مقالات

1.5: تحليل كثيرات الحدود


أهداف التعلم

سيقوم الطلاب في هذا القسم بما يلي:

  • حلل العامل المشترك الأكبر في كثير الحدود إلى عوامل.
  • حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل.
  • عامل بالتجميع.
  • حلل مثلثًا ثلاثي الحدود إلى عوامل.
  • حلل فرق المربعات إلى عوامل.
  • حلل مجموع المكعبات وفرقها إلى عوامل.
  • حلل التعبيرات باستخدام الأسس الكسرية أو السالبة.

تخيل أننا نحاول العثور على مساحة من العشب حتى نتمكن من تحديد كمية بذور الحشائش التي يجب شراؤها. العشب هو الجزء الأخضر في الشكل ( PageIndex {1} ).

يمكن إيجاد مساحة المنطقة بأكملها باستخدام صيغة مساحة المستطيل.

[ begin {align *} A & = lw & = 10x times6x & = 60x ^ 2 ؛ الوحدات ^ 2 end {align *} ]

يجب طرح مناطق الأجزاء التي لا تتطلب بذور الحشائش من منطقة المنطقة بأكملها. تبلغ مساحة المنطقتين المربعتين (A = s ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 ؛ الوحدات ^ 2 ). المنطقة المستطيلة الأخرى لها جانب واحد من الطول (10x − 8 ) وطول جانب واحد (4 ) ، مما يعطي مساحة

[A = lw = 4 (10x − 8) = 40x − 32 ؛ نص {وحدات} ^ 2. لا يوجد رقم]

إذن ، المنطقة التي يجب طرحها لها مساحة

[2 (16) + 40x − 32 = 40x ؛ نص {وحدات} ^ 2. لا يوجد رقم]

تم العثور على مساحة المنطقة التي تتطلب بذور العشب بطرح (60x ^ 2−40x ؛ text {Units} ^ 2 ). يمكن أيضًا التعبير عن هذه المنطقة في شكل عامل كـ (20x (3x − 2) ؛ text {Units} ^ 2 ). يمكننا التأكد من أن هذا تعبير مكافئ عن طريق الضرب.

يمكن كتابة العديد من التعبيرات كثيرة الحدود في أشكال أبسط عن طريق التحليل. في هذا القسم ، سنلقي نظرة على مجموعة متنوعة من الطرق التي يمكن استخدامها لتحليل التعبيرات متعددة الحدود إلى عوامل.

تحليل العامل المشترك الأكبر لكثير الحدود

عندما ندرس الكسور ، نتعلم أن العامل المشترك الأكبر (GCF) لعددين هو أكبر عدد يقسم بالتساوي إلى كلا العددين. على سبيل المثال ، (4 ) هو العامل المشترك الأكبر (GCF) لـ (16 ) و (20 ) لأنه أكبر رقم يقسم بالتساوي إلى كل من (16 ) و (20 ) يعمل العامل المشترك الأكبر لكثيرات الحدود بنفس الطريقة: (4x ) هو العامل المشترك الأكبر لـ (16x ) و (20x ^ 2 ) لأنه أكبر متعدد الحدود ينقسم بالتساوي إلى كلاهما (16x ) و (20x ^ 2 ) .

عند تحليل التعبير متعدد الحدود إلى عوامل ، يجب أن تكون خطوتنا الأولى هي التحقق من وجود العامل المشترك الأكبر. ابحث عن العامل المشترك الأكبر في المعاملات ، ثم ابحث عن العامل المشترك الأكبر للمتغيرات.

التعريف: العامل المشترك الأكبر

ال العامل المشترك الاكبر (GCF) لكثيرات الحدود هو أكبر متعدد الحدود ينقسم بالتساوي إلى كثيرات الحدود.

Howto: بالنظر إلى تعبير متعدد الحدود ، استخرج العامل المشترك الأكبر

  1. حدد العامل المشترك الأكبر للمعاملات.
  2. حدد العامل المشترك الأكبر للمتغيرات.
  3. اجمع لإيجاد العامل المشترك الأكبر للتعبير.
  4. حدد ما يجب أن يضرب به العامل المشترك الأكبر للحصول على كل حد في التعبير.
  5. اكتب المقدار المحلل إلى عوامل باعتباره حاصل ضرب العامل المشترك الأكبر ومجموع الحدود التي نحتاج إلى الضرب فيها.

مثال ( PageIndex {1} ): تحليل العامل المشترك الأكبر

حلل العامل (6x ^ 3y ^ 3 + 45x ^ 2y ^ 2 + 21xy ).

المحلول

أولًا ، أوجد العامل المشترك الأكبر للتعبير. العامل المشترك الأكبر لـ (6 ) و (45 ) و (21 ) هو (3 ). العامل المشترك الأكبر لـ (x ^ 3 ) و (x ^ 2 ) و (x ) هو (x ). (لاحظ أن العامل المشترك الأكبر لمجموعة من التعبيرات في الشكل (x ^ n ) سيكون دائمًا الأس الأقل درجة.) و GCF لـ (y ^ 3 ) ، (y ^ 2 ) ، و (ص ) هو (ص ). اجمعهما لإيجاد العامل المشترك الأكبر لكثير الحدود ، (3xy ).

بعد ذلك ، حدد ما الذي يجب ضرب العامل المشترك الأكبر فيه للحصول على كل حد من كثير الحدود. نجد ذلك

  • (3xy (2x ^ 2y ^ 2) = 6x ^ 3y ^ 3 ) ،
  • (3xy (15xy) = 45x ^ 2y ^ 2 ) و
  • (3 س (7) = 21 س ص ).

أخيرًا ، اكتب المقدار المحلل إلى عوامل باعتباره حاصل ضرب العامل المشترك الأكبر ومجموع الحدود التي نحتاج إلى الضرب فيها.

[(3xy) (2x ^ 2y ^ 2 + 15xy + 7) nonumber ]

تحليل

بعد التحليل إلى عوامل ، يمكننا التحقق من عملنا بالضرب. استخدم خاصية التوزيع لتأكيد ذلك

[(3xy) (2x ^ 2y ^ 2 + 15xy + 7) = 6x ^ 3y ^ 3 + 45x ^ 2y ^ 2 + 21xy nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

حلل العامل (x (b ^ 2 − a) +6 (b ^ 2 − a) ) عن طريق سحب العامل المشترك للخارج.

إجابه

((ب ^ 2 − أ) (س + 6) )

تحليل ثلاثي الحدود بالمعامل الأول

على الرغم من أننا يجب أن نبدأ دائمًا بالبحث عن العامل المشترك الأكبر ، فإن سحب العامل المشترك الأكبر ليس الطريقة الوحيدة التي يمكن من خلالها تحليل التعبيرات متعددة الحدود إلى عوامل. كثير الحدود (x ^ 2 + 5x + 6 ) يحتوي على العامل المشترك الأكبر (1 ) ، ولكن يمكن كتابته على أنه حاصل ضرب العوامل ((x + 2) ) و ((x + 3) ) ).

يمكن تحليل ثلاثيات الشكل (x ^ 2 + bx + c ) بإيجاد رقمين بمنتج (c ) ومجموع (b ). يمكن تحليل ثلاثي الحدود (x ^ 2 + 10x + 16 ) ، على سبيل المثال ، باستخدام الأرقام (2 ) و (8 ) لأن حاصل ضرب هذه الأرقام هو (16 ) ومجموعها هو (10 ​​). يمكن إعادة كتابة ثلاثي الحدود كمنتج ((x + 2) ) و ((x + 8) ).

تصنيع ثلاثي باستخدام المعامل الرائد (1 )

يمكن كتابة ثلاثي من النموذج (x ^ 2 + bx + c ) في شكل عوامل مثل ((x + p) (x + q) ) حيث (pq = c ) و (p + ف = ب).

سؤال وجواب: هل يمكن تحليل كل ثلاثية على أنها منتج ذو حدين؟

لا ، لا يمكن تحليل بعض كثيرات الحدود إلى عوامل. يقال أن هذه كثيرات الحدود رئيس.

Howto: إعطاء ثلاثي الحدود بالصيغة (x ^ 2 + bx + c ) ، عامله

  1. قائمة عوامل (ج ).
  2. ابحث عن (p ) و (q ) ، زوج من العوامل (ج ) بمجموع (ب ).
  3. اكتب التعبير المحلل إلى عوامل ((x + p) (x + q) ).

مثال ( PageIndex {2} ): تحليل ثلاثي الحدود باستخدام المعامل الأول

حلل العامل (x ^ 2 + 2x − 15 ).

المحلول

لدينا ثلاثي الحدود مع المعامل الرئيسي (1 ) ، (ب = 2 ) ، و (ج = −15 ). علينا إيجاد عددين بحاصل ضرب (- 15 ) ومجموع (2 ). في الجدول ( PageIndex {1} ) ، نسرد العوامل حتى نجد زوجًا بالمجموع المطلوب.

جدول ( PageIndex {1} )
عوامل −15مجموع العوامل
1,−15−14
−1,1514
3,−5−2
−3,5

الآن بعد أن حددنا (p ) و (q ) كـ (- 3 ) و (5 ) ، اكتب الصيغة المحللة كـ ((x − 3) (x + 5) ).

تحليل

يمكننا التحقق من عملنا بالضرب. استخدم FOIL لتأكيد أن ((x − 3) (x + 5) = x ^ 2 + 2x − 15 ).

سؤال وجواب: هل ترتيب العوامل مهم؟

لا. الضرب تبادلي ، لذا لا يهم ترتيب العوامل.

تمرين ( PageIndex {2} )

حلل العامل (x ^ 2−7x + 6 ).

إجابه

((س − 6) (س − 1) )

التخصيم بالتجميع

إن العوامل الثلاثية التي لها معاملات بادئة بخلاف (1 ) أكثر تعقيدًا إلى حد ما في التحليل. بالنسبة لهذه القيم الثلاثية ، يمكننا ذلك عامل بالتجميع بقسمة الحد x إلى مجموع حدين ، مع تحليل كل جزء من التعبير إلى عوامل على حدة ، ثم تحليل العامل المشترك الأكبر للتعبير بأكمله. يمكن إعادة كتابة ثلاثي الحدود (2x ^ 2 + 5x + 3 ) كـ ((2x + 3) (x + 1) ) باستخدام هذه العملية. نبدأ بإعادة كتابة التعبير الأصلي كـ (2x ^ 2 + 2x + 3x + 3 ) ثم تحليل كل جزء من التعبير للحصول على (2x (x + 1) +3 (x + 1) ). ثم نسحب العامل المشترك الأكبر لـ ((x + 1) ) لإيجاد التعبير المحلّل إلى عوامل.

عامل بالتجميع

لتحليل ثلاثي في ​​الشكل (ax ^ 2 + bx + c ) عن طريق التجميع ، نجد رقمين بمنتج (ac ) ومجموع (b ). نستخدم هذه الأرقام لتقسيم الحد (x ) إلى مجموع حدين وتحليل كل جزء من التعبير على حدة ، ثم حلل العامل المشترك الأكبر للتعبير بأكمله.

Howto: إعطاء ثلاثية في الشكل (ax ^ 2 + bx + c ) ، عامل بالتجميع.

  1. قائمة عوامل (ac ).
  2. ابحث عن (p ) و (q ) ، زوج من العوامل (ac ) بمجموع (b ).
  3. أعد كتابة التعبير الأصلي كـ (ax ^ 2 + px + qx + c ).
  4. اسحب GCF لـ (ax ^ 2 + px ).
  5. اسحب العامل المشترك الأكبر للخارج لـ (qx + c ).
  6. أخرج العامل المشترك الأكبر للتعبير.

مثال ( PageIndex {3} ): تحليل ثلاثي الحدود بالتجميع

حلل إلى عوامل (5x ^ 2 + 7x − 6 ) عن طريق التجميع.

المحلول

لدينا ثلاثية الحدود مع (أ = 5 ) ، (ب = 7 ) ، و (ج = −6 ). أولاً ، حدد (ac = −30 ). علينا إيجاد عددين بحاصل ضرب (- 30 ) ومجموع (7 ). في الجدول أدناه ، نقوم بسرد العوامل حتى نجد زوجًا بالمجموع المطلوب.

جدول ( PageIndex {2} )
عوامل −30مجموع العوامل
1,−30−29
−1,3029
2,−15−13
−2,1513
3,−10−7
−3,107

لذلك (ع = -3 ) و (ف = 10 ).

(5x ^ 2−3x + 10x − 6 ) أعد كتابة التعبير الأصلي كـ (ax ^ 2 + px + qx + c ).

(x (5x − 3) +2 (5x − 3) ) أخرج العامل المشترك الأكبر لكل جزء

((5x − 3) (x + 2) ) أخرج العامل المشترك الأكبر للتعبير.

تحليل

يمكننا التحقق من عملنا بالضرب. استخدم FOIL لتأكيد أن ((5x − 3) (x + 2) = 5x ^ 2 + 7x − 6 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

عامل:

  1. (2 س ^ 2 + 9 س + 9 )
  2. (6 س ^ 2 + س − 1 )
الإجابة أ

((2 س + 3) (س + 3) )

الجواب ب

((3x-1) (2x + 1) )

تحليل ثلاثي الحدود المربع الكامل

ثلاثي الحدود المربع الكامل هو ثلاثي الحدود يمكن كتابته كمربع ذي الحدين. تذكر أنه عند تربيع ذات الحدين ، تكون النتيجة هي مربع الحد الأول مضافًا إلى ضعف حاصل ضرب الحدين ومربع الحد الأخير.

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = {(a + b)} ^ 2 ]

و

[a ^ 2-2ab + b ^ 2 = {(a-b)} ^ 2 ]

يمكننا استخدام هذه المعادلة لتحليل أي مربع كامل ثلاثي الحدود.

الكمال ثلاثي الحدود المربع

يمكن كتابة ثلاثي الحدود المربع الكامل كمربع ذي الحدين:

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 ]

Howto: بإعطاء ثلاثية حدود مربعة كاملة ، حللها في مربع ذات الحدين

  1. تأكد من أن الحد الأول والأخير مربعان كاملان.
  2. تأكد من أن الحد الأوسط هو ضعف حاصل ضرب (أب ).
  3. اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل كـ ({(a + b)} ^ 2 ).

مثال ( PageIndex {4} ): تحليل ثلاثي الحدود المربع الكامل

حلل العامل (25x ^ 2 + 20x + 4 ).

المحلول

لاحظ أن (25x ^ 2 ) و (4 ) مربعان كاملان لأن (25x ^ 2 = {(5x)} ^ 2 ) و (4 = 2 ^ 2 ). ثم تحقق لمعرفة ما إذا كان الحد الأوسط هو ضعف حاصل ضرب (5x ) و (2 ). الحد الأوسط هو في الواقع ضعف الناتج: (2 (5x) (2) = 20x ). لذلك ، فإن ثلاثي الحدود هو ثلاثي الحدود التربيعي الكامل ويمكن كتابته كـ ({(5x + 2)} ^ 2 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

حلل العامل (49x ^ 2−14x + 1 ).

إجابه

({(7x − 1)} ^ 2 )

تحليل فرق المربعات

الفرق بين المربعات هو مربع كامل مطروح من مربع كامل. تذكر أنه يمكن إعادة كتابة فرق المربعات كعوامل تحتوي على نفس الحدود ولكن على علامات معاكسة لأن الحدود الوسطى تلغي بعضها البعض عند ضرب العاملين.

[أ ^ 2 − ب ^ 2 = (أ + ب) (أ − ب) ]

يمكننا استخدام هذه المعادلة لتحليل أي اختلافات في المربعات.

اختلافات المربعات

يمكن إعادة كتابة اختلاف المربعات كعاملين يحتويان على نفس الشروط ولكن علامات معاكسة.

[أ ^ 2 − ب ^ 2 = (أ + ب) (أ − ب) ]

Howto: بالنظر إلى اختلاف المربعات ، حللها في ذات الحدين

  1. تأكد من أن الحد الأول والأخير مربعان كاملان.
  2. اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل ك ((أ + ب) (أ − ب) ).

مثال ( PageIndex {5} ): تحليل فرق المربعات

حلل العامل (9x ^ 2−25 ).

المحلول

لاحظ أن (9x ^ 2 ) و (25 ) مربعان كاملان لأن (9x ^ 2 = {(3x)} ^ 2 ) و (25 = 5 ^ 2 ). تمثل كثيرة الحدود فرقًا بين المربعات ويمكن إعادة كتابتها كـ ((3x + 5) (3x − 5) ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حلل العامل (81y ^ 2−100 ).

إجابه

((9y + 10) (9y-10) )

سؤال وجواب: هل هناك معادلة لتحليل مجموع المربعات؟

لا ، لا يمكن تحليل مجموع المربعات إلى عوامل.

تحليل مجموع المكعبات وفرقها

الآن ، سنلقي نظرة على منتجين خاصين جديدين: مجموع المكعبات وفرقها. على الرغم من أنه لا يمكن تحليل مجموع المربعات إلى عوامل ، يمكن تحليل مجموع المكعبات إلى ثنائية الحدين وثلاثية الحدود.

[أ ^ 3 + ب ^ 3 = (أ + ب) (أ ^ 2 − أب + ب ^ 2) ]

وبالمثل ، يمكن تحليل مجموع المكعبات في ذات الحدين وثلاثية الحدود ، ولكن بعلامات مختلفة.

[أ ^ 3 − ب ^ 3 = (أ − ب) (أ ^ 2 + أب + ب ^ 2) ]

يمكننا استخدام الاختصار SOAP لتذكر العلامات عند تحليل مجموع المكعبات أو فرقها. يرتبط الحرف الأول من كل كلمة بالإشارات: نفس الشيء عكس إيجابي دائمًا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المثال التالي.

[س ^ 3−2 ^ 3 = (س − 2) (س ^ 2 + 2 س + 4) ]

علامة أول 2 هي نفس العلامة الموجودة بين (x ^ 3−2 ^ 3 ). إشارة الحد (2x ) هي عكس الإشارة الواقعة بين (x ^ 3−2 ^ 3 ). وعلامة الحد الأخير (4 ) موجبة دائمًا.

مجموع وفرق المكعبات

يمكننا تحليل مجموع مكعبين على النحو التالي

[أ ^ 3 + ب ^ 3 = (أ + ب) (أ ^ 2 − أب + ب ^ 2) ]

يمكننا تحليل الفرق بين مكعبين على النحو التالي

[أ ^ 3 − ب ^ 3 = (أ − ب) (أ ^ 2 + أب + ب ^ 2) ]

Howto: بالنظر إلى مجموع المكعبات أو اختلاف المكعبات ، قم بتحليلها

  1. تأكد من أن الحد الأول والأخير عبارة عن مكعبات ، (a ^ 3 + b ^ 3 ) أو (a ^ 3 − b ^ 3 ).
  2. لمجموع المكعبات ، اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل مثل ((أ + ب) (أ ^ 2 − أب + ب ^ 2) ). لفرق المكعبات ، اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل مثل ((أ − ب) (أ ^ 2 + أب + ب ^ 2) ).

مثال ( PageIndex {6} ): تحليل مجموع المكعبات

حلل العامل (x ^ 3 + 512 ).

المحلول

لاحظ أن (x ^ 3 ) و (512 ) مكعبان لأن (8 ^ 3 = 512 ). أعد كتابة مجموع المكعبات بالصيغة ((x + 8) (x ^ 2−8x + 64) ).

تحليل

بعد كتابة مجموع المكعبات بهذه الطريقة ، قد نعتقد أنه يجب علينا التحقق لمعرفة ما إذا كان يمكن تحليل الجزء ثلاثي الحدود إلى عوامل أخرى. ومع ذلك ، لا يمكن تحليل الجزء ثلاثي الحدود إلى عوامل ، لذلك لا نحتاج إلى التحقق.

تمرين ( PageIndex {6} )

حلل مجموع المكعبات إلى عوامل: (216a ^ 3 + b ^ 3 ).

إجابه

((6a + b) (36a ^ 2−6ab + b ^ 2) )

مثال ( PageIndex {7} ): تحليل فرق المكعبات

حلل العامل (8x ^ 3−125 ).

المحلول

لاحظ أن (8x ^ 3 ) و (125 ) مكعبان لأن (8x ^ 3 = {(2x)} ^ 3 ) و (125 = 5 ^ 3 ). اكتب فرق المكعبات بالصورة ((2x − 5) (4x ^ 2 + 10x + 25) ).

تحليل

تمامًا كما هو الحال مع مجموع المكعبات ، لن نتمكن من تحليل الجزء ثلاثي الحدود إلى عوامل أخرى.

تمرين ( PageIndex {7} )

حلل فرق المكعبات إلى عوامل: (1000x ^ 3−1 )

إجابه

((10x − 1) (100x ^ 2 + 10x + 1) )

تحليل المقادير ذات الأسس الكسرية أو السالبة

يمكن تحليل التعبيرات ذات الأسس الكسرية أو السالبة عن طريق سحب العامل المشترك الأكبر. ابحث عن المتغير أو الأس المشترك لكل حد من التعبير واسحب هذا المتغير أو الأس مرفوعًا إلى أقل قوة. تتبع هذه التعبيرات نفس قواعد التحليل مثل تلك ذات الأسس الصحيحة. على سبيل المثال ، يمكن تحليل (2x ^ { tfrac {1} {4}} + 5x ^ { tfrac {3} {4}} ) عن طريق سحب (x ^ { tfrac {1} {4 }} ) وإعادة كتابتها كـ (x ^ { tfrac {1} {4}} (2 + 5x ^ { tfrac {1} {2}}) ).

مثال ( PageIndex {8} ): تحليل التعبير باستخدام الأسس الكسرية أو السالبة

العامل (3x {(x + 2)} ^ {- tfrac {1} {3}} + 4 {(x + 2)} ^ { tfrac {2} {3}} ).

المحلول

أخرج الحد الأدنى من قيمة الأس. في هذه الحالة ، سيكون ذلك ({(x + 2)} ^ {- tfrac {1} {3}} ).

[ begin {align *} & (x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (3x + 4 (x + 2)) qquad text {Factor out the GCF} & ( x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (3x + 4x + 8) qquad text {Simplify} & (x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (7 س + 8) نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {8} )

العامل (2 {(5a − 1)} ^ { tfrac {3} {4}} + 7a {(5a − 1)} ^ {- tfrac {1} {4}} ).

إجابه

({(5a − 1)} ^ {- tfrac {1} {4}} (17a − 2) )

المعادلات الرئيسية

فرق المربعات (أ ^ 2 − ب ^ 2 = (أ + ب) (أ − ب) )
ثلاثي الحدود المربع الكامل (أ ^ 2 + 2 أب + ب ^ 2 = (أ + ب) ^ 2 )
مجموع المكعبات (أ ^ 3 + ب ^ 3 = (أ + ب) (أ ^ 2 − أب + ب ^ 2) )
فرق المكعبات (أ ^ 3 − ب ^ 3 = (أ − ب) (أ ^ 2 + أب + ب ^ 2) )
  • يمكن إخراج العامل المشترك الأكبر ، أو GCF ، إلى عوامل كثيرة الحدود. انظر المثال.
  • يمكن تحليل القيم الثلاثية ذات المعامل الرئيسي 1 إلى عوامل بإيجاد الأعداد التي لها حاصل ضرب الحد الثالث ومجموع الحد الثاني. انظر المثال.
  • يمكن تحليل القيم الثلاثية إلى عوامل باستخدام عملية تسمى التحليل عن طريق التجميع. انظر المثال.
  • تعد القيم الثلاثية للمربع الكامل وفرق المربعات منتجين خاصين ويمكن تحليلهما باستخدام المعادلات. انظر المثال والمثال.
  • يمكن تحليل مجموع المكعبات وفرق المكعبات باستخدام المعادلات. انظر المثال والمثال.
  • يمكن تحليل كثيرات الحدود التي تحتوي على الأسس الكسرية والسالبة عن طريق سحب العامل المشترك الأكبر. انظر المثال.


شاهد الفيديو: إثراء - تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية - رياضيات 5 (شهر اكتوبر 2021).