مقالات

2.8: المتباينات الخطية (متغير واحد)


أهداف التعلم

  • تحديد عدم المساواة الخطية والتحقق من الحلول.
  • حل المتباينات الخطية وعبر عن الحلول بيانياً على خط الأعداد وفي تدوين الفترة.
  • حل المتباينات الخطية المركبة وعبر عن الحلول بيانياً على خط الأعداد وفي تدوين الفترة.
  • حل التطبيقات التي تتضمن متباينات خطية وتفسير النتائج.

تعريف عدم المساواة الخطية

المتباينة الخطية هي بيان رياضي يربط تعبيرًا خطيًا على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه. فيما يلي بعض الأمثلة على عدم المساواة الخطية ، والتي تم حلها جميعًا في هذا القسم:

(3x + 7 <16 quad -2x + 1 geq 21 quad -7 (2x + 1) <1 )

حل المتباينة الخطية هو رقم حقيقي ينتج بيانًا صحيحًا عند استبداله بالمتغير. المتباينات الخطية إما أن يكون لها عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد حل. إذا كان هناك عدد غير محدود من الحلول ، فقم برسم مجموعة الحلول على خط الأعداد و / أو عبر عن الحل باستخدام تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {1} )

هل (x = −2 ) و (x = 4 ) حلول لـ (3x + 7 <16 )؟

حل:

استبدل قيم (x ) ، وقم بالتبسيط ، وتحقق لمعرفة ما إذا كنا سنحصل على بيان صحيح.

( start {array} {c | c} { underline {Check : x = -2}} & { underline {Check : x = 4}} { begin {align} 3 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) + 7} & <16 -6 + 7 & <16 1 & <16 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align}} & { begin {align} 3 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {) + 7} & <16 12 + 7 & <16 19 & <16 quad color {red} { x} end {align}} end {array} )

إجابه:

(س = -2 ) حل و (س = 4 ) ليس كذلك.

جبر المتباينات الخطية

تنطبق جميع التقنيات التي تم تعلمها لحل المعادلات الخطية باستثناء واحدة على حل المتباينات الخطية. يمكنك إضافة أو طرح أي عدد حقيقي لكلا طرفي المتباينة ، ويمكنك ضرب أو قسمة كلا الطرفين على أي إيجابي العدد الحقيقي لخلق تفاوتات مكافئة. على سبيل المثال،

-5 color {Cerulean} {- 7} & color {Cerulean} {Subtract : 7 : from : both : sides.} 3 &> - 12 quad color {Cerulean} { checkmark} & color {Cerulean} {True} 10 &> - 5 frac {10} { color {Cerulean} {5}} &> frac {-5} { color {Cerulean} {5}} & color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : 5.} 2 &> - 1 quad color {Cerulean} { checkmark} & color {Cerulean} {True} end {محاذاة} )

ينتج عن طرح (7 ) من كلا الجانبين وقسمة كل طرف على (+ 5 ) متراجحة مكافئة صحيحة.

مثال ( PageIndex {2} )

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا:

(3 س + 7 <16 ).

حل:

( begin {align} 3x + 7 & <16 3x + 7 color {Cerulean} {- 7} & <16 color {Cerulean} {- 7} 3x & <9 frac {3x} { color {Cerulean} {3}} & < frac {9} { color {Cerulean} {3}} x & <3 end {align} )

الشكل ( PageIndex {1} )

من المفيد أن تستغرق دقيقة واحدة وتختار بعض القيم داخل وخارج مجموعة الحلول ، واستبدلها في المتباينة الأصلية ، ثم تحقق من النتائج. كما هو موضح ، يجب أن تتوقع (x = 0 ) أن تحل المتباينة الأصلية ، لكن لا ينبغي أن (x = 5 ).

( start {array} {c | c} { underline {Check : x = 0}} & { underline {Check : x = 5}} { begin {align} 3 ( color { OliveGreen} {0} color {black} {) + 7} & <16 7 & <16 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align}} & { begin {align} 3 ( اللون {OliveGreen} {5} color {black} {) + 7} & <16 15 + 7 & <16 22 & <16 quad color {red} {x} end {align}} end {مجموعة مصفوفة})

التحقق بهذه الطريقة يعطي مؤشرا جيدا على أن عدم المساواة قد تم حلها بشكل صحيح. يمكن القيام بذلك عقليا.

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- ∞، 3) )

عند العمل باستخدام المتباينات الخطية ، يتم تطبيق قاعدة مختلفة عند الضرب أو القسمة على رقم سالب. لتوضيح المشكلة ، ضع في اعتبارك العبارة الصحيحة (10> −5 ) واقسم كلا الجانبين على (- 5 ).

frac {-5} { color {Cerulean} {- 5}} & color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : - 5.} -2 & color {red} { >} color {black} {1} quad color {red} {x} & color {Cerulean} {False} end {align} )

ينتج عن القسمة على (- 5 ) بيان خاطئ. للاحتفاظ ببيان صحيح ، يجب عكس عدم المساواة.

( begin {align} 10 & color {OliveGreen} {>} color {black} {- 5} frac {10} { color {Cerulean} {- 5}} & < frac {-5 } { color {Cerulean} {- 5}} & color {Cerulean} {Reverse : the :equality.} -2 & color {OliveGreen} {<} color {black} {1} quad color {Cerulean} { checkmark} & color {Cerulean} {True} end {align} )

تحدث نفس المشكلة عند الضرب برقم سالب. هذا يؤدي إلى القاعدة الجديدة التالية: عند الضرب أو القسمة على رقم سالب ، اعكس عدم المساواة. من السهل أن تنسى القيام بذلك ، لذا احرص بشكل خاص على مراقبة المعاملات السلبية.

بشكل عام ، بالنظر إلى التعبيرات الجبرية (A ) و (B ) ، حيث (c ) هو رقم حقيقي موجب غير صفري ، لدينا خصائص عدم المساواة التالية:

( begin {array} {ll} { textbf {إضافة خاصية عدم المساواة:}} & { text {If} A } color {Cerulean} {- c} color {black} {B}} { textbf {Division property ofequality:}} & { text {If} A } color {black} { frac {B} { color {Cerulean} {- c}}}} end {array} )

نستخدم هذه الخصائص للحصول على متباينة مكافئة ، واحدة لها نفس مجموعة الحلول ، حيث يتم عزل المتغير. تشبه العملية حل المعادلات الخطية.

مثال ( PageIndex {3} )

يحل:

(- 2 س + 1≥21 ).

حل:

الشكل ( PageIndex {2} )

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- ∞، −10] )

مثال ( PageIndex {4} )

يحل:

(- 7 (2x + 1) <1 ).

حل:

( begin {align} -7 (2x + 1) & <1 & & color {Cerulean} {Distribute.} -14x-7 & <1 -14x-7 color {Cerulean} {+ 7 } & <1 color {Cerulean} {+ 7} 14x & <8 frac {-14x} { color {Cerulean} {- 14}} & color {OliveGreen} {>} color {black } { frac {8} { color {Cerulean} {- 14}}} & & color {Cerulean} {Reverse : the :equality.} x &> - color {black} { frac { 8 color {Cerulean} { div 2}} {14 color {Cerulean} { div 2}}} & & & color {Cerulean} {Reduce.} x &> - frac {4} {7} نهاية {محاذاة} )

الشكل ( PageIndex {3} )

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- frac {4} {7}، ∞) )

مثال ( PageIndex {5} )

يحل:

(5x − 3 (2x − 1) ≥2 (x − 3) ).

حل:

الشكل ( PageIndex {4} )

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- ∞، 3] )

تمرين ( PageIndex {1} )

يحل:

(3−5 (س − 1) ≤28 ).

إجابه

([−4, ∞))

عدم المساواة المركبة

فيما يلي بعض الأمثلة على عدم المساواة الخطية المركبة:

(- 3 <2 س + 5 <17 )

(- 1 leq frac {1} {2} x-3 <1 )

(3x + 1 <10 quad or quad 2x-1 geq 11 )

هذه المتباينات المركبة هي في الواقع متباينتان في عبارة واحدة مرتبطة بكلمة "و" أو بكلمة "أو". على سبيل المثال،

(- 3 <2 س + 5 <17 )

هي متباينة مركبة لأنها يمكن أن تتحلل على النحو التالي:

(- 3 <2x + 5 quad text {and} quad 2x + 5 <17 )

حل كل متباينة على حدة ، ويؤدي تقاطع مجموعتي الحل إلى حل المتباينة المركبة الأصلية. بينما تعمل هذه الطريقة ، هناك طريقة أخرى تتطلب عادةً خطوات أقل. طبِّق خصائص هذا القسم على الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة بهدف عزل المتغير في المنتصف من العبارة لتحديد حدود مجموعة الحلول.

مثال ( PageIndex {6} )

يحل:

(- 3 <2 س + 5 <17 ).

حل:

( start {array} {c} {-3 <2x + 5 <17} {- 3 color {Cerulean} {- 5} color {black} {<2x + 5} color {Cerulean} {-5} color {black} {<17} color {Cerulean} {- 5}} {- 8 <2x <12} { frac {-8} { color {Cerulean} {2 }} color {black} {< frac {2x} { color {Cerulean} {2}} < frac {12} { color {Cerulean} {2}}}} {- 4

الشكل ( PageIndex {5} )

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- 4 ، 6) )

مثال ( PageIndex {7} )

يحل:

(- 1≤ فارك {1} {2} × − 3 <1 ).

حل:

( start {array} {c} {- 1 leq frac {1} {2} x-3 <1} {- 1 color {Cerulean} {+ 3} color {black} { leq frac {1} {2} x-3} color {Cerulean} {+ 3} color {black} {<1} color {Cerulean} {+ 3}} {2 leq frac { 1} {2} x <4} { color {Cerulean} {2} color {black} { cdot 2 leq} color {Cerulean} {2} color {black} { cdot frac {1} {2} x <} color {Cerulean} {2} color {black} { cdot 4}} {4 leq x <8} end {array} )

الشكل ( PageIndex {6} )

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ([4، 8) )

من المهم ملاحظة أنه عند ضرب أو قسمة الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة على رقم سالب ، يجب عكس جميع المتباينات في العبارة. على سبيل المثال،

( begin {array} {c} {- 10 <-2x <20} { frac {-10} { color {Cerulean} {- 2}} color {OliveGreen} {>} color { أسود} { frac {-2x} { color {Cerulean} {- 2}}} color {OliveGreen} {>} color {black} { frac {20} { color {Cerulean} {- 2} }}} {5> x> -10} end {array} )

يمكن كتابة الإجابة أعلاه بصيغة مكافئة ، حيث تقع الأرقام الأصغر على اليسار والأرقام الأكبر على اليمين ، كما تظهر على خط الأعداد.

(- 10 <س <5 )

باستخدام تدوين الفاصل ، اكتب ((- 10 ، 5) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

يحل:

(- 8≤2 (−3x + 5) <34 ).

إجابه

((−4, 3])

لعدم المساواة المركبة مع كلمة "أو" أنت يجب اعمل كلا المتباينات بشكل منفصل ثم ضع في الاعتبار اتحاد مجموعات الحلول. القيم في هذا الاتحاد تحل مشكلة عدم المساواة.

مثال ( PageIndex {8} )

يحل:

(3x + 1 <10 ) أو (2x − 1≥11 ).

حل:

حل كل متباينة وشكل الاتحاد بدمج مجموعات الحلول.

( start {array} {ccc} {3x + 1 <10} & {} & {2x-1 geq 11} {3x + 1 color {Cerulean} {- 1} color {black} { <10} color {Cerulean} {- 1}} & {2x-1 color {Cerulean} {+ 1} color {black} { geq 11} color {Cerulean} {+ 1}} {3x <9} & { text {or}} & {2x geq 12} { frac {3x} { color {Cerulean} {3}} color {black} {< frac { 9} { color {Cerulean} {3}}}} & {} & { frac {2x} { color {Cerulean} {2}} color {black} { geq frac {12} { color {Cerulean} {2}}}} {x <3} & {} & {x geq 6} end {array} )

الشكل ( PageIndex {7} )

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- ∞، 3) ∪ [6، ∞) )

تمرين ( PageIndex {3} )

يحل:

(4x − 1 <-5 ) أو (4x-1> 5 ).

إجابه

((- ∞، −1) ∪ ( frac {3} {2}، ∞) )

تطبيقات المتباينات الخطية

فيما يلي تلخيص لبعض الكلمات والعبارات الرئيسية التي تشير إلى عدم المساواة:

العبارات الرئيسيةترجمة
الرقم هو على الاكثر (5).

(س جيك 5 )

الرقم هو (5 ) أو أكثر شمولاً.
الرقم هو في الغالب (3).

(س leq 3 )

الرقم (3 ) أو أقل شمولاً.
الرقم هو بدقة أقل من (4).

(س <4 )

الرقم هو أقل من (4), غير شامل.
الرقم هو أكثر من (7).

(س> 7 )

الرقم هو أكثر من (7), غير شامل.
الرقم هو ما بين أثنين (2 ) و (10 ​​). (2 <س <10 )
الرقم على الأقل (5 ) و على الأكثر (15 ).

(5 leq x leq 15 )

يجوز لعدد نطاق من (5 ) إلى (15 ).
جدول ( PageIndex {1} )

كما هو الحال مع جميع التطبيقات ، اقرأ المشكلة بعناية عدة مرات وابحث عن الكلمات والعبارات الرئيسية. تحديد المجهول وتعيين المتغيرات. بعد ذلك ، ترجم الصياغة إلى متباينة رياضية. أخيرًا ، استخدم الخصائص التي تعلمتها لحل المتباينة والتعبير عن الحل بيانيًا أو في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {9} )

يترجم:

خمسة أقل من ضعف العدد هو على الأكثر (25 ).

حل:

أولاً ، اختر متغيرًا للرقم المجهول وحدد الكلمات والعبارات الرئيسية.

( start {array} {cccc} { color {Cerulean} {two : a number}} & { color {Cerulean} {five : less than}} & { color {Cerulean} {is : at : most}} & {} { overbrace {: : 2n : :}} & { overbrace {: : - : : 5 : :} } & { overbrace {: : leq : :}} & {25} end {array} )

إجابه:

(2 ن − 5≤25 ).

العبارة الرئيسية "هي على الأكثر" تشير إلى أن الكمية لها قيمة قصوى تبلغ (25 ) أو أصغر.

مثال ( PageIndex {10} )

يمكن أن تتراوح درجة الحرارة في الصحراء من (10 ​​درجة مئوية ) إلى (45 درجة مئوية ) في فترة واحدة (24 ) - ساعة. أوجد النطاق المكافئ بالدرجات فهرنهايت ، (F ) ، إذا علمنا أن (C = frac {5} {9} (F − 32) ).

حل:

قم بإعداد عدم مساواة مركبة حيث تكون درجة الحرارة بالدرجة المئوية بين (10 ​​درجة مئوية ) و (45 درجة مئوية ). ثم استبدل التعبير المكافئ لدرجة الحرارة المئوية في المتباينة وحل من أجل (F ).

( start {array} {c} {10 ° C leq color {OliveGreen} {temperature : in : Celsius} color {black} { leq 45 ° C}} {10 leq اللون {OliveGreen} { frac {5} {9} (F-32)} color {black} { leq 45}} { color {Cerulean} { frac {9} {5} cdot} color {black} {10 leq} color {Cerulean} { frac {9} {5} cdot} color {black} { frac {5} {9} (F-32) leq} اللون {Cerulean} { frac {9} {5} cdot} color {black} {45}} {18 leq F-32 leq 81} {18 color {Cerulean} {+ 32 } color {black} { leq F-32} color {Cerulean} {+ 32} color {black} { leq 81} color {Cerulean} {+ 32}} {50 leq F leq 113} نهاية {مجموعة} )

إجابه:

يتراوح نطاق فهرنهايت المكافئ من (50 درجة فهرنهايت ) إلى (113 درجة فهرنهايت ).

مثال ( PageIndex {11} )

في الأحداث الأربعة الأولى للقاء ، يسجل اللاعب (7.5 ، 8.2 ، 8.5 ) ، (9.0 ). ما الذي يجب أن تسجله في الحدث الخامس بمتوسط ​​ (8.5 ) على الأقل؟

حل:

يجب أن يكون المتوسط ​​ (8.5 ) على الأقل ؛ هذا يعني أن المتوسط ​​يجب أن يكون أكبر من أو يساوي (8.5 ).

( start {align} average & geq 5 frac {7.5 + 8.2 + 8.5 + 9.0 + x} {5} & geq 8.5 frac {33.2 + x} {5} & geq 8.5 color {Cerulean} {5 cdot} color {black} { frac {33.2 + x} {5}} & geq color {Cerulean} {5 cdot} color {black} {8.5} & & color {Cerulean} {Multiply : both : sides : by : 5.} 33.2 + x & geq 42.5 33.2 + x color {Cerulean} {- 33.2} & geq 42.5 اللون {Cerulean} {- 33.2} x & geq 9.3 end {align} )

إجابه:

يجب أن تسجل على الأقل (9.3 ) في الفعالية الخامسة.

الماخذ الرئيسية

  • عادةً ما يكون لعدم المساواة عدد لا نهائي من الحلول. يتم تقديم الحلول بيانياً على خط الأعداد أو باستخدام تدوين الفاصل الزمني أو كليهما.
  • جميع قواعد حل المتباينات الخطية ماعدا واحدة هي نفسها المستخدمة في حل المعادلات الخطية. إذا قمت بقسمة أو ضرب متباينة على رقم سالب ، قم بعكس المتباينة للحصول على متباينة مكافئة.
  • تتطلب عدم المساواة المركبة التي تتضمن كلمة "أو" أن نحل كل متباينة وتشكيل اتحاد كل مجموعة حلول. هذه هي القيم التي تحل واحدة على الأقل من المتباينات المعطاة.
  • تتطلب المتباينات المركبة التي تتضمن كلمة "و" تقاطع مجموعات الحلول لكل متباينة. هذه هي القيم التي تحل كل من المتباينات المعطاة أو كلها.
  • تنطبق المبادئ التوجيهية العامة لحل مشاكل الكلمات على التطبيقات التي تنطوي على عدم المساواة. كن على دراية بقائمة جديدة من الكلمات والعبارات الرئيسية التي تشير إلى إعداد رياضي يتضمن عدم المساواة.

تمرين ( PageIndex {4} ) البحث عن حلول

حدد ما إذا كان الرقم المعطى حلًا لمتباينة معطاة.

  1. (2 س − 3 <6 ؛ س = -1 )
  2. (- 3x + 1 leq 0 ؛ x = -2 )
  3. (5 س -20> 0 ؛ س = 3 )
  4. ( frac {1} {2} x + 1> - frac {3} {4}؛ x = - frac {1} {4} )
  5. (- 5 <7 س + 1 <9 ؛ س = 0 )
  6. (- 20≤ − 3x − 5≤ − 10 ؛ س = 5 )
  7. (x <-3 text {or} x> 3؛ x = −10 )
  8. (x <0 text {or} x≥1؛ x = frac {1} {2} )
  9. (2x + 1 <3 text {or} 2x + 1≥5؛ x = 2 )
  10. (4x − 1 <17 text {or} 3x + 2≥6؛ x = 1 )
إجابه

1. نعم

3. لا

5. نعم

7. نعم

9. نعم

تمرين ( PageIndex {5} ) حل المتباينات الخطية

حل مجموعة الحلول ورسم بيانيًا. بالإضافة إلى ذلك ، قدم مجموعة الحلول في تدوين الفترة.

  1. (س + 5> 1 )
  2. (س − 3 <−4 )
  3. (6x≤24 )
  4. (4x> −8 )
  5. (- 7x≤14 )
  6. (- 2 س + 5> 9 )
  7. (7 س − 3≤25 )
  8. (12x + 7> 53 )
  9. (- 2 س + 5 <-7 )
  10. (- 2x + 4 leq 4 )
  11. (- 15 × + 10> 20 )
  12. (- 8x + 1≤29 )
  13. ( frac {1} {7} x − 3 <1 )
  14. ( frac {1} {2} x− frac {1} {3}> frac {2} {3} )
  15. ( frac {5} {3} x + frac {1} {2} ≤ frac {1} {3} )
  16. (- frac {3} {4} x− frac {1} {2} ≥ frac {5} {2} )
  17. (- frac {1} {5} x + frac {3} {4} <- frac {1} {5} )
  18. (- فارك {2} {3} س + 1 <-3 )
  19. (2 (-3 س + 1) <14 )
  20. (- 7 (س -2) +1 <15 )
  21. (9x-3 (3x + 4)> - 12 )
  22. (12 س − 4 (3 س + 5) ≤ − 2 )
  23. (5−3 (2x − 6) ≥ − 1 )
  24. (9x− (10x − 12) <22 )
  25. (2 (x-7) -3 (x + 3) leq -3 )
  26. (5x-3> 3x + 7 )
  27. (4 (3 س − 2) ≤ − 2 (س + 3) +12 )
  28. (5 (x − 3) ≥15x− (10x + 4) )
  29. (12x + 1> 2 (6x − 3) −5 )
  30. (3 (س − 2) +5> 2 (3 س + 5) +2 )
  31. (- 4 (3x − 1) + 2x≤2 (4x − 1) −3 )
  32. (- 2 (x − 2) + 14x <7 (2x + 1) )
إجابه

1. (x> −4؛ (−4، ∞) )

الشكل ( PageIndex {8} )

3. (س≤4 ؛ (، 4] )

الشكل ( PageIndex {9} )

5. (x≥ − 2؛ [2، ∞) )

الشكل ( PageIndex {10} )

7. (س≤4 ؛ (، 4] )

الشكل ( PageIndex {11} )

9. (س> 6 ؛ (6 ، ∞) )

الشكل ( PageIndex {12} )

11. (x <- frac {2} {3}؛ (−∞، - frac {2} {3}) )

الشكل ( PageIndex {13} )

13. (س <28 ؛ (−∞ ، 28) )

الشكل ( PageIndex {14} )

15. (x≤− frac {1} {10}؛ (−∞، - frac {1} {10}] )

الشكل ( PageIndex {15} )

17. (x> frac {19} {4}؛ ( frac {19} {4}، ∞) )

الشكل ( PageIndex {16} )

19. (س> −2 ؛ (−2 ، ∞) )

الشكل ( PageIndex {17} )

21. (∅)

الشكل ( PageIndex {18} )

23. (س≤4 ؛ (−∞ ، 4] )

الشكل ( PageIndex {19} )

25. (س≥ − 20 ؛ [20 ، ∞) )

الشكل ( PageIndex {20} )

27. (س≤1 ؛ (−∞ ، 1] )

الشكل ( PageIndex {21} )

29. (ص )

الشكل ( PageIndex {22} )

31. (x≥ frac {1} {2}؛ [ frac {1} {2}، ∞) )

الشكل ( PageIndex {23} )

تمرين ( PageIndex {6} ) حل المتباينات الخطية

ضع متباينة جبرية ثم قم بحلها.

  1. مجموع ثلاث مرات عدد و (4 ) أكبر من سالب (8 ).
  2. مجموع (7 ) وثلاث مرات عدد أقل من أو يساوي (1 ).
  3. عند طرح رقم من (10 ​​) ، تكون النتيجة على الأكثر (12 ).
  4. عندما يتم طرح (5 ) مرات طرح رقم من (6 ) ، تكون النتيجة (26 ) على الأقل.
  5. إذا تمت إضافة خمسة إلى ثلاثة أضعاف عدد ، فإن النتيجة تكون أقل من عشرين.
  6. إذا تم طرح ثلاثة من مرتين في عدد ، فإن النتيجة أكبر من أو تساوي تسعة.
  7. يكسب بيل $ (12.00 ) عن اليوم بالإضافة إلى $ (0.25 ) عن كل شخص يقوم بالتسجيل للتصويت. كم عدد الأشخاص الذين يجب عليه التسجيل لكسب ما لا يقل عن (50.00 ) دولار في اليوم؟
  8. مع تكلفة عضوية نادي الجولف التي تبلغ تكلفتها (100 ) دولار شهريًا ، فإن كل جولة من جولات الجولف تكلف فقط $ (25.00 ) كم عدد جولات الجولف التي يمكن للعضو أن يلعبها إذا رغب في إبقاء تكاليفه عند (250 ) دولارًا شهريًا على الأكثر؟
  9. حصل Joe على درجات (72 ، 85 ) ، و (75 ) في اختباراته الثلاثة الأولى في الجبر. ما الذي يجب أن يحرزه في الامتحان الرابع بمعدل لا يقل عن (80 )؟
  10. حصل موريس على (4 ، 7 ) ، و (9 ) نقاط من (10 ​​) في الاختبارات الثلاثة الأولى. ما الذي يجب أن يسجله في الاختبار الرابع حتى يكون متوسط ​​ (7 ) على الأقل؟
  11. يتم ضبط الكمبيوتر على إيقاف التشغيل إذا تجاوزت درجة الحرارة (40 درجة مئوية ). اكتب تعليمة مكافئة باستخدام الدرجات فهرنهايت. (تلميح: (C = frac {5} {9} (F − 32) ).)
  12. ماركة معينة من المكياج مضمونة لعدم جريانها إذا كانت درجة الحرارة أقل من (35 درجة مئوية ). اكتب تعليمة مكافئة باستخدام الدرجات فهرنهايت.
إجابه

1. (n> −4 )

3. (n≥ − 2 )

5. (n <5 )

7. يجب أن يسجل الفاتورة (152 ) شخصًا على الأقل.

9. يجب أن يحصل Joe على (88 ) على الأقل في الامتحان الرابع.

11. سيتم إيقاف تشغيل الكمبيوتر عندما تزيد درجة الحرارة عن (104 ) درجة فهرنهايت.

تمرين ( PageIndex {7} ) عدم المساواة المركبة

حل مجموعة الحلول ورسم بيانيًا. بالإضافة إلى ذلك ، قدم مجموعة الحلول في تدوين الفترة.

  1. (- 1 <س + 3 <5 )
  2. (- 10≤5x <20 )
  3. (- 2≤4x + 6 <10 )
  4. (- 10≤3 س − 1≤ − 4 )
  5. (- 15 <3x − 6≤6 )
  6. (- 22 <5 س + 3≤3 )
  7. (- 1≤ فارك {1} {2} س − 5≤1 )
  8. (1 <8 س + 5 <5 )
  9. (- frac {1} {5} ≤ frac {2} {3} x− frac {1} {5} < frac {4} {5} )
  10. (- frac {1} {2} < frac {3} {4} x− frac {2} {3} ≤ frac {1} {2} )
  11. (- 3≤3 (س − 1) ≤3 )
  12. (- 12 <6 (س − 3) ≤0 )
  13. (4 <2 (س + 3) <6 )
  14. (- 5≤5 (−x + 1) <15 )
  15. (- frac {3} {2} ≤ frac {1} {4} ( frac {1} {2} x − 1) + frac {3} {4} < frac {3} {2 } )
  16. (- 4≤− فارك {1} {3} (3x + 12) <4 )
  17. (- 2≤12−2 (س − 3) ≤20 )
  18. (- 5 <2 (س -1) -3 (س + 2) <5 )
  19. (3x leq -15 text {or} 2x> 6 )
  20. (4x − 1 <-17 text {or} 3x + 2 geq 8 )
  21. (- 2x + 1 <-1 text {or} -2x + 1> 1 )
  22. (7x + 4≤4 text {or} 6x − 5≥1 )
  23. (3x − 7 <14 text {or} 2x + 3> 7 )
  24. (- 3x + 1 <-5 text {أو} -4x-3> −23 )
  25. ( frac {1} {2} x − 2 <-1 text {or} frac {1} {2} x-2> 1 )
  26. ( frac {1} {3} x + 3≥ − 2 text {or} frac {1} {3} x + 3≤2 )
  27. (3x + 7≤7 نص {أو} 5x + 6> 6 )
  28. (- 10x − 3≤17 نص {or} 20x − 6> −26 )
  29. (2x − 10 <-2 text {or} -3x + 4> −5 )
  30. (5x + 3 <4 text {or} 5-10x> 4 )
  31. (3x <18 text {and} 5x> -20 )
  32. (x + 7 leq 5 text {and} x − 3≥ − 10 )
  33. (2x − 1 <5 text {and} 3x-1 <10 )
  34. (5x + 2 <-13 text {and} 3x + 4> 13 )
إجابه

1. (- 4 <س <2 ؛ (-4،2) )

الشكل ( PageIndex {24} )

3. (- 2≤x <1 ؛ [2 ، 1) )

الشكل ( PageIndex {25} )

5. (- 3

الشكل ( PageIndex {26} )

7. (8 × 12 ؛ [8 ، 12] )

الشكل ( PageIndex {27} )

9. (0≤x < frac {3} {2}؛ [0، frac {3} {2}) )

الشكل ( PageIndex {28} )

11. (0≤x≤2؛ [0، 2] )

الشكل ( PageIndex {29} )

13. (- 6

الشكل ( PageIndex {30} )

15. (- 16≤x <8 ؛ [16 ، 8) )

الشكل ( PageIndex {31} )

17. (- 1≤x≤10 ؛ [1 ، 10] )

الشكل ( PageIndex {32} )

19. (x≤ − 5 text {or} x> 3؛ (−∞، −5] ∪ (3، ∞) )

الشكل ( PageIndex {33} )

21. (x> 1 text {or} x <0؛ (−∞، 0) ∪ (1، ∞) )

الشكل ( PageIndex {34} )

23. (ص )

الشكل ( PageIndex {35} )

25. (x <2 text {or} x> 6؛ (−∞، 2) ∪ (6، ∞) )

الشكل ( PageIndex {36} )

27. (س≤0 ؛ (−∞ ، 0] )

الشكل ( PageIndex {37} )

29. (س <4 ؛ (−∞ ، 4) )

الشكل ( PageIndex {38} )

31. (- 4

الشكل ( PageIndex {39} )

33. (س <3 ؛ (−∞ ، 3) )

الشكل ( PageIndex {40} )

تمرين ( PageIndex {8} ) عدم المساواة المركبة

أنشئ متباينة مركبة لما يلي ثم حلها.

  1. خمسة أكثر من ضعف بعض الأرقام بين (15 ) و (25 ).
  2. أربعة مطروح من ثلاثة أضعاف عدد ما بين (- 4 ) و (14 ).
  3. يرغب كلينت في ربح B وهي على الأقل (80 ) ولكن أقل من (90 ). ما النطاق الذي يجب أن يسجله في الامتحان الرابع إذا كانت الثلاثة الأولى هي (65 ، 75 ) ، و (90 )؟
  4. يكون مضاد تجمد معين فعالًا في نطاق درجة حرارة من (- 35 درجة مئوية ) إلى (120 درجة مئوية ). أوجد النطاق المكافئ بالدرجات فهرنهايت.
  5. يتراوح متوسط ​​درجة الحرارة في لندن من (23 درجة مئوية ) في الصيف إلى (14 درجة مئوية) في الشتاء. أوجد النطاق المكافئ بالدرجات فهرنهايت.
  6. إذا كانت قاعدة المثلث تساوي (5 ) بوصات ، ففي أي نطاق يجب أن يكون الارتفاع للمنطقة بين (10 ​​) بوصات مربعة و (20 ) بوصة مربعة؟
  7. طول المستطيل (7 ) بوصة. أوجد كل العروض الممكنة إذا كانت المساحة ستكون على الأقل (14 ) بوصة مربعة وعلى الأكثر (28 ) بوصة مربعة.
  8. مستطيل عرضه (3 ) سم. أوجد كل الأطوال الممكنة ، إذا كان يجب أن يكون المحيط على الأقل (12 ) سم وعلى الأكثر (26 ) سم.
  9. يجب أن يكون محيط المربع بين (40 ) قدمًا و (200 ) قدمًا. أوجد طول كل الأضلاع الممكنة التي تحقق هذا الشرط.
  10. إذا كانت الزاوية مرتين بين (180 ) درجة و (270 ) درجة ، فما هي حدود الزاوية الأصلية؟
  11. إذا كانت الزاوية ثلاث مرات بين (270 ) درجة و (360 ) درجة فما هي حدود الزاوية الأصلية؟
إجابه

1. (5

3. يجب أن يحصل كلينت على درجة في النطاق من (90 ) إلى (100 ).

5. يتراوح متوسط ​​درجة الحرارة في لندن من (57.2 درجة فهرنهايت ) إلى (73.4 درجة فهرنهايت ).

7. يجب أن يكون العرض على الأقل (2 ) بوصة وعلى الأكثر (4 ) بوصات.

9. يجب أن تكون الجوانب بين (10 ​​) قدم و (50 ) قدم.

11. قياس الزاوية بين (90 ) درجة و (120 ) درجة.

تمرين ( PageIndex {9} ) مواضيع لوحة المناقشة

  1. ابحث وناقش استخدام تدوين مجموعة البناء مع التقاطعات والنقابات.
  2. هل يمكننا دمج "أو" المنطقي في عبارة واحدة مثلما نفعل مع "و" المنطقي؟
إجابه

2. قد تختلف الإجابات


ML Aggarwal Class-8 المعادلات الخطية وعدم المساواة الرياضيات ICSE

المعادلات الخطية ML Aggarwal Class-8 والمتباينات في متغير واحد ICSE حلول الرياضيات الفصل -12. نحن نقدم الحلول خطوة بخطوة للتمرين / الدرس -12 المعادلات الخطية وعدم المساواة في متغير واحد الفئة الثامنة ML Aggarwal ICSE الرياضيات.

تحتوي حلولنا على جميع أنواع الأسئلة ذات إكس 12.1 ، إكس 12.2 ، إكس 12.3 نوع الهدف الأسئلة (بما في ذلك الرياضيات العقلية أسئلة الاختيار من متعدد الأسئلة القائمة على القيمة ، HOTS) ، و تحقق من تقدمك لتنمية المهارات والثقة. قم بزيارة الموقع الرسمي CISCE للحصول على معلومات تفصيلية حول الرياضيات ICSE Board Class-8.


عدم المساواة المركبة

فيما يلي بعض الأمثلة على عدم المساواة الخطية المركبة:

4 × + 5 - 15 أو 6 × - 11 & GT7

هذه المتباينات المركبة اثنان أو أكثر من المتباينات في عبارة واحدة مرتبطة بكلمة "و" أو بكلمة "أو". هما في الواقع متباينان في بيان واحد متصل بالكلمة و أو بالكلمة أو. على سبيل المثال ، - 13 & lt 3 x - 7 & lt 17 هي متباينة مركبة لأنها يمكن أن تتحلل على النحو التالي: - 13 & lt 3 x - 7 and 3 x - 7 & lt 17

يمكننا حل كل متباينة على حدة ، يؤدي تقاطع مجموعتي الحل إلى حل المتباينة المركبة الأصلية. بينما تعمل هذه الطريقة ، هناك طريقة أخرى تتطلب عادةً خطوات أقل. طبِّق خصائص هذا القسم على الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة بهدف عزل المتغير في المنتصف من العبارة لتحديد حدود مجموعة الحلول.

مثال 6

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: - 13 & lt 3 x - 7 & lt 17.

- 13 & lt 3 x - 7 & lt 17-13 + 7 & lt 3 x - 7 + 7 & lt 17 + 7-6 & lt 3 x & lt 24-6 3 & lt 3 x 3 & lt 24 3 - 2 & lt x & lt 8

الجواب: تدوين الفاصل الزمني: (- 2 ، 8)

مثال 7

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: 5 6 ≤ 1 3 (1 2 x + 4) & lt 2.

5 6 ≤ 1 3 (1 2 x + 4) & lt 2 5 6 ≤ 1 6 x + 4 3 & lt 2 6 ⋅ (5 6) ≤ 6 ⋅ (1 6 x + 4 3) & lt 6 ⋅ (2) 5 ≤ x + 8 & lt 12 5-8 ≤ x + 8-8 & lt 12-8-3 x & lt 4

الجواب: تدوين الفاصل [- 3 ، 4)

من المهم ملاحظة أنه عند ضرب أو قسمة الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة على رقم سالب ، يجب عكس جميع المتباينات في العبارة. على سبيل المثال: - 10 & lt - 2 x & lt 20-10-2 & gt - 2 x - 2 & gt 20-2 5 & gt x & gt - 10 يمكن كتابة الإجابة أعلاه بصيغة مكافئة ، حيث تقع الأرقام الأصغر على اليسار و الأعداد الأكبر تقع على اليمين ، كما تظهر على خط الأعداد. - 10 & lt x & lt 5 باستخدام تدوين الفاصل ، اكتب: (- 10 ، 5).

جرب هذا! حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: - 3 ≤ - 3 (2 x - 3) & lt 15.

بالنسبة إلى عدم المساواة المركبة باستخدام كلمة "أو"تعمل كلا المتباينات بشكل منفصل ثم تفكر في اتحاد مجموعات الحلول. القيم في هذا الاتحاد تحل مشكلة عدم المساواة.

المثال 8

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: 4 x + 5 ≤ - 15 أو 6 x - 11 & gt 7.

حل كل متباينة وشكل الاتحاد بدمج مجموعات الحلول.

٤ س + ٥ - ١٥ ٤ س ≤ - ٢٠ س ≤ - ٥

الجواب: تدوين الفاصل الزمني (- ∞، - 5] ∪ (3، ∞)

جرب هذا! حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: 5 (x - 3) & lt - 20 o r 2 (5 - 3 x) & lt 1.


3 & lt 5 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 3 أقل من 5 هو بيان صحيح.

** أعلم أنه يمكنني الحفاظ على توازن عدم المساواة بضرب أو قسمة كل حد على نفس الرقم ، لذا. دعونا نضرب كل حد في -1.

-3 & lt -5 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 الآن لدينا -3 أقل من -5. & # xa0 هل هذا صحيح؟

لا ، -3 أكبر من -5 ، لذلك لكي نجعلها بيانًا صحيحًا ، يجب أن نعكس الإشارة.

يعمل هذا مع أي بيان صحيح طالما أنك تضرب أو تقسم على رقم سالب. انطلق ، جرب واحدة أخرى. اكتب إفادة صحيحة ، ثم اقسم على -2.

نعم. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

يعيد مثالنا التالي النظر في كيفية حل المعادلات و / أو المتباينات ذات المتغيرات على كلا الجانبين.


كيف تحل المتباينات الخطية؟

حل متباينة خطية متعددة الخطوات يماثل حل المعادلات الخطية متعددة الخطوات التي تبدأ بعزل المتغير عن الثوابت. وفقًا لقواعد عدم المساواة ، أثناء قيامنا بحل عدم المساواة متعددة الخطوات ، من المهم ألا ننسى عكس علامة عدم المساواة عند الضرب أو القسمة على الأرقام السالبة.

  • الخطوة 1: تبسيط عدم المساواة على كلا الجانبين - على LHS وكذلك RHS وفقا لقواعد عدم المساواة.
  • الخطوة 2: عندما يتم الحصول على القيمة ، إذا كانت عدم المساواة عبارة عن تفاوت صارم ، فإن حل x يكون أقل من القيمة التي تم الحصول عليها كما هو محدد في السؤال أو أكبر منها. وإذا لم تكن المتباينة متباينة صارمة ، فإن حل x يكون أقل من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي القيمة التي تم الحصول عليها كما هو محدد في السؤال.

الآن ، لنحاول حل المتباينات الخطية.

لحل هذه المتباينة الخطية ، نتبع الخطوات الموضحة أدناه:

سيكون حل هذه المتباينة هو مجموعة جميع قيم x التي تتحقق من خلالها هذه المتباينة ، أي أن الطرف الأيسر أكبر من الطرف الأيمن.

حل المتباينات الخطية بمتغير واحد

دعونا نحاول حل المتباينات الخطية بمتغير واحد من خلال تطبيق المفهوم الذي تعلمناه. تأمل المثال التالي.

-15 - 11 و GT 2x - 3x ⇒ - 26 & GT - x ⇒ x & GT 26


2.8: المتباينات الخطية (متغير واحد)

عندما نعمل مع عدم المساواة ، يمكننا عادة معاملتها بشكل مشابه ولكن ليس تمامًا كما نتعامل مع المساواة. يمكننا استخدام خاصية إضافية و ال خاصية الضرب لمساعدتنا في حلها. الاستثناء الوحيد هو عندما نضرب أو نقسم على رقم سالب ، فإن ذلك يعكس رمز عدم المساواة.

هناك ثلاث طرق لتمثيل حلول المتباينات: الفترة ، والرسم البياني ، والمتباينة. نظرًا لوجود أكثر من حل للمتباينة عادةً ، عند التحقق من إجابتك ، يجب عليك التحقق من نقطة النهاية وقيمة أخرى للتحقق من اتجاه المتباينة. عندما نعمل مع عدم المساواة ، يمكننا عادة معاملتها بشكل مشابه ولكن ليس تمامًا كما نتعامل مع المساواة.

ملاحظة عامة: خصائص المتباينات

تنطبق هذه الخصائص أيضًا على [اللاتكس] a le b [/ latex] ، [اللاتكس] a & gtb [/ latex] ، و [اللاتكس] a ge b [/ latex].

يوضح الجدول التالي كيفية تطبيق خاصية الضرب على عدم المساواة ، وكيف أن الضرب في سالب يعكس عدم المساواة:

أبدا ب اضرب ب عدم المساواة النهائية
[لاتكس] أ & gtb [/ لاتكس] [لاتكس] ج [/ لاتكس] [لاتكس] مكيفات و gtbc [/ لاتكس]
[لاتكس] 5 & gt3 [/ لاتكس] [لاتكس] 3 [/ لاتكس] [لاتكس] 15 و GT9 [/ لاتكس]
[لاتكس] أ & gtb [/ لاتكس] [اللاتكس] -c [/ اللاتكس] [اللاتكس] -ac & lt-bc [/ لاتكس]
[لاتكس] 5 & gt3 [/ لاتكس] [لاتكس] -3 [/ لاتكس] [لاتكس] -15 & lt-9 [/ لاتكس]

يوضح الجدول التالي كيفية تطبيق خاصية القسمة على عدم المساواة ، وكيف تؤدي القسمة على سلبية عكس عدم المساواة:

أبدا ب اقسم على عدم المساواة النهائية
[لاتكس] أ & gtb [/ لاتكس] [لاتكس] ج [/ لاتكس] [اللاتكس] displaystyle frac& gt frac[/ اللاتكس]
[لاتكس] 4 & gt2 [/ لاتكس] [لاتكس] 2 [/ لاتكس] [لاتكس] displaystyle frac <4> <2> & gt frac <2> <2> [/ latex]
[لاتكس] أ & gtb [/ لاتكس] [اللاتكس] -c [/ اللاتكس] [اللاتكس] displaystyle - frac& lt- frac[/ اللاتكس]
[لاتكس] 4 & gt2 [/ لاتكس] [لاتكس] -2 [/ لاتكس] [لاتكس] displaystyle - frac <4> <2> & lt- frac <2> <2> [/ latex]

في المثال الأول ، سنوضح كيفية تطبيق خصائص المساواة في الضرب والقسمة لحل بعض المتباينات.

مثال: توضيح خاصية الإضافة

وضح خاصية الإضافة لعدم المساواة من خلال حل كل مما يلي:


2.8: المتباينات الخطية (متغير واحد)

يشكل تعبيران جبريان أو رقمان حقيقيان مرتبطان بالرمز ≤ و و & lt و> متباينة. إذا كانت التعبيرات خطية ، فإن المتباينة تسمى عدم المساواة الخطية. على سبيل المثال: 4 (x & # 8211 2) & lt 10، 10 & lt 45، x> = -3 ، إلخ.

  • لا يساوي (≠)
  • أكبر من (>)
  • أقل من (& lt)
  • أكبر من أو يساوي ()
  • أقل من أو يساوي (≤)

يتم استدعاء أكبر من (>) وأقل من (& lt) عدم المساواة الصارمة لأنها تصور أن الرقم أقل أو أكثر من الآخر.

يتم استدعاء أكبر من أو يساوي () وأقل من أو يساوي () سلاك عدم المساواة أو عدم المساواة غير الصارمة لأنها تصور أن القيمة متضمنة في الحل.

خصائص عدم المساواة الخطية

  • يمكننا جمع أو طرح عدد حقيقي من كلا طرفي المتباينة
  • يمكننا ضرب أو قسمة طرفي المتباينة على عدد موجب
  • إذا ضربنا أو قسمنا كلا طرفي المتباينة بعدد سالب ، فسيتم عكس علامة المتباينة

أنواع عدم المساواة الخطية

  • عدم المساواة الخطية في متغير واحد: إذا كانت الدالة الخطية تتضمن متغيرًا واحدًا ، فهي متباينة خطية في متغير واحد. على سبيل المثال: 2x & # 8211 45> 7
  • عدم المساواة الخطية في متغيرين: إذا كانت الدالة الخطية تتضمن متغيرين ، فهي متباينة خطية في متغيرين. على سبيل المثال: 4x + 7y> 9

في هذه المقالة ، سوف نركز على المتباينات الخطية في متغير واحد.

لحل المتباينة الخطية في متغير واحد ، نحتاج إلى اتباع الخطوات التالية:

الخطوة 1: افصل بين الثوابت في جانب والمتغيرات في الجانب الآخر.

الخطوة 2: بسّط كلا الطرفين للتحويل إلى معادلة بالصيغة mx> n أو mx & lt n.

الخطوه 3: قسّم كلا الطرفين على m ، إذا كانت m سالبة ، فعكس علامة عدم المساواة.

عينة من المشكلات المتعلقة بعدم المساواة الخطية في متغير واحد

المشكلة 1: حل من أجل x ، إذا كانت x +4 ≥ 18

المشكلة 2: حل من أجل x ، إذا3x ≥ 21

= −3x ≥ 21

= x ≤ 21/-3 ( Change in sign is due to division of both sides by a negative number )

= x ≤ −7

Problem 3: Solve for x, if 5 – 2x ≥ 19

5 – 2x ≥ 19

= -2x ≥ 19 – 5

= -2x ≥ 14

= x ≤ 14/-2 (Change in sign is due to division by a negative number)

= x ≤ -7

Problem 4: Solve for x, if 7x + 4 < 5(x + 2)

Graph of Linear Inequality in One Variable

As there is only one variable it will be represented on a number line. Steps for graphing a solution of a linear inequality on a number line:

الخطوة 1: Solve the inequality

الخطوة 2: Make a number line and plot the point on the number line

الخطوه 3: Locate the real no. found after solving the inequality. Use an open circle for Strict Inequality(< and >) and a closed circle for Slack Inequality(≤ and ≥)

الخطوة الرابعة: In the final inequality if the sign is > or ≥ draw the line towards the positive axis or towards the negative axis if the sign is < or ≤

Sample Problems on Graphs

Problem 1: Solve the linear inequality (3a + 7)/2 ≥ a + 5, and represent the solution on the number line.

Problem 2: Solve the linear inequality −13 < 3x – 7 < 17 and represent the solution on the number line.

Word Problems on Linear Inequality

Problem 1: In the first four papers each of 100 marks, Devesh got 97, 75, 75, 84 marks. If he wants an average of greater than 80 marks and less than 85 marks, find the range of marks he should score in the fifth paper.

Let x be the marks in the fifth paper. According to the statement,

80 < (97 + 75 + 75 + 84 + x)/5 < 85

= 400 < 331 + x < 425

= 400 – 331 < x < 425 – 331

= 69 < x < 94

Therefore, Devesh needs to score greater than 69 and less than 94 to get his desired average.


Problem 2: Surya has two rods. The length of one rod is three meters longer than the other, each of the rods is shorter than 19m, and the sum of the two rods is longer than 23m. Find a possible range of length of the shorter rod.

Let the length of the shorter rod be x. Then the length of the other rod is x + 3.

In solving this kind of problem, when both the rod lengths are less than some number, we have to take the length of the longer rod to form inequality.

x + 3 < 19

x < 16

The sum of the length of the rods is more than 23,

x + x + 3 > 23

= 2x > 20

= x > 10

Thus, 10 < x < 16

Problem 3: Ola charges a Rs 20 flat rate in addition to Rs 4 per kilometer. Arnab has no more than Rs 100 to spend on a ride. How many kilometers can Arnab travel without exceeding his budget?

Let the no of kilometer traveled by Arnab be x.

According to the statement,

4x + 20 ≤ 100

= 4x ≤ 80

= x ≤ 20

Thus, Arnab can travel 20 kilometers or less before reaching his limit of Rs 100.


Practice Problems

Find all pairs of consecutive odd positive  integers, both of which are smaller than 18, such that their sum is more than 20.

Let "x" be the smaller of two consecutive odd positive integers.

Then "x + 2" will be the other odd consecutive integer.

Both x and (x + 2) are smaller than 18.

Sum of two consecutive odd positive integers > 20

Subtract by 2 on both sides

Divide by 2 on both sides

By combining the pairs x >9 and x < 16, we get

So, the required consecutive pair of odd integers are (11, 13) (13, 15) (15, 17).

Find all pairs of consecutive even positive integers, both of which are larger than 8, such that their sum is less than 25.

Let "x" be the smaller of two consecutive even positive integers.

Then "x + 2" is the other even integer

Divide by 2 on both sides

x > 8 (Both numbers are greater than 8)

By combining the above statements, we get

So, the required pair of even integer is (10, 12)

The cost and revenue functions of a product are given by C(x)  =  2x + 400 and R(x)  =  6x + 20 respectively, where x is the number of items produced by the manufacturer. How many items the manufacturer must sell to realize some profit ?

The formula for profit  =  Revenue - cost

Subtract 2x on both sides

Subtract by 20 on both sides

Divide by 4 on both sides

So, the manufacturer must sell more than 95 items to realize some profit.

In the first four papers each of 100 marks, John got 95, 72, 73, 83 marks.If he wants an average of greater than or equal to 75 marks and less than 80 marks, find the range of marks he should score in the fifth paper.

Suppose scores x marks in the fifth paper. |Then,

75 ≤ (95 + 72 + 73 + 83 + x)/5 < 80

Multiply by 5 through out the equation

Subtract 323 through out the equation

So, John must score between 52 and 77.

Apart from the stuff given in this section, if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


SOLVING LINEAR INEQUALITIES ONE VARIABLE WORKSHEET

We have already solved for x in the given inequality.

Because x is an integer, the solution set is  

(iii) When x is a natural number : 

Because x is a natural number, the solution set is  

Subtract 17 from each side.

Subtract 6x from each side. 

Subtract x from each side. 

Subtract 7 from each side. 

So, the solution set is  (- ∞, -2). 

Apart from the stuff given above, if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


Inequalities in Context

Making sense of the importance of the shaded region in an inequality can be a bit difficult without assigning any context to it. The following problem shows one instance where the shaded region helps us understand a range of possibilities.

Celia and Juniper want to donate some money to a local food pantry. To raise funds, they are selling necklaces and earrings that they have made themselves. Necklaces cost `$8` and earrings cost `$5` . What is the range of possible sales they could make in order to donate at least `$100` ?

The first step here is to create the inequality. Once we have it, we can solve it and then create a graph of it to better understand the importance of the bounded region. Let&rsquos begin by assigning the variable `x` to the number of necklaces sold and `y` to the number of earrings sold. (Remember&mdashsince this will be mapped on a coordinate plane, we should use the variables `x` and `y` .)


شاهد الفيديو: المتباينات الخطية بمتغير واحد والمتباينات المركبة بمتغير واحد 1- رياضيات- صف تاسع ف1 (شهر اكتوبر 2021).