مقالات

6.3: تحليل ثلاثي الحدود للصيغة ax² + bx + c


أهداف التعلم

  • عامل ثلاثي الحدود من الشكل (ax ^ {2} + bx + c ).
  • حلل ثلاثي الحدود بعامل مشترك.

تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل للصيغة (ax ^ {2} + bx + c )

يمكن أن يكون تحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) أمرًا صعبًا لأن الحد الأوسط يتأثر بعاملي كل من (a ) و (c ). لتوضيح ذلك ، ضع في اعتبارك ثلاثي الحدود مع عوامل التحليل التالية:

(10x ^ {2} + 17x + 3 = (2x + 3) (5x + 1) )

يمكننا الضرب للتحقق من أن هذا هو العامل الصحيح.

( begin {align} (2x + 3) (5x + 1) & = 10x ^ {2} + 2x + 15x + 3 & = 10x ^ {2} + 17x + 3 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

كما رأينا من قبل ، فإن حاصل ضرب أول حد من كل ذي حدين يساوي الحد الأول من ثلاثي الحدود. الحد الأوسط من ثلاثي الحدود هو مجموع حاصل ضرب الحدود الخارجية والداخلية للحدين. حاصل ضرب آخر حد من كل ذي حدين يساوي الحد الأخير من ثلاثي الحدود. بصريا ، لدينا ما يلي:

بشكل عام،

( begin {align} color {Cerulean} {a} color {black} {x ^ {2} +} color {Cerulean} {b} color {black} {x +} color {Cerulean} { c} & = (px + m) (qx + n) & = pqx ^ {2} + pnx + qmx + mn & = color {Cerulean} {pq} color {black} {x ^ { 2} +} color {Cerulean} {(pn + qm)} color {black} {x +} color {Cerulean} {mn} end {align} )

هذا يعطينا ،

[a = pq quad text {and} quad b = pn + qm، quad text {where} quad c = mn ]

باختصار ، عندما يكون المعامل الرئيسي لثلاثي الحدود شيئًا غير (1 ) ، سيكون هناك المزيد الذي يجب مراعاته عند تحديد العوامل باستخدام طريقة التجربة والخطأ. المفتاح يكمن في فهم كيفية الحصول على المدى المتوسط. اضرب ((2x + 5) (3x + 7) ) واتبع تشكيل الحد الأوسط بعناية.

( begin {array} {ccc} {( color {Cerulean} {2x} color {black} {+} color {OliveGreen} {5} color {black} {) (3x + 7) = اللون {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 3x}}} & { underbrace {+ color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 7 +} color {OliveGreen} { 5} color {black} { cdot 3x}}} & {+ color {OliveGreen} {5} color {black} { cdot 7}} {} & { color {Cerulean} {middle : term}} & {} end {array} )

( begin {align} & = 6x ^ {2} + 14x + 15x + 35 & = 6x ^ {2} + 29x + 35 end {align} )

إذا فكرنا في طريقة FOIL لضرب ذات الحدين ، فإن الحد الأوسط ينتج من مجموع حاصل الضرب الداخلي والمنتج الخارجي. في هذه الحالة (14x + 15x = 29x ) كما هو موضح أدناه:

لهذا السبب ، نحتاج إلى البحث عن حاصل ضرب عاملي الحدين الأول والأخير اللذين يساوي مجموعهما معامل الحد الأوسط. على سبيل المثال ، لتحليل العوامل (6x ^ {2} + 29x + 35 ) ، انظر إلى عوامل (6 ) و (35 ).

( start {array} {ccc} {6 = 1 cdot 6} & { quad} & {35 = 1 cdot 35} {= color {OliveGreen} {2 cdot 3}} & { quad} & {= color {OliveGreen} {5 cdot 7}} end {array} )

التركيبة التي تنتج معامل الحد الأوسط هي (2⋅7 + 3⋅5 = 14 + 15 = 29 ). تأكد من أن الحدود الخارجية لها معاملات (2 ) و (7 ) ، وأن الحدود الداخلية لها معاملات (5 ) و (3 ). استخدم هذه المعلومات لتحليل ثلاثي الحدود:

( begin {align} 6x ^ {2} + 29x + 35 & = (2x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {؟} اللون {أسود} {)} & = (2x + 5) (3x + 7) end {align} )

مثال ( PageIndex {1} )

عامل:

(3x ^ {2} + 7x + 2 ).

المحلول:

نظرًا لأن المعامل الرئيسي والحد الأخير كلاهما أولي ، فهناك طريقة واحدة فقط لتحليل كل منهما.

(3 = 1 cdot 3 quad text {and} quad 2 = 1 cdot 2 )

ابدأ بكتابة عوامل الحد الأول (3x ^ {2} ) على النحو التالي:

(3x ^ {2} + 7x + 2 = (x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

كلا المصطلحين الأوسط والأخير إيجابي ؛ لذلك ، يتم اختيار عوامل (2 ) كأرقام موجبة. في هذه الحالة ، يكون الخيار الوحيد هو أي تجميع لوضع هذه العوامل.

((x + 1) (3x + 2) quad text {or} quad (x + 2) (3x + 1) )

حدد التجميع الصحيح بضرب كل تعبير.

( start {align} (x + 1) (3x + 2) & = 3x ^ {2} + 2x + 3x + 2 & = 3x ^ {2} + 5x + 2 quad color {red} {x} (x + 2) (3x + 1) & = 3x ^ {2} + x + 6x + 2 & = 3x ^ {2} + 7x + 2 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

لاحظ أن هذه المنتجات تختلف فقط في شروطها المتوسطة. لاحظ أيضًا أن الحد الأوسط هو مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي ، كما هو موضح أدناه:

إجابه:

((س + 2) (3 س + 1) )

مثال ( PageIndex {2} )

عامل:

(12x ^ {2} + 38x + 20 ).

المحلول:

أولاً ، ضع في اعتبارك عوامل الحد الأول والأخير.

( start {array} {ccc} {12 = 1 cdot 12} & { quad} & {20 = 1 cdot 20} {= 2 cdot 6} & { quad} & {= 2 cdot 10} {= 3 cdot 4} & { quad} & {= 4 cdot 5} end {array} )

نبحث عن حاصل ضرب عوامل مجموعها يساوي معامل الحد الأوسط (38 ). للإيجاز ، يتم توضيح عملية التفكير بدءًا من العوامل (2 ) و (6 ). يبدأ التحليل في هذه المرحلة بالمصطلح الأول.

(12x ^ {2} + 38x + 20 = (2x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (6x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

نبحث عن عوامل العدد 20 التي تنتج حدًا متوسطًا 38x مع عوامل العدد 12

( start {array} {lll} {Factors : of : 20} & {Possible} & {factorization} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 1) ( 6x + 20)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 46x}} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 20) (6x + 1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 122x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 2) (6x + 10)} & { color { سيرولين} {middle : term Rightarrow 32x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 10) (6x + 2)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 64x}} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & {(2x + 4) (6x + 5)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 34x }} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & { color {OliveGreen} {(2x + 5) (6x + 4)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow 38x} quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

هنا ينتج عن المجموعة الأخيرة حد متوسط ​​ (38x ).

إجابه:

((2 س + 5) (6 س + 4) )

مثال ( PageIndex {3} )

عامل:

(10x ^ {2} −23x + 6 ).

المحلول

أولاً ، ضع في اعتبارك عوامل الحد الأول والأخير.

( start {array} {ccc} {10 = 1 cdot 10} & { quad} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 5} & { quad} & {= 2 cdot 3} نهاية {مجموعة} )

نحن نبحث عن حاصل ضرب عوامل مجموعها يساوي معامل الحد الأوسط (- 23 ). يبدأ التحليل في هذه المرحلة بمجموعتين من الأقواس الفارغة:

(10x ^ {2} -23x + 6 = ( quad) ( quad) )

نظرًا لأن الحد الأخير موجب والحد الأوسط سلبي ، فنحن نعلم أن كلا عاملي الحد الأخير يجب أن يكون سالبًا. نقوم هنا بإدراج جميع التركيبات الممكنة مع عوامل (10x ^ {2} = 2x⋅5x ).

(10x ^ {2} -23x + 6 = (2x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

( start {array} {ll} {(2x-1) (5x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -17x}} {(2x-6) (5x -1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -32x}} {(2x-2) (5x-3)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -16x}} {(2x-3) (5x-2)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -19x}} end {array} )

لا توجد مجموعة ينتج عنها حد متوسط ​​ (- 23x ). ننتقل بعد ذلك إلى عوامل (10x ^ {2} = 10x⋅x ) وسرد جميع التركيبات الممكنة:

(10x ^ {2} -23x + 6 = (10x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

( start {array} {ll} {(10x-1) (x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -61x}} {(10x-6) (x -1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -162x}} {(10x-2) (x-3)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -32x}} { color {OliveGreen} {(10x-3) (x-2)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow -23x} quad color {Cerulean} { checkmark}} نهاية {مجموعة} )

ويمكننا أن نكتب

إجابه:

((10x-3) (x-2) ). الاختيار الكامل متروك للقارئ.

يمكننا تقليل الكثير من التخمين الذي ينطوي عليه تحليل العوامل ثلاثية الحدود إذا أخذنا في الاعتبار جميع عوامل المصطلحين الأول والأخير ومنتجاتهما.

مثال ( PageIndex {4} )

عامل:

(5x ^ {2} + 38x-16 ).

المحلول:

نبدأ بعوامل (5 ) و (16 ).

( start {array} {cc} {} & {16 = 1 cdot 16} {5 = 1 cdot 5} & {= 2 cdot 8} {} & {= 4 cdot 4 } نهاية {مجموعة} )

نظرًا لأن المعامل الرئيسي أساسي ، فيمكننا البدء بما يلي:

(5x ^ {2} + 38x-16 = (x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

نبحث عن حاصل ضرب العوامل 5 و 16 التي يمكن أن تضيف إلى 38.

( start {array} {lll} {Factors : of : 16} & {Possible} & {products} { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color { Cerulean} {1} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {16}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 1 : and : 80} } { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color {Cerulean} {16} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} { 1}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 16 : and : 5}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {2} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {8}} & { color {OliveGreen} {products Rightarrow : 2 : and : 40} quad color {Cerulean} { checkmark}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {8} : color {black} {and : 5 } cdot color {Cerulean} {2}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 8 : and : 10}} { color {Cerulean} {4 cdot 4}} & {1 cdot color {Cerulean} {4} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {4}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 4 : و : 20}} نهاية {مجموعة} )

نظرًا لأن الحد الأخير سلبي ، يجب أن نبحث عن العوامل ذات الإشارات المعاكسة. هنا يمكننا أن نرى أن المنتجين 2 و 40 يصل مجموعهما إلى 38 إذا كانت لهما علامات معاكسة:

(1 cdot ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {) + 5 cdot} color {Cerulean} {8} color {black} {= - 2 + 40 = 38} )

لذلك ، استخدم (- 2 ) و (8 ) كعاملي (16 ) ، مع التأكد من أن المنتجات الداخلية والخارجية هي (- 2x ) و (40x ):

إجابه:

((س + 8) (5 س -2) ). الاختيار الكامل متروك للقارئ.

بعد الكثير من التدريب ، يمكن إجراء العملية الموضحة في المثال السابق عقليًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

عامل:

(12 × ^ {2} -31 × 30 )

إجابه

((3x-10) (4x + 3) )

عند إعطاء قيم ثلاثية ذات متغيرات متعددة ، تكون العملية متشابهة.

مثال ( PageIndex {5} )

عامل:

(9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} ).

المحلول:

ابحث عن عوامل المصطلحين الأول والأخير بحيث يكون مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي يساوي الحد الأوسط.

( start {array} {cc} {9x ^ {2} = 1x cdot 9x} & {25y ^ {2} = 1y cdot 25y} {= 3x cdot 3x} & {= 5y cdot 5y} نهاية {مجموعة} )

أضف المنتجات التالية للحصول على الحد الأوسط: (3x⋅5y + 3x⋅5y = 30xy ).

( start {align} 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} & = (3x quad) (3x quad) & = (3x + 5y) (3x + 5y) & = (3x + 5y) ^ {2} end {align} )

في هذا المثال ، لدينا ثلاثي حدود مربع كامل. التحقق من.

( begin {align} (3x + 5y) ^ {2} & = 9x ^ {2} +2 cdot 3x cdot 5y + 25y ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

إجابه:

((3x + 5y) ^ {2} )

تمرين ( PageIndex {2} )

عامل:

(16x ^ {2} −24xy + 9y ^ {2} ).

إجابه

((4x-3y) ^ {2} )

تحليل ثلاثي الحدود مع العوامل المشتركة

من الممارسات الجيدة أن تُستخرج أولاً من الصندوق الأخضر للمناخ ، إذا كان هناك عامل واحد. يؤدي القيام بذلك إلى إنتاج عامل ثلاثي الحدود مع معاملات أصغر. كما رأينا ، تتطلب المعاملات الثلاثية ذات المعاملات الأصغر جهدًا أقل بكثير في التحليل. هذه الخطوة التي يتم التغاضي عنها بشكل شائع تستحق التحديد في وقت مبكر.

مثال ( PageIndex {6} )

عامل:

(12x ^ {2} -27x + 6 ).

المحلول:

ابدأ بإخراج العامل GCF.

(12x ^ {2} -27x + 6 = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) )

بعد أخذ 3 في الاعتبار ، تكون معاملات ثلاثي الحدود الناتج أصغر وتحتوي على عدد أقل من العوامل.

( start {array} {cc} {4 = color {OliveGreen} {1 cdot 4}} & {2 = color {OliveGreen} {1 cdot 2}} {= 2 cdot 2} & {} end {array} )

بعد بعض التفكير ، يمكننا أن نرى أن المجموعة التي تعطي معامل الحد الأوسط هي (4 (−2) +1 (−1) = - 8−1 = −9 ).

( begin {align} 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 3 (4x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (x} quad color {Cerulean } {؟} color {black} {)} & = 3 (4x-1) (x-2) end {align} )

التحقق من.

( begin {align} 3 (4x-1) (x-2) & = 3 (4x ^ {2} -8x-x + 2) & = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 12x ^ {2} -27x + 6 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

العامل (3 ) جزء من الصيغة المحللة إلى عوامل للتعبير الأصلي ؛ تأكد من إدراجه في الإجابة.

إجابه:

(3 (4x-1) (x-2) )

من الممارسات الجيدة العمل باستمرار مع القيم الثلاثية حيث يكون المعامل الرئيسي موجبًا.

مثال ( PageIndex {7} )

عامل:

(- x ^ {2} + 2x + 15 ).

المحلول

في هذا المثال ، المعامل الرئيسي هو (- 1 ). قبل بدء عملية العوملة ، استخرج (- 1 ):

(- x ^ {2} + 2x + 15 = -1 (x ^ {2} -2x-15) )

في هذه المرحلة ، حلل ثلاثي الحدود المتبقي كالمعتاد ، وتذكر كتابة (- 1 ) كعامل في إجابتك النهائية. لأن (3 + (−5) = −2 ) ، استخدم (3 ) و (5 ) كعوامل (15 ).

( start {align} -x ^ {2} + 2x = 15 & = - 1 (x ^ {2} -2x-15) & = - 1 (x quad) (x quad) & = - (س + 3) (س -5) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

(- 1 (س + 3) (س -5) ). الشيك متروك للقارئ.

مثال ( PageIndex {8} )

عامل:

(- 60 أ ^ {2} -5 أ + 30 )

المحلول

العامل المشترك الأكبر لجميع المصطلحات هو (5 ). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، أخرج العامل (- 5 ) لأن هذا ينتج عاملاً ثلاثي الحدود حيث يكون المعامل الرئيسي موجبًا.

(- 60a ^ {2} -5a + 30 = -5 (12a ^ {2} + a-6) )

ركز على عاملي (12 ) و (6 ) اللذين يجتمعان لإعطاء المعامل الأوسط (1 ).

( start {array} {cc} {12 = 1 cdot 12} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 6} & {= color {OliveGreen} {2 cdot 3} } {= color {OliveGreen} {3 cdot 4}} & {} end {array} )

بعد الكثير من التفكير نجد أن (3⋅3−4⋅2 = 9−8 = 1 ). حلل ثلاثي الحدود المتبقي إلى عوامل.

( begin {align} -60a ^ {2} -5a + 30 & = - 5 (12a ^ {2} + a-6) & = - 5 (4a quad) (3a quad) & = -5 (4a + 3) (3a-2) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

(- 5 (4a + 3) (3a-2) ). الشيك متروك للقارئ.

تمرين ( PageIndex {3} )

عامل:

(24 + 2x − x ^ {2} ).

إجابه

(- 1 (س − 6) (س + 4) )

التحليل باستخدام طريقة AC

في هذا القسم ، نقوم بتحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) باستخدام طريقة AC الموصوفة سابقًا.

مثال ( PageIndex {9} )

عامل باستخدام طريقة التيار المتردد:

(18x ^ {2} −21x + 5 ).

المحلول:

هنا (أ = 18 ، ب = −21 ) ، و (ج = 5 ).

( start {align} ac & = 18 (5) & = 90 end {align} )

حلل إلى عوامل (90 ) وابحث عن العوامل التي مجموعها (- 21 ).

( begin {align} 90 & = 1 (90) & = 2 (45) & = 3 (30) & = 5 (18) & = color {OliveGreen} {6 (15 )} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 9 (10) end {align} )

في هذه الحالة ، مجموع العوامل (- 6 ) و (- 15 ) يساوي المعامل الأوسط ، (- 21 ). لذلك (- 21x = −6x − 15x ) ويمكننا الكتابة

(18x ^ {2} color {OliveGreen} {- 21x} color {black} {+ 5 = 18x ^ {2}} color {OliveGreen} {- 6x-15x} color {black} {+ 5 } )

حلل التعبير المكافئ إلى عوامل بالتجميع.

( begin {align} 18x ^ {2} -21x + 5 & = 18x ^ {2} -6x-15x + 5 & = 6x (3x-1) -5 (3x-1) & = ( 3x-1) (6x-5) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

((3x-1) (6x-5) )

مثال ( PageIndex {10} )

حلل باستخدام طريقة التيار المتردد: (9x ^ {2} −61x − 14 ).

المحلول:

هنا (أ = 9 ، ب = -61 ) ، و (ج = -14 ).

نحن عامل (- 126 ) على النحو التالي:

( begin {align} -126 & = 1 (-126) & = color {OliveGreen} {2 (-63)} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 3 (-42 ) & = 6 (-21) & = 7 (-18) & = 9 (-14) نهاية {محاذاة} )

مجموع العوامل (2 ) و (- 63 ) يساوي المعامل الأوسط (- 61 ). استبدل (- 61x ) بـ (2x − 63x ):

( begin {align} 9x ^ {2} -61x-14 & = 9x ^ {2} + 2x-63x-14 quad color {Cerulean} {Rearrange : the : terms.} & = 9x ^ {2} -63x + 2x-14 quad color {Cerulean} {Factor : by : grouping.} & = 9x (x-7) +2 (x-7) & = (x -7) (9x + 2) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

((س -7) (9 س + 2) ). الشيك متروك للقارئ.

الماخذ الرئيسية

  • إذا كانت ثلاثية الحدود من النموذج (ax ^ {2} + bx + c ) عوامل في حاصل ضرب حدين ، فسيكون معامل الحد الأوسط هو مجموع حاصل ضرب عوامل الحد الأول والأخير.
  • إذا كان لدى ثلاثي الحدود عامل مشترك أكبر ، فمن أفضل الممارسات أن نخرج العامل المشترك الأكبر أولاً قبل محاولة تضمينه في منتج ذي الحدين.
  • إذا كان المعامل الرئيسي لثلاثية الحدود سالبًا ، فمن الأفضل تحليل هذا العامل السالب قبل محاولة تحليل ثلاثي الحدود.
  • يتطلب تحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) الكثير من الممارسة والصبر. من المهم للغاية أن تأخذ الوقت الكافي لتصبح ماهرًا من خلال ممارسة الكثير من التمارين.

تمرين ( PageIndex {4} ) تحليل العوامل الثلاثية

عامل.

  1. (3x ^ {2} −14x − 5 )
  2. (5x ^ {2} + 7x + 2 )
  3. (2x ^ {2} + 5x − 3 )
  4. (2x ^ {2} + 13x − 7 )
  5. (2x ^ {2} + 9x − 5 )
  6. (7x ^ {2} + 20x − 3 )
  7. (7x ^ {2} −46x − 21 )
  8. (3 س ^ {2} + س − 2 )
  9. (5x ^ {2} + 34x − 7 )
  10. (5x ^ {2} −28x − 12 )
  11. (9x ^ {2} −12x + 4 )
  12. (4x ^ {2} −20x + 25 )
  13. (49x ^ {2} + 14x + 1 )
  14. (25x ^ {2} −10x + 1 )
  15. (2x ^ {2} + 7x + 16 )
  16. (6x ^ {2} −19x − 10 )
  17. (27x ^ {2} + 66x − 16 )
  18. (12x ^ {2} −88x − 15 )
  19. (12y ^ {2} −8y + 1 )
  20. (16y ^ {2} −66y − 27 )
  21. (9x ^ {2} −12xy + 4y ^ {2} )
  22. (25x ^ {2} + 40x + 16 )
  23. (15x ^ {2} −26xy + 8y ^ {2} )
  24. (12a ^ {2} −4ab − 5b ^ {2} )
  25. (4x ^ {2} y ^ {2} + 16xy − 9 )
  26. (20x ^ {2} y ^ {2} + 4xy − 7 )
  27. تُعطى مساحة المستطيل بالدالة (A (x) = 3x ^ {2} −10x + 3 ) ، حيث يقاس (x ) بالأمتار. أعد كتابة هذه الدالة في شكل عامل.
  28. تُعطى مساحة المستطيل بالدالة (A (x) = 10x ^ {2} −59x − 6 ) ، حيث يقاس (x ) بالأمتار. أعد كتابة هذه الدالة في شكل عامل.
إجابه

1. ((س − 5) (3 س + 1) )

3. ((س + 3) (2 س − 1) )

5. ((س + 5) (2 س − 1) )

7. ((س − 7) (7 س + 3) )

9. ((س + 7) (5 س − 1) )

11. ((3x − 2) ^ {2} )

13. ((7x + 1) ^ {2} )

15. رئيس الوزراء

17. ((3 س + 8) (9 س − 2) )

19. ((6y − 1) (2y − 1) )

21. ((3x − 2y) ^ {2} )

23. ((3 س − 4 ص) (5 س − 2 ص) )

25. ((2xy − 1) (2xy + 9) )

27. (A (x) = (3x − 1) (x − 3) )

تمرين ( PageIndex {5} ) تحليل العوامل الثلاثية ذات العوامل المشتركة

عامل.

  1. (6x ^ {2} −20x − 16 )
  2. (45x ^ {2} + 27x − 18 )
  3. (20x ^ {2} −20x + 5 )
  4. (3x ^ {2} + 39x − 90 )
  5. (16x ^ {2} + 26x − 10 )
  6. (54x ^ {2} −15x + 6 )
  7. (45x ^ {2} −45x − 20 )
  8. (90 × ^ {2} + 300 × + 250 )
  9. (40x ^ {2} −36xy + 8y ^ {2} )
  10. (24a ^ {2} ب ^ {2} + 18ab − 81 )
  11. (6x ^ {2} ص ^ {2} + 46xy + 28 )
  12. (2x ^ {5} + 44x ^ {4} + 144x ^ {3} )
  13. (5x ^ {3} −65x ^ {2} + 60x )
  14. (15a ^ {4} b ^ {2} −25a ^ {3} b − 10a ^ {2} )
  15. (6a ^ {4} b + 2a ^ {3} b ^ {2} −4a ^ {2} b ^ {3} )
  16. (20a ^ {3} b ^ {2} −60a ^ {2} b ^ {3} + 45ab ^ {4} )
إجابه

1. (2 (س − 4) (3 س + 2) )

3. (5 (2x − 1) ^ {2} )

5. (2 (8x ^ {2} + 13x − 5) )

7. (5 (3 س − 4) (3 س + 1) )

9. (4 (5x − 2y) (2x − y) )

11. (2 (س ص + 7) (3 س ص + 2) )

13. (5x (x − 12) (x − 1) )

15. (2 أ ^ {2} ب (3 أ − 2 ب) (أ + ب) )

تمرين ( PageIndex {6} ) تحليل العوامل الثلاثية ذات العوامل المشتركة

أخرج العامل (- 1 ) ثم عامل آخر.

  1. (- س ^ {2} −4x + 21 )
  2. (- س ^ {2} + س + 12 )
  3. (- س ^ {2} + 15x − 56 )
  4. (- س ^ {2} + س + 72 )
  5. (- ص ^ {2} + 10 س − 25 )
  6. (- ص ^ {2} −16y − 64 )
  7. (36−9a − a ^ {2} )
  8. (72−6a − a ^ {2} )
  9. (32 + 4x − x ^ {2} )
  10. (200 + 10x − x ^ {2} )
إجابه

1. (- 1 (س − 3) (س + 7) )

3. (- 1 (x − 7) (x − 8) )

5. (- 1 (ص − 5) ^ {2} )

7. (- 1 (أ − 3) (أ + 12) )

9. (- 1 (x − 8) (x + 4) )

تمرين ( PageIndex {7} ) تحليل العوامل الثلاثية ذات العوامل المشتركة

أخرج العامل المشترك السالب أولاً ثم عامله أكثر إن أمكن.

  1. (- 8x ^ {2} + 6x + 9 )
  2. (- 4x ^ {2} + 28x − 49 )
  3. (- 18x ^ {2} −6x + 4 )
  4. (2 + 4x − 30x ^ {2} )
  5. (15 + 39x − 18x ^ {2} )
  6. (90 + 45x − 10x ^ {2} )
  7. (- 2x ^ {2} + 26x + 28 )
  8. (- 18x ^ {3} −51x ^ {2} + 9x )
  9. (- 3x ^ {2} y ^ {2} + 18xy ^ {2} −24y ^ {2} )
  10. (- 16a ^ {4} + 16a ^ {3} b − 4a ^ {2} b ^ {2} )
  11. يتم تحديد ارتفاع المقذوف بالأقدام من خلال الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 80 ) ، حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد الإطلاق. أعد كتابة الدالة المعطاة في صورة محللة إلى عوامل.
  12. يتم تحديد ارتفاع المقذوف بالأقدام من خلال الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 192 ) ، حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد الإطلاق. أعد كتابة الدالة المعطاة في صورة محللة إلى عوامل.
إجابه

1. (- (2x − 3) (4x + 3) )

3. (- 2 (3x − 1) (3x + 2) )

5. (- 3 (2x − 5) (3x + 1) )

7. (- 2 (س − 14) (س + 1) )

9. (- 3y ^ {2} (x − 4) (x − 2) )

11. (ح (ر) = - 16 (ر + 1) (ر − 5) )

تمرين ( PageIndex {8} ) التحليل باستخدام طريقة التيار المتردد

حلل باستخدام طريقة AC.

  1. (2x ^ {2} + 5x − 7 )
  2. (3x ^ {2} + 7x − 10 )
  3. (4x ^ {2} −25x + 6 )
  4. (16x ^ {2} −38x − 5 )
  5. (6x ^ {2} + 23x − 18 )
  6. (8x ^ {2} + 10x − 25 )
  7. (4x ^ {2} + 28x + 40 )
  8. (- 6x ^ {2} −3x + 30 )
  9. (12x ^ {2} −56xy + 60y ^ {2} )
  10. (20x ^ {2} + 80xy + 35y ^ {2} )
إجابه

1. ((س − 1) (2 س + 7) )

3. ((x − 6) (4x − 1) )

5. ((2x + 9) (3x − 2) )

7. (4 (س + 2) (س + 5) )

9. (4 (س − 3 ص) (3 س − 5 ص) )

تمرين ( PageIndex {9} ) مواضيع لوحة المناقشة

  1. قم بإنشاء ثلاثي الحدود الخاص بك بالشكل (ax ^ {2} + bx + c ) هذا العامل. شاركه مع الحل على لوحة المناقشة.
  2. اكتب قائمة الخطوات الخاصة بك لتحليل ثلاثي الحدود للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) وشاركه في لوحة المناقشة.
  3. أنشئ صيغة ثلاثية من الشكل (ax ^ {2} + bx + c ) لا تأخذ في الاعتبار وشاركها مع سبب عدم تأثيرها.
إجابه

1. قد تختلف الإجابات

3. قد تختلف الإجابات


العوملة ثلاثية الحدود - تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل

إن القيم الثلاثية هي تعبيرات جبرية بها ثلاثة حدود. تأخذ ثلاثي الحدود التربيعي شكل أ × 2 × 2 + بx + c و a و b و c كلها تعني رقمًا.

من أجل تحليل القيم الثلاثية ، يجب عليك العمل لإيجاد رقمين يضربهما ليساوي "ج" من الصيغة التربيعية أعلاه ، ويضيف أيضًا ما يساوي "ب". هذه هي خطوات الأسئلة الأسهل حيث يكون الحرف الأول "a" مساويًا لـ 1. للمشكلات الصعبة ، سيكون "a" رقمًا ليس واحدًا. يجب عليك أولاً ضرب "أ" و "ج" ، ثم إيجاد عوامل المنتج "أ * ج" التي تضاف أيضًا إلى "ب".

سوف نستكشف هذا من خلال أمثلة الأسئلة لتوضيح كيفية تحليل القيم الثلاثية.

في هذا المثال ، سنستخدم طريقة "الضرب التبادلي ، ثم تحقق" لتحليل ثلاثي الحدود. هذه إحدى طرق تحليل القيم الثلاثية.

استخدم الضرب التبادلي وتحقق من عامل ثلاثي الحدود حلل المصطلح b ^ 2 إلى عوامل ووضعها في المربع الأول

حلل الحد الأخير -20 إلى عوامل. هناك عدد قليل من التركيبات (1 × 20 ، 2 × 10 ، 4 × 5) التي يمكن أن تعطينا 20 ، فما هو هذا؟ سنقوم بضرب هذه المجموعات مع عوامل الحد الأول. تعرف على المجموعة التي ستنتج إجابة تطابق الحد الأوسط (في هذا السؤال ، الحد الأوسط هو & ndashb).

مجموعة تطابق المدى المتوسط

من بين هذه المجموعات ، 4X-5 (التي تساوي -1) قادرة على إنتاج المدى المتوسط ​​المطابق -b.

اكتشف أن 4 ، -5 تتطابق مع الحد الأوسط تم تحليل b ^ 2-b-20 إلى عوامل بنجاح

يمكن أيضًا استخدام طريقة "الضرب التبادلي ، ثم التحقق" في المعادلات الثلاثية الأصعب التي لا يكون فيها المعامل الأول 1. في هذا السؤال ، المعامل الأول هو 2 (من المصطلح الرئيسي 2 × 2 2 2 × 2).

حلل المصطلح الأول 2x ^ 2 إلى الخانة الأولى

من أجل تحليل الحد الأخير +12 ، هناك عدد قليل من التركيبات (1 × 12 ، 2 × 6 ، 3 × 4). سنقوم مرة أخرى بضرب هذه التوليفات مع عوامل الحد الأول. تعرف على المجموعة التي ستنتج حدًا متوسطًا مطابقًا (في هذا السؤال ، الحد الأوسط هو + 25x)

ابحث عن المجموعة التي تطابق 25x

من بين هذه المجموعات ، 1 × 12 قادر على إنتاج الحد الأوسط المطابق + 25x. ذلك لأن (2x × 12) + (x × 1) = 24x + x = 25x

اكتشف أن 12 و 1 يتطابقان مع الحد الأوسط 25x تم تحليل 2x ^ 2 + 25x + 12 إلى عوامل بنجاح

متعدد الحدود إلى عوامل: ax² + bx + c

تساعد هذه الحزمة الطلاب على فهم كيفية تحليل المعادلات التربيعية الأكثر تقدمًا. سيستخدم الطلاب التحليل لإيجاد الحلين (يطلق عليهما أيضًا الجذور أو تقاطع x) لمعادلة تربيعية (والتي يتم رسمها على شكل قطع مكافئ). التحليل هو عملية إيجاد حدين - بالنسبة للمعادلات التربيعية ، ستكون هذه المصطلحات ذات حدين - يمكن ضربهما معًا للحصول على المعادلة التربيعية.

كثير من الطلاب على دراية باستخدام عملية FOIL لمضاعفة القيم ذات الحدين. تحليل المعادلات التربيعية ضروري ، عكس استخدام FOIL لتحويل زوج من ذات الحدين إلى كثير الحدود. فمثلا:

إذا حصلت على المشكلة: $ (x-2) (x + 4) $

يمكنك استخدام FOIL (التي تعني "ضرب المصطلحات الأولى ، ثم المصطلحات الخارجية ، ثم المصطلحات الداخلية ، ثم المصطلحات الأخيرة") للحصول على: $ x ^ 2 + 4x-2x-8 $ ،

والتي يمكن تبسيطها إلى $ x ^ 2 + 2x-8 $

من ناحية أخرى ، إذا أعطيت التعبير $ x ^ 2 + 2x-8 $ وطُلب منك تحليله

(أو إذا تم إعطاؤك $ x ^ 2 + 2x-8 $ = 0 وطلب منك حلها) ،

$ x times x = x ^ 2 $ ، و $ -2 مرات 4 = -8 $ في حين $-2+4=2$,

تبدأ كل صفحة بمشكلات أسهل تزداد صعوبة عندما يعمل الطلاب من خلال الحزمة. أبسط المشاكل في الشكل القياسي. تتطلب المشكلات الأكثر تقدمًا من الطلاب تبسيط المصطلحات المتشابهة والجمع بينها قبل أن يحللوا المشكلة.

بعد حل جميع المشكلات الـ 36 ، يجب أن يشعر الطلاب براحة أكبر عند القيام بهذه المشكلات وأن يكون لديهم فهم واضح لكيفية حلها.


ماذا يقول المعلمون عن Mangahigh

نحن محبوبون من قبل كل من المعلمين والطلاب على مستوى العالم. هذا هو الدليل!

يحول Mangahigh طلابنا إلى "مدمني الرياضيات" يتنافسون مع بعضهم البعض للحصول على أعلى الدرجات والميداليات الذهبية. وبما أن الاختبارات القصيرة تكافئ كلا من الاستدعاء الدقيق للمعرفة والفهم المفاهيمي العميق ، فإن كل ساعة يقضونها في الاستمتاع تجعلهم علماء رياضيات أفضل. خمس نجوم.

توم دينج

أكاديمية آرك ، ويمبلي ، لندن

لقد استخدمت Mangahigh في فصلي لأكثر من 5 سنوات. ما يجعلني أعود هي ألعاب الرياضيات ومجموعة واسعة من المفاهيم التي يتم تقديمها. لكن أفضل جزء هو حقيقة أن الأطفال يحبون لعبها. لدي طلاب يتوسلون إليّ أن أسند إليهم تحديات المعلم! التسول لمزيد من الرياضيات؟ أنا موافق على ذلك!!

رينيه هيرنانديز

المدرسة الابتدائية الخضراء ، ألين ، تكساس

لقد أحبها الأطفال وهو طالب ADHD لم يكن قادرًا من قبل على التركيز في الفترات الأخيرة من اليوم لم يتوقف حتى حصل على ميدالية! هائل على الاطلاق! والدته تشعر بسعادة غامرة ، وبقية غرفة فريق الرياضيات كانت مذهولة!


مثال

مثال 1

بالنسبة إلى العوامل الثلاثية التالية x 2 + 3x + 2 ، ننتقل على النحو التالي:

عليك أن تجد رقمين بحيث تكون النتيجة 3 عند إضافتهما ، وعندما تضربه تكون النتيجة 2.

بعد إجراء الاستقصاء ، يمكن استنتاج أن الأرقام المطلوبة هي: 2 و 1. لذلك ، x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

مثال 2

بالنسبة للعامل ثلاثي الحدود x 2 -5x + 6 ، نبحث عن عددين مجموعهما -5 وحاصل الضرب 6. والأرقام التي تحقق هذين الشرطين هي -3 و -2. لذلك ، فإن تحليل ثلاثي الحدود المعطى هو x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2


ماذا يقول المعلمون عن Mangahigh

نحن محبوبون من قبل كل من المعلمين والطلاب على مستوى العالم. هذا هو الدليل!

Mangahigh يحول طلابنا إلى "مدمني الرياضيات" الذين يتنافسون مع بعضهم البعض للحصول على أعلى الدرجات والميداليات الذهبية. وبما أن الاختبارات القصيرة تكافئ كلا من الاستدعاء الدقيق للمعرفة والفهم المفاهيمي العميق ، فإن كل ساعة يقضونها في الاستمتاع تجعلهم علماء رياضيات أفضل. خمس نجوم.

توم دينج

أكاديمية آرك ، ويمبلي ، لندن

لقد استخدمت Mangahigh في فصلي لأكثر من 5 سنوات. ما يجعلني أعود هي ألعاب الرياضيات ومجموعة واسعة من المفاهيم التي يتم تقديمها. لكن أفضل جزء هو حقيقة أن الأطفال يحبون لعبها. لدي طلاب يتوسلون إليّ أن أسند إليهم تحديات المعلم! التسول لمزيد من الرياضيات؟ أنا موافق على ذلك!!

رينيه هيرنانديز

المدرسة الابتدائية الخضراء ، ألين ، تكساس

لقد أحبها الأطفال وهو طالب ADHD لم يكن قادرًا من قبل على التركيز في الفترات الأخيرة من اليوم لم يتوقف حتى حصل على ميدالية! هائل على الاطلاق! والدته تشعر بسعادة غامرة ، وبقية غرفة فريق الرياضيات كانت مذهولة!


ثلاثي الحدود هو متعدد الحدود من الدرجة الثانية (أو متعدد الحدود من الدرجة 2) والذي يتكون بشكل عام من ثلاثة مصطلحات:
$ a ^ <2> + bx + c، $

حيث (a neq 0 ). في كثير من الحالات ، يمكن تحليل أو تمثيل ثلاثي الحدود كمنتج من حدين:
$ a ^ <2> + bx + c = (px + q) (rx + s). $

تعتبر عملية تحليل كثيرات الحدود أمرًا ضروريًا لتبسيط العديد من التعبيرات الجبرية وهي أداة مفيدة في حل معادلات الدرجة الأعلى. تستخدم هذه العملية على نطاق واسع في حالة كثيرات الحدود مع معامل عدد صحيح. لذا فإن الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت تتعامل مع المعاملات الثلاثية ذات المعاملات الصحيحة فقط.

تفترض الخوارزمية ، المستخدمة في حاسبة المعاملات الثلاثية ، تمثيل ثلاثي الحدود بالشكل:
$ a ^ <2> + bx + c = a ^ <2> + mx + nx + c، $

حيث تستوفي الأعداد الصحيحة (m ) و (n ) الشروط التالية: (m + n = b ) ، (mn = ac. )

بمجرد العثور على (m ) و (n ) ، نستخدم التجميع وخاصية التوزيع لتحليل ثلاثي الحدود أخيرًا.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

تحقق من حاسبات الجبر الأخرى مثل إكمال الحاسبة المربعة أو حاسبة المربع المثالي.


حل المعادلات التربيعية بالتحليل

استخدم العوملة لإنشاء أشكال مكافئة من كثيرات الحدود.

قم بتقييم وتبسيط التعبيرات الجبرية ، على سبيل المثال: منتجات / حاصل معاملات كثيرات الحدود والتعبيرات اللوغاريتمية والكسور المعقدة وحل المعادلات والتباينات الخطية والتربيعية والأسية واللوغاريتمية ورسمها البياني وحل نظم المعادلات والمتباينات ورسمها البياني.

العمليات بالأرقام والتعبيرات الحقيقية

المعادلات غير الخطية

عامل التعبيرات الجبرية ، بما في ذلك الفرق بين المربعات وثلاثية الحدود (تقتصر ثلاثيات الحدود على الشكل ax 2 + bx + c حيث a يساوي 1 بعد أخذ العوامل الأحادية في الاعتبار).

  • تعرض عائلات الوظائف خصائص وسلوكيات يمكن التعرف عليها عبر التمثيلات. يمكن تحويل الدوال ودمجها وتكوينها لإنشاء وظائف جديدة في مواقف رياضية وحقيقية.
  • الدوال الرياضية هي العلاقات التي تعين كل عضو في مجموعة واحدة (مجال) لعضو فريد من مجموعة أخرى (نطاق) ، والعلاقة يمكن التعرف عليها عبر التمثيلات.
  • يمكن أن تمثل الأرقام والقياسات والتعبيرات والمعادلات وعدم المساواة مواقف وهياكل رياضية في العديد من الأشكال المكافئة.
  • تعرض الأنماط علاقات يمكن تمديدها ووصفها وتعميمها.
  • العلاقات والوظائف هي علاقات رياضية يمكن تمثيلها وتحليلها باستخدام الكلمات والجداول والرسوم البيانية والمعادلات.
  • هناك بعض العلاقات الرياضية التي تكون صحيحة دائمًا وتستخدم هذه العلاقات كقواعد حسابية وجبر ومفيدة لكتابة أشكال معادلة من التعبيرات وحل المعادلات والمتباينات.
  • الخصائص والعمليات والتمثيلات الجبرية
  • تحليل بيانات متغير واحد ومتغيرين (أحادي المتغير وثنائي المتغير)
  • الدوال والمعادلات الأسية
  • وظائف وتمثيلات متعددة
  • العلاقات الخطية: المعادلة والمتباينات في متغير واحد ومتغيرين
  • نظام المعادلات الخطية والمتباينات
  • دوال ومعادلات كثيرة الحدود
  • الدوال والمعادلات التربيعية
  • توسيع الخصائص والعمليات الجبرية إلى التعبيرات والمعادلات التربيعية والأسية ومتعددة الحدود والمصفوفات ، وتطبيقها لحل مشاكل العالم الحقيقي.
  • تمثيل دالة متعددة الحدود بطرق متعددة ، بما في ذلك علامات الجدولة والرسوم البيانية والمعادلات والمواقف السياقية ، وإنشاء روابط بين التمثيلات التي تربط حل المعادلة متعددة الحدود المرتبطة بكل تمثيل.
  • تمثيل دالة تربيعية بعدة طرق ، بما في ذلك علامات الجدولة والرسوم البيانية والمعادلات والمواقف السياقية ، وإنشاء روابط بين التمثيلات التي تربط حل المعادلة التربيعية المرتبطة بكل تمثيل.
  • استخدم الخصائص والعمليات الجبرية في المواقف الرياضية وقم بتطبيقها لحل مشاكل العالم الحقيقي.

أهداف

سيستخدم الطلاب العوملة كطريقة لحل الدوال التربيعية. الطلاب سوف:

عوامل ثلاثية بأشكال مختلفة:

الفأس & sup2 + bx + c = 0، أين أ ، ب، و ج لديهم أكبر عامل مشترك (GCF)

قم بتطبيق خاصية المنتج الصفري لحل المعادلات بالصيغة (ax + b) (cx + d) = 0

الحصول على حلول للمعادلات التربيعية القابلة للتحليل في النموذج

أسئلة أساسية

كيف يمكننا إظهار أن الخصائص والعمليات الجبرية هي امتداد للخصائص والعمليات الحسابية ، وكيف يمكننا استخدام الخصائص والعمليات الجبرية لحل المشكلات؟

كلمات

ذات الحدين: كثيرة الحدود ذات حدين. [ب إ -1 - التحضير]

ثلاثي الحدود: كثير الحدود بثلاثة حدود.

العامل المشترك الاكبر: أكبر عامل مشترك بين رقمين أو أكثر.

عامل: رقم صحيح يقسم بالتساوي إلى رقم آخر.

صفر من وظيفة: قيمة الوسيطة التي تكون الدالة فيها صفرًا. أيضا x- التقاطع وجذر المعادلة.

مدة

90 & ndash120 دقيقة [IS.2 - جميع الطلاب]

المهارات المطلوبة

المواد

الطلاب السبورات البيضاء (أو الورق) وأقلام التحديد والمحايات

أجهزة الكمبيوتر مع الوصول إلى الإنترنت

المطبوعات من المشاكل / الدروس عند الرغبة

الوحدات ذات الصلة وخطط الدروس

المواد والموارد ذات الصلة

لا يعد التضمين المحتمل لمواقع الويب التجارية أدناه إقرارًا ضمنيًا لمنتجاتها ، وهي ليست مجانية وليست مطلوبة لخطة الدرس هذه.

الطلاب السبورات البيضاء (أو الورق) وأقلام التحديد والمحايات

أجهزة الكمبيوتر مع الوصول إلى الإنترنت

المطبوعات من المشاكل / الدروس عند الرغبة

التقييم التكويني

يجب أن تركز الملاحظات أثناء الدروس والمناقشات والأنشطة في الفصل على المنتجات المحددة التي ينشئها الطلاب ، ولا سيما العاملان ذو الحدين في ثلاثي الحدود. اطلب من الطلاب مضاعفة عاملي الحدين باستخدام FOIL ومقارنة ثلاثي الحدود الناتج بالموجه الأصلي.

Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) requires students to use the zero property of multiplication and evaluates their level of understanding of the logical necessity of a zero product, if one of the factors is equal to zero.

Suggested Instructional Supports

This lesson helps students to develop skills in solving quadratic equations by factoring and provides them with useful techniques for factoring and for understanding the rationale that supports finding solutions. The lesson includes recognizing and using trinomials in various forms.

The Zero Product Property is an elementary concept that is familiar to students. In applying it to binomial factors, they can use the property as a tool in a way that has not previously been represented. Students are able to recognize that the property applies not only to monomials, but also to binomials, and is applicable for all real numbers.

The think-pair-share activity presents students with representations of all three types of trinomial factoring. By attempting solutions individually, students gain an immediate sense of how well they understand the techniques. In sharing their solution methods and results with partners, they can expand their understanding by seeing different solutions and correcting their own and their partners&rsquo errors.

The Solve by Factoring Worksheet requires students to classify as well as factor the trinomials presented. The classification tasks engage students in reviewing their understanding of the individual characteristics of the three types of trinomials. This activity encourages them to use the specific traits of the trinomial to find the unique binomial factors.

Students who find the factoring of trinomials a challenging operation will get some satisfaction in the application of the Zero Product Property. The property is easy to understand and use, and makes the steps to solving quadratic equations by identifying and deconstructing binomials more accessible. Students with the knowledge and skills to factor trinomials of higher difficulty will also appreciate this basic technique.

This lesson is organized so that students can build upon prior knowledge of factoring and solving linear equations to solve quadratic equations. Students should be introduced, through teacher instruction, to the concepts and procedures for solving quadratics by factoring. During this time students should be given time to individually practice these processes and for discussion with classmates. Students should receive immediate feedback on their work during the activities so they are on track to be successful with homework assignments. The student document can also be used to help students stay organized during classroom instruction.

IS.1 - Preparation
Consider word walls and different strategies to ensure that the vocabulary is constantly used during the lesson.
IS.2 - All Students
Consider pre-teaching the concepts critical to this lesson, including the use of hands-on materials. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.3 - Struggling Learners
Consider pre-teaching the Zero-product property and factoring. Strugglling students may need more direct instruction with learning the concepts critical to this lesson. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.4 - All Students
Consider modeling and doing think alouds to help students understand the problem solving process.

Instructional Procedures

After this lesson, students will know how to solve quadratic equations using factoring. Students are learning how to solve quadratic equations because there are many real-world situations that can be modeled by quadratic equations. Students should have prior knowledge of factoring trinomials. Students will understand that there are two solutions to a quadratic equation and why this is different from solving linear equations. They will also find that in dealing with real-life scenarios not all solutions make sense. They should be able to recognize the solution(s) that fit. Students will be able to check their work by substituting their solutions into the equation.

&ldquoYesterday we looked at quadratic equations and many types of situations that can be modeled using them. One of the things we discussed was the zeros of quadratic equations, which are the solutions. On the graphs we looked at, we noted that the zeros were located where the graph crossed the x-محور. Let&rsquos take a moment to recall one of these examples.&rdquo Display the following for students:

&ldquoNow solving this equation is rather simple when you can find the zeros right in the graph, but what if you do not have a graph or the zeros are not easy to calculate from the graph? Today, we are going to discuss an algebraic approach that can be used to solve problems like this, as well as story problems that can be modeled using quadratic equations.&rdquo

The following notes, models, and examples should be shown to students to explain the lesson. Visual and auditory learners will be able to see and/or hear the process that is involved in solving quadratics by factoring.

Zero-Product Property

For any أ و ب, if أب = 0, then either أ = 0, ب = 0, or أ و ب equal 0.

Solving Equations by Factoring [IS.3 - Struggling Learners]

الخطوة 1: Make the equation equal to _ 0 _.

الخطوة 2: ___ عامل ___ the trinomial.

الخطوه 3: Apply the ___ Zero Product Property __ (set each factor equal to __ 0 _ then ____ يحل ___).

Students should have an understanding of factoring trinomials from previous instruction. Depending on the skill level of your students, you may have to vary how much review of factoring trinomials you provide.

Type 3: Equations of the form ax² + bx + c = 0 with a GCF

Students should be instructed to factor out a GCF before beginning the rest of the solving process as in type 1 and 2.

Note: At first, many of these equations look as if they are type 2 equations yet, after factoring a GCF, the problem may reveal a type 1 equation. If the GCF is not factored out of the equation before beginning the factoring process, the solutions will be the same but the factored forms will be different. (This is demonstrated below.)

Without factoring out the GCF in problem 1: (3x + 6)(x &ndash 5) = 0, factored, but not completely, since 3 can be factored out of 3x + 6. But solving 3x + 6 = 0 gives a solution of &minus2, the same as in Example 1. This relationship is important because when students are asked to factor something completely, the answer of (3x + 6)(x &ndash 5) would not be correct since it is not completely factored. A similar situation can be shown with Example 2.

Think-pair-share (interpersonal and verbal intelligences): Place a problem on the board and have students individually work out the problem on paper. After 3 to 5 minutes, have students pair up to discuss their answers. Direct students to discuss any errors and help each other decide on a correct answer. Then have a class discussion on the correct answer and anything students noticed during their discussions such as common errors, arithmetic mistakes, procedural mistakes, etc. You may have a student display the process for the class on the board.

Sample problems for students:

Activity 2: Real-Life Scenarios [IS.4 - All Students]

المشكلة 1: The length of a rectangle is 3 more inches than its width. Find the dimensions of the rectangle with an area of 108 square inches.

1. This problem uses a type 1 scenario and also uses the concepts of area of a rectangle and the distributive property.

2. It is important to explain at this point that in applied situations not all solutions make sense. Have a discussion with students about which answer works and why. (&minus12 is a solution but does not make sense because a length cannot be negative, thus making 9 the only possible solution to the width).

المحلول: width = 9 in., length = 12 in.

المشكلة 2: The length and width of an 8-inch by 12-inch photograph are reduced by the same amount to make a new photograph with an area that is 1/3 of the original. By how many inches will the dimensions of the photograph have to be reduced?

1. This problem uses a type 1 scenario, the concept of area of a rectangle, and using FOIL (First Outside Inside Last when multiplying two binomials).

2. For situation 2 there are two possible solutions that are both positive (16 and 4), but discuss with students which one makes sense in the given situation. Since the possible solutions represent the value that is deducted from each side of the photograph, the only answer that would work is 4. An answer of 16 is not reasonable because it is not possible to cut 16 inches off a photograph that only has 12 inches on one side and 8 on the other.

Solution: Reduce the dimensions of the photograph by 4 inches.

Give students the following problems to work on independently for about 10 to 15 minutes. Have students label the type of each problem before beginning to work on it. After independent work time, have students pair up to compare and discuss answers. As students are finishing, have some students write the work for each problem on the board and then discuss the problems as a class. Hand out the Solving Quadratics by Factoring Worksheet (M-A1-1-2_Solving Quadratics by Factoring Worksheet.doc), as desired, for students to work on. (This resource is good as a day 2 follow-up lesson.)

Routine: Use the Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) to give students a structured format for taking notes. Provide this resource to students, as needed, to allow them to keep more organized and structured notes.

Have students reflect on factoring trinomials and whether they remember the process (intrapersonal). This should be done prior to going through the examples of solving quadratics by factoring. Display two problems (one at a time) and have students work through the factoring process on a white board (or piece of paper). Have students hold up their work when finished and make corrections and adjust teaching where needed to meet the needs of your students.

Alternate Method: For Activity 1, you can do the activity once after presenting all three situations or one situation at a time (after each of the methods), having students change partners for each situation. This approach might allow students more reflection and discussion on each of the methods, if time permits.

Visual Learners: For Activity 2, use the Problem Solving Graphic Organizer (M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer.docx and M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer Blank.docx) to help students organize their word- problem solving techniques more efficiently. This can help many students, especially those who need their work to be more visual and organized. There are two resources: one with sequential steps and ideas already filled in, and another that has a blank flow chart. Use whichever document fits the needs of your students.

Assign to students an Internet word-problem activity (see the Related Resources section). This activity will help build students&rsquo understanding and ability to read and evaluate important information from a word problem. This is a great way to give students more practice with word problems.


How do you factor a 2 BX C?

Trinomials in the form x 2 + bx + c can be factored by finding two integers, r and s, whose sum is b and whose product is c. If the remaining ثلاثي الحدود is still of the form ax 2 + bx + c, find two integers, r and s, whose sum is b and whose product is ac.

  1. Move all terms to one side of the equation, usually the left, using addition or subtraction.
  2. Factor the equation completely.
  3. Set each factor equal to zero, and solve.
  4. List each solution from Step 3 as a solution to the original equation.

In this way, how do you solve an equation with 2 variables?

ل يحل systems of algebraic المعادلات containing two variables, start by moving the المتغيرات to different sides of the معادلة. Then, divide both sides of the معادلة بواسطة واحد of the المتغيرات ل يحل for that عامل. Next, take that number and plug it into the formula to solve for the other عامل.

In mathematics, a معامل في الرياضيات او درجة is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression it is usually a number, but may be any expression. For example, if y is considered as a parameter in the above expression, the معامل في الرياضيات او درجة of x is &minus3y, and the constant معامل في الرياضيات او درجة is 1.5 + y.


Trinomials

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of أ و ب and the last term is the product of أ و ب.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

الكمال ثلاثي الحدود مربع

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Authors:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Helena


شاهد الفيديو: أسهل وأسرع طريقة لتحليل عبارة تربيعية ax2 + bx + c تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية (شهر اكتوبر 2021).