مقالات

1.2: ميكانيكا نيوتن - السقوط الحر


الأبعاد مفيدة ليس فقط في فضح الحجج غير الصحيحة ولكن أيضًا لإنشاء الحجج الصحيحة. كمثال مخالف يوضح ما لا يجب فعله ، إليك عدد كتب التفاضل والتكامل التي تقدم مشكلة كلاسيكية في الحركة:

تسقط الكرة عند السكون في البداية من ارتفاع h أقدام ويضرب الأرض بسرعة v قدم في الثانية. أوجد v بافتراض تسارع الجاذبية g قدم في الثانية تربيع وإهمال مقاومة الهواء.

يتم تمييز الوحدات مثل الأقدام أو القدمين في الثانية بخط عريض لأن إدراجها متكرر جدًا بحيث لا يتم تجاهلها بخلاف ذلك ، كما أن تضمينها يخلق مشكلة كبيرة. نظرًا لأن الارتفاع هو h قدم ، فإن المتغير h لا يحتوي على وحدات الارتفاع: وبالتالي فإن h لا تحتوي على أبعاد. (لكي يكون لـ h أبعاد ، ستذكر المشكلة ببساطة أن الكرة تسقط من ارتفاع h ؛ ثم بعد ذلك سينتمي بُعد الطول إلى h.) تعني المواصفات الصريحة المماثلة للوحدات أن المتغيرين g و v لا أبعاد أيضًا. نظرًا لأن g و h و v بلا أبعاد ، فإن أي مقارنة لـ v بالكميات المشتقة من g و h هي مقارنة بين الكميات التي ليس لها أبعاد. لذلك فهي دائمًا صالحة من حيث الأبعاد ، لذا لا يمكن أن يساعدنا تحليل الأبعاد في تخمين سرعة التأثير.

إن التخلي عن أداة الأبعاد القيمة يشبه القتال بيد واحدة مقيدة خلف ظهورنا. وبالتالي ، يجب علينا بدلاً من ذلك حل المعادلة التفاضلية التالية بشروط أولية:

[ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} = -g، text {with} y (0) = h text {and} dy / dt = 0 text {at} t = 0 ، التسمية {1.1} ]

حيث y (t) هو ارتفاع الكرة ، dy / dt سرعة الكرة ، و g هو تسارع الجاذبية.

مشكلة 1.3 حل حساب التفاضل والتكامل

استخدم حساب التفاضل والتكامل لتوضيح أن المعادلة التفاضلية للسقوط الحر (d ^ {2} y / dt ^ {2} ) = −g بالشروط الأولية y (0) = h و dy / dt = 0 عند t = 0 بها الحل التالي:

[ frac {dy} {dt} = -gt text {and} y = - frac {1} {2} gt ^ {2} + h. التسمية {1.2} ]

سؤال

باستخدام الحلول الخاصة بموضع الكرة وسرعتها في المسألة 1.3 ، ما هي سرعة التأثير؟

عندما y (t) = 0 ، تلتقي الكرة بالأرض. وبالتالي فإن وقت التأثير t هو ( sqrt {2h / g} ). سرعة التأثير هي −gt (_ {0} ) أو - ( sqrt {2gh} ). لذلك فإن سرعة التأثير (السرعة غير الموقعة) هي ( sqrt {2gh} ).

يدعو هذا التحليل إلى العديد من الأخطاء الجبرية: نسيان أخذ الجذر التربيعي عند حل قيمة (t_ {0} ) ، أو القسمة بدلاً من الضرب في g عند إيجاد سرعة التأثير. بعبارة أخرى ، فإن ممارسة العديد من الأخطاء وتصحيحها يقلل من انتشارها في مشاكل بسيطة ، ولكن المشاكل المعقدة مع العديد من الخطوات تظل حقول ألغام. نود أساليب أقل عرضة للخطأ.

أحد البدائل القوية هو طريقة تحليل الأبعاد. لكن هذه الأداة تتطلب أن يكون لكمية واحدة على الأقل بين v و g و h أبعاد. خلاف ذلك ، فإن كل سرعة تأثير مرشح ، بغض النظر عن مدى سخفها ، تساوي الكميات التي لا أبعاد لها وبالتالي لها أبعاد صالحة.

لذلك ، دعونا نعيد صياغة مشكلة السقوط الحر بحيث تحتفظ الكميات بأبعادها:

  • تسقط كرة في حالة سكون مبدئيًا من ارتفاع h وتضرب الأرض بسرعة v. أوجد v بافتراض تسارع الجاذبية g وإهمال مقاومة الهواء.

إعادة الصياغة ، أولاً ، أقصر وأكثر هشاشة من الصياغة الأصلية:

  • تسقط الكرة عند السكون في البداية من ارتفاع h قدم وتضرب الأرض بسرعة v قدم في الثانية. أوجد v بافتراض تسارع الجاذبية بمقدار g قدم في الثانية تربيع وإهمال مقاومة الهواء.

ثانيًا ، إعادة الصياغة أكثر عمومية. لا يقدم أي افتراض حول نظام الوحدات ، لذلك فهو مفيد حتى لو كانت الأمتار أو الذراعين أو الفرلنغ هي وحدة الطول. الأهم من ذلك ، أن إعادة الصياغة تعطي أبعادًا لـ h و g و v. ستحدد أبعادها بشكل فريد تقريبًا سرعة التأثير - دون الحاجة إلى حل معادلة تفاضلية.

أبعاد الارتفاع h هي ببساطة الطول أو باختصار L. أبعاد تسارع الجاذبية g هي الطول لكل وقت مربع أو (LT ^ {- 2} ) ، حيث تمثل T بُعد الزمن. للسرعة أبعاد (LT ^ {- 1} ) ، لذا فإن v دالة في g و h بأبعاد (LT ^ {- 1} ).

المشكلة 1.4 أبعاد الكميات المألوفة

من حيث الأبعاد الأساسية ، الطول L ، والكتلة M ، والزمن T ، ما هي أبعاد الطاقة ، والقدرة ، وعزم الدوران؟

سؤال

ما هو مزيج من ز و ح أبعاد السرعة؟

تركيبة ( sqrt {gh} ) لها أبعاد السرعة.

(( underbrace { mathrm {LT} ^ {- 2}} _ { mathrm {g}} times underbrace { mathrm {L}} _ { mathrm {h}}) ^ {1/2 } = sqrt { mathrm {L} ^ {2} mathrm {~ T} ^ {- 2}} = underbrace { mathrm {LT} ^ {- 1}} _ { text {speed}}. ) [ التسمية {1.3} ]

سؤال

يكون ( sqrt {gh} ) المزيج الوحيد من ز و ح بأبعاد السرعة؟

من أجل تحديد ما إذا كان ( sqrt {gh} ) هو الاحتمال الوحيد ، استخدم نشر القيد [43]. أقوى قيد هو أن الجمع بين g و h ، باعتبارهما سرعة ، يجب أن يكون لهما أبعاد زمنية معكوسة ( (T ^ {- 1} )). نظرًا لأن h لا يحتوي على أبعاد زمنية ، فلا يمكنه المساعدة في بناء (T ^ {- 1} ).

نظرًا لأن g تحتوي على (T ^ {- 2} ) ، يجب أن يأتي (T ^ {- 1} ) من ( sqrt {g} ). القيد الثاني هو أن المجموعة تحتوي على (L ^ {1} ). يساهم ( sqrt {g} ) بالفعل في (L ^ {1/2} ) ، لذا يجب أن يأتي (L ^ {1/2} ) المفقود من ( sqrt {h} ) . وبالتالي يحدد القيدان بشكل فريد كيف تظهر g و h في سرعة التأثير v.

ومع ذلك ، فإن التعبير الدقيق لـ v ليس فريدًا. يمكن أن يكون ( sqrt {gh} ) أو ( sqrt {2gh} ) أو بشكل عام ( sqrt {gh} ) × ثابت بلا أبعاد. تحدث لغة الضرب بواسطة ثابت بلا أبعاد بشكل متكرر وتستحق تدوينًا مضغوطًا يشبه علامة التساوي:

[v∼ sqrt {gh} label {1.4} ]

بما في ذلك الترميز ∼ ، لدينا عدة أنواع من المساواة:

∝ مساواة ربما باستثناء عامل ذي أبعاد ،

∼ مساواة ربما باستثناء عامل بلا أبعاد ،

≈ مساواة ربما باستثناء عامل قريب من 1.

سرعة التأثير بالضبط هي ( sqrt {2gh} ) ، لذا فإن نتيجة الأبعاد ( sqrt {gh} ) تحتوي على التبعية الوظيفية بالكامل! إنه يفتقر فقط إلى عامل الأبعاد ( sqrt {2} ) ، وغالبًا ما تكون هذه العوامل غير مهمة. في هذا المثال ، قد يختلف الارتفاع من بضعة سنتيمترات (قفز برغوث) إلى بضعة أمتار (قطة تقفز من حافة). يساهم اختلاف عامل 100 في الارتفاع في تباين عامل 10 في سرعة التأثير. وبالمثل ، قد يختلف تسارع الجاذبية من 0.27 م (ث ^ {- 2} ) (على كويكب سيريس) إلى 25 م (ث ^ {- 2} ) (على كوكب المشتري). يساهم اختلاف عامل 100 في g في اختلاف عامل 10 آخر في سرعة التأثير. لذلك ، لا يأتي الكثير من التباين في سرعة التأثير من عامل الأبعاد ( sqrt {2} ) بل من العوامل الرمزية التي يتم حسابها بالضبط عن طريق تحليل الأبعاد. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون عدم حساب الإجابة الدقيقة ميزة. تحتوي الإجابات الدقيقة على جميع العوامل والمصطلحات ، مما يسمح بالمعلومات الأقل أهمية ، مثل عامل البعد مثل ( sqrt {gh} ). كما نصح ويليام جيمس ، "فن الحكمة هو فن معرفة ما يجب التغاضي عنه" [19 ، الفصل 22].

المشكلة 1.5 الرمي العمودي

تقوم برمي الكرة مباشرة لأعلى بسرعة v0. استخدم تحليل الأبعاد لتقدير المدة التي تستغرقها الكرة للعودة إلى يدك (إهمال مقاومة الهواء). ثم أوجد الوقت بالضبط عن طريق حل معادلة السقوط الحر التفاضلية. ما هو العامل غير ذي الأبعاد المفقود من نتيجة تحليل الأبعاد؟


2.1: مقدمة في ميكانيكا نيوتن

  • بمساهمة دوغلاس كلاين
  • أستاذ (فيزياء) في جامعة روتشستر

من المفترض أن القارئ قد تعرّف على ميكانيكا نيوتن المطبقة على كائن أو نقطتين. يستعرض هذا الفصل ميكانيكا نيوتن لحركة أنظمة الجسم المتعددة وكذلك للأجسام ذات الحجم العياني. تمت مراجعة قانون Newton & rsquos للجاذبية أيضًا. الغرض من هذه المراجعة هو التأكد من أن القارئ لديه أساس متين لميكانيكا نيوتن الأولية التي يبني عليها مقاربات لاغرانج وهاملتون التحليلية القوية للديناميات الكلاسيكية.

تعتمد ميكانيكا نيوتن على تطبيق قوانين نيوتن و rsquos للحركة التي تفترض أن مفاهيم المسافة والوقت والكتلة مطلقة ، أي أن الحركة في إطار بالقصور الذاتي. إن الفكرة النيوتونية عن الفصل الكامل بين المكان والزمان ، ومفهوم حتمية الوقت ، تنتهكها نظرية النسبية كما نوقشت في الفصل (17 ). ومع ذلك ، بالنسبة لمعظم التطبيقات العملية ، فإن التأثيرات النسبية لا تذكر ، والميكانيكا النيوتونية هي وصف مناسب عند السرعات المنخفضة. لذلك ستفترض الفصول (2-16 ) السرعات التي تنطبق عليها قوانين نيوتن و rsquos للحركة.


تعريف السقوط الحر

الاستخدام اليومي لمصطلح "السقوط الحر" يختلف عن التعريف العلمي. في الاستخدام الشائع ، يعتبر اللاعب القفز بالمظلات في حالة سقوط حر عند تحقيق السرعة النهائية بدون مظلة. في الواقع ، يتم دعم وزن اللاعب بوسادة من الهواء.

يتم تعريف السقوط الحر إما وفقًا للفيزياء النيوتونية (الكلاسيكية) أو من حيث النسبية العامة. في الميكانيكا الكلاسيكية ، يصف السقوط الحر حركة الجسم عندما تكون الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة عليه. اتجاه الحركة (أعلى ، أسفل ، إلخ) غير مهم. إذا كان مجال الجاذبية موحدًا ، فإنه يعمل بالتساوي على جميع أجزاء الجسم ، مما يجعله "عديم الوزن" أو يختبر "0 جم". على الرغم من أنه قد يبدو غريبًا ، يمكن أن يكون الجسم في حالة سقوط حر حتى عند التحرك لأعلى أو في الجزء العلوي من حركته. يقفز لاعب القفز بالمظلات من خارج الغلاف الجوي (مثل قفزة HALO) تقريبًا يحقق سرعة نهائية حقيقية وسقوطًا حرًا.

بشكل عام ، طالما أن مقاومة الهواء لا تكاد تذكر فيما يتعلق بوزن الجسم ، فيمكن أن تحقق السقوط الحر. الامثله تشمل:

  • مركبة فضائية في الفضاء بدون نظام دفع
  • كائن مقذوف لأعلى
  • سقوط جسم من برج إسقاط أو في أنبوب إسقاط
  • شخص يقفز

في المقابل ، الأشياء ليس في السقوط الحر ما يلي:

  • طائر طائر
  • طائرة تحلق (لأن الأجنحة توفر قوة رفع)
  • استخدام المظلة (لأنها تقاوم الجاذبية بالسحب وفي بعض الحالات قد توفر قوة رفع)
  • لا يستخدم لاعب القفز المظلي مظلة (لأن قوة السحب تساوي وزنه عند السرعة النهائية)

في النسبية العامة ، يُعرَّف السقوط الحر بأنه حركة الجسم على طول الجيوديسية ، مع وصف الجاذبية بانحناء الزمكان.


قوة الاستعادة الخطية

فئة مهمة من المسائل تنطوي على قوة استعادة خطية ، أي أنها تخضع قانون هوك ورسكووس. معادلة الحركة لهذه الحالة هي

ثم يمكن كتابة معادلة الحركة على شكل

[ ضع الكلمة المناسبة ddot + omega_0 ^ 2 س = 0 ]

وهي معادلة المذبذب التوافقي. ومن الأمثلة على ذلك التذبذبات الصغيرة للكتلة على زنبرك ، أو اهتزازات سلسلة البيانو الممتدة ، إلخ.

حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية هو

[ ضع الكلمة المناسبة س (ر) = أ خطيئة ( أوميغا _0 t - دلتا) ]

هذا هو السلوك الجيبي المعروف للإزاحة للمذبذب التوافقي البسيط. التردد الزاوي ( omega_0 )

لاحظ أنه بالنسبة لهذا النظام الخطي الذي لا يحتوي على قوى تبديد ، فإن الطاقة الكلية هي ثابتة للحركة كما تمت مناقشته سابقًا. أي أنه نظام محافظ بطاقة إجمالية (E ) معطاة

المصطلح الأول هو الطاقة الحركية والمصطلح الثاني هو الطاقة الكامنة. تعطي نظرية Virial أنه بالنسبة لقوة الاستعادة الخطية ، فإن متوسط ​​الطاقة الحركية يساوي متوسط ​​الطاقة الكامنة.


1.2: ميكانيكا نيوتن - السقوط الحر

وفقًا للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) - وهو الوكالة الحكومية الأمريكية التي حققت في تدمير مركز التجارة العالمي - فقد هبط البرجان التوأمين "بشكل أساسي في حالة سقوط حر". 1

تعتمد نظرية NIST عن الانهيارات على فكرة أن الجزء العلوي من كل برج يمكن أن يتسارع باستمرار عبر الطوابق السفلية بمعدل الجاذبية تقريبًا ، بينما في هذه العملية يتم تفكيك الإطارات الفولاذية تمامًا وسحق كل الخرسانة تقريبًا إلى مسحوق ناعم .

ومع ذلك ، لم تقدم NIST أي نمذجة أو حسابات لإثبات أن مثل هذا السلوك كان ممكنًا. بدلاً من ذلك ، أوقفت NIST تحليلها بشكل تعسفي في لحظة "بدء الانهيار" ، مؤكدة أن الانهيار التام كان "حتميًا" بمجرد بدء الانهيارات. 2

من المثير للدهشة أن تفسير NIST الكامل لسبب فشل الأقسام السفلية في إيقاف أو حتى إبطاء هبوط الأقسام العليا يقتصر على نصف صفحة من تقريره المؤلف من 10000 صفحة ، في قسم بعنوان "الأحداث بعد بدء الانهيار" ، 3 والذي يؤكد:

"يوفر الهيكل الموجود أسفل مستوى بدء الانهيار الحد الأدنى من المقاومة لكتلة المبنى المتساقطة عند منطقة التأثير وفوقها. الطاقة الكامنة المنبعثة من الحركة الهبوطية لكتلة المبنى الكبيرة تجاوزت بكثير قدرة الهيكل السليم أدناه لامتصاص ذلك من خلال طاقة التشوه.

"نظرًا لأن القصص التي تقل عن مستوى بدء الانهيار لم توفر مقاومة تذكر للطاقة الهائلة المنبعثة من كتلة المبنى المتساقطة ، فقد انخفض قسم المبنى أعلاه بشكل أساسي في حالة السقوط الحر ، كما يظهر في مقاطع الفيديو." - ص. 146 ، نيست نكستار 1

في عام 2007 ، قامت مجموعة من العلماء ومهندس معماري واثنين من أفراد عائلة 11 سبتمبر بتقديم "طلب تصحيح" لتقرير المعهد القومي للمعايير والتقنية (NIST) بموجب قانون جودة المعلومات. لقد جادلوا بأن NIST ، من بين أمور أخرى ، فشلت في تحديد السبب التقني المحتمل لفشل المبنى لأنه لم يفسر سبب الانهيار التام بعد بدء الانهيار. 4 كتبوا:

"هنا ، NIST لم تقدم أي تفسير لماذا (أي السبب التقني) للقصة أسفل منطقة الانهيار لم تكن قادرة على إيقاف الحركة الهبوطية للطوابق العليا. إن عبارة "كما يتضح من مقاطع الفيديو من عدة وجهات نظر" ليست سوى شرح لما حدث ، ولكنها لا تعطي القارئ أي فكرة على الإطلاق عن سبب حدوثه. المبادئ الأساسية للهندسة (على سبيل المثال ، الحفاظ على مبدأ الزخم) تملي أن الهيكل الفولاذي غير التالف أسفل منطقة الانهيار ، على الأقل ، سيقاوم ويبطئ الحركة الهبوطية للقصص أعلاه .... إن عائلات رجال الإطفاء وموظفي مركز التجارة العالمي الذين حوصروا في السلالم عندما انهارت أبراج مركز التجارة العالمي بالكامل فوقها ستقدر بالتأكيد تفسيرًا مناسبًا لسبب فشل الهيكل السفلي في اعتقال أو حتى مقاومة انهيار الطوابق العليا. " - ص. 20 ، طلب التصحيح

استجابت نيست لطلب التصحيح باعتراف لافت بأنها لم تكن قادرة على تقديم شرح كامل للانهيار الكلي: 5

"قامت NIST بتحليلها إلى النقطة التي وصلت فيها المباني إلى عدم الاستقرار العالمي. في هذه المرحلة ، وبسبب حجم الانحرافات وعدد حالات الفشل التي تحدث ، فإن نماذج الكمبيوتر غير قادرة على الالتقاء حول حل…. لم نتمكن من تقديم تفسير كامل للانهيار التام. " - ص. 3-4 ، استجابة NIST لطلب التصحيح

شرح الانهيار الكلي

بينما فشل المعهد القومي للمعايير والتكنولوجيا في تقديم تفسير للانهيار الكامل للبرجين التوأمين ، تولى العديد من الباحثين المستقلين هذا التحدي.

الجزء العلوي من البرج الشمالي.

كان محور تحليلهم هو قياس الحركة الهبوطية للقسم العلوي من مركز التجارة العالمي 1 (البرج الشمالي). ووجدت ورقتان على وجه الخصوص أنه في الثواني الأربع التي سبقت اختفاء القسم العلوي عن الأنظار ، ظل معدل التسارع ثابتًا ، عند حوالي 64 بالمائة من السقوط الحر ، 6 ولم يكن هناك تباطؤ ملحوظ على الإطلاق. 7

استنادًا إلى قانون نيوتن الثالث للحركة ، والذي ينص على أنه لكل فعل رد فعل مساوٍ ومعاكس ، نعلم أنه كان من الممكن أن يكون هناك تباطؤ في القسم العلوي من مركز التجارة العالمي 1 إذا كان قد أصاب وسحق الهيكل السليم تحته. إن عدم وجود تباطؤ هو دليل لا جدال فيه على أن قوة أخرى (أي المتفجرات) يجب أن تكون مسؤولة عن تدمير الهيكل السفلي قبل أن يصله الجزء العلوي.

شكل 1: يوضح هذا الرسم البياني المأخوذ عن كتاب ديفيد تشاندلر "تدمير البرج الشمالي والفيزياء الأساسية لمركز التجارة العالمي" (مجلة دراسات 9/11 ، فبراير 2010) أن الجزء العلوي من البرج الشمالي سافر بسرعة متساوية تقريبًا تبلغ -6.31 م / ث 2 ( بقيمة R 2 تساوي 0.997) ، أو 64٪ من السقوط الحر.

في عام 2011 ، ASCE's مجلة ميكانيكا الهندسة نشر ورقة للدكتور زدينيك باينت وجيا ليانج لو بعنوان "لماذا يكون تاريخ الحركة المرصودة لأبراج مركز التجارة العالمي سلسًا" ، 8 حيث حاول المؤلفون أن يجادلوا بأن تباطؤ القسم العلوي كان "أصغر بكثير من أن يكون محسوس "، وبالتالي يفسر سبب كون الحركة المرصودة" سلسة ". حسبوا على وجه التحديد ، كان التباطؤ "ثلاث مرات من المقادير أصغر من خطأ فيديو هواة ، وبالتالي لا يمكن اكتشافه".

ردا على ذلك ، قدم الباحثان توني زامبوتي وريتشارد جونز ورقة مناقشة إلى مجلة ميكانيكا الهندسة في مايو 2011. 9 جادل ورقتهم بأن Bažant و Le قد استخدموا قيمًا غير صحيحة لـ (1) مقاومة الأعمدة ، (2) كتلة أرضية الهيكل السفلي ، و (3) الكتلة الكلية للقسم العلوي. أظهر Szamboti و Johns أنه عند تطبيق القيم الصحيحة ، يثبت تحليل Bažant و Le في الواقع أن تباطؤ القسم العلوي كان يمكن أن يكون مهمًا ويمكن اكتشافه (إذا كان انهيارًا تدريجيًا ناتجًا عن حريق حقيقي) ، وأن الانهيار كان سيحدث اعتقل في غضون ثلاث ثوان.

لسوء الحظ، ال مجلة ميكانيكا الهندسة رفض لسبب غير مفهوم ورقة مناقشة Szamboti و Johns باعتبارها "خارج النطاق" بعد تعليقها لمدة 27 شهرًا. لذلك قام Szamboti و Johns ، جنبًا إلى جنب مع الدكتور Gregory Szuladziński ، وهو خبير مشهور عالميًا في الميكانيكا الإنشائية ، بكتابة ورقة أخرى دحض تحليل Ba andant و Le وقدمها إلى المجلة الدولية لهياكل الحماية. تم نشر هذه الورقة بعنوان "بعض حالات سوء الفهم المتعلقة بتحليل انهيار مركز التجارة العالمي" 10 في يونيو 2013.

تم نشر القليل من الأبحاث حول سبب خضوع البرجين التوأمين مجموع الانهيار أن ورقة Bažant and Le’s 2011 ، وأوراق Ba threeant الثلاثة السابقة حول هذا الموضوع ، هي التحليل الوحيد الموجود لدعم التفسير الرسمي للانهيار التدريجي الناجم عن الحريق. لقد تم فضح هذا التحليل بلا منازع من قبل Szamboti و Johns و Szuladziński وآخرين.

حواشي

[1] نيست: التقرير النهائي للفريق الوطني لسلامة البناء حول انهيارات أبراج مركز التجارة العالمي (1 ديسمبر 2005) ، ص 146. (نيست نكستار 1)

[2] نيست نكستار 1 ، ص. 82.

[8] Bažant و Zdeněk و Le و Jia-Liang: "لماذا يكون تاريخ الحركة المرصود لأبراج مركز التجارة العالمي سلسًا" مجلة ميكانيكا الهندسة (يناير 2011).

[10] Szuladziński ، Gregory and Szamboti ، توني وجونز ، ريتشارد: "بعض حالات سوء الفهم المتعلقة بتحليل انهيار مركز التجارة العالمي ،" المجلة الدولية لهياكل الحماية (يونيو 2013).


ANSHS الفيزياء الفصول الدراسية- xanmechanics

ما هي السرعة؟
تسقط الأشياء بسبب قوة الجاذبية. عندما يكون الجسم الساقط خاليًا من جميع القيود - بدون احتكاك أو هواء أو غير ذلك - ويقع تحت تأثير الجاذبية وحدها ، فهو في حالة سقوط حر.
السرعة المكتسبة = التسارع × الوقت
بالنسبة لجسم يسقط من السكون ، يمكن التعبير عن السرعة اللحظية v في أي وقت t في صيغة مختصرة كـ v = gt.
يرمز الحرف v إلى السرعة والسرعة.
الى اي مدى؟
المسافة التي يقطعها الجسم المتسارع بانتظام بدءًا من السكون هي
المسافة = 1 / 2gt2. حيث d هي المسافة التي يسقطها الجسم ، و g هي العجلة و t هي وقت السقوط بالثواني.
عينة من المشاكل
1.
أ. ما هي المدة التي تستغرقها كرة لتسقط من سطح إلى الأرض على عمق 7.0 متر تحت الأرض؟
ب. بأي سرعة تضرب الأرض؟
إجابه:
في مشاكل الحركية ، ابدأ بجدول davfvit. استخدم هذا التنسيق لسرد المعلومات المقدمة وتحديد الكمية التي يتم حلها من أجلها. ثم حدد العلاقة بين الكميات المعطاة والكميات المجهولة ، واستبدل القيم في العلاقة ، وحل من المجهول.

1.
د 7.0 م [أسفل]
9.8 م / ثانية 2 [أسفل]
vf
سادسا 0
ر؟
مشاكل التفريغ
تشير مسائل الرمي إلى المواقف التي تكون فيها السرعة الابتدائية لجسم ما معاكسة لتسارعه. المفتاح هو اختيار إطار مرجعي. على سبيل المثال ، إذا كانت & # 8220up & # 8221 هي + ، فإن & # 8220down & # 8221 تكون -. يجب استخدام الإطار المرجعي باستمرار طوال عملية الحل.
إجابه:
2. الإطار المرجعي: أسفل = +
د 7.0 م
9.8 م / ثانية 2
vf
vi & # 8211 2.0 م / ث *
ر؟
يمكننا الآن ملاحظة أننا بحاجة إلى علاقة بين d و a و vi و t

(7.0 م) = (-2.00) طن + (0.5) (9.8) طن 2
ر = <1.42 ، -1.01>
بما أن t & lt 0 ليس له معنى ،
ر = 1.42 ثانية

في مسائل اللحاق بالركب ، ينتهي جسمان بحركات مختلفة في نفس المكان في نفس الوقت. في بعض الأحيان ، يبدو أن هذه المشكلات لا تحتوي على معلومات كافية لحلها. ومع ذلك ، نحن نثق في الفيزياء.


هذه المسائل معقدة لأنها تصف حركتين مختلفتين. النهج المستخدم هو تبسيط المشكلة عن طريق تقسيمها إلى مشاكل بسيطة. هذا لأسفل باستخدام عمودين في جدول davfvit: عمود واحد لكل حركة.


مثال
3. تسقط كرة من سطح إلى الأرض على عمق 8 أمتار. ألقيت صخرة من السقف بعد 0.600 ثانية. إذا اصطدم كلاهما بالأرض في نفس الوقت ، فما السرعة الأولية للصخرة؟

إجابه:
3.
صخرة الكرة
د 8.0 م [أسفل] 8.0 م [أسفل]
9.8 م / ث 2 [أسفل] 9.8 م / ث 2 [أسفل]
vf
السادس 0؟
ر؟ ؟

نحتاج إلى وقت لإيجاد السرعة. نظرًا لأن لدينا المزيد من المعلومات حول الكرة ، فإننا نبدأ في تحديد الوقت المناسب للكرة.
يمكننا الآن ملاحظة أننا بحاجة إلى علاقة بين d و a و vi و t

د = فيت + (0.5) في 2
8.0 = (0) t + (0.5) (9.8 م / ث 2) t2

ر = 1.28 ثانية
زمن انتقال الصخرة أقل بمقدار 0.600 ثانية من وقت انتقال الكرة. الآن تبدو طاولتنا كما يلي:
صخرة الكرة
د 8.0 م [أسفل] 8.0 م [أسفل]
9.8 م / ث 2 [أسفل] 9.8 م / ث 2 [أسفل]
vf
السادس 0؟
ر 1.28 ثانية 0.68 ثانية

بالنسبة للصخرة ، نحتاج إلى علاقة بين d و a و vi و t

د = فيت + (0.5) في 2
8.0 = سادس (0.68 ث) + (0.5) (9.8 م / ث 2) (0.68 ث) 2
vi = 8.43 م / ث


6 إجابات 6

ذلك لأن القوة التي تعمل هنا (الجاذبية) تعتمد أيضًا على الكتلة

تؤثر الجاذبية على جسم كتلته م معه

ستقوم بتوصيل هذا بـ $ F = ma $ وستحصل على

وهذا ينطبق على كل الأجسام مهما كانت الكتلة. نظرًا لأنها تتسارع بنفس الطريقة وتبدأ بنفس الظروف الأولية (عند السكون وتسقط من ارتفاع h) فإنها ستصطدم بالأرض في نفس الوقت.

هذا جانب غريب من جوانب الجاذبية وأساس هذا هو المساواة بين كتلة القصور الذاتي وكتلة الجاذبية (هنا فقط يجب أن تكون النسبة هي نفسها حتى يكون هذا صحيحًا ، لكن أينشتاين أظهر لاحقًا أنهما متماثلان حقًا ، أي أن النسبة هي 1 )

تتناسب قوة جاذبية نيوتن مع كتلة الجسم ، $ F = frac مرات m $ ، حيث إذا كنت تفكر في أن $ M $ هي كتلة الأرض ، و $ R $ هو نصف قطر الأرض ، و $ G $ هو ثابت الجاذبية لنيوتن.

وبالتالي ، فإن التسارع هو $ a = frac= فارك$ ، وهو مستقل عن كتلة الكائن. ومن ثم ، فإن أي جسمين يخضعان لقوة الجاذبية فقط سوف يسقطان بنفس التسارع ، وبالتالي سيصطدمان بالأرض في نفس الوقت.

أعتقد أنك كنت في عداد المفقودين هو أن القوة $ F $ على الجسمين ليست هي نفسها ، ولكن التسارع نكون نفس الشيء.

هناك طريقتان يمكن للكتلة أن تؤثر فيهما على وقت التأثير:

(1) الجسم الضخم جدًا له جاذبية أقوى للأرض. منطقيا ، قد يؤدي هذا إلى سقوط الجسم بشكل أسرع وبالتالي الوصول إلى الأرض في وقت أقرب.

(2) من الصعب تحريك جسم ضخم جدًا. (أي أنه يعاني من قصور ذاتي مرتفع للغاية.) وبالتالي قد يتوقع المرء منطقياً أن يكون الجسم الهائل للغاية أكثر صعوبة في التحرك وبالتالي يفقد السباق.

المعجزة هي أنه في العالم الذي نعيش فيه ، يتوازن هذان التأثيران تمامًا وبالتالي تصل الكتلة الأثقل إلى الأرض في نفس الوقت.

الآن اسمحوا لي أن أقدم شرحًا بسيطًا لماذا من الطبيعي أن يحدث هذا. لنفترض أن لدينا كتلتان ثقيلتان للغاية. إذا أسقطناها بشكل منفصل ، فإنها تستغرق بعض الوقت لتقع. من ناحية أخرى ، إذا قمنا بربطها معًا ، فهل ستستغرق نفس المدة الزمنية؟ فكر في كرة مقسمة إلى نصفين:

يسقط نصفان من الكرة بنفس سرعة بعضهما البعض. لذلك إذا أسقطتهم بجانب بعضهم البعض ، فسوف يسقطون معًا. وإسقاطهم بجانب بعضهم البعض لن يكون مختلفًا عن شدهم معًا وإسقاطهم معًا. أي أنه لن يكون هناك أي قوة على البراغي. لذلك يجب أن يسقط الكرة المدمجة (أو المشدودة معًا) بنفس معدل انقسام الكرة.


السقوط الحر مع الأمثلة

السقوط الحر هو نوع من الحركة يمكن للجميع ملاحظتها في الحياة اليومية. نسقط شيئًا ما عن غير قصد أو عن قصد ونرى حركته. في البداية تكون سرعتها منخفضة وحتى النهاية تكتسب السرعة وقبل الانهيار تصل إلى أقصى سرعتها. ما هي العوامل التي تؤثر على سرعة الجسم أثناء سقوطه الحر؟ كيف يمكننا حساب المسافة التي يستغرقها الوقت الذي يستغرقه السقوط الحر؟ نحن نتعامل مع هذه المواضيع في هذا القسم. أولاً ، اسمحوا لي أن أبدأ بمصدر زيادة مقدار السرعة خلال الخريف. كما يمكنك التخمين ، تسقط الأشياء بسبب الجاذبية. وبالتالي ، فإن أجسامنا تكتسب سرعة تقارب 10 م / ث في الثانية بينما تسقط بسبب الجاذبية. نسمي هذا التسارع في الفيزياء تسارع الجاذبية وتظهر مع ldquog rdquo و. قيمة g هي 9،8m / s & sup2 ، ومع ذلك ، في أمثلةنا ، نفترض أنها 10 m / s & sup2 لإجراء عمليات حسابية بسيطة. حان الوقت الآن لصياغة ما قلناه أعلاه. تحدثنا عن زيادة السرعة التي تساوي مقدار g في الثانية. وهكذا يمكن إيجاد سرعتنا بالصيغة

الخامس = غ حيث g هو تسارع الجاذبية و t هو الوقت.

انظر إلى المثال الوارد أدناه وحاول فهم ما حاولت شرحه أعلاه.

مثال: يسقط الطفل الكرة من سطح المنزل ويستغرق ارتطامها بالأرض 3 ثوان. احسب السرعة قبل اصطدام الكرة بالأرض. (ز = 10 م / ث & sup2)


V = 10 م / ث & sup2.3s = 30 م / ث

لقد تعلمنا كيفية إيجاد سرعة الجسم في وقت معين. الآن سوف نتعلم كيفية إيجاد المسافة المقطوعة أثناء الحركة. أعطي بعض المعادلات لحساب المسافة والكميات الأخرى. وجد جاليليو معادلة للمسافة من تجاربه.

باستخدام هذه المعادلة ، يمكننا إيجاد ارتفاع المنزل في المثال المعطى أعلاه. Let & rsquos يكتشفون مدى ارتفاع الكرة؟ نستخدم 10 م / ث & sup2 لـ g.

أعتقد أن الصيغة الآن أوضح قليلاً في ذهنك. سنحل المزيد من المشاكل المتعلقة بهذا الموضوع. الآن ، أعتقد أنني إذا رميت الكرة بشكل مستقيم لأعلى بسرعة ابتدائية. متى يتوقف ويسقط على الأرض؟ نجيب على هذه الأسئلة الآن.


تُظهر الصورة مقادير السرعة في الأسفل وفي الأعلى. كما ترى ، تم رمي الكرة لأعلى بسرعة ابتدائية v ، في الأعلى تصبح سرعة rsquos صفرًا وتغير اتجاهها وتبدأ في السقوط وهو السقوط الحر. أخيرًا في الجزء السفلي قبل الانهيار ، تصل سرعتها القصوى التي تظهر على شكل V & rsquo. لقد تحدثنا عن مقدار الزيادة في السرعة في السقوط الحر. تزداد 9،8 م / ث في كل ثانية بسبب تسارع الجاذبية. في هذه الحالة ، يوجد أيضًا g ولكن اتجاه الكرة و rsquos صاعد ، لذا فإن إشارة g سلبية. وبالتالي ، تقل سرعتنا بمقدار 9،8 م / ث في كل ثانية حتى تصبح السرعة صفرًا. في الأعلى ، بسبب السرعة الصفرية ، تغير الكرة اتجاهها وتبدأ في السقوط الحر. قبل حل المشكلات ، أريد أن أعطي الرسوم البيانية لحركة السقوط الحر.

كما ترى في الرسوم البيانية ، تزداد سرعتنا خطيًا مع التسارع & ldquog & rdquo ، تخبرنا الرسوم البيانية الثانية أن التسارع ثابت عند 9،8m / s & sup2 ، وأخيرًا الرسم الثالث هو تمثيل التغيير في موضعنا. في البداية يكون لدينا إزاحة موجبة ومع مرور الوقت تتناقص وتصبح أخيرًا صفرًا. يمكننا الآن حل المشكلات باستخدام هذه الرسوم البيانية والتفسيرات.

مثال: قام جون برمي الكرة بشكل مستقيم لأعلى وبعد ثانية واحدة تصل إلى أقصى ارتفاع لها ثم تقوم بحركة السقوط الحر والتي تستغرق ثانيتين. احسب أقصى ارتفاع للكرة وسرعتها قبل أن تصطدم بالأرض. (ز = 10 م / ث & sup2)

مثال: كائن يقوم بحركة سقوط حر. يضرب الأرض بعد 4 ثوان. احسب سرعة الجسم بعد 3 ثوانٍ وقبل أن يصطدم بالأرض. ماذا يمكن أن يكون الارتفاع الذي تم إلقاؤه؟

يحاول مثالان أعلاه إظهار كيفية استخدام معادلات السقوط الحر. يمكننا إيجاد السرعة والمسافة والوقت من البيانات المعطاة. الآن ، سأقدم ثلاث معادلات أخرى وأنهي موضوع الحركية 1D. المعادلات


تُستخدم المعادلة الأولى لإيجاد سرعة جسم ذي سرعة ابتدائية وتسارع. الثاني يستخدم لحساب مسافة الجسم الذي له سرعة ابتدائية وتسارع. المعادلة الثالثة والأخيرة هي معادلة السرعة الخالدة. إذا كانت المسافة والسرعة الابتدائية وتسارع الجسم معروفة ، فيمكنك إيجاد السرعة النهائية للجسم. الآن دع & rsquos يحل بعض المسائل باستخدام هذه المعادلات لفهم الموضوع بالتفصيل.

مثال احسب سرعة السيارة التي تبلغ سرعتها الابتدائية 24 م / ث والعجلة 3 م / ث & sup2 بعد 15 ثانية.

نستخدم المعادلة الأولى لحل هذا السؤال.

مثال السيارة التي تكون في حالة سكون مبدئيًا لها تسارع 7m / s & sup2 وتقطع 20 ثانية. أوجد المسافة التي يقطعها خلال هذه الفترة.


السقوط الحر

في كل من هذه الأمثلة ، كان التسارع نتيجة الجاذبية. كان الجسم يتسارع لأن الجاذبية تسحبه لأسفل. حتى الشيء الذي تم قذفه بشكل مستقيم يسقط - ويبدأ في السقوط في اللحظة التي يغادر فيها يدك. إذا لم يكن كذلك ، لكان قد استمر في الابتعاد عنك في خط مستقيم. هذا ال .

ما هي العوامل التي تؤثر على هذا التسارع بفعل الجاذبية؟ إذا كنت ستسأل هذا الشخص العادي ، فمن المرجح أن يقول & quotweight & quot الذي يقصدون به في الواقع & quotmass & quot (المزيد حول هذا لاحقًا). أي أن الأشياء الثقيلة تسقط بسرعة والأشياء الخفيفة تسقط ببطء. على الرغم من أن هذا قد يبدو صحيحًا عند الفحص الأول ، إلا أنه لا يجيب على سؤالي الأصلي. & quot ما هي العوامل التي تؤثر على التسارع بسبب الجاذبية& quot الكتلة لا تؤثر على التسارع بسبب الجاذبية بأي طريقة يمكن قياسها. الكميتان مستقلتان عن بعضهما البعض. تتسارع الأجسام الخفيفة بشكل أبطأ من الأجسام الثقيلة فقط عندما تعمل قوى أخرى غير الجاذبية. عندما يحدث هذا ، قد يسقط الجسم ، لكنه ليس في حالة سقوط حر. يحدث عندما يتم العمل على جسم ما عن طريق الجاذبية وحدها.

  • الحصول على قطعة من الورق وقلم رصاص. أمسكها بنفس الارتفاع فوق سطح مستو وقم بإسقاطها في نفس الوقت. إن تسارع قلم الرصاص أكبر بشكل ملحوظ من تسارع قطعة الورق التي ترفرف وتنجرف في طريقها إلى الأسفل.

هناك شيء آخر يعيق الطريق هنا - وهذا الشيء هو مقاومة الهواء (المعروف أيضًا باسم السحب الديناميكي الهوائي). إذا تمكنا من تقليل هذا السحب بطريقة ما ، فسنحصل على تجربة حقيقية. لا مشكلة.

  • كرر التجربة ، ولكن قبل أن تبدأ ، ضع قطعة الورق في أضيق كرة ممكنة. Now when the paper and pencil are released, it should be obvious that their accelerations are identical (or at least more similar than before).

We're getting closer to the essence of this problem. If only somehow we could eliminate air resistance altogether. The only way to do that is to drop the objects in a vacuum. It is possible to do this in the classroom with a vacuum pump and a sealed column of air. Under such conditions, a coin and a feather can be shown to accelerate at the same rate. (In the olden days in Great Britain, a coin called a guinea was used and so this demonstration is sometimes called the "guinea and feather".) A more dramatic demonstration was done on the surface of the moon — which is as close to a true vacuum as humans are likely to experience any time soon. Astronaut David Scott released a rock hammer and a falcon feather at the same time during the Apollo 15 lunar mission in 1971. In accordance with the theory I am about to present, the two objects landed on the lunar surface simultaneously (or nearly so). Only an object in free fall will experience a pure acceleration due to gravity.

The leaning tower of Pisa

Let's jump back in time for a bit. In the Western world prior to the 16th century, it was generally assumed that the acceleration of a falling body would be proportional to its mass — that is, a 10 kg object was expected to accelerate ten times faster than a 1 kg object. The ancient Greek philosopher Aristotle of Stagira (384–322 BCE), included this rule in what was perhaps the first book on mechanics. It was an immensely popular work among academicians and over the centuries it had acquired a certain devotion verging on the religious. It wasn't until the Italian scientist Galileo Galilei (1564–1642) came along that anyone put Aristotle's theories to the test. Unlike everyone else up to that point, Galileo actually tried to verify his own theories through experimentation and careful observation. He then combined the results of these experiments with mathematical analysis in a method that was totally new at the time, but is now generally recognized as the way science gets done. For the invention of this method, Galileo is generally regarded as the world's first scientist.

In a tale that may be apocryphal, Galileo (or an assistant, more likely) dropped two objects of unequal mass from the Leaning Tower of Pisa. Quite contrary to the teachings of Aristotle, the two objects struck the ground simultaneously (or very nearly so). Given the speed at which such a fall would occur, it is doubtful that Galileo could have extracted much information from this experiment. Most of his observations of falling bodies were really of round objects rolling down ramps. This slowed things down enough to the point where he was able to measure the time intervals with water clocks and his own pulse (stopwatches and photogates having not yet been invented). This he repeated "a full hundred times" until he had achieved "an accuracy such that the deviation between two observations never exceeded one-tenth of a pulse beat."

With results like that, you'd think the universities of Europe would have conferred upon Galileo their highest honor, but such was not the case. Professors at the time were appalled by Galileo's comparatively vulgar methods even going so far as to refuse to acknowledge that which anyone could see with their own eyes. In a move that any thinking person would now find ridiculous, Galileo's method of controlled observation was considered inferior to pure reason. Imagine that! I could say the sky was green and as long as I presented a better argument than anyone else, it would be accepted as fact contrary to the observation of nearly every sighted person on the planet.

Galileo called his method "new" and wrote a book called Discourses on Two New Sciences wherein he used the combination of experimental observation and mathematical reasoning to explain such things as one dimensional motion with constant acceleration, the acceleration due to gravity, the behavior of projectiles, the speed of light, the nature of infinity, the physics of music, and the strength of materials. His conclusions on the acceleration due to gravity were that…

the variation of speed in air between balls of gold, lead, copper, porphyry, and other heavy materials is so slight that in a fall of 100 cubits a ball of gold would surely not outstrip one of copper by as much as four fingers. Having observed this I came to the conclusion that in a medium totally devoid of resistance all bodies would fall with the same speed.

For I think no one believes that swimming or flying can be accomplished in a manner simpler or easier than that instinctively employed by fishes and birds. When, therefore, I observe a stone initially at rest falling from an elevated position and continually acquiring new increments of speed, why should I not believe that such increases take place in a manner which is exceedingly simple and rather obvious to everybody?

I greatly doubt that Aristotle ever tested by experiment.

Galileo Galilei, 1638

Despite that last quote, Galileo was not immune to using reason as a means to validate his hypothesis. In essence, his argument ran as follows. Imagine two rocks, one large and one small. Since they are of unequal mass they will accelerate at different rates — the large rock will accelerate faster than the small rock. Now place the small rock on top of the large rock. What will happen? According to Aristotle, the large rock will rush away from the small rock. What if we reverse the order and place the small rock below the large rock? It seems we should reason that two objects together should have a lower acceleration. The small rock would get in the way and slow the large rock down. But two objects together are heavier than either by itself and so we should also reason that they will have a greater acceleration. This is a contradiction.

Here's another thought problem. Take two objects of equal mass. According to Aristotle, they should accelerate at the same rate. Now tie them together with a light piece of string. Together, they should have twice their original acceleration. But how do they know to do this? How do inanimate objects know that they are connected? Let's extend the problem. Isn't every heavy object merely an assembly of lighter parts stuck together? How can a collection of light parts, each moving with a small acceleration, suddenly accelerate rapidly once joined? We've argued Aristotle into a corner. The acceleration due to gravity is independent of mass.

Galileo made plenty of measurements related to the acceleration due to gravity but never once calculated its value (or if he did, I have never seen it reported anywhere). Instead he stated his findings as a set of proportions and geometric relationships — lots of them. His description of constant speed required one definition, four axioms, and six theorems. All of these relationships can now be written as the single equation in modern notation.

Algebraic symbols can contain as much information as several sentences of text, which is why they are used. Contrary to the common wisdom, mathematics makes life easier.

Location, location, location

The generally accepted value for the acceleration due to gravity on and near the surface of the Earth is…

ز = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 feet/s 2

It is useful to memorize this number (as millions of people around the globe already have), however, it should also be pointed out that this number is not a constant. Although mass has no effect on the acceleration due to gravity, there are three factors that do. They are location, location, location.

Everyone reading this should be familiar with the images of the astronauts hopping about on the moon and should know that the gravity there is weaker than it is on the Earth — about one sixth as strong or 1.6 m/s 2 . That's why the astronauts were able to hop around on the surface easily despite the weight of their space suits. In contrast, gravity on Jupiter is stronger than it is on Earth — about two and a half times stronger or 25 m/s 2 . Astronauts cruising through the top of Jupiter's thick atmosphere would find themselves struggling to stand up inside their space ship.

On the Earth, gravity varies with latitude and altitude (to be discussed in a later chapter). The acceleration due to gravity is greater at the poles than at the equator and greater at sea level than atop Mount Everest. There are also local variations that depend upon geology. The value of 9.8 m/s 2 — with only two significant digits — is true for all places on the surface of the Earth and holds for altitudes up to +10 km (the altitude of commercial jet airplanes) and depths down to 󔼜 km (far below the deepest mines).

How crazy are you for accuracy? For most applications, the value of 9.8 m/s 2 is more than sufficient. If you're in a hurry, or don't have access to a calculator, or just don't need to be that accurate rounding ز on Earth to 10 m/s 2 is often acceptable. During a multiple choice exam where calculators aren't allowed, this is often the way to go. If you need greater accuracy, consult a comprehensive reference work to find the accepted value for your latitude and altitude.

If that's not good enough, then obtain the required instruments and measure the local value to as many significant digits as you can. You may learn something interesting about your location. I once met a geologist whose job it was to measure ز across a portion of West Africa. When I asked him who he worked for and why he was doing this, he basically refused to answer other than to say that one could infer the interior structure of the Earth from a prepared from his findings. Knowing this, one might then be able to identify structures where valuable minerals or petroleum might be found.

Like all professions, those in the gravity measuring business () have their own special jargon. The SI unit of acceleration is the meter per second squared [m/s 2 ]. Split that into a hundred parts and you get the centimeter per second squared [cm/s 2 ] also known as the [Gal] in honor of Galileo. Note that the word for the unit is all lowercase, but the symbol is capitalized. The gal is an example of a Gaussian unit.

00 1 Gal = 1 cm/s 2 = 0.01 m/s 2
100 Gal = 100 cm/s 2 = 1 m/s 2 .

Split a gal into a thousand parts and you get a [mGal].

1 mGal = 0.001 Gal = 10 𕒹 m/s 2

Since Earth's gravity produces a surface acceleration of about 10 m/s 2 , a milligal is about 1 millionth of the value we're all used to.

1 g ≈ 10 m/s 2 = 1,000 Gal = 1,000,000 mGal

Measurements with this precision can be used to study changes in the Earth's crust, sea levels, ocean currents, polar ice, and groundwater. Push it a little bit further and it's even possible to measure changes in the distribution of mass in the atmosphere. Gravity is a weighty subject that will be discussed in more detail later in this book.

Gee, Wally

Don't confuse the phenomenon of acceleration due to gravity with the unit of a similar name. ال quantity ز has a value that depends on location and is approximately

almost everywhere on the surface of the Earth. ال وحدة g has the exact value of…

They also use slightly different symbols. The defined unit uses the roman or upright g while the natural phenomenon that varies with location uses the italic or oblique ز. Don't confuse g with ز.

As mentioned earlier, the value of 9.8 m/s 2 with only two significant digits is valid for most of the surface of the Earth up to the altitude of commercial jet airliners, which is why it is used throughout this book. The value of 9.80665 m/s 2 with six significant digits is the so called or . It's a value that works for latitudes around 45° and altitudes not too far above sea level. It's approximately the value for the acceleration due to gravity in Paris, France — the hometown of the International Bureau of Weights and Measures. The original idea was to establish a standard value for gravity so that units of mass, weight, and pressure could be related — a set of definitions that are now obsolete. The Bureau chose to make this definition work for where their laboratory was located. The old unit definitions died out, but the value of standard gravity lives on. Now it's just an agreed upon value for making comparisons. It's a value close to what we experience in our everyday lives — just with way too much precision.

Some books recommend a compromise precision of 9.81 m/s 2 with three significant digits for calculations, but this book does not. At my location in New York City, the acceleration due to gravity is 9.80 m/s 2 . Rounding standard gravity to 9.81 m/s 2 is wrong for my location. The same is true all the way south to the equator where gravity is 9.780 m/s 2 at sea level — 9.81 m/s 2 is just too big. Head north of NYC and gravity gets closer and closer to 9.81 m/s 2 until eventually it is. This is great for Canadians in southern Quebec, but gravity keeps keeps increasing as you head further north. At the North Pole (and the South Pole too) gravity is a whopping 9.832 m/s 2 . The value 9.806 m/s 2 is midway between these two extremes, so it's sort of true to say that…

This is not the same thing as an average, however. For that, use this value that someone else derived…

Here are my suggestions. Use the value of 9.8 m/s 2 with two significant digits for calculations on the surface of the Earth unless a value of gravity is otherwise specified. That seems reasonable. Use the value of 9.80665 m/s 2 with six significant digits only when you want to convert m/s 2 to g. That is the law.

The unit g is often used to measure the acceleration of a reference frame. This is technical language that will be elaborated upon later in another section of this book, but I will explain it with examples for now. As I write this, I'm sitting in front of my computer in my home office. Gravity is drawing my body down into my office chair, my arms toward the desk, and my fingers toward the keyboard. This is the normal 1 g (one gee) world we're all accustomed to. I could take a laptop computer with me to an amusement park, get on a roller coaster, and try to get some writing done there. Gravity works on a roller coaster just as it does at home, but since the roller coaster is accelerating up and down (not to mention side to side) the sensation of normal Earth gravity is lost. There will be times when I feel heavier than normal and times when I fell lighter than normal. These correspond to periods of more than one g and less than one g. I could also take my laptop with me on a trip to outer space. After a brief period of 2 or 3 g (two or three gees) accelerating away from the surface of the Earth, most space journeys are spent in conditions of apparent weightlessness or 0 g (zero gee). This happens not because gravity stops working (gravity has infinite range and is never repulsive), but because a spacecraft is an accelerating reference frame. As I said earlier, this concept will be discussed more thoroughly in a later section of this book.


A motion is said to be uniformly accelerated when, starting from rest, it acquires during equal time intervals, equal increments of speed.

Let us first look more closely at Galileo's proposed definition.

Is this the only possible way of defining uniform acceleration? Not at all! Galileo says that at one time he thought a more useful definition would be to use the term uniform acceleration for motion in which speed increased in proportion to the distance traveled, D d, rather than to the time fit. Notice that both definitions met Galileo's requirement of simplicity. (In fact, both definitions had been discussed since early in the fourteenth century.)
Furthermore, both definitions seem to match our common sense idea of acceleration about equally well. When we say that a body is "accelerating," we seem to imply "the farther it goes, the faster it goes," and also "the longer time it goes, the faster it goes." How should we choose between these two ways of putting it? Which definition will be more useful in the description of nature? This is where experimentation becomes important. Galileo chose to define uniform acceleration as the motion in which the change of speed v is proportional to elapsed time D t, and then demonstrate that this matches the behavior of real moving bodies, in laboratory situations as well as in ordinary, "un-arranged," experience. As you will see later, he made the right choice. But he was not able to prove his case by direct or obvious means, as you shall also see.

Describe uniform speed without referring to dry-ice pucks and strobe photography or to arty particular object or technique of measurement.

Express Galileo's definition of uniformly accelerated motion in words and in the form of an equation.

What two conditions did Galileo want his definition of uniform acceleration to meet?

Galileo cannot test his hypothesis directly

After Galileo defined uniform acceleration so that it would match the way he believed freely falling objects behaved, his next task was to devise a way of showing that the definition for uniform acceleration was useful for describing observed motions.

Suppose we drop a heavy object from several different heights say, from windows on different floors of a building. We want to check whether the final speed increases in proportion to the time it takes to fall-that is, whether D v is "proportional to" D t, or what amounts to the same thing, whether D v/ D t is constant. In each trial we must observe the time of fall and the speed just before the object strikes the ground.

But there's the rub. Practically, even today, it would be very difficult to make a direct measurement of the speed reached by an object just before striking the ground. Furthermore, the entire time intervals of fall (less than 3 seconds even from the top of a 10-story building) are shorter than Galileo could have measured accurately with the clocks available to him. So a direct test of whether D v/ D t is constant was not possible for Galileo.

Which of these are valid reasons why Galileo could not test directly whether the final speed reached by a freely falling object is proportional to the time of fall?
(a) His definition was wrong.
(b) He could not measure the speed attained by an object just before it hit the ground.
(c) There existed no instruments for measuring time.
(d) He could not measure ordinary distances accurately enough.
(e) Experimentation was not permitted in Italy.

Looking for logical consequences of Galileo's hypothesis

Large distances of fall and large time intervals for fall are, of course, easier to measure than the small values of D d and D t that would be necessary to find the final speed just before the falling body hits. So Galileo tried to find, by reasoning, how total fall distance ought to increase with total fall time if objects did fall with uniform acceleration. You already know how to find total distance from total time for motion at constant speed. Now we will derive a new equation that relates total fall distance to total time of fall for motion at constant acceleration. In this we shall not be following Galileo's own derivation exactly, but the results will be the same. First, we recall the definition of average speed as the distance traversed D d divided by the elapsed time D t:

الخامسav = D d/ D t
This is a general definition and can be used to compute the average speed from measurement of D d and D t, no matter whether D d and D t are small or large. We can rewrite the equation as
D d = vav x D t
This equation, still being really a definition of vav is always true. For the special case of motion at a constant speed v, then vav = v and therefore, D d = v x D t. When the value of v is known (as, for example, when a car is driven with a steady reading of 60 mph on the speedometer), this equation can be used to figure out how far ( D d) the car would go in any given time interval ( D t). But in uniformly accelerated motion the speed is continually changing-so what value can we use for vav?

The answer involves just a bit of algebra and some plausible assumptions. Galileo reasoned (as others had before) that for any quantity that changes uniformly, the average value is just halfway between the beginning value and the final value. For uniformly accelerated motion starting from rest (where vinitial = 0 and ending at a speed vأخير this rule tells us that the average speed is halfway. More generally the average speed would be between 0 and vأخير - that is,


الخامسav= 1/2 vأخير.
(More generally, the average velocity would be
الخامسav=(vinitial + vأخير)/2.
If this reasoning is correct, it follows that
D d = 1/2 vأخير x D t for uniformly accelerated motion starting from rest. This relation could not be directly tested either, because the last equation still contains a speed factor. What we are trying to arrive at is an equation relating total distance and total time, without any need to measure speed.
Now we look at Galileo's definition of uniform acceleration: a = D v/ D t. We can rewrite this relationship in the form
D v = a x D t. The value of D v is just vأخير - vinitialr and vinitial = 0 for motion that begins from rest. Therefore we can write
D v=a x D t
الخامسأخير - vinitial = a x D t
الخامسأخير = a x D t
Now we can substitute this expression for vأخير into the equation for D d above. Thus if the motion starts from rest, and if it is uniformly accelerated (and if the average rule is correct, as we have assumed) we can write
D d = 1/2 vأخير x D t
= 1/2 (a x D t) x D t
Or, regrouping terms.
D d = 1/2 a( D t) 2

This is the kind of relation Galileo was seeking-it relates total distance D d to total time D t, without involving any speed term.

Before finishing, though, we will simplify the symbols in the equation to make it easier to use. If we measure distance and time from the position and the instant that the motion starts (dinitial= 0 and tinitial = 0), then the intervals D d and D t have the values given by dأخير and tأخير. Because we will use the expression dأخير/ t 2 أخير , many times, it is simpler to write it as d/t 2

-it is understood that d and t mean total distance and time interval of motion, starting from rest. The equation above can therefore be written more simply as

دأخير = 1/2 a x t 2 أخير
Remember that this is a very specialized equation-it gives the total distance fallen as a function of total time of fall but only if the motion starts from rest (vinitial = 0), if the acceleration is uniform (a = constant), and if time and distance are measured from the start (tinitial = 0 and dinitial = 0).

Galileo reached the same conclusion, though he did not use algebraic forms to express it. Since we are dealing only with the special situation in which acceleration a is constant, the quantity 2a is constant also, and we can cast the conclusion in the form of a proportion: in uniform acceleration from rest, the distance traveled is proportional to the square of the time elapsed, or

دأخير / t 2 أخير
For example, if a uniformly accelerating car starting from rest moves 10 m in the first second, in twice the time it would move four times as far, or 40 m in the first two seconds. In the first 3 seconds it would move 9 times as far-or 90 m. Another way to express this relation is to say that the ratio dأخير to t 2 final has a constant value, that is, dأخير / t 2 أخير = constant . Thus a logical result of Galileo's original proposal for defining uniform acceleration can be expressed as follows: if an object accelerates uniformly from rest, the ratio d/t 2 should be constant. Conversely, any motion for which this ratio of d and t 2 is found to be constant for different distances and their corresponding times, we may well suppose to be a case of motion with uniform acceleration as defined by Galileo. Of course, we still must test the hypothesis that freely falling bodies actually do exhibit just such motion. Recall that earlier we confessed we were unable to test directly whether D v/ D t has a constant value. Galileo showed that a logical consequence of a constant value of v/ D t would be a constant ratio of dأخير to t 2 أخير. The values for total time and distance of fall would be easier to measure than the values of short intervals D d and D t needed to find D v. However, measuring the time of fall still remained a difficult task in Galileo's time. So, instead of a direct test of his hypothesis, Galileo went one step further and deduced an ingenious, indirect test.

Why was the equation d = 1/2at 2 more promising for Galileo than a = D v/ D t in testing his hypothesis?

If you simply combined the two equations D d = v x D t and D v = a x D t it looks as if one might get the result D d = a x D t 2 . What is wrong with doing this?

Realizing that a direct quantitative test with a rapidly and freely falling body would not be accurate, Galileo proposed to make the test on an object that was moving less rapidly. He proposed a new hypothesis:

if a freely falling body has an acceleration that is constant, then a perfectly round ball rolling down a perfectly smooth inclined plane will also have a constant, though smaller, acceleration.

Thus Galileo claimed that if d/t 2 is constant for a body falling freely from rest, this ratio will also be constant, although smaller, for a ball released from rest and rolling different distances down a straight inclined plane.

Here is how Salviati described Galileo's own experimental test in Two New Sciences:


This picture painted in 1841 by G. Bezzuoli, attempts to reconstruct an experiment Galileo is alleged to have made during his time as lecturer at Pisa. Off to the left and right are men of ill will: the blasé Prince Giovanni de Medici (Galileo had shown a dredging-machine invented by the prince to be unusable) and Galileo's scientific opponents. These were leading men of the universities they are shown here bending over a book of Aristotle, where it is written in black and white that bodies of unequal weight fall with different speeds. Galileo, the tallest figure left of center in the picture, is surrounded by a group of students and followers.

Angle of Incline
For each angle, the acceleration is found to be a constant. Spheres rolling down planes of increasingly steep inclination. At 90° the inclined plane situation matches free fall. (Actually, the ball will start slipping instead of rolling long before the angle has become that large.)

Free Fall-Galileo Describes Motion

In general, for each angle of incline, the value of d / t1 2 was constant. Galileo did not present his experimental data in the full detail which has become the custom since. However, his experiment has been repeated by others, and they have obtained results which parallel his. This is an experiment which you can perform yourself with the help of one or two other students.
(b) Galileo's second experimental finding relates to what happens when the angle of inclination of the plane is changed. He found that whenever the angle changed, the ratio d / t 2 took on a new value, although for any one angle it remained constant regardless of distance of roll. Galileo confirmed this by repeating the experiment "a full hundred times" for each of many different angles. After finding that the ratio d / t 2 was constant for each angle of inclination for which measurements of t could be carried out conveniently, Galileo was willing to extrapolate. He concluded that the ratio dل / t 2 is a constant even for larger angles, where the motion of the ball is too fast for accurate measurements of t to be made. Finally, Galileo reasoned that in the particular case when the angle of inclination became 90°, the ball would move straight down-and so becomes the case of a falling object. By his reasoning, d/t 2 would still be some constant in that extreme case (even though he couldn't say what the numerical value was.)

Because Galileo had deduced that a constant value of d/t 2 was characteristic of uniform acceleration, he could conclude at last that free fall was uniformly accelerated motion.

Now that you are familiar with the historical concepts of free fall, move on to the experiment. Or you can look at a spreadsheet of some actual student data. The data were collected and manipulated according to the described experiment. It definitely demonstrates that there is a constant acceleration. A good question to ask the students is why there is so much error. Then have your students modify the experiment. When it is all said and done, take the quiz.


شاهد الفيديو: تجربة إنعدام الوزن في السقوط الحر (شهر اكتوبر 2021).