مقالات

5.4: ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية


أهداف التعلم

  • اضرب التعبيرات الجذرية.
  • قسّم التعبيرات الجذرية.
  • برر المقام.

ضرب التعبيرات الجذرية

عند ضرب التعبيرات الجذرية في نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة حاصل الضرب للجذور. بالنظر إلى الأرقام الحقيقية ( sqrt [n] {A} ) و ( sqrt [n] {B} ) ،

( sqrt [n] {A} cdot sqrt [n] {B} = sqrt [n] {A cdot B} )

مثال ( PageIndex {1} ):

اضرب: ( sqrt [3] {12} cdot sqrt [3] {6} ).

المحلول:

طبق قاعدة حاصل الضرب على الجذور ثم بسّط.

( begin {align} sqrt [3] {12} cdot sqrt [3] {6} & = sqrt [3] {12 cdot 6} quad color {Cerulean} {Multiply : the : radicands.} & = sqrt [3] {72} quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt [3] {2 ^ {3} cdot 3 ^ {2}} & = 2 sqrt [3] {{3} ^ {2}} & = 2 sqrt [3] {9} end {align} )

إجابه:

(2 sqrt [3] {9} )

في كثير من الأحيان ، سيكون هناك معاملات أمام الراديكاليين.

مثال ( PageIndex {2} ):

اضرب: (3 sqrt {6} cdot 5 sqrt {2} )

المحلول

باستخدام قاعدة حاصل الضرب للجذور وحقيقة أن الضرب تبادلي ، يمكننا ضرب المعاملات والجذور على النحو التالي.

( begin {align} 3 sqrt {6} cdot 5 sqrt {2} & = color {Cerulean} {3 cdot 5} color {black} { cdot} color {OliveGreen} { sqrt {6} cdot sqrt {2}} quad color {Cerulean} {Multiplication : is : commutative.} & = 15 cdot sqrt {12} quad quad quad : اللون {Cerulean} {Multiply : the : coefficients : and : the : radicands.} & = 15 sqrt {4 cdot 3} quad quad quad : color {Cerulean} { بسّط.} & = 15 cdot 2 cdot sqrt {3} & = 30 sqrt {3} end {align} )

عادة ، لا تظهر الخطوة الأولى التي تنطوي على تطبيق خاصية التبادل.

إجابه:

(30 sqrt {3} )

مثال ( PageIndex {3} ):

اضرب: (- 3 sqrt [3] {4 y ^ {2}} cdot 5 sqrt [3] {16 y} ).

المحلول

إجابه:

(- 60 عامًا )

استخدم خاصية التوزيع عند ضرب التعبيرات الكسرية بأكثر من حد واحد.

مثال ( PageIndex {4} ):

اضرب: (5 sqrt {2 x} (3 sqrt {x} - sqrt {2 x}) ).

المحلول:

طبق خاصية التوزيع واضرب كل حد في (5 sqrt {2 x} ).

إجابه:

(15 x sqrt {2} - 10 x )

مثال ( PageIndex {5} ):

اضرب: ( sqrt [3] {6 x ^ {2} y} left ( sqrt [3] {9 x ^ {2} y ^ {2}} - 5 cdot sqrt [3] {4 س ص} حق) ).

المحلول

قم بتطبيق خاصية التوزيع ، ثم قم بتبسيط النتيجة.

إجابه:

(3 x y sqrt [3] {2 x} - 10 x sqrt [3] {3 y ^ {2}} )

عملية ضرب التعبيرات الجذرية ذات المصطلحات المتعددة هي نفس العملية المستخدمة عند ضرب كثيرات الحدود. طبق خاصية التوزيع ، وبسّط كل جذري ، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

مثال ( PageIndex {6} ):

اضرب: (( sqrt {x} - 5 sqrt {y}) ^ {2} ).

المحلول

ابدأ بتطبيق خاصية التوزيع.

إجابه:

(x - 10 sqrt {x y} + 25 y )

تسمى المعادلات ذات الحدين ((أ + ب) ) و ((أ - ب) ) يقارن18. عند ضرب المتقارنات ذات الحدين ، تكون الحدود الوسطى متناقضة ومجموعها صفر.

مثال ( PageIndex {7} ):

اضرب: (( sqrt {10} + sqrt {3}) ( sqrt {10} - sqrt {3}) ).

المحلول

طبق خاصية التوزيع ، ثم اجمع الحدود المتشابهة.

إجابه:

(7)

من المهم ملاحظة أنه عند ضرب التعبيرات الجذرية المترافقة ، نحصل على تعبير عقلاني. هذا صحيح بشكل عام

بدلاً من ذلك ، باستخدام صيغة الفرق بين المربعات التي لدينا ،

تمرين ( PageIndex {1} )

اضرب: ((3 - 2 sqrt {y}) (3 + 2 sqrt {y}) ). (افترض أن (y ) موجب.)

إجابه

(9-4 سنوات )

www.youtube.com/v/HPggvr8g68U

قسمة التعبيرات الجذرية

لقسمة التعبيرات الجذرية التي لها نفس الفهرس ، نستخدم قاعدة خارج القسمة للجذور. بالنظر إلى الأرقام الحقيقية ( sqrt [n] {A} ) و ( sqrt [n] {B} ) ،

( frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} = sqrt [n] { frac {A} {B}} )

مثال ( PageIndex {8} ):

قسّم: ( frac { sqrt [3] {96}} { sqrt [3] {6}} ).

المحلول

في هذه الحالة ، يمكننا ملاحظة أن (6 ) و (96 ) لهما عوامل مشتركة. إذا طبقنا قاعدة خارج القسمة للجذور وكتبناها كجذر تكعيبي واحد ، فسنكون قادرين على تقليل كسور الجذر.

( begin {align} frac { sqrt [3] {96}} { sqrt [3] {6}} & = sqrt [3] { frac {96} {6}} quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : roots : and : reduction : the : radicand.} & = sqrt [3] {16} & = sqrt [3] {8 cdot 2} color {Cerulean} {Simplify.} & = 2 sqrt [3] {2} end {align} )

إجابه:

(2 sqrt [3] {2} )

مثال ( PageIndex {9} ):

قسّم: ( frac { sqrt {50 x ^ {6} y ^ {4}}} { sqrt {8 x ^ {3} y}} ).

المحلول

اكتب في صورة جذر تربيعي واحد وقم بإلغاء العوامل المشتركة قبل التبسيط.

( begin {align} frac { sqrt {50 x ^ {6} y ^ {4}}} { sqrt {8 x ^ {3} y}} & = sqrt { frac {50 x ^ {6} y ^ {4}} {8 x ^ {3} y}} quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : roots : and : Cancel. } & = sqrt { frac {25 x ^ {3} y ^ {3}} {4}} quad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt {25 x ^ {3} y ^ {3}}} { sqrt {4}} & = frac {5 xy sqrt {xy}} {2} end {align} )

إجابه:

( frac {5xy sqrt {x y}} {2} )

ترشيد القاسم

عندما يحتوي المقام (القاسم) لتعبير جذري على جذري ، فمن الشائع إيجاد تعبير مكافئ حيث المقام هو عدد كسري. العثور على مثل هذا التعبير المكافئ يسمى ترشيد المقام - صفة مشتركة - حالة19.

( start {array} {c} { color {Cerulean} {Radical : expression quad Rational : denominator}} { frac {1} { sqrt {2}} quad quad quad = quad quad quad quad frac { sqrt {2}} {2}} end {array} )

للقيام بذلك ، اضرب الكسر في شكل خاص من (1 ) بحيث يمكن كتابة الجذر في المقام بقوة تطابق الفهرس. بعد القيام بذلك ، بسّط وحذف الجذر في المقام. فمثلا:

( frac {1} { sqrt {2}} = frac {1} { sqrt {2}} cdot frac { color {Cerulean} { sqrt {2}}} { color {Cerulean } { sqrt {2}}} color {black} {=} frac { sqrt {2}} { sqrt {4}} = frac { sqrt {2}} {2} )

تذكر ، للحصول على تعبير مكافئ ، يجب عليك ضرب البسط والمقام في نفس العامل غير الصفري بالضبط.

مثال ( PageIndex {10} ):

ترشيد المقام: ( frac { sqrt {2}} { sqrt {5 x}} ).

المحلول

الهدف هو إيجاد تعبير مكافئ بدون جذري في المقام. يحدد الجذر في المقام العوامل التي تحتاج إلى استخدامها لتبريرها. في هذا المثال ، اضرب في (1 ) بالصيغة ( frac { sqrt {5 x}} { sqrt {5 x}} ).

( start {align} frac { sqrt {2}} { sqrt {5 x}} & = frac { sqrt {2}} { sqrt {5 x}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt {5 x}} { sqrt {5 x}} {: ضرب : ب :} frac { sqrt {5 x}} { sqrt {5 x}}.} & = frac { sqrt {10 x}} { sqrt {25 x ^ {2}}} quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt { 10 س}} {5 س} نهاية {محاذاة} )

إجابه:

( frac { sqrt {10 x}} {5 x} )

في بعض الأحيان ، نجد الحاجة إلى الاختزال أو الإلغاء بعد ترشيد المقام.

مثال ( PageIndex {11} ):

ترشيد المقام: ( frac {3 a sqrt {2}} { sqrt {6 a b}} ).

المحلول

في هذا المثال ، سنضرب في (1 ) بالصيغة ( frac { sqrt {6 a b}} { sqrt {6 a b}} ).

( start {align} frac {3 a sqrt {2}} { sqrt {6 ab}} & = frac {3 a sqrt {2}} { sqrt {6 ab}} cdot اللون {Cerulean} { frac { sqrt {6 ab}} { sqrt {6 ab}}} & = frac {3 a sqrt {12 ab}} { sqrt {36 a ^ {2} ب ^ {2}}} quad quad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac {3 a sqrt {4 cdot 3 ab}} {6 ab} & = frac { 6 أ sqrt {3 ab}} {b} quad quad : : color {Cerulean} {إلغاء.} & = frac { sqrt {3 ab}} {b} end {محاذاة } )

لاحظ أن (b ) لا يُلغي في هذا المثال. لا تلغي العوامل داخل الجذر مع العوامل الخارجية.

إجابه:

( frac { sqrt {3 a b}} {b} )

تمرين ( PageIndex {2} )

عقلاني المقام: ( sqrt { frac {9 x} {2 y}} ).

إجابه

( frac {3 sqrt {2xy}} {2 y} )

www.youtube.com/v/h-lAW8kI2rA

حتى هذه النقطة ، رأينا أن ضرب بسط ومقام في جذر تربيعي بنفس الجذر والمقام ينتج عنه مقام كسري. بشكل عام ، هذا صحيح فقط عندما يحتوي المقام على جذر تربيعي. ومع ذلك ، ليس هذا هو الحال بالنسبة للجذر التكعيبي. فمثلا،

( frac {1} { sqrt [3] {x}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {x}} { sqrt [3] {x}}} color {أسود} {=} frac { sqrt [3] {x}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} )

لاحظ أن الضرب في نفس العامل في المقام لا يبرره. في هذه الحالة ، إذا ضربنا في (1 ) على شكل ( frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} ) ، فيمكننا كتابة الجذر والمقام في صورة قوة (3 ). ثم ينتج عن تبسيط النتيجة مقامًا منطقيًا.

( frac {1} { sqrt [3] {x}} = frac {1} { sqrt [3] {x}} cdot color {سيرولين} { frac { sqrt [3] { x ^ {2}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}}} = frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [3] {x ^ {3 }}} = frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} {x} )

لذلك ، لتبرير مقام تعبير جذري بحد جذري واحد في المقام ، ابدأ بتحليل الجذر والمقام إلى عوامل. تحدد عوامل هذا الجذر والدليل ما يجب أن نضرب به. اضرب البسط والمقام في (n ) جذر العوامل التي تنتج القوى النونية لجميع العوامل في الجذر والمقام.

مثال ( PageIndex {12} ):

ترشيد المقام: ( frac { sqrt [3] {2}} { sqrt [3] {25}} ).

المحلول

الجذر في المقام يساوي ( sqrt [3] {5 ^ {2}} ). لتبرير المقام ، نحتاج إلى: ( sqrt [3] {5 ^ {3}} ). للحصول على هذا ، نحتاج إلى عامل إضافي (5 ). لذلك ، اضرب في (1 ) بصيغة ( frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5}} ).

( start {align} frac { sqrt [3] {2}} { sqrt [3] {25}} & = frac { sqrt [3] {2}} { sqrt [3] { 5 ^ {2}}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {5}} { sqrt [3] {5}} : اضرب : بواسطة : the : cube : root : of : factor : that : result : in : powers : of : 3.} & = frac { sqrt [3] {10}} { sqrt [3] {5 ^ {3}}} quad : : : quad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac { sqrt [3] {10}} {5} end {align } )

إجابه:

( frac { sqrt [3] {10}} {5} )

مثال ( PageIndex {13} ):

ترشيد المقام: ( sqrt [3] { frac {27 a} {2 b ^ {2}}} ).

المحلول

في هذا المثال ، سنضرب في (1 ) بالصيغة ( frac { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} ).

( start {align} sqrt [3] { frac {27 a} {2 b ^ {2}}} & = frac { sqrt [3] {3 ^ {3} a}} { sqrt [3] {2 b ^ {2}} quad quad quad quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : roots.} & = frac {3 sqrt [3] {a}} { sqrt [3] {2 b ^ {2}}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [3] {2 ^ {2} b} } { sqrt [3] {2 ^ {2} b}} : : : اضرب : ب : the : cube : root : of : العوامل : that : result : in : powers.} & = frac {3 sqrt [3] {2 ^ {2} ab}} { sqrt [3] {2 ^ {3} b ^ {3}}} quad quad quad color {Cerulean} {Simplify.} & = frac {3 sqrt [3] {4 ab}} {2 b} end {align} )

إجابه:

( frac {3 sqrt [3] {4 a b}} {2 b} )

مثال ( PageIndex {14} ):

ترشيد المقام: ( frac {2 x sqrt [5] {5}} { sqrt [5] {4 x ^ {3} y}} )

المحلول

في هذا المثال ، سنضرب في (1 ) بالصيغة ( frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} { sqrt [5] {2 ^ {3} × ^ {2} ص ^ {4}}} )

( start {align} frac {2x sqrt [5] {5}} { sqrt [5] {4x ^ {3} y}} & = frac {2x sqrt [5] {5}} { sqrt [5] {2 ^ {2} x ^ {3} y}} cdot color {Cerulean} { frac { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ { 4}}} { sqrt [5] {2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} : : اضرب : بواسطة : the : Fifth : root : of : العوامل : that : result : in : pairs.} & = frac {2 x sqrt [5] {5 cdot 2 ^ {3} x ^ {2} y ^ {4}}} { sqrt [5] {2 ^ {5} x ^ {5} y ^ {5}}} quad quad : : color {Cerulean} {Simplify.} & = frac {2 x sqrt [5] {40 × ^ {2} y ^ {4}}} {2 xy} & = frac { sqrt [5] {40 × ^ {2} y ^ {4}}} { ص} نهاية {محاذاة} )

إجابه:

( frac { sqrt [5] {40 × ^ {2} ص ^ {4}}} {y} )

عندما يظهر حدين يشتملان على جذور تربيعية في المقام ، يمكننا إنطاقها باستخدام أسلوب خاص جدًا. تتضمن هذه التقنية ضرب البسط والمقام في الكسر بمرافق المقام. تذكر أن ضرب تعبير جذري في مرافقه ينتج عددًا كسريًا.

مثال ( PageIndex {15} ):

ترشيد المقام: ( frac {1} { sqrt {5} - sqrt {3}} ).

المحلول

في هذا المثال ، مرافق المقام هو ( sqrt {5} + sqrt {3} ). لذلك ، اضرب في (1 ) بالصيغة ( frac {( sqrt {5} + sqrt {3})} {( sqrt {5} + sqrt {3})} ).

إجابه:

( frac { sqrt {5} + sqrt {3}} {2} )

لاحظ أنه يتم حذف الحدود التي تتضمن الجذر التربيعي في المقام بضربها في المرافق. يمكننا استخدام الخاصية (( sqrt {a} + sqrt {b}) ( sqrt {a} - sqrt {b}) = a - b ) لتسريع عملية ضرب التعبيرات في المقام .

مثال ( PageIndex {16} ):

ترشيد المقام: ( frac { sqrt {10}} { sqrt {2} + sqrt {6}} ).

المحلول

اضرب ب (1 ) بالصيغة ( frac { sqrt {2} - sqrt {6}} { sqrt {2} - sqrt {6}} ).

إجابه:

( frac { sqrt {15} - sqrt {5}} {2} )

مثال ( PageIndex {17} ):

ترشيد المقام: ( frac { sqrt {x} - sqrt {y}} { sqrt {x} + sqrt {y}} ).

المحلول

في هذا المثال ، سنضرب في (1 ) بالصيغة ( frac { sqrt {x} - sqrt {y}} { sqrt {x} - sqrt {y}} ).

إجابه:

( frac {x - 2 sqrt {x y} + y} {x - y} )

تمرين ( PageIndex {3} )

ترشيد المقام: ( frac {2 sqrt {3}} {5 - sqrt {3}} )

إجابه

( frac {5 sqrt {3} + 3} {11} )

www.youtube.com/v/gYNvQ3NVxCc

الماخذ الرئيسية

  • لضرب تعبيرين جذريين أحاديي المدى ، اضرب المعامِلات واضرب الجذور. إذا أمكن ، بسّط النتيجة.
  • طبق خاصية التوزيع عند ضرب تعبير جذري بعدة حدود. ثم بسّط واجمع كل الجذور المتشابهة.
  • ينتج عن ضرب التعبير الجذري ذي الحدين الذي يتضمن الجذور التربيعية في مرافقه تعبيرًا منطقيًا.
  • من الشائع كتابة تعبيرات جذرية بدون جذور في المقام. تسمى عملية العثور على مثل هذا التعبير المكافئ ترشيد المقام.
  • إذا كان للتعبير حد واحد في المقام يشتمل على جذري ، فقم بترشيده بضرب البسط والمقام في (n ) جذر عوامل الجذر بحيث تساوي قواها الفهرس.
  • إذا كان للتعبير الجذري حدين في المقام يشتملان على جذور تربيعية ، فعند إنطاقه بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

تمرين ( PageIndex {4} )

تتضاعف. (افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية غير سالبة.)

  1. ( sqrt {3} cdot sqrt {7} )
  2. ( sqrt {2} cdot sqrt {5} )
  3. ( sqrt {6} cdot sqrt {12} )
  4. ( sqrt {10} cdot sqrt {15} )
  5. ( sqrt {2} cdot sqrt {6} )
  6. ( sqrt {5} cdot sqrt {15} )
  7. ( sqrt {7} cdot sqrt {7} )
  8. ( sqrt {12} cdot sqrt {12} )
  9. (2 sqrt {5} cdot 7 sqrt {10} )
  10. (3 sqrt {15} cdot 2 sqrt {6} )
  11. ((2 sqrt {5}) ^ {2} )
  12. ((6 sqrt {2}) ^ {2} )
  13. ( sqrt {2 x} cdot sqrt {2 x} )
  14. ( sqrt {5 y} cdot sqrt {5 y} )
  15. ( sqrt {3 a} cdot sqrt {12} )
  16. ( sqrt {3 a} cdot sqrt {2 a} )
  17. (4 sqrt {2 x} cdot 3 sqrt {6 x} )
  18. (5 sqrt {10 y} cdot 2 sqrt {2 y} )
  19. ( sqrt [3] {3} cdot sqrt [3] {9} )
  20. ( sqrt [3] {4} cdot sqrt [3] {16} )
  21. ( sqrt [3] {15} cdot sqrt [3] {25} )
  22. ( sqrt [3] {100} cdot sqrt [3] {50} )
  23. ( sqrt [3] {4} cdot sqrt [3] {10} )
  24. ( sqrt [3] {18} cdot sqrt [3] {6} )
  25. ((5 sqrt [3] {9}) (2 sqrt [3] {6}) )
  26. ((2 sqrt [3] {4}) (3 sqrt [3] {4}) )
  27. ((2 sqrt [3] {2}) ^ {3} )
  28. ((3 sqrt [3] {4}) ^ {3} )
  29. ( sqrt [3] {3 a ^ {2}} cdot sqrt [3] {9 a} )
  30. ( sqrt [3] {7 b} cdot sqrt [3] {49 b ^ {2}} )
  31. ( sqrt [3] {6 × ^ {2}} cdot sqrt [3] {4 × ^ {2}} )
  32. ( sqrt [3] {12 y} cdot sqrt [3] {9 y ^ {2}} )
  33. ( sqrt [3] {20 x ^ {2} y} cdot sqrt [3] {10 x ^ {2} y ^ {2}} )
  34. ( sqrt [3] {63 x y} cdot sqrt [3] {12 x ^ {4} y ^ {2}} )
  35. ( sqrt {5} (3 - sqrt {5}) )
  36. ( sqrt {2} ( sqrt {3} - sqrt {2}) )
  37. (3 sqrt {7} (2 sqrt {7} - sqrt {3}) )
  38. (2 sqrt {5} (6 - 3 sqrt {10}) )
  39. ( sqrt {6} ( sqrt {3} - sqrt {2}) )
  40. ( sqrt {15} ( sqrt {5} + sqrt {3}) )
  41. ( sqrt {x} ( sqrt {x} + sqrt {x y}) )
  42. ( sqrt {y} ( sqrt {x y} + sqrt {y}) )
  43. ( sqrt {2 a b} ( sqrt {14 a} - 2 sqrt {10 b}) )
  44. ( sqrt {6 a b} (5 sqrt {2 a} - sqrt {3 b}) )
  45. ( sqrt [3] {6} ( sqrt [3] {9} - sqrt [3] {20}) )
  46. ( sqrt [3] {12} ( sqrt [3] {36} + sqrt [3] {14}) )
  47. (( sqrt {2} - sqrt {5}) ( sqrt {3} + sqrt {7}) )
  48. (( sqrt {3} + sqrt {2}) ( sqrt {5} - sqrt {7}) )
  49. ((2 sqrt {3} - 4) (3 sqrt {6} + 1) )
  50. ((5 - 2 sqrt {6}) (7 - 2 sqrt {3}) )
  51. (( sqrt {5} - sqrt {3}) ^ {2} )
  52. (( sqrt {7} - sqrt {2}) ^ {2} )
  53. ((2 sqrt {3} + sqrt {2}) (2 sqrt {3} - sqrt {2}) )
  54. (( sqrt {2} + 3 sqrt {7}) ( sqrt {2} - 3 sqrt {7}) )
  55. (( sqrt {a} - sqrt {2 b}) ^ {2} )
  56. (( sqrt {a b} + 1) ^ {2} )
  57. ما محيط ومستطيل بقياس الطول (5 sqrt {3} ) سم وعرض قياس (3 sqrt {2} ) سم؟
  58. ما محيط ومستطيل بقياس الطول (2 sqrt {6} ) سم وعرض قياس ( sqrt {3} ) سم؟
  59. إذا كانت قاعدة المثلث تساوي (6 sqrt {2} ) مترًا وكان الارتفاع يقيس (3 sqrt {2} ) مترًا ، فاحسب المساحة.
  60. إذا كانت قاعدة المثلث تساوي (6 sqrt {3} ) مترًا وكان الارتفاع يقيس (3 sqrt {6} ) مترًا ، فاحسب المساحة.
إجابه

1. ( sqrt {21} )

3. (6 sqrt {2} )

5. (2 sqrt {3} )

7. (7)

9. (70 sqrt {2} )

11. (20)

13. (2x )

15. (6 sqrt {a} )

17. (24x sqrt {3} )

19. (3)

21. (5 sqrt [3] {3} )

23. (2 sqrt [3] {5} )

25. (30 sqrt [3] {2} )

27. (16)

29. (3 أ ).

31. (2 x sqrt [3] {3 x} )

33. (2 x y sqrt [3] {25 x} )

35. (3 sqrt {5} -5 )

37. (42 - 3 مربع {21} )

39. (3 sqrt {2} - 2 sqrt {3} )

41. (x + x sqrt {y} )

43. (2 أ مربع {7 ب} - 4 ب مربع {5 أ} )

45. (3 sqrt [3] {2} - 2 sqrt [3] {15} )

47. ( sqrt {6} + sqrt {14} - sqrt {15} - sqrt {35} )

49. (18 sqrt {2} + 2 sqrt {3} - 12 sqrt {6} - 4 )

51. (8 - 2 sqrt {15} )

53. (10)

55. (أ - 2 مربع {2 أ ب} + 2 ب )

57. المحيط: ((10 sqrt {3} + 6 sqrt {2}) ) سم ؛ مساحة (15 مربع {6} ) سم مربع

59. (18 ) متر مربع

تمرين ( PageIndex {5} )

يقسم. (افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.)

  1. ( frac { sqrt {75}} { sqrt {3}} )
  2. ( frac { sqrt {360}} { sqrt {10}} )
  3. ( frac { sqrt {72}} { sqrt {75}} )
  4. ( frac { sqrt {90}} { sqrt {98}} )
  5. ( frac { sqrt {90 × ^ {5}}} { sqrt {2 x}} )
  6. ( frac { sqrt {96 y ^ {3}}} { sqrt {3 y}} )
  7. ( frac { sqrt {162 x ^ {7} y ​​^ {5}}} { sqrt {2 x y}} )
  8. ( frac { sqrt {363 x ^ {4} y ^ {9}}} { sqrt {3 x y}} )
  9. ( frac { sqrt [3] {16 a ^ {5} b ^ {2}}} { sqrt [3] {2 a ^ {2} b ^ {2}}} )
  10. ( frac { sqrt [3] {192 a ^ {2} b ^ {7}}} { sqrt [3] {2 a ^ {2} b ^ {2}}} )
إجابه

1. (5)

3. ( frac {2 sqrt {6}} {5} )

5. (3 × ^ {2} sqrt {5} )

7. (9 × ^ {3} ص ^ {2} )

9. (2 أ )

تمرين ( PageIndex {6} )

برر المقام. (افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.)

  1. ( frac {1} { sqrt {5}} )
  2. ( frac {1} { sqrt {6}} )
  3. ( frac { sqrt {2}} { sqrt {3}} )
  4. ( frac { sqrt {3}} { sqrt {7}} )
  5. ( frac {5} {2 sqrt {10}} )
  6. ( frac {3} {5 sqrt {6}} )
  7. ( frac { sqrt {3} - sqrt {5}} { sqrt {3}} )
  8. ( frac { sqrt {6} - sqrt {2}} { sqrt {2}} )
  9. ( frac {1} { sqrt {7 x}} )
  10. ( frac {1} { sqrt {3 y}} )
  11. ( frac {a} {5 sqrt {a b}} )
  12. ( frac {3 b ^ {2}} {2 sqrt {3 a b}} )
  13. ( frac {2} { sqrt [3] {36}} )
  14. ( frac {14} { sqrt [3] {7}} )
  15. ( frac {1} { sqrt [3] {4 x}} )
  16. ( frac {1} { sqrt [3] {3 y ^ {2}}} )
  17. ( frac {9 x sqrt [3] {2}} { sqrt [3] {9 x y ^ {2}}} )
  18. ( frac {5 y ^ {2} sqrt [3] {x}} { sqrt [3] {5 x ^ {2} y}} )
  19. ( frac {3 a} {2 sqrt [3] {3 a ^ {2} b ^ {2}}} )
  20. ( frac {25 n} {3 sqrt [3] {25 م ^ {2} n}} )
  21. ( frac {3} { sqrt [5] {27 × ^ {2} y}} )
  22. ( frac {2} { sqrt [5] {16 x y ^ {2}}} )
  23. ( frac {a b} { sqrt [5] {9 a ^ {3} b}} )
  24. ( frac {a b c} { sqrt [5] {a b ^ {2} c ^ {3}}} )
  25. ( sqrt [5] { frac {3 x} {8 y ^ {2} z}} )
  26. ( sqrt [5] { frac {4 x y ^ {2}} {9 x ^ {3} y z ^ {4}}} )
  27. ( frac {3} { sqrt {10} - 3} )
  28. ( frac {2} { sqrt {6} - 2} )
  29. ( frac {1} { sqrt {5} + sqrt {3}} )
  30. ( frac {1} { sqrt {7} - sqrt {2}} )
  31. ( frac { sqrt {3}} { sqrt {3} + sqrt {6}} )
  32. ( frac { sqrt {5}} { sqrt {5} + sqrt {15}} )
  33. ( frac {10} {5 - 3 sqrt {5}} )
  34. ( frac {- 2 sqrt {2}} {4 - 3 sqrt {2}} )
  35. ( frac { sqrt {3} + sqrt {5}} { sqrt {3} - sqrt {5}} )
  36. ( frac { sqrt {10} - sqrt {2}} { sqrt {10} + sqrt {2}} )
  37. ( frac {2 sqrt {3} - 3 sqrt {2}} {4 sqrt {3} + sqrt {2}} )
  38. ( frac {6 sqrt {5} + 2} {2 sqrt {5} - sqrt {2}} )
  39. ( frac {x - y} { sqrt {x} + sqrt {y}} )
  40. ( frac {x - y} { sqrt {x} - sqrt {y}} )
  41. ( frac {x + sqrt {y}} {x - sqrt {y}} )
  42. ( frac {x - sqrt {y}} {x + sqrt {y}} )
  43. ( frac { sqrt {a} - sqrt {b}} { sqrt {a} + sqrt {b}} )
  44. ( frac { sqrt {a b} + sqrt {2}} { sqrt {a b} - sqrt {2}} )
  45. ( frac { sqrt {x}} {5 - 2 sqrt {x}} )
  46. ( frac {1} { sqrt {x} - y} )
  47. ( frac { sqrt {x} + sqrt {2 y}} { sqrt {2 x} - sqrt {y}} )
  48. ( frac { sqrt {3 x} - sqrt {y}} { sqrt {x} + sqrt {3 y}} )
  49. ( frac { sqrt {2 x + 1}} { sqrt {2 x + 1} - 1} )
  50. ( frac { sqrt {x + 1}} {1 - sqrt {x + 1}} )
  51. ( frac { sqrt {x + 1} + sqrt {x - 1}} { sqrt {x + 1} - sqrt {x - 1}} )
  52. ( frac { sqrt {2 x + 3} - sqrt {2 x - 3}} { sqrt {2 x + 3} + sqrt {2 x - 3}} )
  53. يتم تحديد نصف قطر قاعدة المخروط الدائري الأيمن بواسطة (r = sqrt { frac {3 V} { pi h}} ) حيث يمثل (V ) حجم المخروط و (h ) يمثل ارتفاعه. أوجد نصف قطر مخروط دائري قائم حجمه (50 ) سم مكعب وارتفاعه (4 ) سم. أعط الإجابة الدقيقة والإجابة التقريبية مقربة لأقرب جزء من مائة.
  54. يتم إعطاء نصف قطر الكرة بواسطة (r = sqrt [3] { frac {3 V} {4 pi}} ) حيث يمثل (V ) حجم الكرة. أوجد نصف قطر كرة حجمها (135 ) سنتيمترًا مربعًا. أعط الإجابة الدقيقة والإجابة التقريبية مقربة لأقرب جزء من مائة.
إجابه

1. ( frac { sqrt {5}} {5} )

3. ( frac { sqrt {6}} {3} )

5. ( frac { sqrt {10}} {4} )

7. ( frac {3 - sqrt {15}} {3} )

9. ( frac { sqrt {7 x}} {7 x} )

11. ( frac { sqrt {a b}} {5 b} )

13. ( frac { sqrt [3] {6}} {3} )

15. ( frac { sqrt [3] {2 x ^ {2}}} {2 x} )

17. ( frac {3 sqrt [3] {6 x ^ {2} y}} {y} )

19. ( frac { sqrt [3] {9 a b}} {2 b} )

21. ( frac { sqrt [5] {9 x ^ {3} y ^ {4}}} {x y} )

23. ( frac { sqrt [5] {27 a ^ {2} b ^ {4}}} {3} )

25. ( frac { sqrt [5] {12 x y ^ {3} z ^ {4}}} {2 y z} )

27. (3 sqrt {10} + 9 )

29. ( frac { sqrt {5} - sqrt {3}} {2} )

31. (- 1 + sqrt {2}

33. ( frac {- 5 - 3 sqrt {5}} {2} )

35. (- 4 - sqrt {15} )

37. ( frac {15 - 7 sqrt {6}} {23} )

39. ( sqrt {x} - sqrt {y} )

41. ( frac {x ^ {2} + 2 x sqrt {y} + y} {x ^ {2} - y} )

43. ( frac {a - 2 sqrt {a b + b}} {a - b} )

45. ( frac {5 sqrt {x} + 2 x} {25-4 x} )

47. ( frac {x sqrt {2} + 3 sqrt {x y} + y sqrt {2}} {2 x - y} )

49. ( frac {2 x + 1 + sqrt {2 x + 1}} {2 x} )

51. (x + sqrt {x ^ {2} - 1} )

53. ( frac {5 sqrt {6 pi}} {2 pi} ) سنتيمترات ؛ (3.45 ) سم

تمرين ( PageIndex {7} )

  1. ابحث وناقش بعض الأسباب التي تجعل من الشائع ترشيد المقام.
  2. اشرح بكلماتك الخاصة كيفية ترشيد المقام.
إجابه

1. قد تختلف الإجابة

الحواشي

18العوامل ((أ + ب) ) و ((أ-ب) ) مترافقة.

19عملية تحديد تعبير جذري مكافئ ذي قاسم عقلاني.


ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية

مرحبًا ، أنا & # 039m في الجزء الأخير من دورة الرياضيات ولدي 19 مهمة أخرى (يبدو كثيرًا ، لكنني أتممت بالفعل 60 مهمة بنفسي) وحتى الآن لم أحصل على درجة عالية. درجة لائقة. لذا من فضلك ساعدني! أحتاج هذا الفصل للتخرج!

1. √10 × √8
أ √18
ب 4√5
ج √80
د لا شيء مما سبق

2. √5(8 + 3√6)
أ 5√8 + 3√30
ب 5-10
ج 130
د لا شيء مما سبق

3. (4-√3)(12+5√3)
أ 33
ب 33 - 32√3
ص 63 + 8√3
د 33 + 8√3

4. (5+√3)(5-√3
أ 22
ب 28
ج 22 - 10√3
د 25-12√3

5. حدد المرافق 4 + 7
أ 7 - 4
ب 7 + 4
ج 4 + √7
د 4 - √7

6 إنطباع مقام √18 / √3
أ 6
ب 2√3 / 3
ج 3√3 / 2
د 2/6

7 إنقل مقام 5/3
أ 5-3 / 3
ب 5/3
ج √3 / 3
د 5

8 إنقل مقام 4/5 + 2
أ 20 - 2/23
ب 20-4√2 / 27
ج 20-4√2 / 23
د 5 - 4√2 / 27

9 قم بإنشاء التعبير ذي الحدين الخاص بك بجذر في الحد الثاني. حدد مرافقه واشرح سبب كونه المرافق بجمل كاملة. اضرب التعبير الأصلي ذي الحدين ومقارنه. ماذا حدث للراديكاليين ولماذا؟


3.
(4 - √3)(12 + 5√3)
= 4(12 + 5√3) - √3(12 + 5√3)
= 48 + 20√3 - 12√3 - 5√3√3
= 48 + 20√3 - 12√3 - 5(√3√3)
= 48 + 20√3 - 12√3 - 5(3)
= 48 + 20√3 - 12√3 - 15
= (د) 33 + 8√3


4.
(5+√3)(5-√3)
= 5(5-√3) + √3(5-√3)
= 25 - 5√3 + 5√3 - √3√3
= 25 - 5√3 + 5√3 - 3
= (أ) 22


5.
مرافق (أ + ب) = (أ - ب):
(د) 4 - 7


6.
ترشيد مقام √18 / √3:
√18 / √3
= (√18√3) / (√3√3)
= (√18√3) / 3
= √(18*3) / 3
= √54 / 3
= √(9*6) / 3
= (√9√6) / 3
= (3√6) / 3
= √6 [هل قمت بخطأ إملائي ونسيت خيار تسجيل الدخول (أ)؟]


قسمة التعبيرات المنطقية

لقسمة كسرين ، نضرب في مقلوب المقسوم عليه ، كما هو موضح:

يتم تنفيذ قسمة التعبيرات المنطقية بطريقة مماثلة. فمثلا،

بشكل عام ، معطى كثيرات الحدود ص, س, ص، و سحيث Q ≠ 0 و R ≠ 0 و S 0 لدينا

المثال 8: قسّم: 8 x 5 y 25 z 6 ÷ 20 x y 4 15 z 3.

المحلول: أولًا ، اضرب في مقلوب المقسوم عليه ثم احذفه.

المثال 9: قسّم: x + 2 x 2-4 ÷ x + 3 x - 2.

المحلول: بعد الضرب في مقلوب المقسوم عليه ، عامل وإلغاء.

المثال 10: قسّم: x 2-6 x - 16 x 2 + 4 x - 21 x 2 + 9 x + 14 x 2-8 x + 15.

المحلول: ابدأ بضرب مقلوب المقسوم عليه. بعد القيام بذلك ، عامل وإلغاء.

الجواب: (س - 8) (س - 5) (س +7) 2

المثال 11: قسّم: 9-4 x 2 x + 2 (2 x - 3).

المحلول: تمامًا كما نفعل مع الكسور ، فكر في المقسوم عليه (2 × - 3) باعتباره كسرًا جبريًا مقسومًا على 1.

جرب هذا! قسّم: 4 x 2 + 7 x - 2 25 x 2 ÷ 1-4 x 100 x 4.

حل الفيديو


ملخص

يمكن استخدام الناتج المرتفع إلى قاعدة القوة والحاصل المرتفع إلى قاعدة القوة لتبسيط التعبيرات الجذرية طالما أن جذور الجذور هي نفسها. تنص قاعدة المنتج على أن حاصل ضرب رقمين أو أكثر مرفوعين إلى أس يساوي حاصل ضرب كل رقم مرفوع إلى نفس الأس. وينطبق الشيء نفسه على الجذور: [اللاتكس] sqrt [x]= sqrt [x] cdot sqrt [x][/ لاتكس]. عند قسمة التعبيرات الجذرية ، تكون القواعد التي تحكم خارج القسمة متشابهة: [لاتكس] sqrt [x] < frac> = frac < sqrt [x]> < sqrt [x]> [/ لاتكس].


تقسيم الجذور (تبرير المقام)

تسمى هذه العملية أيضًا "ترشيد المقام" حيث نقوم بإزالة جميع الأعداد غير النسبية في مقام الكسر.

هذا مهم لاحقًا عندما نواجه الأعداد المركبة.

تذكير: من الجبر السابق ، سوف تتذكر الفرق في صيغة المربعات:

سنستخدم هذه الصيغة في ترشيد القواسم.

مثال 4

يتطلب السؤال منا قسمة 1 على (& radic3 & amp ؛ ناقص & radic2).

علينا ضرب الجزء العلوي والسفلي من الكسر في المترافقة من (& radic3 & ناقص & radic2).

يمكن العثور على المرافق بسهولة عن طريق عكس الإشارة في منتصف التعبير الجذري. في هذه الحالة ، يصبح الطرح موجبًا. إذن اقتران (& radic3 & ناقص & radic2) هو (& radic3 + & radic2).

بعد أن نضرب القمة والسفلي في المرافق ، نرى أن المقام يصبح خاليًا من الجذور (في هذه الحالة ، المقام له القيمة 1).

ملاحظة تاريخية

في الأيام التي سبقت الآلات الحاسبة ، كان من المهم أن تكون قادرًا على ترشيد القواسم. باستخدام جداول اللوغاريتم ، كان من الصعب جدًا العثور على قيمة التعبيرات مثل المثال أعلاه.

الآن بعد أن استخدمنا الآلات الحاسبة ، ليس من المهم جدوى تفسير القواسم.

ومع ذلك ، لا تزال القواسم المنطقية مستخدمة في العديد من تقنياتنا الجبرية (انظر بشكل خاص الأعداد المركبة) ، ولا تزال تستحق التعلم.


أمثلة أخرى على ضرب الجذور

bf <( sqrt <7> space + space 1) ( sqrt <7> space + space sqrt <5>)> & nbsp & nbsp = & nbsp & nbsp bf < sqrt <7> sqrt <7> space + space sqrt <5> sqrt <7> مسافة + مساحة sqrt <7> space + space sqrt <5>>

= & nbsp bf <7 space + space sqrt <35> space + space sqrt <7> space + space sqrt <5>>

حالة خاصة: & nbsp CONJUGATE.

عندما يكون هناك حد ذو حدين يتضمن حدًا جذريًا أو اثنين.


يمكن الحصول على عدد صحيح بضرب ذات الحدين بما يعرف بـ "المرافق".


وهو الأصل ذو الحدين مع تغيير العلامة.

> 4-5> & nbsp & nbsp = & nbsp & nbsp - bf

ب) & nbsp bf <( sqrt <3> space - space sqrt <2>) ( sqrt <3> space + space sqrt <2>)>

= & nbsp bf < sqrt <3> sqrt <3> space + space sqrt <2> sqrt <3> space - sqrt <2> sqrt <3> space - space sqrt <2> sqrt <2>> & nbsp = & nbsp bf <3 - 2> & nbsp & nbsp = & nbsp & nbsp bf


الجذر التربيعي هو حد يقع داخل الجذر التربيعي. نضرب الجذور بضرب جذورها معًا مع الاحتفاظ بحاصل ضربها تحت نفس رمز الجذر. ماذا يحدث إذاً إذا كانت التعبيرات الجذرية بها أعداد موجودة في الخارج؟

نحتاج فقط إلى تعديل الصيغة أعلاه. لكن الفكرة الأساسية هي أن ناتج الأعداد الموجودة خارج الرموز الجذرية يظل بالخارج أيضًا.

لنستعرض بعض الأمثلة لمعرفة كيفية تطبيق هاتين القاعدتين الأساسيتين.

أمثلة على كيفية ضرب التعبيرات الجذرية

مثال 1: بسّط عن طريق الضرب.

اضرب الجذور مع إبقاء الناتج داخل الجذر التربيعي.

حاصل ضرب مربع كامل لأن 16 = 4 · 4 = 4 2 ، مما يعني أن الجذر التربيعي لـ color16 هو مجرد عدد صحيح.

مثال 2: بسّط عن طريق الضرب.

لا بأس بضرب الأعداد طالما تم العثور عليها تحت رمز الجذر. بعد مضاعفة الجذور ، لاحظ ما إذا كان من الممكن التبسيط أكثر.

مثال 3: بسّط عن طريق الضرب.

خذ الرقم خارج الأقواس ووزعه على الأعداد الموجودة بداخله. نحن فقط نطبق خاصية التوزيع للضرب.

بعد ذلك ، تابع الضرب المنتظم للجذور. كن حذرًا هنا بالرغم من ذلك. يمكنك فقط ضرب الأعداد الموجودة داخل الرموز الجذرية. بنفس الطريقة ، يمكنك فقط الأرقام التي تقع خارج الرموز الجذرية.

عند ضرب رقم في الداخل ورقم خارج الرمز الجذري ، ضعهما جنبًا إلى جنب.

مثال 4: بسّط عن طريق الضرب.

على غرار المثال 3 ، سنقوم بتوزيع الرقم خارج الأقواس على الأرقام الموجودة بداخله. لكن تأكد من ضرب الأرقام فقط إذا كانت & # 8220locations & # 8221 هي نفسها. That is, multiply the numbers outside the radical symbols independent from the numbers inside the radical symbols.

From here, I just need to simplify the products.

مثال 5: Simplify by multiplying.

مثال 6: Simplify by multiplying two binomials with radical terms.

This problem requires us to multiply two binomials that contain radical terms. Apply the FOIL method to simplify.

After applying the distributive property using the FOIL method, I will simplify them as usual.

مثال 7: Simplify by multiplying two binomials with radical terms.

Just like in our previous example, let’s apply the FOIL method to simplify the product of two binomials.

From this point, simplify as usual. Notice that the middle two terms cancel each other out.

المثال 8: Simplify by multiplying two binomials with radical terms.

Let’s solve this step-by-step:

المثال 9: Simplify by multiplying two binomials with radical terms.

Let’s solve this step-by-step:

  • Find a perfect square factor for 24 .
  • Break it down as a product of square roots.
  • Simplify the square root of 4 .

المثال 10: Simplify by multiplying.

We are going to multiply these binomials using the “matrix method”. Write the terms of the first binomial ( in blue ) in the left-most column, and write the terms of the second binomial ( in red ) on the top row.

Multiply the numbers of the corresponding grids. See the animation below.

Next, simplify the product inside each grid.

Finally, add all the products in all four grids, and simplify to get the final answer.

المثال 11: Simplify by multiplying.

Place the terms of the first binomial in the left-most column, and the terms of the second binomial on the top row. Then multiply the corresponding square grids.

Finally, add the values in the four grids, and simplify as much as possible to get the final answer.


DMCA Complaint

If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

Please follow these steps to file a notice:

You must include the following:

A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

Send your complaint to our designated agent at:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


7.5 Multiplying and Dividing Radical Expressions - PowerPoint PPT Presentation

7.5 Multiplying and Dividing Radical Expressions Multiplying a Monomial by a Monomial (Multiply coefficients by each other & multiply what s under the radicals by . &ndash PowerPoint PPT presentation

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح ذات الترتيب الأعلى بشكل عام. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


الصفحات ذات الصلة

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood "Divide radical expressions". 

Apart from the stuff given above, if you want to know more about "Divide radical expressions", please click here

Apart from the stuff "Divide radical expressions", if you need any other stuff in math, please use our google custom search here. 

If you have any feedback about our math content, please mail us : 

We always appreciate your feedback. 

You can also visit the following web pages on different stuff in math. 


شاهد الفيديو: ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية 2 (شهر اكتوبر 2021).