مقالات

9.5: رسم القطع المكافئ بالرسم البياني


أهداف التعلم

  • ارسم قطعًا مكافئًا.
  • أوجد نقاط التقاطع ورأس القطع المكافئ.
  • أوجد رأس القطع المكافئ بإكمال المربع.

الرسم البياني لمعادلة من الدرجة الثانية

نعلم أن أي معادلة خطية ذات متغيرين يمكن كتابتها بالصيغة (y = mx + b ) وأن رسمها البياني عبارة عن خط. في هذا القسم ، سنرى أن أي معادلة تربيعية بالصيغة (y = ax ^ {2} + bx + c ) لها رسم بياني منحني يسمى القطع المكافئ.

نقطتان تحدد أي خط. ومع ذلك ، بما أن القطع المكافئ منحني ، فيجب أن نجد أكثر من نقطتين. في هذا النص ، سنحدد خمس نقاط على الأقل كوسيلة لإنتاج رسم مقبول. للبدء ، نقوم بتمثيل القطع المكافئ الأول برسم النقاط. بالنظر إلى معادلة تربيعية بالصيغة (y = ax ^ {2} + bx + c ) ، x هو المتغير المستقل و ذ هو المتغير التابع. اختر بعض القيم لـ x ثم تحديد المقابل ذ-القيم. ثم ارسم النقاط وارسم الرسم البياني.

مثال ( PageIndex {1} )

رسم بياني من خلال نقاط التآمر:

(y = x ^ {2} -2x-3 )

المحلول:

في هذا المثال ، اختر ملف x- القيم {−2، −1، 0، 1، 2، 3، 4} وحساب المقابل ذ-القيم.

ارسم هذه النقاط وحدد شكل الرسم البياني.

إجابه:

عند الرسم البياني ، نريد تضمين بعض النقاط الخاصة في الرسم البياني. ال ذ- نقطة التقاطع هي النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع ذ-محور. ال x- التداخلات هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع x-محور. الرأس هو النقطة التي تحدد الحد الأدنى أو الأقصى للرسم البياني. أخيرًا ، خط التناظر (يسمى أيضًا محور التناظر) هو الخط العمودي المار بالرأس ، والذي يكون القطع المكافئ حوله متماثلًا.

لأي قطع مكافئ ، سنجد الرأس و ذ-تقاطع. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان x- الاعتراضات موجودة ، ثم سنريد تحديدها أيضًا. التخمين في x- قيم هذه النقاط الخاصة ليست عملية ؛ لذلك ، سنطور تقنيات تسهل العثور عليها. سيتم استخدام العديد من هذه التقنيات على نطاق واسع مع تقدمنا ​​في دراستنا للجبر. بالنظر إلى المعادلة التربيعية بالصيغة (y = ax ^ {2} + bx + c ) ، أوجد ذ- التقاطع بضبط x = 0 وحلها. بشكل عام ، (y = a (0) ^ {2} + b (0) + c = c ) ولدينا

( color {Cerulean} {تقاطع ص}

[(0، ج] )

بعد ذلك ، تذكر أن ملف xيمكن العثور على المداخلات ، إن وجدت ، عن طريق ضبط y = 0. للقيام بذلك ، لدينا (0 = a ^ {2} + bx + c ) ، والتي لها حلول عامة معطاة بالصيغة التربيعية ، (x = frac {−b ± sqrt {b ^ {2} - 4ac}} {2a} ). لذلك ، فإن x-intercepts لها هذا الشكل العام:

( color {Cerulean} {x-intercepts} )

باستخدام حقيقة أن القطع المكافئ متماثل ، يمكننا تحديد خط التماثل الرأسي باستخدام x- اعتراضات. للقيام بذلك ، نجد ملف x-القيمة في منتصف الطريق بين x- يتقاطع بأخذ المتوسط ​​على النحو التالي:

لذلك ، خط التماثل هو الخط العمودي:

( color {Cerulean} {Line : of : symmetry} )

[x = - frac {b} {2 a} ]

يمكننا استخدام خط التماثل لإيجاد x- قيمة الرأس. تم توضيح خطوات رسم القطع المكافئ في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} )

رسم بياني:

المحلول

الخطوة 1: تحديد ذ-تقاطع. للقيام بذلك ، قم بتعيين x = 0 وحل من أجل ذ.

ال ذ- التقاطع هو (0، 3).

الخطوة 2: تحديد x- اعتراضات. للقيام بذلك ، قم بتعيين ذ = 0 وحل من أجل x.

( start {array} {rlr} {x + 3} & {= 0} & { text {or}} & {x-1 = 0} {x} & {= -3} & {} & {x = 1} end {array} )

هنا متى ذ = 0 ، نحصل على حلين. هنالك اثنان x- التداخلات ، (−3 ، 0) و (1 ، 0).

الخطوه 3: تحديد قمة الرأس. تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في استخدام المعادلة لخط التناظر ، (x = frac {-b} {2 a} ) ، للعثور على x- قيمة الرأس. في هذا المثال، أ = −1 و ب = −2:

عوّض −1 في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (−1، 4).

الخطوة 4: حدد النقاط الإضافية بحيث يكون لدينا على الأقل خمس نقاط للتخطيط. في هذا المثال ، تكفي نقطة أخرى. أختر x = −2 وابحث عن المقابل ذ-القيمة.

النقطة الخامسة لدينا هي (-2،3).

الخطوة الخامسة: ارسم النقاط وارسم الرسم البياني. للتلخيص ، النقاط التي وجدناها هي

تقاطع ص:(0,3)
تقاطع س:(-3،0) و (1،0)
فيرتكس:(-1,4)
نقطة اضافية:(-2,3)
جدول ( PageIndex {1} )

إجابه:

يفتح القطع المكافئ لأسفل. بشكل عام ، استخدم المعامل الرئيسي لتحديد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل. إذا كان المعامل الرئيسي سالبًا ، كما في المثال السابق ، فإن القطع المكافئ يفتح لأسفل. إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى.

جميع المعادلات التربيعية بالصيغة (y = ax ^ {2} + bx + c ) لها رسوم بيانية مكافئة مع ذ- التقاطع (0 ، ج). ومع ذلك ، ليس كل القطع المكافئ لديها x يعترض.

مثال ( PageIndex {3} )

رسم بياني:

(ص = 2 س ^ {2} + 4x + 5 )

المحلول:

نظرًا لأن المعامل الرئيسي 2 موجب ، لاحظ أن القطع المكافئ يفتح لأعلى. هنا ج = 5 و ذ- التقاطع هو (0، 5). لتجد ال x- اعتراضات ، مجموعة ذ = 0.

( start {array} {l} {y = 2 x ^ {2} +4 x + 5} {0 = 2 x ^ {2} +4 x + 5} end {array} )

في هذه الحالة، أ = 2, ب = 4 و ج = 5. استخدم المميز لتحديد عدد الحلول ونوعها.

نظرًا لأن المميز سلبي ، فإننا نستنتج أنه لا توجد حلول حقيقية. لأنه لا توجد حلول حقيقية ، لا توجد x- اعتراضات. بعد ذلك ، نحدد x- قيمة الرأس.

بالنظر إلى أن x- قيمة الرأس هي 1 ، استبدلها في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

( begin {align} y & = 2 x ^ {2} +4 x + 5 & = 2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ^ {2} +4 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 5 & = 2-4 + 5 & = 3 end {align} )

الرأس هو (1، 3). حتى الآن ، لدينا نقطتان فقط. لتحديد ثلاثة أخرى ، اختر البعض x- القيم على جانبي خط التناظر ، x = −1. هنا نختار x- القيم −3 و 2 و 1.

للتلخيص ، لدينا

تقاطع ص:(0,5)
x- اعتراضات:لا أحد
فيرتكس:(-1,3)
نقط اضافية(-3,11), (-2,5), (1,11)
جدول ( PageIndex {2} )

ارسم النقاط وارسم الرسم البياني.

إجابه:

مثال ( PageIndex {4} )

رسم بياني:

المحلول

لاحظ أن أ = −2: يفتح القطع المكافئ لأسفل. منذ ج = −18 ، ذ- التقاطع هو (0، −18). لتجد ال x- اعتراضات ، مجموعة ذ = 0.

حل بالتحليل إلى عوامل.

( start {array} {rrr} {x-3 = 0} & { text {or}} & {x-3 = 0} {x = 3} && {x = 3} end {array } )

هنا x = 3 هو جذر مزدوج ، لذلك هناك واحد فقط x- التقاطع (3 ، 0). من المعادلة الأصلية ، أ = −2, ب = 12 و ج = −18. ال x- يمكن حساب قيمة الرأس على النحو التالي:

( begin {align} x & = frac {-b} {2 a} & = frac {- ( color {OliveGreen} {12} color {black} {)}} {2 ( اللون {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}} & = frac {-12} {- 4} & = 3 end {align} )

بالنظر إلى أن x- قيمة الرأس هي 3 ، عوض في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

لذلك ، فإن الرأس هو (3 ، 0) ، والتي تصادف أنها نفس نقطة x-تقاطع. لتحديد ثلاثة أخرى ، اختر البعض x- القيم على جانبي خط التناظر ، x = 3 في هذه الحالة.

أختر x- القيم 1 و 5 و 6.

للتلخيص ، لدينا

تقاطع ص:(0, -18)
x- اعتراضات:(3, 0)
فيرتكس:(3, 0)
نقط اضافية:(1, -8), (5, -8), (6, -18)
جدول ( PageIndex {3} )

ارسم النقاط وارسم الرسم البياني.

إجابه:

مثال ( PageIndex {5} )

رسم بياني:

المحلول:

منذ أ = 1 ، يفتح القطع المكافئ لأعلى. علاوة على ذلك، ج = −1 ، لذا فإن ذ- التقاطع هو (0، −1). لتجد ال x- اعتراضات ، مجموعة ذ = 0.

في هذه الحالة ، حل باستخدام الصيغة التربيعية مع أ = 1, ب = −2 و ج = −1.

هنا نحصل على حلين حقيقيين لـ x، وبالتالي هناك اثنان x- التداخلات:

((1- sqrt {2}، 0) quad text {and} qquad (1+ sqrt {2}، 0) )

القيم التقريبية باستخدام الآلة الحاسبة:

((- 0.41،0) qquad text {and} qquad (2.41،0) )

استخدم الإجابات التقريبية لوضع الزوج المرتب على الرسم البياني.

ومع ذلك ، سوف نقدم بالضبط x- اعتراضات على الرسم البياني. بعد ذلك ، أوجد الرأس.

( begin {align} x & = frac {-b} {2 a} & = frac {- ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)}} {2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} & = frac {2} {2} & = 1 end {align} )

بالنظر إلى أن x- قيمة الرأس هي 1 ، استبدلها في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (1، -2). نحتاج إلى نقطة أخرى.

للتلخيص ، لدينا

تقاطع ص:(0, -1)
x- اعتراضات: ((1- sqrt {2}، 0) ) و ((1+ sqrt {2}، 0) )
فيرتكس:((1, -2))
نقطة اضافية:((2, -1))
جدول ( PageIndex {4} )

ارسم النقاط وارسم الرسم البياني.

إجابه:

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم بياني:

(ص = 9 س ^ {2} -5 )

إجابه

إيجاد الحد الأقصى والأدنى

غالبًا ما يكون من المفيد العثور على القيم القصوى و / أو الدنيا للوظائف التي تمثل تطبيقات الحياة الواقعية. لإيجاد هذه القيم المهمة في حالة دالة تربيعية ، نستخدم الرأس. إذا كان المعامل الرئيسي أ موجب ، ثم ينفتح القطع المكافئ لأعلى وسيكون هناك حد أدنى ذ-القيمة. إذا كان المعامل الرئيسي أ سلبي ، ثم يفتح القطع المكافئ لأسفل وسيكون هناك حد أقصى ذ-القيمة.

مثال ( PageIndex {6} )

حدد الحد الأقصى أو الأدنى:

(y = −4x ^ {2} + 24x − 35 )

المحلول:

منذ أ = −4 ، نعلم أن القطع المكافئ يفتح لأسفل وسيكون هناك حد أقصى ذ-القيمة. للعثور عليه ، نجد أولاً x- قيمة الرأس.

( start {align} x & = - frac {b} {2 a} qquad quad color {Cerulean} {x-value : of : the : vertex.} & = - frac {24} {2 (-4)} quad : color {Cerulean} {البديل : a = -4 : and : b = 24.} & = - frac {24} {- 8} qquad : : color {Cerulean} {Simplify.} & = 3 end {align} )

ال x-قيمة الرأس هي 3. عوض بهذه القيمة في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (3، 1). لذلك ، الحد الأقصى ذ-القيمة هي 1 ، والتي تحدث عندما x = 3 ، كما هو موضح أدناه:

ملحوظة

الرسم البياني غير مطلوب للإجابة على هذا السؤال.

إجابه:

الحد الأقصى هو 1.

مثال ( PageIndex {7} )

حدد الحد الأقصى أو الأدنى:

(y = 4x ^ {2} −32x + 62 )

المحلول:

منذ أ = +4 ، يفتح القطع المكافئ لأعلى ويوجد حد أدنى ذ-القيمة. ابدأ بإيجاد ملف x- قيمة الرأس.

( begin {align} x & = - frac {b} {2 a} & = - color {black} { frac { color {OliveGreen} {- 32}} { color {black} {2} ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)}}} qquad color {Cerulean} {البديل : a = 4 : and : b = -32.} & = - frac {-32} {8} qquad color {Cerulean} {Simplify.} & = 4 end {align} )

استبدل x = 4 في المعادلة الأصلية للعثور على المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (4، −2). لذلك ، الحد الأدنى ذ-قيمة −2 تحدث عندما x = 4 ، كما هو موضح أدناه:

إجابه:

الحد الأدنى هو -2.

تمرين ( PageIndex {2} )

حدد الحد الأقصى أو الأدنى:

(ص = (س -3) ^ {2} -9 )

إجابه

الحد الأدنى هو −9.

يحدد القطع المكافئ ، الذي يفتح للأعلى أو للأسفل (على عكس الجوانب) ، وظيفة ويمتد إلى أجل غير مسمى إلى اليمين واليسار كما هو موضح بواسطة الأسهم. لذلك ، فإن المجال (مجموعة x-values) يتكون من جميع الأرقام الحقيقية. ومع ذلك ، فإن النطاق (مجموعة ذ-values) يحدها ذ- قيمة الرأس.

مثال ( PageIndex {8} )

تحديد المجال والمدى:

(y = x ^ {2} -4x + 3 )

المحلول:

أولاً ، لاحظ أنه نظرًا لأن a = 1 موجب ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى. ومن ثم سيكون هناك حد أدنى ذ-القيمة. للعثور على هذه القيمة ، ابحث عن x- قيمة الرأس:

(x = - frac {b} {2 a} = - frac {-4} {2 (1)} = 2 )

ثم استبدل في المعادلة لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (2، −1). النطاق يتكون من مجموعة من ذ- قيم أكبر من أو تساوي الحد الأدنى ذ-قيمة −1.

إجابه:

اختصاص: ص = ((- infty، infty) ) ؛ النطاق: ([- 1 ، infty) )

مثال ( PageIndex {9} )

يتم تحديد ارتفاع المقذوف بالأقدام من خلال الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 72t ) ، حيث ر يمثل الوقت بالثواني بعد الإطلاق. ما أقصى ارتفاع وصل إليه المقذوف؟

المحلول:

هنا a = -16 ، ويفتح القطع المكافئ لأسفل. لذلك ، فإن ذ- تحدد قيمة الرأس أقصى ارتفاع. ابدأ بإيجاد ملف x- قيمة الرأس:

(x = - frac {b} {2 a} = - frac {72} {2 (-16)} = frac {72} {32} = frac {9} {4} )

سيحدث أقصى ارتفاع في 9/4 = 2¼ ثانية. عوّض هذه المرة في الدالة لتحديد الارتفاع الذي تم تحقيقه.

( start {align} h left ( frac {9} {4} right) & = - 16 left ( frac {9} {4} right) ^ {2} +72 left ( frac {9} {4} right) & = - 16 left ( frac {81} {16} right) +72 left ( frac {9} {4} right) & = -81 + 162 & = 81 نهاية {محاذاة} )

إجابه:

أقصى ارتفاع للقذيفة 81 قدمًا.

إيجاد قمة الرأس باستكمال المربع

في هذا القسم ، نوضح طريقة بديلة لإيجاد الرأس. يمكن إعادة كتابة أي معادلة من الدرجة الثانية (y = ax ^ {2} + bx + c ) بالصيغة

[y = a (x-h) ^ {2} + k ]

في هذا الشكل ، يكون الرأس هو (ح ، ك).

مثال ( PageIndex {10} )

تحديد الرأس:

(y = -4 (x-3) ^ {2} +1 )

المحلول:

عندما تكون المعادلة بهذه الصورة ، يمكننا قراءة الرأس مباشرة من المعادلة.

( start {array} {l} {y = : a : (: xh) ^ {2} + k} color {Cerulean} { qquad qquad quad downarrow quad : : downarrow} {y = -4 (x-3) ^ {2} +1} end {array} )

هنا ح= 3 و ك=1.

إجابه:

الرأس هو (3، 1).

مثال ( PageIndex {11} )

تحديد الرأس:

(ص = 2 (س + 3) ^ {2} -2 )

المحلول:

أعد كتابة المعادلة على النحو التالي قبل التحديد ح و ك.

( start {array} {l} {y = : a : (: x : - h) ^ {2} : : : : + : : : k} color {Cerulean} { qquad qquad quad : downarrow qquad quad downarrow} {y = 2 (x - (- 3)) ^ {2} + (- 2)} end { مجموعة مصفوفة})

هنا ح= -3 و ك=-2.

إجابه:

الرأس هو (-3، -2).

في كثير من الأحيان لا يتم إعطاء المعادلة في هذا الشكل. للحصول على هذا النموذج ، أكمل المربع.

مثال ( PageIndex {12} )

أعد الكتابة بصيغة (y = a (x − h) ^ {2} + k ) وحدد الرأس: (y = x ^ {2} + 4x + 9 ).

المحلول:

ابدأ بإفساح المجال للحد الثابت الذي يكمل المربع.

( start {align} y & = x ^ {2} +4 x + 9 & = x ^ {2} +4 x + underline quad + 9- underline quad end {align} )

تكمن الفكرة في إضافة وطرح القيمة التي تكمل المربع ، ( frac {b ^ {2}} {2} ) ، ثم العامل. في هذه الحالة ، اجمع واطرح ( frac {4 ^ {2}} {2} = 2 ^ {2} = 4 ).

( begin {align} y & = x ^ {2} +4 x + 9 qquad quad : : : color {Cerulean} {Add : and : طرح : 4.} & = underbrace {x ^ {2} +4 x color {Cerulean} {+ 4}} _ { text {factor}} + 9 color {Cerulean} {- 4} quad color {Cerulean} { العامل.} & = (x + 2) (x + 2) +5 & = (x + 2) ^ {2} +5 end {align} )

إضافة وطرح نفس القيمة داخل تعبير لا يغيرها. يكافئ القيام بذلك إضافة 0. بمجرد أن تصبح المعادلة بهذه الصورة ، يمكننا بسهولة تحديد الرأس.

( start {array} {c} {y = a (xh) ^ {2} : + : : k} color {Cerulean} { qquad quad quad : : downarrow qquad downarrow} {y = (x - (- 2)) ^ {2} +5} end {array} )

هنا ح= -2 و ك=5.

إجابه:

الرأس هو (-2، 5).

إذا كان هناك معامل رئيسي غير 1 ، فيجب علينا أولاً أن نخرج المعامل الرئيسي من أول حدين من ثلاثي الحدود.

مثال ( PageIndex {13} )

أعد الكتابة بصيغة (y = a (x − h) ^ {2} + k ) وحدد الرأس: (y = 2x ^ {2} −4x + 8 ).

المحلول:

منذ أ = 2 ، أخرج هذا من أول حدين لإكمال المربع. اترك مساحة داخل الأقواس لإضافة حد ثابت.

الآن استخدم −2 لتحديد القيمة التي تكمل المربع. في هذه الحالة ، ( frac {(- 2) ^ {2}} {2} = ((- 1) ^ {2} = 1 ). اجمع واطرح 1 وعامل كما يلي:

في هذه الصورة ، يمكننا بسهولة تحديد الرأس.

( start {array} {l} {y = a (xh) ^ {2} + k} color {Cerulean} { qquad qquad : downarrow quad : : : downarrow } {y = 2 (x-1) ^ {2} : + 6} end {array} )

هنا ح= 1 و ك=6.

إجابه:

الرأس هو (1، 6).

تمرين ( PageIndex {3} )

أعد الكتابة بصيغة (y = a (x-h) ^ {2} + k ) وحدد الرأس:

(y = -2x ^ {2} -12x + 3 ).

إجابه

(y = -2 (x + 3) ^ {2} +21 ) ؛ الرأس: ((- 3 ، 21) )

الماخذ الرئيسية

  • الرسم البياني لأي معادلة من الدرجة الثانية (y = ax ^ {2} + bx + c ) ، حيث أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية و أ ≠ 0، يسمى القطع المكافئ.
  • عند رسم القطع المكافئ بيانيًا ، أوجد الرأس و ذ-تقاطع. إذا كان x- توجد اعتراضات ، ابحث عنها أيضًا. تأكد أيضًا من إيجاد حلول أزواج مرتبة على جانبي خط التناظر ، (x = frac {-b ^ {2}} {a} ).
  • استخدم المعامل الرئيسي ، ألتحديد ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل. لو أ يكون موجبًا ، ثم يفتح للأعلى. لو أ سلبي ، ثم يفتح للأسفل.
  • رأس أي قطع مكافئ له قيمة x تساوي (x = frac {-b ^ {2}} {a} ). بعد العثور على x- قيمة الرأس ، استبدلها في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة. هذه ذ-القيمة هي الحد الأقصى إذا فتح القطع المكافئ لأسفل ، ويكون الحد الأدنى إذا انفتح القطع المكافئ لأعلى.
  • يتكون مجال القطع المكافئ المفتوح لأعلى أو لأسفل من جميع الأعداد الحقيقية. النطاق يحده ذ- قيمة الرأس.
  • الطريقة البديلة لإيجاد الرأس هي إعادة كتابة المعادلة التربيعية بالصيغة (y = a (x − h) ^ {2} + k ). عندما يكون الرأس في هذا الشكل (ح ، ك) ويمكن قراءتها مباشرة من المعادلة. للحصول على هذا النموذج ، خذ (y = ax ^ {2} + bx + c ) وأكمل المربع.

تمرن ( PageIndex {4} ) الرسم البياني للمعادلات التربيعية

هل يفتح القطع المكافئ لأعلى أم لأسفل؟ يشرح.

  1. (ص = س ^ {2} −9 س + 20 )
  2. (ص = س ^ {2} −12x + 32 )
  3. (y = x2x ^ {2} + 5x + 12 )
  4. (y = −6x ^ {2} + 13x − 6 )
  5. (ص = 64 − س ^ {2} )
  6. (ص = −3x + 9x ^ {2} )
إجابه

1. تصاعدية

3. إلى أسفل

5. إلى أسفل

تمرن ( PageIndex {5} ) الرسم البياني للمعادلات التربيعية

تحديد x- و ذ- اعتراضات.

  1. (ص = س ^ {2} + 4x − 12 )
  2. (ص = س ^ {2} −13 س + 12 )
  3. (ص = 2 س ^ {2} + 5 س − 3 )
  4. (ص = 3 س ^ {2} −4 س − 4 )
  5. (y = −5x ^ {2} −3x + 2 )
  6. (ص = -6 س ^ {2} + 11 س − 4 )
  7. (ص = 4x ^ {2} 25 )
  8. (ص = 9 س ^ {2} 49 )
  9. (ص = س ^ {2} −x + 1 )
  10. (y = 5x ^ {2} + 15x )
إجابه

1. x- التداخلات: ((- 6 ، 0) ، (2 ، 0) ) ؛ ذ- التقاطع: ((0، −12) )

3. x-التداخلات: ((- 3، 0)، ( frac {1} {2}، 0) )؛ ذ- التقاطع: ((0، −3) )

5. x-التداخلات: ((- 1، 0)، ( frac {2} {5}، 0) )؛ ذ- التقاطع: ((0، 2) )

7. x-التداخلات: ((- frac {5} {2}، 0)، ( frac {5} {2}، 0) )؛ ذ- التقاطع: ((0، −25) )

9. x- التداخلات: لا شيء ؛ ذ- التقاطع: ((0، 1) )

تمرن ( PageIndex {6} ) الرسم البياني للمعادلات التربيعية

أوجد الرأس وخط التماثل.

  1. (ص = −x ^ {2} + 10x − 34 )
  2. (ص = −x ^ {2} −6x + 1 )
  3. (y = −4x ^ {2} + 12x − 7 )
  4. (ص = -9 س ^ {2} + 6 س + 2 )
  5. (ص = 4x ^ {2} −1 )
  6. (ص = س ^ {2} −16 )
إجابه

1. الرأس: ((5، −9) )؛ خط التماثل: (س = 5 )

3. الرأس: (( frac {3} {2}، 2) )؛ خط التماثل: (x = frac {3} {2} )

5. الرأس: ((0، −1) )؛ خط التماثل: (س = 0 )

تمرن ( PageIndex {7} ) الرسم البياني للمعادلات التربيعية

رسم بياني. أوجد الرأس و ذ-تقاطع. بالإضافة إلى ذلك ، ابحث عن ملف x- يعترض إذا كانت موجودة.

  1. (ص = س ^ {2} −2x − 8 )
  2. (ص = س ^ {2} −4 س − 5 )
  3. (ص = −x ^ {2} + 4x + 12 )
  4. (ص = x ^ {2} −2x + 15 )
  5. (ص = س ^ {2} −10x )
  6. (ص = س ^ {2} + 8 س )
  7. (ص = س ^ {2} −9 )
  8. (ص = س ^ {2} −25 )
  9. (ص = 1 − س ^ {2} )
  10. (ص = 4 − س ^ {2} )
  11. (ص = س ^ {2} −2x + 1 )
  12. (ص = س ^ {2} + 4x + 4 )
  13. (ص = −4x ^ {2} + 12x − 9 )
  14. (ص = −4x ^ {2} −4x + 3 )
  15. (ص = س ^ {2} −2 )
  16. (ص = س ^ {2} −3 )
  17. (ص = −4x ^ {2} + 4x − 3 )
  18. (ص = 4x ^ {2} + 4x + 3 )
  19. (ص = س ^ {2} −2x − 2 )
  20. (ص = س ^ {2} −6x + 6 )
  21. (y = x2x ^ {2} + 6x − 3 )
  22. (ص = −4x ^ {2} + 4x + 1 )
  23. (ص = س ^ {2} + 3 س + 4 )
  24. (y = −x ^ {2} + 3x − 4 )
  25. (ص = −2x ^ {2} +3 )
  26. (ص = −2x ^ {2} −1 )
  27. (ص = 2 س ^ {2} + 4x − 3 )
  28. (ص = 3 س ^ {2} + 2 س − 2 )
إجابه

1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

تمرين ( PageIndex {8} ) كحد أقصى أو أدنى

حدد الحد الأقصى أو الحد الأدنى ذ-القيمة.

  1. (ص = −x ^ {2} −6x + 1 )
  2. (ص = −x ^ {2} −4x + 8 )
  3. (ص = 25 س ^ {2} −10 س + 5 )
  4. (ص = 16 س ^ {2} −24 س + 7 )
  5. (ص = −x ^ {2}
  6. (ص = 1−9 س ^ {2} )
  7. (ص = 20 س − 10x ^ {2} )
  8. (ص = 12 س + 4x ^ {2} )
  9. (ص = 3 س ^ {2} −4 س − 2 )
  10. (ص = 6 س ^ {2} −8 س + 5 )
إجابه

1. الحد الأقصى: (ص = 10 )

3. الحد الأدنى: (ص = 4 )

5. الحد الأقصى: (ص = 0 )

7. الحد الأقصى: (ص = 10 )

9. الحد الأدنى: (y = - frac {10} {3} )

تمرين ( PageIndex {9} ) كحد أقصى أو أدنى

بالنظر إلى الوظائف التربيعية التالية ، حدد المجال والمدى.

  1. (f (x) = 3x ^ {2} + 30x + 50 )
  2. (f (x) = 5x ^ {2} −10x + 1 )
  3. (ز (س) = - 2 س ^ {2} + 4x + 1 )
  4. (ز (س) = - 7 س ^ {2} −14 س − 9 )
  5. الارتفاع بالأقدام الذي وصلت إليه كرة بيسبول مقذوفة لأعلى بسرعة 48 قدمًا / ثانية من الأرض تُعطى بالدالة (h (t) = - 16t ^ {2} + 48t ) ، حيث ر يمثل الوقت بالثواني. ما هو أقصى ارتفاع للبيسبول وكم من الوقت سيستغرق للوصول إلى هذا الارتفاع؟
  6. يتم تحديد ارتفاع المقذوف الذي يتم إطلاقه مباشرة من تل من خلال الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 96t + 4 ) ، حيث ر يمثل ثواني بعد الإطلاق. ما هو أقصى ارتفاع؟
  7. الربح بالدولار الناتج عن الإنتاج والبيع x يتم توفير المصابيح المخصصة من خلال الوظيفة (P (x) = - 10x ^ {2} + 800x − 12000 ). ما هو الحد الأقصى للربح؟
  8. العائد بالدولار الناتج عن بيع عنصر معين على غرار الصيغة (R (x) = 100x − 0.0025x ^ {2} ) ، حيث x يمثل عدد الوحدات المباعة. ما عدد الوحدات التي يجب بيعها لزيادة الإيرادات؟
  9. متوسط ​​عدد مرات الوصول إلى موقع محطة راديو على غرار الصيغة (f (x) = 450t ^ {2} −3،600t + 8،000 ) ، حيث ر يمثل عدد الساعات منذ الساعة 8:00 صباحًا. في أي ساعة من اليوم يكون عدد مرات الوصول إلى موقع الويب كحد أدنى؟
  10. يتم تحديد القيمة بالدولار للسيارة الجديدة بالصيغة (V (t) = 125t ^ {2} −3،000t + 22،000 ) ، حيث ر يمثل عدد السنوات منذ شرائه. تحديد الحد الأدنى لقيمة السيارة.
  11. يتم نمذجة تكاليف الإنتاج اليومية بالدولار لشركة تصنيع المنسوجات التي تنتج زيًا موحدًا حسب الصيغة (C (x) = 0.02x ^ {2} −20x + 10،000 ) ، حيث x يمثل عدد الزي الرسمي المنتج.
    1. كم عدد الزي الرسمي الذي يجب إنتاجه لتقليل تكاليف الإنتاج اليومية؟
    2. ما هو الحد الأدنى لتكلفة الإنتاج اليومية؟
  12. يتم تحديد مساحة قلم مستطيل معين بواسطة الصيغة (A = 14w − w ^ {2} ) ، حيث ث يمثل العرض بالأقدام. حدد العرض الذي ينتج عنه أقصى مساحة.
إجابه

1. المجال: R؛ النطاق: ([- 25 ، ∞) )

3. المجال: R؛ النطاق: ((- ∞ ، 3] )

5. أقصى ارتفاع 36 قدم يحدث بعد 1.5 ثانية.

7. $4,000

9. 12:00 مساءً

11. أ. 500 زي موحد ب. 5000 دولار

تمرن ( PageIndex {10} ) الرأس بإكمال المربع

حدد الرأس.

  1. (ص = - (س − 5) ^ {2} +3 )
  2. (ص = −2 (س − 1) ^ {2} +7 )
  3. (ص = 5 (س + 1) ^ {2} +6 )
  4. (ص = 3 (س + 4) ^ {2} +10 )
  5. (ص = −5 (س + 8) ^ {2} −1 )
  6. (ص = (س + 2) ^ {2} −5 )
إجابه

1. ((5, 3))

3. ((-1, 6))

5. ((-8, -1))

تمرن ( PageIndex {11} ) الرأس بإكمال المربع

أعد الكتابة بصيغة (y = a (x − h) ^ {2} + k ) وحدد الرأس.

  1. (ص = س ^ {2} −14 س + 24 )
  2. (ص = س ^ {2} −12x + 40 )
  3. (ص = س ^ {2} + 4x − 12 )
  4. (ص = س ^ {2} + 6 س − 1 )
  5. (ص = 2 س ^ {2} −12 س − 3 )
  6. (ص = 3 س ^ {2} −6 س + 5 )
  7. (ص = x ^ {2} + 16x + 17 )
  8. (ص = −x ^ {2} + 10x )
إجابه

1. (ص = (س − 7) ^ {2} −25 ) ؛ قمة الرأس: ((7 ، −25) )

3. (ص = (س + 2) ^ {2} −16 ) ؛ الرأس: ((- 2 ، −16) )

5. (ص = 2 (س − 3) ^ {2} −21 ) ؛ قمة الرأس: ((3 ، −21) )

7. (ص = - (س − 8) ^ {2} +81 ) ؛ الرأس: ((8 ، 81) )

تمرن ( PageIndex {12} ) الرأس بإكمال المربع

رسم بياني.

  1. (ص = س ^ {2} −1 )
  2. (y = x ^ {2} +1 )
  3. (ص = (س − 1) ^ {2} )
  4. (ص = (س + 1) ^ {2} )
  5. (ص = (س − 4) ^ {2} −9 )
  6. (ص = (س − 1) ^ {2} −4 )
  7. (ص = −2 (س + 1) ^ {2} +8 )
  8. (ص = −3 (س + 2) ^ {2} +12 )
  9. (ص = −5 (س − 1) ^ {2} )
  10. (ص = - (س + 2) ^ {2} )
  11. (ص = −4 (س − 1) ^ {2} −2 )
  12. (ص = 9 (س + 1) ^ {2} +2 )
  13. (ص = (س + 5) ^ {2} −15 )
  14. (ص = 2 (س − 5) ^ {2} −3 )
  15. (ص = −2 (س − 4) ^ {2} +22 )
  16. (ص = 2 (س + 3) ^ {2} −13 )
إجابه

1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

تمرين ( PageIndex {13} ) على لوحة المناقشة

  1. اكتب خطتك لرسم القطع المكافئ في الامتحان. ما الذي تبحث عنه وكيف ستقدم إجابتك؟ شارك خطتك على لوحة المناقشة.
  2. لماذا أي قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل دالة؟ اشرح لزميل في الفصل كيفية تحديد المجال والمدى.
إجابه

1. قد تختلف الإجابات


رسم القطع المكافئ بالرسم البياني


مقاطع فيديو وأوراق عمل وحلول وأنشطة لمساعدة طلاب الجبر على تعلم كيفية رسم رسم بياني للقطوع المكافئة المكتوبة في شكل الرأس ، y = a (x - h) 2 + k ، باستخدام الإحداثيات (h ، k) لرسم بياني للرأس .

ما هو شكل رأس القطع المكافئ؟
شكل رأس القطع المكافئ هو y = a (x - h) 2 + k.

كيفية رسم القطع المكافئ المكتوبة في شكل الرأس؟
بالنظر إلى صيغة الرأس y = a (x - h) 2 + k
1. ارسم الرأس (h، k)
2. إذا كانت a & gt 0 تكون (h، k) هي الحد الأدنى للنقطة ، وإذا كانت a & lt 0 تكون (h، k) هي النقطة القصوى.
3. استبدل x = 0 للحصول على تقاطع y
4. عوّض y = 0 للحصول على تقاطع x

كيفية تحويل القطع المكافئ من الشكل القياسي إلى شكل الرأس؟
طريقة القص المختصر:
بالنظر إلى القطع المكافئ ، y = ax 2 + bx + c ،
1. احسب h = -b / 2a، k = f (-b / 2a)
2. أعد كتابة المعادلة بالصيغة y = a (x - h) 2 + k.

رسم قطع مكافئ بياني في صورة الرأس y = a (x-h) 2 + k
فيديو متحرك حول رسم الوظائف التربيعية.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


رسم القطع المكافئ بالرسم البياني

بمجرد فهم نمط القطع المكافئ ، يمكنك استخدام هذه المعلومات لإعداد الرسم البياني.

1. حدد ما إذا كان يفتح لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين.

2. ابحث عن الرأس وقم برسمه

3. ارسم خط التماثل

4. أوجد ورسم المزيد من النقاط بالتعويض عن x أو y بالقيم.

5. طابق تلك النقاط على الجانب الآخر من خط التماثل

1. الرسم البياني

أولًا نعرف أنه رأسي لأن x تربيع. بما أن a سلبي ، فإنه يفتح للأسفل.

الرأس هو (-3، -1). دعنا نرسم ما يلي:

بعد ذلك ، سنعوض بقيم x. نريد أن نختار القيم التي تقع بجوار خط التماثل مباشرةً ولكن على نفس الجانب. لذا ، بما أن خط التماثل لدينا يقع عند x = -3 ، فلنستخدم x = -2 و x = -1.

إذن ، سنقسم -2 في عن x ونحل قيمة y:

2. الرسم البياني

للبدء ، نعلم أولاً أنه أفقي لأن y تربيع ، وبما أن a موجب ، فإنه ينفتح على اليمين.

الرأس هو (-4، 2). دعنا نرسم ما يلي:

عادة نعوض بقيم x. يمكننا القيام بذلك ، لكن هذا سيتطلب منا إعادة ترتيب المعادلة. بدلاً من ذلك ، يمكننا التعويض بقيم y.

نريد أن نختار القيم التي تقع بجوار خط التماثل مباشرةً ولكن على نفس الجانب. لذلك ، نظرًا لأن خط التناظر عند y = 2 ، فسنستخدم y = 1 و y = 0. ومع ذلك ، إذا استخدمنا 1 ، فسنحصل على كسر ، لذلك دعونا نتخطى هذه القيمة ونستخدم y = 0 .

دعنا نستبدل 0 لإيجاد y ونحل قيمة x:

ممارسة: ارسم كل قطع مكافئ

1.

2.

3.

4.

5.


9.5: رسم القطع المكافئ بالرسم البياني

القطع المكافئ
(هذا القسم أنشأه جاك سارفاتي)

  • الدرس الأول: ابحث عن الصيغة القياسية للدالة التربيعية ، ثم ابحث عن الرأس وخط التماثل والقيمة العظمى أو الصغرى للدالة التربيعية المحددة.
  • الدرس 2: أوجد الرأس ، والبؤرة ، والدليل ، وارسم رسم بياني للقطع المكافئ ، بمعلومية معادلته.
  • الدرس 3: أوجد معادلة القطع المكافئ عندما نعرف إحداثيات بؤرته ورأسه.
  • الدرس 4: أوجد الرأس ، والبؤرة ، والدليل ، ورسم بيانيًا قطعًا مكافئًا بإكمال المربع أولاً.

يتم تعريف القطع المكافئ على أنه & quothe مجموعة من جميع النقاط P في مستوى متساوي البعد من خط ثابت ونقطة ثابتة في المستوى. & quot يسمى الخط الثابت الدليل ، والنقطة الثابتة تسمى البؤرة.

يمكن رؤية القطع المكافئ ، كما هو موضح في كابلات جسر البوابة الذهبية (أدناه) ، بأشكال مختلفة. يوضح كل من المسار الذي تسلكه الكرة الملقاة أو تدفق الماء من الخرطوم شكل القطع المكافئ.

كل قطع مكافئ ، في شكل ما ، هو رسم بياني لوظيفة من الدرجة الثانية وله العديد من الخصائص التي تستحق الفحص. لنبدأ بالنظر إلى الصيغة القياسية لمعادلة القطع المكافئ.

الصيغة القياسية هي (x - h) 2 = 4p (y - k) حيث يكون التركيز (h، k + p) والدليل y = k - p. إذا تم تدوير القطع المكافئ بحيث يكون رأسه (h، k) وكان محور التناظر موازيًا لمحور x ، فسيكون له معادلة (y - k) 2 = 4p (x - h) ، حيث يكون التركيز هو (h + p، k) والدليل هو x = h - p.

سيكون من مصلحتنا أيضًا تغطية شكل آخر قد تظهر به معادلة القطع المكافئ
y = (x - h) 2 + k ، حيث يمثل h المسافة التي تمت ترجمة القطع المكافئ على طول المحور x ، ويمثل k المسافة التي تم إزاحة القطع المكافئ فيها لأعلى ولأسفل على المحور y.

إكمال المربع للحصول على الشكل القياسي للقطع المكافئ.

يجب أن نحدد الآن كيف سنصل إلى معادلة بالصيغة y = (x - h) 2 + k

لنفترض أننا حصلنا على معادلة مثل
ص = 3 س 2 + 12 س + 1.

نحتاج الآن لإكمال المربع لهذه المعادلة. سأفترض أن لديك بعض التعليمات حول إكمال المربع ولكن في حال لم تكن قد فعلت ذلك ، فسوف أذهب إلى مثال واحد وأترك ​​الباقي للقارئ.

عند إكمال المربع ، يتعين علينا أولاً عزل مصطلح Ax 2 والمصطلح By عن المصطلح C. لذا فإن أول خطوتين سيتعاملان فقط مع أول جزأين من ثلاثي الحدود.

لإكمال المربع ، لا يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية بالصيغة y = Ax 2 + By + C على مصطلح A يختلف عن 1. في مثالنا ، A = 3 ، لذا نحتاج الآن إلى قسمة 3 ، لكن هذا فقط خارج حدود 3x 2 + 12x.

يمكن تبسيط هذا إلى y = 3 (x 2 + 4x) + 1. من هنا علينا أخذ 1/2 من الحد B ، ثم تربيع الناتج. إذن في هذه الحالة ، لدينا 1/2 (4) = 2 ، ثم 2 2 يساوي 4. والآن ، خذ 4 وضعها داخل الحد الأبوي.

لتحديث ما لدينا: y = 3 (x 2 + 4x + 4) + 1 ولكن علينا الآن أن نضع في اعتبارنا أننا أضفنا مصطلحًا إلى معادلتنا يجب حسابه. بإضافة 4 إلى داخل الأقواس ، نكون قد فعلنا أكثر من مجرد إضافة 4 إلى المعادلة. لقد أضفنا الآن 4 أضعاف العدد 3 الموجود أمام المصطلح الأبوي. إذن ، نحن بالفعل نضيف 12 إلى المعادلة ، وعلينا الآن تعويض ذلك في نفس الجانب من المعادلة. سنقوم الآن بإزاحته بطرح 12 من 1 الذي تركناه للطرف الأيمن.

للتحديث: y = 3 (x 2 + 4x + 4) + 1 - 12. لقد أكملنا الآن المربع بنجاح. الآن نحن بحاجة إلى إدخال هذا في شروط أكثر ودية. يمكن تبسيط الجزء الداخلي من الأقواس (المربع المكتمل) إلى (x + 2) 2. النسخة الأخيرة بعد زوال الدخان هي y = 3 (x + 2) 2 - 11. أوه ، ثروة المعلومات التي يمكننا استخلاصها من شيء كهذا! سنجد التفاصيل من هذا النوع من المعادلات أدناه.

إيجاد الرأس وخط التماثل والقيمة العظمى والصغرى للدالة التربيعية المحددة.

دعنا نركز أولاً على الصيغة الثانية المذكورة ، y = (x - h) 2 + k. عندما يكون لدينا معادلة بهذا الشكل ، يمكننا أن نقول بأمان أن "h" يمثل نفس الشيء الذي يمثله "h" في الصيغة القياسية الأولى التي ذكرناها ، كما هو الحال مع "k". عندما يكون لدينا معادلة مثل y = (x - 3) 2 + 4 ، نلاحظ أن الرسم البياني قد تم إزاحته بمقدار 3 وحدات إلى اليمين و 4 وحدات إلى الأعلى. توضح الصورة أدناه هذا القطع المكافئ في الربع الأول.

لو كان داخل الأقواس في مثال المعادلة يقرأ ، & quot (x + 3) & quot مقابل & quot (x-3) ، & quot ، لكان الرسم البياني قد تم إزاحته ثلاث وحدات إلى يسار الأصل. & quot + 4 & quot في نهاية المعادلة تخبر الرسم البياني أن ينقل أربع وحدات لأعلى. وبالمثل ، لو كانت المعادلة تقرأ & quot-4 ، & quot ، فسيظل الرسم البياني مشيرًا لأعلى ، لكن الرأس كان سيكون أربع وحدات أسفل المحور السيني.

يمكن تحديد قدر كبير من خلال معادلة في هذا الشكل.

الشيء الأكثر وضوحًا الذي يمكننا تحديده ، دون الحاجة إلى إلقاء نظرة على التمثيل البياني ، هو الأصل. يمكن إيجاد الأصل عن طريق إقران قيمة h مع قيمة k ، لإعطاء الإحداثي (h، k). الخطأ الأكثر وضوحًا الذي يمكن أن ينشأ عن ذلك هو أخذ الإشارة الخاطئة لـ "h". في معادلة مثالنا ، y = (x - 3) 2 + 4 ، لاحظنا أن "h" تساوي 3 ، ولكن غالبًا ما يكون من الخطأ أن الإحداثي x للرأس هو -3 ، وهذا ليس هو الحال لأن المعيار صيغة المعادلة هي y = (x - h) 2 + k ، مما يعني أننا نحتاج إلى تغيير إشارة ما بداخل الأقواس.

لإيجاد خط تناظر القطع المكافئ بهذا الشكل ، علينا أن نتذكر أننا نتعامل فقط مع القطع المكافئة التي تشير إلى أعلى أو أسفل في الطبيعة. مع وضع هذا في الاعتبار ، فإن خط التناظر (المعروف أيضًا باسم محور التناظر) هو الخط الذي يقسم القطع المكافئ إلى فرعين منفصلين يعكسان بعضهما البعض. يمر خط التناظر بالرأس ، وبما أننا نتعامل الآن فقط مع القطع المكافئة التي تتجه لأعلى ولأسفل ، يجب أن يكون خط التناظر خطًا رأسيًا يبدأ بـ & quotx = _ & quot. سيكون الرقم الذي يظهر في هذا الفراغ هو الإحداثي x للرأس. على سبيل المثال ، عندما نظرنا إلى y = (x - 3) 2 + 4 ، فإن إحداثي x للرأس سيكون 3 ، وبالتالي فإن معادلة خط التماثل هي x = 3.

من أجل تصور خط التناظر ، التقط صورة القطع المكافئ أعلاه وارسم خطًا رأسيًا وهميًا عبر الرأس. إذا كنت ستأخذ معادلة هذا الخط العمودي ، فستلاحظ أن الخط يمر عبر المحور x عند x = 3. والخطأ السهل الذي يرتكبه الطلاب غالبًا هو أنهم يقولون إن خط التماثل هو y = 3 لأن الخط عمودي. يجب أن نضع في اعتبارنا أن معادلات الخطوط الرأسية والأفقية هي عكس ما تتوقعه. نقول دائمًا أن القيمة الرأسية تعني & & quot؛ لأعلى & لأسفل ، لذا فإن معادلة الخط (الموازي للمحور y) تبدأ بـ "y = __" ، & quot لكننا ننسى أن المفتاح هو المحور الذي يمر عبره الخط. بما أن الخط يمر عبر المحور x ، فإن معادلة هذا الخط العمودي يجب أن تكون x = __.

في مناقشة خط التناظر ، تعاملنا مع الإحداثي x للرأس ، وكما هو الحال في آلية الساعة ، نحتاج الآن إلى فحص إحداثي y. يخبرنا إحداثي y للرأس عن ارتفاع أو انخفاض القطع المكافئ.

مرة أخرى بمثالنا الموثوق به ، y = (x-3) 2 + 4 ، نرى أن إحداثي y للرأس (كما هو مشتق من الرقم الموجود في أقصى يمين المعادلة) يحدد مدى ارتفاع أو انخفاض الإحداثي الطائرة التي يجلس عليها القطع المكافئ. يستقر هذا القطع المكافئ على الخط y = 4 (انظر خط التناظر لمعرفة سبب كون المعادلة y = __ ، بدلاً من x = __). بمجرد تحديد الإحداثي y ، فإن السؤال الأخير الذي لدينا هو ما إذا كان هذا الرقم يمثل الحد الأقصى أم الحد الأدنى. نحن نطلق على هذا الرقم الحد الأقصى إذا كان القطع المكافئ متجهًا لأسفل (يمثل الرأس أعلى نقطة على القطع المكافئ) ، ويمكننا تسميته بالحد الأدنى إذا كان القطع المكافئ متجهًا لأعلى (يمثل الرأس أدنى نقطة على القطع المكافئ).

كيف يمكننا معرفة ما إذا كان القطع المكافئ موجهًا لأعلى أو لأسفل بمجرد النظر إلى المعادلة؟

طالما أن لدينا المعادلة في الشكل المشتق من إكمال الخطوة المربعة ، فإننا ننظر ونرى ما إذا كانت هناك علامة سالبة أمام المصطلح الأصل. إذا كانت المعادلة على شكل y = - (x - h) 2 + k ، فإن السالب الموجود أمام القوس يخبرنا أن القطع المكافئ متجه لأسفل (كما هو موضح في الصورة أدناه). إذا لم تكن هناك إشارة سالبة في المقدمة ، فإن القطع المكافئ متجه لأعلى.

لنلقِ نظرة الآن على مثال لمعادلة أخرى للقطع المكافئ في الصورة القياسية. سنحدد بعد ذلك رأسه وخط تماثله وأقصى أو أدنى.

على سبيل المثال ، لنأخذ المعادلة y = - (x + 4) 2 - 7. أول شيء نريد القيام به هو النظر إلى التمثيل البياني للمنحنى. يجب أن يساعدنا هذا في فهم الأشياء التي نبحث عنها. الرسم البياني مبين أدناه.

كما ترى ، يقع هذا المنحنى في الربع الثالث ويتجه نحو الأسفل. يبدو أن للرأس إحداثي سالب سالب وإحداثي ص سالب. سننظر عن كثب في المعادلة ونأخذ ما تعلمناه بالفعل ، يجب أن نكون راضين عن نتائجنا.

y = - (x + 4) 2-7 يعطينا الرأس (-4، -7). إحداثي x هو & quot

أولًا ، تشير الإشارة السالبة في بداية المعادلة على الفور إلى أن القطع المكافئ يواجه هبوطًا.

بعد ذلك ، الإحداثي x الذي وجدناه هو مفتاح إيجاد خط التماثل. نعلم أن معادلة خط التماثل ستكون & quotx = __، & quot وأن الرقم الموجود داخل الفراغ هو إحداثي x ، -4.

أخيرًا ، علينا أن نقرر ما إذا كان لدينا حد أقصى أو أدنى. سيكون الإحداثي y هو الحد الأقصى في هذه الحالة لأن الرأس يقع على أعلى نقطة (الحد الأقصى) في المنحنى. إذن في هذه الحالة ، لدينا حد أقصى هو y = -7.

دعنا الآن نلقي نظرة على نفس المنحنى أعلاه مع الرأس وخط التماثل والحد الأقصى المرئي:

من الواضح أن المنحنى الأحمر يمثل القطع المكافئ. يمثل الخط الأخضر خط التناظر (المعادلة x = -4) ويمثل الخط الأزرق الخط الذي يقع عليه الحد الأقصى عند y = -7. نأمل أن تكون هذه الصورة المرئية قد ساعدتك في رؤية جميع الأجزاء المحددة التي ناقشناها حتى الآن.

للحصول على بعض التمارين التكميلية حول ما قمنا بتغطيته حتى الآن ، انقر هنا: تمرين 1

أوجد الرأس ، والبؤرة ، والدليل ، وارسم مخططًا للقطع المكافئ ، بمعلومية معادلته.

كما قد تعلم أو لا تعرف ، فإن القطع المكافئ هو موضع النقاط في مستوٍ على مسافة متساوية من خط ثابت ونقطة ثابتة على المستوى. نعلم أن هذا الخط الثابت هو الدليل وأن النقطة الثابتة هي البؤرة.

لمشاهدة صورة متحركة للوصف أعلاه ، يجب أن يكون لديك Geometer's SketchPad سواء كان Macintosh أو الكمبيوتر الشخصي محملاً على جهاز الكمبيوتر الخاص بك. إذا كان لديك نظام الأفضليات المعمم ، انقر هنا. لتنزيل نص هذه الصورة حتى تتمكن من إنشائها بنفسك ، انقر هنا.

دعنا الآن نلقي نظرة على القطع المكافئ الذي يحتوي على جميع العناصر التي سنبحث عنها:

المثال التالي مخصص بشكل خاص لأولئك الذين ليس لديهم نظام الأفضليات المعمم على جهاز الكمبيوتر الخاص بك. هذه الصورة (أدناه) تم إنشاؤها من Algebra Xpresser.

من الصورة أعلاه ، قمت بتسمية ثلاثة عناصر نحتاج إلى الاهتمام بها عن كثب. أعلى نقطة في القطع المكافئ هي الرأس (والحد الأقصى). علامة الجمع الموجودة أسفل الرأس مباشرة هي البؤرة. الخط الأخضر الموجود فوق القطع المكافئ (وفوق الرأس مباشرة) هو الدليل. قد تكون قادرًا على رؤية أن المسافة من البؤرة إلى الرأس هي نفس المسافة بين الرأس والدليل. سوف ندخل الآن في القليل من التفاصيل حول كيفية اشتقاق كل هذه المعلومات من معادلة معينة.

المثال التالي الذي سأقدمه لك سيكون معادلة لطيفة وسهلة يمكننا من خلالها بسهولة اختيار المعلومات التي نحتاجها.

لنفحص المعادلة (س + 2) 2 = -6 (ص - 1).

من الواضح أن هذه المعادلة تختلف عن صيغة & quotvertex & quot التي تعلمناها في الدرس السابق. لا يزال بإمكاننا العثور على جميع المعلومات التي وجدناها في الدرس الأول: الرأس ، وخط التماثل ، والحد الأقصى / الحد الأدنى. علينا أن نطبق نفس خط التفكير الذي يكون فيه الرأس حيث يوجد حدي x و y. بالطريقة نفسها ، نجد أن إحداثي x هو -2 ، وإحداثي y هو 1 . كل ما نحتاجه لإيجاد خط التماثل والحد الأقصى / الحد الأدنى هو الرأس ، لذا دعنا نتابع: خط التماثل هو x = -2 ، والحد الأقصى (نظرًا لأن لدينا علامة سالبة أمام أحد حدودنا) عند y = 1.

لإيجاد بؤرة ودليل القطع المكافئ ، نحتاج إلى المعادلات التي تعطي مكافئًا متجهًا لأعلى أو لأسفل في الصورة (x - h) 2 = 4p (y - k). بعبارة أخرى ، نحتاج إلى عزل الحد x 2 عن باقي المعادلة. لقد اعتدنا أن نحصل على x 2 في حد ذاته ، ولكن إذا تم إزاحة الرأس إما لأعلى أو لأسفل ، فعلينا إظهار ذلك في المصطلح المشترك مع y. معامل الحد (y - k) هو المصطلح 4p. علينا أن نأخذ هذا الرقم ونجعله يساوي 4p.

في هذه الحالة ، 4p تساوي الحد الموجود أمام الحد y (بين قوسين) أي 4p = -6. هذا يعني أن p = -3/2. نظرًا لأن هذا قطع مكافئ متجه لأسفل ، فنحن بحاجة إلى التركيز داخل المنحنى ، مما يعني أن التركيز أسفل الرأس. إلى أي مدى أسفل الرأس؟ خذ الإحداثي ص وأضفه ص. إذن ، لدينا الآن الرأس عند (-2 ، 1) ونحن ، في جوهرها ، نطرح -3/2 من 1. سيؤدي ذلك إلى تحريك التركيز إلى النقطة (-2 ، -1/2).

يقع الدليل على مسافة متساوية من الرأس الذي يقع عليه التركيز. لذا ، إذا كان التركيز لأسفل -3/2 من الرأس ، فإن الدليل يكون خطًا أعلى بمقدار 3/2 من الرأس. هذا يضع الدليل عند y = 5/2.

لتوضيح هذه المشكلة ، يرجى إلقاء نظرة على الصورة أدناه:

الخط الأخضر (3/2 وحدات أعلى من الرأس) هو الدليل ، وعلامة الجمع 3/2 وحدات أسفل الرأس هي البؤرة.

من المفترض أن يساعدنا هذا في التعامل مع القطع المكافئة التي تنفتح لأعلى ولأسفل. دعنا الآن نلقي نظرة على شكل مكافئ يفتح يسارًا ويمينًا.

لنلقِ نظرة على المعادلة (ص + 3) 2 = 12 (س - 1).

يمكننا بسهولة تحديد أن القطع المكافئ يفتح يسارًا أو يمينًا. بما أن المعامل الموجود أمام الحد x موجب ، فيمكننا القول إن القطع المكافئ سيفتح على اليمين. سيكون التركيز على يمين الرأس ، وسيكون الدليل خطًا رأسيًا على نفس المسافة عن يسار الرأس التي يكون التركيز على اليمين.

الرأس هو (1 ، -3) ، ومحور التناظر (أفقي الآن) هو y = -3 ، ولا نتعرف على & quotmax's و min & quot للقطوع المكافئة التي تفتح يسارًا أو يمينًا.

الحد الموجود أمام الحد x هو 12. هذا ما يساوي حد 4p. إذن 4p = 12 ، مما يجعل p = 3. نحتاج الآن إلى تحريك البؤرة 3 وحدات من الأصل. هذا يعني أن إحداثيات التركيز هي (4 ، -3) ، وأن الدليل سيكون خطًا رأسيًا يمر بالنقطة (-2 ، -3).

هذه المشكلة موضحة في الصورة أدناه.

مرة أخرى ، يمثل الخط الأخضر الدليل بينما تمثل علامة الجمع البؤرة المذكورة أعلاه.

للحصول على بعض التمارين التكميلية حول ما قمنا بتغطيته في الدرس 2 ، انقر هنا: تمرين 2

أوجد معادلة القطع المكافئ عندما نعرف إحداثيات بؤرته ورأسه.

الآن ، سنبدأ في أخذ ما تعلمناه والبدء في تجميعه معًا. إذا أعطينا بؤرة ورأس ، فلدينا ما يكفي لنكون قادرين على توليد معادلة تربيعية للقطع المكافئ. إذا فكرنا في الأمر لمدة ثانية ، فسنكون قادرين على إيجاد المسافة من الرأس إلى البؤرة بناءً على هذه المعلومات المعطاة. سنكون قادرين بعد ذلك على حساب الحد p (المصطلح من الدرس السابق الذي يقع أمام المتغير غير التربيعي). يعد وضع إحداثيات الرأس في المعادلة أمرًا بسيطًا للغاية ، بالنسبة إلى ما تعلمناه حتى الآن.

لنفترض أننا حصلنا على تركيز (-6 ، 0) وأن الرأس في الأصل.

بناءً على ما نعرفه دون توصيل أي شيء ، يمكننا القول إن القطع المكافئ سينفتح على اليسار لأن تركيزه على يسار الأصل. الآن في بداية تجميع الأشياء معًا ، يمكننا القول إن المعادلة ستكون شيئًا مثل y 2 يساوي حدًا من x.

بما أن الأصل هو الرأس ، فيمكننا القول إن هذا سيكون (y - 0) 2 = 4p (x - 0) ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى y 2 = 4px.

نعلم أن p = -6 ، ونعلم أن 4p = -24. يجب أن نكون قادرين الآن على معرفة أن المعادلة هي y 2 = -24x.

سنحاول الآن حل مشكلة انفتاح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل. سنجعل التركيز (2 ، 3) والرأس (2 ، 6).

يكون التركيز أسفل الرأس مباشرة بمقدار 3 وحدات ، لذا فإن p = -3 لذا 4p = -12 لكن ليس بهذه السرعة! نحن لسنا خاليين من المنزل بعد انزاح الرأس عن نقطة الأصل ، وعلينا مراعاة حدي h و k.

ستكون المعادلة ذات القطع المكافئ المتجه لأسفل (x - h) 2 = 4p (y - k) ، حيث 4p سالبة. لتجميع الأشياء معًا مرة أخرى:
(س - 2) 2 = -12 (ص - 2).

للحصول على بعض التمارين التكميلية حول ما قمنا بتغطيته في الدرس 3 ، انقر هنا: تمرين 3

أوجد الرأس والبؤرة والدليل ورسم قطعًا بيانيًا عن طريق إكمال المربع أولاً.

لا نتوصل دائمًا إلى معادلات تنتظر منا حلها. في بعض الأحيان ، يتعين علينا العمل قليلاً للعثور على نقاطهم الرئيسية. نأمل أن يقودنا هذا المثال نحو مثل هذه المشكلة.

سيكون آخر زوج من الأمثلة التي سنفحصها أحد الأمثلة حيث يتم إعطاؤنا معادلة تربيعية ليست موجودة بالفعل في أي شكل قياسي معين.
سنضطر الآن إلى إكمال المربع للوصول إلى الشكل الذي نحتاجه لإيجاد أحدث أجزاء القطع المكافئ التي اكتشفناها.

لنفترض أن لدينا x 2 + 6x + 4y + 5 = 0. بما أن الحد x هو الحد التربيعي ، فسنختار عزل كل الحدود التي تحتوي على x. سنحتاج إلى وضع حدي x في أحد طرفي المعادلة ، بينما تقع بقية الحدين في الطرف المقابل.

ستترك لنا هذه الخطوة x 2 + 6x = -4y - 5. عندما نكمل المربع في الجانب الأيسر من المعادلة ، سيكون لدينا x 2 + 6x + 9 sowe سنحتاج إلى إضافة 9 إلى اليمين- جهة اليد كذلك.

سيأخذنا هذا إلى (x + 3) 2 = -4y + 4. تذكر أن أي معاملات للحدود x أو y يجب أن تكون أمام المتغير غير التربيعي ، فسنحلل -4 من الحد y . سيترك لنا هذا (س + 3) 2 = -4 (ص - 1).

من هنا ، فإن المشكلة تشبه كلا المشكلتين الأخريين.

رأسنا هو (-3 ، 1) ، خط التماثل لدينا هو x = -3 ولدينا قيمة عظمى عند y = 1

يمكن الآن العثور على التركيز بأخذ الرقم الموجود أمام المتغير غير التربيعي -4 وتعيينه على 4 بكسل. 4 ع = -4 لذا ص = -1.

نظرًا لأن القطع المكافئ يتجه لأسفل ، يكون التركيز أسفل الرأس والدليل أعلى. سنأخذ الرأس ونضيف (-1) إلى الإحداثي y. سيأخذنا هذا إلى النقطة (-3 ، 0) التي هي محور تركيزنا. يقع الدليل (على الجانب المقابل من الرأس) على الخط الأفقي y = 2. ومرة ​​أخرى ، سنلقي نظرة على الرسم التوضيحي أدناه. الخط الأخضر هو الدليل ، والنقطة الزرقاء هي البؤرة.

(تصحيحات بقلم ج.ويلسون ، 28 فبراير 2012)

لنفترض أن لدينا معادلة y 2 + 2y + 4x -8 = 0. قبل القيام بأي خطوات ، مثل إكمال المربع ، يمكننا أن نرى أن الحد التربيعي هو الحد y. سيخبرنا هذا أن القطع المكافئ مفتوح إما لليسار أو لليمين. نظرًا لأن هذه هي الحالة التي يكون فيها الحد y تربيعًا ، علينا عزل حدي y في أحد طرفي المعادلة ووضع حدي x والثوابت على الجانب الآخر. سوف نتمسك بما كنا نفعله طوال الوقت ونضع المصطلحات المعزولة على اليسار.

بعد خطوة العزل ، نرى أن لدينا y 2 + 2y = -4x + 8.

لإكمال المربع ، سيكون لدينا y + 2y + 1 = -4x + 8 + 1 وهذا تبسيط إلى (y + 1) 2 = -4x + 9.

بغض النظر عن مدى قبح الجانب الأيمن من المعادلة ، نحتاج إلى قسمة الطرف الأيمن على معامل الحد x (في هذه الحالة ، -4). سيترك لنا هذا (y + 1) 2 = -4 (x - 9/4). من هنا يمكننا القول أن القطع المكافئ سوف ينفتح إلى اليسار.

يمكننا أن نرى الآن أن الرأس سيكون عند (9/4، -1).

الحد الذي أمام x هو -4. هذه هي قيمة 4p. يمكننا الآن أن نقول أن 4p = -4. في المقابل ، لدينا p = -1.

سنحدد الآن أن التركيز هو وحدة واحدة يسار الرأس لذا يكون التركيز (بعد بعض العمل مع الكسور) هو (5/4 ، -1).

سيكون الدليل خطًا رأسيًا يساوي وحدة واحدة على يمين الرأس. إذن ، سيكون الدليل خطًا ، x = 13/4.

أدناه ، سنرى مخطط هذه المعادلة.

كما هو الحال حتى الآن ، تمثل علامة الجمع البؤرة التي توجد عند النقطة (5/4 ، -1) ، ويمثل الدليل بالخط الأخضر ، الموجود في المعادلة x = 13/4.

للحصول على بعض التمارين التكميلية حول ما قمنا بتغطيته في الدرس 4 ، انقر هنا: تمرين 4


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

في القسم 9.1 ، راجعنا أساسيات صنع الرسم البياني. على وجه الخصوص ، بالنظر إلى معادلة النموذج (y = textx text <،> ) الطريقة الأساسية لعمل رسم بياني هي عمل جدول من النقاط للتخطيط.

نظرنا أيضًا إلى مفاهيم "الاعتراضات" على الرسم البياني. في حالة المعادلة الخطية في (س ) و (ص نص <،> ) ، يمكن أن يكون العثور على (س ) - و (ص ) - طريقة لإنشاء رسم بياني.

القسم الفرعي 9.5.2 الميزات الرئيسية للرسوم البيانية التربيعية

في القسم 9.2 ، حددنا السمات الرئيسية للرسم البياني التربيعي (الذي يأخذ شكل القطع المكافئ). السمات الرئيسية هي الاتجاه الذي يفتح ، والرأس ، ومحور التناظر ، والتقاطع الرأسي ، والاعتراضات الأفقية (إن وجدت).

إذا كانت معادلة المنحنى التربيعي هي (y = ax ^ 2 + bx + c text <،> ) فإن الصيغة (h = - frac<2> ) يعطي الإحداثي الأول للرأس. لذا يمكنك إيجاد موقع الرأس بهذا الإحداثي وتقسيم هذا الرقم إلى المعادلة لإيجاد الإحداثي الثاني.

إذا عرفنا موقع رأس القطع المكافئ واتجاه فتحه ، فيمكننا رسم القطع المكافئ. يساعد في جعل الجدول يجد بضع نقاط على يسار ويمين الرأس. يعني تناظر القطع المكافئ أنك تحتاج فقط إلى العثور على نقاط على جانب واحد للحصول تلقائيًا على النقاط المقابلة على الجانب الآخر.

القسم الفرعي 9.5.3 رسم المعادلات التربيعية بالرسوم البيانية

في القسم 9.3 ، تمرننا على إيجاد المواقع الدقيقة للتقاطعات الرأسية والأفقية لمنحنى المعادلة التربيعية. يمكن العثور على التقاطع الرأسي عن طريق السماح (x = 0 text <.> ) النتيجة هي رقم على المحور (y ) -.

يمكن العثور على الاعتراضات الأفقية عن طريق تعيين (y ) يساوي (0 text <.> ) وهذا يترك لك معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد ، (x text <،> ) والصيغة التربيعية يمكن استخدامها لحل (x text <.> ) قد لا تكون هناك حلول ، كما هو الحال عندما لا يلمس القطع المكافئ المحور (x ) -. قد يكون هناك حل واحد ، عندما يكون الرأس على محور (س ). أو قد يكون هناك حلان ، وبالتالي هناك تقاطعان أفقيان.

عندما نعرف المواقع الدقيقة للاعتراضات (بالإضافة إلى موقع الرأس كما هو موجود في القسم 9.2) ، يمكننا رسم الرسوم البيانية الدقيقة للمعادلات التربيعية.

القسم الفرعي 9.5.4 حل المعادلات والمتباينات بيانياً

في القسم 9.4 ، نرى كيف يمكن استخدام الرسم البياني لحل معادلة أو متباينة. يمنحك كل جانب من المعادلة منحنى ، ويخبرك المكان الذي يتقاطع فيه المنحنيان بمكان وجود حلول للمعادلة.

على سبيل المثال ، لحل المعادلة (x ^ 2 + x-1 = 2x + 1 text <،> ) يمكننا رسم منحنيين: (y = x ^ 2 + x-1 ) و (y = 2x + 1 text <.> ) قد نستخدم جهاز كمبيوتر لعمل الرسوم البيانية لنا ، كما في الشكل 9.5.1.

نظرًا لأن المنحنيات تتقاطع عند ((- 1 ، -1) ) و ((2.5) نص <،> ) فإن الحلول هي (س = -1 ) و (س = 2 نص <.> ) هذا يعني أن مجموعة الحلول هي ( <- 1،2 > text <.> )


9.5: رسم القطع المكافئ بالرسم البياني

1.يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x 9.
1.1 احسب إحداثيات التقاطع في
المحاور - النقاط A و B و C.
1.2.1 هل الرسم البياني له حد أقصى أم أ
الحد الأدنى للقيمة ؟
1.2.2 ما هي هذه القيمة وأين توجد على الرسم البياني
وصلت هذه القيمة؟
1.3 اكتب أطوال AO و OB و OC و AB و AC.
1.4 ما هي قيمة y إذا
1.4.1 س = -4؟
1.4.2 س = 4.5؟
1.5 ما هي قيمة x إذا
1.5.1 ص = -5؟
1.5.2 ص = 5؟
1.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
1.6.1 س 9 = 0؟ 1.6.2 س 9 0؟


2. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x 16.
2.1 احسب إحداثيات التقاطع على
المحاور - النقاط A و B و C.
2.2.1 هل الرسم البياني له حد أقصى أم
قيمة دنيا؟
2.2.2 ما هي هذه القيمة وأين توجد على الرسم البياني
وصلت هذه القيمة؟
2.3 اكتب أطوال AO و OB و OC و AB و AC.
2.4 ما هي قيمة y if
2.4.1 س = -3؟
2.4.2 س = 1؟
2.5 ما هي قيمة x if
2.5.1 ص = -10؟
2.5.2 ص = 5؟
2.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
2.6.1 س 16 = 0؟ 2.6.2 x 16 0؟


3. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = 16 × ×.
3.1 احسب إحداثيات التقاطع في
المحاور - النقاط A و B و C.
3.2.1 هل الرسم البياني له حد أقصى أم
قيمة دنيا؟
3.2.2 ما هي هذه القيمة وأين توجد على الرسم البياني
وصلت هذه القيمة؟
3.3 اكتب أطوال AO و OB و OC و AB و AC.
3.4 ما هي قيمة y if
3.4.1 س = -3؟
3.4.2 × = 1،5؟
3.5 ما هي قيمة x if
3.5.1 ص = -5؟
3.5.2 ص = 10؟
3.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
3.6.1 16 × س = 0؟ 3.6.2 16 × × 0؟

4. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = 64 - x
4.1 حساب إحداثيات التقاطع في
المحاور - النقاط A و B و C.
4.2.1 هل الرسم البياني له حد أقصى أم
قيمة دنيا؟
4.2.2 ما هي هذه القيمة وأين توجد على الرسم البياني
وصلت هذه القيمة؟
4.3 اكتب أطوال AO و OB و OC و AB و AC.
4.4 ما هي قيمة y if
4.4.1 س = -5؟
4.4.2 س = 3؟
4.5 ما هي قيمة x if
4.5.1 ص = 10؟
4.5.2 ص = 20؟
4.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
4.6.1 64 - x = 0؟ 4.6.2 64 - × 0؟

5. إذا كانت y = x 4
5.1 يحسب إحداثيات نقاط التقاطع على المحاور.
5.2 ارسم الرسم البياني وحدد التقاطع على المحور x السالب ، A ، التقاطع على المحور x الموجب B ،
والتقاطع على المحور ص ، ج.
5.3 بالنظر إلى أن النقاط P (-1،75 p) و Q (q 3) هي نقاط على القطع المكافئ. احسب قيمة
p و q وقم بتمييز النقاط على الرسم البياني الخاص بك.

6. إذا كان y = x 25
6.1 حساب التقاطع على المحاور.
6.2 ارسم الرسم البياني وحدد التقاطع على المحور x السالب ، A ، التقاطع على المحور x الموجب B ،
والتقاطع على المحور ص ، ج.
6.3 بالنظر إلى أن النقطتين P (4،3 p) و Q (q -15) هي نقاط على القطع المكافئ. احسب قيمة
p و q وقم بتمييز النقاط على الرسم البياني الخاص بك.

7. إذا كانت y = 36 - x
7.1 حساب الاعتراضات على المحاور.
7.2 ارسم الرسم البياني وحدد التقاطع على المحور x السالب ، A ، التقاطع على المحور x الموجب B ،
والتقاطع على المحور ص ، ج.
7.3 بالنظر إلى أن النقطتين P (-4،25 p) و Q (q 10) هي نقاط على القطع المكافئ. احسب قيمة
p و q وقم بتمييز النقاط على الرسم البياني الخاص بك.

8. إذا كانت ص = 49 - س
8.1 حساب الاعتراضات على المحاور.
8.2 ارسم الرسم البياني وحدد التقاطع على المحور x السالب ، A ، التقاطع على المحور x الموجب B ،
والتقاطع على المحور ص ، ج.
8.3 بالنظر إلى أن النقطتين P (3،8 p) و Q (q 23) هي نقاط على القطع المكافئ. احسب قيمة
p و q وقم بتمييز النقاط على الرسم البياني الخاص بك.

9. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + c
يتقاطع الرسم البياني مع المحور X في النقاط
أ (-4 0) وب (4 0)
9.1 يحسب معادلة القطع المكافئ و
وبالتالي فإن قيمة ج.
9.2 اكتب إحداثيات النقطة D ، و
اعتراض على المحور ص.
9.3 الخط y = -7 يتقاطع مع القطع المكافئ بالنقاط
P و Q والمحور Y في النقطة M.
احسب إحداثيات P و Q و M.
9.4 اكتب أطوال كل من
التالي: AO ، OB ، OD ، PM ، MQ ،
AB و PQ و OM و MD و PD و OQ.
9.5 لأي قيمة (قيم) من x سوف
9.5.1 س + ج = 0؟ 9.5.2 س + ص 0؟
9.5.4 س + ج = -7؟ 9.5.5 × + ج -7؟

10. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + c
يتقاطع الرسم البياني مع المحور X في النقاط
أ (-13 0) وب (13 0)
10.1 يحسب معادلة القطع المكافئ و
وبالتالي فإن قيمة ج.
10.2 اكتب إحداثيات النقطة C ، و
اعتراض على المحور ص.
10.3 يتقاطع الخط y = -133 مع القطع المكافئ في نقاط
P و Q والمحور Y في النقطة M.
احسب إحداثيات P و Q و M.
10.4 اكتب أطوال كل من
ما يلي: AO ، OB ، OC ، PM ، MQ ،
AB و PQ و OM و MC و PC و OQ.
10.5 لأي قيمة (قيم) من x سوف
10.5.1 س + ج = 0؟ 10.5.2 س + ج 0؟ 10.5.4 س + ج = -133؟
10.5.5 × + ج -133؟ 10.5.7 -133 11. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + c
يتقاطع الرسم البياني مع المحور X في الشكل
النقاط أ (-12 0) وب (12 0)
11.1 يحسب معادلة القطع المكافئ وبالتالي
قيمة ج.
11.2 اكتب إحداثيات النقطة C ، و
اعتراض على المحور ص.
11.3 يتقاطع الخط y = 80 مع القطع المكافئ في الشكل
النقطتان P و Q والمحور Y في النقطة M.
احسب إحداثيات P و Q و M.
11.4 اكتب طول كل من
ما يلي: AO ، OB ، OC ، PM ، MQ ،
AB و PQ و OM و MC و PC و OQ.
11.5 لأي قيمة (قيم) من x سوف
11.5.1 س + ج = 0؟ 11.5.2 س + ج 0؟ 11.5.4 س + ج = 80؟
11.5.5 س + ج 80؟ 11.5.7 0 12. الرسم البياني يوضح الرسم البياني لـ y = x + c
يتقاطع الرسم البياني مع المحور X في الشكل
النقاط أ (-9 0) وب (9 0)
12.1 احسب معادلة القطع المكافئ وبالتالي
قيمة ج.
12.2 اكتب إحداثيات النقطة C ، و
اعتراض على المحور ص.
12.3 يتقاطع الخط y = 32 مع القطع المكافئ في نقاط
P و Q والمحور Y في النقطة M.
احسب إحداثيات P و Q و M.
12.4 اكتب طول كل من
التالي: AO ، OB ، OD ، PM ، MQ ،
AB و PQ و OM و MC و PC و OQ.
12.5 لأي قيمة (قيم) من x سوف
12.5.1 س + ج = 0؟ 12.5.2 س + ص 0؟ 12.5.4 س + ج = 32؟
12.5.5 س + ص 32؟ 12.5.7 0> س + ج> 32؟


13. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + 4x
13.1 احسب إحداثيات التقاطع
على المحاور.
13.2 احسب إحداثيات نقطة التحول C.
13.3 ما هو الحد الأدنى للقيمة؟
13.4 اكتب طول AO.
13.5 الرسم البياني متماثل حول الخط المستقيم x = c.
اكتب قيمة ج.
13.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
13.6.1 س + 4x = 0؟
13.6.2 x + 4x 0؟


14. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x - 4x
14.1 احسب إحداثيات التقاطع
على المحاور.
14.2 احسب إحداثيات نقطة التحول C.
14.3 ما هو الحد الأدنى للقيمة؟
14.4 اكتب طول OB.
14.5 الرسم البياني متماثل حول الخط المستقيم x = c.
اكتب قيمة ج.
14.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
14.6.1 × × - 4 × = 0؟
14.6.2 × × - 4 × 0؟

15. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = 4x - x
15.1 احسب إحداثيات التقاطع
على المحاور.
15.2 احسب إحداثيات نقطة التحول C.
15.3 ما هي القيمة القصوى؟
15.4 اكتب طول OB.
15.5 الرسم البياني متماثل حول الخط المستقيم x = c.
اكتب قيمة ج.
15.6 لأي قيمة (قيم) x سوف
15.6.1 × × - 4 × = 0؟
15.6.2 × × - 4 × 0؟


16. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + cx
الرسم البياني يتقاطع مع المحور X في A (-6 0)
و O (00).
16.1 احسب معادلة القطع المكافئ
ثم اكتب قيمة ج.
16.2 MC هو محور التناظر.
اكتب إحداثيات M و
اكتب أيضًا معادلة MC.
16.3 احسب إحداثيات نقطة التحول ج.
16.4 اكتب القيمة العظمى أو الدنيا.
16.5 اكتب طول AO و AM و MO و MC.
16.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
16.6.1 س + ج س = 0؟
16.6.2 س + ج س 0؟


17. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + cx
الخط المار بـ M و C هو محور التناظر.
طول OM = 4.
17.1 اكتب إحداثيات M و B.
17.2 يحسب المعادلة و الرسم البياني و
اكتب قيمة ج.
17.3 يحسب إحداثيات نقطة التحول ج
ثم اكتب القيمة الدنيا.
17.4 اكتب طول MC.
17.5 لأي قيمة (قيم) من x سوف
17.5.1 س + ج س = 0؟
17.5.2 س + ج س 0؟


18. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = x + cx
الرسم البياني يتقاطع مع المحور X في A (10 0)
و O (00).
18.1 يحسب معادلة الرسم البياني
ثم اكتب قيمة ج.
18.2 MC هو محور التناظر.
اكتب إحداثيات M و
اكتب أيضًا معادلة MC.
18.3 يحسب إحداثيات نقطة التحول C.
18.4 اكتب القيمة العظمى أو الدنيا.
18.5 اكتب طول AO و AM و MO و MC.
18.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
18.6.1 س + ج س = 0؟
18.6.2 س + ج س 0؟


19. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = ax + bx
إذا كانت الزراعة العضوية = 15 ، والمتوسط ​​المتحرك = 7،5 ، و MT = 56،25.
19.1 اكتب إحداثيات A و M و T.
19.2 يحسب معادلة القطع المكافئ
واكتب قيم a و b.
19.3 P هي النقطة (-11 ص). احسب قيمة p.
19.4 Q هي النقطة (q 14). احسب قيمة q.
19.5 تبين أن معادلة الخط المار
من خلال النقطتين P و Q يتم الحصول عليها بواسطة y = -3x + 11
19.6 لأي قيمة (قيم) من x سوف
19.6.1 فأس + bx 0؟
19.6.3 11 - 3x> 0؟ 19.6.4 11 - 3x = 0؟
19.6.5 فأس + ب س 11 - 3 س


20. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ y = 9x - x
20.1 احسب إحداثيات النقاط A و M و T.
MT هو محور التناظر.
20.2 اكتب طول OA و MA و MT.
20.3 P هي النقطة (1،3 ص). احسب قيمة p.
20.4 Q هي النقطة (q 16،25). احسب قيمة q.
20.5 الخط y = 16،25 يمر عبر Q ويتقاطع
القطع المكافئ في نقطة ثانية. اكتب
إحداثيات هذه النقطة.
20.6 يحسب معادلة الخط المار
النقطتان P و Q.
20.7 لأي قيمة (قيم) من x سوف
20.7.1 9x - x 1،2x + 8،45؟


المشكلة 1: قطع مكافئ ينفتح على اليمين

بالنظر إلى معادلة القطع المكافئ ، y 2 = 12x ، حدد الخصائص التالية ورسم القطع المكافئ بيانيًا.

أ. التقعر (الاتجاه الذي يفتح فيه الرسم البياني)

د. إحداثيات المستقيم لاتوس

المحلول
المعادلة y 2 = 12x في الصورة المختصرة y 2 = 4ax حيث a = 3.

أ. ينفتح تقعر المنحنى المكافئ إلى اليمين لأن المعادلة في الصورة y 2 = 4ax.

ب. رأس القطع المكافئ بالصيغة y 2 = 4ax يقع عند (0، 0).

ج. يكون تركيز القطع المكافئ في الصورة y 2 = 4ax عند (a ، 0). بما أن 4a تساوي 12 ، فإن قيمة a هي 3. لذلك ، فإن تركيز المنحنى المكافئ مع المعادلة y 2 = 12x يكون عند (3 ، 0). عد 3 وحدات إلى اليمين.

د. إحداثيات المستقيم العريض للمعادلة y 2 = 4ax تقع عند (أ ، 2 أ) و (أ ، -2 أ). نظرًا لأن المقطع يحتوي على البؤرة ويكون موازيًا للمحور الصادي ، فإننا نضيف أو نطرح 2 أ من المحور ص. لذلك ، فإن إحداثيات المستقيم العريض هي (3 ، 6) و (3 ، -6).

ه. نظرًا لأن القطع المكافئ والرأس العلوي يقع عند (0 ، 0) ويفتح على اليمين ، فإن خط التماثل هو y = 0.

F. نظرًا لأن قيمة a = 3 والرسم البياني للقطع المكافئ يفتح على اليمين ، يكون الدليل عند x = -3.

كيفية رسم القطع المكافئ: رسم بياني لانفتاح القطع المكافئ على اليمين في نظام الإحداثيات الديكارتية


10.5 رسم المعادلات التربيعية في متغيرين

مثلما بدأنا برسم المعادلات الخطية بالرسم البياني للنقاط ، سنفعل الشيء نفسه بالنسبة للمعادلات التربيعية.

حدث نفس الشيء عندما تركنا x = 2 x = 2 و x = −2 x = −2.

الآن ، سنرسم النقاط لتوضيح التمثيل البياني لـ y = x 2 y = x 2. انظر الشكل 10.2.

الرسم البياني ليس خطا. هذا الرقم يسمى القطع المكافئ. كل معادلة تربيعية لها رسم بياني يشبه هذا.

في المثال 10.43 سوف تتدرب على رسم القطع المكافئ من خلال رسم بعض النقاط.

مثال 10.43

المحلول

سنقوم برسم المعادلة عن طريق رسم النقاط.

اختر قيم الأعداد الصحيحة لـ x، استبدلهم في المعادلة وحل من أجل ذ.
سجل قيم الأزواج المرتبة في الرسم البياني.
ارسم النقاط ، ثم اربطها بمنحنى سلس. ستكون النتيجة الرسم البياني للمعادلة y = x 2-1 y = x 2-1.

اتجاه القطع المكافئ

للمعادلة التربيعية ص = أ س 2 + ب س + ج ص = أ س 2 + ب س + ج ، إذا:

مثال 10.44

حدد ما إذا كان كل قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل:

المحلول


ابحث عن قيمة "أ".

نظرًا لأن "a" سلبي ، سيفتح القطع المكافئ للأسفل.

ابحث عن قيمة "أ".

نظرًا لأن "a" موجب ، فإن القطع المكافئ سيفتح لأعلى.

حدد ما إذا كان كل قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل:

حدد ما إذا كان كل قطع مكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل:

أوجد محور التناظر ورأس القطع المكافئ

انظر مرة أخرى إلى الشكل 10.3. هل ترى أنه يمكننا طي كل قطع مكافئ إلى نصفين وأن أحد الجانبين سيقع فوق الآخر؟ "خط الطي" هو خط تماثل. نسميها محور تناظر القطع المكافئ.

نعرض نفس الرسمين البيانيين مرة أخرى بمحور التماثل باللون الأحمر. انظر الشكل 10.4.

يمكن اشتقاق معادلة محور التناظر باستخدام الصيغة التربيعية. سنحذف الاشتقاق هنا وننتقل مباشرة إلى استخدام النتيجة. معادلة محور تماثل التمثيل البياني لـ y = a x 2 + b x + c y = a x 2 + b x + c هي x = - b 2 a. س = - ب 2 أ.

إذن ، لإيجاد معادلة تناظر كل من القطوع المكافئة التي رسمناها بالرسم البياني أعلاه ، سنعوض بها في الصيغة x = - b 2 a x = - b 2 a.

انظر إلى الشكل 10.4. هل هذه معادلات الخطوط الحمراء المتقطعة؟

النقطة على القطع المكافئ الموجودة على محور التناظر هي أدنى أو أعلى نقطة على القطع المكافئ ، اعتمادًا على ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل. تسمى هذه النقطة رأس القطع المكافئ.

يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات الرأس ، لأننا نعلم أنها تقع على محور التناظر. هذا يعني أن x- التنسيق هو - ب 2 أ - ب 2 أ. لتجد ال ذ-تنسيق الرأس ، نعوض بقيمة x-تنسيق في المعادلة التربيعية.

محور التناظر وقمة القطع المكافئ

للقطع المكافئ بالمعادلة y = a x 2 + b x + c y = a x 2 + b x + c:

لتجد ال ذ- بتنسيق الرأس ، نعوض بـ x = - b 2 a x = - b 2 a في المعادلة التربيعية.


معادلة القطع المكافئ

يمكن التعبير عن معادلة القطع المكافئ إما في شكل قياسي أو رأس كما هو موضح في الصورة أدناه.

معادلة النموذج القياسي

يتم التعبير عن الشكل القياسي لمعادلة القطع المكافئ بشكل عام:

يتم التعبير عن شكل رأس معادلة القطع المكافئ بشكل عام على النحو التالي: y = a (x-h) 2 + k

    (ح ، ك) هو الرأس كما ترى في الصورة أدناه

  • إذا كان | a | & lt 1 ، يتسع الرسم البياني للقطع المكافئ. هذا يعني فقط أن شكل القطع المكافئ & quotU & quot يمتد جانبًا. اكتشف الطريقة التي يعمل بها الحرف "a" باستخدام أداة التصوير المكافئ التفاعلية الخاصة بنا.
  • إذا كان | a | & gt 1 ، يصبح الرسم البياني للقطع المكافئ أضيق (التأثير عكس | a | & lt 1).

ممارسة مشاكل

معادلة صيغة الرأس والاتجاه - الرأس

الجزء الأول
المشكلة 1

ما هو الرسم البياني للقطع المكافئ y = (x & ndash1) & sup2 + 1؟

رأس القطع المكافئ هو النقطة (1،1).

المشكلة 2

ما هو الرسم البياني للقطع المكافئ y = & ndash (x & ndash1) & sup2 + 1؟

مشكلة 3

ما هو الرسم البياني للقطع المكافئ y = (x + 2) & sup2 & ndash3؟

تحديد الرأس في شكل قمة الرأس

المشكلة 4.1

ما رأس القطع المكافئ التالي: y = (x + 3) & sup2 + 4

مشكلة 4.2

أوجد رأس القطع المكافئ التالي: y = (x - 3) & sup2 + 4

مشكلة 4.3

ما رأس القطع المكافئ الذي معادلة شكل رأسه هي y = (x - 2) & sup2 - 3

الجزء الثاني

مشكلة 5.1

ما هو رأس القطع المكافئ بالمعادلة التالية:
ص = 2 (س -3) 2 +4؟ هل يفتح القطع المكافئ للأعلى أو للأسفل؟

الرأس هو (3،4) ويفتح لأعلى حيث أن a موجب (يساوي 2) ، يفتح للأعلى.

مشكلة 5.2

إذا كانت معادلة القطع المكافئ هي y = 3 (x + 3) 2 +4 ، فما رأسه؟ بأي طريقة تفتح؟

الرأس = (-3 ، 4) ، ويفتح لأعلى حيث أن a موجب.

المشكلة 5.3

معادلة القطع المكافئ ص = -22 (س - 9) 2 + 5. ما رأسه؟ بأي طريقة يفتح القطع المكافئ؟


الجبر التطبيقي: النمذجة والوظائف

الرسم البياني للدالة التربيعية (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) يسمى أ. بعض القطع المكافئة موضحة أدناه.

كل هذه القطع المكافئة تشترك في ميزات معينة.

  • يحتوي الرسم البياني إما على أعلى نقطة (إذا كان القطع المكافئ يفتح لأسفل ، كما في الشكل (أ) أو أدنى نقطة (إذا تم فتح القطع المكافئ لأعلى ، كما في الشكل (ب). تسمى هذه النقطة المرتفعة أو المنخفضة بالرسم البياني.
  • القطع المكافئ متماثل حول خط عمودي ، يسمى ال ، يمر عبر الرأس.
  • التقاطع (y ) - هو النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع (y ) - المحور. يحتوي الرسم البياني للدالة التربيعية دائمًا على واحد بالضبط (y ) -.
  • ومع ذلك ، قد يعبر الرسم البياني محور (س ) - عند نقطة واحدة أو عند نقطتين أو لا يعبر على الإطلاق.تسمى النقاط التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع (س ) - المحور (س ) -. إذا كان هناك اعتراضان (س ) - يكونان على مسافة متساوية من محور التناظر.
  • تحدد قيم الثوابت (أ نص <،> ) (ب نص <،> ) و (ج ) موقع واتجاه القطع المكافئ. سنبدأ بالنظر في كل من هذه الثوابت على حدة.

القسم الفرعي الرسم البياني لـ (y = ax ^ 2 )

في الفصل 2 ، رأينا أن الرسم البياني لـ (y = af (x) ) هو تحويل للرسم البياني لـ (y = f (x) text <.> ) عامل المقياس ، (a ) النص <،> ) يمد أو يضغط الرسم البياني عموديًا ، وإذا كان (أ ) سالبًا ، ينعكس الرسم البياني حول (س ) - المحور.

مثال 6.34.

ارسم رسمًا بيانيًا لكل دالة تربيعية يدويًا.

كلتا الوظيفتين من الشكل (y = ax ^ 2 text <.> ) الرسم البياني لـ (y = 2x ^ 2 ) يفتح لأعلى لأن (a = 2 gt 0 text <،> ) والرسم البياني (y = - dfrac <1> <2> x ^ 2 ) يفتح لأسفل لأن (a = - dfrac <1> <2> lt 0 text <.> )

لعمل رسم معقول يدويًا ، يكفي رسم القليل النقاط الارشادية النقاط مع (س ) - إحداثيات (1 ) و (- 1 ) سهلة الحساب.

نرسم القطع المكافئ من خلال كل مجموعة من النقاط الإرشادية ، كما هو موضح على اليسار.

نقطة تفتيش 6.35.

طابق كل قطع مكافئ في الشكل على اليمين مع معادلته. يظهر القطع المكافئ الأساسي باللون الأسود.

  1. ( displaystyle y = - dfrac <3> <4> x ^ 2 )
  2. (displaystyle y = dfrac <1> <4> x ^ 2 )
  3. ( displaystyle y = dfrac <5> <2> x ^ 2 )
  4. ( displaystyle y = - dfrac <5> <4> x ^ 2 )

القسم الفرعي الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 + c )

بعد ذلك ، ننظر في تأثير المصطلح الثابت (c text <،> ) على الرسم البياني. تؤدي إضافة ثابت (c ) إلى صيغة (y = f (x) ) إلى ترجمة عمودية للرسم البياني.

مثال 6.36.

رسم الرسوم البيانية للوظائف التربيعية التالية.

تم إزاحة الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 - 2 ) إلى أسفل بمقدار وحدتين ، مقارنةً بالقطع المكافئ الأساسي. الرأس هو النقطة ((0 ، -2) ) و (س ) - التقاطعات هي حلول المعادلة

أو ( sqrt <2> ) و (- sqrt <2> text <.> ) الرسم البياني موضح أدناه.

الرسم البياني (y = -x ^ 2 + 4 ) يفتح لأسفل ويتم إزاحته (4 ) وحدات لأعلى ، مقارنةً بالقطع المكافئ الأساسي. رأسه هو النقطة ((0 ، 4) نص <.> ) (س ) - التقاطع هي حلول المعادلة

أو (2 ) و (- 2 نص <.> ) يمكنك التحقق من كلا الرسمين البيانيين باستخدام حاسبة الرسوم البيانية.

نقطة تفتيش 6.37.
  1. ابحث عن معادلة للقطع المكافئ الموضح أدناه.
  2. أعط تقاطعات (س ) - و (ص ) - للرسم البياني.

القسم الفرعي الرسم البياني لـ (y = ax ^ 2 + bx )

كيف يؤثر المصطلح الخطي (bx text <،> ) على الرسم البياني؟ دعونا نبدأ بالنظر في مثال. ارسم الوظيفة

على الآلة الحاسبة الخاصة بك. يظهر الرسم البياني على اليمين.

لاحظ أن (a = 2 ) وأن (2 gt 0 text <،> ) لذا فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى. يمكننا العثور على (x ) - تقاطعات الرسم البياني عن طريق ضبط (y ) مساوية للصفر:

حلول هذه المعادلة هي (0 ) و (- 4 نص <،> ) لذا فإن التقاطع (س ) - هي النقاط ((0 ، 0) ) و ((- 4 ، 0) نص <.> )

تذكر أن القطع المكافئ متماثل حول خط رأسي يمر برأسه. (سوف نثبت أن هذا صحيح في مسائل الواجب المنزلي.) يقع التقاطعان (x ) - على مسافة متساوية من خط التماثل هذا ، لذا فإن إحداثيات (x ) - للرأس تقع تمامًا في منتصف المسافة بين ( x ) - اعتراضات. يمكننا متوسط ​​قيمها لإيجادها

لإيجاد (y ) - إحداثيات الرأس ، استبدل (x = -2 ) في معادلة القطع المكافئ:

وبالتالي ، فإن الرأس هو النقطة ((- 2 ، -8) نص <.> )

نقطة تفتيش 6.38.

(س ) - التقاطع: ((0 ، 0) ) و ((6 ، 0) نص <> ) الرأس: ((3 ، 9) )

القسم الفرعي إيجاد قمة الرأس

يمكننا استخدام نفس الطريقة لإيجاد صيغة لرأس أي قطع مكافئ في الصورة

نواصل كما فعلنا في المثال السابق.

أولاً ، ابحث عن (x ) - تقاطعات الرسم البياني عن طريق تعيين (y ) مساويًا للصفر وحل (x text <.> )

تقاطعات (x ) - هي النقاط ((0، 0) ) و (( dfrac <-b>، 0) text <.> )

بعد ذلك ، نجد (x ) - إحداثي الرأس من خلال أخذ متوسط ​​تقاطعي (x ) - الموجودين أعلاه:

هذا يعطينا صيغة لإحداثيات (x ) - للرأس.

قمة القطع المكافئ.

بالنسبة إلى الرسم البياني لـ (y = ax ^ 2 + bx text <،> ) ، فإن (x ) - إحداثي الرأس هو

أيضًا ، محور التناظر هو الخط العمودي (x = dfrac <-b> <2a> ) كما هو موضح في الشكل أعلاه. أخيرًا ، نجد إحداثي (y ) - للرأس بالتعويض عن (x ) - إحداثيات في معادلة القطع المكافئ.

مثال 6.39.

القسم الفرعي الرسم البياني لـ (y = ax ^ 2 + bx + c )

سنلاحظ الآن أن صيغة الرأس تنطبق على أي قطع مكافئ. ضع في اعتبارك الوظيفة

تؤدي إضافة (6 ) إلى (2x ^ 2 + 8x ) إلى إزاحة كل نقطة على الرسم البياني (6 ) الوحدات لأعلى ، كما هو موضح على اليمين. لن يتأثر إحداثي (س ) - الرأس بالتحول إلى الأعلى. وهكذا ، فإن الصيغة

بالنسبة إلى (س ) - لا يزال إحداثيات الرأس صامدة. لدينا

نجد (y ) - إحداثيات الرأس بالتعويض عن (x_v = alert <-2> ) في معادلة القطع المكافئ.

إذن ، الرأس هو النقطة ((- 2 ، -2) نص <.> ) (لاحظ أن هذه النقطة قد تم إزاحتها (6 ) وحدات لأعلى من قمة (y = 2x ^ 2 + 8x ) نص <.> ))

نجد (x ) - تقاطعات الرسم البياني عن طريق ضبط (y ) مساوية للصفر.

x + 3 = 0 x amp = -1 hphantom س = -3 نهاية نهاية

التقاطع (س ) - هي النقاط ((- 1 ، 0) ) و ((- 3 ، 0) النص <.> )

تم العثور على (y ) - تقاطع الرسم البياني عن طريق ضبط (x ) مساوياً للصفر:

يمكنك أن ترى أن (y ) - التقاطع ، (6 text <،> ) هو مجرد حد ثابت للمعادلة التربيعية. يظهر الرسم البياني المكتمل أعلاه.

مثال 6.40.

أوجد رأس الرسم البياني لـ (f (x) = -2x ^ 2 + x + 1 text <.> )

بالنسبة لهذه الوظيفة ، (أ = -2 نص <،> ) (ب = 1 نص <،> ) و (ج = 1 نص <.> ) (س ) - تنسيق من قمة الرأس

للعثور على (y ) - إحداثيات الرأس ، نستبدل (x = alert < dfrac <1> <4>> ) في المعادلة. يمكننا القيام بذلك يدويًا لإيجاده

لذا فإن إحداثيات الرأس هي ( left ( dfrac <1> <4>، dfrac <9> <8> right) text <.> ) بدلاً من ذلك ، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لتقييم ( -2x ^ 2 + x + 1 ) لـ (x = 0.25 text <.> ) تُرجع الآلة الحاسبة (y ) - القيمة (1.125 text <.> ) وبالتالي ، يكون الرأس هو النقطة ((0.25، 1.125) text <،> ) وهو المكافئ العشري لـ ( left ( dfrac <1> <4>، dfrac <9> <8> right) text <. > )

نقطة تفتيش 6.41.

أوجد رأس الرسم البياني (f (x) = 3x ^ 2 - 6x + 4 text <.> ) قرر ما إذا كان الرأس هو نقطة عظمى أو نقطة صغرى للرسم البياني.

رقم القسم الفرعي (x ) - التقاطعات

الرسم البياني للدالة التربيعية

قد يكون لها تقاطعان أو واحد أو لا (س ) - وفقًا لعدد الحلول المتميزة ذات القيمة الحقيقية للمعادلة (ax ^ 2 + bx + c = 0 text <.> ) ضع في اعتبارك الثلاثة وظائف الرسوم البيانية أدناه.

له اثنين (س ) - تقاطع ، لأن المعادلة

له حلين حقيقيين ، (س = 1 ) و (س = 3 نص <.> )

لديه واحد فقط (س ) - تقاطع ، لأن المعادلة

لديه حل حقيقي واحد فقط (متكرر) ، (س = 2 نص <.> )

لا يوجد لديه (س ) - اعتراضات ، لأن المعادلة

ليس لديها حلول ذات قيمة حقيقية.

تكشف نظرة فاحصة على الصيغة التربيعية عن معلومات مفيدة حول حلول المعادلات التربيعية. بالنسبة للوظائف الثلاث المذكورة أعلاه ، لدينا ما يلي:

يُطلق على التعبير (b ^ 2 - 4ac text <،> ) الذي يظهر تحت الجذر في الصيغة التربيعية ، (D text <،> ) من المعادلة. تحدد قيمة المميز طبيعة حلول المعادلة. على وجه الخصوص ، إذا كان المميز سالبًا ، فإن حلول المعادلة التربيعية هي. (سوف ندرس الأعداد المركبة في القسم 7.3.)

التمييز.

المعادلة التربيعية هي (D = b ^ 2 - 4ac text <.> )

  1. إذا كان (D gt 0 text <،> ) هناك حلان حقيقيان غير متكافئين.
  2. إذا كان (D = 0 text <،> ) هناك حل حقيقي واحد للتعددية الثانية.
  3. إذا كان (D lt 0 text <،> ) هناك حلان معقدان.
الملاحظة 6.42.

يمكننا أيضًا استخدام المميز لنقرر ما إذا كان من الممكن حل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى عوامل. أولاً ، امسح معادلة الكسور. إذا كان المميز مربعًا كاملاً ، أي مربع عدد صحيح ، فالحلول عبارة عن أعداد نسبية. وهذا بدوره يعني أنه يمكن حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل.

إذا لم يكن المميز مربعًا كاملاً ، فإن الحلول ستكون غير منطقية. دائمًا ما تحدث الحلول غير المنطقية في أزواج مترافقة ،

الفرق الوحيد بين الحلين هو الإشارة بين المصطلحين. على سبيل المثال ، إذا علمنا أن أحد الحلول لمعادلة تربيعية معينة هو (3 + sqrt <2> text <،> ) ، فيجب أن يكون الحل الآخر (3 - sqrt <2> text <. > )

مثال 6.43.

استخدم المميز لتحديد طبيعة حلول كل معادلة. هل يمكن حل المعادلة بالتحليل؟

  1. (displaystyle x ^ 2 - x - 3 = 0)
  2. ( displaystyle 2x ^ 2 + x + 1 = 0 )
  3. (displaystyle x ^ 2 - 2x - 3 = 0)

(D = ب ^ 2 - 4ac = (-1) ^ 2-4 (1) (- 3) = 13 gt 0 text <.> )

المعادلة لها حلان حقيقيان غير متكافئين. نظرًا لأن (13 ) ليس مربعًا كاملًا ، فإن الحلول ستكون أرقامًا غير منطقية ، لذلك لا يمكن حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل.

(D = ب ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 (2) (1) = -7 lt 0 text <.> )

للمعادلة حلين مركبين لا يمكن إيجادهما بالتحليل إلى عوامل.

(D = ب ^ 2 - 4ac = (-2) ^ 2-4 (1) (- 3) = 16 gt 0 text <.> )

المعادلة لها حلان حقيقيان غير متكافئين. لأن (16 = 4 ^ 2 text <،> ) الحلول أرقام منطقية ويمكن إيجادها بالتحليل.

(يمكنك التحقق من الاستنتاجات أعلاه من خلال حل كل معادلة.)

نقطة تفتيش 6.44.

استخدم المميز لاكتشاف عدد (x ) - التي تعترض الرسم البياني لكل دالة.

في Checkpoint 6.44 ، يجب عليك التحقق من أن التقاطع المفرد (x ) - هو أيضًا رأس القطع المكافئ.

القسم الفرعي رسم القطع المكافئ

بمجرد تحديد رأس القطع المكافئ ، و (x ) - التقاطع ، و (y ) - التقاطع ، يمكننا رسم رسم بياني دقيق بشكل معقول. تذكر أن الرسم البياني يجب أن يكون متماثلًا حول خط عمودي عبر الرأس. نلخص الإجراء على النحو التالي.

لرسم الدالة التربيعية (f (x) = ax ^ 2 + bx + c text ).

حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى (إذا (أ gt 0 )) أو لأسفل (إذا (أ lt 0 )).

حدد موقع قمة القطع المكافئ.

(x ) - إحداثي الرأس هو (x_v = dfrac <-b> <2a> نص <.> )

أوجد (y ) - إحداثيات الرأس بالتعويض عن (x_v ) في معادلة القطع المكافئ.

حدد موقع (x ) - الاعتراضات (إن وجدت) عن طريق تعيين (y = 0 ) وحل لـ (x text <.> )

حدد موقع التقاطع (y ) - من خلال تقييم (y ) لـ (x = 0 text <.> )

حدد موقع النقطة المتماثلة في (ص ) - التقاطع عبر محور التناظر.

مثال 6.45.

ارسم رسمًا بيانيًا للمعادلة (f (x) = x ^ 2 + 3x + 1 text <،> ) يوضح النقاط المهمة.

نحن نتبع الخطوات الموضحة أعلاه.

لأن (a = 1 gt 0 text <،> ) نعلم أن القطع المكافئ يفتح لأعلى.

نحسب إحداثيات الرأس:

الرأس هو النقطة ((- 1.5 ، -1.25) text <.> )

قمنا بتعيين (y ) مساويًا للصفر للعثور على (x ) - تقاطعات.

بالتقريب لأقرب جزء من عشرة ، نجد أن التقاطع (x ) - تقريبًا ((- 2.6، 0) ) و ((- 0.4، 0) text <.> )

نستبدل (x = 0 ) لإيجاد (y ) - التقاطع ، ((0، 1) text <.> )

محور التناظر هو الخط العمودي (س = -1.5 نص <،> ) لذا فإن (ص ) - التقاطع يقع (1.5 ) وحدات على يمين محور التناظر.

يجب أن تكون هناك نقطة أخرى على القطع المكافئ بنفس (y ) - تنسيق مثل (y ) - تقاطع ولكن (1.5 ) الوحدات على يسار محور التناظر. إحداثيات هذه النقطة هي ((- 3 ، 1) نص <.> )

أخيرًا ، ارسم (x ) - التقاطع ، والرأس ، و (y ) - التقاطع ونقطته المتماثلة ، وارسم القطع المكافئ من خلالها. يظهر الرسم البياني النهائي أدناه.


شاهد الفيديو: رسم القطع المكافئ. رسم هندسي. هندسة كهرباء م 1 (شهر اكتوبر 2021).