مقالات

1.8: حل المتباينات الخطية بمتغير واحد


أهداف التعلم

  • تحديد عدم المساواة الخطية والتحقق من الحلول.
  • حل المتباينات الخطية وعبر عن الحلول بيانياً على خط الأعداد وفي تدوين الفترة.
  • حل المتباينات الخطية المركبة وعبر عن الحلول بيانياً على خط الأعداد وفي تدوين الفترة.
  • حل التطبيقات التي تتضمن متباينات خطية وتفسير النتائج.

المتباينات الخطية

أ عدم المساواة الخطية138 هي عبارة رياضية تتعلق بالتعبير الخطي على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه. فيما يلي بعض الأمثلة على عدم المساواة الخطية ، والتي تم حلها جميعًا في هذا القسم:

(5 × + 7 <22 )
جدول ( PageIndex {1} )

أ حل متباينة خطية139 هو رقم حقيقي ينتج بيانًا صحيحًا عند استبداله بالمتغير. المتباينات الخطية إما أن يكون لها عدد لانهائي من الحلول أو لا يوجد حل. إذا كان هناك عدد غير محدود من الحلول ، فقم برسم مجموعة الحلول على خط الأعداد و / أو عبر عن الحل باستخدام تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {1} ):

هل (x = −4 ) و (x = 6 ) حلول لـ (5x + 7 <22 )؟

حل

استبدل القيم بـ (x ) ، وقم بالتبسيط ، وتحقق لمعرفة ما إذا كنا نحصل على بيان صحيح.

تحقق (س = −4 )

تحقق (س = 6 )

( start {array} {c} {5 ( color {Cerulean} {6} color {Black} {)} + 7 <22} {30 + 7 <22} {37 <22} : : color {red} {✗} end {array} )

جدول ( PageIndex {2} )

إجابه:

(x = −4 ) حل و (x = 6 ) ليس كذلك

تنطبق جميع التقنيات التي تم تعلمها لحل المعادلات الخطية باستثناء واحدة على حل المتباينات الخطية. يمكنك إضافة أو طرح أي عدد حقيقي لكلا طرفي المتباينة ، ويمكنك ضرب أو قسمة كلا الطرفين على أي إيجابي العدد الحقيقي لخلق عدم مساواة مكافئة. على سبيل المثال:

(10 ​​ color {Cerulean} {- 7} color {Black} {>} -5 color {Cerulean} {- 7} quad color {Cerulean} {Subtract : 7 : on : both : الجانبين.} )

(10>-5)

( frac {10} { color {Cerulean} {5}} color {Black} {>} frac {-5} { color {Cerulean} {5}} quad color {Cerulean} {Divide : كلاهما : الجانبين : بواسطة : 5.} )

ينتج عن طرح (7 ) من كلا الجانبين وقسمة كل طرف على موجب (5 ) متباينة صحيحة.

مثال ( PageIndex {1} ):

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (5x + 7 <22 ).

حل

من المفيد أن تستغرق دقيقة واحدة وتختار بعض القيم داخل وخارج مجموعة الحلول ، واستبدلها في المتباينة الأصلية ، ثم تحقق من النتائج. كما هو موضح ، يجب أن تتوقع (x = 0 ) أن تحل المتباينة الأصلية وأن (x = 5 ) يجب ألا تفعل ذلك.

تحقق (س = 0 )

تحقق (س = 5 )

( start {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} + 7 <22} {7 <22} : : color {Cerulean} {✓} نهاية {مجموعة} )

( start {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {5} color {Black} {)} + 7 <22} {25 + 7 <22} {32 <22} : : color {red} {✗} end {array} )

جدول ( PageIndex {3} )

التحقق بهذه الطريقة يعطينا مؤشرًا جيدًا على أننا حللنا المتباينة بشكل صحيح.

يمكننا التعبير عن هذا الحل بطريقتين: استخدام ترميز المجموعة وترميز الفترة.

سنختار في هذا النص تقديم الإجابات باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

إجابه

((−∞, 3) )

عند العمل باستخدام المتباينات الخطية ، يتم تطبيق قاعدة مختلفة عند الضرب أو القسمة على رقم سالب. لتوضيح المشكلة ، ضع في اعتبارك العبارة الصحيحة (10> −5 ) واقسم كلا الجانبين على (- 5 ).

ينتج عن القسمة على (- 5 ) بيان خاطئ. للاحتفاظ ببيان صحيح ، يجب عكس عدم المساواة.

تحدث نفس المشكلة عند الضرب برقم سالب. هذا يؤدي إلى القاعدة الجديدة التالية: عند الضرب أو القسمة على رقم سالب ، اعكس عدم المساواة. من السهل أن تنسى القيام بذلك ، لذا احرص بشكل خاص على مراقبة المعاملات السلبية. بشكل عام ، بالنظر إلى التعبيرات الجبرية (A ) و (B ) ، حيث (c ) هو رقم حقيقي موجب غير صفري ، لدينا ما يلي خصائص عدم المساواة140:

إضافة خاصية عدم المساواة:إذا كان (A
خاصية الطرح من عدم المساواة:إذا كان (A
خاصية مضاعفة عدم المساواة:

إذا كان (A

إذا كان (A } : color {Cerulean} {- c} color {Cerulean} color {Black} {B} )

خاصية تقسيم عدم المساواة:

إذا كان (A

إذا كان (A } frac { color {Black} {B}} { اللون {Cerulean} {- c}} )

جدول ( PageIndex {4} )

نحن نستخدم هذه الخصائص للحصول على ما يعادل عدم المساواة141، واحد له نفس مجموعة الحلول ، حيث يتم عزل المتغير. تشبه العملية حل المعادلات الخطية.

مثال ( PageIndex {3} ):

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (- 2 (x + 8) + 6≥20 ).

حل

إجابه:

تدوين الفاصل ((- ∞، −15] )

مثال ( PageIndex {4} ):

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (- 2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) ).

حل

} frac { color {Black} {3}} { color {Cerulean} {- 6}}} color {Cerulean} {Reverse : the :equality.} {x> - frac {1 } {2}} نهاية {مجموعة} )

إجابه:

تدوين الفاصل ((- frac {1} {2}، ∞) )

مثال ( PageIndex {5} ):

قم بحل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: ( frac {1} {2} x − 2≥ frac {1} {2} ( frac {7} {4} x − 9) +1 ).

حل

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- ∞، 4] )

تمرين ( PageIndex {1} )

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (10-5 (2 x + 3) leq 25 )

إجابه

([- 3 ، infty) ) ؛

www.youtube.com/v/COLLNtwYFm8

عدم المساواة المركبة

فيما يلي بعض الأمثلة على عدم المساواة الخطية المركبة:

جدول ( PageIndex {5} )

هؤلاء مجمع عدم المساواة142 هما في الواقع متباينان في بيان واحد متصل بالكلمة و أو بالكلمة أو. على سبيل المثال،

هي متباينة مركبة لأنها يمكن أن تتحلل على النحو التالي:

يمكننا حل كل متباينة على حدة ؛ تقاطع مجموعتي الحل يحل المتباينة المركبة الأصلية. بينما تعمل هذه الطريقة ، هناك طريقة أخرى تتطلب عادةً خطوات أقل. طبِّق خصائص هذا القسم على الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة بهدف عزل المتغير في المنتصف من العبارة لتحديد حدود مجموعة الحلول.

مثال ( PageIndex {6} ):

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (- 13 <3x − 7 <17 ).

حل

إجابه:

تدوين الفاصل الزمني: ((- 2،8) )

مثال ( PageIndex {7} ):

حل مجموعة الحلول ورسم بيانيًا مجموعة الحلول: ( frac {5} {6} ≤ frac {1} {3} ( frac {1} {2} x + 4) <2 ).

حل

إجابه:

تدوين الفاصل ([- 3،4) )

من المهم ملاحظة أنه عند ضرب أو قسمة الأجزاء الثلاثة من المتباينة المركبة على رقم سالب ، يجب عكس جميع المتباينات في العبارة. على سبيل المثال:

} frac { color {Black} {- 2 x}} { color {Cerulean} {- 2}} color {OliveGreen} {>} frac { color {Black} {20}} { color { سيرولين} {- 2}}} {5> x> - 10} end {array} )

يمكن كتابة الإجابة أعلاه بصيغة مكافئة ، حيث تقع الأرقام الأصغر على اليسار والأرقام الأكبر على اليمين ، كما تظهر على خط الأعداد.

استخدم تدوين الفاصل الزمني ، واكتب: ((- 10 ، 5) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (- 3≤ − 3 (2x − 3) <15 ).

إجابه

((-1,2]);

www.youtube.com/v/BEXeGm_FGDc

بالنسبة إلى عدم المساواة المركبة باستخدام كلمة "أو"تعمل كلا المتباينات بشكل منفصل ثم تفكر في اتحاد مجموعات الحلول. القيم في هذا الاتحاد تحل مشكلة عدم المساواة.

مثال ( PageIndex {8} ):

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (4x + 5≤ − 15 ) أو (6x − 11> 7 ).

حل

حل كل متباينة وشكل الاتحاد بدمج مجموعات الحلول.

أو

7} {6 x> 18} {x> 3} end {array} )

جدول ( PageIndex {6} )

إجابه:

تدوين الفاصل ((- ∞، −5] ∪ (3، ∞) )

تمرين ( PageIndex {3} )

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا: (5 (x - 3) <- 20 text {or} 2 (5 - 3 x) <1 ).

إجابه

((- infty، - 1) كوب يسار ( frac {3} {2}، infty right) )

www.youtube.com/v/HdXp6Dabl4I

تطبيقات المتباينات الخطية

فيما يلي تلخيص لبعض الكلمات والعبارات الرئيسية التي تشير إلى عدم المساواة:

العبارات الرئيسيةترجمة
الرقم هو على الاكثر (5). (س جيك 5 )
الرقم هو (5 ) أو أكثر شمولاً. (س جيك 5 )
الرقم هو في الغالب (3). (س leq 3 )
الرقم (3 ) أو أقل شمولاً. (س leq 3 )
الرقم بدقة أقل من (4). (س <4 )
الرقم هو أقل من (4), غير شامل. (س <4 )
رقم أكبر من (7). (س> 7 )
الرقم هو أكثر من (7), غير شامل. (س> 7 )
الرقم هو ما بين أثنين (2 ) و (10 ​​). (2 <س <10 )
الرقم على الأقل (5 ) و على الأكثر (15 ). (5 leq x leq 15 )
يجوز لعدد نطاق من (5 ) إلى (15 ). (5 leq x leq 15 )
جدول ( PageIndex {7} )

كما هو الحال مع جميع التطبيقات ، اقرأ المشكلة بعناية عدة مرات وابحث عن الكلمات والعبارات الرئيسية. تحديد المجهول وتعيين المتغيرات. بعد ذلك ، ترجم الصياغة إلى متباينة رياضية. أخيرًا ، استخدم الخصائص التي تعلمتها لحل المتباينة والتعبير عن الحل بيانيًا أو في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {9} ):

سبعة أقل من (3 ) مرات مجموع رقم و (5 ) على الأكثر (11 ). ابحث عن جميع الأرقام التي تحقق هذا الشرط.

حل

أولاً ، اختر متغيرًا للرقم المجهول وحدد الكلمات والعبارات الرئيسية.

يترك ن تمثل المجهول المشار إليه بـ "رقم.”

حل من أجل ن.

إجابه:

أي رقم أقل من أو يساوي (1 ) سيلبي العبارة.

مثال ( PageIndex {10} ):

للحصول على B في مادة الرياضيات يجب أن يكون معدل الاختبار على الأقل (80 )٪ وأقل من (90 )٪. إذا حصلت طالبة على (92 )٪ ، (96 )٪ ، (79 )٪ ، و (83 )٪ في الاختبارات الأربعة الأولى ، ما الذي يجب أن تسجله في الاختبار الخامس للحصول على B ؟

حل

قم بإعداد متباينة مركبة حيث يكون متوسط ​​الاختبار بين (80 )٪ و (90 )٪. في هذه الحالة ، قم بتضمين الحد الأدنى ، (80 ).

يترك x تمثل النتيجة في الاختبار الخامس.

( start {align} 80 quad leq quad & color {Cerulean} {test : average} quad quad quad quad <90 80 quad leq quad & frac {92 + 96 + 79 + 83 + x} {5} <90 color {Cerulean} {5} color {Black} { cdot} 80 leq quad & color {Cerulean} {5} color { أسود} { cdot} frac {350 + x} {5} quad quad quad quad quad < color {Cerulean} {5} color {Black} { cdot} 90 400 leq quad & 350 + x quad quad quad quad quad quad : : : <45 50 leq quad & x quad quad quad quad quad quad quad quad quad : : <100 end {align} )

إجابه:

أن تحصل على درجة لا تقل عن (50 )٪ وأقل من (100 )٪.

في المثال السابق ، لم يكن الحد العلوي (100 )٪ جزءًا من مجموعة الحلول. ماذا سيحدث لو حصلت على (100 )٪ في الاختبار الخامس؟

( begin {align} text {average} & = frac {92 + 96 + 79 + 83 + color {Cerulean} {100}} { color {Black} {5}} & = frac {450} {5} & = 90 end {align} )

كما نرى ، فإن متوسطها سيكون (90 )٪ ، مما يكسبها أ.

الماخذ الرئيسية

  • عادةً ما يكون لعدم المساواة عدد لا نهائي من الحلول. يتم تقديم الحلول بيانياً على خط الأعداد أو باستخدام تدوين الفاصل الزمني أو كليهما.
  • جميع قواعد حل المتباينات الخطية باستثناء واحدة منها هي نفسها قواعد حل المعادلات الخطية. إذا قمت بقسمة أو ضرب متباينة على رقم سالب ، قم بعكس المتباينة للحصول على متباينة مكافئة.
  • تتطلب عدم المساواة المركبة التي تتضمن كلمة "أو" أن نحل كل متباينة وتشكيل اتحاد كل مجموعة حلول. هذه هي القيم التي تحل واحدة على الأقل من المتباينات المعطاة.
  • تتطلب المتباينات المركبة التي تتضمن كلمة "و" تقاطع مجموعات الحلول لكل متباينة. هذه هي القيم التي تحل كل من المتباينات المعطاة أو كلها.
  • تنطبق المبادئ التوجيهية العامة لحل مشاكل الكلمات على التطبيقات التي تنطوي على عدم المساواة. كن على دراية بقائمة جديدة من الكلمات والعبارات الرئيسية التي تشير إلى إعداد رياضي يتضمن عدم المساواة.

تمرين ( PageIndex {4} )

حدد ما إذا كانت القيمة المعطاة حلاً أم لا.

  1. (5 × - 1 <- 2 ؛ س = - 1 )
  2. (- 3 س + 1> - 10 ؛ س = 1 )
  3. (2 × - 3 <- 5 ؛ س = 1 )
  4. (5 × - 7 <0 ؛ س = 2 )
  5. (9 ص - 4 جيك 5 ؛ ص = 1 )
  6. (- 6 ص + 1 leq 3 ؛ ص = - 1 )
  7. (12 أ + 3 leq - 2 ؛ أ = - فارك {1} {3} )
  8. (25 أ - 2 leq - 22 ؛ أ = - فارك {4} {5} )
  9. (- 10 <2 x - 5 <- 5؛ x = - frac {1} {2} )
  10. (3 x + 8 <- 2 text {or} 4 x - 2> 5؛ x = 2 )
إجابه

1. نعم

3. لا

5. نعم

7. لا

9. نعم

تمرين ( PageIndex {5} )

ارسم كل الحلول على خط الأعداد وقدم تدوين الفاصل المقابل.

  1. (3 س + 5> - 4 )
  2. (2 × + 1> - 1 )
  3. (5-6 ص <- 1 )
  4. (7-9 سنوات> 43 )
  5. (6 - أ leq 6 )
  6. (- 2 أ + 5> 5 )
  7. ( frac {5 x + 6} {3} leq 7 )
  8. ( frac {4 x + 11} {6} leq frac {1} {2} )
  9. ( frac {1} {2} y + frac {5} {4} geq frac {1} {4} )
  10. ( frac {1} {12} y + frac {2} {3} leq frac {5} {6} )
  11. (2 (3 × + 14) <- 2 )
  12. (5 (2 ص + 9)> - 15 )
  13. (5-2 (4 + 3 ص) leq 45 )
  14. (- 12 + 5 (5-2 ×) <83 )
  15. (6 (7 - 2 أ) + 6 أ leq 12 )
  16. (2 أ + 10 (4 - أ) جيك 8 )
  17. (9 (2 طن - 3) - 3 (3 طن + 2) <30 )
  18. (- 3 (ر - 3) - (4 - ر)> 1 )
  19. ( frac {1} {2} (5 x + 4) + frac {5} {6} x> - frac {4} {3} )
  20. ( frac {2} {5} + frac {1} {6} (2 × - 3) geq frac {1} {15} )
  21. (5 × - 2 (س - 3) <3 (2 × - 1) )
  22. (3 (2 × - 1) - 10> 4 (3 × - 2) - 5 × )
  23. (- 3 ص جيك 3 (ص + 8) + 6 (ص - 1) )
  24. (12 leq 4 (ص - 1) + 2 (2 ص + 1) )
  25. (- 2 (5 ر - 3) - 4> 5 (- 2 ر + 3) )
  26. (- 7 (3 ر - 4)> 2 (3-10 طن) - t )
  27. ( frac {1} {2} (x + 5) - frac {1} {3} (2 x + 3)> frac {7} {6} x + frac {3} {2} )
  28. (- frac {1} {3} (2 x - 3) + frac {1} {4} (x - 6) geq frac {1} {12} x - frac {5} {4 } )
  29. (4 (3 × + 4) جيك 3 (6 × + 5) - 6 × )
  30. (1-4 (3 س + 7) <- 3 (س + 9) - 9 س )
  31. (6 - 3 (2 أ - 1) leq 4 (3 - أ) + 1 )
  32. (12-5 (2 أ + 6) جيك 2 (5-4 أ) - أ )
إجابه

1. ((- 3 ، infty) ) ؛

Fالشكل 1.8.12

3. ((1 ، infty) ) ؛

5. ([0، infty) )؛

7. ((- infty، 3] ) ؛

9. ([- 2، infty) )؛

11. ((- infty ، - 5) ) ؛

13. ([- 8، infty) )؛

15. ([5، infty) )؛

17. ((- infty ، 7) ) ؛

19. ((- 1 ، infty) ) ؛

21. ((3 ، infty) ) ؛

23. ( left (- infty، - frac {3} {2} right] ) ؛

25. ( emptyset ) ؛

27. ((- infty ، 0) ) ؛

29. ( mathbb {R} ) ؛

31. ([- 2 ، infty) ) ؛

تمرين ( PageIndex {6} )

ارسم كل الحلول على خط الأعداد وقدم تدوين الفاصل المقابل.

  1. (- 1 <2 س + 1 <9 )
  2. (- 4 <5 س + 11 <16 )
  3. (- 7 leq 6 ص - 7 leq 17 )
  4. (- 7 leq 3 ص + 5 leq 2 )
  5. (- 7 < frac {3 x + 1} {2} leq 8 )
  6. (- 1 leq frac {2 x + 7} {3} <1 )
  7. (- 4 leq11-5 طن <31 )
  8. (15 <12 - t leq 16 )
  9. (- frac {1} {3} leq frac {1} {6} a + frac {1} {3} leq frac {1} {2} )
  10. (- frac {1} {6} < frac {1} {3} a + frac {5} {6} < frac {3} {2} )
  11. (5 x + 2 <- 3 text {or} 7 x - 6> 15 )
  12. (4 x + 15 leq - 1 text {or} 3 x - 8 geq - 11 )
  13. (8 x - 3 leq 1 text {or} 6 x - 7 geq 8 )
  14. (6 × + 1 <- 3 نص {أو} 9 × - 20> - 5 )
  15. (8 × - 7 <1 نص {أو} 4 × + 11> 3 )
  16. (10 ​​x - 21 <9 text {or} 7 x + 9 geq 30 )
  17. (7 + 2 y <5 text {or} 20 - 3 y> 5 )
  18. (5 - ص <5 نص {أو} 7-8 سنوات leq 23 )
  19. (15 + 2 x <- 15 text {or} 10-3 x> 40 )
  20. (10 ​​- frac {1} {3} x leq 5 text {or} 5 - frac {1} {2} x leq 15 )
  21. (9 - 2 × leq 15 نص {and} 5 × - 3 leq 7 )
  22. (5 - 4 x> 1 text {and} 15 + 2 x geq 5 )
  23. (7 ص - 18 <17 نص {و} 2 ص - 15 <25 )
  24. (13 y + 20 geq 7 text {and} 8 + 15 y> 8 )
  25. (5 - 4 × leq 9 نص {and} 3 × + 13 leq 1 )
  26. (17-5 x geq 7 text {and} 4 x - 7> 1 )
  27. (9 y + 20 leq 2 text {and} 7 y + 15 geq 1 )
  28. (21-6 سنوات leq 3 نص {and} - 7 + 2 عام leq - 1 )
  29. (- 21 <6 (س - 3) <- 9 )
  30. (0 leq 2 (2 × + 5) <8 )
  31. (- 15 leq 5 + 4 (2 ص - 3) <17 )
  32. (5 <8 - 3 (3-2 ص) leq 29 )
  33. (5 <5 - 3 (4 + ر) <17 )
  34. (- 3 leq 3 - 2 (5 + 2 t) leq 21 )
  35. (- 40 <2 (x + 5) - (5 - x) leq - 10 )
  36. (- 60 leq 5 (x - 4) - 2 (x + 5) leq 15 )
  37. (- frac {1} {2} < frac {1} {30} (x - 10) < frac {1} {3} )
  38. (- frac {1} {5} leq frac {1} {15} (x - 7) leq frac {1} {3} )
  39. (- 1 leq frac {a + 2 (a - 2)} {5} leq 0 )
  40. (0 < frac {5 + 2 (أ - 1)} {6} <2 )
إجابه

1. ((- 1,4 ));

3. ([0,4]);

5. ((−5,5]);

7. ((−4,3]);

9. ([−4,1]);

11. ((−∞,−1)∪(3,∞));

13. ((−∞,12]∪[52,∞));

15. (ℝ ) ؛

17. ((−∞,5));

19. ((−∞,−10));

21. ([−3,2]);

23. ((−∞,5));

25. (Ø ) ؛

27. (−2);

29. ((−12,32));

31. ([−1,3));

33. ((−8,−4));

35. ((−15,−5]);

37. ((−5,20));

39. ([−13, 43]);

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد كل الأرقام التي تحقق الشرط المعطى.

  1. ثلاثة أقل من ضعف مجموع رقم و (6 ) على الأكثر (13 ).
  2. خمسة أقل من (3 ) مرات مجموع الرقم و (4 ) على الأكثر (10 ​​).
  3. خمسة أضعاف مجموع عدد و (3 ) يساوي (5 ) على الأقل.
  4. ثلاثة أضعاف الفرق بين رقم و (2 ) يساوي على الأقل (12 ).
  5. مجموع (3 ) مرات عدد و (8 ) بين (2 ) و (20 ).
  6. ثمانية أقل من ضعف العدد يقع بين (- 20 ) و (- 8 ).
  7. أربعة مطروح من ثلاثة أضعاف عدد ما بين (- 4 ) و (14 ).
  8. تسعة مطروح من (5 ) مرات ، يكون بعض الأرقام بين (1 ) و (11 ).
إجابه

1. ((- infty، 2] )

3. ([- 2، infty) )

5. (( - 2,4 ))

7. (( 0,6 ))

تمرين ( PageIndex {8} )

ضع متباينة جبرية ثم حلها.

  1. مع عضوية نادي الجولف ، بتكلفة (120 دولارًا ) شهريًا ، تكلفة كل جولة جولف فقط (35.00 دولارًا ). كم عدد جولات الجولف التي يمكن للعضو أن يلعبها إذا رغب في الحفاظ على تكاليفه (270 دولارًا ) شهريًا على الأكثر؟
  2. تكلفة استئجار الشاحنة (95 دولارًا ) في اليوم بالإضافة إلى (0.65 دولار ) لكل ميل تقوده. كم عدد الأميال التي يمكن قطعها على تأجير ليوم واحد للحفاظ على التكلفة بحد أقصى (120 دولارًا )؟
  3. حصل مارك على (6 ، 7 ) ، و (10 ​​) نقاط من (10 ​​) في الاختبارات الثلاثة الأولى. ما الذي يجب أن يسجله في الاختبار الرابع حتى يكون متوسط ​​ (8 ) على الأقل؟
  4. حصل Joe على درجات (78 ، 82 ، 88 ) و (70 ) في اختبارات الجبر الأربعة الأولى له. ما الذي يجب أن يحرزه في الامتحان الخامس بمعدل لا يقل عن (80 )؟
  5. سجل اللاعب (13.2 ، 13.0 ، 14.3 ، 13.8 ) ، و (14.6 ) في الأحداث الخمسة الأولى. ما الذي يجب أن يسجله في الحدث السادس بمتوسط ​​ (14.0 ) على الأقل؟
  6. سجلت راقصة (7.5 ) و (8.2 ) من أول قاضيين. ما الذي يجب أن تحصل عليه من القاضي الثالث كما لو كانت بمتوسط ​​ (8.4 ) أو أعلى؟
  7. إذا كانت الزاوية مرتين بين (180 ) درجة و (270 ) درجة ، فما هي حدود الزاوية الأصلية؟
  8. يجب أن يكون محيط المربع بين (120 ) بوصة و (460 ) بوصة. أوجد طول كل الأضلاع الممكنة التي تحقق هذا الشرط.
  9. يتم ضبط الكمبيوتر على الإغلاق إذا تجاوزت درجة الحرارة (45 ) درجة مئوية. اكتب تعليمة مكافئة باستخدام الدرجات فهرنهايت. تلميح: (C = frac {5} {9} (F - 32) ).
  10. يعتبر مانع تجمد معين فعالاً في نطاق درجة حرارة (- 35 ) درجة مئوية إلى (120 ) درجة مئوية. أوجد النطاق المكافئ بالدرجات فهرنهايت.
إجابه

1. يمكن للأعضاء أن يلعبوا (4 ) جولات أو أقل.

3. يجب أن تكسب العلامة ما لا يقل عن (9 ) نقاط في الاختبار الرابع.

5. يجب أن يسجل a (15.1 ) في الحدث السادس.

7. قياس الزاوية بين (90 ) درجة و (135 ) درجة.

9. سيتم إيقاف تشغيل الكمبيوتر عندما تتجاوز درجة الحرارة (113 ) درجة فهرنهايت.

تمرين ( PageIndex {9} )

  1. غالبًا ما يعكس الطلاب عدم المساواة عند حل (5x + 2 <18 )؟ لماذا تعتقد أن هذا خطأ شائع؟ اشرح لطالب مبتدئ في الجبر لماذا لا نفعل ذلك.
  2. قم بإجراء بحث على الويب عن "حل التفاوتات الخطية". شارك رابطًا إلى موقع ويب أو فيديو تعليمي تعتقد أنه مفيد.
  3. اكتب ملاحظاتك الرئيسية (5 ) لهذا الفصل بأكمله. ما الذي وجدته للمراجعة وما الذي وجدته ليكون جديدًا؟ شارك بأفكارك على لوحة المناقشة.
إجابه

1. قد تختلف الإجابة

3. قد تختلف الإجابة

الحواشي

138التعبيرات الخطية المتعلقة بالرموز (≤ ، <، ≥ ، ) و (> ).

139رقم حقيقي ينتج بيانًا صحيحًا عندما يتم استبدال قيمته بالمتغير.

140تستخدم الخصائص للحصول على متباينات مكافئة وتستخدم كوسيلة لحلها.

141عدم المساواة التي تشترك في نفس مجموعة الحلول.

142اثنين أو أكثر من عدم المساواة في بيان واحد مع كلمة "و" أو بكلمة "أو".


عدم المساواة الخطية في متغير واحد مع الكسور

حل المتباينة الخطية التالية:

[(-10 x - 9) / 12] x 12 ≥ -6 x 12

قسّم على -10 & # xa0 على كلا الجانبين

ومن ثم ، فإن مجموعة حل المتباينة المعطاة هي

حل المتباينة الخطية التالية & # xa0

اضرب ب 15 في كلا الطرفين

اضرب ب 4 في كلا الطرفين

اطرح 15x على كلا الجانبين

ومن ثم ، فإن مجموعة حل المتباينة المعطاة هي

حل المتباينة الخطية التالية & # xa0

اضرب ب 10 في كلا الطرفين

اضرب ب 3 في كلا الطرفين

اطرح 10 في كلا الطرفين

9x - 10x + 60 & # xa0 ≥ 10x - 10x - 10x - 60

اطرح 60 لكلا الطرفين

قسّم على (-1) على كلا الجانبين

ومن ثم ، فإن مجموعة حل المتباينة المعطاة هي & # xa0

بعد الاطلاع على الأشياء المذكورة أعلاه ، نأمل أن يكون الطلاب قد فهموا كيفية حل المتباينات الخطية في متغير واحد بالكسور. & # xa0

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا. & # xa0 & # xa0 حل التفاوتات الخطية في أمثلة متغيرة واحدة

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


1.8: حل المتباينات الخطية بمتغير واحد

أ معادلة خط مستقيم هي معادلة خط مستقيم ، مكتوبة في متغير واحد. القوة الوحيدة للمتغير هي 1. قد تأخذ المعادلات الخطية في متغير واحد الشكل [اللاتكس] ax + b = 0 [/ latex] ويتم حلها باستخدام العمليات الجبرية الأساسية.

نبدأ بتصنيف المعادلات الخطية في متغير واحد كواحد من ثلاثة أنواع: المطابقة أو الشرطية أو غير المتسقة. ان معادلة الهوية هذا صحيح لجميع قيم المتغير. هنا مثال على معادلة الهوية.

ال مجموعة الحل يتكون من جميع القيم التي تجعل المعادلة صحيحة. بالنسبة لهذه المعادلة ، فإن مجموعة الحلول هي جميع الأعداد الحقيقية لأن أي رقم حقيقي يتم استبداله بـ [اللاتكس] x [/ اللاتكس] سيجعل المعادلة صحيحة.

أ معادلة شرطية هذا صحيح لبعض قيم المتغير فقط. على سبيل المثال ، إذا أردنا حل المعادلة [اللاتكس] 5x + 2 = 3x - 6 [/ latex] ، فلدينا ما يلي:

تتكون مجموعة الحلول من رقم واحد: [لاتكس] <- 4 > [/ لاتكس]. إنه الحل الوحيد ، وبالتالي ، فقد حللنا معادلة شرطية.

ان معادلة غير متناسقة ينتج عنه بيان خاطئ. على سبيل المثال ، إذا أردنا حل مشكلة [اللاتكس] 5x - 15 = 5 left (x - 4 right) [/ latex] ، فلدينا ما يلي:

في الواقع ، [اللاتكس] -15 ne -20 [/ اللاتكس]. لا يوجد حل لأن هذه معادلة غير متسقة.

يتضمن حل المعادلات الخطية في متغير واحد الخصائص الأساسية للمساواة والعمليات الجبرية الأساسية. فيما يلي استعراض موجز لهذه العمليات.

ملاحظة عامة: المعادلة الخطية في متغير واحد

يمكن كتابة معادلة خطية في متغير واحد بالصيغة

أين أ و ب هي أرقام حقيقية ، [اللاتكس] a ne 0 [/ اللاتكس].

الكيفية: باستخدام معادلة خطية في متغير واحد ، استخدم الجبر لحلها.

تُستخدم الخطوات التالية لمعالجة المعادلة وعزل المتغير المجهول ، بحيث يقرأ السطر الأخير x = _________ ، إذا x هو المجهول. لا يوجد ترتيب محدد ، حيث تعتمد الخطوات المستخدمة على ما يتم تقديمه:

  1. يمكننا جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة معادلة على رقم أو تعبير طالما أننا نفعل الشيء نفسه لكلا طرفي علامة التساوي. لاحظ أنه لا يمكننا القسمة على صفر.
  2. قم بتطبيق خاصية التوزيع حسب الحاجة: [لاتكس] أ يسار (ب + ج يمين) = أب + أك [/ لاتكس].
  3. افصل المتغير في أحد طرفي المعادلة.
  4. عندما يتم ضرب المتغير بمعامل في المرحلة النهائية ، اضرب طرفي المعادلة في مقلوب المعامل.

مثال 1: حل معادلة في متغير واحد

حل المعادلة التالية: [لاتكس] 2x + 7 = 19 [/ لاتكس].

حل

يمكن كتابة هذه المعادلة بالصيغة [لاتكس] فأس + ب = 0 [/ لاتكس] بطرح [لاتكس] 19 [/ لاتكس] من كلا الجانبين. ومع ذلك ، يمكننا المضي قدمًا في حل المعادلة في شكلها الأصلي عن طريق إجراء عمليات جبرية.

الحل هو [اللاتكس] x = 6 [/ اللاتكس].

جربه 1

حل المعادلة الخطية في متغير واحد: [اللاتكس] 2x + 1 = -9 [/ اللاتكس].

مثال 2: حل معادلة جبريًا عندما يظهر المتغير في كلا الجانبين

حل المعادلة التالية: [لاتكس] 4 يسار (س - 3 يمين) + 12 = 15-5 يسار (س + 6 يمين) [/ لاتكس].

حل

تطبيق الخصائص الجبرية القياسية.

تحليل الحل

تتطلب هذه المشكلة تطبيق خاصية التوزيع مرتين ، ثم يتم استخدام خصائص الجبر للوصول إلى السطر الأخير ، [اللاتكس] x = - frac <5> <3> [/ latex].

جربه 2

حل المعادلة في متغير واحد: [لاتكس] -2 يسار (3 س - 1 يمين) + س = 14-س [/ لاتكس].


مثال 3

حل نظام المتباينات الخطية التالية بمتغير واحد. اكتب مجموعة الحلول في تدوين الفترة ومثل النظام على خط الأعداد.

حل

لإيجاد مجموعة الحلول ، سنحل المتباينة أعلاه بخطوات متعددة.

الخطوة 1 - حل المتباينات في النظام بشكل منفصل

أولاً ، حل المتباينة الأولى في النظام مثل هذا:

طبق عمليات الجمع والطرح الأساسية لتبسيط المتباينة المذكورة أعلاه:

ستؤدي إضافة 4 إلى كلا جانبي عدم المساواة إلى:

طرح او خصم من كلا جانبي المتباينة لعزل المتغير على جهة يدك اليسار:

الآن ، لحل الجزء الثاني من المتباينة ، اجمع المصطلحات المتشابهة كما تفعل أثناء حل المعادلات الخطية:

قسّم كلا الطرفين على 4 لتحصل على المتباينة الناتجة في شكل مبسط:

الخطوة 2 - كتابة مجموعة حل كل من المتباينات في تدوين الفترة بشكل منفصل

تبسيط المتباينة الأولى قدم لنا . سيتم كتابة تدوين الفترة الخاصة بالمتباينة الأولى على النحو التالي:

وبالمثل ، عن طريق تبسيط المتباينة الثانية حصلنا . سيتم كتابة تدوين الفترة الخاصة بالمتباينة الثانية على النحو التالي:

الخطوة 3 - جمع مجموعة الحلول في فترة تدوين كلتا المتراجحتين

الآن ، سنجمع مجموعة الحل على شكل فترة لكلتا المتراجحتين. تدوين الفترة الخاصة بالمتباينة الأولى هو ومجموعة الحل في فترة تدوين المتباينة الثانية هي . اجمع بين هاتين المتباينتين مثل هذا:

يو

ستكتب مجموعة الحل النهائي في رمز الفترة بأخذ نقطة البداية الأصغر ونقاط النهاية الأكبر من فواصل المتراجحتين. بما أن نقطة البداية الأصغر هي 1 ونقطة النهاية الأكبر هي ، لذلك سيكون تدوين الفاصل الزمني للنظام:

الحل النهائي هو فترة مفتوحة.

الخطوة 4 - تمثيل مجموعة الحل على خط الأعداد

تدوين الفاصل لنظام المتباينات هو . إنه يوضح أن الفاصل الزمني يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. على خط الأعداد ، سيبدو كما يلي:

يمكنك أن ترى أنه نظرًا لعدم تضمين الرقم 1 في الفترة الزمنية ، لذلك استخدمنا الدائرة المفتوحة لتمثيلها على خط الأعداد.


هيا بنا نبدأ

ا (3) الدوال والمعادلات والمتباينات الخطية. يطبق الطالب معايير العملية الرياضية عند استخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية والسمات الرئيسية والتحولات ذات الصلة لتمثيل بطرق متعددة وحل المعادلات والمتباينات وأنظمة المعادلات بطرق متعددة وبدونها. يتوقع من الطالب أن:

أ (3) (د) رسم بيانيًا لمجموعة حل المتباينات الخطية في متغيرين على المستوى الإحداثي

ا (5) الدوال والمعادلات والمتباينات الخطية. يطبق الطالب معايير العملية الرياضية لحل المعادلات الخطية باستخدام التكنولوجيا وبدونها وتقييم مدى معقولية حلولها. يتوقع من الطالب أن:

أ (5) (ب) حل المتباينات الخطية في متغير واحد ، بما في ذلك تلك التي يكون فيها تطبيق خاصية التوزيع ضروريًا والتي من أجلها يتم تضمين المتغيرات في كلا الجانبين

هدف (أهداف) المورد

سيمثل الطالب المتباينات الخطية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية. سيحل الطالب المتباينات الخطية باستخدام الرسوم البيانية أو خصائص المساواة ، ويحدد ما إذا كانت نقطة معينة هي حل لعدم المساواة الخطية أم لا.

أسئلة أساسية

كيف تعرف متى يجب استخدام خط متصل أو متقطع عند رسم متباينة بيانية؟

كيف تعرف ما إذا كان يجب التظليل أعلى أو أسفل الخط عند رسم متباينة بيانية؟

ما هي أوجه التشابه والاختلاف في رسم معادلة بيانية بصيغة الميل والمقطع ، وعدم المساواة في صيغة الميل والمقطع؟


3.1: حل خطوة واحدة من المتباينات الخطية

هل يمكنك حل مشكلة عدم المساواة مثل x & minus12 & gt & minus5؟

المتباينات الخطية

لحل المتباينة ، يجب أن نعزل المتغير الموجود على أحد جانبي علامة المتباينة. لعزل المتغير ، نستخدم نفس الأساليب الأساسية المستخدمة في حل المعادلات.

يمكننا حل بعض المتباينات عن طريق إضافة أو طرح ثابت من أحد طرفي المتباينة.

حل المتباينة ورسم مجموعة الحلول بيانيًا.

يضيف 3 لكلا طرفي المتباينة: x & minus3 + 3 & lt10 + 3

حل المتباينة ورسم مجموعة الحلول بيانيًا.

بدء عدم المساواة: x & minus20 & le14

يضيف 20 لكلا جانبي المتباينة: x & minus20 + 20 & le14 + 20

حل المتباينات باستخدام الضرب والقسمة

يمكننا أيضًا حل المتباينات بضرب أو قسمة كلا الطرفين على ثابت. على سبيل المثال ، لحل المتباينة 5x و lt3 ، نقسم كلا الطرفين على 5 لنحصل على x & lt35.

ومع ذلك ، يحدث شيء مختلف عندما نضرب أو نقسم على رقم سالب. نعلم ، على سبيل المثال ، أن 5 أكبر من 3. ولكن إذا ضربنا كلا طرفي المتباينة 5 & gt3 في -2 ، فسنحصل على & ناقص 10 & gt & ناقص 6. ونعلم أن & rsquos ليس صحيحًا -10 أقل من -6.

يحدث هذا عندما نضرب أو نقسم متباينة على رقم سالب ، وبالتالي علينا قلب الإشارة لجعل المتباينة صحيحة. على سبيل المثال ، لضرب 2 & lt4 في -3 ، نقوم أولاً بضرب 2 و 4 في -3 ، ثم نغير علامة & lt إلى علامة & gt ، لذلك ينتهي بنا المطاف بـ & سالب 6 & gt & ناقص 12.

ينطبق نفس المبدأ عندما تحتوي المتباينة على متغيرات.

حل المتباينة.

قسّم كلا الجانبين على 4: 4x4 & lt244

حل المتباينة.

قسّم كلا الجانبين على -5: & سالب 5 س & ناقص 5 & ج 21 & ناقص 5 اقلب علامة عدم المساواة.

أمثلة

طرح او خصم 8 من كلا جانبي عدم المساواة: x + 8 & minus8 & le & minus7 & minus8

طرح او خصم 4 من كلا جانبي عدم المساواة: x + 4 & minus4 & gt13 & minus4

اضرب كلا الجانبين في 25: 25 & sdot (x / 25) & lt (3/2) & sdot25

اضرب كلا الجانبين في -7: & ناقص 7 & sdot (x / & ناقص 7) & le9 & sdot (& ناقص 7) اقلب علامة عدم المساواة.

إعادة النظر

لحل كل متباينة من 1 إلى 8 ورسم الحل على خط الأعداد بيانيًا.

  1. x & ناقص 5 & lt35
  2. x + 15 & ge & minus60
  3. س & ناقص 2 & جنيه 1
  4. x & minus8 & gt & minus20
  5. x + 11 & GT13
  6. x + 65 & LT100
  7. س & ناقص 32 & جنيه 0
  8. x + 68 & ge75

لحل كل متباينة 9-12. اكتب الحل كمتباينة ورسمها بيانيًا.

مراجعة (الإجابات)

لمشاهدة إجابات المراجعة ، افتح ملف PDF وابحث عن القسم 6.2.

كلمات

مصطلح تعريف
خاصية التوزيع تنص الخاصية التوزيعية على أن ناتج التعبير والمبلغ يساوي مجموع حاصل ضرب التعبير وكل مصطلح في المجموع. على سبيل المثال ، أ (ب + ج) = أب + ج.
عدم المساواة الخطية التفاوتات الخطية هي التفاوتات التي يمكن كتابتها في أحد الأشكال الأربعة التالية: ax + b & gtc أو ax + b & ltc أو ax + b & gec أو ax + b & lec.

مصادر إضافية

PLIX: العب ، تعلم ، تفاعل ، اكتشف: المتباينات الخطية: تذاكر الحفل


2. حل المتباينات الخطية

نحن بحاجة إلى توخي الحذر بشأن اشارة من المساواة عند الضرب أو القسمة على أرقام سالبة.

فيما يلي عدة أمثلة لحل المعادلات التي تنطوي على عدم المساواة.

مثال 1

علينا طرح "2" من كلا طرفي المتباينة.

الرسم البياني لهذا الحل كما يلي:

مثال 2

علينا ضرب طرفي المتباينة في "2".

هذا هو الرسم البياني لهذا الحل:

مثال 3

علينا قسمة طرفي المتباينة على "2".

هذا هو الرسم البياني لهذا الحل:

مثال 4

حل المتباينة 3 & ناقص 2x & جنرال الكتريك 15

في هذا المثال ، علينا طرح 3 من كلا الطرفين ثم قسمة كلا الطرفين على "-2" (تذكر تغيير اتجاه المتباينة).

هذا هو الرسم البياني لهذا الحل:

(لاحظ التغيير في المعنى بسبب القسمة على رقم سالب)

الشيك: تحقق دائمًا من الحل الخاص بك ويمكنك التأكد من صحة إجابتك.

في هذه الحالة ، أي رقم أقل من "-6" يجب & quotwork & quot في المعادلة الأصلية ، وأي رقم أكبر من "-6" يجب أن يفشل.

لنأخذ `x = -10` (رقم مناسب أقل من" -6 ")

LHS `= 3 & ناقص 2 (-10) = 3 + 20 = 23`. هذا أكثر من "15" لذلك هذا صحيح.

لنأخذ الآن `x = 0` (رقم مناسب أكبر من" -6 ")

LHS `= 3 & ناقص 2 (0) = 3`. هذا ليس أكثر من "15" ، وهو ما كنا نأمله.

لذلك يمكننا التأكد من أن إجابتنا صحيحة.

مثال 5

حل المتباينة `3/2 (1-x) & gt1 / 4-x`

بضرب كلا الطرفين في 4 يعطينا:

(لاحظ التغيير في المعنى في السطر الأخير بسبب القسمة على رقم سالب).


حل متغير واحد من المعادلات الخطية والمعادلات

عندما نستبدل المتغير بعدد صحيح ، يمكن أن تكون العبارة الناتجة صحيحة أو خاطئة. إذا كانت العبارة صحيحة ، فإن العدد الصحيح هو حل للمعادلة أو عدم المساواة. For solving a linear equation or inequality having only one variable, the following steps are followed, while still balancing the equation.

  1. Add or subtract like terms
  2. Isolate the variable
  3. Transpose or eliminate the terms
  4. Verify the answer.

Example: 1) Solve: 5x + 2 = 12

Keep the variable on the LHS and transpose all the other terms or the coefficient of x to the RHS.


شاهد الفيديو: الرياضيات. الصف التاسع. الوحدة الثانية. المتباينات الخطية بمتغير واحد (شهر اكتوبر 2021).