مقالات

4.6: ملخص ومشاكل أخرى


لعشرات الملايين من السنين ، صقل التطور قدراتنا الإدراكية. فيما يلي المزيد من المشاكل لتطوير التفكير التصويري.

مشاكل متعددة

المشكلة 4.33 صورة أخرى لعدم المساواة بين AM-GM

رسم تخطيطي (y = ln x ) لإظهار أن المتوسط ​​الحسابي لـ a و b دائمًا أكبر من أو يساوي الوسط الهندسي ، مع المساواة عند (a = b ).

المشكلة 4.34 صيغة أرخميدس لمساحة القطع المكافئ

أظهر أرخميدس (قبل حساب التفاضل والتكامل بفترة طويلة!) أن القطع المكافئ المغلق يحيط بثلثي مستطيله المحيط. إثبات هذه النتيجة بالتكامل.

أظهر أن القطع المكافئ المغلق يحيط أيضًا بثلثي متوازي الأضلاع المحيط بجوانب رأسية. هذه الوصفات التصويرية مفيدة عند تقريب الوظائف (على سبيل المثال ، في المشكلة 4.32).

المشكلة 4.35 الصورة القديمة لمساحة الدائرة

عرف الإغريق القدماء أن محيط الدائرة ذات نصف القطر r كان (2 pi r ). ثم استخدموا الصورة التالية لتوضيح أن مساحتها هي ( pi r ^ {2} ). هل يمكنك إعادة بناء الحجة؟

المشكلة 4.36 حجم الكرة

قم بتوسيع نطاق المسألة 4.35 لإيجاد حجم كرة نصف قطرها r ، علمًا بأن مساحة سطحها (4 pi r ). وضح الحجة برسم تخطيطي.

المشكلة 4.37 مجموع مشهور

استخدم المنطق التصويري لتقريب مجموع بازل الشهير ( sum_ {1} ^ { infty} n ^ {- 2} ).

المشكلة 4.38 طريقة نيوتن-رافسون

بشكل عام ، يتطلب حل (f (t) = 0 ) تقديرات تقريبية. تتمثل إحدى الطرق في البدء بتخمين (t_ {0} ) وتحسينه بشكل تكراري باستخدام طريقة نيوتن-رافسون