مقالات

6.4: مسافات ذات أبعاد محدودة - رياضيات


حتى هذه اللحظة ، لم يكن لدينا أي ضمان بوجود فضاء متجه تعسفي لديها أساس - وبالتالي لا يوجد ضمان بأن المرء يستطيع الكلام على الاطلاق من البعد (V ). ومع ذلك ، فإن النظرية [thm: 019430] ستظهر أن أي مساحة ممتدة من خلال مجموعة محدودة من المتجهات لها أساس (محدود): يتطلب الدليل اللمة الأساسية التالية ، ذات الأهمية في حد ذاتها ، والتي تعطي طريقة لتكبير مجموعة مستقلة من النواقل.

Lemma019357 المستقلة لنكن ( { vect {v} _ {1}، vect {v} _ {2}، dots، vect {v} _ {k} } ) مجموعة مستقلة من المتجهات في مساحة متجه (V ). إذا ( vect {u} in V ) ولكن ( vect {u} notin func {span} { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، النقاط ، vect {v} _ {k} } ) ، ثم ( { vect {u} ، vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، dots ، vect {v} _ {k} } ) مستقل أيضًا.

دعنا (t vect {u} + t_ {1} vect {v} _ {1} + t_ {2} vect {v} _ {2} + dots + t_ {k} vect {v} _ {k} = vect {0} ) ؛ يجب أن نظهر أن جميع المعاملات هي صفر. أولاً ، (t = 0 ) لأنه ، بخلاف ذلك ، ( vect {u} = - frac {t_1} {t} vect {v} _1 - frac {t_2} {t} vect {v} _2 - dots - frac {t_k} {t} vect {v} _k ) موجود في ( func {span} { vect {v} _ {1}، vect {v} _ {2 } ، dots ، vect {v} _ {k} } ) ، خلافًا لافتراضنا. ومن ثم (ر = 0 ). ولكن بعد ذلك (t_ {1} vect {v} _ {1} + t_ {2} vect {v} _ {2} + dots + t_ {k} vect {v} _ {k} = vect {0} ) لذا فإن بقية (t_ {i} ) تساوي صفرًا باستقلالية ( { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، النقاط ، vect {v} _ {k} } ). هذا هو ما أردنا.

l8 سم

لاحظ أن عكس Lemma [lem: 019357] صحيح أيضًا: if ( { vect {u}، vect {v} _ {1}، vect {v} _ {2}، dots، vect {v} _ {k} } ) مستقل ، إذن ( vect {u} ) ليس في ( func {span} { vect {v} _ {1} ، vect { v} _ {2} ، dots ، vect {v} _ {k} } ).

كتوضيح ، افترض أن ( { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} } ) مستقل في ( RR ^ 3 ). ثم ( vect {v} _ {1} ) و ( vect {v} _ {2} ) ليسا متوازيين ، لذلك ( func {span} { vect {v} _ {1 } ، vect {v} _ {2} } ) مستوى يمر عبر الأصل (مظلل في الرسم التخطيطي). بواسطة Lemma [lem: 019357] ، ( vect {u} ) ليس في هذا المستوى إذا وفقط إذا كان ( { vect {u}، vect {v} _ {1}، vect {v } _ {2} } ) مستقل.

مسافات متجهية ذات أبعاد محدودة ولانهائية 019411 تسمى مساحة متجهية (V ) أبعاد محدودة إذا امتد بواسطة مجموعة محدودة من النواقل. خلاف ذلك ، (V ) يسمى الأبعاد اللانهائية.

وبالتالي فإن مساحة المتجه الصفرية ( { vect {0} } ) ذات أبعاد محدودة لأن ( { vect {0} } ) عبارة عن مجموعة ممتدة.

019415 لنكن (V ) فضاء متجه ذي أبعاد محدودة. إذا كان (U ) أي مساحة فرعية لـ (V ) ، فيمكن تكبير أي مجموعة فرعية مستقلة من (U ) إلى أساس محدود من (U ).

افترض أن (I ) مجموعة فرعية مستقلة من (U ). إذا كان ( func {span} I = U ) فإن (I ) هو بالفعل أساس (U ). إذا ( func {span} I neq U ) ، اختر ( vect {u} _ {1} in U ) بحيث ( vect {u} _ {1} notin func { تمتد} أنا ). ومن ثم فإن المجموعة (I cup { vect {u} _ {1} } ) مستقلة عن Lemma [lem: 019357]. إذا ( func {span} (I cup { vect {u} _ {1} }) = U ) لقد انتهينا ؛ أو اختر ( vect {u} _ {2} in U ) بحيث ( vect {u} _ {2} notin func {span} (I cup { vect {u} _ {1} }) ). ومن ثم ، فإن (I cup { vect {u} _ {1} ، vect {u} _ {2} } ) مستقل ، وتستمر العملية. ندعي أنه سيتم الوصول إلى أساس (U ) في النهاية. في الواقع ، إذا لم يتم الوصول إلى أساس (U ) على الإطلاق ، فإن العملية تخلق مجموعات مستقلة كبيرة بشكل تعسفي في (V ). لكن هذا مستحيل من خلال النظرية الأساسية لأن (V ) ذو أبعاد محدودة وبالتالي يمتد من خلال مجموعة محدودة من المتجهات.

019430 لنكن (V ) مساحة متجهية ذات أبعاد محدودة ممتدة بواسطة متجهات m.

  1. (V ) له أساس محدود ، و ( func {dim} V leq m ).

  2. يمكن تكبير كل مجموعة مستقلة من النواقل في (V ) إلى أساس (V ) عن طريق إضافة متجهات من أي أساس ثابت لـ (V ).

  3. إذا كان (U ) مساحة فرعية لـ (V ) ، إذن

    1. (U ) هو بُعد محدود و ( func {dim} U leq func {dim} V ).

    2. إذا ( func {dim} U = func {dim} V ) ثم (U = V ).

  1. إذا كان (V = { vect {0} } ) ، إذن (V ) يحتوي على أساس فارغ و ( func {dim} V = 0 leq m ). وإلا فلنكن ( vect {v} neq vect {0} ) متجهًا في (V ). ثم يكون ( { vect {v} } ) مستقلاً ، لذلك (1) يتبع Lemma [lem: 019415] بـ (U = V ).

  2. نقوم بتحسين إثبات Lemma [lem: 019415]. أصلح أساس (B ) لـ (V ) واجعل (I ) مجموعة فرعية مستقلة من (V ). إذا كان ( func {span} I = V ) فإن (I ) هو بالفعل أساس (V ). إذا كان ( func {span} I neq V ) ، فإن (B ) غير موجود في (I ) (لأن (B ) يمتد (V )). ومن ثم اختر ( vect {b} _ {1} in B ) مثل ( vect {b} _ {1} notin func {span} I ). ومن هنا فإن المجموعة (I cup { vect {b} _ {1} } ) مستقلة عن Lemma [lem: 019357]. إذا ( func {span} (I cup { vect {b} _ {1} }) = V ) انتهينا ؛ بخلاف ذلك ، تُظهر حجة مماثلة أن ((I cup { vect {b} _ {1}، vect {b} _ {2} }) ) مستقل عن بعض ( vect {b} _ {2} في ب ). استمر في هذه العملية. كما في إثبات Lemma [lem: 019415] ، سيتم الوصول إلى أساس (V ) في النهاية.

    1. يتضح هذا إذا (U = { vect {0} } ). بخلاف ذلك ، اسمح ( vect {u} neq vect {0} ) في (U ). ثم يمكن تكبير ( { vect {u} } ) إلى أساس محدود (B ) من (U ) بواسطة Lemma [lem: 019415] ، مما يثبت أن (U ) ذو أبعاد محدودة . لكن (B ) مستقل في (V ) ، لذلك ( func {dim} U leq func {dim} V ) بواسطة النظرية الأساسية.

    2. يتضح هذا إذا (U = { vect {0} } ) بسبب (V ) لديها أساس؛ وإلا فإنه يتبع من (2).

توضح النظرية [thm: 019430] أن فضاء المتجه (V ) يكون بعدًا محدودًا إذا وفقط إذا كان له أساس محدود (ربما فارغًا) ، وأن كل فضاء فرعي لمساحة ذات أبعاد محدودة تكون مرة أخرى ذات أبعاد محدودة.

019464 تكبير المجموعة المستقلة (D = left { leftB start {array} {rr} 1 & 1 1 & 0 end {array} rightB، leftB begin {array} {rr} 0 & 1 1 & 1 end {array} rightB، leftB start {array} {rr} 1 & 0 1 & 1 end {array} rightB right } ) إلى أساس ( vectspace {M} _ {22} ).

الأساس القياسي لـ ( vectspace {M} _ {22} ) هو ( left { leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 0 end {array} rightB، leftB start {array} {rr} 0 & 1 0 & 0 end {array} rightB، leftB start {array} {rr} 0 & 0 1 & 0 end {array} rightB ، leftB start {array} {rr} 0 & 0 0 & 1 end {array} rightB right } ) ، لذا فإن تضمين أحد هذه في (D ) سينتج عنه أساس نظرية [thm: 019430]. في الواقع بما في ذلك أي من هذه المصفوفات في (D ) ينتج مجموعة مستقلة (تحقق) ، وبالتالي أساسًا بواسطة النظرية [thm: 019633]. بالطبع هذه المتجهات ليست الاحتمالات الوحيدة ، على سبيل المثال ، بما في ذلك ( leftB start {array} {rr} 1 & 1 0 & 1 end {array} rightB ) يعمل أيضًا.

019475 أوجد أساس ( vectspace {P} _ {3} ) الذي يحتوي على المجموعة المستقلة ( {1 + x، 1 + x ^ {2} } ).

الأساس القياسي لـ ( vectspace {P} _ {3} ) هو ( {1، x، x ^ {2}، x ^ {3} } ) ، لذا فإن تضمين اثنين من هذه المتجهات سيفي بالغرض . إذا استخدمنا (1 ) و (x ^ {3} ) ، تكون النتيجة ( {1 ، 1 + x ، 1 + x ^ {2} ، x ^ {3} } ). هذا مستقل لأن كثيرات الحدود لها درجات مميزة (مثال [exa: 018606]) ، وكذلك أساس النظرية [thm: 019430]. بالطبع ، بما في ذلك ( {1، x } ) أو ( {1، x ^ {2} } ) ليس الشغل!

019490 بيّن أن مسافة ( vectspace {P} ) لجميع كثيرات الحدود أبعاد لا نهائية.

لكل (n geq 1 ) ، ( vectspace {P} ) مساحة فرعية ( vectspace {P} _ {n} ) من البعد (n + 1 ). لنفترض أن ( vectspace {P} ) أبعاد محدودة ، على سبيل المثال ( func {dim} vectspace {P} = m ). ثم ( func {dim} vectspace {P} _ {n} leq func {dim} vectspace {P} ) بواسطة Theorem [thm: 019430] ، أي (n + 1 leq m ). هذا مستحيل لأن (n ) تعسفي ، لذا يجب أن يكون ( vectspace {P} ) بلا حدود الأبعاد.

يوضح المثال التالي كيف يمكن استخدام (2) من النظرية [thm: 019430].

019499 إذا كانت ( vect {c} _ {1} ، vect {c} _ {2} ، dots ، vect {c} _ {k} ) أعمدة مستقلة في ( RR ^ n ) ، أظهر أنها الأعمدة (k ) الأولى في بعض المصفوفات (n times n ) القابلة للانعكاس.

حسب النظرية [thm: 019430] ، وسّع ( { vect {c} _ {1} ، vect {c} _ {2} ، dots ، vect {c} _ {k} } ) إلى أساس ( { vect {c} _ {1} ، vect {c} _ {2} ، dots ، vect {c} _ {k} ، vect {c} _ {k + 1} ، dots ، vect {c} _ {n} } ) من ( RR ^ n ). ثم المصفوفة (A = leftB start {array} {ccccccc} vect {c} _ {1} & vect {c} _ {2} & dots & vect {c} _ {k} & vect {c} _ {k + 1} & dots & vect {c} _ {n} end {array} rightB ) على هذا الأساس حيث أن أعمدتها عبارة عن مصفوفة (n times n ) وهو قابل للعكس بالنظرية [thm: 014205].

019525 لنكن (U ) و (W ) فضاءات فرعية من الفضاء ذي الأبعاد المحدود (V ).

  1. إذا (U subseteq W ) ، ثم ( func {dim} U leq func {dim} W ).

  2. إذا (U subseteq W ) و ( func {dim} U = func {dim} W ) ، إذن (U = W ).

نظرًا لأن (W ) هو بُعد محدود ، (1) يتبع بأخذ (V = W ) في الجزء (3) من النظرية [thm: 019430]. افترض الآن ( func {dim} U = func {dim} W = n ) ، ودع (B ) يكون أساس (U ). ثم (B ) هي مجموعة مستقلة في (W ). إذا (U neq W ) ، ثم ( func {span} B neq W ) ، لذلك يمكن توسيع (B ) إلى مجموعة مستقلة من (n + 1 ) متجهات في ( W ) بواسطة Lemma [lem: 019357]. هذا يتناقض مع النظرية الأساسية (Theorem [thm: 018746]) لأن (W ) يمتد بواسطة متجهات ( func {dim} W = n ). ومن هنا (U = W ) ، إثبات (2).

نظرية [thm: 019525] مفيدة جدا. تم توضيح ذلك في المثال [exa: 014418] لـ ( RR ^ 2 ) و ( RR ^ 3 )؛ هنا مثال آخر.

019539 إذا كان (a ) رقمًا ، فلنجعل (W ) يشير إلى الفضاء الفرعي لجميع كثيرات الحدود في ( vectspace {P} _ {n} ) التي لها (a ) كجذر: [ W = {p (x) mid p (x) in vectspace {P} _n mbox {and} p (a) = 0 } ] أظهر أن ( {(x - a)، ( x - a) ^ {2} ، dots ، (x - a) ^ {n} } ) أساس (W ).

لاحظ أولاً أن ((x - a) ، (x - a) ^ 2 ، dots ، (x - a) ^ n ) أعضاء في (W ) ، وأنهم مستقلون لأن لديهم درجات مميزة (مثال [exa: 018606]). اكتب [U = func {span} {(x - a)، (x - a) ^ 2، dots، (x - a) ^ n } ] ثم لدينا (U subseteq W مجموعة فرعية vectspace {P} _ {n} ) ، ( func {dim} U = n ) ، و ( func {dim} vectspace {P} _ {n} = n + 1 ). ومن هنا (n leq func {dim} W leq n + 1 ) بواسطة Theorem [thm: 019525]. بما أن ( func {dim} W ) عدد صحيح ، يجب أن يكون لدينا ( func {dim} W = n ) أو ( func {dim} W = n + 1 ). ولكن بعد ذلك (W = U ) أو (W = vectspace {P} _ {n} ) ، مرة أخرى بواسطة النظرية [thm: 019525]. نظرًا لأن (W neq vectspace {P} _ {n} ) ، فإنه يتبع ذلك (W = U ) ، على النحو المطلوب.

يتم استدعاء مجموعة من النواقل يعتمد اذا كانت ليس مستقل ، هذا إذا اختفت مجموعة خطية غير بديهية. النتيجة التالية هي اختبار مناسب للاعتماد.

Lemma019559 التابعة مجموعة (D = { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، dots ، vect {v} _ {k} } ) من المتجهات في تعتمد مساحة المتجه V إذا وفقط إذا كان بعض المتجه في (D ) عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

لنفترض ( vect {v} _ {2} ) (على سبيل المثال) أن تكون مجموعة خطية من الباقي: ( vect {v} _ {2} = s_ {1} vect {v} _ {1} + s_ {3} vect {v} _ {3} + dots + s_ {k} vect {v} _ {k} ). ثم [s_ {1} vect {v} _ {1} + (-1) vect {v} _ {2} + s_ {3} vect {v} _ {3} + dots + s_ { k} vect {v} _ {k} = vect {0} ] عبارة عن تركيبة خطية غير بديهية تختفي ، لذا فإن (D ) يعتمد. بالمقابل ، إذا كان (D ) تابعًا ، فلنجعل (t_ {1} vect {v} _ {1} + t_ {2} vect {v} _ {2} + dots + t_ {k} vect {v} _ {k} = vect {0} ) حيث يكون بعض المعامل غير صفري. إذا (قل) (t_ {2} neq 0 ) ، إذن ( vect {v} _2 = - frac {t_1} {t_2} vect {v} _1 - frac {t_3} {t_2} vect {v} _3 - dots - frac {t_k} {t_2} vect {v} _k ) عبارة عن مجموعة خطية من العناصر الأخرى.

يعطي Lemma [lem: 019357] طريقة لتكبير المجموعات المستقلة إلى أساس ؛ على النقيض من ذلك ، يوضح Lemma [lem: 019559] أنه يمكن خفض مجموعات الامتداد إلى أساس.

019593 لنكن (V ) مساحة متجهية ذات أبعاد محدودة. يمكن اختصار أي مجموعة ممتدة لـ (V ) (عن طريق حذف المتجهات) إلى أساس (V ).

نظرًا لأن (V ) هو بُعد محدود ، فإنه يحتوي على مجموعة امتدادات محدودة (S ). من بين جميع المجموعات الممتدة الموجودة في (S ) ، اختر (S_ {0} ) الذي يحتوي على أصغر عدد من المتجهات. يكفي توضيح أن (S_ {0} ) مستقل (إذًا (S_ {0} ) هو أساس لإثبات النظرية). افترض ، على العكس من ذلك ، أن (S_ {0} ) ليس مستقلاً. ثم ، بواسطة Lemma [lem: 019559] ، بعض المتجهات ( vect {u} in S_ {0} ) عبارة عن تركيبة خطية من المجموعة (S_ {1} = S_ {0} setminus { تأثير {u} } ) من المتجهات في (S_ {0} ) بخلاف ( vect {u} ). يتبع ذلك ( func {span} S_ {0} = func {span} S_ {1} ) ، أي (V = func {span} S_ {1} ). لكن (S_ {1} ) يحتوي على عناصر أقل من (S_ {0} ) لذا فإن هذا يتعارض مع اختيار (S_ {0} ). ومن ثم فإن (S_ {0} ) مستقل بعد كل شيء.

لاحظ أنه باستخدام النظرية [thm: 019430] ، تكمل النظرية [thm: 019593] الدليل الموعود للنظرية [thm: 014407] للحالة (V = RR ^ n ).

019616 أوجد أساس ( vectspace {P} _ {3} ) في مجموعة الامتداد (S = {1، x + x ^ {2}، 2x - 3x ^ {2}، 1 + 3x - 2x ^ {2} ، x ^ {3} } ).

نظرًا لأن ( func {dim} vectspace {P} _ {3} = 4 ) ، يجب حذف كثير حدود واحد من (S ). لا يمكن أن يكون (x ^ {3} ) لأن امتداد باقي (S ) موجود في ( vectspace {P} _ {2} ). لكن حذف (1 + 3x - 2x ^ {2} ) يترك أساسًا (تحقق). لاحظ أن (1 + 3x - 2x ^ {2} ) هو مجموع أول ثلاث كثيرات حدود في (S ).

للنظريات [thm: 019430] و [thm: 019593] نتائج مفيدة أخرى.

019633 لنفترض أن (V ) مساحة متجهة مع ( func {dim} V = n ) ، وافترض أن (S ) هي مجموعة من (n ) المتجهات في (V ) بالضبط. ثم يكون (S ) مستقلاً إذا وفقط إذا امتد (S ) إلى (V ).

افترض أولاً أن (S ) مستقل. حسب النظرية [thm: 019430] ، (S ) موجود في أساس (B ) لـ (V ). ومن هنا (| S | = n = | B | ) لذلك ، منذ (S subseteq B ) ، يتبع ذلك (S = B ). على وجه الخصوص (S ) يمتد (V ).

بالمقابل ، افترض أن (S ) يمتد (V ) ، لذلك (S ) يحتوي على أساس (B ) بواسطة Theorem [thm: 019593]. مرة أخرى (| S | = n = | B | ) لذا ، منذ (S supseteq B ) ، يتبع ذلك (S = B ). ومن ثم فإن (S ) مستقل.

غالبًا ما يكون تحديد أحد الاستقلالية أو الامتداد أسهل من الآخر عند إظهار أن مجموعة النواقل هي الأساس. على سبيل المثال ، إذا كان (V = RR ^ n ) من السهل التحقق مما إذا كانت مجموعة فرعية (S ) من ( RR ^ n ) متعامدة (وبالتالي مستقلة) ولكن التحقق من الامتداد يمكن أن يكون مملاً. هنا ثلاثة أمثلة أخرى.

019643 ضع في الاعتبار مجموعة (S = {p_ {0} (x)، p_ {1} (x)، dots، p_ {n} (x) } ) متعددة الحدود في ( vectspace {P} _{ن}). إذا ( func {deg} p_ {k} (x) = k ) لكل (k ) ، أظهر أن (S ) هو أساس ( vectspace {P} _ {n} ).

المجموعة (S ) مستقلة - الدرجات مميزة - انظر مثال [exa: 018606]. ومن ثم فإن (S ) هو أساس ( vectspace {P} _ {n} ) من خلال النظرية [thm: 019633] لأن ( func {dim} vectspace {P} _ {n} = n + 1 ).

019657 لنفترض أن (V ) يشير إلى مساحة كل المصفوفات المتماثلة (2 مرات 2 ). ابحث عن أساس (V ) يتكون من مصفوفات قابلة للعكس.

نحن نعلم أن ( func {dim} V = 3 ) (مثال [exa: 018930]) ، لذا فإن المطلوب هو مجموعة من ثلاث مصفوفات متناظرة قابلة للانعكاس والتي (باستخدام النظرية [thm: 019633]) إما مستقلة أو يمتد (V ). المجموعة ( left { leftB start {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} rightB، leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & -1 end {array} rightB، leftB begin {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} rightB right } ) مستقلة (تحقق) وكذلك أساس النوع المطلوب.

019664 ليكن (A ) أي (n times n ) مصفوفة. أظهر أن هناك (n ^ {2} + 1 ) مقاسات (a_ {0} ، a_ {1} ، a_ {2} ، dots ، a_ {n ^ {2}} ) ليست كلها صفرًا ، بحيث [a_0I + a_1A + a_2A ^ 2 + dots + a_ {n ^ 2} A ^ {n ^ 2} = 0 ] حيث يشير (I ) إلى (n times n ) مصفوفة الهوية .

تحتوي مساحة ( vectspace {M} _ {nn} ) لجميع (n times n ) المصفوفات على أبعاد (n ^ {2} ) بالمثال [exa: 018880]. ومن ثم فإن (n ^ {2} + 1 ) المصفوفات (I، A، A ^ {2}، dots، A ^ {n ^ {2}} ) لا يمكن أن تكون مستقلة عن طريق النظرية [thm: 019633] ، لذلك تختفي تركيبة خطية غير بديهية. هذه هي النتيجة المرجوة.

يمكن كتابة النتيجة في المثال [exa: 019664] بالشكل (f (A) = 0 ) حيث (f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + dots + a_ {n ^ {2}} x ^ {n ^ {2}} ). بعبارة أخرى ، يفي (A ) بمتعدد حدود غير صفري (f (x) ) من الدرجة على الأكثر (n ^ {2} ). في الحقيقة نحن نعلم أن (A ) يلبي كثير حدود غير صفري من الدرجة (n ) (هذه هي نظرية كايلي-هاميلتون- انظر النظرية [thm: 025927]) ، لكن إيجاز الحل في المثال [exa: 019616] هو مؤشر على قوة هذه الطرق.

إذا كان (U ) و (W ) مسافات فرعية لمساحة متجه (V ) ، فهناك فضاءان فرعيان مرتبطان مهمان ، مجموع (U + W ) ولهم تداخل (U cap W ) ، محدد بواسطة [ start {align} U + W & = { vect {u} + vect {w} mid vect {u} in U mbox {and } vect {w} in W } U cap W & = { vect {v} in V mid vect {v} in U mbox {and} vect {v} في W } end {align} ] من المعتاد التحقق من أن هذه هي بالفعل مساحات فرعية لـ (V ) ، وأن (U cap W ) موجود في كل من (U ) و (W ) ، وأن (U + W ) يحتوي على كل من (U ) و (W ). نختتم هذا القسم بحقيقة مفيدة حول أبعاد هذه المساحات. يعتبر الدليل توضيحًا جيدًا لكيفية استخدام النظريات في هذا القسم.

019692 افترض أن (U ) و (W ) مسافات فرعية ذات أبعاد محدودة لمساحة متجهية (V ). إذن (U + W ) هو بُعد محدود و [ func {dim} (U + W) = func {dim} U + func {dim} W - func {dim} (U cap W) . ]

نظرًا لأن (U cap W subseteq U ) ، لها أساس محدود ، على سبيل المثال ( { vect {x} _ {1} ، dots ، vect {x} _ {d} } ) . توسيعها إلى أساس ( { vect {x} _ {1} ، dots ، vect {x} _ {d} ، vect {u} _ {1} ، dots ، vect {u} _ {m} } ) من (U ) حسب النظرية [thm: 019430]. بالمثل ، قم بتوسيع ( { vect {x} _ {1}، dots، vect {x} _ {d} } ) إلى أساس ( { vect {x} _ {1}، النقاط ، vect {x} _ {d} ، vect {w} _ {1} ، dots ، vect {w} _ {p} } ) من (W ). ثم [U + W = func {span} { vect {x} _1، dots، vect {x} _d، vect {u} _1، dots، vect {u} _m، vect {w} _1، dots، vect {w} _p } ] كما يمكن للقارئ التحقق من ذلك ، لذلك (U + W ) أبعاد محدودة. بالنسبة للبقية ، يكفي إظهار ذلك
( { vect {x} _ {1} ، dots ، vect {x} _ {d} ، vect {u} _ {1} ، dots ، vect {u} _ {m} ، vect {w} _ {1} ، dots ، vect {w} _ {p} } ) مستقل (تحقق). افترض أن [ label {eq: thm6_4_5proof} r_1 vect {x} _1 + dots + r_d vect {x} _d + s_1 vect {u} _1 + dots + s_m vect {u} _m + t_1 vect {w} _1 + dots + t_p vect {w} _p = vect {0} ] حيث (r_ {i} ) و (s_ {j} ) و (t_ { ك} ) عددية. ثم [r_1 vect {x} _1 + dots + r_d vect {x} _d + s_1 vect {u} _1 + dots + s_m vect {u} _m = - (t_1 vect {w} _1 + النقاط + t_p vect {w} _p) ] في (U ) (الجانب الأيسر) وأيضًا في (W ) (الجانب الأيمن) ، وكذلك في (U cap W ) . ومن ثم فإن ((t_ {1} vect {w} _ {1} + dots + t_ {p} vect {w} _ {p}) ) هو مزيج خطي من ( { vect {x } _ {1} ، dots ، vect {x} _ {d} } ) ، لذا (t_ {1} = dots = t_ {p} = 0 ) ، لأن ( { vect {x} _ {1}، dots، vect {x} _ {d}، vect {w} _ {1}، dots، vect {w} _ {p} } ) مستقلة. وبالمثل ، (s_ {1} = dots = s_ {m} = 0 ) ، لذلك ([eq: thm6_4_5proof]) تصبح (r_ {1} vect {x} _ {1} + dots + r_ {د} vect {x} _ {d} = vect {0} ). ويترتب على ذلك (r_ {1} = dots = r_ {d} = 0 ) ، كما هو مطلوب.

النظرية [thm: 019692] مثيرة للاهتمام بشكل خاص إذا (U cap W = { vect {0} } ). ثم هناك رقم المتجهات ( vect {x} _ {i} ) في الإثبات أعلاه ، وتوضح الوسيطة أنه إذا ( { vect {u} _ {1} ، dots ، vect {u} _ {m } } ) و ( { vect {w} _ {1} ، النقاط ، vect {w} _ {p} } ) قواعد (U ) و (W ) على التوالي ، ثم ( { vect {u} _ {1} ، dots ، vect {u} _ {m} ، vect {w} _ {1} ، dots ، vect {w} _ { p} } ) هو أساس (U ) + (W ). في هذه الحالة ، يُقال إن (U + W ) هو ملف مبلغ مباشر (مكتوب (U oplus W )) ؛ نعود إلى هذا في الفصل [الفصل: 9].

تمارين ل 1

حلول

2

في كل حالة ، ابحث عن أساس لـ (V ) يتضمن المتجه ( vect {v} ).

  1. (V = RR ^ 3 ) ( vect {v} = (1، -1، 1) )

  2. (V = RR ^ 3 ) ، ( vect {v} = (0 ، 1 ، 1) )

  3. (V = vectspace {M} _ {22} ) ، ( vect {v} = leftB start {array} {rr} 1 & 1 1 & 1 end {array} rightB )

  4. (V = vectspace {P} _ {2} ) ، ( vect {v} = x ^ {2} - x + 1 )

  1. ({(0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)})

  2. ( {x ^ {2} - x + 1، 1، x } )

في كل حالة ، ابحث عن أساس (V ) بين المتجهات المعطاة.

  1. (V = RR ^ 3 ) ، ( {(1 ، 1 ، -1) ، (2 ، 0 ، 1) ، (-1 ، 1 ، -2) ، (1 ، 2 ، 1) } )

  2. (V = vectspace {P} _ {2} )، ( {x ^ {2} + 3، x + 2، x ^ {2} - 2x -1، x ^ {2} + x } )

  1. أي ثلاثة باستثناء ( {x ^ {2} + 3، x + 2، x ^ {2} - 2x - 1 } )

في كل حالة ، ابحث عن أساس (V ) يحتوي على ( vect {v} ) و ( vect {w} ).

  1. (V = RR ^ 4 ) ، ( vect {v} = (1 ، -1 ، 1 ، -1) ) ، ( vect {w} = (0 ، 1 ، 0 ، 1) )

  2. (V = RR ^ 4 ) ( vect {v} = (0، 0، 1، 1) ) ( vect {w} = (1، 1، 1، 1) )

  3. (V = vectspace {M} _ {22} )، ( vect {v} = leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} rightB ) ، ( vect {w} = leftB start {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} rightB )

  4. (V = vectspace {P} _ {3} ) ، ( vect {v} = x ^ {2} + 1 ) ، ( vect {w} = x ^ {2} + x )

  1. أضف ((0 ، 1 ، 0 ، 0) ) و ((0 ، 0 ، 1 ، 0) ).

  2. أضف (1 ) و (x ^ {3} ).

  1. إذا لم يكن (z ) رقمًا حقيقيًا ، فأوضح أن ( {z، z ^ {2} } ) هو أساس فضاء المتجه الحقيقي ( mathbb {C} ) لجميع الأعداد المركبة .

  2. إذا لم يكن (z ) حقيقيًا ولا تخيليًا خالصًا ، فوضح أن ( {z، overline {z} } ) هو أساس ( mathbb {C} ).

  1. إذا (z = a + bi ) ، ثم (a neq 0 ) و (b neq 0 ). إذا كان (rz + s overline {z} = 0 ) ، إذن ((r + s) a = 0 ) و ((r - s) b = 0 ). هذا يعني أن (r + s = 0 = r - s ) ، لذلك (r = s = 0 ). وبالتالي فإن ( {z، overline {z} } ) مستقل ؛ هو أساس لأن ( func {dim} mathbb {C} = 2 ).

في كل حالة ، استخدم النظرية [thm: 019633] لتحديد ما إذا كان (S ) أساس (V ).

  1. (V = vectspace {M} _ {22} ) ؛
    (S = left { leftB start {array} {rr} 1 & 1 1 & 1 end {array} rightB، leftB start {array} {rr} 0 & 1 1 & 1 end {array} rightB، leftB start {array} {rr} 0 & 0 1 & 1 end {array} rightB، leftB start {array} {rr} 0 & 0 0 & 1 نهاية {مجموعة} يمين ب يمين } )

  2. (V = vectspace {P} _ {3} ) ؛ (S = {2x ^ {2}، 1 + x، 3، 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} } )

  1. كثيرات الحدود في (S ) لها درجات مميزة.

  1. ابحث عن أساس ( vectspace {M} _ {22} ) يتكون من مصفوفات بالخاصية التي (A ^ {2} = A ).

  2. أوجد أساس ( vectspace {P} _ {3} ) يتألف من كثيرات الحدود التي يكون مجموع معاملاتها هو (4 ). ماذا لو جمعت إلى (0 )؟

  1. ( {4، 4x، 4x ^ {2}، 4x ^ {3} } ) هو أحد أسس ( vectspace {P} _ {3} ). ومع ذلك ، هناك رقم يتكون أساس ( vectspace {P} _ {3} ) من كثيرات الحدود التي لها خاصية مجموع معاملاتها إلى الصفر. في حالة وجود مثل هذا الأساس ، فإن كل كثير الحدود في ( vectspace {P} _ {3} ) سيكون لها هذه الخاصية (لأن المجاميع والمضاعفات العددية لمثيلات كثيرة الحدود لها نفس الخاصية).

إذا كان ( { vect {u}، vect {v}، vect {w} } ) أساسًا لـ (V ) ، فحدد أيًا مما يلي يعتبر أساسًا.

  1. ( { vect {u} + vect {v}، vect {u} + vect {w}، vect {v} + vect {w} } )

  2. ( {2 vect {u} + vect {v} + 3 vect {w}، 3 vect {u} + vect {v} - vect {w}، vect {u} - 4 vect {w} } )

  3. ( { vect {u}، vect {u} + vect {v} + vect {w} } )

  4. ( { vect {u}، vect {u} + vect {w}، vect {u} - vect {w}، vect {v} + vect {w} } )

  1. لا أساس.

  2. لا أساس.

  1. هل يمكن أن يمتد متجهان إلى ( RR ^ 3 )؟ هل يمكن أن تكون مستقلة خطيًا؟ يشرح.

  2. هل يمكن لأربعة نواقل أن تمتد ( RR ^ 3 )؟ هل يمكن أن تكون مستقلة خطيًا؟ يشرح.

  1. نعم؛ رقم.

أظهر أن أي متجه غير صفري في فضاء متجه ذي أبعاد محدودة هو جزء من أساس.

إذا كان (A ) عبارة عن مصفوفة مربعة ، أظهر ذلك ( func {det} A = 0 ) إذا وفقط إذا كان بعض الصفوف عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأخرى.

( func {det} A = 0 ) فقط إذا كان (A ) غير قابل للعكس ؛ إذا وفقط إذا كانت صفوف (A ) تابعة (Theorem [thm: 014205]) ؛ إذا وفقط إذا كان بعض الصفوف عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأخرى (Lemma [lem: 019415]).

لنفترض أن (D ) و (I ) و (X ) تشير إلى مجموعات محدودة وغير فارغة من المتجهات في مساحة متجهية (V ). افترض أن (D ) تابع و (I ) مستقل. في كل حالة أجب بنعم أو لا ، وادافع عن إجابتك.

  1. إذا كان (X supseteq D ) ، هل يجب أن يكون (X ) تابعًا؟

  2. إذا كان (X مجموعة فرعية D ) ، هل يجب أن يكون (X ) تابعًا؟

  3. إذا كان (X supseteq I ) ، هل يجب أن يكون (X ) مستقلاً؟

  4. إذا كان (X مجموعة فرعية I ) ، هل يجب أن يكون (X ) مستقلاً؟

  1. لا. ( {(0، 1)، (1، 0) } المجموعة الفرعية {(0، 1)، (1، 0)، (1، 1) } ).

  2. نعم فعلا. راجع التمرين [مثال: 6_3_15].

إذا كان (U ) و (W ) مسافات فرعية لـ (V ) و ( func {dim} U = 2 ) ، أظهر إما (U subseteq W ) أو ( func {dim} (U cap W) leq 1 ).

لنكن (A ) مصفوفة غير صفرية (2 times 2 ) واكتب (U = {X mbox {in} vectspace {M} _ {22} mid XA = AX } ) . أظهر ذلك ( func {dim} U geq 2 ). [تلميح: (I ) و (A ) في (U ).]

إذا كانت (U subseteq RR ^ 2 ) مساحة فرعية ، أظهر أن (U = { vect {0} } ) أو (U = RR ^ 2 ) أو (U ) خط من خلال الأصل.

معطى ( vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، vect {v} _ {3} ، dots ، vect {v} _ {k} ) ، و ( vect {v} ) ، دعونا (U = func {span} { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، dots ، vect {v} _ {k} } ) و (W = func {span} { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، dots ، vect {v} _ {k } ، vect {v} } ). أظهر ذلك إما ( func {dim} W = func {dim} U ) أو ( func {dim} W = 1 + func {dim} U ).

إذا ( vect {v} in U ) ثم (W = U )؛ إذا ( vect {v} notin U ) ثم ( { vect {v} _ {1} ، vect {v} _ {2} ، dots ، vect {v} _ {k} ، vect {v} } ) هو أساس (W ) بواسطة اللمة المستقلة.

لنفترض أن (U ) هو فضاء فرعي لـ ( vectspace {P} _ {1} ) و (U neq {0 } ) و (U neq vectspace {P} _ { 1} ). أظهر ذلك إما (U = RR ) أو (U = RR (a + x) ) لبعض (a ) في ( RR ).

لنفترض (U ) أن يكون فضاءً فرعيًا لـ (V ) وافترض ( func {dim} V = 4 ) و ( func {dim} U = 2 ). هل كل أساس لـ (V ) ينتج عن إضافة (اثنين) متجهين إلى بعض أسس (U )؟ دافع عن إجابتك.

لنفترض أن (U ) و (W ) مسافات فرعية لمساحة متجهية (V ).

  1. إذا ( func {dim} V = 3 ) ، ( func {dim} U = func {dim} W = 2 ) ، و (U neq W ) ، أظهر ذلك ( func {dim} (U cap W) = 1 ).

  2. فسر (أ) هندسيًا إذا (V = RR ^ 3 ).

  1. طائرتان مختلفتان من خلال الأصل ( (U ) و (W )) تلتقيان في خط من خلال الأصل ((U cap W) ).

لنفترض (U subseteq W ) أن تكون مساحات فرعية لـ (V ) مع ( func {dim} U = k ) و ( func {dim} W = m ) ، حيث (k

لنفترض أن (B = { vect {v} _ {1} ، dots ، vect {v} _ {n} } ) يكون الحد الأقصى مجموعة مستقلة في مساحة متجهية (V ). أي ، لا توجد مجموعة من أكثر من (n ) متجهات (S ) مستقلة. أظهر أن (B ) هو أساس (V ).

لنفترض أن (B = { vect {v} _ {1} ، dots ، vect {v} _ {n} } ) يكون الحد الأدنى مجموعة تمتد لمساحة متجه (V ). بمعنى ، لا يمكن أن يمتد (V ) إلى أقل من (n ) نواقل. أظهر أن (B ) هو أساس (V ).

  1. لنفترض أن (p (x) ) و (q (x) ) يقعان في ( vectspace {P} _ {1} ) وافترض أن (p (1) neq 0 ) ، ( q (2) neq 0 ) و (p (2) = 0 = q (1) ). بيّن أن ( {p (x)، q (x) } ) هو أساس ( vectspace {P} _ {1} ). [تلميح: إذا (rp (x) + sq (x) = 0 ) ، قم بالتقييم عند (x = 1 ) ، (x = 2 ).]

  2. لنفترض أن (B = {p_ {0} (x)، p_ {1} (x)، dots، p_ {n} (x) } ) مجموعة من كثيرات الحدود في ( vectspace {P} _{ن}). افترض وجود أرقام (a_ {0}، a_ {1}، dots، a_ {n} ) مثل (p_ {i} (a_ {i}) neq 0 ) لكل (i ) ولكن (p_ {i} (a_ {j}) = 0 ) إذا كان (i ) مختلفًا عن (j ). أظهر أن (B ) هو أساس ( vectspace {P} _ {n} ).

لنفترض أن (V ) مجموعة من جميع التسلسلات اللانهائية ((a_ {0}، a_ {1}، a_ {2}، dots) ) من الأرقام الحقيقية. حدد الجمع والضرب القياسي من خلال [(a_ {0}، a_ {1}، dots) + (b_ {0}، b_ {1}، dots) = (a_ {0} + b_ {0}، a_ {1} + b_ {1}، dots) ] و [r (a_ {0}، a_ {1}، dots) = (ra_ {0}، {ra} _ {1}، dots) ]

  1. بيّن أن (V ) مساحة متجهية.

  2. أظهر أن (V ) ليس بعدًا محدودًا.

  3. [بالنسبة لأولئك الذين لديهم بعض حساب التفاضل والتكامل.] أظهر أن مجموعة المتواليات المتقاربة (أي ، ( displaystyle lim_ {n to infty} a_ {n} ) موجودة) هي فضاء فرعي ، له أيضًا بُعد لانهائي.

  1. المجموعة ( {(1 ، 0 ، 0 ، 0 ، النقاط) ، (0 ، 1 ، 0 ، 0 ، 0 ، النقاط) ، )
    يحتوي ((0، 0، 1، 0، 0، dots)، dots } ) على مجموعات فرعية مستقلة ذات حجم عشوائي.

لنكن (A ) (n times n ) مصفوفة رتبة (r ). إذا (U = {X mbox {in} vectspace {M} _ {nn} mid AX = 0 } ) ، أظهر ذلك ( func {dim} U = n (n - r) ). [تلميح: تمرين [مثال: 6_3_34].]

لنفترض أن (U ) و (W ) مسافات فرعية لـ (V ).

  1. أظهر أن (U + W ) هي مساحة فرعية لـ (V ) تحتوي على كل من (U ) و (W ).

  2. أظهر ذلك ( func {span} { vect {u}، vect {w} } = RR vect {u} + RR vect {w} ) لأي متجهات ( vect { u} ) و ( vect {w} ).

  3. أظهر أن [ start {align} & func {span} { vect {u} _ {1}، dots، vect {u} _ {m}، vect {w} _ {1}، النقاط ، vect {w} _ {n} } & = func {span} { vect {u} _ {1} ، dots ، vect {u} _ {m} } + func {span} { vect {w} _ {1}، dots، vect {w} _ {n} } end {align} ] لأي متجهات ( vect {u} _ { i} ) in (U ) و ( vect {w} _ {j} ) في (W ).

  1. ( RR vect {u} + RR vect {w} = {r vect {u} + s vect {w} mid r، s mbox {in} RR } = func {span} { vect {u}، vect {w} } )

إذا كانت (A ) و (B ) (م مرات n ) مصفوفات ، أظهر أن ( func {رتبة} (A + B) leq func {رتبة} A + func {رتبة }ب). [تلميح: إذا كانت (U ) و (V ) هي مسافات العمود (A ) و (B ) ، على التوالي ، أظهر أن مساحة العمود (A + B ) موجودة في ( U + V ) وذلك ( func {dim} (U + V) leq func {dim} U + func {dim} V ). (انظر النظرية [thm: 019692].)]


شاهد الفيديو: الصف السابع الرياضيات تمارين الجزء الأول (شهر اكتوبر 2021).