مقالات

6.2: مراجعة متسلسلة القوة - الرياضيات


تؤدي العديد من التطبيقات إلى معادلات تفاضلية مع حلول لا يمكن التعبير عنها من حيث الدوال الأولية مثل كثيرات الحدود والوظائف المنطقية والوظائف الأسية واللوغاريتمية والدوال المثلثية. يمكن التعبير عن حلول بعض أهم هذه المعادلات من حيث سلسلة القوى. سوف ندرس مثل هذه المعادلات في هذا الفصل. في هذا القسم نستعرض الخصائص ذات الصلة لسلسلة الطاقة. سنقوم بحذف البراهين ، والتي يمكن العثور عليها في أي نص قياسي في حساب التفاضل والتكامل.

التعريف ( PageIndex {1} )

سلسلة لا نهائية من النموذج

[ label {eq: 7.1.1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n، ]

حيث (x_0 ) و (a_0 ) ، (a_1 ، ) ... ، (a_n ، ) ... ثوابت ، يسمى سلسلة الطاقة في (x-x_0. ) نقول أن معادلة المتسلسلة الأسّية المرجع {eq: 7.1.1} يتقارب للحصول على (س ) إذا كان الحد

[ lim_ {N to infty} sum_ {n = 0} ^ Na_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

موجود (؛ ) وإلا فإننا نقول أن سلسلة الطاقة يتباعد من أجل المعطى (x. )

يجب أن تتقارب سلسلة القوى في (x-x_0 ) إذا (x = x_0 ) ، لأن القوى الموجبة لـ (x-x_0 ) كلها صفر في هذه الحالة. قد تكون هذه هي القيمة الوحيدة لـ (x ) التي تتقارب من أجلها سلسلة الطاقة. ومع ذلك ، توضح النظرية التالية أنه إذا تقاربت سلسلة الطاقة لبعض (x ne x_0 ) ، فإن مجموعة جميع قيم (x ) التي تتقارب من أجلها تشكل فاصلًا زمنيًا.

نظرية ( PageIndex {2} )

لأي سلسلة طاقة

[ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ، nonumber ]

بالضبط واحدة من هذه العبارات صحيحة (: )

  1. تتقارب سلسلة الطاقة فقط من أجل (x = x_0. )
  2. تتقارب سلسلة الطاقة لجميع قيم (x. )
  3. يوجد رقم موجب (R ) بحيث تتقارب سلسلة الأس إذا (| x-x_0 | R ).

في الحالة (iii) نقول أن (R ) هو نصف قطر التقارب من سلسلة الطاقة. للراحة ، نقوم بتضمين الحالتين الأخريين في هذا التعريف من خلال تعريف (R = 0 ) في الحالة (i) و (R = infty ) في الحالة (ii). نحدد ال الفاصل الزمني المفتوح للتقارب من ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) ليكون

[(x_ {0} -R، x_ {0} + R) quad text {if} quad 0

إذا كان (R ) محدودًا ، فلا يمكن عمل بيان عام بشأن التقارب عند نقاط النهاية (x = x_0 pm R ) للفاصل المفتوح للتقارب ؛ قد تتقارب السلسلة عند إحدى النقطتين أو كلاهما ، أو تتباعد عند كلا النقطتين.

تذكر من حساب التفاضل والتكامل أن سلسلة من الثوابت ( sum_ {n = 0} ^ infty alpha_n ) يقال عنها تتلاقى على الاطلاق إذا كانت سلسلة القيم المطلقة ( sum_ {n = 0} ^ infty | alpha_n | ) تتقارب. يمكن إظهار أن سلسلة الطاقة ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) بنصف قطر موجب من التقارب (R ) تتقارب تمامًا في الفاصل المفتوح للتقارب ؛ هذا هو المسلسل

[ sum_ {n = 0} ^ infty | a_n || x-x_0 | ^ n non Number ]

من القيم المطلقة تتقارب إذا (| x-x_0 |

توفر النظرية التالية طريقة مفيدة لتحديد نصف قطر تقارب سلسلة القدرة. يتم اشتقاقه في حساب التفاضل والتكامل من خلال تطبيق اختبار النسبة على السلسلة المقابلة من القيم المطلقة. للحصول على النظريات ذات الصلة انظر تمارين 7.2.2 و 7.2.4.

نظرية ( PageIndex {3} )

افترض أن هناك عددًا صحيحًا (N ) مثل (a_n ne0 ) إذا (n ge N ) و

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = L، nonumber ]

حيث (0 le L le infty. ) ثم نصف قطر التقارب ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) هو (R = 1 / L ، ) والتي يجب تفسيرها على أنها تعني (R = 0 ) إذا (L = infty ، ) أو (R = infty ) إذا (L = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد نصف قطر تقارب المتسلسلة:

  1. [ sum_ {n = 0} ^ infty n! x ^ n non number ]
  2. [ sum_ {n = 10} ^ infty (-1) ^ n {x ^ n over n!} non number ]
  3. [ sum_ {n = 0} ^ infty 2 ^ nn ^ 2 (x-1) ^ n. non number ]

الحل أ

هنا (a_n = n! ) لذا

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = lim_ {n to infty} {(n + 1)! over n!} = lim_ {n to infty} (n + 1) = infty. لا يوجد رقم]

ومن ثم ، (R = 0 ).

الحل ب

هنا (a_n = (1) ^ n / n! ) لـ (n ge N = 10 ) ، لذلك

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = lim_ {n to infty} {n! over (n + 1)!} = lim_ {n to infty} {1 over n + 1} = 0. لا يوجد رقم]

ومن ثم ، (R = infty ).

الحل ج

هنا (a_n = 2 ^ nn ^ 2 ) ، لذا

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = lim_ {n to infty} {2 ^ {n + 1} (n + 1) ^ 2 over2 ^ nn ^ 2} = 2 lim_ {n to infty} left (1+ {1 over n} right) ^ 2 = 2. لا يوجد رقم]

ومن ثم ، (R = 1/2 ).

سلسلة تايلور

إذا كانت الوظيفة (f ) تحتوي على مشتقات جميع الطلبات عند نقطة (x = x_0 ) ، فإن سلسلة تايلور من (و ) حوالي يتم تعريف (x_0 ) بواسطة

[ sum_ {n = 0} ^ infty {f ^ {(n)} (x_0) over n!} (x-x_0) ^ n. لا يوجد رقم ]

في الحالة الخاصة حيث (x_0 = 0 ) ، تسمى هذه السلسلة أيضًا بامتداد سلسلة Maclaurin من (F).

تتلاقى سلسلة تايلور لمعظم الوظائف الابتدائية الشائعة مع الوظائف على فترات التقارب المفتوحة. على سبيل المثال ، ربما تكون على دراية بسلسلة Maclaurin التالية:

[ label {eq: 7.1.2} e ^ {x} = sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {x ^ {n}} {n!}، quad - infty

[ label {eq: 7.1.3} sin x = sum_ {n = 0} ^ { infty} (-1) ^ {n} frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}، quad - infty

[ label {eq: 7.1.4} cos x = sum_ {n = 0} ^ { infty} (-1) ^ {n} frac {x ^ {2n}} {(2n)!} رباعي - infty

[ label {eq: 7.1.5} frac {1} {1-x} = sum_ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} quad -1

تمايز سلسلة الطاقة

تحدد سلسلة القدرة ذات نصف قطر التقارب الموجب دالة

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

في فاصل التقارب المفتوح. نقول أن المسلسل يمثل (f ) في الفاصل الزمني المفتوح للتقارب. قد تكون الدالة (f ) التي يتم تمثيلها بسلسلة أسية دالة أولية مألوفة كما في المعادلات ref {eq: 7.1.2} - ref {eq: 7.1.5}؛ ومع ذلك ، غالبًا ما يحدث أن (f ) ليست وظيفة مألوفة ، لذا فإن السلسلة في الواقع يحدد (F).

توضح النظرية التالية أن الدالة الممثلة بسلسلة قوى لها مشتقات من جميع الأوامر في الفاصل المفتوح لتقارب سلسلة الأس ، وتوفر تمثيلات متسلسلة القوة للمشتقات.

Theorem ( PageIndex {4} ): سلسلة أس

سلسلة الطاقة

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

مع نصف قطر موجب من التقارب (R ) له مشتقات من جميع الأوامر في فاصل التقارب المفتوح ، ويمكن الحصول على المشتقات المتتالية عن طريق التفريق المتكرر للمصطلح حسب المصطلح (؛ ) أي ،

[ start {align} f '(x) & = { sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-x_0) ^ {n-1}} label {eq: 7.1.6}، f '(x) & = { sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2}} ، label {eq: 7.1.7} & vdots & nonumber f ^ {(k)} (x) & = { sum_ {n = k} ^ infty n (n-1) cdots (n-k + 1) a_n (x-x_0 ) ^ {nk}} label {eq: 7.1.8}. end {align} nonumber ]

علاوة على ذلك ، كل هذه السلاسل لها نفس نصف قطر التقارب (R. )

مثال ( PageIndex {2} )

دع (f (x) = sin x ). من المعادلة المرجع {eq: 7.1.3} ،

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1} over (2n + 1)!}. لا يوجد رقم]

من المعادلة المرجع {eq: 7.1.6} ،

[f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {d over dx} left [x ^ {2n + 1} over (2n + 1)! right ] = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n} over (2n)!}، nonumber ]

وهي المعادلة المتسلسلة المرجع {eq: 7.1.4} لـ ( cos x ).

تفرد سلسلة الطاقة

توضح النظرية التالية أنه إذا كان (f ) معرف بسلسلة قوى في (x-x_0 ) بنصف قطر تقارب موجب ، فإن سلسلة القوة هي سلسلة تايلور من (f ) حول (x_0 ).

نظرية ( PageIndex {5} )

إذا كانت سلسلة الطاقة

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

نصف قطر تقارب موجب ، إذن

[ label {eq: 7.1.9} a_n = {f ^ {(n)} (x_0) over n!}؛ ]

وهذا يعني ، ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) هي سلسلة تايلور من (f ) حول (x_0 ).

يمكن الحصول على هذه النتيجة من خلال ضبط (x = x_0 ) في المعادلة المرجع {eq: 7.1.8} ، والتي تنتج

[f ^ {(k)} (x_0) = k (k-1) cdots1 cdot a_k = k! a_k. لا يوجد رقم]

وهذا يعني أن

[a_k = {f ^ {(k)} (x_0) over k!}. nonumber ]

باستثناء التدوين ، هذا هو نفس المعادلة المرجع {eq: 7.1.9}.

تسرد النظرية التالية خاصيتين مهمتين لسلسلة الطاقة التي تتبع Theorem ( PageIndex {4} ).

نظرية ( PageIndex {6} )

  1. إذا [ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty b_n (x-x_0) ^ n non number ] للجميع (x ) في فاصل زمني مفتوح يحتوي على (x_0، ) ثم (a_n = b_n ) لـ (n = 0 ) ، (1 ) ، (2 ) ،….
  2. إذا [ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = 0 nonumber ] للجميع (x ) في فاصل مفتوح يحتوي على (x_0، ) ثم (a_n = 0 ) لـ (n = 0 ) ، (1 ) ، (2 ) ،….

للحصول على (أ) نلاحظ أن السلسلتين تمثلان نفس الوظيفة (f ) في الفاصل الزمني المفتوح ؛ ومن ثم ، فإن النظرية ( PageIndex {4} ) تدل على ذلك

[a_n = b_n = {f ^ {(n)} (x_0) over n!}، quad n = 0،1،2، dots. لا يوجد رقم]

(ب) يمكن الحصول عليها من (أ) بأخذ (b_n = 0 ) لـ (n = 0 ) ، (1 ) ، (2 ) ، ....

تايلور متعدد الحدود

إذا كان (f ) يحتوي على (N ) مشتقات عند نقطة (x_0 ) ، فإننا نقول ذلك

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (x_0) over n!} (x-x_0) ^ n nonumber ]

هل (N ) - كثير حدود تايلور من (و ) حول (x_0 ). يشير هذا التعريف والنظرية ( PageIndex {4} ) إلى أنه إذا كان

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ، nonumber ]

حيث يكون لسلسلة القوة نصف قطر تقارب موجب ، ثم يتم إعطاء كثيرات حدود تايلور لـ (f ) حول (x_0 ) بواسطة

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_n (x-x_0) ^ n. لا يوجد رقم]

في التطبيقات العددية ، نستخدم كثيرات حدود تايلور لتقريب (f ) على فترات فرعية للفاصل الزمني المفتوح لتقارب سلسلة الطاقة. على سبيل المثال ، المعادلة المرجع {eq: 7.1.2} تعني أن متعدد الحدود (T_N ) من (f (x) = e ^ x ) هو

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N {x ^ n over n!}. لا يوجد رقم]

المنحنى الصلب في الشكل ( PageIndex {1} ) هو الرسم البياني (y = e ^ x ) على الفاصل ([0،5] ). المنحنيات المنقطة في الشكل ( PageIndex {1} ) هي الرسوم البيانية لتايلور متعدد الحدود (T_1 ) ، ... ، (T_6 ) من (y = e ^ x ) حول (x_0 = 0 ). من هذا الشكل ، نستنتج أن دقة تقريب (y = e ^ x ) من خلال تيلور متعدد الحدود (T_N ) يتحسن مع زيادة (N ).

تحويل فهرس التلخيص

في تعريف ( PageIndex {1} ) لسلسلة قوى في (x-x_0 ) ، فإن (n ) - th هو مضاعف ثابت لـ ((x-x_0) ^ n ). هذا ليس صحيحًا في المعادلة المرجع {eq: 7.1.6} ، المعادلة المرجع {eq: 7.1.7} ، والمعادلة المرجع {eq: 7.1.8} ، حيث تكون المصطلحات العامة عبارة عن مضاعفات ثابتة لـ ( (x-x_0) ^ {n-1} ) ، ((x-x_0) ^ {n-2} ) ، و ((x-x_0) ^ {nk} ) ، على التوالي. ومع ذلك ، يمكن إعادة كتابة كل هذه السلاسل بحيث تكون حدودها (n ) - مضاعفات ثابتة لـ ((x-x_0) ^ n ). على سبيل المثال ، السماح (n = k + 1 ) في المتسلسلة في المعادلة ref {eq: 7.1.6}

[ label {eq: 7.1.10} f '(x) = sum_ {k = 0} ^ infty (k + 1) a_ {k + 1} (x-x_0) ^ k، ]

حيث نبدأ فهرس التجميع الجديد (k ) من الصفر بحيث يكون المصطلح الأول في المعادلة المرجع {eq: 7.1.10} (تم الحصول عليه عن طريق الإعداد (ك = 0 )) هو نفسه المصطلح الأول في المعادلة المرجع {eq: 7.1.6} (تم الحصول عليها عن طريق الإعداد (n = 1 )). ومع ذلك ، فإن مجموع السلسلة مستقل عن الرمز المستخدم للإشارة إلى فهرس الجمع ، تمامًا كما أن قيمة التكامل المحدد مستقلة عن الرمز المستخدم للإشارة إلى متغير التكامل. لذلك يمكننا استبدال (k ) بـ (n ) في المعادلة المرجع {eq: 7.1.10} للحصول على

[ label {eq: 7.1.11} f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) a_ {n + 1} (x-x_0) ^ n، ]

حيث المصطلح العام هو مضاعف ثابت لـ ((x-x_0) ^ n ).

ليس من الضروري حقًا تقديم فهرس الجمع الوسيط (ك ). يمكننا الحصول على المعادلة المرجع {eq: 7.1.11} مباشرةً من المعادلة المرجع {eq: 7.1.6} عن طريق استبدال (n ) بـ (n + 1 ) في المصطلح العام للمعادلة المرجع {eq : 7.1.6} وطرح 1 من الحد الأدنى للمعادلة المرجع {eq: 7.1.6}. بشكل عام ، نستخدم الإجراء التالي لتغيير المؤشرات.

تحويل فهرس الجمع في سلسلة القدرة

لأي عدد صحيح (ك ) ، سلسلة الطاقة

[ sum _ {n = n _ {0}} ^ { infty} b _ {n} left (x - x _ {0} right) ^ {n - k} nonumber ]

يمكن إعادة كتابتها كـ

[ sum _ {n = n _ {0} - k} ^ { infty} b _ {n + k} left (x - x _ {0} right) ^ {n} nonumber ]

أي استبدال (n ) بـ (n + k ) في المصطلح العام وطرح k من الحد الأدنى للتجميع يترك السلسلة دون تغيير.

مثال ( PageIndex {3} )

أعد كتابة سلسلة الأس التالية من المعادلة ref {eq: 7.1.7} والمعادلة ref {eq: 7.1.8} بحيث يكون الحد العام في كل منهما مضاعفًا ثابتًا لـ ((x-x_0) ^ n ) :

[(a) sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} quad (b) sum_ {n = k} ^ infty n ( n-1) cdots (n-k + 1) a_n (x-x_0) ^ {nk}. لا يوجد رقم ]

الحل أ

استبدال (n ) بـ (n + 2 ) في المصطلح العام وطرح (2 ) من الحد الأدنى لعوائد الجمع

[ sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 2) (n + 1 ) أ_ {ن + 2} (س-س_0) ^ ن. لا يوجد رقم ]

الحل ب

استبدال (n ) بـ (n + k ) في المصطلح العام وطرح (k ) من الحد الأدنى لعوائد الجمع

[ sum_ {n = k} ^ infty n (n-1) cdots (n-k + 1) a_n (x-x_0) ^ {nk} = sum_ {n = 0} ^ infty (n + k) (n + k-1) cdots (n + 1) a_ {n + k} (x-x_0) ^ n. لا يوجد رقم ]

مثال ( PageIndex {4} )

بشرط

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n، nonumber ]

اكتب الوظيفة (xf '' ) كسلسلة أس يكون فيها المصطلح العام مضاعف ثابت لـ (x ^ n ).

المحلول

من النظرية ( PageIndex {4} ) مع (x_0 = 0 ) ،

[f '' (x) = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2}. nonumber ]

وبالتالي

[xf '' (x) = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-1}. nonumber ]

استبدال (n ) بـ (n + 1 ) في المصطلح العام وطرح (1 ) من الحد الأدنى لعوائد الجمع

[xf '' (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n. non number ]

يمكننا أيضًا كتابة هذا كـ

[xf '' (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n، non number ]

لأن الحد الأول في هذه السلسلة الأخيرة هو صفر. (سنرى لاحقًا أنه من المفيد أحيانًا تضمين صفر حد في بداية سلسلة.)

مجموعات خطية من سلسلة الطاقة

إذا تم ضرب سلسلة أس في ثابت ، فيمكن وضع الثابت داخل المجموع ؛ هذا هو،

[c sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty ca_n (x-x_0) ^ n. nonumber ]

سلسلتان من القوة

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n quad mbox {and} quad g (x) = sum_ {n = 0} ^ infty b_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

مع أنصاف أقطار موجبة من التقارب يمكن إضافة مصطلح تلو الآخر في نقاط مشتركة لفترات التقارب المفتوحة ؛ وبالتالي ، إذا تقاربت السلسلة الأولى من أجل (| x-x_0 |

[f (x) + g (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (a_n + b_n) (x-x_0) ^ n nonumber ]

لـ (| x-x_0 |

[c_1f (x) + c_2f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (c_1a_n + c_2b_n) (x-x_0) ^ n. nonumber ]

مثال ( PageIndex {5} )

ابحث عن سلسلة Maclaurin لـ ( cosh x ) كمجموعة خطية من سلسلة Maclaurin لـ (e ^ x ) و (e ^ {- x} ).

المحلول

حسب التعريف،

[ cosh x = {1 over2} e ^ x + {1 over2} e ^ {- x}. لا يوجد رقم]

منذ

[e ^ x = sum_ {n = 0} ^ infty {x ^ n over n!} quad mbox {and} quad e ^ {- x} = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ n over n!}، nonumber ]

إنه يتبع هذا

[ label {eq: 7.1.12} cosh x = sum_ {n = 0} ^ infty {1 over2} [1 + (- 1) ^ n] {x ^ n over n!}. ]

منذ

[{1 over2} [1 + (- 1) ^ n] = left { begin {array} {cl} 1 & mbox {if} n = 2m ، mbox {عدد صحيح زوجي} ، 0 & mbox {if} n = 2m + 1، mbox {عدد صحيح فردي}، end {array} right. لا يوجد رقم]

يمكننا إعادة كتابة المعادلة المرجع {eq: 7.1.12} بشكل أكثر بساطة

[ cosh x = sum_ {m = 0} ^ infty {x ^ {2m} over (2m)!}. لا يوجد رقم]

هذه النتيجة صالحة في ((- infty، infty) ) ، نظرًا لأن هذا هو الفاصل الزمني المفتوح لتقارب سلسلة Maclaurin لـ (e ^ x ) و (e ^ {- x} ).

مثال ( PageIndex {6} )

يفترض

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n x ^ n non Number ]

في فاصل زمني مفتوح (I ) يحتوي على الأصل.

  1. التعبير عن [(2-x) y '' + 2y nonumber ] كسلسلة طاقة في (x ) على (I ).
  2. استخدم نتيجة (أ) لإيجاد الشروط الضرورية والكافية للمعاملات ( {a_n } ) من أجل (y ) لتكون حلاً للمعادلة المتجانسة

    [ label {eq: 7.1.13} (2-x) y '' + 2y = 0 ]

    على (أنا ).

الحل أ

من المعادلة المرجع {eq: 7.1.7} مع (x_0 = 0 ) ،

[y '' = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2}. لا يوجد رقم]

وبالتالي

[ label {eq: 7.1.14} start {array} {rcl} (2-x) y '' + 2y & = 2y '' - xy '+ 2y & = { sum_ {n = 2 } ^ infty 2n (n-1) a_nx ^ {n-2} - sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-1} + sum_ {n = 0} ^ infty 2a_n x ^ n}. نهاية {مجموعة} ]

لدمج السلاسل الثلاث ، نقوم بإزاحة المؤشرات في أول سلسلتين لجعل شروطهم العامة ثابتة مضاعفات (x ^ n ) ؛ هكذا،

[ label {eq: 7.1.15} sum_ {n = 2} ^ infty 2n (n-1) a_nx ^ {n-2} = sum_ {n = 0} ^ infty2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n ]

و

[ label {eq: 7.1.16} sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-1} = sum_ {n = 1} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n، ]

حيث أضفنا حدًا صفريًا في السلسلة الأخيرة بحيث عندما نستبدل من المعادلة المرجع {eq: 7.1.15} والمعادلة المرجع {eq: 7.1.16} في المعادلة المرجع {eq: 7.1.14} جميعًا ستبدأ السلسلة بـ (n = 0 ) ؛ هكذا،

[ label {eq: 7.1.17} (2-x) y '' + 2y = sum_ {n = 0} ^ infty [2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} - (n + 1) na_ {n + 1} + 2a_n] x ^ n. ]

الحل ب

من المعادلة المرجع {eq: 7.1.17} نرى أن (y ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 7.1.13} في (I ) إذا

[ label {eq: 7.1.18} 2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} - (n + 1) na_ {n + 1} + 2a_n = 0، quad n = 0 ، 1 ، 2 ، النقاط. ]

بالمقابل ، تشير النظرية ( PageIndex {5} ) b إلى أنه إذا كان (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 7.1.13} في (I ) ، ثم المعادلة المرجع {eq: 7.1.18}.

مثال ( PageIndex {7} )

يفترض

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-1) ^ n non Number ]

في فاصل زمني مفتوح (I ) يحتوي على (x_0 = 1 ). عبر عن الوظيفة

[ label {eq: 7.1.19} (1 + x) y '+ 2 (x-1) ^ 2y' + 3y ]

كسلسلة طاقة في (x-1 ) على (I ).

المحلول

نظرًا لأننا نريد سلسلة قوى في (x-1 ) ، فإننا نعيد كتابة معامل (y '' ) في المعادلة المرجع {eq: 7.1.19} على النحو (1 + x = 2 + (x- 1) ) ، لذلك تصبح المعادلة المرجع {eq: 7.1.19}

[2y '' + (x-1) y '+ 2 (x-1) ^ 2y' + 3y. لا يوجد رقم]

من المعادلة المرجع {eq: 7.1.6} والمعادلة المرجع {eq: 7.1.7} مع (x_0 = 1 ) ،

[y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-1) ^ {n-1} quad mbox {and} quad y' = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-1) ^ {n-2}. لا يوجد رقم]

وبالتالي

[ start {align} 2y '' & = sum_ {n = 2} ^ infty 2n (n-1) a_n (x-1) ^ {n-2}، (x-1) y ' '& = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-1) ^ {n-1}، 2 (x-1) ^ 2y' & = sum_ {n = 1} ^ infty2na_n (x-1) ^ {n + 1}، 3y & = sum_ {n = 0} ^ infty 3a_n (x-1) ^ n. end {align} nonumber ]

قبل إضافة هذه السلاسل الأربع ، نغير المؤشرات في الثلاثة الأولى بحيث تصبح شروطها العامة مضاعفات ثابتة لـ ((x-1) ^ n ). هذه العوائد

[ start {align} 2y '' & = sum_ {n = 0} ^ infty 2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} (x-1) ^ n، label { مكافئ: 7.1.20} (x-1) y '& = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} (x-1) ^ n ، label { مكافئ: 7.1.21} 2 (x-1) ^ 2y '& = sum_ {n = 1} ^ infty 2 (n-1) a_ {n-1} (x-1) ^ n، التسمية {eq: 7.1.22} 3y & = sum_ {n = 0} ^ infty 3a_n (x-1) ^ n ، label {eq: 7.1.23} end {align} ]

حيث أضفنا مصطلحات صفرية أولية إلى السلسلة في المعادلة المرجع {eq: 7.1.21} والمعادلة المرجع {eq: 7.1.22}. إضافة المعادلة المرجع {eq: 7.1.20} –المعادلة المرجع {eq: 7.1.23} العائد

[ start {align} (1 + x) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y & = 2y' + (x-1) y '+ 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y & = sum_ {n = 0} ^ infty b_n (x-1) ^ n ، end {align} nonumber ]

أين

[ start {align} b_0 & = 4a_2 + 3a_0، label {eq: 7.1.24} b_n & = 2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1 ) na_ {n + 1} +2 (n-1) a_ {n-1} + 3a_n، ، n ge1 label {eq: 7.1.25}. end {align} ]

لا يمكن الحصول على معادلة الصيغة المرجع {eq: 7.1.24} لـ (b_0 ) عن طريق تعيين (n = 0 ) في المعادلة المرجع {eq: 7.1.25} ، منذ التجميع في المعادلة المرجع {eq: 7.1.22} يبدأ بـ (n = 1 ) ، بينما تلك الموجودة في المعادلة المرجع {eq: 7.1.20} ، المعادلة المرجع {eq: 7.1.21} ، والمعادلة المرجع {eq: 7.1.23} تبدأ بـ (n = 0 ).


تعيينات

سيكون هناك أربعة امتحانات وواجبات منزلية منتظمة. كان الامتحان الأول يوم الجمعة 5 يونيو الساعة 9 صباحًا. والثاني يوم الأربعاء 17 يونيو. والثالث سيكون الثلاثاء 30 يونيو والأخير يوم الجمعة 10 يوليو (آخر يوم في الفصل).

حلول موجزة لمجموعة المشاكل قبل الأخيرة متوفرة هنا.

النسخة الحالية (7/8) من مسائل الواجب المنزلي ، والتي تبدأ بالسؤال 88 ، موجودة هنا (.pdf). المشاكل الأقدم متوفرة هنا (.pdf) (الأرقام من 1 إلى 49) وهنا (.pdf) (الأرقام من 50 إلى 87).

  • مجموعة المشاكل 17 (يتم تسليمها يوم الجمعة ، 10 تموز (يوليو) ، الساعة 12 ظهرًا): الأسئلة 99-101. (لن تكون هناك مشاكل إضافية معيّنة يوم الخميس ، لذا فنحن نرحب بك لتسليمها يوم الخميس لتصنيفها وإعادتها يوم الجمعة.)
  • مجموعة المشاكل 16 (يتم تسليمه يوم الأربعاء ، 8 يوليو ، 12:30 ظهرًا): من الاثنين: الأسئلة 93-96.
    من الثلاثاء: الأسئلة 97-8.
  • مجموعة المشاكل 15 (سيتم تسليمه يوم الاثنين ، 6 يوليو ، 12:30 ظهرًا): هناك 10 وظائف محتملة لمدة نصف ساعة إضافية من الفصل الدراسي: من 12 إلى 12:30 أو من 2:30 إلى 3 في أي يوم من أيام الأسبوع المقبل. أرسل لي بريدًا إلكترونيًا يوضح الأوقات التي يكون لديك فيها تعارض ، أو أنه لا يوجد لديك تعارض مع أي من تلك الأوقات. ثم قم بإجراء الأسئلة 88-92.
  • مجموعة المشاكل 14 (يتم تسليمها يوم الخميس ، 2 يوليو ، 12:30 ظهرًا): الأسئلة 84-87.
  • الامتحان 3: أسئلة وحلول بتنسيق .pdf.
  • مجموعة المشاكل 13 (يتم تسليمه يوم الاثنين ، 29 يونيو ، الساعة 12:30 ظهرًا): الأسئلة 78-82. يوجد خطأ مطبعي في السؤال 81: يجب تبديل الكلمتين "أدناه" و "أعلاه".
  • مجموعة المشاكل 12 (يتم تسليمها يوم الجمعة ، 26 يونيو ، 12 ظهرًا): من الأربعاء: الأسئلة 71-75. أعد أيضًا السؤال 67 إذا كنت ترغب في تقديمه للحصول على الائتمان.
    من الخميس: الأسئلة 76 ، 77.
  • مجموعة المشاكل 11 (يتم تسليمه يوم الأربعاء ، 24 يونيو ، 12:30 ظهرًا): من الاثنين: الأسئلة 59 ، 60 ، 61 ، 62. من الثلاثاء: 65 ، 66 ، 67 ، 68. يوجد خطأ مطبعي في السؤال 67. يجب أن يكون كالتالي: ، "ما هي معادلة المستوى الذي يمر عبر (1 ، 2 ، 3) التي تقطع رباعي السطوح من الثماني الأول ذي الحجم الأدنى؟" الثماني الأول هو مجموعة النقاط في الفضاء مثل x ، y ، z كلها أكبر من أو تساوي 0. سيكون التناظرية ثنائية الأبعاد لهذه المسألة ، "ما هي معادلة الخط المار من خلال (1 ، 2) التي تقطع مثلثًا من الربع الأول من المنطقة الصغرى؟ "
  • مجموعة المشاكل 10 (يتم تسليمها يوم الاثنين ، 22 يونيو ، 12:30 ظهرًا): الأسئلة 56 ، 57 ، 58.
  • مجموعة المشاكل 9 (سيتم تحويله يوم الجمعة ، 19 يونيو ، 12 م): الأسئلة 50 ، 51 ، 52 ، 53 ، 55. تلميح لـ 53: متجه الاتجاه للخط موازٍ لكلا المستويين وبالتالي يكون عموديًا على المتجهات العادية لكليهما طائرات. تلميح لـ 55: علامات الحذف تشبه إلى حد كبير الدوائر.
  • مجموعة المشاكل 8 (سيتم تسليمها يوم الأربعاء ، 17 يونيو ، 12:30 ظهرًا): السؤالان 48 و 49. بالنسبة للرقم 49 ، استبدل قيمة مُختارة جيدًا في إحدى معادلات سلسلة الطاقة التي تعرفها من أجل حساب السلسلة المعنية.
    تعال مستعدًا يوم الثلاثاء مع أي أسئلة مراجعة للاختبار القادم.
  • الامتحان 2: أسئلة وحلول بتنسيق .pdf.
  • مجموعة المشاكل 7 (يتم تسليمه يوم الاثنين ، 15 يونيو ، 12:30 ظهرًا): الأسئلة 42 ، 44 ، 45 ، 46 ، 47.
  • مجموعة المشاكل 6 (يتم تسليمها يوم الجمعة ، 12 يونيو ، 12:30 ظهرًا): من الأربعاء: الأسئلة 36 ، 37.
    أضيف لاحقًا الأربعاء: 40 ، 41. بالنسبة للسؤال 41 ، اترك إجابتك بدلالة دالة حساب المثلثات العكسية.
    أضيفت الخميس: 38 ، 39 ، 43.
  • مجموعة المشاكل 5 (يتم تسليمه يوم الأربعاء ، 10 يونيو ، 12:30 ظهرًا): من الاثنين: الأسئلة 19 ، 30 ، 32. (بالنسبة إلى الرقم 19 ، يجب أن تتكون الإجابة النهائية من 18 وظيفة بالترتيب باستخدام الرموز ">> ،" "> ،"


لبدء تحليل هذه السلسلة ، يمكنك التفكير في استخدام تقريب ستيرلينغ $ n! almost left ( frac ne right) ^ n sqrt <2 pi n> $:

بالطبع هذا ليس سوى حد أدنى للقيمة التقريبية ، ولا يزال هذا المصطلح $ sqrt n $ بحاجة إلى التعامل معه.

اضطررت إلى إجراء الكثير من الأبحاث حول هذا الأمر ، وكان ذلك مفيدًا لي :)

الخطوط العريضة. في الأساس ، سأستخدم حلم طالبة الطالبة لاستنتاج تعبير متكامل للإجابة.

دليل - إثبات. نقوم بتغيير المتغيرات من خلال كتابة $ tag <2a> x = exp bigl (-u / (n + 1) bigr) $ مما يتيح لنا إعادة كتابة (1) كـ $ int ^ <1> _ <0> x ^ ln (x) ^، mathrmس = (-1) ^(n + 1) ^ <- (n + 1)> int ^ < infty> _ <0> u ^ه ^ <-u> ، mathrmu tag <2b> $ لاحظ أن التكامل على الجانب الأيمن هو بالضبط $ n! $ (بفضل وظيفة جاما). وهذا يخلص الدليل على ليمنا. QED.

نظرية. ندعي $ f (t) = 1+ sum ^ < infty> _ اليسار ( frac حق) ^ = 1 + t int ^ <1> _ <0> x ^ <-xt> ، mathrmx. العلامة <3> $

دليل - إثبات. ننتهي من إعادة كتابة التكامل على الجانب الأيمن $ x ^ <-xt> = e ^ <-xt ln (x)> = sum ^ < infty> _ فارك <(- ر) ^>س ^ ln (x) ^. tag <4a> $ عوضنا بذلك مرة أخرى في $ int ^ <1> _ <0> x ^ <-xt> ، mathrmس = int ^ <1> _ <0> sum ^ < infty> _ فارك <(- ر) ^>س ^ ln (x) ^، mathrmx. tag <4b> $ مبادلة المجموع والتكامل $ int ^ <1> _ <0> sum ^ < infty> _ فارك <(- ر) ^>س ^ ln (x) ^، mathrmس = مجموع ^ _ فارك <(- ر) ^> int ^ <1> _ <0> x ^ ln (x) ^، mathrmx. tag <4c> $ نستخدم lemma لإعادة كتابة الجانب الأيمن بالشكل start مجموع ^ < infty> _ فارك <(- ر) ^> int ^ <1> _ <0> x ^ ln (x) ^، mathrmx & amp = sum ^ < infty> _ فارك <(- ر) ^> يسار ((- 1) ^(n + 1) ^ <- n + 1> n! right) & amp = sum ^ < infty> _ فارك<>> <(ن + 1) ^>. العلامة <4c> النهاية ثم نعبث في الحساب (اضرب في $ t $ ، وأضف 1) للحصول على المتسلسلة المعنية. هذا يختتم برهاننا على النظرية. QED.

ملاحظة. لا يوجد تعبير مغلق للصيغة التي أعلم بها. ربما يعرف OP أو بعض المستخدمين الآخرين بعض الطرق الرائعة لتقييم التكامل ، لكنني لا أعرف أيًا منها متاح بسهولة :(


سلسلة الطاقة

سيراجع محررونا ما قدمته ويحددون ما إذا كان ينبغي مراجعة المقالة أم لا.

سلسلة الطاقة، في الرياضيات ، سلسلة لا نهائية يمكن اعتبارها كثيرة الحدود بعدد لا حصر له من المصطلحات ، مثل 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯. عادةً ما تتقارب سلسلة قوى معينة (أي تقترب من مجموع محدود) لجميع قيم x ضمن فترة زمنية معينة حول الصفر - على وجه الخصوص ، عندما تكون القيمة المطلقة لـ x أقل من عدد موجب ص، والمعروف باسم نصف قطر التقارب. خارج هذا الفاصل الزمني ، تتباعد السلسلة (غير محدودة) ، في حين أن السلسلة قد تتقارب أو تتباعد عندما x = ± ص. يمكن في كثير من الأحيان تحديد نصف قطر التقارب عن طريق نسخة من اختبار النسبة لسلسلة القدرة: بالنظر إلى سلسلة القدرة العامة أ0 + أ1x + أ2x 2 + ، حيث تُعرف المعاملات ، فإن نصف قطر التقارب يساوي حد نسبة المعاملات المتتالية. رمزياً ، ستتقارب المتسلسلة لجميع قيم x مثل ذلك

على سبيل المثال ، السلسلة اللانهائية 1 + x + x 2 + x 3 + لها نصف قطر تقارب 1 (جميع المعاملات 1) - أي أنها تتقارب مع الجميع 1 & lt x & lt 1 — وضمن تلك الفترة الزمنية ، تساوي السلسلة اللانهائية 1 / (1 - x). تطبيق اختبار النسبة على المتسلسلة 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3/3! + ⋯ (وفيه تدوين عاملي ن! يعني حاصل ضرب أرقام العد من 1 إلى ن) يعطي نصف قطر تقارب بحيث تتقارب السلسلة مع أي قيمة x.

يمكن تمثيل معظم الوظائف بسلسلة طاقة في بعض الفواصل الزمنية (يرى الطاولة ). على الرغم من أن السلسلة قد تتقارب مع جميع قيم x، قد يكون التقارب بطيئًا جدًا بالنسبة لبعض القيم التي يتطلب استخدامها لتقريب دالة حساب عدد كبير جدًا من المصطلحات لجعلها مفيدة. بدلا من صلاحيات x، أحيانًا يحدث تقارب أسرع بكثير لقوى (xج)، أين ج هي بعض القيمة بالقرب من القيمة المرغوبة لـ x. تم استخدام متسلسلة القوة أيضًا لحساب الثوابت مثل π وأساس اللوغاريتم الطبيعي ه ولحل المعادلات التفاضلية.

تمت مراجعة هذه المقالة وتحديثها مؤخرًا بواسطة William L.Hosch ، محرر مشارك.


6.1 سلسلة ووظائف الطاقة

متسلسلة القوة هي نوع من السلاسل ذات مصطلحات تتضمن متغيرًا. بشكل أكثر تحديدًا ، إذا كان المتغير x، فكل شروط السلسلة تتضمن صلاحيات x. نتيجة لذلك ، يمكن اعتبار سلسلة القوة على أنها كثيرة حدود لانهائية. تُستخدم سلسلة الطاقة لتمثيل الوظائف المشتركة وأيضًا لتحديد الوظائف الجديدة. في هذا القسم ، نحدد سلسلة الطاقة ونوضح كيفية تحديد متى تتقارب سلسلة الطاقة ومتى تتباعد. نوضح أيضًا كيفية تمثيل وظائف معينة باستخدام سلسلة الطاقة.

شكل سلسلة الطاقة

أين x متغير والمعاملات جن هي ثوابت ، تُعرف باسم سلسلة الطاقة. السلسلة

مثال على سلسلة الطاقة. نظرًا لأن هذه السلسلة عبارة عن سلسلة هندسية ذات النسبة r = x ، r = x ، فنحن نعلم أنها تتقارب إذا | x | & lt 1 | x | & lt 1 ويتباعد إذا | x | ≥ 1. | x | ≥ 1.

تعريف

هي سلسلة قوى متمركزة عند x = 0. س = 0. سلسلة من النموذج

هي سلسلة قوى متمركزة عند x = a. س = أ.

تمركز كلا سلسلتي القوة عند x = 0. س = 0. السلسلة

هي سلسلة قوى متمركزة عند x = 2. س = 2.

تقارب سلسلة الطاقة

تقارب سلسلة الطاقة

دليل - إثبات

نستنتج أنه ، لجميع n ≥ N ، n ≥ N ،

بهذه النتيجة ، يمكننا الآن إثبات النظرية. تأمل السلسلة

تعريف

لتحديد فترة التقارب لسلسلة القدرة ، نطبق عادةً اختبار النسبة. في المثال 6.1 ، نعرض الاحتمالات الثلاثة المختلفة الموضحة في الشكل 6.2.

مثال 6.1

إيجاد فاصل و نصف قطر التقارب

أوجد فاصل التقارب ونصف قطره لكل من السلاسل التالية.

المحلول

نقطة تفتيش 6.1

أوجد فترة التقارب ونصف قطرها للسلسلة ∑ n = 1 ∞ x n n. ∑ n = 1 ∞ x n n.

تمثيل الوظائف كسلسلة طاقة

القدرة على تمثيل دالة بواسطة "متعدد الحدود اللانهائي" هي أداة قوية. الدوال متعددة الحدود هي أسهل الوظائف للتحليل ، لأنها تتضمن فقط العمليات الحسابية الأساسية للجمع والطرح والضرب والقسمة. إذا تمكنا من تمثيل دالة معقدة بواسطة كثير حدود لانهائي ، فيمكننا استخدام التمثيل متعدد الحدود لاشتقاقها أو تكاملها. بالإضافة إلى ذلك ، يمكننا استخدام نسخة مبتورة من تعبير كثير الحدود لتقريب قيم الدالة. إذن ، السؤال هو ، متى يمكننا تمثيل دالة على سلسلة أس؟

تأمل مرة أخرى في السلسلة الهندسية

أذكر أن المتسلسلة الهندسية

نتيجة لذلك ، يمكننا تمثيل الدالة f (x) = 1 1 - x f (x) = 1 1 - x بواسطة سلسلة القوة

نعرض الآن بيانياً كيف توفر هذه السلسلة تمثيلاً للدالة f (x) = 1 1 - x f (x) = 1 1 - x عن طريق مقارنة الرسم البياني لـ F مع الرسوم البيانية للعديد من المجاميع الجزئية لهذه السلسلة اللانهائية.

مثال 6.2

رسم دالة ومجموع جزئية لسلسلة قوتها

المحلول

بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار الدوال التي تتضمن تعبيرًا مشابهًا لمجموع سلسلة هندسية ونوضح كيفية تمثيل هذه الوظائف باستخدام سلسلة الطاقة.

مثال 6.3

تمثيل وظيفة بسلسلة الطاقة

استخدم سلسلة الطاقة لتمثيل كل من الوظائف التالية f. F . أوجد فترة التقارب.

المحلول

في الأقسام المتبقية من هذا الفصل ، سنعرض طرقًا لاشتقاق تمثيلات متسلسلة القوة للعديد من الوظائف الأخرى ، وكيف يمكننا الاستفادة من هذه التمثيلات لتقييم الوظائف المختلفة وتمييزها ودمجها.

تمارين القسم 6.1

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كانت كل عبارة صحيحة ، أو أعط مثالاً لتوضيح أنها خاطئة.

في التمارين التالية ، أوجد نصف قطر التقارب ر وفاصل التقارب لـ ∑ a n x n ∑ a n x n بالمعاملات المعطاة a n. أ

في التمارين التالية ، أوجد نصف قطر التقارب لكل سلسلة.

∑ ك = 1 ∞ ك! 1 · 3 · 5 ⋯ (2 ك - 1) س ك ∑ ل = 1 ∞ ك! 1 · 3 · 5 (2 ك - 1) × ك

∑ ل = 1 ∞ 2 · 4 · 6 2 ك (2 ك)! س ك ∑ ل = 1 2 · 4 · 6 2 ك (2 ك)! س ك

في التمارين التالية ، استخدم اختبار النسبة لتحديد نصف قطر التقارب لكل سلسلة.

∑ ن = 1 ∞ 2 3 ن (س!) 3 (3 ن)! س ن ∑ ن = 1 ∞ 2 3 ن (ن!) 3 (3 ن)! x ن

و (س) = س 2 1-4 × 2 أ = 0 و (س) = س 2 1-4 × 2 أ = 0

و (س) = س 2 5 - 4 س + س 2 أ = 2 و (س) = س 2 5 - 4 س + س 2 أ = 2

استخدم التمرين التالي لإيجاد نصف قطر التقارب للسلسلة المحددة في التدريبات اللاحقة.

∑ ل = 1 ∞ (ك - 1 2 ك + 3) ك س ك ∑ ك = 1 ∞ (ك - 1 2 ك + 3) ك س ك

∑ ل = 1 ∞ (2 ك 2-1 ك 2 + 3) ك س ك ∑ ك = 1 ∞ (2 ك 2-1 ك 2 + 3) ك س ك

∑ n = 1 ∞ a n = (n 1 / n - 1) n x n ∑ n = 1 ∞ a n = (n 1 / n - 1) n x n

∑ n = 0 ∞ a 2 n x n (H i n t: x = ± x 2) ∑ n = 0 ∞ a 2 n x n (H i n t: x = ± x 2)

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جيلبرت سترانج ، إدوين "جيد" هيرمان
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Calculus Volume 2
    • تاريخ النشر: 30 مارس 2016
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-1-power-series-and-functions

    © ديسمبر 21 ، 2020 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    جدول المحتويات

    مقدمة
    مقدمة ومحتويات
    الجزء الأول. عام
    الفصل الأول. التصميم الهندسي والبرمجة الرياضية
    1.1 عملية التصميم الهندسي
    1.2 تطبيقات الحاسب الآلي في تصميم النظام وتشغيله
    1.3 طرق التحسين
    الفصل 2. الخطوط العريضة لتخطيط وتشغيل نظام الطاقة
    2.1. أهداف تخطيط النظام
    2.2. مراحل تخطيط وتصميم النظام
    2.3 The Transition from Planning to Operation
    2.4. The Objectives of System Operation
    2.5. Stages in System Operation
    Chapter 3. Some Frequently Used Analytical Techniques
    3.1. Power Flows and Voltage
    3.2. The Nodal Impedance Matrix
    3.3 Fault Levels
    3.4. Transient and Steady-State Stability
    3.5 Some Useful Approximations
    3.6. System Costs
    Part Two. System Planning
    Chapter 4. The Estimation of Demand and Total Generation Requirement
    4.1 Estimation of Energy and Active Power Demands
    4.2 Estimation of Reactive Power
    4.3 The Estimation of Available Generation Capacity
    4.4 Reliability of Supply
    4.5. Gross Plant Margins and Standards of Supply in Practice
    Chapter 5. Standardization Studies for Network Plant
    5.1 Standardization Studies for One Stage of Development
    5.2 Standardization Studies for Several Stages of Development
    5.3 Fault Levels and Switchgear Rupturing Capacity
    Chapter 6. Generation Expansion Studies
    6.1 Comparative Economic Assessment of Individual Generation Projects
    6.2 The Investigation of Outline Generation Expansion Plans
    6.3 Simulation Models in Generation Expansion Planning
    6.4. A Heuristic Method to Investigate Outline Expansion Plans
    6.5. Linear Programming Models
    6.6. Dynamic Programming Formulations
    6.7. Other Non-linear Models
    6.8. استنتاج
    Chapter 7. Network Configuration Studies
    7.1. Typical Network Configurations
    7.2. The Configuration and Computation
    7.3. The Configuration Design Problem
    7.4. Costing of Schemes
    7.5. Security Criteria and Analysis of Network Viability
    7.6. Outline Design
    7.7. Configuration Design
    7.8. Configuration Synthesis Using Engineering Judgment
    7.9. Network Synthesis Using Mixed Engineering Judgment/Optimization Methods
    7.10. Configuration Synthesis Using Heuristic Logic
    7.11. Configuration Synthesis Using a Combinatorial Approach
    7.12. Two Recent Proposals for Configuration Synthesis
    7.13. Other Possible Approaches to Configuration Synthesis
    7.14. استنتاج
    Chapter 8. Probability and Planning
    8.1 Reliability Analysis in Network Planning
    8.2 Reliability Analysis on the Generation and Transmission System
    8.3 Risk and Uncertainty in Investment Decisions
    8.4. استنتاج
    Part Three. System Operation
    Chapter 9. Time Scales and Computation in System Operation
    Chapter 10. Load Prediction and Generation Capacity
    10.1. The Prediction of Demand
    10.2. Generation Capacity
    10.3. Optimum Maintenance Programming
    10.4. Fuel Supplies and Costs
    Chapter 11. Security Assessment
    11.1. Indications and Analysis of Insecure Operation
    11.2. Security Assessment against Excessive Current Flows
    11.3. Security Assessment against Excessive Fault Levels
    11.4. Security Assessment against Excessive Voltage Changes
    11.5. Security Assessment against System Instability
    11.6. The Present and Trends in Predictive Security Assessment
    11.7. The Present and Trends in On-line-Security Assessment
    Chapter 12. The Scheduling of Generating Plant
    12.1. A Manual Method of Scheduling
    12.2. Integer Programming Methods
    12.3. A Dynamic Programming Method
    12.4. Heuristic Methods
    12.5. استنتاج
    Chapter 13. The Dispatching of Generation
    13.1. Primary, Secondary and Tertiary Regulation
    13.2. Operation of Interconnected Areas
    13.3. Economic Dispatch Using the "Coordination Equations"
    13.4. Economic Dispatching Incorporating Group Transfer Analysis
    13.5. Economic Dispatching Incorporating Multiple-Load-Flow Analysis
    13.6. Dispatching Models Including an Exact Network Solution
    13.7. Transmission Loss Calculations and Optimum Dispatch
    13.8. System Control Centers
    13.9. Assessment of Optimum Network Configuration in Operation
    13.10. A Brief Note on the Operation of Hydrothermal Systems
    13.11. Computers and Dispatching in the Future
    استنتاج
    Appendix 1. Some Concepts in Probability Theory
    1.1. Markovian Systems
    1.2 Some Basic Equations in Reliability Theory
    1.3 Probability and the Binomial Distribution
    1.4. The Monte Carlo Method
    Appendix 2. Mathematical Programming
    2.1. Linear Programming
    2.2. Some Special Forms and Extensions of Linear Programming
    2.3. Non-linear Programming
    2.4. Dynamic Programming
    Appendix 3. Terms and Symbols Used
    3.1. مصطلحات
    3.2. حرف او رمز
    مراجع
    فهرس
    Other Titles in the Series


    Exam 2

    • 2.5, 7.4: Differential Equations
    • 10.1-10.2: Improper Integrals
    • 11.1-11.4: Sequences and Series
    • 11.5-11.6: Power Series (you will only need be responsible for the information posted on the Power Series worksheets for Monday, 4/7, Wednesday, 4/9, and Friday, 4/11). In particular, you will NOT be tested on integration and differentiation of power series on Exam 2.
    • Chapter 11 Review Exercises: 1-8, 10, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 37-48. Here are solutions for the Chapter 11 Review Exercises.

    Here are some practice exam questions for Exam 2. Note that inclusion or exclusion of a particular topic on the practice exam DOEST NOT mean that that topic will necessarily be included or excluded on the actual exam. The practice exam is just to give you some more practice problems to work on. You should, of course, study your class notes, homework problems, and quiz problems in addition to the practice exam. Here is an Answer Key for Practice Exam 2. Here are some worked out solutions and hints to the practice exam.

    Warning: Do not look at or print out the solutions to the above practice problems until after working on them yourself, taking some time, and going back later to try any problems you couldn't do the first time again. Doing the problems while looking at the answers renders them almost completely useless as preparation for taking an exam.


    Determining the Radius of Convergence of a Power Series

    We will now look at a technique for determining the radius of convergence of a power series using The Ratio Test for Positive Series

    النظرية 1: If $lim_ iggr vert frac<>> iggr vert = L$ where $L$ is a positive real number or $L = 0$ or $L = infty$ , then the power series $sum_^ a_n(x - c)^n$ has a radius of convergence $R = frac<1>$ where if $L = 0$ then $R = infty$ and if $L = infty$ then $R = 0$ .

    Let's now look at some examples of finding the radius of convergence of a power series.


    I plan to keep an up-to-date list of the topics, examples etc. covered in class. Unless stated otherwise, reference numbers refer to our textbook, W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.), henceforth abbreviated as [BDP].

    Note: There is a free online access to WileyPLUS provided by the University on campus. This no-cost option is sufficient to complete the homework assignments for Math 201. However, it can be accessed only from these designated computer labs on campus, and it does not allow usage of any other online Wiley study tools.

    two attempts for every homework problem. Correct answers on second attempts are worth 80%.

    Three words about cheating:

    Midterm test

    The midterm test will be held on Saturday, October 24th, 2015 at 1:00 pm . You will write the midterm in N-RE 2-001 (our usual class room last names A - K) or N-RE 2-003 (last names L - Z).

    A midterm review session will be held for all sections on Thursday, 22 Oct, 5-7 pm in CCIS L2-190. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here.

    Need some practice material? The following is taken from last year's midterm: Midterm test 2014.

    Some of you have asked for additional practice material for homogeneous and Bernoulli equations. You may want to check out this for Bernoulli equations for homogeneous equations, try this and this (the latter also has some other substitutions).

    • Duration: 90 minutes.
    • Material covered: Up to, and including, power series solutions of linear differential equations, i.e., Chapters I to IV in class.
    • Some questions may be multiple choice.
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • Good luck!

    The Math and Applied Sciences Centre is also offering a review session.

    Midterm test - Solutions

    Midterm test average:

    Final exam

    The final exam will be held on Saturday, December 19th, 2015 at 9:00 am in the Main Gym (Van Vliet building)

    The following rows have been reserved for you (section EB1):

    Please make sure you are seated in one of the correct rows.

    Some details concerning the final:

    • Duration: 120 minutes.
    • Material covered: Basically everything, but with a strong emphasis on the material covered in class after the midterm test.
    • A table of Laplace transform will be provided (from [BDP]).
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • Good luck!

    A review session will be held for all sections on Wednesday, 9 Dec, 4:00-6:00pm in ETLC 1-003. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here and here.

    Other material

    Need help? The Decima Robinson Support Centre in CAB 528 offers free drop-in help sessions, Monday to Friday, 9:00 am to 3:00 pm. It's a great, friendly place, though quite busy at times.

    Your integration skills are a bit rusty? The Math and Applied Sciences Centre is running a Review of Integration Techniques.


    6.2: Review of Power Series - Mathematics

    Office hours: Tuesdays 5:00PM - 6:00PM and 8:30 - 9PM (Thursday office hours TBD), Hill 624 or by appointment.

    Email: cl.volkov at rutgers dot edu (for friends) / fq15 at scarletmail dot rutgers dot edu (for teaching)

    Lecture 2 (June 1, 2017). Lecture Notes, Workshop 1 (written by Dr. Scheffer), Writing Samples.
    The course materials mainly comes from Chapter 5 and 6 of Sundstrom's book.
    Also you can read Zorich's book, Section 1.2 and 1.3.
    All workshops are due 11:55PM the next Tuesday. So in case you have questions, you can discuss with me either before or after Tuesday's class.

    Lecture 3 (June 6, 2017). Lecture Notes
    For more details, please read Zorich, Section 2.1.
    An slightly different argument showing root 2 is not rational can be found in [Z], 2.2.2.c. The argument in the notes is modified from [A], Theorem 1.4.5.
    The construction of real numbers using Dedekind cuts can be found in [A], Section 8.6.

    Lecture 4 (June 8, 2017). Lecture Notes, Workshop 2
    Since I wasn't able to cover the density theorem, the workshop problem 5 is removed from this week's assignment.
    By now you should finish reading [A], Section 1.1 - 1.3 and Thompson-Brucker-Brucker, Elementary Real Analysis, Section 1.1 - 1.7.

    Lecture 5 (June 13, 2017). Lecture Notes
    It is very important that the Nested Interval Property applies only to closed intervals that are bounded. Think: which part of the proof fails when the intervals are not bounded.
    One can prove under the assumption of Archimedean Property, Nested Interval Property can imply Axiom of Completeness. Please see James Propp's paper Real Analysis in Reverse for more details. In the coming Chapter we will see a lot more such properties.

    Lecture 6 (June 15, 2017). Lecture Notes, Workshop 3
    In case you are interested in solving the optional workshop problem, please see the Notes on Countable Sets and Cantor's Diagonalization.
    The idea of Cantor's Diagonalization is to construct a decimal that is outside of the range of the function from the naturals to reals. Please see [A], Section 1.6 for details. In the note above you will find the most essential argument.
    By now you should finish reading Section 1.4 - 1.5 and 2.1 of the textbook, and Section 1.8 - 1.10, 2.1 - 2.4 of the TBB book
    About cardinalities, please read [Gamow] One Two Three Infinity, Chapter 1 and 2.

    Lecture 7 (June 20, 2017). Lecture Notes
    Here you should learn the technique of finding the N from the given conditions of convergence, instead of from the estimates.
    Also, to use the Algebraic Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.

    Lecture 8 (June 22, 2017). Lecture Notes, Workshop 4
    For the Order Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.
    Monotone Convergence gives a very convenient way of proving convergence, but usually does not tell you directly what the limit is. In general, getting the actual limit is usually difficult. In this class we only deal with some simple cases.
    Please make sure you can recall how to prove AoC implies MCT. Make a brief summary definitely helps.
    By now you should finish reading [A] 2.2 - 2.4, [TBB] 2.5 - 2.10.

    Lecture 9 (June 27, 2017). Lecture Notes
    In case you are struggling with the Workshop 4, Mr. Yang kindly wrote a guide to all the problems and agreed to share. Note that this is just a guide. The thinking process has been elaborated presented. Yet it does not make a proof. You still need to organize these thoughts into a proof.

    Lecture 10 (June 29, 2017). Lecture Notes, Workshop 5
    In case you are not satisfied with certain grade of the quizzes, or you have missed it due to any reason, please finish a write-up of the homework of the previous lecture and present your solution to me in person.
    For example, if you are not happy with your grades for Quiz 7, then you should do all the homework problems assigned in Lecture 7.
    I'll check a random problem to see if you really have good understanding towards it. If you have, then your quiz grade will be made to 8/10. To make up quizzes 1 - 9, your solutions must be presented before July 13th. After July 13th, the grades for Quiz 1 - 9 cannot be changed any more.
    By now you should finish reading [A] 2.5 - 2.6, [TBB] 2.11 - 2.12.

    Lecture 11 (July 4, 2017) No lectures today. اجازة سعيدة!

    Lecture 12 (July 6, 2017). Midterm Exam, Workshop 6 (Written by Dr. Scheffer)
    Second chance policies: In case you didn't do well in the midterm, here is what you should do:

    • Study the course notes and other materials to make sure you know how to solve every problems in the exam.
    • Arrange a time for a Russian styled oral exam. I will pick a random problem in the exam.You will have 10 minutes for preparing the solutions. Then you should present the solution on the blackboard.
    • Books, pre-written notes are not allowed. The only thing you can refer to is the notes you generated in that 10 minutes.

    If your presentation is satisfactory, your midterm grade will be exonerated from the final grading computation. In other words, your grade will be computed as 60% Final + 20% Workshop + 10% Oral Quiz + 10% Written Quiz.

    Lecture 13 (July 11, 2017). Course Notes
    For those who missed tonight's lecture, please make sure you are capable of proving every single entry in the table on Page 9. In class I explained those examples on the blackboard. However the proof was only given orally. Please let me know if you are having trouble proving any items. I will be happy to supply an argument.
    The written quiz tonight is replaced as a Questionnaire regarding the midterm. Please find it in Sakai Assignments.

    Lecture 14 (July 13, 2017). Course Notes, Workshop 7
    Note: You don't need to worry the compactness part in either [A] or [TBB]. I did use the examples in [A] and the motivating comments in [TBB]. For Workshop 7, you don't need to know anything other than the currently posted course notes.
    By now you should finish reading [A] 3.2, [TBB] 4.1 - 4.4.

    Lecture 15 (July 18, 2017). Course Notes
    I have set up the system, so Workshop 6 can be (re)submitted until Aug. 4. Workshop 7 can be (re)submitted until July 25th.

    Lecture 16 (July 20, 2017). Course Notes, Workshop 8
    By now you should finish reading [A] 3.3, [TBB] 4.5 (Note that the Cousin's Property was not covered). You should start reading [A] 4.2 and [TBB] 5.1.
    Sorry for having delivered a stupidly organized lecture tonight. Hopefully the reorganized notes look better. Please let me know if you have troubles.

    Lecture 18 (July 27, 2017). Course Notes, Workshop 9
    By now you should finish reading [A] 4.1 - 4.3, [TBB] 5.1, 5.2, 5.4 and 5.5.
    On the second page of Workshop 9 you will find some comments to the exercises in [A]. Please at least attempt those problems I boldfaced.

    Lecture 19 (Aug. 1, 2017). Course Notes
    As we are about to finish Chapter 4 on Thursday, it is a very good point to review everything. If you have a good understanding on the materials in Chapter 1 to 4, you should feel no difficulty at all to understand Chapter 5, and most of the parts in Chapter 6 (until you arrive at the issue of uniform convergence of sequences and series of functions). If you are taking 312 next semester, your life will be easy for a while. So please do so without hesitation.
    For those who didn't do well in the quiz tonight, please answer the following questions:
            1. How many exercises did you attempt in 3.2, 3.3, 4.2, 4.3, 4.4?
            2. What kind of difficulty did you experience?
            3. Anything I can do to help?
    Please send your answers through emails. The grade for the quiz will be adjusted to 8/10 or your actual grade, whichever is higher.

    Lecture 20 (Aug. 3, 2017). Course Notes, Workshop 10
    Please attempt to prove those facts in Part 3 by yourself and do not read my argument unless you have no clue. My argument might be too complicated than it should be. The easiest way to simplify any complicated argument is to work your own argument without reading a word from the original one.
    The reason I chose these two easy problems for this last workshop assignment is to provide more free time for you to review the materials and attempt all the other problems in the book. Don't be lazy. You are not studying analysis for me, but to prepare for your future studies. The exercises in [A] is really the minimal amount you have to go through in order to master the skills.
    By now you should finish reading [A] 4.4 - 4.5 and [TBB] 5.6 - 5.9.

    Lecture 21 (Aug. 8, 2017). Course Notes.
    As you can see, if you have a solid understand for Chapter 1 through 4, there is no trouble for you to understand at least the theory of derivatives. The main challenge for this Chapter is how to use the results in real life. Please see Zorich's exercises for more practice.

    Lecture 22 (Aug. 10, 2017). Course Notes. Review of Chapter 1 to 4
    The exam will be held on next Tuesday. There will be 13 problems with 200 points. 150 points are considered as a perfect score. Please find more details on Sakai.
    By now you should finish reading [A] 5.1 - 5.3. If you have time, please also read [TBB] 7.1 - 7.7. We don't have enough time covering all these materials however the knowledge will be assumed in 312.

    In the Spring of 2017 I taught 640:244 (Differential Equation for Physics and Engineering) for Sections 20 - 22.
    I taught the same class in the past. Here are the materials I taught in Summer 2015. And here are the materials I used for teaching recitations of 244 in Spring 2015, Fall 2014, Spring 2014 and Fall 2013.

    Please find Dr. Shtelen's syllabus, schedule and homework assignments here.

    Please find the information concerning maple labs here.

    All announcements are to be posted on sakai. Please make sure that you have a working email address registered to the system.

    • MIT OCW Lectures on Differential Equations (Note that they have a different syllabus)
    • Dr. Z's Calc 4 Lecture Handouts (The mathematical central topic is covered and emphasized, with marginal topics discarded)
    • Maple Tutorial (Found and shared by Mr. Joshua Vigoureux).

    Week 2 (Jan. 25): Recitation Notes, Quiz 1.
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 1 to further understand the geometric interpretation of ODE.
    Regarding the first order linear ODE, you can also check MIT Lecture 3 and read Dr. Z's notes for 2.1 for further understanding.
    Here are my own notes for Section 2.2 and 2.4

    Week 4 (Feb. 8): Recitation Notes (Part 1), Recitation Notes (Part 2) (allow me to reuse the notes in the past). Quiz 3
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 5 and read Dr. Z's Notes on 2.5 (Note that Dr. Z used a different method).
    Here are my own notes for Section 2.7 and Section 3.1.

    Week 6 (Feb. 22): No recitation notes this week. Aside from those exam problems, I just went over the notes I announced in the previous week.
    The Quiz this week is take-home. Please carefully review Section 2.6 and 3.4.

    Week 7 (Mar. 1): Recitation Notes, Yet another take-home Quiz
    The principle I talked about in the recitation notes applies to Chapter 4 as well. You should keep in mind that
          1. First try templates, as well as exponential powers, are determined ONLY by the right hand side of the ODE.
          2. To determine how many times your template fails, you have to look at the characteristic roots, which are determined ONLY by the left hand side of the ODE.
    Please understand this set of recitation notes thoroughly.
    For 3.5 and 3.6, Dr. Z's notes may also be helpful: Notes on 3.5, Notes on 3.6
    My own notes on 3.5 (Part 1), 3.5 (Part 2), 3.5 (Part 3), 3.6, 3.4 and 3.7 (Course Plan), 3.4 and 3.7 (Notes Part 1), 3.7, 5.4 (Notes Part 2), 3.6, 3.8

    Week 8 (Mar. 8): Recitation Notes, Quiz 7
    Basically all the related materials were posted last week. So nothing more here.

    Week 9 (Mar. 15): Spring break. No recitation today. يتمتع!

    Week 10 (Mar. 22): Recitation Notes, Quiz 8, Quiz 8 Make-up
    Maple Lab 3 is due next week. Late submissions are allowed up to next Friday (Mar. 31, 2017).
    In case you have time, please read Dr. Z's notes on Section 4.1, Section 4.2, Section 4.3.
    My own notes on 4.1, 4.2, 4.3. Please find my notes on 3.8 above.

    Week 11 (Mar. 29): Recitation Notes for Linear Algebra, Quiz 9, Recitation Notes for 7.5, 7.6 and 7.8
    (Although these notes were written a while ago, it should be able to help)
    For the linear systems, Dr. Z's notes on 7.1, 7.4, 7.5, 7.6 and 7.8 should also be helpful.
    Please go over the (updated) Review Questions and make sure you are comfortable on everyone of it. I think it would help you better than any practice exam.

    Week 13 (Apr. 12): Quiz 11
    Aside from exam problems, all I talked about in class are in the recitation notes or previous week. Please go over it and especially make sure you know how to deal with complex eigenvalues.

    Week 14 (Apr. 19): Quiz 12
    Here are my summer course notes on Chapter 9: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.4 leftovers (Shared by Ms. Shawnie Caslin). Also please watch MIT Lecture 31 for how to deal with nonlinear systems.
    I wasn't able to type up the notes for finding global trajectories. In case you have taken neat notes, please don't hesitate to share.
    Maple Lab 5 is supposed to due yesterday. Late submissions are accepted until next Tuesday (Apr. 25).

    For 244 students, I have two requirements

    If you don't know how to manipulate logarithm, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch10_SE.pdf
    Please read Section 10.5 on page 45 in the pdf file (page 733 in the book), try all example problems, and do Exercise 44 - 61 on page 51 in the pdf file (Page 740 in the book).

    If you are not very fluent with the quadratic equations (e.g. always use the root formula), please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch08_SE.pdf
    Read Section 8.1, 8.2 , try all example problems, and do Exercise 66 - 83 on page 23 in the pdf file (Page 573 in the book). Make sure you understand all the related methods

    In particular, if you have never seen criss-cross factorization before, please check the youtube videos
    Criss-Cross Method 1, Criss-Cross Method 2, Criss-Cross Method 3 and Criss-Cross Method 4.

    If you have never seen matrices before, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch03_SE.pdf
    Read Section 3.6 , try all example problems, and do Exercise 15 - 23, 46 - 49 on page 51 - 52 in the pdf file (page 227 - 228 in the book).
    Read Section 3.7 , try all example problems, and do Exercise 2 - 7, 20 - 25, 35 - 40 on page 63 - 64 in the pdf file (page 239 - 240 in the book).
    After you work on this topic, try the problems of the attendence quiz at Lecture 15 and you will find it easy to play.

    If you keep on making mistakes on exponentials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch01_SE.pdf
    Read Section 1.8 , try all example problems, and do Exercise 59 - 84 on page 88 in the pdf file (page 88 in the book).

    If you don't know how to divide a polynomial, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch05_SE.pdf
    Read Section 5.3 , try all example problems, and do Exercise 27 - 42 on page 31 in the pdf file (page 339 in the book).
    After you have done the work, please compare to the technique I used on dealing with t/(t+1) or -2-t/(t+1) in class. You will see that this is actually the simplest example of division.

    If you are not fluent on simplifications of rational functions, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch06_SE.pdf
    Read Section 6.1 - 6.4 , try all example problems, and do Exercise 29 - 48 on page 61 - 62 in the pdf file (page 463 - 464 in the book).

    If you are not fluent on playing with trigonometric functions, please find
    http://www.eht.k12.nj.us/

    staffoch/Textbook/chapter04.pdf
    Read Section 4.3 , make sure you memorize the table of the values of sine, cosine and tangent on usual special angles on page 23 of the PDF file (page 279 in the book)
    and do Exercise 17 - 26 on page 28 of the pdf file (page 284 in the book)
    Read Section 4.5 , make sure you can recognize, distinguish different graphs of the trignometric functions and manipulate them by scaling and translation , and do Exercise 3 - 14, 23 - 16 on page 48 in the pdf file (page 304 in the book)

    If you are not fluent on factorizing polynomials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    Please make sure you have a solid understanding on the math 300 class (Introduction to Mathematical Reasoning). You can review the knowledge using the following material
    Dr. Sussmann's notes on Math 300, Lecture 2, 3 and 4
    This set of notes summarizes the most essential knowledge in that class. On his course website you'll find more related material for reviewing.

    Please recall the knowledge of Calculus I, especially the graphs of the most commonly seen elementary functions. You can check the following file to recall the knowledge:
    Table of Common Graphs
    Although the main focus is to formulate rigorous argument, in many cases this process is facilitated by the intuition from the graphs.
    Also I'll assume a solid basis of computational skills for this class. Please try problems in Chapter 1 and 2 of famous Russian book
    3193 Problems in Mathematical Analysis
    to test your skills.


    شاهد الفيديو: متسلسلات القوى (شهر اكتوبر 2021).