مقالات

4.2: صفحة جديدة - الرياضيات


4.2: صفحة جديدة - الرياضيات

وافق SBOE على TEKS المنقحة لاعتمادها في أبريل 2012. تتوفر TEKS المنقحة على صفحة قواعد TEA. وقد تمت مراجعة TEKS المنقحة "اعتماد 2012" المشار إليها في العنوان. سيتم تنفيذ الرياضيات المعدلة TEKS لرياض الأطفال حتى الصف الثامن في العام الدراسي 2014-2015. من المقرر تنفيذ الرياضيات المنقحة TEKS للمدرسة الثانوية في العام الدراسي 2015-2016 ، اعتمادًا على توفر التمويل للمواد التعليمية (قانون تكساس الإداري (TAC) ، العنوان 19 ، الجزء الثاني ، الفصل 111. المعارف والمهارات الأساسية في تكساس للرياضيات).

تمت الموافقة على المقترحات للقراءة الثانية والاعتماد النهائي في أبريل 2012

تعكس الوثائق التالية التنقيحات المقترحة على الرياضيات TEKS كما وافق عليها مجلس الدولة للتعليم في 20 أبريل 2012 ، للقراءة الثانية والاعتماد النهائي ، مع التعديلات الفنية ، على النحو المصرح به من قبل قواعد تشغيل مجلس الدولة للتعليم:

تمت الموافقة على المقترحات للقراءة الأولى وترخيص الإيداع في يناير 2012

تم نشر المراجعات المقترحة للرياضيات TEKS للتعليق العام من فبراير حتى أبريل 2012. بعد فترة التعليق العام الرسمية ، اتخذت SBOE إجراءات للموافقة على هذه التغييرات في أبريل 2012.

توصيات لجنة مراجعة TEKS لمراجعات TEKS الرياضيات (أكتوبر 2011)

الوثائق التالية هي مسودة توصيات لجان المراجعة النهائية:

المسودات الأولى للتوصيات لمراجعة TEKS الرياضيات (يوليو 2011)

تم تطوير مسودة التوصيات من قبل لجان مراجعة TEKS الخاصة بالرياضيات التي تم تعيينها من قبل أعضاء SBOE. تستند هذه المسودات إلى مسودة المفوض لمعايير الرياضيات:

تحسبًا لمراجعة مجلس الدولة للتعليم المقرر 2011-2012 لـ TEKS للرياضيات ، عقد مفوض التعليم مجموعة من المستشارين لمراجعة البحوث والموارد الحالية وتقديم اقتراحات بشأن مراجعة TEKS القادمة والتطوير المهني المستقبلي. تضم المجموعة الاستشارية للرياضيات التابعة للمفوض ، والتي تأسست في خريف عام 2010 ، معلمين رياضيات وعلماء رياضيات من تكساس. تم تجميع توصيات المجموعة الاستشارية للرياضيات التابعة للمفوض فيما يتعلق بالجيل القادم من معايير الرياضيات في تكساس ، ثم تمت مراجعتها من قبل لجنة من المستشارين الوطنيين في الرياضيات ، المعروفين باسم فريق المراجعة الوطني ، واستعرض توصيات المجموعة الاستشارية للرياضيات التابعة للمفوض فيما يتعلق بالجيل القادم. معايير الرياضيات في ولاية تكساس.


4.2: صفحة جديدة - الرياضيات

الرياضيات اليومية مقسمة إلى وحدات ، والتي تنقسم إلى دروس. في الزاوية العلوية اليسرى من Study Link ، يجب أن ترى رمزًا مثل هذا:


رقم الوحدة هو الرقم الأول الذي تراه في الأيقونة ، ورقم الدرس هو الرقم الثاني. في هذه الحالة ، يعمل الطالب في الوحدة 5 ، الدرس 4. للوصول إلى موارد المساعدة ، يمكنك تحديد "الوحدة 5" من القائمة أعلاه ، ثم البحث عن الصف في الجدول المسمى "الدرس 5-4".

الرياضيات اليومية لأولياء الأمور: ما تحتاج إلى معرفته لمساعدة طفلك على النجاح

مشروع الرياضيات في مدرسة جامعة شيكاغو

مطبعة جامعة شيكاغو


الذهاب الرياضيات للصف 8 مفتاح الإجابة الفصل 9 التحولات والتطابق

نظرًا لوجود العديد من طرق حل المشكلات المتاحة في Go Math Grade 8 ، الفصل 9 ، مفتاح التحويلات والتوافق ، يمكن للطالب & # 8217s تحديد طريقة الحل السهل وتعلم طريقة حل المشكلات الرياضية. أيضًا ، يتم تضمين الصور لفهم الطالب بشكل أفضل. لذلك ، يجب على الطلاب الذين يرغبون في الحصول على درجات جيدة في الامتحان التدرب على Go Math Grade 8 Answer Key الفصل 9 التحويلات والتطابق.

الدرس 1: خصائص الترجمات

الدرس الثاني: خواص التأملات

الدرس 3: التمثيلات الجبرية للتحولات

الدرس 4: الأرقام المتطابقة

مراجعة مختلطة

الممارسة الإرشادية & # 8211 خصائص الترجمات & # 8211 الصفحة رقم 282

السؤال رقم 1.
المفردات أ __________________ هي تغيير في موضع الشكل أو حجمه أو شكله.
____________

تفسير:
التحول هو تغيير في موضع الشكل أو حجمه أو شكله.

السؤال 2.
المفردات عند إجراء تحويل لشكل على المستوى الإحداثي ، يُطلق على إدخال التحويل اسم ________________ ، ويسمى ناتج التحويل __________________.
اكتب أدناه:
____________

تفسير:
عندما تقوم بإجراء تحويل لشكل على مستوى الإحداثيات ، فإن إدخال التحويل يسمى الصورة المسبقة ، ويطلق على ناتج التحويل الصورة.

السؤال 3.
يترجم جوني مثلث قائم الزاوية بمقدار وحدتين لأسفل و 4 وحدات إلى اليمين. كيف يقارن اتجاه صورة المثلث مع اتجاه الصورة السابقة؟
الاتجاه هو: _______

إجابه:
الاتجاه هو: نفسه

تفسير:
نظرًا لأن الترجمة لا تغير شكل وحجم الشكل الهندسي ، فإن المثلثين متطابقان في الشكل والحجم ، لذا فهما متطابقان والاتجاه هو نفسه

السؤال 4.
رسم راشد مستطيل PQRS على مستوى تنسيق. ثم قام بترجمة المستطيل 3 وحدات لأعلى و 3 وحدات إلى اليسار ووصف الصورة P & # 8216Q & # 8216R & # 8216S & # 8216. كيف يقارن المستطيل PQRS والمستطيل P & # 8216Q & # 8216R & # 8216S & # 8216؟
هم انهم: _______

تفسير:
نظرًا لأن الترجمة لا تغير شكل وحجم الشكل الهندسي ، فإن المستطيلين متطابقان في الشكل والحجم ، لذا فهما متطابقان.

السؤال 5.
يوضح الشكل شبه منحرف WXYZ. ارسم صورة شبه منحرف بعد ترجمة 4 وحدات لأعلى ووحدتين إلى اليسار.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد الترجمة:
W '(- 4، 3)
X '(2، 3)
Y '(1 ، 1)
Z '(- 3 ، 1)

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 6.
ما هي خصائص الترجمات؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
- & gt الترجمة عبارة عن تحويل هندسي يحرك كل نقطة في شكل أو مساحة بنفس المقدار في اتجاه معين.
- & gt إذن الأرقام متطابقة ومتطابقة.

9.1 الممارسة المستقلة & # 8211 خصائص الترجمات & # 8211 الصفحة رقم 283

السؤال 7.
يوضح الشكل مثلث أد بلو AdBlue®.

أ. ارسم صورة المثلث بعد الترجمة التي تشير الخرائط D إلى النقطة D & # 8216.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 7.
ب. كيف تصف الترجمة؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
لها نفس الحجم والشكل. والتوجه ، ولكن موقع مختلف

السؤال 7.
ج. كيف تقارن صورة المثلث DEF مع الصورة الأولية؟
____________

السؤال 8.
أ. رسم بيانيًا رباعيًا KLMN برؤوس K (-3 ، 2) ، L (2 ، 2) ، M (0 ، -3) ، N (-4 ، 0) على شبكة الإحداثيات.

اكتب أدناه:
____________

السؤال 8.
ب. على نفس شبكة الإحداثيات ، قم برسم صورة الشكل الرباعي KLMN بعد ترجمة 3 وحدات إلى اليمين و 4 وحدات لأعلى.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 8.
ج. أي جانب من الصورة يتوافق مع الجانب ( overline
___________
قم بتسمية ثلاثة أزواج أخرى من الأضلاع المتطابقة.
___________
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الخط LM مطابق للخط L! M!
الخط KL يساوي K & # 8217L & # 8217
الخط MN يساوي M & # 8217N & # 8217
الخط KN يساوي K & # 8217N & # 8217

ارسم صورة الشكل بعد كل ترجمة.

السؤال 9.
4 وحدات اليسار و 2 وحدة أسفل

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد الترجمة
ص '(- 3 ، 1)
ق '(0، 2)
R '(0، -1)
S '(- 3، -3)

السؤال 10.
5 وحدات الحق و 3 وحدات

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد الترجمة
أ '(0، 4)
ب '(3، 5)
ج '(3 ، 1)
د '(0 ، 0)

خصائص الترجمات & # 8211 الصفحة رقم 284

السؤال 11.
يوضح الشكل صعود منطاد الهواء الساخن. كيف تصف الترجمة؟

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
4 وحدات على طول الموجب X و 5 وحدات على طول الموجب Y

تفسير:
الإحداثيات الأولية للبالون = (-2، -4)
الإحداثيات النهائية للبالون = (2،1)
الترجمة على طول المحور x = 2 & # 8211 (-2)
= 4 وحدات على طول اتجاه x الموجب
الترجمة على طول المحور ص = 1 - (- 4)
= 5 وحدات على طول اتجاه y الموجب

السؤال 12.
التفكير النقدي هل من الممكن أن يتغير اتجاه الشكل بعد ترجمته؟ يشرح.
_________

إجابه:
لا ، لا يمكن تغيير الاتجاه بمجرد الترجمة. كما تعني الترجمة ، التحويل الذي يتم فيه نقل الشكل إلى مكان آخر دون أي تغيير في الحجم أو الاتجاه.

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 13.
أ. مثلث الرسم البياني متعدد الخطوات XYZ برؤوسه X (-2 ، -5) ، Y (2 ، -2) ، Z (4 ، -4) على شبكة الإحداثيات.

السؤال 13.
ب. على نفس شبكة الإحداثيات ، مثلث الرسم البياني والتسمية X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217 ، صورة المثلث XYZ بعد ترجمة 3 وحدات إلى اليسار و 6 وحدات لأعلى.

السؤال 13.
ج. الآن مثلث الرسم البياني والتسمية X & # 8221Y & # 8221Z & # 8221 ، صورة المثلث X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217 بعد ترجمة وحدة واحدة إلى اليسار ووحدتين لأسفل.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 13.
د. تحليل العلاقات كيف تصف الترجمة التي تعين المثلث XYZ على المثلث X & # 8221Y & # 8221Z & # 8221؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
قام Triangle XYZ بترجمة 4 وحدات للأعلى و 4 وحدات إلى اليسار

السؤال 14.
التفكير النقدي يوضح الشكل المستطيل P & # 8217Q & # 8217R & # 8217S & # 8217 ، صورة المستطيل PQRS بعد ترجمة 5 وحدات إلى اليمين و 7 وحدات لأعلى. رسم بياني وتسمية PQRS.

اكتب أدناه:
____________

السؤال 15.
توصيل الأفكار الرياضية اشرح سبب تطابق صورة شخصية بعد الترجمة مع صورتها السابقة.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الترجمة هي تحويل هندسي يحرك كل نقطة في شكل أو مساحة بنفس المقدار في اتجاه معين. إذن ، الرقمان متطابقان والرقم المترجم مطابق للصورة السابقة له.

الممارسة الإرشادية & # 8211 خصائص الانعكاسات & # 8211 الصفحة رقم 288

السؤال رقم 1.
المفردات الانعكاس هو تحول يقلب الشكل عبر خط يسمى __________.
____________

تفسير:
الانعكاس هو تحول يقلب الشكل عبر خط يسمى محور الانعكاس.

السؤال 2.
يوضح الشكل شبه منحرف ABCD.

أ. ارسم صورة شبه منحرف بعد الانعكاس عبر المحور x. قم بتسمية رؤوس الصورة.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 2.
ب. ما الفرق بين شبه المنحرف ABCD وشبه المنحرف A & # 8217B & # 8217C & # 8217D & # 8217؟
____________

تفسير:
شبه المنحرف ABCD وشبه المنحرف A & # 8217B & # 8217C & # 8217D & # 8217 متطابقان

السؤال 2.
ج. ماذا إذا؟ لنفترض أنك قمت بعكس شبه منحرف ABCD عبر المحور ص. كيف يقارن اتجاه صورة شبه المنحرف مع اتجاه الصورة السابقة؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
سيتم عكس الاتجاه أفقيًا.

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 3.
ما هي خصائص الانعكاسات؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
خصائص الانعكاسات
- & gt الحجم يبقى كما هو
- & gt يبقى الشكل كما هو
- & GT ، لا يظل الاتجاه كما هو

9.2 الممارسة المستقلة & # 8211 خصائص الانعكاسات & # 8211 الصفحة رقم 289

يوضح الرسم البياني أربعة مثلثات قائمة. استخدم الرسم البياني للتمارين 4-7.

السؤال 4.
أي من المثلثين يمثلان انعكاسًا لبعضهما البعض عبر المحور x؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
يمثل المثلثان A و C انعكاسًا لبعضهما البعض عبر المحور x.

السؤال 5.
لأي مثلثين يمثل خط الانعكاس محور y؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بالنسبة للمثلث C و amp D ، يكون خط الانعكاس هو المحور y.

السؤال 6.
أي مثلث هو ترجمة للمثلث ج؟ كيف تصف الترجمة؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
المثلث ب هو ترجمة المثلث ج.
لنأخذ أي نقطة واحدة في المثلث = (-2، -6)
لنأخذ الجانب المقابل من المثلث B = (4،2)
الترجمة عبر المحور x = 4 - (- 2) = 6 وحدات
الترجمة عبر المحور y = 2 - (- 6) = 8 وحدات

السؤال 7.
ما هي المثلثات المتطابقة؟ كيف علمت بذلك؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
جميع المثلثات الأربعة أ ، ب ، ج ، د متطابقة.
طول القاعدة والارتفاع للمثلثات الأربعة هو 3 وحدات ، 4 وحدات على التوالي.

تفسير:
جميع المثلثات الأربعة أ ، ب ، ج ، د متطابقة.
إذا تساوت القاعدة والارتفاع ، فيجب أن يكون الوتر متساويًا أيضًا. وهكذا فإن الأضلاع الثلاثة للمثلثات أ ، ب ، ج ، د متساوية. وبالتالي فإن هذه المثلثات متطابقة ،
طول القاعدة والارتفاع للمثلثات الأربعة هو 3 وحدات ، 4 وحدات على التوالي.

السؤال 8.
أ. رسم بيانيًا رباعيًا WXYZ بالرؤوس W (-2 ، -2) ، X (3 ، 1) ، Y (5 ، -1) ، Z (4 ، -6) على شبكة الإحداثيات.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 8.
ب. على نفس شبكة الإحداثيات ، رسم بيانيًا رباعي الأضلاع W & # 8217X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217 ، صورة الرباعي WXYZ بعد انعكاس عبر المحور السيني.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 8.
ج. أي جانب من الصورة يتوافق مع الجانب ( overline
_______________
قم بتسمية ثلاثة أزواج أخرى من الأضلاع المتطابقة.
_______________
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
السطر YZ = السطر Y & # 8217Z & # 8217
الخط WX = الخط W & # 8217X & # 8217
السطر XY = السطر X & # 8217Y & # 8217
الخط WZ = الخط W & # 8217Z & # 8217

السؤال 8.
د. أي زاوية من الصورة تتطابق مع ∠X؟
_______________
قم بتسمية ثلاثة أزواج أخرى من الزوايا المتطابقة.
_______________
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الزاوية X & # 8217
الزاوية W والزاوية W & # 8217
الزاوية Y والزاوية Y & # 8217
الزاوية Z والزاوية Z & # 8217

خصائص الانعكاسات & # 8211 الصفحة رقم 290

السؤال 9.
التفكير النقدي هل من الممكن أن تكون صورة نقطة بعد الانعكاس هي نفس النقطة مثل الصورة الأولية؟ يشرح.
________

تفسير:
من الممكن أن تكون صورة نقطة بعد الانعكاس هي نفس نقطة الصورة السابقة

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 10.
أ. ارسم صورة الشكل الموضح بعد الانعكاس عبر المحور الصادي.

اكتب أدناه:
____________

السؤال 10.
ب. على نفس شبكة الإحداثيات ، ارسم صورة الشكل الذي رسمته في جزء أ بعد انعكاس عبر المحور س.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 10.
ج. قم بعمل تخمين ما هو التسلسل الآخر للتحولات الذي سينتج نفس الصورة النهائية من الصورة الأصلية؟ تحقق من إجابتك عن طريق إجراء التحولات. ثم قم بعمل تخمين يعمم نتائجك.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
يمكن الحصول على نفس الصورة من خلال الانعكاس أولاً عبر المحور السيني ثم عبر المحور الصادي.
عكس الشكل أولاً عبر المحور الصادي ثم عبر المحور السيني له نفس النتيجة. الانعكاس عبر المحور السيني أولاً ثم عبر المحور الصادي.

السؤال 11.
أ. رسم مثلث DEF برؤوسه D (2 ، 6) ، E (5 ، 6) ، و F (5 ، 1) على شبكة الإحداثيات.

السؤال 11.
ب. مثلث الرسم البياني التالي D ′ E ′ F ′ ، صورة المثلث DEF بعد الانعكاس عبر المحور y.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 11.
ج. على نفس شبكة الإحداثيات ، ارسم المثلث D ′ ′ E ′ ′ F ′ ′ ، صورة المثلث D ′ E ′ F ′ بعد ترجمة 7 وحدات لأسفل ووحدتين إلى اليمين.
اكتب أدناه:
____________

السؤال 11.
د. تحليل العلاقات أوجد تسلسلًا مختلفًا للتحولات التي ستحول المثلث DEF إلى مثلث D ′ ′ E ′ ′ F ′ ′.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
ترجم وحدات المثلث DEF 7 لأسفل و 2 وحدة إلى اليسار. ثم قم بعكس الصورة عبر المحور الصادي.

الممارسة الإرشادية & # 8211 خصائص الانعكاسات & # 8211 الصفحة رقم 294

السؤال رقم 1.
المفردات التناوب هو تحويل يقلب الشكل حول _____ معين يسمى مركز الدوران.
____________

تفسير:
الدوران هو تحويل يحول الشكل حول نقطة معينة تسمى مركز الدوران.

يقوم Siobhan بتدوير مثلث قائم الزاوية بزاوية 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل.

السؤال 2.
كيف يقارن اتجاه صورة المثلث مع اتجاه الصورة السابقة؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
كل ساق في الصورة الأولية متعامدة مع الساق المقابلة لها في الصورة.

السؤال 3.
هل صورة المثلث مطابقة للصورة السابقة؟
______

تفسير:
صورة المثلث مطابقة للصورة السابقة

ارسم صورة الشكل بعد الدوران المعطى حول الأصل.

السؤال 4.
90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة

اكتب أدناه:
____________

إجابه:

السؤال 5.
180°

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد دوران 180 درجة
أ '(- 2، -3)
ب '(- 4 ، -1)
ج '(- 2 ، 0)
د '(0، -1)

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 6.
ما هي خواص التدوير؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
تحافظ التدويرات على الحجم والشكل لكنها تغير الاتجاه.

9.3 الممارسة المستقلة & # 8211 خصائص الانعكاسات & # 8211 الصفحة رقم 295

السؤال 7.
يوضح الشكل المثلث ABC ودوران المثلث حول الأصل.

أ. كيف تصف التناوب؟
____________

إجابه:
تم تدوير ABC 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل

السؤال 7.
ب. ما هي إحداثيات الصورة؟
اكتب أدناه:
____________

السؤال 8.
يوضح الرسم البياني شكلاً وصورته بعد التحويل.

أ. كيف تصف هذا بالدوران؟
____________

إجابه:
تم تدوير الرقم 180 درجة حول الأصل.

السؤال 8.
ب. هل يمكنك وصف هذا على أنه تحول غير دوران؟ يشرح.
____________

تفسير:
يمكن وصف هذا أيضًا بأنه انعكاس عبر المحور ص.

السؤال 9.
ما نوع الدوران الذي سيحافظ على اتجاه الشكل على شكل حرف H في الشبكة؟

____________

إجابه:
دوران 180 درجة حول الأصل سيحافظ على اتجاه الشكل على شكل حرف H في الشبكة.

السؤال 10.
النقطة ذات الإحداثيات (-2 ، -3) تدور 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل. ما هي إحداثيات صورتها؟
(_______ , _______)

تفسير:
الإحداثيات الجديدة هي (-3، 2).

أكمل الجدول بدورات 180 درجة أو 90 درجة. قم بتضمين اتجاه الدوران للدورات 90 درجة.

السؤال 11.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:

خواص الانعكاسات & # 8211 الصفحة رقم 296

ارسم صورة الشكل بعد الدوران المعطى حول الأصل.

السؤال 14.
180°

اكتب أدناه:
____________

السؤال 15.
270 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد دوران 270 درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة
أ '(1، 2)
ب '(2، -1)
ج '(4، 2)

السؤال 16.
هل هناك دوران يكون فيه اتجاه الصورة دائمًا هو نفس اتجاه الصورة السابقة؟ إذا كان الأمر كذلك ما؟
______

تفسير:
سيكون الدوران بزاوية 360 درجة دائمًا مماثلاً للصورة الأصلية

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 17.
حل المشكلات لوكاس يلعب لعبة حيث يتعين عليه تدوير شخصية لتلائم مساحة مفتوحة. في كل مرة ينقر فيها على زر ، يدور الشكل 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة. كم مرة يحتاج إلى النقر فوق الزر حتى يعود كل شكل إلى اتجاهه الأصلي؟
الشكل أ ____________
الشكل ب ____________
الشكل C ____________

الشكل أ: _________ مرة (مرات)
الشكل ب: _________ مرة (مرات)
الشكل C: _________ مرة (مرات)

إجابه:
الشكل أ: 2 مرة (مرات)
الشكل ب: 1 مرة (مرات)
الشكل ج: 4 مرات

تفسير:
مرتين للعودة إلى الاتجاه الأصلي
مرة واحدة للعودة إلى الاتجاه الأصلي
4 مرات للعودة إلى الاتجاه الأصلي

السؤال 18.
اصنع مثلث تخمين ABC ينعكس عبر المحور y لتشكيل الصورة A′B′C ′. ثم ينعكس المثلث A′B′C across عبر المحور x ليشكل الصورة A ″ B ″ C ″. ما هو نوع الدوران الذي يمكن استخدامه لوصف العلاقة بين المثلث أ ″ ب ج ″ والمثلث أب ج؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
المثلث A & # 8217B & # 8217C & # 8217 هو دوران 90 درجة للمثلث ABC
المثلث A & # 8221B & # 8221C & # 8221 هو دوران 90 درجة للمثلث A & # 8217B & # 8217C & # 8217
لذلك ، المثلث A & # 8221B & # 8221C & # 8221 هو دوران 180 درجة للمثلث ABC

السؤال 19.
توصيل الأفكار الرياضية النقطة أ على المحور ص. صف جميع المواقع الممكنة للصورة A ′ للدوران 90 درجة و 180 درجة و 270 درجة. قم بتضمين الأصل كموقع محتمل لـ A.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
إذا كانت النقطة A على المحور y ، فستكون النقطة A & # 8217 على المحور x لدوران 190 درجة و 270 درجة وعلى المحور y لاستدارة 180 درجة
إذا كانت النقطة أ في الأصل ،
A & # 8217 هو أصل أي دوران حول الأصل.

الممارسة الموجهة & # 8211 التمثيلات الجبرية للتحولات & # 8211 الصفحة رقم 300

السؤال رقم 1.
المثلث XYZ له رؤوس X (-3 ، -2) ، Y (-1 ، 0) ، Z (1 ، -6). أوجد رءوس المثلث X′Y′Z ′ بعد ترجمة 6 وحدات إلى اليمين. ثم رسم المثلث وصورته.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد ترجمة 6 وحدات إلى اليمين:
X '(3، -2)
Y '(5 ، 0)
Z '(7، -6)

السؤال 2.
صف ما يحدث للإحداثيات x و y بعد انعكاس نقطة عبر المحور x.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
يظل الإحداثي x كما هو ، بينما تتغير علامة الإحداثي y

السؤال 3.
استخدم القاعدة (x، y) → (y، -x) لرسم صورة المثلث على اليمين. ثم صف التحول.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
يتم تدوير المثلث بزاوية 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 4.
كيف يتغير إحداثيات x و y عندما يُترجم الشكل إلى اليمين a ووحدات أسفل b؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
تزداد إحداثيات x بمقدار a وتنقص إحداثيات y بمقدار b

9.4 الممارسة المستقلة & # 8211 التمثيلات الجبرية للتحولات & # 8211 الصفحة رقم 301

اكتب قاعدة جبرية لوصف كل تحول ، ثم صِف التحويل.

السؤال 5.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
القاعدة الجبرية
(س ، ص) - & GT (س -2 ، ص -5)
تحويل
ترجمة 2 وحدة إلى اليسار و 5 وحدات أسفل
إحداثيات جديدة
م '(- 4، -2)
N '(- 2، -2)
يا (- 1، -4)
ف '(- 4 ، -4)

السؤال 6.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
القاعدة الجبرية
(x، y) - & gt (-x، -y)
تحويل
دوران 180 درجة
إحداثيات جديدة
أ '(0 ، 0)
ب '(0، -3)
ج '(2، -3)
د '(2، 0)

السؤال 7.
المثلث XYZ له رؤوس X (6 ، -2.3) ، Y (7.5 ، 5) ، Z (8 ، 4). عند الترجمة ، يكون لدى X ′ إحداثيات (2.8 ، -1.3). اكتب قاعدة لوصف هذا التحول. ثم أوجد إحداثيات Y ′ و Z ′.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
القاعدة الجبرية
(x، y) - & gt (x-3.2، y + 1)
إحداثيات جديدة
Y '(4.3، 6)
Z '(4.8، 5)

السؤال 8.
إحداثيات النقطة L (3 ، -5). إحداثيات النقطة L ′ بعد الانعكاس هي (-3 ، -5). بدون رسم بياني ، حدد نقطة المحور L التي انعكست عبرها. اشرح اجابتك.
____________

إجابه:
انعكست النقطة L على المحور الصادي.
عندما تعكس نقطة عبر المحور y ، تتغير علامة الإحداثي x ، وتظل علامة الإحداثي y كما هي

السؤال 9.
استخدم القاعدة (x، y) → (x & # 8211 2، y & # 8211 4) لرسم صورة المستطيل. ثم صف التحول.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
يتم ترجمة المستطيل بوحدتين إلى اليسار و 4 وحدات لأسفل

السؤال 10.
متوازي الأضلاع ABCD له رؤوس A (−2، −5 ( frac <1> <2> ))، B (−4، −5 ( frac <1> <2> ))، C (-3 ، -2) ، د (-1 ، -2). أوجد رؤوس متوازي الأضلاع A′B′C′D ′ بعد ترجمة 2 ( frac <1> <2> ) لأسفل.
اكتب أدناه:
__________

التمثيلات الجبرية للتحولات & # 8211 صفحة رقم 302

السؤال 11.
قامت ألكسندرا برسم الشعار المعروض على ورق رسم بياني مقاس نصف بوصة. اكتب قاعدة تصف الترجمة التي استخدمتها ألكسندرا لإنشاء الظل على الحرف أ.

اكتب أدناه:
__________

تفسير:
الترجمة في الوحدات
(س ، ص) & # 8211 & GT (س + 1 ، ص -0.5)
تقوم هذه الخطوة بتحويل قاعدة الترجمة بالوحدات إلى قاعدة الترجمة بالبوصة. (اقسم على 2 لأن ورقة الرسم البياني عبارة عن ورقة بحجم نصف بوصة.
(x + 1 ، y-0.5) & # 8211 & gt (x + 0.5 ، y-0.25)

السؤال 12.
Kite KLMN لها رؤوس عند K (1 ، 3) ، L (2 ، 4) ، M (3 ، 3) ، و N (2 ، 0). بعد تدوير الطائرة الورقية ، يكون لدى K ′ إحداثيات (-3 ، 1). صف التناوب ، وقم بتضمين قاعدة في الوصف الخاص بك. ثم أوجد إحداثيات L ′ و M ′ و N ′.
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
دوران
90 عكس اتجاه عقارب الساعة
قاعدة
(س ، ص) - & GT (-y ، x)
إحداثيات جديدة
L '(- 4 ، 2)
م '(- ٣ ، ٣)
N '(0، 2)

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 13.
ارسم تخمينًا ارسم المثلث بالرؤوس (-3 ، 4) ، (3 ، 4) ، (-5 ، -5). استخدم التحويل (y ، x) لرسم صورته.
أ. أي رأس من الصورة له نفس إحداثيات رأس الشكل الأصلي؟ اشرح لماذا هذا صحيح.

اكتب أدناه:
__________

إجابه:
(-5 ، 5) له نفس الإحداثيات

السؤال 13.
ب. ما هي معادلة الخط المار بالأصل وهذه النقطة؟
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
x و y متساويان لذا فإن تبديل x و y ليس له أي تأثير على الإحداثيات

السؤال 13.
ج. صف تحول المثلث.
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
x و y متساويان لذا فإن تبديل x و y ليس له أي تأثير على الإحداثيات

السؤال 14.
التفكير النقدي يقول ميتشل إن النقطة (0 ، 0) لا تتغير عندما تنعكس عبر المحور x أو المحور y أو عندما تدور حول الأصل. هل تتفق مع ميتشل؟ اشرح لماذا ولماذا لا.
_______

إجابه:
نعم ، أنا أتفق مع ميتشل

تفسير:
الانعكاس عبر المحور x أو المحور y يغير علامة الإحداثي y أو x 0 لا يمكن أن يغير الإشارات.
التدوير حول الأصل لا يغير الأصل (0 ، 0)

السؤال 15.
تحليل العلاقات المثلث ABC ذو الرؤوس A (-2 ، -2) ، B (-3 ، 1) ، و C (1 ، 1) يتم ترجمته بواسطة (x ، y) → (x & # 8211 1 ، y + 3) . ثم يتم ترجمة الصورة ، المثلث A′B′C ′ ، بواسطة (x ، y) → (x + 4 ، y & # 8211 1) ، مما ينتج عنه A ″ B ″ C ″.
أ. أوجد إحداثيات رءوس المثلث ″ ب ″ ج.
اكتب أدناه:
__________

السؤال 15.
ب. اكتب قاعدة لترجمة واحدة تحدد المثلث ABC بالمثلث A ″ B ″ C ″.
اكتب أدناه:
__________

الممارسة الإرشادية & # 8211 الأرقام المتطابقة & # 8211 الصفحة رقم 306

السؤال رقم 1.
قم بتطبيق سلسلة التحويلات المشار إليها على المستطيل. يتم تطبيق كل تحويل على صورة التحويل السابق ، وليس الشكل الأصلي. قم بتسمية كل صورة بحرف التحويل المطبق.

أ. انعكاس عبر المحور الصادي
B. دوران 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل
ج. (س ، ص) → (س & # 8211 2 ، ص)
D. دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل
(س ، ص) → (س & # 8211 7 ، ص & # 8211 2)
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
أ. بعد التحول
(1, 3)
(1, 4)
(4, 4)
(4, 3)
ب. بعد التحول
(3, -1)
(4, -1)
(4, -4)
(3, -4)
C. بعد التحول
(1, -1)
(2, -1)
(2, -4)
(1, -4)
D. بعد التحول
(1, 1)
(1, 2)
(4, 2)
(4, 1)
E. بعد التحول
(-6, -1)
(-6, 0)
(-3, 0)
(-3, -1)

حدد سلسلة من التحولات التي ستحول الشكل أ إلى شكل ج.

السؤال 2.
ما هو التحول المستخدم لتحويل الشكل أ إلى الشكل ب؟
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
الانعكاس عبر المحور الصادي

تفسير:
يتم استخدام الانعكاس عبر المحور الصادي لتحويل الشكل أ إلى الشكل ب

السؤال 3.
ما هو التحول المستخدم لتحويل الشكل B إلى الشكل C؟
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
ترجمة 3 وحدات لليمين و 4 وحدات أسفل

تفسير:
تستخدم الترجمة 3 وحدات لليمين و 4 وحدات لأسفل لتحويل الشكل B إلى الشكل C

السؤال 4.
ما هو تسلسل التحولات المستخدم لتحويل الشكل أ إلى الشكل ج؟ التعبير عن التحولات جبريًا.
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
يتم استخدام الانعكاس عبر المحور الصادي لتحويل الشكل أ إلى الشكل ب
تستخدم الترجمة 3 وحدات لليمين و 4 وحدات لأسفل لتحويل الشكل B إلى الشكل C
جبريا:
(س ، ص) - & GT (-x ، ص)
(س ، ص) - & GT (س +3 ، ص -4)

السؤال 5.
المفردات ماذا يعني تطابق رقمين؟
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
يتطابق شكلان عندما يكون للشكل نفس الحجم والشكل.

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 6.
بعد سلسلة من الترجمات والانعكاسات والدوران ، ما هو الصحيح في الشكل الأول والشكل النهائي؟
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
بعد سلسلة من الترجمات والانعكاسات والدوران ، يكون للشكلين الأول والأخير نفس الحجم والشكل. (هم متطابقون)

9.5 الممارسة المستقلة & # 8211 الأرقام المتطابقة & # 8211 الصفحة رقم 307

لكل شكل A معطى ، رسم بياني الأشكال B و C باستخدام تسلسل التحويلات المعطى. حدد ما إذا كان الشكلان A و C لهما نفس الاتجاه أو اتجاه مختلف.

السؤال 7.

الشكل (ب): ترجمة وحدة واحدة إلى اليمين و 3 وحدات لأعلى
الشكل (ج): دوران 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
توجهات مختلفة

السؤال 8.

الشكل ب: انعكاس عبر المحور الصادي
الشكل ج: دوران 180 درجة حول الأصل
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
توجهات مختلفة

السؤال 9.

الشكل ب: انعكاس عبر المحور الصادي
الشكل (ج): ترجمة وحدتين لأسفل
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
توجهات مختلفة

السؤال 10.

الشكل (ب): ترجمة مكونة من وحدتين
الشكل (ج): دوران بمقدار 180 درجة حول الأصل
اكتب أدناه:
__________

إجابه:
توجهات مختلفة

أرقام متطابقة & # 8211 رقم الصفحة 308

السؤال 11.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي أراد مخطط المدينة وضع مكتبة المدينة الجديدة في الموقع أ. اعتقد العمدة أنه سيكون من الأفضل في الموقع ب. ما هي التحولات التي تم تطبيقها على المبنى في الموقع أ لنقل المبنى إلى الموقع ب؟ هل قام العمدة بتغيير حجم أو اتجاه المكتبة؟

اكتب أدناه:
__________

إجابه:
من الموقع أ إلى الموقع ب: ترجمة وحدتين لليمين و 4 وحدات أسفل
الحجم لم يتغير
الاتجاه تغير

السؤال 12.
المثابرة على حل المشكلة ابحث عن سلسلة من ثلاثة تحويلات يمكن استخدامها للحصول على الشكل D من الشكل أ. بيّن الأشكال B و C التي تم إنشاؤها بواسطة التحويلات.

اكتب أدناه:
__________

إجابه:
من الشكل أ إلى د:
الانعكاس عبر المحور السيني (-1 ، -5) (-1 ، -6) (2 ، -5) (4 ، -6)
90 درجة دوران في اتجاه عقارب الساعة (4 ، -1) (5 ، -1) (5 ، -4) (4 ، -6)
الترجمة 6 وحدات اليسار (4 ، -1) (5 ، -1) (5 ، -4) (4 ، -6)

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 13.
أمثلة مضادة توضح الخصائص التبادلية للجمع والضرب أن ترتيب عددين يتم إضافتهما أو ضربهما لا يغير المجموع أو المنتج. هل الترجمات والتدوير تبادلي؟ إذا لم يكن كذلك ، فقم بإعطاء مثال مضاد.
________

إجابه:
لا ، الترجمة والتناوب ليسا تبادليين

تفسير:
النقطة (2 ، 2) تصبح (2 ، -4) عند ترجمة وحدتين إلى اليمين ثم استدارة 90 حول الأصل.
النقطة (2 ، 2) تصبح (4 ، -2) عند تدوير 90 حول الأصل ثم تُترجم وحدتان إلى اليمين.
النقطتان المذكورتان أعلاه ليستا متماثلتين.

السؤال 14.
تمثيلات متعددة لكل تمثيل ، صف التسلسل المحتمل للتحولات.
أ. (س ، ص) → (-x & # 8211 2 ، ص + 1)
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
ترجمة 2 وحدة الحق و 1 وحدة
انعكاس عبر المحور ص

السؤال 14.
ب. (س ، ص) → (ص ، -س & # 8211 3)
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
استدارة 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل
ترجمة 3 وحدات أسفل

جاهز للمضي قدمًا؟ & # 8211 نموذج اختبار & # 8211 رقم الصفحة 309

9.1–9.3 خصائص الترجمات والتأملات والدوران

السؤال رقم 1.
ارسم صورة المثلث ABC بعد ترجمة 6 وحدات إلى اليمين و 4 وحدات لأسفل. قم بتسمية رؤوس الصورة "أ" و "ب" و "ج".

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد الترجمة:
أ '(2، 1)
ب '(2، -1)
ج '(5، -1)

السؤال 2.
على نفس شبكة الإحداثيات ، ارسم صورة المثلث ABC بعد الانعكاس عبر المحور x. قم بتسمية رؤوس الصورة "أ" و "ب" و "ج".
اكتب أدناه:
____________

السؤال 3.
ارسم صورة HIJK بعد تدويرها 180 درجة حول الأصل. قم بتسمية رؤوس الصورة H’I'J’K '.

اكتب أدناه:
____________

9.4 التمثيلات الجبرية للتحولات

السؤال 4.
مثلث رءوسه عند (2 ، 3) ، (2 ، 2) ، (3 ، 5). ما إحداثيات رؤوس الصورة بعد الترجمة (س ، ص) ← (س + 4 ، ص - 3)؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
بعد الترجمة:
(6, 0)
(2, -1)
(1, 2)

9.5 أرقام متطابقة

السؤال 5.
تُنتج ترجمات المفردات ، والانعكاسات ، والتناوب رقم _____ إلى الشكل الأصلي.
اكتب أدناه:
____________

تفسير:
تُنتج ترجمات المفردات ، والانعكاسات ، والدوران رقمًا مطابقًا للشكل الأصلي.

السؤال 6.
استخدم شبكة الإحداثيات للتمرين 3. عكس H’I’J’K "فوق المحور y ، ثم قم بتدويرها 180 درجة حول الأصل. قم بتسمية الشكل الجديد H ″ I ″ J ″ K ″.
اكتب أدناه:
____________

السؤال الجوهري

السؤال 7.
كيف يمكنك استخدام التحولات لحل مشاكل العالم الحقيقي؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
تسمح الخصائص التحويلية بالحركة المنهجية للأشكال المتطابقة مع الحفاظ على اتجاهها أو تعديله.

الاستجابة المختارة & # 8211 مراجعة مختلطة & # 8211 رقم الصفحة 310

السؤال رقم 1.
ماذا سيكون اتجاه الشكل L بعد ترجمة 8 وحدات إلى اليمين و 3 وحدات لأعلى؟

خيارات:
أ. أ
ب. ب
ج. ج
د. د

تفسير:
بعد ترجمة 8 وحدات إلى اليمين و 3 وحدات لأعلى ، يظل اتجاه الشكل L كما هو.

السؤال 2.
ينعكس الشكل (أ) على المحور الصادي ثم ينخفض ​​بمقدار 6 وحدات. أي تسلسل يصف هذه التحولات؟
خيارات:
أ. (x، y) - & gt (x، -y) and (x، y) - & gt (x، y & # 8211 6)
ب. (x، y) - & gt (-x، y) and (x، y) - & gt (x، y & # 8211 6)
ج. (x، y) - & gt (x، -y) and (x، y) - & gt (x & # 8211 6، y)
د. (س ، ص) - & GT (-x ، ص) و (س ، ص) - & GT (س & # 8211 6 ، ص)

إجابه:
ب. (x، y) - & gt (-x، y) and (x، y) - & gt (x، y & # 8211 6)

تفسير:
الانعكاس على المحور الصادي:
(س ، ص) - & GT (-x ، ص)
ترجمة 6 وحدات أسفل
(س ، ص) - & GT (س ، ص -6)

السؤال 3.
في أي ربع سيكون المثلث بعد دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل؟

خيارات:
أ. أنا
ب. II
ج. ثالثا
د. رابعا

تفسير:
بعد دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل ، سيكون المثلث في QIV

السؤال 4.
أي رقم منطقي أكبر من −3 ( frac <1> <3> ) ولكنه أقل من - ( frac <4> <5> )؟
خيارات:
أ. −0.4
ب. - ( فارك <9> <7> )
ج. −0.19
د. - ( فارك <22> <5> )

السؤال 5.
أي مما يلي لا ينطبق على شبه المنحرف المنعكس عبر المحور x؟
خيارات:
أ. شبه المنحرف الجديد هو نفس حجم شبه المنحرف الأصلي.
ب. شبه المنحرف الجديد هو نفس شكل شبه المنحرف الأصلي.
ج. يكون شبه المنحرف الجديد في نفس اتجاه شبه المنحرف الأصلي.
د. إحداثيات x لشبه المنحرف الجديد هي نفس إحداثيات x لشبه المنحرف الأصلي.

إجابه:
د. إحداثيات x لشبه المنحرف الجديد هي نفس إحداثيات x لشبه المنحرف الأصلي.

تفسير:
إحداثيات x لشبه المنحرف الجديد هي نفسها إحداثيات x لشبه المنحرف الأصلي.

السؤال 6.
مثلث بإحداثيات (6 ، 4) ، (2 ، −1) ، (−3 ، 5) يترجم 4 وحدات إلى اليسار ويتم تدويره 180 درجة حول الأصل. ما هي إحداثيات صورتها؟
خيارات:
أ. (2 ، 4) ، (-2 ، -1) ، (-7 ، 5)
ب. (4 ، 6) ، (-1 ، 2) ، (5 ، -3)
ج. (4 ، -2) ، (-1 ، 2) ، (5 ، 7)
د. (-2 ، -4) ، (2 ، 1) ، (7 ، -5)

السؤال 7.
ينعكس المستطيل برؤوسه (3 ، -2) ، (3 ، -4) ، (7 ، -2) ، (7 ، -4) عبر المحور x ثم يتم تدويره 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة.
أ. في أي ربع تكمن الصورة؟
____________

إجابه:
بعد الانعكاس والدوران ، تكمن الصورة في QII

السؤال 7.
ب. ما هي رؤوس الصورة؟
اكتب أدناه:
____________

السؤال 7.
ج. ما هي التحولات الأخرى التي تنتج نفس الصورة؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
سينتج عن الانعكاس عبر المحور الصادي والدوران بزاوية 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة نفس النتيجة.

استنتاج:

Go Math Grade 8 Answer Key الفصل 9 التحويلات والتطابق متاحان عبر الإنترنت وغير متصل يمكن للطلاب الرجوع إلى مفتاح الإجابة Go Math للصف 8 بطريقتهم المريحة. احصل على الأسئلة والأجوبة المفضلة في الفصل في الرياضيات وابدأ في التدرب عليها.


3. الأفلاطونية

في السنوات التي سبقت الحرب العالمية الثانية ، أصبح من الواضح أن اعتراضات كبيرة قد أثيرت ضد كل من البرامج الثلاثة المناهضة للأفلاطونية في فلسفة الرياضيات. Predicativism was perhaps an exception, but it was at the time a program without defenders. Thus room was created for a renewed interest in the prospects of platonistic views about the nature of mathematics. On the platonistic conception, the subject matter of mathematics consists of abstract entities.

3.1 Gödel&rsquos Platonism

Gödel was a platonist with respect to mathematical objects and with respect to mathematical concepts (Gödel 1944 Gödel 1964). But his platonistic view was more sophisticated than that of the mathematician in the street.

Gödel held that there is a strong parallelism between plausible theories of mathematical objects and concepts on the one hand, and plausible theories of physical objects and properties on the other hand. Like physical objects and properties, mathematical objects and concepts are not constructed by humans. Like physical objects and properties, mathematical objects and concepts are not reducible to mental entities. Mathematical objects and concepts are as objective as physical objects and properties. Mathematical objects and concepts are, like physical objects and properties, postulated in order to obtain a good satisfactory theory of our experience. Indeed, in a way that is analogous to our perceptual relation to physical objects and properties, through mathematical intuition we stand in a quasi-perceptual relation with mathematical objects and concepts. Our perception of physical objects and concepts is fallible and can be corrected. In the same way, mathematical intuition is not fool-proof &mdash as the history of Frege&rsquos Basic Law V shows&mdash but it can be trained and improved. Unlike physical objects and properties, mathematical objects do not exist in space and time, and mathematical concepts are not instantiated in space or time.

Our mathematical intuition provides intrinsic evidence for mathematical principles. Virtually all of our mathematical knowledge can be deduced from the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC). In Gödel&rsquos view, we have compelling intrinsic evidence for the truth of these axioms. But he also worried that mathematical intuition might not be strong enough to provide compelling evidence for axioms that significantly exceed the strength of ZFC.

Aside from intrinsic evidence, it is in Gödel&rsquos view also possible to obtain extrinsic evidence for mathematical principles. If mathematical principles are successful, then, even if we are unable to obtain intuitive evidence for them, they may be regarded as probably true. Gödel says that &ldquosuccess here means fruitfulness in consequences, particularly in &ldquoverifiable&rdquo consequences, i.e. consequences verifiable without the new axiom, whose proof with the help of the new axiom, however, are considerably simpler and easier to discover, and which make it possible to contract into one proof many different proofs [&hellip] There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences, shedding so much light on a whole field, yielding such powerful methods for solving problems [&hellip] that, no matter whether or not they are intrinsically necessary, they would have to be accepted at least in the same sense as any well-established physical theory&rdquo (Gödel 1947, p. 477). This inspired Gödel to search for new axioms which can be extrinsically motivated and which can decide questions such as the continuum hypothesis which are highly independent of ZFC (cf. section 5.1).

Gödel shared Hilbert&rsquos conviction that all mathematical questions have definite answers. But platonism in the philosophy of mathematics should not be taken to be ipso facto committed to holding that all set-theoretical propositions have determinate truth values. There are versions of platonism that maintain, for instance, that all theorems of ZFC are made true by determinate set-theoretical facts, but that there are no set-theoretical facts that make certain statements that are highly independent of ZFC truth-determinate. It seems that the famous set theorist Paul Cohen held some such view (Cohen 1971).

3.2 Naturalism and Indispensability

Quine formulated a methodological critique of traditional philosophy. He suggested a different philosophical methodology instead, which has become known as naturalism (Quine 1969). According to naturalism, our best theories are our best scientific theories. If we want to obtain the best available answer to philosophical questions such as What do we know? و Which kinds of entities exist?, we should not appeal to traditional epistemological and metaphysical theories. We should also refrain from embarking on a fundamental epistemological or metaphysical inquiry starting from first principles. Rather, we should consult and analyze our best scientific theories. They contain, albeit often implicitly, our currently best account of what exists, what we know, and how we know it.

Putnam applied Quine&rsquos naturalistic stance to mathematical ontology (Putnam 1972). At least since Galilei, our best theories from the natural sciences are mathematically expressed. Newton&rsquos theory of gravitation, for instance, relies heavily on the classical theory of the real numbers. Thus an ontological commitment to mathematical entities seems inherent to our best scientific theories. This line of reasoning can be strengthened by appealing to the Quinean thesis of confirmational holism. Empirical evidence does not bestow its confirmatory power on any one individual hypothesis. Rather, experience globally confirms the theory in which the individual hypothesis is embedded. Since mathematical theories are part and parcel of scientific theories, they too are confirmed by experience. Thus, we have empirical confirmation for mathematical theories. Even more appears true. It seems that mathematics is indispensable to our best scientific theories: it is not at all obvious how we could express them without using mathematical vocabulary. Hence the naturalist stance commands us to accept mathematical entities as part of our philosophical ontology. This line of argumentation is called an indispensability argument (Colyvan 2001).

If we take the mathematics that is involved in our best scientific theories at face value, then we appear to be committed to a form of platonism. But it is a more modest form of platonism than Gödel&rsquos platonism. For it appears that the natural sciences can get by with (roughly) function spaces on the real numbers. The higher regions of transfinite set theory appear to be largely irrelevant to even our most advanced theories in the natural sciences. Nevertheless, Quine thought (at some point) that the sets that are postulated by ZFC are acceptable from a naturalistic point of view they can be regarded as a generous rounding off of the mathematics that is involved in our scientific theories. Quine&rsquos judgement on this matter is not universally accepted. Feferman, for instance, argues that all the mathematical theories that are essentially used in our currently best scientific theories are predicatively reducible (Feferman 2005). Maddy even argues that naturalism in the philosophy of mathematics is perfectly compatible with a non-realist view about sets (Maddy 2007, part IV).

In Quine&rsquos philosophy, the natural sciences are the ultimate arbiters concerning mathematical existence and mathematical truth. This has led Charles Parsons to object that this picture makes the obviousness of elementary mathematics somewhat mysterious (Parsons 1980). For instance, the question whether every natural number has a successor ultimately depends, in Quine&rsquos view, on our best empirical theories however, somehow this fact appears more immediate than that. In a kindred spirit, Maddy notes that mathematicians do not take themselves to be in any way restricted in their activity by the natural sciences. Indeed, one might wonder whether mathematics should not be regarded as a science in its own right, and whether the ontological commitments of mathematics should not be judged rather on the basis of the rational methods that are implicit in mathematical practice.

Motivated by these considerations, Maddy set out to inquire into the standards of existence implicit in mathematical practice, and into the implicit ontological commitments of mathematics that follow from these standards (Maddy 1990). She focussed on set theory, and on the methodological considerations that are brought to bear by the mathematical community on the question which large cardinal axioms can be taken to be true. Thus her view is closer to that of Gödel than to that of Quine. In more recent work, she isolates two maxims that seem to be guiding set theorists when contemplating the acceptability of new set theoretic principles: unify و maximize (Maddy 1997). The maxim &ldquounify&rdquo is an instigation for set theory to provide a single system in which all mathematical objects and structures of mathematics can be instantiated or modelled. The maxim &ldquomaximize&rdquo means that set theory should adopt set theoretic principles that are as powerful and mathematically fruitful as possible.

3.3 Deflating Platonism

Bernays observed that when a mathematician is at work she &ldquonaively&rdquo treats the objects she is dealing with in a platonistic way. Every working mathematician, he says, is a platonist (Bernays 1935). But when the mathematician is caught off duty by a philosopher who quizzes her about her ontological commitments, she is apt to shuffle her feet and withdraw to a vaguely non-platonistic position. This has been taken by some to indicate that there is something wrong with philosophical questions about the nature of mathematical objects and of mathematical knowledge.

Carnap introduced a distinction between questions that are internal to a framework and questions that are external to a framework (Carnap 1950). Tait has worked out in detail how something like this distinction can be applied to mathematics (Tait 2005). This has resulted in what might be regarded as a deflationary version of platonism.

According to Tait, questions of existence of mathematical entities can only be sensibly asked and reasonably answered from within (axiomatic) mathematical frameworks. If one is working in number theory, for instance, then one can ask whether there are prime numbers that have a given property. Such questions are then to be decided on purely mathematical grounds.

Philosophers have a tendency to step outside the framework of mathematics and ask &ldquofrom the outside&rdquo whether mathematical objects حقا exist and whether mathematical propositions are حقا true. In this question they are asking for supra-mathematical or metaphysical grounds for mathematical truth and existence claims. Tait argues that it is hard to see how any sense can be made of such external questions. He attempts to deflate them, and bring them back to where they belong: to mathematical practice itself. Of course not everyone agrees with Tait on this point. Linsky and Zalta have developed a systematic way of answering precisely the sort of external questions that Tait approaches with disdain (Linsky & Zalta 1995).

It comes as no surprise that Tait has little use for Gödelian appeals to mathematical intuition in the philosophy of mathematics, or for the philosophical thesis that mathematical objects exist &ldquooutside space and time&rdquo. More generally, Tait believes that mathematics is not in need of a philosophical foundation he wants to let mathematics speak for itself. In this sense, his position is reminiscent of the (in some sense Wittgensteinian) natural ontological attitude that is advocated by Arthur Fine in the realism debate in the philosophy of science.

3.4 Benacerraf&rsquos Epistemological Problem

Benacerraf formulated an epistemological problem for a variety of platonistic positions in the philosophy of science (Benacerraf 1973). The argument is specifically directed against accounts of mathematical intuition such as that of Gödel. Benacerraf&rsquos argument starts from the premise that our best theory of knowledge is the causal theory of knowledge. It is then noted that according to platonism, abstract objects are not spatially or temporally localized, whereas flesh and blood mathematicians are spatially and temporally localized. Our best epistemological theory then tells us that knowledge of mathematical entities should result from causal interaction with these entities. But it is difficult to imagine how this could be the case.

Today few epistemologists hold that the causal theory of knowledge is our best theory of knowledge. But it turns out that Benacerraf&rsquos problem is remarkably robust under variation of epistemological theory. For instance, let us assume for the sake of argument that reliabilism is our best theory of knowledge. Then the problem becomes to explain how we succeed in obtaining reliable beliefs about mathematical entities.

Hodes has formulated a semantical variant of Benacerraf&rsquos epistemological problem (Hodes 1984). According to our currently best semantic theory, causal-historical connections between humans and the world of concreta enable our words to refer to physical entities and properties. According to platonism, mathematics refers to abstract entities. The platonist therefore owes us a plausible account of how we (physically embodied humans) are able to refer to them. On the face of it, it appears that the causal theory of reference will be unable to supply us with the required account of the &lsquomicrostructure of reference&rsquo of mathematical discourse.

3.5 Plenitudinous Platonism

A version of platonism has been developed which is intended to provide a solution to Benacerraf&rsquos epistemological problem (Linsky & Zalta 1995 Balaguer 1998). This position is known as plenitudinous platonism. The central thesis of this theory is that every logically consistent mathematical theory necessarily refers to an abstract entity. Whether the mathematician who formulated the theory knows that it refers or does not know this, is largely immaterial. By entertaining a consistent mathematical theory, a mathematician automatically acquires knowledge about the subject matter of the theory. So, on this view, there is no epistemological problem to solve anymore.

In Balaguer&rsquos version, plenitudinous platonism postulates a multiplicity of mathematical universes, each corresponding to a consistent mathematical theory. Thus, in particular a question such as the continuum problem (cf. section 5.1) does not receive a unique answer: in some set-theoretical universes the continuum hypothesis holds, in others it fails to hold. However, not everyone agrees that this picture can be maintained. Martin has developed an argument to show that multiple universes can always to a large extent be &ldquoaccumulated&rdquo into a single universe (Martin 2001).

In Linsky and Zalta&rsquos version of plenitudinous platonism, the mathematical entity that is postulated by a consistent mathematical theory has exactly the mathematical properties which are attributed to it by the theory. The abstract entity corresponding to ZFC, for instance, is partial in the sense that it neither makes the continuum hypothesis true nor false. The reason is that ZFC neither entails the continuum hypothesis nor its negation. This does not entail that all ways of consistently extending ZFC are on a par. Some ways may be fruitful and powerful, others less so. But the view does deny that certain consistent ways of extending ZFC are preferable because they consist of true principles, whereas others contain false principles.


Order of operations problems

First, study the example in the figure carefully!

Multiply and Divide from left to right

Add and Subtract from left to right

The following mnemonic may help you remember the rule:

PEMDAS ( Please Excuse My Dear Aunt Sally )

The P stands for Parentheses

The E stands for Exponents

The M stands for Multiply

The D stands for Division

The S stands for Subtraction

Even though M comes before D in PEMDAS, the two operations have the same power. By the same token, even though A comes before S, the two operations have the same power.


Try it Yourself

But you may see a circle equation and not know it!

Because it may not be in the neat "Standard Form" above.

As an example, let us put some values to a, b and r and then expand it

It is a circle equation, but "in disguise"!

So when you see something like that think "hmm . that قد be a circle!"

In fact we can write it in "General Form" by putting constants instead of the numbers:

Note: General Form always has x 2 + y 2 for the first two terms.


Math Work Problems - Two Persons

In these lessons, we will learn how to solve work problems that involve two persons who may work at different rates.

Work Problems are word problems that involve different people doing work together but at different rates . If the people were working at the same rate then we can use the Inversely Proportional Method instead.

How To Solve Work Problems: Two Persons, Unknown Time

We will learn how to solve math work problems that involve two persons. We will also learn how to solve work problems with unknown time.

The following diagram shows the formula for Work Problems that involve two persons. Scroll down the page for more examples and solutions on solving algebra work problems.

This formula can be extended for more than two persons.

"Work" Problems: Two Persons

مثال:
Peter can mow the lawn in 40 minutes and John can mow the lawn in 60 minutes. How long will it take for them to mow the lawn together?

حل:
Step 1: Assign variables:
يترك x = time to mow lawn together.

Step 3: Solve the equation
The LCM of 40 and 60 is 120
Multiply both sides with 120

Answer: The time taken for both of them to mow the lawn together is 24 minutes.

Work Problems With One Unknown Time

  1. Catherine can paint a house in 15 hours. Dan can paint a house in 30 hours. How long will it take them working together.
  2. Evan can clean a room in 3 hours. If his sister, Faith helps, it takes them two and two-fifths hours. How long will it take Faith working alone?

Variations Of GMAT Combined Work Problems

  1. Working at a constant rate, Joe can paint a fence in 4 hours. Working at a constant rate, his brother can paint the same fence in 2 hours. How long will it take them to paint the fence if they both work together at their respective constant rates?
  2. Working alone at a constant rate, machine A takes 2 hours to build a care. Working alone at a constant rate, machine B takes 3 hours to build the same car. If they work together for 1 hour at their respective constant rates and then machine B breaks down, how much additional time will it take machine A to finish the car by itself?
  3. Working alone at a constant rate, Carla can wash a load of dishes in 42 minutes. If Carla works together with Dan and they both work at constant rates, it takes them 28 minutes to wash the same load of dishes. Working at a constant rate, how long would it take Dan to wash the load of dishes by himself?

How To Solve &ldquoWorking Together&rdquo Problems?

مثال:
It takes Andy 40 minutes to do a particular job alone. It takes Brenda 50 minutes to do the same job alone. How long would it take them if they worked together?

Word Problem: Work, Rates, Time To Complete A Task

We are given that a person can complete a task alone in 32 hours and with another person they can finish the task in 19 hours. We want to know how long it would take the second person working alone.

مثال:
Latisha and Ricky work for a computer software company. Together they can write a particular computer program in 19 hours. Latisha van write the program by herself in 32 hours. How long will it take Ricky to write the program alone?

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


4.2: New Page - Mathematics

الرياضيات اليومية is divided into Units, which are divided into Lessons. In the upper-left corner of the Home Link, you should see an icon like this:


The Unit number is the first number you see in the icon, and the Lesson number is the second number. In this case, the student is working in Unit 5, Lesson 4. To access the help resources, you would select "Unit 5" from the list above, and then look for the row in the table labeled "Lesson 5-4."

Everyday Mathematics for Parents: What You Need to Know to Help Your Child Succeed

The University of Chicago School Mathematics Project

University of Chicago Press


WHAT THEY’RE SAYING:

"That was the best, most motivating, most powerful inservice in my 20 years of teaching. Thank you so much for that opportunity and thanks for re-energizing my math planning and thinking in the middle of the year. Kudos. My kids are addicted to the Kakooma puzzles after just one try!"

"This is the best money I&aposve spent on my classroom in a long time! I just wanted to say THANK YOU so much for making math come alive for our students. and teachers. Everyone has a renewed spirit for learning thanks to your energy."

"Thank you so much for a fun afternoon!! I brought the Greg Tang kit home to try out with my second grader. We have been playing for the past TWO hours! He said he wants to play until midnight. ) He has had so much fun learning math and I can&apost wait to share with my teachers. He even made up a game of his own that he said was "very mathy". and it was! He wants to share it with you!"

"Thanks, Greg Tang for the easiest math night ever! I was able to set up and train my teacher volunteers to play the games in less than a half hour. We literally had to pry the game pieces out of the families&apos hands at 7pm when the event was over. One parent yelled across the parking lot to me the next morning that her two daughters were still "Greg Tanging" it for another hour after they got home. Thank you for making math practice FUN!"

"Thank you so much for this class kit! I used the kit over the summer to play math games with some students and they loved it! Even the reluctant ones were engaged and having fun. Also, it&aposs great that I can differentiate the games because there are multiple levels included. We already play the online Greg Tang math games, so this is a great extension of those activities. I can&apost wait to introduce this year&aposs class to these games!"

"My students struggled at first with the Tangy Tuesday packet. However, after a month they are screaming for more. I hand the packed out on Tuesday and collect on Friday. We review the packet the following week. Thank you Greg Tang for bringing excitement into my math class!"


شاهد الفيديو: Unit 3 Lesson 2 The area of a parallelogram l primary 5 l Second term l علمنى Math (شهر اكتوبر 2021).