مقالات

5.1: التحولات الخطية - الرياضيات


أهداف التعلم

  1. افهم تعريف التحويل الخطي ، وأن جميع التحويلات الخطية يتم تحديدها بضرب المصفوفة.

تذكر أنه عندما نضرب مصفوفة (م مرات n ) في متجه عمود (n مرات 1 ) ، تكون النتيجة متجه عمود (م مرات 1 ). في هذا القسم سوف نناقش كيف ، من خلال ضرب المصفوفة ، مصفوفة (م مرات n ) يتحول متجه عمود (n times 1 ) في متجه عمود (m times 1 ).

تذكر أن (n times 1 ) المتجه المعطى بواسطة [ vec {x} = left [ start {array} {r} x_1 x_2 vdots x_n end {array} يُقال إن right] nonumber ] ينتمي إلى ( mathbb {R} ^ n ) ، وهي مجموعة من جميع المتجهات (n times 1 ). في هذا القسم ، سنناقش تحويلات المتجهات في ( mathbb {R} ^ n. )

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ): وظيفة تحول المتجهات

ضع في اعتبارك المصفوفة (A = left [ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 end {array} right]. ) أظهر ذلك بضرب المصفوفة (A ) يحول المتجهات في ( mathbb {R} ^ 3 ) إلى متجهات في ( mathbb {R} ^ 2 ).

حل

أولاً ، تذكر أن المتجهات في ( mathbb {R} ^ 3 ) هي متجهات بحجم (3 times 1 ) ، بينما المتجهات في ( mathbb {R} ^ {2} ) ذات حجم (2 مرات 1 ). إذا ضربنا (A ) ، وهي مصفوفة (2 مرات 3 ) ، في متجه (3 مرات 1 ) ، ستكون النتيجة متجه (2 مرات 1 ). هذا ما نعنيه عندما نقول ذلك (أ ) يتحول ثلاثة أبعاد.

الآن ، بالنسبة لـ ( left [ begin {array} {c} x y z end {array} right] ) في ( mathbb {R} ^ 3 ) ، اضرب في اليسار بواسطة المصفوفة المعطاة للحصول على المتجه الجديد. يبدو هذا المنتج مثل [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 end {array} right] left [ begin {array} {r} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} x + 2y 2x + y end {array} right] nonumber ] المنتج الناتج هو (2 مرات 1 ) المتجه الذي يتم تحديده باختيار (س ) و (ص ). فيما يلي بعض الأمثلة العددية. [ left [ start {array} {ccc} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 end {array} right] left [ begin {array} {c} 1 2 3 end {array} right] = left [ start {array} {c} 5 4 end {array} right] nonumber ] هنا ، المتجه ( left [ begin { مصفوفة} {c} 1 2 3 end {array} right] ) in ( mathbb {R} ^ 3 ) تم تحويلها بواسطة المصفوفة إلى المتجه ( left [ start { صفيف} {c} 5 4 end {array} right] ) في ( mathbb {R} ^ 2 ).

إليك مثال آخر: [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 end {array} right] left [ begin {array} {r} 10 5 -3 end {array} right] = left [ start {array} {r} 20 25 end {array} right] nonumber ]

الفكرة هي تحديد دالة تأخذ المتجهات في ( mathbb {R} ^ {3} ) وتقدم متجهات جديدة في ( mathbb {R} ^ {2}. ) في هذه الحالة ، هذه الوظيفة هي الضرب بالمصفوفة (أ ).

دع (T ) تدل على هذه الوظيفة. التدوين (T: mathbb {R} ^ {n} mapsto mathbb {R} ^ {m} ) يعني أن الدالة (T ) تحول المتجهات في ( mathbb {R} ^ {n } ) إلى متجهات في ( mathbb {R} ^ {m} ). الترميز (T ( vec {x}) ) يعني التحويل (T ) المطبق على المتجه ( vec {x} ). يوضح المثال أعلاه التحول الذي تم تحقيقه من خلال ضرب المصفوفة. في هذه الحالة ، نكتب غالبًا [T_ {A} left ( vec {x} right) = A vec {x} nonumber ] لذلك ، فإن (T_ {A} ) هو التحويل المحدد بواسطة المصفوفة (أ ). في هذه الحالة نقول أن (T ) هو تحويل مصفوفة.

تذكر خاصية ضرب المصفوفة التي تنص على أنه بالنسبة لـ (k ) و (p ) الحجميات ، [A left (kB + pC right) = kAB + pAC nonumber ] على وجه الخصوص ، من أجل (A ) an (m times n ) مصفوفة و (B ) و (C، ) (n times 1 ) متجهات في ( mathbb {R} ^ {n} ) ، هذا الصيغة تحمل.

بمعنى آخر ، هذا يعني أن ضرب المصفوفة يعطي مثالاً على التحويل الخطي ، والذي سنقوم بتعريفه الآن.

التعريف ( PageIndex {1} ): التحويل الخطي

لنفترض أن (T: mathbb {R} ^ {n} mapsto mathbb {R} ^ {m} ) دالة ، حيث لكل ( vec {x} in mathbb {R} ^ { n} ، T left ( vec {x} right) in mathbb {R} ^ {m}. ) ثم (T ) هو التحول الخطي إذا كان (k، p ) عبارة عن مقاييس و ( vec {x} _1 ) و ( vec {x} _2 ) عبارة عن متجهات في ( mathbb {R} ^ {n} ) ((n times 1 ) ناقلات () ، ) [T left (k vec {x} _1 + p vec {x} _2 right) = kT left ( vec {x} _1 right) + pT left ( vec {x} _ {2} right) nonumber ]

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ): التحويل الخطي

لنفترض أن (T ) تحول محدد بواسطة (T: mathbb {R} ^ 3 to mathbb {R} ^ 2 ) يتم تعريفه بواسطة [T left [ begin {array} {c} x y z end {array} right] = left [ start {array} {c} x + y xz end {array} right] mbox {for all} left [ start {array} {c} x y z end {array} right] in mathbb {R} ^ 3 nonumber ] أظهر أن (T ) هو تحويل خطي.

حل

من خلال التعريف ( PageIndex {1} ) نحتاج إلى توضيح أن (T left (k vec {x} _1 + p vec {x} _2 right) = kT left ( vec {x} _1 right) + pT left ( vec {x} _ {2} right) ) لجميع المقاييس (k، p ) والمتجهات ( vec {x} _1، vec {x} _2 ). دعونا [ vec {x} _1 = left [ start {array} {c} x_1 y_1 z_1 end {array} right] ، vec {x} _2 = left [ begin { صفيف} {c} x_2 y_2 z_2 end {array} right] nonumber ] ثم [ start {align} T left (k vec {x} _1 + p vec {x} _2 right) & = & T left (k left [ start {array} {c} x_1 y_1 z_1 end {array} right] + p left [ begin {array} {c } x_2 y_2 z_2 end {array} right] right) & = & T left ( left [ begin {array} {c} kx_1 ky_1 kz_1 end {array } right] + left [ start {array} {c} px_2 py_2 pz_2 end {array} right] right) & = & T left ( left [ begin {array } {c} kx_1 + px_2 ky_1 + py_2 kz_1 + pz_2 end {array} right] right) & = & left [ begin {array} {c} (kx_1 + px_2) + (ky_1 + py_2) (kx_1 + px_2) - (kz_1 + pz_2) end {array} right] & = & left [ begin {array} {c} (kx_1 + ky_1) + (px_2 + py_2) (kx_1 - kz_1) + (px_2 - pz_2) end {array} right] & = & left [ begin {array} {c} kx_1 + ky_1 kx_1 - kz_1 end {مجموعة} يمين] + يسار [ تبدأ {مجموعة} {c} px_2 + py_2 px_2 - pz_2 end {array} right] & = & k left [ start {array} {c} x_1 + y_1 x_1 - z_1 end {array} right] + p left [ begin {مجموعة} {c} x_2 + y_2 x_2 - z_2 end {array} right] & = & k T ( vec {x} _1) + p T ( vec {x} _2) end {align} nonumber ] لذلك (T ) هو تحويل خطي.

مثالان مهمان للتحولات الخطية هما التحول الصفري وتحويل الهوية. يعد التحويل الصفري المحدد بواسطة (T left ( vec {x} right) = vec (0) ) للجميع ( vec {x} ) مثالاً على التحويل الخطي. وبالمثل ، فإن تحويل الهوية المحدد بواسطة (T left ( vec {x} right) = vec (x) ) يكون أيضًا خطيًا. خذ الوقت الكافي لإثبات ذلك باستخدام الطريقة الموضحة في المثال ( PageIndex {2} ).

بدأنا هذا القسم بمناقشة تحويلات المصفوفة ، حيث يؤدي الضرب بمصفوفة إلى تحويل المتجهات. هذه التحولات المصفوفة هي في الواقع تحولات خطية.

نظرية ( PageIndex {1} ): تحويلات المصفوفة هي تحويلات خطية

لنفترض أن (T: mathbb {R} ^ {n} mapsto mathbb {R} ^ {m} ) هو تحول محدد بواسطة (T ( vec {x}) = A vec {x} ). ثم (T ) هو تحويل خطي.

اتضح أنه يمكن التعبير عن كل تحويل خطي على أنه تحويل مصفوفة ، وبالتالي فإن التحويلات الخطية هي بالضبط نفس تحويلات المصفوفة.


5.1: التحولات الخطية - الرياضيات

افترض أن $ M $ عبارة عن تحويل خطي يعمل على متجهات ثنائية الأبعاد.

من خلال مناشدة خطية $ M $ ، نرى ذلك

يمكننا تطبيق نفس العملية للعثور على ناتج أي تحويل خطي يعمل على متجهات ثنائية الأبعاد ، بشرط أن نعرف ما يفعله التحويل الخطي إلى $ start1 0 نهاية$ و $ start0 1 نهاية$.

على هذا النحو ، يمكننا اختصار العملية أعلاه عن طريق كتابة $ M $ كمصفوفة ، وتقييم $ M begin-6 8 النهاية$ بالطريقة التالية:

نعلم أنه يمكننا إيجاد صيغة المصفوفة للتحول الخطي ، $ T $ ، على متجهات ثنائية الأبعاد ، إذا عرفنا ناتج $ T start1 0 نهاية$ و $ T start0 1 نهاية$. ماذا لو عرفنا ناتج $ T $ عند تطبيقه على متجهات أخرى؟ هل لا يزال بإمكاننا إيجاد صيغة المصفوفة $ T $؟ ابحث عن نموذج المصفوفة لـ $ T $ إذا كانت الحقائق التالية معروفة:

وضح أنه إذا كان $ F $ و $ G $ عبارة عن تحويلات خطية تعمل على متجهات ثنائية الأبعاد ، فإن تمثيل المصفوفة $ F-G $ يُعطى بالآتي:

افترض أن $ F $ عبارة عن تحويل خطي يعمل على متجهات ثلاثية الأبعاد. دعونا نعتمد اتفاقية كتابة مثل هذه التحولات $ F $ كمصفوفات بالشكل التالي

استخدم خطية $ F $ لتحديد $ F beginx y z end$.

إذا كان $ F $ و $ G $ هما التحولات الخطية التالية التي تعمل على متجهات ثلاثية الأبعاد ، فأوجد تمثيل المصفوفة لمجموعها وتكوينها.

استخدم تمثيلات المصفوفة الموجودة أعلاه للعثور على تمثيل المصفوفة للتحويلين الخطيين التاليين.

افترض أن $ F $ قام بتدوير متجهات ثنائية الأبعاد بمقدار $ theta $ درجة ، عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل. أقنع نفسك أن $ F $ عبارة عن تحويل خطي ، ثم ابحث عن تمثيل المصفوفة الخاص بها. أخيرًا ، استخدم هذه المصفوفة لتدوير متجهين من اختيارك بمقدار $ 25 ^ < circ> $.

يجب أن نقنع أنفسنا أن الدوران بمقدار $ theta $ درجة هو بالفعل تحول خطي قبل المتابعة. هل كل من خصائص التحويل الخطي صحيحة؟ تذكر أن $ F $ عبارة عن تحويل خطي (يعمل على المتجهات) إذا وفقط إذا ، لجميع المقاييس $ c $ والمتجهات $ bar$ و $ بار$ لدينا:

لذا ، يجب أن نسأل أنفسنا:

إذا قمنا بتمديد متجه $ بار$ بمعامل $ c $ أولاً ، ثم قم بتدويره في اتجاه عقارب الساعة بواسطة $ theta ^ < circ> $ ، هي النتيجة نفسها لتدوير المتجه $ bar$ أولاً ثم تمديده بمعامل $ c $؟

إذا أضفنا متجهين $ bar$ و $ بار$ (بالطريقة العادية ، "رأسًا إلى ذيل") ثم تدوير المتجه الذي يمثل مجموعهم ، تكون النتيجة هي نفس النتيجة مثل تدوير المتجهات الفردية أولاً $ bar$ و $ بار$ ثم إضافتهم معًا؟

هندسيًا ، يجب أن نكون قادرين على قول "نعم" بسرعة لكلا السؤالين. على هذا النحو ، يمكننا الآن تركيز انتباهنا على إيجاد صيغة مصفوفة لمثل هذا التحول الخطي. افترض أننا نرغب في أن تقوم المصفوفة الخاصة بنا بتدوير المتجهات بمقدار $ 25 ^ < circ> $ عكس اتجاه عقارب الساعة. تذكر أن العمودين الأول والثاني من المصفوفة يمثلان تحويلًا خطيًا (على متجهات ثنائية الأبعاد) يشيران إلى ما يفعله هذا التحويل للمتجهات $ start1 0 نهاية$ و $ start0 1 نهاية$ على التوالي

إذا كان التحول هو دوران 25 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، لاحظ ذلك

$ تبدأ1 0 نهاية rightarrow ابدأ cos 25 ^ circ sin 25 ^ circ end رباعي textrm رباعي ابدأ0 1 نهاية rightarrow ابدأ- sin 25 ^ circ cos 25 ^ circ end$

على هذا النحو ، فإن شكل المصفوفة الذي نسعى إليه هو:

$ تبدأ cos 25 ^ circ & - sin 25 ^ circ sin 25 ^ circ & cos 25 ^ circ end$

باتباع منطق مشابه ، يتم إعطاء شكل المصفوفة للدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة بأي زاوية $ theta $ بواسطة

$ تبدأ cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end$

مع العثور على مصفوفة الدوران ، يكون تدوير ناقل معين أمرًا سهلاً.

لنفترض أننا نرغب في تدوير المتجه $ start3 4 نهاية$ 25 ^ circ $. نحن فقط نجد

$ تبدأ cos 25 ^ circ & - sin 25 ^ circ sin 25 ^ circ & cos 25 ^ circ end يبدأ3 4 نهاية = ابدأ3 cos 25 ^ circ - 4 sin 25 ^ circ 3 sin 25 ^ circ + 4 cos 25 ^ circ end تقريبا ابدأ1.028 4.893 نهاية$


5.1: التحولات الخطية - الرياضيات

هذه هي صفحة الويب على مستوى الدورة التدريبية. يرجى الرجوع إلى صفحة ويب القسم الخاص بك للحصول على معلومات إضافية.

يجب على الطلاب الذين يحتاجون إلى تجاوز من أجل التسجيل في الدورة التدريبية الاتصال برئيس الدورة Weimin Chen [email protected] مع المعلومات التالية: (1) أقسام الدورة التي تتعارض مع الدورات الأخرى من جدولك الأكاديمي ، و (2) ) يفضل القسم من الدورة. (لسوء الحظ ، من أجل الحفاظ على توازن الأقسام ، لا يمكننا ضمان تعيينك في القسم المفضل لديك.)


الكتاب المدرسي والواجبات المنزلية عبر الإنترنت

نص الدورة هو الجبر الخطي و تطبيقاته (الطبعة الخامسة) ديفيد لاي وستيفن لاي وجودي ماكدونالد.

مطلوب MyMathLab لهذه الدورة. يتم تضمين نسخة إلكترونية من الكتاب المدرسي في عملية شرائك لـ MyMathLab. انتقل إلى www.mymathlab.com (رابط) واستخدم معرف الدورة التدريبية للقسم الخاص بك (المقدم من مدرس القسم الخاص بك).

سيتم تعيين الواجبات المنزلية والاختبارات عبر الإنترنت من خلال MyMathLab بواسطة مدرسك.


المنهج والجدول الأسبوعي

هذه دورة تمهيدية في الجبر الخطي ، وتغطي أنظمة المعادلات الخطية ، والمصفوفات ، والتحولات الخطية ، والمحددات ، ومساحات المتجهات ، والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، والتعامد.

يعطي الجدول أدناه موضوعات من نص الدورة ليتم تغطيتها كل أسبوع. (هذه مجرد إرشادات وقد يتم تعديلها بواسطة مدرسك حسب الضرورة.)


1 / 20--1 / 24: 1.1 أنظمة المعادلات الخطية 1.2 اختزال الصفوف وتشكيلات المستوى 1.3 معادلات المتجهات.

1 / 27--1 / 31: 1.3 (تابع) 1.4 معادلة المصفوفة Ax = b 1.5 مجموعات حلول الأنظمة الخطية.

2 / 3-2 / 7: 1.7 الاستقلال الخطي 1.8 مقدمة للتحولات الخطية.

2 / 10--2 / 14: 1.9 مصفوفة تحويل خطي 2.1 عمليات المصفوفة.

2 / 17--2 / 21: 2.2 معكوس المصفوفة 2.3 توصيفات المصفوفات المنعكسة.

2 / 24-2 / ​​28: 3.1 مقدمة للمحددات 3.2 خصائص المحددات.

3 / 2–3 / 6: 3.2 (تابع) 3.3 قاعدة كرامر وحجمه وتحولاته الخطية 4.1 مسافات المتجهات والفراغات الفرعية.

3 / 9–3 / 13: 4.2 مسافات فارغة ، فراغات أعمدة ، وتحولات خطية 4.3 مجموعات وقواعد مستقلة خطيًا.

3 / 23–3 / 27: 4.4 أنظمة الإحداثيات 4.5 أبعاد فضاء متجه.

3 / 30-4 / 3: 4.6 الرتبة 5.1 المتجهات الذاتية والقيم الذاتية.

4 / 6-4 / 10: 5.1 (تابع) 5.2 المعادلة المميزة.

4 / 13-4 / 17: 5.3 قطرية 5.5 قيم ذاتية معقدة.

4 / 20-4 / 24: 6.1 المنتج الداخلي ، الطول ، والتعامد 6.2 المجموعات المتعامدة ، 6.3 الإسقاطات المتعامدة.

4 / 27-4 / 29: 6.3 (تابع) ، 6.4 عملية جرام-شميدت.

سيكون هناك اختباران نصفيان وامتحان نهائي. الامتحانات السابقة متوفرة هنا.

يُسمح لك بورقة ملاحظات 8.5 & quot × 11 & quot (كلا الجانبين). الآلات الحاسبة والكتاب المدرسي ليس مسموح به في الامتحانات. يجب عليك إحضار معرف الطالب الخاص بك (UCard) إلى كل اختبار.

إذا كان لديك تعارض موثق في أحد الاختبارات ، من أجل إجراء الاختبار التعويضي ، يجب أن تعطي رئيس الدورة Weimin Chen [email protected] إشعارًا كتابيًا مدته أسبوع واحد على الأقل لامتحان نصف الفصل وعلى الأقل إخطار كتابي بأسبوعين للامتحان النهائي. سيتم التعامل مع الاختبارات التعويضية الأخرى (على سبيل المثال بسبب حالات الطوارئ الطبية) من قبل مدرس القسم الخاص بك. الامتحانات التعويضية سوف ليس تستوعب خطط السفر.

سيعقد النصف الأول من الفصل الدراسي يوم الخميس 2/27/20 ، 7:00 مساءً - 9:00 مساءً ، في المواقع التالية:

الأقسام 1،3،9 (مونتيزوما ، كولميناريجو ، سيمونيتي). HASA0020
الأقسام 2،4،5 (مونتيزوما ، أوبلومكوف ، سيمون). MAH0108
الأقسام 6 ، 7 ، 8 (تشين ، ميركوفيتش ، لي) ISB0135

المنهج الدراسي للصف الأول هو الأقسام التالية من الكتاب المدرسي: 1.1 ، 1.2 ، 1.3 ، 1.4 ، 1.5 ، 1.7 ، 1.8 ، 1.9 ، 2.1.

يرجى العمل من خلال امتحان الممارسة هنا. حلول الامتحان التدريبي هنا.

سيعقد النصف الثاني يوم الخميس 4/9/20 ، 7:00 مساءً - 9:00 مساءً ، في المواقع التي سيتم الإعلان عنها لاحقًا

منهج منتصف الفصل الثاني هو الأقسام التالية من الكتاب المدرسي: 2.2 ، 2.3 ، 3.1 ، 3.2 ، 3.3 ، 4.1 ، 4.2 ، 4.3 ، 4.4 ، 4.5.

يتم تحديد تاريخ ووقت ومكان الاختبار النهائي من قبل الجامعة.

سيتم احتساب درجة دورتك الدراسية على النحو التالي: امتحان نصف الفصل الأول 25٪ اختبار نصفي ثان 25٪ اختبار نهائي 25٪ واجبات منزلية واختبارات ومشاركة في الفصل 25٪ (يحدده مدرس القسم الخاص بك).

سيتم تخصيص الدرجات لنسب المقرر الدراسي وفقًا للمقياس التالي:

ج: 90-100
أ-: 87-89
ب +: 84-86
ب: 80-83
ب-: 77-79
ج +: 74-76
ج: 70-73
ج-: 67 - 69
D +: 64 - 66
د: 57 - 63
المتوقع: 0-56


بيان سياسة مكان الإقامة

تلتزم جامعة UMass Amherst بتوفير فرص تعليمية متساوية لجميع الطلاب. قد يكون الطالب الذي يعاني من إعاقة جسدية أو نفسية أو إعاقة تعليمية موثقة في ملف خدمات الإعاقة مؤهلاً للحصول على تسهيلات أكاديمية لمساعدته على النجاح في هذه الدورة. إذا كان لديك إعاقة موثقة تتطلب إقامة ، فيرجى إخطار معلمك خلال الأسبوعين الأولين من الفصل الدراسي حتى نتمكن من اتخاذ الترتيبات المناسبة.


بيان الصدق الأكاديمي

نظرًا لأن نزاهة المؤسسة الأكاديمية لأي مؤسسة للتعليم العالي تتطلب الصدق في المنح الدراسية والبحث ، فإن الصدق الأكاديمي مطلوب من جميع الطلاب في جامعة ماساتشوستس أمهيرست. يحظر عدم الأمانة الأكاديمية في جميع برامج الجامعة. يشمل الكذب الأكاديمي على سبيل المثال لا الحصر: الغش ، والتلفيق ، والانتحال ، وتسهيل الكذب. قد يتم فرض عقوبات مناسبة على أي طالب ارتكب فعلًا من أفعال التضليل الأكاديمي. يجب أن يتخذ المدرسون خطوات معقولة لمعالجة سوء السلوك الأكاديمي. يجب على أي شخص لديه سبب للاعتقاد بأن طالبًا ما قد ارتكب خداعًا أكاديميًا أن يلفت انتباه مدرس الدورة المناسبة إلى هذه المعلومات في أقرب وقت ممكن. يجب لفت انتباه رئيس القسم أو الرئيس المناسب إلى حالات عدم الأمانة الأكاديمية التي لا تتعلق بدورة معينة. نظرًا لأنه من المتوقع أن يكون الطلاب على دراية بهذه السياسة والمعايير المقبولة عمومًا للنزاهة الأكاديمية ، فإن الجهل بمثل هذه المعايير ليس عادة دليلًا كافيًا على قلة النية .


الجنرال إد. بيان الرياضيات 235

MATH 235 عبارة عن دورة تعليمية عامة مكونة من ثلاث ساعات معتمدة تفي بمتطلبات التعليم العام R1 (مهارات الرياضيات الأساسية) و R2 (التفكير التحليلي) للتخرج.

يقدم برنامج التعليم العام بجامعة ماساتشوستس أمهيرست للطلاب فرصة فريدة لتطوير التفكير النقدي والتواصل ومهارات التعلم التي ستفيدهم مدى الحياة. لمزيد من المعلومات حول برنامج التعليم العام ، يرجى زيارة صفحة ويب GenEd.

مخرجات التعلم لجميع مقررات التعليم العام:

الرياضيات 235 تحقق أهداف التعليم العام التالية:

المحتوى: تعرف على الأسئلة والأفكار الأساسية وطرق الاستفسار / التحليل المستخدمة في الرياضيات: سيتعلم الطلاب تحليل الأنظمة الخطية والتحولات والمسافات باستخدام المصفوفات. في تعلم الجبر الخطي ، سيطور الطلاب مهارات التفكير المجرد لفهم الأنظمة والمساحات ذات الأبعاد الأعلى التي لا يمكننا تصورها بشكل مباشر.

التفكير النقدي: يُظهر الطلاب التفكير الإبداعي والتحليلي والكمي والنقدي من خلال الاستفسار وحل المشكلات والتوليف: سيستخدم الطلاب مهارات التفكير النقدي لتطوير وفهم نظرية المصفوفات والأنظمة الخطية والتحولات والمساحات التي يمثلونها ، وكذلك المهارات الحسابية لتحليل هذه المصفوفات بكفاءة.

الاتصال: تطوير محو الأمية المعلوماتية والتكنولوجية: سيطور الطلاب مهاراتهم الكتابية من خلال توضيح منطقهم للحسابات التي تم إجراؤها وكتابة البراهين الرسمية أثناء الدورة.

إظهار القدرة على تطبيق المنظورات التأديبية وأساليب التحليل على مشاكل العالم الحقيقي (المجتمع الأكبر) أو سياقات أخرى: يمكن تمثيل التطبيقات الواقعية والنظرية في جميع المجالات أو تقديرها في الجبر الخطي بواسطة المصفوفات. سيتعلم الطلاب الأساليب المنطقية والحسابية لتحليل هذه المصفوفات.

نتائج التعلم لتعيينات R1 و R2:

نظرًا لأن Math 235 تفترض مسبقًا مهارات الرياضيات الأساسية ، فإنها تحمل التسمية لمتطلب مهارات الرياضيات الأساسية (R1). بالإضافة إلى ذلك ، تحقق الدورة الأهداف التالية من متطلبات التفكير التحليلي (R2):

تطوير مهارات التفكير الرسمية أو الرياضية للطالب بما يتجاوز مستوى الكفاءة الأساسية: في تعلم الجبر الخطي في الرياضيات 235 ، سيفكر الطلاب بشكل نقدي ويطورون مهاراتهم في التفكير الرياضي من خلال تحليل المصفوفات والأنظمة الخطية والتحولات والمساحات التي يمثلونها.

زيادة تطور الطالب كمستهلك للمعلومات العددية: يوفر الجبر الخطي طريقة فعالة ولكنها مجردة لتحليل المعلومات الرقمية من المفاهيم عبر الرياضيات. يمكن تمثيل التطبيقات في جميع المجالات أو تقديرها بواسطة المصفوفات. سيشكل الطلاب هذه الروابط بين النظريات الرياضية والجبر الخطي ، بالإضافة إلى تعلم طرق داخل الجبر الخطي لإجراء حسابات رسمية ذات صلة.


ملاحظات محاضرة للرياضيات 3410 ، مع أمثلة حسابية

تذكر من المثال 2.1.3 في الفصل 2 الذي أعطى أي (m times n ) مصفوفة (A text <،> ) يمكننا تعريف تحويل المصفوفة (T_A: R ^ n to R ^ m ) بواسطة (T_A ( xx) = A xx text <،> ) حيث نعرض ( xx in R ^ n ) (n times 1 ) متجه عمود.

بالمقابل ، بالنظر إلى أي خريطة خطية (T: R ^ n to R ^ m text <،> ) إذا سمحنا ( أساس) يشير إلى الأساس القياسي لـ ( R ^ n text <،> ) ثم المصفوفة

لقد ناقشنا بالفعل حقيقة أن هذه الفكرة تعمم: بالنظر إلى تحويل خطي (T: V to W text <،> ) حيث (V ) و (W ) مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة ، من الممكن تمثيل (T ) كتحول مصفوفة.

يعتمد التمثيل على اختيارات القواعد لكل من (V ) و (W text <.> ) استرجع تعريف تماثل المعامل ، من التعريف 2.3.4 في القسم 2.3. إذا ( dim V = n ) و ( dim W = m text <،> ) فهذا يعطينا تشابهات (C_B: V to R ^ n ) و (C_D: W to R ^ m ) اعتمادًا على اختيار الأساس (B ) لـ (V ) وأساس (D ) لـ (W text <.> ) هذه التماثلات تحدد تحويل المصفوفة (T_A: R ^ n to R ^ m ) وفقًا للرسم التخطيطي الذي قدمناه في الشكل 2.3.5.

يجب أن نؤكد على نقطة واحدة مهمة حول تماثل المعامل ، ومع ذلك. يعتمد ذلك على اختيار الأساس ، ولكن أيضًا على ترتيب من عناصر الأساس. وبالتالي ، سنعمل بشكل عام مع ملف أساس مرتب في هذا الفصل. بمعنى ، بدلاً من مجرد التفكير في أساسنا كمجموعة ، سنفكر في الأمر كقائمة مرتبة. الأمر مهم ، نظرًا لأنه يُعطى أساسًا (B = أساس text <،> ) نعتمد على حقيقة أنه يمكننا كتابة أي متجه ( vv ) بشكل فريد

من أجل إجراء المهمة (C_B ( vv) = bbm c_1 vdots c_n ebm text <.> )

تمرين 5.1.1.

أظهر أن تماثل المعامل هو بالفعل تماثل خطي من (V ) إلى ( R ^ n text <.> )

من الواضح أن (C_B ( mathbf <0>) = mathbf <0> text <،> ) لأن الطريقة الوحيدة لكتابة المتجه الصفري في (V ) بدلالة (B ) ( أو ، في الواقع ، أي مجموعة مستقلة) هو تعيين جميع المقاييس مساوية للصفر.

إذا كان لدينا متجهان ( vv ، ww ) معطى بواسطة

أخيرًا ، لأي عددية (ج نص <،> ) لدينا

هذا يدل على أن (C_B ) خطي. لمعرفة أن (C_B ) هو تماثل ، يمكننا ببساطة ملاحظة أن (C_B ) يأخذ الأساس (ب ) إلى الأساس القياسي لـ ( R ^ n نص <.> ) بدلاً من ذلك ، يمكننا إعطاء المعكوس: (C_B ^ <-1>: R ^ n to V ) معطى بواسطة

إعطاء (T: V to W ) وتماثل المعامل (C_B: V to R ^ n ، C_D: W to R ^ m text <،> ) الخريطة (C_DTC_B ^ <- 1>: R ^ n to R ^ m ) عبارة عن تحويل خطي ، وتعطي مصفوفة هذا التحويل تمثيلًا لـ (T text <.> ) صراحة ، دعنا (B = أساس) يكون أساسًا مرتبًا لـ (V text <،> ) ودع (D = أساس) يكون أساسًا مرتبًا لـ (W text <.> ) منذ (T ( vv_i) in W ) لكل ( vv_i in B text <،> ) توجد مقاييس فريدة (أ_ text <،> ) مع (1 leq i leq m ) و (1 leq j leq n ) بحيث

لـ (j = 1، ldots، n text <.> ) هذا يعطينا (m times n ) المصفوفة (A = [a_] text <.> ) لاحظ أن العمود الأول من (A ) هو (C_D (T ( vv_1)) text <،> ) العمود الثاني هو (C_D (T ( vv_2) ) text <،> ) وما إلى ذلك.

معطى ( xx in V text <،> ) اكتب ( xx = c_1 vv_1 + cdots + c_n vv_n text <،> ) بحيث (C_B ( xx) = bbm c_1 vdots c_n ebm text <.> ) ثم

وبالتالي ، نرى أن (C_DT = T_AC_B text <،> ) أو (T_A = C_DTC_B ^ <-1> text <،> ) كما هو متوقع.

التعريف 5.1.2. المصفوفة (M_(T) ) لخريطة خطية.

لنفترض أن (V ) و (W ) مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة ، واجعل (T: V to W ) خريطة خطية. دعونا (ب = أساس) و (د = أساس) يتم ترتيب القواعد لـ (V ) و (W text <،> ) على التوالي. ثم (M_(T) ) من (T ) فيما يتعلق بالأسس (B ) و (D ) محدد بواسطة

بمعنى آخر ، (A = M_(T) ) هي المصفوفة الفريدة (m times n ) مثل (C_DT = T_AC_B text <.> ) وهذا يعطي خاصية التعريف

كما هو موضح أعلاه.

تمرين 5.1.3.

افترض أن (T: P_2 ( R) to R ^ 2 ) مُعطى بواسطة

احسب مصفوفة (T ) فيما يتعلق بالأساسيات (B = <1،1-x ، (1-x) ^ 2 > ) لـ (P_2 ( R) ) و ( د = <(1،0) ، (1 ، -1) > ) من ( R ^ 2 نص <.> )

عندما نحسب مصفوفة تحويل فيما يتعلق بأساس غير قياسي ، فلا داعي للقلق بشأن كيفية كتابة المتجهات في المجال من حيث هذا الأساس. بدلاً من ذلك ، نقوم ببساطة بتوصيل متجهات الأساس في التحويل ، ثم نحدد كيفية كتابة المخرجات من حيث أساس المجال المشترك. ومع ذلك ، إذا أردنا ذلك استعمال هذه المصفوفة لحساب قيم (T: V to W text <،> ) ثم نحتاج إلى طريقة منهجية لكتابة عناصر (V ) من حيث الأساس المحدد.

مثال 5.1.4. العمل مع مصفوفة التحول.

لنفترض أن (T: P_2 ( R) to R ^ 2 ) يكون تحويلًا خطيًا تُعطى مصفوفته بواسطة

فيما يتعلق بالقواعد المرتبة (B = <1 + x ، 2-x ، 2x + x ^ 2 > ) لـ (P_2 ( R) ) و (D = <(0،1) ) ، (- 1،1) > ) من ( R ^ 2 text <.> ) أوجد قيمة (T (2 + 3x-4x ^ 2) text <.> )

نحتاج إلى كتابة الإدخال (2 + 3x-4x ^ 2 ) من حيث الأساس (B text <.> ) وهذا يرقى إلى حل نظام المعادلات المعطى بواسطة

بالطبع ، يمكننا بسهولة إعداد هذا النظام وحلّه ، لكن دعونا نحاول أن نكون منهجيين ، ونحصل على نتيجة أكثر فائدة للمشكلات المستقبلية. نظرًا لأنه يمكننا بسهولة تحديد كيفية كتابة أي متعدد الحدود من حيث الأساس القياسي ( <1، x، x ^ 2 > text <،> ) يكفي معرفة كيفية كتابة هذه كثيرات الحدود من حيث أساس.

في البداية ، يبدو هذا وكأنه مزيد من العمل. بعد كل شيء ، لدينا الآن ثلاثة أنظمة لحلها:

ومع ذلك ، فإن جميع الأنظمة الثلاثة لها نفس مصفوفة المعامل ، لذا يمكننا حلها في وقت واحد ، بإضافة ثلاثة أعمدة "ثوابت" إلى المصفوفة المعززة.

لكن هذه هي بالضبط المصفوفة المعززة التي كنا سنحاول إيجادها معكوس المصفوفة

أعمدتها هي تمثيلات المعامل لمتجهات الأساس المعطاة لدينا من حيث الأساس القياسي.

نحسب (باستخدام خلية Sage أدناه) ذلك

تقوم هذه المصفوفة أولاً بتحويل متجه المعامل لكثير الحدود (p (x) ) فيما يتعلق بالأساس القياسي إلى متجه المعامل لأساسنا المعطى (B text <،> ) ثم يضرب في المصفوفة التي تمثل لدينا تحويل. ستكون النتيجة متجه المعامل لـ (T (p (x)) ) مع تكرار للأساس (D text <.> )

كثير الحدود (p (x) = 2 + 3x-4x ^ 2 ) له متجه معامل ( bbm 2 3 - 4 ebm ) فيما يتعلق بالأساس القياسي. نجد أن (M (T) P ^ <-1> bbm 2 3 - 4 ebm = bbm 12 - 10 ebm text <.> ) المعاملات (12 ) ) و (- 10 ) هي معاملات (T (p (x)) ) مع repsect إلى الأساس (D text <.> ) وبالتالي ،

لاحظ أنه في الخطوة الأخيرة قدمنا ​​الإجابة "المبسطة" ((10،2) text <،> ) والتي تم تبسيطها بشكل أساسي من حيث التعبير عنها فيما يتعلق بالأساس القياسي.

لاحظ أنه يمكننا أيضًا تقديم المصفوفة (Q = bbm 0 amp -1 1 amp 1 ebm ) التي تمثل أعمدتها متجهات معامل المتجهات في الأساس (D ) فيما يتعلق بـ أساس قياسي. تأثير الضرب في (Q ) هو التحويل من المعاملات فيما يتعلق (D ) إلى متجه معامل فيما يتعلق بالأساس القياسي. يمكننا بعد ذلك كتابة مصفوفة جديدة ( قبعة(T) = QM (T) P ^ <-1> text <> ) هذه المصفوفة الجديدة هي الآن تمثيل المصفوفة لـ (T ) فيما يتعلق بـ اساسي قواعد (P_2 ( R) ) و ( R ^ 2 text <.> ) نتحقق من ذلك

نجد أن ( tilde(T) = bbm 1 amp 0 amp -2 0 amp 2 amp 1 ebm text <.> ) وهذا يتيح لنا تحديد ذلك لكثير الحدود العامة (p (x) = a + ب س + ج س ^ 2 نص <،> )

وبالتالي ، يجب أن يكون تحولنا الأصلي

أوضح المثال السابق بعض الملاحظات الهامة التي تكون صحيحة بشكل عام. لن نعطي الدليل العام ، لكننا نلخص النتائج في نظرية.

نظرية 5.1.5.

افترض أن (T: V to W ) هو تحويل خطي ، وافترض (M_0 = M_(T) ) هي مصفوفة (T ) مع resepct إلى القواعد (B_0 ) من (V ) و (D_0 ) من (W text <.> ) دعنا (B_1 = أساس) و (D_1 أساس) يكون أي خيار آخر للأساس لـ (V ) و (W text <،> ) على التوالي. يترك

تكون مصفوفات أعمدتها هي متجهات معامل المتجهات في (B_1، D_1 ) فيما يتعلق (B_0، D_0 text <.> ) ثم مصفوفة (T ) فيما يتعلق بالقواعد ( B_1 ) و (D_1 ) هو

العلاقة بين الخرائط المختلفة موضحة في الشكل 5.1.6 أدناه. في هذا الشكل ، الخرائط (V إلى V ) و (W إلى W ) هي خرائط الهوية ، المقابلة لتمثيل نفس المتجه فيما يتعلق بقاعدتين مختلفتين. الأسهم العمودية هي معامل التماثل (C_، ج، ج، ج نص <.> )

الشكل 5.1.6. مصفوفة الرسم التخطيطي للتحول فيما يتعلق بخيارين مختلفين من الأساس

نطبق بشكل عام نظرية 5.1.5 في حالة أن (B_0، D_0 ) هي اساسي قواعد (V ، W text <،> ) لأنه في هذه الحالة ، من السهل تحديد المصفوفات (M_0 ، P ، Q ) ، ويمكننا استخدام الكمبيوتر لحساب (P ^ <- 1 > ) والمنتج (QM_0P ^ <-1> text <.> )

تمرين 5.1.7.

افترض أن (T: M_ <22> ( R) to P_2 ( R) ) يحتوي على المصفوفة

فيما يتعلق بالقواعد

من (M_ <22> ( R) ) و (D = <1، x، x ^ 2 > ) من (P_2 ( R) text <.> ) حدد صيغة من أجل (T ) من حيث المدخلات العامة (X = bbm a amp b c amp d ebm text <.> )

يجب علينا أولاً كتابة مدخلاتنا العامة من حيث الأساس المعطى. فيما يتعلق بالأساس القياسي

لدينا المصفوفة (P = bbm 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 0 amp 1 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 1 ebm text <،> ) يمثل التغيير من الأساس (B ) الأساس (B_0 text <.> ) الأساس (D ) لـ (P_2 ( R) ) هو بالفعل الأساس القياسي. بالنسبة إلى المصفوفة (X = bbm a amp b c amp d ebm ) نجد

لكن هذا يساوي (C_D (T (X)) text <،> ) لذا

في الكتب المدرسية مثل شيلدون أكسلر تم إجراء الجبر الخطي بشكل صحيح التي تركز بشكل أساسي على عمليات التحويل الخطية ، يمكن استخدام البناء أعلاه لمصفوفة التحول فيما يتعلق باختيارات القواعد كحافز أساسي لتقديم المصفوفات ، وتحديد خصائصها الجبرية. على وجه الخصوص ، يمكن اعتبار قاعدة ضرب المصفوفة ، والتي قد تبدو غريبة في البداية ، كنتيجة لتكوين الخرائط الخطية.

نظرية 5.1.8.

لنفترض (U ، V ، W ) مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة ، مع قواعد مرتبة (B_1 ، B_2 ، B_3 text <،> ) على التوالي لنفترض أن (T: U to V ) و (S: V to W ) خرائط خطية. ثم

دليل .

دع ( xx in U text <.> ) ثم (C_(ST (xx)) = M_(ST) C_( xx) text <.> ) من ناحية أخرى ،

منذ (C_) غير قابل للعكس ، تتبع النتيجة.

تعد القدرة على التعبير عن تحويل خطي عام من حيث المصفوفة أمرًا مفيدًا ، حيث يمكن تحويل الأسئلة حول التحولات الخطية إلى أسئلة حول المصفوفات التي نعرف بالفعل كيفية حلها. خاصه،

(T: V to W ) هو تماثل إذا وفقط إذا (M_(T) ) قابل للعكس بالنسبة لبعض (وبالتالي ، كل) اختيار القواعد (B ) من (V ) و (D ) من (W text <.> )

رتبة (T ) تساوي رتبة (M_(T) ) (وهذا لا يعتمد على اختيار الأساس).

تتشابه نواة (T ) مع مسافة فارغة لـ (M_(T) نص <.> )

بعد ذلك ، سنرغب في النظر في موضوعين على وجه الخصوص. First, if (T:V o V) is a linear operator, then it makes sense to consider the matrix (M_B(T)=M_(T)) obtained by using the same basis for both domain and codomain. Second, we will want to know how this matrix changes if we change the choice of basis.


Classes of linear transformations

Linear transformations are divided into the following types.

أ. Rigid transformations (distance preserving)

Rigid transformations leave the shape, lengths and area of the original object unchanged. Rigid transformations are:

ب. Similarity transformations (angle preserving)

Similarity transformations preserve the angles of the original object, but not necessarily the size. Similarity transformations are:

  • ترجمة
  • Rotation
  • Uniform scale (the same amount of scale in the س- و ص-directions)

ج. Affine transformations (parallel preserving)

Affine transformations preserve any parallel lines, but may change the shape and size. Affine transformations are:

Notice Rigid transformations are a subset of Similarity transformations, which are in turn a subset of Affine transformations.


Math Insight

Let $A$ be a $2 imes 3$ matrix, say egin A = left[ egin 1 & 0 & -1 3 & 1 & 2 end ight]. نهاية What do you get if you multiply $A$ by the vector $vc=(x,y,z)$? Remembering matrix multiplication, we see that egin Avc = left[ egin 1 & 0 & -1 3 & 1 & 2 end ight] left[ egin x y z end ight] = left[ egin x - z 3x + y +2z end ight] =(x-z,3x+y+2z). نهاية

If we define a function $vc(vc) = Avc$, we have created a function of three variables $(x,y,z)$ whose output is a two-dimensional vector $(x-z,3x+y+2z)$. Using function notation, we can write $vc : R^3 o R^2$. We have created a vector-valued function of three variables. So, for example, $vc(1,2,3) = (1-3,3cdot 1 + 2 + 2 cdot 3) = (-2, 11)$.

Given any $m imes n$ matrix $B$, we can define a function $vc: R^n o R^m$ (note the order of $m$ and $n$ switched) by $vc(vc) = B vc$, where $vc$ is an $n$-dimensional vector. As another example, if egin C = left[ egin 5 & -3 1 & 0 -7 & 4 0 & -2 end ight], end then the function $vc(vc) = C vc$, where $y=(y_1, y_2)$, is $vc(vc) = (5y_1-3y_2,y_1,-7y_1+4y_2,-2y_2)$.

In this way, we can associate with every matrix a function. What about going the other way around? Given some function, say $vc: R^n o R^m$, can we associate with $vc(vc)$ some matrix? We can only if $vc(vc)$ is a special kind of function called a linear transformation. The function $vc(vc)$ is a linear transformation if each term of each component of $vc(vc)$ is a number times one of the variables. So, for example, the functions $vc(x,y)=(2x+y,y/2)$ and $vc(x,y,z)=(z,0,1.2 x)$ are linear transformation, but none of the following functions are: $vc(x,y)=(x^2,y,x)$, $,vc(x,y,z)=(y,xyz)$, or $vc(x,y,z)=(x+1,y,z)$. Note that both functions we obtained from matrices above were linear transformations.

Let's take the function $vc(x,y)=(2x+y,y,x-3y)$, which is a linear transformation from $R^2$ to $R^3$. The matrix $A$ associated with $vc$ will be a $3 imes 2$ matrix, which we'll write as egin A = left[ egin a_ <11>& a_<12> a_ <21>& a_<22> a_ <31>& a_ <32>end ight]. نهاية We need $A$ to satisfy $vc(vc)=Avc$, where $vc=(x,y)$.

The easiest way to find $A$ is the following. If we let $vc=(1,0)$, then $f(vc)= Avc$ is the first column of $A$. (Can you see that?) So we know the first column of $A$ is simply egin f(1,0)=(2,0,1) = left[ egin 21 end ight]. نهاية

Similarly, if $vc=(0,1)$, then $f(vc)=Avc$ is the second column of $A$, which is egin f(0,1) = (1,1,-3) = left[ egin 11-3 end ight]. نهاية

Putting these together, we see that the linear transformation $vc(vc)$ is associated with the matrix egin A= left[ egin 2 & 1 0 & 1 1 & -3 end ight]. نهاية

The important conclusion is that every linear transformation is associated with a matrix and vice versa.


The idea of a mapping

In mathematics, sometimes we use the word mapping to describe the same idea of a transformation. You are already familiar with mappings. For example, we could make up a rule that maps the real number to the real numbers. One such rule could be “multiply by 10”. Then 8 would be mapped to 80, and 3 would be mapped to 30, and so on.

Transformations in linear algebra are mappings as well, but they map vectors to vectors. This can be done with a rule described using a formula, or in the case of mappings between (R^n) and (R^m), maybe a matrix.

Remember that not all transformations are linear, but many that you study in linear algebra will be, and that yields a lot of useful theorems and problem solving techniques.

In this lesson, we will only consider transformations between the vector spaces(R^n) and (R^m) (for some m and n). See: Euclidean space.


Table of Contents for Introduction to Linear Algebra (5th edition 2016)

  • 1 Introduction to Vectors
    • 1.1 Vectors and Linear Combinations
    • 1.2 Lengths and Dot Products
    • 2.1 Vectors and Linear Equations
    • 2.2 The Idea of Elimination
    • 2.3 Elimination Using Matrices
    • 2.4 Rules for Matrix Operations
    • 2.6 Elimination = Factorization: أ = LU
    • 2.7 Transposes and Permutations
    • 3.1 Spaces of Vectors
    • 3.2 The Nullspace of أ: Solving Ax = 0 و Rx = 0
    • 3.3 The Complete Solution to Ax = ب
    • 3.4 Independence, Basis and Dimension
    • 4.1 Orthogonality of the Four Subspaces
    • 4.2 Projections
    • 4.3 Least Squares Approximations
    • 4.4 Orthonormal Bases and Gram-Schmidt
    • 5.1 The Properties of Determinants
    • 5.2 Permutations and Cofactors
    • 5.3 Cramer’s Rule, Inverses, and Volumes
    • 8.1 The Idea of a Linear Transformation
    • 8.2 The Matrix of a Linear Transformation
    • 8.3 The Search for a Good Basis
    • 9.1 Complex Numbers
    • 9.2 Hermitian and Unitary Matrices
    • 9.3 The Fast Fourier Transform
    • 10.1 Graphs and Networks
    • 10.2 Matrices in Engineering
    • 10.3 Markov Matrices, Population, and Economics
    • 10.4 Linear Programming
    • 10.5 Fourier Series: Linear Algebra for Functions
    • 10.6 Computer Graphics
    • 10.7 Linear Algebra for Cryptography
    • 11.1 Gaussian Elimination in Practice
    • 11.2 Norms and Condition Numbers
    • 11.3 Iterative Methods and Preconditioners

    Each section of the book has a Problem Set.


    New Features:

    Modern View of Matrix Multiplication – The definitions and proofs focus on the columns of a matrix rather than on the matrix entries.

    Early Introduction of Key Concepts – Many fundamental ideas of linear algebra are introduced within the first seven lectures, in the concrete setting of Rn, and then gradually examined from different points of view.

    Linear Transformations – Linear transformations form a “thread” that is woven into the fabric of the text. Their use enhances the geometric flavor of the text.

    Eigenvalues and Dynamical Systems – Eigenvalues appear fairly early in the text, in Chapters 5 and 7. Because this material is spread over several weeks, students have more time than usual to absorb and review these critical concepts.

    Orthogonality and Least-Squares Problems – These topics receive a more comprehensive treatment than is commonly found in beginning texts.


    Math Insight

    A linear transformation (or a linear map) is a function $vc: R^n o R^m$ that satisfies the following properties:

    for any vectors $vc, vc in R^n$ and any scalar $a in R$.

    It is simple enough to identify whether or not a given function $vc(vc)$ is a linear transformation. Just look at each term of each component of $vc(vc)$. If each of these terms is a number times one of the components of $vc$, then $vc$ is a linear transformation.

    Therefore, the function $vc(x,y,z) = (3x-y, 3z, 0, z-2x)$ is a linear transformation, while neither $vc(x,y,z) = (3x-y, 3z+2, 0,z-2x)$ nor $vc(x,y,z) = (3x-y, 3xz, 0,z-2x)$ are linear transformations. The function $vc$ has a nonlinear component $3xz$ that disqualifies it. What about the function $vc$? It's the second component $3z+2$ that's the problem because the term 2 is a constant that doesn't contain any components of our input vector $(x,y,z)$.

    It's easy to see that the function $vc$ violates the second condition above. In particular, if you set $a=0$ in that second condition, you see that each linear transformation must satisfy $vc(vc<0>) = vc<0>$ but $vc(0,0,0) = (0,2,0,0)$. The condition for a linear transformation is stronger than the condition one learns in grade school for a function whose graph is a line. A single variable function $f(x)=ax+b$ is not a linear transformation unless its y-intercept $b$ is zero.

    A useful feature of a feature of a linear transformation is that there is a one-to-one correspondence between matrices and linear transformations, based on matrix vector multiplication. So, we can talk without ambiguity of ال matrix associated with a linear transformation $vc(vc)$.


    شاهد الفيديو: كل ما يخص الدالة الخطية من البداية إلى النهاية (شهر اكتوبر 2021).