مقالات

1.5: الرتبة والأنظمة المتجانسة


هناك نوع خاص من النظام يتطلب دراسة إضافية. يسمى هذا النوع من النظام نظامًا متجانسًا من المعادلات ، والذي حددناه أعلاه في التعريف [def: homogeneoussystem]. ينصب تركيزنا في هذا القسم على النظر في أنواع الحلول الممكنة لنظام المعادلات المتجانس.

ضع في اعتبارك التعريف التالي.

التعريف ( PageIndex {1} ): حل تافه

ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس المعطى بواسطة [ start {array} {c} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = 0 a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = 0 vdots a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2 } x_ {2} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = 0 end {array} ] ثم ، (x_ {1} = 0 ، x_ {2} = 0 ، cdots ، x_ {n } = 0 ) دائمًا حل لهذا النظام. نسمي هذا حل تافه .

إذا كان لدى النظام حل لا تساوي فيه جميع (x_1، cdots، x_n ) صفرًا ، فإننا نسمي هذا الحل غير بديهي . الحل البسيط لا يخبرنا الكثير عن النظام ، حيث يقول أن (0 = 0 )! لذلك ، عند العمل مع أنظمة متجانسة من المعادلات ، نريد أن نعرف متى يكون لدى النظام حل غير بديهي.

لنفترض أن لدينا نظامًا متجانسًا من المعادلات (م ) ، باستخدام (n ) المتغيرات ، وافترض أن (n> م ). بمعنى آخر ، هناك متغيرات أكثر من المعادلات. بعد ذلك ، اتضح أن هذا النظام لديه دائمًا حل غير بديهي. لن يكون لدى النظام حل غير بديهي فحسب ، بل سيكون لديه أيضًا عدد لا نهائي من الحلول. من الممكن أيضًا ، ولكن ليس مطلوبًا ، أن يكون لديك حل غير بديهي إذا (n = m ) و (n

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ): حلول لنظام متجانس من المعادلات

أوجد الحلول غير الأساسية لنظام المعادلات المتجانسة التالية [ start {array} {c} 2x + y - z = 0 x + 2y - 2z = 0 end {array} ]

المحلول

لاحظ أن هذا النظام يحتوي على (م = 2 ) معادلات و (ن = 3 ) متغيرات ، لذلك (n> م ). لذلك من خلال مناقشتنا السابقة ، نتوقع أن يكون لهذا النظام عدد لا نهائي من الحلول.

العملية التي نستخدمها لإيجاد حلول لنظام متجانسة من المعادلات هي نفس العملية التي استخدمناها في القسم السابق. أولاً ، نقوم ببناء المصفوفة المعززة ، المعطاة بواسطة [ left [ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 0 1 & 2 & -2 & 0 end {array} right ] ] ثم نحمل هذه المصفوفة إلى المصفوفة الموضحة أدناه. [ left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 end {array} right] ] نظام المعادلات المقابل هو [ start {array} {c} x = 0 y - z = 0 end {array} ] بما أن (z ) غير مقيد بأي معادلة ، فنحن نعلم أن هذا المتغير سيصبح معاملنا. دع (z = t ) حيث (t ) هو أي رقم. لذلك ، فإن الحل الذي نقدمه له الشكل [ start {array} {c} x = 0 y = z = t z = t end {array} ] ومن ثم فإن هذا النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، بمعامل واحد (ر ).

لنفترض أننا سنكتب الحل للمثال السابق في شكل آخر. على وجه التحديد ، يمكن كتابة [ start {array} {c} x = 0 y = 0 + t z = 0 + t end {array} ] بالشكل [ left [ start {array} {r} x y z end {array} right] = left [ start {array} {r} 0 0 0 end {array} right] + t left [ start {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ] لاحظ أننا أنشأنا عمودًا من الثوابت في الحل (جميعها تساوي (0 )) ، مثل وكذلك العمود المقابل للمعاملات في (t ) في كل معادلة. بينما سنناقش هذا الشكل من الحل أكثر في فصول أخرى ، فكر الآن في عمود معاملات المعلمة (t ). في هذه الحالة ، هذا هو العمود ( يسار [ start {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ).

يوجد اسم خاص لهذا العمود وهو الحل الأساسي. الحلول الأساسية للنظام هي أعمدة مبنية من معاملات على معلمات في الحل. غالبًا ما نشير إلى الحلول الأساسية من خلال (X_1 ، X_2 ) وما إلى ذلك ، اعتمادًا على عدد الحلول التي تحدث. لذلك ، يحتوي المثال [exa: homogeneoussolution] على الحل الأساسي (X_1 = left [ start {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ).

نستكشف هذا بشكل أكبر في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ): الحلول الأساسية لنظام متجانس

ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس التالي. [ start {array} {c} x + 4y + 3z = 0 3x + 12y + 9z = 0 end {array} ] ابحث عن الحلول الأساسية لهذا النظام.

المحلول

المصفوفة المعززة لهذا النظام والنتيجة هي [ left [ start {array} {rrr | r} 1 & 4 & 3 & 0 3 & 12 & 9 & 0 end {array} right] rightarrow cdots rightarrow left [ start {array} {rrr | r} 1 & 4 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right] ] عند كتابتها في المعادلات ، هذا النظام مُعطى بواسطة [x + 4y + 3z = 0 ] لاحظ أن (x ) فقط يتوافق مع عمود محوري. في هذه الحالة ، سيكون لدينا معلمتان ، واحدة لـ (y ) وواحدة لـ (z ). اسمح (y = s ) و (z = t ) لأي أرقام (s ) و (t ). بعد ذلك ، يصبح الحل [ start {array} {c} x = -4s - 3t y = s z = t end {array} ] والتي يمكن كتابتها كـ [ left [ begin {مجموعة} {r} x y z end {array} right] = left [ start {array} {r} 0 0 0 end {array} right] + s يسار [ يبدأ {مجموعة} {r} -4 1 0 end {array} right] + t left [ start {array} {r} -3 0 1 end {مصفوفة} يمين] ] يمكنك أن ترى هنا أن لدينا عمودين من المعاملات المقابلة للمعلمات ، على وجه التحديد واحد من أجل (ق ) والآخر لـ (تي ). لذلك ، هذا النظام له حلين أساسيين! هذه [X_1 = left [ start {array} {r} -4 1 0 end {array} right]، X_2 = left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {array} right] ]

نقدم الآن تعريفًا جديدًا.

التعريف ( PageIndex {1} ): الدمج الخطي

دع (X_1، cdots، X_n، V ) تكون مصفوفات عمود. ثم يقال أن (V ) هو أ تركيبة خطية من الأعمدة (X_1، cdots، X_n ) إذا كان هناك عدد قياسي ، (a_ {1} ، cdots ، a_ {n} ) مثل [V = a_1 X_1 + cdots + a_n X_n ]

من النتائج الرائعة لهذا القسم أن الجمع الخطي للحلول الأساسية هو مرة أخرى حل للنظام. والأمر الأكثر أهمية هو أنه يمكن كتابة كل حل كمجموعة خطية من هذه الحلول. لذلك ، إذا أخذنا توليفة خطية من حلين للمثال [exa: basicsolutions] ، فسيكون هذا أيضًا حلاً. على سبيل المثال ، يمكننا أخذ التركيبة الخطية التالية

[3 left [ start {array} {r} -4 1 0 end {array} right] + 2 left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {array} right] = left [ start {array} {r} -18 3 2 end {array} right] ] يجب أن تأخذ دقيقة للتحقق من ذلك [ يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} x y z end {array} right] = left [ start {array} {r} -18 3 2 end {array} حق]]

هو في الواقع حل للنظام في المثال [exa: basicsolutions].

هناك طريقة أخرى يمكننا من خلالها معرفة المزيد من المعلومات حول حلول نظام متجانس وهي النظر في مرتبة من مصفوفة المعامل المصاحبة. نحدد الآن ما هو المقصود برتبة المصفوفة.

التعريف ( PageIndex {1} ): ترتيب المصفوفة

دع (أ ) مصفوفة واعتبر أيًا من (أ ). بعد ذلك ، لا يعتمد رقم (r ) الإدخالات البادئة لـ (أ ) على ما تختاره ، ويسمى مرتبة من (أ ). نشير إليها بالرتبة ( (A )).

وبالمثل ، يمكننا حساب عدد المواضع المحورية (أو الأعمدة المحورية) لتحديد رتبة (أ ).

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد رتبة مصفوفة

ضع في اعتبارك المصفوفة [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 1 & 5 & 9 2 & 4 & 6 end {array} right] ] ما هي رتبتها؟

المحلول

أولاً ، نحتاج إلى إيجاد من (A ). من خلال الخوارزمية المعتادة ، نجد أن هذا هو [ left [ begin {array} {rrr} fbox {1} & 0 & -1 0 & fbox {1} & 2 0 & 0 & 0 end {array} right] ] لدينا هنا إدخالان رئيسيان ، أو موضعان محوريان ، كما هو موضح أعلاه في المربعات ، رتبة (A ) هي (r = 2. )

لاحظ أننا كنا سنحقق نفس الإجابة إذا وجدنا (A ) بدلاً من.

لنفترض أن لدينا نظامًا متجانسًا من معادلات (م ) في (n ) متغيرات ، وافترض أن (n> م ). من مناقشتنا أعلاه ، نعلم أن هذا النظام سيكون له عدد لا نهائي من الحلول. إذا أخذنا في الاعتبار رتبة مصفوفة المعامل لهذا النظام ، يمكننا معرفة المزيد عن الحل. لاحظ أننا ننظر فقط إلى مصفوفة المعامل ، وليس المصفوفة المعززة بأكملها.

Theorem ( PageIndex {1} ): الترتيب والحلول لنظام متجانس

لنفترض أن (أ ) يكون (م مرات n ) مصفوفة المعامل المطابقة لنظام متجانس من المعادلات ، وافترض أن (أ ) له رتبة (r ). بعد ذلك ، يحتوي حل النظام المقابل على معلمات (n-r ).

ضع في اعتبارك المثال أعلاه [exa: basicsolutions] في سياق هذه النظرية. يحتوي النظام في هذا المثال على معادلات (م = 2 ) في (n = 3 ) متغيرات. أولاً ، لأننا (n> m ) نعلم أن النظام يحتوي على حل غير بديهي ، وبالتالي العديد من الحلول بلا حدود. يخبرنا هذا أن الحل سيحتوي على معامل واحد على الأقل. يمكن أن تخبرنا مرتبة مصفوفة المعامل بالمزيد عن الحل! رتبة مصفوفة المعامل للنظام هي (1 ) ، حيث تحتوي على إدخال رئيسي واحد في. تخبرنا النظرية [thm: Rankhomogeneoussolutions] أن الحل سيكون له معلمات (n-r = 3-1 = 2 ). يمكنك التحقق من صحة هذا في حل المثال [exa: basicsolutions].

لاحظ أنه إذا (n = m ) أو (n

نحن لا نقتصر هنا على أنظمة متجانسة من المعادلات. يمكن استخدام رتبة المصفوفة للتعرف على حلول أي نظام من المعادلات الخطية. ناقشنا في القسم السابق أن نظام المعادلات لا يمكن أن يكون له حل ، أو حل فريد ، أو عدد لا نهائي من الحلول. افترض أن النظام متسق ، سواء كان متجانسًا أم لا. تخبرنا النظرية التالية كيف يمكننا استخدام الترتيب للتعرف على نوع الحل الذي لدينا.

Theorem ( PageIndex {1} ): الترتيب والحلول لنظام ثابت من المعادلات

لنفترض (أ ) أن (م مرات يسار (n + 1 يمين) ) مصفوفة معززة تتوافق مع نظام متسق من المعادلات في (n ) المتغيرات ، وافترض أن (أ ) له رتبة (ص ). ثم

  1. النظام لديه حل فريد إذا (r = n )

  2. يحتوي النظام على عدد لا نهائي من الحلول إذا (r

لن نقدم دليلًا رسميًا على ذلك ، لكننا سننظر في المناقشات التالية.

  1. لا حل تفترض النظرية أعلاه أن النظام متسق ، أي أن لديه حل. اتضح أنه من الممكن للمصفوفة المعززة لنظام بدون حل أن يكون لها أي رتبة (r ) طالما (r> 1 ). لذلك ، يجب أن نعلم أن النظام متسق من أجل استخدام هذه النظرية!

  2. حل فريد افترض (r = n ). بعد ذلك ، يوجد موضع محوري في كل عمود من مصفوفة المعامل (A ). وبالتالي ، هناك حل فريد.

  3. العديد من الحلول بلا حدود افترض (r


من خلال إجراء عمليات الصف الأولية على نظام متجانس ، نحصل على أنظمة مكافئة تكون جميعها متجانسة. في الواقع ، عمليات الصف الأولية (بضرب معادلة في ثابت غير صفري مضيفًا مضاعفًا لمعادلة واحدة إلى معادلة أخرى متبادلة معادلتين) تترك المتجه الصفري للثوابت على الجانب الأيمن من علامة المساواة غير متأثر.

نتيجة لذلك ، يمكننا تحويل النظام الأصلي إلى نظام متجانس مكافئ حيث تكون المصفوفة في شكل مرتبة الصف (REF).


1.5: الرتبة والأنظمة المتجانسة

نحن الآن بحاجة إلى معالجة الأنظمة غير المتجانسة بإيجاز. يمكن هنا أيضًا استخدام كلتا الطريقتين اللتين نظرنا إليهما في فصل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية. كما سنرى ، تكون المعاملات غير المحددة متطابقة تقريبًا عند استخدامها على الأنظمة بينما يحتاج تباين المعلمات إلى صيغة جديدة مشتقة ، ولكنها ستكون في الواقع أسهل قليلاً عند تطبيقها على الأنظمة.

معاملات غير محددة

تتطابق طريقة المعاملات غير المحددة للأنظمة إلى حد كبير مع حالة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية. الاختلاف الوحيد هو أن المعاملات ستحتاج إلى أن تكون نواقل الآن.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثال.

لدينا بالفعل الحل التكميلي حيث قمنا بحل هذا الجزء مرة أخرى في قسم القيمة الذاتية الحقيقية. أنه،

سيعمل تخمين شكل الحل المعين بنفس الطريقة التي كان عليها عندما نظرنا لأول مرة إلى هذه الطريقة. لدينا كثيرة حدود خطية ، لذا فإن تخميننا يجب أن يكون كثير حدود خطي. الاختلاف الوحيد هو أن "المعاملات" يجب أن تكون متجهات بدلاً من ثوابت. سيكون الحل الخاص بالشكل ،

لذا ، علينا اشتقاق التخمين

قبل التوصيل بالنظام ، دعنا نبسط التدوين قليلاً للمساعدة في عملنا. سنكتب النظام على النحو التالي ،

هذا سيجعل العمل التالي أسهل قليلاً. الآن ، لندخل الأشياء في النظام.

[يبدأ vec a & = A left ( يمين) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( يمين) + يسار ( حق) نهاية]

الآن علينا أن نجعل المعاملين متساويين. القيام بهذا يعطي ،

الآن فقط ( vec a ) غير معروف في المعادلة الأولى لذا يمكننا استخدام طريقة الحذف الغاوسي لحل النظام. سنترك هذا العمل لك للتحقق.

الآن بعد أن عرفنا ( vec a ) يمكننا حل المعادلة الثانية لـ ( vec b ).

لذلك ، نظرًا لأننا تمكنا من حل المعادلتين ، فإن الحل المحدد هو ،

الحل العام إذن ،

لذا ، كما ترى ، فإن المعاملات غير المحددة هي تقريبًا نفسها التي رأيناها في المرة الأولى. ومع ذلك ، فإن العمل في حل "الثوابت" يكون أكثر فوضوية بعض الشيء.

اختلاف المعلمات

في هذه الحالة ، سنحتاج إلى اشتقاق صيغة جديدة لتغيير معلمات الأنظمة. سيكون الاشتقاق هذه المرة أبسط بكثير مما كان عليه عندما رأينا لأول مرة تباينًا في المعلمات.

أولاً ، دع (X (t) ) يكون مصفوفة (i ^ < text> ) العمود هو (i ^ < text> ) حل مستقل خطيًا للنظام ،

يمكن الآن إثبات أن (X (t) ) سيكون حلاً للمعادلة التفاضلية التالية.

هذا ليس أكثر من النظام الأصلي مع المصفوفة بدلاً من المتجه الأصلي.

سنحاول إيجاد حل معين ل

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

سنفترض أنه يمكننا إيجاد حل للنموذج ،

[< vec x_P> = X left (t right) ، vec v left (t right) ]

حيث سنحتاج إلى تحديد المتجه ( vec v left (t right) ). للقيام بذلك ، سنحتاج إلى توصيل هذا بالنظام غير المتجانس. لا تنس أن تحكم المنتج في الحل المعين عند إدخال التخمين في النظام.

[X '، vec v + X ، vec v' = A ، X ، vec v + vec g ]

لاحظ أننا أسقطنا الجزء ( left (t right) ) من الأشياء لتبسيط التدوين قليلاً. الآن باستخدام ( eqref) يمكننا إعادة كتابة هذا قليلاً.

[يبدأX '، vec v + X ، vec v' & = X '، vec v + vec g X ، vec v' & = vec g end]

نظرًا لأننا شكلنا (X ) باستخدام حلول مستقلة خطيًا ، فإننا نعلم أن ( det (X) ) يجب أن يكون غير صفري وهذا بدوره يعني أنه يمكننا إيجاد معكوس (X ). لذلك ، اضرب كلا الجانبين في معكوس (X ).

كل ما علينا فعله الآن هو دمج كلا الجانبين للحصول على ( vec v left (t right) ).

[ ، vec v يسار (t يمين) = int <<> vec g ، dt >> ]

كما هو الحال مع حالة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ، يمكننا تجاهل أي ثوابت تكامل. الحل الخاص إذن هو ،

دعونا نعمل مثالاً سريعًا على استخدام هذا.

وجدنا الحل التكميلي لهذا النظام في قسم القيمة الذاتية الحقيقية. أنه،

الآن ، علينا إيجاد معكوس هذه المصفوفة. لقد رأينا كيفية العثور على مقلوب المصفوفات مرة أخرى في قسم مراجعة الجبر الخطي الثاني والعملية هي نفسها هنا على الرغم من عدم وجود إدخالات ثابتة لدينا. سنترك التفاصيل لك للتحقق.

الآن قم بضرب التكامل.

تذكر أنه لدمج مصفوفة أو متجه ، عليك فقط دمج الإدخالات الفردية.

يمكننا الآن الحصول على الحل المحدد.

الحل العام إذن ،

لذلك ، يمكن أن يكون بعض العمل فوضويًا بعض الشيء ، ولكنه ليس سيئًا بشكل عام.

نظرنا إلى طريقتين لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة هنا ، وبينما يمكن أن يكون العمل فوضويًا بعض الشيء ، إلا أنهما ليسا سيئين للغاية. بالطبع ، أبقينا أيضًا الجزء غير المتجانس بسيطًا إلى حد ما هنا. سيكون للمشاكل الأكثر تعقيدًا كميات كبيرة من العمل المتضمن.


مارثا إل أبيل ، جيمس ب.برازيلتون ، في الرياضيات بالمثال (الإصدار الخامس) ، 2017

1.4.6.6 الأنظمة الخطية المتجانسة

النظام المتجانس المقابل للمعادلة (6.28) هو

بنفس الطريقة كما هو الحال مع المعادلات الخطية التي نوقشت سابقًا ، أ حل عام المعادلة (6.28) هي X = X h + X p حيث X h هي a حل عام المعادلة (6.29) و X p هي أ حل خاص من معادلة النظام غير المتجانس (6.28).

أ حل خاص نظام المعادلات التفاضلية العادية عبارة عن مجموعة من الوظائف التي ترضي النظام ولكنها لا تحتوي على أي ثوابت عشوائية. أي أن الحل الخاص للنظام هو مجموعة من الوظائف المحددة ، لا تحتوي على ثوابت تعسفيةالتي ترضي النظام.

إذا كانت 1 = (ϕ 11 ϕ 21 ⋮ ϕ n 1) ، Φ 2 = (ϕ 12 ϕ 22 ⋮ ϕ n 2) ... ، Φ n = (ϕ 1 n ϕ 2 n ⋮ n n) هي ن حلول المعادلة المستقلة خطيًا (6.29) ، أ حل عام المعادلة (6.29) هي

Φ = (ϕ 11 ϕ 12… ϕ 1 n ϕ 21 ϕ 22… ϕ 2 n ⋮ ⋮… ⋮ ϕ n 1 ϕ n 2… ϕ n n) يسمى مصفوفة أساسية للمعادلة (6.29). لو Φ هي مصفوفة أساسية للمعادلة (6.29) ، Φ ′ = A Φ أو Φ ′ - A Φ = 0.


1.5: الرتبة والأنظمة المتجانسة

نحن الآن بحاجة إلى معالجة الأنظمة غير المتجانسة بإيجاز. يمكن هنا أيضًا استخدام كلتا الطريقتين اللتين نظرنا إليهما في فصل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية. كما سنرى ، تكون المعاملات غير المحددة متطابقة تقريبًا عند استخدامها على الأنظمة بينما يحتاج تباين المعلمات إلى صيغة جديدة مشتقة ، ولكنها ستكون في الواقع أسهل قليلاً عند تطبيقها على الأنظمة.

معاملات غير محددة

تتطابق طريقة المعاملات غير المحددة للأنظمة إلى حد كبير مع حالة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية. الاختلاف الوحيد هو أن المعاملات ستحتاج إلى أن تكون متجهات الآن.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثال.

لدينا بالفعل الحل التكميلي حيث قمنا بحل هذا الجزء مرة أخرى في قسم القيمة الذاتية الحقيقية. أنه،

سيعمل تخمين شكل الحل المعين بنفس الطريقة التي كان عليها عندما نظرنا لأول مرة إلى هذه الطريقة. لدينا كثير حدود خطي ، لذا فإن تخميننا يجب أن يكون كثير حدود خطي. والفرق الوحيد هو أن "المعاملات" يجب أن تكون متجهات بدلاً من ثوابت. سيكون الحل الخاص بالشكل ،

لذا ، علينا اشتقاق التخمين

قبل التوصيل بالنظام ، دعنا نبسط التدوين قليلاً للمساعدة في عملنا. سنكتب النظام على النحو التالي ،

هذا سيجعل العمل التالي أسهل قليلاً. الآن ، فلنقم بتوصيل الأشياء بالنظام.

[يبدأ vec a & = A left ( يمين) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( يمين) + يسار ( حق) نهاية]

الآن علينا أن نجعل المعاملين متساويين. القيام بهذا يعطي ،

الآن فقط ( vec a ) غير معروف في المعادلة الأولى لذا يمكننا استخدام طريقة الحذف الغاوسي لحل النظام. سنترك هذا العمل لك للتحقق.

الآن بعد أن عرفنا ( vec a ) يمكننا حل المعادلة الثانية لـ ( vec b ).

لذلك ، نظرًا لأننا تمكنا من حل المعادلتين ، فإن الحل المحدد هو ،

الحل العام إذن ،

لذا ، كما ترى ، فإن المعاملات غير المحددة هي تقريبًا نفسها التي رأيناها في المرة الأولى. ومع ذلك ، فإن العمل في حل "الثوابت" يكون أكثر فوضوية بعض الشيء.

اختلاف المعلمات

في هذه الحالة ، سنحتاج إلى اشتقاق صيغة جديدة لتغيير معلمات الأنظمة. سيكون الاشتقاق هذه المرة أبسط بكثير مما كان عليه عندما رأينا لأول مرة اختلافًا في المعلمات.

أولاً ، دع (X (t) ) يكون مصفوفة (i ^ < text> ) العمود هو (i ^ < text> ) حل مستقل خطيًا للنظام ،

يمكن الآن إثبات أن (X (t) ) سيكون حلاً للمعادلة التفاضلية التالية.

هذا ليس أكثر من النظام الأصلي مع المصفوفة بدلاً من المتجه الأصلي.

سنحاول إيجاد حل معين ل

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

سنفترض أنه يمكننا إيجاد حل للنموذج ،

[< vec x_P> = X left (t right) ، vec v left (t right) ]

حيث سنحتاج إلى تحديد المتجه ( vec v left (t right) ). للقيام بذلك ، سنحتاج إلى توصيل هذا بالنظام غير المتجانس. لا تنس أن تحكم المنتج في الحل المعين عند إدخال التخمين في النظام.

[X '، vec v + X ، vec v' = A ، X ، vec v + vec g ]

لاحظ أننا أسقطنا الجزء ( left (t right) ) من الأشياء لتبسيط التدوين قليلاً. الآن باستخدام ( eqref) يمكننا إعادة كتابة هذا قليلاً.

[يبدأX '، vec v + X ، vec v' & = X '، vec v + vec g X ، vec v' & = vec g end]

نظرًا لأننا شكلنا (X ) باستخدام حلول مستقلة خطيًا ، فإننا نعلم أن ( det (X) ) يجب أن يكون غير صفري وهذا بدوره يعني أنه يمكننا إيجاد معكوس (X ). لذلك ، اضرب كلا الجانبين في معكوس (X ).

كل ما علينا فعله الآن هو دمج كلا الجانبين للحصول على ( vec v left (t right) ).

[ ، vec v يسار (t يمين) = int <<> vec g ، dt >> ]

كما هو الحال مع حالة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ، يمكننا تجاهل أي ثوابت تكامل. الحل الخاص إذن هو ،

دعونا نعمل مثالاً سريعًا على استخدام هذا.

وجدنا الحل التكميلي لهذا النظام في قسم القيمة الذاتية الحقيقية. أنه،

الآن ، علينا إيجاد معكوس هذه المصفوفة. لقد رأينا كيفية العثور على مقلوب المصفوفات مرة أخرى في قسم مراجعة الجبر الخطي الثاني والعملية هي نفسها هنا على الرغم من عدم وجود إدخالات ثابتة لدينا. سنترك التفاصيل لك للتحقق.

الآن قم بضرب التكامل.

تذكر أنه لدمج مصفوفة أو متجه ، عليك فقط دمج الإدخالات الفردية.

يمكننا الآن الحصول على الحل المحدد.

الحل العام إذن ،

لذلك ، يمكن أن يكون بعض العمل فوضويًا بعض الشيء ، ولكنه ليس سيئًا بشكل عام.

نظرنا إلى طريقتين لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة هنا ، وبينما يمكن أن يكون العمل فوضويًا بعض الشيء ، إلا أنهما ليسا سيئين للغاية. بالطبع ، أبقينا أيضًا الجزء غير المتجانس بسيطًا إلى حد ما هنا. سيكون للمشاكل الأكثر تعقيدًا قدرًا كبيرًا من العمل المتضمن.


1.5: الرتبة والأنظمة المتجانسة

نظم المعادلات الخطية. حل المصفوفة ، المصفوفة المعززة ، الأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة ، قاعدة Cramer & # 8217s ، مساحة فارغة

شكل مصفوفة لنظام خطي من المعادلات. شكل مصفوفة لنظام من المعادلات الخطية في عدد ن مجهولين

حيث A هي مصفوفة المعامل ،

المصفوفة المعززة لنظام المعادلات الخطية. المصفوفة المعززة لنظام المعادلات الخطية AX = B هي المصفوفة

تتكون عن طريق إلحاق المتجه الثابت (b & # 8217s) على يمين مصفوفة المعامل.

حل نظام المعادلات الخطية عن طريق تقليل المصفوفة المعززة للنظام إلى شكل متعارف عليه. يمكن حل نظام المعادلات الخطية AX = B عن طريق تقليل المصفوفة المعززة للنظام إلى الصفوف بالشكل المتعارف عليه عن طريق عمليات الصف الأولية.

يتم تقليل [A B] عن طريق تحويلات الصفوف الأولية إلى الشكل الأساسي المكافئ للصف على النحو التالي:

وبالتالي فإن الحل هو نظام المعادلات المكافئ:

معبرا عنها في شكل متجه ، لدينا

كيف يمكن للمرء أن يعرف ما إذا كان نظام المعادلات الخطية في n مجهولة متسقًا أو غير متسق ، أي إذا كان لديه حل أم لا؟ يتم إعطاء الإجابة من خلال النظرية الأساسية التالية.

النظرية الأساسية. يكون النظام AX = B من المعادلات الخطية m في n مجهولة متسقًا إذا وفقط إذا كان لمصفوفة المعامل والمصفوفة المعززة للنظام نفس الرتبة.

اللازمة - النتيجة. الشرط الضروري للنظام AX = B من n + 1 المعادلات الخطية في n مجهولة للحصول على حل هو أن | A B | = 0 أي أن محدد المصفوفة المعززة يساوي صفرًا.

نظرية. في نظام متسق AX = B للمعادلات الخطية في n مجهول من الرتبة r & lt n ، يمكن اختيار n-r من المجهول بحيث تكون مصفوفة المعامل للمجهول r المتبقية من الرتبة r. عندما يتم تعيين أي قيم غير معروفة لـ n-r هذه ، يتم تحديد المجاهيل r الأخرى بشكل فريد.

نختزل [A B] بتحويلات الصف الأولية إلى الشكل الكنسي المكافئ للصف [C K] على النحو التالي:

نظرًا لأن A و [A B] كلاهما من الرتبة r = 3 ، فإن النظام المعطى متسق علاوة على ذلك ، يحتوي الحل العام على n - r = 4 - 3 = 1 ثابت اعتباطي. من الصف الأخير من [C K] ، x4 = 0. دع x3 = أ حيث يكون a تعسفيًا ثم x1 = 10 + 11 أ و س2 = -2 - 4 أ. حل النظام مُعطى بواسطة x1 = 10 + 11 أ ، س2 = -2 - 4 أ ، س3 = أ ، س4 = 0 أو

أنظمة متجانسة وغير متجانسة. معادلة خطية من النوع

حيث يكون المصطلح الثابت هو صفر يسمى متجانسة بينما المعادلة الخطية للنوع

حيث أن الحد الثابت ب ليس صفرًا يسمى غير متجانسة. وبالمثل ، يُطلق على نظام المعادلات AX = 0 اسم متجانس ويسمى النظام AX = B غير متجانس بشرط ألا يكون B هو المتجه الصفري.

نظرية. نظام من المعادلات غير المتجانسة n في n مجهولة AX = B له حل فريد بشرط أن تكون مرتبة مصفوفة معاملها A هي n ، والتي يتم توفيرها | A | & # 88000.

طريقتان إضافيتان لحل نظام غير متجانس متسق AX = B من معادلات n في n مجهولة.

طريقة المحددات باستخدام قاعدة Cramers & # 8217s. تدل عليه أأنا، (i = 1،2 ،. n) المصفوفة التي تم الحصول عليها من A عن طريق استبدال عمودها الأول بعمود الثوابت (b & # 8217s). ثم ، إذا كان | A | & # 88000 ، النظام AX = B لديه الحل الفريد

الحل باستخدام أ -1. إذا كان | A | & # 8800 0 ، A -1 موجود وحل النظام AX = B مُعطى بواسطة X = A -1 B.

نظرية. في نظام من المعادلات الخطية n في n مجهولة AX = B ، إذا كان محدد مصفوفة المعامل A هو صفر ، فلا يمكن أن يوجد حل ما لم تكن جميع المحددات التي تظهر في البسط في قاعدة Cramer & # 8217s صفرًا أيضًا.

أنظمة المعادلات المتجانسة.

ضع في اعتبارك النظام المتجانس للمعادلات الخطية AX = 0 الذي يتكون من معادلات m في n مجهولة. اجعل رتبة مصفوفة المعامل A تكون r. إذا كانت r = n فإن الحل يتكون من الحل الوحيد X = 0 ، والذي يسمى الحل التافه. إذا كانت r & lt n هناك عدد لا حصر له من نواقل الحل التي سترضي النظام المقابل لجميع النقاط في فضاء جزئي من الفضاء ذي البعد n. لتوضيح ذلك ، دعونا ننظر في بعض الأمثلة البسيطة من الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد.

افترض أن النظام AX = 0 يتكون من معادلة واحدة

تتوافق هذه المعادلة مع مستوى في فضاء ثلاثي الأبعاد يمر عبر أصل نظام الإحداثيات. أي نقطة على هذا المستوى تحقق المعادلة ، وبالتالي فهي حل لنظامنا AX = 0. تتوافق مجموعة جميع الحلول لنظامنا AX = 0 مع جميع النقاط على هذا المستوى. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن المستوى يمر عبر أصل نظام الإحداثيات ، فإن المستوى يمثل مساحة متجه. لماذا ا؟ نظرًا لأن الجمع الخطي لأي متجهين في المستوى موجود أيضًا في المستوى ويمكن الحصول على أي متجه في المستوى كمجموعة خطية من أي متجهين أساسيين في المستوى. إذن ، باختصار ، في هذا المثال بالذات ، مجموعة الحلول لنظامنا AX = 0 تتوافق مع الفضاء الجزئي ثنائي الأبعاد للفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يمثله هذا المستوى. نسمي هذه المساحة الجزئية مساحة حل النظام AX = 0.

فلننظر في مثال آخر. افترض أن النظام AX = 0 يتكون من المعادلتين التاليتين

تتوافق هاتان المعادلتان مع مستويين في فضاء ثلاثي الأبعاد يتقاطعان في خط ما يمر عبر أصل نظام الإحداثيات. أي نقطة من خط التقاطع هذا ترضي النظام وبالتالي فهي حل لنظامنا AX = 0. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الخط يمر عبر أصل نظام الإحداثيات ، فإن الخط يمثل مساحة متجه. يوجد أيضًا تركيبة خطية من أي متجهين في الخط في الخط ويمكن الحصول على أي متجه في الخط كمزيج خطي لأي متجه أساسي للخط. إذن ، باختصار ، في هذا المثال ، مجموعة الحل لنظامنا AX = 0 يتوافق مع فضاء فرعي أحادي البعد من الفضاء ثلاثي الأبعاد يمثله خط التقاطع هذا بين المستويين. في هذه الحالة ، تكون مساحة حل النظام AX = 0 أحادية البعد.

ما الذي يحدد أبعاد مساحة الحل للنظام AX = 0؟ يتم إعطاء البعد بواسطة n - r. في مثالنا الأول ، عدد المجهول ، n ، هو 3 والرتبة ، r ، هي 1 ، لذا فإن بُعد مساحة الحل كان 3 - 1 = 2. في مثالنا الثاني ، n = 3 و r = 2 ، لذا فإن بُعد كانت مساحة الحل 3 - 2 = 1.

مساحة خالية في المصفوفة. يُطلق على مساحة حل النظام المتجانس AX = 0 مساحة خالية من المصفوفة A. والسبب في هذا الاسم هو أنه إذا تم عرض المصفوفة A على أنها عامل تشغيل خطي يرسم نقاطًا لبعض فضاء متجه V في نفسه ، فيمكن مشاهدته كتعيين جميع عناصر مساحة الحل من AX = 0 في العنصر الخالي "0". وبالتالي ، فإن المساحة الخالية N لـ A هي تلك المساحة الفرعية لجميع المتجهات في V والتي تم تصويرها في العنصر الفارغ & # 82200 "بواسطة المصفوفة A.

بطلان المصفوفة. بطلان المصفوفة A هو بُعد الفضاء الفارغ لـ A.

إذا كانت المصفوفة A خالية من القيمة s ، فإن AX = 0 لديها حلول مستقلة خطيًا X1، X2و. ، Xس بحيث يكون كل حل من AX = 0 عبارة عن مزيج خطي منهم وكل مجموعة خطية منهم هي حل. أساس الفراغ A هو أي مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا لـ AX = 0. يتم إعطاء بطلان مصفوفة mxn A من الرتبة r بواسطة

نظرية 1. الشرط الضروري والكافي للنظام AX = 0 للحصول على حل بخلاف الحل التافه هو أن تكون رتبة A هي r & lt n.

النظرية 2. الشرط الضروري والكافي أن النظام AX = 0 من المعادلات المتجانسة في المجهول لها حل آخر غير الحل التافه هو | A | = 0.

النظرية 3. إذا كانت رتبة AX = 0 هي r & lt n ، فإن النظام لديه بالضبط حلول مستقلة خطيًا n-r بحيث يكون كل حل مزيجًا خطيًا من هذه الحلول المستقلة خطيًا n-r وكل تركيبة خطية هي حل.

الحل الكامل للنظام المتجانس AX = 0.

الحل الكامل للنظام الخطي AX = 0 من معادلات m في n مجهولة يتكون من مساحة فارغة لـ A والتي يمكن إعطاؤها مثل جميع التركيبات الخطية لأي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا والتي تمتد على هذه المساحة الفارغة. إذا كانت رتبة A هي r ، فسيكون هناك متجهات مستقلة خطيًا n-r ش1، ش2و. ، شن ص التي تمتد على مساحة خالية من A. وبالتالي يمكن كتابة الحل الكامل كـ

اين س1، ج2و. ، جن ص ثوابت اعتباطية.

الحل الكامل للنظام غير المتجانس AX = B.

إذا كان النظام AX = B من معادلات m في n مجهولة متسقة ، يتم توفير حل كامل للنظام من خلال الحل الكامل AX = 0 بالإضافة إلى أي حل معين من AX = B. مساحة خالية من A والتي يمكن إعطاؤها مثل جميع التركيبات الخطية لأي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا والتي تمتد على هذه المساحة الفارغة. إذا كانت رتبة A هي r ، فسيكون هناك متجهات مستقلة خطيًا n-r ش1، ش2و. ، شن ص التي تمتد على مساحة خالية من A. إذا أشرنا إلى حل معين من AX = B على xص ثم يمكن كتابة الحل الكامل كـ

اين س1، ج2و. ، جن ص ثوابت اعتباطية.


نظام معادلات خطية ، مكتوب على شكل مصفوفة فأس = ب, is consistent if and only if the rank of the coefficient matrix is equal to the rank of the augmented matrix that is, ρ ( أ) = ρ ([ أ | ب]).

We apply the theorem in the following examples.

Non-homogeneous Linear Equations

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

x + 2 ذض = 3, 3xذ + 2ض = 1, x − 2 ذ + 3ض = 3, xذ + ض +1 = 0 .

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, where


Applying Gaussian elimination method on [ A | B], we get


There are three non-zero rows in the row-echelon form of [A | B].So, ρ ([A | B] ) . = 3

So, the row-echelon form of A is . There are three non-zero rows in it. So ρ(A) = 3.

From the echelon form, we write the equivalent system of equations

The last equation 0 = 0 is meaningful. By the method of back substitution, we get

So, the solution is (x = −1, y = 4, z = 4) .(Note that A is not a square matrix.)

Here the given system is consistent and the solution is unique.

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

4x − 2 ذ + 6ض = 8, x + ذ − 3ض = −1, 15x − 3ذ + 9ض = 21.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = ب، أين


Applying elementary row operations on the augmented matrix[ أ | ب], we get


وبالتالي، ρ ( أ) = ρ ([ أ | ب]) = 2 < 3. From the echelon form, we get the equivalent equations

x + ذ - 3ض = -1, ذ - 3ض = -2 , 0 = 0 .

The equivalent system has two non-trivial equations and three unknowns. So, one of the unknowns should be fixed at our choice in order to get two equations for the other two unknowns. We fix ض arbitrarily as a real number ر , and we get ذ = 3ر - 2, x = -1- (3ر - 2) + 3ر = 1. So, the solution is ( x = 1, ذ = 3ر - 2, ض = ر ) , where ر is real . The above solution set is a one-parameter family of solutions.

Here, the given system is consistent and has infinitely many solutions which form a one parameter family of solutions.

In the above example, the square matrix أ is singular and so matrix inversion method cannot be applied to solve the system of equations. However, Gaussian elimination method is applicable and we are able to decide whether the system is consistent or not. The next example also confirms the supremacy of Gaussian elimination method over other methods.

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

xذ + ض = −9, 2x − 2 ذ + 2ض = −18, 3x − 3ذ + 3ض + 27 = 0.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = ب، أين


Applying elementary row operations on the augmented matrix[ أ | ب], we get


وبالتالي، ρ ( أ) = ρ ([ أ | ب]) = 1 < 3.

From the echelon form, we get the equivalent equations x - ذ + ض = -9, 0 = 0, 0 = 0.

The equivalent system has one non-trivial equation and three unknowns.

Taking ذ = س, ض = ر arbitrarily, we get x - س + ر = -9 or x = -9 + س - ر.

So, the solution is ( x = -9 + س - ر , ذ = س, ض = ر ) , where س و ر are parameters.

The above solution set is a two-parameter family of solutions.

Here, the given system of equations is consistent and has infinitely many solutions which form a two parameter family of solutions.

Test the consistency of the following system of linear equations

xذ + ض = −9, 2xذ + ض = 4, 3xذ + ض = 6, 4xذ + 2ض = 7.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system of equations is AX = ب، أين


Applying elementary row operations on the augmented matrix [A|B], we get


So, ρ (A) = 3 and ρ ([ A | B]) = 4. Hence ρ ( A) ≠ ρ ([ A | B]).

If we write the equivalent system of equations using the echelon form, we get

x - ذ + ض = -9, ذ - ض = 22, ض = -23, 0 = -11.

The last equation is a contradiction.

So the given system of equations is inconsistent and has no solution. By Rouché - Capelli theorem, we have the following rule:

· If there are ن unknowns in the system of equations and ρ ( أ ) = ρ ([ أ | ب]) = ن, then the system AX = ب, is consistent and has a unique solution.

· If there are ن unknowns in the system AX = ب، و ρ ( أ ) = ρ ([ أ | ب]) = ن - ك , ك ≠ 0 then the system is consistent and has infinitely many solutions and these solutions form a ك - parameter family. In particular, if there are 3 unknowns in a system of equations and ρ ( أ ) = ρ ([ أ | ب]) = 2, then the system has infinitely many solutions and these solutions form a one parameter family. In the same manner, if there are 3 unknowns in a system of equations and ρ ( أ ) = ρ ([ أ | ب]) = 1, then the system has infinitely many solutions and these solutions form a two parameter family.

· If ρ ( أ ) ≠ ρ ([ أ | ب]), then the system AX = ب is inconsistent and has no solution.

مثال 1.33

Find the condition on a, b and c so that the following system of linear equations has one parameter family of solutions: x + y + z = a, x + 2 y + 3z = b, 3x + 5 y + 7z = c.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = ب، أين أ =

Applying elementary row operations on the augmented matrix [ أ | ب], we get


In order that the system should have one parameter family of solutions, we must have ρ ( أ) = ρ ([ أ, ب]) = 2. So, the third row in the echelon form should be a zero row.

وبالتالي، ج - 2ب - أ = 0 ⇒ ج = أ + 2ب.

مثال 1.34

Investigate for what values of λ و μ the system of linear equations

x + 2 ذ + ض = 7, x + ذ + λ z = μ, x + 3ذ − 5ض = 5 has

(i) no solution (ii) a unique solution (iii) an infinite number of solutions.

المحلول

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = ب، أين أ =

Applying elementary row operations on the augmented matrix [ أ | ب], we get


(i) If λ = 7 and μ ≠ 9 , then ρ (A) = 2 and ρ ([ A | B]) = 3. So ρ ( A) ≠ ρ ([ A | B]). Hence the given system is inconsistent and has no solution.

(ii) If λ ≠ 7 and m is any real number, then ρ (A) = 3 and ρ ([ A | B]) = 3.

So ρ (A) = ρ ([ A | B]) = 3 = Number of unknowns. Hence the given system is consistent and has a unique solution.

(iii) If λ = 7 and μ = 9, then ρ(A) = 2 and ρ ([ A | B]) = 2.

So, ρ(A) = ρ ([ A | B]) = 2 < Number of unknowns. Hence the given system is consistent and has infinite number of solutions.


Elementary Operations

The algebraic method for solving systems of linear equations is described as follows. Two such systems are said to be equivalent if they have the same set of solutions. A system is solved by writing a series of systems, one after the other, each equivalent to the previous system. Each of these systems has the same set of solutions as the original one the aim is to end up with a system that is easy to solve. Each system in the series is obtained from the preceding system by a simple manipulation chosen so that it does not change the set of solutions.

As an illustration, we solve the system , in this manner. At each stage, the corresponding augmented matrix is displayed. The original system is

First, subtract twice the first equation from the second. The resulting system is

which is equivalent to the original. At this stage we obtain by multiplying the second equation by . The result is the equivalent system

Finally, we subtract twice the second equation from the first to get another equivalent system.

الآن this system is easy to solve! And because it is equivalent to the original system, it provides the solution to that system.

Observe that, at each stage, a certain operation is performed on the system (and thus on the augmented matrix) to produce an equivalent system.

Definition 1.1 Elementary Operations

The following operations, called elementary operations, can routinely be performed on systems of linear equations to produce equivalent systems.

  1. Interchange two equations.
  2. Multiply one equation by a nonzero number.
  3. Add a multiple of one equation to a different equation.

Suppose that a sequence of elementary operations is performed on a system of linear equations. Then the resulting system has the same set of solutions as the original, so the two systems are equivalent.

Elementary operations performed on a system of equations produce corresponding manipulations of the صفوف of the augmented matrix. Thus, multiplying a row of a matrix by a number />means multiplying every entryof the row by />. Adding one row to another row means adding each entry of that row to the corresponding entry of the other row. Subtracting two rows is done similarly. Note that we regard two rows as equal when corresponding entries are the same.

In hand calculations (and in computer programs) we manipulate the rows of the augmented matrix rather than the equations. For this reason we restate these elementary operations for matrices.

Definition 1.2 Elementary Row Operations

The following are called elementary row operations on a matrix.

  1. Interchange two rows.
  2. Multiply one row by a nonzero number.
  3. Add a multiple of one row to a different row.

In the illustration above, a series of such operations led to a matrix of the form

where the asterisks represent arbitrary numbers. In the case of three equations in three variables, the goal is to produce a matrix of the form

This does not always happen, as we will see in the next section. Here is an example in which it does happen.

Example 1.1.3 Find all solutions to the following system of equations.

حل:
The augmented matrix of the original system is

To create a in the upper left corner we could multiply row 1 through by . However, the can be obtained without introducing fractions by subtracting row 2 from row 1. The result is

The upper left is now used to “clean up” the first column, that is create zeros in the other positions in that column. First subtract times row 1 from row 2 to obtain

Next subtract times row 1 from row 3. The result is

This completes the work on column 1. We now use the in the second position of the second row to clean up the second column by subtracting row 2 from row 1 and then adding row 2 to row 3. For convenience, both row operations are done in one step. The result is

Note that the last two manipulations did not affect the first column (the second row has a zero there), so our previous effort there has not been undermined. Finally we clean up the third column. Begin by multiplying row 3 by to obtain

Now subtract times row 3 from row 1, and then add times row 3 to row 2 to get

The corresponding equations are , ، و , which give the (unique) solution.


1.5: Rank and Homogeneous Systems

السؤال رقم 1. The homogeneous equation Ax = 0 has the trivial solution if and only if the equation has at least one free variable.

إجابه: False. كل homogeneous equation has the trivial solution x = 0.

السؤال 2. The parametric equation x = p + tv described a line through v parallel to p.

إجابه: False. This is a line through p parallel to v. Try t = 0.

السؤال 3. The solution set of Ax = b is the set of all vectors of the form w = p + v, where v is any solution of Ax = 0, and Ap = b.

إجابه: True. See Theorem 6, page 52.

Question 4. If x is a nontrivial solution of Ax = 0, then every entry in x is nonzero.

إجابه: False. If x is not equal to the zero vector, and Ax = 0, then x is a nontrivial solution. The trivial solution has all entries 0. If some entries are zero but not all, then x is not = 0.

Question 5. The equation Ax = b is homogeneous if the zero vector is a solution.

إجابه: True. If 0 is a solution, then A0 = b. But A0 = 0 for any matrix A, so b = 0.


Serenitea Pot Genshin Impact 1.5 - How to Unlock, Tubby, Furniture Crafting, Co-op Explained

First teased a little bit after Genshin Impact‘s launch in September 2020, the Serenitea Pot system will let us freely customize our own home, craft furniture, and earn extra rewards.

Genshin Impact – How to unlock the Serenitea Pot

First, you’ll need to be at AR 35 or above, and to have completed the main story quest Chapter I: Act III “A New Star Approaches” As in, you need to be past the point in the main story when we entered Madame Ping’s teapot, which makes perfect sense. As it’s world-building and a demonstration of how the Serenitea Pot works. Adepti uses them as media to channel their power and create Realms and Abodes.

If all the above conditions are cleared, you’ll unlock the “A Teapot to Call Home” quest. Simply clear it by following the instructions in-game, as Genshin Impact always tells you where to go on the map, and you’ll get your Serenitea Pot Gadget.

Why Ratchet & Clank is the Most Important PS5 Game

Genshin Impact – Entering, leaving the Serenitea Pot

Go to the Gadget menu in your inventory, and use the Serenitea Pot to summon it. Then interact with it to enter. Once you’re inside, you can interact with the Pot again to leave. Else, you can also directly teleport outside through the map.

Realm layouts

When you first enter the Serenitea Pot, you’ll be asked to select one of three different layouts.

Cool Isle: An island cluster surrounded by water. One wonders how many cups of tea can be brewed from this vast ocean.

Emerald Peak: A cloud piercing mountain peak. Well, that’s how it looks, at least. But being inside a teapot and all, the highest mountain probably reaches no higher than the stalk of a tea leaf.

Floating Abode: An island cluster suspended in mid-air. A typical feature of many adepti realms. A boundless world featuring nothing besides a cluster of islands.

Trust Rank

The first time you craft and obtain a furnishing, you earn Trust. Accumulate Trust to increase your Trust Rank, and unlock more features for the Serenitea Pot and earn rewards. At some point, you’ll also be able to unlock the remaining two layouts you didn’t pick at first.

How to obtain Furnishings Blueprints, How to Craft, Materials needed

Inside the realm, you can place both indoor and outdoor decorations and furniture, such as buildings, plants, decorations, animals, etc.

After crafting a furnishing, you can click on the furnishings icon in the top-right corner to enter the Furnishings Screen. On the Furnishings Screen, you can place the furnishings you have crafted.

We can get new Furnishing Blueprints by increasing our Trust Rank, completing the Adeptal Mirror, and participating in events. We can also buy Furnishing Blueprints in the Realm Depot or from the Teapot Traveling Salesman.

The Adeptal Mirror is a list of objectives to fulfill.

As for getting materials for crafting, with 1.5, we’ll now be able to cut down trees in Teyvat. Each tree variety offers different types of wood. We’ll also get materials from ore and plants.

Serenitea Pot – Realm Currency, Realm Depot

As you develop your realm, you’ll obtain Real Currency, which can be exchanged with the Teapot Spirit for rewards.

Realm Currency is contained in the Jar of Riches, which has a storage limit. So we’ll need to regularly talk to Tubby and empty the Jar of Riches.

We can also access the Realm Depot via Tubby. In this menu, we can exchange Realm Currency for rare realm items, furnishings, and furnishing blueprints. As your Trust Rank increases, more Realm Treasures will be available.

Adeptal Energy

Placing furnishing in the realm increases Adeptal Energy. With a high Adeptal Energy Rank and Trust Rank, we’ll be able to get Realm Currency faster, and increase the storage limit of the Jar of Riches.

Genshin Impact – Co-op in Serenitea Pot

The Serenitea Pot will have a co-op feature at launch. We’ll be able to visit our Friends’ Realms to hang out together, and check the wares of their Teapot Traveling Salesman. What he will be selling differs from world to world.

Future updates

miHoYo stressed out the Serenitea Pot system will still be in development in Ver1.5. More features will be coming later on, most notably a Gardening system.

Genshin Impact 1.5 Beneath the Light of Jadeite will launch on April 28. The game’s PS5 native version is launching then as well.


شاهد الفيديو: معادلات تفاضليه chapter 10 متجانسه من الرتب العليا (شهر اكتوبر 2021).