مقالات

2: التباديل والتوليفات ونظرية ذات الحدين


2: التباديل والتوليفات ونظرية ذات الحدين

الهياكل المنفصلة التطبيقية

في القسم 2.1 بحثنا في المفهوم الأساسي في التوليفات ، ألا وهو قاعدة المنتجات. من الأهمية بمكان مراعاة هذه القاعدة الأساسية. في القسم 2.2 ، رأينا فئة فرعية من مسائل قواعد المنتجات ، والتباديل ، واشتقنا صيغة كمساعدات حسابية لمساعدتنا. في هذا القسم ، سنبحث في صيغة عد أخرى ، وهي صيغة تُستخدم لحساب التوليفات ، وهي مجموعات فرعية ذات حجم معين.

في العديد من تطبيقات قواعد المنتجات ، يكون الترتيب مهمًا ، مثل ترتيب الضرب لفريق البيسبول. في حالات أخرى ، لا يكون ذلك مهمًا ، كما هو الحال في وضع العملات المعدنية في آلة البيع أو في سرد ​​عناصر المجموعة. الترتيب مهم في التباديل. الترتيب ليس مهمًا في المجموعات.

مثال 2.4.1. عد التباديل.

كم عدد الطرق المختلفة الموجودة لتبديل ثلاثة أحرف من المجموعة (A = text <؟> ) من صيغة حساب التباديل يوجد (P (4،3) = frac <4!> <(4-3)!> = 24 ) ترتيب مختلف من ثلاثة أحرف من (A )

مثال 2.4.2. العد مع عدم وجود ترتيب.

كم عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار مجموعة من ثلاثة أحرف من (A = text <؟> ) لاحظ هنا أننا لا نهتم بترتيب الأحرف الثلاثة. عن طريق التجربة والخطأ ، ABC و abd و acd و bcd هي القوائم الوحيدة الممكنة. للتكرار ، كنا نبحث عن جميع المجموعات الفرعية المكونة من ثلاثة عناصر للمجموعة (A text <.> ) الترتيب ليس مهمًا في المجموعات. تدوين اختيار 3 عناصر من 4 هو الأكثر شيوعًا ( binom <4> <3> ) أو أحيانًا (C (4،3) text <،> ) يُقرأ أي منهما "4 Choose 3" أو عدد التوليفات لأربعة كائنات مأخوذة ثلاثة في وقت واحد.

التعريف 2.4.3. معامل ذو الحدين.

لنفترض أن (n ) و (k ) أعداد صحيحة غير سالبة. المعامل ذو الحدين ( binom) يمثل عدد مجموعات (n ) الكائنات المأخوذة (k ) في وقت واحد ، ويتم قراءته " (n ) اختر (k text <.> )"

نود الآن أن نتحرى العلاقة بين مشاكل التباديل والجمع من أجل اشتقاق صيغة لـ ( binom)

دعونا نعيد النظر في العد بدون ترتيب. هناك (3! = 6 ) ترتيب مختلف لكل مجموعة من المجموعات الفرعية المكونة من ثلاثة عناصر. يسرد الجدول أدناه كل مجموعة فرعية من (A ) وجميع التباديل لكل مجموعة فرعية في نفس السطر.

نقوم بتعميم هذه النتيجة في النظرية التالية:

نظرية 2.4.4. صيغة المعامل ذي الحدين.

إذا كان (n ) و (k ) عددًا صحيحًا غير سالب مع (0 leq k leq n text <،> ) ثم الرقم (k ) - مجموعات العناصر الفرعية من (n ) مجموعة العناصر تساوي

دليل - إثبات .

الدليل الأول: توجد (k! ) طرق لترتيب عناصر أي مجموعة عناصر (k ). وبالتالي،

الدليل 2: من أجل "إنشاء" تبديل (k ) للكائنات من مجموعة من (n ) العناصر ، يمكننا أولاً اختيار مجموعة فرعية من الكائنات وثانيًا ، اختيار أحد (k! ) تباديل تلك الأشياء. بحكم المنتجات ،

وحل من أجل ( binom) نحصل على الصيغة المطلوبة.

مثال 2.4.5. تقليب العملات.

افترض أن عملة معدنية متوازنة تم رميها خمس مرات. كم عدد الطرق التي يمكن الحصول عليها من ثلاثة رؤوس؟ هذه مشكلة مركبة ، لأن الترتيب الذي تظهر به الرؤوس لا يهم. يمكننا أن نفكر في هذا على أنه موقف يتضمن مجموعات من خلال النظر في مجموعة تقلبات العملة ، من 1 إلى 5 ، التي يظهر فيها الوجه. عدد طرق الحصول على ثلاثة رؤوس هو ( binom <5> <3> = frac <5 cdot 4> <2 cdot 1> = 10 text <.> )

مثال 2.4.6. العد خمسة مرات تقلب بطريقتين.

نحدد العدد الإجمالي للطرق المرتبة التي يمكن لعملة عادلة أن تهبط بها إذا تم رميها خمس مرات متتالية. يمكن أن تنتج القذفات الخمس أيًا من الأحداث غير المترابطة التالية: 5 رؤوس ، 4 رؤوس ، 3 رؤوس ، رأسان ، رأس واحد ، أو 0 رؤوس. على سبيل المثال ، في المثال السابق ، هناك تسلسلات ( binom <5> <3> = 10 ) تظهر فيها ثلاثة رؤوس. حساب الاحتمالات الأخرى بنفس الطريقة ، بموجب قانون الإضافة لدينا:

طرق مراقبة التقلبات الخمسة.

بالطبع ، كان بإمكاننا أيضًا تطبيق القاعدة الموسعة للمنتجات ، وبما أن هناك نتيجتين محتملتين لكل من عمليات القذف الخمسة ، فلدينا (2 ^ 5 = 32 ) طرق.

قد تعتقد أن عد شيء بطريقتين هو مضيعة للوقت ولكن حل مشكلة بطريقتين مختلفتين غالبًا ما يكون مفيدًا ويؤدي إلى رؤى قيمة. في هذه الحالة ، يقترح صيغة عامة للمبلغ ( sum_^ n binom text <.> ) في حالة (n = 5 text <،> ) نحصل على (2 ^ 5 ) لذلك من المعقول أن نتوقع أن المجموع العام هو (2 ^ n text <،> ) وهو كذلك. تتضمن الحجة المنطقية لإثبات العبارة العامة ببساطة تعميم المثال السابق على (n ) تقليب العملة.

مثال 2.4.7. لجنة من خمسة.

تبدأ اللجنة عادة كمجموعة غير منظمة من الأشخاص المختارين من عضوية أكبر. لذلك ، يمكن اعتبار اللجنة على أنها مزيج. إذا كان للنادي المكون من 25 عضوًا لجنة اجتماعية من خمسة أعضاء ، فهناك ( binom <25> <5> = frac <25 cdot 24 cdot 23 cdot 22 cdot 21> <5!> = 53130 ) اللجان الاجتماعية المختلفة الممكنة. إذا تم وضع أي هيكل أو قيد على طريقة اختيار اللجنة الاجتماعية ، فمن المحتمل أن يتغير عدد اللجان المحتملة. على سبيل المثال ، إذا كان للنادي قاعدة تقضي بأن يكون أمين الصندوق في اللجنة الاجتماعية ، فسيتم تقليل عدد الاحتمالات إلى ( binom <24> <4> = frac <24 cdot 23 cdot 22 cdot 21> <4!> = 10626 نص <.> )

إذا طلبنا كذلك أن يتم اختيار رئيس غير أمين الصندوق للجنة الاجتماعية ، فلدينا ( binom <24> <4> cdot 4 = 42504 ) لجان اجتماعية مختلفة محتملة. يمثل اختيار الأربعة غير أمناء الصندوق العامل ( binom <24> <4> ) بينما الحاجة إلى اختيار رئيس حسابات لـ 4.

مثال 2.4.8. معاملات ذات الحدين - الحالات القصوى.

بمجرد تطبيق تعريف المعامل ذي الحدين على أنه عدد من المجموعات الفرعية ، نرى أن هناك ( binom <0> = 1 ) طريقة اختيار مجموعة من العناصر الصفرية من مجموعة (n text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، نرى أن هناك ( binom = 1 ) طريقة اختيار مجموعة من (n ) العناصر من مجموعة (n text <.> )

يمكننا حساب هذه القيم باستخدام المعادلة التي طورناها ، لكن لا حاجة إلى أي حساب هنا. الخصائص الأخرى للمعاملات ذات الحدين التي يمكن اشتقاقها باستخدام تعريف المجموعة الفرعية ستظهر في التمارين

القسم الفرعي 2.4.2 نظرية ذات الحدين

تعطينا نظرية ذات الحدين صيغة لفك ((x + y) ^ text <،> ) حيث (n ) عدد صحيح غير سالب. معاملات هذا التوسع هي على وجه التحديد المعاملات ذات الحدين التي استخدمناها لحساب التوليفات. باستخدام الجبر في المدرسة الثانوية يمكننا توسيع التعبير للأعداد الصحيحة من 0 إلى 5:

في توسيع ((x + y) ^ <5> ) نلاحظ أن معامل المصطلح الثالث هو ( binom <5> <3> = 10 text <،> ) وأن معامل المصطلح الثالث الحد السادس هو ( binom <5> <5> = 1 نص <.> ) يمكننا إعادة كتابة التوسع كـ

باختصار ، في توسيع ((x + y) ^) نلاحظ:

المصطلح الأول (x ^ n ) والمصطلح الأخير هو (y ^ n text <.> )

مع كل مصطلح متتالي ، ينقص الأسس (x ) بمقدار 1 مع زيادة عدد الأسس (y ) بمقدار 1. بالنسبة لأي مصطلح يكون مجموع الأس هو (n text <.> )

معامل (x ^ y ^ k ) هو ( binom نص <.> )

يُطلق على المصفوفة المثلثية للمعاملات ذات الحدين مثلث باسكال على اسم عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال في القرن السابع عشر. لاحظ أن كل رقم في المثلث بخلاف الرقم 1 في نهايات كل صف هو مجموع الرقمين الموجودين على يمين ويسار الصف أعلاه.

نظرية 2.4.9. نظرية ذات الحدين.

إذا كانت (n geq 0 text <،> ) و (x ) و (y ) أرقامًا ، إذن

دليل - إثبات .

سيتم إثبات هذه النظرية باستخدام إجراء منطقي يسمى الاستقراء الرياضي ، والذي سيتم تقديمه في الفصل 3.

مثال 2.4.10. تحديد مصطلح في التوسيع.

ابحث عن الحد الثالث في توسيع ((xy) ^ <4> = (x + (- y)) ^ <4> text <.> ) ، عندما (k = 2 text <، > ) هو ( binom <4> <2> x ^ <4-2> (-y) ^ 2 = 6 x ^ 2 y ^ 2 text <.> )

مثال 2.4.11. توسع ذو الحدين.

وسّع ((3 x - 2) ^ <3> text <.> ) إذا استبدلنا (x ) و (y ) في نظرية ذات الحدين بـ (3x ) و (- 2 ) نص <،> ) على التوالي ، نحصل عليه

القسم الفرعي 2.4.3 ملاحظة SageMath

يد الجسر عبارة عن مجموعة فرعية مكونة من 13 عنصرًا من مجموعة بطاقات قياسية ذات 52 بطاقة. لا يهم الترتيب الذي تأتي به البطاقات للاعب. من وجهة نظر لاعب واحد ، فإن عدد أيدي الجسر الممكنة هو ( binom <52> <13> text <،> ) والتي يمكن حسابها بسهولة باستخدام (Sage text <.> )

في الجسر ، يكون لموقع اليد بالنسبة للتاجر بعض التأثير على اللعبة. إشارة أكثر صحة لعدد توزيعات الورق الممكنة تأخذ في الاعتبار (كل ) توزيع الورق المحتمل للاعب. من المعتاد الإشارة إلى مواقع الجسر مثل الغرب والشمال والشرق والجنوب. يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للحصول على العدد الإجمالي لأيادي الجسر بالمنطق التالي. يمكن للغرب الحصول على أي من العقارب ( binom <52> <13> ) المحددة أعلاه. ثم يحصل الشمال على 13 بطاقة من أصل 39 بطاقة متبقية وكذلك لديه توزيع ورق محتمل ( binom <39> <13> ). يحصل الشرق بعد ذلك على 13 من أصل 26 بطاقة متبقية ، والتي لديها احتمالات ( binom <26> <13> ). الجنوب يحصل على البطاقات المتبقية. لذلك يتم حساب عدد أيدي الجسر باستخدام قاعدة المنتج.

تمارين 2.4.4 تمارين

تتكون اللجنة القضائية في الكلية من ثلاثة أعضاء هيئة تدريس وأربعة طلاب. إذا تم ترشيح عشرة أعضاء هيئة تدريس و 25 طالبًا في اللجنة ، فكم عدد اللجان القضائية التي يمكن تشكيلها في هذه المرحلة؟

افترض أنه تم تخزين حرف واحد في جهاز كمبيوتر باستخدام ثماني بتات.

أ. كم عدد أنماط البت التي تحتوي على ثلاثة آحاد بالضبط؟

ب. كم عدد أنماط البت التي تحتوي على الأقل على اثنين من الآحاد؟

فكر في مجموعة المواقف التي تحتوي على 1 لتحويل هذا إلى سؤال حول المجموعات.

كم عدد مجموعات فرعية من ( <1 ، 2 ، 3 ، النقاط ، 10 > ) تحتوي على سبعة عناصر على الأقل؟

تتكون لجان الكونغرس الخاصة بالرياضيات وعلوم الكمبيوتر من خمسة ممثلين لكل منها ، وقاعدة في الكونغرس تقضي بضرورة فصل اللجنتين. إذا كان هناك 385 عضوًا في الكونغرس ، فكم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار اللجان؟

توضح الصورة أدناه شبكة 6 × 6 ومثالًا يمكن أن يؤخذ من ((0،0) ) إلى ((6،6) text <،> ) وهو مسار يتم اتخاذه من خلال السفر على طول خطوط الشبكة التي تنتقل فقط إلى اليمين وأعلى. كم عدد المسارات الشبكية المختلفة من هذا النوع؟ التعميم في حالة المسارات الشبكية من ((0،0) ) إلى ((m، n) ) لأي أعداد صحيحة غير سالبة (m ) و (n text <.> )

فكر في كل مسار على أنه تسلسل من التعليمات للتحرك يمينًا (R) وأعلى (U).

يمكن وصف كل مسار على أنه تسلسل أو R و U مع ستة من كل منهما بالضبط. يمكن تحديد المواضع الستة التي يمكن وضع R فيها من اثني عشر موضعًا في التسلسل ( binom <12> <6> ) الطرق. يمكننا تعميم هذا المنطق ونرى أن هناك ( binom) مسارات من ((0،0) ) إلى ((م ، ن) نص <.> )

كم عدد المسارات الشبكية من ((0،0) ) إلى ((6،6) ) التي تمر عبر ((3،3) ) كما هو الحال في الشكل 12؟

يتم لعب لعبة البوكر بـ 52 ورقة. في بداية اللعبة ، يحصل كل لاعب على خمسة أوراق. لا يهم ترتيب توزيع البطاقات.

كم عدد "توزيع الورق" من خمس بطاقات ممكن؟

إذا كان هناك أربعة لاعبين يلعبون ، فكم عدد "توزيعات الورق" الأولية ذات الخمس أوراق الممكنة ، مع مراعاة جميع اللاعبين ومواقعهم على الطاولة؟ الموقف فيما يتعلق بالتاجر لا يهم.

(displaystyle binom <52> <5> cdot binom <47> <5> cdot binom <42> <5> cdot binom <37> <5>)

التدفق في يد البوكر ذات الخمس أوراق عبارة عن خمسة أوراق من نفس المجموعة. البدلات هي البستوني والهراوات والماس والقلوب. كم عدد عمليات المسح بالمجرفة الممكنة في مجموعة مكونة من 52 بطاقة؟ كم عدد الهبات الممكنة في أي بدلة؟

كم عدد توزيع ورق البوكر المكون من خمس بطاقات باستخدام 52 بطاقة تحتوي على اثنين ارسالات بالضبط؟

( binom <4> <2> cdot binom <48> <3> = 6 cdot 17296 = 103776 )

في لعبة البوكر ، البيت الكامل هو ثلاثة من نفس النوع وزوج في يد واحدة على سبيل المثال ، ثلاث خمسات وملكات. كم عدد المنازل الكاملة الممكنة من مجموعة مكونة من 52 بطاقة؟ يمكنك استخدام الخلية الحكيمة في ملاحظة SageMath للقيام بهذا الحساب ، ولكن أيضًا اكتب إجابتك من حيث المعاملات ذات الحدين.

ينقسم فصل من اثني عشر طالبًا في علوم الكمبيوتر إلى ثلاث مجموعات من 3 و 4 و 5 طلاب للعمل في مشروع. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها إذا كان كل طالب في مجموعة واحدة بالضبط؟

اشرح بالكلمات سبب كون المساواة التالية صحيحة بناءً على عدد المجموعات الفرعية ، ثم تحقق من المساواة باستخدام صيغة المعاملات ذات الحدين.

هناك عشر نقاط ، (P_1 ، P_2 ، dots ، P_ <10> ) على مستوى ، ولا توجد ثلاث نقاط على نفس السطر.

كم عدد الخطوط التي تحددها النقاط؟

كم عدد المثلثات التي تحددها النقاط؟

كم عدد الطرق التي يمكن بها (n ) تجميع الأشخاص في أزواج عندما (n ) زوجي؟ افترض أن ترتيب الأزواج مهم ، لكن ليس الترتيب داخل الأزواج. على سبيل المثال ، إذا (n = 4 text <،> ) ستكون المجموعات الست المختلفة

استخدم نظرية ذات الحدين لإثبات أنه إذا كان (A ) مجموعة محدودة ، فإن ( lvert P (A) rvert = 2 ^ < lvert A rvert> )

افترض ( lvert A rvert = n text <.> ) إذا تركنا (x = y = 1 ) في نظرية ذات الحدين ، نحصل على (2 ^ n = binom<0> + binom<1> + cdots + binom text <،> ) مع الجانب الأيمن من المساواة لحساب جميع المجموعات الفرعية من (A ) التي تحتوي على (0 ، 1 ، 2 ، النقاط ، n ) العناصر. ومن ثم ( lvert P (A) rvert = 2 ^ < lvert A rvert> )

يتضمن يانصيب الولاية اختيار ستة أرقام مختلفة من 36 ممكنًا. كم عدد الطرق التي يمكن للفرد أن يختار بها ستة أرقام؟


5 إجابات 5

يمكن رؤية مجموعات الأسباب في استخدام مثال خاص. نفس المنطق ينطبق على الحالة العامة لكنه يصبح أكثر ضبابية من خلال التجريد.

إذا كنا سنضرب هذا ، و لا تجمع المصطلحات وفقًا لقواعد الضرب (على سبيل المثال ، دع $ a ^ 3 $ يبقى كـ $ aaa $ من أجل التمرين) ، كما نرى

$ (a + b) ^ 3 = aaa + aab + aba + baa + abb + bab + bba + bbb $

لاحظ أنه يمكننا تمييز المجموع بهذه الطريقة:

(يمكنك أيضًا أن تفعل الشيء نفسه مع $ b $ ، فالنهج مكافئ.) حسنًا ، نرى من توسعنا الغريب الذي لدينا كل تسلسل محتمل بطول $ 3 يتكون من $ a $ و $ b $ فقط. نعلم أيضًا أن بعض هذه المصطلحات ستجمع معًا ، على سبيل المثال ، $ aba = aab = baa $.

إذن كم عدد الحاصل المتساوية في الواقع؟ حسنًا ، نظرًا لأن لديهم جميعًا نفس الطول ، فإن مجموعين متساويين إذا وفقط إذا كان لديهم نفس العدد من $ a $ 's (أو $ b $ ، نفس الشيء). ونعلم أيضًا أن كل تسلسل محتمل بطول 3 $ وفقط $ a $ و $ b $ موجودان هنا.

  • سيكون هناك دولار واحد فقط aaa = a ^ 3 $ مصطلح
  • سيكون هناك $ 3 $ $ aba = aab = baa = a ^ 2b $ حيث.
  • سيكون هناك 3 دولارات أمريكية abb = bab = abb = ab ^ 2 دولارًا.
  • سيكون هناك $ 1 $ $ bbb = b ^ 3 $ مصطلح.

وبشكل عام ، للأعداد الصحيحة الموجبة $ n $ ،

باختصار ، سبب استخدامنا للتركيبات هو أن الترتيب غير مهم ، لأننا سنحصل على مصطلحات مثل $ aab ، baa ، bab $ والتي تكون جميعها متساوية في التوسع. نظرًا لأن الضرب عملية تبادلية على الأعداد الحقيقية ، فيمكننا القول إنها متساوية. وبالتالي ، فإن عدد مصطلحات هذا "النوع" (الذي يتميز بعدد $ a $ 's أو $ b $' s) يتم تحديده بدقة من خلال عدد التسلسلات ذات الطول $ n $ ($ n = 3 $ in مثالنا) ، المكون من $ a $ و $ b $ فقط ، والذي يحتوي بالضبط على $ k $ a $ 's (أو $ b $' s).

بالطبع هذا كله يعتمد على الفرضية المركزية التي مفادها أن الضرب يتنقل في الواقع ، وبالتالي يضمن أن ترتيب العوامل غير مهم. يشير ذلك إلى أنه لا يصح دائمًا في المواقف التي لا يتم فيها نقل الضرب - على سبيل المثال ، فإن مضاعفة نوع من الأرقام المعروفة باسم الرباعية ليس تبادليًا ، وبالتالي فإن نظرية ذات الحدين لا تثبت كما هي هنا (حيث أن هناك $ ab $ need لا تساوي $ ba $).

من الأفضل الكشف عن طبيعة هذه التبادلية ، أو عدم وجودها ، ونتائج كل منها في مناقشة حول الجبر المجرد ، وهذا الظل طويل بما فيه الكفاية.


حزم الملاحظات التفاعلية للطلاب

ملاحظات الصف

يُستخدم نص McGraw-Hill Ryerson PreCalculus 12 باعتباره المصدر الرئيسي.

تشير الواجبات في خطط دروس Powerpoint إلى الصفحات والأسئلة الموجودة في نص PreCalculus 12.

11.1 مبدأ العد الأساسي والترميز العاملي جديد

11.1A FCP ومخططات الشجرة

11.1B التباديل

11.1C التباديل

التحولات التربوية: التحول ، الانتقال من التقليدي إلى المتمحور حول الطالب

التحول من المعتمد على المحتوى إلى الكفاءات

التحول من الطالب كمتلقي المعرفة إلى الطالب كمستفسر ومنشئ

التحول من الحفظ إلى التفكير عالي المستوى

التحول من موضوع مدفوع إلى موضوعات شاملة للمناهج

موقع الويب http://mono-1.com/monoface/main.html هو موقع ممتع يسمح لك بتغيير ميزات الوجه لإنشاء مساحة أحادية مختلفة. يذكر الموقع أن هناك 759375 وجهًا محتملاً.

لقد استخدمت هذا الموقع كنشاط قائم على الاستفسار قبل تدريس مبدأ العد الأساسي. طُلب من الطلاب تحديد كيفية حساب عدد الوجوه المختلفة البالغ 759 ، 375. كانت مناقشة الطالب للحلول الممكنة نشطة للغاية وخرجوا بعدد من الأفكار. لقد قدمت مبدأ الحساب الأساسي باستخدام ملف Smart Notebook كإستراتيجية لحل مشكلة مماثلة ولكنها أبسط. بمجرد أن تكون لديهم فكرة FCP ، عادوا إلى الموقع وقرروا أنهم بحاجة إلى معرفة عدد الخيارات المتاحة لكل من الميزات المختلفة. حدد الطلاب التعبير لتحديد 759375 وجهًا. ذكرت أن الرقم غير صحيح. بالطبع اعتقدوا أنني كنت مخطئًا ويجب أن يكون الموقع صحيحًا ، لكن أحد الطلاب اكتشف السبب. وجه واحد يرتدي نظارة شمسية حتى لا ترى العينين. قادنا هذا إلى تحديد عدد الوجوه الممكنة الموجودة بالفعل.

ما أعجبني في هذا النشاط هو أن أسئلة الطلاب وجهت الدرس وتمكنا من تغطية جميع مؤشرات ومفاهيم الإنجاز التي تتضمن مبدأ العد الأساسي. عندما تابعت الدرس بأمثلة من ppt ، كان الطلاب أكثر استعدادًا لتقديم الحلول الصحيحة.


التقليب والجمع: نظرية ذات الحدين

مثال: إذا كانت هناك ثلاث كرات وطُلب من الصبي اختيار كرات من أصل ثلاث ، فابحث عن عدد الطرق التي يمكن أن يختار بها الصبي الكرات؟

المحلول: إذا لم يتم اختيار كرة من قبل الصبي (= 3C_0 ) إذا تم اختيار كرة واحدة من قبل الصبي (= 3C_1 ) إذا تم اختيار كرتين من قبل الصبي (= 3C_2 ) إذا تم اختيار ثلاث كرات من قبل الصبي (= 3C_3 ) وفقًا لنظرية ذات الحدين. $ nC_0 + nC_1 + nC_2. nC_n = 2 ^ n $ 3C_0 + 3C_1 + 3C_2 + 3C_3 = 2 ^ 3 $ = 2 ^ 3 = 8 طرق $

حالة 1): إذا كان هناك (n ) إجمالي عدد الكائنات وتم تقسيم الكائنات إلى 4 أنواع أ ، ب ، ج ، د ، فيمكن ترتيب الكائنات في ( frac) طرق.

مثال: كم عدد الكلمات المختلفة التي يمكن تشكيلها باستخدام أحرف SCHOOL؟

المحلول: في الكلمة SCHOOL ، يتم استخدام الحرف "O" مرتين ويتم استخدام الأحرف الأخرى مرة واحدة لكل منهما ، ومن ثم فإن $ = frac $ دولار = فارك <6!> <2! 1! 1! 1! 1!> $ = frac <6!> <2!> $ $ = frac <6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1> <2 times 1> $ $ = 360 كلمات $

علبة (2): إذا كان هناك عدد إجمالي من الكائنات وأخذت جميع الكائنات في وقت واحد ، بينما التكرار غير مسموح به ، فيمكن ترتيب الكائنات بطرق (n! ).

مثال: إذا كان هناك 4 كراسي لأربعة أشخاص A و B و C و D ، فابحث عن عدد الطرق الممكنة لترتيب الجلوس؟

المحلول: يمكن للناس الجلوس في (4! ) طرق. $ 4! = 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 دولار = 24 طرق $

علبة (3): إذا كان هناك عدد إجمالي من الكائنات وأخذت (r ) كائنات في وقت واحد ، في حين أن التكرار مسموح به ، فيمكن ترتيب الكائنات بطرق (n ^ r ).

مثال: كم عدد الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها بواسطة 1 و 2 و 3 و 4 إذا كان التكرار مسموحًا به؟

الحالة الرابعة: التقليب الدائري: إذا كان هناك عدد (n ) من الكائنات وتحتاج إلى ترتيبها بشكل دائري ، فيمكن ترتيب الكائنات بطرق ((n - 1)! ).

ملحوظة: في حالة الزهور في الطوق والخرز بدون رقبة ، يمكن ترتيب الزهور أو الخرزات بطرق ( frac <(n - 1)!> <2> ).

مثال: إذا كان هناك 5 كراسي حول طاولة طعام بشكل دائري لخمسة أشخاص ، فما هو عدد الطرق الممكنة لترتيب الجلوس؟

المحلول: بالنسبة للترتيب الدائري ، يمكن إجراؤه بطرق ((n - 1)! ) ، $ = (5 - 1)! دولار = 4! = 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 دولار = 24 طرق $


مجموعات من ك العناصر المأخوذة من ن العناصر

عبارة "مجموعات من ن العناصر المميزة المتخذة ك في وقت "يعني الطرق التي ك التابع ن يمكن دمج العناصر ، بغض النظر عن الترتيب.

لذا بدلاً من التفكير في الطلب #٪ s التي يتم فيها اختيار العناصر ، كما هو الحال مع التباديل ، تعتبر المجموعات الذي يحدد من العناصر المختارة.

مجموعات من ن العناصر المميزة المتخذة ك غالبًا ما يتم كتابته في كل مرة

ال ج في ج(ن, ك) تعني "مجموعات" أو "اختيارات". الرقم ج(ن, ك) غالبًا ما تتم قراءته أيضًا "ن أختر ك”.

اشتقاق الصيغة

لاشتقاق صيغة ل ج(ن, ك) ، افصل قضية طلب التي يتم فيها اختيار العناصر ، من إصدار أي يتم اختيار العناصر ، على النحو التالي.

عدد التباديل ك العناصر المأخوذة من ن العناصر

ج(ن, ك) = ص(ن, ك) و frasl ص(ك, ك)
= ( ن! & فراسل (ن&ناقصك)! ) و frasl ك!
= ن! & فراسل (ك! (ن&ناقصك)! ) ,

وهذا هو "معاملك ذي الحدين"

عملية حسابية

في حين أن التعبير أعلاه عن المعامل ذي الحدين مناسب للكتابة ، إلا أنه طريقة سيئة للغاية لحساب القيمة ، لأن معظم العوامل تلغي في القسمة.

لحساب ، على سبيل المثال ، ج(10 ، 3) ، لاحظ ذلك أولاً

يتكون فقط من أكبر 3 عوامل من 10!

إلغاء جميع الشروط الأخرى. وبالتالي

المعامل ذو الحدين دائما تبين أنه عدد صحيح ، لذلك ستلغي جميع عوامل المقام مع العوامل في البسط.


2: التباديل والتوليفات ونظرية ذات الحدين

ملاحظات الصف

يُستخدم نص McGraw-Hill Ryerson PreCalculus 12 باعتباره المصدر الرئيسي.

تشير الواجبات في خطط دروس Powerpoint إلى الصفحات والأسئلة الموجودة في نص PreCalculus 12.

11.1 مبدأ العد الأساسي والترميز العاملي جديد

11.1A FCP ومخططات الشجرة

11.1B التباديل

11.1C التباديل

التحولات التربوية: التحول ، الانتقال من التقليدي إلى المتمحور حول الطالب

التحول من المعتمد على المحتوى إلى الكفاءات

التحول من الطالب كمتلقي المعرفة إلى الطالب كمستفسر ومنشئ

التحول من الحفظ إلى التفكير عالي المستوى

التحول من موضوع مدفوع إلى موضوعات شاملة للمناهج

موقع الويب http://mono-1.com/monoface/main.html هو موقع ممتع يسمح لك بتغيير ميزات الوجه لإنشاء مساحة أحادية مختلفة. يذكر الموقع أن هناك 759375 وجهًا محتملاً.

لقد استخدمت هذا الموقع كنشاط قائم على الاستفسار قبل تدريس مبدأ العد الأساسي. طُلب من الطلاب تحديد كيفية حساب عدد الوجوه المختلفة البالغ 759 ، 375. كانت مناقشة الطالب للحلول الممكنة نشطة للغاية وخرجوا بعدد من الأفكار. لقد قدمت مبدأ الحساب الأساسي باستخدام ملف Smart Notebook كإستراتيجية لحل مشكلة مماثلة ولكنها أبسط. بمجرد أن تكون لديهم فكرة FCP ، عادوا إلى الموقع وقرروا أنهم بحاجة إلى معرفة عدد الخيارات المتاحة لكل من الميزات المختلفة. حدد الطلاب التعبير لتحديد 759375 وجهًا. ذكرت أن الرقم غير صحيح. بالطبع اعتقدوا أنني كنت مخطئًا ويجب أن يكون الموقع صحيحًا ، لكن أحد الطلاب اكتشف السبب. وجه واحد يرتدي نظارة شمسية حتى لا ترى العينين. قادنا هذا إلى تحديد عدد الوجوه الممكنة الموجودة بالفعل.

ما أعجبني في هذا النشاط هو أن أسئلة الطلاب وجهت الدرس وتمكنا من تغطية جميع مؤشرات ومفاهيم الإنجاز التي تتضمن مبدأ العد الأساسي. عندما تابعت الدرس بأمثلة من ppt ، كان الطلاب أكثر استعدادًا لتقديم الحلول الصحيحة.


نظرية ثنائية

  • غالبًا ما يتعين عليك توسيع كثيرات الحدود مثل هذا: [ start (x + y) ^ 4 & amp = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) & amp = (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x + y) ( x + y) & amp = (x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3) (x + y) & amp = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4xy ^ 3 + ص ^ 4 نهاية]
    • & hellip وكان مؤلمًا بعض الشيء.

    النظرية: لعدد صحيح غير سالب (n ) ، [(x + y) ^ n = sum_^ الحصرس ^ص ^ أنا ،. ] تذكر أن ( binom) هو تدوين آخر لـ (C (n، i) ).

    فكرة إثبات: معامل (x ^يأتي المصطلح y ^ i ) من عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار المصطلح الأول (n-i ) الوقت والمصطلح الثاني (i ) مرات أثناء القيام بالتوسيع. لدينا (n ) شروط للعمل معها ، ويجب تحديد (i ) منها لمضاعفة (ص ). يوجد ( binom) طرق القيام بذلك.

    اللازمة - النتيجة: لعدد صحيح غير سالب (n ) ، [ sum_^ الحصر= 2 ^ n ،. ]

    دليل - إثبات: طبق نظرية ذات الحدين مع (س = ص = 1 ). ∎

    • الجانب الأيسر من المعادلة هو عدد سلاسل البت ذات الطول (n ) مع 0 واحد ، بالإضافة إلى سلاسل البت مع 1 واحد ، مع 2 واحد ، & hellip ، (n ) الآحاد.
    • الجانب الأيمن هو عدد سلاسل البت ذات الطول (n ).
    • هؤلاء يحسبون نفس الشيء ، لذا يجب أن يكونوا متساوين.

    إثبات عندما تكون n و k أعداد صحيحة موجبة

    عندما تكون n و k أعداد صحيحة غير سالبة ، فإن المعاملات ذات الحدين في:
    [1.2 ، مكرر]

    يمكن اعتبارها مجموعات ، وقراءة "n Choose k" ، حسب الاقتضاء. قام السير إسحاق نيوتن بتدوين الصيغة في دفتر ملاحظاته ، دون دليل ، ربما لأنه اعتقد أن الصيغة بديهية.

    بالنظر إلى 1.2 ، نختار عدد x ، ونختار أولًا لا شيء على الإطلاق. n اختيار 0 هو 1.

    وبالمثل ، نختار 1 ، 2 ،. ن س.

    عندما نختار 1 من n ، فهذه المجموعة n اختر 1 ، والتي نعلم أنها n. عندما ننظر إلى حد x تربيع ، نختار 2 x من n ، وصيغة هذا هي n (n-1) / 2. يبدو أن التوليفات تثبت النظرية.

    نهج آخر ، هو أن نفترض
    [2.1]
    حيث تكون الرموز المنخفضة ببساطة لتسمية العوامل.

    سيكون الحد الأول من هذا التوسع هو n ، والمعامل هو 1. سنفكر في اختيار x's. إذن فالحدود الأولى ، التي تستخدم جميع قيم a ولا شيء من المتغيرات x ، هي عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار 0 x من n ، وهي طريقة واحدة فقط.

    الحد التالي هو الحد x. نحتاج إلى اختيار 1 x من n احتمالات ، وهذه طريقة n. إذن ، معامل x هو n. سيكون هذا من القوة (ن -1). سيكون مجموع قوى n و a دائمًا n.

    يتكون حد x 2 من اختيار x واحد ثم اختيار آخر (بحيث يكون x تربيع). تتمثل إحدى طرق التفكير في هذا في اختيار أول x من العامل الأول ، ثم لدينا اختيار عوامل (n-1) لـ x التالية. يمكننا اختيار أول x بطرق n وهناك خيارات (n-1) أخرى لـ x التالية. لذلك يوجد n (n-1) / 2! طرق اختيار اثنين x وهذا هو معامل x 2. العامل 2 يأتي بالطريقة التالية. ضع في اعتبارك العوامل 1 و 2. يمكننا اختيار x من العامل 1 ثم واحد من العامل 2 ، أو يمكننا اختيار x من العامل 2 وواحد من العامل 1. من الواضح أن هذين العاملين متماثلان بشكل فعال ، لذا فإننا نحسب مرتين. لذلك نقسم على العامل 2. (هذا هو عدد التباديل لكائنين).

    يتكون الحد x3 من ثلاثة x. لدينا خيار n x's لأول x ، ولكن بمجرد أن نختار ، يتبقى لدينا فقط (n-1) x للثانية x. وبالنسبة إلى x الثالث ، لدينا خيارات (n-2). هذا يعني أنه يمكننا اختيار ثلاثة x في n (n-1) (n-2) / 3! طرق وهذا هو معامل x 3. العامل 3 يسمح بالتباديل المتطابق. مع ثلاثة أشياء ، يمكننا ترتيبها في 6 طرق ، ولكن ، لأغراضنا ، هذه العناصر الثلاث ، بغض النظر عن ترتيب الاختيار ، هي نفس التركيبات. على سبيل المثال ، يمكننا اختيار ثلاثة x من العوامل الثلاثة الأولى في 6 طرق: 123 ، 132 ، 213 ، 231 ، 312 ، 321 ، لكنها جميعًا تشكل نفس × 3!

    بشكل عام ، يمكننا تحديد k x من عوامل n في n (n-1) (n-2). (ن ك + 1) / ك! طرق. وهذا هو معامل المصطلح العام.

    لقد أثبتنا نظرية ذات الحدين للأعداد الصحيحة غير السالبة n و k ، وذلك أساسًا من خلال إنشاء مصطلحاتها وإظهار أنها مماثلة للمصطلحات المطالب بها لنظرية ذات الحدين.

    إثبات عندما يكون r أي رقم حقيقي

    نثبت الآن نظرية ذات الحدين عندما تكون القوة r هي أي رقم حقيقي: موجب ، سالب ، عقلاني ، غير منطقي ، كسري .. أي رقم حقيقي.
    لقد استخدمت (1 + x) بدلاً من (a + x) للتبسيط ، ولأننا غالبًا ما نستخدم نظرية ذات الحدين بهذه الطريقة. إذا كان هناك حرف a ، فإننا نخرجه من الأقواس.
    يستخدم الدليل التالي حساب التفاضل والتكامل البسيط ، ويستند البرهان على حقيقة حساب التفاضل والتكامل البسيط. يفترض أنه يمكن كتابة التوسيع ذي الحدين على النحو التالي:
    [4.1]
    حيث r عدد حقيقي و k عدد صحيح. ak هي معاملات التوسع.

    نحن نفرق ونحصل على:
    [4.2]
    عندما س = 0 ، أ1= ص

    التفريق مرة أخرى وتحديد x = 0
    [4.3]
    a2 = r (r-1) / 2

    من الواضح أننا نستخرج المعاملات ذات الحدين. لاختصار قصة طويلة ، دعونا نفرق بين الدالة k مرات
    [4.4]
    ضبط x = 0 وإعادة الترتيب:
    [4.5]

    بأخذ المصطلح العام (4.5) ، نظهر أن الطرف الأيسر يساوي:
    [4.6]

    والجانب الأيمن هو نظرية ذات الحدين! لذلك أثبتنا نظرية ذات الحدين لجميع الأعداد الحقيقية ، لذا يمكننا استخدامها بشكل شرعي مع r موجب وسالب وكسور ، ولم نعد مقتصرين على الأعداد الصحيحة. تُعرف طريقة التوسيع (1 + x) r بتوسيع Maclaurin. نظرية ذات الحدين متعددة الاستخدامات لدرجة أن x يمكن أن يكون عددًا معقدًا ، مع وجود جزء وهمي غير متلاشي!

    تحديد المعاملات ذات الحدين

    عندما يكون n و k عددًا صحيحًا غير سالب ، يمكننا تحديد المعاملات ذات الحدين على النحو التالي:
    [6.1]
    k موجب وأقل من n. إذا كان k أقل من الصفر ، فلدينا عوامل سالبة لم نحددها (انظر استخدام دالة جاما لتعريف العوامل ، للحصول على طريقة لتحديد العوامل للكسور والأرقام المركبة. لا توجد عوامل من الأعداد الصحيحة السالبة.) عندما تكون k أكبر من n ، فإن [6.1] تساوي صفرًا كما هو متوقع. (هذا ما يجعل التوسيع ذي الحدين مع n كعدد صحيح غير سالب ينتهي بعد حدود n + 1!)

    عندما يكون r رقمًا حقيقيًا ، لا يساوي الصفر ، يمكننا تحديد معامل ذي الحدين على النحو التالي:
    [6.2]
    عندما تكون r صفرًا ، تعطي [6.2] صفرًا بدلاً من 1 ، لذلك نقصر [6.2] على r & # 88000. نحدد B (n ، 0) كـ 1.

    إذا كان المعامل ذو الحدين عبارة عن مجموعة (n و r عدد صحيح موجب) ، فيمكننا استخدام قواعد التوليفات.

    مجموع المعاملات ذات الحدين

    يمكننا كتابة نظرية ذات الحدين على النحو التالي:

    حيث n عدد صحيح موجب ، و k عدد صحيح غير سالب ، 0 ، 1 ،. n وهو رقم المصطلح.
    إذا تركنا a = b = 1 ، فسنجد (1 + 1) n = 2 n مجموع الحدود ، لأن قوى a و b كلها 1 ، وتبقى المعاملات فقط. بطبيعة الحال ، لا تتغير قيم المعامِلات بقيمتي a و b ، لذا فإن مجموع المعاملين دائمًا هو 2 n ، مهما كانت قيم a و b.

    إذا كتبنا a = 1 و b = -1 ، فإن (1-1) n = 0. نلاحظ أيضًا أن الأسس الزوجية لـ b ستكون موجبة والقوى الفردية ستكون سالبة.

    مجموع شروط التوسع ذي الحدين يساوي مجموع الحدود الزوجية (والقوى الزوجية لـ b) ، k = 0 ، 2 ، إلخ بالإضافة إلى مجموع الشروط الفردية ، k = 1 ، 3 ، 5 ، إلخ:

    لأنه عندما تكون a = 1 و b = -1 ، تلغي الحدود الفردية والزوجية ، وبالتالي فإن معاملاتهما متساوية ، لدينا:

    لا تتغير المعامِلات مع قيمتي a و b ، لذا فإن مجموع معاملات المصطلحات الفردية دائمًا ما يساوي مجموع معاملات الحدود الزوجية ، عندما يكون n عددًا صحيحًا موجبًا.

    لأن مجموع معاملات الحدود الزوجية يساوي مجموع معاملات الفردي ، ولأن المجموع الكلي هو 2 ن ، لدينا مجموع الحدود الزوجية ومجموع الحدود الفردية كلاهما يساوي النصف المجموع الكلي:

    التقارب

    عندما يكون التوسيع ذو الحدين محدودًا ، عندما يكون r عددًا صحيحًا غير سالب ، تكون السلسلة دائمًا متقاربة ، كونها مجموع الحدود المحدودة. عندما تكون السلسلة لانهائية ، نحتاج إلى التساؤل عن وقت تقاربها.
    وفقًا لاختبار النسبة لتقارب السلاسل ، تتقارب السلسلة عندما:
    [7.1]
    يتباعد عندما:
    [7.2]
    والنتيجة غير محددة عندما:
    [7.3]
    بالنسبة إلى نظرية ذات الحدين ، فإن نسبة المصطلحين k و k-1 هي:
    [7.4]

    عند تطبيق اختبار النسبة عندما يكون التوسيع ذو الحدين سلسلة لا نهائية (r ليس عددًا صحيحًا غير سالب) ، نجد أن الحد هو
    [7.5]

    وهذا يعني ، | x |. تتقارب نظرية ذات الحدين عندما | x | & lt1.

    متى | x | هو 1 ، لا ينصحنا اختبار النسبة بوضعه.
    فمثلا:
    [7.6]

    هذه سلسلة لا نهائية. عندما تكون x = 1 ، يكون الطرف الأيسر 1/2 ويكون الجانب الأيمن 1-1 + 1-1 +. Yet it appears to be divergent, in the sense of meaning not convergent (that is, it does not converge to a single finite value), because it seems to oscillate between -1, 0 and 1. (It seems that the answer 1/2 may be correct, however) When x=-1, the left-hand side is 1/0, which is infinite, and the right-hand side is 1+1+1. which is also clearly infinite. In this case, the series clearly diverges. When |x|=1, we need to examine these cases very carefully. The simple answer, however, is that when |x|=1, the binomial series is indeterminate, so discussing the value when x=1 is meaningless.1/(1+1) is a half, but we cannot obtain this from the Binomial Theorem.

    The conclusion here is that when the binomial series is infinite (n is negative or fractional), then it converges when |x|<1


    2: Permutations, Combinations, and the Binomial Theorem

    أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

    نسخة محدثة متوفرة

    هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

    محرر التعبير الرياضي

    We explore Newton’s Binomial Theorem.

    In this section, we extend the definition of to allow to be any real number and to be negative. First, we define to be zero if is negative. If is not a natural number, then we use instead of and we write . To define this, recall that The numerator of the last fraction contains factors, from counting down by one to . The computation of this numerator in no way requires to be a natural number. Hence, we define where is any real number and is any non-negative integer. If is a negative integer, we simply define to be zero and if , then we define to be one.

    Newton’s Binomial Theorem involves powers of a binomial which are not whole numbers, like . Stating the theorem requires our new binomial coefficients, .

    b) Approximate: by writing it as . Truncate your infinite series at .
    Approximation:

    c) Approximate by writing it as . Truncate your infinite series at .
    Approximation:

    d) Approximate by writing it as . Truncate your infinite series at .
    Approximation:

    Proof We prove the case that and leave for the reader to prove the cases and .
    We compute the right hand side: since which agrees with the last factor in the numerator.


    شاهد الفيديو: نظرية ذات الحدين رياضيات ثاني ثانوي. الفصل الثاني (شهر اكتوبر 2021).