مقالات

6.6: حل اللامساواة متعددة الحدود والعقلانية


أهداف التعلم

  • حل المتباينات كثيرة الحدود.
  • حل المتباينات المنطقية.

حل المتباينات متعددة الحدود

أ متعدد الحدود عدم المساواة18 هي عبارة رياضية تتعلق بتعبير متعدد الحدود على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه. يمكننا استخدام مخططات الإشارة لحل المتباينات كثيرة الحدود بمتغير واحد.

مثال ( PageIndex {1} )

حل (x (x + 3) ^ {2} (x-4) <0 ).

حل

ابدأ بإيجاد الأعداد الحرجة. بالنسبة لمتباينة كثيرة الحدود في الشكل القياسي ، مع وجود صفر في أحد طرفيها ، فإن الأرقام الحرجة هي الجذور. نظرًا لأن (f (x) = x (x + 3) ^ {2} (x - 4) ) مُعطاة بصيغتها المُحللة إلى عوامل ، فإن الجذور ظاهرة. هنا الجذور هي: (0 ، −3 ) ، و (4 ). بسبب عدم المساواة الصارمة ، ارسمهم باستخدام النقاط المفتوحة على خط الأعداد.

في هذه الحالة ، تقسم الأرقام الحرجة خط الأعداد إلى أربع مناطق. اختبار القيم في كل منطقة لتحديد ما إذا كانت f موجبة أم سلبية. هنا نختار قيم الاختبار (- 5 ، −1 ، 2 ) ، و (6 ). تذكر أننا نهتم فقط بعلامة ((+ ) أو (-) ) النتيجة.

( begin {align} f ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} ( color { OliveGreen} {- 5} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {-} 4) = (-) (-) ^ {2 } (-) & = + color {Cerulean} {Positive} f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {-} 4) = (-) (+) ^ {2} (-) & = + color {Cerulean} {Positive} f ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {2} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} {2} color {black } {-} 4) = (+) (+) ^ {2} (-) & = - color {Cerulean} {Negative} f ( color {OliveGreen} {6} color {black} {) } & = ( color {OliveGreen} {6} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {6} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} { 6} color {black} {-} 4) = (+) (+) ^ {2} (+) & = + color {Cerulean} {Positive} end {align} )

بعد اختبار القيم يمكننا إكمال مخطط تسجيل.

يطلب منا السؤال إيجاد القيم حيث (f (x) <0 ) ، أو حيث تكون الوظيفة سالبة. من مخطط الإشارة يمكننا أن نرى أن الوظيفة سالبة لـ (x ) - القيم الواقعة بين (0 ) و (4 ).

يمكننا التعبير عن مجموعة الحلول هذه بطريقتين:

( start {align} {x | 0 <& x <4 } & color {Cerulean} {Set : notation} (0، & 4) & color {Cerulean} {Interval : notation} نهاية {محاذاة} )

سنستمر في هذا الكتاب المدرسي في تقديم مجموعات الحلول باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

إجابه:

((0,4))

الرسم البياني متعدد الحدود مثل المثال السابق هو خارج نطاق هذا الكتاب المدرسي. ومع ذلك ، يتم توفير الرسم البياني لهذه الوظيفة أدناه. قارن الرسم البياني مع مخطط الإشارة المقابل له.

بالتأكيد قد لا تكون الحالة كثيرة الحدود محللة ولا تحتوي على صفر في أحد جانبي المتباينة. لنمذجة دالة باستخدام مخطط تسجيل ، يجب أن تكون جميع المصطلحات في جانب واحد وصفر في الجانب الآخر. يتم سرد الخطوات العامة لحل متباينة متعددة الحدود في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ):

حل: (2 x ^ {4}> 3 x ^ {3} +9 x ^ {2} ).

حل

الخطوة 1: الحصول على صفر في أحد طرفي المتباينة. في هذه الحالة ، اطرح للحصول على كثير الحدود على الجانب الأيسر في المعيار من.

0 نهاية {محاذاة} )

الخطوة 2: أوجد الأعداد الحرجة. هنا يمكننا إيجاد الأصفار بالتحليل إلى عوامل.

(س ^ {2} يسار (2 × ^ {2} -3 × -9 يمين) = 0 )
(س ^ {2} (2 س + 3) (س -3) = 0 )

هناك ثلاثة حلول ، وبالتالي ، ثلاثة أرقام حرجة (- frac {3} {2} ، 0 ) ، و (3 ). تشير عدم المساواة الصارمة إلى أنه يجب علينا استخدام النقاط المفتوحة.

الخطوه 3: إنشاء مخطط تسجيل. في هذه الحالة ، استخدم (f (x) = x ^ {2} (2x + 3) (x - 3) ) واختبار القيم (- 2 ، −1 ، 1 ) ، و (4 ) إلى حدد علامة الوظيفة في كل فترة.

( begin {align} f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {-} 3) & = (-) ^ { 2} (-) (-) = + f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) } ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {-} 3) & = (-) ^ {2} (+) (-) = - f ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {1} color {black } {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {1} color {black} {-} 3) & = (+) ^ {2} (+) (-) = - f ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {4} color { أسود} {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {4} color {black} {-} 3) & = (+) ^ {2} (+) (+) = + end {align} )

باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا إكمال مخطط التوقيع.

الخطوة 4: استخدم مخطط اللافتة للإجابة على السؤال. هنا يتكون الحل من جميع القيم التي (f (x)> 0 ). ظلل القيم التي تعطي نتائج موجبة ثم عبر عن هذه المجموعة في تدوين الفاصل الزمني.

إجابه:

( left (- infty، - frac {3} {2} right) cup (3، infty) )

مثال ( PageIndex {3} )

حل: (x ^ {3} + x ^ {2} leq 4 (x + 1) ).

حل

ابدأ بإعادة كتابة المتباينة في الصورة القياسية ، مع وجود صفر في أحد طرفيها.

أوجد بعد ذلك الأعداد الحرجة لـ (f (x) = x ^ {3} + x ^ {2} -4 x-4 ):

الأرقام الحرجة هي (- 2 ، −1 ) ، و (2 ). بسبب عدم المساواة الشاملة ((≤) ) سنقوم برسمها باستخدام النقاط المغلقة.

استخدم قيم الاختبار ، (- 3 ) ، (- frac {3} {2} ) ، (0 ) ، و (3 ) لإنشاء مخطط تسجيل.

ونحن لدينا

استخدم مخطط الإشارة للتظليل في القيم التي لها نتائج سلبية ((f (x) ≤ 0) ).

إجابه

((- infty، -2] كوب [-1،2] )

تمرين ( PageIndex {1} )

حل (- 3 x ^ {4} +12 x ^ {3} -9 x ^ {2}> 0 ).

إجابه

((1,3))

www.youtube.com/v/EXpe_0LzbSY

حل المتباينات العقلانية

أ معقول عدم المساواة19 هي عبارة رياضية تتعلق بالتعبير العقلاني على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه. نظرًا لأن الوظائف العقلانية لها قيود على المجال ، يجب علينا الاهتمام عند حل المتباينات المنطقية. بالإضافة إلى الأصفار ، سنقوم بتضمين قيود مجال الوظيفة في مجموعة الأرقام الحرجة.

مثال ( PageIndex {4} )

حل: ( frac {(x-4) (x + 2)} {(x-1)} geq 0 )

حل

تحدث أصفار الدالة المنطقية عندما يكون البسط صفرًا وتكون القيم التي تنتج صفرًا في المقام هي القيود. في هذه الحالة،

( start {array} {c | c} { text {Roots (Numerator)}} & { text {Restriction (Denominator)}} {x-4 = 0 text {or} x + 2 = 0} & {x-1 = 0} {: : quad quad quad : x = 4 quad quad x = -2} & {x = 1} end {array} )

لذلك فإن الأرقام الحرجة هي (- 2 ، 1 ) و (4 ). بسبب عدم المساواة الشاملة ((≥) ) استخدم نقطة مغلقة للجذور ({- 2، 4} ) واستخدم دائمًا نقطة مفتوحة للقيود ({1} ). لا يتم تضمين القيود أبدًا في مجموعة الحلول.

استخدم قيم الاختبار (x = −4 ، 0 ، 2 ، 6 ).

( begin {align} f ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {-} 4 ) ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {-} 1)} & = frac {( -) (-)} {(-)} = - f ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen} {0} color { أسود} {-} 4) ( color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {0} color {black} {-} 1)} & = frac {(-) (+)} {(-)} = + f ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen} {2 } color {black} {-} 4) ( color {OliveGreen} {2} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {2} color {black} {-} 1 )} & = frac {(-) (+)} {(+)} = - f ( color {OliveGreen} {6} color {black} {)} & = frac {( color { OliveGreen} {6} color {black} {-} 4) ( color {OliveGreen} {6} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {6} color {black} {-} 1)} & = frac {(+) (+)} {(+)} = + end {align} )

ثم أكمل مخطط اللافتة.

يطلب منا السؤال إيجاد القيم التي (f (x) ≥ 0 ) ، بمعنى آخر ، موجبة أو صفر. ظلل في المناطق المناسبة وقدم مجموعة الحلول في تدوين الفاصل.

إجابه

([- 2،1) كوب [4، infty) )

إن رسم مثل هذه الوظائف العقلانية مثل تلك الموجودة في المثال السابق هو خارج نطاق هذا الكتاب المدرسي. قارن الرسم البياني مع مخطط الإشارة المقابل له.

لاحظ أن القيد (x = 1 ) يتوافق مع خط مقارب عمودي يحد المناطق حيث تتغير الوظيفة من موجب إلى سلبي. بينما لم يتم تضمينه في مجموعة الحلول ، فإن التقييد هو رقم مهم. قبل إنشاء مخطط إشارة ، يجب أن نتأكد من أن المتباينة بها صفر في جانب واحد. تم توضيح الخطوات العامة لحل عدم المساواة العقلانية في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} ):

حل ( frac {7} {x + 3} <2 ).

حل

الخطوة 1: ابدأ بالحصول على صفر في الجانب الأيمن.

( start {align} frac {7} {x + 3} & <2 frac {7} {x + 3} -2 & <0 end {align} )

الخطوة 2: تحديد الأعداد الحرجة. الأرقام الحرجة هي الأصفار والقيود. ابدأ بالتبسيط إلى كسر جبري واحد.

بعد ذلك أوجد الأعداد الحرجة. ساوي البسط والمقام بصفر وحل.

( start {array} {c | c} { text {Root}} & { text {Restriction}} {-2x + 1 = 0} {- 2x = -1} & {x + 3 = 0} {x = frac {1} {2}} & quad quad : : {x = -3} end {array} )

في هذه الحالة ، تشير المتباينة الصارمة إلى أننا يجب أن نستخدم نقطة مفتوحة للجذر.

الخطوه 3: إنشاء مخطط تسجيل. اختر قيم الاختبار (- 4 ، 0 ) ، و (1 ).

( begin {align} f ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)} & = frac {-2 ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {) } +1} { color {OliveGreen} {- 4} color {black} {+} 3} & = frac {+} {-} = - f ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} & = frac {-2 ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} + 1} { color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 3} & = frac {+} {+} = + f ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} & = frac {-2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} + 1} { color {OliveGreen} {1} color {black} {+} 3} & = frac {-} {+} = - end {align} )

ونحن لدينا

الخطوة 4: استخدم مخطط اللافتة للإجابة على السؤال. في هذا المثال ، نبحث عن القيم التي تكون الوظيفة سالبة لها ، (f (x) <0 ). ظلل القيم المناسبة ثم قدم إجابتك باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

إجابه:

((- infty، -3) كوب يسار ( frac {1} {2}، infty right) )

مثال ( PageIndex {6} ):

حل: ( frac {1} {x ^ {2} -4} leq frac {1} {2-x} ).

حل

ابدأ بالحصول على صفر في الجانب الأيمن.

( begin {align} frac {1} {x ^ {2} -4} & leq frac {1} {2-x} frac {1} {x ^ {2} -4} - frac {1} {2-x} & leq 0 end {align} )

بعد ذلك ، بسّط الطرف الأيسر إلى كسر جبري واحد.

( start {array} {r} { frac {1} {x ^ {2} -4} - frac {1} {2-x} leq 0} { frac {1} {( x + 2) (x-2)} - frac {1} {- (x-2)} leq 0} { frac {1} {(x + 2) (x-2)} + frac {1 color {Cerulean} {(x + 2)}} { color {black} {(x-2)} color {Cerulean} {(x + 2)}} color {black} { leq } 0} { frac {1 + x + 2} {(x + 2) (x-2)} leq 0} { frac {x + 3} {(x + 2) (x- 2)} leq 0} نهاية {مجموعة} )

الأرقام الحرجة هي (- 3 ، −2 ) ، و (2 ). لاحظ أن (± 2 ) قيود ، وبالتالي سنستخدم النقاط المفتوحة عند رسمها على خط الأعداد. بسبب عدم المساواة الشاملة سنستخدم نقطة مغلقة في الجذر (- 3 ).

اختر قيم الاختبار (- 4 ، -2 frac {1} {2} = - frac {5} {2} ، 0 ) ، و (3 ).

قم بإنشاء مخطط تسجيل.

اجب على السؤال؛ في هذه الحالة ، ابحث عن (x ) حيث (f (x) leq 0 ).

إجابه

((- infty، -3] كوب (-2،2) )

تمرين ( PageIndex {2} )

حل: ( frac {2 x ^ {2}} {2 x ^ {2} +7 x-4} geq frac {x} {x + 4} ).

إجابه

((- 4،0] كوب يسار ( frac {1} {2}، infty right) )

www.youtube.com/v/3ljcHJqExBY

الماخذ الرئيسية

  • عندما تكون متباينة كثيرة الحدود في الشكل القياسي ، مع وجود صفر في جانب واحد ، فإن جذور كثير الحدود هي الأرقام الحرجة. قم بإنشاء مخطط تسجيل يمثل الوظيفة ثم استخدمه للإجابة على السؤال.
  • عندما تتم كتابة متباينة عقلانية ككسر جبري واحد ، مع وجود صفر في جانب واحد ، فإن الجذور والقيود هي الأرقام الحرجة. القيم التي ينتج عنها الصفر في البسط هي الجذور ، والقيم التي تنتج الصفر في المقام هي القيود. استخدم دائمًا النقاط المفتوحة للقيود ، بغض النظر عن عدم المساواة المحددة ، لأن القيود ليست جزءًا من المجال. قم بإنشاء مخطط تسجيل يمثل الوظيفة ثم استخدمه للإجابة على السؤال.

تمرين ( PageIndex {3} )

يحل. تقديم الإجابات باستخدام تدوين الفاصل.

  1. (س (س + 1) (س -3)> 0 )
  2. (س (س -1) (س + 4) <0 )
  3. ((س + 2) (س -5) ^ {2} <0 )
  4. ((x-4) (x + 1) ^ {2} geq 0 )
  5. ((2 x-1) (x + 3) (x + 2) leq 0 )
  6. ((3 x + 2) (x-4) (x-5) geq 0 )
  7. (x (x + 2) (x-5) ^ {2} <0 )
  8. (x (2 x-5) (x-1) ^ {2}> 0 )
  9. (x (4 x + 3) (x-1) ^ {2} geq 0 )
  10. ((x-1) (x + 1) (x-4) ^ {2} <0 )
  11. ((x + 5) (x-10) (x-5) ^ {2} geq 0 )
  12. ((3 x-1) (x-2) (x + 2) ^ {2} leq 0 )
  13. (- 4 × (4 × + 9) (× 8) ^ {2}> 0 )
  14. (- x (x-10) (x + 7) ^ {2}> 0 )
إجابه

1. ((- 1،0) كوب (3، infty) )

3. ((- infty، -2) )

5. ((- infty، -3] كوب يسار [-2، فارك {1} {2} يمين] )

7. ((-2,0))

9. ( left (- infty، - frac {3} {4} right] cup [0، infty) )

11. ((- infty، -5] cup [5،5] cup [10، infty) )

13. ( left (- frac {9} {4}، 0 right) )

تمرين ( PageIndex {4} )

يحل.

  1. (x ^ {3} +2 x ^ {2} -24 x geq 0 )
  2. (x ^ {3} -3 x ^ {2} -18 x leq 0 )
  3. (4 × ^ {3} -22 × ^ {2} -12 × <0 )
  4. (9 × ^ {3} +30 × ^ {2} -24 ×> 0 )
  5. (12 × ^ {4} +44 × ^ {3}> 80 × ^ {2} )
  6. (6 × ^ {4} +12 × ^ {3} <48 × ^ {2} )
  7. (x left (x ^ {2} +25 right) <10 x ^ {2} )
  8. (x ^ {3}> 12 x (x-3) )
  9. (x ^ {4} -5 x ^ {2} +4 leq 0 )
  10. (x ^ {4} -13 x ^ {2} +36 geq 0 )
  11. (x ^ {4}> 3 x ^ {2} +4 )
  12. (4 × ^ {4} <3-11 × ^ {2} )
  13. (9 × ^ {3} -3 × ^ {2} -81 × + 27 leq 0 )
  14. (2 × ^ {3} + × ^ {2} -50 × 25 geq 0 )
  15. (x ^ {3} -3 x ^ {2} +9 x-27> 0 )
  16. (3 × ^ {3} +5 × ^ {2} +12 × + 20 <0 )
إجابه

1. ([- 6،0] كوب [4، infty) )

3. ( left (- infty، - frac {1} {2} right) cup (0،6) )

5. ((- infty، -5) كوب يسار ( frac {4} {3}، infty right) )

7. ((- infty، 0) )

9. ([- 2، -1] كوب [1،2] )

11. ((- infty، -2) كوب (2، infty) )

13. ((- infty، -3] كوب يسار [ فارك {1} {3}، 3 يمين] )

15. ((3، infty) )

تمرين ( PageIndex {5} )

يحل.

  1. ( frac {x} {x-3}> 0 )
  2. ( frac {x-5} {x}> 0 )
  3. ( فارك {(س -3) (س + 1)} {س} <0 )
  4. ( فارك {(س + 5) (س + 4)} {(س -2)} <0 )
  5. ( frac {(2 x + 1) (x + 5)} {(x-3) (x-5)} leq 0 )
  6. ( frac {(3 x-1) (x + 6)} {(x-1) (x + 9)} geq 0 )
  7. ( frac {(x-8) (x + 8)} {- 2 x (x-2)} geq 0 )
  8. ( frac {(2 x + 7) (x + 4)} {x (x + 5)} leq 0 )
  9. ( frac {x ^ {2}} {(2 x + 3) (2 x-3)} leq 0 )
  10. ( frac {(x-4) ^ {2}} {- x (x + 1)}> 0 )
  11. ( frac {-5 x (x-2) ^ {-}} {(x + 5) (x-6)} geq 0 )
  12. ( frac {(3 x-4) (x + 5)} {x (x-4) ^ {2}} geq 0 )
  13. ( frac {1} {(x-5) ^ {4}}> 0 )
  14. ( frac {1} {(x-5) ^ {4}} <0 )
إجابه

1. ((- infty، -0) كوب (3، infty) )

3. ((- infty، -1) كوب (0،3) )

5. ( left [-5، - frac {1} {2} right] cup (3،5) )

7. ([- 8،0) كوب (2،8] )

9. ( left (- frac {3} {2}، frac {3} {2} right) )

11. ((- infty، -5) كوب [0،6) )

13. ((- infty، 5) كوب (5، infty) )

تمرين ( PageIndex {6} )

يحل.

  1. ( frac {x ^ {2} -11 x-12} {x + 4} <0 )
  2. ( frac {x ^ {2} -10 x + 24} {x-2}> 0 )
  3. ( frac {x ^ {2} + x-30} {2 x + 1} geq 0 )
  4. ( frac {2 x ^ {2} + x-3} {x-3} leq 0 )
  5. ( frac {3 x ^ {2} -4 x + 1} {x ^ {2} -9} leq 0 )
  6. ( frac {x ^ {2} -16} {2 x ^ {2} -3 x-2} geq 0 )
  7. ( frac {x ^ {2} -12 x + 20} {x ^ {2} -10 x + 25}> 0 )
  8. ( frac {x ^ {2} +15 x + 36} {x ^ {2} -8 x + 16} <0 )
  9. ( frac {8 x ^ {2} -2 x-1} {2 x ^ {2} -3 x-14} leq 0 )
  10. ( frac {4 x ^ {2} -4 x-15} {x ^ {2} +4 x-5} geq 0 )
  11. ( frac {1} {x + 5} + frac {5} {x-1}> 0 )
  12. ( frac {5} {x + 4} - frac {1} {x-4} <0 )
  13. ( frac {1} {x + 7}> 1 )
  14. ( frac {1} {x-1} <- 5 )
  15. (x geq frac {30} {x-1} )
  16. (x leq frac {1-2 x} {x-2} )
  17. ( frac {1} {x-1} leq frac {2} {x} )
  18. ( frac {3} {x + 1}> - frac {1} {x} )
  19. ( frac {4} {x-3} leq frac {1} {x + 3} )
  20. ( frac {2 x-9} {x} + frac {49} {x-8} <0 )
  21. ( frac {x} {2 (x + 2)} - frac {1} {x + 2} leq frac {12} {x (x + 2)} )
  22. ( frac {1} {2 x + 1} - frac {9} {2 x-1}> 2 )
  23. ( frac {3 x} {x ^ {2} -4} - frac {2} {x-2} <0 )
  24. ( frac {x} {2 x + 1} + frac {4} {2 x ^ {2} -7 x-4} <0 )
  25. ( frac {x + 1} {2 x ^ {2} +5 x-3} geq frac {x} {4 x ^ {2} -1} )
  26. ( frac {x ^ {2} -14} {2 x ^ {2} -7 x-4} leq frac {5} {1 + 2 x} )
إجابه

1. ((- infty، -4) كوب (-1،12) )

3. ( left [-6، - frac {1} {2} right) cup [5، infty) )

5. ( left (-3، frac {1} {3} right] cup [1،3) )

7. ((- infty، 2) كوب (10، infty) )

9. ( left (-2، - frac {1} {4} right] cup left [ frac {1} {2} ، frac {7} {2} right) )

11. ((- 5 ، -4) كوب (1 ، infty) )

13. ((-7,-6))

15. ([- 5،1) كوب [6، infty) )

17. ((0،1) كوب [2، infty) )

19. ((- infty، 5] كوب (-3،3) )

21. ([- 4، -2) كوب (0.6] )

23. ((- infty، -2) كوب (2،4) )

25. ( left (-3، - frac {1} {2} right) cup left ( frac {1} {2}، infty right) )

تمرين ( PageIndex {7} )

  1. هل مخطط الإشارة لأي دالة كثيرة الحدود أو دالة عقلانية تتناوب دائمًا؟ اشرح ووضح إجابتك ببعض الأمثلة.
  2. اكتب خطواتك الخاصة لحل مشكلة عدم المساواة المنطقية ووضحها بمثال. هل تعمل خطواتك أيضًا على عدم المساواة متعدد الحدود؟ يشرح.
إجابه

1. قد تختلف الإجابة

الحواشي

18بيان رياضي يرتبط بتعبير متعدد الحدود على أنه إما أصغر من أو أكبر من الآخر.

19بيان رياضي يرتبط بتعبير عقلاني على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه.


المتباينات متعددة الحدود والعقلانية

تمامًا كما يمكن كتابة المعادلة التربيعية في شكل ax 2 + ب س + ج = 0 ، أ عدم المساواة التربيعية يمكن كتابتها في شكل فأس 2 + bx + c؟ 0 ، أين؟ هو ، & le ، أو & ج. فيما يلي بعض الأمثلة على عدم المساواة التربيعية:
3x 2 - 2x - 5> 0 ، (-1/2) x 2 + 4x -7 & le 0.
المتباينات التربيعية نوع واحد من عدم المساواة متعدد الحدود. أمثلة أخرى على عدم المساواة متعدد الحدود
-2x 4 + س 2 - 3 3 - 2x 2 > 5x + 7.
عندما يتم استبدال رمز عدم المساواة في متباينة متعددة الحدود بعلامة يساوي ، أ المعادلة ذات الصلة لقد تكون. يمكن حل التفاوتات متعددة الحدود بسهولة بمجرد حل المعادلة ذات الصلة.

مثال 1 حل: x 3 - س> 0.
حل مطلوب منا إيجاد جميع قيم x التي لها x 3 - x> 0. لتحديد موقع هذه القيم ، نقوم بالرسم البياني f (x) = x 3 -x. ثم نلاحظ أنه كلما تغيرت الإشارة ، يمر الرسم البياني الخاص بها عبر تقاطع x. وبالتالي لحل س 3 - x> 0 ، نقوم أولاً بحل المعادلة ذات الصلة x 3 - س = 0 للعثور على جميع أصفار الوظيفة:
x 3 - س = 0
x (x 2 - 1) = 0
س (س + 1) (س - 1) = 0.
الأصفار هي -1 و 0 و 1. وبالتالي فإن تقاطعات x للرسم البياني هي (-1 ، 0) ، (0 ، 0) ، (1 ، 0) ، كما هو موضح في الشكل على اليسار. تقسم الأصفار المحور السيني إلى أربع فترات:

لجميع قيم x في فترة زمنية معينة ، علامة x 3 - يجب أن يكون x موجبًا أو سالبًا. لتحديد أيهما ، نختار قيمة اختبار لـ x من كل فترة ونجد f (x). يمكننا استخدام ميزة TABLE المحددة في وضع ASK لتحديد علامة f (x) في كل فترة. (انظر الجدول على اليسار.) يمكننا أيضًا تحديد علامة f (x) في كل فترة بمجرد النظر إلى الرسم البياني للدالة.

فترة قيمة الاختبار علامة f (x)
(- & infin -1) و (-2) = -6 نفي
(-1 0) و (-0.5) = 0.375 إيجابي
(0, 1) و (0.5) = -0.375 نفي
(1، & infin) و (2) = 6 إيجابي

نظرًا لأننا نحل مشكلة x 3 - x> 0 ، تتكون مجموعة الحل من فترتين فقط من الفترات الأربعة ، تلك التي تكون فيها إشارة f (x) موجبة ، ونرى أن مجموعة الحل هي (-1 ، 0) (1 ، & infin) ، أو .

لحل عدم المساواة متعدد الحدود:
1. أوجد متباينة مكافئة بحيث يكون الصفر في أحد طرفيها.
2. حل معادلة كثيرة الحدود ذات الصلة.
3. استخدم الحلول لتقسيم المحور x إلى فترات. ثم حدد قيمة اختبار من كل فترة زمنية وحدد علامة كثير الحدود على الفاصل الزمني.
4. حدد الفواصل الزمنية التي تتحقق فيها المتباينة واكتب ترميز الفترة أو تدوين مجموعة الحل لمجموعة الحلول. قم بتضمين نقاط نهاية الفواصل الزمنية في مجموعة الحلول إذا كان رمز عدم المساواة هو & le أو & ge.

مثال 2 حل: 3x 4 + 10x & جنيه 11x 3 + 4.
حل بطرح 11x 3 + 4 ، نشكل المتباينة المكافئة 3x 4 - 11 ضعفًا 3 + 10x - 4 & le 0.

محلول جبري

لحل المعادلة ذات الصلة
3x 4 - 11 ضعفًا 3 + 10x - 4 = 0 ،
نحتاج إلى استخدام نظريات القسم 3.4 ، وقد حللنا هذه المعادلة في المثال 5 في القسم 3.4. الحلول
-1 ، 2 - وجذر 2 ، 2/3 ، و 2 + وجذر 2 ،
او تقريبا
-1 و 0.586 و 0.667 و 3.414.
تقسم هذه الأرقام المحور x إلى خمس فترات:
(- & infin، -1)، (-1، 2 - & Radic 2)، (2 - & Radic 2، 2/3)، (2/3، 2 + & radic 2)، (2 + & radic 2، & infin).

ثم نجعل f (x) = 3x 4 - 11 ضعفًا 3 + 10x - 4 وباستخدام قيم الاختبار لـ f (x) ، حدد علامة f (x) في كل فترة زمنية:

قيم الدالة سالبة في الفترات (-1 ، 2 - & الجذر 2) و (2/3 ، 2 + & الجذر 2) ، بما أن علامة عدم المساواة هي & le ، فإننا نقوم بتضمين نقاط نهاية الفترات في مجموعة الحل. مجموعة الحل هي
[-1 ، 2 - & جذر 2] [2/3 ، 2 + & جذر 2] ، أو .

حل رسومي

رسم بياني y = 3x 4 - 11 ضعفًا 3 + 10x - 4 باستخدام نافذة عرض تكشف عن انحناء الرسم البياني.

باستخدام ميزة الصفر ، نرى أن اثنين من الأصفار هما -1 وتقريبًا 3.414 (2 + & Radic 2 & asymp 3.414). ومع ذلك ، فإن هذه النافذة تتركنا غير متأكدين من عدد أصفار الوظيفة في الفترة [0 ، 1]. تُظهر النافذة التالية طريقة عرض أخرى للأصفار في الفاصل الزمني [0 ، 1]. هذه الأصفار هي حوالي 0.586 و 0.667 (2 - & Radic 2 & Asymp 0.586 2/3 & Asymp 0.667).

الفواصل الزمنية التي يجب أخذها في الاعتبار هي (- & infin، -1) ، (-1 ، 0.586) ، (0.586 ، 0.667) ، (0.667 ، 3.414) ، (3.414 ، & infin). نلاحظ على الرسم البياني حيث تكون الدالة سالبة. بعد ذلك ، بما في ذلك نقاط النهاية المناسبة ، نجد أن مجموعة الحلول تقريبية
[-1 ، 0.586] [0.667 ، 3.414] أو .

المتباينات العقلانية

تتضمن بعض المتباينات التعبيرات والوظائف المنطقية. تسمى هذه عدم المساواة العقلانية. لحل المتباينات المنطقية ، نحتاج إلى إجراء بعض التعديلات على الطريقة السابقة.

مثال 3 حل: $ frac ge frac$
حل نطرح أولاً $ fracلإيجاد متباينة مكافئة مع صفر في جانب واحد:
$ فارك- فارك ge 0 $

محلول جبري

نبحث عن جميع قيم x التي ترتبط بها الدالة
$ f (x) = frac - فارك$
لم يتم تعريف أو هو 0. هذه تسمى القيم الحرجة.
بإلقاء نظرة على المقامات تظهر أنه لم يتم تعريف x = -4 و x = 5. بعد ذلك ، نحل f (x) = 0:
$ فارك- فارك=0$
$ (x + 4) (x-5) [ frac- فارك] = (x + 4) (x-5) cdot 0 $
(س - 5) (س - 3) - (س + 4) (س + 2) = 0
(x 2 - 8x + 15) - (x 2 + 6 س + 8) = 0
-14 س + 7 = 0
س = 1/2.
القيم الحرجة هي -4 و 1/2 و 5. هذه القيم تقسم المحور x إلى أربع فترات:
(- & infin، -4)، (-4، 1/2)، (1/2، 5) و (5، & infin).

ثم نستخدم قيمة اختبار لتحديد علامة f (x) في كل فترة.


قيم الدالة موجبة في الفترات (- & infin، -4) و (1/2 ، 5). بما أن f (1/2) = 0 ورمز عدم المساواة هو & ge ، فإننا نعلم أن 1/2 يجب أن يكون في مجموعة الحلول. لاحظ أنه نظرًا لعدم وجود -4 أو 5 في مجال f ، فلا يمكن أن يكونا جزءًا من مجموعة الحلول.
مجموعة الحل هي (- & infin -4) [1/2 ، 5).

حل رسومي

نحن رسم بياني
$ y = frac- فارك$ في النافذة القياسية التي تظهر انحناءها.

باستخدام ميزة الصفر ، نجد أن 0.5 هي صفر.
ثم نبحث عن القيم التي لا يتم فيها تعريف الوظيفة. بفحص المقامات x + 4 و x - 5 ، نرى أنه لم يتم تعريف x = -4 و x = 5
ال القيم الحرجة، حيث y إما غير معرّف أو 0 ، تكون -4 و 0.5 و 5.
يوضح الرسم البياني مكان y موجب وأين يكون سالبًا. لاحظ أن -4 و 5 لا يمكن أن يكونا في مجموعة الحلول لأن y غير معرّف لهذه القيم. لكننا قمنا بتضمين 0.5 ، لأن رمز عدم المساواة هو & ge و f (0.5) = 0. مجموعة الحل هذه
(- & infin، -4) [0.5، 5).


فيما يلي طريقة لحل المتباينات المنطقية.

لحل عدم المساواة العقلانية:
1. أوجد متباينة مكافئة بحيث يكون الصفر في أحد طرفيها.
2. قم بتغيير رمز عدم المساواة إلى علامة يساوي وحل المعادلة ذات الصلة. 3. أوجد قيم المتغير التي لم يتم تعريف الدالة المنطقية المتعلقة بها. 4. الأرقام الموجودة في الخطوتين (2) و (3) تسمى القيم الحرجة. استخدم القيم الحرجة لتقسيم المحور x إلى فترات. ثم اختبر قيمة x من كل فترة لتحديد علامة الدالة في تلك الفترة. 5. حدد الفواصل الزمنية التي تتحقق فيها المتباينة واكتب تدوين الفترة أو ترميز منشئ المجموعة لمجموعة الحلول. إذا كان رمز عدم المساواة هو & le أو & ge ، فيجب تضمين حلول الخطوة (2) في مجموعة الحلول. لا يتم تضمين قيم x الموجودة في الخطوة (3) مطلقًا في مجموعة الحلول.

من المفيد استخدام مجموعة من الأساليب الجبرية والرسومية لحل التفاوتات المنطقية ومتعددة الحدود. تعطي الطرق الجبرية أرقامًا دقيقة للقيم الحرجة ، وتسمح لنا الطرق الرسومية برؤية الفواصل الزمنية التي تحقق المتباينة بسهولة.


6.6: حل اللامساواة متعددة الحدود والعقلانية


التالي: حول هذا المستند.

حل اللامساواة متعددة الحدود والعقلانية

لحل متباينة مثل 0 $ -> أو أين و متعددة الحدود ،

1. عامل و تماما على الأعداد الحقيقية.

2. قم بتمييز أصفار و على خط الأعداد.

3. تحديد علامة في كل من الفترات الناتجة.

4. اختر الفواصل الزمنية المقابلة لإشارة المتراجحة الأصلية. (إذا لم تكن المتباينة متباينة صارمة ، فقم بتضمين أصفار في الحل.)


في تحديد علامة في كل فترة ، يمكننا استخدام ما يلي:

إذا هي أعلى قوة وهو عامل أو ، ومن بعد

أ. علامة التغييرات في إذا غريب و

ب. علامة لا يتغير في إذا بل هو.
مثال 1 حل المتباينة .

يعطي Sol Factoring لذا فإن تحديد 3 و -1 على خط الأعداد واستخدام الحقائق التي وأن دعاة و كلاهما فردي ، نحصل على مخطط الإشارة الموضح أدناه:


لذلك الحل معطى بواسطة .

مثال 2 حل المتباينة

وضع علامة على 6 و -4 و 10 و -2 على خط الأعداد واستخدام الحقائق التي تشير إلى أن 0 دولار -> وأن أسس جميع العوامل فردية ، نحصل على مخطط الإشارة الموضح أدناه:


نظرًا لأن المتباينة ليست صارمة ، فيمكننا تضمين أصفار البسط بحيث يكون الحل معبرًا عن طريق .

Pr 1 حل المتباينة .

Pr 2 حل المتباينة .

Pr 3 حل المتباينة

Pr 4 حل المتباينة

Pr 5 حل المتباينة

Pr 6 حل المتباينة

Pr 7 حل المتباينة

Pr 8 أوجد كل قيم لأي منهم .

Pr 9 أوجد كل قيم لأي منهم


المتباينات التكعيبية متعددة الحدود

جولييت حاولت 213 مشكلة على بريليانت وحلت 210 منها بشكل صحيح. انضم صديقها روميو للتو إلى Brilliant ، وحاول 4 مشاكل وحل 2 بشكل صحيح. من الآن فصاعدًا ، ستحاول جولييت وروميو جميع المشكلات الجديدة نفسها. ابحث عن الحد الأدنى من عدد المشاكل التي يجب أن يحاولوا القيام بها ممكن أن نسبة روميو للحلول الصحيحة للمشاكل التي تمت تجربتها ستكون بدقة أكبر من جولييت.


المتباينات متعددة الحدود والعقلانية - أسئلة وأجوبة

يتم تقديم أسئلة حول حل اللامساواة متعددة الحدود والعقلانية. يمكن استخدام هذه كاختبار ذاتي. كما يتم توفير إجابات للأسئلة.

لديك 10 أسئلة في هذه الصفحة ونفس الأسئلة في التطبيق الصغير أدناه. قد ترغب في الاطلاع على برنامج تعليمي حول عدم المساواة أولاً.

أسئلة عدم المساواة مع إجابات

السؤال 1: حل المتباينة.

- (س + 2) + 2 س> 2 (س - 3) + 3 س

السؤال 2: حل متباينة كثيرة الحدود.

(6 س + 2) (10 - 20 س)> = 0

السؤال 3: حل المتباينة.

x 2 + 3x - 4> 0

ب: (- اللانهاية ، -4) U (1 ، + ما لا نهاية)

هـ: (-لا نهاية ، -4] U [1 ، + ما لا نهاية)

السؤال 4: حل المتباينة.

السؤال 5: حل المتباينة.

السؤال 6: حل المتباينة.

(1 + س) / | س - 2 | > 0

السؤال 7: حل المتباينة.

(2 س 2 + 3) (س + 2) / (س 2-4)> = 0

السؤال 8: حل المتباينة.

4 / (6x - 4) & lt = 2 / (2x + 2)

أ: (-لا نهاية ، -1] U [4 ، + ما لا نهاية)

السؤال 9: حل المتباينة.

2 & lt | x + 1 | / 2 - 2 & LT5

السؤال 10: حل المتباينة.

أسئلة عدم المساواة مع إجابات صغير

1 - انقر فوق الزر أعلاه "انقر هنا للبدء" وتعظيم النافذة التي تم الحصول عليها.

2 - انقر فوق ابدأ في القائمة الرئيسية.

3 - أجب عن السؤال بتحديد أ ، ب ، ج ، د أو هـ في الجزء السفلي من النافذة.

يمكنك مراجعة إجاباتك وتغييرها عن طريق التحقق من الحرف المطلوب. بمجرد الانتهاء ، اضغط على "إنهاء" وستحصل على جدول بإجاباتك والإجابات الصحيحة للمقارنة بها.

لبدء الاختبار بمجموعة أخرى من الأسئلة ، اضغط على "إعادة تعيين".

المزيد من المراجع والروابط لأسئلة الرياضيات. مشاكل الرياضيات والأسئلة والاختبارات الذاتية عبر الإنترنت.


فرانشيسكو جيانينو & raquo 3. عدم المساواة متعدد الحدود. عدم المساواة العقلانية. عدم المساواة في القيمة المطلقة

في الرياضيات ، يمكن كتابة عدم المساواة متعدد الحدود على النحو التالي:

حيث P (x) هي كثيرة حدود قابلة للاختزال.

مثال. ف (x)= x 2 – x – 6 ≥ 0

عدم المساواة متعدد الحدود

سنحل المتباينات متعددة الحدود باستخدام الخطوات التالية:
أعد كتابة المتباينة بحيث يكون هناك صفر في الجانب الأيمن (على سبيل المثال P (x) & GT 0).
أوجد كل عوامل كثيرة الحدود للدالة كثيرة الحدود على الجانب الأيمن: P (x) = ص1(x) · ص2(x) · & # 8230 · صن(x) & GT 0
لإيجاد القيم الحرجة لدالة كثيرة الحدود على الجانب الأيمن ، اضبط كل عامل كثير الحدود على صفر وحل من أجل x.
حدد علامة كل عامل متعدد الحدود في الفواصل الزمنية المحددة بجذوره.
الحل النهائي يتضمن فترات ، معطاة بعلامة القاعدة ، حيث دالة كثيرة الحدود P (x) له العلامة التي ترضي المتباينة المخصصة.

تمارين

تمرين 6. حل المتباينة التالية:

حل. أعد كتابة المتباينة بحيث يكون أحد طرفيها يساوي صفرًا

أوجد أصفار كثير الحدود x 2 – 2x - 3 وعامل الجانب الأيسر من المتباينة:

قسّم خط الأعداد الحقيقية إلى 3 فترات: الصفرين الحقيقيين -1 و 3 في الطرف الأيسر من المتباينة:
(-∞, -1), (-1, 3), (3,+ ∞)

تمارين

تحقق من علامة المنتج (x + 1)(x & # 8211 3) في هذه الفترات:

تمارين

أخيرًا ، الحل في تدوين الفاصل هو
(-∞, -1) ∪ (3,+ ∞)
الرسم البياني للحل مرسوم أدناه.

تمارين

تمرين 7. حل المتباينة التالية: - x 2 + 4 & lt 0

حل. اضرب كلا الطرفين في -1 والعكس (-1 سلبي) علامة عدم المساواة

أوجد أصفار كثير الحدود x 2-4 وعامل الجانب الأيسر من المتباينة:

قسّم خط الأعداد الحقيقي على 3 فترات: الصفرين الحقيقيين -2 و +2 للجانب الأيسر من المتباينة:

تمارين

تحقق من علامة المنتج (x – 2)(x + 2) في هذه الفترات:

تمارين

أخيرًا ، الحل في تدوين الفاصل هو

الرسم البياني للحل مرسوم أدناه.

تمارين

تمرين 8. حل المتباينة التالية: x (x 2 + 4) و GT 0
حل. دعونا نلاحظ أن العامل متعدد الحدود (x 2 + 2) تكون دائمًا موجبة وتعتمد علامة كثير الحدود المخصصة فقط على صفر 0 من عامل كثير الحدود x. يقسم الصفر الحقيقي 0 خط العدد الحقيقي إلى فترتين:
(– ∞, 0), (0, + ∞ )

تحقق من علامة x على هاتين الفترتين.

تمارين

أخيرًا ، الحل في تدوين الفاصل هو

الرسم البياني للحل مرسوم أدناه.

تمارين

التمرين 9. حل المتباينة التالية:

حل. تحقق من أن الحل في تدوين الفترة الزمنية هو

تمرين 10. حل المتباينة التالية:

حل. تحقق من أن الحل في تدوين الفترة الزمنية هو

عدم المساواة العقلانية

يمكن كتابة عدم المساواة العقلانية على النحو التالي:

حيث P و Q هما كثيرات الحدود.

عدم المساواة العقلانية

إن عملية حل التفاوتات العقلانية مطابقة تقريبًا لعملية حل التفاوتات متعددة الحدود مع بعض الاختلافات الطفيفة. تعتمد علامة التعبير المنطقي P / Q على علامات P و Q. وبدورها تعتمد علامات P و Q على أصفار P و Q على التوالي إذا كان هناك أي منها. ومن ثم فإن علامة P / Q تعتمد على أصفار كل من P و Q والتغييرات (إذا كانت كذلك!) فقط عند هذه الأصفار. إذن لحل متباينة عقلانية بالصيغة P / Q & gt 0 (أو P / Q & lt 0) ، نجد أولاً أصفار P و Q ثم نصنع جدولًا بعلامة P / Q.

تمارين

تمرين 11. حل المتباينة المنطقية التالية:

حل. الأعداد الحرجة لمتباينة عقلانية هي جميع أصفار البسط والمقام. نظرًا لأن البسط والمقام قد تم تحليلهما بالفعل في هذا المثال ، فإننا نرى أن الأعداد الحرجة هي: -3 و 5 و 1.
تقسم الأرقام الحرجة الثلاثة خط الأعداد إلى أربع فترات:

تمارين

تحقق من علامة الدالة المنطقية على هذه الفترات:

تمارين

ثم الدالة الكسرية

تكون موجبة إذا: & # 8211 3 & lt x & lt 1 و x & GT 5.
أخيرًا ، الحل في الفترة الزمنية هو (- 3 ، 1) ∪ (5 ، + ∞)

الرسم البياني للحل مرسوم أدناه.

متباينات القيمة المطلقة

يمكن إعادة كتابة عدم المساواة التي تنطوي على قيم مطلقة كمجموعات من المتباينات.

يترك أ أن يكون عددًا موجبًا.

تمارين

تمرين 12. حل مشكلة عدم المساواة التالية التي تتضمن قيمة مطلقة:

حل. يتم حل المتباينة المذكورة أعلاه عن طريق كتابة متباينة مزدوجة مكافئة لمتباينة معينة ولكن بدون قيمة مطلقة:

حل المتباينة المزدوجة لتحصل على: - 5 & lt x & lt 1
مجموعة الحلول المذكورة أعلاه مكتوبة في شكل فاصل كما يلي: (- 5 ، 1)
ويرد الرسم البياني للحل أدناه.


حل مسائل عدم المساواة العقلانية بالحلول

السؤال رقم 1
حل المتباينة المنطقية المعطاة بواسطة
وننتج جدولًا للإشارات ورسم الجانب الأيمن من المتباينة بيانيًا لشرح مجموعة الحلول التي تم العثور عليها تحليليًا بيانياً.
حل السؤال 1
نجد أولًا أصفار البسط والمقام
البسط دائمًا سالب وبالتالي لا يغير العلامة.
صفر المقام: حل -x + 4 = 0 لتحصل على x = 4.
صفر x = 4 يقسم خط العدد الحقيقي إلى فترتين
(- & # 8734 ، 4) ، و (4 ، + & # 8734)
نختار الآن ونختبر القيم الموجودة داخل كل فترة زمنية ونختبر التعبير المنطقي للعثور على علامته.
أ) الفاصل الزمني (- & # 8734 ، 4)
قيمة الاختبار س = 0
نوجد الآن عند x = 0 لإيجاد علامتها.
(نفي) .
b) interval (4 , ∞ )
test value x = 5
We now evaluate at x = 5 to find its sign.
(positive) .
We now put all the above results in a table

Graphical solution to the given inequality.
Below is shown the graph fo the function y = (-3)/(- x + 4). It is easy to check graphically that y = (-3)/(- x + 4) is positive over the interval
(4 , ∞ ).

Question 2
Solve the rational inequality given by

Graph the right hand side of the inequality to explain graphically the solution set found analytically.
Solution to Question 2
We first find the zeros of the numerator and the denominator
Zero of the numerator: solve x - 1 = 0 to obtain x = 1.
Zero of the denominator: solve x + 2 = 0 to obtain x = -2.
The two zeros x = 1 and x = -2 divide the real number line into three intervals (Note that the zeros are ordered from smallest to the largest).
(- ∞ , -2) , (-2 , 1) and (1 , + ∞ )
We now select and test values that are within each interval and test the rational expression to find its sign.
a) interval (- ∞ , -2)
test value x = -3
We now evaluate at x = -3 to find its sign.

b) interval (-2 , 1)
test value x = 0
We now evaluate at x = 0 to find its sign.

c) interval (1 , + ∞ )
test value x = 2
We now evaluate at x = 2 to find its sign.

Let us now put all the above results in a table
In the interval (- ∞ , -2) , is positive
In the interval (- 2 , 1) , is negative
In the interval (1 , + ∞ ) , is positive

Question 3
Produce a table of signs of the inequality given by

and determine the solution set.

Solution to Question 3
ملاحظة: Do not multiply both sides by the LCD (x - 3)(x + 4) as you would do if this was an equation. The sign of (x - 3)(x + 4) changes with x and we do not know if the order of the inequality is to be changed or not.
معطى

Write the inequality with the right side equal to zero by subtracting
3 / (x + 4) from both sides.

Rewrite the inequality so that the two terms making the left side have common denominator.

Multiply factors, add the two rational expressions on the left side of the inequality and group like terms in the numerator to obtain

The zero of the numerator: - x + 17 = 0 is x = 17
The zeros of the denominator: (x - 3)(x + 4) = 0 are x = 3 and x = -4
The three zeros divide the real number line into four intervals (Note that the zeros are ordered from the smallest to the largest).
(- ∞ , -4) , (-4 , 3) , ( 3 , 17) , (17 , + ∞ )
a) (- ∞ , -4) test value: x = -5
We now evaluate ( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ] at x = -5 to find its sign.
( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ]
= ( -(-5) + 17) / [ (-5 - 3)(-5 + 4) ]
= 22/8 (positive)
b) (- 4 , 3) test value: x = 0
We now evaluate ( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ] at x = 0 to find its sign.
( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ]
= ( 0 + 17) / [ (0 - 3)(0 + 4) ]
= -17 / 12 (negative)
c) (3 , 17) test value: x = 4
We now evaluate ( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ] at x = 4 to find its sign.
( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ]
= (- 4 + 17) / [ (4 - 3)(4 + 4) ]
= 13/8 (positive)
d) (17 , + ∞ ) test value: x = 18
We now evaluate ( -x + 17) / [ (x - 3)(x + 4) ] at x = 18 to find its sign.
( -x + 17) / [ (18 - 3)(x + 4) ]
= ( -18 + 17) / [ (18 - 3)(18 + 4) ]
= -1/330 (negative)
Let us now put all the above results in a table

-∞ -4 3 17 -∞
+ undefined - undefined + 0 -

استنتاج The solution set of the given rational inequality is given by the interval (- 4 , 3) U (17 , + ∞ )

Question 4
Solve the rational inequality given by

which represents the left side of the inequality. It is easy to check graphically that ذ is positive over the interval
(- ∞ , -2) U (3 , ∞ ) .

Question 5
Solve the rational inequality given by

Subtract 1 / (x + 3) from both sides of the inequality so that its right side equal to zero.

which represents the left side of the inequality. It is easy to check graphically that ذ is negative or zero over the interval
(-3 , -1) U [ -3/5 , 3 ) .

Question 6
Solve the rational inequality given by

The zeros of the denominator: x 2 - 3x - 4 = 0 are x = - 1 and x = 4

The four zeros divide the real number line into five intervals (Note that the zeros are ordered from the smallest to the largest).

(- ∞ , -1) , (-1 , -1/2) , ( -1/2 , 4/5) , ( 4/5 , 4) , (4 , + ∞ )
Select test values that are within each interval and use them to find the sign of the expression

which represents the left side of the inequality. It is easy to check graphically that ذ is positive or zero over the interval
(- ∞ , -1) U (-1 , -1/2] U [ 4/5 , 4) U (4 , + ∞ ) .

There is one step added to the process of solving rational inequalities because a rational function can also change signs at its vertical asymptotes or at a break in the graph. For instance, look at the graph of the function ( r(x)=frac-9>) below.

If we want to solve the inequality ( frac-9>>0), then we need to use the following critical points: x=0,x=3, and x=&minus3. x=0 is the solution of setting the numerator equal to 0, and this gives us the only root of the function. x=±3 are the vertical asymptotes, the x&minuscoordinates that make the function undefined because putting in 3 or -3 for x will cause a division by zero.

Testing the intervals between each critical point to see if the values in that interval satisfy the function gives us:

Interval Test Point Positive/Negative? Part of Solution Set?
(&minus&infin,&minus3) -4 - لا
(-3, 0) -2 + نعم
(0, 3) 2 - لا
(3,+&infin) 4 + نعم


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الجهة المعينة الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق النشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


Examples of How to Solve Rational Inequalities

مثال 1: Solve the rational inequality below.

I begin solving this rational inequality by writing it in general form. ال general form implies that the rational expression is located on the left side of the inequality while the zero stays on the right.

The general form has four (4) types.

It’s good to know that this problem is already in the general form. My next step is to find the zeros of both numerator and denominator.

I can find the zeros of the numerator by factoring it out completely and then separately set each factor equal to zero and solve for x . Likewise, finding the zeros of the denominator is done the same way.

Now, I will use the zeros to separate or partition the number line into intervals. The zeros of the numerator and denominator are also known as the critical numbers. In this case, the two critical numbers divide the number line into three distinct intervals.

The next step is to pick or select a number in every interval and evaluate it back into the original rational inequality to determine if it is a true or false statement. A true statement means that an interval is part of the solution, otherwise, it is not.

As you can see, the numbers I picked for each interval are highlighted in yellow.

Notice that the open interval between −1 and 3 , written as left( < - 1,3> ight) , yields a true statement which implies that it is part of the solution.

So, where else do we look for possible solutions to finish this off?

Check the zeros or critical numbers of the numerators only into the original equation. If it gives a true statement then include that critical number as part of the overall solution.

The zeros of the numerator is 3 . Now I will verify it.

The use of a square bracket indicates that it is part of the solution, while an open bracket (parenthesis) denotes that it’s not. I will write my final answer as left( < - 1,left. 3 ight]> ight. .

Example 2: Solve the rational inequality below.

First off, the given rational inequality is in general form because the rational expression is on the left while the zero is on the right side. That’s good!

Next, I will factor out the numerator and the denominator. After doing so, you should have something like this.

I can now find the zeros of the numerator and denominator.

These zeros or critical numbers divide the number line into distinct intervals or partitions.

Select a test number for each interval and substitute back to the original rational inequality.

Use the factored form of the original rational inequality to evaluate test numbers for ease of calculation.

The numbers in yellow are the ones I chose to test the validity of each interval.

The intervals yielding true statements are

To find the rest of the solution, check the validity of the zeros of the numerator only into the original rational inequality.

If you have done it correctly, you should agree that −4 and 2 are not valid answers because they don’t give true statements after checking.

The final answer to this problem in interval notation is

المثال 3: Solve the rational inequality below.

I would factor out the numerator and denominator first to find their zeros. In factored form, I got

Next, determine the zeros of the rational inequality by setting each factor equal to zero then solving for x .

Use the zeros as critical numbers to divide the number line into distinct intervals. I start testing the validity of each interval by selecting test value and evaluating them into the original rational inequality. The ones in yellow are the numbers I picked.

Notice that the only interval giving a true statement is left( < - 1,4> ight) .

More so, the zeros of the numerator don’t check with the original rational inequality so I must disregard them.

The final answer is just left( < - 1,4> ight) .

المثال 4: Solve the rational inequality below.

This rational inequality is not in general form. The right-hand side must be zero. The first step is to get rid of the constant on that side by subtracting both sides by 1 . After that, simplify into a single rational expression. You should have a similar preliminary step just like this.

Next, find the zeros of the numerator and denominator.

Use the zeros as critical numbers to partition the number line into sections or intervals.

Then pick test numbers for each interval and evaluate them into the general form to determine their truth values. The ones in yellow are the selected values. You may choose other numbers as long as they are in the interval being tested.

The intervals giving true statements are

Meanwhile, after checking the zero of the numerator at x = - ,7 , it also results in a true statement. Use the square bracket for that to indicate it’s being included as a solution.

The final answer in interval notation should be

المثال 5: Solve the rational inequality below.

I need to make the right side of the rational inequality zero. To do that, I will simultaneously add x and subtract 5 on both sides. However, my ultimate goal is to express it in a single rational expression. This is where your skills on how to add and subtract rational expressions will be useful. You should have similar steps below.

Next, find the zeros of the numerator and denominator.

Make use of the zeros to divide the number line into distinct intervals. Choose test numbers for each interval to check if it results in true statements. The selected test values for x are in yellow.

The “true” intervals are left( < - ,infty , - 3> ight) and left( <0,5> ight) . More so, the zeros of the numerator also check with the general form of the given rational inequality. Consequently, I have to include -3 and 5 as part of the solution with the use of square brackets.


شاهد الفيديو: الدرس الثاني درجة كثيرة الحدود (شهر اكتوبر 2021).