مقالات

8.4: ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية


أهداف التعلم

  • اضرب التعبيرات الجذرية.
  • قسّم التعبيرات الجذرية.
  • برر المقام.

ضرب التعبيرات الجذرية

عند ضرب التعبيرات الجذرية في نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة حاصل الضرب للجذور. إذا أ و ب تمثل أرقام حقيقية موجبة ،

[ sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} = sqrt [n] {a cdot b} ]

مثال ( PageIndex {1} )

تتضاعف:

( sqrt {2} cdot sqrt {6} )

حل:

هذه المسألة ناتجة عن حاصل ضرب جذرين تربيعيين. طبق قاعدة الضرب على الجذور ثم بسّطها.

( begin {align} sqrt {2} cdot sqrt {6} & = sqrt {2 cdot 6} qquad color {Cerulean} {Multiply : the : radicands.} & = sqrt {12} qquad : : : color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt {2 ^ {2} cdot 3} & = 2 sqrt {3} end {محاذاة} )

إجابه:

(2 sqrt {3} )

مثال ( PageIndex {2} )

تتضاعف:

( sqrt [3] {9} cdot sqrt [3] {6} )

حل:

هذه المشكلة ناتجة عن جذور تكعيبية. طبق قاعدة الضرب على الجذور ثم بسّطها.

( begin {align} sqrt [3] {9} cdot sqrt [3] {6} & = sqrt [3] {9 cdot 6} qquad color {Cerulean} {Multiply : the : radiands.} & = sqrt [3] {54} qquad : color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt [3] {3 ^ {3} cdot 2} & = 3 sqrt [3] {2} end {align} )

إجابه:

(3 sqrt [3] {2} )

غالبًا ما تكون هناك معاملات أمام الراديكاليين.

مثال ( PageIndex {3} )

تتضاعف:

(2 sqrt {3} cdot 5 sqrt {2} )

حل:

باستخدام قاعدة حاصل الضرب للجذور وحقيقة أن الضرب تبادلي ، يمكننا ضرب المعاملات والجذور على النحو التالي.

( begin {align} 2 sqrt {3} cdot 5 sqrt {2} & = 2 cdot 5 cdot sqrt {3} cdot sqrt {2} qquad color {Cerulean} {الضرب : is : commutative.} & = 10 cdot sqrt {6} qquad qquad : : : color {Cerulean} {Multiply : the : coefficients : and : the : radicands.} & = 10 sqrt {6} end {align} )

عادة ، لا تظهر الخطوة الأولى التي تنطوي على تطبيق خاصية التبادل.

إجابه:

(10 ​​ sqrt {6} )

مثال ( PageIndex {4} )

تتضاعف:

حل:

إجابه:

(- 30x )

استخدم خاصية التوزيع عند ضرب التعبيرات الكسرية بأكثر من حد واحد.

مثال ( PageIndex {5} )

تتضاعف:

حل:

طبق خاصية التوزيع واضرب كل حد في (4 sqrt {3} ).

إجابه:

مثال ( PageIndex {6} )

تتضاعف:

حل:

قم بتطبيق خاصية التوزيع ثم تبسيط النتيجة.

إجابه:

عملية ضرب التعبيرات الجذرية ذات المصطلحات المتعددة هي نفس العملية المستخدمة عند ضرب كثيرات الحدود. طبق خاصية التوزيع ، وبسّط كل جذري ، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

مثال ( PageIndex {7} )

تتضاعف:

(( sqrt {5} +2) ( sqrt {5} -4) )

حل:

ابدأ بتطبيق خاصية التوزيع.

إجابه:

(- 3-2 sqrt {5} )

مثال ( PageIndex {8} )

تتضاعف:

((3 sqrt {x} - sqrt {y}) ^ {2} )

حل:

إجابه:

(9x-6 sqrt {xy} + y )

تمرين ( PageIndex {1} )

تتضاعف:

((2 sqrt {3} +5 sqrt {2}) ( sqrt {3} -2 sqrt {6}) )

إجابه

(6-12 sqrt {2} +5 sqrt {6} -20 sqrt {3} )

تسمى التعبيرات ((أ + ب) ) و ((أ − ب) ) مترافقات. عند ضرب الاتحادات ، ينتج عن مجموع حاصل ضرب الحدين الداخلي والخارجي 0.

مثال ( PageIndex {9} )

تتضاعف:

(( sqrt {2} + sqrt {5}) ( sqrt {2} - sqrt {5}) )

حل:

طبق خاصية التوزيع ثم اجمع الحدود المتشابهة.

إجابه:

(-3)

من المهم ملاحظة أنه عند ضرب التعبيرات الجذرية المترافقة ، نحصل على تعبير عقلاني. هذا صحيح بشكل عام وغالبًا ما يستخدم في دراستنا للجبر.

( start {align} ( sqrt {a} + sqrt {b}) ( sqrt {a} - sqrt {b}) & = sqrt {a ^ {2}} - sqrt {ab} + sqrt {ab} - sqrt {b ^ {2}} & = ab end {align} )

لذلك ، للأرقام الحقيقية غير السالبة أ و ب، لدينا الممتلكات التالية:

[( sqrt {a} + sqrt {b}) ( sqrt {a} - sqrt {b}) = a-b ]

قسمة التعبيرات الجذرية (ترشيد المقام)

لقسمة التعبيرات الجذرية التي لها نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة خارج القسمة للجذور. إذا أ و ب تمثل الأرقام غير السالبة ، حيث (b ≠ 0 ) ، ثم لدينا

[ frac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { frac {a} {b}} ]

مثال ( PageIndex {10} )

يقسم:

( frac { sqrt {80}} { sqrt {10}} )

حل:

في هذه الحالة ، يمكننا ملاحظة أن 10 و 80 لهما عوامل مشتركة. إذا طبقنا قاعدة خارج القسمة للجذور وكتبناها في صورة جذر تربيعي واحد ، فسنكون قادرين على تقليل كسور الجذر.

( begin {align} frac { sqrt {80}} { sqrt {10}} & = sqrt { frac {80} {10}} qquad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : radicand : and : reduction : the : radicand.} & = sqrt {8} qquad quad color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt {4 cdot 2} & = 2 sqrt {2} end {align} )

إجابه:

(2 sqrt {2} )

مثال ( PageIndex {11} )

يقسم:

( frac { sqrt {16 x ^ {5} y ^ {4}}} { sqrt {2 x y}} )

حل:

( begin {align} frac { sqrt {16 x ^ {5} y ^ {4}}} { sqrt {2 xy}} & = sqrt { frac {16 x ^ {5} y ^ {4}} {2 xy}} qquad qquad qquad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for :porate : and : cancell.} & = sqrt {8 x ^ {4} y ^ {3}} qquad qquad qquad quad color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt {4 cdot 2 cdot left (x ^ { 2} right) ^ {2} cdot y ^ {2} cdot y} & = 2 x ^ {2} y sqrt {2 y} end {align} )

إجابه:

(2 × ^ {2} ص مربع {2 ص} )

مثال ( PageIndex {12} )

يقسم:

( frac { sqrt [3] {54 a ^ {3} b ^ {5}}} { sqrt [3] {16 a ^ {2} b ^ {2}}} )

حل:

( begin {align} frac { sqrt [3] {54a ^ {3} b ^ {5}}} { sqrt [3] {16a ^ {2} b ^ {2}}} & = sqrt [3] { frac {54 cdot a ^ {3} b ^ {5}} {16 a ^ {2} b ^ {2}}} qquad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : roots : and : then : cancell.} & = sqrt [3] { frac {27 ab ^ {3}} {8}} qquad : : : color {Cerulean} {Replace : 27 : and : 8 : with : their : prime : factorizations.} & = sqrt [3] { frac {3 ^ {3 } ab ^ {3}} {2 ^ {3}}} qquad : : : color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt [3] {3 ^ {3} أب ^ {3}}} { sqrt [3] {2 ^ {3}}} & = frac {3b sqrt [3] {a}} {2} end {align} )

إجابه:

( frac {3 b sqrt [3] {a}} {2} )

عندما يحتوي المقسوم على تعبير جذري على جذري ، فمن الشائع العثور على تعبير مكافئ حيث يكون المقام عددًا نسبيًا. العثور على مثل هذا التعبير المكافئ يسمى عقلنة المقام.

( start {align} color {Cerulean} {Radical} & : color {Cerulean} {expression} & color {Cerulean} {Rational} & : color {Cerulean} {denominator} & frac {1} { sqrt {3}} & = & frac { sqrt {3}} {3} end {align} )

للقيام بذلك ، اضرب الكسر في شكل خاص من 1 بحيث يمكن كتابة الجذر في المقام بقوة تطابق الفهرس. بعد القيام بذلك ، بسّط وحذف الجذر في المقام. على سبيل المثال،

( frac {1} { sqrt {3}} = frac {1} { sqrt {3}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt {3}} { sqrt {3} }} color {black} {=} frac { sqrt {3}} { sqrt {3 ^ {2}}} = frac { sqrt {3}} {3} )

تذكر ، للحصول على تعبير مكافئ ، يجب عليك ضرب البسط والمقام في نفس العامل غير الصفري بالضبط.

مثال ( PageIndex {13} )

تبرير المقام:

( frac { sqrt {3}} { sqrt {2}} )

حل:

الهدف هو إيجاد تعبير مكافئ بدون جذري في المقام. في هذا المثال ، اضرب في 1 بالصيغة ( color {Cerulean} { frac { sqrt {2}} { sqrt {2}}} ).

( start {align} frac { sqrt {3}} { sqrt {2}} & = frac { sqrt {3}} { sqrt {2}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt {2}} { sqrt {2}}} qquad color {Cerulean} {Multiply : by : frac { sqrt {2}} { sqrt {2}}.} & = frac { sqrt {6}} { sqrt {2 ^ {2}}} qquad qquad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt {6}} {2 } qquad qquad : color {Cerulean} {Rational : denominator.} end {align} )

إجابه:

( frac { sqrt {6}} {2} )

مثال ( PageIndex {14} )

تبرير المقام:

( frac {1} {2 sqrt {3 x}} )

حل:

يحدد الجذر في المقام العوامل التي تحتاج إلى استخدامها لتبريرها. في هذا المثال ، اضرب في 1 بالصيغة ( frac {1} {2 sqrt {3 x}} ).

( start {align} frac {1} {2 sqrt {3 x}} & = frac {1} {2 sqrt {3 x}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt {3 x}} { sqrt {3 x}}} qquad color {Cerulean} {Multiply : by : frac { sqrt {3x}} { sqrt {3x}}.} & = frac { sqrt {3 x}} {2 sqrt {3 ^ {2} x ^ {2}}} qquad qquad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt { 3 x}} {2 cdot 3 x} & = frac { sqrt {3 x}} {6 x} end {align} )

إجابه:

( frac { sqrt {3 x}} {6 x} )

عادةً ، سنجد الحاجة إلى الاختزال أو الإلغاء بعد ترشيد المقام.

مثال ( PageIndex {15} )

تبرير المقام:

( frac {5 sqrt {2}} { sqrt {5 a b}} )

حل

في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة ( frac { sqrt {5 a b}} { sqrt {5 a b}} ).

( start {align} frac {5 sqrt {2}} { sqrt {5 ab}} & = frac {5 sqrt {2}} { sqrt {5 ab}} cdot color { سيرولين} { frac { sqrt {5 ab}} { sqrt {5 ab}}} & = frac {5 sqrt {10 ab}} { sqrt {25 a ^ {2} b ^ { 2}}} qquad quad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac {5 sqrt {10 ab}} {5 ab} qquad quad : color {Cerulean} {إلغاء. } & = frac { sqrt {10 ab}} {ab} end {align} )

لاحظ أن أ و ب لا تلغي في هذا المثال. لا تلغي العوامل داخل الجذر مع العوامل الخارجية.

إجابه:

( frac { sqrt {10 a b}} {a b} )

تمرين ( PageIndex {2} )

تبرير المقام:

( sqrt { frac {4a} {3b}} )

إجابه

( frac {2 sqrt {3ab}} {3b} )

حتى هذه النقطة ، رأينا أن ضرب بسط ومقام في جذر تربيعي بنفس الجذر والمقام ينتج عنه مقام كسري. بشكل عام ، هذا صحيح فقط عندما يحتوي المقام على جذر تربيعي. ومع ذلك ، ليس هذا هو الحال بالنسبة للجذر التكعيبي. على سبيل المثال،

( frac {1} { sqrt [3] {x}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {x}} { sqrt [3] {x}}} color {أسود} {=} frac { sqrt [3] {x}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} )

لاحظ أن الضرب في نفس العامل في المقام لا يبرره. في هذه الحالة ، إذا ضربنا في 1 على شكل ( frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} ) ، فإننا يمكن كتابة الجذر في المقام على هيئة أس 3. تبسيط النتيجة ينتج عنه مقام منطقي. على سبيل المثال،

( frac {1} { sqrt [3] {x}} = frac {1} { sqrt [3] {x}} cdot color {سيرولين} { frac { sqrt [3] { x ^ {2}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}}} color {black} {=} frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [ 3] {x ^ {3}}} = frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} {x} )

لذلك ، لتبرير مقام التعبيرات الجذرية بحد جذري واحد في المقام ، ابدأ بتحليل الجذر والمقام إلى عوامل. تحدد عوامل هذا الجذر والدليل ما يجب أن نضرب به. اضرب البسط والمقام في ن ال جذر العوامل التي تنتج ن عشر من جميع العوامل في الجذر والمقام.

مثال ( PageIndex {16} )

تبرير المقام:

( frac {1} { sqrt [3] {25}} )

حل:

الجذر في المقام يساوي ( sqrt [3] {5 ^ {2}} ). لتبرير المقام ، يجب أن يكون ( sqrt [3] {5 ^ {3}} ). للحصول على هذا ، نحتاج إلى عامل آخر هو 5. لذلك ، اضرب في 1 على شكل ( frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5}} ).

( start {align} frac {1} { sqrt [3] {25}} & = frac {1} { sqrt [3] {5 ^ {2}}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5}}} qquad color {Cerulean} {Multiply : by : the : cube : root : of : العوامل : that : result : in : powers : of : 3.} & = frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5 ^ {3}} } qquad qquad : : color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt [3] {5}} {5} end {align} )

إجابه:

( frac { sqrt [3] {5}} {5} )

مثال ( PageIndex {17} )

تبرير المقام:

( sqrt [3] { frac {27 a} {2 b ^ {2}}} )

حل:

في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة ( frac { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} ).

( start {align} sqrt [3] { frac {27 a} {2 b ^ {2}}} & = frac { sqrt [3] {3 ^ {3} a}} { sqrt [3] {2 b ^ {2}} qquad qquad quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : roots.} & = frac {3 sqrt [3] {a}} { sqrt [3] {2 b ^ {2}}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} { sqrt [3] {2 ^ {2} b}}} quad : : : color {Cerulean} {ضرب : بواسطة : the : cube : root : of : العوامل : that : result : in : powers : of : 3.} & = frac {3 sqrt [3] {2 ^ {2} ab}} { sqrt [3] {2 ^ { 3} b ^ {3}}} qquad qquad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac {3 sqrt [3] {4 ab}} {2 b} end {align} )

إجابه:

( frac {3 sqrt [3] {4 a b}} {2 b} )

مثال ( PageIndex {18} )

تبرير المقام:

( frac {1} { sqrt [5] {4 × ^ {3}}} )

حل:

في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة ( frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2}}} { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ { 2}}} ).

( start {align} frac {1} { sqrt [5] {4 x ^ {3}}} & = frac {1} { sqrt [5] {2 ^ {2} x ^ {3 }}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2}}} { sqrt [5] {2 ^ {3} × ^ {2}} }} qquad color {Cerulean} {Multiply : by : the : Fifth : root : of : العوامل : that : result : in : powers : of : 5.} & = frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {5}}} { sqrt [5] {2 ^ {5} x ^ {5}}} qquad qquad qquad اللون {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt [5] {8 x ^ {2}}} {2 x} end {align} )

إجابه:

( frac { sqrt [5] {8 x ^ {2}}} {2 x} )

عندما يظهر حدين يشتملان على جذور تربيعية في المقام ، يمكننا إنطاقها باستخدام أسلوب خاص جدًا. تتضمن هذه التقنية ضرب البسط والمقام في الكسر بمرافق المقام. تذكر أن ضرب تعبير جذري في مرافقه ينتج عددًا كسريًا.

مثال ( PageIndex {19} )

تبرير المقام:

( frac {1} { sqrt {3} - sqrt {2}} )

حل:

في هذا المثال ، مرافق المقام هو ( sqrt {3} + sqrt {2} ). لذلك ، اضرب في 1 بالصيغة ( frac {( sqrt {3} + sqrt {2})} {( sqrt {3} + sqrt {2})} ).

( start {align} frac {1} { sqrt {3} - sqrt {2}} & = frac {1} {( sqrt {3} - sqrt {2})} color { سيرولين} { frac {( sqrt {3} + sqrt {2})} {( sqrt {3} + sqrt {2})}} qquad color {Cerulean} {ضرب : بسط : و : مقام : بواسطة : the : conjugate : of : the : denominator.} & = frac { sqrt {3} + sqrt {2}} { sqrt {9} + sqrt {6} - sqrt {6} - sqrt {4}} qquad : : : color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt {3} + sqrt {2}} {3-2} & = frac { sqrt {3} + sqrt {2}} {1} & = sqrt {3} + sqrt {2} end {محاذاة } )

إجابه:

( sqrt {3} + sqrt {2} )

لاحظ أنه يتم حذف الحدود التي تتضمن الجذر التربيعي في المقام بضربها في المرافق. يمكننا استخدام الخاصية ( frac {( sqrt {a} + sqrt {b})} {( sqrt {a} - sqrt {b})} = ab ) لتسريع عملية ضرب التعبيرات في المقام.

مثال ( PageIndex {20} )

تبرير المقام:

( frac { sqrt {2} - sqrt {6}} { sqrt {2} + sqrt {6}} )

حل:

اضرب في 1 بالصيغة ( frac {( sqrt {2} - sqrt {6})} {( sqrt {2} - sqrt {6})} )

إجابه:

(- 2+ sqrt {3} )

مثال ( PageIndex {21} )

تبرير المقام:

( frac { sqrt {x} - sqrt {y}} { sqrt {x} + sqrt {y}} )

حل:

في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة ( frac {( sqrt {x} - sqrt {y})} {( sqrt {x} - sqrt {y})} ).

إجابه:

تمرين ( PageIndex {3} )

تبرير المقام:

( frac {3 sqrt {5} +5} {2 sqrt {5} -3} )

إجابه

( frac {45 + 19 sqrt {5}} {11} )

الماخذ الرئيسية

  • لضرب تعبيرين جذريين أحاديي المدى ، اضرب المعامِلات واضرب الجذور. إذا أمكن ، بسّط النتيجة.
  • طبق خاصية التوزيع عند ضرب التعبيرات الجذرية بعدة حدود. ثم بسّط واجمع كل الجذور المتشابهة.
  • ينتج عن ضرب التعبير الجذري ذي الحدين الذي يتضمن الجذور التربيعية في مرافقه تعبيرًا منطقيًا.
  • من الشائع كتابة تعبيرات جذرية بدون جذور في المقام. تسمى عملية العثور على مثل هذا التعبير المكافئ ترشيد المقام.
  • إذا كان للتعبير حد واحد في المقام يشتمل على جذري ، فقم بحسابه بضرب البسط والمقام في الجذر النوني لعوامل الجذر بحيث تساوي قواها المؤشر.
  • إذا كان للتعبير الجذري حدين في المقام يشتملان على جذور تربيعية ، فعند إنطاقه بضرب البسط والمقام في مرافقه.

تمرن ( PageIndex {4} ) على ضرب التعبيرات الجذرية

تتضاعف. (افترض أن جميع المتغيرات غير سالبة.)

  1. ( sqrt {3} cdot sqrt {5} )
  2. ( sqrt {7} cdot sqrt {3} )
  3. ( sqrt {2} cdot sqrt {6} )
  4. ( sqrt {5} cdot sqrt {15} )
  5. ( sqrt {7} cdot sqrt {7} )
  6. ( sqrt {12} cdot sqrt {12} )
  7. (2 sqrt {5} cdot 7 sqrt {10} )
  8. (3 sqrt {15} cdot 2 sqrt {6} )
  9. ((2 sqrt {5}) ^ {2} )
  10. ((6 sqrt {2}) ^ {2} )
  11. ( sqrt {2x} cdot sqrt {2x} )
  12. ( sqrt {5y} cdot sqrt {5y} )
  13. ( sqrt {3a} cdot sqrt {12} )
  14. ( sqrt {3a} cdot sqrt {2a} )
  15. (4 sqrt {2x} cdot 3 sqrt {6x} )
  16. (5 sqrt {10y} cdot 2 sqrt {2y} )
  17. ( sqrt [3] {5} cdot sqrt [3] {25} )
  18. ( sqrt [3] {4} cdot sqrt [3] {2} )
  19. ( sqrt [3] {4} cdot sqrt [3] {10} )
  20. ( sqrt [3] {18} cdot sqrt [3] {6} )
  21. ((5 sqrt [3] {9}) (2 sqrt [3] {6}) )
  22. ((2 sqrt [3] {4}) (3 sqrt [3] {4}) )
  23. ((2 sqrt [3] {2}) ^ {3} )
  24. ((3 sqrt [3] {4}) ^ {3} )
  25. ( sqrt [3] {3a ^ {2}} cdot sqrt [3] {9a} )
  26. ( sqrt [3] {7b} cdot sqrt [3] {49b ^ {2}} )
  27. ( sqrt [3] {6x ^ {2}} cdot sqrt [3] {4x ^ {2}} )
  28. ( sqrt [3] {12y} cdot sqrt [3] {9y ^ {2}} )
  29. ( sqrt [3] {20x ^ {2} y} cdot sqrt [3] {10x ^ {2} y ^ {2}} )
  30. ( sqrt [3] {63xy} cdot sqrt [3] {12x ^ {4} y ^ {2}} )
  31. ( sqrt {5} (3 - sqrt {5}) )
  32. ( sqrt {2} ( sqrt {3} - sqrt {2}) )
  33. (3 sqrt {7} (2 sqrt {7} - sqrt {3}) )
  34. (2 sqrt {5} (6−3 sqrt {10}) )
  35. ( sqrt {6} ( sqrt {3} - sqrt {2}) )
  36. ( sqrt {15} ( sqrt {5} + sqrt {3}) )
  37. ( sqrt {x} ( sqrt {x} + sqrt {xy}) )
  38. ( sqrt {y} ( sqrt {xy} + sqrt {y}) )
  39. ( sqrt {2ab} ( sqrt {14a} −2 sqrt {10b}) )
  40. ( sqrt {6ab} (5 sqrt {2a} - sqrt {3b}) )
  41. (( sqrt {2} - sqrt {5}) ( sqrt {3} + sqrt {7}) )
  42. (( sqrt {3} + sqrt {2}) ( sqrt {5} - sqrt {7}) )
  43. ((2 sqrt {3} −4) (3 sqrt {6} +1) )
  44. ((5−2 sqrt {6}) (7−2 sqrt {3}) )
  45. (( sqrt {5} - sqrt {3}) ^ {2} )
  46. (( sqrt {7} - sqrt {2}) ^ {2} )
  47. ((2 sqrt {3} + sqrt {2}) (2 sqrt {3} - sqrt {2}) )
  48. (( sqrt {2} +3 sqrt {7}) ( sqrt {2} −3 sqrt {7}) )
  49. (( sqrt {a} - sqrt {2b}) ^ {2} )
  50. (( sqrt {ab} +1) ^ {2} )
  51. ما محيط ومستطيل طوله (5 sqrt {3} ) سم وعرضه (3 sqrt {2} ) سم؟
  52. ما محيط ومستطيل بطول (2 sqrt {6} ) سم وعرض ( sqrt {3} ) سم؟
  53. إذا كانت قاعدة المثلث تساوي (6 sqrt {2} ) مترًا وكان الارتفاع يقيس (3 sqrt {2} ) مترًا ، فما هي المساحة؟
  54. إذا كان قياس قاعدة المثلث (6 sqrt {3} ) مترًا وكان الارتفاع يقيس (3 sqrt {6} ) مترًا ، فما هي المساحة؟
إجابه

1. ( sqrt {15} )

3. (2 sqrt {3} )

5. (7)

7. (70 sqrt {2} )

9. (20)

11. (2x )

13. (6 sqrt {a} )

15. (24x sqrt {3} )

17. (5)

19. (2 sqrt [3] {5} )

21. (30 sqrt [3] {2} )

23. (16)

25. (3 أ )

27. (2 sqrt [3] {3} left (x ^ {2} right) ^ { frac {2} {3}} )

29. (2xy sqrt [3] {25x} )

31. (3 sqrt {5} −5 )

33. (42-3 sqrt {21} )

35. (3 sqrt {2} −2 sqrt {3} )

37. (x + x sqrt {y} )

39. ( sqrt {2} ( sqrt {14} sqrt {a} -2 sqrt {10} sqrt {b}) sqrt {a b} )

41. ( sqrt {6} + sqrt {14} - sqrt {15} - sqrt {35} )

43. (18 sqrt {2} +2 sqrt {3} -12 sqrt {6} -4 )

45. (8-2 مربع {15} )

47. (10)

49. (( sqrt {a} - sqrt {2b}) ^ {2} )

51. المحيط: ((10 sqrt {3} +6 sqrt {2}) ) سم ؛ المساحة: (15 sqrt {6} ) سنتمترًا مربعًا

53. (18 ) متر مربع

تمرن ( PageIndex {5} ) قسمة التعبيرات الجذرية

يقسم.

  1. ( frac { sqrt {75}} { sqrt {3}} )
  2. ( frac { sqrt {360}} { sqrt {10}} )
  3. ( frac { sqrt {72}} { sqrt {75}} )
  4. ( frac { sqrt {90}} { sqrt {98}} )
  5. ( frac { sqrt {90 × ^ {5}}} { sqrt {2 x}} )
  6. ( frac { sqrt {96 y ^ {3}}} { sqrt {3 y}} )
  7. ( frac { sqrt {162 x ^ {7} y ​​^ {5}}} { sqrt {2 x y}} )
  8. ( frac { sqrt {363 x ^ {4} y ^ {9}}} { sqrt {3 x y}} )
  9. ( frac { sqrt [3] {16 a ^ {5} b ^ {2}}} { sqrt [3] {2 a ^ {2} b ^ {2}}} )
  10. ( frac { sqrt [3] {192 a ^ {2} b ^ {7}}} { sqrt [3] {2 a ^ {2} b ^ {2}}} )
إجابه

1. (5)

3. ( frac {2 sqrt {6}} {5} )

5. (3 sqrt {5} x ^ {2} )

7. (9 × ^ {3} ص ^ {2} )

9. (2 أ )

تمرن ( PageIndex {6} ) قسمة التعبيرات الجذرية

برر المقام

  1. ( sqrt { frac {1} {5}} )
  2. ( sqrt { frac {1} {6}} )
  3. ( frac { sqrt {2}} { sqrt {3}} )
  4. ( frac { sqrt {3}} { sqrt {7}} )
  5. ( sqrt { frac {52} {10}} )
  6. ( sqrt { frac {3} {56}} )
  7. ( frac { sqrt {3} - sqrt {5}} { sqrt {3}} )
  8. ( frac { sqrt {6} - sqrt {2}} { sqrt {2}} )
  9. ( sqrt { frac {1} {7 x}} )
  10. ( sqrt { frac {1} {3y}} )
  11. (a sqrt { frac {5} {a b}} )
  12. ( 3 ب ^ {2} sqrt { frac {23} {a b}})
  13. 236−−√3
  14. 147√3
  15. 14x −− √3
  16. 13y2 −−−− √3
  17. 9x⋅2√39xy2 −−−−− √3
  18. 5y2⋅x −− √35x2y −−−−− √3
  19. 3a2 3a2b2 −−−−− √3
  20. 25n3 25 م 2 ن −−−−−− √3
  21. 327x2y −−−−− √5
  22. 216xy2 −−−−−− √5
  23. ab9a3b −−−− √5
  24. abcab2c3 −−−−− √5
  25. 310−−√−3
  26. 26√−2
  27. 15√+3√
  28. 17√−2√
  29. 3√3√+6√
  30. 5√5√+15−−√
  31. 105−35√
  32. −22√4−32√
  33. 3√+5√3√−5√
  34. 10−−√−2√10−−√+2√
  35. 23√−32√43√+2√
  36. 65√+225√−2√
  37. x + y√x − y√
  38. x − y−x + y√
  39. a√ − b√a√ + b√
  40. أب −− √ + 2√ab −− √ − 2√
  41. x −− √5−2x −− √ 106. 1x −− √ − y
إجابه

1. ( frac { sqrt {5}} {5} )

3. ( frac { sqrt {6}} {3} )

5. ( frac { sqrt {130}} {5} )

7. ( frac {3- sqrt {15}} {3} )

9. ( frac { sqrt {7x}} {7 x} )

11. (a frac { sqrt {5a b}} {a b} )

13. 6√33

15. 2x2 −−−− √32x

17. 3 6x2y −−−−− √3y

19. 9ab √32b

21. 9x3y4 −−−−−− √5xy

23. 27a2b4 −−−−−− √53

25. 310−−√+9

27. 5√−3√2

29. −1+2√

31. −5−35√2

33. −4−15−−√

35. 15−76√23

37. x2 + 2xy√ + yx2 − y

39. أ − 2 أب −− √ + با − ب

41. 5x −− √ + 2x25−4x

تمرين على مناقشة ( PageIndex {7} )

  1. ابحث وناقش بعض الأسباب التي تجعل من الشائع ترشيد المقام.
  2. اشرح بكلماتك الخاصة كيفية ترشيد المقام.
إجابه

1. قد تختلف الإجابة


ضرب التعبيرات الجذرية

نقوم بضرب التعبيرات ذات الحدين التي تتضمن جذورًا باستخدام طريقة FOIL (الأول ، الخارجي ، الداخلي ، الأخير).

مثال 1: اضرب كل مما يلي

$ تبدأ text & left ( sqrt <5> - 3 right) cdot left ( sqrt <2> + 2 right) text & left (2-3 sqrt <5> right) cdot left ( sqrt <15> + 2 sqrt <3> right) end $

يبدأ نص يسار ( sqrt <5> - 3 يمين) cdot يسار ( sqrt <2> + 2 right) & = underbrace < sqrt <5> cdot sqrt <2>> _ text + underbrace < sqrt <5> cdot 2> _ text - underbrace <3 cdot sqrt <2>> _ text - underbrace <3 cdot 2> _ text = & = sqrt <10> + 2 ، sqrt <5> - 3 ، sqrt <2> - 6 end

مثال 2: اضرب كل مما يلي

$ تبدأ text & left ( sqrt <7> - sqrt <5> right) cdot left ( sqrt <7> + sqrt <5> right) text < ب)> & يسار ( مربع <12> - 2 يمين) ^ 2 نهاية $

يبدأ نص يسار ( sqrt <7> - sqrt <5> right) cdot left ( sqrt <7> + sqrt <5> right) & = underbrace < sqrt <7> cdot sqrt <7>> _ نص + underbrace < sqrt <7> cdot sqrt <5>> _ text - underbrace < sqrt <5> cdot sqrt <7>> _ text - underbrace < sqrt <5> cdot sqrt <5>> _ text = & = sqrt <49> + إلغاء < color< sqrt <35> >> - إلغاء < color< sqrt <35> >> - sqrt <25> = & = 7-5 = 2 end

تمرين 1: اضرب كل مما يلي

قسمة التعبيرات الجذرية

طريقة شائعة ل الفاصل التعبير الجذري هو أن المقام لا يحتوي على جذور. يعتمد تقسيم الراديكالية على تبرير المقام. التبرير هو عملية البدء بكسر يحتوي على جذري في مقامه وتحديد كسر لا يحتوي على جذري في مقامه.

تقنيات تبرير المقام موضحة أدناه.

الحالة 1: ترشيد القواسم ذات الجذور التربيعية الواحدة

عندما يكون لديك جذر واحد في المقام ، تضرب به الأعلى والأسفل.


قسمة التعبيرات الجذرية

لقسمة التعبيرات الجذرية التي لها نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة خارج القسمة للجذور. بالنظر إلى الأعداد الحقيقية A n و B n ،

المثال 8

في هذه الحالة ، يمكننا ملاحظة أن 6 و 96 لهما عوامل مشتركة. إذا طبقنا قاعدة خارج القسمة للجذور وكتبناها كجذر تكعيبي واحد ، فسنكون قادرين على تقليل كسور الجذر.

96 3 6 3 = 96 6 3 A p p l y t h e q u o t i e n t r u l e f o r r a d i c a l s a n d r e d u c e t h e r a d i c a n d. = 16 3 S i m p l i f y. = 8 ⋅ 2 3 = 2 2 3

المثال 9

قسّم: 50 x 6 y 4 8 x 3 y.

اكتب في صورة جذر تربيعي واحد وقم بإلغاء العوامل المشتركة قبل التبسيط.

50 x 6 y 4 8 x 3 y = 50 x 6 y 4 8 x 3 y A p p l y t h e q u o t i e n t r u l e f o r r a d i c a l s a n d c a n c e l. = 25 x 3 y 3 4 S i m p l i f y. = 25 × 3 ص 3 4 = 5 × ص × ص 2


جامعة قانون الأعمال عبر الوطنية

هذا هو "ضرب وتقسيم التعبيرات الجذرية" ، القسم 8.4 من كتاب بداية الجبر (الإصدار 1.0). للحصول على تفاصيل حوله (بما في ذلك الترخيص) ، انقر هنا.

لمزيد من المعلومات حول مصدر هذا الكتاب ، أو سبب توفره مجانًا ، يرجى الاطلاع على الصفحة الرئيسية للمشروع. يمكنك تصفح أو تنزيل كتب إضافية هناك.

هل ساعدك هذا الكتاب؟ ضع في اعتبارك نقلها إلى:

تدعم المشاع الإبداعي الثقافة الحرة من الموسيقى إلى التعليم. ساعدت تراخيصهم في إتاحة هذا الكتاب لك.

يساعد موقع DonorsChoose.org الأشخاص مثلك على مساعدة المعلمين في تمويل مشاريعهم الصفية ، من اللوازم الفنية إلى الكتب إلى الآلات الحاسبة.

8.4 ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية

أهداف التعلم
1- مضاعفة التعبيرات الجذرية.
2- قسّم التعبيرات الجذرية.
3- ترشيد المقام.

ضرب التعبيرات الجذرية

عند ضرب التعبيرات الجذرية في نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة حاصل الضرب للجذور. إذا كان a و b يمثلان أرقامًا حقيقية موجبة ،

الحل: هذه المشكلة ناتجة عن اثنين من الجذور التربيعية. طبق قاعدة الضرب على الجذور ثم بسّطها.

الحل: هذه المشكلة ناتجة عن جذور تكعيبية. طبق قاعدة الضرب على الجذور ثم بسّطها.

غالبًا ما تكون هناك معاملات أمام الراديكاليين.

الحل: باستخدام قاعدة حاصل الضرب للجذور وحقيقة أن الضرب تبادلي ، يمكننا ضرب المعاملات والجذور على النحو التالي.

عادة ، لا تظهر الخطوة الأولى التي تنطوي على تطبيق خاصية التبادل.

مثال 4: اضرب: −2 5x3⋅3 25x23.

استخدم خاصية التوزيع عند ضرب التعبيرات الكسرية بأكثر من حد واحد.

مثال 5: اضرب 43 (23-36).

الحل: طبق خاصية التوزيع واضرب كل حد في 43.

مثال 6: اضرب: 4x23 (2x3−5 4x23).

الحل: قم بتطبيق خاصية التوزيع ثم تبسيط النتيجة.

عملية ضرب التعبيرات الجذرية ذات المصطلحات المتعددة هي نفس العملية المستخدمة عند ضرب كثيرات الحدود. طبق خاصية التوزيع ، وبسّط كل جذري ، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

الحل: ابدأ بتطبيق خاصية التوزيع.

جرب هذا! اضرب: (23 + 52) (3−26).

حل الفيديو
(انقر لمشاهدة الفيديو)
تسمى التعبيرات (a + b) و (a − b) المترافقة ، والعوامل (a + b) و (a − b) عبارة عن اتحادات .. عند ضرب الاتحادات ، ينتج عن مجموع حاصل ضرب الحدود الداخلية والخارجية 0 .

الحل: طبق خاصية التوزيع ثم اجمع الحدود المتشابهة.

من المهم ملاحظة أنه عند ضرب التعبيرات الجذرية المترافقة ، نحصل على تعبير عقلاني. هذا صحيح بشكل عام وغالبًا ما يستخدم في دراستنا للجبر.

لذلك ، بالنسبة للأعداد الحقيقية غير السالبة أ وب ، لدينا الخاصية التالية:

قسمة التعبيرات الجذرية (ترشيد المقام)

لقسمة التعبيرات الجذرية التي لها نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة خارج القسمة للجذور. إذا كان a و b يمثلان أعدادًا غير سالبة ، حيث b 0 ، إذن لدينا

الحل: في هذه الحالة ، يمكننا ملاحظة أن 10 و 80 لهما عوامل مشتركة. إذا طبقنا قاعدة خارج القسمة للجذور وكتبناها في صورة جذر تربيعي واحد ، فسنكون قادرين على تقليل كسور الجذر.

مثال 11: قسّم: 16x5y42xy.

مثال 12: قسّم: 54a3b5316a2b23.

عندما يحتوي المقسوم على تعبير جذري على جذري ، فمن الشائع العثور على تعبير مكافئ حيث يكون المقام عددًا نسبيًا. العثور على مثل هذا التعبير المكافئ يسمى عقلنة المقام - عملية تحديد تعبير جذري مكافئ مع قاسم عقلاني

للقيام بذلك ، اضرب الكسر في شكل خاص من 1 بحيث يمكن كتابة الجذر في المقام بقوة تطابق الفهرس. بعد القيام بذلك ، بسّط وحذف الجذر في المقام. على سبيل المثال،

تذكر ، للحصول على تعبير مكافئ ، يجب عليك ضرب البسط والمقام في نفس العامل غير الصفري بالضبط.

مثال 13: ترشيد المقام: 32.

الحل: الهدف هو إيجاد تعبير مكافئ بدون جذري في المقام. في هذا المثال ، اضرب في 1 بالصورة 22.

مثال 14: ترشيد المقام: 123x.

الحل: يحدد الجذر في المقام العوامل التي تحتاج إلى استخدامها لتبريرها. في هذا المثال ، اضرب في 1 بالشكل 3x3x.

عادةً ، سنجد الحاجة إلى الاختزال أو الإلغاء بعد ترشيد المقام.

مثال 15: ترشيد المقام: 525ab.

الحل: في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة 5ab5ab.

لاحظ أن a و b لا تلغيان في هذا المثال. لا تلغي العوامل داخل الجذر مع العوامل الخارجية.

جرب هذا! ترشيد المقام: 4a3b.

حل الفيديو
(انقر لمشاهدة الفيديو)
حتى هذه النقطة ، رأينا أن ضرب بسط ومقام في جذر تربيعي بنفس الجذر والمقام ينتج عنه مقام كسري. بشكل عام ، هذا صحيح فقط عندما يحتوي المقام على جذر تربيعي. ومع ذلك ، ليس هذا هو الحال بالنسبة للجذر التكعيبي. على سبيل المثال،

لاحظ أن الضرب في نفس العامل في المقام لا يبرره. في هذه الحالة ، إذا ضربنا في 1 على شكل x23x23 ، فيمكننا كتابة الجذر في المقام على هيئة أس 3. وتبسيط النتيجة ينتج عنه مقام منطقي. على سبيل المثال،

لذلك ، لتبرير مقام التعبيرات الجذرية بحد جذري واحد في المقام ، ابدأ بتحليل الجذر والمقام إلى عوامل. تحدد عوامل هذا الجذر والدليل ما يجب أن نضرب به. اضرب البسط والمقام في الجذر النوني للعوامل التي تنتج القوى النونية لجميع العوامل في الجذر والمقام.

مثال 16: ترشيد المقام: 1253.

الحل: الجذر في المقام يساوي 523. ولترشيد المقام ، يجب أن يكون 533.للحصول على هذا ، نحتاج إلى عامل آخر هو 5. لذلك ، اضرب في 1 في صورة 5353.

مثال 17: ترشيد المقام: 27a2b23.

الحل: في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة 22b322b3.

مثال 18: ترشيد المقام: 1 4x35.

الحل: في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالشكل 23x2523x25.

عندما يظهر حدين يشتملان على جذور تربيعية في المقام ، يمكننا إنطاقها باستخدام أسلوب خاص جدًا. تتضمن هذه التقنية ضرب البسط والمقام في الكسر بمرافق المقام. تذكر أن ضرب تعبير جذري في مرافقه ينتج عددًا كسريًا.

مثال 19: ترشيد المقام: 13−2.

الحل: في هذا المثال ، مرافق المقام هو 3 + 2. لذلك اضرب في 1 بالصيغة (3 + 2) (3 + 2).

لاحظ أنه يتم حذف الحدود التي تتضمن الجذر التربيعي في المقام بضربها في المرافق. يمكننا استخدام الخاصية (أ + ب) (أ − ب) = أ − ب لتسريع عملية ضرب التعابير في المقام.

مثال 20: ترشيد المقام: 2−62 + 6.

الحل: اضرب ب 1 بالصورة 2−62−6.

مثال 21: تبرير المقام: x + yx − y.

الحل: في هذا المثال ، سنضرب في 1 بالصيغة x − yx − y.

جرب هذا! رتب المقام: 35 + 525−3.

حل الفيديو
(انقر لمشاهدة الفيديو)

الماخذ الرئيسية
• لضرب تعبيرين جذريين أحاديي المدى ، اضرب المعامِلات واضرب الجذور. إذا أمكن ، بسّط النتيجة.
• تطبيق خاصية التوزيع عند ضرب التعبيرات الجذرية بعدة حدود. ثم بسّط واجمع كل الجذور المتشابهة.
• مضاعفة التعبير الجذري ذي الحدين الذي يتضمن الجذور التربيعية من خلال اقترانه ينتج عنه تعبير عقلاني.
• من الشائع كتابة تعابير راديكالية بدون جذور في المقام. تسمى عملية العثور على مثل هذا التعبير المكافئ ترشيد المقام.
• إذا كان للتعبير حد واحد في المقام يشتمل على جذري ، فعندئذٍ يمكن حسابه بضرب البسط والمقام في الجذر النوني لعوامل الجذر بحيث تساوي قواها المؤشر.
• إذا كان للتعبير الجذري حدين في المقام يشتملان على جذور تربيعية ، فعند إنطاقه بضرب البسط والمقام في مرافقه.


قسّم التعبيرات الجذرية

    تبسيط:

قسّم التعبيرات الجذرية

لقد استخدمنا خاصية حاصل القسمة للتعبيرات الجذرية لتبسيط جذور الكسور. سنحتاج إلى استخدام هذه الخاصية "معكوس" لتبسيط الكسر مع الجذور.

نعطي خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية مرة أخرى لسهولة الرجوع إليها. تذكر أننا نفترض أن جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي الصفر بحيث لا توجد حاجة إلى أشرطة قيمة مطلقة.

إذا و هي أرقام حقيقية ، ولأي عدد صحيح ومن بعد،

سنستخدم خاصية حاصل القسمة للتعبيرات الجذرية عندما يكون الكسر الذي نبدأ به هو حاصل قسمة جذرين ، ولا يمثل أيًا من الجذر قوة مثالية للمؤشر. عندما نكتب الكسر في جذر واحد ، فقد نجد العوامل المشتركة في البسط والمقام.

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

تبسيط:

تبسيط:

تبسيط:

ترشيد قاسم مصطلح واحد

قبل أن تصبح الآلة الحاسبة أداة للحياة اليومية ، كان تقريب قيمة الكسر بجذر في المقام عملية مرهقة للغاية!

لهذا السبب ، تم تطوير عملية تسمى عقلنة المقام. يتم تحويل كسر بجذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه عدد صحيح. الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير منطقية. عندما نبرر المقام ، نكتب كسرًا مكافئًا برقم كسري في المقام.

لا تزال هذه العملية مستخدمة اليوم ، وهي مفيدة في مجالات أخرى من الرياضيات أيضًا.

ترشيد المقام هي عملية تحويل كسر بجذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه عدد صحيح.

على الرغم من توفر الآلات الحاسبة في كل مكان تقريبًا ، فلا يزال يتعين عقلنة الكسر الذي يحتوي على جذري في المقام. لا يعتبر مبسطًا إذا احتوى المقام على جذري.

وبالمثل ، لا يعتبر التعبير الجذري مبسطًا إذا كان الجذر يحتوي على كسر.

يعتبر التعبير الجذري مبسطًا إذا كان هناك

  • لا توجد عوامل في الجذر تمتلك قوى كاملة للمؤشر
  • لا كسور في الجذر
  • لا جذور في مقام الكسر

لإنطاق المقام بجذر تربيعي ، نستخدم الخاصية التي إذا قمنا بتربيع جذر تربيعي غير نسبي ، نحصل على عدد نسبي.

سنستخدم هذه الخاصية في تفسير المقام في المثال التالي.

بسّط: ⓐ

لإنطاق مقام بحد واحد ، يمكننا ضرب الجذر التربيعي في نفسه. للإبقاء على الكسر متساويًا ، نضرب كلًا من البسط والمقام في نفس العامل.

اضرب كلًا من البسط والمقام في
تبسيط.

ⓑ نبسط دائمًا الجذر في المقام أولًا قبل أن نجعله منطقيًا. بهذه الطريقة تظل الأرقام أصغر وأسهل في التعامل معها.

اضرب البسط والمقام في
تبسيط.
تبسيط.

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

عندما أجرينا إنطاقًا جذرًا تربيعيًا ، ضربنا البسط والمقام في الجذر التربيعي الذي سيعطينا مربعًا كاملًا تحت الجذر في المقام. عندما أخذنا الجذر التربيعي ، لم يعد للمقام جذريًا.

سوف نتبع عملية مماثلة لترشيد الجذور العليا. لإنطاق مقام بجذر مؤشر أعلى ، نضرب البسط والمقام في جذري ، مما يعطينا جذرًا وقوة مثالية للمؤشر. عندما نبسط الجذر الجديد ، لن يحتوى المقام على جذري.

سنستخدم هذه التقنية في الأمثلة التالية.

بسّط ⓐ

لإنطاق المقام بجذر تكعيبي ، يمكننا الضرب في الجذر التكعيبي الذي سيعطينا مكعبًا كاملًا في الجذر وفي المقام. للإبقاء على الكسر متساويًا ، نضرب كلًا من البسط والمقام في نفس العامل.

الجذر في المقام له عامل واحد هو 6.

اضرب كلًا من البسط والمقام في

ⓑ نبسط دائمًا الجذر في المقام أولًا قبل أن نجعله منطقيًا. بهذه الطريقة تظل الأرقام أصغر وأسهل في التعامل معها.

أعد كتابة الجذر لإظهار العوامل.
اضرب البسط والمقام في

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

لإنطاق مقام بجذر رابع ، يمكننا الضرب في جذر رابع ، وهو ما يعطينا قوة رابعة كاملة في الجذر وفي المقام. للحفاظ على الكسر متساويًا ، نضرب كلًا من البسط والمقام في نفس العامل.

الجذر في المقام له عامل واحد هو 2.

اضرب كلًا من البسط والمقام في

ⓑ نبسط دائمًا الجذر في المقام أولًا قبل أن نجعله منطقيًا. بهذه الطريقة تظل الأرقام أصغر وأسهل في التعامل معها.

أعد كتابة الجذر لإظهار العوامل.
اضرب البسط والمقام في

بسّط: ⓐ

بسّط: ⓐ

ترشيد القاسم ذو الحدين

عندما يكون مقام الكسر مجموعًا أو فرقًا له جذور تربيعية ، فإننا نستخدم حاصل ضرب نمط المتقارن لتبرير المقام.

عندما نضرب قيمة ذات حدين تتضمن جذرًا تربيعيًا في مرافقه ، فإن حاصل الضرب ليس له جذور تربيعية.

تبسيط:

اضرب البسط والمقام في

تبسيط:

تبسيط:

لاحظ أننا لم نقم بتوزيع الـ 5 في إجابة المثال الأخير. بترك النتيجة محللة ، يمكننا معرفة ما إذا كانت هناك أية عوامل مشتركة بين كل من البسط والمقام.

تبسيط:

اضرب البسط والمقام في

تبسيط:

تبسيط:

كن حذرا من العلامات عند الضرب. يتشابه البسط والمقام كثيرًا عند الضرب في المرافق.

تبسيط:

اضرب البسط والمقام في

نحن لا نربّع البسط. بتركها في صورة محللة إلى عوامل ، يمكننا أن نرى أنه لا توجد عوامل مشتركة يمكن إزالتها من البسط والمقام.

تبسيط:

تبسيط:

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لتقسيم التعبيرات الراديكالية.

المفاهيم الرئيسية

  • خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية
    • إذا و هي أرقام حقيقية ، ولأي عدد صحيح ومن بعد،
    • يعتبر التعبير الجذري مبسطًا إذا كان هناك:
      • لا توجد عوامل في الجذر لها قوى كاملة للمؤشر
      • لا كسور في الجذر
      • لا جذور في مقام الكسر

      مع التدريب يأتي الإتقان

      قسّم الجذور التربيعية

      في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

      ⓐ />ⓑ />

      ترشيد قاسم مصطلح واحد

      في التدريبات التالية ، عقلنة المقام.

      ترشيد القاسم ذو الحدين

      في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

      تمارين الكتابة

      ⓐ بسّط وشرح كل خطواتك.

      ⓑ بسّط وشرح كل خطواتك.

      ⓒ لماذا تختلف طريقتا تبسيط الجذور التربيعية؟

      اشرح المقصود بكلمة عقلنة في عبارة "ترشيد القاسم".

      اشرح سبب الضرب من خلال مرافقه ينتج تعبير بدون جذور.

      اشرح سبب الضرب بواسطة لا يبرر المقام.

      الاختيار الذاتي

      ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

      ⓑ بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لما و لما لا؟

      قائمة المصطلحات


      قسمة التعبيرات الجذرية

      يمكنك استخدام نفس الأفكار لمساعدتك في معرفة كيفية تبسيط وتقسيم التعبيرات الجذرية. تذكر أن المنتج الذي تم رفعه إلى قاعدة الطاقة ينص على أن [اللاتكس] sqrt [x]= sqrt [x] cdot sqrt [x][/ لاتكس]. حسنًا ، ماذا لو كنت تتعامل مع حاصل قسمة بدلاً من منتج؟

      الحاصل الذي تم رفعه إلى قاعدة القوة

      لأية أرقام حقيقية أ و ب (ب ≠ 0) وأي عدد صحيح موجب x: [اللاتكس] << يسار ( frac right)> ^ < frac <1>>> = فارك << ^ < فارك <1>>>><<^ < فارك <1>>>> [/ لاتكس]

      لأية أرقام حقيقية أ و ب (ب ≠ 0) وأي عدد صحيح موجب x: [اللاتكس] sqrt [x] < frac> = frac < sqrt [x]> < sqrt [x]> [/ لاتكس]

      كما فعلت مع الضرب ، ستبدأ ببعض الأمثلة التي تعرض الأعداد الصحيحة قبل الانتقال إلى الجذور ذات المتغيرات والتعبيرات الأكثر تعقيدًا مثل [اللاتكس] frac < sqrt [3] <24x <^ <4> >>> < sqrt [3] <8y>> [/ لاتكس].

      مثال

      بسّط كل جذري. ابحث عن عوامل التربيع الكاملة في الجذر ، وأعد كتابة الجذر وكمنتج من العوامل.


      ضرب التعبيرات الجذرية & # 8211 مثال 1:

      اضرب الأعداد خارج الجذور والأجزاء الجذرية. ثم: (2 sqrt <5> × sqrt <3> = 2 × 1 × sqrt <5> × sqrt <3> = 2 sqrt <15> )

      ضرب التعبيرات الجذرية & # 8211 مثال 2:

      اضرب الأعداد خارج الجذور والأجزاء الجذرية. بعد ذلك ، بسّط: (3x sqrt <3> × 4 sqrt= (3x × 4) × ( sqrt <3> × sqrt) = (12x) ( sqrt <3x>) = 12x sqrt <3x> )

      ضرب التعبيرات الجذرية & # 8211 مثال 3:

      العامل الأول الأرقام: (36 = 6 ^ 2 ) و (4 = 2 ^ 2 )
      ثم: ( sqrt <36> × sqrt <4> = sqrt <6 ^ 2> × sqrt <2 ^ 2> )
      استخدم الآن قاعدة الجذر: ( sqrt [n]= a ) ثم: ( sqrt <6 ^ 2> × sqrt <2 ^ 2> = 6 × 2 = 12 )


      8.4 جمع وطرح وضرب التعبيرات الجذرية

      إن إضافة التعبيرات الجذرية التي لها نفس الفهرس ونفس الجذر هو مثل جمع الحدود المتشابهة. نسمي الجذور التي لها نفس المؤشر ونفس الجذور والجذور المتشابهة لتذكيرنا بأنها تعمل بنفس الحدود المتشابهة.

      مثل الراديكاليين

      مثل الراديكاليين هي تعبيرات جذرية لها نفس الفهرس ونفس الجذر.

      نجمع ونطرح الجذور المتشابهة بنفس الطريقة التي نجمع بها ونطرح الحدود المتشابهة. نعلم أن 3 x + 8 x 3 x + 8 x يساوي 11 x. 11 ×. وبالمثل نضيف 3 x + 8 x 3 x + 8 x والنتيجة هي 11 x. 11 ×.

      فكر في إضافة مصطلحات متشابهة مع المتغيرات كما تفعل في الأمثلة القليلة التالية. عندما يكون لديك مثل الجذور ، ما عليك سوى جمع أو طرح المعاملات. عندما لا تتشابه الجذور ، لا يمكنك الجمع بين المصطلحين.

      مثال 8.36

      حل

      المؤشرات هي نفسها ولكن الجذور مختلفة. هؤلاء ليسوا مثل الراديكاليين. بما أن الجذور لا تشبه ، فلا يمكننا طرحها.

      لكي تتشابه الجذور ، يجب أن يكون لها نفس الفهرس والجذر. عندما تحتوي الجذور على أكثر من متغير واحد ، طالما أن جميع المتغيرات وأسسها متطابقة ، فإن الجذر هو نفسه.

      مثال 8.37

      حل

      تذكر أننا دائمًا نبسط الجذور بإزالة العامل الأكبر من الجذر وهو قوة الفهرس. بمجرد تبسيط كل جذري ، يمكننا حينئذٍ تحديد ما إذا كانوا مثل الجذور.

      مثال 8.38

      حل

      في المثال التالي ، سنزيل العوامل الثابتة والمتغيرة من الجذور. الآن وقد تدربنا على أخذ الجذور الفردية والزوجية للمتغيرات ، فمن الشائع في هذه المرحلة أن نفترض أن جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي صفرًا حتى لا تكون هناك حاجة إلى القيم المطلقة. سوف نستخدم هذا الافتراض في بقية هذا الفصل.

      مثال 8.39

      حل

      اضرب التعبيرات الجذرية

      لقد استخدمنا خاصية المنتج للجذور لتبسيط الجذور التربيعية عن طريق إزالة العوامل التربيعية الكاملة. يمكننا استخدام خاصية المنتج للجذور "في الاتجاه المعاكس" لمضاعفة الجذور التربيعية. تذكر أننا نفترض أن جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي صفرًا.

      سنعيد كتابة خاصية المنتج للجذور حتى نرى كلا الطريقتين معًا.

      خاصية المنتج من الجذور

      عندما نضرب جذرين ، يجب أن يكون لهما نفس الفهرس. بمجرد ضرب الجذور ، نبحث بعد ذلك عن العوامل التي تمثل قوة المؤشر ونبسط الجذر كلما أمكن ذلك.

      إن ضرب الجذور في المعاملات يشبه إلى حد كبير ضرب المتغيرات في المعاملات. لضرب 4 x · 3 y 4 x · 3 y نضرب المعاملين معًا ثم المتغيرات. النتيجة هي 12س ص. ضع هذا في الاعتبار كما تفعل هذه الأمثلة.

      مثال 8.40

      حل

      نتبع نفس الإجراءات عند وجود متغيرات في الجذر.

      مثال 8.41

      حل

      ⓑ عندما تشتمل الجذور على أعداد كبيرة ، فمن المفيد غالبًا تحليلها من أجل إيجاد القوى المثالية.

      استخدم الضرب متعدد الحدود لمضاعفة التعبيرات الجذرية

      في الأمثلة القليلة التالية ، سنستخدم خاصية التوزيع لمضاعفة التعبيرات بالجذور. سنقوم أولًا بتوزيع الجذور ثم تبسيطها إن أمكن.

      مثال 8.42

      حل

      عندما عملنا مع كثيرات الحدود ، ضربنا ذات الحدين في ذات الحدين. تذكر أن هذا أعطانا أربعة منتجات قبل أن نجمع أي شروط متشابهة. للتأكد من الحصول على جميع المنتجات الأربعة ، قمنا بتنظيم عملنا - عادةً بطريقة FOIL.

      مثال 8.43

      حل

      مثال 8.44

      بسّط: (3 2-5) (2 + 4 5). (3 2-5) (2 + 4 5).

      حل

      بسّط: (5 3-7) (3 + 2 7) (5 3-7) (3 + 2 7)

      بسّط: (6-3 8) (2 6 + 8) (6-3 8) (2 6 + 8)

      أدى التعرف على بعض المنتجات الخاصة إلى تسهيل عملنا عندما قمنا بضرب ذات الحدين في وقت سابق. هذا صحيح عندما نضرب الجذور أيضًا. يتم عرض صيغ المنتجات الخاصة التي استخدمناها هنا.

      المنتجات الخاصة

      سنستخدم صيغ المنتج الخاصة في الأمثلة القليلة التالية. سنبدأ بمنتج نمط المربعات ذات الحدين.

      مثال 8.45

      حل

      في المثال التالي ، سنستخدم حاصل ضرب نمط الاقتران. لاحظ أن المنتج النهائي ليس له جذري.

      مثال 8.46

      بسّط: (5 - 2 3) (5 + 2 3). (5 - 2 3) (5 + 2 3).

      حل

      بسّط: (3-2 5) (3 + 2 5) (3-2 5) (3 + 2 5)

      بسّط: (4 + 5 7) (4-5 7). (4 + 5 7) (4-5 7).

      وسائط

      قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع إضافة وطرح وضرب التعبيرات الجذرية.

      القسم 8.4 تمارين

      مع التدريب يأتي الإتقان

      جمع وطرح التعبيرات الجذرية

      في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

      3128 y 2 + 4 y 162-8 98 y 2 3128 y 2 + 4 y 162-8 98 y 2

      3 75 y 2 + 8 y 48-300 y 2 3 75 y 2 + 8 y 48-300 y 2

      اضرب التعبيرات الجذرية

      في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

      استخدم الضرب متعدد الحدود لمضاعفة التعبيرات الجذرية

      اضرب في التدريبات التالية.

      الممارسة المختلطة

      تمارين الكتابة

      اشرح متى يكون التعبير الجذري في أبسط صورة.

      اشرح عملية تحديد ما إذا كان جذران متشابهان أم لا. تأكد من أن إجابتك منطقية بالنسبة للجذور التي تحتوي على أرقام ومتغيرات.

      استخدم نمط المربع ذي الحدين لتبسيط (3 + 2) 2. (3 + 2) 2. اشرح كل خطواتك.

      الاختيار الذاتي

      ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

      ⓑ على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟

      بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

      هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

        إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

      • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
        • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
        • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
        • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
        • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
        • المكان: هيوستن ، تكساس
        • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
        • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-4-add-subtract-and-multiply-radical-expressions

        © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


        8.5 قسمة التعبيرات الجذرية

        لقد استخدمنا خاصية حاصل القسمة للتعبيرات الجذرية لتبسيط جذور الكسور.سنحتاج إلى استخدام هذه الخاصية "معكوس" لتبسيط الكسر مع الجذور.

        نعطي خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية مرة أخرى لسهولة الرجوع إليها. تذكر أننا نفترض أن جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي الصفر بحيث لا تكون هناك حاجة لأشرطة القيمة المطلقة.

        خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية

        سنستخدم خاصية حاصل القسمة للتعبيرات الجذرية عندما يكون الكسر الذي نبدأ به هو حاصل قسمة جذرين ، ولا يمثل أيًا من الجذر قوة مثالية للمؤشر. عندما نكتب الكسر في جذر واحد ، فقد نجد العوامل المشتركة في البسط والمقام.

        مثال 8.47

        حل

        مثال 8.48

        حل

        مثال 8.49

        بسّط: 54 x 5 y 3 3 x 2 y. 54 × 5 ص 3 3 × 2 ص.

        حل

        بسّط: 64 x 4 y 5 2 x y 3. 64 × 4 ص 5 2 × ص 3.

        بسّط: 96 a 5 b 4 2 a 3 b. 96 أ 5 ب 4 2 أ 3 ب.

        ترشيد قاسم مصطلح واحد

        قبل أن تصبح الآلة الحاسبة أداة للحياة اليومية ، كان تقريب قيمة الكسر بجذر في المقام عملية مرهقة للغاية!

        لهذا السبب ، تم تطوير عملية تسمى عقلنة المقام. يتم تحويل كسر بجذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه عدد صحيح. الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير منطقية. عندما نبرر المقام ، نكتب كسرًا مكافئًا برقم كسري في المقام.

        لا تزال هذه العملية مستخدمة اليوم ، وهي مفيدة في مجالات أخرى من الرياضيات أيضًا.

        ترشيد القاسم

        ترشيد المقام هي عملية تحويل كسر بجذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه عدد صحيح.

        على الرغم من توفر الآلات الحاسبة في كل مكان تقريبًا ، فلا يزال يتعين عقلنة الكسر الذي يحتوي على جذري في المقام. لا يعتبر مبسطًا إذا احتوى المقام على جذري.

        وبالمثل ، لا يعتبر التعبير الجذري مبسطًا إذا كان الجذر يحتوي على كسر.

        التعبيرات الجذرية المبسطة

        يعتبر التعبير الجذري مبسطًا إذا كان هناك

        • لا توجد عوامل في الجذر تمتلك قوى كاملة للمؤشر
        • لا كسور في الجذر
        • لا جذور في مقام الكسر

        لإضفاء الطابع المنطقي على المقام بجذر تربيعي ، نستخدم الخاصية التي (أ) 2 = أ. (أ) 2 = أ. إذا قمنا بتربيع جذر تربيعي غير نسبي ، نحصل على عدد نسبي.

        سنستخدم هذه الخاصية في تفسير المقام في المثال التالي.


        ورقة عمل ضرب وتقسيم الجذور في كوتا

        ورقة عمل J بواسطة kuta software llc kuta اسم ما قبل الجبر اللانهائي يحل مشكلة عدم المساواة بخطوة واحدة بضرب فترة تاريخ القسمة لحل كل متباينة ورسم بياني لحلها. أوراق عمل مجانية في الجبر 1 تم إنشاؤها باستخدام الجبر اللانهائي 1.

        أسئلة الرياضيات هذا أو ذاك أسئلة أوراق عمل الرياضيات

        جمع وطرح التعبيرات الجذرية عن طريق ضرب الجذور التي تقسم الجذور باستخدام صيغة المسافة باستخدام صيغة نقطة المنتصف لحل المعادلات الجذرية بسهولة في المسائل الكلامية الصعبة.

        ورقة عمل ضرب وقسمة الجذور كوتا. تبسيط الدوال الجذرية والأسس المنطقية. 1 5 × 25.

        قابل للطباعة بتنسيق pdf مناسب. W l 4a0lglz erei jg bhpt2sv 5reesseir tvcezdn x b nm2awdien dw ai 0t0hg witnhf li5nsi 7t3ew fayl mg6ezbjr wat 71j. قسمة التعبيرات الجذرية الجذور والأسس المنطقية تبسيط الأسس المنطقية.

        ورقة عمل بواسطة kuta software llc kuta برنامج Infinite algebra 1 اسم مضاعف التعبيرات الجذرية فترة التاريخ تبسيط. الدوال الجذرية والأسس المنطقية. 1 9 25 3 5 2 4 36 1 3 3 15 12 5 2 4.

        خطوة واحدة من المتباينات بضرب أو قسمة المتباينات المكونة من خطوتين. ضرب التعابير الجذرية التوابع الجذرية والأسس المنطقية. جمع وطرح التعبيرات الجذرية التوابع الجذرية والأسس المنطقية.

        تشكل الطائرة تحولات جامدة. 1 28 7 14 2 42435 2830 3 12530. قم بإنشاء أوراق العمل التي تحتاجها باستخدام الجبر اللانهائي 2.

        X 1 rmva 3dqei 7wii it hs ii 3nufpiqn0imt1ec apormem ga6l yg3e mbor ca9. لم ينفد من الأسئلة. قم بالوصول إلى أوراق العمل الجذرية القابلة للطباعة والمصممة بعناية والمقترحة لطلاب الصف الثامن والثانوي.

        خاصية الضرب في الأسس والجذور لخاصية قسمة الأسس. W a2c0k1 e2t pk0u rtta 9 asioaf3t cwyaarker cltlbcc. 1 فترة التاريخ l w2l0j1j6l wkyuwtias stomfhtmwxavraeg llalvck w avllla grhiygwhotysa hrwepssedrvseedx 1 تبسيط.

        تغطي أوراق عمل pdf موضوعات مثل تحديد الجذر والفهرس في تعبير يحول الصيغة الجذرية إلى الشكل الأسي والطريقة الأخرى حول تقليل الجذور إلى أبسط أشكالها ، وترشيد القواسم وتبسيط التعبيرات الجذرية. ورقة عمل بواسطة kuta software llc algebra 2 تدرب على ضرب وتقسيم هوية الراديكاليين. أوراق عمل مجانية لما قبل الجبر تم إنشاؤها باستخدام ما قبل الجبر اللانهائي.

        O 6kcuatcav qsmomfatiw0akrled nlrldcj rm 0a0lsls 1r6i4gwh9twsx 2rieaskelrfvpe9dc cg 3mfa0dze7 uwbixtxhr aiunyfvi2nlimtqel bamlcgqenbarwaj 3 إجابات 5 و 6 5s 5s 6 and 5s 5s 6 and 5s 5s 5s 4 to 5s 8 9 30. 4 ورقة عمل بواسطة kuta software llc kuta software لا نهائية الجبر 2 اسم تقسيم الجذور فترة تبسيط. قابل للطباعة بتنسيق pdf مناسب.

        عبارات توضح وظائف عقلانية بسيطة توضح وظائف عقلانية عامة وتبسيط التعابير الكسرية ضرب قسمة التعابير الكسرية.

        4 أوراق عمل لحل المعادلات التربيعية حل المعادلات التربيعية المعادلة التربيعية

        أوراق عمل الجبر 2 وظائف متعددة الحدود أوراق عمل الجبر 2 أوراق عمل كثيرات الحدود الجبر

        أوراق عمل الأس أوراق عمل حاصل قاعدة الجبر أوراق عمل

        برنامج كوتا لحل المعادلات متعددة الخطوات أوراق عمل الرياضيات المجانية القابلة للطباعة معادلات متعددة الخطوات أوراق عمل حل المعادلات متعددة الخطوات

        4 أوراق عمل لحل المعادلات التربيعية حل المعادلات التربيعية المعادلة التربيعية

        تثبيت على إعلانات ورقة عمل الرياضيات الجديدة

        أوراق عمل الجبر 2 الدوال الجذرية أوراق عمل التعبيرات الجذرية تبسيط الجذور تبسيط التعبيرات المنطقية

        أوراق عمل الجبر 2 الدوال الجذرية أوراق عمل التعبيرات الجذرية تبسيط الجذور تبسيط التعبيرات المنطقية

        إضافة طرح ورقة عمل مضاعفة الجذور ، تبسيط ورقة عمل الجذور مع الإجابات الجبر في عام 2020 ، تبسيط نموذج ورقة عمل الجذور الجذرية

        أوراق عمل الجبر لتبسيط المعادلة الجبر أوراق عمل تبسيط التعبيرات المنطقية التعبيرات المنطقية

        Kuta Software Infinite Algebra 2 الترميز العلمي ورقة عمل التدوين العلمي مشاكل الكلمات

        38 أوراق عمل الجبر المتقدمة مع الإجابات في 2020 أوراق عمل الأس الجبر أوراق عمل الجبر مشاكل الجبر

        3 ورقة عمل معادلة أوراق عمل الرياضيات للصف الخامس حل المعادلات التربيعية عن طريق كتابة المربع في 2020 حل المعادلات التربيعية معادلة التربيعية

        إضافة طرح كثيرات الحدود كوتا الجبر 1 أوراق عمل متعددة الحدود الجبر أ في 2020 إضافة وطرح كثيرات الحدود إضافة وطرح

        ورقة عمل الجبر الأساسي مع الحلول أوراق عمل الجبر الأساسي أوراق عمل الجبر الأساسي

        دبوس على قوالب ورقة عمل التعليم القابل للطباعة

        التحليل على الأعداد الحقيقية قبل حساب التفاضل والتكامل الأعداد الحقيقية متعددة الحدود

        ورقة عمل الجذر المكعب التعليم Com المدرسة الإعدادية مدرس الرياضيات الجبر الجذور التربيعية

        ورقة عمل مراجعة الجبر 2 الجبر 2 أوراق عمل الجبر أوراق عمل الجبر 2


        شاهد الفيديو: الحصه الغير متزامنه الاولي للصف الحادي عشر علمي ضرب وقسمة التعبيرات الجذريه (شهر اكتوبر 2021).