مقالات

2.2: المعادلات الخطية في متغير واحد - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حل المعادلات في متغير واحد جبريًا.
  • حل معادلة منطقية.
  • ابحث عن معادلة خطية.
  • بالنظر إلى معادلات المستقيمين ، حدد ما إذا كانت رسوماتهما البيانية متوازية أم متعامدة.
  • اكتب معادلة الخط الموازي أو العمودي لخط معطى.

كارولين طالبة جامعية بدوام كامل تخطط لقضاء عطلة الربيع. لكسب ما يكفي من المال للرحلة ، حصلت على وظيفة بدوام جزئي في البنك المحلي الذي يدفع ($ 15.00 / hr ) ، وفتحت حساب توفير بإيداع أولي بقيمة ($ 400 ) في 15 يناير. رتبت للإيداع المباشر لشيكات الرواتب الخاصة بها. إذا بدأت عطلة الربيع في 20 مارس وستكلف الرحلة تقريبًا (2500 دولار ) ، فكم عدد الساعات التي سيتعين عليها العمل لكسب ما يكفي لدفع ثمن إجازتها؟ إذا كانت تعمل فقط (4 ) ساعات في اليوم ، فكم عدد أيام الأسبوع التي ستعمل فيها؟ كم عدد الاسابيع سوف يستغرق؟ في هذا القسم ، سنبحث في مشكلات مثل هذه وغيرها ، والتي تولد رسومًا بيانية مثل السطر في الشكل ( PageIndex {1} ).

حل المعادلات الخطية في متغير واحد

أ معادلة خط مستقيم هي معادلة خط مستقيم ، مكتوبة في متغير واحد. القوة الوحيدة للمتغير هي (1 ). قد تأخذ المعادلات الخطية في متغير واحد الشكل (ax + b = 0 ) ويتم حلها باستخدام العمليات الجبرية الأساسية. نبدأ بتصنيف المعادلات الخطية في متغير واحد كواحد من ثلاثة أنواع: المطابقة أو الشرطية أو غير المتسقة.

  • ان معادلة الهوية هذا صحيح لجميع قيم المتغير. فيما يلي مثال على معادلة الهوية: [3x = 2x + x nonumber ] مجموعة الحل يتكون من جميع القيم التي تجعل المعادلة صحيحة. في هذه المعادلة ، مجموعة الحلول هي جميع الأعداد الحقيقية لأن أي رقم حقيقي يتم استبداله بـ (x ) سيجعل المعادلة صحيحة.
  • أ معادلة شرطية هذا صحيح لبعض قيم المتغير فقط. على سبيل المثال ، إذا أردنا حل المعادلة (5x + 2 = 3x − 6 ) ، فلدينا ما يلي: [ start {align *} 5x + 2 & = 3x-6 2x & = - 8 x & = - 4 end {align *} ] تتكون مجموعة الحلول من رقم واحد: ({- 4} ). إنه الحل الوحيد ، وبالتالي ، فقد حللنا معادلة شرطية.
  • ان معادلة غير متناسقة ينتج عنه بيان خاطئ. على سبيل المثال ، إذا أردنا حل (5x − 15 = 5 (x − 4) ) ، فلدينا ما يلي: [ start {align *} 5x − 15 & = 5x − 20 5x − 15- 5x & = 5x − 20-5x −15 & neq −20 end {align *} ] في الواقع ، (- 15 ≠ −20 ). لا يوجد حل لأن هذه معادلة غير متسقة.

يتضمن حل المعادلات الخطية في متغير واحد الخصائص الأساسية للمساواة والعمليات الجبرية الأساسية. فيما يلي استعراض موجز لهذه العمليات.

معادلة خطية في متغير واحد

يمكن كتابة معادلة خطية في متغير واحد بالصيغة

[فأس + ب = 0 ]

حيث أ و ب أرقام حقيقية ، (أ ≠ 0 ).

Howto: إعطاء معادلة خطية في متغير واحد ، استخدم الجبر لحلها

يتم استخدام الخطوات التالية لمعالجة المعادلة وعزل المتغير المجهول ، بحيث يقرأ السطر الأخير (x = ) _________ ، إذا كان (x ) غير معروف. لا يوجد ترتيب محدد ، حيث تعتمد الخطوات المستخدمة على ما يتم تقديمه:

  1. يمكننا جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة معادلة على رقم أو تعبير طالما أننا نفعل الشيء نفسه لكلا طرفي علامة التساوي. لاحظ أنه لا يمكننا القسمة على صفر.
  2. طبق خاصية التوزيع حسب الحاجة: (a (b + c) = ab + ac ).
  3. افصل المتغير في أحد طرفي المعادلة.
  4. عندما يتم ضرب المتغير بمعامل في المرحلة النهائية ، اضرب طرفي المعادلة في مقلوب المعامل.

مثال ( PageIndex {1} ): حل معادلة في متغير واحد

حل المعادلة التالية: (2x + 7 = 19 ).

حل

يمكن كتابة هذه المعادلة بالصيغة (ax + b = 0 ) بطرح 19 من كلا الجانبين. ومع ذلك ، يمكننا المضي قدمًا في حل المعادلة في شكلها الأصلي عن طريق إجراء عمليات جبرية.

[ begin {align *} 2x + 7 & = 19 2x & = 12 qquad text {اطرح 7 من كلا الجانبين} x & = 6 qquad text {ضرب كلا الجانبين بـ} dfrac {1} { 2} text {أو القسمة على} 2 end {align *} ]

الحل هو (6 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حل المعادلة الخطية في متغير واحد: (2x + 1 = −9 ).

إجابه

(س = −5 )

مثال ( PageIndex {2} ): حل وقت ظهور المتغير على كلا الجانبين

حل المعادلة التالية: (4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) ).

حل

تطبيق الخصائص الجبرية القياسية.

[ begin {align *} 4 (x-3) + 12 & = 15-5 (x + 6) 4x-12 + 12 & = 15-5x-30 qquad text {تطبيق خاصية التوزيع} 4x & = - 15-5x qquad text {دمج المصطلحات المتشابهة} 9x & = - 15 qquad text {ضع المصطلحات x على جانب واحد وتبسيط} x & = - dfrac {15} {9} qquad text {اضرب كلا الجانبين بـ} dfrac {1} {9} text {، متبادل لـ} 9 x & = - dfrac {3} {5} end {align *} ]

تحليل

تتطلب هذه المشكلة تطبيق خاصية التوزيع مرتين ، ثم يتم استخدام خصائص الجبر للوصول إلى السطر الأخير ، (x = - dfrac {3} {5} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

حل المعادلة في متغير واحد: (- 2 (3x − 1) + x = 14 − x ).

إجابه

(س = -3 )

حل معادلة عقلانية

في هذا القسم ، ننظر إلى المعادلات المنطقية التي ، بعد بعض التلاعب ، ينتج عنها معادلة خطية. إذا كانت المعادلة تحتوي على تعبير منطقي واحد على الأقل ، فإنها تعتبر أ معادلة عقلانية. أذكر أن أ رقم منطقي هي النسبة بين رقمين ، مثل ( dfrac {2} {3} ) أو ( dfrac {7} {2} ). المقدار المنطقي هو النسبة أو حاصل القسمة لاثنين من كثيرات الحدود. فيما يلي ثلاثة أمثلة.

[ dfrac {x + 1} {x ^ 2-4} nonumber ]

[ dfrac {1} {x-3} nonumber ]

أو

[ dfrac {4} {x ^ 2 + x-2} nonumber ]

المعادلات المنطقية لها متغير في المقام في أحد المصطلحات على الأقل. هدفنا هو إجراء العمليات الجبرية بحيث تظهر المتغيرات في البسط. في الواقع ، سنزيل كل المقامات بضرب طرفي المعادلة في القاسم المشترك الأصغر (LCD). إن العثور على شاشة LCD هو تحديد تعبير يحتوي على أعلى قوة لجميع العوامل في جميع المقامات. نقوم بذلك لأنه عند ضرب المعادلة في شاشة LCD ، فإن العوامل المشتركة في شاشة LCD وفي كل مقام ستساوي واحدًا وستلغي.

مثال ( PageIndex {3} ): حل معادلة عقلانية

حل المعادلة المنطقية:

[ dfrac {7} {2x} - dfrac {5} {3x} = dfrac {22} {3} nonumber ]

حل

لدينا ثلاث قواسم. (2x ) و (3x ) و (3 ). يجب أن تحتوي شاشة LCD على (2x ) و (3x ) و (3 ). تحتوي شاشة LCD (6x ) على جميع القواسم الثلاثة. بمعنى آخر ، يمكن تقسيم كل مقام بالتساوي إلى شاشة LCD. بعد ذلك ، اضرب طرفي المعادلة في LCD (6x ).

[ ابدأ {محاذاة *}
(6x) left [ dfrac {7} {2x} - dfrac {5} {3x} right] & = left [ dfrac {22} {3} right] (6x)
(6x) left ( dfrac {7} {2x} right) - (6x) left ( dfrac {5} {3x} right) & = left ( dfrac {22} {3} right ) (6x) qquad text {استخدم خاصية التوزيع. إلغاء العوامل المشتركة}
3 (7) -2 (5) & = 22 (2x) qquad text {اضرب العوامل المتبقية في كل بسط.}
21-10 & = 44x
11 & = 44x
dfrac {11} {44} & = x
dfrac {1} {4} & = x
النهاية {محاذاة *} ]

خطأ شائع عند حل المعادلات المنطقية يتضمن إيجاد شاشة LCD عندما يكون أحد المقامات ذات الحدين - تمت إضافة أو طرح المصطلحين - مثل ((x + 1) ). اعتبر دائمًا ذات الحدين عاملاً فرديًا - لا يمكن فصل المصطلحات. على سبيل المثال ، افترض أن مشكلة ما لها ثلاثة حدود وأن المقامات هي (x ) و (x − 1 ) و (3x − 3 ). أولاً ، عامل جميع القواسم. لدينا بعد ذلك (x ) و ((x − 1) ) و (3 (x − 1) ) كمقامات. (لاحظ الأقواس الموضوعة حول المقام الثاني.) فقط المقامان الأخيران لهما عامل مشترك هو ((x − 1) ). تكون x في المقام الأول منفصلة عن (x ) في مقامات ((x − 1) ). طريقة فعالة لتذكر ذلك هي كتابة العوامل ذات العوامل والمقامرة ذات الحدين بين قوسين ، والنظر في كل قوس كوحدة منفصلة أو عامل منفصل. تم العثور على شاشة LCD في هذا المثال بضرب (x ) معًا ، عامل واحد ((x − 1) ) ، و 3. وبالتالي ، فإن شاشة LCD هي التالية:

(س (س − 1) 3 = 3 س (س − 1) )

لذلك ، سيتم ضرب طرفي المعادلة في (3x (x − 1) ). اترك شاشة LCD في شكل عامل ، حيث يسهل ذلك رؤية كيفية إلغاء كل مقام في المشكلة.

مثال آخر هو مشكلة في مقامين ، مثل (x ) و (x ^ 2 + 2x ). بمجرد تحليل المقام الثاني إلى عوامل (x ^ 2 + 2x = x (x + 2) ) ، يوجد عامل مشترك لـ (x ) في كلا المقامين ويكون LCD هو (x (x + 2) ).

أحيانًا يكون لدينا معادلة منطقية على شكل نسبة ؛ أي عندما يساوي كسر واحد كسرًا آخر ولا توجد مصطلحات أخرى في المعادلة.

[ dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ]

يمكننا استخدام طريقة أخرى لحل المعادلة دون إيجاد شاشة LCD: الضرب التبادلي. نضرب الحدود بالعبور فوق علامة التساوي.

اضرب a (d) و b (c) ، مما ينتج عنه (ad = bc ).

يجب استبعاد أي حل يجعل مقامًا في التعبير الأصلي يساوي صفرًا من الاحتمالات.

معادلات منطقية

أ صمعادلة أصلية يحتوي على تعبير منطقي واحد على الأقل حيث يظهر المتغير في واحد على الأقل من المقامات.

Howto: إعطاء معادلة منطقية ، قم بحلها.

  1. حلل كل المقامات في المعادلة إلى عوامل.
  2. ابحث عن القيم التي تجعل كل مقام يساوي صفرًا واستبعدها.
  3. ابحث عن شاشة LCD.
  4. اضرب المعادلة بأكملها في شاشة LCD. إذا كانت شاشة LCD صحيحة ، فلن يتبقى أي قواسم.
  5. حل المعادلة المتبقية.
  6. تأكد من مراجعة الحلول في المعادلات الأصلية لتجنب حل ينتج صفرًا في المقام

مثال ( PageIndex {4} ): حل معادلة عقلانية بدون عوامل

حل المعادلة المنطقية التالية:

( dfrac {2} {x} - dfrac {3} {2} = dfrac {7} {2x} )

حل

لدينا ثلاثة قواسم: (x ) ، (2 ) ، (2x ). لا العوملة المطلوبة. حاصل ضرب المقام الأول يساوي المقام الثالث ، لذا فإن شاشة LCD هي (2x ). يتم استبعاد قيمة واحدة فقط من مجموعة الحلول ، (0 ). بعد ذلك ، اضرب المعادلة بأكملها (كلا طرفي علامة التساوي) في (2x ).

الحل المقترح هو (- 1 ) ، وهي ليست قيمة مستبعدة ، لذا فإن مجموعة الحلول تحتوي على رقم واحد ، (x = −1 ) ، أو ( {- 1 } ) مكتوبًا في مجموعة الرموز .

تمرين ( PageIndex {4} )

حل المعادلة المنطقية:

( dfrac {2} {3x} = dfrac {1} {4} - dfrac {1} {6x} )

إجابه

(س = dfrac {10} {3} )

مثال ( PageIndex {5} ): حل معادلة عقلانية عن طريق تحليل المقام

حل المعادلة المنطقية التالية:

( dfrac {1} {x} = dfrac {1} {10} - dfrac {3} {4x} )

حل

أوجد المقام المشترك. المقامات الثلاثة في الصورة المحللة إلى عوامل هي (x، 10 = 2⋅5 ) و (4x = 2⋅2⋅x ). أصغر تعبير يقبل القسمة على كل مقام هو (20x ). فقط (س = 0 ) قيمة مستبعدة. اضرب المعادلة بأكملها في (20x ).

[ begin {align *} 20x left ( dfrac {1} {x} right) & = left ( dfrac {1} {10} - dfrac {3} {4x} right) 20x 20 & = 2x-15 35 & = 2x dfrac {35} {2} & = x end {align *} ]

الحل هو ( dfrac {35} {2} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حل المعادلة المنطقية:

[- dfrac {5} {2x} + dfrac {3} {4x} = - dfrac {7} {4} nonumber ]

إجابه

(س = 1 )

مثال ( PageIndex {6} ): حل المعادلات النسبية ذات الحدين في المقام

حل المعادلات المنطقية التالية وحدد القيم المستبعدة:

  1. ( dfrac {3} {x-6} = dfrac {5} {x} )
  2. ( dfrac {x} {x-3} = dfrac {5} {x-3} - dfrac {1} {2} )
  3. ( dfrac {x} {x-2} = dfrac {5} {x-2} - dfrac {1} {2} )

حل

أ.

المقامات (x ) و (x − 6 ) لا يوجد بينهما شيء مشترك. لذلك ، فإن شاشة LCD هي المنتج (x (x − 6) ). ومع ذلك ، بالنسبة لهذه المشكلة ، يمكننا الضرب التبادلي.

[ begin {align *} dfrac {3} {x-6} & = dfrac {5} {x} 3x & = 5 (x-6) qquad text {Distribute.} 3x & = 5x-30 -2x & = - 30 x & = 15 end {align *} ]

الحل هو (15 ). القيم المستبعدة هي (6 ) و (0 ).

ب.

شاشة LCD هي (2 (x − 3) ). اضرب طرفي المعادلة في (2 (x − 3) ).

[ begin {align *} 2 (x-3) left [ dfrac {x} {x-3} right] & = left [ dfrac {5} {x-3} - dfrac {1 } {2} right] 2 (x-3) dfrac {2 (x-3) x} {x-3} & = dfrac {2 (x-3) 5} {x-3} - dfrac {2 (x-3)} {2} 2x & = 10- (x-3) 2x & = 13-x 3x & = 13 x & = dfrac {13} {3} end {محاذاة *} ]

الحل هو ( dfrac {13} {3} ). القيمة المستبعدة هي (3 ).

ج.

المقام المشترك الأصغر هو (2 (x − 2) ). اضرب طرفي المعادلة في (x (x − 2) ).

[ begin {align *} 2 (x-2) left [ dfrac {x} {x-2} right] & = left [ dfrac {5} {x-2} - dfrac {1 } {2} right] 2 (x-2) 2x & = 10- (x-2) 2x & = 12-x 3x & = 12 x & = 4 end {align *} ]

الحل هو (4 ). القيمة المستبعدة هي (2 ).

تمرين ( PageIndex {6} )

حل ( dfrac {-3} {2x + 1} = dfrac {4} {3x + 1} ). اذكر القيم المستبعدة.

إجابه

(x = - dfrac {7} {17} ). القيم المستبعدة هي (س = −12 ) و (س = −13 ).

مثال ( PageIndex {7} ): حل معادلة عقلانية باستخدام مقامات متضمنة وبيان القيم المستبعدة

حل المعادلة المنطقية بعد تحليل المقامات إلى عوامل: ( dfrac {2} {x + 1} - dfrac {1} {x-1} = dfrac {2x} {x ^ 2-1} ). اذكر القيم المستبعدة.

حل

يجب علينا تحليل المقام (x ^ 2−1 ). نتعرف على هذا على أنه فرق المربعات ، ونعامله على أنه ((x − 1) (x + 1) ). وبالتالي ، فإن شاشة LCD التي تحتوي على كل مقام هي ((x − 1) (x + 1) ). اضرب المعادلة بأكملها في شاشة LCD ، وقم بإلغاء المقامات وحل المعادلة المتبقية.

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left [ dfrac {2} {x + 1} - dfrac {1} {x-1} right] & = left [ dfrac {2x} {x ^ 2-1} right] (x + 1) (x-1) 2 (x-1) - (x + 1) & = 2x 2x-2-x- 1 & = 2x text {توزيع الإشارة السالبة} -3-x & = 0 x & = -3 end {align *} ]

الحل هو (- 3 ). القيم المستبعدة هي (1 ) و (- 1 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

حل المعادلة المنطقية:

( dfrac {2} {x-2} + dfrac {1} {x + 1} = dfrac {1} {x ^ 2-x-2} )

إجابه

(س = dfrac {1} {3} )

إيجاد معادلة خطية

ربما يكون الشكل الأكثر شيوعًا للمعادلة الخطية هو شكل معادلة الميلان المحصور، مكتوب كـ [y = mx + b ] حيث (m = text {المنحدر} ) و (b = text {y − intercept.} ) لنبدأ بالمنحدر.

ال ميل من الخط يشير إلى نسبة التغيير الرأسي في (ص ) على التغيير الأفقي في (س ) بين أي نقطتين على الخط. يشير إلى الاتجاه الذي يميل فيه الخط بالإضافة إلى شدته. يوصف المنحدر أحيانًا بأنه ارتفاع فوق الجري.

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

إذا كان الميل موجبًا ، فإن الخط يميل جهة اليمين. إذا كان الميل سالبًا ، فإن الخط يميل جهة اليسار. مع زيادة المنحدر ، يصبح الخط أكثر انحدارًا. بعض الأمثلة موضحة في الشكل ( PageIndex {2} ). تشير الخطوط إلى المنحدرات التالية: (m = −3 ) ، (m = 2 ) ، و (m = dfrac {1} {3} ).

منحدر الخط

يمثل ميل الخط ، (م ) ، التغيير في (ص ) على التغيير في (س ). بالنظر إلى نقطتين ، ((x_1، y_1) ) و ((x_2، y_2) ) ، تحدد الصيغة التالية ميل الخط الذي يحتوي على هذه النقاط:

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد ميل خط بمنح نقطتين

أوجد ميل الخط الذي يمر بالنقطتين ((2، −1) ) و ((- 5،3) ).

حل

نستبدل القيم (y ) - والقيم (x ) - في الصيغة.

[ begin {align *} m & = dfrac {3 - (- 1)} {- 5-2} & = dfrac {4} {- 7} & = - dfrac {4} { 7} end {align *} ]

المنحدر هو (- dfrac {4} {7} )

تحليل

لا يهم النقطة التي تسمى ((x_1، y_1) ) أو ((x_2، y_2) ). طالما أننا متسقين مع ترتيب المصطلحات (y ) وترتيب المصطلحات (x ) في البسط والمقام ، فسوف ينتج عن الحساب نفس النتيجة.

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد ميل الخط المار بالنقطتين ((- 2،6) ) و ((1،4) ).

إجابه

(م = - dfrac {2} {3} )

مثال ( PageIndex {9} ): تحديد ميل وتقاطع y لخط معطى معادلة

حدد الميل و (y ) - التقاطع ، بالنظر إلى المعادلة (y = - dfrac {3} {4} x-4 ).

حل

نظرًا لأن الخط على شكل (y = mx + b ) ، فإن الخط المعطى له ميل (m = - dfrac {3} {4} ). (ص ) - التقاطع هو (ب = −4 ).

تحليل

التقاطع (y ) - هو النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المحور (y ) -. على المحور (ص ) (س = 0 ). يمكننا دائمًا تحديد (y ) - التقاطع عندما يكون الخط في شكل تقاطع منحدر ، لأنه دائمًا ما يساوي (ب ). أو فقط استبدل (x = 0 ) وحل من أجل (y ).

صيغة نقطة المنحدر

بالنظر إلى الميل ونقطة واحدة على الخط ، يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم باستخدام صيغة الميل والنقطة.

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

هذه معادلة مهمة ، حيث سيتم استخدامها في مجالات أخرى من الجبر الجامعي وغالبًا في حساب التفاضل والتكامل لإيجاد معادلة خط المماس. نحتاج فقط إلى نقطة واحدة وميل الخط لاستخدام الصيغة. بعد التعويض بميل وإحداثيات نقطة واحدة في الصيغة ، نبسطها ونكتبها بصيغة الميل والمقطع.

صيغة POINT-SLOPE

بالنظر إلى نقطة واحدة والميل ، ستؤدي صيغة نقطة الميل إلى معادلة الخط:

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد معادلة خط بمعلومية المنحدر والنقطة الواحدة

اكتب معادلة المستقيم ذي الميل (م = −3 ) والمر بالنقطة ((4،8) ). اكتب المعادلة النهائية بصيغة الميل والمقطع.

حل

باستخدام صيغة الميل والنقطة ، استبدل (- 3 ) بـ m والنقطة ((4،8) ) عن ((x_1، y_1) ).

[ start {align *} y-y_1 & = m (x-x_1) y-8 & = -3 (x-4) y-8 & = -3x + 12 y & = -3x + 20 نهاية {محاذاة *} ]

تحليل

لاحظ أنه يمكن استخدام أي نقطة على الخط لإيجاد المعادلة. إذا تم القيام به بشكل صحيح ، سيتم الحصول على نفس المعادلة النهائية.

تمرين ( PageIndex {10} )

بالنظر إلى (m = 4 ) ، أوجد معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع المار بالنقطة ((2،5) ).

إجابه

(ص = 4x − 3 )

مثال ( PageIndex {11} ): إيجاد معادلة خط يمر عبر نقطتين معينتين

أوجد معادلة الخط المار بالنقطتين ((3،4) ) و ((0، −3) ). اكتب المعادلة النهائية بصيغة الميل والمقطع.

حل

أولًا ، نحسب الميل باستخدام صيغة الميل ونقطتين.

[ begin {align *} m & = dfrac {-3-4} {0-3} m & = dfrac {-7} {- 3} m & = dfrac {7} {3} النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نستخدم صيغة الميل والنقطة بميل ( dfrac {7} {3} ) وإحدى النقطتين. دعنا نختار النقطة ((3،4) ) من أجل ((x_1، y_1) ).

[ begin {align *} y-4 & = dfrac {7} {3} (x-3) y-4 & = dfrac {7} {3} x-7 y & = dfrac {7 } {3} -3 end {محاذاة *} ]

في صيغة الميل والمقطع ، تتم كتابة المعادلة بالشكل (y = dfrac {7} {3} -3 )

تحليل

لإثبات أنه يمكن استخدام أي من النقطتين ، دعنا نستخدم النقطة الثانية ((0 ، −3) ) ونرى ما إذا كنا سنحصل على نفس المعادلة.

[ begin {align *} y - (- 3) & = dfrac {7} {3} (x-0) y + 3 & = dfrac {7} {3} x y & = dfrac {7} {3} -3 end {محاذاة *} ]

نرى أنه سيتم الحصول على نفس الخط باستخدام أي من النقطتين. هذا منطقي لأننا استخدمنا النقطتين لحساب الميل.

النموذج القياسي للخط

هناك طريقة أخرى يمكننا من خلالها تمثيل معادلة الخط المستقيم النموذج القياسي. يتم إعطاء النموذج القياسي كـ

[فأس + بواسطة = C ]

حيث (A ) و (B ) و (C ) أعداد صحيحة. تقع المصطلحات (x ) - و (y ) - على جانب واحد من علامة التساوي بينما يكون الحد الثابت على الجانب الآخر.

مثال ( PageIndex {12} ): البحث عن معادلة خط وكتابتها في النموذج القياسي

أوجد معادلة الخط المستقيم مع (m = −6 ) والمر بالنقطة ( left ( dfrac {1} {4}، - 2 right) ). اكتب المعادلة في الصورة القياسية.

حل

نبدأ في استخدام صيغة نقطة الميل.

[ begin {align *} y - (- 2) & = -6 left (x- dfrac {1} {4} right) y + 2 & = -6x + dfrac {3} {2} end {محاذاة *} ]

من هنا ، نقوم بالضرب في (2 ) ، حيث لا يُسمح بأي كسور في الشكل القياسي ، ثم ننقل كلا المتغيرين إلى اليسار جانبًا من علامة التساوي وننقل الثوابت إلى اليمين.

[ start {align *} 2 (y + 2) & = left (-6x + dfrac {3} {2} right) 2 2y + 4 & = -12x + 3 12x + 2y & = - 1 النهاية {محاذاة *} ]

تمت كتابة هذه المعادلة الآن في الشكل القياسي.

تمرين ( PageIndex {12} )

ابحث عن معادلة الخط في الشكل القياسي مع الميل (m = - dfrac {1} {3} ) والمرور بالنقطة ((1،13) ).

إجابه

(س + 3 ص = 2 )

خطوط عمودية وأفقية

لا تتطلب معادلات الخطوط الرأسية والأفقية أيًا من الصيغ السابقة ، على الرغم من أنه يمكننا استخدام الصيغ لإثبات صحة المعادلات. معادلة أ خط عمودي يعطى كـ

[س = ج ]

حيث (ج ) ثابت. ميل الخط العمودي غير محدد ، وبغض النظر عن (y ) - قيمة أي نقطة على الخط ، فإن (x ) - إحداثي النقطة سيكون (c ).

افترض أننا نريد إيجاد معادلة سطر يحتوي على النقاط التالية: ((- 3، −5) )، ((- 3،1) )، ((- 3،3) )، و ((- 3،5) ). أولًا ، سنجد الميل.

(m = dfrac {5-3} {- 3 - (- 3)} = dfrac {2} {0} )

الصفر في المقام يعني أن الميل غير معرّف ، وبالتالي لا يمكننا استخدام صيغة الميل والنقطة. ومع ذلك ، يمكننا رسم النقاط. لاحظ أن جميع الإحداثيات (x ) هي نفسها ونجد خطًا رأسيًا يمر عبر (x = −3 ). راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

معادلة أ خط أفقي يعطى كـ

[ص = ج ]

حيث (ج ) ثابت. ميل الخط الأفقي هو صفر ، وبالنسبة لأي (x ) - قيمة نقطة على الخط ، سيكون الإحداثي (y ) - (c ).

لنفترض أننا نريد إيجاد معادلة خط يحتوي على مجموعة النقاط التالية: ((- 2، −2) )، ((0، −2) )، ((3، −2) ) و ((5 ، −2) ). يمكننا استخدام صيغة الميل والنقطة. أولًا ، نوجد الميل باستخدام أي نقطتين على الخط المستقيم.

[ begin {align *} m & = dfrac {-2 - (- 2)} {0 - (- 2)} & = dfrac {0} {2} & = 0 end {align *} ]

استخدم أي نقطة لـ ((x_1، y_1) ) في الصيغة ، أو استخدم تقاطع y.

[ begin {align *} y - (- 2) & = 0 (x-3) y + 2 & = 0 y & = -2 end {align *} ]

الرسم البياني عبارة عن خط أفقي يمر عبر (y = −2 ). لاحظ أن جميع إحداثيات y متساوية. راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

مثال ( PageIndex {13} ): إيجاد معادلة خط يمر عبر النقاط المحددة

أوجد معادلة الخط المار بالنقاط المعينة: ((1، −3) ) و ((1،4) ).

حل

(س ) - إحداثي كلا النقطتين هو (1 ). لذلك ، لدينا خط عمودي ، (س = 1 ).

تمرين ( PageIndex {13} )

أوجد معادلة الخط المار عبر ((- 5،2) ) و ((2،2) ).

إجابه

الخط الأفقي: (ص = 2 )

تحديد ما إذا كانت الرسوم البيانية للخطوط متوازية أو متعامدة

المستقيمات المتوازية لها نفس الميل ونفس تقاطع y مختلفة. لن تتقاطع الخطوط الموازية لبعضها البعض أبدًا. على سبيل المثال ، يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) الرسوم البيانية لخطوط مختلفة بنفس المنحدر ، (م = 2 ).

جميع الخطوط الموضحة في الرسم البياني متوازية لأن لها نفس الميل ونفس تقاطع y.

الخطوط التي هي عمودي تتقاطع لتشكيل مثلث (90 ^ { circ} ). ميل خط واحد هو السالب متبادل من جهة أخرى. يمكننا توضيح أن خطين متعامدين إذا كان حاصل ضرب المنحدرين (- 1: m_1⋅m_2 = −1 ). على سبيل المثال ، يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) الرسم البياني لخطين متعامدين. خط واحد لديه ميل من (3 ) ؛ الخط الآخر لديه ميل (- dfrac {1} {3} ).

[ begin {align *} m_1 cdot m_2 & = -1 3 cdot left (- dfrac {1} {3} right) & = -1 end {align *} ]

مثال ( PageIndex {14} ): رسم معادلتين بيانيًا وتحديد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم متعامدة أم لا

ارسم معادلات الخطوط المعينة ، وحدد ما إذا كانت متوازية أم متعامدة أم لا: (3y = −4x + 3 ) و (3x − 4y = 8 ).

حل

أول شيء نريد القيام به هو إعادة كتابة المعادلتين بحيث تكون كلتا المعادلتين بصيغة الميل والمقطع.

المعادلة الأولى:

[ begin {align *} 3y & = -4x + 3 y & = - dfrac {4} {3} x + 1 end {align *} ]

المعادلة الثانية:

[ begin {align *} 3x-4y & = 8 -4y & = -3x + 8 y & = dfrac {3} {4} x-2 end {align *} ]

شاهد الرسم البياني لكلا السطرين في الشكل ( PageIndex {6} ).

يمكننا أن نرى من الرسم البياني أن الخطوط تظهر بشكل عمودي ، لكن يجب أن نقارن المنحدرات.

[ begin {align *} m_1 & = - dfrac {4} {3} m_2 & = dfrac {3} {4} m_1 cdot m_2 & = left (- dfrac {4} {3} right) left ( dfrac {3} {4} right) & = - 1 end {align *} ]

الميلان مقلوبان سالبان لبعضهما البعض ، مما يؤكد أن المستقيمين متعامدين.

تمرين ( PageIndex {14} )

ارسم الخطين وحدد ما إذا كانا متوازيين أم متعامدين أم لا: (2y − x = 10 ) و (2y = x + 4 ).

إجابه

الخطوط المتوازية: تكتب المعادلات في شكل تقاطع ميل.

كتابة معادلات المستقيمات الموازية أو العمودية على خط معين

كما تعلمنا ، فإن تحديد ما إذا كان خطان متوازيان أم متعامدان هو مسألة إيجاد الميلان. لكتابة معادلة خط موازٍ أو عمودي على خط آخر ، نتبع نفس المبادئ التي نتبعها لإيجاد معادلة أي خط. بعد إيجاد المنحدر ، استخدم صيغة نقطة الميل لكتابة معادلة السطر الجديد.

بالنظر إلى معادلة الخط ، اكتب معادلة الخط الموازي له أو العمودي عليه.

  1. أوجد ميل الخط المستقيم المعطى. أسهل طريقة للقيام بذلك هي كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع.
  2. استخدم الميل والنقطة مع صيغة الميل والنقطة.
  3. بسّط الخط إلى صيغة الميل والمقطع وقارن المعادلة بالخط المعطى.

مثال ( PageIndex {15} ): كتابة معادلة خط موازٍ لخط معين يمر عبر نقطة معينة

اكتب معادلة الخط الموازي ل a (5x + 3y = 1 ) ومرورًا بالنقطة ((3،5) ).

حل

أولًا ، سنكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع لإيجاد الميل.

[ begin {align *} 5x + 3y & = 1 3y & = -5x + 1 y & = - dfrac {5} {3} + dfrac {1} {3} end {align *} ]

الميل هو (m = - dfrac {5} {3} ). الجزء المقطوع من المحور y هو (13 ) ، لكن هذا لا يدخل في حل المشكلة ، لأن الشيء الوحيد الذي نحتاجه لكي يكون خطان متوازيان هو نفس الميل. الاستثناء الوحيد هو أنه إذا كانت التقاطع (y ) - هي نفسها ، فإن الخطين هما نفس السطر. الخطوة التالية هي استخدام هذا الميل والنقطة مع صيغة الميل والنقطة.

[ begin {align *} y-5 & = - dfrac {5} {3} (x-3) y-5 & = - dfrac {5} {3} x + 5 y & = - dfrac {5} {3} +10 end {align *} ]

معادلة الخط هي (y = - dfrac {5} {3} x + 10 ). راجع الشكل ( PageIndex {8} ).

تمرين ( PageIndex {15} )

أوجد معادلة الخط الموازي لـ (5x = 7 + y ) والمرور بالنقطة ((- 1، −2) ).

إجابه

(ص = 5 س + 3 )

مثال ( PageIndex {16} ): إيجاد معادلة خط عمودي على خط معين يمر عبر نقطة معينة

أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي على (5x − 3y + 4 = 0 space (−4،1) ).

حل

الخطوة الأولى هي كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع.

[ begin {align *} 5x-3y + 4 & = 0 -3y & = -5x-4 y & = dfrac {5} {3} x + dfrac {4} {3} end {align * } ]

نرى أن الميل هو (m = dfrac {5} {3} ). هذا يعني أن ميل الخط العمودي على الخط المعطى هو المقلوب السالب ، أو (- dfrac {3} {5} ). بعد ذلك ، نستخدم صيغة الميل والنقطة مع هذا الميل الجديد والنقطة المعطاة.

[ begin {align *} y-1 & = - dfrac {3} {5} (x - (- 4)) y-1 & = - dfrac {3} {5} x- dfrac {12 } {5} y & = - dfrac {3} {5} x- dfrac {12} {5} + dfrac {5} {5} y & = - dfrac {3} {5} - dfrac {7} {5} end {align *} ]

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام المعادلات الخطية.

  1. حل المعادلات المنطقية
  2. معادلة خط معطى نقطتين
  3. إيجاد معادلة خط عمودي على خط آخر عبر نقطة معينة
  4. إيجاد معادلة خط موازٍ لخط آخر عبر نقطة معينة

المفاهيم الرئيسية

  • يمكننا حل المعادلات الخطية في متغير واحد بالصيغة (ax + b = 0 ) باستخدام الخصائص الجبرية القياسية. انظر المثال والمثال.
  • التعبير المنطقي هو حاصل قسمة اثنين من كثيرات الحدود. نستخدم شاشة LCD لمسح الكسور من المعادلة. انظر المثال والمثال.
  • يجب التحقق من جميع حلول المعادلة المنطقية داخل المعادلة الأصلية لتجنب مصطلح غير محدد ، أو صفر في المقام. انظر المثال والمثال.
  • بالنظر إلى نقطتين ، يمكننا إيجاد ميل الخط باستخدام صيغة الميل. انظر المثال.
  • يمكننا تحديد المنحدر و (y ) - تقاطع المعادلة في شكل تقاطع الميل. انظر المثال.
  • يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم بمعلومية الميل والنقطة. انظر المثال.
  • يمكننا أيضًا إيجاد معادلة الخط المستقيم بمعلومية نقطتين. أوجد الميل واستخدم صيغة الميل والنقطة. انظر المثال.
  • الشكل القياسي للخط ليس به كسور. انظر المثال.
  • ميل الخطوط الأفقية يساوي صفرًا ويتم تعريفها على أنها (y = c ) ، حيث (c ) ثابت.
  • الخطوط العمودية لها ميل غير محدد (صفر في المقام) ، ويتم تعريفها على أنها (س = ج ) ، حيث (ج ) ثابت. انظر المثال.
  • الخطوط المتوازية لها نفس المنحدر ومختلفة (ص ) - تقاطعات. انظر المثال.
  • الخطوط العمودية لها منحدرات سالبة مقلوبة لبعضها البعض ما لم يكن أحدهما أفقيًا والآخر رأسيًا. انظر المثال.

المعادلات الخطية في متغير واحد - الفصل الثاني

الجلسة -1

1):- 7x ، 4x + 5 ، 2xy 2 - 15x 2 y + 7y تعبيرات جبرية.

2):- هناك دائما علامة المساواة في المعادلة. توضح علامة المساواة أن قيمة التعبيرات إلى LHS للعلامة (=) تساوي قيمة التعبير على يمين العلامة.

3):- التعابير التي نستخدمها لتكوين معادلات خطية تعني أن أعلى قوة للمتغير في التعابير هي 1.

أمثلة: 3 س + 2 = 20 ، ص + 5 = 0

4):- س 2 -1 = 9 ، س 2 + 5 س -6 = 0 ليست معادلات خطية لأن درجة المعادلة ليست 1.

5):- تسمى قيمة المتغير التي تجعل طرفي المعادلة متساويين ، حل المعادلة.

لا يوجد سوى حل واحد للمعادلة الخطية في متغير واحد.

6):- لا تتغير علامة المساواة في المعادلة إذا

  • نضيف نفس العدد إلى طرفي المعادلة.
  • اطرح نفس العدد من طرفي المعادلة.
  • اضرب أو اقسم طرفي المعادلة على نفس العدد غير الصفري.
  • انقل أحد المصطلحات من أحد طرفي المعادلة إلى الجانب الآخر.

حل المعادلة بطريقتين

طريقة الموازنة طريقة التحويل (شائعة الاستخدام)


المعادلات الخطية في متغير واحد: التمرين 2.2 (الرياضيات NCERT الفئة الثامنة)

س 2: محيط المسبح المستطيل 154 م. يبلغ طوله 2 متر أكثر من ضعف عرضه. ما هو طول وعرض البركة؟
سول. دع العرض يكون x م. لذلك ، سيكون الطول (2x + 2) م.
الآن ، محيط حمام السباحة = 2 (الطول + العرض) = 154 م.
2 (2x + 2 + x) = 154
2 (3x + 2) = 154
قسمة كلا الجانبين على 2 ، نحصل على ،

(3x + 2) = 77
نقل 2 من LHS إلى RHS ، نحصل على ،
3x = 77 – 2
3x = 75
قسمة 3 على كلا الجانبين ، نحصل ،

x = 25
لذلك ، (2x + 2) = (2×25 + 2) = 52
وبالتالي ، يبلغ عرض البركة وطولها 25 مترًا و 52 مترًا على التوالي.

س 3: قاعدة مثلث متساوي الساقين هي سم. محيط المثلث ٤ سم. ما هو طول أي من الضلعين المتساويين المتبقيين؟
سول. دع طول الأضلاع المتساوية يكون x سم.
الآن ، محيط المثلث = س + س + القاعدة =

الانتقال من LHS إلى RHS ، نحصل على




قسمة كلا الجانبين على 2 ، نحصل على ،


إذن ، طول الأضلاع المتساوية هو سم.

س 4: مجموع رقمين هو 95. إذا تجاوز أحدهما الآخر بمقدار 15 ، فأوجد الأرقام.
سول. دع رقم واحد يكون x. وبالتالي ، سيكون الرقم الآخر x + 15.
معطى، x + x + 15 = 95
2x + 15 = 95
نقل 15 من LHS إلى RHS ، نحصل على
2x = 95 – 15
2x = 80
قسمة كلا الجانبين على 2 ، نحصل على ،

x = 40
x + 15 = 40 + 15 = 55
وبالتالي ، فإن الأرقام هي 40 و 55.

س 5: رقمان في النسبة 5: 3. إذا اختلفوا في 18 فما هي الأرقام؟
سول. دع الرقم الأول يكون 5x والرقم الثاني يكون 3x.
معطى ، 5x 3x = 18
2x = 18
قسمة 2 على كلا الجانبين ، نحصل ،

x = 9
منذ ذلك الحين ، الرقم الأول = 5x = 5 × 9 = 45
الرقم الثاني = 3x = 3 × 9 = 27
لذلك ، فإن الأعداد هي 45 و 27.

س 6: ثلاثة أعداد صحيحة متتالية تضيف ما يصل إلى 51. ما هي هذه الأعداد الصحيحة؟
سول. دع الأعداد الصحيحة الثلاثة تكون متتالية x, x + 1 و x + 2.
معطى، x + x + 1 + x + 2 = 51
3x + 3 = 51
نقل 3 من LHS إلى RHS ، نحصل على ،
3x = 51 – 3
3x = 48
قسمة 3 على كلا الجانبين ، نحصل ،

x = 16
لذلك، x + 1 = 17 و x + 2 = 18.
ومن ثم ، فإن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية هي 16 و 17 و 18.

س 7: مجموع ثلاث مضاعفات متتالية للعدد 8 هو 888. أوجد المضاعفات.
سول. اجعل المضاعفات الثلاثة المتتالية للعدد 8 هي 8 أ ، و 8 (أ + 1) و 8 (أ + 2).
معطى 8 أ + 8 (أ + 1) + 8 (أ + 2) = 888
8 (أ + أ + 1 + أ + 2) = 888
8 (3 أ + 3) = 888
نقسم على 8 على كلا الجانبين ، نحصل على

3 أ + 3 = 111
نقل 3 من LHS إلى RHS ، نحصل على ،
3 أ = 111 - 3
3 أ = 108
قسمة 3 على كلا الجانبين ، نحصل ،

أ = 36
لذلك ، 8 أ = 8 × 36 = 288
8 (أ + 1) = 8 (36 + 1) = 8 × 37 = 296
8 (أ + 2) = 8 (36 + 2) = 8 × 38 = 304
وبالتالي ، فإن الأرقام المطلوبة هي 288 و 296 و 304.

س 8: ثلاثة أعداد صحيحة متتالية هي بحيث عندما تؤخذ بترتيب تصاعدي وتضرب في 2 و 3 و 4 على التوالي ، فإنها تضيف ما يصل إلى 74. أوجد هذه الأرقام.
سول. دع الأعداد الصحيحة الثلاثة المتتالية هي a و a + 1 و a + 2.
معطى 2 أ + 3 (أ + 1) + 4 (أ + 2) = 74
2 أ + 3 أ + 3 + 4 أ + 8 = 74
9 أ + 11 = 74
نقل 11 من LHS إلى RHS ، نحصل على ،
9 أ = 74-11
9 أ = 63
قسمة 9 على كلا الجانبين ، نحصل على

أ = 7
إذن ، أ + 1 = 7 + 1 = 8 ، أ + 2 = 7 + 2 = 9
لذلك ، فإن الأرقام المطلوبة هي 7 و 8 و 9.

س 9: أعمار راهول وهارون في النسبة 5: 7. بعد أربع سنوات سيكون مجموع أعمارهم 56 سنة. ما هي عصورهم الحالية؟
سول. ليكن عمر راهول 5x ويكون عمر هارون 7 سنواتx.
بعد 4 سنوات ، سيكون عمر راهول (5x + 4) وهارون سيكون (7x + 4)
معطى ، (5x + 4) + (7x + 4) = 56
12x + 8 = 56
نقل 8 من LHS إلى RHS ، نحصل على ،
12x = 56 – 8
12x = 48
بالقسمة على 12 على كلا الجانبين ، نحصل على

x = 4
لذلك ، عمر راهول = 5x = 5 × 4 = 20 سنة
عمر هارون = 7x = 7 × 4 = 28 سنة

س 10: عدد الأولاد والبنات في الفصل بنسبة 7: 5. عدد الأولاد 8 أكثر من عدد الفتيات. ما هي القوة الكلية للفصل؟
سول. دع عدد الأولاد يكون 7x وعدد الفتيات 5x.
معطى ، 7x – 8 = 5x
التحويل 7x من LHS إلى RHS ، نحصل على
- 8 = 5x – 7x
- 8 = – 2x
8 = 2x
قسمة كلا الجانبين على 2 ، نحصل على ،

4 = x
x = 4
لذلك ، عدد الأولاد = 7x = 7 × 4 = 28
عدد الأولاد = 5x = 5 × 4 = 20
وبالتالي ، إجمالي قوة الفصل = 28 + 20 = 48 طالبًا.

س .11 أن والد بايشونج أصغر من جد بايشونج بـ 26 عامًا وأكبر من بايشونج بـ 29 عامًا. مجموع أعمار الثلاثة هو 135 سنة. ما هو عمر كل منهم؟
سول. دع عمر والد Baichung يكون سنوات.
وبالتالي ، سيكون عمر والد بايشونغ وجده (أ - 29) و (أ + 26) على التوالي.
معطى ، أ + (أ - 29) + (أ + 26) = 135
3 أ - 3 = 135
نقل 3 من LHS إلى RHS ، نحصل على ،
3 أ = 135 + 3
3 أ = 138
قسمة 3 على كلا الجانبين ، نحصل ،

أ = 46
وبالتالي ، فإن عمر والد Baichung = سنة = 46 سنة
Age of Baichung = (a – 29) = (46 – 29) = 17 years
Age of Baichung’s Grandfather = (a + 26) = (46 + 26) = 72 years.

Q.13 A rational number is such that when you multiply it by and add to the product, you get . What is the number?
سول. Let the number be a.
معطى،
Transposing from LHS to RHS, we get,



Multiplying by on both the sides, we get,


Thus, the required rational number is .

Q.14 Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations Rs 100, Rs 50 and Rs 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is Rs 4,00,000. How many notes of each denomination does she have?
سول. Let the number of Rs 100 notes, Rs 50 notes and Rs 10 notes be 2x, 3x, and 5x respectively.
Therefore, amount of Rs 100 notes = Rs (100 × 2x) = Rs 200x
Amount of Rs 100 notes = Rs (50 × 3x) = Rs 150x
Amount of Rs 100 notes = Rs (10 × 5x) = Rs 50x
Given, 200x + 150x + 50x = 400000
400x = 400000
Dividing by 400 on both the sides, we get,
x = 1000
Thus, number of Rs 100 notes = 2x = 2 × 1000 = 2000
Number of Rs 50 notes = 3x = 3 × 1000 = 3000
Number of Rs 10 notes = 5x = 5 × 1000 = 5000

Q.15 I have a total of Rs 300 in coins of denomination Re 1, Rs 2 and Rs 5. The number of Rs 2 coins is 3 times the number of Rs 5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?
سول. Let the number of Rs 5 coins be a.
Number of Rs 2 coins = 3 x number of Rs 5 coins = 3a
Number of Rs 1 coins = 160 – (number of coins of Rs 5 and of Rs 2) = 160 – (3a + a) = 160 – 4a.
Now, amount of Rs 1 coins = Rs [1 x (160 – 4a)] = Rs (160 – 4a)
Amount of Rs 2 coins = Rs (2 x 3a) = Rs 6a
Amount of Rs 5 coins = Rs (5 x a) = Rs 5a
Given, 160 – 4a + 6a + 5a = 300
160 + 7a = 300
Transposing 160 from LHS to RHS, we get,
7a = 300 – 160
7a = 140
Dividing by 7 on both the sides, we get,

a = 20
Thus, number of Rs 5 coins = a = 20
Number of Rs 2 coins = 3a = 3 x 20 = 60
Number of Rs 1 coins = 160 – 4a = 160 - 4 x 20 = 160 – 80 = 80

Q.16 The organisers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of Rs 100 and a participant who does not win gets a prize of Rs 25. The total prize money distributed is Rs 3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
سول. Let the number of winners be y.
Hence, the number of participants who did not win will be 63 – y.
Amount given to the winners = Rs (100 x y) = Rs 100y
Amount given to the participants who did not win = Rs [25 (63 – y)] = Rs (1575 – 25y)
Given, 100y + 1575 – 25y = 3000
Transposing 1575 from LHS to RHS, we get,
75y = 3000 – 1575
75y = 1425
Dividing by 75 on both the sides, we get,

y = 19.
Thus, number of winners are 19.


المعادلات الخطية في متغير واحد

Caroline is a full-time college student planning a spring break vacation. To earn enough money for the trip, she has taken a part-time job at the local bank that pays $15.00/hr, and she opened a savings account with an initial deposit of $400 on January 15. She arranged for direct deposit of her payroll checks. If spring break begins March 20 and the trip will cost approximately $2,500, how many hours will she have to work to earn enough to pay for her vacation? If she can only work 4 hours per day, how many days per week will she have to work? How many weeks will it take? In this section, we will investigate problems like this and others, which generate graphs like the line in [link].

Solving Linear Equations in One Variable

أ معادلة خط مستقيم هي معادلة خط مستقيم ، مكتوبة في متغير واحد. The only power of the variable is 1. Linear equations in one variable may take the form a x + b = 0

and are solved using basic algebraic operations.

نبدأ بتصنيف المعادلات الخطية في متغير واحد كواحد من ثلاثة أنواع: المطابقة أو الشرطية أو غير المتسقة. ان معادلة الهوية هذا صحيح لجميع قيم المتغير. هنا مثال على معادلة الهوية.

ال مجموعة الحل يتكون من جميع القيم التي تجعل المعادلة صحيحة. For this equation, the solution set is all real numbers because any real number substituted for x

will make the equation true.

أ معادلة شرطية هذا صحيح لبعض قيم المتغير فقط. For example, if we are to solve the equation 5 x + 2 = 3 x − 6 ,

The solution set consists of one number: < − 4 >.

إنه الحل الوحيد ، وبالتالي ، فقد حللنا معادلة شرطية.

ان معادلة غير متناسقة ينتج عنه بيان خاطئ. For example, if we are to solve 5 x − 15 = 5 ( x − 4 ) ,

لا يوجد حل لأن هذه معادلة غير متسقة.

يتضمن حل المعادلات الخطية في متغير واحد الخصائص الأساسية للمساواة والعمليات الجبرية الأساسية. فيما يلي استعراض موجز لهذه العمليات.

يمكن كتابة معادلة خطية في متغير واحد بالصيغة

أين أ و ب are real numbers, a ≠ 0.

Given a linear equation in one variable, use algebra to solve it.

The following steps are used to manipulate an equation and isolate the unknown variable, so that the last line reads x = \_\_\_\_\_\_\_\_\_,

إذا x هو المجهول. لا يوجد ترتيب محدد ، حيث تعتمد الخطوات المستخدمة على ما يتم تقديمه:

  1. يمكننا جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة معادلة على رقم أو تعبير طالما أننا نفعل الشيء نفسه لكلا طرفي علامة التساوي. لاحظ أنه لا يمكننا القسمة على صفر.
  2. Apply the distributive property as needed: a ( b + c ) = a b + a c .
  3. افصل المتغير في أحد طرفي المعادلة.
  4. عندما يتم ضرب المتغير بمعامل في المرحلة النهائية ، اضرب طرفي المعادلة في مقلوب المعامل.

Solve the following equation: 2 x + 7 = 19.

This equation can be written in the form a x + b = 0

from both sides. ومع ذلك ، يمكننا المضي قدمًا في حل المعادلة في شكلها الأصلي عن طريق إجراء عمليات جبرية.

Solve the linear equation in one variable: 2 x + 1 = −9.

Solve the following equation: 4 ( x −3 ) + 12 = 15 −5 ( x + 6 ) .

تطبيق الخصائص الجبرية القياسية.

This problem requires the distributive property to be applied twice, and then the properties of algebra are used to reach the final line, x = − 5 3 .

Solve the equation in one variable: −2 ( 3 x − 1 ) + x = 14 − x .

Solving a Rational Equation

In this section, we look at rational equations that, after some manipulation, result in a linear equation. If an equation contains at least one rational expression, it is a considered a rational equation.

Recall that a rational number is the ratio of two numbers, such as 2 3

أ rational expression is the ratio, or quotient, of two polynomials. Here are three examples.

Rational equations have a variable in the denominator in at least one of the terms. Our goal is to perform algebraic operations so that the variables appear in the numerator. In fact, we will eliminate all denominators by multiplying both sides of the equation by the least common denominator (LCD).

Finding the LCD is identifying an expression that contains the highest power of all of the factors in all of the denominators. We do this because when the equation is multiplied by the LCD, the common factors in the LCD and in each denominator will equal one and will cancel out.

Solve the rational equation: 7 2 x − 5 3 x = 22 3 .

We have three denominators 2 x , 3 x ,

and 3. The LCD must contain 2 x , 3 x ,

contains all three denominators. In other words, each denominator can be divided evenly into the LCD. Next, multiply both sides of the equation by the LCD 6 x .

A common mistake made when solving rational equations involves finding the LCD when one of the denominators is a binomial—two terms added or subtracted—such as ( x + 1 ) .

Always consider a binomial as an individual factor—the terms cannot be separated. For example, suppose a problem has three terms and the denominators are x ,

First, factor all denominators. We then have x ,

as the denominators. (Note the parentheses placed around the second denominator.) Only the last two denominators have a common factor of ( x − 1 ) .

in the first denominator is separate from the x

denominators. An effective way to remember this is to write factored and binomial denominators in parentheses, and consider each parentheses as a separate unit or a separate factor. The LCD in this instance is found by multiplying together the x ,

and the 3. Thus, the LCD is the following:

So, both sides of the equation would be multiplied by 3 x ( x − 1 ) .

Leave the LCD in factored form, as this makes it easier to see how each denominator in the problem cancels out.

Another example is a problem with two denominators, such as x

Once the second denominator is factored as x 2 + 2 x = x ( x + 2 ) ,

there is a common factor of x in both denominators and the LCD is x ( x + 2 ) .

Sometimes we have a rational equation in the form of a proportion that is, when one fraction equals another fraction and there are no other terms in the equation.

We can use another method of solving the equation without finding the LCD: cross-multiplication. We multiply terms by crossing over the equal sign.

Multiply a ( d )

which results in a d = b c .

Any solution that makes a denominator in the original expression equal zero must be excluded from the possibilities.

أ rational equation contains at least one rational expression where the variable appears in at least one of the denominators.

Given a rational equation, solve it.

  1. Factor all denominators in the equation.
  2. Find and exclude values that set each denominator equal to zero.
  3. Find the LCD.
  4. Multiply the whole equation by the LCD. If the LCD is correct, there will be no denominators left.
  5. Solve the remaining equation.
  6. Make sure to check solutions back in the original equations to avoid a solution producing zero in a denominator

Solve the following rational equation:

We have three denominators: x ,

No factoring is required. The product of the first two denominators is equal to the third denominator, so, the LCD is 2 x .

Only one value is excluded from a solution set, 0.

Next, multiply the whole equation (both sides of the equal sign) by 2 x .

The proposed solution is −1,

which is not an excluded value, so the solution set contains one number, x = −1 ,


Solving Linear Equations with 2 Variables – Review and Practice

A system of a linear equations have two or more equations and two variables. In a system of linear equations, each equation is a straight line and the solution will be the point where the two lines intersect.

Taking a Test? We can Help!

Linear Equations with 2 Variables – Quick Review Tutorial

If we have 2 or more linear equations with 2 or more variables, then we have a system of linear equations. Here, we will solve systems with 2 variables, given in 2 linear equations. Idea here is to express one variable using the other variable in one equation, and use it in the second equation, where we would get a linear equation with one variable. Let’s the how it works in one simple example:

From the first equation, we express y using x.

In the second equation, we write x – 3 instead of y. And there we get a linear equation with one variable x.

Now that we found x, we can use it to find y.

So, the solution of this system is (x,y) = (4,1)

Let’s solve one more system using a different method:

Notice that we have -3y in the first equation and +3y in the second. If we add these 2, we get zero, which means we lose variable y. So, we add these 2 equations and we get a linear equation with one variable.


Linear Equation in One Variable

Statements 1 and 2 are true for all permissible values of 4 . Such statements are called identities. Note that it is not permissible to assign the value 0 to x in statement 2 .

Statements 3 and 4 are true for some but not all values of x . Statement 3 is true only if is 8 . Statement 4 is true only if x is -3 or 6 . Such statements are called equations.

Statements 5 and 6 are not true for any value of x and are called false statements.

DEFINITION The set of all numbers that satisfy an equation is called the solution set of the equation. The elements in the solution set are called the roots of the equation

To check whether a value of the variable is a root of the equation, substitute the value for the variable in the equation to see if the value of the right side of the equation is equal to the value of the left side of the equation.

DEFINITION An equation is said to be linear if the variables in the equation all have exponents of 1 and if no term of the equation has more than one variable as a factor.

The equation x+y-z = 1 is a linear equation in x,y , and z .

The equation x^2+x-6 is not a linear equation.

The equation 1x+xy = 9 is not a linear equation in x and y .

This chapter deals with linear equations in one variable

Equivalent equations

DEFINITION Two equations are said to be ما يعادل if they have the same solution set.

The equations 5x + 7 = 2 and x = -1 are equivalent. The two equations have the same solution set, <-1>.

The solution sets of some equations are obvious by inspection. The solution set of the equation x + 4 = 10 is <6>, since 6 is the only number that, when added to 4 , equals 10. The solution set of the equation 5x - 2 = 3(x + 4) is not so obvious.

To solve an equation, that is, to find its solution set, two theorems can be applied to get an equivalent equation whose solution is obvious.

THEOREM 1 lf P, Q , and T are polynomials in the same variable and P = Q is an equation, then P - Q and P + T = Q + T are equivalent.

Theorem 1 states that, given an equation P = Q , we can add any polynomial T in the same variable as P and Q to both sides of the equation, thus obtaining an equivalent equation P + T = Q + T .

The two equations 4x -1 = 3x +5 and 4x - 1 + (1 - 3x) = 3x + 5 + (1- 3x) , which simplifies to x = 6 , are equivalent. Their solution set is <6>.

THEOREM 2

The two equations x = 2 and 5(x) = 5(2) , that is, 5x = 10 , are equivalent. Their solution set is <2>.

When both sides of an equation are multiplied by a constant different from zero, the resulting equation is equivalent to the original equation. However, when both sides of an equation are multiplied by an expression involving the variable, the resulting equation may not be equivalent to the original equation.

The two equations 2x = 8 and x(2x) = x(8) , that is, 2x^2 = 8x , are not equivalent. The solution set of the equation 2x = 8 is <4>, while the solution set of the equation 2x^2 = 8x is <0,4>.

The two equations x = 3 and x(x+2) = 3(x+2) are not equivalent. The solution set of x = 3 is <3>, while the solution set of x(x+2) = 3(x+2) is <-2,3>.

Similarly, if we raise both sides of an equation lo any power, different from zero or one, the resulting equation may not be equivalent to the original equation.

The two equations x = 5 and (x)^2 = (5)^2 , that is, x^2 = 25 , are not equivalent. The solution set of x = 5 is <5>, while the solution set of x^2 = 25 is <-5,5>.

ملحوظة The solution set of a linear equation in one variable has exactly one element.

Solving Equations

Given a linear equation in one variable, we may use one or both of the previous two theorems to form an equivalent equation of the form 1x = a , whose solution set is .

When the coefficient of the variable in the equation is not 1, as in b/c x = d , an equivalent equation of the form 1x = a can be obtained by multiplying both sides of the equation by the multiplicative inverse (reciprocal) of the coefficient of x in the original equation.

The multiplicative inverse of b/c is c/b , since b/c*c/b = 1 .

Thus when the coefficient of the variable is of the form b/c , multiply both sides of the equation by c/b .

EXAMPLE Find the solution set of the equation 14x = -21 .

حل The coefficient of x is 14

The multiplicative inverse of 14 is 1/14 .

Multiply both sides of the equation by 1/14 .

1/14(14x) = 1/14(-21) 1*x = -(21/14) x = -(3/2)

Let&rsquos see how our Linear equation solver solves this and similar equations. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

EXAMPLE Find the solution set of the equation x/-4 = 12 .

حل The term x/-4 = -(1/4)x .

The coefficient of x is -1/4 .

The multiplicative inverse of -(1/4) is -(4/1) .

Multiply both sides of the equation by -(4/1)

ملحوظة Since x stands for 1x , we omit the 1 .

EXAMPLE Find the solution set of the equation 5/7 x = 15

The multiplicative inverse of 5/7 is 7/5 .

Multiply both sides of the equation by 7/5 .

EXAMPLE Find the solution set of the equation 1.3x = -39 .

حل When the coefficient of the variable is in decimal form, it will be easier if it is changed to a common fraction:

Multiply both sides of the equation by 10/13

Hence x = 10/13 * -39/1 = -((10*39)/13) = -30

Let&rsquos see how our Math calculator solves this and similar equations. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

EXAMPLE Find the solution set of the equation -((7x)/8) = 35/36 .

حل The coefficient of x is -(7/8) .

The multiplicative inverse of -(7/8) is -(8/7)

Multiply both sides of the equation by -(8/7)

When the equation has more than one term containing the variable as a factor, combine the terms, utilizing the distributive law of multiplication.

EXAMPLE Find the solution set of the equation 3x+4x-2x = 8 .

When some of the terms of an equation contain fractions, to facilitate combining like terms, form an equivalent equation containing only integers. To accomplish this. multiply both sides of the equation by the, least common multiple of the denominators of the fractions.

Remember, multiplying both sides of an equation by a number different from zero results in an equivalent equation.

ملحوظة The least common multiple can be obtained as follows

1. Factor the integers into their prime factors and write the factors in the exponent form.

2. Take all the buses, each to its highest exponent.

EXAMPLE Find the LCM of 12,16,18 .

The bases are 2 and 3 . The highest exponent of 2 is 4 and that of 3 is 2 .

Hence the LCM = 2^4 * 3^2 = 16*9 = 144

EXAMPLE Find the solution set of the equation 3/4 x-1/3 x = 5

حل We first find the LCM of 4 and 3 .

Multiply both sides of the equation by 12/1 :

EXAMPLE Find the solution set of the equation

حل First find the LCM of 9,6,4 and 8 ,

Multiply both sides of the equation by 72/1 :

To check the answer, substitute -9/2 for x in each side of the original equation separately:

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Let&rsquos see how our Linear equation solver solves this and similar equations. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

EXAMPLE List the elements in the set

حل Consider the statement

Since 0x = 0 is true for any real value of x , we have

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

EXAMPLE List the elements in the set

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

حل Consider the statement

Since 0x = 4 is not true for any real value of x , we have

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Sometimes both sides of the equation contain terms that have the variable as a factor and also terms that do not have the variable as a factor. To find the solution set of the equation, form an equivalent equation that has all terms with the variable as a factor on one side of the equation. The terms not having the variable as a factor must appear on the other side.

The equivalent equation can be formed by adding the negative (additive inverse) of the terms to both sides of the equation.

Consider the equation 8x-5 = 6x+7

Add (+5) to both sides: 8x-5+5 = 6x+7+5

Add (-6x) to both sides: 8x+(-6x) = 6x+12+(-6x)

Remark It is important to realize the difference between the two equations

In 3x = 15 , the 3 is the coefficient of x thus to solve for x , multiply both sides of the equation by (1/3) .

In 3+x = 15 , the 3 is a term thus to solve for x , add (-3) to both sides of the equation.

EXAMPLE Solve the equation 2x-x-3 = 10+7x-4

حل Add (+3 -7x) to both sides of equation.

ملحوظة When the equation contains mixed numbers, change the mixed numbers to improper fractions.

EXAMPLE Solve the equation 3 1/2x -2 2/3x -7 = x/6 +1 2/3 .

حل First change the mixed numbers to improper fractions

Multiply both sides of the equation by the least common multiple of 2, 3, 6 , and 3 , which is 6 .

Add (+42-x) to both sides of equation.

Let&rsquos see how our Linear equation calculator solves this and similar equations. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.


MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2

السؤال رقم 1.
If you subtract (frac<1><2>) from a number and multiply the result by (frac<1><2>), you get (frac<1><8>).What is the number?
حل:
Let the number be x.

السؤال 2.
The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What is the length and the breadth of the pool?
حل:
Assume that the breadth of the rectangular pool be x m.
∴ Length = 2 + 2x
Perimeter of the rectangular pool = 2(Length + Breadth)
⇒ 154 = 2(2 + 2x + x)
⇒ 154 = 2(2 + 3x)
⇒ 154 = 4 + 6x
Transposing 4 to L.H.S., we get
154 – 4 = 6x ⇒ 150 = 6x
Now, dividing both sides by 6, we get

∴ The breadth of the pool is 25 m and length of the pool = (2 + 2 × 25) m = (2 + 50) m = 52 m.

السؤال 3.
The base of an isosceles triangle is (frac<4><3>) cm. The perimeter of the triangle is 4frac<2> <15>cm. What is the length of either of the remaining equal sides?
حل:
The base of an isosceles triangle = (frac<4><3>) cm
Let x cm be the length of both of the remaining equal sides of the isosceles triangle.
Perimeter of the isosceles ∆ABC = AB + BC + CA

Transposing (frac<4><3>) to L.H.S., we get

∴ The length of either of the remaining equal sides is 1(frac<2><5>) cm.

السؤال 4.
Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.
حل:
Let one number be x and other number is 15 + x.
Now, x + 15 + x = 95 ⇒ 2x + 15 = 95
Transposing 15 to R.H.S., we get
2x = 95 – 15 ⇒ 2x = 80
Now, dividing both sides by 2, we get

∴ One number is 40 and other number is 15 + 40 = 55.

السؤال 5.
Two numbers are in the ratio 5 : 3. If they differ by 18, what are the numbers?
حل:
Since, two numbers are in the ratio 5 : 3.
Let the two numbers be 5x and 3x.
Now, 5x – 3x = 18 ⇒ 2x = 18
Dividing both sides by 2, we get

⇒ x = 9
∴ The required numbers are 5x = 5 × 9 = 45 and 3x = 3 × 9 = 27.

السؤال 6.
Three consecutive integers add up to 51. What are these integers?
حل:
Let three consecutive integers be x, (x + 1) and (x + 2).
Now, x+x + 1+ x + 2 = 51 ⇒ 3x + 3 = 51
Transposing 3 to R.H.S., we get
3x = 51 – 3
⇒ 3x = 48
Dividing both sides by 3, we get

Thus, the required three consecutive integers are 16,17 and 18.

السؤال 7.
The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.
حل:
Let the three consecutive multiples of 8 be 8x, 8(x + 1) and 8(x + 2).
Now, 8x + 8x + 8 + 8x + 16 = 888
⇒ 24x + 24 = 888
Transposing 24 to R.H.S., we get
24x = 888 – 24 ⇒ 24x = 864
Dividing both sides by 24, we get

Thus, the required three consecutive multiples of 8 are 8 × 36 = 288, 8 × 37 = 296 and 8 × 38 = 304.

السؤال 8.
Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.
حل:
Let three consecutive integers be x, (x + 1) and (x + 2).
When they are multiplied by 2, 3 and 4, we get 2x, 3(x +1) and 4(x + 2) i.e., 2x, (3x + 3) and (4x + 8) respectively.
Now, 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74 × 9x + 11 = 74
Transposing 11 to R.H.S., we get
9x = 74 – 11 ⇒ 9x = 63
Now, dividing both sides by 9, we get

Thus, the required three consecutive integers are 7, 8 and 9.

السؤال 9.
The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5 : 7. Four years later the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages?
حل:
Since, the ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5 : 7.
Let Rahul’s present age be 5x years and Haroon’s present age be 7x years.
After 4 years, we have
Rahul’s age = 5x + 4 and Haroon’s age = 7x + 4
Now, 5x + 4 + 7x + 4 = 56 ⇒ 12x + 8 = 56
Transposing 8 to R.H.S., we get
12x = 56 – 8 ⇒ 12x = 48
Now, dividing both sides by 12, we get

Thus, Rahul’s present age = 5 × 4 = 20 years and Haroon’s present age = 7 × 4 = 28 years

السؤال 10.
The number of boys and girls in a class are in the ratio 7 : 5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength?
حل:
We know that the number of boys and girls are in ratio 7 : 5.
Let the number of boys be 7x and the number of girls be 5x.
Now, 7x = 5x + 8
Transposing 5x to L.H.S., we get
7x – 5x = 8 ⇒ 2x = 8
Dividing both sides by 2, we get

Thus, the required number of boys = 7 × 4 = 28 and the required number of girls = 5 × 4 = 20
Hence, total number of students = 28 + 20 = 48

السؤال 11.
Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?
حل:
Let Baichung’s grandfather’s age be x years.
∴ Baichung’s father’s age = (x – 26) years
Baichung’s age = [(x – 26) – 29] years = (x – 55) years
Since, sum of the ages of all the three is 135 years. So, x + x – 26 + x – 55 = 135
⇒ 3x – 81 = 135
Transposing – 81 to R.H.S., we get
3x = 135 + 81 ⇒ 3x = 216
Dividing both sides by 3, we get

Thus, Baichung’s grandfather’s age = 72 years
Baichung’s father’s age = (72 – 26) years = 46 years
Baichung’s age = (72 – 55) years = 17 years

السؤال 12.
Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?
حل:
Let the present age of Ravi be x years.
After 15 years, Ravi’s age = (15 + x) years
Now, 15 + x = 4x
Transposing x to R.H.S., we get
15 = 4x – x
⇒ 15 = 3x
Dividing both sides by 3, we get

Thus, the present age of Ravi is 5 years.

السؤال 13.
A rational number is such that when you multiply it by (frac<5><2>) and add (frac<2><3>) to the product, you get (-frac<7><12>).What is the number?
حل:

السؤال 14.
Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹ 100, ₹ 50 and ₹ 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2 : 3 : 5. The total cash with Lakshmi is ₹ 4,00,000. How many notes of each denomination does she have?
حل:
Let the number of notes of ₹ 100, ₹ 50 and ₹ 10 be 2x, 3x and 5x, respectively.
∴ The amount Lakshmi has from ₹ 100 notes : ₹ (2x × 100) = ₹ 200x from ₹ 50 notes : ₹ (3x × 50) = ₹ 150x from ₹ 10 notes : ₹ (5x × 10) = ₹ 50x Now, 200x + 150x + 50x = 4,00,000
⇒ 400x = 4,00,000 ⇒ x = 1000
∴ Number of notes of ₹ 100 = 2x
= 2 × 1000 = 2000
Number of notes of ₹ 50 = 3x = 3 × 1000 = 3000
and number of notes of ₹ 10 = 5x = 5 × 1000
= 5000

السؤال 15.
I have a total of ₹ 300 in coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5. The number of ₹ 2 coins is 3 times the number of ₹ 5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?
حل:
Let the number of ₹ 5 coins be x.
Number of ₹ 2 coins = 3x and number of ₹ 1 coins = 160 – x – 3x
The total amount
from ₹ 5 coins : ₹ 5 × x = × 5x
from ₹ 2 coins : ₹ 2 × 3x = ₹ 6x
and from ₹ 1 coins : ₹ 1[160 – x – 3x]
= ₹ [160 – 4x]
Now, 5x + 6x + 160 – 4x = 300
⇒ 7x + 160 = 300
Transposing 160 to R.H.S., we get
7x = 300 – 160
⇒ 7x = 140
Dividing both sides by 7, we get

⇒ x = 20
The number of ₹ 1 coins = 160 – 20 – 3 × 20 = 160 – 20 – 60 = 80
Number of ₹ 2 coins = 3 × 20 = 60
Number of ₹ 5 coins = 20

السؤال 16.
The organisers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹ 100 and a participant who does not win gets a prize of ₹ 25. The total prize money distributed is ₹ 3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
حل:
Let the number of winners be x.
Then, the number of losers will be 63 – x.
Since, the winner gets a prize of ₹ 100 and a loser gets a prize of ₹ 25.
Amount got by winners = ₹ 100x
And amount got by losers = ₹ (63 – x) × 25 But total prize money is ₹ 3000.
Therefore, 100x + (63 – x) × 25 = 3000
⇒ 100x + 63 × 25 – 25x = 3000
⇒ 75x + 1575 = 3000

So, the number of winners is 19.


NCERT solutions for Class 8 Maths chapter 2 (Linear Equations in One Variable) include all questions with solution and detail explanation. سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. Shaalaa.com has the CBSE Class 8 Maths solutions in a manner that help students grasp basic concepts better and faster.

علاوة على ذلك ، نحن في Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية NCERT textbook solutions can be a core help for self-study and acts as a perfect self-help guidance for students.

Concepts covered in Class 8 Maths chapter 2 Linear Equations in One Variable are Reducing Equations to Simpler Form, Equations Reducible to the Linear Form, Solving Equations Which Have Linear Expressions on One Side and Numbers on the Other Side, Some Applications Solving Equations Which Have Linear Expressions on One Side and Numbers on the Other Side, Linear Equation in One Variable, Solving Equations Having the Variable on Both Sides, Some More Applications on the Basis of Solving Equations Having the Variable on Both Sides, The Idea of a Variable, Expressions with Variables, Concept of Equation, The Solution of an Equation, Balancing an Equation.

Using NCERT Class 8 solutions Linear Equations in One Variable exercise by students are an easy way to prepare for the exams, as they involve solutions arranged chapter-wise also page wise. The questions involved in NCERT Solutions are important questions that can be asked in the final exam. Maximum students of CBSE Class 8 prefer NCERT Textbook Solutions to score more in exam.


شاهد الفيديو: نظام المعادلات الخطية من ثلاثة متغيرات 1. الرياضيات. نظام المعادلات (شهر اكتوبر 2021).