مقالات

4: عدد الوظائف النظرية - الرياضيات


4: عدد الوظائف النظرية - الرياضيات

تاريخ مفهوم الوظيفة

ظهر المفهوم الرياضي للدالة في القرن السابع عشر فيما يتعلق بتطور حساب التفاضل والتكامل على سبيل المثال ، المنحدر d y / d x ! y / اسم التشغيل ! x> للرسم البياني عند نقطة ما تم اعتباره دالة في x-تنسيق النقطة. لم يتم النظر في الوظائف بشكل صريح في العصور القديمة ، ولكن ربما يمكن رؤية بعض السلائف للمفهوم في أعمال فلاسفة العصور الوسطى وعلماء الرياضيات مثل Oresme.

اعتبر علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر أن الوظيفة يتم تعريفها من خلال تعبير تحليلي. في القرن التاسع عشر ، أدت متطلبات التطوير الصارم للتحليل من قبل Weierstrass وآخرين ، وإعادة صياغة الهندسة من حيث التحليل ، واختراع نظرية المجموعات بواسطة Cantor ، في النهاية إلى مفهوم حديث أكثر عمومية للوظيفة باعتبارها رسم الخرائط أحادية القيمة من مجموعة إلى أخرى.


محتويات

الأصول تحرير

فجر التحرير الحسابي

أقدم اكتشاف تاريخي لطبيعة حسابية هو جزء من جدول: اللوح الطيني المكسور Plimpton 322 (لارسا ، بلاد ما بين النهرين ، حوالي 1800 قبل الميلاد) يحتوي على قائمة "ثلاثية فيثاغورس" ، أي الأعداد الصحيحة (أ ، ب ، ج ) مثل أن أ 2 + ب 2 = ج 2 + b ^ <2> = c ^ <2>>. الثلاثيات كثيرة جدًا وكبيرة جدًا بحيث لا يمكن الحصول عليها بالقوة الغاشمة. يقرأ العنوان الموجود فوق العمود الأول: "إن تاكلتوم من القطر الذي تم طرحه بحيث يكون العرض. "[2]

يشير تخطيط الجدول [3] إلى أنه تم إنشاؤه بواسطة ما يرقى ، في اللغة الحديثة ، إلى الهوية

وهو ما تم تضمينه في التمارين الروتينية البابلية القديمة. [4] إذا تم استخدام طريقة أخرى ، [5] تم إنشاء الثلاثيات أولاً ثم إعادة ترتيبها بواسطة c / a < displaystyle c / a> ، على الأرجح للاستخدام الفعلي كـ "جدول" ، على سبيل المثال ، بهدف التطبيقات.

من غير المعروف ما هي هذه التطبيقات ، أو ما إذا كان من الممكن أن يكون هناك أي علم فلك بابلي ، على سبيل المثال ، ظهر حقًا في وقت لاحق فقط. وقد اقترح بدلاً من ذلك أن الجدول كان مصدرًا للأمثلة العددية لمشاكل المدرسة. [6] [الملاحظة 4]

في حين أن نظرية الأعداد البابلية - أو ما تبقى من الرياضيات البابلية التي يمكن تسميتها على هذا النحو - تتكون من هذا المقطع المنفرد المذهل ، فإن الجبر البابلي (في مفهوم المدرسة الثانوية "الجبر") كان متطورًا بشكل جيد للغاية. [7] تشير المصادر الأفلاطونية الحديثة المتأخرة [8] إلى أن فيثاغورس تعلم الرياضيات من البابليين. تذكر المصادر السابقة [9] أن طاليس وفيثاغورس سافروا ودرسوا في مصر.

من المحتمل جدًا أن يكون إقليدس IX 21–34 فيثاغورس [10] فهو مادة بسيطة جدًا ("الأوقات الفردية الزوجية تكون زوجية" ، "إذا كان الرقم الفردي يقيس [= يقسم] عددًا زوجيًا ، فإنه يقيس أيضًا [= يقسم] نصف it ") ، ولكن كل ما هو مطلوب لإثبات أن 2 < displaystyle < sqrt <2> >> غير منطقي. [11] أعطى متصوفة فيثاغورس أهمية كبيرة للفرد والزوجي. [12] اكتشاف أن 2 < displaystyle < sqrt <2> >> غير منطقي يرجع الفضل فيه إلى الفيثاغوريين الأوائل (ما قبل Theodorus). [13] بالكشف (بالمصطلحات الحديثة) أن الأرقام يمكن أن تكون غير منطقية ، يبدو أن هذا الاكتشاف قد أثار أول أزمة تأسيسية في التاريخ الرياضي ، يُنسب إثباتها أو إفشاؤها أحيانًا إلى هيباسوس ، الذي طُرد أو انفصل عن طائفة فيثاغورس. [14] أجبر هذا على التمييز بين أعداد (الأعداد الصحيحة والعقلانية - مواضيع الحساب) ، من ناحية ، و أطوال و النسب (التي سنعرفها بالأرقام الحقيقية ، سواء كانت منطقية أم لا) ، من ناحية أخرى

تحدث تقليد فيثاغورس أيضًا عن ما يسمى بالأرقام متعددة الأضلاع أو الشكل. [15] بينما يُنظر الآن إلى الأعداد المربعة والأرقام التكعيبية وما إلى ذلك على أنها أكثر طبيعية من الأعداد المثلثية والأرقام الخماسية وما إلى ذلك ، فإن دراسة مجاميع الأعداد المثلثية والخماسية كانت مثمرة في أوائل العصر الحديث (من 17 إلى أوائل القرن التاسع عشر).

لا نعرف أي مادة حسابية واضحة في المصادر المصرية القديمة أو الفيدية ، على الرغم من وجود بعض الجبر في كليهما. تظهر نظرية الباقي الصيني كتدريب [16] في سونزي سوانجينغ (القرن الثالث والرابع والخامس بعد الميلاد.) [17] (هناك خطوة مهمة واحدة تم تسويتها في حل سونزي: [ملاحظة 5] إنها المشكلة التي تم حلها لاحقًا بواسطة كواكا Āryabhaṭa - انظر أدناه).

هناك أيضًا بعض التصوف العددي في الرياضيات الصينية ، [ملاحظة 6] ولكن ، على عكس الفيثاغورس ، يبدو أنه لم يؤد إلى أي مكان. مثل الأعداد المثالية لفيثاغورس ، انتقلت المربعات السحرية من الخرافات إلى الترويح عن النفس.

اليونان الكلاسيكية وأوائل الفترة الهلنستية تحرير

بصرف النظر عن بعض الشظايا ، فإن رياضيات اليونان الكلاسيكية معروفة لنا إما من خلال تقارير علماء غير رياضيين معاصرين أو من خلال أعمال رياضية من الفترة الهلنستية المبكرة. [18] في حالة نظرية الأعداد ، هذا يعني ، إلى حد كبير ، أفلاطون و إقليدس، على التوالى.

بينما أثرت الرياضيات الآسيوية على التعلم اليوناني والهلنستي ، يبدو أن الرياضيات اليونانية هي أيضًا تقليد أصلي.

يوسابيوس ، PE X ، الفصل 4 مذكورة فيثاغورس:

"في الواقع ، قام فيثاغورس المذكور ، أثناء دراسته بحكمة كل أمة ، بزيارة بابل ومصر وكل بلاد فارس ، بتعليمات من المجوس والكهنة: بالإضافة إلى هؤلاء ، فقد درس على يد البراهمانيين هؤلاء هم فلاسفة هنود) ومن البعض جمع علم التنجيم ، ومن الآخرين الهندسة ، والحساب والموسيقى من الآخرين ، وأشياء مختلفة من دول مختلفة ، وفقط من حكماء اليونان لم يحصل على أي شيء ، مرتبطًا بالفقر. ونقص الحكمة: على العكس من ذلك ، فقد أصبح هو نفسه صاحب تعليم الإغريق في المعرفة التي حصل عليها من الخارج ". [19]

ادعى أرسطو أن فلسفة أفلاطون اتبعت عن كثب تعاليم الفيثاغورس ، [20] وكرر شيشرون هذا الادعاء: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("يقولون إن أفلاطون تعلم كل شيء فيثاغورس"). [21]

كان أفلاطون مهتمًا جدًا بالرياضيات ، وميز بوضوح بين الحساب والحساب. (بواسطة علم الحساب كان يقصد ، جزئيًا ، التنظير حول العدد وليس ماذا علم الحساب أو نظرية الأعداد لقد أصبحت تعني.) إنه من خلال أحد محاورات أفلاطون - أي ، ثياتيتوس—أننا نعلم أن ثيودوروس قد أثبت أن 3 ، 5 ، ... ، 17 < displaystyle < sqrt <3>> ، < sqrt <5>> ، dots ، < sqrt <17> >> غير منطقية. كان Theaetetus ، مثل أفلاطون ، تلميذًا لثيودوروس ، حيث عمل على التمييز بين أنواع مختلفة من الأشياء غير القابلة للقياس ، وبالتالي يمكن القول إنه كان رائدًا في دراسة أنظمة الأرقام. (وصف بابوس الكتاب العاشر من عناصر إقليدس بأنه يعتمد إلى حد كبير على عمل ثياتيتوس).

كرس إقليدس جزءًا منه عناصر إلى الأعداد الأولية وقابلية القسمة ، وهي موضوعات تنتمي بشكل لا لبس فيه إلى نظرية الأعداد وهي أساسية لها (الكتب من السابع إلى التاسع من عناصر إقليدس). على وجه الخصوص ، قدم خوارزمية لحساب القاسم المشترك الأكبر لرقمين (الخوارزمية الإقليدية عناصر، الدعامة. VII.2) وأول دليل معروف على اللانهائية من الأعداد الأولية (عناصر، الدعامة IX.20).

في عام 1773 ، نشر ليسينغ قصيدة وجدها في مخطوطة أثناء عمله كأمين مكتبة ، ادعى أنها رسالة أرسلها أرخميدس إلى إراتوستينس. [22] [23] اقترح epigram ما أصبح يُعرف بمشكلة ماشية أرخميدس ، ويتطلب حلها (الغائب عن المخطوطة) حل معادلة تربيعية غير محددة (والتي تختزل إلى ما يمكن تسميته لاحقًا بشكل خاطئ معادلة بيل). بقدر ما نعلم ، تم التعامل مع هذه المعادلات بنجاح لأول مرة من قبل المدرسة الهندية. من غير المعروف ما إذا كان أرخميدس نفسه لديه طريقة للحل.

ديوفانتوس تحرير

لا يُعرف سوى القليل عن ديوفانتوس الإسكندري الذي ربما عاش في القرن الثالث الميلادي ، أي بعد حوالي خمسمائة عام من إقليدس. ستة من أصل ثلاثة عشر كتابا لديوفانتوس أريثميتيكا نجا في الأصل اليوناني وأربعة آخرين على قيد الحياة في الترجمة العربية. ال أريثميتيكا عبارة عن مجموعة من المشكلات التي تم إجراؤها حيث تكون المهمة دائمًا هي إيجاد حلول منطقية لنظام المعادلات متعددة الحدود ، وعادة ما تكون على شكل f (x، y) = z 2 > أو f (x، y، z) = w 2 >. وهكذا ، في الوقت الحاضر ، نتحدث عن معادلات ديوفنتين عندما نتحدث عن المعادلات متعددة الحدود التي يجب إيجاد حلول منطقية أو صحيحة لها.

يمكن للمرء أن يقول إن ديوفانتوس كان يدرس النقاط المنطقية ، أي النقاط التي إحداثياتها منطقية - على المنحنيات والأصناف الجبرية ، على عكس الإغريق في الفترة الكلاسيكية ، الذين فعلوا ما نسميه الآن الجبر الأساسي بمصطلحات هندسية ، فعل ديوفانتوس ما نسمي الآن الهندسة الجبرية الأساسية بمصطلحات جبرية بحتة. في اللغة الحديثة ، كان ما فعله ديوفانتوس هو إيجاد معاملات عقلانية من الأصناف ، مع الأخذ في الاعتبار معادلة بالصيغة (على سبيل المثال) f (x 1، x 2، x 3) = 0 ، x_ <2> ، x_ <3>) = 0> ، كان هدفه إيجاد (في جوهره) ثلاث وظائف عقلانية g 1، g 2، g 3 ، g_ <2>، g_ <3> > على هذا النحو ، بالنسبة لجميع قيم r < displaystyle r> و s < displaystyle s> ، فإن الإعداد xi = gi (r، s) < displaystyle x_= ز(r، s)> بالنسبة إلى i = 1، 2، 3 < displaystyle i = 1،2،3> يعطي حلًا لـ f (x 1، x 2، x 3) = 0. ، x_ <2> ، x_ <3>) = 0.>

درس Diophantus أيضًا معادلات بعض المنحنيات غير المنطقية ، والتي لا يمكن تحديد معلمات عقلانية لها. لقد تمكن من العثور على بعض النقاط المنطقية على هذه المنحنيات (المنحنيات الناقصية ، كما يحدث ، في ما يبدو أنه أول ظهور معروف لها) عن طريق ما يرقى إلى بناء الظل: تُرجمت إلى هندسة إحداثيات (التي لم تكن موجودة في زمن ديوفانتوس) ) ، سيتم تصور طريقته على أنها رسم مماس لمنحنى عند نقطة عقلانية معروفة ، ثم إيجاد نقطة تقاطع أخرى للماس مع المنحنى أن النقطة الأخرى هي نقطة عقلانية جديدة. (لجأ ديوفانتوس أيضًا إلى ما يمكن أن نطلق عليه حالة خاصة لبناء قاطع).

بينما كان Diophantus مهتمًا إلى حد كبير بالحلول المنطقية ، فقد افترض بعض النتائج على الأعداد الصحيحة ، ولا سيما أن كل عدد صحيح هو مجموع أربعة مربعات (على الرغم من أنه لم يذكر ذلك صراحة).

Āryabhaṭa ، Brahmagupta ، Bhāskara Edit

في حين أن علم الفلك اليوناني قد أثر على التعلم الهندي ، إلى حد إدخال علم المثلثات ، [24] يبدو أن الرياضيات الهندية هي تقليد أصلي على خلاف ذلك [25] على وجه الخصوص ، ولا يوجد دليل على أن عناصر إقليدس وصلت إلى الهند قبل القرن الثامن عشر. عقد. [26]

Āryabhaṭa (476-550 م) أظهر أن أزواج التطابقات المتزامنة n ≡ a 1 mod m 1 > _ <1>>، n ≡ a 2 mod m 2 < displaystyle n equiv a_ <2> < bmod > _ <2>> يمكن حلها بطريقة سماها kuṭṭaka، أو مطحنة [27] هذا إجراء قريب من (تعميم) الخوارزمية الإقليدية ، والتي ربما تم اكتشافها بشكل مستقل في الهند. [28] يبدو أن ryabhaṭa كان يفكر في تطبيقات للحسابات الفلكية. [24]

بدأ Brahmagupta (628 م) الدراسة المنهجية للمعادلات التربيعية غير المحددة - على وجه الخصوص ، معادلة Pell المسماة بشكل خاطئ ، والتي ربما كان أرخميدس مهتمًا بها لأول مرة ، والتي لم تبدأ في حلها في الغرب حتى وقت فيرما وأويلر. يتبع المؤلفون السنسكريتية في وقت لاحق ، باستخدام المصطلحات التقنية لبراهماغوبتا. تم العثور أخيرًا على إجراء عام (chakravala ، أو "الطريقة الدورية") لحل معادلة Pell بواسطة Jayadeva (تم الاستشهاد به في القرن الحادي عشر فقد عمله بطريقة أخرى) ظهر أقدم معرض باقٍ في Bhāskara II's Bīja-gaṇita (القرن الثاني عشر). [29]

ظلت الرياضيات الهندية غير معروفة إلى حد كبير في أوروبا حتى أواخر القرن الثامن عشر [30] ترجم هنري كولبروك عمل براهماجوبتا وبهاسكارا إلى الإنجليزية عام 1817. [31]

الحساب في العصر الذهبي الإسلامي

في أوائل القرن التاسع ، أمر الخليفة المأمون بترجمة العديد من الأعمال الرياضية اليونانية وعمل واحد باللغة السنسكريتية على الأقل ( Sindhind، والتي قد [32] أو قد لا تكون [33] Brāhmasphuṭasiddhānta لبراهماغوبتا). عمل Diophantus الرئيسي ، و أريثميتيكا، ترجم إلى العربية قسطا بن لوقا (820-912). جزء من الأطروحة الفاخري (بواسطة الكرجي ، 953 - حوالي 1029) يبني عليها إلى حد ما. طبقاً لراشد رشدي ، فإن ابن الهيثم المعاصر للكراجي كان يعرف [34] ما سيُطلق عليه فيما بعد نظرية ويلسون.

تحرير أوروبا الغربية في العصور الوسطى

بخلاف أطروحة عن المربعات في التقدم الحسابي من قبل فيبوناتشي - الذي سافر ودرس في شمال إفريقيا والقسطنطينية - لم يتم عمل نظرية الأعداد في أوروبا الغربية خلال العصور الوسطى. بدأت الأمور تتغير في أوروبا في أواخر عصر النهضة ، وذلك بفضل دراسة متجددة لأعمال العصور القديمة اليونانية. كان المحفز هو الإنجاز النصي والترجمة إلى اللاتينية ديوفانتوس أريثميتيكا. [35]

نظرية الأعداد الحديثة المبكرة

تحرير فيرمات

لم ينشر بيير دي فيرمات (1607-1665) أبدًا كتاباته على وجه الخصوص ، وقد تم تضمين عمله في نظرية الأعداد بالكامل تقريبًا في رسائل لعلماء الرياضيات وفي ملاحظات هامشية خاصة. [36] في مذكراته ورسائله ، نادراً ما كتب أي أدلة - لم يكن لديه عارضات أزياء في المنطقة. [37]

على مدار حياته ، قدم Fermat المساهمات التالية في هذا المجال:

  • كانت إحدى اهتمامات فيرما الأولى هي الأعداد المثالية (التي تظهر في إقليدس ، عناصر IX) والأرقام الودية [note 7] دفعته هذه الموضوعات إلى العمل على قواسم صحيحة ، والتي كانت منذ البداية بين موضوعات المراسلات (1636 وما بعدها) التي جعلته على اتصال مع المجتمع الرياضي في ذلك الوقت. [38]
  • في عام 1638 ، ادعى فيرمات ، بدون دليل ، أنه يمكن التعبير عن جميع الأعداد الصحيحة بمجموع أربعة مربعات أو أقل. [39] (1640): [40] إذا أ لا يقبل القسمة على عدد أولي ص، ثم p - 1 ≡ 1 mod p. equiv 1 < bmod

    >.> [الملاحظة 8]

  • لو أ و ب هي حقوق ملكية ، إذن a 2 + b 2 < displaystyle a ^ <2> + b ^ <2>> لا يقبل القسمة على أي مطابقة أولية لـ −1 modulo 4 [41] ويمكن كتابة كل مطابقة أولية لـ 1 modulo 4 بالصيغة a 2 + b 2 < displaystyle a ^ <2> + b ^ <2>>. [42] يعود تاريخ هذين التصريحين أيضًا إلى عام 1640 في عام 1659 ، صرح فيرمات لهوجينز أنه أثبت البيان الأخير بطريقة النسب اللانهائي. [43]
  • في عام 1657 ، طرح فيرمات مشكلة حل x 2 - N y 2 = 1 < displaystyle x ^ <2> -Ny ^ <2> = 1> كتحدي لعلماء الرياضيات الإنجليز. تم حل المشكلة في غضون بضعة أشهر من قبل واليس وبرونكر. [44] اعتبر فيرمات حلهم صحيحًا ، لكنه أشار إلى أنهم قدموا خوارزمية بدون دليل (كما فعل جياديفا وباسكارا ، على الرغم من أن فيرمات لم يكن على علم بذلك). وذكر أنه يمكن العثور على دليل من خلال النسب اللانهائي.
  • ذكر فيرمات وأثبت (عن طريق النسب اللانهائي) في ملحق لـ ملاحظات على ديوفانتوس (Obs. XLV) [45] أن x 4 + y 4 = z 4 < displaystyle x ^ <4> + y ^ <4> = z ^ <4>> ليس لها حلول غير تافهة في الأعداد الصحيحة. ذكر فيرمات أيضًا لمراسليه أن x 3 + y 3 = z 3 < displaystyle x ^ <3> + y ^ <3> = z ^ <3>> ليس لها حلول غير تافهة ، ويمكن إثبات ذلك أيضًا عن طريق النسب اللانهائي. [46] يرجع أول دليل معروف إلى أويلر (1753 بالفعل عن طريق النسب اللانهائي). [47]
  • ادعى فيرمات ("نظرية فيرما الأخيرة") أنه أظهر عدم وجود حلول لـ x n + y n = z n < displaystyle x ^+ ص ^= ض ^> للجميع n ≥ 3 < displaystyle n geq 3> يظهر هذا الادعاء في شروحه في هوامش نسخته من Diophantus.

تحرير أويلر

تم تحفيز اهتمام ليونارد أويلر (1707-1783) بنظرية الأعداد لأول مرة في عام 1729 ، عندما وجهه صديق له ، الهاوي [الملاحظة 9] غولدباخ ، نحو بعض أعمال فيرما حول هذا الموضوع. [48] ​​[49] وقد أطلق على هذا اسم "ولادة جديدة" لنظرية الأعداد الحديثة ، [50] بعد عدم نجاح فيرما النسبي في جذب انتباه معاصريه للموضوع. [51] يتضمن عمل أويلر حول نظرية الأعداد ما يلي: [52]

  • البراهين على تصريحات فيرما. يتضمن ذلك نظرية فيرما الصغيرة (التي عممها أويلر على المعادلات غير الأولية) حقيقة أن p = x 2 + y 2 + y ^ <2>> if and only if p ≡ 1 mod 4 < displaystyle p equiv 1 < bmod <4> >> العمل الأولي نحو إثبات أن كل عدد صحيح هو مجموع أربعة مربعات (أول دليل كامل بواسطة جوزيف لويس لاجرانج (1770) ، وسرعان ما تم تحسينه بواسطة أويلر نفسه [53]) عدم وجود حلول عدد صحيح غير صفري لـ x 4 + y 4 = z 2 < displaystyle x ^ <4> + y ^ <4> = z ^ <2>> (ضمنيًا الحالة ن = 4 من نظرية فيرما الأخيرة ، القضية ن = 3 التي أثبت أويلر أيضًا بطريقة ذات صلة).
  • معادلة بيل، الذي أخطأ في تسميته أويلر. [54] كتب عن الرابط بين الكسور المستمرة ومعادلة بيل. [55]
  • الخطوات الأولى نحو نظرية الأعداد التحليلية. في عمله لمجموع المربعات الأربعة ، والأقسام ، والأعداد الخماسية ، وتوزيع الأعداد الأولية ، كان أويلر رائدًا في استخدام ما يمكن اعتباره تحليلاً (على وجه الخصوص ، السلاسل اللانهائية) في نظرية الأعداد. نظرًا لأنه عاش قبل تطوير التحليل المعقد ، فإن معظم أعماله تقتصر على التلاعب الرسمي بسلسلة السلطة. ومع ذلك ، فقد قام ببعض الأعمال المبكرة البارزة (وإن لم تكن صارمة تمامًا) حول ما سيُطلق عليه لاحقًا وظيفة ريمان زيتا. [56]
  • أشكال تربيعية. باتباعًا لقيادة فيرمات ، أجرى أويلر مزيدًا من البحث حول مسألة أي الأعداد الأولية يمكن التعبير عنها بالصيغة x 2 + N y 2 < displaystyle x ^ <2> + Ny ^ <2>> ، وبعضها يُنسب إلى المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية. [57] [58] [59]
  • معادلات ديوفنتين. عمل أويلر على بعض معادلات ديوفانتين للجنس 0 و 1. [60] [61] على وجه الخصوص ، درس عمل ديوفانتوس وحاول تنظيمه ، لكن الوقت لم يحن بعد لمثل هذا المسعى - كانت الهندسة الجبرية لا تزال في مهدها . [62] لقد لاحظ وجود علاقة بين مشاكل ديوفانتين والتكامل الإهليلجي ، [62] الذي بدأ دراسته بنفسه.

لاغرانج ، ليجيندر ، وجاوس تحرير

كان جوزيف لويس لاغرانج (1736–1813) أول من قدم البراهين الكاملة لبعض أعمال وملاحظات فيرما وأويلر - على سبيل المثال ، نظرية أربعة مربعات والنظرية الأساسية للمسماة بشكل خاطئ "معادلة بيل" (والتي من أجلها خوارزمية تم العثور على الحل من قبل فيرمات ومعاصريه ، وأيضًا بواسطة Jayadeva و Bhaskara II قبلهم.) كما درس الأشكال التربيعية بشكل عام كامل (على عكس m X 2 + n Y 2 + nY ^ <2>>) - تحديد علاقة التكافؤ ، وإظهار كيفية وضعها في شكل مختزل ، وما إلى ذلك.

كان Adrien-Marie Legendre (1752–1833) أول من نص على قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية. لقد حدس أيضًا ما يرقى إلى نظرية الأعداد الأولية ونظرية ديريتشليت في التعاقب الحسابي. قدم معالجة كاملة للمعادلة ax 2 + by 2 + cz 2 = 0 < displaystyle ax ^ <2> + by ^ <2> + cz ^ <2> = 0> [64] وعمل على الأشكال التربيعية على طول تم تطوير الخطوط لاحقًا بالكامل بواسطة Gauss. [65] في شيخوخته ، كان أول من أثبت "نظرية فيرما الأخيرة" لـ n = 5 < displaystyle n = 5> (إكمال عمل Peter Gustav Lejeune Dirichlet ، ومنح الفضل له ولصوفي جيرمان). [66]

في الاكتشافات الحسابية (1798) ، أثبت كارل فريدريش جاوس (1777-1855) قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية وطور نظرية الأشكال التربيعية (على وجه الخصوص ، تحديد تكوينها). قدم أيضًا بعض الرموز الأساسية (التطابق) وخصص قسمًا للمسائل الحسابية ، بما في ذلك اختبارات البدائية. [67] المقطع الأخير من الاكتشافات أنشأ رابطًا بين جذور الوحدة ونظرية الأعداد:

نظرية تقسيم الدائرة. الذي يتم علاجه في ثوان. 7 لا ينتمي في حد ذاته إلى الحساب ، ولكن يمكن استخلاص مبادئه فقط من الحساب الأعلى. [68]

بهذه الطريقة ، يمكن القول إن غاوس قام بغزوة أولى نحو كل من عمل إيفاريست جالوا ونظرية الأعداد الجبرية.

النضج والتقسيم إلى حقول فرعية Edit

ابتداءً من أوائل القرن التاسع عشر ، حدثت التطورات التالية تدريجياً:

  • صعود الوعي الذاتي لنظرية الأعداد (أو حسابية أعلى) كمجال للدراسة. [69]
  • تطوير الكثير من الرياضيات الحديثة اللازمة لنظرية الأعداد الأساسية الحديثة: التحليل المركب ، ونظرية المجموعة ، ونظرية جالوا - مصحوبة بصرامة أكبر في التحليل والتجريد في الجبر.
  • التقسيم التقريبي لنظرية الأعداد إلى حقولها الفرعية الحديثة - على وجه الخصوص ، نظرية الأعداد التحليلية والجبرية.

يمكن القول أن نظرية الأعداد الجبرية تبدأ بدراسة المعاملة بالمثل و cyclotomy ، لكنها جاءت حقًا مع تطور الجبر المجرد ونظرية المثالية المبكرة ونظرية التقييم انظر أدناه. نقطة البداية التقليدية لنظرية الأعداد التحليلية هي نظرية ديريتشليت حول التقدم الحسابي (1837) ، [70] [71] التي قدم إثباتها وظائف L وتضمن بعض التحليل المقارب وعملية تحديد لمتغير حقيقي. [72] يعود أول استخدام للأفكار التحليلية في نظرية الأعداد إلى أويلر (1730) ، [73] [74] الذي استخدم سلسلة القوة الرسمية والحجج التقييدية غير الصارمة (أو الضمنية). استخدام مركب يأتي التحليل في نظرية الأعداد لاحقًا: عمل برنارد ريمان (1859) على دالة زيتا هو نقطة البداية الأساسية [75] نظرية جاكوبي ذات الأربعة مربعات (1839) ، والتي سبقتها ، تنتمي إلى سلسلة مختلفة في البداية والتي أصبحت الآن تولى دورًا رائدًا في نظرية الأعداد التحليلية (النماذج المعيارية). [76]

يتم تناول تاريخ كل حقل فرعي بإيجاز في القسم الخاص به أدناه ، راجع المقالة الرئيسية لكل حقل فرعي للحصول على علاجات أكمل. تظل العديد من الأسئلة الأكثر إثارة للاهتمام في كل مجال مفتوحة ويتم العمل عليها بنشاط.

نظرية الأعداد الأولية

على المدى ابتدائي يشير بشكل عام إلى طريقة لا تستخدم التحليل المعقد. على سبيل المثال ، تم إثبات نظرية الأعداد الأولية لأول مرة باستخدام التحليل المركب في عام 1896 ، ولكن تم العثور على دليل أولي فقط في عام 1949 من قبل Erdős و Selberg. [77] المصطلح غامض إلى حد ما: على سبيل المثال ، يُنظر إلى البراهين المستندة إلى نظريات Tauberian المعقدة (على سبيل المثال ، Wiener-Ikehara) على أنها مفيدة تمامًا ولكنها ليست أولية ، على الرغم من استخدام تحليل فورييه ، بدلاً من التحليل المعقد على هذا النحو. هنا كما في أي مكان آخر ، يوجد ملف ابتدائي قد يكون الإثبات أطول وأكثر صعوبة بالنسبة لمعظم القراء من الدليل غير الابتدائي.

تشتهر نظرية الأعداد بأنها مجال يمكن ذكر العديد من نتائجه للشخص العادي. في الوقت نفسه ، لا يمكن الوصول إلى براهين هذه النتائج بشكل خاص ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن مجموعة الأدوات التي يستخدمونها ، إن وجدت ، واسعة بشكل غير عادي في الرياضيات. [78]

نظرية الأعداد التحليلية

نظرية الأعداد التحليلية يمكن تعريفها

  • من حيث أدواته ، مثل دراسة الأعداد الصحيحة عن طريق أدوات من التحليل الحقيقي والمعقد [70] أو
  • من حيث اهتماماتها ، مثل الدراسة داخل نظرية الأعداد لتقديرات الحجم والكثافة ، مقابل الهويات. [79]

بعض الموضوعات التي تعتبر بشكل عام جزءًا من نظرية الأعداد التحليلية ، على سبيل المثال ، نظرية الغربال ، [الملاحظة 10] يتم تغطيتها بشكل أفضل من خلال التعريف الثاني بدلاً من التعريف الأول: بعض من نظرية الغربال ، على سبيل المثال ، تستخدم القليل من التحليل ، [ملاحظة 11] ومع ذلك فهي تنتمي إلى نظرية الأعداد التحليلية.

فيما يلي أمثلة على مشاكل في نظرية الأعداد التحليلية: نظرية الأعداد الأولية ، تخمين جولدباخ (أو التخمين الأولي المزدوج ، أو تخمينات هاردي - ليتلوود) ، مشكلة وارنج وفرضية ريمان. من أهم أدوات نظرية الأعداد التحليلية طريقة الدائرة وطرق الغربال ووظائف L (أو بالأحرى دراسة خصائصها). تحتل نظرية النماذج المعيارية (وبشكل أكثر عمومًا ، الأشكال التلقائية) أيضًا مكانًا مركزيًا بشكل متزايد في صندوق أدوات نظرية الأعداد التحليلية. [80]

يمكن للمرء أن يسأل أسئلة تحليلية حول الأعداد الجبرية ، ويستخدم الوسائل التحليلية للإجابة على مثل هذه الأسئلة ، وبالتالي تتقاطع نظرية الأعداد الجبرية مع نظرية الأعداد التحليلية. على سبيل المثال ، يمكن للمرء تحديد المُثُل الأولية (تعميمات الأعداد الأولية في مجال الأعداد الجبرية) ويسأل عن عدد المُثل الأولية الموجودة حتى حجم معين. يمكن الإجابة على هذا السؤال عن طريق فحص وظائف Dedekind zeta ، وهي تعميمات لوظيفة Riemann zeta ، وهي عنصر تحليلي رئيسي في جذور الموضوع. [81] هذا مثال على إجراء عام في نظرية الأعداد التحليلية: اشتقاق معلومات حول توزيع تسلسل (هنا ، مُثُل أولية أو أعداد أولية) من السلوك التحليلي لوظيفة ذات قيمة معقدة مبنية بشكل مناسب. [82]

نظرية الأعداد الجبرية

ان عدد جبري هو أي رقم مركب يمثل حلًا لبعض المعادلات متعددة الحدود f (x) = 0 < displaystyle f (x) = 0> مع المعاملات المنطقية على سبيل المثال ، كل حل x < displaystyle x> من x 5 + (11/2 ) x 3 - 7 x 2 + 9 = 0 < displaystyle x ^ <5> + (11/2) x ^ <3> -7x ^ <2> + 9 = 0> (قل) هو رقم جبري. تسمى حقول الأعداد الجبرية أيضًا عدد الحقول الجبريةأو بعد قليل عدد الحقول. تدرس نظرية الأعداد الجبرية مجالات الأعداد الجبرية. [83] وهكذا ، يمكن أن تتداخل نظرية الأعداد التحليلية والجبرية: يتم تعريف الأولى من خلال طرقها ، والأخيرة من خلال موضوعات الدراسة.

يمكن القول أن أبسط أنواع الحقول الرقمية (بمعنى ، الحقول التربيعية) تمت دراستها بالفعل بواسطة غاوس ، كمناقشة للأشكال التربيعية في الاكتشافات الحسابية يمكن إعادة صياغتها من حيث المُثل والمعايير في المجالات التربيعية. (أ المجال التربيعي يتكون من جميع أرقام النموذج أ + ب د >> ، حيث يكون a < displaystyle a> و b < displaystyle b> عددًا منطقيًا و d < displaystyle d> هو رقم منطقي ثابت جذره التربيعي غير منطقي.) لهذه المسألة ، طريقة شاكرافالا في القرن الحادي عشر كميات - بالمصطلحات الحديثة - لخوارزمية لإيجاد وحدات حقل رقم تربيعي حقيقي. ومع ذلك ، لم يعرف باسكارا ولا غاوس حقول الأرقام على هذا النحو.

تم وضع أسس الموضوع كما نعرفها في أواخر القرن التاسع عشر ، عندما أرقام مثالية، ال نظرية المثل العليا و نظرية التقييم تم تطوير هذه ثلاث طرق تكميلية للتعامل مع عدم وجود عامل فريد في حقول الأرقام الجبرية. (على سبيل المثال ، في الحقل الذي تم إنشاؤه بواسطة الأسس المنطقية و - 5 < displaystyle < sqrt <-5> >> ، يمكن تحليل الرقم 6 < displaystyle 6> على أنه 6 = 2 ⋅ 3 < displaystyle 6 = 2 cdot 3> و 6 = (1 + - 5) (1 - - 5) >) (1 - >)> كل 2 ، 3 ، 1 + - 5 >> و 1 - - 5 >> غير قابلة للاختزال ، وبالتالي ، بمعنى ساذج ، مماثلة للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة.) يبدو أن الدافع الأولي لتطوير الأعداد المثالية (بواسطة كومر) قد أتى من دراسة قوانين المعاملة بالمثل العليا ، [84] أي تعميمات المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية.

غالبًا ما يتم دراسة الحقول الرقمية كملحقات لحقول الأرقام الأصغر: حقل إل يقال أن يكون تمديد من مجال ك لو إل يحتوي على ك. (على سبيل المثال ، الأعداد المركبة ج هي امتداد للريال روالريال ر هي امتداد للمبررات س.) يعتبر تصنيف الامتدادات المحتملة لحقل رقم معين مشكلة صعبة ومفتوحة جزئيًا. امتدادات أبيليان — أي الامتدادات إل من ك بحيث أن مجموعة جالوا [الملاحظة 12] غال (إل/ك) من إل على ك هي مجموعة أبيلية — مفهومة جيدًا نسبيًا. كان تصنيفهم موضوع برنامج نظرية المجال الطبقي ، الذي بدأ في أواخر القرن التاسع عشر (جزئيًا بواسطة كرونيكر وأيزنشتاين) ونُفذ إلى حد كبير في 1900-1950.

مثال على منطقة نشطة للبحث في نظرية الأعداد الجبرية هي نظرية إيواساوا. يُوصف أحيانًا برنامج لانجلاند ، وهو أحد خطط البحث الحالية واسعة النطاق في الرياضيات ، على أنه محاولة لتعميم نظرية مجال الفصل على الامتدادات غير الأبيلية لحقول الأرقام.

ديوفانتين الهندسة تحرير

المشكلة المركزية هندسة ديوفنتين هو تحديد متى يكون لمعادلة ديوفانتين حلول ، وإذا كانت كذلك ، فكم عددها. النهج المتبع هو التفكير في حلول المعادلة ككائن هندسي.

على سبيل المثال ، معادلة في متغيرين تحدد منحنى في المستوى. بشكل عام ، تحدد المعادلة ، أو نظام المعادلات ، في متغيرين أو أكثر منحنى أو سطحًا أو كائنًا آخر من هذا القبيل في نمساحة الأبعاد. في هندسة ديوفانتين ، يسأل المرء عما إذا كان هناك أي منها نقاط عقلانية (النقاط التي جميع إحداثياتها منطقية) أو نقاط متكاملة (النقاط التي جميع إحداثياتها أعداد صحيحة) على المنحنى أو السطح. إذا كانت هناك أي من هذه النقاط ، فإن الخطوة التالية هي السؤال عن عدد النقاط وكيفية توزيعها. السؤال الأساسي في هذا الاتجاه هو ما إذا كان هناك عدد محدود أو غير محدود من النقاط المنطقية على منحنى (أو سطح) معين.

لا ينبغي الخلط بين هندسة الديوفانتين وهندسة الأرقام ، وهي مجموعة من الأساليب الرسومية للإجابة على أسئلة معينة في نظرية الأعداد الجبرية. الهندسة الحسابية، ومع ذلك ، هو مصطلح معاصر لنفس المجال الذي يغطيها المصطلح هندسة ديوفنتين. على المدى الهندسة الحسابية يمكن القول أنه يستخدم في أغلب الأحيان عندما يرغب المرء في التأكيد على الروابط مع الهندسة الجبرية الحديثة (كما في ، على سبيل المثال ، نظرية فالتينجز) بدلاً من التقنيات في تقريب ديوفانتين.

المناطق أدناه لا يعود تاريخها إلى ما قبل منتصف القرن العشرين ، حتى لو كانت تستند إلى مواد أقدم. على سبيل المثال ، كما هو موضح أدناه ، فإن مسألة الخوارزميات في نظرية الأعداد قديمة جدًا ، بمعنى ما أقدم من مفهوم الإثبات في نفس الوقت ، والدراسة الحديثة للقدرة الحسابية تعود فقط إلى ثلاثينيات وأربعينيات القرن العشرين ، ونظرية التعقيد الحسابي من السبعينيات.

نظرية الأعداد الاحتمالية

يمكن اعتبار الكثير من نظرية الأعداد الاحتمالية كحالة خاصة مهمة لدراسة المتغيرات التي تكون مستقلة بشكل متبادل تقريبًا ، ولكن ليس تمامًا. على سبيل المثال ، حدث أن عددًا صحيحًا عشوائيًا بين واحد ومليون قابل للقسمة على اثنين وحدث أنه يمكن القسمة على ثلاثة هما حدثان مستقلان تقريبًا ، ولكن ليس تمامًا.

في بعض الأحيان ، يؤدي النهج الاحتمالي غير الصارم إلى عدد من الخوارزميات الاستدلالية والمشكلات المفتوحة ، ولا سيما تخمين كرامر.

التوليفات الحسابية تحرير

هذه الأسئلة هي سمة من سمات التوافقيات الحسابية. هذا هو مجال الاندماج الحالي الذي يستوعبه نظرية الأعداد المضافة (التي تتعلق بمجموعات محددة جدًا A < displaystyle A> ذات أهمية حسابية ، مثل الأعداد الأولية أو المربعات) ، ويمكن القول ، بعض من هندسة الأرقام، جنبًا إلى جنب مع بعض المواد الجديدة سريعة التطور. تركيزها على قضايا النمو وحسابات التوزيع جزئيًا لارتباطاتها المتطورة بنظرية ergodic ، ونظرية المجموعة المحدودة ، ونظرية النموذج ، وغيرها من المجالات. على المدى التوليفات المضافة تُستخدم أيضًا مع ذلك ، لا يلزم أن تكون المجموعات A < displaystyle A> التي يتم دراستها مجموعات من الأعداد الصحيحة ، بل مجموعات فرعية من المجموعات غير التبادلية ، حيث يتم استخدام رمز الضرب ، وليس رمز الإضافة ، بشكل تقليدي ، ويمكن أيضًا أن تكون مجموعات فرعية عدد الحلقات ، وفي هذه الحالة يمكن مقارنة نمو A + A < displaystyle A + A> و A < displaystyle A> · A < displaystyle A>.

نظرية الأعداد الحسابية

بينما كانت كلمة الخوارزمية goes back only to certain readers of al-Khwārizmī, careful descriptions of methods of solution are older than proofs: such methods (that is, algorithms) are as old as any recognisable mathematics—ancient Egyptian, Babylonian, Vedic, Chinese—whereas proofs appeared only with the Greeks of the classical period.

An early case is that of what we now call the Euclidean algorithm. In its basic form (namely, as an algorithm for computing the greatest common divisor) it appears as Proposition 2 of Book VII in عناصر, together with a proof of correctness. However, in the form that is often used in number theory (namely, as an algorithm for finding integer solutions to an equation a x + b y = c , or, what is the same, for finding the quantities whose existence is assured by the Chinese remainder theorem) it first appears in the works of Āryabhaṭa (5th–6th century CE) as an algorithm called kuṭṭaka ("pulveriser"), without a proof of correctness.

There are two main questions: "Can we compute this?" and "Can we compute it rapidly?" Anyone can test whether a number is prime or, if it is not, split it into prime factors doing so rapidly is another matter. We now know fast algorithms for testing primality, but, in spite of much work (both theoretical and practical), no truly fast algorithm for factoring.

The difficulty of a computation can be useful: modern protocols for encrypting messages (for example, RSA) depend on functions that are known to all, but whose inverses are known only to a chosen few, and would take one too long a time to figure out on one's own. For example, these functions can be such that their inverses can be computed only if certain large integers are factorized. While many difficult computational problems outside number theory are known, most working encryption protocols nowadays are based on the difficulty of a few number-theoretical problems.

Some things may not be computable at all in fact, this can be proven in some instances. For instance, in 1970, it was proven, as a solution to Hilbert's 10th problem, that there is no Turing machine which can solve all Diophantine equations. [85] In particular, this means that, given a computably enumerable set of axioms, there are Diophantine equations for which there is no proof, starting from the axioms, of whether the set of equations has or does not have integer solutions. (We would necessarily be speaking of Diophantine equations for which there are no integer solutions, since, given a Diophantine equation with at least one solution, the solution itself provides a proof of the fact that a solution exists. We cannot prove that a particular Diophantine equation is of this kind, since this would imply that it has no solutions.)

The number-theorist Leonard Dickson (1874–1954) said "Thank God that number theory is unsullied by any application". Such a view is no longer applicable to number theory. [86] In 1974, Donald Knuth said ". virtually every theorem in elementary number theory arises in a natural, motivated way in connection with the problem of making computers do high-speed numerical calculations". [87] Elementary number theory is taught in discrete mathematics courses for computer scientists on the other hand, number theory also has applications to the continuous in numerical analysis. [88] As well as the well-known applications to cryptography, there are also applications to many other areas of mathematics. [89] [90] [ specify ]

The American Mathematical Society awards the Cole Prize in Number Theory. Moreover number theory is one of the three mathematical subdisciplines rewarded by the Fermat Prize.

  1. ^ German original: "Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik."
  2. ^ Already in 1921, T. L. Heath had to explain: "By arithmetic, Plato meant, not arithmetic in our sense, but the science which considers numbers in themselves, in other words, what we mean by the Theory of Numbers." (Heath 1921, p. 13)
  3. ^ Take, for example, Serre 1973 harvnb error: no target: CITEREFSerre1973 (help) . In 1952, Davenport still had to specify that he meant The Higher Arithmetic. Hardy and Wright wrote in the introduction to An Introduction to the Theory of Numbers (1938): "We proposed at one time to change [the title] to An introduction to arithmetic, a more novel and in some ways a more appropriate title but it was pointed out that this might lead to misunderstandings about the content of the book." (Hardy & Wright 2008)
  4. ^Robson 2001, p. 201. This is controversial. See Plimpton 322. Robson's article is written polemically (Robson 2001, p. 202) with a view to "perhaps [. ] knocking [Plimpton 322] off its pedestal" (Robson 2001, p. 167) at the same time, it settles to the conclusion that

[. ] the question "how was the tablet calculated?" does not have to have the same answer as the question "what problems does the tablet set?" The first can be answered most satisfactorily by reciprocal pairs, as first suggested half a century ago, and the second by some sort of right-triangle problems (Robson 2001, p. 202).

Robson takes issue with the notion that the scribe who produced Plimpton 322 (who had to "work for a living", and would not have belonged to a "leisured middle class") could have been motivated by his own "idle curiosity" in the absence of a "market for new mathematics".(Robson 2001, pp. 199–200)

[26] Now there are an unknown number of things. If we count by threes, there is a remainder 2 if we count by fives, there is a remainder 3 if we count by sevens, there is a remainder 2. Find the number of things. Answer: 23.

طريقة: If we count by threes and there is a remainder 2, put down 140. If we count by fives and there is a remainder 3, put down 63. If we count by sevens and there is a remainder 2, put down 30. Add them to obtain 233 and subtract 210 to get the answer. If we count by threes and there is a remainder 1, put down 70. If we count by fives and there is a remainder 1, put down 21. If we count by sevens and there is a remainder 1, put down 15. When [a number] exceeds 106, the result is obtained by subtracting 105.

[36] Now there is a pregnant woman whose age is 29. If the gestation period is 9 months, determine the sex of the unborn child. Answer: Male.

طريقة: Put down 49, add the gestation period and subtract the age. From the remainder take away 1 representing the heaven, 2 the earth, 3 the man, 4 the four seasons, 5 the five phases, 6 the six pitch-pipes, 7 the seven stars [of the Dipper], 8 the eight winds, and 9 the nine divisions [of China under Yu the Great]. If the remainder is odd, [the sex] is male and if the remainder is even, [the sex] is female.


Is there any physics theory which is similar to these analogies?

Since I am doing this little "research" project on my spare time and in my physical neighborhood there are not many people to discuss these ideas, I wanted to share with you a small point of view, in hope that someone with more experience in physics/number theory, can bring in some ideas to the discussion:

Let $k=s$ be a positive definite symmetric function and a simililarity over the natural numbers such that $k(a,a) = 1, k(ac,bc)=k(a,b) $ for all natural numbers $a,b,c$ .

A similarity $s:X imes X ightarrow mathbb$ is defined in the Encyclopedia of Distances as:

$s(x,y) le s(x,x) forall x,x in X$

By the Moore-Aronszajn-Theorem there exists a Hilbert space $H$ such that $ langlephi(x),phi(y) angle = k(x,y), $ where $phi: mathbb ightarrow H$ is a "feature" mapping.
By assumption, we have $k(a,a)=1$ for each natural number $a$ .
We consider vectors $x,y$ in the Hilbert space of the form:

$x = a_1 phi(x_1) + cdots a_n phi(x_n)$

$y = b_1 phi(x_1) + cdots b_n phi(x_n)$

where $a_i$ are real numbers and $x_i$ are natural numbers.
Let $G = ( k(x_i,x_j) )_<1le i,j le n>$ be the gram matrix and let $T = ( a_i b_j )_<1 le i,j le n>$ .
Then we have:

$langle G,T angle_F = langle x,y angle_H$

where the subscript $F$ denotes the Frobenius inner product of $G$ and $T$ .

$langle Gx,y angle = langle x,Gy angle$

Now the Gramian matrix lives in $S^+_n$ the space of SPD matrices. Here different Riemannian metrics are discussed on this space.

Let me try to give a "phyiscal interpretation / analogy" of this situation here:

The natural numbers would correspond, since $k(a,a) = 1$ to pure states in quantum mechanics.

For each set of $n$ pure states / natural numbers, we have an "observable" / Gramian matrix $G$ : $ langle Gx,y angle = langle x,Gy angle $ and each measurement of this observable gives an eigenvalue of $G$ as a result.

Each observable $G$ lives in a symmetric (if the Riemannian metric is the affine invariant) one Riemannian space $S_n^+$ , which would be interpreted as a point in space.

Not every point $X in S_n^+$ space has measureable observables, since there might be some $X$ which we can not write as a Gramian matrix $G$ .

One could think of a "triangulation" of the space $S_n^+$ based on simplicex formed by sets of pure states / sets of natural numbers.

The "drawback" of these analogies is that

the space would have dimensions $1,3,6,cdots,frac<2>,cdots$

I have not said anything about time

and those dimensions would depend on what dimension (number of distinct eigenvalues) the observables in the quantum level has.

I am not familiar with the many theories of physics, so my question is:

1) Physics question: Is there any physics theory which is similar to these analogies?

يحرر: The following point of view seems to be more promising:

To each observable (hermitian matrix) $A$ of a $n$ dimensional Hilbert subspace, we can associate $exp(A)=G$ which is a Gramian Matrix of dimension $n$ and corresponds to a basis of the subspace.(This is not unique).

To each basis $B = (phi(x_1),cdots,phi(x_n))$ of a finite subspace, we can associate the Gramian matrix $G_B$ and the Hermitian matrix $log(G_B)$ which we could interpret as an observable.

In the question above I wrote about sets of natural numbers, which is incorrect and should be replaced with $n$ -tuples of natural numbers (which correspond to a basis of a Hilbert subspace).

Hence since permutations of the basis / natural numbers, will give in general a distinct Gramian matrix $G_1$ and $G_2$ , but the measurements will be the same, since the eigenvalues $sigma(G_1) = sigma(G_2)$ are the same, and we could have the case that the eigenvectors are the same, meaning that the quantum state is the same of the two observables $log(G_1)$ and $log(G_2)$ then we conclude that in the distinct "spatial" space points $G_1$ and $G_2$ there are two identical quantum states (or to better imagine it, particles).


The logarithmic integral has an integral representation defined for all positive real numbers x ≠ 1 by the definite integral

Here, ln denotes the natural logarithm. The function 1/(ln ر) has a singularity at ر = 1 , and the integral for x > 1 is interpreted as a Cauchy principal value,

ال offset logarithmic integral أو Eulerian logarithmic integral يعرف ب

As such, the integral representation has the advantage of avoiding the singularity in the domain of integration.

The function li(x) has a single positive zero it occurs at x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930. OEIS: A070769 this number is known as the Ramanujan–Soldner constant.

−Li(0) = li(2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151. OEIS: A069284

The function li(x) is related to the exponential integral Ei(x) via the equation

which is valid for x > 0. This identity provides a series representation of li(x) كما

where γ ≈ 0.57721 56649 01532 . OEIS: A001620 is the Euler–Mascheroni constant. A more rapidly convergent series by Ramanujan [1] is

The asymptotic behavior for x → ∞ is

This gives the following more accurate asymptotic behaviour:

As an asymptotic expansion, this series is not convergent: it is a reasonable approximation only if the series is truncated at a finite number of terms, and only large values of x are employed. This expansion follows directly from the asymptotic expansion for the exponential integral.

This implies e.g. that we can bracket li as:

The logarithmic integral is important in number theory, appearing in estimates of the number of prime numbers less than a given value. For example, the prime number theorem states that:


4: Number Theoretic Functions - Mathematics

ال Carmichael function λ is a number theoretic function closely related to the Euler function φ(ن). Just like φ, λ has a deep connection to prime numbers and to the order of integers. The name is due to the U.S. mathematician Robert D. Carmichael (1879-1967) (see also here).

The definition of the Carmichael function λ: ن & rarr ن is pretty complicated: If the prime factorization of ن is given by ن = p1 أ1 . pك أك, we have λ(ن) = lcm[λ(p1 أ1 ), . λ(pك أك)], where

λ(pأنا أأنا) = < 2 أأنا - 2 لو pأنا = 2 and أأنا > 2,
pأنا أأنا - 1 (pأنا - 1) غير ذلك.

(lcm = least common multiple). An example may shed light on this formula: Let be ن = 12, with its prime factorization 12 = 2 2 ·3 then λ(12) = lcm[λ(2 2 ), λ(3)], where λ(2 2 ) = 1 and λ(3) = 2, i.e. λ(12) = 2. With appropriate effort one computes the following table of values for the first positive integers (also listed the corresponding values of the Euler totient function φ):

ن 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
λ(ن) 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4
φ(ن) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8

One of the properties of the Carmichael function, anticipated by the table, can be generalized to an arbitrary integer ن: The Carmichael function value λ(ن) divides the Euler function value φ(ن), in symbols λ(ن) | φ(ن). For a prime p the Carmichael function values are comparably easy to compute:

λ(p) = p - 1 (p prime).

(Note that in this case λ(p)=φ(p).) For instance, we have λ(7) = 6, or λ(13) = 12. If ن is the product of two primes p und ف, ن=pq, we have λ(pq) = lcm(p-1, ف-1). مثال: λ(15) = lcm(3-1, 5-1) = 4. Furthermore, we have the following important theorem.

Carmichael's theorem. For two positive relatively prime integers م, ن we have

م λ(ن) = 1 mod ن.

Given a fixed ن, λ(ن) is the smallest exponent with this property for all م &isin IN.

You can start an Applet computing the Euler and die Carmichael function values.


W. Ackermann: Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. رياضيات. Annalen99 (1928), pp. 118–133.

A. Church and S. C. Kleene: Formal Definitions in the Theory of Ordinal Numbers. Fund. Methematicae28(1936), pp. 11–21.

J. P. Cleave and H. E. Rose: ℰن-Arithmetic. Sets, Models and Recursion Theory, N. Holland (1967), pp. 297–308.

K. Gödel: Consistency-Proof for the Generalized Continuum-Hypothesis. بروك. نات. Acad. علوم. USA.25 (1939), pp. 220–224.

A. Grzegorczyk: Some Classes of Recursive Functions. Rozprawy Matematyczne No.4, Warsaw (1953).

S. C. Kleene: Introduction to Metamathematics. Van Nostrand (1952).

G. Kreisel: On the Interpretation of Non-Finitist Proofs. J. Symbolic Logic17 (1952), pp. 43–58.

G. H. Müller: Charakterisierung einer Klasse von rekursiven Funktionen. Kolloquium „Grundlagen der Math. . “ Tihany (1962).

R. Péter: Recursive Functions. Academic Press (1967).

R. Péter: Rekursivität und Konstruktivität, Constructivity in Mathematics, ed. A. Heyting, Amsterdam (1959), pp. 226–233.

R. W. Ritchie: Classes of Recursive Functions based on Ackermann's Function. Pacific Journal of Math.15, (iii) (1965), pp. 1027–1044.

J. W. Robbin: Ph. D. Dissertation, Princeton University (1965).

S. Feferman: Classifications of Recursive Functions by means of Hierarchies. Trans. Amer. رياضيات. شركة104 (1962), pp. 101–122.


يترك أF be a vector space over a field F، والسماح إل1 و إل2 be two linear functionals on AF with the property إل1(ه) = إل2(ه) = 1F for some ه في أF. We define multiplication of two elements x, ذ في أF بواسطة

It can be verified that the above multiplication is associative and that ه is the identity of this multiplication.

So, AF forms an associative algebra with unit ه and is called a functional theoretic algebra(FTA).

Suppose the two linear functionals إل1 و إل2 are the same, say ل. ثم أF becomes a commutative algebra with multiplication defined by

x ⋅ y = L ( x ) y + L ( y ) x − L ( x ) L ( y ) e .

X is a nonempty set and F a field. F X is the set of functions from X ل F.

لو f, g are in F X , x في X و α في F, then define

With addition and scalar multiplication defined as this, F X is a vector space over F.

Now, fix two elements a, b في X and define a function ه from X ل F بواسطة ه(x) = 1F للجميع x في X.

Define إل1 و إل2 from F X ل F بواسطة إل1(F) = F(أ) و إل2(F) = F(ب).

ثم إل1 و إل2 are two linear functionals on F X مثل ذلك إل1(ه)= إل2(ه)= 1F إلى عن على f, g في F X حدد

f ⋅ g = L 1 ( f ) g + L 2 ( g ) f − L 1 ( f ) L 2 ( g ) e = f ( a ) g + g ( b ) f − f ( a ) g ( b ) e . (f)g+L_<2>(g)f-L_<1>(f)L_<2>(g)e=f(a)g+g(b)f-f(a)g(b)e.>

ثم F X becomes a non-commutative function algebra with the function ه as the identity of multiplication.

يترك ج denote the field of Complex numbers. A continuous function γ from the closed interval [0, 1] of real numbers to the field ج is called a curve. The complex numbers γ(0) and γ(1) are, respectively, the initial and terminal points of the curve. If they coincide, the curve is called a loop. The set الخامس[0, 1] of all the curves is a vector space over ج.

We can make this vector space of curves into an algebra by defining multiplication as above. Choosing e ( t ) = 1 , ∀ ∈ [ 0 , 1 ] we have for α,β في ج[0, 1],

ثم، الخامس[0, 1] is a non-commutative algebra with ه as the unity.

We illustrate this with an example.

Let us take (1) the line segment joining the points (1, 0) and (0, 1) and (2) the unit circle with center at the origin. As curves in الخامس[0, 1], their equations can be obtained as

( f ⋅ g ) ( t ) = [ − t + cos ⁡ ( 2 π t ) ] + i [ t + sin ⁡ ( 2 π t ) ]

( g ⋅ f ) ( t ) = [ 1 − t − sin ⁡ ( 2 π t ) ] + i [ t − 1 + cos ⁡ ( 2 π t ) ]


Zeta and (L)-functions in Number Theory and Combinatorics

Zeta and (L)-functions play a central role in number theory. They provide important information of arithmetic nature. This book, which grew out of the author's teaching over several years, explores the interaction between number theory and combinatorics using zeta and (L)-functions as a central theme. It provides a systematic and comprehensive account of these functions in a combinatorial setting and establishes, among other things, the combinatorial counterparts of celebrated results in number theory, such as the prime number theorem and the Chebotarev density theorem.

The spectral theory for finite graphs and higher dimensional complexes is studied. Of special interest in theory and applications are the spectrally extremal objects, called Ramanujan graphs and Ramanujan complexes, which can be characterized by their associated zeta functions satisfying the Riemann Hypothesis. Explicit constructions of these extremal combinatorial objects, using number-theoretic and combinatorial means, are presented.

Research on zeta and (L)-functions for complexes other than graphs emerged only in recent years. This is the first book for graduate students and researchers offering deep insight into this fascinating and fast developing area.

القراء

Graduate students and researchers interested in Zeta and (L)-functions.


3 إجابات 3

The number of such functions is the number of ways of dividing our set, in this case $<1,2,3,4>$ into $1$ or $2$ element subsets. For given such a subdivision, we can define $f(x)$ to be $x$ if $x$ is a singleton in the subdivision, and by $f(x)=y$, $f(y)=x$ if in the subdivision $x$ and $y$ are a "couple." Conversely, a function $f$ such that $f(f(x))=x$ for all $x$ determines a subdivision of $<1,2,3,4>$ into singles and couples.

Let us tackle the number of ways to divide an $n$-element set, say $<1,2,dots,n>$, into singles and/or couples. Call this number of ways $a_n$.

Note that $a_=a_n+na_$. For if we add a new element $n+1$ to $<1,2,dots,n>$, it can be all by itself, in which case there are $a_n$ ways to divide the rest into groups of $1$ and/or $2$, or it can be paired with one of the earlier elements, in which case the rest can be subdivided into singles and/or couples in $a_$ ways. We have obtained the recurrence $a_=a_n+na_.$ It is clear that $a_1=1$ and $a_2=2$. Thus by the recurrence, we have $a_3=a_2+2a_1=4$, $a_4=a_3+3a_2=10$, $a_5=26$, and so on.

There is no nice closed form known for $a_n$.

Note that a function does not necessarily have a closed expression which defines it. that is you to not necessarily need to express it $f(x)=5-x$ or $f(x)=x$, but rather we may just state where each element go. So one function is if $f(1)=4, f(4)=1, f(2)=3, f(3)=2$.

Each function satisfying the above condition must be of the form $f(x)=y$ if and only if $f(y)=x$.

We may Choose $f(1)$ in 4 different ways.

  • If $f(1) eq 1$ then we have left to choose where the two elements which are not 1 or $f(1)$ should be mapped, and this we may do in 2 different ways. This if $f(1) eq 1$ we have 2 choices.
  • If $f(1)=1$ we have 3 choices of some other element which needs to also be mapped to it self. Then the rest of the elements may be mapped to them self or each other. This gives us 4 choices in total, 3 where the elements are mapped to each other and 1 where all elements are fixated.

We had 3 ways to get case 1 which induced 2 choices, and we had 1 way to get to case 2 which induced 4 choices. Thus we get $3cdot 2 + 1cdot 4 = 10$ such functions.

This can me asked as a graph theory problem: how many graphs with vertices $$ exist such that each vertex lies in exactly one cycle of length at most $2$?

Case 1: All cycles are of length 1. This is equivilant to the identity function, which we know is unique. However from a graph theoretic point of view this is equal to $inom<4><4>$ because we are choosing 4 vertices to have cycle length one (notice that order does not matter because cycles start and end in the same place, and if two functions have the same cycles regardless of order they are equal). $inom<4> <4>= 1$, consistent with what we know about the identity.

Case 2: One cycle is of length 2, and 2 are of length one. We know that the two of length one are chosen by $inom<4><2>$ and the reaming two vertices are forces to be in the cycles of length two (or are 'chosen' by $inom<2><2>$).

Case 3: 2 cycles of length 2, which is the same amount of choices as above, since the two remaining ones are forced to be the cycle. We have to divide by the number of ways there are to arrange 2 $2$-cycles, which is $2!$


شاهد الفيديو: الرياضيات. حساب الاحتمال والتوقع (شهر اكتوبر 2021).