مقالات

7.1: نماذج النمو والتضاؤل ​​الأسي


أهداف التعلم

في هذا القسم سوف تتعلم

  • قارن بين النمو الخطي والأسي.
  • التعرف على النمو والانحلال الأسي ونمذجهما.

المهارات المطلوبة

قبل أن تبدأ ، أجب عن هذا الاختبار الأساسي.

1. بسّط (3 (2) ^ 3 ).

اضغط هنا للتحقق من اجاباتك

(24)

إذا فاتتك هذه المشكلة ، مراجعة هنا وانتقل إلى المثال 4. (لاحظ أن هذا سيفتح كتابًا مختلفًا في نافذة جديدة.)

2. بسّط (- 5 (3) ^ 2 ).

اضغط هنا للتحقق من اجاباتك

(-45)

إذا فاتتك هذه المشكلة ، مراجعة هنا وانتقل إلى المثال 4. (لاحظ أن هذا سيفتح كتابًا مختلفًا في نافذة جديدة.)

3. حل (2 ^ x = 16 ).

اضغط هنا للتحقق من اجاباتك

(س = 4 )

إذا فاتتك هذه المشكلة ، مراجعة هنا. (لاحظ أن هذا سيفتح كتابًا مختلفًا في نافذة جديدة.)

4. رسم بياني (y = - dfrac {1} {2} x + 3 ).

اضغط هنا للتحقق من اجاباتك

إذا فاتتك هذه المشكلة ، مراجعة القسم 1.2. (لاحظ أن هذا سيفتح في نافذة جديدة.)

مقارنة النمو الأسي والنمو الخطي

ضع في اعتبارك موقعين للوسائط الاجتماعية يعملان على زيادة عدد المستخدمين لديهم:

  • يحتوي الموقع أ على 10000 مستخدم ويتوسع بإضافة 1500 مستخدم جديد كل شهر
  • يضم الموقع "ب" 10000 مستخدم ويتوسع عن طريق زيادة عدد المستخدمين بنسبة 10٪ كل شهر.

يمكن نمذجة عدد المستخدمين للموقع أ كنمو خطي. يزداد عدد المستخدمين بمقدار ثابت ، 1500 ، كل شهر. إذا كان (x ) = عدد الأشهر التي مرت و (y ) هو عدد المستخدمين ، فإن عدد المستخدمين بعد (x ) شهر هو (y = 10000 + 1500x ). بالنسبة للموقع "ب" ، يتم توسيع قاعدة المستخدمين بنسبة مئوية ثابتة كل شهر ، بدلاً من زيادة عددهم بشكل ثابت. النمو الذي يحدث بنسبة مئوية ثابتة لكل وحدة زمنية يسمى النمو الأسي.

يمكننا أن ننظر إلى النمو لكل موقع لفهم الاختلاف. يقارن الجدول عدد المستخدمين لكل موقع لمدة 12 شهرًا. يعرض الجدول الحسابات للأشهر الأربعة الأولى فقط ، ولكنه يستخدم نفس عملية الحساب لإكمال باقي الـ 12 شهرًا.

شهر

المستخدمون في الموقع أ

المستخدمون في الموقع ب

0

(10000)

(10000)

1

(10000 + 1500 = 11500)

( تبدأ {محاذاة}
10000 + & 10 ٪ نص {of} 10000
=& 10000+0.10(10000) \
=& 10000(1.10)=11000
نهاية {محاذاة} )

2

(11500 + 1500 = 13000)

( تبدأ {محاذاة}
11000 + & 10 ٪ نص {of} 11000 &
=&11000+0.10(11000) \
=&11000(1.10)=12100
نهاية {محاذاة} )

3

(13000 + 1500 = 14500)

( تبدأ {محاذاة}
12100 + & 10 ٪ نص {of} 12100 &
=&12100+0.10(12100) \
=&12100(1.10)=13310
نهاية {محاذاة} )

4

(14500 + 1500 = 16000)

( تبدأ {محاذاة}
13310 + & 10 ٪ نص {of} 13310
=&13310+0.10(13310) \
=&13310(1.10)=14641
نهاية {محاذاة} )

5

(17500)

(16105)

6

(19000)

(17716)

7

(20500)

(19487)

8

(22000)

(21436)

9

(23500)

(23579)

10

(25000)

(25937)

11

(26500)

(28531)

12

(28000)

(31384)

بالنسبة إلى الموقع B ، يمكننا إعادة التعبير عن الحسابات لمساعدتنا في مراقبة الأنماط وتطوير صيغة لعدد المستخدمين بعد x شهرًا.

  • الشهر الأول: (ص = 10000 (1.1) = 11000 )
  • الشهر 2: (y = 11000 (1.1) = 10000 (1.1) (1.1) = mathbf {10000 (1.1) ^ 2} = 12100 )
  • الشهر 3: (y = 12100 (1.1) = 10000 (1.1) ^ 2 (1.1) = mathbf {10000 (1.1) ^ 3} = 13310 )
  • الشهر 4: (y = 13310 (1.1) = 10000 (1.1) ^ 3 (1.1) = mathbf {10000 (1.1) ^ 4} = 14641 )

بالنظر إلى الأنماط في الحسابات للأشهر 2 و 3 و 4 ، يمكننا تعميم الصيغة. بعد (x ) شهرًا ، يتم تحديد عدد المستخدمين (y ) من خلال الوظيفة ( mathbf {y = 10000 (1.1) ^ x} )

مثال ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان كل من العبارات التالية يمثل نموًا أسيًا أم نموًا خطيًا.

  1. زاد عدد سكان بلدة معينة بنسبة 2.4٪ خلال كل عام من السنوات العشر الماضية.
  2. زاد عدد سكان مدينة معينة بمقدار 1000 شخص على مدار كل عام من السنوات العشر الماضية.
  3. يزداد عدد الخلايا البكتيرية بمعامل ( dfrac {3} {2} ) كل 24 ساعة.

المحلول

أ. نظرًا لأن عدد السكان يتزايد بنسبة مئوية ثابتة لكل وحدة زمنية ، فهذا مثال على النمو الأسي.

ب. نظرًا لأن عدد السكان يتزايد بعدد ثابت لكل وحدة زمنية ، فهذا مثال على النمو الخطي.

ج. نظرًا لأن عدد الخلايا يتزايد بنسبة ثابتة (( dfrac {3} {2} = 150 ٪) ) لكل وحدة زمنية ، فهذا مثال على النمو الأسي.

استخدام الدوال الأسية لنمذجة النمو والانحطاط

في النمو الأسي ، تزداد قيمة المتغير التابع (y ) بمعدل نسبة ثابتة مع زيادة قيمة المتغير المستقل ( (x ) أو (t )). تتضمن أمثلة وظائف النمو الأسي ما يلي:

  • عدد سكان مدينة أو أمة تنمو بمعدل نسبة مئوية ثابتة.
  • مبلغ المال في الحساب المصرفي الذي يربح فائدة إذا تم إيداع الأموال في وقت واحد وتركها في البنك لتتراكم دون أي عمليات سحب.

في الاضمحلال الأسي ، تقل قيمة المتغير التابع y بمعدل نسبة ثابتة مع زيادة قيمة المتغير المستقل ( (x ) أو (t )). تتضمن أمثلة وظائف الانحطاط الأسي ما يلي:

  • قيمة السيارة أو المعدات التي تنخفض قيمتها بنسبة مئوية ثابتة بمرور الوقت
  • مقدار الدواء الذي يبقى في الجسم مع مرور الوقت بعد تناوله
  • كمية المادة المشعة المتبقية بمرور الوقت كمادة مشعة.

غالبًا ما تصوغ الدوال الأسية الكميات كدالة للوقت ؛ لذلك غالبًا ما نستخدم الحرف (t ) كمتغير مستقل بدلاً من (x ).

يقارن الجدول بين وظائف النمو الأسي والتضاؤل ​​الأسي:

النمو الأسي

تسوس الأسي

تنمو الكمية بنسبة ثابتة
لكل وحدة زمنية

تقل الكمية بنسبة مئوية ثابتة لكل وحدة زمنية

( mathbf {y = ab ^ x} )

  • (أ ) هو رقم موجب يمثل القيمة الأولية للدالة عندما (س = 0 )
  • (b ) هو رقم حقيقي أكبر من 1: (b> 1 )
  • معدل النمو (r ) هو رقم موجب ، (r> 0 ) حيث (ب = 1+ r ) (بحيث (r = ب -1 ))

( mathbf {y = ab ^ x} )

  • (أ ) هو رقم موجب يمثل القيمة الأولية للدالة عندما (س = 0 )
  • (b ) هو رقم حقيقي يقع بين 0 و 1: (0
  • معدل الانحلال (r ) هو رقم سالب ، (r <0 ) حيث (ب = 1+ r ) (بحيث (r = ب -1 ))

بشكل عام ، مجال الدوال الأسية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. نطاق دالة النمو الأسي أو الاضمحلال هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية الموجبة.

في معظم التطبيقات ، يمثل المتغير المستقل ، (x ) أو (t ) ، الوقت. عندما يمثل المتغير المستقل الوقت ، قد نختار تقييد المجال بحيث لا يمكن أن يكون للمتغير المستقل سوى قيم غير سالبة حتى يصبح التطبيق منطقيًا. إذا قمنا بتقييد المجال ، فسيتم تقييد النطاق أيضًا.

  • بالنسبة لوظيفة النمو الأسي (y = ab ^ x ) مع (b> 1 ) و (a> 0 ) ، إذا قمنا بتقييد المجال بحيث (x ≥ 0 ) ، فسيكون النطاق (ذ ≥ أ ).
  • بالنسبة لوظيفة الانحلال الأسي (y = ab ^ x ) مع (0 0 ) ، إذا قمنا بتقييد المجال بحيث (x ≥ 0 ) ، فإن النطاق هو (0

مثال ( PageIndex {2} )

ضع في اعتبارك نماذج النمو لمواقع التواصل الاجتماعي A و B ، حيث (x ) = عدد الأشهر منذ بدء الموقع و (y ) = عدد المستخدمين. عدد المستخدمين للموقع أ يتبع نموذج النمو الخطي:

[y = 10000 + 1500x non number. ]

يتبع عدد المستخدمين للموقع ب نموذج النمو الأسي:

[y = 10000 (1.1 ^ x) nonumber ]

لكل موقع ، استخدم الدالة لحساب عدد المستخدمين في نهاية السنة الأولى ، للتحقق من القيم الموجودة في الجدول. ثم استخدم الوظائف للتنبؤ بعدد المستخدمين بعد 30 شهرًا.

المحلول

بما أن (س ) يقاس بالأشهر ، إذن (س = 12 ) في نهاية عام واحد.

نموذج النمو الخطي:

عندما (س = 12 ) شهرًا ، إذن (ص = 10000 + 1500 (12) = 28000 ) مستخدمين
عندما (س = 30 ) شهرًا ، إذن (ص = 10000 + 1500 (30) = 55000 ) مستخدمين

نموذج النمو الأسي:

عندما (x = 12 ) شهرًا ، فإن (y = 10000 (1.1 ^ {12}) = 31384 ) مستخدمين
عندما (x = 30 ) شهرًا ، فإن (y = 10000 (1.1 ^ {30}) = 174،494 ) مستخدمين

نرى أنه كلما زاد عدد الأشهر ، ازدادت دالة النمو الأسي بشكل أسرع من الدالة الخطية (على الرغم من أن الدالة الخطية في المثال ( PageIndex {2} ) نمت في البداية بشكل أسرع) . هذه سمة مهمة للنمو الأسي: تنمو وظائف النمو الأسي دائمًا بشكل أسرع وأكبر على المدى الطويل من وظائف النمو الخطي.

من المفيد استخدام تدوين الوظيفة ، كتابة (y = f (t) = ab ^ t ) ، لتحديد قيمة (t ) التي يتم فيها تقييم الوظيفة.

مثال ( PageIndex {3} )

يبلغ عدد سكان الغابة 2000 سنجاب والتي تتزايد بمعدل 3 ٪ سنويًا. دع (t ) = عدد السنوات و (y = f (t) = ) عدد السناجب في الوقت (t ).

  1. ابحث عن دالة النمو الأسي التي تمثل عدد السناجب في الغابة في نهاية (t ) سنة.
  2. استخدم الدالة لإيجاد عدد السناجب بعد 5 سنوات وبعد 10 سنوات

المحلول

أ. دالة النمو الأسي هي (y = f (t) = ab ^ t ) ، حيث (a = 2000 ) لأن عدد السكان الأولي هو 2000 سنجاب

معدل النمو السنوي هو 3٪ في السنة المذكورة في المشكلة. سوف نعبر عن هذا في شكل عشري كـ (r = 0.03 )

ثم (ب = 1 + ص = 1 + 0.03 = 1.03 )

الإجابة: دالة النمو الأسي هي (y = f (t) = 2000 (1.03) ^ t )

ب. بعد 5 سنوات ، يكون عدد السنجاب هو (y = f (5) = 2000 (1.03) ^ 5 حوالي 2319 ) السناجب

بعد 10 سنوات ، يكون عدد السنجاب هو (y = f (10) = 2000 (1.03) ^ {10} almost 2688 ) السناجب

مثال ( PageIndex {4} )

بحيرة كبيرة يبلغ عدد سكانها 1000 ضفدع. للأسف فإن عدد الضفادع يتناقص بمعدل 5٪ في السنة. لنفترض (t ) = عدد السنوات و (ص ) = (g (t) ) = عدد الضفادع في البحيرة في الوقت (t ).

  1. أوجد دالة الانحلال الأسي التي تمثل تجمعات الضفادع.
  2. احسب حجم تجمعات الضفادع بعد 10 سنوات.

المحلول

أ. دالة الانحلال الأسي هي (y = g (t) = ab ^ t ) ، حيث (a = 1000 ) لأن السكان الأوليين هو 1000 ضفدع

معدل الاضمحلال السنوي هو 5٪ في السنة كما هو مذكور في المشكلة. أشارت الكلمات النقصان والتحلل إلى أن (r ) سلبي. نعبر عن هذا كـ (r = -0.05 ) في شكل عشري.

ثم (ب = 1+ ص = 1+ (-0.05) = 0.95 )

الإجابة: دالة الانحلال الأسي هي: (y = g (t) = 1000 (0.95) ^ t )

ب. بعد 10 سنوات ، يكون عدد الضفادع (y = g (10) = 1000 (0.95) ^ {10} almost 599 ) ضفادع

مثال ( PageIndex {5} )

يتم إعطاء مجموعة البكتيريا من خلال الوظيفة (y = f (t) = 100 (2) ^ t ) ، حيث (t ) هو الوقت الذي يقاس بالساعات و (y ) هو عدد البكتيريا الموجودة في السكان.

  1. ما هو عدد السكان الأولي؟
  2. ماذا يحدث للسكان في الساعة الأولى؟
  3. كم من الوقت يستغرق وصول السكان إلى 800 بكتيريا؟

المحلول

أ. السكان الأوليون هم 100 بكتيريا. نحن نعلم هذا بسبب (a = 100 ) ولأنه في الوقت (t = 0 ) ، ثم (f (0) = 100 (2) ^ 0 = 100 (1) = 100 )

ب. في نهاية ساعة واحدة ، يكون السكان (ص = و (1) = 100 (2) ^ 1 = 100 (2) = 200 ) بكتيريا.
تضاعف عدد السكان خلال الساعة الأولى.

ج. نحتاج إلى إيجاد الوقت (t ) الذي فيه (f (t) = 800 ). استبدل 800 كقيمة (y ):

[ ابدأ {مجموعة} {l}
ص = و (t) = 100 يسار (2 يمين) ^ {t}
800 = 100 يسار (2 يمين) ^ {t}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

اقسم كلا الطرفين على 100 لعزل التعبير الأسي على أحد الجانبين

[8 = 1 left (2 right) ^ { mathrm {t}} nonumber ]

8 = 23لذلك يستغرق الأمر (t = 3 ) ساعات حتى يصل السكان إلى 800 بكتيريا.

ملاحظتان مهمتان حول مثال ( PageIndex {5} ):

  • في حل (8 = 2 ^ t ) ، "عرفنا" أن (t ) هو 3. لكننا عادة نستطيع ليس تعرف على قيمة المتغير بمجرد النظر إلى المعادلة. سنستخدم لاحقًا اللوغاريتمات لحل المعادلات التي تحتوي على متغير في الأس.
  • لحل (800 = 100 (2) ^ t ) ، قسمنا كلا الجانبين على 100 لعزل التعبير الأسي (2 ^ t ). لا يمكننا ضرب 100 في 2. وينطبق الأس فقط على الكمية التي تسبقها مباشرة ، لذا فإن الأس t ينطبق فقط على الأساس 2.

مقارنة الدوال الخطية والأسية ومتعددة الحدود

لتحديد نوع الوظيفة من صيغتها ، نحتاج إلى ملاحظة الموضع الذي يشغله المتغير في الصيغة بعناية.

أ يمكن كتابة الدالة الخطية في النموذج ( mathbf {y = أ س + ب} )

كما درسنا في الفصل الأول ، هناك أشكال أخرى يمكن من خلالها كتابة المعادلات الخطية ، ولكن يمكن إعادة ترتيب جميع الوظائف الخطية لتكون على شكل (y = mx + b ).

دالة أسية له شكل ( mathbf {y = ab ^ x} )

المتغير ( mathbf {x} ) موجود في الأس. الأساس (ب ) هو رقم موجب.

  • إذا كان (b> 1 ) ، فإن الوظيفة تمثل النمو الأسي.
  • إذا كان (0

دالة كثيرة الحدود لها شكل ( mathbf {y = ax ^ P + bx ^ (P-1) + cx ^ (P-2) + ...} )

المتغير ( mathbf {x} ) في القاعدة. الأس (p ) هو رقم غير صفري ، وينخفض ​​الأس حتى يصبح الأس النهائي صفرًا.

قارنا ثلاث وظائف ، باستخدام زيادة قيم x:

  • دالة خطية (ص = و (س) = 2 س )
  • دالة أسية (y = g (x) = 2 ^ x )
  • دالة كثيرة الحدود (y = h (x) = x ^ 2 )

( mathbf {x} )

( mathbf {y = f (x) = 2x} )

( mathbf {y = g (x) = 2 ^ x} )

( mathbf {y = h (x) = x ^ 2} )

0

0

1

0

1

2

2

1

2

4

4

4

3

6

8

9

4

8

16

16

5

10

32

25

6

12

64

36

10

20

1024

100

نوع الوظيفة

خطي (ص = م س + ب )

أسي (y = ab ^ x )

كثير الحدود (y = cx ^ P )

كيفية التعرف على المعادلة

لهذا النوع من الوظائف.

جميع الشروط من الدرجة الأولى ؛

(م ) هو منحدر ؛ (ب ) هو (ص ) التقاطع

القاعدة رقم (ب> 0 ) ؛

المتغير في الأس

المتغير في القاعدة ؛

الأس هو رقم ( mathrm {p} neq 0 )

لفترات متساوية من التغيير

في (x ) ، (y ) يزيد بمقدار أ

كمية ثابتة

لفترات متساوية من التغيير

في (x ) ، (y ) يزيد بمقدار أ

نسبة ثابتة

بالنسبة للوظائف الواردة في الجدول السابق: الدالة الخطية (y = f (x) = 2x ) ، الدالة الأسية (y = g (x) = 2 ^ x ) ، والدالة متعددة الحدود (y = h (x) ) = x ^ 2 ) ، إذا قصرنا المجال على (x ≥ 0 ) فقط ، فكل هذه الوظائف هي وظائف نمو. عندما (س ≥ 0 ) ، تزداد قيمة (ص ) كلما زادت قيمة (س ).

تنمو دالة النمو الأسي بشكل أسرع من الدوال الخطية ومتعددة الحدود ، حيث يكبر (x ). هذا صحيح دائمًا في وظائف النمو الأسي ، حيث أن (x ) يصبح كبيرًا بدرجة كافية.

مثال ( PageIndex {6} )

صنف الوظائف أدناه على أنها دوال أسية أو خطية أو متعددة الحدود.

  1. (ص = 10x ^ 3 )
  2. (ص = -200-30 س )
  3. (ص = 1000 (1.05) ^ س )
  4. (ص = 500 (0.75) ^ س )
  5. (ص = -0.2 س ^ 4 )
  6. (ص = 5 س -1 )
  7. (ص = 6 س ^ 2 + 3 س )

حل:

الوظائف الأسية هي

ج. (y = 1000 (1.05) ^ x ) المتغير في الأس ؛ الأساس هو الرقم (ب = 1.05 )

د. (y = 500 (0.75) ^ x ) المتغير في الأس ؛ الأساس هو الرقم (ب = 0.75 )

الوظائف الخطية هي

ب. (ص = -200-30 س )

F. (ص = 5 س -1 )

وظائف كثيرة الحدود هي

أ. (y = 10x ^ 3 ) المتغير هو الأساس ؛ الأس هو رقم ثابت ، (ع = 3 ).

ه. (y = -0.2x ^ 4 ) المتغير هو الأساس ؛ الأس هو رقم (ع = 4 ).

ز. (y = 6x ^ 2 + 3x ) المتغير هو الأساس ؛ الأس هو رقم (ع = 2 ).

قاعدة طبيعية: ه

الرقم ه غالبًا ما يستخدم كأساس للدالة الأسية. ه يسمى القاعدة الطبيعية.

ه ما يقرب من 2.71828

ه هو رقم غير نسبي مع عدد لا حصر له من الكسور العشرية ؛ النمط العشري لا يتكرر أبدًا. يتضمن القسم 8.2 مثالاً يوضح كيفية قيمة ه تم تطويره ولماذا هذا الرقم مهم رياضيًا.

متي ه هي القاعدة في دالة النمو الأسي أو الاضمحلال ، ويشار إليها باسم النمو المستمر أو الاضمحلال المستمر. سوف نستخدم ه في الفصل الثامن في الحسابات المالية عندما نفحص الفائدة التي تتراكم باستمرار.

يمكن كتابة أي دالة أسية في النموذج ( mathbf {y = ae ^ {kx}} )

( mathbf {k} ) يسمى معدل النمو المستمر أو الاضمحلال.

  • إذا كان (k> 0 ) ، فإن الوظيفة تمثل النمو الأسي
  • إذا كان (k <0 ) ، فإن الوظيفة تمثل الانحلال الأسي

( mathbf {أ} ) هي القيمة الأولية

يمكننا إعادة كتابة الدالة في الصورة ( mathbf {y = ab ^ x} )، أين ( mathbf {b = e ^ k} )

بشكل عام ، إذا عرفنا أحد أشكال المعادلة ، فيمكننا إيجاد الصيغ الأخرى. في الوقت الحالي ، لم نقم بعد بتغطية المهارات للعثور على (ك ) عندما نعرف (ب ). بعد أن نتعرف على اللوغاريتمات لاحقًا في هذا الفصل ، سنجد (k ) باستخدام السجل الطبيعي: (k = ln b ).

يلخص الجدول أدناه أشكال النمو الأسي ودوال الانحطاط.

ص = أبx

ص = أ (1 + ص)x

ص = أهككس ، ك ≠ 0

القيمة البدائية

أ> 0

أ> 0

أ> 0

العلاقة بين b ، r ، k

ب> 0

ب = 1 + ص

ب = هك و k = ln ب

نمو

ب> 1

ص> 0

ك> 0

فساد

0 <ب <1

ص <0

ك <0

مثال ( PageIndex {7} )

تتزايد قيمة المنازل في المدينة بمعدل نمو مستمر يبلغ 6٪ سنويًا. لمنزل يتكلف حاليًا 400 ألف دولار:

  1. اكتب دالة النمو الأسي بالصيغة (y = ae ^ {kx} ).
  2. ماذا ستكون قيمة هذا المنزل بعد 4 سنوات من الآن؟
  3. أعد كتابة دالة النمو الأسي بالصيغة (y = ab ^ x ).
  4. البحث والتفسير (r ).

المحلول

أ. القيمة الأولية للمنزل هي (أ ) = 400000 دولار

تنص المشكلة على أن ملف مستمر معدل النمو 6٪ سنويًا ، لذلك (k ) = 0.06

دالة النمو هي: (y = 400000e ^ {0.06x} )

ب. بعد 4 سنوات ، تكون قيمة المنزل (y = 400000e ^ {0.06 (4)} ) = 508،500 دولارًا أمريكيًا.

ج. لإعادة كتابة (y = 400000e ^ {0.06x} ) بالصيغة (y = ab ^ x ) ، نستخدم حقيقة أن (b = e ^ k ).

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {b} = e ^ {0.06}
mathrm {b} = 1.06183657 تقريبًا 1.0618
mathrm {y} = 400000 (1.0618) ^ { mathrm {x}}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

د. للعثور على (r ) ، نستخدم حقيقة أن (ب = 1 + r )

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {ب} = 1.0618
1+ mathrm {r} = 1.0618
mathrm {r} = 0.0618
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

قيمة المنزل في ازدياد في المعدل السنوي من 6.18٪.

مثال ( PageIndex {8} )

افترض أن قيمة طراز معين من السيارة الجديدة تتناقص بمعدل اضمحلال مستمر قدره 8٪ سنويًا. للسيارة التي يبلغ ثمنها 20 ألف دولار عندما تكون جديدة:

  1. اكتب دالة الانحلال الأسي بالصيغة (y = ae ^ {kx} ).
  2. كم ستكون قيمة هذه السيارة بعد 5 سنوات من الآن؟
  3. أعد كتابة دالة الانحلال الأسي بالصيغة (y = ab ^ x ).
  4. البحث والتفسير (r ).

المحلول

أ. القيمة الأولية للسيارة (أ ) = 20000 دولار

تنص المشكلة على أن ملف مستمر معدل الاضمحلال هو 8٪ سنويًا ، لذلك (k ) = -0.08

دالة النمو هي: (y = 20000e ^ {- 0.08x} )

ب. بعد 5 سنوات ، تكون قيمة السيارة (y = 20000 e ^ {- 0.08 (5)} ) = 13،406.40 دولارًا أمريكيًا.

ج. لإعادة كتابة (y = 20000e ^ {- 0.08x} ) بالصيغة (y = ab ^ x ) ، نستخدم حقيقة أن (b = e ^ k ).

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {b} = e ^ {- 0.08}
mathrm {b} = 0.9231163464 حوالي 0.9231
mathrm {y} = 20000 (0.9231) ^ { mathrm {x}}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

د. للعثور على (r ) ، نستخدم حقيقة أن (ب = 1 + r )

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {ب} = 0.9231
mathrm {l} + mathrm {r} = 0.9231
mathrm {r} = 0.9231-1 = -0.0769
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

قيمة السيارة تناقص في المعدل السنوي 7.69٪.


الفصل 7.1 النمو الأسي - PowerPoint PPT Presentation

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان طلبك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة على عروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمه لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات موسيقية - يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمه لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات موسيقية - يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


مضاعفة حساب الوقت

بالنسبة للكميات المتزايدة ، قد نرغب في معرفة المدة التي تستغرقها الكمية لتتضاعف. كما ذكرنا أعلاه ، فإن الوقت الذي تستغرقه الكمية لمضاعفة يسمى مضاعفة الوقت.

الصيغة مشتقة على النحو التالي:

وهكذا يكون الوقت المضاعف

مثال: إيجاد دالة تصف النمو الأسي

وفقًا لقانون مور ، فإن الوقت المضاعف لعدد الترانزستورات التي يمكن وضعها على شريحة الكمبيوتر هو ما يقرب من عامين. أعط وظيفة تصف هذا السلوك.

الصيغة مشتقة على النحو التالي:

جربها

تشير البيانات الحديثة إلى أنه اعتبارًا من عام 2013 ، لم يعد معدل النمو الذي توقعه قانون مور قائمًا. تباطأ النمو إلى وقت مضاعف يقارب ثلاث سنوات. ابحث عن الوظيفة الجديدة التي تستغرق وقتًا أطول مضاعفًا في الاعتبار.


ورقة عمل الدرس: النمو الأسي ونماذج الاضمحلال الرياضيات

في ورقة العمل هذه ، سنتدرب على نمذجة النمو الأسي والانحلال الناتج عن المعادلة التفاضلية y & # x2032 = & # xB1ky.

يتنبأ النموذج الرياضي بأن سكان البلد ،

مليون ، ستعطي بالصيغة

هو عدد السنوات منذ 2015. استخدم هذا النموذج للتنبؤ بعدد سكان البلد ، لأقرب مليون ، في كل من 2021 و 2022.

  • 18 مليونا 21 مليونا
  • ب 19 مليونا 21 مليونا
  • 18 مليون ج ، 19 مليون
  • 19 مليون د 20 مليون
  • 18 مليون و 20 مليون

تريد كلوي استثمار بعض المال. تود أن تتضاعف قيمة استثمارها في 10 سنوات. اكتب معادلة يمكن استخدامها لإيجادها

، معدل الفائدة السنوي المطلوب. افترض أن الفائدة تتضاعف سنويًا.

يتضاعف عدد ذباب الفاكهة أربع مرات كل 3 أيام. اليوم ، كان هناك 150 ذبابة الفاكهة في السكان قيد التحقيق.

بافتراض استمرار نمو عدد السكان بنفس المعدل ، اكتب معادلة يمكن استخدامها لإيجاد

، عدد ذباب الفاكهة المتوقع أن يكون في السكان في

يتم تشكيل سكان ملاوي ، بالملايين ، من خلال الدالة الأسية

هو الوقت بالسنوات منذ 1 يناير 1960.

إلى أقرب شهر ، كم من الوقت يستغرق تضاعف عدد السكان؟

  • 24 سنة و 3 أشهر
  • ب 21 سنة و 4 شهور
  • ج ـ 26 سنة
  • د 27 سنة شهرين
  • ه 21 سنة

في أي عام سيكون أول عام يبدأ بعدد سكان يزيد عن 20 مليون؟

ابحث عن الوظيفة التي تمثل نفس النموذج الأسي ، ولكن مع الإدخال

الآن هو الوقت منذ 1 يناير 2000. التعبير عن هذه الوظيفة باستخدام الأساس 2 بدلاً من 1.029 المستخدمة سابقًا.


6.8 ملاءمة النماذج الأسية للبيانات

في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، تم إعطاؤنا وظيفة رسم بياني أو تقييم بشكل صريح ، أو تم إعطاؤنا مجموعة من النقاط التي كان مضمونًا وضعها على المنحنى. ثم استخدمنا الجبر لإيجاد المعادلة التي تناسب النقاط تمامًا. في هذا القسم ، نستخدم تقنية النمذجة تسمى تحليل الانحدار للعثور على منحنى يصمم البيانات التي تم جمعها من ملاحظات العالم الحقيقي. مع تحليل الانحدار ، لا نتوقع أن تكون جميع النقاط على المنحنى تمامًا. الفكرة هي العثور على نموذج يناسب البيانات بشكل أفضل. ثم نستخدم النموذج لعمل تنبؤات حول الأحداث المستقبلية.

لا تخلط بين الكلمة نموذج. في الرياضيات ، غالبًا ما نستخدم المصطلحات وظيفة, معادلة، و نموذج بالتبادل ، على الرغم من أن لكل منهما تعريفه الرسمي الخاص به. على المدى نموذج تُستخدم عادةً للإشارة إلى أن المعادلة أو الوظيفة تقترب من حالة العالم الحقيقي.

سنركز في هذا القسم على ثلاثة أنواع من نماذج الانحدار: الأسي واللوغاريتمي واللوجستي. يمنحنا العمل مع كل من هذه الوظائف ميزة. تتيح لنا معرفة تعريفاتهم الرسمية وسلوك رسومهم البيانية وبعض تطبيقاتهم الواقعية الفرصة لتعميق فهمنا. مع تقديم كل نموذج انحدار ، يتم تضمين الميزات والتعريفات الرئيسية للوظيفة المرتبطة به للمراجعة. توقف لحظة لإعادة التفكير في كل من هذه الوظائف ، والتفكير في العمل الذي قمنا به حتى الآن ، ثم استكشاف طرق استخدام الانحدار لنمذجة ظواهر العالم الحقيقي.

بناء نموذج أسي من البيانات

كما تعلمنا ، هناك العديد من المواقف التي يمكن نمذجتها بوظائف أسية ، مثل نمو الاستثمار ، والانحلال الإشعاعي ، وتغيرات الضغط الجوي ، ودرجات حرارة جسم التبريد. ما المشترك بين هذه الظواهر؟ لسبب واحد ، كل النماذج تزداد أو تنقص مع تقدم الوقت. لكن هذه ليست القصة كاملة. انها ال طريق زيادة أو نقص البيانات التي تساعدنا على تحديد ما إذا كان من الأفضل نمذجة المعادلة الأسية. تتيح لنا معرفة سلوك الدوال الأسية بشكل عام التعرف على وقت استخدام الانحدار الأسي ، لذلك دعونا نراجع النمو الأسي والانحطاط.

الانحدار الأسي

الانحدار الأسي يستخدم لنمذجة المواقف التي يبدأ فيها النمو ببطء ثم يتسارع بسرعة دون قيود ، أو حيث يبدأ الاضمحلال بسرعة ثم يتباطأ ليقترب أكثر فأكثر من الصفر. نستخدم الأمر "إكسبريج"في أداة الرسم البياني لتلائم دالة أسية لمجموعة من نقاط البيانات. هذا يعيد معادلة بالصيغة y = a b x y = a b x

كيف

بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، قم بإجراء الانحدار الأسي باستخدام أداة الرسوم البيانية.

  1. استخدم ال STAT من ثم تعديل القائمة لإدخال البيانات المعطاة.
    1. امسح أي بيانات موجودة من القوائم.
    2. قائمة بقيم الإدخال في العمود L1.
    3. سرد قيم الإخراج في العمود L2.
    1. يستخدم تكبير [9] لضبط المحاور لتناسب البيانات.
    2. تحقق من البيانات تتبع النمط الأسي.
    1. يختار "إكسبريج" من STAT من ثم CALC قائمة.
    2. استخدم القيم التي تم إرجاعها لـ أ و ب لتسجيل النموذج ، ص = أ ب س. ص = أ ب س.

    مثال 1

    استخدام الانحدار الأسي لملاءمة نموذج مع البيانات

    في عام 2007 ، نُشرت دراسة جامعية تبحث في مخاطر الاصطدام الناتج عن القيادة تحت تأثير الكحول. تم استخدام بيانات من 2871 حادثًا لقياس ارتباط مستوى الكحول في دم الشخص (BAC) بخطر التعرض لحادث. يوضح الجدول 1 نتائج الدراسة 24. ال خطر نسبي هو مقياس لعدد المرات التي يحتمل أن يتعرض فيها الشخص للتحطم. لذلك ، على سبيل المثال ، الشخص الذي لديه BAC 0.09 هو 3.54 مرة أكثر عرضة للتحطم من الشخص الذي لم يشرب الكحول.

    باك 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
    الخطر النسبي للانهيار 1 1.03 1.06 1.38 2.09 3.54
    باك 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21
    الخطر النسبي للانهيار 6.41 12.6 22.1 39.05 65.32 99.78

    المحلول

    1. باستخدام STAT من ثم تعديل القائمة في أداة الرسوم البيانية ، قم بإدراج ملف باك القيم في L1 وقيم المخاطر النسبية في L2. ثم استخدم ملف STATPLOT ميزة للتحقق من أن مخطط التشتت يتبع النمط الأسي الموضح في الشكل 1:

    استخدم ال "إكسبريج"أمر من STAT من ثم CALC القائمة للحصول على النموذج الأسي ،

    التحويل من الترميز العلمي ، لدينا:

    استخدم النموذج لتقدير المخاطر المرتبطة بـ BAC بقيمة 0.16. 0.16. عوّض بـ 0.16 0.16 عن x x في النموذج وحل من أجل y. ذ.

    إذا كان الشخص الذي يبلغ وزنه 160 رطلاً يقود سيارته بعد تناول 6 مشروبات ، فمن المحتمل أن يصطدم بحوالي 26.35 مرة أكثر من القيادة أثناء القيادة.

    يوضح الجدول 2 رصيد بطاقة ائتمان الخريجين الجدد كل شهر بعد التخرج.

    شهر 1 2 3 4 5 6 7 8
    الدين (بالدولار) 620.00 761.88 899.80 1039.93 1270.63 1589.04 1851.31 2154.92
    1. استخدم الانحدار الأسي لملاءمة نموذج مع هذه البيانات.
    2. ⓑ إذا استمر الإنفاق على هذا المعدل ، كم ستكون ديون بطاقة ائتمان الخريج بعد عام واحد من تخرجه؟

    هل من المعقول أن نفترض أن نموذج الانحدار الأسي سيمثل حالة إلى أجل غير مسمى؟

    لا. تذكر أن النماذج يتم تكوينها من خلال بيانات العالم الحقيقي التي تم جمعها من أجل الانحدار. عادة ما يكون من المعقول عمل تقديرات خلال الفترة الزمنية للملاحظة الأصلية (الاستيفاء). ومع ذلك ، عند استخدام نموذج لعمل تنبؤات ، من المهم استخدام مهارات التفكير لتحديد ما إذا كان النموذج منطقيًا للمدخلات التي تتجاوز فترة الملاحظة الأصلية (الاستقراء).

    بناء نموذج لوغاريتمي من البيانات

    كما هو الحال مع الدوال الأسية ، هناك العديد من التطبيقات الواقعية للوظائف اللوغاريتمية: شدة الصوت ، ومستويات الأس الهيدروجيني للحلول ، ونتائج التفاعلات الكيميائية ، وإنتاج السلع ، ونمو الأطفال. كما هو الحال مع النماذج الأسية ، فإن البيانات التي تم تصميمها بواسطة الدوال اللوغاريتمية تتزايد دائمًا أو تتناقص دائمًا مع تقدم الوقت. مرة أخرى ، هو طريق إنها تزيد أو تنقص مما يساعدنا على تحديد ما إذا كان النموذج اللوغاريتمي هو الأفضل.

    تذكر أن الدوال اللوغاريتمية تزيد أو تنقص بسرعة في البداية ، ولكن بعد ذلك تتباطأ بثبات مع مرور الوقت. من خلال التفكير في الخصائص التي تعلمناها بالفعل حول هذه الوظيفة ، يمكننا تحليل مواقف العالم الحقيقي التي تعكس هذا النوع من النمو أو الاضمحلال بشكل أفضل. عند إجراء تحليل الانحدار اللوغاريتمي ، نستخدم شكل الدالة اللوغاريتمية الأكثر شيوعًا في أدوات الرسم البياني ، y = a + b ln (x). y = a + b ln (x). لهذه الوظيفة

    الانحدار اللوغاريتمي

    الانحدار اللوغاريتمي يستخدم لنمذجة المواقف التي يتسارع فيها النمو أو الاضمحلال بسرعة في البداية ثم يتباطأ بمرور الوقت. نستخدم الأمر "LnReg" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة لوغاريتمية لمجموعة من نقاط البيانات. هذا يعيد معادلة النموذج ،

    كيف

    بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، قم بإجراء الانحدار اللوغاريتمي باستخدام أداة الرسوم البيانية.

    1. استخدم ال STAT من ثم تعديل القائمة لإدخال البيانات المعطاة.
      1. امسح أي بيانات موجودة من القوائم.
      2. قائمة بقيم الإدخال في العمود L1.
      3. سرد قيم الإخراج في العمود L2.
      1. يستخدم تكبير [9] لضبط المحاور لتناسب البيانات.
      2. تحقق من البيانات التي تتبع النمط اللوغاريتمي.
      1. يختار "LnReg" من STAT من ثم CALC قائمة.
      2. استخدم القيم التي تم إرجاعها لـ أ و ب لتسجيل النموذج ، y = a + b ln (x). y = a + b ln (x).

      مثال 2

      استخدام الانحدار اللوغاريتمي لملاءمة نموذج مع البيانات

      بسبب التقدم في الطب وارتفاع مستويات المعيشة ، ارتفع متوسط ​​العمر المتوقع في معظم البلدان المتقدمة منذ بداية القرن العشرين.

      يوضح الجدول 3 متوسط ​​العمر المتوقع بالسنوات للأمريكيين من 1900 إلى 2010 25.

      عام 1900 1910 1920 1930 1940 1950
      متوسط ​​العمر المتوقع (سنوات) 47.3 50.0 54.1 59.7 62.9 68.2
      عام 1960 1970 1980 1990 2000 2010
      متوسط ​​العمر المتوقع (سنوات) 69.7 70.8 73.7 75.4 76.8 78.7

      المحلول

      1. ⓐ استخدام ملف STAT من ثم تعديل القائمة في أداة الرسم البياني ، قم بإدراج السنوات باستخدام القيم من 1 إلى 12 في L1 ومتوسط ​​العمر المتوقع المقابل في L2. ثم استخدم ملف STATPLOT ميزة للتحقق من أن مخطط التشتت يتبع نمطًا لوغاريتميًا كما هو موضح في الشكل 3:

      استخدم ال "LnReg"أمر من STAT من ثم CALC قائمة للحصول على النموذج اللوغاريتمي ،

      بعد ذلك ، قم برسم النموذج في نفس النافذة مثل مخطط التشتت للتحقق من أنه مناسب تمامًا كما هو موضح في الشكل 4:

      إذا استمر متوسط ​​العمر المتوقع في الزيادة بهذه الوتيرة ، فإن متوسط ​​العمر المتوقع للأمريكي سيكون 79.1 بحلول عام 2030.

      انطلقت مبيعات إحدى ألعاب الفيديو التي تم إصدارها في عام 2000 في البداية ، ولكنها تباطأت بعد ذلك بشكل مطرد مع مرور الوقت. يوضح الجدول 4 عدد الألعاب المباعة بالآلاف في السنوات 2000-2010.

      عام 2000 2001 2002 2003 2004 2005
      عدد المباع (بالآلاف) 142 149 154 155 159 161
      عام 2006 2007 2008 2009 2010 -
      عدد المباع (بالآلاف) 163 164 164 166 167 -

      بناء نموذج لوجستي من البيانات

      مثل النمو الأسي واللوغاريتمي ، يزيد النمو اللوجستي بمرور الوقت. أحد الاختلافات الملحوظة مع نماذج النمو اللوجستي هو أنه عند نقطة معينة ، يتباطأ النمو بشكل مطرد وتقترب الوظيفة من الحد الأعلى ، أو الحد من القيمة. لهذا السبب ، فإن الانحدار اللوجستي هو الأفضل لنمذجة الظواهر حيث توجد حدود للتوسع ، مثل توافر مساحة المعيشة أو العناصر الغذائية.

      وتجدر الإشارة إلى أن الوظائف اللوجيستية تصوغ في الواقع نموًا أسيًا محدود الموارد. هناك العديد من الأمثلة على هذا النوع من النمو في مواقف العالم الحقيقي ، بما في ذلك النمو السكاني وانتشار الأمراض والشائعات وحتى البقع في النسيج. عند إجراء تحليل الانحدار اللوجستي ، نستخدم النموذج الأكثر استخدامًا في أدوات الرسم البياني:

      الانحدار اللوجستي

      الانحدار اللوجستي يستخدم لنمذجة المواقف التي يتسارع فيها النمو بسرعة في البداية ثم يتباطأ بثبات إلى الحد الأعلى. نستخدم الأمر "Logistic" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة لوجستية لمجموعة من نقاط البيانات. هذا يعيد معادلة النموذج

      كيف

      بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، قم بإجراء الانحدار اللوجستي باستخدام أداة الرسوم البيانية.

      1. استخدم ال STAT من ثم تعديل القائمة لإدخال البيانات المعطاة.
        1. امسح أي بيانات موجودة من القوائم.
        2. قائمة بقيم الإدخال في العمود L1.
        3. سرد قيم الإخراج في العمود L2.
        1. يستخدم تكبير [9] لضبط المحاور لتناسب البيانات.
        2. تحقق من البيانات تتبع نمطًا لوجستيًا.
        1. يختار "جمارك" من STAT من ثم CALC قائمة.
        2. استخدم القيم التي تم إرجاعها لـ a و a و b و b و c c لتسجيل النموذج ، y = c 1 + a e - b x. ص = ج 1 + أ هـ - ب س.

        مثال 3

        استخدام الانحدار اللوجستي لملاءمة نموذج مع البيانات

        زادت خدمة الهاتف المحمول بسرعة في أمريكا منذ منتصف التسعينيات. اليوم ، جميع المقيمين تقريبًا لديهم خدمة خلوية. يوضح الجدول 5 النسبة المئوية للأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية بين عامي 1995 و 2012 26.

        عام الأمريكيون ذوو الخدمة الخلوية (٪) عام الأمريكيون ذوو الخدمة الخلوية (٪)
        1995 12.69 2004 62.852
        1996 16.35 2005 68.63
        1997 20.29 2006 76.64
        1998 25.08 2007 82.47
        1999 30.81 2008 85.68
        2000 38.75 2009 89.14
        2001 45.00 2010 91.86
        2002 49.16 2011 95.28
        2003 55.15 2012 98.17

        المحلول

        • ⓐ استخدام ملف STAT من ثم تعديل القائمة في أداة الرسم البياني ، قم بإدراج السنوات باستخدام القيم من 0 إلى 15 في L1 والنسبة المئوية المقابلة في L2. ثم استخدم ملف STATPLOT ميزة للتحقق من أن مخطط التشتت يتبع نمطًا لوجستيًا كما هو موضح في الشكل 5:

        استخدم ال "جمارك"أمر من STAT من ثم CALC قائمة للحصول على النموذج اللوجستي ،

        بعد ذلك ، قم برسم النموذج في نفس النافذة كما هو موضح في الشكل 6 ، مخطط التشتت للتحقق من أنه مناسب تمامًا:

        لتقريب النسبة المئوية للأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية في عام 2013 ، استبدل x = 18 x = 18 في النموذج وحل من أجل y: y:

        وفقًا للنموذج ، كان لدى حوالي 99.3 ٪ من الأمريكيين خدمة خلوية في عام 2013.

        يعطي النموذج قيمة محددة تبلغ حوالي 105. وهذا يعني أن أقصى نسبة ممكنة من الأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية ستكون 105٪ ، وهو أمر مستحيل. (كيف يمكن أن يكون لدى أكثر من 100٪ من السكان خدمة خلوية؟) إذا كان النموذج دقيقًا ، فستكون القيمة المحددة c = 100 c = 100 وستكون مخرجات النموذج قريبة جدًا من ، ولكنها لا تصل في الواقع إلى 100٪. بعد كل شيء ، سيكون هناك دائمًا شخص ما بدون خدمة خلوية!

        يوضح الجدول 6 عدد فقمات الموانئ في بحر وادن ، بالآلاف ، خلال الأعوام 1997 إلى 2012.

        عام عدد الفقمات (بالآلاف) عام عدد الفقمات (بالآلاف)
        1997 3.493 2005 19.590
        1998 5.282 2006 21.955
        1999 6.357 2007 22.862
        2000 9.201 2008 23.869
        2001 11.224 2009 24.243
        2002 12.964 2010 24.344
        2003 16.226 2011 24.919
        2004 18.137 2012 25.108

        وسائل الإعلام

        Access this online resource for additional instruction and practice with exponential function models.

        6.8 Section Exercises

        Verbal

        What situations are best modeled by a logistic equation? Give an example, and state a case for why the example is a good fit.

        What is a carrying capacity? What kind of model has a carrying capacity built into its formula? Why does this make sense?

        What is regression analysis? Describe the process of performing regression analysis on a graphing utility.

        What might a scatterplot of data points look like if it were best described by a logarithmic model?

        What does the ذ-intercept on the graph of a logistic equation correspond to for a population modeled by that equation?

        Graphical

        For the following exercises, match the given function of best fit with the appropriate scatterplot in Figure 7 through Figure 11. Answer using the letter beneath the matching graph.


        Many systems exhibit exponential growth. These systems follow a model of the form أين represents the initial state of the system and is a positive constant, called the growth constant. Notice that in an exponential growth model, we have

        That is, the rate of growth is proportional to the current function value. This is a key feature of exponential growth. (Figure) involves derivatives and is called a differential equation. We learn more about differential equations in Introduction to Differential Equations in the second volume of this text.

        Rule: Exponential Growth Model

        Systems that exhibit exponential growth increase according to the mathematical model

        أين represents the initial state of the system and is a constant, called the growth constant.

        Population growth is a common example of exponential growth. Consider a population of bacteria, for instance. It seems plausible that the rate of population growth would be proportional to the size of the population. After all, the more bacteria there are to reproduce, the faster the population grows. (Figure) and (Figure) represent the growth of a population of bacteria with an initial population of 200 bacteria and a growth constant of 0.02. Notice that after only 2 hours minutes), the population is 10 times its original size!

        Figure 1. An example of exponential growth for bacteria. Exponential Growth of a Bacterial Population
        Time (min) Population Size (no. of bacteria)
        10 244
        20 298
        30 364
        40 445
        50 544
        60 664
        70 811
        80 991
        90 1210
        100 1478
        110 1805
        120 2205

        Note that we are using a continuous function to model what is inherently discrete behavior. At any given time, the real-world population contains a whole number of bacteria, although the model takes on noninteger values. When using exponential growth models, we must always be careful to interpret the function values in the context of the phenomenon we are modeling.

        Population Growth

        Consider the population of bacteria described earlier. This population grows according to the function أين is measured in minutes. How many bacteria are present in the population after 5 hours minutes)? When does the population reach 100,000 bacteria?

        المحلول

        لدينا ثم

        There are 80,686 bacteria in the population after 5 hours.

        To find when the population reaches 100,000 bacteria, we solve the equation

        The population reaches 100,000 bacteria after 310.73 minutes.

        Consider a population of bacteria that grows according to the function أين is measured in minutes. How many bacteria are present in the population after 4 hours? When does the population reach 100 million bacteria?

        المحلول

        There are 81,377,396 bacteria in the population after 4 hours. The population reaches 100 million bacteria after 244.12 minutes.

        Use the process from the previous example.

        Let’s now turn our attention to a financial application: compound interest . Interest that is not compounded is called simple interest . Simple interest is paid once, at the end of the specified time period (usually 1 year). So, if we put in a savings account earning 2% simple interest per year, then at the end of the year we have

        Compound interest is paid multiple times per year, depending on the compounding period. Therefore, if the bank compounds the interest every 6 months, it credits half of the year’s interest to the account after 6 months. During the second half of the year, the account earns interest not only on the initial but also on the interest earned during the first half of the year. Mathematically speaking, at the end of the year, we have

        Similarly, if the interest is compounded every 4 months, we have

        and if the interest is compounded daily times per year), we have If we extend this concept, so that the interest is compounded continuously, after years we have

        Now let’s manipulate this expression so that we have an exponential growth function. Recall that the number can be expressed as a limit:

        Based on this, we want the expression inside the parentheses to have the form يترك Note that as as well. Then we get

        We recognize the limit inside the brackets as the number So, the balance in our bank account after years is given by Generalizing this concept, we see that if a bank account with an initial balance of earns interest at a rate of compounded continuously, then the balance of the account after سنوات

        Compound Interest

        A 25-year-old student is offered an opportunity to invest some money in a retirement account that pays 5% annual interest compounded continuously. How much does the student need to invest today to have million when she retires at age What if she could earn 6% annual interest compounded continuously instead?

        المحلول

        She must invest at 5% interest.

        If, instead, she is able to earn then the equation becomes

        In this case, she needs to invest only This is roughly two-thirds the amount she needs to invest at The fact that the interest is compounded continuously greatly magnifies the effect of the 1% increase in interest rate.

        Suppose instead of investing at age the student waits until age 35. How much would she have to invest at في

        المحلول

        At 5% interest, she must invest At 6% interest, she must invest

        Use the process from the previous example.

        If a quantity grows exponentially, the time it takes for the quantity to double remains constant. In other words, it takes the same amount of time for a population of bacteria to grow from 100 to 200 bacteria as it does to grow from 10,000 to 20,000 bacteria. This time is called the doubling time. To calculate the doubling time, we want to know when the quantity reaches twice its original size. So we have

        تعريف

        If a quantity grows exponentially, the doubling time is the amount of time it takes the quantity to double. أعطيت من قبل

        Using the Doubling Time

        Assume a population of fish grows exponentially. A pond is stocked initially with 500 fish. After 6 months, there are 1000 fish in the pond. The owner will allow his friends and neighbors to fish on his pond after the fish population reaches 10,000. When will the owner’s friends be allowed to fish?

        المحلول

        We know it takes the population of fish 6 months to double in size. So, if represents time in months, by the doubling-time formula, we have ثم، Thus, the population is given by To figure out when the population reaches 10,000 fish, we must solve the following equation:

        The owner’s friends have to wait 25.93 months (a little more than 2 years) to fish in the pond.

        Suppose it takes 9 months for the fish population in (Figure) to reach 1000 fish. Under these circumstances, how long do the owner’s friends have to wait?


        7.1: Exponential Growth and Decay Models

        Exponential functions show up in lots of applications, ranging from financial calculations to heat transfer to bacterial growth. In this lab, we will work with exponential functions to model the concentration of a drug in a patient. Before we introduce the model, we need some general background on models of growth and decay.

        In exponential growth and decay problems, the independent variable is almost always t , representing time. Another convention is to always write the exponential functions in terms of the natural constant e . That is, the general function describing exponential growth is written

        where A is a constant and k is a positive constant. The general form for exponential decay is

        where A is a constant and k is a positive constant. The reason these conventions are used is that these forms arise naturally in solving problems that involve exponential growth and decay. The constant A is the value of the function at t =0. The constant k is called the growth rate in exponential growth and the decay rate in exponential decay. In a process that can be modeled by exponential functions, the rate constant k depends only on the process and the conditions under which it is carried out.

        For example, suppose that growth of a population of bacteria can be modeled by an exponential function. By running an experiment in which the number of bacteria are counted as a function of time, a value of k can be determined. The crucial fact is that the value of k depends on the environmental conditions of the experiment, but does not depend on the initial amount of bacteria present. That is, the same value of k can be used to model the growth of the same bacteria in other experiments, as long as the environmental conditions are the same as in the original experiment. Put more simply, if you do another experiment with the same bacteria under the same conditions, only the value of A , the number of bacteria present initially, changes.


        Exponential Growth and Decay Model for Human Genealogy (Common Ancestor)

        First time poster, and, as my post will intimate, not a mathematician, just someone searching for answers. My question has two parts:

        1) In a genealogical chart for a single individual (called an Ahnentafel) starting with yourself and working backwards, you'll find a simple exponential trait to your preceding/antecedent group of ancestors, e.g.

        • you have one set of parents (2 people)
        • you have two sets of grandparents (4 people)
        • you have four sets of great-grandparents (8 people)
        • وهكذا. I'm only counting genetically-linked lineage (no step/half) for simplicity and using "sets" of ancestors rather than individuals.

        However, whether you believe in Adam and Eve or in Darwin and Haldane, at a certain point all of this must converge back to an original set of antecedents (your common, original male/female ancestors, and logically the common human ancestors for all--the question I'll leave to philosophers and Richard Dawkins is how you get to a single ancestor not a single set of ancestors). Again, for simplicity, I'm only counting homo homo sapiens and not trying to take this back to the first unicellular organisms.

        The question I'm trying to answer is, as one moves back in time, away from yourself (x=1) on a genealogical chart, your ancestors increase exponentially, but at some point they must start decreasing again to get back to a single set of common original ancestors (y=1)--for argument's sake, let's assume the decrease is perfectly proportional to the rate of increase and the time-series is based on finite generations not years--though if someone wants to try and model out interbreeding have at it.

        When would this conversion/inflection across the generations need to occur--put another way, what is the maximum number of grand-nth parent sets you'd need to have before we started to see a need for this decrease--one would imagine it's about half-way back? In highly simple form it would go 1:2:4:2:1, but on a much grander scale.

        There's an excellent article here from the BBC that talks about this issue as well as one known as the "genealogical paradox" (i.e. that most genealogy models show one to have more potential ancestors than human beings to have ever lived), and it also provides an important parameter for the time series: human history back to a single set of common ancestors for all humans is only about 3000 years or 100 generations. It also points out the need to assume inbreeding, consanguity, and incest as part of any genealogy, but for reasons both moral and mathematical let us keep things pure and simple.

        (Note: the progression back 100 generations without assuming inbreeding would show more than a trillion (maybe even quadrillion or quintillion) potential ancestors and most estimates show only 100 billion people have EVER lived on Earth. here's an article on the "diamond-shaped theory of ancestors" and another on what's called "pedigree collapse"

        There's also an excellent previous question in a similar vein that can be found here and provides some further helpful terms and guidance: Mathematics of genealogical trees

        2) The second part of my question pertains to the first: formulaically, how would one model out the math for the specific question above using the parameters described (e.g. 100 generations)? And, more generally, how would one write the formula for an exponential growth time series that starts at 1 and that must then suddenly inflect, and start to decay in proportion to its original exponential growth to ensure the final result is 1 at the end of the sequence? Put another way, what is the general formula for expressing a pattern that both increases and decreases across a time series such as 1:2:4:2:1 and could this be expressed in a single formula?

        For bonus points: what fields of math are we discussing in this question and what would the graph for the specific ancestor and general formula equation look like? I believe in graph theory this is something called a directed acrylic graph?


        7.1: Exponential Growth and Decay Models

        Exponential Growth and Decay

        The current version of the SAT gives problems on exponential growth and decay. Here are the basics that you should know if you want to get a perfect SAT score:

        A general exponential function has the form F(ر) = أ(1 + ص) ct ، أين أ = F(0) is the initial amount and ص is the growth rate. لو ص > 0, then we have exponential growth and if ص < 0 we have exponential decay.

        Examples: (1) The exponential function F(ر) = 300(2) ر can be used to model a population with a growth rate of 1 = 100% each year that begins with 300 specimens. The growth rate of 100% tells us that the population doubles each year.

        (2) The exponential function F(ر) = 50(3) 2t can be used to model a population with a growth rate of 2 = 200% every 6 months that begins with 50 specimens. The growth rate of 200% tells us that the population triples. منذ ج = 2, the tripling occurs every 1/2 year or 6 months.

        (3) The exponential function F(ر) = 120(0.75) ر/3 can be used to model a substance which is decaying at a rate of 1 – 0.75 = 0.25 = 25% every 3 years. The initial amount of the substance might be 120 grams. منذ ج = 1/3, the 25% decay occurs every 3 years.

        (4) A quantity that continually doubles over a fixed time period can be modeled by the exponential function F(ر) = أ(2) ر/d where أ is the quantity at time ر = 0, and د is the doubling time in years.

        Now try the following SAT math problem. I will post a solution after Thanksgiving, but feel free to post your own solutions in the comments meanwhile.

        Level 4 SAT Exponential Growth

        On January 1, 2015, a family living on an island releases their two pet rabbits into the wild. Due to the short gestation period of rabbits, and the fact that the rabbits have no natural predators on this island, the rabbit population doubles each month. لو ص represents the rabbit population years after January 1, 2015, then which of the following equations best models the rabbit population on this island over time?

        A) ص = 2 ر/12 + 1
        B) ص = 2 ر + 1
        C) ص = 2 12ر
        D) ص = 2 12ر + 1

        More SAT and ACT Math Problems with Explanations

        If you are preparing for the SAT or ACT, you may want to take a look at the Get 800 collection of test prep books.

        And if you liked this article, please share it with your Facebook friends:


        Similarly, we can also be given exponential decay functions to solve.

        In decay scenarios, the quantity decreases by a certain percentage over a period of time.

        You invest $ 600 in the stock of a company.

        The value of the stock decreases by 3 % each year.

        Write an exponential function to represent the value of the function after t years. What will the stock be worth after 4 years to the nearest whole number.

        Everything goes the same way in this case except that we use a different formula given as


        شاهد الفيديو: مستويات عليا على الدالة الاسية وتفكير ابداعى صفحة 150 جبر ثانية ثانوى (شهر اكتوبر 2021).