مقالات

8.6: حل المعادلات الجذرية


أهداف التعلم

  • حل المعادلات التي تتضمن جذورًا تربيعية.
  • حل المعادلات التي تتضمن الجذور التكعيبية

المعادلات الجذرية

المعادلة الجذرية هي أي معادلة تحتوي على جذري واحد أو أكثر مع متغير في الجذر. فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات الجذرية ، والتي سيتم حلها جميعًا في هذا القسم:

( begin {array} {c} { sqrt {x-1} = 5} { sqrt {2 x-5} + 4 = x} { sqrt [3] {x ^ {2 } +4} -2 = 0} نهاية {مجموعة} )

نبدأ بالخاصية التربيعية للمساواة ؛ بالنظر إلى الأعداد الحقيقية أ و ب، لدينا ما يلي:

إذا (أ = ب ) ، إذن (أ ^ {2} = ب ^ {2} )

بمعنى آخر ، يتم الاحتفاظ بالمساواة إذا قمنا بتربيع جانبي المعادلة.

( begin {array} {rlrl} {- 3 = -3} & { Rightarrow} & {(-3) ^ {2}} & {= (- 3) ^ {2}} {} & {} & {9} & {= 9} : : color {Cerulean} { checkmark} end {array} )

من ناحية أخرى ، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة:

هذا مهم لأننا سنستخدم هذه الخاصية لحل المعادلات الجذرية. فكر في معادلة جذرية بسيطة للغاية يمكن حلها عن طريق الفحص:

( sqrt {x} = 3 )

هنا يمكننا أن نرى أن (س = 9 ) حل. لحل هذه المعادلة جبريًا ، استخدم خاصية التربيع للمساواة وحقيقة أن (( sqrt {a}) ^ {2} = sqrt {a ^ {2}} = a ) عندما أ هو إيجابي. احذف الجذر التربيعي بتربيع طرفي المعادلة على النحو التالي:

( begin {align} color {Cerulean} {(} color {black} { sqrt {x}} color {Cerulean} {) ^ {2}} & color {black} {=} color {Cerulean} {(} color {black} {3} color {Cerulean} {) ^ {2}} x & = 9 end {align} )

كشيك ، يمكننا أن نرى أن ( sqrt {9} = 3 ) كما هو متوقع. نظرًا لأن عكس خاصية التربيع للمساواة ليس بالضرورة صحيحًا ، فقد لا تكون حلول المعادلة التربيعية حلولًا للأصل. ومن ثم فإن تربيع طرفي المعادلة يقدم إمكانية حلول دخيلة أو حلول لا تحل المعادلة الأصلية. لهذا السبب ، يجب أن نتحقق من الإجابات الناتجة عن تربيع طرفي المعادلة.

مثال ( PageIndex {1} )

يحل:

( sqrt {x-1} = 5 )

حل:

يمكننا حذف الجذر التربيعي من خلال تطبيق خاصية التربيع للمساواة.

بعد ذلك ، يجب أن نتحقق.

( start {align} color {black} { sqrt { color {OliveGreen} {26} -1}} & = 5 sqrt {25} & = 5 5 & = 5 : : color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

إجابه:

الحل هو 26.

مثال ( PageIndex {2} )

يحل:

حل:

ابدأ بتربيع طرفي المعادلة.

يتبقى لك معادلة تربيعية يمكن حلها بالتحليل إلى عوامل.

( start {array} {cc} {x + 5 = 0} & { text {or} quad x-1 = 0} {x = -5} & {x = 1} end {array } )

نظرًا لأنك قمت بتربيع كلا الجانبين ، يجب عليك التحقق من الحلول الخاصة بك.

بعد التحقق ، يمكنك أن ترى أن (x = −5 ) كان غريبًا ؛ لم يحل المعادلة الجذرية الأصلية. تجاهل هذه الإجابة. هذا يترك (س = 1 ) هو الحل الوحيد.

إجابه:

الحل هو (x = 1 ).

في المثالين السابقين ، لاحظ أن الجذر معزول في أحد طرفي المعادلة. عادة ، هذا ليس هو الحال. تم توضيح خطوات حل المعادلات الجذرية التي تتضمن جذورًا تربيعية في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {3} )

يحل:

( الجذر التربيعي {2 س-5} + 4 = س )

حل:

الخطوة 1: افصل الجذر التربيعي. ابدأ بطرح 4 من طرفي المعادلة.

الخطوة 2: مربّع كلا الجانبين. تربيع كلا الجانبين يلغي الجذر التربيعي.

الخطوه 3: حل المعادلة الناتجة. هنا يتبقى لك معادلة تربيعية يمكن حلها بالتحليل إلى عوامل.

( start {array} {cc} {x-3 = 0} & { text {or} quad x-7 = 0} {x = 3} & {x = 7} end {array} )

الخطوة الرابعة: افحص الحلول في المعادلة الأصلية. تربيع كلا الجانبين يقدم إمكانية حلول دخيلة ؛ ومن ثم فإن الشيك مطلوب.

( start {array} {r | r} { text {Check} x = 3} & { text {Check} x = 7} { sqrt {2 x-5} + 4 = x} & { sqrt {2 x-5} + 4 = x} { sqrt {2 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} - 5} + 4 = color {OliveGreen} { 3}} & { sqrt {2 ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} - 5} + 4 = color {OliveGreen} {7}} { sqrt {6-5 } + 4 = 3} & { sqrt {14-5} + 4 = 7} { sqrt {1} + 4 = 3} & { sqrt {9} + 4 = 7} {1+ 4 = 3} & {3 + 4 = 7} {5 = 3 : : color {red} {x}} & {7 = 7 : : color {Cerulean} { checkmark}} نهاية {مجموعة} )

بعد التحقق ، يمكننا أن نرى أن (x = 3 ) هو جذر غريب ؛ لا يحل المعادلة الجذرية الأصلية. هذا يترك (x = 7 ) هو الحل الوحيد.

إجابه:

الحل هو (x = 7 ).

مثال ( PageIndex {4} )

يحل:

حل:

ابدأ بعزل المصطلح مع الجذر

على الرغم من حقيقة أن المصطلح الموجود على الجانب الأيسر له معامل ، إلا أنه لا يزال يعتبر معزولًا. تذكر أن المصطلحات مفصولة عن طريق عوامل الجمع أو الطرح.

( begin {align} 3 sqrt {x + 1} & = 2 x (3 sqrt {x + 1}) ^ {2} & = (2 x) ^ {2} qquad color { Cerulean} {Square : both : sides.} 9 (x + 1) & = 4 x ^ {2} end {align} )

حل المعادلة التربيعية الناتجة.

( start {array} {rlrl} {4 x + 3} & {= 0} & { text {or}} & {x-3 = 0} {4 x} & {= -3} && {x = 3} {x} & {= - frac {3} {4}} end {array} )

نظرًا لأننا قمنا بتربيع كلا الطرفين ، يجب علينا التحقق من الحلول.

بعد التحقق ، يمكننا أن نرى أن (x = - frac {3} {4} ) كان غريبًا.

إجابه:

الحل هو 3.

في بعض الأحيان يكون كلا الحلين المحتملين غريبين.

مثال ( PageIndex {5} )

يحل:

حل:

ابدأ بعزل الراديكالي.

نظرًا لأننا قمنا بتربيع كلا الطرفين ، يجب علينا التحقق من الحلول.

نظرًا لأن كلا الحلين المحتملين غريبان ، فلا يوجد حل للمعادلة.

إجابه:

لا يوجد حل ، Ø

تمتد خاصية التربيع للمساواة إلى أي قوة عدد صحيح موجب ن. بالنظر إلى الأعداد الحقيقية أ و ب، لدينا ما يلي:

إذا (أ = ب ) ، إذن (أ ^ {n} = ب ^ {n} )

غالبًا ما يشار إلى هذا باسم ملكية القوة للمساواة. استخدم هذه الخاصية ، بالإضافة إلى حقيقة أن (( sqrt [n] {a}) ^ {n} = sqrt [n] {a ^ {n}} = a ) ، عندما أ موجب لحل المعادلات الجذرية ذات المؤشرات الأكبر من 2.

مثال ( PageIndex {6} )

يحل:

( sqrt [3] {x ^ {2} +4} -2 = 0 )

حل:

افصل الجذر ثم ضع كلا طرفي المعادلة على شكل مكعب.

( start {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & { text {or}} & {x-2 = 0} {x} & {= -2} & {} & {x = 2} end {array} )

الشيك.

( start {array} {r | r} { text {Check} x = -2} & { text {Check} x = 2} { sqrt [3] {x ^ {2} +4 } -2 = 0} & { sqrt [3] {x ^ {2} +4} -2 = 0} { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 2} color {black } {)} ^ {2} +4} -2 = 0} & { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ^ {2} +4} -2 = 0} { sqrt [3] {4 + 4} -2 = 0} & { sqrt [3] {4 + 4} -2 = 0} { sqrt [3] {8} - 2 = 0} & { sqrt [3] {8} -2 = 0} {2-2 = 0} & {2-2 = 0} {0 = 0 : : color {Cerulean } { checkmark}} & {0 = 0 : : color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

إجابه:

تمرين ( PageIndex {1} )

يحل:

( sqrt {2 x-1} + 2 = x )

إجابه

(س = 5 ) ( (س = 1 ) غريب)

قد يكون الأمر أن المعادلة لها تعبيرين جذريين.

مثال ( PageIndex {7} )

يحل:

( sqrt {3 x-4} = sqrt {2 x + 9} )

حل:

كلا الراديكاليين يعتبران معزولين في طرفي المعادلة المنفصلين.

تحقق من (س = 13 ).

( start {align} sqrt {3 x-4} & = sqrt {2 x + 9} sqrt {3 ( color {OliveGreen} {13} color {black} {)} - 4 } & = sqrt {2 ( color {OliveGreen} {13} color {black} {)} + 9} sqrt {39-4} & = sqrt {26 + 9} sqrt { 35} & = sqrt {35} quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

إجابه:

الحل هو 13.

مثال ( PageIndex {8} )

يحل:

( sqrt [3] {x ^ {2} + x-14} = sqrt [3] {x + 50} )

حل:

اقضِ على الجذور بتكعيب الطرفين.

( start {array} {rlrl} {x + 8} & {= 0} & { text {or}} & {x-8 = 0} {x} & {= -8} && {x = 8} نهاية {مجموعة} )

الشيك.

( start {array} {r | r} { text {Check} x = -8} & { text {Check} x = 8} { sqrt [3] {x ^ {2} + x -14} = sqrt [3] {x + 50}} & { sqrt [3] {x ^ {2} + x-14} = sqrt [3] {x + 50}} { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} - 14} = sqrt [3] {( color {OliveGreen} {- 8} color {black} {)} + 50}} & { sqrt [3] {( color {OliveGreen} {8} color {black} { )} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {8} color {black} {)} - 14} = sqrt [3] {( color {OliveGreen} {8} color {black} {) } +50}} { sqrt [3] {64-8-14} = sqrt [3] {42}} & { sqrt [3] {64 + 8-14} = sqrt [3] {58}} { sqrt [3] {42} = sqrt [3] {42} : : color {Cerulean} { checkmark}} & { sqrt [3] {58} = sqrt [3] {58} : : color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

إجابه:

سنتعلم كيفية حل بعض المعادلات الجذرية الأكثر تقدمًا في الدورة التالية ، الجبر المتوسط.

تمرين ( PageIndex {2} )

يحل:

( sqrt {3 x + 1} = sqrt {2 x-3} )

إجابه

لا يوجد حل ل x

الماخذ الرئيسية

  • حل المعادلات التي تتضمن جذورًا تربيعية عن طريق عزل الجذر أولاً ثم تربيع الطرفين. تربيع الجذر التربيعي يلغي الجذر ، مما يترك لنا معادلة يمكن حلها باستخدام التقنيات التي تعلمناها سابقًا في دراستنا للجبر. ومع ذلك ، فإن تربيع طرفي المعادلة يقدم إمكانية حلول غير ضرورية ، لذا تحقق من إجاباتك في المعادلة الأصلية.
  • حل المعادلات التي تتضمن جذورًا تكعيبية عن طريق عزل الجذر أولاً ثم تكعيب الطرفين. هذا يزيل الراديكالية وينتج عن معادلة يمكن حلها بالتقنيات التي أتقنتها بالفعل.

تمرين ( PageIndex {3} ) حل المعادلات الجذرية

يحل.

  1. ( sqrt {x} = 2 )
  2. ( الجذر التربيعي {x} = 7 )
  3. ( الجذر التربيعي {x} + 7 = 8 )
  4. ( الجذر التربيعي {x} + 4 = 9 )
  5. ( الجذر التربيعي {x} + 6 = 3 )
  6. ( الجذر التربيعي {x} + 2 = 1 )
  7. (5 الجذر التربيعي {x} −1 = 0 )
  8. (3 الجذر التربيعي {x} −2 = 0 )
  9. ( الجذر التربيعي {س − 3} = 3 )
  10. ( الجذر التربيعي {س + 5} = 6 )
  11. ( الجذر التربيعي {3 س + 1} = 2 )
  12. ( الجذر التربيعي {5 س − 4} = 4 )
  13. ( الجذر التربيعي {7 س + 4} + 6 = 11 )
  14. ( الجذر التربيعي {3 س − 5} + 9 = 14 )
  15. ( الجذر التربيعي {2 س − 1} −3 = 0 )
  16. ( الجذر التربيعي {3 س + 1} −2 = 0 )
  17. ( sqrt [3] {x} = 2 )
  18. ( الجذر التربيعي [3] {س} = 5 )
  19. ( sqrt [3] {2x + 9} = 3 )
  20. ( الجذر التربيعي [3] {4x − 11} = 1 )
  21. ( sqrt [3] {5x + 7} + 3 = 1 )
  22. ( الجذر التربيعي [3] {3 س − 6} + 5 = 2 )
  23. (2 sqrt [3] {x + 2} −1 = 0 )
  24. (2 sqrt [3] {2x − 3} −1 = 0 )
  25. ( sqrt {8x + 11} = sqrt {3x + 1} )
  26. (2 sqrt {3 x-4} = sqrt {2 (3 x + 1)} )
  27. ( sqrt {2 (x + 10)} = sqrt {7 x-15} )
  28. ( sqrt {5 (x − 4)} = sqrt {x + 4} )
  29. ( sqrt [3] {5 x-2} = sqrt [3] {4 x} )
  30. ( sqrt [3] {9 (x − 1)} = sqrt [3] {3 (x + 7)} )
  31. ( sqrt [3] {3 x + 1} = sqrt [3] {2 (x-1)} )
  32. ( sqrt [3] {9x} = sqrt [3] {3 (x − 6)} )
  33. ( الجذر التربيعي {4 س + 21} = س )
  34. ( الجذر التربيعي {8 س + 9} = س )
  35. ( الجذر التربيعي {4 (2 س − 3)} = س )
  36. ( الجذر التربيعي {3 (4x − 9)} = س )
  37. (2 sqrt {x-1} = x )
  38. (3 الجذر التربيعي {2 س − 9} = س )
  39. ( الجذر التربيعي {9 س + 9} = س + 1 )
  40. ( الجذر التربيعي {3 س + 10} = س + 4 )
  41. ( الجذر التربيعي {س − 1} = س − 3 )
  42. ( الجذر التربيعي {2 س − 5} = س − 4 )
  43. ( الجذر التربيعي {16−3x} = س − 6 )
  44. ( الجذر التربيعي {7−3x} = س − 3 )
  45. (3 الجذر التربيعي {2 س + 10} = س + 9 )
  46. (2 الجذر التربيعي {2 س + 5} = س + 4 )
  47. (3 الجذر التربيعي {س − 1} -1 = س )
  48. (2 الجذر التربيعي {2 س + 2} −1 = س )
  49. ( الجذر التربيعي {10x + 41} −5 = س )
  50. ( الجذر التربيعي {6 (س + 3)} - 3 = س )
  51. ( sqrt {8x ^ {2} −4x + 1} = 2x )
  52. ( sqrt {18x ^ {2} −6x + 1} = 3x )
  53. (5 الجذر التربيعي {س + 2} = س + 8 )
  54. (4 الجذر التربيعي {2 (س + 1)} = س + 7 )
  55. ( sqrt {x ^ {2} −25} = x )
  56. ( sqrt {x ^ {2} +9} = x )
  57. (3+ الجذر التربيعي {6 س − 11} = س )
  58. (2+ الجذر التربيعي {9 س − 8} = س )
  59. ( الجذر التربيعي {4x + 25} -x = 7 )
  60. ( الجذر التربيعي {8 س + 73} − س = 10 )
  61. (2 الجذر التربيعي {4x + 3} −3 = 2x )
  62. (2 الجذر التربيعي {6 س + 3} −3 = 3 س )
  63. (2x − 4 = sqrt {14−10x} )
  64. (3x − 6 = 3 sqrt {324x} )
  65. ( sqrt [3] {س ^ {2} −24} = 1 )
  66. ( sqrt [3] {س ^ {2} −54} = 3 )
  67. ( sqrt [3] {x ^ {2} + 6x} + 1 = 4 )
  68. ( sqrt [3] {x ^ {2} + 2x} + 5 = 7 )
  69. ( sqrt [3] {25x ^ {2} −10x − 7} = - 2 )
  70. ( sqrt [3] {9x ^ {2} −12x − 23} = - 3 )
  71. ( sqrt {2 x ^ {2} -15 x + 25} = sqrt {(x + 5) (x-5)} )
  72. ( sqrt {x ^ {2} −4x + 4} = sqrt {x (5 − x)} )
  73. ( sqrt [3] {2 left (x ^ {2} +3 x-20 right)} = sqrt [3] {(x + 3) ^ {2}} )
  74. ( sqrt [3] {3x ^ {2} + 3x + 40} = sqrt [3] {(x − 5) ^ {2}} )
  75. (س ^ {1/2} −10 = 0 )
  76. (س ^ {1/2} −6 = 0 )
  77. (س ^ {1/3} + 2 = 0 )
  78. (س ^ {1/3} + 4 = 0 )
  79. ((س − 1) ^ {1/2} −3 = 0 )
  80. ((س + 2) ^ {1/2} −6 = 0 )
  81. ((2x − 1) ^ {1/3} + 3 = 0 )
  82. ((3x − 1) ^ {1/3} −2 = 0 )
  83. ((4x + 15) ^ {1/2} −2x = 0 )
  84. ((3x + 2) ^ {1/2} −3x = 0 )
  85. ((2x + 12) ^ {1/2} −x = 6 )
  86. ((4x + 36) ^ {1/2} −x = 9 )
  87. (2 (5x + 26) ^ {1/2} = x + 10 )
  88. (3 (س − 1) ^ {1/2} = س + 1 )
  89. الجذر التربيعي لـ 1 أقل من ضعف عدد يساوي 2 أصغر من العدد. ابحث عن الرقم.
  90. الجذر التربيعي لـ 4 أقل من ضعف عدد يساوي 6 أصغر من العدد. ابحث عن الرقم.
  91. الجذر التربيعي لضعف عدد يساوي نصف هذا العدد. ابحث عن الرقم.
  92. الجذر التربيعي لضعف عدد يساوي ثلث هذا العدد. ابحث عن الرقم.
  93. المسافة، د، بالقياس بالأميال ، يمكن لأي شخص رؤية كائن معطى بالصيغة (d = sqrt { frac {3h} {2} ) حيث ح يمثل ارتفاع الشخص فوق مستوى سطح البحر ، ويقاس بالأقدام. ما الارتفاع الذي يجب أن يكون عليه الشخص ليرى كائنًا على بعد 5 أميال؟
  94. الحالي، أنا، التي تم قياسها بالأمبير ، بواسطة الصيغة (I = sqrt { frac {P} {R}} ) حيث ص هو استخدام الطاقة ، مُقاسًا بالواط ، و ص هي المقاومة ، مقاسة بالأوم. إذا كان المصباح يحتاج إلى 1/2 أمبير من التيار ويستخدم 60 واط من الطاقة ، فما هي مقاومة المصباح؟
إجابه

1. (4)

3. (1)

5. (Ø )

7. ( frac {1} {25} )

9. (12)

11. (1)

13. (3)

15. (5)

17. (8)

19. (9)

21. (−3)

23. (- frac {15} {8} )

25. (Ø )

27. (7)

29. (2)

31. (−3)

33. (7)

35. (2, 6)

37. (2)

39. (−1, 8)

41. (5)

43. (Ø )

45. (−3, 3)

47. (2, 5)

49. (4, −4)

51. ( frac {1} {2} )

53. (2, 7)

55. (Ø )

57. (10)

59. (−6, −4)

61. (- frac {1} {2}، frac {3} {2} )

63. (Ø )

65. (−5, 5)

67. (−9, 3)

69. ( frac {1} {5} )

71. (5, 10)

73. (−7, 7)

75. (100)

77. (−8)

79. (10)

81. (−13)

83. ( frac {5} {2} )

85. (−6, −4)

87. (−2, 2)

89. (5)

91. (8)

93. (16 frac {2} {3} ) قدم

تمرين ( PageIndex {4} ) حل المعادلات الجذرية

الفترة، تيالبندول بالثواني تعطى بالصيغة

(T = 2π sqrt {L / 32} )

أين إل يمثل الطول بالقدم. لكل مسألة أدناه ، احسب طول البندول ، بالنظر إلى الفترة. اكتب القيمة الدقيقة والقيمة التقريبية مقربة لأقرب جزء من عشر قدم.

  1. (1 ) ثانية
  2. (2 ) ثانية
  3. ( frac {1} {2} ) ثانية
  4. ( frac {1} {3} ) ثانية
إجابه

1. ( frac {8} { pi ^ {2}} ≈0.8 ) قدم

3. ( frac {2} { pi ^ {2}} ≈0.2 ) قدم

تمرين ( PageIndex {5} ) حل المعادلات الجذرية

الوقت، ر، في ثوان ، يتم إعطاء كائن في حالة سقوط حر بواسطة الصيغة

(s = 16 cdot t ^ {2} )

أين س يمثل المسافة بالأقدام التي سقط فيها الجسم. لكل مشكلة أدناه ، احسب المسافة التي يسقطها الجسم ، مع الأخذ في الاعتبار مقدار الوقت.

  1. 1 ثانية
  2. 2 ثانية
  3. ( frac {1} {2} ) ثانية
  4. ( frac {1} {4} ) ثانية
إجابه

1. 16 قدم

3. 4 أقدام

تمرين ( PageIndex {6} ) حل المعادلات الجذرية

ال x- مفاهيم أي رسم بياني لها شكل ((x، 0) ) حيث x هو رقم حقيقي. لذلك ، لتجد x-التداخلات ، اضبط (y = 0 ) وحل من أجل x. أعثر على x- مفاهيم لكل مما يلي.

  1. (y = sqrt {x − 3} −1 )
  2. (y = sqrt {x + 2} −3 )
  3. (y = sqrt [3] {x − 1} +2 )
  4. (y = sqrt [3] {x + 1} −3 )
إجابه

1. ((4, 0))

3. ((−7, 0))

تمرين ( PageIndex {7} ) لوحة المناقشة

  1. ناقش الأسباب التي تجعلنا نحصل أحيانًا على حلول خارجية عند حل المعادلات الجذرية. هل هناك أي شروط لا نحتاج فيها إلى التحقق من وجود حلول خارجية؟ لماذا ا؟
إجابه

1. قد تختلف الإجابات


الجبر الثاني: حل المعادلات الجذرية

تتمثل إحدى طرق حل هذه المعادلة في استبدال ، وبالتالي ، عن:

حل المعادلة التربيعية الناتجة عن طريق تحليل التعبير:

اضبط كل ذي ذي حدين خطي على السيرو وحل:

- هذا هو الحل الوحيد.

لم يذكر أي من الردود أن هذا هو الحل الوحيد.

مثال السؤال رقم 2: حل المعادلات الجذرية

حل المعادلة الجذرية التالية.

يمكننا تبسيط الكسر:

بإدخال هذا في المعادلة يترك لنا:

ملحوظة: يمكننا إضافتها لأنها تشبه المصطلحات.

مثال السؤال رقم 1: حل الجذور والرسوم البيانية

حل المعادلة الجذرية التالية.

لحل هذه المعادلة ، علينا معرفة ذلك

كيف؟ بسبب هاتين الحقيقتين:

مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكننا حل المعادلة:

للتخلص من الجذر ، علينا تربيعه. ما نفعله من جهة ، يجب أن نفعله من جهة أخرى.

مثال السؤال رقم 4: حل المعادلات الجذرية

حل المعادلة الجذرية التالية.

لحل هذه المعادلة ، علينا معرفة ذلك

ملاحظة: هذا بسبب قاعدة الأسس.

مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكننا حل المعادلة:

للتخلص من الجذر نقوم بتربيعه. تذكر ما نقوم به من جانب ، يجب أن نفعله في الجانب الآخر.

مثال السؤال رقم 5: حل المعادلات الجذرية

لحل العمليات العكسية ، مع مراعاة ترتيب العمليات:

مثال السؤال رقم 6: حل المعادلات الجذرية

لحل العمليات العكسية ، مع مراعاة ترتيب العمليات:

أخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين

اطرح 19 من كلا الطرفين

مثال السؤال رقم 7: حل المعادلات الجذرية

لحل المشكلة ، استخدم العمليات العكسية مع مراعاة ترتيب العمليات:

مثال السؤال رقم 8: حل المعادلات الجذرية

للتخلص من الجذر ، نربّع كلا الجانبين.

مثال السؤال رقم 9: حل المعادلات الجذرية

للتخلص من الجذر ، علينا تربيع كلا الجانبين. القضية هي أن الراديكاليين لا يولدون أرقامًا سالبة ما لم نتحدث عن أرقام خيالية. في هذه الحالة ، يجب ألا يكون اختيارنا إجابة.

مثال السؤال رقم 10: حل المعادلات الجذرية

ربّع كلا الجانبين للتخلص من الراديكالي.

جميع موارد الجبر 2

الإبلاغ عن مشكلة مع هذا السؤال

إذا وجدت مشكلة تتعلق بهذا السؤال ، فيرجى إخبارنا بذلك. بمساعدة المجتمع يمكننا الاستمرار في تحسين مواردنا التعليمية.


8.6: حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية هي المعادلات التي تحتوي على متغيرات في الجذور (التعبير تحت رمز جذري) ، مثل

قد تحتوي المعادلات الجذرية على مصطلح جذري واحد أو أكثر ، ويتم حلها عن طريق إزالة كل جذري ، واحدًا تلو الآخر. يجب أن نكون حذرين عند حل المعادلات الجذرية ، لأنه ليس من غير المعتاد إيجادها حلول دخيلة، الجذور التي ليست في الواقع حلول للمعادلة. هذه الحلول ليست ناتجة عن خطأ في طريقة الحل ، ولكنها ناتجة عن عملية رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة. ومع ذلك ، فإن التحقق من كل إجابة في المعادلة الأصلية سيؤكد الحلول الحقيقية.

ملاحظة عامة: المعادلات الجذرية

المعادلة التي تحتوي على مصطلحات ذات متغير في الجذر تسمى أ معادلة جذرية.

الكيفية: بإعطاء معادلة جذرية ، قم بحلها.

  1. افصل التعبير الجذري على أحد جانبي علامة التساوي. ضع كل الشروط المتبقية على الجانب الآخر.
  2. إذا كان الجذر هو الجذر التربيعي ، فربِّع طرفي المعادلة. إذا كان جذرًا تكعيبيًا ، ارفع كلا طرفي المعادلة للقوة الثالثة. بمعنى آخر ، من أجل نالجذر الجذري ، ورفع كلا الجانبين إلى نال القوة. القيام بذلك يزيل الرمز الجذري.
  3. حل المعادلة المتبقية.
  4. في حالة استمرار وجود مصطلح جذري ، كرر الخطوات من 1 إلى 2.
  5. أكد الحلول بالتعويض بها في المعادلة الأصلية.

مثال 6: حل معادلة بجذر واحد

حل

الجذر معزول بالفعل على الجانب الأيسر من الضلع المتساوي ، لذا تابع لتربيع كلا الجانبين.

نرى أن المعادلة المتبقية هي تربيعية. اجعلها تساوي صفرًا وحلها.

الحلول المقترحة هي [لاتكس] س = -5 [/ لاتكس] و [لاتكس] س = 3 [/ لاتكس]. دعونا نتحقق من كل حل في المعادلة الأصلية مرة أخرى. أولاً ، تحقق من [latex] x = -5 [/ latex].

هذا حل غريب. بينما لم يتم ارتكاب أي خطأ في حل المعادلة ، وجدنا حلاً لا يتوافق مع المعادلة الأصلية.

الحل هو [اللاتكس] x = 3 [/ اللاتكس].

جربه 5

حل المعادلة الجذرية: [اللاتكس] الجذر التربيعي= 3x - 1 [/ لاتكس]

مثال 7: حل معادلة جذرية تحتوي على جذرين

حل

بما أن هذه المعادلة تحتوي على جذرين ، فإننا نعزل جذريًا واحدًا ، ونزيله ، ثم نعزل الجذر الثاني.

استخدم صيغة المربع المثالي لتوسيع الجانب الأيمن: [اللاتكس] < left (a-b right)> ^ <2> = ^ <2> -2ab +^ <2> [/ لاتكس].

الآن بعد أن تم استبعاد كلا الجذرين ، ساوي المعادلة التربيعية بالصفر وحل.

الحلول المقترحة هي [لاتكس] س = 3 [/ لاتكس] و [لاتكس] س = 83 [/ لاتكس]. افحص كل حل في المعادلة الأصلية.

أحد الحلول هو [اللاتكس] x = 3 [/ اللاتكس].

الحل الوحيد هو [اللاتكس] x = 3 [/ اللاتكس]. نرى أن [اللاتكس] x = 83 [/ اللاتكس] هو محلول غريب.

جربه 6

حل المعادلة بجذرين: [اللاتكس] الجذر التربيعي <3x + 7> + sqrt= 1 [/ لاتكس].


أمثلة على كيفية حل المعادلات الجذرية

مثال 1: حل المعادلة الجذرية

يوجد الجذر في حد ذاته على جانب واحد ، لذا لا بأس من تربيع جانبي المعادلات للتخلص من الرمز الجذري. ثم تابع الخطوات المعتادة في حل المعادلات الخطية.

يجب عليك دائمًا التحقق من إجاباتك للتحقق مما إذا كانت & # 8220 حقًا & # 8221 الحلول. قد تكون بعض الإجابات من حساباتك غريبة. استبدل س = 16 بالعودة إلى المعادلة الجذرية الأصلية لمعرفة ما إذا كانت تنتج بيانًا صحيحًا.

نعم ، يتحقق ذلك س = 16 هو حل.

مثال 2: حل المعادلة الجذرية

الإعداد يبدو جيدًا لأن الجذر يتم عزله مرة أخرى من جانب واحد. لذا يمكنني تربيع كلا الجانبين لإزالة رمز الجذر التربيعي. كن حذرًا في التعامل مع الجانب الأيمن عند تربيع ذات الحدين (x − 1). يجب عليك تطبيق طريقة FOIL بشكل صحيح.

ننقل كل الحدود إلى الجانب الأيمن من المعادلة ثم ننتقل إلى تحليل ثلاثي الحدود. بتطبيق خاصية المنتج الصفري ، نحصل على قيم س = 1 و س = 3.

حذر : تحقق دائمًا من القيم المحسوبة من المعادلة الجذرية الأصلية للتأكد من أنها إجابات صحيحة وليست غريبة أو & # 8220false & # 8221 إجابات.

تبدو جيدة لكل من قيم x التي تم حلها بعد التحقق ، لذا فإن الحلول التي نقدمها هي كذلك س = 1 و س = 3.

مثال 3: حل المعادلة الجذرية

نحتاج إلى التعرف على أن الرمز الجذري ليس معزولًا حتى الآن على الجانب الأيسر. هذا يعني أننا يجب أن نفعل تخلص من ذلك −1 قبل تربيع طرفي المعادلة. يجب أن تعالج هذه المشكلة خطوة بسيطة تتمثل في إضافة كلا الجانبين بمقدار 1. بعد القيام بذلك ، فإن معادلة & # 8220new & # 8221 مشابهة لتلك التي ذهبنا إليها حتى الآن.

حلولنا الممكنة هي س = −2 و س = 5. لاحظ أنني أستخدم الكلمة & # 8220possible & # 8221 لأنها ليست نهائية حتى نجري عملية التحقق الخاصة بنا للتحقق من قيمنا مقابل المعادلة الجذرية الأصلية.

نظرًا لأننا نصل إلى بيان خاطئ عندما تكون x = −2 ، فإن قيمة x تعتبر كذلك خارجي لذلك نحن نتجاهل ذلك! تاركًا لنا إجابة واحدة صحيحة ، س = 5.

مثال 4: حل المعادلة الجذرية

يبدو الجانب الأيسر فوضويًا بعض الشيء نظرًا لوجود رمزين جذريين. لكنها ليست بهذا السوء! تذكر دائمًا الخطوات الرئيسية المقترحة أعلاه. نظرًا لأن كلا الجذور التربيعية على جانب واحد ، فهذا يعني أنه جاهز بالتأكيد لتربيع المعادلة الجذرية بأكملها.

لذا في خطوتنا الأولى ، دع & # 8217s تربيع كلا الجانبين ونرى ما سيحدث.

من الطبيعي تمامًا أن يرى هذا النوع من المشاكل رمزًا جذريًا آخر بعد أول تطبيق للتربيع. والخبر السار الذي يخرج من هذا هو أنه لم يبق سوى واحد. من هذه النقطة ، حاول عزل الجذر الفردي على الجانب الأيسر مرة أخرى ، وهذا من شأنه أن يجبرنا على نقل الباقي إلى الجانب الآخر.

كما ترى ، هذه المعادلة الجذرية المبسطة هي مألوف بالتأكيد. تابع بالطريقة المعتادة لحلها وتأكد دائمًا من التحقق من القيم المحلولة لـ x مقابل المعادلة الجذرية الأصلية.

سأترك لك للتحقق من ذلك بالفعل س = 4 هو حل.

مثال 5: حل المعادلة الجذرية

هذه المشكلة مشابهة جدًا للمثال 4. الاختلاف الوحيد هو أن كلا الراديكاليين هذه المرة لهما تعبيرات ذات حدين. الطريقة هي أيضًا تربيع كلا الجانبين لأن الجذور في أحد الجانبين ، وتبسيط. لكننا نحتاج إلى إجراء التطبيق الثاني للتربيع للتخلص تمامًا من رمز الجذر التربيعي.

الحل س = 2. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق استبدال القيمة مرة أخرى في المعادلة الجذرية الأصلية وترى أنها تنتج بيانًا صحيحًا.

مثال 6: حل المعادلة الجذرية

يبدو أن خطوتنا الأولى هي تربيع كلا الجانبين وملاحظة ما سيخرج بعد ذلك. لا تنسَ الجمع بين المصطلحات المتشابهة في كل مرة تقوم فيها بتربيع الجوانب. إذا حدث أن تم إنشاء رمز جذري آخر بعد التطبيق الأول لعملية التربيع ، فمن المنطقي القيام بذلك مرة أخرى. تذكر أن هدفنا هو التخلص من الرموز الجذرية لتحرير المتغير الذي نحاول حله أو عزله.

حسنًا ، يبدو أننا سنحتاج إلى تربيع كلا الجانبين مرة أخرى بسبب رمز الجذر الجديد الذي تم إنشاؤه. لكن يجب علينا عزل الجذر أولاً في أحد طرفي المعادلة قبل القيام بذلك. سأبقي الجذر التربيعي على اليسار ، وهذا يجبرني على تحريك كل شيء إلى اليمين.

تبدو جيدة حتى الآن! حان الوقت الآن & # 8217s لتربيع كلا الجانبين مرة أخرى للقضاء في النهاية على الراديكالي.

كن حذرًا عند تربيع الجانب الأيسر من المعادلة. يجب عليك أيضا تربيع ذلك −2 على يسار الراديكالي.

ما لدينا الآن هو معادلة تربيعية في الصورة القياسية. أفضل طريقة لحل قيمة x هي استخدام الصيغة التربيعية حيث أ = 7 ، ب = 8 ، ج = 44.

لذا فإن الحلول الممكنة هي x = 2 و x = << - 22> over 7>.

سأترك الأمر لك للتحقق من هاتين القيمتين & # 8220x & # 8221 مرة أخرى في المعادلة الجذرية الأصلية. أتمنى أن توافق على ذلك س = 2 هو الحل الوحيد بينما القيمة الأخرى حل خارجي ، فتجاهلها!

مثال 7: حل المعادلة الجذرية

هناك طريقتان للتعامل مع هذه المشكلة. يمكنني على الفور تربيع كلا الجانبين للتخلص من الجذور أو ضرب الجذرين أولاً ثم التربيع. يجب أن يصل كلا الإجراءين إلى نفس الإجابات عند القيام به بشكل صحيح. لهذا سأستخدم النهج الثاني.

بعد ذلك ، انقل كل شيء إلى الجانب الأيسر وحل المعادلة التربيعية الناتجة. يمكنك استخدام الصيغة التربيعية لحلها ، ولكن نظرًا لأنها قابلة للتحليل بسهولة ، فسوف أقوم بإخراجها.

إذن الحلول الممكنة هي x = << - 5> over 2> و x = 3.

سأترك الأمر لك للتحقق من الإجابات. يجب أن تكون الإجابة الوحيدة هي x = 3 مما يجعل الإجابة الأخرى حلاً غريبًا.


تحديد الحلول الدخيلة

اتباع القواعد أمر مهم ، ولكن يجب الانتباه أيضًا إلى الرياضيات التي أمامك - خاصة عند حل المعادلات الجذرية. ألقِ نظرة على هذه المشكلة التالية التي توضح وجود مأزق محتمل في تربيع كلا الجانبين لإزالة الراديكالي.

مثال

اكتب المعادلة المبسطة وحل من أجل أ.

تحقق الآن من الحل عن طريق استبدال [اللاتكس] a = 9 [/ اللاتكس] في المعادلة الأصلية.

إجابه

انظر إلى ذلك - الإجابة [لاتكس] أ = 9 [/ لاتكس] لا تنتج بيانًا صحيحًا عند استبدالها مرة أخرى في المعادلة الأصلية. ماذا حدث؟

تحقق من المشكلة الأصلية: [اللاتكس] sqrt= -2 [/ لاتكس]. لاحظ أن الجذر يساوي [لاتكس] −2 [/ لاتكس] ، وتذكر أن الجذر التربيعي الأساسي لعدد ما يمكن أن يكون إيجابي. هذا يعني أنه لا توجد قيمة ل أ سينتج عنه تعبير جذري جذره التربيعي الموجب هو [لاتكس] −2 [/ لاتكس]! ربما لاحظت ذلك على الفور وخلصت إلى أنه لا توجد حلول لـ أ.

يتم استدعاء القيم غير الصحيحة للمتغير ، مثل تلك التي يتم تقديمها نتيجة لعملية التربيع حلول دخيلة. قد تبدو الحلول الخارجية مثل الحل الحقيقي ، ولكن يمكنك تحديدها لأنها لن تخلق بيانًا صحيحًا عند استبدالها مرة أخرى في المعادلة الأصلية. هذا هو أحد الأسباب التي تجعل التحقق من عملك مهمًا للغاية - إذا لم تتحقق من إجاباتك عن طريق استبدالها مرة أخرى في المعادلة الأصلية ، فقد تقدم حلولًا غريبة في المشكلة.
في مثال الفيديو التالي ، نحل معادلات أكثر جذرية قد يكون لها حلول غريبة.

الق نظرة على المشكلة التالية. لاحظ كيف أن المشكلة الأصلية هي [اللاتكس] x + 4 = sqrt[/ لاتكس] ، ولكن بعد تربيع الجانبين ، تصبح [لاتكس] <^ <2>> + 8x + 16 = x + 10 [/ لاتكس]. قد يؤدي تربيع كلا الجانبين إلى تقديم حل خارجي.

مثال

الآن بسط المعادلة وحلها. اجمع الحدود المتشابهة ثم عاملها.

ساوي كل عامل بالصفر وحل من أجل x.

تحقق الآن من كلا الحلين بالتعويض بهما في المعادلة الأصلية.

نظرًا لأن [اللاتكس] x = −6 [/ اللاتكس] ينتج بيانًا خاطئًا ، فهو محلول غريب.


8.6: حل المعادلات الجذرية

معادلة جذرية أي معادلة تحتوي على جذري واحد أو أكثر مع متغير في الجذر. هي أي معادلة تحتوي على جذري واحد أو أكثر مع متغير في الجذر. فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات الجذرية ، والتي سيتم حلها جميعًا في هذا القسم:

نبدأ بخاصية التربيع للمساواة بالنظر إلى الأعداد الحقيقية أ و ب، حيث أ = ب ، ثم أ 2 = ب 2. بالنظر إلى الأعداد الحقيقية أ و ب، لدينا ما يلي:

بمعنى آخر ، يتم الاحتفاظ بالمساواة إذا قمنا بتربيع جانبي المعادلة.

− 3 = − 3 ⇒ ( − 3 ) 2 = ( − 3 ) 2 9 = 9 ✓

من ناحية أخرى ، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة ،

9 = 9 ( − 3 ) 2 = ( 3 ) 2 ⇒ − 3 ≠ 3 ✗

هذا مهم لأننا سنستخدم هذه الخاصية لحل المعادلات الجذرية. فكر في معادلة جذرية بسيطة للغاية يمكن حلها عن طريق الفحص ،

نلاحظ هنا أن س = 25 حل. لحل هذه المعادلة جبريًا ، استخدم خاصية التربيع للمساواة وحقيقة أن (أ) 2 = أ 2 = أ عندما أ غير سلبي. احذف الجذر التربيعي بتربيع طرفي المعادلة على النحو التالي:

كتحقق ، يمكننا أن نرى أن 25 = 5 كما هو متوقع. نظرًا لأن عكس خاصية التربيع للمساواة ليس بالضرورة صحيحًا ، فقد لا تكون حلول المعادلة التربيعية حلولًا للأصل. ومن ثم فإن تربيع طرفي المعادلة يقدم إمكانية إيجاد حلول غريبة حل موجود بشكل صحيح لا يحل المعادلة الأصلية. ، وهي الحلول التي لا تحل المعادلة الأصلية. على سبيل المثال،

من الواضح أن هذه المعادلة لا تحتوي على حل رقمي حقيقي. ومع ذلك ، فإن تربيع الطرفين يعطينا حلاً:

كتحقق ، يمكننا ملاحظة أن 25 - 5. لهذا السبب ، يجب أن نتحقق من الإجابات الناتجة عن تربيع طرفي المعادلة.

مثال 1

يمكننا حذف الجذر التربيعي من خلال تطبيق خاصية التربيع للمساواة.

3 x + 1 = 4 (3 x + 1) 2 = (4) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 3 x + 1 = 16 S o l v e. 3 س = 15 س = 5

3 ( 5 ) + 1 = 4 15 + 1 = 4 16 = 4 4 = 4 ✓

هناك تفسير هندسي للمثال السابق. ارسم الدالة المحددة بواسطة f (x) = 3 x + 1 وحدد مكان تقاطعها مع الرسم البياني المحدد بواسطة g (x) = 4.

كما هو موضح ، f (x) = g (x) حيث x = 5.

مثال 2

ابدأ بتربيع طرفي المعادلة.

x - 3 = x - 5 (x - 3) 2 = (x - 5) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. س - 3 = س 2-10 س + 25

يمكن حل المعادلة التربيعية الناتجة عن طريق التحليل.

س - 3 = س 2-10 س + 25 0 = س 2-11 س + 28 0 = (س - 4) (س - 7) س - 4 = 0 أو س - 7 = 0 س = 4 س = 7

التحقق من الحلول بعد تربيع طرفي المعادلة ليس اختياريًا. استخدم المعادلة الأصلية عند إجراء الفحص.

س - 3 = س - 5 4 - 3 = 4-5 1 = - 1 1 = - 1 ✗

س - 3 = س - 5 7 - 3 = 7-5 4 = 2 2 = 2

بعد التحقق ، يمكنك أن ترى أن x = 4 هو حل غريب ولا يحل المعادلة الجذرية الأصلية. تجاهل هذه الإجابة. هذا يجعل x = 7 هو الحل الوحيد.

يمكننا أن نرى هندسيًا أن f (x) = x + 3 تساوي g (x) = x - 5 حيث x = 7.

في المثالين السابقين ، لاحظ أن الجذر معزول في أحد طرفي المعادلة. عادة ، هذا ليس هو الحال. تم توضيح خطوات حل المعادلات الجذرية التي تتضمن جذورًا تربيعية في المثال التالي.

مثال 3

الخطوة 1: افصل الجذر التربيعي. ابدأ بطرح 2 من طرفي المعادلة.

2 س - 1 + 2 = س 2 س - 1 = س - 2

الخطوة 2: مربّع كلا الجانبين. تربيع كلا الجانبين يلغي الجذر التربيعي.

(2 س - 1) 2 = (س - 2) 2 2 س - 1 = س 2-4 س + 4

الخطوه 3: حل المعادلة الناتجة. يتبقى لنا هنا معادلة تربيعية يمكن حلها بالتحليل إلى عوامل.

2 س - 1 = س 2-4 س + 4 0 = س 2-6 س + 5 0 = (س - 1) (س - 5) س - 1 = 0 أو س - 5 = 0 س = 1 س = 5

الخطوة الرابعة: افحص الحلول في المعادلة الأصلية. يقدم تربيع كلا الجانبين إمكانية حلول خارجية ومن ثم فإن الفحص مطلوب.

2 س - 1 + 2 = س 2 (1) - 1 + 2 = 1 1 + 2 = 1 1 + 2 = 1 3 = 1 ✗

2 س - 1 + 2 = س 2 (5) - 1 + 2 = 5 9 + 2 = 5 3 + 2 = 5 5 = 5 ✓

بعد التحقق ، يمكننا أن نرى أن x = 1 هو حل غريب ولا يحل المعادلة الجذرية الأصلية. هذا يجعل x = 5 هو الحل الوحيد.

في بعض الأحيان يكون هناك أكثر من حل لمعادلة جذرية.

مثال 4

ابدأ بعزل المصطلح مع الجذر.

2 2 x + 5 - x = 4 A d d x t o b o t h s i d e s. 2 2 س + 5 = س + 4

على الرغم من حقيقة أن المصطلح الموجود في الجانب الأيسر له معامل ، ما زلنا نعتبره معزولًا. تذكر أن المصطلحات مفصولة عن طريق عوامل الجمع أو الطرح.

2 2 x + 5 = x + 4 (2 2 x + 5) 2 = (x + 4) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 4 (2 س + 5) = س 2 + 8 س + 16

حل المعادلة التربيعية الناتجة.

4 (2 س + 5) = س 2 + 8 س + 16 8 س + 20 = س 2 + 8 س + 16 0 = س 2-4 0 = (س + 2) (س - 2) س + 2 = 0 أو x - 2 = 0 x = - 2 x = 2

نظرًا لأننا قمنا بتربيع كلا الطرفين ، يجب علينا التحقق من الحلول.

2 2 س + 5 - س = 4 2 2 (- 2) + 5 - (- 2) = 4 2-4 + 5 + 2 = 4 2 1 + 2 = 4 2 + 2 = 4 4 = 4 ✓

2 2 س + 5 - س = 4 2 2 (2) + 5 - (2) = 4 2 4 + 5 - 2 = 4 2 9 - 2 = 4 6-2 = 4 4 = 4 ✓

بعد التحقق ، يمكننا أن نرى أن كلاهما حل للمعادلة الأصلية.

الجواب: الحلول ± 2.

في بعض الأحيان يكون كلا الحلين المحتملين غريبين.

مثال 5

ابدأ بعزل الراديكالي.

4-11 x - x + 2 = 0 أنا s o l a t e t h e r a d i c a l. 4-11 x = x - 2 (4-11 x) 2 = (x - 2) 2 S q u a r e b o t h s i d e s. 4-11 x = x 2-4 x + 4 S o l v e. 0 = x 2 + 7 x 0 = x (x + 7)

نظرًا لأننا قمنا بتربيع كلا الطرفين ، يجب علينا التحقق من الحلول.

4-11 س - س + 2 = 0 4-11 (0) - 0 + 2 = 0 4 + 2 = 0 2 + 2 = 0 4 = 0

4 − 11 x − x + 2 = 0 4 − 11 ( − 7 ) − ( − 7 ) + 2 = 0 4 + 77 + 7 + 2 = 0 81 + 9 = 0 9 + 9 = 0 18 = 0 ✗

Since both possible solutions are extraneous, the equation has no solution.

The squaring property of equality extends to any positive integer power ن. Given real numbers أ و ب, we have the following:

This is often referred to as the power property of equality Given any positive integer ن and real numbers أ و ب where a = b , then a n = b n . . Use this property, along with the fact that ( a n ) n = a n n = a , when أ is nonnegative, to solve radical equations with indices greater than 2.

مثال 6

Isolate the radical, and then cube both sides of the equation.

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 I s o l a t e t h e r a d i c a l . 4 x 2 + 7 3 = 2 ( 4 x 2 + 7 3 ) 3 = ( 2 ) 3 C u b e b o t h s i d e s . 4 x 2 + 7 = 8 S o l v e . 4 x 2 − 1 = 0 ( 2 x + 1 ) ( 2 x − 1 ) = 0 2 x + 1 = 0 or 2 x − 1 = 0 2 x = − 1 2 x = 1 x = − 1 2 x = 1 2

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ( − 1 2 ) 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ⋅ 1 4 + 7 3 − 2 = 0 1 + 7 3 − 2 = 0 8 3 − 2 = 0 2 − 2 = 0 0 = 0 ✓

4 x 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ( 1 2 ) 2 + 7 3 − 2 = 0 4 ⋅ 1 4 + 7 3 − 2 = 0 1 + 7 3 − 2 = 0 8 3 − 2 = 0 2 − 2 = 0 0 = 0 ✓

Answer: The solutions are ± 1 2 .

جرب هذا! x − 3 3 x + 1 = 3

Answer: The solution is 33.

It may be the case that the equation has more than one term that consists of radical expressions.

Example 7

Both radicals are considered isolated on separate sides of the equation.

5 x − 3 = 4 x − 1 ( 5 x − 3 ) 2 = ( 4 x − 1 ) 2 S q u a r e b o t h s i d e s . 5 x − 3 = 4 x − 1 S o l v e . x = 2

5 x − 3 = 4 x − 1 5 ( 2 ) − 3 = 4 ( 2 ) − 1 10 − 3 = 8 − 1 7 = 7 ✓

Example 8

Solve: x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 .

Eliminate the radicals by cubing both sides.

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( x 2 + x − 14 3 ) 3 = ( x + 50 3 ) 3 C u b e b o t h s i d e s . x 2 + x − 14 = x + 50 S o l v e . x 2 − 64 = 0 ( x + 8 ) ( x − 8 ) = 0 x + 8 = 0 or x − 8 = 0 x = − 8 x = 8

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( − 8 ) 2 + ( − 8 ) − 14 3 = ( − 8 ) + 50 3 64 − 8 − 14 3 = 42 3 42 3 = 42 3 ✓

x 2 + x − 14 3 = x + 50 3 ( 8 ) 2 + ( 8 ) − 14 3 = ( 8 ) + 50 3 64 + 8 − 14 3 = 58 3 58 3 = 58 3 ✓

Answer: The solutions are ± 8 .

It may not be possible to isolate a radical on both sides of the equation. When this is the case, isolate the radicals, one at a time, and apply the squaring property of equality multiple times until only a polynomial remains.

Example 9

Begin by isolating one of the radicals. In this case, add x to both sides of the equation.

Next, square both sides. Take care to apply the distributive property to the right side.

( x + 2 ) 2 = ( x + 1 ) 2 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) x + 2 = x 2 + x + x + 1 x + 2 = x + 2 x + 1

At this point we have one term that contains a radical. Isolate it and square both sides again.

x + 2 = x + 2 x + 1 1 = 2 x ( 1 ) 2 = ( 2 x ) 2 1 = 4 x 1 4 = x

Check to see if x = 1 4 satisfies the original equation x + 2 − x = 1 .

1 4 + 2 − 1 4 = 1 9 4 − 1 2 = 1 3 2 − 1 2 = 1 2 2 = 1 1 = 1 ✓

Answer: The solution is 1 4 .

Note: Because ( A + B ) 2 ≠ A 2 + B 2 , we cannot simply square each term. For example, it is incorrect to square each term as follows.

( x + 2 ) 2 − ( x ) 2 = ( 1 ) 2 I n c o r r e c t !

This is a common mistake and leads to an incorrect result. When squaring both sides of an equation with multiple terms, we must take care to apply the distributive property.

Example 10

Begin by isolating one of the radicals. In this case, add x + 6 to both sides of the equation.

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 x + 10 = x + 6 + 1

Next, square both sides. Take care to apply the distributive property to the right side.

( 2 x + 10 ) 2 = ( x + 6 + 1 ) 2 2 x + 10 = x + 6 + 2 x + 6 + 1 2 x + 10 = x + 7 + 2 x + 6

At this point we have one term that contains a radical. Isolate it and square both sides again.

2 x + 10 = x + 7 + 2 x + 6 x + 3 = 2 x + 6 ( x + 3 ) 2 = ( 2 x + 6 ) 2 x 2 + 6 x + 9 = 4 ( x + 6 ) x 2 + 6 x + 9 = 4 x + 24 x 2 + 2 x − 15 = 0 ( x − 3 ) ( x + 5 ) = 0 x − 3 = 0 or x + 5 = 0 x = 3 x = − 5

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 ( 3 ) + 10 − 3 + 6 = 1 16 − 9 = 1 4 − 3 = 1 1 = 1 ✓

2 x + 10 − x + 6 = 1 2 ( − 5 ) + 10 − − 5 + 6 = 1 0 − 1 = 1 0 − 1 = 1 − 1 = 1 ✗


Radical Equations – Example 1:

Add 5 to both sides: (sqrt=20), Square both sides: ((sqrt)^2=20^2→x=400) Plugin the value of 400 for (x) in the original equation and check the answer: (x=400→sqrt-5=sqrt<400>-5=20-5=15), So, the value of 400 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 2:

What is the value of (x) in this equation? (2sqrt=4)

Divide both sides by 2. Then: (2sqrt=4→frac<2sqrt><2>=frac<4><2>→sqrt=2) Square both sides: ((sqrt<(x+1)>)^2=2^2), Then (x+1=4→x=3)
Substitute (x) by 3 in the original equation and check the answer:
( x=3→2sqrt=2sqrt<3+1>=2sqrt<4>=2(2)=4)
So, the value of 3 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 3:

Add 8 to both sides: (sqrt=5)
Square both sides: ((sqrt)^2=5^2→x=25)
Substitute (x) by 25 in the original equation and check the answer:
(x=25→sqrt-8=sqrt<25>-8=-3)
So, the value of 25 for (x) is correct.

Radical Equations – Example 4:

What is the value of (x) in this equation? (4sqrt=40)

Divide both sides by 4. Then: (4sqrt=40→frac<4sqrt><4>=frac<40><4>→sqrt=10) Square both sides: ((sqrt<(x+3)>)^2=10^2), Then (x+3=100→x=97)
Substitute (x) by 97 in the original equation and check the answer:
( x=97→4sqrt=4sqrt<97+3>=4sqrt<100>=4(10)=40)
So, the value of 97 for (x) is correct.


How to Solve Radical Equations

The video below and our examples explain these steps and you can then try our practice problems below.

Video of How to Solve Radical Equations

مثال 1
مثال 2

Practice Problems

Problem 1

Solve the radical Equation Below.

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

المشكلة 2

Solve the radical Equation Below.

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

مشكلة 3

Solve the following radical equation:

Substitute answer into original radical equation to verify that the answer is a real number.

Therefore, reject 4 as a solution, check 5.

$ sqrt <3x -11>= 3x -x sqrt<3 (color<5>) -11> = 3(color<5>) - color <5> sqrt <15 -11>= 15 - 5 sqrt <15 -11>= 15 - 5 sqrt <4>= 10 2 = 10 color < e >10 $

Therefore, reject 5 as a solution.

Since both our solutions were rejected, there are no real solutions to this equation.


8.6: Solving Radical Equations

Solving Radical Equations

· Solve equations containing radicals.

· Recognize extraneous solutions.

· Solve application problems that involve radical equations as part of the solution.

An equation that contains a radical expression is called a radical equation. Solving radical equations requires applying the rules of exponents and following some basic algebraic principles. In some cases, it also requires looking out for errors generated by raising unknown quantities to an even power.

A basic strategy for solving radical equations is to isolate the radical term first, and then raise both sides of the equation to a power to remove the radical. (The reason for using powers will become clear in a moment.) This is the same type of strategy you used to solve other, non-radical equations—rearrange the expression to isolate the variable you want to know, and then solve the resulting equation.

There are two key ideas that you will be using to solve radical equations. The first is that if , then . (This property allows you to square both sides of an equation and remain certain that the two sides are still equal.) The second is that if the square root of any nonnegative number x is squared, then you get x: . (This property allows you to “remove” the radicals from your equations.)

Let’s start with a radical equation that you can solve in a few steps: .

Add 3 to both sides to isolate the variable term on the left side of the equation.

Square both sides to remove the radical, since . Make sure to square the 8 also! Then simplify.

x = 64 is the solution to .

To check your solution, you can substitute 64 in for x in the original equation. Does ? Yes—the square root of 64 is 8, and 8 − 3 = 5.

Notice how you combined like terms and then squared both sides of the equation in this problem. This is a standard method for removing a radical from an equation. It is important to isolate a radical on one side of the equation and simplify as much as possible قبل squaring. The fewer terms there are before squaring, the fewer additional terms will be generated by the process of squaring.

In the example above, only the variable x was underneath the radical. Sometimes you will need to solve an equation that contains multiple terms underneath a radical. Follow the same steps to solve these, but pay attention to a critical point—square both sides of an equation, not individual terms. Watch how the next two problems are solved.

Notice how the radical contains a binomial: x + 8. Square both sides to remove the radical.

. Now simplify the equation and solve for x.

Check your answer. Substituting 1 for x in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

Begin by subtracting 1 from both sides in order to isolate the radical term. Then square both sides to remove the binomial from the radical.

Simplify the equation and solve for x.

Check your answer. Substituting 11 for x in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

is the solution for .

Solving Radical Equations

Follow the following four steps to solve radical equations.

1. Isolate the radical expression.

2. Square both sides of the equation: If x = ذ ومن بعد x 2 = ذ 2 .

3. Once the radical is removed, solve for the unknown.

Incorrect. Check your answer. If you substitute into the equation, you get , or . This is not correct. Remember to square both sides and then solve for x. The correct answer is .

Incorrect. It looks like you squared both sides but ignored the +22 underneath the radical. Remember to include the entire binomial when you square both sides then solve for x. The correct answer is .

Correct. Squaring both sides, you find becomes , so and .

Incorrect. It looks like you only squared the left side of the equation. Remember to square both sides: , which becomes . Now solve for x. The correct answer is .

Following rules is important, but so is paying attention to the math in front of you—especially when solving radical equations. Take a look at this next problem that demonstrates a potential pitfall of squaring both sides to remove the radical.

Square both sides to remove the term أ – 5 from the radical.

Write the simplified equation, and solve for أ.

Now check the solution by substituting أ = 9 into the original equation.

Look at that—the answer أ = 9 does not produce a true statement when substituted back into the original equation. What happened?

Check the original problem: . Notice that the radical is set equal to −2, and recall that the principal square root of a number can only be positive. This means that no value for أ will result in a radical expression whose positive square root is −2! You might have noticed that right away and concluded that there were no solutions for أ. But why did the process of squaring create an answer, أ = 9, that proved to be incorrect?

The answer lies in the process of squaring itself. When you raise a number to an even power—whether it is the second, fourth, or 50 th power—you can introduce a false solution because the result of an even power is always a positive number. Think about it: 3 2 and (−3) 2 are both 9, and 2 4 and (−2) 4 are both 16. So when you squared −2 and got 4 in this problem, you artificially turned the quantity positive. This is why you were still able to find a value for أ—you solved the problem as if you were solving ! (The correct solution to is actually “no solution.”)

Incorrect values of the variable, such as those that are introduced as a result of the squaring process are called extraneous solutions. Extraneous solutions may look like the real solution, but you can identify them because they will not create a true statement when substituted back into the original equation. This is one of the reasons why checking your work is so important—if you do not check your answers by substituting them back into the original equation, you may be introducing extraneous solutions into the problem.

Have a look at the following problem. Notice how the original problem is , but after both sides are squared, it becomes . Squaring both sides may have introduced an extraneous solution.


Issue 2: Check Your Answers

We can always check our solution to an equation by plugging that solution back into the original equation and making sure that it results in a true statement. For instance, in my first example above, " x + 2 = 5 ", I got a solution of x = 3 . I can confirm this solution by plugging it back into the original equation:

You probably did this type of checking back when you first learned about solving linear equations. But eventually you honed your skills, and you quit checking.

The difficulty with solving radical equations is that we may do every step correctly, but still end up with a wrong answer. This is because the very act of squaring the sides can create solutions that never existed before. For instance, I could claim the following:

This is nonsense, of course. But look what happens when I square both sides:

I started with something that was ليس true, squared both sides of it, and ended with something that was true. This is not good.

Squaring both sides of an equation is an "irreversible" step, in the sense that, having taken the step, we can't necessarily go back to what we'd started with. By squaring, we may have lost some of the original information. (This is just one of many potential errors possible in mathematics.)

To see how this works in our current context, let's look at a very simple radical equation:

This equation is no more true than was the " &ndash2 = 2 " nonsense we looked at previously, and it's nonsense for the exact same reason: no positive value (in this case, a square root) can ever equal a نفي number.

But suppose I hadn't noticed that this equation can't possibly have any solution, and had instead proceeded mindlessly to square both sides:

By squaring both sides, I got rid of the problemmatic "minus" sign, magically creating a solution which had not previously existed and is in fact not valid. But I won't discover this error unless I remembered to check my solution! Plugging my solution value into the left-hand side of the original equation, I check to see if I get the required value of the original right-hand side:

Now I can clearly see that something is amiss. I can't have a negative number equal to a positive number. Now I can see that the actual answer for this equation is:

There is another way to look at this "no solution" difficulty. When we are solving an equation, we can view the process as trying to find where two lines intersect on a graph. The left-hand side of the equation can be graphed as one curve, and the right-hand side of the equation can be graphed as another curve. The solution to the original equation is the intersection of the two curves. (Yes, this means that you can use your graphing calculator to help you check your work.)

When I was solving " x + 2 = 5 " above, you could also say that I was trying to find the intersection of the two curves:

The graph shows where these two lines intersect:

The intersection point is at x = 3 , which was the solution value I'd found earlier. Similarly, when I was solving the equation , you could view this as me trying to find the intersection of the following two curves:

These two functions graph as:

Just as before, the solution is at x = 16 .

But when I was trying to solve the nonsense equation , I was trying to find the intersection of the graph of the radical function and the constant function ذ2 = &ndash3 , which do not intersect:

So what happened when I squared both sides of that nonsense equation? In a sense, I kind of "squared" both line equations, and got two new lines:

And, as the graph shows, these two new lines actually فعل intersect!

As you can see, squaring both sides of the original equation created a solution where none belonged. And the after-squaring solution did ليس work in the before-squaring equation, because the أصلي lines had not intersected. This illustrates why I had to check my solution to figure out that the real answer was "no solution".

Warning: Many instructors do not to show many examples (in class or in the homework) of radical equations for which the solutions don't actually work. But then they'll put one or more of these on the next test. You should expect a "no solution" radical equation on the test, so you remember to check your solutions.


شاهد الفيديو: المعادلات الجذرية للصف الثالث متوسط الفصل الدراسي الثاني (شهر اكتوبر 2021).