصة غير العلمية الخاصة بك:

ستحتاج إلى التعرف على الأسس لأن الآلة الحاسبة لا يمكنها الاهتمام بها نيابةً عنك. للحصول على مقدمة حول القواعد المتعلقة بالأسس ، راجع القسم الخاص بمعالجة الأسس.

  • يتم تحويل جميع الأرقام إلى نفس قوة 10 ، ويتم إضافة أو طرح الشروط الرقمية.
  • مثال: (4.215 × 10-2) + (3.2 × 10-4) = (4.215 × 10-2) + (0.032 × 10-2) = 4.247 × 10-2
  • مثال: (8.97 × 10 4) - (2.62 × 10 3) = (8.97 × 10 4) - (0.262 × 10 4) = 8.71 × 10 4

  • يتم ضرب الحدود الرقمية بالطريقة العادية ويتم إضافة الأس. يتم تغيير النتيجة النهائية بحيث لا يوجد سوى رقم واحد غير صفري على يسار العلامة العشرية.
  • مثال: (3.4 × 10 6) (4.2 × 10 3) = (3.4) (4.2) × 10 (6 + 3) = 14.28 × 10 9 = 1.4 × 10 10
    (إلى رقمين معنويين)
  • مثال: (6.73 × 10-5) (2.91 × 10 2) = (6.73) (2.91) × 10 (- 5 + 2) = 19.58 × 10 - 3 = 1.96 × 10-2
    (إلى 3 شخصيات مهمة)

  • يتم تقسيم الحدود الرقمية بالطريقة العادية ويتم طرح الأسس. يتم تغيير حاصل القسمة (إذا لزم الأمر) بحيث لا يوجد سوى رقم واحد غير صفري على يسار العلامة العشرية.
  • مثال: (6.4 × 10 6) / (8.9 × 10 2) = (6.4) / (8.9) × 10 (6-2) = 0.719 × 10 4 = 7.2 × 10 3
    (إلى رقمين معنويين)
  • مثال: (3.2 × 10 3) / (5.7 × 10-2) = (3.2) / (5.7) × 10 3 - (- 2) = 0.561 × 10 5 = 5.6 × 10 4
    (إلى رقمين معنويين)

  • يتم رفع مصطلح الرقم إلى القوة المحددة ويتم ضرب الأس في الرقم الذي يشير إلى القوة.
  • مثال: (2.4 × 10 4) 3 = (2.4) 3 × 10 (4 × 3) = 13.824 × 10 12 = 1.4 × 10 13
    (إلى رقمين معنويين)
  • مثال: (6.53 × 10 -3) 2 = (6.53) 2 × 10 (- 3) × 2 = 42.64 × 10 - 6 = 4.26 × 10-5
    (إلى 3 شخصيات مهمة)


2.4: مراجعة المشاكل - الرياضيات

فيما يلي تفصيل للرياضيات 116 امتحان 1 حسب الموضوع. كل مرجع مشكلة هو ارتباط ، لذا يمكنك النقر فوقه لمعرفة المشكلة. يجب أن يأخذك متصفحك إلى الصفحة الصحيحة للاختبار ، ولكن ضع في اعتبارك أن المشكلة التي تبحث عنها قد تكون في أسفل الصفحة. بجانب كل مشكلة سترى حرف #. إذا قمت بالنقر فوق ذلك ، فيجب أن يأخذك إلى الحل.

لا ينبغي أن تكون مشاكل الامتحانات القديمة هي الشيء الوحيد الذي تدرسه. وهي مصممة لاختبار المعرفة وليس تعليمها. وهناك خطر يتمثل في أنك قد تبدأ في التفكير في أنك تعرف بالضبط ما سيكون في الاختبار. في حين أن هناك بعض الموضوعات التي يمكن التنبؤ بها ، سيكون هناك بلا شك أسئلة في امتحان هذا العام تختلف عن أي أسئلة ظهرت من قبل. لذا ضع في اعتبارك أنك تدرب نفسك على التعامل مع المشكلات الصعبة ، وليس حفظ كيفية القيام بأنواع معينة.

هذا اقتراحي حول كيفية استخدام هذه الصفحة:

  1. جرب أخذ عينات من المشكلات لتحديد المنطقة التي تحتاج إلى مساعدة فيها.
  2. اذهب إلى كتابك للقراءة عن الموضوع.
  3. عد إلى هنا وابحث عن المزيد من المشكلات حول نفس الموضوع ، لمعرفة ما إذا كنت قد حصلت عليها.

لست سعيدًا تمامًا بالموضوعات الموضحة أدناه. يرجى تقديم اقتراحات حول كيفية تصنيف المشاكل بشكل أفضل.

اسمحوا لي أن أعرف أي أخطاء تجدها ، وأي ملاحظات أخرى لديك حول مدى نجاحها وكيفية جعلها أكثر فائدة. توجد روابط لجميع الاختبارات في أسفل الصفحة.


IM K – 12 ™ Math معتمد من Illustrative Mathematics®

IM Math هو منهج أساسي قائم على حل المشكلات مصمم لمعالجة معايير المحتوى والممارسة لتعزيز التعلم للجميع. يتعلم الطلاب من خلال ممارسة الرياضيات وحل المشكلات في سياقات الرياضيات والعالم الواقعي وبناء الحجج باستخدام لغة دقيقة. يمكن للمدرسين تحويل تعليماتهم وتسهيل تعلم الطلاب من خلال إجراءات روتينية عالية التأثير لتوجيه المتعلمين لفهم المفاهيم والإجراءات وإقامة روابط بينها.

لقد مرت مشاركة الطلاب من خلال السقف. هناك ضجة في فصول الرياضيات لدينا.

ديفيد ب. ، أخصائي رياضيات ثانوي ، مدارس تومواتر العامة ، واشنطن

هذا هو المنهج الكامل والمتسق والقائم على الصورة الكبيرة الذي كنا نسعى إليه منذ سنوات.

ستيفاني باكنر ، أخصائي مناهج الرياضيات ، مدارس مقاطعة بونكومب ، نورث كارولاينا

. مصممة بشكل جيد ... بنية درس ووتيرة فعالة.

هذا المنهج مكتوب ببراعة. بعد تدريس هذا البرنامج ، شعرت حقًا أنه يلبي احتياجات التعلم لطلابنا.

ستيفاني مارفيسين ، معلمة ، منطقة مدارس نيوبورت ميسا الموحدة ، كاليفورنيا

حول مناهج IM المعتمدة

متوافقة تمامًا مع معايير الاستعداد للكلية والوظيفي

استيفاء المعايير لإعداد الطلاب للنجاح في الرياضيات.

تم تصميم جميع مناهج إدارة المعلومات ، المصممة تحت قيادة ويليام ماكالوم ، الكاتب الرئيسي لـ Common Core ، وتتوافق تمامًا مع صرامة المعايير وتماسكها. هدفنا هو تزويد جميع الطلاب بالمهارات التي يحتاجون إليها لمعرفة الرياضيات واستخدامها والاستمتاع بها.

مؤسسة تعليمية

المناهج البحثية القائمة على حل المشكلات.

في المناهج الدراسية القائمة على حل المشكلات ، يعمل الطلاب على حل مسائل الرياضيات المصممة والمتسلسلة بعناية خلال معظم وقت التدريس. يساعد المعلمون الطلاب على فهم المشكلات وتوجيه المناقشات للتأكد من أن النتائج الرياضية واضحة للجميع. في هذه العملية ، يشرح الطلاب أفكارهم ومنطقهم ويتعلمون كيفية توصيل الأفكار الرياضية. الهدف هو إعطاء الطلاب ما يكفي من الخلفية والأدوات لحل المشكلات الأولية بنجاح ، ثم تعيينهم على مشكلات معقدة بشكل متزايد مع زيادة خبرتهم.

الرياضيات ليست رياضة متفرج. تتمثل قيمة النهج القائم على حل المشكلات في أن الطلاب يقضون معظم وقتهم في فصل الرياضيات في ممارسة الرياضيات: فهم المشكلات ، والتقدير ، وتجربة مناهج مختلفة ، واختيار واستخدام الأدوات المناسبة ، وتقييم مدى معقولية إجاباتهم. يمضون في تفسير أهمية إجاباتهم ، وملاحظة الأنماط والتعميمات ، وشرح تفكيرهم شفهيًا وكتابيًا ، والاستماع إلى تفكير الآخرين ، وبناء فهمهم.

افتح الموارد التعليمية وخيارات التسليم

تنسيقات ومنصات متعددة متاحة للمرونة وسهولة الوصول.

يوفر الشركاء المعتمدون من IM الوصول إلى أحدث الإصدارات من مناهج IM المعتمدة من خلال خيار متاح مجانًا وكذلك من خلال المنصات الرقمية والمطبوعة مجانًا.

تطور مناهج إدارة المعلومات

Open Up Resources 6-8 Math 2.0 من تأليف الرياضيات التوضيحية.

الرياضيات التوضيحية ، تم تأليفها ومراجعتها والموافقة عليها جميع المحتويات الواردة في Open Up Resources 6-8 Math 2.0. إن مناهجنا 6-8 Math 2.0 هي منهج عالي الجودة ، والرياضيات التوضيحية فخورة بتعاونها مع Open Up Resources ، التي قدمت أول مناهج الرياضيات للمدارس المتوسطة OER للطلاب والمعلمين في جميع أنحاء البلاد. يرجى الاتصال بنا للحصول على مزيد من المعلومات حول نسختهم من المنهج الدراسي المؤلف من IM.

التعلم المهني المعتمد من IM

تحسين التعليمات وتبسيط التكامل

تم تصميم التعلم الاحترافي المعتمد من IM بحيث يتكامل بعمق مع المناهج الدراسية. يوفر البرنامج للمعلمين والقادة دعمًا مستدامًا طويل الأجل لتحسين التدريس والتعلم.


المعادلات ومشاكل الكلمات

هذه مجانية المعادلات والمشاكل الكلامية أوراق عمل سيساعد طلابك على ممارسة الكتابة وحل المعادلات التي تتطابق مع مشاكل القصة الواقعية.

سيكتب طلابك معادلات لمطابقة مسائل مثل & # 8220 كيلي أصغر من أختها بـ 8 سنوات. مجموع أعمارهم 44 سنة. كم عمر كيلي وكم يبلغ عمر أختها؟ حصل & # 8221 و & # 8220James على ما مجموعه 900 دولار الأسبوع الماضي. كان هذا الإجمالي 10 دولارات أقل من خمسة أضعاف المبلغ الذي كسبه الأسبوع الماضي. كم من المال ربح جيمس الأسبوع الماضي؟ & # 8221

أوراق عمل الجبر المجانية هذه قابلة للطباعة ومتاحة بتنسيقات متنوعة. بالطبع ، يتم توفير مفاتيح الإجابة مع كل ورقة عمل مجانية للجبر.

المعادلات ومشاكل الكلمات (معادلات من خطوتين) أوراق عمل

المعادلات ومسائل الكلمات (معادلات من خطوتين) ورقة عمل 1 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل هذه المكونة من 10 مسائل على التدرب على كتابة وحل المعادلات المكونة من خطوتين التي تتطابق مع مواقف العالم الحقيقي.
المعادلات ومسائل الكلمات (معادلات من خطوتين) ورقة العمل 1 RTF
المعادلات ومسائل الكلمات (معادلات من خطوتين) ورقة عمل 1 PDF
معاينة ورقة العمل 1 المعادلات ومشكلات الكلمات في مستعرض الويب الخاص بك
عرض الإجابات

المعادلات ومسائل الكلمات (معادلات من خطوتين) ورقة عمل 2 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل هذه المكونة من 10 مسائل على التدرب على كتابة وحل المعادلات المكونة من خطوتين التي تتطابق مع مواقف العالم الحقيقي.
المعادلات ومسائل الكلمات (معادلات من خطوتين) ورقة العمل 2 RTF
المعادلات ومسائل الكلمات (معادلات من خطوتين) ورقة العمل 2 PDF
معاينة ورقة عمل المعادلات ومشكلات الكلمات 2 في مستعرض الويب الخاص بك
عرض الإجابات

المعادلات ومشاكل الكلمات (الجمع بين المصطلحات المتماثلة) أوراق عمل

المعادلات ومشكلات الكلمات (دمج المصطلحات المتشابهة) ورقة عمل 1 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل المكونة من 10 مسائل هذه على التدرب على كتابة وحل المعادلات التي تتطابق مع مواقف العالم الحقيقي. سيكون عليك الجمع بين الحدود المتشابهة ثم حل المعادلة.
المعادلات ومشكلات الكلمات (دمج المصطلحات المتشابهة) ورقة العمل 1 RTF
المعادلات ومشكلات الكلمات (دمج المصطلحات المتشابهة) ورقة العمل 1 PDF
معاينة ورقة العمل 1 المعادلات ومشكلات الكلمات في مستعرض الويب الخاص بك
عرض الإجابات

المعادلات ومسائل الكلمات (دمج المصطلحات المتشابهة) ورقة العمل 2 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل المكونة من 10 مسائل هذه على التدرب على كتابة وحل المعادلات التي تتطابق مع مواقف العالم الحقيقي. سيكون عليك الجمع بين الحدود المتشابهة ثم حل المعادلة.
المعادلات ومشكلات الكلمات (دمج المصطلحات المتشابهة) ورقة العمل 2 RTF
المعادلات ومشكلات الكلمات (دمج المصطلحات المتشابهة) ورقة العمل 2 PDF
معاينة المعادلات وورقة عمل Word مشكلة 2 في مستعرض الويب الخاص بك
عرض الإجابات


MathHelp.com

(أ) فهرس أ 3 هو ن = 3 لذلك يطلبون مني تحديد الحد الثالث ، وهو & quot 5 & quot.

(ب) الرمز غير التقليدي هو الحرف الكبير اليوناني & quotsigma & quot ، مما يشير إلى سلسلة. هذا يعني أنهم يطلبون مني هنا جمع حدود المتسلسلة. & quotvalue & quot الذي يطلبون مني العثور عليه هو إجمالي ، مجموع ، جميع المصطلحات أن من عند أ 1 ل أ 5 بعبارة أخرى:

قم بتوسيع السلسلة التالية وابحث عن المجموع:

لقد أعطوني قاعدة لكل حد من هذه السلسلة ، القاعدة هي ضرب الفهرس في اثنين. لذا ، لإيجاد كل حد ، سأعوض بقيمة ن في الصيغة أي ، سآخذ الفهرس وأضرب في اثنين. سأبدأ بـ ن = 0 وتنتهي بـ ن = 4. للعثور على مجموع المتسلسلة ، سأضيف كل المصطلحات ، مثل هذا:

اكتب أول أربعة مصطلحات من المتتاليةأن> = ن 2> ، بدءًا من ن = 1 .

سوف أقوم فقط بالتوصيل ن في الصيغة ، وتبسيط:

إجابتي هي الصيغة المبسطة للتسلسل:

List the first four terms of the following sequence, beginning with ن = 0 .

Sequences and series are often the first place students encounter this exclamation-mark notation. The notation doesn't indicate that the series is "emphatic" in some manner instead, this is technical mathematical notation. It indicates that the terms of this summation involve factorials. (If you're not familiar with factorials, brush up now.)

A factorial symbol, ك! , indicates that I need to find the product of all the whole numbers from 1 through ك . The first few factorial values are:

(Your graphing calculator can probably find factorials for you. Look for an appropriate command, probably somewhere in a "Prob" or "Probability" submenu.)

I'll use these factorial values in my computations:

So the first four terms are:

Notice how, in that last example above, raising the –1 to the power ن made the signs alternate. This alternating pattern of signs crops up a lot, especially in calculus, so try to keep this "raising –1 to the power ن " trick in mind.

Find the sum of the first six terms of Aن , where aن = 2aن& ndash1 + aن&ndash2, a 1 = 1 , and a 2 = 1 .

This formula looks much worse than it really is I just have to give myself some time, and dissect the formula carefully.

They gave me the values of the first two terms, and then they gave me a formula that says that each term (after the first two terms) is a sum formed from the previous two terms. At each stage, I'll be taking the previous term and multiplying it by two to this, I'll be adding the term before that one. For instance, the third term will be twice the second term, plus the first term.

Plugging into this formula, I get:

Now that I've found the values of the third through the sixth terms, I can find the value of the series the sum is:

Write the following series using summation notation, beginning with ن = 1 :

The first thing I have to do is figure out a relationship between ن and the terms in the summation. This series is pretty easy, though: each term aن is twice ن , so there is clearly a " 2ن " in the formula. I also have the alternating sign.

If I multiply 2ن by (&ndash1) ن , then I'll get &ndash2, 4, &ndash6, 8, &ndash10 , which is backwards (on the signs) from what I want. But I can switch the signs by throwing in one more factor of &ndash1 :

So the formula for the ن -th term is aن = (&ndash1) ن +1 (2ن). حيث ن starts at 1 and there are five terms, then the summation is:

Write the following using summation notation:

The only thing that changes from one term to the next is one of the numbers in the denominator.

(Note: If I "simplify" these fractions, I'll lose this information. Any time the terms of my sequence or series look oddly lumpy, I tend not to simplify those terms: that odd lumpiness almost certainly contains a hint of the pattern I need to find.)

The changing numbers, as a list, start off with 6, 7 , and 8 . This looks like counting, but starting with 6 instead of 1 . Without any information to the contrary, I'll assume that this is the pattern.

But I need to relate these "counting" values to the counter, the index, ن . ل ن = 1 , the number is 6 , or ن + 5 . ل ن = 2 , the number is 7 , which is also ن + 5 . Checking the pattern for ن = 3, 3 + 5 = 8 , which is the third number. Then the terms seems to be in the following pattern:

But how many terms are in the summation? The ellipsis (the ". " or "dot, dot, dot" in the middle) means that terms were omitted. How many terms? Now that I have the general pattern for the series terms, I can solve for the counter (that is, for the value of ن ) for the last term:

This tells me that there are 26 terms in this summation, so the series, in summation notation, is:

If the fractional forms of the terms in the series above had been simplified, it would have been a lot harder to figure out a pattern. So it's usually best to leave the terms in the form provided, rather than reducing them, because reducing would remove the pattern that they're wanting you to see.

To be fair, though, unless the sequence is very simple or is presented in a very straightforward manner, it is entirely possible that you might find a "wrong" pattern. Don't let this bother you terribly much. The "right" pattern is just the one that the author had in mind when he wrote the exercise. Your pattern would be "wrong" only in that it is unexpected. But if you can present your work clearly and logically, you should be able to talk your way into getting at least partial credit for your answer.

Once you've learned the basic notation and terminology, you will likely quickly move on to the two common and straightforward sequence types, being arithmetic and geometric sequences.


2.4: Review Problems - Mathematics

PRECISION VERSUS ACCURACY

Accuracy refers to how closely a measured value agrees with the correct value.
Precision refers to how closely individual measurements agree with each other.

accurate
(the average is accurate)
not precise
precise
not accurate
accurate
و
precise

In any measurement, the number of significant figures is critical. The number of significant figures is the number of digits believed to be correct by the person doing the measuring. It includes one estimated digit. So, does the concept of significant figures deal with precision or accuracy? I'll answer this question after you peruse the next example.

A rule of thumb: read the volume to 1/10 or 0.1 of the smallest division. (This rule applies to any measurement.) This means that the error in reading (called the reading error) is 1/10 or 0.1 of the smallest division on the glassware. If you are less sure of yourself, you can read to 1/5 or 0.2 of the smallest division.

Beaker The smallest division is 10 mL, so we can read the volume to 1/10 of 10 mL or 1 mL. The volume we read from the beaker has a reading error of 1 mL.

The volume in this beaker is 47 1 mL. You might have read 46 mL your friend might read the volume as 48 mL. All the answers are correct within the reading error of 1 mL.

So, How many significant figures does our volume of 47 1 mL have? Answer - 2! The "4" we know for sure plus the "7" we had to estimate.

Look in the textbook for a picture of a graduated cylinder.

First, note that the surface of the liquid is curved. This is called the meniscus. This phenomenon is caused by the fact that water molecules are more attracted to glass than to each other (adhesive forces are stronger than cohesive forces). When we read the volume, we read it at the BOTTOM of the meniscus.

The smallest division of this graduated cylinder is 1 mL. Therefore, our reading error will be 0.1 mL or 1/10 of the smallest division. An appropriate reading of the volume is 36.5 0.1 mL. An equally precise value would be 36.6 mL or 36.4 mL.

How many significant figures does our answer have? 3! The "3" and the "6" we know for sure and the "5" we had to estimate a little.

Look in the textbook for a picture of a buret. Note that the numbers get bigger as you go down the buret. This is different from the beaker or the graduated cylinder. This is because the liquid leaves the buret at the bottom.

The smallest division in this buret is 0.1 mL. Therefore, our reading error is 0.01 mL. A good volume reading is 20.38 0.01 mL. An equally precise answer would be 20.39 mL or 20.37 mL.

How many significant figures does our answer have? 4! The "2", "0", and "3" we definitely know and the "8" we had to estimate.

Conclusion: The number of significant figures is directly linked to a measurement. If a person needed only a rough estimate of volume, the beaker volume is satisfactory (2 significant figures), otherwise one should use the graduated cylinder (3 significant figures) or better yet, the buret (4 significant figures).

So, does the concept of significant figures deal with precision or accuracy? Hopefully, you can see that it really deals with precision only. Consider measuring the length of a metal rod several times with a ruler. You will get essentially the same measurement over and over again with a small reading error equal to about 1/10 of the smallest division on the ruler. You have determined the length with high precision. However, you don't know if the ruler was accurate to begin with. Perhaps it was a plastic ruler left in the hot Texas sun and was stretched. You don't know the accuracy of your measuring device unless you calibrate it, i.e. compare it against a ruler you knew was accurate. Note: in the laboratory, a good analytical chemist always calibrates her volumetric glassware before using it by weighing a known volume of liquid dispensed from the glassware. By dividing the mass of the liquid by its density, she can determine the actual volume and hence the accuracy of the glassware.

    Leading zeros are never significant.
    Imbedded zeros are always significant.
    Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified.
    Hint: Change the number to scientific notation. It is easier to see.

مثال Number of
Significant Figures
Scientific Notation
0.0068236.82 x 10 - 3 Leading zeros are not significant.
1.07241.072 (x 10 0 ) Imbedded zeros are always significant.
30013 x 10 2 Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified.
300 . 33.00 x 10 2
300 . 043.000 x 10 2

EXAMPLES

Addition Even though your calculator gives you the answer 8.0372, you must round off to 8.04. Your answer must only contain 1 doubtful number. Note that the doubtful digits are underlined.
Subtraction Subtraction is interesting when concerned with significant figures. Even though both numbers involved in the subtraction have 5 significant figures, the answer only has 3 significant figures when rounded correctly. Remember, the answer must only have 1 doubtful digit.
Multiplication The answer must be rounded off to 2 significant figures, since 1.6 only has 2 significant figures.
Division The answer must be rounded off to 3 significant figures, since 45.2 has only 3 significant figures.

  • When rounding off numbers to a certain number of significant figures, do so to the nearest value.
    • example: Round to 3 significant figures: 2.3467 x 10 4 (Answer: 2.35 x 10 4 )
    • example: Round to 2 significant figures: 1.612 x 10 3 (Answer: 1.6 x 10 3 )

    • If the number before the 5 is odd, round up.
    • If the number before the 5 is even, let it be.
      The justification for this is that in the course of a series of many calculations, any rounding errors will be averaged out.


    شاهد الفيديو: Math Review for Licensure Exams - Part II Math Problems (شهر اكتوبر 2021).