مقالات

4.2: وظائف خطية - رياضيات


تخيل وضع نبات في الأرض ذات يوم ووجد أنه قد تضاعف ارتفاعه بعد أيام قليلة فقط. على الرغم من أنه قد يبدو أمرًا لا يصدق ، إلا أنه يمكن أن يحدث مع أنواع معينة من أنواع الخيزران. هؤلاء أعضاء عائلة العشب هم النباتات الأسرع نموًا في العالم. لوحظ أن نوعًا واحدًا من الخيزران ينمو حوالي 1.5 بوصة كل ساعة .1 في فترة أربع وعشرين ساعة ، ينمو نبات الخيزران هذا حوالي 36 بوصة ، أو 3 أقدام لا تصدق! معدل التغيير الثابت ، مثل دورة نمو نبات الخيزران هذا ، هو دالة خطية.


الشكل ( PageIndex {1} ): غابة من الخيزران في الصين (من: "JFXie" / Flickr)

تذكر من الدالات وترميز الوظيفة أن الوظيفة هي علاقة تعين لكل عنصر في المجال عنصرًا واحدًا بالضبط في النطاق. الوظائف الخطية هي نوع محدد من الوظائف التي يمكن استخدامها لنمذجة العديد من تطبيقات العالم الحقيقي ، مثل نمو النبات بمرور الوقت. في هذا الفصل ، سوف نستكشف الدوال الخطية والرسوم البيانية وكيفية ربطها بالبيانات.

1 www.guinnessworldrecords.com/...growing-plant/


المعادلات الخطية في متغيرين: التمرين 4.2 (الرياضيات NCERT Class 9th)

المعادلة المعطاة هي y = 3 x + 5
بالنسبة إلى y = 0 ، 3x + 5 = 0
لذلك هو أحد الحلول.
بالنسبة إلى x = 0 ، y = 0 + 5 = 5
لذلك ، (0 ، 5) حل آخر.
بالنسبة إلى x = 1 ، y = 3 × 1 + 5 = 8
لذلك (1 ، 8) حل آخر.
من الواضح أنه بالنسبة لقيم x المختلفة ، نحصل على قيمة أخرى لـ y. وبالتالي ، فإن القيمة المختارة لـ x مع
تشكل قيمة y هذه حلاً آخر للمعادلة المعطاة. لذلك ، ليس هناك نهاية للاختلاف
حلول معادلة خطية في متغيرين.
لذلك ، فإن المعادلة الخطية في متغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول.

س 2: اكتب أربعة حلول لكل من المعادلات التالية:
(ط) 2 س + ص = 7
(ثانيا)
(ثالثا) س = 4 ص

سول.

(ط) يمكن كتابة المعادلة المعطاة كـ y = 7 - 2x.
بالنسبة إلى x = 0 ، y = 7-2 × 0 = 7-0 = 7
بالنسبة إلى x = 1 ، y = 7-2 × 1 = 7-2 = 5
بالنسبة إلى x = 2 ، y = 7-2 × 2 = 7-4 = 3
بالنسبة إلى x = 3 ، y = 7-2 × 3 = 7-6 = 1
إذن ، الحلول الأربعة للمعادلة المعطاة هي (0 ، 7) ، (1 ، 5) ، (2 ، 3) و (3 ، 1).
(2) يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي
بالنسبة إلى x = 0 ، y = 9-0 = 9
بالنسبة إلى x = 1 ،
بالنسبة إلى x = 2 ،
بالنسبة إلى x = 3 ،
لذلك فإن الحلول الأربعة للمعادلة المعطاة هي (0 ، 9) ،
(1،9) ، (2،9) و (3 ، 9)
(3) يمكن كتابة المعادلة المعطاة كـ x = 4y
بالنسبة إلى x = 0 ، y = 0
بالنسبة إلى x = 1
بالنسبة إلى x = 2
بالنسبة إلى x = 3
إذن ، الحلول الأربعة للمعادلة الآتية هي

س 3: تحقق من الحلول التالية للمعادلة x - 2y = 4 وأيها ليست كذلك:
(i) (0، 2) (ii) (2، 0) (iii) (4، 0) (4) (ت) (1 ، 1)
سول.

(ط) وضع x = 0 ، y = 2 في L.H.S. من x - 2y = 4 ، لدينا
ل. = 0-2 × 2 = - 4 ر.
إذن ، x = 0 ، y = 2 ليس الحل.
(2) وضع x = 2 ، y = 0 في L.H.S. من x - 2y = 4 ، لدينا
ل. = 2-2 × 0 = 2-0 = 2 R.H.S
إذن ، x = 2 ، y = 0 ليس الحل.
(3) وضع x = 4 ، y = 0 في L.H.S. من x - 2y = 4 ، لدينا
ل. = 4-0 = 4 = R.H.S
إذن ، x = 4 ، y = 0 هو الحل.
(4) وضع L.H.S من x - 2y = 4 ، لدينا
ل.
ر.
لذلك ليس حلها.
(ت) وضع x = 1 ، y = 1 في L.H.S. من x - 2y = 4 ، لدينا
ل. = 1 - 2 × 1 = 1-2 = - 1 ر.
إذن ، x = 1 ، y = 1 ليس الحل.

Q.4 أوجد قيمة k إذا كانت x = 2 ، y = 1 حل للمعادلة 2x + 3y = k.
سول.

إذا كانت x = 2 ، y = 1 هي حل للمعادلة 2x + 3y = k ، فإن هذه القيم سوف تفي بالمعادلة.
لذلك 2 × 2 + 3 × 1 = ك ك = 4 + 3 = 7.


4.2: وظائف خطية - رياضيات

سنبدأ جزء الحل من هذا الفصل بحل المعادلات الخطية. أ معادلة خط مستقيم هي أي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة

حيث (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية و (س ) متغير. يُطلق على هذا النموذج أحيانًا اسم النموذج القياسي من معادلة خطية. لاحظ أن معظم المعادلات الخطية لن تبدأ في هذا الشكل. أيضًا ، قد يكون المتغير (x ) وقد لا يكون كذلك ، لذا لا تنغلق كثيرًا على رؤية (x ) هناك دائمًا.

لحل المعادلات الخطية ، سنستخدم الحقائق التالية بكثافة.

    إذا (أ = ب ) ثم (أ + ج = ب + ج ) لأي (ج ). كل ما يقوله هذا هو أنه يمكننا إضافة عدد ، (ج ) ، إلى طرفي المعادلة وعدم تغيير المعادلة.

تشكل هذه الحقائق أساس جميع تقنيات الحل تقريبًا التي سننظر إليها في هذا الفصل ، لذا من المهم جدًا أن تعرفها ولا تنساها. طريقة واحدة للتفكير في هذه القواعد هي ما يلي. ما نفعله في أحد طرفي المعادلة علينا أن نفعله بالطرف الآخر من المعادلة. إذا كنت تتذكر أنك ستحصل دائمًا على هذه الحقائق صحيحة.

في هذا القسم سنحل المعادلات الخطية وهناك عملية بسيطة لطيفة لحل المعادلات الخطية. دعونا أولاً نلخص العملية وبعد ذلك سنعمل على بعض الأمثلة.

عملية حل المعادلات الخطية

  1. إذا كانت المعادلة تحتوي على أي كسور ، فاستخدم المقام المشترك الأصغر لمسح الكسور. سنفعل ذلك بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

أيضًا ، إذا كانت هناك متغيرات في مقامات الكسور ، فحدد قيم المتغير التي ستعطي قسمة على صفر لأننا سنحتاج إلى تجنب هذه القيم في حلنا.

لاحظ أننا عادةً ما نقسم طرفي المعادلة على المعامل إذا كان عددًا صحيحًا أو نضرب طرفي المعادلة بمقلوب المعامل إذا كان كسرًا.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

  1. (3 اليسار ( يمين) = 2 يسار (<- 6 - س> يمين) - 2x )
  2. (displaystyle frac <> <3> + 1 = frac <<2m>> <7> )
  3. ( displaystyle frac <5> << 2y - 6 >> = frac << 10 - y >> <<- 6 سنوات + 9 >> )
  4. (displaystyle frac <<2z>> <> = فارك <3> <> + 2)

بالنسبة لهذه المشكلة ، لا توجد كسور ، لذا لا داعي للقلق بشأن الخطوة الأولى في العملية. تشير الخطوة التالية إلى تبسيط كلا الطرفين. إذن ، سنزيل أي قوس بضرب الأعداد فيه ثم دمج الحدود المتشابهة.

[يبدأ3 اليسار ( right) & = 2 left (<- 6 - x> right) - 2x 3x + 15 & = - 12-2x - 2x 3x + 15 & = - 12 - 4x end]

الخطوة التالية هي الحصول على كل (س ) في جانب واحد وجميع الأرقام على الجانب الآخر. أي جانب من جوانب (x ) متروك لك وربما يختلف باختلاف المشكلة. كقاعدة عامة ، سنضع المتغيرات في الجانب الذي سيعطي معاملًا إيجابيًا. يتم ذلك ببساطة لأنه غالبًا ما يكون من السهل فقدان مسار علامة الطرح على المعامل ، وبالتالي إذا تأكدنا من أنها إيجابية ، فلن نحتاج إلى القلق بشأنه.

إذن ، في حالتنا هذا يعني إضافة 4 (س ) لكلا الطرفين وطرح 15 من كلا الطرفين. لاحظ أيضًا أنه بينما سنضع هذه العمليات فعليًا في هذا الوقت ، فإننا عادةً ما نقوم بهذه العمليات في رؤوسنا.

تنص الخطوة التالية على الحصول على معامل 1 أمام (x ). في هذه الحالة ، يمكننا فعل ذلك بقسمة كلا الطرفين على 7.

الآن ، إذا كنا قد انتهينا من جميع أعمالنا بشكل صحيح ، فإن (x = - frac <<27>> <7> ) هو حل المعادلة.

الخطوة الأخيرة والأخيرة هي التحقق من الحل. كما هو موضح في مخطط العملية ، نحتاج إلى التحقق من الحل في أصلي معادلة. هذا مهم ، لأننا ربما ارتكبنا خطأ في الخطوة الأولى وإذا فعلنا ذلك ثم تحققنا من الإجابة في النتائج من تلك الخطوة ، فقد يبدو أنه يشير إلى أن الحل صحيح عندما يكون الواقع هو أننا لا نفعل ذلك. الحصول على الإجابة الصحيحة بسبب الخطأ الذي ارتكبناه في الأصل.

تكمن المشكلة بالطبع في أنه مع هذا الحل ، قد يكون هذا الفحص فوضويًا بعض الشيء. دعونا نفعل ذلك على أي حال.

لذلك ، قمنا بعملنا بشكل صحيح وكان حل المعادلة ،

لاحظ أننا لم نستخدم تدوين مجموعة الحلول هنا. بالنسبة للحلول الفردية ، نادرًا ما نفعل ذلك في هذه الفئة. ومع ذلك ، إذا أردنا أن تكون مجموعة الحلول لهذه المشكلة ،

قبل الانتقال إلى المشكلة التالية ، دعنا أولاً نقدم تعليقًا سريعًا حول "فوضى" هذه الإجابة. لا تتوقع أن تكون جميع الإجابات أعداد صحيحة بسيطة. على الرغم من أننا نحاول أن نجعل معظم الإجابات بسيطة في كثير من الأحيان ، فلن تكون كذلك ، فلا تنشغل بفكرة أن الإجابة يجب أن تكون عددًا صحيحًا بسيطًا بحيث تفترض على الفور أنك قد ارتكبت خطأ بسبب "فوضى" الاجابة.

حسنًا ، مع هذا لن نضع الكثير من الشرح في المشكلة.

في هذه الحالة لدينا كسور ، لذا لتسهيل حياتنا سنضرب كلا الجانبين في شاشة LCD ، وهي 21 في هذه الحالة. بعد القيام بذلك ، ستكون المشكلة مشابهة جدًا للمشكلة السابقة. لاحظ أيضًا أن القواسم عبارة عن أرقام فقط ، وبالتالي لا داعي للقلق بشأن مسائل القسمة على صفر.

دعونا أولاً نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD.

[يبدأ21 يسار (< فارك <> <3> + 1> right) & = left (> <7>> right) 21 21 left (< frac <> <3>> right) + 21 left (1 right) & = left (> <7>> right) 21 7 left ( يمين) + 21 & = يسار (<2 م> يمين) يسار (3 يمين) نهاية]

احرص على توزيع الرقم 21 بشكل صحيح عبر القوس الموجود على الجانب الأيسر. يجب ضرب كل شيء بداخل الأقواس في 21 قبل التبسيط. في هذه المرحلة ، لدينا مشكلة مشابهة للمشكلة السابقة ولن نهتم بكل الشرح هذه المرة.

[يبدأ7 يسار ( يمين) + 21 & = يسار (<2 م> يمين) يسار (3 يمين) 7 م - 14 + 21 & = 6 م 7 م + 7 & = 6 م م & = - 7 نهاية]

لذا يبدو أن (م = - 7 ) هو الحل. دعونا نتحقق منها للتأكد.

[يبدأ فارك << - 7 - 2 >> <3> + 1 & mathop = limits ^؟ frac << 2 left (<- 7> right) >> <7> frac << - 9 >> <3> + 1 & mathop = limits ^؟ - frac <<14>> <7> - 3 + 1 & mathop = limits ^؟ - 2 - 2 & = - 2 hspace <0.5in> < mbox> النهاية]

هذا يشبه المتغير السابق باستثناء الآن لدينا متغيرات في المقام. لذلك ، للحصول على شاشة LCD ، سنحتاج أولاً إلى تحليل مقامات كل تعبير منطقي بشكل كامل.

لذا ، يبدو أن شاشة LCD هي (2 < left ( يمين) ^ 2> ). لاحظ أيضًا أننا سنحتاج إلى تجنب (y = 3 ) لأننا إذا عوضنا بذلك في المعادلة ، فسنحصل على القسمة على صفر.

الآن ، خارج نطاق (y ) 's في المقام ، تعمل هذه المشكلة بشكل مماثل للمشكلة السابقة ، لذا فلنقم بالعمل.

الآن الحل ليس (y = 3 ) لذلك لن نحصل على قسمة على صفر مع الحل وهو أمر جيد. أخيرًا ، دعونا نجري تحققًا سريعًا.

في هذه الحالة ، يبدو أن شاشة LCD ( left ( يمين شمال( right) ) ويبدو أيضًا أننا سنحتاج إلى تجنب (z = - 3 ) و (z = 10 ) للتأكد من أننا لا نحصل على القسمة على الصفر.

فلنبدأ العمل لحل هذه المشكلة.

[يبدأمتبقى( يمين شمال( right) left (< frac <<2z>> <>> right) & = left (< frac <3> <> + 2> يمين) يسار ( يمين شمال( يمين) 2z يسار ( يمين) & = 3 يسار ( يمين) + 2 يسار ( يمين شمال( يمين) 2 - 20 ع & = 3 ع + 9 + 2 يسار (<- 7z - 30> يمين) النهاية]

في هذه المرحلة ، دعنا نتوقف ونعترف بأننا حصلنا على ض 2 في العمل هنا. لا تتحمس لذلك. في بعض الأحيان ستظهر هذه بشكل مؤقت في هذه المشاكل. يجب أن تقلق بشأنه فقط إذا كان لا يزال موجودًا بعد الانتهاء من أعمال التبسيط.

لذا ، فلننهي المشكلة.

لاحظ أن ملف ض 2 فعل في الواقع إلغاء. الآن ، إذا قمنا بعملنا بشكل صحيح ، يجب أن يكون (z = frac <<17>> <3> ) هو الحل لأنه ليس أيًا من القيمتين اللتين ستعطيان القسمة على صفر. دعونا نتحقق من هذا.

قد يكون الفحص فوضويًا بعض الشيء في بعض الأحيان ، لكن هذا يعني أننا نعلم أن الحل صحيح.

حسنًا ، في الجزءين الأخيرين من المثال السابق ، واصلنا متابعة عملية القسمة على صفر مشاكل ومع ذلك لم نحصل على حل حيث كانت هذه مشكلة. لذا ، يجب علينا الآن حل مشكلتين من هذه المشاكل لنرى كيف تعمل.

الخطوة الأولى هي تحليل القواسم للحصول على شاشة LCD.

إذن ، شاشة LCD ( left ( يمين شمال( right) ) وسنحتاج إلى تجنب (x = - 2 ) و (x = - 3 ) حتى لا نحصل على القسمة على الصفر.

هنا العمل لهذه المشكلة.

[يبدأمتبقى( يمين شمال( right) left (< frac <2> <>> right) & = left (< frac << - x >> << left ( يمين شمال( يمين) >>> يمين) يسار ( يمين شمال( يمين) 2 يسار ( right) & = - x 2x + 6 & = - x 3x & = - 6 x & = - 2 end]

لذلك ، نحصل على "حل" موجود في قائمة الأرقام التي نحتاج إلى تجنبها حتى لا نحصل على القسمة على صفر وبالتالي لا يمكننا استخدامها كحل. ومع ذلك ، هذا أيضًا هو الحل الوحيد الممكن. هذا لا باس به. هذا يعني فقط أن هذه المعادلة لها لا حل.

شاشة LCD لهذه المعادلة هي (x + 1 ) وسنحتاج إلى تجنب (x = - 1 ) حتى لا نحصل على القسمة على الصفر. هذا هو العمل لهذه المعادلة.

[يبدأ يسار (< frac <2> <>> يمين) يسار ( right) & = left (<4 - frac <<2x>> <>> يمين) يسار ( يمين) 2 & = 4 يسار ( يمين) - 2x 2 & = 4x + 4-2x 2 & = 2x + 4 - 2 & = 2x - 1 & = x end]

لذا ، نصل مرة أخرى إلى القيمة المفردة لـ (x ) التي يتعين علينا تجنبها حتى لا نحصل على القسمة على الصفر. لذلك ، هذه المعادلة لها لا حل.

لذا ، كما رأينا ، نحتاج إلى توخي الحذر في مسألة القسمة على صفر عندما نبدأ بالمعادلات التي تحتوي على تعبيرات عقلانية.

في هذه المرحلة ، ربما يجب أن نعترف أيضًا بأنه بشرط ألا يكون لدينا أي قسمة على صفر مسائل (مثل تلك الموجودة في المجموعة الأخيرة من الأمثلة) ، فإن المعادلات الخطية سيكون لها حل واحد بالضبط. لن نحصل أبدًا على أكثر من حل واحد والمرة الوحيدة التي لن نحصل فيها على أي حلول هي إذا مررنا عبر قسمة من دون مشاكل مع "الحل".

قبل مغادرة هذا القسم ، يجب أن نلاحظ أن العديد من تقنيات حل المعادلات الخطية ستظهر مرارًا وتكرارًا لأننا نغطي أنواعًا مختلفة من المعادلات ، لذلك من المهم جدًا أن تفهم هذه العملية.


صيغة المعادلة الخطية

تعتمد صيغة المعادلة الخطية على حالة بحالة وعلى أساس عدد المتغيرات والمتغيرات المستخدمة نفسها. أولاً ، يجب أن تكون المتغيرات مستقلة عن بعضها البعض. افترض أن لديك x كمتغير ، فلا يمكنك الاحتفاظ بـ x 2 كمتغير آخر. ثانيًا ، يجب أن تكون أعلى درجة (والوحيدة) لجميع المتغيرات في المعادلة 1. بخلاف ذلك ، يمكن أن توجد الثوابت (متغيرات الدرجة الصفرية). دعونا نلقي نظرة على الصيغة القياسية للمعادلة الخطية مع المتغيرين x و y:


4.2: وظائف خطية - رياضيات

سنبدأ جزء الحل من هذا الفصل بحل المعادلات الخطية. أ معادلة خط مستقيم هي أي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة

حيث (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية و (س ) متغير. يُطلق على هذا النموذج أحيانًا اسم النموذج القياسي من معادلة خطية. لاحظ أن معظم المعادلات الخطية لن تبدأ في هذا الشكل. أيضًا ، قد يكون المتغير (x ) وقد لا يكون كذلك ، لذا لا تنغلق كثيرًا على رؤية (x ) هناك دائمًا.

لحل المعادلات الخطية ، سنستخدم الحقائق التالية بكثافة.

    إذا (أ = ب ) ثم (أ + ج = ب + ج ) لأي (ج ). كل ما يقوله هذا هو أنه يمكننا إضافة عدد ، (ج ) ، إلى طرفي المعادلة وعدم تغيير المعادلة.

تشكل هذه الحقائق أساس جميع تقنيات الحل تقريبًا التي سننظر إليها في هذا الفصل ، لذا من المهم جدًا أن تعرفها ولا تنساها. طريقة واحدة للتفكير في هذه القواعد هي ما يلي. ما نفعله في أحد طرفي المعادلة علينا أن نفعله بالطرف الآخر من المعادلة. إذا كنت تتذكر أنك ستحصل دائمًا على هذه الحقائق صحيحة.

في هذا القسم سنحل المعادلات الخطية وهناك عملية بسيطة لطيفة لحل المعادلات الخطية. دعونا أولاً نلخص العملية وبعد ذلك سنعمل على بعض الأمثلة.

عملية حل المعادلات الخطية

  1. إذا كانت المعادلة تحتوي على أي كسور ، فاستخدم المقام المشترك الأصغر لمسح الكسور. سنفعل ذلك بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

أيضًا ، إذا كانت هناك متغيرات في مقامات الكسور ، فحدد قيم المتغير التي ستعطي قسمة على صفر لأننا سنحتاج إلى تجنب هذه القيم في حلنا.

لاحظ أننا عادةً ما نقسم طرفي المعادلة على المعامل إذا كان عددًا صحيحًا أو نضرب طرفي المعادلة بمقلوب المعامل إذا كان كسرًا.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

  1. (3 اليسار ( يمين) = 2 يسار (<- 6 - س> يمين) - 2x )
  2. (displaystyle frac <> <3> + 1 = frac <<2m>> <7> )
  3. ( displaystyle frac <5> << 2y - 6 >> = frac << 10 - y >> <<- 6 سنوات + 9 >> )
  4. (displaystyle frac <<2z>> <> = فارك <3> <> + 2)

بالنسبة لهذه المشكلة ، لا توجد كسور ، لذا لا داعي للقلق بشأن الخطوة الأولى في العملية. تشير الخطوة التالية إلى تبسيط كلا الطرفين. إذن ، سنزيل أي قوس بضرب الأعداد فيه ثم دمج الحدود المتشابهة.

[يبدأ3 اليسار ( right) & = 2 left (<- 6 - x> right) - 2x 3x + 15 & = - 12-2x - 2x 3x + 15 & = - 12 - 4x end]

الخطوة التالية هي الحصول على كل (س ) في جانب واحد وجميع الأرقام على الجانب الآخر. أي جانب من جوانب (x ) متروك لك وربما يختلف باختلاف المشكلة. كقاعدة عامة ، سنضع المتغيرات في الجانب الذي سيعطي معاملًا إيجابيًا. يتم ذلك ببساطة لأنه غالبًا ما يكون من السهل فقدان مسار علامة الطرح على المعامل ، وبالتالي إذا تأكدنا من أنها إيجابية ، فلن نحتاج إلى القلق بشأنه.

إذن ، في حالتنا هذا يعني إضافة 4 (س ) لكلا الطرفين وطرح 15 من كلا الطرفين. لاحظ أيضًا أنه بينما سنضع هذه العمليات فعليًا في هذا الوقت ، فإننا عادةً ما نقوم بهذه العمليات في رؤوسنا.

تنص الخطوة التالية على الحصول على معامل 1 أمام (x ). في هذه الحالة ، يمكننا فعل ذلك بقسمة كلا الطرفين على 7.

الآن ، إذا كنا قد انتهينا من جميع أعمالنا بشكل صحيح ، فإن (x = - frac <<27>> <7> ) هو حل المعادلة.

الخطوة الأخيرة والأخيرة هي التحقق من الحل. كما هو موضح في مخطط العملية ، نحتاج إلى التحقق من الحل في أصلي معادلة. هذا مهم ، لأننا ربما ارتكبنا خطأ في الخطوة الأولى وإذا فعلنا ذلك ثم تحققنا من الإجابة في النتائج من تلك الخطوة ، فقد يبدو أنه يشير إلى أن الحل صحيح عندما يكون الواقع هو أننا لا نفعل ذلك. الحصول على الإجابة الصحيحة بسبب الخطأ الذي ارتكبناه في الأصل.

تكمن المشكلة بالطبع في أنه مع هذا الحل ، قد يكون هذا الفحص فوضويًا بعض الشيء. دعونا نفعل ذلك على أي حال.

لذلك ، قمنا بعملنا بشكل صحيح وكان حل المعادلة ،

لاحظ أننا لم نستخدم تدوين مجموعة الحلول هنا. بالنسبة للحلول الفردية ، نادرًا ما نفعل ذلك في هذه الفئة. ومع ذلك ، إذا أردنا أن تكون مجموعة الحلول لهذه المشكلة ،

قبل الانتقال إلى المشكلة التالية ، دعنا أولاً نقدم تعليقًا سريعًا حول "فوضى" هذه الإجابة. لا تتوقع أن تكون جميع الإجابات أعداد صحيحة بسيطة. على الرغم من أننا نحاول أن نجعل معظم الإجابات بسيطة في كثير من الأحيان ، فلن تكون كذلك ، فلا تنشغل بفكرة أن الإجابة يجب أن تكون عددًا صحيحًا بسيطًا بحيث تفترض على الفور أنك قد ارتكبت خطأ بسبب "فوضى" الاجابة.

حسنًا ، مع هذا لن نضع الكثير من الشرح في المشكلة.

في هذه الحالة لدينا كسور ، لذا لتسهيل حياتنا سنضرب كلا الجانبين في شاشة LCD ، وهي 21 في هذه الحالة. بعد القيام بذلك ، ستكون المشكلة مشابهة جدًا للمشكلة السابقة. لاحظ أيضًا أن القواسم عبارة عن أرقام فقط ، وبالتالي لا داعي للقلق بشأن مسائل القسمة على صفر.

دعونا أولاً نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD.

[يبدأ21 يسار (< فارك <> <3> + 1> right) & = left (> <7>> right) 21 21 left (< frac <> <3>> right) + 21 left (1 right) & = left (> <7>> right) 21 7 left ( يمين) + 21 & = يسار (<2 م> يمين) يسار (3 يمين) نهاية]

احرص على توزيع الرقم 21 بشكل صحيح عبر القوس الموجود على الجانب الأيسر. يجب ضرب كل شيء بداخل الأقواس في 21 قبل التبسيط. في هذه المرحلة ، لدينا مشكلة مشابهة للمشكلة السابقة ولن نهتم بكل الشرح هذه المرة.

[يبدأ7 يسار ( يمين) + 21 & = يسار (<2 م> يمين) يسار (3 يمين) 7 م - 14 + 21 & = 6 م 7 م + 7 & = 6 م م & = - 7 نهاية]

لذا يبدو أن (م = - 7 ) هو الحل. دعونا نتحقق منها للتأكد.

[يبدأ فارك << - 7 - 2 >> <3> + 1 & mathop = limits ^؟ frac << 2 left (<- 7> right) >> <7> frac << - 9 >> <3> + 1 & mathop = limits ^؟ - frac <<14>> <7> - 3 + 1 & mathop = limits ^؟ - 2 - 2 & = - 2 hspace <0.5in> < mbox> النهاية]

هذا يشبه المتغير السابق باستثناء الآن لدينا متغيرات في المقام. لذلك ، للحصول على شاشة LCD ، سنحتاج أولاً إلى تحليل مقامات كل تعبير منطقي بشكل كامل.

لذا ، يبدو أن شاشة LCD هي (2 < left ( يمين) ^ 2> ). لاحظ أيضًا أننا سنحتاج إلى تجنب (y = 3 ) لأننا إذا عوضنا بذلك في المعادلة ، فسنحصل على القسمة على صفر.

الآن ، خارج نطاق (y ) 's في المقام ، تعمل هذه المشكلة بشكل مماثل للمشكلة السابقة ، لذا فلنقم بالعمل.

الآن الحل ليس (y = 3 ) لذلك لن نحصل على قسمة على صفر مع الحل وهو أمر جيد. أخيرًا ، دعونا نجري تحققًا سريعًا.

في هذه الحالة ، يبدو أن شاشة LCD ( left ( يمين شمال( right) ) ويبدو أيضًا أننا سنحتاج إلى تجنب (z = - 3 ) و (z = 10 ) للتأكد من أننا لا نحصل على القسمة على الصفر.

فلنبدأ العمل لحل هذه المشكلة.

[يبدأمتبقى( يمين شمال( right) left (< frac <<2z>> <>> right) & = left (< frac <3> <> + 2> يمين) يسار ( يمين شمال( يمين) 2z يسار ( يمين) & = 3 يسار ( يمين) + 2 يسار ( يمين شمال( يمين) 2 - 20 ع & = 3 ع + 9 + 2 يسار (<- 7z - 30> يمين) النهاية]

في هذه المرحلة ، دعنا نتوقف ونعترف بأننا حصلنا على ض 2 في العمل هنا. لا تتحمس لذلك. في بعض الأحيان ستظهر هذه بشكل مؤقت في هذه المشاكل. يجب أن تقلق بشأنه فقط إذا كان لا يزال موجودًا بعد الانتهاء من أعمال التبسيط.

لذا ، فلننهي المشكلة.

لاحظ أن ملف ض 2 فعل في الواقع إلغاء. الآن ، إذا قمنا بعملنا بشكل صحيح ، يجب أن يكون (z = frac <<17>> <3> ) هو الحل لأنه ليس أيًا من القيمتين اللتين ستعطيان القسمة على صفر. دعونا نتحقق من هذا.

قد يكون الفحص فوضويًا بعض الشيء في بعض الأحيان ، لكن هذا يعني أننا نعلم أن الحل صحيح.

حسنًا ، في الجزءين الأخيرين من المثال السابق ، واصلنا متابعة عملية القسمة على صفر مشاكل ومع ذلك لم نحصل على حل حيث كانت هذه مشكلة. لذا ، يجب علينا الآن حل مشكلتين من هذه المشاكل لنرى كيف تعمل.

الخطوة الأولى هي تحليل القواسم للحصول على شاشة LCD.

إذن ، شاشة LCD ( left ( يمين شمال( right) ) وسنحتاج إلى تجنب (x = - 2 ) و (x = - 3 ) حتى لا نحصل على القسمة على الصفر.

هنا العمل لهذه المشكلة.

[يبدأمتبقى( يمين شمال( right) left (< frac <2> <>> right) & = left (< frac << - x >> << left ( يمين شمال( يمين) >>> يمين) يسار ( يمين شمال( يمين) 2 يسار ( right) & = - x 2x + 6 & = - x 3x & = - 6 x & = - 2 end]

لذلك ، نحصل على "حل" موجود في قائمة الأرقام التي نحتاج إلى تجنبها حتى لا نحصل على القسمة على صفر وبالتالي لا يمكننا استخدامها كحل. ومع ذلك ، هذا أيضًا هو الحل الوحيد الممكن. هذا لا باس به. هذا يعني فقط أن هذه المعادلة لها لا حل.

شاشة LCD لهذه المعادلة هي (x + 1 ) وسنحتاج إلى تجنب (x = - 1 ) حتى لا نحصل على القسمة على الصفر. هذا هو العمل لهذه المعادلة.

[يبدأ يسار (< frac <2> <>> يمين) يسار ( right) & = left (<4 - frac <<2x>> <>> يمين) يسار ( يمين) 2 & = 4 يسار ( يمين) - 2x 2 & = 4x + 4-2x 2 & = 2x + 4 - 2 & = 2x - 1 & = x end]

لذا ، نصل مرة أخرى إلى القيمة المفردة لـ (x ) التي يتعين علينا تجنبها حتى لا نحصل على القسمة على الصفر. لذلك ، هذه المعادلة لها لا حل.

لذا ، كما رأينا ، نحتاج إلى توخي الحذر في مسألة القسمة على صفر عندما نبدأ بالمعادلات التي تحتوي على تعبيرات عقلانية.

في هذه المرحلة ، ربما يجب أن نعترف أيضًا بأنه بشرط ألا يكون لدينا أي قسمة على صفر مسائل (مثل تلك الموجودة في المجموعة الأخيرة من الأمثلة) ، فإن المعادلات الخطية سيكون لها حل واحد بالضبط. لن نحصل أبدًا على أكثر من حل واحد والمرة الوحيدة التي لن نحصل فيها على أي حلول هي إذا مررنا عبر قسمة من دون مشاكل مع "الحل".

قبل مغادرة هذا القسم ، يجب أن نلاحظ أن العديد من تقنيات حل المعادلات الخطية ستظهر مرارًا وتكرارًا لأننا نغطي أنواعًا مختلفة من المعادلات ، لذلك من المهم جدًا أن تفهم هذه العملية.


انسايت الرياضيات

يمكن القول إن الوظيفة الخطية هي أهم وظيفة في الرياضيات. إنها واحدة من أسهل الوظائف التي يجب فهمها ، وغالبًا ما تظهر عندما لا تتوقعها على الأقل. نظرًا لأنه لطيف جدًا ، فإننا غالبًا ما نبسط الوظائف الأكثر تعقيدًا إلى وظائف خطية من أجل فهم جوانب الوظائف المعقدة.

لسوء الحظ ، فإن مصطلح & ldquolinear function & rdquo يعني أشياء مختلفة قليلاً إلى مختلفة. لحسن الحظ ، فإن التمييز بسيط للغاية. نحدد أولاً التعريف الصارم للدالة الخطية ، وهي النسخة المفضلة في الرياضيات العليا. بعد ذلك ، نناقش التعريف المتمرد للدالة الخطية ، وهو التعريف الذي يتعلمه المرء عادةً في الرياضيات الأولية ولكنه تعريف متمرد لأن هذه الوظيفة ليست خطية.

النظرة الصارمة للدالة الخطية

في متغير واحد ، تكون الوظيفة الخطية بسيطة للغاية. الدالة الخطية هي إحدى الصيغة $ f (x) = ax ، $ حيث تكون المعلمة $ a $ أي رقم حقيقي. الرسم البياني لـ $ f $ عبارة عن خط يمر عبر الأصل والمعلمة $ a $ هي ميل هذا الخط.

دالة خطية لمتغير واحد. الدالة الخطية $ f (x) = ax $ موضحة بالرسم البياني ، وهو الخط الأخضر. بما أن $ f (0) = a times 0 = 0 $ ، فإن الرسم البياني دائمًا ما يمر عبر الأصل $ (0،0) $. يمكنك تغيير $ f $ بكتابة قيمة جديدة لـ $ a $ ، أو بسحب النقطة الزرقاء بالماوس. المعامل $ a $ هو ميل الخط ، كما هو موضح بالمثلث المظلل.

إحدى النتائج المهمة لهذا التعريف للدالة الخطية هي أن $ f (0) = 0 $ ، بغض النظر عن القيمة التي تختارها للمعامل $ a $. هذه الحقيقة هي السبب في أن الرسم البياني لـ $ f $ يمر دائمًا بالأصل. من خلال هذا التعريف الصارم للدالة الخطية ، فإن الدالة $ g (x) = 3x + 2 $ هي ليس دالة خطية ، مثل $ g (0) ne 0 $.

لماذا هذا الإصرار على أن $ f (0) = 0 $ لأي دالة خطية $ f $؟ والسبب هو أنه في الرياضيات (بخلاف الرياضيات الابتدائية) ، لا نحدد الخطي من خلال شرط أن يكون الرسم البياني خطًا. بدلاً من ذلك ، نطلب خصائص معينة للدالة $ f (x) $ لكي تكون خطية.

أحد المتطلبات المهمة للدالة الخطية هو: مضاعفة الإدخال $ x $ يجب أن يضاعف ناتج الدالة $ f (x) $. من السهل ملاحظة أن الوظيفة $ g (x) $ فشلت في هذا الاختبار. على سبيل المثال ، $ g (1) = 5 $ و $ g (2) = 8 $ ، مما يعني أن $ g (2) ne 2g (1) $. يمكننا كتابة هذا المطلب للدالة الخطية $ f $ كـ $ f (2x) = 2f (x) $ لأي إدخال $ x $. إذا كان $ f (x) = ax $ ، فإن $ f (2x) = 2ax $ و $ 2f (x) = 2ax $ ، لذلك فإن هذا المطلب مشبع.

لتلبية متطلبات المضاعفة هذه ، يجب أن يكون لدينا $ f (0) = 0 $. هذا ناتج عن حقيقة أنك إذا ضاعفت الصفر ، فستسترد الصفر مرة أخرى. لذلك ، فإن متطلبات المضاعفة تعني $ f (0) = 2f (0) $ ، لذا فإن $ f (0) $ هو رقم مماثل إذا قمت بمضاعفته ، أي $ f (0) = 0 $.

بالمناسبة ، بالنسبة للدالة الخطية ، يجب تلبية هذه الخاصية لأي رقم ، وليس فقط الرقم 2. يجب أن تحقق الوظيفة الخطية $ f (cx) = cf (x) $ لأي رقم $ c $. المتطلب الآخر للدالة الخطية هو أن تطبيق $ f $ لمجموع مدخلين $ x $ و $ y $ هو نفس الشيء مثل إضافة النتائج من تطبيقها على المدخلات بشكل فردي ، أي $ f (x + y ) = f (x) + f (y) $.

النظرة المتمردة للدالة الخطية

وجهة النظر المتمردة للدالة الخطية هي استدعاء أي دالة بالصيغة $ f (x) = ax + b $ دالة خطية ، لأن الرسم البياني الخاص بها عبارة عن خط.

دالة أفينية لمتغير واحد. يتم توضيح الدالة الأفينية $ f (x) = ax + b $ من خلال الرسم البياني ، وهو الخط الأخضر. بما أن $ f (0) = a times 0 + b = b $ ، فإن الرسم البياني يمر دائمًا عبر المحور $ y $ عند النقطة $ (0، b) $ ، والتي توضحها النقطة الرمادية. يمكنك تغيير $ f $ بكتابة قيم جديدة لـ $ a $ أو $ b $ ، أو بسحب النقاط الزرقاء بالماوس. المعامل $ a $ هو ميل الخط ، كما هو موضح بالمثلث المظلل.

ومع ذلك ، كما هو مذكور أعلاه ، فإن هذا النوع من الوظائف مع $ b ne 0 $ لا يفي بخصائص الخطية. لذا ، إذا أردنا استدعاء دالة خطية $ f $ a ، علينا أن نتجاهل المتمردين مثل هذه الحقائق على العكس من ذلك. بدقة ، إذا كان $ b ne 0 $ ، فيجب تسمية $ f $ بامتداد نسيب وظيفة بدلا من وظيفة خطية.

بالنظر إلى أن هذه النظرة المتمردة راسخة بقوة في الرياضيات الأولية ، فقد ننضم أحيانًا إلى هذه المصطلحات ونستخدمها. إذا لم يكن من المجدي الإصرار على التمييز ، فقد نستخدم مصطلح دالة خطية عندما يجب علينا حقًا استخدام مصطلح دالة أفيني.

في سياقات أخرى ، تعتبر خصائص الخطية حاسمة للتحليل الرياضي. في مثل هذه الحالات ، سنحرص على الإصرار على أن الدالة الخطية $ f (x) $ تحقق أن $ f (0) = 0 $ ، ونفرق بين الدوال الخطية والدالة الترابطية.


أسئلة

للأسئلة من 1 إلى 18 ، حل كل معادلة خطية.

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-2-4 / & # 8221 & gtAnswer Key 2.4


ما هي وظيفة الوالدين؟

الآن بعد أن فهمنا مدى أهمية إتقان الأنواع المختلفة من وظائف الوالدين ، فلنبدأ أولاً في فهم وظائف الوالدين وكيف تتأثر مجموعات وظائفهم بخصائصهم.

تعريف وظيفة الأصل

وظائف الوالدين هي أبسط شكل من أشكال عائلة معينة من الوظائف. مجموعة الوظائف هي مجموعة من الوظائف التي تشترك نفس أعلى درجة ، وبالتالي ، نفس الشكل لرسومهم البيانية.

يوضح الرسم البياني أعلاه أربعة رسوم بيانية تعرض الرسم البياني على شكل حرف U الذي نسميه القطع المكافئ. نظرًا لأنهم جميعًا يتشاركون في نفس الدرجة الأعلى من اثنين ونفس الشكل ، يمكننا تجميعهم كعائلة واحدة من الوظائف. هل يمكنك تخمين أي عائلة ينتمون؟

هذه الأربع كلها دوال تربيعية ، وأبسط صورة لها هي y = x 2. ومن ثم ، فإن وظيفة الوالدين لهذه العائلة هي y = x 2.

نظرًا لأن وظائف الوالدين هي أبسط شكل لمجموعة معينة من الوظائف ، فيمكنهم على الفور إعطائك فكرة عن الشكل الذي ستبدو عليه وظيفة معينة من نفس العائلة.


مثال على المشاكل

اكتب معادلة للدالة الخطية f تحقق الشروط. الرسم البياني y = f (x).

دع y & # xa0 = & # xa0 a + bx هي الوظيفة الخطية المطلوبة

بمقارنة السؤال المحدد بـ y & # xa0 = & # xa0 f (x) ، نعرف ذلك

للعثور على a ، قد نطبق أيًا من النقاط وقيمة b في (1).

من خلال تطبيق قيمة a و b في (1) نحصل على ،

إذن ، الوظيفة الخطية المطلوبة هي & # xa0 y & # xa0 = & # xa0 (5x + 18) / 7.

دع y & # xa0 = & # xa0 a + bx هي الوظيفة الخطية المطلوبة

بمقارنة السؤال المحدد بـ y & # xa0 = & # xa0 f (x) ، نعرف ذلك

للعثور على a ، قد نطبق أيًا من النقاط وقيمة b في (1).

من خلال تطبيق قيمة a و b في (1) نحصل على ،

إذن ، الوظيفة الخطية المطلوبة هي & # xa0 y & # xa0 = & # xa0 (-4x + 2) / 3

& # xa0g (2) & # xa0 = & # xa0 1 ومخطط g موازي للخط

نظرًا لأن الخط المطلوب والخط المعين متوازيان ، فإن ميلهما سيكون متساويًا.

b & # xa0 = & # xa0 - معامل x / معامل y

من خلال تطبيق قيمة b في الشكل العام للدالة الخطية ، نحصل على & # xa0

تمر الوظيفة الخطية المطلوبة عبر النقطة (2 ، 1).

إذن ، الوظيفة الخطية المطلوبة هي y & # xa0 = & # xa0 2x-3.

& # xa0g (2) & # xa0 = & # xa0 1 والرسم البياني لـ g عمودي على الخط

Since the required line and the given line are perpendicular, the product of their slopes will be equal.

b  =  -coefficient of x/coefficient of y

By applying the value of b in the general form of linear function, we get 

The required linear function passes through the point (2, 1).

So, the required linear function is y  =  (-x+4)/2.

The x and y-intercepts of f are 5 and −1, respectively.

By writing x intercept as point, we get (5, 0).

By writing y intercept as point, we get (0, -1).

The required function is passing through the point (5, 0).

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


4.1 Linear Functions

Just as with the growth of a bamboo plant, there are many situations that involve constant change over time. Consider, for example, the first commercial maglev train in the world, the Shanghai MagLev Train (Figure 1). It carries passengers comfortably for a 30-kilometer trip from the airport to the subway station in only eight minutes 7 .

Suppose a maglev train travels a long distance, and maintains a constant speed of 83 meters per second for a period of time once it is 250 meters from the station. How can we analyze the train’s distance from the station as a function of time? In this section, we will investigate a kind of function that is useful for this purpose, and use it to investigate real-world situations such as the train’s distance from the station at a given point in time.

Representing Linear Functions

The function describing the train’s motion is a linear function , which is defined as a function with a constant rate of change. This is a polynomial of degree 1. There are several ways to represent a linear function, including word form, function notation, tabular form, and graphical form. We will describe the train’s motion as a function using each method.

Representing a Linear Function in Word Form

Let’s begin by describing the linear function in words. For the train problem we just considered, the following word sentence may be used to describe the function relationship.

  • The train’s distance from the station is a function of the time during which the train moves at a constant speed plus its original distance from the station when it began moving at constant speed.

The speed is the rate of change. Recall that a rate of change is a measure of how quickly the dependent variable changes with respect to the independent variable. The rate of change for this example is constant, which means that it is the same for each input value. As the time (input) increases by 1 second, the corresponding distance (output) increases by 83 meters. The train began moving at this constant speed at a distance of 250 meters from the station.

Representing a Linear Function in Function Notation

Another approach to representing linear functions is by using function notation. One example of function notation is an equation written in the slope-intercept form of a line, where x x is the input value, m m is the rate of change, and b b is the initial value of the dependent variable.

Representing a Linear Function in Tabular Form

A third method of representing a linear function is through the use of a table. The relationship between the distance from the station and the time is represented in Figure 2. From the table, we can see that the distance changes by 83 meters for every 1 second increase in time.

Can the input in the previous example be any real number?

No. The input represents time so while nonnegative rational and irrational numbers are possible, negative real numbers are not possible for this example. The input consists of non-negative real numbers.

Representing a Linear Function in Graphical Form

Another way to represent linear functions is visually, using a graph. We can use the function relationship from above, D ( t ) = 83 t + 250 , D ( t ) = 83 t + 250 , to draw a graph as represented in Figure 3. Notice the graph is a line. When we plot a linear function, the graph is always a line.

The rate of change, which is constant, determines the slant, or slope of the line. The point at which the input value is zero is the vertical intercept, or ذ-intercept , of the line. We can see from the graph that the ذ-intercept in the train example we just saw is ( 0 , 250 ) ( 0 , 250 ) and represents the distance of the train from the station when it began moving at a constant speed.

Linear Function

A linear function is a function whose graph is a line. Linear functions can be written in the slope-intercept form of a line


شاهد الفيديو: الرياضيات. تمثيل المعادلة الخطية بيانيا (شهر اكتوبر 2021).