مقالات

7.1: القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة


أهداف التعلم

  1. وصف قيم eigenvalues ​​هندسيًا وجبريًا.
  2. أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة مربعة.

تشير النظرية الطيفية إلى دراسة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة. إنه ذو أهمية أساسية في العديد من المجالات وهو موضوع دراستنا لهذا الفصل.

تعريف المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

في هذا القسم ، سنعمل مع المجموعة الكاملة من الأعداد المركبة ، المشار إليها بواسطة ( mathbb {C} ). تذكر أن الأعداد الحقيقية ، ( mathbb {R} ) موجودة في الأعداد المركبة ، لذا فإن المناقشات في هذا القسم تنطبق على الأعداد الحقيقية والمركبة.

لتوضيح الفكرة الكامنة وراء ما سيتم مناقشته ، ضع في اعتبارك المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ): المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

دع [A = left ( start {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) ] احسب المنتج (AX ) لـ [X = left ( begin {array} {r} 5 -4 3 end {array} right) ، X = left ( begin {array} { r} 1 0 0 end {array} right) ] ماذا تلاحظ حول (AX ) في كل من هذه المنتجات؟

المحلول

أولاً ، احسب (AX ) لـ [X = left ( begin {array} {r} 5 -4 3 end {array} right) ]

هذا المنتج مقدم من [AX = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) يسار ( start {array} {r} -5 -4 3 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -50 -40 30 النهاية {array} right) = 10 left ( start {array} {r} -5 -4 3 end {array} right) ]

في هذه الحالة ، نتج عن المنتج (AX ) متجهًا يساوي (10 ​​) ضعف المتجه (X ). بمعنى آخر ، (AX = 10x ).

دعونا نرى ما سيحدث في المنتج التالي. احسب (AX ) للمتجه [X = left ( start {array} {r} 1 0 0 end {array} right) ]

هذا المنتج مقدم من [AX = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) يسار ( يبدأ {مجموعة} {r} 1 0 0 end {array} right) = left ( start {array} {r} 0 0 0 end {array} يمين) = 0 يسار ( تبدأ {مجموعة} {r} 1 0 0 نهاية {مجموعة} يمين) ]

في هذه الحالة ، نتج عن المنتج (AX ) متجهًا يساوي (0 ) مرات المتجه (X ) ، (AX = 0X ).

ربما تكون هذه المصفوفة من النوع (AX ) ينتج عنها (kX ) ، لكل متجه (X ). مع ذلك ، ضع في اعتبارك [ left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( ابدأ {مجموعة} {r} 1 1 1 end {array} right) = left ( start {array} {r} -5 38 -11 end {array} right ) ] في هذه الحالة ، لم ينتج عن (AX ) متجه من الشكل (kX ) لبعض الحجمي (ك ).

هناك شيء مميز حول المنتجين الأولين المحسوبين في المثال [exa: eigenvectorsandeigenvalues]. لاحظ أنه بالنسبة لكل منها ، (AX = kX ) حيث (k ) هي بعض العددية. عندما تنطبق هذه المعادلة على بعض (X ) و (ك ) ، فإننا نسمي العدد (ك ) و القيمة الذاتية من (أ ). غالبًا ما نستخدم الرمز الخاص ( lambda ) بدلاً من (k ) عند الإشارة إلى قيم eigenvalues. في المثال [exa: eigenvectorsandeigenvalues] ، القيم (10 ​​) و (0 ) هي قيم ذاتية للمصفوفة (A ) ويمكننا تصنيفها كـ ( lambda_1 = 10 ) و ( lambda_2 = 0 ).

عندما (AX = lambda X ) بالنسبة للبعض (X neq 0 ) ، نسمي هذا (X ) an ناقل eigenvector من المصفوفة (أ ). ترتبط المتجهات الذاتية لـ (A ) بقيمة ذاتية. ومن ثم ، إذا كانت ( lambda_1 ) قيمة ذاتية لـ (A ) و (AX = lambda_1 X ) ، فيمكننا تسمية هذا المتجه الذاتي كـ (X_1 ). لاحظ مرة أخرى أنه لكي تكون متجهًا ذاتيًا ، يجب أن يكون (X ) غير صفري.

هناك أيضًا أهمية هندسية للمتجهات الذاتية. عندما يكون لديك ملف غير صفرية المتجه الذي ينتج عنه ، عند ضربه في مصفوفة ، متجه آخر يوازي الأول أو يساوي 0، يسمى هذا المتجه المتجه الذاتي للمصفوفة. هذا هو المعنى عندما تكون المتجهات في ( mathbb {R} ^ {n}. )

التعريف الرسمي لقيم eigenvalues ​​و eigenvectors هو كما يلي.

التعريف ( PageIndex {1} ): القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

لنكن (A ) (n times n ) مصفوفة ودع (X in mathbb {C} ^ {n} ) يكون ناقلات غير صفرية لأي منهم

[AX = lambda X label {eigen1} ] لبعض الحجمي ( lambda. ) ثم يسمى ( lambda ) القيمة الذاتية من المصفوفة (A ) و (X ) يسمى ناقل eigenvector من (A ) المرتبط بـ ( lambda ) أو ( lambda ) - المتجه الذاتي لـ (A ).

يتم الإشارة إلى مجموعة كافة القيم الذاتية لمصفوفة (n times n ) (A ) بواسطة ( sigma left (A right) ) ويشار إليها باسم نطاق من (أ )

المتجهات الذاتية للمصفوفة (A ) هي تلك المتجهات (X ) التي ينتج عنها الضرب في (A ) في متجه في نفس الاتجاه أو الاتجاه المعاكس لـ (X ). نظرًا لأن المتجه الصفري (0 ) ليس له اتجاه ، فلن يكون لذلك أي معنى بالنسبة للمتجه الصفري. كما هو مذكور أعلاه ، لا يُسمح أبدًا (0 ) بأن يكون متجهًا ذاتيًا.

دعونا نلقي نظرة على المتجهات الذاتية بمزيد من التفصيل. افترض أن (X ) يفي بـ [eigen1]. ثم [ start {array} {c} AX - lambda X = 0 mbox {or} left (A- lambda I right) X = 0 end {array} ] للبعض (X neq 0. ) بالتساوي يمكنك كتابة ( left ( lambda IA ​​ right) X = 0 ) ، وهو أكثر شيوعًا. ومن ثم ، عندما نبحث عن المتجهات الذاتية ، فإننا نبحث عن حلول غير بديهية لهذا النظام المتجانس من المعادلات!

تذكر أن حلول نظام المعادلات المتجانس تتكون من حلول أساسية ، ومجموعات خطية من تلك الحلول الأساسية. في هذا السياق ، نسمي الحلول الأساسية للمعادلة ( left ( lambda I - A right) X = 0 ) ناقلات eigenvectors الأساسية. ويترتب على ذلك أن أي مجموعة خطية (غير صفرية) من المتجهات الذاتية الأساسية هي مرة أخرى متجه ذاتي.

افترض أن المصفوفة ( left ( lambda I - A right) ) قابلة للعكس ، بحيث يوجد ( left ( lambda I - A right) ^ {- 1} ). ثم المعادلة التالية ستكون صحيحة. [ start {align} X & = & IX & = & left ( left ( lambda I - A right) ^ {- 1} left ( lambda I - A right) right) X & = & left ( lambda I - A right) ^ {- 1} left ( left ( lambda I - A right) X right) & = & left ( lambda I - A right) ^ {- 1} 0 & = & 0 end {align} ] هذا يدعي أن (X = 0 ). ومع ذلك ، فقد طلبنا ذلك (X neq 0 ). لذلك لا يمكن أن يكون ( يسار ( لامدا أنا - أ يمين) ) معكوسًا!

تذكر أنه إذا كانت المصفوفة غير قابلة للعكس ، فإن محددها يساوي (0 ). لذلك يمكننا أن نستنتج أن [ det left ( lambda I - A right) = 0 label {eigen2} ] لاحظ أن هذا يعادل ( det left (A- lambda I right) = 0 ).

التعبير ( det left ( lambda I-A right) ) هو متعدد الحدود (في المتغير (x )) يسمى كثير الحدود المميز لـ (أ )، و ( det left ( lambda I-A right) = 0 ) يسمى معادلة مميزة. لهذا السبب قد نشير أيضًا إلى قيم eigenvalues ​​لـ (A ) as القيم المميزة، ولكن غالبًا ما يستخدم الأول لأسباب تاريخية.

تدعي النظرية التالية أن جذور كثير الحدود المميز هي قيم eigenvalues ​​لـ (A ). وهكذا عندما يكون [eigen2] يحمل ، فإن (A ) له متجه ذاتي غير صفري.

Theorem ( PageIndex {1} ): وجود المتجه الذاتي

لنفترض (A ) أن (n times n ) مصفوفة وافترض ( det left ( lambda I - A right) = 0 ) لبعض ( lambda in mathbb {C } ).
إذن ( lambda ) هي قيمة ذاتية لـ (A ) وبالتالي يوجد متجه غير صفري (X in mathbb {C} ^ {n} ) بحيث (AX = lambda X ) .

دليل - إثبات

بالنسبة إلى (A ) مصفوفة (n مرات n ) ، توضح طريقة توسيع لابلاس أن ( det left ( lambda I - A right) ) هو متعدد الحدود من الدرجة (n. ) على هذا النحو ، فإن المعادلة [eigen2] لها حل ( lambda in mathbb {C} ) بواسطة النظرية الأساسية للجبر. حقيقة أن ( lambda ) هي قيمة ذاتية تُترك كتمرين.

إيجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

الآن بعد أن تم تحديد قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية ، سوف ندرس كيفية العثور عليها لمصفوفة (A ).

أولاً ، ضع في اعتبارك التعريف التالي.

التعريف ( PageIndex {2} ): تعدد قيمة ذاتية

لنفترض أن (A ) (n times n ) مصفوفة ذات كثير حدود مميز مقدم من ( det left ( lambda I - A right) ). إذن ، تعدد قيمة eigenvalue ( lambda ) لـ (A ) هو عدد مرات حدوث ( lambda ) كجذر لتلك الخاصية متعددة الحدود.

على سبيل المثال ، افترض أن كثير الحدود المميز لـ (A ) مُعطى بواسطة ( left ( lambda - 2 right) ^ 2 ). لحل جذور هذه كثيرة الحدود ، قمنا بتعيين ( left ( lambda - 2 right) ^ 2 = 0 ) وحلها من أجل ( lambda ). نجد أن ( lambda = 2 ) هو جذر يحدث مرتين. ومن ثم ، في هذه الحالة ، ( lambda = 2 ) هي قيمة ذاتية لـ (A ) من التعددية تساوي (2 ).

سننظر الآن في كيفية العثور على قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية لمصفوفة (A ) بالتفصيل. يتم تلخيص الخطوات المستخدمة في الإجراء التالي.

الإجراء ( PageIndex {1} ): إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

دع (A ) يكون (n times n ) مصفوفة.

  1. أولاً ، ابحث عن قيم eigenvalues ​​ ( lambda ) لـ (A ) عن طريق حل المعادلة ( det left ( lambda I -A right) = 0 ).
  2. لكل ( lambda ) ، ابحث عن المتجهات الذاتية الأساسية (X neq 0 ) من خلال إيجاد الحلول الأساسية لـ ( يسار ( لامدا I - A يمين) X = 0 ).

للتحقق من عملك ، تأكد من أن (AX = lambda X ) لكل ( lambda ) وما يرتبط بها من eigenvector (X ).

سوف نستكشف هذه الخطوات بشكل أكبر في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ): ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

لنفترض (A = left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) ). ابحث عن قيمها الذاتية والمتجهات الذاتية.

المحلول

سوف نستخدم الإجراء [proc: findeigenvaluesvectors]. أولاً نجد القيم الذاتية لـ (A ) عن طريق حل المعادلة [ det left ( lambda I - A right) = 0 ]

يعطي هذا [ start {align} det left ( lambda left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin { صفيف} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) & = & 0 det left ( begin {array} {cc} lambda + 5 & ​​-2 7 & lambda -4 end {array} right) & = & 0 end {align} ]

عند حساب المحدد كالمعتاد ، تكون النتيجة [ lambda ^ 2 + lambda - 6 = 0 ]

لحل هذه المعادلة ، نجد أن ( lambda_1 = 2 ) و ( lambda_2 = -3 ).

الآن نحن بحاجة إلى إيجاد المتجهات الذاتية الأساسية لكل ( lambda ). أولاً سنجد المتجهات الذاتية لـ ( lambda_1 = 2 ). نرغب في العثور على جميع المتجهات (X neq 0 ) بحيث (AX = 2X ). هذه هي حلول ​​((2I - A) X = 0 ). [ start {align} left (2 left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( ابدأ {مجموعة} {r} 0 0 نهاية {مجموعة} يمين) يسار ( start {array} {rr} 7 & -2 7 & -2 end {array} right) left ( start {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} يمين) نهاية {محاذاة} ]

يتم إعطاء المصفوفة المعززة لهذا النظام والمطابقة بواسطة [ left ( begin {array} {rr | r} 7 & -2 & 0 7 & -2 & 0 end {array} right) rightarrow cdots rightarrow left ( start {array} {rr | r} 1 & - frac {2} {7} & 0 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

الحل هو أي متجه من النموذج [ left ( begin {array} {c} frac {2} {7} s s end {array} right) = s left ( begin {array } {r} frac {2} {7} 1 end {array} right) ]

بضرب هذا المتجه في (7 ) نحصل على وصف أبسط لحل هذا النظام ، معطى من خلال [t left ( start {array} {r} 2 7 end {array} right) ]

هذا يعطي eigenvector الأساسي لـ ( lambda_1 = 2 ) مثل [ left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} right) ]

للتحقق ، نتحقق من أن (AX = 2X ) لهذا المتجه الأساسي الأساسي.

[ left ( start {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {r} 2 7 end {array } right) = left ( start {array} {r} 4 14 end {array} right) = 2 left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} حق )]

هذا ما أردناه ، لذلك نعلم أن هذا المتجه الذاتي الأساسي صحيح.

بعد ذلك سنكرر هذه العملية لإيجاد المتجه الذاتي الأساسي لـ ( lambda_2 = -3 ). نرغب في العثور على جميع النواقل (X neq 0 ) بحيث (AX = -3X ). هذه هي حلول ​​(((- 3) I-A) X = 0 ). [ start {align} left ((-3) left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( start {array} {r} 0 0 end {array} right) left ( begin {array} {rr} 2 & -2 7 & -7 end {array } right) left ( start {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} يمين) نهاية {محاذاة} ]

يتم إعطاء المصفوفة المعززة لهذا النظام والمطابقة بواسطة [ left ( begin {array} {rr | r} 2 & -2 & 0 7 & -7 & 0 end {array} right) rightarrow cdots rightarrow left ( begin {array} {rr | r} 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

الحل هو أي متجه من النموذج [ left ( start {array} {c} s s end {array} right) = s left ( begin {array} {r} 1 1 نهاية {مجموعة} يمين) ]

يعطي هذا متجه eigenvector الأساسي لـ ( lambda_2 = -3 ) مثل [ left ( begin {array} {r} 1 1 end {array} right) ]

للتحقق ، نتحقق من أن (AX = -3X ) لهذا المتجه الذاتي الأساسي.

[ left ( start {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 1 end {array } right) = left ( start {array} {r} -3 -3 end {array} right) = -3 left ( begin {array} {r} 1 1 end {مجموعة} يمين) ]

هذا ما أردناه ، لذلك نعلم أن هذا المتجه الذاتي الأساسي صحيح.

فيما يلي مثال باستخدام الإجراء [proc: findeigenvaluesvectors] لمصفوفة (3 مرات 3 ).

مثال ( PageIndex {3} ): ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

ابحث عن قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية للمصفوفة [A = left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array } حق )]

المحلول

سوف نستخدم الإجراء [proc: findeigenvaluesvectors]. نحتاج أولاً إلى إيجاد القيم الذاتية لـ (A ). تذكر أنها حلول المعادلة [ det left ( lambda I - A right) = 0 ]

في هذه الحالة تكون المعادلة [ det left ( lambda left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) = 0 ]

الذي يصبح

[ det left ( begin {array} {ccc} lambda - 5 & 10 & 5 -2 & lambda - 14 & -2 4 & 8 & lambda - 6 end {array} حق) = 0 ]

باستخدام توسيع لابلاس ، احسب هذا المحدد وقم بتبسيطه. النتيجة هي المعادلة التالية. [ left ( lambda -5 right) left ( lambda ^ {2} -20 lambda +100 right) = 0 ]

لحل هذه المعادلة ، نجد أن القيم الذاتية هي ( lambda_1 = 5 ، lambda_2 = 10 ) و ( lambda_3 = 10 ). لاحظ أن (10 ​​) هو جذر التعدد اثنان بسبب [ lambda ^ {2} -20 lambda + 100 = left ( lambda -10 right) ^ {2} ] لذلك ، ( lambda_2 = 10 ) هي قيمة ذاتية للتعددية الثانية.

الآن بعد أن وجدنا قيم eigenvalues ​​لـ (A ) ، يمكننا حساب المتجهات الذاتية.

سنجد أولاً المتجهات الذاتية الأساسية لـ ( lambda_1 = 5. ) بمعنى آخر ، نريد إيجاد جميع المتجهات غير الصفرية (X ) بحيث (AX = 5X ). هذا يتطلب أن نحل المعادلة ( left (5 I - A right) X = 0 ) لـ (X ) على النحو التالي. [ left (5 left ( start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) left ( begin {array} {r } x y z end {array} right) = left ( start {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ]

هذا هو ما عليك إيجاد الحل لـ [ left ( begin {array} {rrr} 0 & 10 & 5 -2 & -9 & -2 4 & 8 & -1 end {array} يمين) يسار ( ابدأ {مجموعة} {r} x y z end {array} right) = left ( start {array} {r} 0 0 0 end {مجموعة} يمين) ]

الآن هذه مشكلة مألوفة. قمت بإعداد المصفوفة المعززة وتقليل الصف للحصول على الحل. وبالتالي فإن المصفوفة التي يجب تقليلها في الصف هي [ left ( start {array} {rrr | r} 0 & 10 & 5 & 0 -2 & -9 & -2 & 0 4 & 8 & -1 & 0 end {array} right) ] هو [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & - frac {5} {4} & 0 0 & 1 & frac {1} {2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

وبالتالي فإن الحل هو أي متجه من النموذج [ left ( begin {array} {c} frac {5} {4} s - frac {1} {2} s s end { array} right) = s left ( start {array} {r} frac {5} {4} - frac {1} {2} 1 end {array} right) ] حيث (s in mathbb {R} ). إذا ضربنا هذا المتجه في (4 ) ، نحصل على وصف أبسط لحل هذا النظام ، كما هو موضح في [t left ( start {array} {r} 5 -2 4 النهاية {array} right) label {basiceigenvect} ] حيث (t in mathbb {R} ). هنا ، يتم إعطاء eigenvector الأساسي بواسطة [X_1 = left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) ]

لاحظ أنه لا يمكننا ترك (t = 0 ) هنا ، لأن هذا سيؤدي إلى متجه صفري ولن تكون المتجهات الذاتية مساوية أبدًا للصفر! بخلاف هذه القيمة ، ينتج عن أي خيار آخر لـ (t ) في [basiceigenvect] متجه eigenvector.

إنها لفكرة جيدة أن تتحقق من عملك! للقيام بذلك ، سنأخذ المصفوفة الأصلية ونضربها في المتجه eigenvector الأساسي (X_1 ). نتحقق لنرى ما إذا حصلنا على (5X_1 ). [ left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) left ( begin { صفيف} {r} 5 -2 4 end {array} right) = left ( start {array} {r} 25 -10 20 end {array} right) = 5 يسار ( start {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) ] هذا ما أردناه ، لذلك نعرف أن حساباتنا كانت صحيحة.

بعد ذلك سنجد المتجهات الذاتية الأساسية لـ ( lambda_2، lambda_3 = 10. ) هذه المتجهات هي الحلول الأساسية للمعادلة ، [ left (10 left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) left ( begin {array} {r} x y z end {array} right) = left ( start {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ] هذا يعني أنه يجب عليك إيجاد الحلول لـ [ left ( begin {array} {rrr} 5 & 10 & 5 -2 & -4 & -2 4 & 8 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {c} x y z end {array} يمين) = يسار ( تبدأ {مجموعة} {r} 0 0 0 نهاية {مجموعة} يمين) ]

ضع في الاعتبار المصفوفة المعززة [ left ( begin {array} {rrr | r} 5 & 10 & 5 & 0 -2 & -4 & -2 & 0 4 & 8 & 4 & 0 end { صفيف} يمين) ] لهذه المصفوفة [ يسار ( تبدأ {مجموعة} {rrr | r} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ] وبالتالي فإن المتجهات الذاتية هي من الشكل [ left ( begin {array} {c} -2s-t s t end {array} right ) = s left ( start {array} {r} -2 1 0 end {array} right) + t left ( begin {array} {r} -1 0 1 end {array} right) ] لاحظ أنه لا يمكنك اختيار (t ) و (s ) كلاهما يساوي الصفر لأن هذا سيؤدي إلى المتجه الصفري والمتجهات الذاتية لا تساوي الصفر أبدًا.

هنا ، هناك نوعان من المتجهات الذاتية الأساسية ، معطاة من قبل [X_2 = left ( begin {array} {r} -2 1 0 end {array} right) ، X_3 = left ( begin { صفيف} {r} -1 0 1 end {array} right) ]

سيؤدي أخذ أي تركيبة خطية (غير صفرية) من (X_2 ) و (X_3 ) أيضًا إلى وجود متجه ذاتي للقيمة الذاتية ( lambda = 10. ) كما في حالة ( lambda = 5 ) ، تحقق دائمًا من عملك! بالنسبة إلى أول موجه eigenvector أساسي ، يمكننا التحقق من (AX_2 = 10 X_2 ) على النحو التالي. [ left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) left ( begin { صفيف} {r} -1 0 1 end {array} right) = left ( start {array} {r} -10 0 10 end {array} right) = 10 يسار ( start {array} {r} -1 0 1 end {array} right) ] هذا ما أردناه. التحقق من eigenvector الأساسي الثاني ، (X_3 ) ، متروك كتدريب.

من المهم أن تتذكر أنه بالنسبة لأي eigenvector (X ) ، (X neq 0 ). ومع ذلك ، من الممكن أن تكون القيم الذاتية مساوية للصفر. ويتضح هذا في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {4} ): A Zero Eigenvalue

دع [A = left ( start {array} {rrr} 2 & 2 & -2 1 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 end {array} right) ] ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لـ (A ).

المحلول

أولاً نجد القيم الذاتية لـ (A ). سنفعل ذلك باستخدام التعريف [def: eigenvaluesandeigenvectors].

لإيجاد قيم eigenvalues ​​لـ (A ) ، نحل المعادلة التالية. [ det left ( lambda I -A right) = det left ( begin {array} {ccc} lambda -2 & -2 & 2 -1 & lambda - 3 & 1 1 & -1 & لامدا -1 نهاية {مجموعة} يمين) = 0 ]

هذا يقلل إلى ( lambda ^ {3} -6 lambda ^ {2} +8 lambda = 0 ). يمكنك التحقق من أن الحلول هي ( lambda_1 = 0، lambda_2 = 2، lambda_3 = 4 ). لاحظ أنه في حين أن المتجهات الذاتية لا يمكن أن تساوي أبدًا (0 ) ، فمن الممكن أن يكون لها قيمة ذاتية تساوي (0 ).

الآن سوف نجد المتجهات الذاتية الأساسية. بالنسبة إلى ( lambda_1 = 0 ) ، نحتاج إلى حل المعادلة ( يسار (0 I - A right) X = 0 ). تصبح هذه المعادلة (- AX = 0 ) ، وبالتالي يتم إعطاء المصفوفة المعززة لإيجاد الحلول من خلال [ left ( begin {array} {rrr | r} -2 & -2 & 2 & 0 -1 & -3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 0 end {array} right) ] إن [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ] لذلك ، فإن المتجهات الذاتية هي من الشكل (t left ( begin { المصفوفة} {r} 1 0 1 end {array} right) ) حيث (t neq 0 ) ويتم إعطاء المتجه الذاتي الأساسي بواسطة [X_1 = left ( begin {array} {r} 1 0 1 end {array} right) ]

يمكننا التحقق من أن هذا eigenvector صحيح عن طريق التحقق من أن المعادلة (AX_1 = 0 X_1 ) صحيحة. المنتج (AX_1 ) مقدم من [AX_1 = left ( begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 1 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 end { مجموعة} يمين) يسار ( تبدأ {مجموعة} {r} 1 0 1 نهاية {مجموعة} يمين) = يسار ( تبدأ {مجموعة} {r} 0 0 0 نهاية {مجموعة} يمين) ]

من الواضح أن هذا يساوي (0X_1 ) ، وبالتالي فإن المعادلة ثابتة. ومن ثم ، فإن (AX_1 = 0X_1 ) وهكذا (0 ) هي قيمة ذاتية لـ (A ).

يتم ترك حساب متجهات eigenvectors الأساسية الأخرى كتدريب.

في الأقسام التالية ، ندرس طرقًا لتبسيط عملية إيجاد قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية باستخدام خصائص أنواع خاصة من المصفوفات.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لأنواع المصفوفات الخاصة

هناك ثلاثة أنواع خاصة من المصفوفات يمكننا استخدامها لتبسيط عملية إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. في هذا القسم ، سنناقش المصفوفات المماثلة والمصفوفات الأولية وكذلك المصفوفات المثلثة.

نبدأ مع تعريف.

التعريف ( PageIndex {2} ): المصفوفات المتشابهة

دع (A ) و (B ) يكونان (n times n ) مصفوفات. لنفترض أن هناك مصفوفة قابلة للعكس (P ) بحيث يتم استدعاء [A = P ^ {- 1} BP ] ثم (A ) و (B ) المصفوفات المتشابهة.

اتضح أنه يمكننا استخدام مفهوم المصفوفات المتشابهة لمساعدتنا في إيجاد القيم الذاتية للمصفوفات. ضع في اعتبارك اللمة التالية.

Lemma ( PageIndex {1} ): المصفوفات المتشابهة والقيم الذاتية

لنفترض أن (A ) و (B ) مصفوفتان متشابهتان ، بحيث يكون (A = P ^ {- 1} BP ) حيث (A ، B ) (n times n ) مصفوفات و (P ) غير قابل للعكس. ثم (أ ، ب ) لها نفس القيم الذاتية.

دليل - إثبات

نحن بحاجة لإظهار شيئين. أولاً ، نحتاج إلى إظهار أنه إذا كان (A = P ^ {- 1} BP ) ، إذن (A ) و (B ) لهما نفس القيم الذاتية. ثانيًا ، نوضح أنه إذا كان (A ) و (B ) لهما نفس القيم الذاتية ، إذن (A = P ^ {- 1} BP ).

هذا هو الدليل على البيان الأول. لنفترض أن (A = P ^ {- 1} BP ) و ( lambda ) قيمة ذاتية لـ (A ) ، أي (AX = lambda X ) لبعض (X neq 0 . ) ثم [P ^ {- 1} BPX = lambda X ] وهكذا [BPX = lambda PX ]

نظرًا لأن (P ) هو واحد إلى واحد و (X neq 0 ) ، فإنه يتبع ذلك (PX neq 0 ). هنا ، يلعب (PX ) دور المتجه الذاتي في هذه المعادلة. وبالتالي فإن ( lambda ) هي أيضًا قيمة ذاتية لـ (ب ). يمكن للمرء بالمثل التحقق من أن أي قيمة ذاتية لـ (B ) هي أيضًا قيمة ذاتية لـ (A ) ، وبالتالي فإن كلا المصفوفتين لهما نفس القيم الذاتية كما هو مطلوب.

إثبات العبارة الثانية مشابه ويتم تركه كتدريب.

لاحظ أن هذا الدليل يوضح أيضًا أن المتجهات الذاتية لـ (A ) و (B ) ستكون (بشكل عام) مختلف. نرى في الدليل أن (AX = lambda X ) بينما (B left (PX right) = lambda left (PX right) ). لذلك ، بالنسبة لقيمة eigenvalue ( lambda ) ، (A ) سيكون لها eigenvector (X ) بينما (B ) سيكون لها eigenvector (PX ).

النوع الثاني الخاص من المصفوفات الذي نناقشه في هذا القسم هو المصفوفات الأولية. تذكر من التعريف [def: elementarymatricesandrowops] أنه يتم الحصول على مصفوفة أولية (E ) بتطبيق عملية صف واحد على مصفوفة الوحدة.

من الممكن استخدام المصفوفات الأولية لتبسيط المصفوفة قبل البحث عن قيمها الذاتية والمتجهات الذاتية. ويتضح هذا في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} ): التبسيط باستخدام المصفوفات الأولية

ابحث عن قيم eigenvalues ​​للمصفوفة [A = left ( begin {array} {rrr} 33 & 105 & 105 10 & 28 & 30 -20 & -60 & -62 end {array} right ) ]

المحلول

تحتوي هذه المصفوفة على أعداد كبيرة ، وبالتالي نود التبسيط قدر الإمكان قبل حساب قيم eigenvalues.

سنفعل ذلك باستخدام عمليات الصف. أولاً ، أضف (2 ) مرات الصف الثاني إلى الصف الثالث. للقيام بذلك ، قم بضرب (A ) في (E left (2،2 right) ). ثم قم بضرب (A ) في معكوس (E left (2،2 right) ) كما هو موضح. [ left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 end {array} right) left ( begin {array} {rrr } 33 & 105 & 105 10 & 28 & 30 -20 & -60 & -62 end {array} right) left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 end {array} right) = left ( start {array} {rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) ] بواسطة Lemma [lem: similarmatrices] ، المصفوفة الناتجة لها نفس القيم الذاتية مثل (A ) حيث هنا ، المصفوفة (E left (2،2 ) right) ) يلعب دور (P ).

نقوم بهذه الخطوة مرة أخرى ، على النحو التالي. في هذه الخطوة ، نستخدم المصفوفة الأولية التي تم الحصول عليها بإضافة (- 3 ) مرات الصف الثاني إلى الصف الأول. [ left ( begin {array} {rrr} 1 & -3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) left ( begin {array} { rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {rrr} 1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) = left ( start {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) label {elemeigenvalue} ] مرة أخرى بواسطة Lemma [lem: similarmatrices] ، هذه المصفوفة الناتجة لها نفس القيم الذاتية مثل (A ). في هذه المرحلة ، يمكننا بسهولة العثور على قيم eigenvalues. لنفترض [B = left ( start {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) ] ثم ، أوجد القيم الذاتية لـ (B ) (وبالتالي لـ (A )) عن طريق حل المعادلة ( det left ( lambda I - B right) = 0 ). يجب أن تتحقق من أن هذه المعادلة تصبح [ يسار ( لامدا +2 يمين) يسار ( لامدا +2 يمين) يسار ( لامدا - 3 يمين) = 0 ] ينتج عن حل هذه المعادلة قيم ذاتية لـ ( lambda_1 = -2 ، lambda_2 = -2 ) ، و ( lambda_3 = 3 ). لذلك ، هذه أيضًا هي القيم الذاتية لـ (A ).

من خلال استخدام المصفوفات الأولية ، تمكنا من إنشاء مصفوفة يكون فيها العثور على قيم eigenvalues ​​أسهل من العثور على (A ). في هذه المرحلة ، يمكنك العودة إلى المصفوفة الأصلية (A ) وحل ( left ( lambda I - A right) X = 0 ) للحصول على المتجهات الذاتية لـ (A ).

لاحظ أنه عندما تضرب على اليمين بمصفوفة أولية ، فإنك تقوم بعملية العمود المحددة بواسطة المصفوفة الأولية. في [elemeigenvalue] الضرب بواسطة المصفوفة الأولية على اليمين ينطوي فقط على أخذ ثلاثة أضعاف العمود الأول والإضافة إلى الثاني. وبالتالي ، بدون الرجوع إلى المصفوفات الأولية ، يمكن توضيح الانتقال إلى المصفوفة الجديدة في [elemeigenvalue] من خلال [ left ( begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) rightarrow left ( begin {array} {rrr} 3 & -9 & 15 10 & -32 & 30 0 & 0 & - 2 end {array} right) rightarrow left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right ) ]

النوع الخاص الثالث من المصفوفات الذي سننظر فيه في هذا القسم هو المصفوفة المثلثية. أذكر التعريف [def: المصفوفات المثلثية] الذي ينص على أن المصفوفة العلوية (السفلية) المثلثة تحتوي على جميع الأصفار الموجودة أسفل (أعلى) القطر الرئيسي. تذكر أن إيجاد محدد مصفوفة مثلثة هو إجراء بسيط لأخذ حاصل ضرب المدخلات على القطر الرئيسي .. اتضح أن هناك أيضًا طريقة بسيطة لإيجاد القيم الذاتية لمصفوفة مثلثة.

في المثال التالي سوف نوضح أن قيم eigenvalues ​​للمصفوفة المثلثية هي المدخلات على القطر الرئيسي.

مثال ( PageIndex {6} ): القيم الذاتية لمصفوفة مثلثة

لنفترض (A = left ( start {array} {rrr} 1 & 2 & 4 0 & 4 & 7 0 & 0 & 6 end {array} right). ) أوجد قيم eigenvalues ​​لـ (أ).

المحلول

نحتاج إلى حل المعادلة ( det left ( lambda I - A right) = 0 ) على النحو التالي [ start {align} det left ( lambda I - A right) = det left ( begin {array} {ccc} lambda -1 & -2 & -4 0 & lambda -4 & -7 0 & 0 & lambda -6 end {array} right) = يسار ( لامدا -1 يمين) يسار ( لامدا -4 يمين) يسار ( لامدا -6 يمين) = 0 نهاية {محاذاة} ]

يؤدي حل المعادلة ( left ( lambda -1 right) left ( lambda -4 right) left ( lambda -6 right) = 0 ) من أجل ( lambda ) إلى القيم الذاتية ( lambda_1 = 1 lambda_2 = 4 ) و ( lambda_3 = 6 ). وبالتالي فإن قيم eigenvalues ​​هي المدخلات على القطر الرئيسي للمصفوفة الأصلية.

نفس النتيجة صحيحة للمصفوفات المثلثية السفلية. بالنسبة لأي مصفوفة مثلثة ، فإن قيم eigenvalues ​​تساوي المدخلات الموجودة على القطر الرئيسي. لإيجاد المتجهات الذاتية لمصفوفة مثلثة ، نستخدم الإجراء المعتاد.

في القسم التالي ، نستكشف عملية مهمة تتضمن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة.


شاهد الفيديو: جبر المصفوفات - القيم والمتجهات الذاتية لمصفوفة مربعة (شهر اكتوبر 2021).