مقالات

4: هندسة المتجهات


4: هندسة المتجهات

جمع الرياضيات الثانوية

يتضمن باوربوينت وورقة عمل وتقييم وأسئلة ورقية سابقة.

المراجعات

المتجهات المتقدمة - إثبات الخطوط المستقيمة والخطوط المتوازية (GCSE Maths 9-1)

تابعنا على Twitter للوصول إلى محرك Google والتنزيلات الأولى على الموارد والدروس

قم بزيارة موقع weteachmaths.co.uk من أجل

- أكثر من 600 درس وأوراق عمل مناسبة لمواصفات GCSE 9-1
- الموارد التعليمية للمستوى A لـ Core 1 و Core 2 و Core 3 و Core 4 و Decision 1 و Statistics 1
- موارد التدريس للرياضيات الأساسية المستوى 3
- مخططات العمل للرياضيات GCSE العليا والأساسية (تم تكييفها لمواصفات 9-1)
- اختبارات موضوعية للرياضيات GCSE ورياضيات المستوى A
- دعم التدريس والمقررات في GCSE Statistics


محتويات

التناوب رباعي الأبعاد من نوعين: دوران بسيط ودوران مزدوج.

دورات بسيطة تحرير

دوران بسيط R حول مركز دوران O يترك مستوى كامل من A إلى O (مستوى محور) ثابتًا. كل مستوى B متعامد تمامًا [a] إلى A يتقاطع مع A في نقطة معينة P. كل نقطة P هي مركز الدوران ثنائي الأبعاد الذي يسببه R في B. كل هذه الدورات ثنائية الأبعاد لها نفس زاوية الدوران α.

لا يتم إزاحة الخطوط النصفية من O في مستوى المحور A ، حيث يتم إزاحة نصف الخطوط من O المتعامد إلى A من خلال α يتم إزاحة جميع الخطوط النصفية الأخرى بزاوية أقل من α.

دورات مزدوجة تحرير

لكل دورة R ذات 4 مسافات (تحديد الأصل) ، يوجد زوج واحد على الأقل من المستويين المتعامدين A و B كل منهما ثابت ومجموعهما المباشر أب كل ذلك من 4 مسافات. ومن ثم فإن تشغيل R على أي من هذه الطائرات ينتج دورانًا عاديًا لتلك الطائرة. بالنسبة لجميع R تقريبًا (كل مجموعة الدورات ذات الأبعاد الستة باستثناء مجموعة فرعية ثلاثية الأبعاد) ، تختلف زاويتا الدوران α في المستوى A و في المستوى B - كلاهما يفترض أنهما غير صفري -. زوايا الدوران غير المتكافئة α و مرضية −π & lt α , β & lt π يتم تحديدها تقريبًا [ب] بشكل فريد بواسطة R. بافتراض أن 4-space موجهة ، يمكن اختيار اتجاهات المستويين A و B بما يتفق مع هذا الاتجاه بطريقتين. إذا كانت زوايا الدوران غير متساوية ( αβ ) ، R يسمى أحيانًا "دوران مزدوج".

في هذه الحالة من الدوران المزدوج ، يكون A و B هما الزوج الوحيد من المستويات الثابتة ، ويتم إزاحة نصف الخطوط من الأصل في A و B عبر α و، على التوالي ، ونصف الخطوط من الأصل ليس في A أو B من خلال الزوايا بدقة بين α و strictly.

التناوب Isoclinic تحرير

إذا كانت زوايا الدوران لدوران مزدوج متساوية ، فهناك عدد لا نهائي من المستويات الثابتة بدلاً من اثنين فقط ، ويتم إزاحة جميع الخطوط النصفية من O بنفس الزاوية. تسمى هذه الدورات متساوي أو دوران متساوي الزوايا، أو نزوح كليفورد. احذر: ليست كل الطائرات التي تمر عبر O ثابتة في ظل التدوير متساوي الميل ، فقط الطائرات التي يمتد بنصف خط ونصف الخط المزاح المقابل ثابت.

بافتراض أنه قد تم اختيار اتجاه ثابت للفضاء رباعي الأبعاد ، يمكن وضع دورات isoclinic 4D في فئتين. لرؤية هذا ، ضع في اعتبارك دورانًا متساويًا R ، وخذ مجموعة مرتبة متسقة مع الاتجاه OU, ثور, OY, OZ من الخطوط النصفية المتعامدة بشكل متبادل عند O (المشار إليها باسم OUXYZ) مثل أن OU و OX يمتدان على مستوى ثابت ، وبالتالي فإن OY و OZ يمتدان أيضًا على مستوى ثابت. افترض الآن أنه تم تحديد زاوية الدوران α فقط. ثم هناك أربع دورات متوازنة بشكل عام في الطائرات OUX و OYZ بزاوية دوران α ، اعتمادًا على حواس الدوران في OUX و OYZ.

نحن نصنع الاتفاقية التي تشير إلى أن الإحساس بالتناوب من OU إلى OX ومن OY إلى OZ يُحسب أنه إيجابي. ثم لدينا الدورات الأربع ص1 = (+α, +α) , ص2 = (−α, −α) , ص3 = (+α, −α) و ص4 = (−α, +α) . ص1 و ص2 هي انعكاسات بعضها البعض كذلك ص3 و ص4 . طالما أن α تقع بين 0 و ، فستكون هذه الدورات الأربع متميزة.

يتم الإشارة إلى الدوران المتساوي مع علامات متشابهة كـ اليسار isoclinic أولئك الذين لديهم علامات معاكسة مثل اسوكلينيك الصحيح. يتم تمثيل التدويرات المتساوية لليسار واليمين على التوالي بضرب اليسار واليمين بواسطة أرباع الوحدات انظر الفقرة "العلاقة مع الكواتيرن" أدناه.

الدورات الأربع مختلفة في اتجاهين ما لم يكن α = 0 أو α = π. الزاوية α = 0 يتوافق مع دوران الهوية α = π تقابل الانعكاس المركزي المعطى بالسالب لمصفوفة الهوية. هذان العنصران من SO (4) هما الوحيدان اللذان يتواجدان في نفس الوقت على اليسار واليمين.

يبدو أن الإيزوكليني الأيسر والأيمن المحدد على النحو الوارد أعلاه يعتمد على الدوران المعين المحدد الذي تم اختياره. ومع ذلك ، عندما يتم تحديد دوران متساوي آخر R ′ بمحاوره الخاصة OU ′ و OX ′ و OY ′ و OZ ′ ، فيمكن للمرء دائمًا اختيار ترتيب U ′ و X ′ و Y ′ و Z ′ بحيث يمكن أن يكون OUXYZ تحول إلى OU′X′Y′Z ′ بالتناوب بدلاً من انعكاس الدوران (أي ، بحيث يكون الأساس المرتب OU ′ و OX ′ و OY ′ و OZ متوافقًا أيضًا مع نفس الاختيار الثابت للتوجيه مثل OU ، OX ، OY ، OZ). لذلك ، بمجرد اختيار الاتجاه (أي نظام OUXYZ من المحاور الذي يُشار إليه عالميًا على أنه اليد اليمنى) ، يمكن للمرء تحديد الطابع الأيسر أو الأيمن لدوران متساوي محدد.

هيكل مجموعة SO (4) تحرير

كل مستوى من خلال مركز الدوران O هو المستوى المحوري لمجموعة فرعية تبادلية متشابهة إلى SO (2). كل هذه المجموعات الفرعية مترافقة بشكل متبادل في SO (4).

كل زوج من الطائرات المتعامدة تمامًا من خلال O هو زوج من الطائرات الثابتة لمجموعة فرعية تبادلية من SO (4) isomorphic إلى SO (2) × SO (2).

هذه المجموعات هي أقصى توري لـ SO (4) ، وكلها مترابطة بشكل متبادل في SO (4). انظر أيضًا Clifford torus.

تشكل جميع الدورات المستقيمة اليسرى مجموعة فرعية غير تبادلية س 3 إل من SO (4) ، وهو مشابه لمجموعة المضاعفة س 3 أرباع الوحدة. وبالمثل ، تشكل جميع الدورات المستقيمة اليمنى مجموعة فرعية س 3 ص من SO (4) متشابه إلى س 3. كلاهما س 3 إل و س 3 ص هي مجموعات فرعية قصوى من SO (4).

يتنقل كل دوران يسار متساوي الاتجاه مع كل دوران يمين متساوي الاتجاه. هذا يعني وجود منتج مباشر س 3 إل × س 3 ص مع المجموعات الفرعية العادية س 3 إل و س 3 ص كلتا مجموعتي العوامل المناظرتين متشابهتان مع العامل الآخر للمنتج المباشر ، أي متشابه إلى س 3. (هذه ليست SO (4) أو مجموعة فرعية منها ، لأن س 3 إل و س 3 ص ليست مفككة: الهوية أنا والانعكاس المركزي -أنا كل واحد ينتمي إلى كليهما س 3 إل و س 3 ص .)

كل دوران رباعي الأبعاد A بطريقتين هو نتاج دوران يسار ويمين أإل و أص . أإل و أص يتم تحديدهما معًا حتى الانعكاس المركزي ، أي عند كليهما أإل و أص مضروبة في الانقلاب المركزي ناتجها A مرة أخرى.

وهذا يعني أن س 3 إل × س 3 ص هي مجموعة التغطية الشاملة لـ SO (4) - غلافها المزدوج الفريد - وذاك س 3 إل و س 3 ص هي مجموعات فرعية طبيعية من SO (4). دوران الهوية الأول والانعكاس المركزي -أنا تشكل مجموعة ج2 من أجل 2 ، وهو مركز SO (4) وكليهما س 3 إل و س 3 ص . مركز المجموعة هو مجموعة فرعية طبيعية لتلك المجموعة. مجموعة عوامل C2 في SO (4) متماثل إلى SO (3) × SO (3). مجموعات عوامل س 3 إل بواسطة C2 وبناءا على س 3 ص بواسطة C2 كل منها متشابه إلى SO (3). وبالمثل ، فإن مجموعات عامل SO (4) بواسطة س 3 إل و SO (4) بواسطة س 3 ص كل منها متشابه إلى SO (3).

طوبولوجيا SO (4) هي نفسها تلك الخاصة بمجموعة الكذب SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2) ، وهي المساحة P 3 × S 3 ^ <3> مرات mathbb ^ <3>> حيث P 3 ^ <3>> هي مساحة الإسقاط الحقيقية للبعد 3 و S 3 ^ <3>> هو 3 كرة. ومع ذلك ، من الجدير بالذكر أنه ، كمجموعة لاي ، فإن SO (4) ليس نتاجًا مباشرًا لمجموعات الكذب ، وبالتالي فهي ليست متماثلة لـ SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2 ).

خاصية خاصة لـ SO (4) بين مجموعات التناوب بشكل عام تحرير

لا تحتوي مجموعات الدوران الفردية الأبعاد على الانعكاس المركزي وهي مجموعات بسيطة.

تحتوي مجموعات الدوران الزوجي الأبعاد على الانعكاس المركزي -أنا ولديها المجموعة ج2 = < أنا , −أنا > كمركزهم. بالنسبة إلى n ≥ 6 ، فإن SO (n) يكاد يكون بسيطًا من حيث مجموعة العوامل SO (n) / C2 من SO (n) بمركزها عبارة عن مجموعة بسيطة.

SO (4) مختلف: لا يوجد اقتران من قبل أي عنصر من SO (4) يحول الدوران الأيمن والأيسر إلى بعضهما البعض. تقوم الانعكاسات بتحويل دوران يسار isoclinic إلى دوران يمين isoclinic عن طريق الاقتران ، والعكس صحيح. هذا يعني أنه ضمن المجموعة O (4) من الكل مساواة مع نقطة ثابتة O المجموعات الفرعية المتميزة س 3 إل و س 3 ص مترافقة مع بعضها البعض ، وبالتالي لا يمكن أن تكون مجموعات فرعية طبيعية لـ O (4). تحتوي مجموعة الدوران 5D SO (5) وجميع مجموعات الدوران الأعلى على مجموعات فرعية متشابهة إلى O (4). مثل SO (4) ، تحتوي جميع مجموعات الدوران ذات الأبعاد الزوجية على دوران متساوي. ولكن على عكس SO (4) ، في SO (6) وجميع مجموعات الدوران ذات الأبعاد الأعلى ، فإن أي دورانين متساويين من خلال نفس الزاوية مترافقان. مجموعة جميع دورات isoclinic ليست حتى مجموعة فرعية من SO (2 ن ) ، ناهيك عن مجموعة فرعية عادية.

يتم تحديد SO (4) بشكل شائع مع مجموعة التعيينات الخطية متساوية القياس التي تحافظ على الاتجاه لمساحة متجه 4D مع منتج داخلي فوق الأرقام الحقيقية على نفسها.

فيما يتعلق بالأساس المتعامد في مثل هذا الفضاء ، يتم تمثيل SO (4) كمجموعة من المصفوفات المتعامدة الحقيقية من الدرجة الرابعة مع محدد +1.

تحرير التحلل Isoclinic

يتحلل دوران رباعي الأبعاد معطى بواسطة مصفوفته إلى دوران يسار متساوي ويمين دوران متساوي الميل [2] على النحو التالي:

تكون مصفوفتها فيما يتعلق بأساس متعامد تعسفي.

احسب من هذا ما يسمى ب المصفوفة المنتسبة

M لديها المرتبة الأولى وهي من معيار الوحدة الإقليدية كمتجه 16D إذا وفقط إذا كان A بالفعل مصفوفة دوران 4D. في هذه الحالة توجد أرقام حقيقية أ, ب, ج, د و ص, ف, ص, س مثل ذلك

هناك مجموعتان بالضبط من أ, ب, ج, د و ص, ف, ص, س مثل ذلك أ 2 + ب 2 + ج 2 + د 2 = 1 و ص 2 + ف 2 + ص 2 + س 2 = 1. هم متضادون لبعضهم البعض.

ثم تساوي مصفوفة الدوران

تعود هذه الصيغة إلى Van Elfrinkhof (1897).

يمثل العامل الأول في هذا التحلل دورانًا يمينًا يسارًا ، بينما يمثل العامل الثاني دورانًا يمينًا متساويًا. يتم تحديد العوامل حتى مصفوفة هوية الرتبة الرابعة السلبية ، أي الانعكاس المركزي.

فيما يتعلق بالمربعات تحرير

نقطة في فضاء رباعي الأبعاد بإحداثيات ديكارتية (ش, x, ذ, ض) يمكن تمثيلها بواسطة رباعي ص = ش + الحادي عشر + yj + ض .

يتم تمثيل الدوران الأيسر isoclinic بضرب اليسار بواسطة وحدة رباعية سإل = أ + ثنائية + سي جيه + dk . في لغة متجه المصفوفة هذا هو

وبالمثل ، يتم تمثيل الدوران الأيمن من خلال الضرب الأيمن بواسطة وحدة رباعية سص = ص + تشي + rj + كورونا ، والتي هي في شكل مصفوفة متجه

في القسم السابق (# التحلل الإكلينيكي) ، يظهر كيف يتم تقسيم الدوران العام رباعي الأبعاد إلى عوامل متساوية اليسار واليمين.

في اللغة الرباعية تقرأ صيغة فان إلفرينكهوف

u ′ + x ′ i + y ′ j + z ′ k = (a + b i + c j + d k) (u + x i + y j + z k) (p + q i + r j + s k) ،

وفقًا لعالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين ، كانت هذه الصيغة معروفة بالفعل لكايلي في عام 1854 [ بحاجة لمصدر ] .

الضرب الرباعي هو ترابطي. لذلك،

مما يدل على أن الدوران بين اليسار واليمين يتنقل.

تحرير القيم الذاتية لمصفوفات الدوران رباعية الأبعاد

تحدث القيم الذاتية الأربعة لمصفوفة الدوران رباعية الأبعاد بشكل عام كزوجين مترافقين من الأعداد المركبة لوحدة الحجم. إذا كانت قيمة eigenvalue حقيقية ، فيجب أن تكون ± 1 ، لأن الدوران يترك حجم المتجه دون تغيير. اتحاد قيمة eigenvalue هو أيضًا الوحدة ، مما ينتج عنه زوج من المتجهات الذاتية التي تحدد مستوى ثابتًا ، وبالتالي يكون الدوران بسيطًا. في التدوين الرباعي ، يكون الدوران المناسب (أي غير المقلوب) في SO (4) دورانًا بسيطًا مناسبًا إذا وفقط إذا كانت الأجزاء الحقيقية من وحدات quaternions سإل و سص متساوية في الحجم ولها نفس العلامة. [ج] إذا كان كلاهما صفرًا ، فإن كل القيم الذاتية للدوران تكون وحدة ، والدوران هو الدوران الصفري. إذا كانت الأجزاء الحقيقية من سإل و سص ليست متساوية ، فكل قيم eigenvalues ​​معقدة ، والدوران هو دوران مزدوج.

صيغة Euler – Rodrigues لتحرير الدورات ثلاثية الأبعاد

يتم التعامل مع مساحتنا ثلاثية الأبعاد العادية بشكل ملائم على أنها مساحة فرعية مع نظام إحداثيات 0XYZ لمساحة 4D مع نظام إحداثيات UXYZ. يتم تحديد مجموعة التناوب SO (3) مع المجموعة الفرعية لـ SO (4) التي تتكون من المصفوفات

في صيغة Van Elfrinkhof في القسم الفرعي السابق ، يؤدي هذا التقييد إلى ثلاثة أبعاد ص = أ , ف = −ب , ص = −ج , س = −د ، أو في تمثيل رباعي: سص = سإل′ = سإل −1. ثم تصبح مصفوفة الاستدارة ثلاثية الأبعاد

وهو تمثيل الدوران ثلاثي الأبعاد بواسطة معلمات Euler-Rodrigues الخاصة به: أ, ب, ج, د .

صيغة الرباعي المقابلة ف ′ = QPQ −1 أين س = سإل ، أو في شكل موسع:

x ′ i + y ′ j + z ′ k = (a + b i + c j + d k) (x i + y j + z k) (a - b i - c j - d k)

إحداثيات هوبف تحرير

يتم إجراء التدويرات في الفضاء ثلاثي الأبعاد بشكل أكثر قابلية للتتبع من خلال استخدام الإحداثيات الكروية. يمكن تمييز أي دوران ثلاثي الأبعاد بمحور دوران ثابت ومستوى ثابت عمودي على هذا المحور. بدون فقدان العمومية ، يمكننا اعتبار المستوى xy على أنه المستوى الثابت والمحور z باعتباره المحور الثابت. نظرًا لأن المسافات الشعاعية لا تتأثر بالدوران ، يمكننا تمييز الدوران من خلال تأثيره على وحدة المجال (2-كرة) بواسطة الإحداثيات الكروية المشار إليها بالمحور الثابت والمستوى الثابت:

لان x 2 + ذ 2 + ض 2 = 1 ، النقاط تقع على الكرة 2. نقطة في <θ0, φ0> استدارة بزاوية φ حول المحور z يتم تحديده ببساطة بواسطة <θ0, φ0 + φ>. في حين أن الإحداثيات الفائقة الكروية مفيدة أيضًا في التعامل مع التدوير رباعي الأبعاد ، يتم توفير نظام إحداثيات أكثر فائدة للرباعية الأبعاد بواسطة إحداثيات هوبف <ξ1, η, ξ2> ، [3] وهي مجموعة من ثلاثة إحداثيات زاوية تحدد موقعًا على الكرة الثلاثية. فمثلا:

لان ش 2 + x 2 + ذ 2 + ض 2 = 1 ، النقاط تقع على الكرة 3.

في الفضاء رباعي الأبعاد ، يكون لكل دوران حول الأصل طائرتان ثابتتان متعامدتان تمامًا مع بعضهما البعض وتتقاطعان عند الأصل ، ويتم تدويرهما بزاويتين مستقلتين ξ1 و ξ2 . بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نختار ، على التوالي ، طائرتا uz و xy مثل هذه الطائرات الثابتة. دوران في 4D لنقطة <ξ10, η0, ξ20> من خلال الزوايا ξ1 و ξ2 ثم يتم التعبير عنها ببساطة في إحداثيات هوبف كـ <ξ10 + ξ1, η0, ξ20 + ξ2> .

كل دوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد له خط محور ثابت لا يتغير بالدوران. يتم تحديد الدوران تمامًا عن طريق تحديد محور الدوران وزاوية الدوران حول هذا المحور. بدون فقدان التعميم ، يمكن اختيار هذا المحور باعتباره المحور z لنظام الإحداثيات الديكارتية ، مما يسمح بتصور أبسط للدوران.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، الإحداثيات الكروية <θ, φ> قد يُنظر إليه على أنه تعبير حدودي للكرة 2. بالنسبة للثابت يصفون الدوائر الموجودة على الكرة 2 والتي تكون متعامدة مع المحور z ويمكن اعتبار هذه الدوائر كمسارات لنقطة على الكرة. نقطة <θ0, φ0> على الكرة ، تحت دوران حول المحور z ، سيتبع مسار <θ0, φ0 + φ> حيث تختلف الزاوية. يمكن النظر إلى المسار على أنه حدودي للدوران في الوقت المناسب ، حيث تكون زاوية الدوران خطية في الوقت المناسب: φ = ωt ، مع كون ω "السرعة الزاوية".

على غرار الحالة ثلاثية الأبعاد ، يحتوي كل دوران في مساحة 4D على مستويين محوريين ثابتين على الأقل يتم تركهما ثابتًا من خلال الدوران ومتعامدين تمامًا (أي أنهما يتقاطعان عند نقطة ما). يتم تحديد الدوران تمامًا عن طريق تحديد مستويات المحور وزوايا الدوران حولها. بدون فقدان التعميم ، يمكن اختيار مستويات المحور هذه لتكون الطائرات uz و xy لنظام الإحداثيات الديكارتية ، مما يسمح بتصور أبسط للدوران.

يمكن اشتقاق الدورات رباعية الأبعاد من صيغة دوران رودريغز وصيغة كايلي. لنفترض أن A يكون مصفوفة متناظرة 4 × 4. يمكن أن تتحلل المصفوفة المنحرفة المتماثلة أ بشكل فريد إلى شكل

إلى مصفوفتين منحرفتين متماثلتين أ1 و أ2 إرضاء الخصائص أ1أ2 = 0 , أ1 3 = −أ1 و أ2 3 = −أ2 أين ∓θ1أنا و ∓θ2أنا هي القيم الذاتية لـ A. بعد ذلك ، يمكن الحصول على مصفوفات الدوران رباعية الأبعاد من مصفوفات الانحراف المتماثل أ1 و أ2 من خلال صيغة دوران رودريغز وصيغة كايلي. [6]

لنفترض أن A تكون مصفوفة غير متماثلة ذات انحراف غير صفري 4 × 4 مع مجموعة القيم الذاتية

ثم يمكن أن يتحلل A كـ

أين أ1 و أ2 هي مصفوفات منحرفة متناظرة تفي بالخصائص

علاوة على ذلك ، المصفوفات المنحرفة المتماثلة أ1 و أ2 يتم الحصول عليها بشكل فريد كـ

هي مصفوفة تناوب في ه 4 ، والتي تم إنشاؤها بواسطة صيغة دوران رودريغز ، مع مجموعة قيم eigenvalues

هي مصفوفة تناوب في ه 4 ، والتي تم إنشاؤها بواسطة صيغة دوران كايلي ، مثل أن مجموعة القيم الذاتية لـ R هي ،

يمكن تصنيف مصفوفة الدوران المولدة فيما يتعلق بالقيم θ1 و θ2 على النحو التالي:


لا يزال مقدار المتجه هو طول المتجه حتى في الأبعاد الأعلى.

قد يكون من المفيد تذكر الجذور اللاتينية لثلاث كلمات هنا:

المتجه هي كلمة لاتينية تعني "الناقل" ، مثل السفينة أو الحصان ، أو "الراكب" - وهو شيء يمكن الذهاب إليه في رحلة. (متعلق ب مركبة، الشيء الذي تركب فيه.)

الحجم هو Anglicized اللاتينية لكلمة "كبر". (متعلق ب المكبر—A "biggifier".)

اتجاه يأتي من فعل لاتيني لـ "steer" ، أي اختيار الطريقة التي تسير بها السيارة.

عندما أراد الفيزيائيون تسمية كمية رياضية من شأنها أن تأخذ نقطة من أجل "الركوب" ، في نفس الوقت للدلالة على المسافة والاتجاه ، استعاروا الكلمات اللاتينية لهذه الأشياء. حجم المتجه هو ببساطة المسافة التي يحملها نقطة.

من السهل أن نغفل عن هذا عندما يتم تجريد المفاهيم إلى أبعاد أعلى وحتى مستويات أخرى من التجريد ، ولكن "أخذك في رحلة ، مسافة معينة في اتجاه معين" ، هو الاستعارة الأساسية.

أسهل طريقة لاستشعار ذلك (في الأبعاد المحدودة) هي محاولة تخيل مفهومك لـ "طول الإزاحة" في أكثر من 3 أبعاد.

فكر في الطريقة التي يمتد بها مفهوم الطول في بعدين إلى مفهوم الطول في 3 أبعاد عند إضافة محور متعامد إضافي. من الناحية النظرية (على الرغم من صعوبة تصور ذلك) ، يمكننا إضافة محور رابع متعامد وإنشاء مساحة رباعية الأبعاد بمسافات وأطوال. مقدار المتجه في 4 أبعاد هو طول الإزاحة في هذا الفضاء الجديد.

بشكل عام ، يتوافق مفهوم الطول مع معيار وهي دالة تحدد طولًا موجبًا بدقة أو حجمًا لكل متجه في مساحة متجه للمتجه الصفري ، يتم تعيين طول صفري لها.

على مساحة إقليدية ذات أبعاد n $ mathbb$ ، يتم التعبير عن الفكرة البديهية لطول المتجه $ x = (x_1، x_2،. x_n) $ بواسطة

الذي يعطي المسافة العادية من الأصل إلى النقطة X ، كنتيجة لنظرية فيثاغورس.

إذا كان لديك 4 متغيرات $ x، y، z، w $ وقمت بنقل هذه المتغيرات بواسطة $ delta x، delta y، delta z، delta w $ ثم $ sqrt <( delta x) ^ 2+ ( delta y) ^ 2 + ( delta z) 2+ ( delta w) ^ 2> $ هو مقدار التغيير الذي قمت به.

هناك الكثير من الإجابات الفنية على سؤالك ، ولكن إذا أخذنا مفهوم الدوران في أبعاد أعلى كأمر مسلم به ، يمكنك فهم طول المتجه بالطريقة نفسها التي تفهمها به في الأبعاد الأقل.

المتجه هو كائن أحادي البعد ، يمكنك دائمًا تدويره حتى يتماشى مع المحور x ، ثم يكون طوله هو الطول المعتاد على المحور x.

يمكنك فهم الصيغة $ | vec x | = sqrt < sum_i x_i ^ 2> $ ، باستخدام تطبيقات متعددة لنظرية فيثاغورس كلها في مستويات ثنائية الأبعاد.

على سبيل المثال ، بالنسبة للمتجه رباعي الأبعاد ، يوجد مكون من المتجه على طول البعد الرابع. إذا قمت بطرح هذا المكون ، فسيكون الباقي متجهًا في المسافة $ x $ - $ y $ - $ z $ -space. دعونا نسميها $ vec u = vec x - x_4 hat e_4 $. يمكنك تدوير المساحة بحيث يكون المتجهان $ vec u $ و $ hat e_4 $ في الطائرة $ x $ - $ y $ (أو تحريك الطائرة $ u $ - $ e_4 $). ثم حسب نظرية فيثاغورس $ | vec x | = sqrt <| vec u | ^ 2 + | x_4 hat e_4 | ^ 2> = sqrt <| vec u | ^ 2 + x_4 ^ 2> $. هذا مجرد مثلث قائم الزاوية في الفضاء ثنائي الأبعاد المحدد بواسطة $ vec u $ و $ hat e_4 $ و $ vec u $ و $ x_4 hat e_4 $ ضلعه. لكنك تعلم أن $ | vec u | ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 $ (هذا هو فقط الطول في بُعد الشجرة ، يمكنك استنتاج ذلك بنفس الوسيطة المذكورة أعلاه). لذلك ، $ | vec x | = sqrt$.


المتجه 4

لعرض المنتج النقطي لمتجهين - راجع http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html تم تجاهل عنصر W.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

إرجاع صحيح إذا كان المتجه A يساوي المتجه B (A == B) ضمن تفاوت خطأ محدد

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

إرجاع صحيح إذا كان المتجه A يساوي المتجه B (A == B)

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

يحدد ما إذا كان المتجه طبيعيًا / وحدة (الطول 1). يتم تجاهل عنصر W.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

يحدد ما إذا كان المتجه مسويًا / وحدة (الطول 1) ضمن تفاوت التربيع المحدد. يتم تجاهل عنصر W.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

إرجاع طول المتجه.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

إرجاع الطول التربيعي للمتجه.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

إرجاع طول المتجه. يتم تجاهل عنصر W.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

الطول XYZ تربيع (Vector4)

إرجاع الطول التربيعي للمتجه. يتم تجاهل عنصر W.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

يحصل على نسخة مرفوضة من المتجه. يعادل -Vector للنصوص.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

XYZ عادي غير آمن (Vector4)

لحساب إصدار الوحدة المعيارية للمتجه دون التحقق من الطول الصفري. يتم تجاهل العنصر W والمتجه الذي تم إرجاعه يكون W = 0.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

التطبيع في مكان XYZ (Vector4)

قم بتطبيع هذا المتجه في المكان إذا كان كبيرًا بدرجة كافية أو اضبطه على (0،0،0،0) بخلاف ذلك. يتم تجاهل العنصر W والمتجه الذي تم إرجاعه يكون W = 0.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

الحصول على نسخة وحدة معيارية من المتجه ، مما يضمن أنها آمنة للقيام بذلك بناءً على الطول. يتم تجاهل العنصر W والمتجه الذي تم إرجاعه يكون W = 0. إرجاع متجه صفري إذا كان طول المتجه صغيرًا جدًا بحيث لا يمكن تطبيعه بأمان.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

إرجاع صحيح إذا كان المتجه A لا يساوي المتجه B (A! = B) ضمن تفاوت خطأ محدد

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

غير متساوي تمامًا (Vector4)

إرجاع صحيح إذا كان المتجه A لا يساوي المتجه B (A! = B) ضمن تفاوت خطأ محدد

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

تحويل Vector4 بواسطة Matrix

قم بتحويل متجه الإدخال 4 بواسطة مصفوفة متوفرة 4 × 4 وإرجاع المتجه الناتج 4.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

قم بتعيين قيم المتجه الموفر.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

يحدد ما إذا كان أي مكون ليس رقمًا (NAN)

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

المتجه 4 صفر تقريبًا 3

للتحقق مما إذا كان المتجه قريبًا من الصفر ضمن تفاوت محدد. يتم تجاهل عنصر W.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

للتحقق مما إذا كانت جميع مكونات المتجه صفرًا تمامًا.

الهدف هو مكتبة رياضيات Kismet

Vector 4 مرآة بواسطة Vector 3

بالنظر إلى متجه الاتجاه والسطح الطبيعي ، يتم إرجاع المتجه المنعكس عبر السطح بشكل طبيعي. ينتج نتيجة مثل تسليط الليزر على المرآة! يتم تجاهل عنصر W.


الحصول على قيمة تشير إلى ما إذا كانت عمليات المتجه تخضع لتسريع الأجهزة من خلال دعم JIT الداخلي.

تُرجع متجهًا جديدًا تكون عناصره هي القيم المطلقة لعناصر المتجه المحددة.

إرجاع متجه جديد قيمته مجموع كل زوج من العناصر من متجهين محددين.

تُرجع متجهًا جديدًا عن طريق إجراء عملية أحادي الاتجاه "وليس" على كل زوج من العناصر المقابلة في متجهين.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى متجه للبايتات غير الموقعة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد في متجه فاصلة عائمة مزدوج الدقة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى متجه من أعداد صحيحة 16 بت.

يعيد تفسير بتات متجه محدد في تلك الخاصة بمتجه الأعداد الصحيحة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى متجه للأعداد الصحيحة الطويلة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى وحدات متجه للبايتات الموقعة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد في متجه فاصلة عائمة وحيد الدقة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى متجه لأعداد صحيحة 16 بت غير إشارة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى متجه للأعداد الصحيحة غير الموقعة.

يعيد تفسير بتات متجه محدد إلى متجه للأعداد الصحيحة الطويلة بدون إشارة.

تُرجع متجهًا جديدًا عن طريق إجراء عملية على مستوى البت "و" على كل زوج من العناصر في متجهين.

تُرجع متجهًا جديدًا بتنفيذ الأمر على مستوى أحادي أو العملية على كل زوج من العناصر في متجهين.

تُرجع متجهًا جديدًا تكون عناصره أصغر قيم متكاملة أكبر من أو تساوي عناصر المتجه المحددة.

تُرجع متجهًا جديدًا تكون عناصره أصغر قيم متكاملة أكبر من أو تساوي عناصر المتجه المحددة.

ينشئ متجهًا جديدًا أحادي الدقة بعناصر محددة بين متجهي مصدر أحادي الدقة محددين استنادًا إلى متجه قناع متكامل.

ينشئ متجهًا جديدًا مزدوج الدقة بعناصر محددة بين متجهي مصدر مزدوج الدقة محددين بناءً على متجه قناع متكامل.

ينشئ متجهًا جديدًا من نوع محدد بعناصر محددة بين متجهي مصدر محددين من نفس النوع بناءً على متجه قناع متكامل.

يحول Vector & ltInt64 & gt إلى Vector & ltDouble & gt.

يحول Vector & ltUInt64 & gt إلى Vector & ltDouble & gt.

يحول Vector & ltSingle & gt إلى Vector & ltInt32 & gt.

يحول Vector & ltDouble & gt إلى Vector & ltInt64 & gt.

يحول Vector & ltInt32 & gt إلى Vector & ltSingle & gt.

يحول Vector & ltUInt32 & gt إلى Vector & ltSingle & gt.

يحول Vector & ltSingle & gt إلى Vector & ltUInt32 & gt.

يحول Vector & ltDouble & gt إلى Vector & ltUInt64 & gt.

تُرجع متجهًا جديدًا تكون قيمه نتيجة قسمة عناصر المتجه الأول على العناصر المقابلة في المتجه الثاني.

إرجاع حاصل الضرب القياسي لمتجهين.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجهي دقة مزدوجة محددين متساوية.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجهين متكاملين محددين متساوية.

إرجاع متجه جديد تشير عناصره إلى تساوي العناصر الموجودة في متجهين صحيحين طويلين.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر في متجهين أحاديي الدقة محددين متساوية.

إرجاع متجه جديد من نوع محدد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجهين محددين من نفس النوع متساوية.

تُرجع قيمة تشير إلى ما إذا كان كل زوج من العناصر في المتجهات المعينة متساويًا أم لا.

تُرجع قيمة تشير إلى تساوي أي زوج مفرد من العناصر في المتجهات المحددة.

تُرجع متجهًا جديدًا تكون عناصره أكبر قيم تكاملية أصغر من أو تساوي عناصر المتجه المحددة.

تُرجع متجهًا جديدًا تكون عناصره أكبر قيم تكاملية أصغر من أو تساوي عناصر المتجه المحددة.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه فاصلة عائمة مزدوج الدقة أكبر من العناصر المقابلة لها في متجه النقطة العائمة مزدوج الدقة الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه متكامل أكبر من العناصر المقابلة لها في متجه متكامل ثانٍ.

إرجاع متجه عدد صحيح طويل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه عدد صحيح طويل أكبر من العناصر المقابلة لها في متجه عدد صحيح طويل ثانٍ.

تُرجع متجهًا متكاملًا جديدًا تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه فاصلة عائمة واحد بدقة واحدة أكبر من العناصر المقابلة لها في متجه النقطة العائمة الثاني ذي الدقة الواحدة.

إرجاع متجه جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه واحد لنوع محدد أكبر من العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني في نفس الوقت.

ترجع قيمة تشير إلى ما إذا كانت جميع العناصر في المتجه الأول أكبر من العناصر المقابلة في المتجه الثاني.

ترجع قيمة تشير إلى ما إذا كان أي عنصر في المتجه الأول أكبر من العنصر المقابل في المتجه الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه واحد أكبر من العناصر المقابلة لها أو مساوية لها في متجه النقطة العائمة المزدوج الدقة الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه متكامل أكبر من أو تساوي العناصر المقابلة لها في المتجه المتكامل الثاني.

إرجاع متجه عدد صحيح طويل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه عدد صحيح طويل أكبر من أو تساوي العناصر المقابلة لها في متجه العدد الصحيح الطويل الثاني.

تُرجع متجهًا متكاملًا جديدًا تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه واحد أكبر من أو تساوي العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني ذي النقطة العائمة أحادية الدقة.

إرجاع متجه جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه واحد لنوع محدد أكبر من أو تساوي العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني من نفس النوع.

ترجع قيمة تشير إلى ما إذا كانت جميع العناصر في المتجه الأول أكبر من أو تساوي جميع العناصر المقابلة في المتجه الثاني.

تُرجع قيمة تشير إلى ما إذا كان أي عنصر في المتجه الأول أكبر من أو يساوي العنصر المقابل في المتجه الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر في متجه فاصلة عائمة مزدوج الدقة أقل من العناصر المقابلة لها في متجه النقطة العائمة مزدوج الدقة الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه متكامل أقل من العناصر المقابلة لها في متجه متكامل ثانٍ.

إرجاع متجه عدد صحيح طويل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه عدد صحيح طويل أقل من العناصر المقابلة لها في متجه عدد صحيح طويل ثانٍ.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه أحادي الدقة أقل من العناصر المقابلة لها في متجه ثانٍ أحادي الدقة.

إرجاع متجه جديد من نوع محدد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه واحد أقل من العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني.

تُرجع قيمة تشير إلى ما إذا كانت جميع العناصر في المتجه الأول أقل من العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني.

تُرجع قيمة تشير إلى ما إذا كان أي عنصر في المتجه الأول أقل من العنصر المقابل في المتجه الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه فاصلة عائمة مزدوج الدقة أقل من أو تساوي العناصر المقابلة لها في متجه النقطة العائمة مزدوج الدقة الثاني.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه متكامل أقل من أو تساوي العناصر المقابلة لها في متجه متكامل ثانٍ.

إرجاع متجه عدد صحيح طويل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه عدد صحيح طويل أقل أو تساوي العناصر المقابلة لها في متجه عدد صحيح طويل ثانٍ.

إرجاع متجه متكامل جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه فاصلة عائمة واحد بدقة واحدة أقل من العناصر المقابلة لها أو مساوية لها في متجه ثاني ذي فاصلة عائمة أحادية الدقة.

إرجاع متجه جديد تشير عناصره إلى ما إذا كانت العناصر الموجودة في متجه واحد أقل من أو تساوي العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني.

تُرجع قيمة تشير إلى ما إذا كانت جميع العناصر في المتجه الأول أقل من أو تساوي العناصر المقابلة لها في المتجه الثاني.

تُرجع قيمة تشير إلى ما إذا كان أي عنصر في المتجه الأول أقل من أو يساوي العنصر المقابل في المتجه الثاني.

Returns a new vector whose elements are the maximum of each pair of elements in the two given vectors.

Returns a new vector whose elements are the minimum of each pair of elements in the two given vectors.

Returns a new vector whose values are a scalar value multiplied by each of the values of a specified vector.

Returns a new vector whose values are the values of a specified vector each multiplied by a scalar value.

Returns a new vector whose values are the product of each pair of elements in two specified vectors.

Narrows two Vector<Double> instances into one Vector<Single> .

Narrows two Vector<Int16> instances into one Vector<SByte> .

Narrows two Vector<Int32> instances into one Vector<Int16> .

Narrows two Vector<Int64> instances into one Vector<Int32> .

Narrows two Vector<UInt16> instances into one Vector<Byte> .

Narrows two Vector<UInt32> instances into one Vector<UInt16> .

Narrows two Vector<UInt64> instances into one Vector<UInt32> .

Returns a new vector whose elements are the negation of the corresponding element in the specified vector.

Returns a new vector whose elements are obtained by taking the one's complement of a specified vector's elements.

Returns a new vector whose elements are the square roots of a specified vector's elements.

Returns a new vector whose values are the difference between the elements in the second vector and their corresponding elements in the first vector.

Widens a Vector<Byte> into two Vector<UInt16> instances.

Widens a Vector<Int16> into two Vector<Int32> instances.

Widens a Vector<Int32> into two Vector<Int64> instances.

Widens a Vector<SByte> into two Vector<Int16> instances.

Widens a Vector<Single> into two Vector<Double> instances.

Widens a Vector<UInt16> into two Vector<UInt32> instances.

Widens a Vector<UInt32> into two Vector<UInt64> instances.

Returns a new vector by performing a bitwise exclusive Or ( XOr ) operation on each pair of elements in two vectors.


Proof that the 24 cell IS the 4 dimensional vector equilibrium

The sixth four dimensional ‘Platonic Solid’ known as the 24 cell IS the 4 dimensional vector equilibrium. (For basic information about the 6 regular convex polytopes I suggest starting here http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_regular_4-polytope. As far as I know this has not been noted before as googling the term 𔄜 dimensional vector equilibrium” at this time brings up no relevant results other than this page here. I have found one reference on Wolfram Mathworld that shows they are aware of the facts. The figure on the right is the most accurate diagram I have seen of this projection. Every point is connected to 8 other points.

The 24 cell is so named because it is bounded by 24 Octahedrons meeting at 24 points, 96 edges. The 24 points also form 96 equilateral triangular faces each of which is shared by 2 Octahedrons. When the vertices of the 24 cell are linked to the centre of the 4 dimensional figure the triangles form 96 tetrahedrons.

Although the 24 cells boundary is composed only of Octahedrons, internally the edges cell also form 12 cubes, 12 rhombic dodecahedrons, 3 hypercubes, and 12 cuboctahedra – but I am by no means finished counting all the incidental forms! Most likely the points of the dual of the hypercube known as the 16 cell are also present but not connected by edges.

To make these forms visible in 2 dimensional projection the 24 points can be arranged in 3 circles of 8 points with the central circle out of phase with the outer and inner circle. In 3 dimensional projection the central and outer circles should be separated into 2 circles of 4 points lifted above and below the plane of the 2 dimensional projection.

As the 24 cell is one of the 6 regular convex 4 dimensional solids, all 24 points are of course by definition equally distant from the centre of the 4 dimensional figure, and therefore all arranged on the hypersurface of a hypersphere of the same radius.

The 24 cell can be constructed from the hypercube (also known as the 8 cell or tesseract) by joining the centres of its adjacent squares.

Proof that the Points of the Triangles are the same distance apart as they are from the centre of the 24 cell

To be the 4 dimensional vector equilibrium the lengths of the edges of the 24 cell must be the same as the distance of the vertexes from the centre of the 4d form.
The proof that this is so can be done using only the Pythagorean theorem as follows.

First we calculate the distance of the vertexes of a hypercube from the centre of the hypercube.
The easiest way to do this is by creating a table showing the progression of distances as we climb up through the dimensions from the line, to the square, to the cube, to the hypercube.

Distances from the Centre to the various locations on Measure Polytopes of unit 2 Edge Length

VertexحافةوجهصلبHypersolid
خط1
Squareroot 21
مكعبroot 3root 21
Hypercuberoot 4root 3root 21
5D Measure Solidroot 5root 4root 3root 21

Using this table we see that the vertexes of the hypercube are exactly the same distance from their connected neighbors as they are from the centre of the hypercube. For convenience we have called this two units so as to make the calculations as simple as possible.

Using the Pythagorean theorem the distance between centre points of the square faces of the hypercube can be easily calculated to be root 2.
Therefore when the cubes of the hypercube are converted to their dual octahedra by connecting their square centres, every edge length of the equilateral triangles will be root2 and the vertexes of the triangles will be root2 units from the centre of the 4 dimensional form.

Still curious about the Vector Equilibrium and the 24 Cell ?

Here is a video (interesting mostly for its historical value) of Buckminster Fuller explaining the ‘jitterbug’ collapse of a vector equilibrium with rubber joints.|

Vector Equilibrium: R. Buckminster Fuller
R. Buckminster Fuller on “The Vector Equilibrium “: Everything I Know Sessions, Philly, PA: 1975.For additional videos go to


Magnitude and Direction of Vectors

The magnitude of a vector P Q &rarr is the distance between the initial point P and the end point Q . In symbols the magnitude of P Q &rarr is written as | &thinsp P Q &rarr &thinsp | .

If the coordinates of the initial point and the end point of a vector is given, the Distance Formula can be used to find its magnitude.

| &thinsp P Q &rarr &thinsp | = ( x 2 &minus x 1 ) 2 + ( y 2 &minus y 1 ) 2

Find the magnitude of the vector P Q &rarr whose initial point P is at ( 1 , 1 ) and end point is at Q is at ( 5 , 3 ) .

Substitute the values of x 1 , y 1 , x 2 , and y 2 .

The magnitude of P Q &rarr is about 4.5 .

Direction of a Vector

The direction of a vector is the measure of the angle it makes with a horizontal line .

One of the following formulas can be used to find the direction of a vector:

tan &theta = y x , where x is the horizontal change and y is the vertical change

tan &theta = y 2 &thinsp &minus &thinsp y 1 x 2 &thinsp &minus &thinsp x 1 , where ( x 1 , y 1 ) is the initial point and ( x 2 , y 2 ) is the terminal point.

Find the direction of the vector P Q &rarr whose initial point P is at ( 2 , 3 ) and end point is at Q is at ( 5 , 8 ) .

The coordinates of the initial point and the terminal point are given. Substitute them in the formula tan &theta = y 2 &thinsp &minus &thinsp y 1 x 2 &thinsp &minus &thinsp x 1 .

Find the inverse tan, then use a calculator.

The vector P Q &rarr has a direction of about 59 ° .

Download our free learning tools apps and test prep books

Names of standardized tests are owned by the trademark holders and are not affiliated with Varsity Tutors LLC.

4.9/5.0 Satisfaction Rating over the last 100,000 sessions. As of 4/27/18.

Media outlet trademarks are owned by the respective media outlets and are not affiliated with Varsity Tutors.

Award-Winning claim based on CBS Local and Houston Press awards.

Varsity Tutors does not have affiliation with universities mentioned on its website.

Varsity Tutors connects learners with experts. Instructors are independent contractors who tailor their services to each client, using their own style, methods and materials.


How can we show that $P, Q$ and $R$ are collinear?

In other words, to prove collinearity, we would need to show ((mathbf-mathbf)=k(mathbf-mathbf)) for some constant (k) .

For our example, we have (mathbf-mathbf= 2(mathbf-mathbf)) , and so (mathbf-mathbf= -2(mathbf-mathbf)) , telling us that (P, Q) and (R) are collinear.

  1. A unit vector parallel to the (x) -axis is represented by (mathbf) and a unit vector parallel to the (y) -axis by (mathbf) . If (mathbf=amathbf+smathbf) and (mathbf=-amathbf+tmathbf) , where (a) is a constant and (s) and (t) are variables, show that the loci of (P) and (Q) are parallel straight lines. In this case find (mathbf) when (mathbf=2mathbf+3mathbf) and (OQ) is perpendicular to (OP) .

The locus of (P) will be the line (x = a) , while the locus of (Q) will be (x = -a) . These are parallel straight lines.

The diagram shows the case (a = 2) . The point (P) is at ((2,3)) , and (Q) is at ((-2,k)) .

We are told that (OP) and (OQ) are perpendicular, so the gradients of (OP) and (OQ) must multiply to (-1) .

We could alternatively use that (mathbf.mathbf=0) .

Thus (dfrac<3> <2> imes dfrac<-2>=-1 implies k = dfrac<4><3>) . Thus (mathbf = -2mathbf+dfrac<4><3>mathbf) .

UCLES A level Pure Mathematics Scholarship paper, QP 447/0, 1962, Q3

Question reproduced by kind permission of Cambridge Assessment Group Archives. The question remains Copyright University of Cambridge Local Examinations Syndicate (“UCLES”), All rights reserved.


شاهد الفيديو: 4- Ch 2 -Vectors in 3D Position Vector and Force vector (شهر اكتوبر 2021).