مقالات

11.5: القطوع الزائدة - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • ارسم قطعًا زائدًا بالمركز عند ((0،0) )
  • ارسم القطع الزائد بالمركز عند ((h، k) )
  • حدد المقاطع المخروطية من خلال معادلاتها

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل: (x ^ {2} = 12 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 9.1.
  2. وسّع: ((x − 4) ^ {2} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.32.
  3. رسم بياني (y = - frac {2} {3} x ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 3.4.

رسم رسم بياني القطع الزائد بالمركز عند (0،0) )

القسم المخروطي الأخير الذي سننظر إليه يسمى أ القطع الزائد. سنرى أن معادلة القطع الزائد تبدو مثل معادلة القطع الناقص ، باستثناء أنها فرق وليست مجموع. في حين أن معادلات القطع الناقص والقطع الزائد متشابهة جدًا ، إلا أن الرسوم البيانية الخاصة بهم مختلفة تمامًا.

نحدد أ القطع الزائد مثل جميع النقاط في المستوى حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى التركيز القطع الزائد.

التعريف ( PageIndex {1} )

أ القطع الزائد هي جميع النقاط الموجودة في المستوى حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى التركيز القطع الزائد.

يسمى الخط عبر البؤر المحور العرضي. النقطتان اللتان يتقاطع فيهما المحور العرضي مع القطع الزائد هما أ قمة الرأس القطع الزائد. تسمى نقطة المنتصف للجزء الذي ينضم إلى البؤر المركز القطع الزائد. يسمى الخط العمودي على المحور العرضي الذي يمر عبر المركز المحور المترافق. كل قطعة من الرسم البياني تسمى أ فرع القطع الزائد.

مرة أخرى ، هدفنا هو ربط هندسة الشكل المخروطي بالجبر. يمنحنا وضع القطع الزائد على نظام إحداثيات مستطيل هذه الفرصة. في الشكل ، وضعنا القطع الزائد بحيث تكون البؤر (((- ج ، 0) ، (ج ، 0)) ) على المحور (س ) والمركز هو الأصل.

ينص التعريف على أن اختلاف المسافة من البؤر إلى النقطة ((س ، ص) ) ثابت. إذن (| d_ {1} −d_ {2} | ) ثابت نسميه (2a ) لذا (| d_ {1} -d_ {2} | = 2 أ ). سنستخدم صيغة المسافة لتقودنا إلى الصيغة الجبرية للقطع الناقص.

استخدم صيغة المسافة لإيجاد (d_ {1}، d_ {2} )

( left | sqrt {(x - (- c)) ^ {2} + (y-0) ^ {2}} - sqrt {(xc) ^ {2} + (y-0) ^ { 2}} حق | = 2 أ )

اقضِ على الراديكاليين. لتبسيط معادلة القطع الناقص ، ندع (c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} ).

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}} = 1 )

إذن ، فإن معادلة القطع الزائد المتمركزة في الأصل بالشكل القياسي هي:

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

لرسم القطع الزائد بيانيًا ، سيكون من المفيد معرفة التداخلات. سنجد (x ) - اعتراضات و (y ) - اعتراضات باستخدام الصيغة.

(س ) - اعتراضات

دع (ص = 0 ).

( begin {align} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {0 ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} & = 1 x ^ {2} & = a ^ {2} x & = pm a end {align} )

إن (x ) - تقاطعات هي ((أ ، 0) ) و ((- أ ، 0) ).

(ص ) - اعتراضات

دع (س = 0 ).

( begin {align} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 frac {0 ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 y ^ {2} & = - b ^ {2} y & = pm sqrt {-b ^ {2}} end {align} )

لا يوجد (ص ) - اعتراضات.

ال (أ, ب) تساعدنا القيم في المعادلة أيضًا في إيجاد الخطوط المقاربة للقطع الزائد. الخطوط المقاربة هي خطوط مستقيمة متقاطعة بحيث تقترب فروع الرسم البياني ولكنها لا تتقاطع أبدًا مثل (x, ذ) تصبح القيم أكبر وأكبر.

للعثور على الخطوط المقاربة ، نرسم مستطيلًا تتقاطع جوانبه مع x- المحور عند الرؤوس ((- أ ، 0) ، (أ ، 0) ) ، ويتقاطع مع (ص ) - المحور عند ((0 ، − ب) ، (0 ، ب) ). الخطوط التي تحتوي على أقطار هذا المستطيل هي الخطوط المقاربة للقطع الزائد. المستطيل والخطوط المقاربة ليست جزءًا من القطع الزائد ، لكنها تساعدنا في رسم القطع الزائد.

تمر الخطوط المقاربة عبر الأصل ويمكننا حساب ميلها باستخدام المستطيل الذي رسمناه. لديهم المعادلات (y = frac {b} {a} x ) و (y = - frac {b} {a} x ).

توجد معادلتان للقطوع الزائدة ، اعتمادًا على ما إذا كان المحور العرضي رأسيًا أم أفقيًا. يمكننا معرفة ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا بالنظر إلى المعادلة. عندما تكون المعادلة في شكل قياسي ، إذا كان الحد (x ^ {2} ) موجبًا ، يكون المحور العرضي أفقيًا. عندما تكون المعادلة في شكل قياسي ، إذا كان الحد (y ^ {2} ) موجبًا ، يكون المحور المستعرض عموديًا.

يمكن اشتقاق المعادلات الثانية بشكل مشابه لما فعلناه. سنلخص النتائج هنا.

التعريف ( PageIndex {2} )

الشكل القياسي للمعادلة قطع زائد مع المركز ((0،0) )

الصيغة القياسية لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((0،0) ) هي

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 quad ) أو ( quad frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

لاحظ أنه على عكس معادلة القطع الناقص ، فإن مقام (x ^ {2} ) ليس دائمًا (a ^ {2} ) ومقام (y ^ {2} ) ليس دائمًا (ب ^ {2} ).

لاحظ أنه عندما يكون الحد (x ^ {2} ) موجبًا ، يكون المحور العرضي على المحور (x ) -. عندما يكون الحد (y ^ {2} ) موجبًا ، يكون المحور العرضي على المحور (y ) -.

النماذج المعيارية لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((0،0) )

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
اتجاهالمحور المستعرض على المحور (س ).
يفتح اليسار واليمين
المحور المستعرض على المحور (ص ).
يفتح لأعلى ولأسفل
الرؤوس ((- أ ، 0) ، (أ ، 0) ) ((0 ، -a) ، (0 ، أ) )
(س ) - اعتراضات ((- أ ، 0) ، (أ ، 0) )لا أحد
(ص ) - اعتراضاتلا أحد ((0 ، -a) ، (0 ، أ) )
مستطيلاستخدم (( pm a، 0) (0، pm b) )استخدم ((0، pm a) ( pm b، 0) )
الخطوط المقاربة (y = frac {b} {a} x، y = - frac {b} {a} x ) (y = frac {a} {b} x، y = - frac {a} {b} x )
الجدول 11.4.1

سنستخدم هذه الخصائص لرسم بياني للقطوع الزائدة.

مثال ( PageIndex {1} ) كيفية رسم قطع زائد باستخدام المركز ((0،0) )

رسم بياني ( frac {x ^ {2}} {25} - frac {y ^ {2}} {4} = 1 ).

المحلول:

الخطوة 1: اكتب المعادلة بالصيغة القياسية.المعادلة في شكل قياسي. ( frac {x ^ {2}} {25} - frac {y ^ {2}} {4} = 1 )
الخطوة 2: حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.بما أن الحد (x ^ {2} ) موجب ، فإن المحور العرضي أفقي.المحور العرضي أفقي.
الخطوه 3: ابحث عن القمم.بما أن (a ^ {2} = 25 ) ثم (a = pm 5 ). القمم على محور (س ).((-5,0),(5,0))
الخطوة 4: ارسم المستطيل المتمركز عند نقطة التقاطع الأصلية أحد المحاور عند ( pm a ) والآخر عند ( pm b ).

بما أن (a = pm 5 ) ، سيتقاطع المستطيل مع (x ) - المحور عند الرؤوس.

بما أن (b = pm 2 ) ، سيتقاطع المستطيل مع (y ) - المحور عند ((0، -2) ) و ((0،2) ).

الخطوة الخامسة: ارسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل.

الخطوط المقاربة لها المعادلات (y = frac {5} {2} x، y = - frac {5} {2} x ).
الخطوة 6: ارسم فرعي القطع الزائد.ابدأ من كل قمة واستخدم الخطوط المقاربة كدليل.
الجدول 11.4.2

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم بياني ( frac {x ^ {2}} {16} - frac {y ^ {2}} {4} = 1 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {2} )

رسم بياني ( frac {x ^ {2}} {9} - frac {y ^ {2}} {16} = 1 ).

إجابه

نلخص الخطوات للرجوع اليها.

رسم بياني قطعي متمركز في ((0،0) )

  1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
  2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
  3. أوجد القمم.
  4. ارسم المستطيل المتمركز في الأصل الذي يتقاطع مع محور واحد عند (± أ ) والآخر عند (± ب ).
  5. رسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل.
  6. ارسم فرعي القطع الزائد.

في بعض الأحيان ، يجب وضع معادلة القطع الزائد أولاً في الشكل القياسي قبل رسمها بيانيًا.

مثال ( PageIndex {2} )

رسم بياني (4 y ^ {2} -16 x ^ {2} = 64 ).

المحلول:

لكتابة المعادلة بالصيغة القياسية ، قسّم كل مصطلح على (64 ) لتجعل المعادلة تساوي (1 ). ( frac {4 y ^ {2}} {64} - frac {16 x ^ {2}} {64} = frac {64} {64} )
تبسيط. ( frac {y ^ {2}} {16} - frac {x ^ {2}} {4} = 1 )
بما أن الحد (y ^ {2} ) موجب ، فإن المحور المستعرض عمودي. بما أن (a ^ {2} = 16 ) ثم (a = pm 4 ).
القمم على المحور (ص ) ، ((0 ، -أ) ، (0 ، أ) ). بما أن (b ^ {2} = 4 ) ثم (b = pm 2 ).((0,-4),(0,4))
ارسم المستطيل الذي يتقاطع مع (x ) - المحور عند ((- 2،0) ، (2،0) ) والمحور (y ) عند القمم. ارسم الخطوط المقاربة من خلال أقطار المستطيل. ارسم فرعي القطع الزائد.
الجدول 11.4.3

تمرين ( PageIndex {3} )

رسم بياني (4 y ^ {2} -25 x ^ {2} = 100 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم بياني (25 y ^ {2} -9 x ^ {2} = 225 ).

إجابه

رسم رسم بياني القطع الزائد بالمركز عند ((h، k) )

لا تتمركز الخطوط الزائدة دائمًا في الأصل. عندما يتم توسيط القطع الزائد عند ((ح ، ك) ) تتغير المعادلات قليلاً كما هو مبين في الجدول.

النماذج القياسية للمعادلة القطع الزائد مع المركز ((ح ، ك) )

( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {(y-k) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
اتجاهالمحور العرضي أفقي. يفتح اليسار واليمينالمحور المستعرض عمودي. يفتح لأعلى ولأسفل
مركز ((ح ، ك) ) ((ح ، ك) )
الرؤوس (أ ) وحدات على يسار ويمين المركز (أ ) الوحدات فوق وتحت المركز
مستطيلاستخدم (أ ) الوحدات اليسرى / اليمنى من الوسط (ب ) فوق / أسفل المركزاستخدم (أ ) وحدات أعلى / أسفل المركز (ب ) وحدات يسار / يمين المركز
الجدول 11.4.4

مثال ( PageIndex {3} ) كيفية رسم قطع زائد باستخدام المركز ((h، k) )

رسم بياني ( frac {(x-1) ^ {2}} {9} - frac {(y-2) ^ {2}} {16} = 1 )

المحلول:

الخطوة 1: اكتب المعادلة بالصيغة القياسية.المعادلة في شكل قياسي. ( frac {(x-1) ^ {2}} {9} - frac {(y-2) ^ {2}} {16} = 1 )
الخطوة 2: حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.نظرًا لأن الحد (x ^ {2} ) - موجب ، يتم فتح القطع الزائد يمينًا ويسارًا.المحور العرضي أفقي. يفتح القطع الزائد لليسار واليمين.
الخطوه 3: ابحث عن المركز و (أ ، ب ). (ح = 1 ) و (ك = 2 )
(أ ^ {2} = 9 )
(ب ^ {2} = 16 )

المركز: ((1،2) )

(أ = 3 )

(ب = 4 )

الخطوة 4: ارسم المستطيل المتمركز في ((ح ، ك) ) باستخدام (أ ، ب ).

حدد المركز ، ((1،2) ).

ارسم المستطيل الذي يمر بالنقاط (3 ) وحدات على يسار / يمين المركز و (4 ) وحدات فوق وتحت المركز.

الخطوة الخامسة: ارسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل. قم بتمييز القمم.ارسم الأقطار. قم بتمييز الرؤوس الموجودة على المستطيل (3 ) وحدات يسار ويمين المركز.
الخطوة 6: ارسم فرعي القطع الزائد.ابدأ من كل قمة واستخدم الخطوط المقاربة كدليل.
الجدول 11.4.5

تمرين ( PageIndex {5} )

رسم بياني ( frac {(x-3) ^ {2}} {25} - frac {(y-1) ^ {2}} {9} = 1 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {6} )

رسم بياني ( frac {(x-2) ^ {2}} {4} - frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 ).

إجابه

نلخص الخطوات لسهولة الرجوع إليها.

رسم بياني قطعي متمركز عند ((h، k) )

  1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
  2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
  3. ابحث عن المركز و (أ ، ب ).
  4. ارسم المستطيل المتمركز في ((ح ، ك) ) باستخدام (أ ، ب ).
  5. رسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل. قم بتمييز القمم.
  6. ارسم فرعي القطع الزائد.

كن حذرًا عند تحديد المركز. المعادلة القياسية لها (x − h ) و (y − k ) مع المركز كـ ((h، k) ).

مثال ( PageIndex {4} )

رسم بياني ( frac {(y + 2) ^ {2}} {9} - frac {(x + 1) ^ {2}} {4} = 1 ).

المحلول:

نظرًا لأن الحد (y ^ {2} ) - موجب ، يتم فتح القطع الزائد لأعلى ولأسفل.
أوجد المركز ، ((h، k) ).المركز: ((- 1، -2) )
ابحث عن (أ ، ب ). (أ = 3 ب = 2 )
ارسم المستطيل الذي يمر بالنقاط (3 ) الوحدات فوق وتحت المركز و
(2 ) وحدات على يسار / يمين المركز.
رسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل.
قم بتمييز القمم.
ارسم الفروع برسم بياني.
الجدول 11.4.6

تمرين ( PageIndex {7} )

رسم بياني ( frac {(y + 3) ^ {2}} {16} - frac {(x + 2) ^ {2}} {9} = 1 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {8} )

رسم بياني ( frac {(y + 2) ^ {2}} {9} - frac {(x + 2) ^ {2}} {9} = 1 ).

إجابه

مرة أخرى ، يتعين علينا أحيانًا وضع المعادلة بالصيغة القياسية كخطوتنا الأولى.

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب المعادلة بالصيغة القياسية والرسم البياني (4 x ^ {2} -9 y ^ {2} -24 x-36 y-36 = 0 ).

المحلول:

للوصول إلى النموذج القياسي ، أكمل المربعات.
قسّم كل حد على (36 ) لتحصل على الثابت ليكون (1 ).
نظرًا لأن الحد (x ^ {2} ) - موجب ، يتم فتح القطع الزائد يمينًا ويسارًا.
أوجد المركز ، ((h، k) ).المركز: ((3، -2) )
ابحث عن (أ ، ب ).

(أ = 3 )

(ب = 4 )

ارسم المستطيل الذي يمر بالنقاط (3 ) وحدات على يسار / يمين المركز و (2 ) فوق وتحت المركز.
رسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل.
قم بتمييز القمم.
ارسم الفروع برسم بياني.
الجدول 11.4.7

تمرين ( PageIndex {9} )

  1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية و
  2. رسم بياني (9 x ^ {2} -16 y ^ {2} +18 x + 64 y-199 = 0 ).
إجابه
  1. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {16} - frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 )

تمرين ( PageIndex {10} )

  1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية و
  2. رسم بياني (16 x ^ {2} -25 y ^ {2} +96 x-50 y-281 = 0 ).
إجابه
  1. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {25} - frac {(y + 1) ^ {2}} {16} = 1 )

تحديد المقاطع المخروطية من خلال معادلاتهم

الآن وقد أكملنا دراستنا للمقاطع المخروطية ، سنلقي نظرة على المعادلات المختلفة ونتعرف على بعض الطرق لتحديد الشكل المخروطي من خلال معادلته. عندما نحصل على معادلة للرسم البياني ، من المفيد تحديد الشكل المخروطي حتى نعرف الخطوات التالية التي يجب اتخاذها.

لتحديد الشكل المخروطي من معادلته ، يكون من الأسهل أن نضع الحدود المتغيرة في جانب واحد من المعادلة والثوابت على الجانب الآخر.

مخروطيخصائص (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - المصطلحاتمثال
القطع المكافئإما (x ^ {2} ) أو (y ^ {2} ). متغير واحد فقط تربيع.
دائرة (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - الحدود لها نفس المعاملات. (س ^ {2} + ص ^ {2} = 49 )
الشكل البيضاوي (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - تحتوي المصطلحات على الامتداد نفس علامة ، معاملات مختلفة. (4 × ^ {2} +25 ص ^ {2} = 100 )
القطع الزائد (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - تحتوي المصطلحات على الامتداد مختلف علامات ومعاملات مختلفة.
الجدول 11.4.8

مثال ( PageIndex {6} )

حدد الرسم البياني لكل معادلة كدائرة أو قطع مكافئ أو قطع ناقص أو قطع زائد.

  1. (9 × ^ {2} +4 ص ^ {2} +56 ص + 160 = 0 )
  2. (9 x ^ {2} -16 y ^ {2} +18 x + 64 y-199 = 0 )
  3. (x ^ {2} + y ^ {2} -6 x-8 y = 0 )
  4. (y = -2 x ^ {2} -4 x-5 )

المحلول:

أ. المصطلحات (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - لها نفس العلامة ومعاملات مختلفة.

(9 × ^ {2} +4 ص ^ {2} +56 ص + 160 = 0 )

الشكل البيضاوي

ب. للمصطلحين (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - علامات مختلفة ومعاملات مختلفة.

القطع الزائد

ج. المعاملات (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - لها نفس المعاملات.

دائرة

د. متغير واحد فقط ، (x ) ، تربيع.

القطع المكافئ

تمرين ( PageIndex {11} )

حدد الرسم البياني لكل معادلة كدائرة أو قطع مكافئ أو قطع ناقص أو قطع زائد.

  1. (x ^ {2} + y ^ {2} -8 x-6 y = 0 )
  2. (4 × ^ {2} +25 ص ^ {2} = 100 )
  3. (ص = 6 × ^ {2} +2 × -1 )
  4. (16 ص ^ {2} -9 × ^ {2} = 144 )
إجابه
  1. دائرة
  2. الشكل البيضاوي
  3. القطع المكافئ
  4. القطع الزائد

تمرين ( PageIndex {12} )

حدد الرسم البياني لكل معادلة كدائرة أو قطع مكافئ أو قطع ناقص أو قطع زائد.

  1. (16 × ^ {2} +9 ص ^ {2} = 144 )
  2. (ص = 2 س ^ {2} +4 س + 6 )
  3. (x ^ {2} + y ^ {2} +2 x + 6 y + 9 = 0 )
  4. (4 × ^ {2} -16 ص ^ {2} = 64 )
إجابه
  1. الشكل البيضاوي
  2. القطع المكافئ
  3. دائرة
  4. القطع الزائد

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات إضافية وتدرب على استخدام الرموز الزائدة.

  • قم برسم القطع الزائد مع المركز عند الأصل
  • قم برسم القطع الزائد مع المركز وليس في الأصل
  • ارسم القطع الزائد بشكل عام
  • تحديد المقاطع المخروطية بشكل عام

المفاهيم الرئيسية

  • القطع الزائد: أ القطع الزائد هي جميع النقاط الموجودة في المستوى حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين ثابتًا.
  • كل نقطة من النقاط الثابتة تسمى التركيز القطع الزائد.
    يسمى الخط عبر البؤر المحور العرضي.
    النقطتان اللتان يتقاطع فيهما المحور العرضي مع القطع الزائد هما أ قمة الرأس القطع الزائد.
    تسمى نقطة المنتصف للجزء الذي ينضم إلى البؤر المركز القطع الزائد.
    يسمى الخط العمودي على المحور العرضي الذي يمر عبر المركز المحور المترافق.
    كل قطعة من الرسم البياني تسمى أ فرع القطع الزائد.

الشكل 11.4.2

النماذج المعيارية لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((0،0) )

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
اتجاهالمحور المستعرض على المحور (س ).
يفتح اليسار واليمين
المحور المستعرض على المحور (ص ).
يفتح لأعلى ولأسفل
الرؤوس ((- أ ، 0) ، (أ ، 0) ) ((0 ، -a) ، (0 ، أ) )
(س ) - اعتراضات ((- أ ، 0) ، (أ ، 0) )لا أحد
(ص ) - اعتراضاتلا أحد ((0 ، -a) ، (0 ، أ) )
مستطيلاستخدم (( pm a، 0) (0، pm b) )استخدم ((0، pm a) ( pm b، 0) )
الخطوط المقاربة (y = frac {b} {a} x، y = - frac {b} {a} x ) (y = frac {a} {b} x، y = - frac {a} {b} x )
الجدول 11.4.1
  • كيفية رسم القطع الزائد المتمركز في ((0،0) ).
    1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
    2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
    3. أوجد القمم.
    4. ارسم المستطيل المتمركز في الأصل الذي يتقاطع مع محور واحد عند (± أ ) والآخر عند (± ب ).
    5. رسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل.
    6. ارسم فرعي القطع الزائد.

النماذج القياسية للمعادلة القطع الزائد مع المركز ((ح ، ك) )

( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {(y-k) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
اتجاهالمحور العرضي أفقي. يفتح لأعلى ولأسفل
مركز ((ح ، ك) ) ((ح ، ك) )
الرؤوس (أ ) وحدات على يسار ويمين المركز (أ ) الوحدات فوق وتحت المركز
مستطيلاستخدم (أ ) الوحدات اليسرى / اليمنى من الوسط (ب ) فوق / أسفل المركزاستخدم (أ ) وحدات أعلى / أسفل المركز (ب ) وحدات يسار / يمين المركز
الجدول 11.4.4
  • كيف لرسم القطع الزائد المتمركز في ((ح ، ك) ).
    1. اكتب المعادلة في الصورة القياسية.
    2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
    3. ابحث عن المركز و (أ ، ب ).
    4. ارسم المستطيل المتمركز في ((ح ، ك) ) باستخدام (أ ، ب ).
    5. رسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل. قم بتمييز القمم.
    6. ارسم فرعي القطع الزائد.
مخروطيخصائص (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - المصطلحاتمثال
القطع المكافئإما (x ^ {2} ) أو (y ^ {2} ). متغير واحد فقط تربيع.
دائرة (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - الحدود لها نفس المعاملات. (س ^ {2} + ص ^ {2} = 49 )
الشكل البيضاوي (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - تحتوي المصطلحات على الامتداد نفس علامة ، معاملات مختلفة. (4 × ^ {2} +25 ص ^ {2} = 100 )
القطع الزائد (x ^ {2} ) - و (y ^ {2} ) - تحتوي المصطلحات على الامتداد مختلف علامات ومعاملات مختلفة.

11.5 نبسب & نبسب القطع الزائد

بخلاف البؤر ، توجد نقاط خاصة أخرى مرتبطة بالقطع الزائد الذي أشرنا إليه في الرسم التخطيطي. يقطع الخط المار بالبؤر القطع الزائد عند نقطتين ، معرّفين A و B في الرسم التخطيطي. تسمى النقطتان A و B بـ الرؤوس. يسمى الجزء المستقيم الذي يربط الرؤوس بـ المحور العرضي. تسمى النقطة في منتصف الطريق بين البؤر والكذب على المحور العرضي المركز القطع الزائد. هذه هي النقطة المسماة O في الرسم التخطيطي.

إذا وضعنا قطعًا زائدًا في المستوى مع مركزه في الأصل وبؤره على طول المحور x ، فيمكننا الحصول على معادلة جيدة للقطع الزائد. اشتقاق المعادلة مطابق تقريبًا لاشتقاق معادلة القطع الناقص. لن نتطرق إلى جميع التفاصيل هنا ولكن نقوم بإعداد الآلات لك للحصول على المعادلة. كما هو الحال مع القطع الناقص ، نجعل الثابت الموجب هو 2أ واسمحوا ج يكون رقمًا موجبًا بحيث تقع البؤر عند (& ناقصج، 0) و (ج، 0). لدينا

| PF 1 | & ناقص | PF 2 | = 2أ
| PF 1 | = 2أ + | PF 2 |
| PF 1 | 2 = ( 2أ + | PF 2 |) 2
| PF 1 | 2 = 4أ 2 4أ| PF 2 | + | PF 2 | 2
يجب عليك الآن متابعة الجبر والتبسيط لتوضيح أن معادلة القطع الزائد هي x 2 /أ 2 & ناقص ص 2 /ب 2 = 1 أين ب 2 = ج 2 & ناقص أ 2. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل حول الجبر من خلال النقر هنا. يتم استدعاء الخطين المرسومين في الرسم التخطيطي الخطوط المقاربة ومعادلاتهم هي y = ب x /أ. سنقول المزيد عن الخطوط المقاربة قريبًا. تساعد الخطوط المقاربة بشكل كبير في رسم الرسم البياني للقطع الزائد.

لفهم أهمية الخطوط المقاربة ، دعنا نعيد كتابة معادلة القطع الزائد كـ x 2 /أ 2 = ص 2 /ب 2 + 1. الآن بالنسبة لقيم x الكبيرة جدًا ، تصبح إضافة 1 على الجانب الأيمن من المعادلة غير ذات أهمية. أي للقيم الكبيرة جدًا لـ x x 2 /أ 2 سنة 2 /ب 2 وهكذا س /أ ذ /ب والحل من أجل y يعطي y بx /أ وهي معادلات الخطوط المقاربة. بمعنى آخر ، تقدم الخطوط المقاربة تقديرات تقريبية لسلوك y لقيم x الكبيرة. كما نرى في الصورة ، يقترب القطع الزائد "أكثر فأكثر" من الخطوط المقاربة لقيم x الكبيرة. فيما يتعلق بالرسوم البيانية ، إذا قمنا برسم الخطوط المقاربة ، فإنها توفر إرشادات لشكل القطع الزائد.

الارقام أ و ب لديك معنى هندسي. بالإشارة إلى الرسم البياني ، نعلم أنه عند النقطتين A و B ، y = 0. بعد ذلك ، بالتعويض عن y = 0 في معادلة القطع الزائد ، نحصل على x 2 /أ 2 = 1 الذي يبسط إلى x 2 = أ 2. هذه المعادلة لها حلول x = أ أو & ناقصأ. منذ أ > 0 ، ثم A لها إحداثيات (& ناقصأ، 0) و B لها إحداثيات (أ، 0). وهكذا تكون رؤوس القطع الزائد عند (& ناقصأ، 0) و (أ، 0). ارسم الآن النقطتين C و D بالإحداثيات (0 ،ب) و (0 ، & ناقصب) على التوالى. يمر القرص المضغوط للقطعة المستقيمة عبر المركز ، وهو عمودي على المحور العرضي. يطلق عليه المحور المترافق. لاحظ أن أقطار المستطيل الذي يحتوي على A و B و C و D هي مقاطع مستقيمة من الخطوط المقاربة. يوفر هذا طريقة ملائمة لرسم الخطوط المقاربة - أي رسم خطوط عمودية عبر الرؤوس ، ورسم خطوط أفقية عبر النقاط (0 ،ب) و (0 ، & ناقصب). تشكل نقاط تقاطع هذه الخطوط الأربعة رؤوس المستطيل. ارسم الخطوط التي تحتوي على أقطار المستطيل وقمت برسم الخطوط المقاربة. لاحظ أن طول القرص المضغوط هو 2ب وطول AB يساوي 2أ (قارن مع المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص). لاحظ أنه منذ ذلك الحين ب 2 = ج 2 & ناقص أ 2 ثم ب المحور y والمركز عند الأصل في هذه الحالة ، تظهر معادلة القطع الزائد لتكون y 2 /أ 2 & ناقص × 2 /ب 2 = 1. تقع البؤر في (0 ،ج) و (0 ، & ناقصج) والرؤوس عند (0 ،أ) و (0 ، & ناقصأ). معادلات الخطوط المقاربة هي

تُعرف المعادلات التي أنشأناها للتو باسم المعادلات القياسية القطع الزائد في الموقف القياسي. يشير الوضع القياسي دائمًا إلى أن المركز في الأصل والبؤر على أحد المحاور.

في هذا العرض التوضيحي ، يمكنك تغيير موقع البؤر وقيمة أ عن طريق تحريك أشرطة التمرير. أذكر ذلك 2أ هو الفرق بين مسافات نقطة على القطع الزائد لكل تركيز. في البداية تكون البؤر على المحور س ولكن يمكنك أيضًا اختيار وضعها على المحور ص.
القطوع الزائدة في الوضع القياسي
مثال: أوجد بؤر القطع الزائد × 2/16 ناقص ص 2/9 = 1.
حل: تقع البؤر على المحور x لأن الحد x موجب. لدينا أ 2 = 16 و ب 2 = 9. ثم ج 2 = 25 وهكذا ج = 5. لذلك ، تقع البؤرتان في (& ناقص 5،0) و (5،0).

مثال: أوجد معادلة القطع الزائد في الوضع القياسي مع التركيز عند (0،13) وعلى المحور العرضي بطول 24.
حل: يقع التركيز الآخر عند (0 ، & ناقص 13) وبما أن البؤر تقع على المحور y ، فإننا نتطلع إلى إيجاد معادلة بالصيغة y 2 /أ 2 & ناقص × 2 /ب 2 = 1. قيمة أ نصف طول المحور العرضي وهكذا أ = 12. أيضًا ، ب 2 = ج 2 & ناقص أ 2 = 169 & ناقص 144 = 25. ومن ثم ب = 5. إذن معادلة القطع الزائد هي ذ 2/144 & ناقص x 2 /25 = 1.

إذا قمنا بترجمة القطع الزائد في الموضع القياسي بحيث يتم نقل مركزه إلى (ح,ك) ثم تُعطى معادلة القطع الزائد على النحو التالي:

تُرجمت معادلة القطع الزائد من الموضع القياسي بحيث يكون مركزها عند (ح,ك) اعطي من قبل (x &ناقص ح) 2 /أ 2 & ناقص (ذ &ناقص ك) 2 /ب 2 = 1. إذا كانت بؤره تقع على خط موازٍ للمحور x و (ذ &ناقص ك) 2 /أ 2 & ناقص (x &ناقص ح) 2 /ب 2 = 1. إذا كانت بؤره تقع على خط موازٍ للمحور y.

هذا الشكل من معادلة القطع الزائد يسمى المعادلة القياسية. ومع ذلك ، إذا أخذنا معادلة قياسية (x &ناقص ح) 2 / u 2 & ناقص (ذ &ناقص ك) 2 / v 2 = 1 ثم نوسعها نحصل على معادلة بالصيغة حيث A و B و C و D و E هي ثوابت. السؤال الذي نطرحه هو إذا كانت لدينا معادلة كهذه ، فهل يمكننا التعرف عليها على أنها معادلة القطع الزائد؟ يمكن تحديد إجابة هذا السؤال من خلال عملية إكمال المربع (تمامًا كما فعلنا مع القطع الناقص والقطع المكافئ).

مثال:

في التمرين التالي ، تحصل على معادلة القطع الزائد في شكل موسع. انقر فوق "جديد" لمشكلة جديدة. على الورق يجب أن تحدد موقع المركز والبؤر. نقترح عليك أولاً إعادة كتابة المعادلة بالصيغة القياسية. لتحقيق ذلك ، ستحتاج على الأرجح إلى إكمال المربع على حدي x وحدود y. بمجرد حصولك على إجابتك ، حاول رسم الرسم البياني للقطع الزائد. سيكشف الزر "تعليمات" عن الرسم البياني ونتيجة إكمال المربع. يعطي زر "حل" الإجابات.


س: هناك وظيفة واحدة بالمجال R تكون زوجية وفرديًا. ابحث عن هذه الوظيفة.

ج: الوظيفة المعطاة هي زوجية وغريبة في نفس الوقت مع المجال ℝ

س: حدد ما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد.

ج: معطى: hx = 1x4 يُقال أن الوظيفة هي وظيفة واحدة إذا لم يتطابق عنصران في المجال.

س: في تمارين 90-91 ، قم بتنفيذ الإضافات المشار إليها. اكتب الإجابات في التدوين العلمي. 90. 5.

ج: معطى: y = 5.6 × 1013 + 3.1 × 1013 لأداء الإضافة المشار إليها ، فإننا نأخذها ونبسطها

س: sinx أظهر أن -dx: sinx + cosX

ج: ضع في اعتبارك الوظيفة المعطاة مثل I = ∫0π2sin xsin x + cos xdx استخدم خاصية التكامل الملك ، ثم أنا = ∫0π.

س: اشرح لماذا يمكن استخدام اختبار الخط الأفقي لتحديد وظائف واحد لواحد من الرسم البياني.

ج: بالنظر إلى ذلك ، يمكن استخدام اختبار الخط الأفقي لتحديد وظائف واحد لواحد من الرسم البياني.

س: طابق الوظيفة مع الرسم البياني الخاص بها (الأشكال 9.27 - 9.32). و (س) = 1 / س

س: رسم بيانيًا لكل من القطع المكافئة التالية ، واستخدم ميزة TRACE للعثور على تقديرات الأعداد الصحيحة لـ t.

أ: fx = -0.5x2 + 5x-8.5 الرسم البياني هو ،

س: حل المتباينة وأجب عن السؤال. 4 + 0.15x & lt 20 + 0.05.x هذه هي المتباينة التي مو.

ج: معطى التعبير - 4 + 0.15x & amp 20 + 0.05x طرح 0.05x من كلا الجانبين - 4 + 0.15x-0.05x & ampt 20 + 0.

س: حلل كثير الحدود إلى عوامل تمامًا ، واعثر على جميع أصفارها. اذكر تعدد كل صفر. س (خ).

ج: Qx = x4 + 2x2 + 1 عند التبسيط ، نحصل على ⇒Qx = x4 + x2 + x2 + 1⇒Qx = x2x2 + 1 + x2 + 1⇒Qx = x2 + 1x2 + 1⇒Qx = x2 + 12


القطع الزائد & # 8211 الخصائص والمكونات والرسم البياني

القطع الزائد هو نوع فريد من القطع المخروطية حيث نرى منحنيين منفصلين يمثلان معادلته. تُستخدم هذه الأشكال المخروطية في وصف مسارات مركبة فضائية وحتى تُستخدم لنمذجة بعض الأحداث الزلزالية.

القطوع الزائدة عبارة عن مقاطع مخروطية ناتجة عن مستوى يتقاطع مع كلا سطح المخروط المزدوج. تشبه الرسوم البيانية الخاصة بهم منحنيين على شكل حرف U يواجه كل منهما الآخر رأسيًا أو أفقيًا.

ربما تكون قد تعرفت على القطوع الزائدة عندما علمت بها لأول مرة المقاطع المخروطية ، لذلك إذا كنت بحاجة إلى تجديد معلومات سريع ، فلا تتردد في إلقاء نظرة على هذه المقالة لمعرفة ما الذي يجعل القطوع الزائدة مختلفة عن القطع المكافئ والقطع الناقص.

في هذه المقالة ، سنركز على القطع الزائدة ونتعلم ما يلي:

فهم كيفية الحصول على القطوع الزائدة والمكونات المختلفة التي تحتوي عليها.

حدد الأشكال المعيارية المختلفة لمعادلة القطع الزائد.

تعرف على كيفية تمثيل هذه الأشكال المخروطية على النظام المنسق $ xy $.

سنحاول أيضًا إجراء العكس - إيجاد المعادلات التي تمثل القطوع الزائدة في ضوء الرسوم البيانية الخاصة بهم. تتناول هذه المقالة تمامًا جميع مكونات القطوع الزائدة ، لذا تأكد من تدوين الملاحظات.

في الوقت الحالي ، ألا نبدأ بتحديث كيفية تشكل القطوع الزائدة باستخدام مخروط مزدوج ومستوى؟

ينتج القطوع الزائدة عندما يتقاطع المستوى والمخروط المزدوج الأيمن مع بعضهما البعض ويغطيان التقاطعات العلوية والسفلية ، كما هو موضح أدناه.

هذا يعني أن القطوع الزائدة عبارة عن منحنيين على شكل حرف U (يسمى الفروع) يواجهان بعضهما البعض. يمكن توجيهها عموديًا كمثالنا أو توجيهها أفقيًا.

توضح لنا الصورة أعلاه المكونات المختلفة للقطع الزائد بغض النظر عن اتجاهها.

القطع الزائدة لها منحنيان يسميان الفروع التي تواجه بعضها البعض.

نظرًا لأن لديهم منحنيين على شكل حرف U ، فإن القطوع الزائدة ستحتوي أيضًا على رأسين وبؤرتين.

المحور العرضي هو محور إرشادي يقسم القطع الزائد إلى نصفين.

التعريف الرسمي للقطع الزائد

المكونات المذكورة أعلاه تساعدنا في تعريف القطوع الزائدة بشكل رسمي. القطوع الزائدة عبارة عن أقسام مخروطية حيث تلبي جميع النقاط الموجودة على الرسوم البيانية الخاصة بها الشرط التالي:

لنفترض أن $ P (x، y) $ يقع على القطع الزائد ، وحدد المسافات بين $ P $ والبؤرتين.

عند الاستلقاء على القطع الزائد ، سيكون الفرق بين هاتين المسافتين ثابتًا دائمًا.

هذا يعني أنه بالنسبة للقطوع الزائدة مثل الصورة الموضحة أعلاه ، فإن $ P_1 $ و $ P_2 $ نقطتان على القطع الزائد. الفرق (القيمة المطلقة) بين $ overline$ و $ overlineسيساوي $ الفرق بين $ overline$ و $ overline$.

ستلبي جميع أشكال القطع الزائدة & # 8217 هذه الشروط ، وهذه الشروط تجعل القطع الزائدة فريدة من نوعها عن بقية المقاطع المخروطية.

كيف تجد معادلة القطع الزائد؟

أربعة أشكال قياسية مهمة بالنسبة لنا أن نضعها في الاعتبار عند العمل باستخدام القطوع الزائدة ومعادلاتها. العوامل التي تؤثر على شكل معادلة القطع الزائد هي كما يلي:

سيؤثر مركز القطع الزائد على معادلته.

سيؤثر اتجاه الرسم البياني على المصطلح الذي سيتم وضعه أولاً.

صيغة القطع الزائد في الأشكال القياسية

سنقسم هذا القسم إلى الأشكال القياسية للقطع الزائد المتمركز في الأصل ، $ (0، 0) $ ، والمتمركز عند الرأس ، $ (h، k) $.

النموذج القياسي للقطوع الزائدة المتمركزة في الأصل

عندما تتمركز القطع الزائدة في الأصل ، فإننا لا نتوقع ثوابت داخل الحد التربيعي. إليك جدول يوضح الشكلين المحتملين للمعادلة:

اتجاه القطع المكافئ

يمكننا أن نرى أن المصطلح الرئيسي يعطينا فكرة عن كيفية ظهور الرسم البياني للقطع الزائد - عندما يكون المصطلح الرئيسي هو $ x ^ 2 $ ، تكون القطع الزائدة متماثلة أفقيًا. وبالمثل ، عندما يكون $ y ^ 2 $ هو المصطلح الرئيسي ، فإن القطوع الزائدة ستكون متماثلة رأسيًا.

النموذج القياسي للقطوع الزائدة المتمركزة في $ boldsymbol <(h، k)> $

عندما لا يتم توسيط القطع الزائدة في الأصل وبدلاً من ذلك عند $ (h، k) $.

اتجاه القطع المكافئ

الاختلاف الوحيد بين هذين الزوجين من المعادلات هو حقيقة أن القطع الزائد يتم ترجمته $ h $ وحدة أفقياً و $ k $ وحدة رأسية. ستتأثر باقي مكونات القطع الزائد بهذه الترجمة.

كيف تجد رؤوس القطع الزائد؟

رؤوس القطع الزائد هي النقطتان اللتان تعرضان الحد الأدنى والحد الأقصى للقيم الممكنة للمصطلح الرئيسي. بغض النظر عن موقع المركز ، فإن مسافة الرؤوس من المركز ستعتمد على المقام الأول.

لتلخيص الجدول الموضح أعلاه ، للعثور على القمم ، يمكننا إما:

انقل وحدة $ a $ إلى كلا اتجاهي المركز عندما نحتاج إلى التمثيل البياني للقطع الزائد.

قم بإضافة وطرح $ a $ من تنسيق المركز & # 8217s - أيًا كان المصطلح الرئيسي ، هذا هو الإحداثي الذي سنضيف ونطرح $ a $ منه.

كيف تجد بؤر القطع الزائد؟

ستعتمد البؤر على قيم المقامات من معادلة القطع الزائد.

هذا يعني أنه يمكننا إيجاد مسافة البؤر من المركز عن طريق جمع المقامات ثم أخذ مجموع & # 8217s الجذر التربيعي.

بمجرد أن نحصل على قيمة $ c $ ، فإننا ننقل وحدات $ c $ بعيدًا عن المركز لتحديد موقع البؤرتين الزائدتين # 8217s.

هذا يعني أننا نحسب وحدات $ c $ على جانبي المركز وعلى طول اتجاه القطع الزائد لإيجاد البؤر من المركز.

كيف تجد الخطوط المقاربة للقطع الزائد؟

القطع الزائدة لها زوج من الخطوط المقاربة التي لها شكل عام $ y = mx + b $. هذا يعني أننا نبحث عن معادلتين خطيتين عند إيجاد الخطوط المقاربة للقطع الزائد.

ستعتمد معادلات الخطوط المقاربة على الجذور التربيعية للمقامات. يمكننا أيضًا إيجاد معادلة القطع الزائد المتمركزة عند $ (h، k) $ بمجرد ترجمتها.

يلخص هذا الجدول الأشكال القياسية للخطوط المقاربة. من هذا يمكننا أن نرى ما يلي:

عندما يكون الحد الأعلى $ y ^ 2 $ في البسط ، فإن بسط ثابت الخط المقارب سيكون $ a $.

عندما يكون الحد الأعلى $ x ^ 2 $ في البسط ، فإن بسط ثابت الخط المقارب سيكون $ b $.

الخطوط المقاربة للأشكال الزائدة المتمركزة عند $ (h، k) $ ستحتوي على معادلات لها أشكال متشابهة باستثناء أن لدينا $ (y - k) $ و $ (x - h) $ لحساب الترجمة.

فقط تأكد من تدوين المصطلحات الأولية والمعاملات & # 8217 ترتيب حيث قد تحدث الأخطاء الشائعة هنا.

When given the hyperbola graph and we need to determine its equation, knowing the form of the asymptotes will be helpful. We can use the value of $a$ and eventually solve for $b$. Don’t worry, the last problem in the next section will show you exactly what we mean.

How to graph a hyperbola?

Now that we understand the general forms of hyperbolas and learn how to find their components, it’s time that we learn how to graph hyperbolas as well.

Here are four graphs, and it’s best to familiarize yourself with these as they are the four main types of graphs we’ll encounter in the examples below.

From these graphs, we can confirm what we’ve learned about hyperbolas and their components:

When the leading term is $x^2$, the parabola’s are oriented horizontally, meaning the branches open to the left and right.

Meanwhile, when the leading term is $y^2$, the parabolas are oriented vertically, meaning the branches open upward and downward.

The foci and vertices can be determined by finding the points that are $c$ and $a$ units away from the center but along the direction of the parabola.

Here are six steps to help guide you in graphing a hyperbola.

Locate and plot the center of the hyperbola.

Locate and plot the vertices and foci of the hyperbola.

If possible, plot its intercepts as well for additional guide points.

Find the asymptotes and present them as dashed lines.

Locate and plot the vertices and foci of the hyperbola.

Graph the two branches of the hyperbola using the vertices and asymptotes as a guide.

You can also create a guide rectangle using the values of the denominator – construct a dashed rectangle with vertices, $(a, b)$, $(-a,b)$, $(a, -b)$, and $(-a,-b)$ for hyperbolas that open to the sides. Use $(b, a)$, $(-b, a)$, $(b, -a)$, and $(-b, -a)$ when they open upwards and down wards.

The asymptotes will pass through the vertices, so it’ll make Step 4 easier as well.

Why don’t we review these steps and tips by graphing the hyperbola represented by the equation, $dfrac <9>– dfrac <16>= 1$?

Step 1: The center of this hyperbola will be at the origin – $(0, 0)$.

Step 2 – 3: Since the leading term is $dfrac<9>$, we can see that the vertices will be at $(-3, 0)$ and $(3, 0)$.

Find the distance of the foci from the center using $c^2 = a^2 + b^2$. We can ss that $c^2 = 25$ and consequently, the foci of the hyperbola are $(-5, 0)$ and $(5, 0)$.

Let’s include the points of the vertices of the imaginary rectangular to guide us: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$, and $(-3, -4)$.

Step 4: The standard forms of the asymptotes for the hyperbola are $y = pm dfracx$. Hence, we have $y = dfrac<4><3>x$ and $y = -dfrac<4><3>x$.

Step 5: Graph the curves of the hyperbola using the vertices and the asymptotes as a guide.

This shows how the hyperbola and the important components can help us understand how to graph the hyperbola. We can take off the guide points to finalize the graph of the hyperbola, as shown below.

Make sure to review the important sections we’ve discussed and note how each component relates to the other. When you’re ready, we have more questions (with complete explanation) prepared to help you master this topic.

Use your knowledge about hyperbolas and fill in the blanks to make the following statements true.

أ. The vertices of $dfrac <16>– dfrac <9>= 1$ are ________ and __________.

ب. The foci of $dfrac <36>– dfrac <64>= 1$ are located at ________ and __________.

ج. The asymptotes for the hyperbola, $dfrac <25>– dfrac <36>= 1$, have equations of _____________ and _____________.

The vertices will depend on the leading term of the hyperbola’s equation, $dfrac <16>– dfrac <9>= 1$. This means that $a^2 = 16$ and so, $a = 4$.

Since the center of the hyperbola is $(0, 0)$ and the branches are opening to the right and left so that the vertices will be $(-a, 0)$ and $(a, 0)$.

أ. The hyperbola’s vertices will be $(-4, 0)$ and $(4, 0)$.

Now, to find the foci of $dfrac <36>– dfrac <64>= 1$, we add the denominators then take the square root of the result.

The hyperbola is still centered at the origin, and the branches will be opening to the left and to the right so that the foci will be of the forms $(-c, 0)$ and $(c, 0)$.

ب. This means that the hyperbola’s foci are $(-10,0)$ and $(10, 0)$.

Since the leading term of the hyperbola’s equation is $y^2$ and the hyperbola’s center is $(0, 0)$, the asymptotes will be of the forms, $y = pm dfracx$.

ج. Hence, the equations of the asymptotes are $y = dfrac<3><4>x$ and $y = -dfrac<3><4>x$.

Identify the center, vertices, and foci of the following hyperbolas.

We can divide the problem into pairs of items – depending on the centers that these problems have.

For the first two equations, since the numerators are solely $x^2$ and $y^2$ without any additional constants, we expect their centers to be at the origin.

The vertices will depend on the leading terms’ denominators, so we take the square root of $49$ and $144$.

The foci’s distance from the center can be calculated using $c^2 = a^2 + b^2$, where $c$ represents the foci’ distance from the center.

When $x^2$ is the leading term, these components will be reflected on the $x$-coordinates, while the second equation will have these values on the $y$-component.

Let’s work on the two remaining equations and begin by finding the centers found at $(h, k)$.

For the third equation, the vertices and the foci can be determined by counting $a$ and $c$ units to the left and the center’s right.

On the other hand, the fourth equation will have vertices, and the foci located $a$ and $c$ units above and below the center.

This example shows how it’s possible for us to identify different components of hyperbolas using their equations. Now, what if we’re given these components and we need to find the equation instead?

Use the given components of the hyperbolas to find the equations that represent these hyperbolas.

أ. A hyperbola with a foci of $(-4, 0)$ and $(4, 0)$ and vertices at $(-3, 0)$ and $(3, 0)$.

ب. A hyperbola with a foci of $(0, -9)$ and $(0, 9)$ and vertices at $(0,-4)$ and $(0, 4)$.

ج. A hyperbola with a center at $(-4, 5)$, a focus at $(-8, 5)$, and a vertex at $(-6, 5)$.

د. A hyperbola with a center at $(-6, -8)$, a focus at $(-6, -3)$, and a vertex at $(-6, -5)$.

For the first hyperbola, we can see that both pairs of foci and vertices lie along the $x$-axis. This means that the hyperbola’s branches are opening to the left and to the right.

From this, we can see that the standard form of the equation is $dfrac – dfrac = 1$.

Since the vertices are $(-3, 0)$ and $(3, 0)$, we have $a = 3$.

From the foci, we have $c = 4$ and consequently $c^2 = 16$.

We can calculate $b^2$ using the fact that $c^2 = a^2 + b^2$.

Now that we have $a^2$ and $b^2$, we can now write the equation representing the first hyperbola.

أ. The hyperbola’s equation is $dfrac <9>– dfrac <7>= 1$.

We can apply a similar approach to the second item, but this time, the leading term will be $y^2$ since the foci and vertices are located along the $y$-axis.

This means that the standard form of the equation is $dfrac – dfrac = 1$.

Since the vertices are $(0, -4)$ and $(0, 4)$, we have $a = 4$.

From the foci, we have $c = 9$ and consequently $c^2 = 81$.

We can also calculate $b^2$ the same way we did with the previous hyperbola. Hence, we have the following.

We can now find the equation of the hyperbola for the second item using the values of $a^2$ and $b^2$.

ب. The hyperbola’s equation is $dfrac <4>– dfrac <65>= 1$.

The third hyperbola’s center is given, so we’re expecting the equation to contain $(x –h)^2$ and $(y – k)^2$ in the numerators.

Since only the $x$-coordinates are changing for the vertices and foci, the hyperbola’s branches open to the left and to the right.

The distance of the given vertex from the center is $2$, so $a = 2$ and $a^2 = 4$.

Similarly, since the distance of the given focus and the center is $4$, $c = 4$ and $c^2 =16$.

The graph’s standard form will be $dfrac<(x –h)^2> – dfrac<(y – k)^2> = 1$, so we still need to find value of $b^2$. We can do so using the formula, $c^2 = a^2 + b^2$.

ج. Using $(h, k)= (-4, 5)$, $a^2 = 4^2$, and $b^2 = 12$, the equation of the third hyperbola is $dfrac<(x + 4)^2> <16>– dfrac<(y – 5)^2> <12>= 1$.

We’ll apply a similar process to find the equation of the fourth hyperbola.

Since only the $y$-coordinates are changing for the vertices and foci, the hyperbola’s branches to open upward and downward with a standard form of $dfrac<(y –k)^2> – dfrac<(x – h)^2> = 1$.

The distance of the given vertex from the center is $3$, so $a = 3$ and $a^2 = 9$.

Similarly, since the distance of the given focus and the center is $5$, $c = 5$ and $c^2 =25$.

Let’s use these information and the formula, $c^2 = a^2 + b^2$ to find $b^2$.

د. Using $(h, k)= (-6, -8)$, $a^2 = 9$, and $b^2 = 16$, the equation of the third hyperbola is $dfrac<(y + 8)^2> <9>– dfrac<(x + 6)^2> <16>= 1$.

Graph the hyperbola represented by the following equations. Make sure to include the foci, vertices, and asymptotes of the hyperbola as well.

Let’s inspect the first equation and we can see that its standard form is $dfrac – dfrac = 1$.

This means that the hyperbola’s center is $(0, 0)$.

Since the leading term has $y^2$ at its numerator, the hyperbola’s branches are opening upward and downward.

This also means that the vertices will be positioned at $(0, -a)$, $(0, a)$, $(0, -b)$, and $(0, b)$.

The hyperbola’s asymptotes are also of the form $y = pm dfrac x$.

To find the foci’s coordinates, let’s go ahead and use the formula, $c^2 = a^2 + b^2$, where $c$ represents the distance of the foci from the center .

We can begin by plotting the vertices, foci, and asymptotes. The hyperbola’s asymptotes can be graphed faster if we add a rectangle as guide with corners at $(8, 5)$, $(-8, 5)$, $(8, -5)$, and $(-8, -5)$.

With these guides, we can now plot the hyperbola’s branches opening upward and downward starting from the two vertices.

We can finalize the first hyperbola graph by removing the rectangular guide and only leaving the important components behind.

The equation of the second hyperbola, $8x^2 – 50y^2 = 200$, still needs to be written in standard form and we can do this by dividing both sides of the equation by $200$.

From the standard alone, we can see that the hyperbola’s branches are opening sideward with a center at $(0, 0)$. Let’s go ahead and use the values of $a$ and $b$ to find the vertices and asymptotes of the hyperbola.

We can also determine the hyperbola’s foci by first finding the value of $c$.

Plot these components and include a rectangular guide with corners at $(5, 2)$, $(-5, 2)$, $(5, -2)$, and $(-5, -2)$.

We can now graph the hyperbola’s branches that open sidewards and use the vertices and asymptotes as a guide. Finalize the graph by removing the rectangular guide as shown by the two graphs below.

These two graphs are valid – the central rectangle is just a guide, so the final graphs would look better if we remove the rectangular guide.

Graph the hyperbola represented by the following equations. Make sure to include the foci, vertices, and asymptotes of the hyperbola as well.

The hyperbola represented by the first equation has a standard form of $dfrac<(x – h)^2> – dfrac<(y – k)^2> = 1$, where $(h, k)$ represents the hyperbola’s center.

From the standard form, we can see that the hyperbola opens sideward with a center at $(-3, 2)$.

This means that we can find its vertices by moving $a$ units to the left and right of the center.

The hyperbola’s asymptote will be of the form $y – k = pm dfrac (x – h)$.


MATH 1060 | Trigonometry

These lecture videos are organized in an order that corresponds with the OER book we will be using for our Math1060 courses. We have numbered the videos for quick reference so it's reasonably obvious that each subsequent video presumes knowledge of the previous videos' material. Along with the video lecture for each topic, we have included the "pre-notes" and "post-notes" which are the notes of the lecture before we did the problems and after we worked everything out during the lecture, respectively. You may want to download the notes to use as a reference while watching the lecture video, or for later reference.

If you find an error in the lecture or a problem with the video, or if you would like to give feedback to us about these lectures, please email [email protected] to do so.


NOTE: These videos were not recorded in stereo sound. If you are listening to these videos on headphones, you may want to consider setting your sound channels to come through both sides. This document will give you an idea of how to accomplish that.

  • 1A Degrees and Radians (part 1)
  • 1B Degrees and Radians (part 2)
    • 1 Pre Notes
    • 1 Post Notes
    • 2 Pre Notes
    • 2 Post Notes
    • 3 Pre Notes
    • 3 Post Notes
    • 4 Pre Notes
    • 4 Post Notes
    • 5 Pre Notes
    • 5 Post Notes
    • 6 Pre Notes
    • 6 Post Notes
    • 7 Pre Notes
    • 7 Post Notes
    • 8 Pre Notes
    • 8 Post Notes
    • 9 Pre Notes
    • 9 Post Notes
    • 10 Pre Notes
    • 10 Post Notes
    • 11 Pre Notes
    • 11 Post Notes
    • 11.5 Pre Notes
    • 11.5 Post Notes
    • 12 Pre Notes
    • 12 Post Notes
    • 13 Pre Notes
    • 13 Post Notes
    • 14 Pre Notes
    • 14 Post Notes
    • 15 Pre Notes
    • 15 Post Notes
    • 16 Pre Notes
    • 16 Post Notes
    • 17 Pre Notes
    • 17 Post Notes
    • 18 Pre Notes
    • 18 Post Notes
    • 19 Pre Notes
    • 19 Post Notes
    • 20 Pre Notes
    • 20 Post Notes
    • 21 Pre Notes
    • 21 Post Notes
    • 22 Pre Notes
    • 22 Post Notes
    • 23 Pre Notes
    • 23 Post Notes
    • 24 Pre Notes
    • 24 Post Notes
    • 25 Pre Notes
    • 25 Post Notes
    • 26 Pre Notes
    • 26 Post Notes
    • 26.5 Pre Notes
    • 26.5 Post Notes
    • 27 Pre Notes
    • 27 Post Notes
    • 28 Pre Notes
    • 28 Post Notes

    11.5: Hyperbolas - Mathematics

    4. Complete the square on the (x) and (y) portions of the equation and write the equation into the standard form of the equation of the hyperbola.

    Show All Steps Hide All Steps

    The process here will be is identical to the process we used in the previous section to write equations of ellipses in standard form.

    The first step is to make sure the coefficient of the () and () is a one. The () has a coefficient of 4 and the () has a coefficient of -1. What we will do is factor a 4 out of every term involving an (x) and a -1 out of ever term involving a (y). Doing that gives,

    [4left( <- 8x> ight) - left( <+ 4y> ight) + 24 = 0]

    Be careful with these kinds of problems and don’t forget that even a coefficient of -1 needs to be taken care of!

    Now let’s get started on completing the square. First, we need one-half the coefficient of the (x) and (y) term, square each and the add/subtract those numbers in the appropriate places as follows,

    Be careful you add/subtract these numbers and make sure you put them in the parenthesis!

    Next, we need to factor the (x) and (y) terms and add up all the constants.

    When adding the constants up, make sure to multiply the 4 through the (x) terms and the -1 through the (y) terms before adding the constants up.

    To finish things off we’ll first move the 36 to the other side of the equation.

    To get this into standard form we need a one on the right side of the equation. To get this all we need to do is divide everything by 36 and we’ll do a little simplification work on the (x) term.


    11.5: Hyperbolas - Mathematics

    The next graph that we need to look at is the hyperbola. There are two basic forms of a hyperbola. Here are examples of each.

    Hyperbolas consist of two vaguely parabola shaped pieces that open either up and down or right and left. Also, just like parabolas each of the pieces has a vertex. Note that they aren’t really parabolas, they just resemble parabolas.

    There are also two lines on each graph. These lines are called asymptotes and as the graphs show as we make (x) large (in both the positive and negative sense) the graph of the hyperbola gets closer and closer to the asymptotes. The asymptotes are not officially part of the graph of the hyperbola. However, they are usually included so that we can make sure and get the sketch correct. The point where the two asymptotes cross is called the center of the hyperbola.

    There are two standard forms of the hyperbola, one for each type shown above. Here is a table giving each form as well as the information we can get from each one.

    Form (displaystyle frac <<< ight)>^2>>><<>> - frac <<< ight)>^2>>><<>> = 1) (displaystyle frac <<< ight)>^2>>><<>> - frac <<< ight)>^2>>><<>> = 1)
    Center (left( ight)) (left( ight))
    Opens Opens left and right Opens up and down
    Vertices (displaystyle left( ight)) and (left( ight)) (displaystyle left( ight)) and (left( ight))
    Slope of Asymptotes (displaystyle pm frac) (displaystyle pm frac)
    Equations of Asymptotes (displaystyle y = k pm fracleft( ight)) (displaystyle y = k pm fracleft( ight))

    Note that the difference between the two forms is which term has the minus sign. If the (y) term has the minus sign then the hyperbola will open left and right. If the (x) term has the minus sign then the hyperbola will open up and down.

    We got the equations of the asymptotes by using the point-slope form of the line and the fact that we know that the asymptotes will go through the center of the hyperbola.

    Let’s take a look at a couple of these.

    Now, notice that the (y) term has the minus sign and so we know that we’re in the first column of the table above and that the hyperbola will be opening left and right.

    The first thing that we should get is the center since pretty much everything else is built around that. The center in this case is (left( <3, - 1> ight)) and as always watch the signs! Once we have the center we can get the vertices. These are (left( <8, - 1> ight)) and (left( < - 2, - 1> ight)).

    Next, we should get the slopes of the asymptotes. These are always the square root of the number under the (y) term divided by the square root of the number under the (x) term and there will always be a positive and a negative slope. The slopes are then ( pm frac<7><5>).

    Now that we’ve got the center and the slopes of the asymptotes we can get the equations for the asymptotes. They are,

    We can now start the sketching. We start by sketching the asymptotes and the vertices. Once these are done we know what the basic shape should look like so we sketch it in making sure that as (x) gets large we move in closer and closer to the asymptotes.

    Here is the sketch for this hyperbola.

    In this case the hyperbola will open up and down since the (x) term has the minus sign. Now, the center of this hyperbola is (left( < - 2,0> ight)). Remember that since there is a y 2 term by itself we had to have (k = 0). At this point we also know that the vertices are (left( < - 2,3> ight)) and (left( < - 2, - 3> ight)).

    In order to see the slopes of the asymptotes let’s rewrite the equation a little.

    So, the slopes of the asymptotes are ( pm frac<3> <1>= pm 3). The equations of the asymptotes are then,

    [y = 0 + 3left( ight) = 3x + 6hspace<0.25in>>hspace<0.25in>,,y = 0 - 3left( ight) = - 3x - 6]


      Videos
      R.1 Solving Equations

    R.3 The Slope-Intercept Form of a Line

    R.4 Solving a System of Equations

    R.5 Multiplying Polynomials

    R.10 Area and Perimeter Fundamentals

    1.3 Rates, Ratios, and Proportions

    1.4 Translation in a Coordinate Plane

    1.6 Reflection, Rotation, and Symmetry

    1.7 Composition of Transformations

    2. Similar Figures and Dilation

    2.2 Dilation and Similar Figures

    2.3 Similarity, Polygons, and Circles

    2.4 Similarity and Transformations

    3.2 Conditional Statements

    4. Parallel and Perpendicular Lines

    4.2 More on Parallel Lines and Angles

    4.4 Parallel Lines, Perpendicular Lines, and Slope

    4.5 Parallel Lines and Triangles

      Videos
      5.1 Isosceles and Equilateral Triangles

    5.3 Proving Triangles Congruent with SSS and SAS

    5.4 Proving Triangles Congruent with ASA and AAS

    6. Relationships Within Triangles

    6.2 Perpendicular and Angle Bisectors

    6.4 Centroids and Orthocenters

    6.6 Optional: Inequalities in One Triangle

    6.7 Optional: Indirect Reasoning

    7. Similarity and Trigonometry

    7.2 Similar Triangles: Side-Angle-Side Theorem

    7.4 Similar Right Triangles

    7.5 Special Right Triangles

    7.7 Optional: Inverses of Trigonometric Functions

    7.8 Law of Cosines and Law of Sines

    8.4 More on Chords and Angles

      Videos
      9.1 Parallelograms and Their Diagonals

    9.2 Deciding If a Parallelogram Is Also a Rectangle, Square, or Rhombus

    9.3 Deciding If a Quadrilateral Is a Parallelogram

    9.4 Optional: Polygons and Their Angles

    9.6 Areas and the Coordinate Plane

    9.7 Area of Regular Polygons

      Videos
      10.1 Three-Dimensional Figures, Cross-Sections, and Drawings


    Conic Sections: Hyperbolas 5 Amazing Examples!

    Hyperbolas, not to be confused with those exaggerated statements called hyperboles, are one of my favorite types of Conic Sections.

    Jenn, Founder Calcworkshop ® , 15+ Years Experience (Licensed & Certified Teacher)

    Hyperbolas look like two opposite facing parabolas but with some really distinguishing characteristics that sets them apart from them rest.

    So what features do Hyperbolas have that are similar to other conics?

    Well, Hyperbolas have centers (h,k), vertices, co-vertices, and foci just like other conics.

    But what makes them special, or different, is that they have Oblique Asymptotes and when you look at their graph it’s like seeing double. Or as Purple Math says, it’s like looking at a mirror image.

    We will learn how easy it is to graph a Hyperbola and find all of it’s traits:

    Yes, even finding those Oblique Asymptotes couldn’t be any easier when all you have to do is draw a box or rectangle connecting our vertices and co-vertices!

    Together we will look at five examples where we will either be given a Hyperbola in Standard (h,k) Form or in General Form and then need to Complete the Square in order to graph, and find all characteristics including domain and range.

    Gosh, they’re so much fun to draw! Just wait and see!


    Hyperboloid

    سيراجع محررونا ما قدمته ويحددون ما إذا كان ينبغي مراجعة المقالة أم لا.

    Hyperboloid, the open surface generated by revolving a hyperbola about either of its axes. If the tranverse axis of the surface lies along the x axis and its centre lies at the origin and if a, b, و ج are the principal semi-axes, then the general equation of the surface is expressed as x 2 /أ 2 ± ذ 2 /ب 2 − ض 2 /ج 2 = 1.

    Revolution of the hyperbola about its conjugate axis generates a surface of one sheet, an hourglass-like shape (يرى figure , left), for which the second term of the above equation is positive. The intersections of the surface with planes parallel to the xz و yz planes are hyperbolas. Intersections with planes parallel to the xy plane are circles or ellipses.

    Revolution of the hyperbola about its transverse axis generates a surface of two sheets, two separate surfaces (يرى figure, right), for which the second term of the general equation is negative. Intersections of the surface(s) with planes parallel to the xy و xz planes produce hyperbolas. Cutting planes parallel to the yz plane and at a distance greater than the absolute value of أ,|أ|, from the origin produce circles or ellipses of intersection, respectively, as أ equals ب أو أ is not equal to ب.


    شاهد الفيديو: إيجاد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل يمر بنقطة ومعلومة أخرى أو يمر بنقطتين محاضرة 17 (شهر اكتوبر 2021).