مقالات

6.7: تطبيقات تتضمن معادلات تربيعية - رياضيات


أهداف التعلم

  • قم بإعداد وحل التطبيقات التي تتضمن العلاقات بين الأعداد الحقيقية.
  • قم بإعداد وحل التطبيقات التي تتضمن علاقات هندسية تتضمن مساحة ونظرية فيثاغورس.
  • قم بإعداد وحل التطبيقات التي تتضمن ارتفاع المقذوفات.

مشاكل العدد

أدت الإعدادات الجبرية لمشاكل الكلمات التي واجهناها سابقًا إلى معادلات خطية. عندما نترجم التطبيقات إلى إعدادات جبرية في هذا القسم ، تؤدي الإعدادات إلى معادلات من الدرجة الثانية. تمامًا كما في السابق ، نريد تجنب الاعتماد على طريقة "التخمين والتحقق" لحل التطبيقات. يؤدي استخدام الجبر لحل المشكلات إلى تبسيط العملية وجعلها أكثر موثوقية.

مثال ( PageIndex {1} )

عدد صحيح واحد هو (4 ) أقل من ضعف عدد صحيح آخر ، وحاصل ضربهم هو (96 ). ضع معادلة جبرية وحلها لإيجاد العددين الصحيحين.

المحلول:

أولاً ، حدد المتغيرات. تجنب متغيرين باستخدام العلاقة بين المجهولين.

العبارة الرئيسية ، "منتجهم هو (96 ) ،" تشير إلى أننا يجب أن نضاعف ونضبط المنتج على (96 ).

(n cdot (2n-4) = 96 )

بمجرد ترجمة المشكلة إلى معادلة رياضية ، نحلها بعد ذلك. في هذه الحالة ، يمكننا الحل بالتحليل إلى عوامل. الخطوة الأولى هي كتابة المعادلة بالصيغة القياسية:

( start {array} {cc} {n cdot (2n-4) = 96} & { color {Cerulean} {Distribute : n.}} {2n ^ {2} -4n = 96} & { color {Cerulean} {Subtract : 96 : from : both : sides.}} {2n ^ {2} -4n-96 = 0} & {} end {array} )

بعد ذلك ، حلل العوامل تمامًا واضبط كل عامل متغير يساوي صفرًا.

( begin {array} {cc} {2n ^ {2} -4n-96 = 0} & { color {Cerulean} {Factor : out : the : GCF، : 2.}} {2 (n ^ {2} -2n-48) = 0} & { color {Cerulean} {Factor : the : result : trinomial.}} {2 (n + 6) (n-8 ) = 0} & { color {Cerulean} {Set : each : variable : factor : equable : to : zero.}} end {array} )

( start {array} {ccc} {n + 6 = 0} & { text {or}} & {n-8 = 0} {n = -6} & {} & {n = 8} نهاية {مجموعة} )

المشكلة تستدعي عددين صحيحين منتجهما (+ 96 ). حاصل ضرب عددين موجبين موجب وحاصل ضرب عددين سالبين موجب. ومن ثم يمكن أن يكون لدينا مجموعتان من الحلول. استخدم (2n − 4 ) لتحديد الأعداد الصحيحة الأخرى.

( start {array} {cc} {n = -6} & {n = 8} {2n-4 = 2 ( color {OliveGreen} {- 6} color {black} {) - 4} } & {2n-4 = 2 ( color {OliveGreen} {8} color {black} {) - 4}} {= - 12-4} & {= 16-4} {= - 16 } & {= 12} نهاية {مجموعة} )

إجابه:

مجموعتان من الأعداد الصحيحة تحل هذه المشكلة: { (8، 12 )} و { (- 6، −16 )}. لاحظ أن ((8) (12) = 96 ) و ((- 6) (- 16) = 96 ) ؛ تحقق حلولنا.

مع المعادلات التربيعية ، غالبًا ما نحصل على حلين للمجهول المحدد. على الرغم من أنه قد يكون كلاهما حلين للمعادلة ، إلا أنهما قد لا يكونا حلين للمشكلة. إذا لم يؤد الحل إلى حل التطبيق الأصلي ، فإننا نتجاهله.

تذكر أن الأعداد الصحيحة الفردية والزوجية المتتالية مفصولة بوحدتين.

مثال ( PageIndex {2} )

حاصل ضرب عددين فرديين موجبين متتاليين هو (99 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

المحلول:

دع (n ) يمثل أول عدد صحيح فردي موجب.

لنفترض أن ( color {OliveGreen} {n + 2} ) يمثل العدد الصحيح الفردي الموجب التالي.

تشير المرحلة الأساسية ، "المنتج ... هو 99" ، إلى أننا يجب أن نضاعف ونضبط المنتج على (99 ).

(n cdot (n + 2) = 99 )

أعد كتابة المعادلة التربيعية في الصورة القياسية وحلها بالتحليل إلى عوامل.

( start {align} n ^ {2} + 2n & = 99 n ^ {2} + 2n-99 & = 0 (n-9) (n + 11) & = 0 end {align} )

( start {array} {ccc} {n-9 = 0} & { text {or}} & {n + 11 = 0} {n = 9} & {} & {n = -11} نهاية {مجموعة} )

لأن المشكلة تتطلب أعداد صحيحة موجبة ، (n = 9 ) هو الحل الوحيد. البديل الخلفي لتحديد العدد الصحيح الفردي التالي.

( start {align} n + 2 & = color {OliveGreen} {9} color {black} {+ 2} & = 11 end {align} )

إجابه:

الأعداد الصحيحة الفردية الموجبة المتتالية هي (9 ) و (11 ).

مثال ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى عددين صحيحين موجبين متتاليين ، فإن حاصل ضرب الأكبر ومرتين الأصغر يساوي (70 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

المحلول:

دع (n ) يمثل العدد الصحيح الفردي الموجب الأصغر.

دع (n + 2 ) يمثل العدد الصحيح الفردي الموجب التالي.

يمكن ترجمة العبارة الرئيسية "ضعف الأصغر" إلى (2n ). تشير عبارة "product… is 70" إلى أننا يجب أن نضرب هذا في العدد الصحيح الفردي الأكبر ونضبط حاصل الضرب على (70 ).

((n + 2) cdot 2n = 70 )

حل بالتحليل إلى عوامل.

( start {array} {cc} {(n + 2) cdot 2n = 70} & { color {Cerulean} {Distribute.}} {2n ^ {2} + 4n = 70} & { اللون {Cerulean} {Subtract : 70 : from : both : sides.}} {2n ^ {2} + 4n-70 = 0} & { color {Cerulean} {Factor : out : the : GCF، : 2.}} {2 (n ^ {2} + 2n-35) = 0} & { color {Cerulean} {Factor : the : result : trinomial.}} {2 (n-5) (n + 7) = 0} & { color {Cerulean} {Set : each : variable : factor : equ: to : zero.}} end { مجموعة مصفوفة})

( start {array} {ccc} {n-5 = 0} & { text {or}} & {n + 7 = 0} {n = 5} & {} & {n = -7} نهاية {مجموعة} )

لأن المشكلة تتطلب أعداد صحيحة موجبة ، (n = 5 ) هو الحل الوحيد.

استبدل بالعودة إلى (n + 2 ) لتحديد العدد الصحيح الفردي التالي.

( start {align} n + 2 & = color {OliveGreen} {5} color {black} {+ 2} & = 7 end {align} )

إجابه:

الأعداد الفردية الموجبة هي (5 ) و (7 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (168 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابه

الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة هي (12 ) و (14 ).

مشاكل الهندسة

عند التعامل مع المشكلات الهندسية ، من المفيد رسم صورة. فيما يلي بعض صيغ المنطقة التي من المتوقع أن تعرفها. (تذكر ذلك (π≈3.14 ).)

مساحة المستطيل: (A = l cdot w )
مساحة المربع: (A = s ^ {2} )
مساحة المثلث: (A = frac {1} {2} bh )
مساحة الدائرة: (A = pi r ^ {2} )
جدول ( PageIndex {1} )

مثال ( PageIndex {4} )

يبلغ طول أرضية الغرفة المستطيلة (4 ) ضعف عرضها. إذا كانت المساحة الإجمالية للأرضية (240 ) قدمًا مربعًا ، فابحث عن أبعاد الأرضية.

المحلول:

استخدم الصيغة (A = l⋅w ) وحقيقة أن المساحة هي (240 ) قدمًا مربعة لإنشاء معادلة جبرية.

( begin {align} A & = l cdot w color {OliveGreen} {240} & color {black} {= (} color {OliveGreen} {2w + 4} color {black} {) cdot w} نهاية {محاذاة} )

حل بالتحليل إلى عوامل.

( start {array} {ccc} {w-10 = 0} & { text {or}} & {w + 12 = 0} {w = 10} & {} & {w = -12} نهاية {مجموعة} )

في هذه المرحلة ، لدينا احتمالان لعرض المستطيل. ومع ذلك ، نظرًا لعدم تحديد العرض السالب ، اختر الحل الموجب ، (w = 10 ). بديل العودة لإيجاد الطول.

( begin {align} 2w + 4 & = 2 ( color {OliveGreen} {10} color {black} {) + 4} & = 20 + 4 & = 24 end {align} )

إجابه:

العرض (10 ​​) أقدام والطول (24 ) قدم.

من المهم تضمين الوحدات الصحيحة في العرض النهائي للإجابة. في المثال السابق ، لن يكون من المنطقي أن نقول إن العرض (10 ​​). تأكد من الإشارة إلى أن العرض هو (10 ​​) أقدام.

مثال ( PageIndex {5} )

ارتفاع المثلث يساوي (3 ) بوصات أقل من ضعف طول قاعدته. إذا كانت المساحة الكلية للمثلث هي (7 ) بوصة مربعة ، فأوجد طولي القاعدة والارتفاع.

المحلول:

استخدم الصيغة (A = frac {1} {2} bh ) وحقيقة أن المساحة (7 ) بوصة مربعة لإنشاء معادلة جبرية.

( begin {align} A & = frac {1} {2} b cdot h color {OliveGreen} {7} & color {black} {= frac {1} {2} b ( اللون {OliveGreen} {2b-3} color {black} {)}} end {align} )

لتجنب المعاملات الكسرية ، اضرب كلا الجانبين في (2 ) ثم أعد كتابة المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

حلل العوامل ثم ضع كل عامل مساويًا للصفر.

( start {array} {ccc} {2b-7 = 0} & { text {or}} & {b + 2 = 0} {2b = 7} & {} & {b = -2} {b = frac {7} {2}} & {} & {} end {array} )

في هذه الحالة ، تجاهل الإجابة السلبية ؛ طول القاعدة ( frac {7} {2} ) بوصة طويلة. استخدم (2b − 3 ) لتحديد ارتفاع المثلث.

إجابه:

قياس القاعدة ( frac {7} {2} = 3 frac {1} {2} ) بوصة والارتفاع (4 ) بوصات.

تمرين ( PageIndex {1} )

قاعدة المثلث هي (5 ) وحدات أقل من ضعف الارتفاع. إذا كانت المساحة (75 ) وحدة مربعة فما طول القاعدة والارتفاع؟

إجابه

الارتفاع (10 ​​) وحدات والقاعدة (15 ) وحدة.

تذكر أن المثلث القائم الزاوية هو مثلث حيث تقيس إحدى زواياه (90 ) °. الضلع المقابل للزاوية القائمة هو أطول ضلع في المثلث ويسمى الوتر. تعطينا نظرية فيثاغورس علاقة بين الأرجل والوتر لأي مثلث قائم الزاوية ، حيث (أ ) و (ب ) هما أطوال الأرجل و (ج ) هو طول الوتر:

بالنظر إلى بعض العلاقات ، نستخدم هذه النظرية عند تحديد أطوال أضلاع المثلثات القائمة.

مثال ( PageIndex {6} )

طول وتر المثلث القائم هو (10 ​​) بوصة. إذا كانت الساق القصيرة أقل من الساق الطويلة بمقدار 2 سم ، فابحث عن أطوال الساقين.

المحلول:

بالنظر إلى أن الوتر يقيس (10 ​​) بوصة ، عوض بقيمته في نظرية فيثاغورس واحصل على معادلة تربيعية بدلالة (س ).

( begin {align} a ^ {2} + b ^ {2} & = c ^ {2} ( color {OliveGreen} {x-2} color {black} {) ^ {2} + } color {OliveGreen} {x} color {black} {^ {2}} & = color {OliveGreen} {10} color {black} {^ {2}} end {align} )

اضرب وأعد كتابة المعادلة بالصيغة القياسية.

( begin {align} (x-2) ^ {2} + x ^ {2} & = 10 ^ {2} x ^ {2} -4x + 4 + x ^ {2} & = 100 2x ^ {2} -4x-96 & = 0 end {align} )

بمجرد أن يصبح في الشكل القياسي ، عامل وضبط كل عامل متغير مساوٍ للصفر.

( begin {align} 2x ^ {2} -4x-96 & = 0 2 (x ^ {2} -2x-48) & = 0 2 (x + 6) (x-8) & = 0 نهاية {محاذاة} )

( start {array} {ccc} {x + 6 = 0} & { text {or}} & {x-8 = 0} {x = -6} & {} & {x = 8} نهاية {مجموعة} )

تجاهل الإجابة السالبة لأن الأطوال لا يمكن أن تكون سالبة. في هذه الحالة ، طول الساق يقيس (8 ) بوصات. استخدم (x − 2 ) لتحديد طول الساق القصيرة.

( begin {align} x-2 & = color {OliveGreen} {8} color {black} {- 2} & = 6 end {align} )

إجابه:

طول الساق القصيرة (6 بوصة) والساق الطويلة قياس (8 بوصة).

مثال ( PageIndex {7} )

ساق واحدة من المثلث القائم يقيس (3 ) سم. يقيس وتر المثلث الأيمن (3 ) سم أقل من ضعف طول الساق المجهولة. أوجد قياس جميع أضلاع المثلث.

المحلول:

لإنشاء معادلة جبرية ، نستخدم نظرية فيثاغورس.

( begin {align} a ^ {2} + b ^ {2} & = c ^ {2} color {OliveGreen} {3} color {black} {^ {2} +} color { OliveGreen} {x} color {black} {^ {2}} & = ( color {OliveGreen} {2x-3} color {black} {) ^ {2}} end {align} )

حل بالتحليل إلى عوامل.

( begin {align} 3 ^ {2} + x ^ {2} & = (2x-3) ^ {2} 9 + x ^ {2} & = 4x ^ {2} -12x + 9 0 & = 3x ^ {2} -12x 0 & = 3x (x-4) end {align} )

( start {array} {ccc} {3x = 0} & { text {or}} & {x-4 = 0} {x = 0} & {} & {x = 4} end { مجموعة مصفوفة})

تجاهل (0 ). طول الساق المجهولة (4 ) سم. استخدم (2x − 3 ) لتحديد طول الوتر.

إجابه:

قياس أضلاع المثلث (3 ) سم ، (4 ) سم ، و (5 ) سم.

تمرين ( PageIndex {2} )

يقيس وتر المثلث القائم الزاوية (13 ) وحدة. إذا كانت إحدى الساقين (2 ) أكثر من ضعف ساق الأخرى ، فأوجد طول كل ساق.

إجابه

قياس الساقين (5 ) وحدات و (12 ) وحدة.

مشاكل المقذوفات

يمكن نمذجة ارتفاع الجسم الذي يتم إطلاقه لأعلى ، متجاهلاً تأثيرات مقاومة الهواء ، بالصيغة التالية:

[ text {height} = - frac {1} {2} gt ^ {2} + v_ {0} t + s_ {0} ]

باستخدام تدوين الوظيفة ، وهو أكثر ملاءمة ، لدينا

[h (t) = - frac {1} {2} gt ^ {2} + v_ {0} t + s_ {0} ]

باستخدام هذه الصيغة ، يمكن حساب الارتفاع في أي وقت (t ) بعد إطلاق الكائن. تمثل المعاملات ما يلي:

(- frac {1} {2} ز )يمثل الحرف (g ) عجلة الجاذبية.
(v_ {0} )يمثل " (v ) - naught" السرعة الابتدائية للكائن.
(s_ {0} )يمثل " (s ) - naught" الارتفاع الأولي الذي يبدأ منه الكائن.
جدول ( PageIndex {2} )

نحن نأخذ في الاعتبار فقط المشكلات التي يمكن التعبير فيها عن التسارع الناتج عن الجاذبية على النحو (g = 32 ) قدم / ثانية (^ {2} ). لذلك ، في هذا القسم ، سيتم قياس الوقت بالثواني والارتفاع بالأقدام. ومع ذلك ، فإن الصيغة صالحة باستخدام وحدات أخرى غير هذه.

مثال ( PageIndex {8} )

يتم تحديد ارتفاع المقذوف الذي تم إطلاقه لأعلى بسرعة (32 ) قدم / ثانية من ارتفاع (128 ) قدم بواسطة الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 32t + 128 ). كم من الوقت يستغرق الوصول إلى الأرض؟

المحلول:

الطريقة غير الفعالة لإيجاد الوقت المناسب للوصول إلى الأرض هي ببساطة البدء في التخمين في بعض الأحيان والتقييم. للقيام بذلك ، قم بإنشاء مخطط.

استخدم الجدول لرسم ارتفاع المقذوف بمرور الوقت.

نرى أن القذيفة تصطدم بالأرض عند (4 ) ثوانٍ. لاحظ أنه عند حدوث ذلك ، فإن الارتفاع يساوي (0 ). نحتاج الآن إلى حل هذه المسألة جبريًا. لإيجاد الحل جبريًا ، استخدم حقيقة أن الارتفاع (0 ) عندما يصطدم الجسم بالأرض. نحتاج إلى إيجاد الوقت (t ) عندما (h (t) = 0 ).

(h (t) = - 16t ^ {2} + 32t + 128 color {Cerulean} { downarrow} 0 = -16t ^ {2} + 32t + 128 )

حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل

( start {align} 0 & = - 16t ^ {2} + 32t + 128 0 & = - 16 (t ^ {2} -2t-8) 0 & = - 16 (t-4) ( t + 2) نهاية {محاذاة} )

الآن اضبط كل عامل متغير على صفر.

( start {array} {ccc} {t-4 = 0} & { text {or}} & {t + 2 = 0} {t = 4} & {} & {t = -2} نهاية {مجموعة} )

كما هو متوقع ، تصطدم المقذوفة بالأرض عند (t = 4 ) ثوانٍ. تجاهل (- 2 ) كحل لأن الوقت السالب غير محدد.

إجابه:

يصيب المقذوف الأرض بعد (4 ) ثوانٍ من إطلاقه.

مثال ( PageIndex {9} )

يتم تحديد ارتفاع كتاب معين تم إسقاطه من أعلى مبنى قدم من خلال (h (t) = - 16t ^ {2} +144 ). كم من الوقت يستغرق الوصول إلى الأرض؟

المحلول:

أوجد الوقت (t ) عندما يكون الارتفاع (h (t) = 0 ).

( start {align} 0 & = - 16t ^ {2} +144 0 & = - 16 (t ^ {2} -9) 0 & = - 16 (t + 3) (t-3) end {محاذاة} )

( start {array} {ccc} {t + 3 = 0} & { text {or}} & {t-3 = 0} {t = -3} & {} & {t = 3} نهاية {مجموعة} )

إجابه:

يستغرق الكتاب (3 ) ثوانٍ ليصطدم بالأرض عند سقوطه من أعلى مبنى قدم.

تمرين ( PageIndex {3} )

يتم تحديد ارتفاع المقذوف ، عند إطلاقه مباشرة في الهواء من الأرض ، من خلال (h (t) = - 16t ^ {2} + 80t ). كم من الوقت يستغرق للعودة إلى الأرض؟

إجابه

سوف يستغرق الأمر 5 ثوانٍ للعودة إلى الأرض.

الماخذ الرئيسية

  • من الأفضل ترجمة مشكلة كلامية إلى إعداد رياضي ثم حلها باستخدام الجبر. تجنب استخدام طريقة "التخمين والتحقق" لحل التطبيقات في هذا القسم.
  • عند حل التطبيقات ، تحقق من أن الحلول الخاصة بك منطقية في سياق السؤال. على سبيل المثال ، إذا كنت ترغب في إيجاد طول قاعدة المثلث ، فإنك ستتجاهل أي حلول سلبية.
  • من المهم تحديد كل متغير وتحديد ما يمثله كل متغير في جملة. غالبًا ما يكون من المفيد رسم صورة.

تمرين ( PageIndex {4} ) مشاكل العدد

ضع معادلة جبرية ثم حلها.

  1. عدد صحيح واحد هو خمسة أضعاف الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين هو (80 ) ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  2. عدد صحيح واحد هو أربعة أضعاف الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين هو (36 ) ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  3. العدد الصحيح هو أكثر من أربعة أضعاف الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين (39 ) ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  4. العدد الصحيح هو (3 ) أكثر من الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين هو (130 ) ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  5. العدد الصحيح (2 ) أقل من ضعف آخر. إذا كان حاصل ضرب العددين (220 ) ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  6. العدد الصحيح (3 ) أكثر من ضعف آخر. إذا كان حاصل ضرب العددين هو (90 ) ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  7. العدد الصحيح هو (2 ) وحدة أكثر من الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين الصحيحين يساوي خمسة أضعاف أكبر ، فأوجد العددين الصحيحين.
  8. العدد الصحيح الموجب هو (1 ) أقل من ضعف آخر. إذا كان حاصل ضرب العددين الصحيحين يساوي خمسة عشر مرة الأصغر ، فأوجد العددين الصحيحين.
  9. العدد الصحيح الموجب هو (3 ) أكثر من ضعف عدد صحيح موجب أصغر. إذا كان حاصل ضرب العددين الصحيحين يساوي ستة أضعاف أكبر ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  10. عدد صحيح موجب واحد هو (3 ) أكثر من الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين الصحيحين يساوي اثني عشر مرة الأصغر ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  11. العدد الصحيح هو (3 ) أكثر من الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين الصحيحين يساوي (2 ) أكثر من أربعة أضعاف مجموعهما ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  12. العدد الصحيح هو (5 ) أكثر من الآخر. إذا كان حاصل ضرب العددين الصحيحين يساوي (2 ) أكثر من ضعف مجموعهما ، فأوجد الأعداد الصحيحة.
  13. حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (120 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  14. حاصل ضرب عددين فرديين موجبين متتاليين هو (99 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  15. حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (110 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  16. حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (42 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  17. حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين يساوي (1 ) أقل من سبعة أضعاف مجموع الأعداد الصحيحة. أوجد الأعداد الصحيحة.
  18. حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين يساوي (22 ) أكثر من 11 ضعف مجموع الأعداد الصحيحة. أوجد الأعداد الصحيحة.
  19. مجموع مربعات عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (74 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  20. مجموع مربعات عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (100 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  21. مجموع مربعات عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (265 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  22. مجموع مربعات عددين صحيحين موجبين متتاليين هو (181 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  23. لعددين صحيحين فرديين موجبين متتاليين ، يكون حاصل ضرب ضعف الأصغر والأكبر (126 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
  24. لعددين صحيحين موجبين متتاليين ، يكون حاصل ضرب الأصغر ومرتين الأكبر هو (160 ). أوجد الأعداد الصحيحة.
إجابه

1. { (4، 20 )} أو { (- 4، −20 )}

3. (3, 13)

5. { (11، 20 )} أو { (- 22، −10 )}

7. { (5، 7 )} أو { (- 2، 0 )}

9. (6, 15)

11. { (7، 10 )} أو { (- 2، 1 )}

13. (10, 12)

15. (10, 11)

17. (13, 15)

19. (5, 7)

21. (11, 12)

23. (7, 9)

تمرين ( PageIndex {5} ) مشاكل الهندسة

ضع معادلة جبرية ثم حلها.

  1. عرض المستطيل أقل من طوله بمقدار (7 ) أقدام. إذا كانت مساحة المستطيل (170 ) قدمًا مربعًا ، فأوجد الطول والعرض.
  2. طول المستطيل يزيد بمقدار (2 ) قدم عن عرضه. إذا كانت مساحة المستطيل (48 ) قدمًا مربعة ، فأوجد الطول والعرض.
  3. عرض المستطيل هو (3 ) وحدات أقل من الطول. إذا كانت المساحة (70 ) وحدة مربعة ، فأوجد أبعاد المستطيل.
  4. عرض المستطيل يقيس نصف الطول. إذا كانت المساحة (72 ) قدمًا مربعًا ، فأوجد أبعاد المستطيل.
  5. طول المستطيل ضعف عرضه. إذا كانت مساحة المستطيل هي (72 ) بوصة مربعة ، فأوجد الطول والعرض.
  6. طول المستطيل ثلاثة أضعاف عرضه. إذا كانت مساحة المستطيل (75 ) سنتيمترًا مربعًا ، فأوجد الطول والعرض.
  7. طول المستطيل أكبر من عرضه بمقدار (2 ) بوصة. مساحة المستطيل تساوي (12 ) بوصة أكثر من ثلاثة أضعاف المحيط. أوجد طول وعرض المستطيل.
  8. طول المستطيل هو (3 ) أمتار أكثر من ضعف العرض. مساحة المستطيل تساوي (10 ​​) أمتار أقل من ثلاثة أضعاف المحيط. أوجد طول وعرض المستطيل.
  9. يجب وضع حد موحد حول صورة (8 ) - بوصة × - (10 ​​) - بوصة. إذا كانت المساحة الإجمالية بما في ذلك الحد يجب أن تكون (224 ) بوصة مربعة ، فما هو عرض الحد؟

10. A (2 ) - يتم إنشاء حد من الطوب حول لوح إسمنتي مربع. إذا كانت المساحة الإجمالية ، بما في ذلك الحد ، هي (121 ) قدم مربع ، فما هي أبعاد اللوح؟

11. مساحة إطار الصورة بما في ذلك الحدود العريضة (2 ) - بوصة هي (99 ) بوصة مربعة. إذا كان عرض المساحة الداخلية أكبر من طولها بمقدار (2 ) بوصة ، فابحث عن أبعاد المنطقة الداخلية.

12. يمكن صنع الصندوق بقص الزوايا وطي حواف لوح مربع من الورق المقوى. تم تقديم قالب لصندوق من الورق المقوى بارتفاع (2 ) بوصة. ما طول كل جانب من جوانب لوح الكرتون إذا كان حجم الصندوق سيكون (50 ) بوصة مكعبة؟

13. ارتفاع المثلث هو (3 ) بوصة أكثر من طول قاعدته. إذا كانت مساحة المثلث (44 ) بوصة مربعة ، فأوجد طول قاعدته وارتفاعه.

14. ارتفاع المثلث (4 ) وحدات أقل من طول القاعدة. إذا كانت مساحة المثلث (48 ) وحدة مربعة ، فأوجد طول قاعدته وارتفاعه.

15. قاعدة المثلث هي ضعف طول قاعدة المثلث. إذا كانت المساحة (36 ) سم مربع ، فأوجد طول قاعدتها وارتفاعها.

16. ارتفاع المثلث يساوي ثلاثة أضعاف طول قاعدته. إذا كانت المساحة (73 frac {1} {2} ) قدمًا مربعًا ، فأوجد طول القاعدة والارتفاع.

17. ارتفاع المثلث يساوي (1 ) وحدة أكبر من طول قاعدته. إذا كانت المساحة (5 ) وحدات أكثر من أربعة أضعاف الارتفاع ، فأوجد طول قاعدة المثلث وارتفاعه.

18. قاعدة المثلث تساوي (4 ) ضعف ارتفاعه. إذا كانت المساحة (3 ) وحدات أكثر من خمسة أضعاف الارتفاع ، فأوجد طول قاعدة المثلث وارتفاعه.

19. يبلغ طول قطر المستطيل (5 ) بوصة. إذا كان الطول أكبر من عرضه بـ (1 ) بوصة ، فابحث عن أبعاد المستطيل.

20. قياس قطر المستطيل (10 ​​) بوصة. إذا كان العرض أقل من الطول بمقدار (2 ) بوصة ، فأوجد مساحة المستطيل.

21. إذا كانت أضلاع المثلث الأيمن أعداد صحيحة زوجية متتالية ، فما هي مقاييسها؟

22. وتر المثلث القائم الزاوية هو (13 ) وحدة. إذا كان طول إحدى الساقين (2 ) أكثر من ضعف الأخرى ، فما أطوالها؟

23. أقصر ساق من المثلث الأيمن يقيس (9 ) سم ويقيس الوتر (3 ) سم أكثر من الساق الأطول. أوجد طول الوتر.

24. الساق الطويلة للمثلث الأيمن يقيس (24 ) سم ويقيس الوتر (4 ) سم أكثر بثلاث مرات من الساق القصيرة. أوجد طول الوتر.

إجابه

1. الطول: (17 ) قدم؛ العرض: (10 ​​) قدم

3. الطول: (10 ​​) وحدات؛ العرض: (7 ) وحدة

5. الطول: (12 ) بوصة ؛ العرض: (6 ) بوصات

7. الطول: (14 ) بوصة ؛ العرض: (12 ) بوصة

9. (3 ) بوصة

11. (5 ) بوصة × (7 ) بوصة

13. القاعدة: (8 ) بوصة ؛ الارتفاع: 11 بوصة

15. القاعدة: (12 ) سم ؛ الارتفاع: (6 ) سم

17. القاعدة: (9 ) وحدات ؛ الارتفاع: (10 ​​) وحدة

19. (3 ) بوصات × 4 بوصات

21. (6 ) وحدات ، (8 ) وحدات ، (10 ​​) وحدات

23. (15 ) سم

تمرين ( PageIndex {6} ) مشاكل المقذوفات

ضع معادلة جبرية ثم حلها.

  1. يتم تحديد ارتفاع المقذوف الذي تم إطلاقه لأعلى بسرعة (32 ) قدم / ثانية من ارتفاع (48 ) قدم بواسطة الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 32t + 48. ما هي المدة التي ستستغرقها القذيفة لتصل إلى الأرض؟
  2. يتم تحديد ارتفاع المقذوف الذي تم إطلاقه لأعلى بسرعة (16 ) قدم / ثانية من ارتفاع (192 ) قدمًا بواسطة الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 16t + 192). كم من الوقت سيستغرق الوصول إلى الأرض؟
  3. انطلق جسم لأعلى بسرعة (64 ) قدم / ثانية من ارتفاع (80 ) قدمًا. كم من الوقت ستستغرق القذيفة لتصل إلى الأرض؟
  4. انطلق جسم لأعلى بسرعة (128 ) قدم / ثانية من ارتفاع (144 ) قدمًا. كم من الوقت ستستغرق القذيفة لتصل إلى الأرض؟
  5. يتم إعطاء ارتفاع جسم تم إسقاطه من أعلى (64 ) - بناء القدم بواسطة (h (t) = - 16t ^ {2} +64 ). كم من الوقت سيستغرق الجسم ليصطدم بالأرض؟
  6. يتم الحصول على ارتفاع جسم تم إسقاطه من طائرة عند (1600 ) قدم بواسطة (h (t) = - 16t ^ {2} +1،600 ). كم من الوقت سيستغرق الجسم ليصطدم بالأرض؟
  7. إسقاط جسم من سلم على ارتفاع (16 ) قدمًا. كم من الوقت سيستغرق الوصول إلى الأرض؟
  8. يتم إسقاط كائن من مبنى قدم. كم من الوقت سيستغرق الوصول إلى الأرض؟
  9. يُعطى ارتفاع المقذوف ، الذي تم إطلاقه مباشرة في الهواء من الأرض بسرعة (128 ) قدم / ثانية ، من خلال (h (t) = - 16t ^ {2} + 128t ). كم من الوقت يستغرق للعودة إلى الأرض؟
  10. كرة بيسبول ، مقذوفة في الهواء من الأرض بسرعة (32 ) قدم / ثانية ، تُعطى بواسطة (h (t) = - 16t ^ {2} + 32t ). كم من الوقت يستغرق للعودة إلى الأرض؟
  11. كم من الوقت سيستغرق رمي كرة بيسبول في الهواء بسرعة (48 ) قدم / ثانية لتعود إلى الأرض؟
  12. يتم ركل كرة القدم في الهواء بسرعة (80 ) قدم / ثانية. احسب المدة التي ستعلقها في الهواء.
إجابه

1. (3 ) ثانية

3. (5 ) ثواني

5. (2 ) ثانية

7. (1 ) ثانية

9. (8 ) ثواني

11. (3 ) ثانية

تمرين ( PageIndex {7} ) مواضيع لوحة المناقشة

  1. بحث ومناقشة حياة فيثاغورس.
  2. إذا تضاعفت جوانب المربع ، فبأي عامل تزداد المساحة؟ لماذا ا؟
  3. صمم مشكلة هندسية خاصة بك تتضمن مساحة مستطيل أو مثلث. انشر السؤال والحل الكامل على لوحة المناقشة.
  4. اكتب استراتيجيتك لإعداد وحل مشاكل الكلمات. شارك استراتيجيتك على لوحة المناقشة.
إجابه

1. قد تختلف الإجابات

3. قد تختلف الإجابات


6.7: تطبيقات تتضمن معادلات تربيعية - رياضيات

أدت الإعدادات الجبرية لمشاكل الكلمات التي واجهناها سابقًا إلى معادلات خطية. عندما نترجم التطبيقات إلى إعدادات جبرية في هذا القسم ، تؤدي الإعدادات إلى معادلات من الدرجة الثانية. تمامًا كما في السابق ، نريد تجنب الاعتماد على طريقة "التخمين والتحقق" لحل التطبيقات. يؤدي استخدام الجبر لحل المشكلات إلى تبسيط العملية وجعلها أكثر موثوقية.

مثال 1: عدد صحيح واحد هو 4 أقل من ضعف عدد صحيح آخر ، وحاصل ضربهم هو 96. قم بإعداد معادلة جبرية وحلها لإيجاد العددين الصحيحين.

حل: أولاً ، حدد المتغيرات. تجنب متغيرين باستخدام العلاقة بين المجهولين.

تشير العبارة الرئيسية ، "منتجهم هو 96" ، إلى أننا يجب أن نضرب ونضبط حاصل الضرب على 96.

بمجرد ترجمة المشكلة إلى معادلة رياضية ، نحلها بعد ذلك. في هذه الحالة ، يمكننا الحل بالتحليل إلى عوامل. الخطوة الأولى هي كتابة المعادلة بالصيغة القياسية:

بعد ذلك ، حلل العوامل تمامًا واضبط كل عامل متغير يساوي صفرًا.

تتطلب المشكلة عددين صحيحين حاصل ضربهما +96. حاصل ضرب عددين موجبين موجب وحاصل ضرب عددين سالبين موجب. ومن ثم يمكن أن يكون لدينا مجموعتان من الحلول. استخدم 2 ن - 4 لتحديد الأعداد الصحيحة الأخرى.

الإجابة: مجموعتان من الأعداد الصحيحة تحل هذه المشكلة: <8 ، 12> و <6 ، −16>. لاحظ أن (8) (12) = 96 و (6) (- 16) = 96 تحقق الحلول لدينا.

مع المعادلات التربيعية ، غالبًا ما نحصل على حلين للمجهول المحدد. على الرغم من أنه قد يكون كلاهما حلين للمعادلة ، إلا أنهما قد لا يكونا حلين للمشكلة. إذا لم يؤد الحل إلى حل التطبيق الأصلي ، فإننا نتجاهله.

تذكر أن الأعداد الصحيحة الفردية والزوجية المتتالية مفصولة بوحدتين.

المثال 2: حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين هو 99. أوجد الأعداد الصحيحة.

تشير المرحلة الأساسية ، "المنتج ... هو 99" ، إلى أننا يجب أن نضاعف ونضبط حاصل الضرب على 99.

أعد كتابة المعادلة التربيعية في الصورة القياسية وحلها بالتحليل إلى عوامل.

لأن المسألة تتطلب أعداداً صحيحة موجبة ، فإن n = 9 هو الحل الوحيد. البديل الخلفي لتحديد العدد الصحيح الفردي التالي.

الجواب: الأعداد الصحيحة الفردية الموجبة المتتالية هي 9 و 11.

المثال 3: بالنظر إلى عددين صحيحين موجبين متتاليين ، فإن حاصل ضرب العدد الأكبر ومرتين الأصغر يساوي 70. أوجد الأعداد الصحيحة.

يمكن ترجمة العبارة الرئيسية "ضعف الأصغر" إلى 2 ن. تشير عبارة "product… is 70" إلى أننا يجب أن نضرب هذا في العدد الصحيح الفردي الأكبر ونضبط حاصل الضرب على 70.

نظرًا لأن المسألة تتطلب أعدادًا صحيحة موجبة ، فإن n = 5 هو الحل الوحيد. العودة إلى بديل ن + 2 لتحديد العدد الصحيح الفردي التالي.

الجواب: الأعداد الصحيحة الفردية الموجبة هي 5 و 7.

جرب هذا! حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين متتاليين هو 168. أوجد الأعداد الصحيحة.

الجواب: الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة هي 12 و 14.

حل الفيديو


حل مشاكل الكلمات التي تتضمن المعادلات التربيعية

إذا كان الفرق بين رقم ومقلوبه يساوي 24/5 ، فأوجد العدد.

دع "x" يكون الرقم المطلوب "1 / x" يكون متبادلاً.

5 x 2 & # xa0- 24x - 5 & # xa0 = & # xa0 0

5 x 2 & # xa0- 25x + 1x - 5 & # xa0 = & # xa0 0

5x (x - 5) + 1 (x - 5) & # xa0 = & # xa0 0

(5x - 1) & # xa0 (x - 5) & # xa0 = & # xa0 0

5x - 1 & # xa0 = & # xa0 0 & # xa0 & # xa0or x - 5 & # xa0 = & # xa0 0

x & # xa0 = & # xa0 -1 / 5 & # xa0 & # xa0 أو & # xa0 & # xa0x = 5

إذن ، الرقم المطلوب هو -1/5 أو 5.

الحديقة التي تبلغ مساحتها 12 مترًا في 16 مترًا هي أن يكون لها مسار للمشاة يبلغ عرضه "عرضًا" مترًا مثبتًا على طول الطريق بحيث يزيد المساحة الإجمالية إلى 285 مترًا مربعًا. ما هو عرض المسار؟

من الصورة أعلاه ، يبلغ طول الحديقة بما في ذلك المسار 12 + 2w والعرض 16 + 2w.

& # xa0 192 + 24w + 32w + 4w 2 & # xa0 = & # xa0 285

س = (-56 + 68) / 8 و س = (-56-68) / 8

لذا ، فإن العرض المطلوب هو 1.5 متر.

تقطع الحافلة مسافة 90 كم بسرعة منتظمة. لو كانت السرعة تزيد عن 15 كم / ساعة ، لكانت تستغرق الرحلة 30 دقيقة أقل. أوجد السرعة الأصلية للحافلة.

دع "x" تكون السرعة الأصلية & # xa0 للحافلة

الوقت الذي تستغرقه الحافلة عندما تسافر بالسرعة الأصلية & # xa0 = & # xa0 90 / x

الوقت الذي تستغرقه الحافلة عندما تسافر بسرعة متزايدة & # xa0 = & # xa0 90 / (x + 15)

لذا ، فإن السرعة الأصلية للحافلة هي 45 كم في الساعة.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


تطبيقات تتضمن معادلات من الدرجة الثانية

في هذا القسم ، تتكون الإعدادات الجبرية عادةً من معادلة تربيعية حيث قد لا تكون الحلول أعدادًا صحيحة.

المثال 10: ارتفاع المثلث أقل بمقدار بوصتين من ضعف طول قاعدته. إذا كانت المساحة الكلية للمثلث 11 بوصة مربعة ، فأوجد طولي القاعدة والارتفاع. قرّب الإجابات لأقرب جزء من مائة.

استخدم الصيغة A = 1 2 b h وحقيقة أن المساحة 11 بوصة مربعة لإنشاء معادلة جبرية.

لإعادة كتابة هذه المعادلة التربيعية في الصورة القياسية ، قم أولاً بتوزيع 1 2 x.

استخدم المعاملات ، أ = 1, ب = ،1 و ج = −11 لتحديد نوع الحلول.

نظرًا لأن المميز إيجابي ، فتوقع حلين حقيقيين.

في هذه المشكلة ، تجاهل الحل السلبي وفكر فقط في الحل الإيجابي.

العودة بديلا للعثور على الارتفاع.

الإجابة: قياس القاعدة 1 + 3 5 2 ≈ 3.85 بوصة والارتفاع - 1 + 3 5 5.71 بوصة.

المثال 11: مجموع مربعات عددين صحيحين موجبين متتاليين هو 481. أوجد الأعداد الصحيحة.

يلي الإعداد الجبري:

أعد كتابة المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

عندما تكون المعاملات كبيرة ، في بعض الأحيان يكون استخدام الصيغة التربيعية أقل مجهودًا بدلاً من محاولة تحليلها. في هذه الحالة ، أ = 1 ، ب = 1 ، ج = - 240. عوّض بالصيغة التربيعية ثم بسّط.

نظرًا لأن المشكلة تتطلب أعدادًا صحيحة موجبة ، تجاهل الحل السلبي واختر ن = 15.

الجواب: الأعداد الصحيحة الموجبة هي 15 و 16.

الماخذ الرئيسية

  • حدد عدد ونوع الحلول لأي معادلة تربيعية في الصورة القياسية باستخدام المميز ، ب 2 - 4 أ ج. إذا كان المميز سالبًا ، فإن الحلول ليست حقيقية. إذا كان المميز موجبًا ، فإن الحلول حقيقية. إذا كان المميز صفرًا ، فهناك حل واحد فقط ، وهو جذر مزدوج.
  • اختر الطريقة المناسبة لحل المعادلة التربيعية بناءً على قيمة المميز الخاص بها. في حين أن الصيغة التربيعية ستحل أي معادلة تربيعية ، فقد لا تكون الطريقة الأكثر فعالية.
  • عند حل التطبيقات ، استخدم الكلمات والعبارات الأساسية لإعداد معادلة جبرية تمثل المشكلة. في هذا القسم ، يتضمن الإعداد عادةً معادلة من الدرجة الثانية.

تمارين الموضوع

الجزء أ: استعمال ما يميزه

احسب المميز واستخدمه لتحديد عدد الحلول ونوعها. لا تحل.

اختر الطريقة المناسبة لحل ما يلي.

ضع معادلة جبرية واستخدمها لحل المعادلة التالية.

51. العدد الحقيقي الموجب هو 2 أقل من الآخر. عندما يتم إضافة 4 أضعاف الأكبر إلى مربع الأصغر ، تكون النتيجة 49. أوجد الأرقام.

52. العدد الحقيقي الموجب هو 1 أكثر من الآخر. عندما يتم طرح مرتين الأصغر من مربع الأكبر ، تكون النتيجة 4. أوجد الأرقام.

53. العدد الحقيقي الموجب هو 6 أقل من الآخر. إذا كان مجموع مربعي العددين هو 38 ، فأوجد الأعداد.

54. العدد الحقيقي الموجب هو 1 أكثر من ضعف آخر. إذا تم طرح 4 أضعاف الرقم الأصغر من مربع الأكبر ، فإن النتيجة هي 21. أوجد الأرقام.

قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.

55. مساحة المستطيل 60 بوصة مربعة. إذا كان الطول 3 أضعاف العرض ، فابحث عن أبعاد المستطيل.

56. مساحة المستطيل 6 أقدام مربعة. إذا كان الطول أكبر من العرض بمقدار قدمين ، فابحث عن أبعاد المستطيل.

57. مساحة المستطيل 27 مترا مربعا. إذا كان الطول أقل من 3 أضعاف العرض بمقدار 6 أمتار ، فأوجد أبعاد المستطيل.

58. مساحة المثلث 48 بوصة مربعة. إذا كانت القاعدة ضعف الارتفاع ، فأوجد طول القاعدة.

59. مساحة المثلث 14 قدم مربع. إذا كانت القاعدة أكبر من ارتفاعها بمقدار 4 أقدام ، فأوجد طول القاعدة والارتفاع.

60. تبلغ مساحة المثلث 8 أمتار مربعة. إذا كانت القاعدة أقل من الارتفاع بأربعة أمتار ، فأوجد طول القاعدة والارتفاع.

61.محيط المستطيل يساوي 54 سنتيمترًا ومساحته 180 سنتيمترًا مربعًا. العثور على أبعاد المستطيل.

62. محيط المستطيل 50 بوصة ومساحته 126 بوصة مربعة. العثور على أبعاد المستطيل.

63. يحتفظ جورج بحديقة ناجحة بمساحة 6 أمتار في 8 أمتار. في الموسم المقبل يخطط لمضاعفة مساحة الزراعة عن طريق زيادة العرض والارتفاع بمقدار متساوٍ. بكم يجب أن يزيد الطول والعرض؟

64 - من المقرر إنشاء حد موحد من الطوب حول حديقة طولها 6 أقدام و 8 أقدام. إذا كانت المساحة الإجمالية للحديقة ، بما في ذلك الحد ، هي 100 قدم مربع ، فابحث عن عرض حد القرميد.

65. إذا كانت أضلاع مربع قياسها 10 6 وحدات ، فأوجد طول القطر.

66. إذا كان قطر a يساوي 3 10 وحدات ، فأوجد طول كل ضلع.

67. يبلغ قياس قطر المستطيل 6 3 بوصات. إذا كان العرض أقل من الطول بمقدار 4 بوصات ، فأوجد أبعاد المستطيل.

68. يبلغ قياس قطر المستطيل 2 3 بوصات. إذا كان العرض أقل من الطول بمقدار بوصتين ، فأوجد أبعاد المستطيل.

69. ارتفاع سلم ارتفاعه 20 قدماً ، متكئاً على مبنى ، يصل ارتفاعه إلى 18 قدماً. كم تبعد قاعدة السلم عن الحائط؟ قرّب لأقرب جزء من مائة.

70. لاستخدام السلم بأمان ، يجب وضع القاعدة على مسافة 1/4 من طول السلم بعيدًا عن الحائط. إذا كان من المقرر استخدام سلم يبلغ ارتفاعه 20 قدمًا بأمان ، فما الارتفاع الذي يصل إليه الجزء العلوي من السلم مقابل المبنى؟ قرّب لأقرب جزء من مائة.

71. يبلغ قطر شاشة التلفزيون 32 بوصة. إذا كانت الشاشة تحتوي على نسبة عرض إلى ارتفاع تبلغ 3: 2 ، فحدد طولها وعرضها. قرّب لأقرب جزء من مائة.

72. يبلغ قطر شاشة التلفزيون 52 بوصة. إذا كانت الشاشة تحتوي على نسبة عرض إلى ارتفاع تبلغ 16: 9 ، فحدد طولها وعرضها. قرّب لأقرب جزء من مائة.

73. يتم الحصول على الربح بالدولار من تشغيل خط تجميع ينتج زيًا رسميًا مخصصًا كل يوم من خلال الدالة P (t) = - 40 t 2 + 960 t - 4،000 ، حيث ر يمثل عدد ساعات تشغيل الخط.

أ. احسب الربح من تشغيل خط التجميع لمدة 10 ساعات في اليوم.

ب. احسب عدد الساعات التي يجب أن يعمل بها خط التجميع لكسر التعادل. قرّب لأقرب جزء من عُشر ساعة.

74. الربح بالدولار الناتج عن الإنتاج والبيع x تُعطى المصابيح المخصصة بواسطة الوظيفة P (x) = - 10 x 2 + 800 x - 12،000.

أ. احسب ربح إنتاج وبيع 35 مصباحًا.

ب. احسب عدد المصابيح التي يجب بيعها لتحقيق ربح 3000 دولار.

75. إذا تم استثمار 1200 دولار في حساب يربح معدل فائدة سنوي صثم المبلغ أ الموجود في الحساب في نهاية عامين يتم الحصول عليه من خلال الصيغة A = 1،200 (1 + r) 2. إذا كان المبلغ في الحساب في نهاية عامين هو 1،335.63 دولارًا ، فما هو معدل الفائدة؟

76. حددت شركة تصنيع أن الإيرادات اليومية ، ر، بآلاف الدولارات يعتمد على الرقم ، ن، من لوحات المنتجات المباعة وفقًا للصيغة R = 12 n - 0.6 n 2. حدد عدد اللوحات التي يجب بيعها للحفاظ على الإيرادات عند 60 ألف دولار في اليوم.

77. ارتفاع المقذوف المطلق لأعلى بسرعة 32 قدم / ثانية من ارتفاع 128 قدم يُعطى بالدالة h (t) = - 16 t 2 + 32 t + 128.

أ. ما ارتفاع المقذوف عند 1/2 ثانية؟

ب. في أي وقت بعد الإطلاق ستصل المقذوفة إلى ارتفاع 128 قدمًا؟

78. ارتفاع قذيفة مطلقة لأعلى بسرعة 16 قدمًا / ثانية من ارتفاع 192 قدمًا تُعطى بالدالة h (t) = - 16 t 2 + 16 t + 192.

أ. ما ارتفاع المقذوف عند 3/2 ثانية؟

ب. في أي وقت يصل المقذوف إلى 128 قدما؟

79. ارتفاع جسم يسقط من أعلى مبنى يبلغ ارتفاعه 144 قدمًا يُعطى بالقيمة h (t) = - 16 t 2 + 144. كم من الوقت سيستغرق الوصول إلى نقطة في منتصف الطريق على الأرض؟

80. يُعطى ارتفاع القذيفة مباشرة في الهواء بسرعة 80 قدم / ثانية من الأرض بالقيمة h (t) = - 16 t 2 + 80 t. في أي وقت تصل المقذوفة إلى 95 قدما؟

81. ناقش إستراتيجية استخدام الصيغة التربيعية دائمًا لحل المعادلات التربيعية.

82. ضع قائمة بجميع الطرق التي تعلمناها حتى الآن لحل المعادلات التربيعية. ناقش إيجابيات وسلبيات كل منها.


حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل والتطبيقات والمشكلات الكلامية

& emsp & emspكيف ستحل المعادلة 5 (x-2) = 0؟ هل ستمضي بإحدى الطرق التالية؟

& emsp & emsp كلا الطريقتين صحيحتان وتنتجان الحل x = 2. لكن هل تعتقد أن x - 2 يجب أن تكون 0؟ هذا صحيح لأن 5 * 0 = 0 ، و 0 هو الرقم الوحيد المضروب في 5 الذي سيعطي حاصل ضرب 0. هل يمكن أن تكتب

& emsp & emsp الآن ضع في اعتبارك معادلة تتضمن حاصل ضرب اثنين من كثيرات الحدود مثل

& emsp & emsp إذا قمت بضرب (x-3) (x-2) ، فستحصل على

& emsp & emsp لا يساعد هذا الإجراء لأن حل x ^ 2-5x + 6 = 0 ليس أسهل من حل المعادلة الأصلية.

& emsp & emsp نظرًا لأن لدينا منتجًا يساوي 0 ، فإننا نسمح بأن يكون أحد العوامل 0. أي واحدة؟ اختر x - 2.

& emsp & emsp افترض أننا اخترنا السماح لـ x-3 = 0.

& emsp & emspSo ، 3 هو أيضًا حل.
وهكذا، من أجل حل معادلة تنطوي على نتاج متعددو الحدود يساوي 0، يمكننا أن نسمح لكل عامل بدوره يساوي 0 إلى فاي الثانية عن الحلول الممكنة. والسبب هو أن المنتج يساوي 0 فقط إذا كان أحد العوامل على الأقل هو 0.

& emsp & emspحل المعادلات التالية.

& emsp & emsp يُطلق على كثير الحدود من الدرجة الثانية تربيعية. معادلات النموذج

& emsp & emspare تسمى المعادلات التربيعية.

& emsp & emsp تحليل التعبير التربيعي ، إن أمكن ، يعطي عاملين من الدرجة الأولى. إن وضع كل عامل يساوي 0 يعطي معادلات من الدرجة الأولى يمكن حلها بسهولة. كل من هذه الحلول هو حل المعادلة التربيعية.

& emsp & emsp لا يمكن تحليل جميع المعاملات التربيعية باستخدام معاملات عدد صحيح. تمت مناقشة استخدام تقنيات أخرى غير التحليل إلى عوامل لحل المعادلات التربيعية في الفصل 10.

& emsp & emspحل المعادلات التربيعية التالية بالتحليل إلى عوامل.

& emsp & emsp & emsp & emsp x ^ 2 + 9x-22 = 0 & emsp & emsp يجب أن يكون جانب واحد من المعادلة 0.

& emsp & emsp نظرًا لأن كلا العاملين متماثلان ، فلا يوجد سوى حل واحد.

& emsp & emsp & emsp & emsp 4 (x-3) (x + 2) = 0 & emsp & emsp لا يمكن أن يكون العامل الثابت 4 0 ولا يؤثر على الحل.

دع & rsquos نرى كيف يحل برنامج حل المعادلات هذه المشكلة والمشكلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

& emsp & emsp & emsp & emsp 3 * x ^ 2/3 + 3 * 5x-3 * 18 = 3 * 0 & emsp & emsp اضرب كل حد على طرفي المعادلة في 3. إذا كان هناك أكثر من مقام ، اضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقام.

5.5 & emsp & emsp التطبيقات

& emsp & emspسواء كانت مشاكل الكلمات تسبب لك الصعوبة أم لا ، فإن ذلك يعتمد إلى حد كبير على تجاربك الشخصية وقدراتك العامة على التفكير. تم تطوير هذه القدرات على مدى فترة طويلة من الزمن. قد تكون المشكلة السهلة بالنسبة لك ، ربما لأنك مررت بتجربة في موقف معين ، صعبة جدًا على صديق ، والعكس صحيح.

& emsp & emsp لا تذكر معظم المشكلات بشكل محدد الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة. عليك أن تعرف من طبيعة المشكلة ما يجب القيام به. عليك أن تسأل نفسك. & ldquo ما هي المعلومات التي يتم تقديمها؟

& emsp & emspWord يجب التعامل مع مشاكل الكلمات بطريقة منظمة. لديك خطة ldquoattack. & rdquo

& emsp & emspخطة الهجوم لمشاكل الكلمات

& emsp & emsp1. اقرأ المشكلة بعناية مرتين على الأقل.

& emsp & emsp2. قرر ما هو مطلوب وتخصيص متغير للكمية غير المعروفة.

& emsp & emsp3. نظّم مخططًا أو جدولًا أو رسمًا بيانيًا يتعلق بجميع المعلومات المقدمة.

& emsp & emsp4. كوّن معادلة. (ربما تكون صيغة من نوع ما ضرورية).

& emsp & emsp6. تحقق من الحل باستخدام صياغة المشكلة للتأكد من أنها منطقية.

& emsp & emsp عدة أنواع من المسائل تؤدي إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إعداد المشكلات في هذا القسم بحيث يمكن حل المعادلات بالتحليل إلى عوامل. تمت مناقشة المزيد من المشكلات العامة والأساليب لحل المعادلات التربيعية في الفصل 10.

& emsp & emsp1. عدد أكبر من الآخر بأربعة ، ومجموع مربعاتها هو 296. ما هي الأرقام؟

& emsp & emspدع x = رقم أصغر

& emsp & emsp x ^ 2 + 4x-140 = 0 & emsp & emsp العامل الثابت 2 مستحق لا

& emsp & emsp هناك مجموعتان من الإجابات على المشكلة ، 10 و 14 أو -14 و -10. (10 ^ 2 + 14 ^ 2 = 100 + 196 = 296 و (-14) ^ 2 + (-10) ^ 2 = 196 + 100 = 296.)

& emsp & emsp2. في بستان برتقال ، يوجد 15 شجرة في كل صف أكثر من عدد الصفوف. كم عدد الصفوف إذا كان هناك 406 شجرة في البستان؟

& emsp & emspدع x = عدد الصفوف

& emsp & emsp x + 15 = عدد الأشجار في كل صف

& emsp & emsp x = 14 & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp حل خارجي لأن -29 لا يفي بظروف المشكلة على الرغم من أن -29 هو حل للمعادلة.

& emsp & emsp: يوجد 14 صفًا في البستان.

& emsp & emsp3. المستطيل مساحته 135 مترًا مربعًا ومحيطه 48 مترًا. ما هي أبعاد المستطيل؟

& emsp & emspمساحة المستطيل هي نتاج طوله وعرضه

& emsp & emsp: يُعطى محيط المستطيل بواسطة P = 2l + 2w.

& emsp & emsp: نظرًا لأن المحيط 48 مترًا ، فيجب أن يكون الطول بالإضافة إلى العرض
يكون 24 مترا.

& emsp & emsp w (24-w) = 135 & emsp & emspArea = عرض مرات الطول

& emsp & emsp

& emsp & emsp العرض 9 9 متر والطول 15 متر. ((9 * 15 = 135))

& emsp & emsp4. رجل يريد بناء جدار من الطوب على طول ثلاثة جوانب من ممتلكاته. إذا كانت هناك حاجة إلى 252 قدمًا من السياج وكانت مساحة اللوط 6480 قدمًا مربعًا ، فما هي أبعاد اللوط؟

& emsp & emsp نظرًا لأن هناك ثلاثة جوانب فقط من الدفعة متضمنة ، إذا كان أحد الضلعين المتساويين هو x ، فسيكون 252-2x هو الجانب الثالث.

& emsp & emspLet x = أحد الجانبين المتساويين

& emsp & emsp

& emsp & emsp: الطول 90 قدمًا والعرض 72 قدمًا أو الطول 180 قدمًا والعرض 36 قدمًا. (90 + 90 + 72 = 252 ، 180 + 36 + 36 = 252.

& emsp & emsp5. مجموع مربعي عددين صحيحين موجبين زوجي متتالي هو 340. أوجد الأعداد الصحيحة.

& emsp & emspدعونا ن = rst فاي صحيح

& emsp & emsp n + 2 = العدد الصحيح الزوجي التالي

& emsp & emsp n = 12 & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp تتطلب المسألة أعداد صحيحة موجبة.

& emsp & emsp العدد الصحيح الأول هو 12 والعدد الصحيح الزوجي التالي هو 14. (12 ^ 22 + 14 ^ 2 = 144 + 196 = 340.)

5.6 & emsp & emsp تطبيقات إضافية (اختياري)

يُعطى حجم الأسطوانة بالصيغة: V = PIr ^ 2h
& emsp & emsp V هو الحجم
& emsp & emsp PI = 3.14 (3.14 تقدير تقريبي لـ PI)
& emsp & emsp r هو نصف القطر
& emsp & emsp h هو الارتفاع
& emsp & emsp1. أوجد حجم أسطوانة نصف قطرها 6 بوصة وارتفاعها 20 بوصة.
& emsp & emsp2. أوجد ارتفاع الأسطوانة إذا كان الحجم 282.6 بوصة ونصف القطر 3 بوصات.

& emsp & emsp3. ارتفاع أسطوانة 14 بوصة وحجمها 1099 متر مكعب بوصة. أوجد نصف القطر.
& emsp & emsp4. أوجد نصف قطر أسطوانة حجمها 2512 سنتيمترًا مكعبًا وارتفاعها 8 سنتيمترات.
يتم التعبير عن الحمل الآمن لشعاع خشبي أفقي مدعوم من كلا الطرفين بالصيغة L = kbd ^ 2 / l.
& emsp & emsp L بالجنيه ،
& emsp & emsp b هو العرض أو العرض بالبوصة ،
& emsp & emsp d هو العمق بالبوصة ،
& emsp & emsp l هو الطول بالبوصة ، و
& emsp & emsp k ، وهو ثابت ، يعتمد على درجة الحزمة ويعبر عنه بالجنيه لكل بوصة مربعة.

& emsp & emsp5. ما هو الحمل الأقصى الآمن لشعاع الصنوبر الأبيض بطول 180 بوصة وعرض 3 بوصات وعمق 4 بوصات إذا كان k = 3000 رطل لكل بوصة مربعة؟
& emsp & emsp6. أوجد الثابت k إذا كان طول الشعاع 144 بوصة وعرضه 2 بوصة ومحل الجين. يدعم العمق حمولة قصوى تبلغ 1100 رطل-قدم.
& emsp & emsp7. مطلوب شعاع من خشب البلوط الصلب لدعم حمولة 12000 رطل. لا يمكن أن يزيد عمقها عن 8 بوصات وطولها 192 بوصة. بالنسبة لهذه الدرجة من البلوط ، k = 6000 رطل لكل بوصة مربعة. ما هو عرض الشعاع؟

& emsp & emsp8. الحد الأقصى الآمن لشعاع الصنوبر الأبيض بعرض 4 بوصات وطول 150 بوصة هو 2880 رطلاً. بالنسبة للصنوبر الأبيض ، k = 3000 رطل لكل بوصة مربعة. أوجد عمق الشعاع.

& emsp & emsp9. مطلوب شعاع دوغلاس آر لدعم حمولة 20000 رطل. بالنسبة إلى دوغلاس التنوب ، k = 4800 رطل لكل بوصة مربعة. إذا كانت الحزمة هي الجن. بعرض 144 بوصة وطولها 144 بوصة ، ما هو الحد الأدنى لعمق الشعاع لدعم الحمل المطلوب؟

& emsp & emsp المعادلة h = -16t ^ 2 + v_0t تعطي الارتفاع h ، بالأقدام ، أن الجسم سيكون فوق الأرض في الوقت t ، بالثواني ، إذا تم إسقاطه لأعلى بسرعة ابتدائية v_0 قدمًا في الثانية.

& emsp & emsp10. أوجد ارتفاع جسم بعد 3 ثوانٍ من إسقاطه لأعلى بمعدل 56 قدمًا في الثانية.

& emsp & emsp11. أوجد ارتفاع جسم بعد 5 ثوانٍ من إسقاطه لأعلى بمعدل 120 قدمًا في الثانية.

& emsp & emsp12. تقذف الكرة لأعلى بسرعة 144 قدمًا في الثانية. متى ستضرب الأرض؟

& emsp & emsp13. يُسقط جسم لأعلى بمعدل 160 قدمًا في الثانية. أوجد الوقت عندما يكون ارتفاعه 384 قدمًا فوق سطح الأرض.

& emsp & emsp14. إسقاط كائن لأعلى بمعدل 96 قدمًا في الثانية. أوجد الوقت عندما تكون على ارتفاع 144 قدمًا فوق سطح الأرض.

& emsp & emsp يتم الحصول على خرج الطاقة من عضو الإنتاج من خلال المعادلة

& emsp & emspwhere p_0 ، يقاس بالكيلوواط ، _g يقاس بالفولت ، و r_g يقاس بالأوم ، و يقاس بالأمبير.

& emsp & emsp15. يجد إذا كان P_0 = 120 كيلووات ، _g = 16 فولت ، و r_g = 1/2 أوم.

& emsp & emsp16. يجد إذا كان P_0 = 180 كيلووات ، _g = 22 فولت ، و r_g = 2/3 أوم.

& emsp & emsp الطلب على المنتج هو عدد وحدات المنتج التي يستهلكها المستهلكون
هم على استعداد للشراء عندما يكون سعر السوق هو p دولار. يتم العثور على إجمالي إنفاق المستهلكين على المنتج بضرب السعر في الطلب.

& emsp & emsp17. عندما يتم تسعير بكرات shing بالدولار p ، سيشتري المستهلكون المحليون 36 - p shing reels. ما هو الثمن إذا كان إجمالي المبيعات 320 دولارًا؟

& emsp & emsp18. يمكن للشركة المصنعة بيع مصابيح 100 - 2p بسعر p دولار لكل منها. إذا كان إجمالي المقبوضات من اللمبات 1200 دولار فما هو سعر اللمبات؟

& emsp & emsp يتم تحديد الطلب على سلعة معينة بواسطة D = -20p ^ 2 + ap + 1200 وحدة شهريًا ، حيث p هو سعر البيع و a ثابت.

& emsp & emsp19. أوجد سعر البيع إذا تم بيع 1200 وحدة وكانت أ = 60.

& emsp & emsp20. أوجد سعر البيع إذا تم بيع 1860 وحدة وكان أ = 232.

5.8 & emsp & emsp مراجعة المعادلات الإضافية (اختياري)

& emsp & emsp حل المعادلات من أهم الموضوعات في بداية مقرر الجبر. في هذا القسم ، يتم تزويدك بتمارين المراجعة للمساعدة في الحفاظ على المهارات والفهم المتعلقين بحل المعادلات. يتم استخدام التقنيات التي تمت مناقشتها في الأقسام السابقة في حل هذه المعادلات ، وبعض المعادلات بها كسور للحلول.

& emsp & emsp1. حل المعادلات التالية.

& emsp & emsp2. 2x ^ 2 + 9x + 9 = 0 & emsp & emsp اكتب المعادلة.


42 تعليقات

تم إعطاء تقنيات جيدة لحل المعادلات التربيعية ولكن تم العثور على العديد من الأخطاء & # 8230 الثابتة والمتنقلة تصحيحها.

شكرًا لك براشانت على ملاحظاتك ، يرجى ذكر الصفحة التي لا تفهم فيها وتجد أخطاء & # 8230.

لم أجد فيه أخطاء لكن المشاكل بدائية. في بلدي ، حتى الأطفال يمكنهم حلها بسهولة. تنشأ المشاكل عندما يبدأون بطرح أسئلة صعبة. لذلك سيكون من اللطف منك أن تكمل المحاضرة من خلال تضمين مشاكل ملزمة للعقل. أعتقد أنه من خلال تطبيق طريقة التمايز على هذه المشاكل نتخلص من هذه الصعوبات

يرجى توضيح مثال 4.

من المحتمل أن تكون القيم النهائية هي x = -5 و x = -4 & # 8230.

سيدي الرجاء إعطاء بعض المعادلات التربيعية لـ SBI po و RBI التي يصعب حلها وكيفية مقارنتها

كلاهما صعب ولكن ليس من المستحيل حلهما ، تدرب أكثر على الأساسيات & # 8230

مفيد جدا & # 8230thnx الكثير سيدي

حسنا لدي سؤال:
1.x ^ 2-x-2 = 0 و 2.y ^ 2 + 5y + 6 = 0
الآن بعد الحل ، أحصل على x = + 4 ، -3 و y = -3 ، -2 لذلك هناك قيمة واحدة مشتركة -3 وقيمة أخرى لـ x أكبر من y ، لذا يجب أن تكون الإجابة x & gt = y
لكن الجواب هو العلاقة لا يمكن أن تنشأ كيف يمكن أن يكون من الممكن هل أي مفهوم هنا ؟؟

سيدي ، علينا مقارنة قيمتي x بقيمتي y.
أقصد أن أقول إن +4 أكبر من كلتا قيمتي y ، لكن -3 ليس أكبر من -2 ، لذلك يمكن إنشاء العلاقة & # 8217t. آمل أن تفهم.

إذا كانت قيمة y & # 8216s ضمن قيمة x فلا علاقة

جذور المعادلة الأولى هي 2 ، -1 وليس 4 ، 3 و 2 nd eq الجذور -3 ، -2 لذلك لا توجد علاقة

س = -1،2 ، ص = -3 ، -2
بمقارنة can & # 8217t نقول y & ltx؟

xsquare يساوي 25 يعني ثم الإجابة هي + or-5 & # 8230. نفس الطريقة xpower4 تساوي 625 تعني وات هي قيمة x؟ + or-5 ya or +5 only ya. الرجاء الرد علي & # 8230

وماذا عن القيم السلبية

نشكرك على مشاركة تقنية الاختصار هذه ولكنها ستكون جيدة إذا شاركت بعض الأسئلة الأخرى حيث تكون المعادلات سلبية مثل x2-x-2 = 0
حتى نفوز & # 8217t في تسجيل الدخول.

سؤال نيويورك هو x² + 5x-6.
وفقًا للطريقة المذكورة أعلاه ، أ × ج = 1 × 6 = 6
6 يمكن كسرها بطريقتين لتصبح مساوية للفصل المتوسط ​​5 على النحو التالي:
6 × 1 = 6 و 6-1 = 5 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 (الطريق 1).
و أيضا
2 × 3 = 6 و 2 + 3 = 5 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 (الطريق 2).

بافتراض أنني أتبع هذه الحيلة القصيرة ولم أحل هذه المعادلة بالطريقة التقليدية الطويلة ، حيث لن يكون هناك وقت للقيام بذلك والتحقق من كل معادلة ،

إذا ذهبت بالطريقة 1 ، فسأحصل على x = 1 ، -6.
في حين،
إذا ذهبت إلى الطريق 2 ، فسأحصل على x = -3 ، -2.

ثم كيف أعرف أي طريق يجب أن أذهب .. الطريق 1 أم الطريق 2؟ & # 8230 حيث يبدو أن كلاهما صحيح في طريقة الاختصار.

عليك أن تجعل منتج -6 غير موجود في قيمك الثانية ، أي 2 & # 2153. لذا فإن القيم 6 X -1 = -6 & amp 6-1 = 5 فقط هي الصالحة.

س ^ 2 + 5x-6
= x ^ 2 + 6x-x-6
= س (س + 6) -1 (س + 6)
= (س -1) (س + 6)
س = 1 و س = -6
الاختصار
-6/1 = -6 و 1/1 = 1
وتذكر أن مجموع 2x و 3 x يمكن أن يكون 5x bt المنتج غير قادر على -6

شكراً لك يا سيدي .. هذا مفيد جداً

الحيل الممتازة ، هذا يساعد كثيرا على بنك الطامحين

سيدي ، هل يمكنك أن تخبرني كيف تقارن قيم x و y. خاصة في الحالات التي لا يمكن فيها تحديد العلاقة بين كلا المتغيرين.

أفضل خدعة وجدتها على net.thanxxxxxxxx

شكرا من اعماق قلبي

مرحبًا بك ، واستمر في الزيارة.

11 × ^ 2-240 × 44 = 0
الرجاء حل هذا مع الشرح

هل هناك طريقة أخرى لحل هذه الأسئلة خاصة عندما تكون المعاملات كبيرة جدًا. بهذه الطريقة ، سيصبح حساب مثل هذه الأسئلة محمومًا للغاية. فهل هناك طريقة أخرى للتعامل مع هذا النوع من المشاكل؟

كيفية استخدام الاختصار للقيم الكبيرة مثل 9 * 20 cums 180. كيفية تقسيمه على 27.

الرجاء مساعدتي في هذا النوع من الأسئلة

X & gty
س = ص
س & lt = ص
لا توجد أي علاقة يجري تأسيسها.

أنا & # 8217m الخلط هنا.
نقسم + 24 إلى جزأين بحيث تكون الجمع بينهما 10.
+24 = (+6) + (+ 4) = +10 .
يمكنني & # 8217t فهم ذلك. # 8217s كيف ......

إنها & # 8217s مجرد تقنية عادية & # 8230. لا تقول مرة أخرى أن هذا اختصار ، إنه مضيعة للوقت حقًا

تقنية رائعة بطريقة بسيطة ، أحببتها بكل بساطة سيدي الرائع.

مثير للاهتمام سيدي نحن نقدر تقديرا عاليا

بوه سيدي لدي مشكلة مع المعادلات الجوهرية lke

سيدي من فضلك إذا كان هناك & # 8217s أي طريقة صعبة

معادلة السير التكعيبية والرباعية

شكرا لك على الاختصارات التي أقدرها حقًا
لكن لدي سؤال لطرحه

ماذا لو كان حاصل الضرب المشترك لـ x ^ 2 والثابت كثيرًا ، اشرح لنا كيف يمكننا بسهولة الحصول على d 2 رقم dat يمكن ضرب b لإعطاء المنتج ويمكن إضافته لإعطاء الكفاءة المشتركة لـ x


7.6 المعادلات التربيعية

لا يبدو أن المعادلة الأخيرة تحتوي على المتغير تربيعًا ، ولكن عندما نبسط التعبير الموجود على اليسار ، فسنحصل على n 2 + n n 2 + n.

الصيغة العامة للمعادلة التربيعية هي a x 2 + b x + c = 0 ، مع a ≠ 0 a x 2 + b x + c = 0 ، مع a 0.

معادلة من الدرجة الثانية

تسمى المعادلة بالصيغة أ س 2 + ب س + ج = 0 أ س 2 + ب س + ج = 0 معادلة تربيعية.

لحل المعادلات التربيعية ، نحتاج إلى طرق مختلفة عن تلك التي استخدمناها في حل المعادلات الخطية. سنلقي نظرة على طريقة واحدة هنا ثم عدة طرق أخرى في فصل لاحق.

حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية المنتج الصفري

سنحل أولاً بعض المعادلات التربيعية باستخدام خاصية المنتج الصفري. تنص خاصية المنتج الصفري على أنه إذا كان ناتج كميتين يساوي صفرًا ، فيجب أن تكون إحدى الكميتين على الأقل صفراً. الطريقة الوحيدة للحصول على منتج يساوي صفرًا هي الضرب في صفر نفسه.

خاصية المنتج الصفري

سنستخدم الآن خاصية المنتج الصفري لحل المعادلة التربيعية.

مثال 7.69

كيفية استخدام خاصية المنتج الصفري لحل معادلة من الدرجة الثانية

المحلول

عادة ما نقوم بعمل أكثر بقليل مما فعلناه في هذا المثال الأخير لحل المعادلات الخطية التي تنتج عن استخدام خاصية المنتج الصفري.

مثال 7.70

حل: (5 ن - 2) (6 ن - 1) = 0 (5 ن - 2) (6 ن - 1) = 0.

المحلول

حل: (3 م - 2) (2 م + 1) = 0 (3 م - 2) (2 م + 1) = 0.

حل: (4 ص + 3) (4 ص - 3) = 0 (4 ص + 3) (4 ص - 3) = 0.

لاحظ عندما تحققنا من الحلول أن كلًا منها جعل عاملًا واحدًا فقط يساوي صفرًا. لكن الناتج كان صفرًا لكلا الحلين.

مثال 7.71

المحلول

قد يبدو أن هناك عامل واحد فقط في المثال التالي. تذكر ، مع ذلك ، أن (y - 8) 2 (y - 8) 2 تعني (y - 8) (y - 8) (y - 8) (y - 8).

مثال 7.72

المحلول

حل المعادلات التربيعية بالتحليل

كل من المعادلات التي قمنا بحلها في هذا القسم حتى الآن لها جانب واحد في شكل عوامل. من أجل استخدام خاصية المنتج الصفري ، يجب تحليل المعادلة التربيعية ، مع وجود صفر في جانب واحد. لذلك يجب أن نتأكد من البدء بالمعادلة التربيعية في الصورة القياسية ، أ س 2 + ب س + ج = 0 أ س 2 + ب س + ج = 0. ثم يمكننا تحليل المقدار الموجود على اليسار.

مثال 7.73

كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية بالتحليل

المحلول

كيف

حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل.

قبل أن نحلل ، يجب أن نتأكد من أن المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

مثال 7.74

المحلول

مثال 7.75

المحلول

سيؤدي حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل إلى الاستفادة من جميع تقنيات العوملة التي تعلمتها في هذا الفصل! هل تتعرف على نمط المنتج الخاص في المثال التالي؟

مثال 7.76

المحلول

اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.
عامل. إنه اختلاف في المربعات.
استخدم خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل على 0. ١٢ ف - ٥ = ٠ ١٢ ف - ٥ = ٠ 12 س + 5 = 0 12 س + 5 = 0
حل كل معادلة. ١٢ س = ٥ س = ٥ ١٢ ١٢ س = ٥ س = ٥ ١٢ 12 q = –5 q = - 5 12 12 q = –5 q = - 512
راجع إجاباتك.

تم تحليل الجانب الأيسر في المثال التالي ، لكن الجانب الأيمن ليس صفرًا. من أجل استخدام خاصية المنتج الصفري ، يجب أن يكون جانب واحد من المعادلة صفراً. سنضرب العوامل ثم نكتب المعادلة في الصورة القياسية.

مثال 7.77

حل: (3 x - 8) (x - 1) = 3 x (3 x - 8) (x - 1) = 3 x.

المحلول

حل: (2 م + 1) (م + 3) = 12 م (2 م + 1) (م + 3) = 12 م.

تنطبق خاصية المنتج الصفري أيضًا على منتج ثلاثة عوامل أو أكثر. إذا كان المنتج يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفراً. يمكننا حل بعض المعادلات من الدرجة التي تزيد عن اثنين باستخدام خاصية المنتج الصفري ، تمامًا كما حللنا المعادلات التربيعية.

مثال 7.78

حل: 9 م 3 + 100 م = 60 م 2 9 م 3 + 100 م = 60 م 2.

المحلول

اجعل كل الحدود في أحد طرفيها بحيث يكون الطرف الآخر صفرًا.
حلل العامل المشترك الأكبر إلى عوامل أولاً.
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل.
استخدم خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل على 0.
حل كل معادلة.
راجع إجاباتك. الشيك متروك لك.

حل: 8 × 3 = 24 × 2 - 18 × 8 × 3 = 24 × 2 - 18 ×.

حل: 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y.

عندما نحلل المعادلة التربيعية في المثال التالي ، سنحصل على ثلاثة عوامل. لكن العامل الأول ثابت. نعلم أن هذا العامل لا يمكن أن يساوي 0.

مثال 7.79

المحلول

حل التطبيقات المنمذجة بواسطة المعادلات التربيعية

ستعمل إستراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها سابقًا للتطبيقات التي تترجم إلى معادلات خطية أيضًا مع التطبيقات التي تترجم إلى معادلات من الدرجة الثانية. سنقوم بنسخ استراتيجية حل المشكلات هنا حتى نتمكن من استخدامها كمرجع.

كيف

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لحل المشكلات الكلامية.

  1. الخطوة 1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. الخطوه 3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
  4. الخطوة 4. يترجم في معادلة. قد يكون من المفيد إعادة صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
  5. الخطوة الخامسة. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. الخطوة 6. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. الخطوة 7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

سنبدأ بمشكلة عددية للتدرب على ترجمة الكلمات إلى معادلة من الدرجة الثانية.

مثال 7.80

حاصل ضرب عددين متتاليين هو 132. أوجد الأعداد الصحيحة.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن رقمين صحيحين متتاليين.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. لنفترض أن n = العدد الصحيح الأول n + 1 = العدد الصحيح التالي على التوالي دعنا n = العدد الصحيح الأول n + 1 = العدد الصحيح التالي
الخطوة 4. الترجمة في معادلة. أعد صياغة المشكلة في جملة. حاصل ضرب عددين متتاليين هو 132.
العدد الصحيح الأول في العدد الصحيح التالي هو 132.
ترجم إلى معادلة. ن (ن + 1) = 132 ن (ن + 1) = 132
الخطوة 5. حل المعادلة. ن 2 + ن = 132 ن 2 + ن = 132
اجلب كل الشروط إلى جانب واحد. ن 2 + ن - 132 = 0 ن 2 + ن - 132 = 0
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. (ن - 11) (ن + 12) = 0 (ن - 11) (ن + 12) = 0
استخدم خاصية المنتج الصفري.
حل المعادلات.
ن - 11 = 0 ن + 12 = 0 ن = 11 ن = −12 ن - 11 = 0 ن + 12 = 0 ن = 11 ن = 12
هناك قيمتان لـ n n تُعدان حلين لهذه المشكلة. إذن ، هناك مجموعتان من الأعداد الصحيحة المتتالية ستعملان.
إذا كان العدد الصحيح الأول هو n = 11 إذا كان العدد الصحيح الأول هو n = −12 فإن العدد الصحيح التالي هو n + 1 ثم العدد الصحيح التالي هو n + 1 11 + 1 −12 + 1 12 −11 إذا كان العدد الصحيح الأول هو n = 11 إذا كان العدد الصحيح الأول هو n = −12 ثم العدد الصحيح التالي هو n + 1 ثم العدد الصحيح التالي هو n + 1 11 + 1 −12 + 1 12 −11
الخطوة 6. تحقق الاجابة.
الأعداد الصحيحة المتتالية هي 11 و 12 11 و 12 و 11 و 12 −11 و −12. حاصل الضرب 11 · 12 = 132 11 · 12 = 132 وحاصل الضرب −11 (12) = 132 −11 (−12) = 132. كلا أزواج الأعداد الصحيحة المتتالية عبارة عن حلول.
الخطوة 7. الإجابة السؤال. الأعداد الصحيحة المتتالية هي 11 و 12 11 و 12 و 11 و 12 −11 و −12.

حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو 240 240. أوجد الأعداد الصحيحة.

حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو 420 420. أوجد الأعداد الصحيحة.

هل فوجئت بزوج الأعداد الصحيحة السالبة التي تعتبر أحد الحلول للمثال السابق؟ ناتج العددين الموجبين وحاصل ضرب العددين السالبين كلاهما يعطي 132.

في بعض التطبيقات ، تنتج الحلول السلبية من الجبر ، لكنها لن تكون واقعية بالنسبة للموقف.

مثال 7.81

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. في المشكلات التي تتضمن أشكالًا هندسية ، يمكن أن يساعدك الرسم في تصور الموقف.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض.
الخطوة 3. الاسم ما تبحث عنه.
الطول أكثر من العرض بمقدار قدمين.
يترك دبليو = عرض الحديقة.
دبليو + 2 = طول الحديقة
الخطوة 4. الترجمة في معادلة.
أعد ذكر المعلومات المهمة في جملة.

مساحة الحديقة المستطيلة 15 قدم مربع.
استخدم صيغة مساحة المستطيل. A = L · W A = L · W
عوّض في المتغيرات. 15 = (W + 2) W 15 = (W + 2) W
الخطوة 5. حل المعادلة. وزع أولاً. 15 = W 2 + 2 W 15 = W 2 + 2 W
احصل على صفر في جانب واحد. 0 = W 2 + 2 W - 15 0 = W 2 + 2 W - 15
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. 0 = (W + 5) (W - 3) 0 = (W + 5) (W - 3)
استخدم خاصية المنتج الصفري. 0 = W + 5 0 = W + 5 0 = W - 3 0 = W - 3
حل كل معادلة. −5 = W −5 = W 3 = ث 3 = ث
منذ دبليو هو عرض الحديقة ،
لا معنى لها أن تكون
نفي. نحن نتخلص من تلك القيمة لـ دبليو.
−5 = W −5 = W

W = 3 W = 3
3 = ث 3 = ث

العرض 3 أقدام.
أوجد قيمة الطول. W + 2 = الطول W + 2 = الطول
3 + 2 3 + 2
5 5 الطول 5 أقدام.
الخطوة 6. تحقق الاجابة.
هل الجواب منطقي؟
نعم ، هذا منطقي.
الخطوة 7. الإجابة السؤال. عرض الحديقة 3 أقدام
والطول 5 أقدام.

تبلغ مساحة اللافتة المستطيلة 30 قدمًا مربعة. طول العلامة أكبر من العرض بمقدار قدم واحدة. أوجد طول وعرض العلامة.

فناء مستطيل مساحته 180 قدم مربع. عرض الفناء ثلاثة أقدام أقل من الطول. ابحث عن طول وعرض الفناء.

سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي.

مثال 7.82

تريد جوستين وضع سطح في زاوية فناء منزلها الخلفي على شكل مثلث قائم كما هو موضح أدناه. سيكون طول الوتر 17 قدمًا. سيكون طول أحد الجانبين أقل بمقدار 7 أقدام من طول الجانب الآخر. أوجد أطوال جانبي السطح.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.
نحن نبحث عن أطوال الأضلاع
من على سطح السفينة.
الخطوة 3. الاسم ما تبحث عنه.
أحد الجانبين أقل بمقدار 7 من الآخر.
يترك x = طول جانب من سطح السفينة
x - 7 = طول الضلع الآخر
الخطوة 4. الترجمة في معادلة.
بما أن هذا مثلث قائم الزاوية ، فيمكننا استخدام
نظرية فيثاغورس.
أ 2 + ب 2 = ص 2 أ 2 + ب 2 = ص 2
عوّض في المتغيرات. س 2 + (س - 7) 2 = 17 2 × 2 + (س - 7) 2 = 17 2
الخطوة 5. حل المعادلة. x 2 + x 2-14 x + 49 = 289 x 2 + x 2-14 x + 49 = 289
تبسيط. 2 × 2-14 × + 49 = 289 2 × 2-14 × + 49 = 289
إنها معادلة تربيعية ، لذا ضع صفرًا في أحد طرفيها. 2 × 2 - 14 × - 240 = 0 2 × 2 - 14 × - 240 = 0
حلل العامل المشترك الأكبر. 2 (× 2-7 × - 120) = 0 2 (× 2-7 × - 120) = 0
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. 2 (x - 15) (x + 8) = 0 2 (x - 15) (x + 8) = 0
استخدم خاصية المنتج الصفري. 2 ≠ 0 2 ≠ 0 س - 15 = 0 س - 15 = 0 س + 8 = 0 س + 8 = 0
يحل. 2 ≠ 0 2 ≠ 0 س = 15 س = 15 س = −8 س = −8
منذ x هو أحد أضلاع المثلث ، أما x = −8 x = −8 فلا
منطقي.
2 ≠ 0 2 ≠ 0
س = 15 س = 15
س = −8 س = −8
أوجد طول الضلع الآخر.
إذا كان طول جانب واحد
ثم طول الجانب الآخر
8 هو طول الضلع الآخر.
الخطوة 6. تحقق الاجابة.
هل هذه الأرقام منطقية؟
الخطوة 7. الإجابة السؤال. جوانب السطح هي 8 و 15 و 17 قدمًا.

شراع القارب هو مثلث قائم الزاوية. يزيد طول أحد جانبي الشراع عن الجانب الآخر بمقدار 7 أقدام. طول الوتر هو 13. أوجد أطوال ضلعي الشراع.

حديقة التأمل على شكل مثلث قائم الزاوية ، بساق واحدة 7 أقدام. طول الوتر أكثر من طول أحد الأرجل الأخرى. أوجد طول الوتر والساق الأخرى.

تمارين القسم 7.6

مع التدريب يأتي الإتقان

استخدم خاصية المنتج الصفري

في التدريبات التالية ، حل.

حل المعادلات التربيعية بالتحليل

في التدريبات التالية ، حل.

حل التطبيقات المنمذجة بواسطة المعادلات التربيعية

في التدريبات التالية ، حل.

حاصل ضرب عددين متتاليين هو 56. أوجد الأعداد الصحيحة.

حاصل ضرب عددين متتاليين هو 42. أوجد الأعداد الصحيحة.

مساحة السجادة المستطيلة 28 قدم مربع. الطول أكبر بثلاثة أقدام من العرض. أوجد طول وعرض السجادة.

تبلغ مساحة الجدار الاستنادي المستطيل 15 قدمًا مربعًا. ارتفاع الجدار أقل من طوله قدمين. أوجد ارتفاع الجدار وطوله.

يتشكل الراية على شكل مثلث قائم الزاوية بطول 10 أقدام. طول أحد جوانب الراية أطول بمقدار قدمين من طول الجانب الآخر. أوجد طول ضلعي الراية.

البركة العاكسة على شكل مثلث قائم الزاوية ، مع ساق واحدة على طول جدار المبنى. طول الوتر 9 أقدام أطول من الجانب على طول المبنى. الجانب الثالث أطول بمقدار 7 أقدام من الجانب على طول المبنى. أوجد أطوال الأضلاع الثلاثة للبركة العاكسة.

الممارسة المختلطة

في التدريبات التالية ، حل.

حاصل ضرب عددين متتاليين هو 110. أوجد الأعداد الصحيحة.

طول ساق واحدة في المثلث القائم أكبر بثلاثة أقدام من طول الساق الأخرى. إذا كان طول الوتر 15 قدمًا ، فأوجد طولي الساقين.

الرياضيات اليومية

مساحة الفناء إذا تم زيادة كل جانب من جوانب الفناء المربع بمقدار 4 أقدام ، فستكون مساحة الفناء 196 قدمًا مربعًا. حل المعادلة (ق + 4) 2 = 196 (ق + 4) 2 = 196 من أجل س لمعرفة طول جانب من الفناء.

قطرة بطيخ يتم إسقاط بطيخة من الطابق العاشر لمبنى. حل المعادلة −16 t 2 + 144 = 0 16 t 2 + 144 = 0 لـ t t لإيجاد عدد الثواني التي يستغرقها البطيخ للوصول إلى الأرض.

تمارين الكتابة

اشرح كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية. كم عدد الإجابات التي تتوقع الحصول عليها لمعادلة تربيعية؟

أعط مثالاً لمعادلة تربيعية تحتوي على العامل المشترك الأكبر ولا يكون أي من حلول المعادلة صفرًا.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة المراجعة هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بشكل عام ، بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لما و لما لا؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Elementary Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 22 أبريل 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-6-quadratic-equations

    © 22 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    المقذوفات - مثال 1

    يتم إطلاق كرة من مدفع في الهواء بسرعة تصاعدية تبلغ 40 قدمًا / ثانية. المعادلة التي تعطي ارتفاع الكرة (h) في أي وقت (t) هي: h (t) = -16t 2 + 40ft + 1.5. أوجد أقصى ارتفاع حققته الكرة.

    لنأخذ دقيقة أولاً لفهم هذه المشكلة وما تعنيه. نحن نعلم أن كرة يتم إطلاقها من مدفع. لذا ، في عقلك ، تخيل مدفعًا يطلق كرة. نحن نعلم أن الكرة ستطلق من المدفع ، وتذهب في الهواء ، ثم تسقط على الأرض.

    إذن ، هذه صورة رياضية أراها في رأسي.

    الآن دعنا نتحدث عما يعنيه كل جزء من هذه المشكلة. في معادلتنا التي حصلنا عليها ، يجب أن نحصل على قيمة قوة الجاذبية (معامل t 2). يجب علينا أيضًا استخدام السرعة الصعودية (معامل t) والارتفاع الأصلي للمدفع / الكرة (الثابت أو 1.5). إلق نظرة.

    الآن بعد أن أصبح لديك صورة ذهنية لما يحدث وفهمت الصيغة المعطاة ، يمكننا المضي قدمًا وحل المشكلة.

      أولاً ، اسأل نفسك ، "ما الذي أحل له؟" "ما الذي أحتاجه للبحث؟"

    بهذه البساطة ، تم حل هذه المشكلة.

    دعونا لا نتوقف هنا. دعنا نأخذ نفس المشكلة ونضع تحريفًا عليها. هناك العديد من الأشياء الأخرى التي يمكننا اكتشافها حول هذه الكرة!


    سياسات:

    1. المحاولات: يجب على الطلاب إكمال MATH 0096 و MATH 0098 في ثلاث محاولات أو اثنتي عشرة ساعة فصل دراسي ، أيهما يحدث أولاً ، أو قد يتم تعليقهم من كلية Georgia Perimeter وجميع مؤسسات نظام الجامعة لمدة ثلاث (3) سنوات. الطلاب الذين لم يجتازوا MATH 0096 خلال محاولتين (12 ساعة فصل دراسي) سيتم تعليقهم لمدة ثلاث سنوات دون استئناف. سيتم تعليق الطلاب الذين يفشلون في MATH 0097 ثم يأخذون ويفشلون في MATH 0096 لمدة ثلاث سنوات دون استئناف. المحاولات والساعات تراكمية داخل نظام Regents & # 8217. قبل تعليق الطالب الذي لم يخرج خلال المحاولات الثلاث أو الحد الأقصى لساعة الفصل الدراسي التي تبلغ اثني عشر ساعة ، أيهما يأتي أولاً ، يجوز للطالب الاستئناف لمدة تصل إلى
    محاولتين إضافيتين. لكل محاولة إضافية ، يجب على الطالب:

    & # 8226 تقييمًا فرديًا وتحديد فرصة معقولة للنجاح
    & # 8226 في دورة مستوى الخروج (كن مؤهلاً لأخذ MATH 0098)
    & # 8226 وصلت إلى الحد الأقصى في منطقة دعم تعلم واحدة فقط

    خلال الفصل الدراسي من المحاولة الإضافية الأولى ، يجوز للطالب التسجيل في دورات أخرى غير دعم التعلم (مع مراعاة حد 20 ساعة على عدد الساعات المعتمدة على مستوى الكلية التي قد يكسبها الطالب قبل الخروج من دعم التعلم). في حالة منح الاستئناف للمحاولة الإضافية الثانية ، يجوز للطالب التسجيل فقط في دورة دعم التعلم المعنية. يجوز للطالب الذي حصل على استئناف لمحاولة إضافية في الرياضيات أن يواصل محاولة دورة دعم التعلم مع درجات W طالما أن المحاولات متسلسلة. إذا خرج الطالب لأكثر من فصل دراسي ، فإن الاستئناف غير صالح ويتم تعليق الطالب لمدة 3 سنوات. يتم تعليق الطلاب الذين تم رفض استئنافهم لمدة 3 سنوات.

    2. حضور:يتوقع من الطلاب حضور جميع الفصول الدراسية بانتظام وفي الموعد المحدد. يجب على الطلاب الذين يصلون متأخرين تقديم تقرير إلى المعلم في نهاية الفصل الدراسي. سياسة الحد الأدنى من الحضور: في منتصف الفصل الدراسي ، إذا تغيب الطالب عن أكثر من 10٪ من الفصول للفصل الدراسي وفشل في الدورة ، فسيتم سحب الطالب بتقدير W. سياسات. في منتصف الفصل الدراسي ، سيتم سحب الطلاب الذين انتهكوا سياسة حضور المعلم بدرجة W. بعد منتصف الفصل الدراسي ، قد يحصل الطلاب الذين ينتهكون سياسة حضور المعلم على F للفصل الدراسي.

    3. الانسحابات:
    ملاحظة: إذا انسحبت أو انسحبت من أي فصل دراسي ، فقد تتأثر أهليتك للمساعدة المالية. تحقق دائمًا من مستشار المساعدة المالية قبل الانسحاب من الفصل أو قبل التوقف عن حضور الفصل.
    أ. عند بدء عمليات الانسحاب بحلول الموعد النهائي لمنتصف الفصل الدراسي ، سيحصل الطلاب على درجة دبليو.
    ب. سيتم أيضًا سحب الطلاب الذين يأخذون كل من دعم التعلم والدورات على مستوى الجامعة وينسحبون أو يتم سحبهم من واحدة أو أكثر من دورة دعم التعلم المطلوبة قبل منتصف الفصل الدراسي من جميع الدورات على مستوى الكلية باستثناء HEDS 1011 أو فصول النشاط PE. ومع ذلك ، قد يتخلى عن دورة الائتمان ويبقى في دورة (دورات) دعم التعلم.
    ج. يمكن للطلاب الذين يأخذون دورات دعم التعلم فقط الانسحاب من واحدة أو أكثر من هذه الدورات لتقليل عبء الدورة.
    د. سيحصل الطلاب الذين ينسحبون من دورة دعم التعلم بعد منتصف الفصل الدراسي على درجة WFماعدا في حالات المشقة التي يجب أن يوافق عليها عميد الحرم الجامعي للخدمات الأكاديمية.

    4. امتحانات تحديد المستوى:لا توجد إعادة اختبار لوضع COMPASS أو CPE في Georgia Perimeter College ما لم تمر 3 سنوات منذ تاريخ الاختبار الأولي ولم تتم محاولة إجراء أي دورات دراسية.

    5. تشكل العمل: سيحدد المدرب سياسة المكياج لهذه الدورة.

    6. درجات: سيتم تعيين الدرجات في فصول دعم التعلم على النحو التالي:
    أ = 90-100
    ب = 80-89
    ج = 70-79
    IP = 60-69
    F = 0-59 (أو انتهكت سياسة الحضور بعد منتصف المدة)
    W = الانسحاب بحلول منتصف المدة
    WF = الانسحاب الذي يبدأه الطالب بعد منتصف الفصل الدراسي
    ملاحظة: يجب على الطلاب الذين حصلوا على درجة IP أو F أو W أو WF إعادة الدورة. يتم احتساب كل الدرجات باستثناء W كمحاولات. تعتبر الدرجات من A أو B أو C محاولات ناجحة. تعتبر درجات IP أو F أو WF محاولات فاشلة.

    7. تحمي تشريعات الولايات والتشريعات الفيدرالية جميع البرامج المحمية بحقوق النشر. أي إعادة إنتاج لهذا البرنامج بدون إذن كتابي يعد انتهاكًا للقانون.

    8. الاحترام الأكاديمي: الكلية موجودة لتعزيز التميز التعليمي. ولهذه الغاية ، يجب الحفاظ على جو الفصل الدراسي الذي يدعم التعلم. يتوقع من الطلاب أن يكونوا مشاركين نشيطين ومنتبهين في الفصل. يُتوقع من الطلاب أيضًا الالتزام بسياسات وإجراءات الفصل ومعاملة أعضاء هيئة التدريس والطلاب الآخرين بطريقة مهنية ومحترمة. من المتوقع أن يكون الطلاب على دراية بقواعد سلوك الطالب المنشورة في دليل الطالب.


    6.7: تطبيقات تتضمن معادلات تربيعية - رياضيات

    إليزابيث جونز ليندساي ألين وراجو باتيل وناتالي سميث ودوريس دانيال

    أولا - الموارد: بالنسبة لمشروعنا ، حصلنا على أفكار من السيدة شيهي في قسم الرياضيات. أعطتنا الأفكار التالية:

    1. باستخدام شريط قياس ، قم بإسقاط كرة من ارتفاع معين وقياس ارتفاع ارتدادها الأول. قم بتغيير ارتفاع السقوط وقياس الارتداد الأول. استمر في تكرار العملية. (خطي)

    2. باستخدام طول الخيط ، اصنع قلمًا مستطيلًا به أكبر مساحة.

    1. موضوع رياضي: يتمثل الموضوع الرياضي الذي نخطط لتدريسه في استخدام بعض تطبيقات المعادلات الخطية والتربيعية وإظهار كيفية تطبيقها في العالم الحقيقي ، باستخدام التحقيقات العملية.

    2. حيث موضوعنا يناسب المناهج الدراسية: موضوعنا أساسي للغاية في المناهج الدراسية ، لأن المعادلات الخطية والتربيعية تستخدم على الأرجح في أكثر تطبيقات الرياضيات شيوعًا في العالم الحقيقي. كما أنها أساسية في فهم جميع الرياضيات التي سيتعلمونها في المستقبل ، في أي فصول رياضيات أخرى قد تكون لديهم في المدرسة الثانوية أو في الكلية.

    3. معلومات مهمة حول موضوعنا: في موضوع المعادلات الخطية والتربيعية ، نعتقد أن مفاهيم الميل ، وتحديد الرسم البياني ، وأن العلاقات بين المتغيرات مهمة لفهمها ، وكذلك معرفة أن هناك طرقًا مختلفة لحل المعادلة غير جبريًا.

    4. المفاهيم التي يصعب فهمها تتعلق بموضوعنا: نعتقد أن المفاهيم الأكثر صعوبة في الفهم والمتعلقة بموضوعنا هي الانحدار وربما العلاقة بين الأنشطة الفعلية والرياضيات التي يتعلمها الطلاب في الفصل.

    ثالثا. مستوى الفصل: سنستخدم درسنا في الصف التاسع من الصف الأول في الجبر من 25 طالبًا ، وسنسمح لكل طالب بالمشاركة في عملية التعلم من خلال التجربتين العمليتين المذكورتين أعلاه.

    نأمل أيضًا في دمج التكنولوجيا ، والسماح لكل طالب بالمشاركة مع برنامج Excel ، جنبًا إلى جنب مع عرض توضيحي نأمل القيام به باستخدام GSP للدرس التربيعي والقلم المستطيل.

    رابعا. نشاط: الغرض من درسنا هو مساعدة الطلاب على فهم أن هناك طرقًا متعددة للنظر إلى نفس المفهوم أو الفكرة التي قد يتعلمونها في الفصل. نأمل أن يتمكنوا من تحقيق ذلك من خلال استكشاف المواقف وإجراء التحقيقات التي تنطوي على وظائف ، وهي واحدة من أكثر المفاهيم الأساسية والمتكاملة في جميع الرياضيات.

    نأمل أن يتمكنوا من رؤية وجود صلة حقيقية بين المحتوى والسياق ، وأن يفهموا أن هناك بالفعل علاقات مهمة بين الرياضيات التي يتعلمونها في الفصل والتطبيقات الواقعية. بالطبع فزنا & # 146t بمعرفة مقدار الوقت الذي ستستغرقه الأنشطة لأداء الفصل ، وبالتالي ، فقد خططنا لنشاطين نعتقد أنهما قد يستغرقان بعض الوقت في حالة حدوث ذلك.

    بالنسبة للأنشطة / الدروس الفعلية التي سنفعلها مع الطلاب ، سنبدأ بتقديم أنفسنا ثم تقسيم الطلاب إلى 5 مجموعات من 5 في تجربتنا الأولى ، والتحقيق في المعادلات الخطية. سنقوم بتقسيم الطلاب عن طريق جعل كل منهم يختار Starburst من الحقيبة ، والذي سوف نتأكد مسبقًا من أنه يحتوي على 5 ألوان من كل لون من الألوان الخمسة ، وبعد ذلك سيقوم الطلاب بمطابقة ألوانهم مع الألوان الأخرى في الفصل الدراسي. بعد ذلك ، سنوزع أوراق جمع البيانات ، واحدة لكل مجموعة ، وأوراق التعليمات ، واحدة لكل طالب ، ونقسم أنفسنا بحيث يذهب كل واحد منا مع مجموعة لإجراء التجربة.

    بعد ذلك ، سيقوم الطلاب بإجراء التحقيق الفعلي والحصول على متوسطات التجارب الثلاث الخاصة بهم للارتفاعات الخمسة المختلفة التي يختارونها. (انظر البيانات وورقة التعليمات) بعد أن يكمل الطلاب التجربة ، سيقوم طالب واحد من كل مجموعة بكتابة بياناتهم على السبورة. في النهاية ، يجب أن يكون لدينا 25 قطعة من البيانات على السبورة ، 5 من كل مجموعة. في هذه المرحلة ، نود إجراء مناقشة حول نتائج الطالب ، وطرح بعض الأسئلة. على سبيل المثال:

    1. ماذا تعتقد أن العلاقة كانت بين ارتفاع سقوط الكرة وارتفاع الارتداد؟

    1. إذا رسمنا هذه البيانات بالرسم البياني ، فكيف سيكون شكل الرسم البياني برأيك؟
    2. إذا أسقطنا الكرة من ارتفاع 50 قدمًا ، فما ارتفاع الكرة؟

    ثم سنطلب من الطلاب استخدام Microsoft Excel لإدخال البيانات التي تم جمعها

    وأخيرًا قم بعمل رسم بياني بمخطط مبعثر. نأمل أن يتمكن كل طالب من استخدام جهاز كمبيوتر لرسم بياناته الخاصة ، ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك ، فنحن نأمل على الأقل أن يكون الطلاب قادرين على العمل في أزواج. مرة أخرى ، سنناقش النتائج التي توصلوا إليها ونطرح عليهم أسئلة حول معنى الرسم البياني وما الذي يخبرنا به الخط. سنناقش إجراء تنبؤات باستخدام البيانات باستخدام الخط ومناقشة الآثار المترتبة على المنحدر. سنبين لهم أيضًا كيفية إضافة خط اتجاه في Excel ، جنبًا إلى جنب مع معادلة الرسم البياني الخاص بهم.

    & # 9 بعد أن نناقش الرسوم البيانية والبيانات الخاصة بهم ، سنقوم بإحضار تطبيقات العالم الواقعي المرتبطة بهذا النوع من التجارب ، مثل تصنيع كرات التنس ، وكرات السلة ، وكرات البولينج ، وكرات البينج بونج ، إلخ. الرياضيون المحترفون وكيف يتأثر أدائهم بالطريقة التي يتم بها تصنيع قطعة من المعدات الرياضية. أخيرًا ، يمكننا أن نسأل الطلاب عما يعتقدون أنه سيحدث إذا أجرينا هذه التجربة باستخدام كرة بولينج أو كرة بينج بونج ، وكيف سيبدو الرسم البياني (بما في ذلك المنحدر).

    التحقيق رقم 2:

    & # 9 في هذا التحقيق ، سنحاول جعل الطلاب يعملون بشكل فردي. سنبدأ بجعل كل طالب يجلس على مكاتبهم أو طاولاتهم ، ونمنح كل طالب قطعة من الخيط 100 سم. طويلة ، ثلاث قطع من شريط التقنيع ، المسطرة ، بالإضافة إلى ورقة التعليمات وورقة جمع البيانات للتجربة. سنبدأ بمناقشة حول المنطقة ، معادلة مساحة المستطيل وسبب نجاحه. سنناقش أيضًا كيفية تسجيل تجاربهم في ورقة البيانات.

    سيخوض الطلاب تجربتين لاختيار طول ضلع لإنشاء قلم مستطيل بمساحة أكبر. سيستخدمون حافة المكتب أو الطاولة كجانب للقلم ويقيسون طول جانبهم (الجانب العمودي على الحافة التي يستخدمونها). لذلك ، سيكون لدينا أيضًا مناقشة موجزة حول مفهوم العمودي إذا لم يكونوا على دراية به.

    & # 9 بعد ذلك ، سيقوم الطلاب بإجراء التجربة ، ثم في التجربة الثانية ، يحاولون تغيير طول الجانب ، x ، من أجل الحصول على مساحة أكبر لقلمهم. بعد تسجيل تجربتيهما ، سنبدأ من جانب واحد من الغرفة ونطلب من الطلاب أن ينادوا بسرعة طول جانبهم ، x ، ثم المنطقة التي توصلوا إليها من أجل التجربتين. سوف نجعل الطلاب يسجلون هذه البيانات على أوراقهم ، وفي نفس الوقت ، نأمل أن يتمكن أحدنا من استخدام جهاز كمبيوتر علوي مع برنامج Excel لتثقيب البيانات أيضًا حتى يتمكن الفصل بأكمله من رؤيتها.

    & # 9 قبل أن نرسمه أمام الفصل ، سنناقش مرة أخرى ما تعنيه البيانات ونرى كيف قد يبدو الرسم البياني يعتقدون أنه. سنطرح أسئلة مماثلة لتلك المذكورة سابقًا في التحقيق رقم 1. بعد ذلك ، سنطلب من الطلاب ما إذا كانوا يتذكرون كيفية استخدام أداة الرسم البياني في Excel وجعلهم يقودوننا (إن أمكن) من خلال إنشاء رسم بياني لنقاط البيانات الخاصة بنا. سنناقش الرسم البياني بعد ذلك ونوضح أنه يمثل دالة تربيعية. يمكننا أن نسأل الطلاب عن سبب كونه تربيعيًا ، وأن نناقش أن الرسم البياني له حد أقصى أيضًا. أيضًا ، يمكننا أن نسأل ما تعنيه النقطة القصوى على الرسم البياني ونرى ما إذا كان أي من الطلاب يقترب من الحد الأقصى للمنطقة في تجربتهم. أيضًا ، إذا كان الوقت ، يمكننا مناقشة حدود الرسم البياني ، وشرح أن أكبر ضلع يمكن أن يكون x هو 50 cm ، حيث ستكون المساحة تساوي 0.

    & # 9 أخيرًا ، سننهي النشاط من خلال ربط التحقيق بوضع العالم الحقيقي لبناء سياج أو بناء حوض سباحة في فناء منزلك. يمكننا أيضًا مناقشة مدى أهمية مفهوم المنطقة ، وأن المهندسين المعماريين ، والمهندسين ، والمقاولين ، وعمال البناء ، وأصحاب المنازل ، والمزارعين ، وما إلى ذلك ، يستخدمون جميعًا منطقة في وظائفهم اليومية.

    & # 9 اعتمادًا على مقدار الوقت المتبقي لدينا ، إن وجد ، سنربط المشروعين معًا ونناقش كيف توجد العديد من الطرق المختلفة لرؤية وتعلم مفهوم معين ، مثل حل مشكلة جبريًا أو من خلال النظر إلى رسم بياني من ورقة الانتشار في Excel ، وأن جميع المفاهيم في الرياضيات لها تطبيقات واقعية إلى حد ما. نأمل أيضًا أن يتبقى لدينا دقيقة أو دقيقتان لنكون قادرين على إجراء عرض توضيحي على نظام الأفضليات المعمم حيث سنبين كيف تعمل مشكلة المنطقة الأكبر ، حيث سيكون طول الضلع ، x ، متجهًا ديناميكيًا ، حتى نتمكن من ضبطه الطول وبيّن لهم كيف يتغير قياس المنطقة.

    خامسا - التقييم: نخطط لتقييم الطلاب من خلال طرح الكثير من الأسئلة حول التجارب والنتائج التي توصلوا إليها في الفصل. كحافز ، سنقوم بإحضار Starbursts و Hershey Kisses ونوزعها بينما يحاول الطلاب الإجابة على أسئلتنا.

    في نقاط أخرى أثناء مناقشتنا ، سنطلب من الطلاب إدخال البيانات في Excel ، والتي سنشرح كيفية القيام بها مسبقًا ، ويمكن تقييمها من خلال التجول والنظر في ما فعلوه في البرنامج.


    شاهد الفيديو: تطبيقات على حل معادلة من الدرجة الثانية المسائل اللفظية الصف الثانى الاعدادى (شهر اكتوبر 2021).