مقالات

3.3: حل المعادلة المتجانسة ax + by = 0 - Mathematics


الاقتراح 3.5

الحل العام للمعادلة المتجانسة (r_ {1} x + r_ {2} y = 0 ) يُعطى بواسطة

[ start {array} {ccc} {x = k frac {r_ {2}} { gcd (r_ {1}، r_ {2})}} & {and} & {y = -k frac {r_ {2}} { gcd (r_ {1}، r_ {2})}} nonumber end {array} ]

حيث (k in mathbb {Z} ).

دليل - إثبات

من ناحية أخرى ، عن طريق استبدال تعابير (x ) و (y ) في المعادلة المتجانسة ، يتحقق أحدهم من أنها بالفعل حلول. من ناحية أخرى ، يجب أن يفي (س ) و (ص )

[ frac {r_ {1}} { gcd (r_ {1}، r_ {2})} x = - frac {r_ {2}} { gcd (r_ {1}، r_ {2}) } س عدد ]

الأعداد الصحيحة (r_ {i} ) (لـ (i ) في ( {1،2 } )) لها أكبر قاسم مشترك يساوي ( gcd (r_ {1}، r_ {2}) ) إلى 1). وبالتالي فإن lemma لإقليدس ينطبق وبالتالي فإن ( frac {r_ {1}} { gcd (r_ {1}، r_ {2})} ) هو قاسم (y ) بينما ( frac {r_ {2}} { gcd (r_ {1}، r_ {2})} ) هو قسمة (x ).

دليل مختلف على هذا اللمة يذهب على النحو التالي. مجموعة كل الحلول في ( mathbb {R} ^ {2} ) من (r_ {1} x + r_ {2} y = 0 ) مُعطاة بالسطر (l ( xi) = start {pmatrix} {r_ {2}} {-r_ {1}} end {pmatrix} xi ). للحصول على جميع نقاط الشبكة (على سبيل المثال ، النقاط الموجودة أيضًا في ( mathbb {Z} ^ 2 )) ، كلاهما (r_ {2} xi ) و (- r_ {1} xi ) يجب أن يكون عددًا صحيحًا. أصغر رقم موجب ( xi ) يمكن أن يكون هذا ممكنًا

[ xi = frac {1} { gcd (r_ {1}، r_ {2})} nonumber ]

هذه مشكلة متجانسة أخرى سنواجهها. نحتاج أولاً إلى تحديث صغير للتعريف 1.2.

التعريف 3.6

لنفترض أن ( {b_ {i} } ^ {n} _ {i = 1} ) أعداد صحيحة غير صفرية. القاسم المشترك الأكبر ، ( mbox {lcm} (b_ {1}، cdots، b_ {n}) ) ، هو الحد الأقصى للأرقام المقسومة على كل (b_ {i} )؛ المضاعف المشترك الأصغر ، ( gcd (b_ {1} ، cdots ، b_ {n}) ) ، هو أقل الأرقام الموجبة التي هي مضاعفات كل (b_ {i} ).

من المثير للدهشة ، بالنسبة لهذا التعريف الأكثر عمومية ، أن تعميم النتيجة الطبيعية 2.15 خاطئ. على سبيل المثال ، راجع التمرين 2.6.

النتيجة الطبيعية 3.7

لنفترض أن ( {b_ {i} } ^ {n} _ {i = 1} ) أعداد صحيحة غير صفرية وتشير إلى (B = mbox {lcm} (b_ {1}، cdots b_ {n }) ). الحل العام لنظام المعادلات المتجانس (x = _ {b_ {i}} 0 ) يُعطى بواسطة

[x = _ {B} 0 nonumber ]

دليل - إثبات

من تعريف ( mbox {lcm} (b_ {1}، cdots، b_ {n}) ) ، كل (x ) هو حل. من ناحية أخرى ، إذا كان (x ne _ {B} 0 ) ، إذن هناك (i ) مثل أن (x ) ليس من مضاعفات (b_ {i} ) ، وبالتالي فإن هذا (س ) ليس حلاً.


حل الفأس = 0

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

مارتينا بالاغوفيتش: مرحبًا. مرحبا بعودتك.

تدور مشكلة اليوم حول حل الأنظمة الخطية المتجانسة ، A * x يساوي 0 ، ولكنها أيضًا مقدمة للمحاضرة التالية وقسم التلاوة التالي ، والتي ستكون حول حل الأنظمة الخطية غير المتجانسة ، A * x يساوي b.

المشكلة هي ملء الفراغات النوع. وتنص على أن المجموعة S لجميع النقاط ذات الإحداثيات x و y و z ، بحيث تكون x ناقص 5y زائد 2z يساوي 9 فراغًا في R ^ 3. إنها ذات علاقة معينة بـ S_0 الفارغ الآخر لجميع النقاط ذات الإحداثيات x و y و z التي تحقق المعادلة الخطية التالية ، x ناقص 5y زائد 2z يساوي 0.

بعد حل هذا ، لدينا الجزء الثاني من المشكلة ، والذي ينص على أن جميع نقاط x لها شكل محدد ، x ، y ، z يساوي فارغًا ، 0 ، 0 ، بالإضافة إلى بعض المعلمات مضروبة في الفراغ ، 1 ، 0 بالإضافة إلى معلمة أخرى ضرب فارغًا ، 0 ، 1. وعلينا ملء الفراغات الستة كلها.

الآن يجب عليك إيقاف الفيديو مؤقتًا ، وملء الفراغات ، ثم العودة ومشاهدة بعض الصور الجميلة التي أعددتها لك.

وقد عدنا. لذلك ربما تكون قد التقطت هذا في المحاضرات بالفعل. إذا كان لديك مساحة ثلاثية الأبعاد بثلاث درجات من الحرية ، ووضعت قيدًا واحدًا ، لذا ضع في معادلة واحدة ، ستحصل على شيء به درجتان من الحرية ، شيء ثنائي الأبعاد. إذا كانت هذه المعادلة خطية ، وليست تربيعية أو تكعيبية أو أسية ، فهذا شيء ثنائي الأبعاد ومسطح. يسمى أيضًا شيء ثنائي الأبعاد ومسطح في R ^ 3 بالمستوى أو المستوى الثنائي. وبالمثل ، فإن S_0 هي أيضًا طائرة.

الآن ، ما هي العلاقة بين S و S_0 إذا تم الحصول عليها من خلال هاتين المعادلتين؟ حسنًا ، دعنا أولاً نلقي نظرة على المواضع العامة التي يمكن أن تكون فيها طائرتان في R ^ 3. الأول هو أنهم يتقاطعون على طول خط. ما سيحدث هنا هو أن جميع النقاط على هذا المستوى هي نقاط تحقق إحداثياتها معادلة هذا المستوى.

النقاط في هذا المستوى هي النقاط التي تتوافق إحداثياتها مع معادلة هذا المستوى. والنقاط الموجودة على الخط هي النقاط التي تتوافق إحداثياتها مع نظام هذه المعادلة وهذه المعادلة. الموضع الآخر الذي يمكن أن يكون فيه طائرتان هو أنهما لا يتقاطعان على الإطلاق ، وأنهما متوازيان.

لنبدأ بمحاولة إيجاد هذا الخط هنا. معادلة مستوى واحد هي x ناقص 5y زائد 2z يساوي 9. معادلة المستوى الآخر هي x ناقص 5y زائد 2z يساوي 0.

الآن يمكنك فقط إلقاء نظرة عليه ومعرفة عدد الحلول التي من المفترض أن يكون لديها ، أو يمكنك محاولة القيام بحذف ، وبعد خطوة واحدة من الحذف ، تحصل على 0 يساوي 9 ، وهو ما لا يحدث أبدًا. لا يمكن أن توجد أعداد x و y و z بحيث ينتج عن هذه المجموعة منهم 0 ، ونفس المجموعة منهم تنتج 9 في نفس الوقت. هذا الخط الأحمر هنا غير موجود ، ووضع هذين المستويين S و S_0 هو هذا ، إنهما متوازيان. لذا دعونا نضيف كلمة موازية هنا. ودعنا ننتقل إلى النصف الآخر من المشكلة.

قال النصف الآخر إن جميع نقاط S لها هذا الشكل المحدد. الآن اسمحوا لي أن أسمي هذه النقطة هنا P_0. إذا كانت جميع نقاط S على هذا الشكل ، فيمكننا التعويض بأي معامل c_1 و c_2 هنا وسنحصل على نقطة من المستوى. لذلك على وجه الخصوص ، يمكننا التعويض بـ c_1 و c_2 يساوي 0. ما نحصل عليه إذن هو أن النقطة (x ، y ، z) تساوي P_0 هي نقطة من المستوى S. لذا فإن P_0 في S.

ماذا نعرف عن النقطة P_0؟ حسنًا ، حقيقة أنه في S تعني أن إحداثياته ​​، x ناقص 5y زائد 2z يساوي 9. هذه معادلة S. لكننا نعلم أيضًا أن y و z يساوي 0 و 0.

بحل هذا النظام ، نحصل على إحداثي x لهذه النقطة P_0 هو 9 ، ويمكننا فقط إضافة 9 هنا. إذن ، يتبقى لدينا فراغان لملئهما.

قبل أن نملأها ، اسمحوا لي أن أريكم الصورة التي رسمتها هنا. إذن لدينا هذان المستويان ، S_0 و S ، متوازيان. يتم الحصول عليها من خلال هذه المعادلات. والمستوى S_0 به نقطة 0 ، لأن المعادلة هي x ناقص 5y زائد 2z يساوي 0 ، لذا فهو راضٍ عن طريق 0 ، 0 ، 0. يحتوي المستوى S على هذه النقطة P_0 فيه ، وهي (9 ، 0 ، 0) - لقد اكتشفنا ذلك للتو. وهناك هذا المتجه الذي يربط بين مستوى وآخر.

الآن ، نظرًا لأن هذين المستويين متوازيان وهناك متجه يسير بينهما ، ما يمكننا رؤيته هو أن الطريقة الجيدة للحصول على أي نقطة في S هي الانتقال إلى أي نقطة في S_0 والصعود بواسطة هذا المتجه. الآن اسمحوا لي أن أكتب هذا. ما قلته للتو هو أن أي نقطة في S لها شكل - استخدم هذا المتجه للارتفاع - بالإضافة إلى أي نقطة في S_0. وإذا قارنا هذا بهذا المقدار هنا ، فسنحصل أيضًا على P_0 زائد هذه المجموعة الخطية. لذلك يجب أن تكون هذه نقطة في S_0.

الآن لدينا سؤال حول كيفية تحديد جميع النقاط في S_0. ما هي جميع النقاط في S_0 ، وما علاقة هذه المسألة بحل المعادلات الخطية المتجانسة؟ حسنًا ، اسمحوا لي أن أكتب معادلة S_0 بطريقة مختلفة قليلاً. اسمحوا لي أن أكتبها على أنها 1 ، ناقص 5 ، 2 ، x ، y ، z ، تساوي 0. واسمحوا لي أن أفكر في هذا على أنه مصفوفة للنظام. إنها مصفوفة صغيرة جدًا ، لكنها مصفوفة. وفكر في الأمر كنقطة مصفوفة ومتجه يساوي 0 ، ومحاولة إيجاد جميع حلول النظام.

حسنًا ، لنقم بتخفيض الصفوف هنا. إنه بالفعل مثلث علوي مثل هذه المصفوفات الصغيرة. هذا هو المحور. إذن لدينا متغير محوري x. هذه متغيرات حرة ، y و z. وإذا كنت تتذكر كيفية حل هذه الأنظمة ، فسنحصل على حل واحد خاص لكل متغير مجاني.

لذلك نحصل على حل واحد معين عندما نعوض بـ y هو 1 وجميع المتغيرات الحرة الأخرى هي 0. بالتعويض هنا ، نحصل على ذلك في هذه الحالة ، x - لذلك نحصل على x ناقص 5 في 1 زائد 2 في 0 يساوي 0. إذن x يساوي 5. والحل الآخر هو جعل جميع المتغيرات الحرة تساوي 0 ، باستثناء z التي نساويها بـ 1. ثم نحصل على x ناقص 5 في 0 زائد 2 في 1 يساوي 0.

إذن نحصل على ذلك في هذه الحالة ، x يساوي ناقص 2. وأي حل لهذا النظام سيكون على شكل عدد مرات ثابت هذا زائد عدد من الضربات الثابتة الأخرى في هذا.

وإذا عدنا إلى مشكلتنا الأصلية هنا ، فإننا نرى أن هذه المعلمات ، هذه الأرقام هنا ، قد تم إعدادها تمامًا حتى نتمكن من أخذ هذه الأرقام ونسخها فقط ، 5 و 2. وهذا هو العام شكل أي نقطة في المستوى S. يرتفع هذا المتجه لأعلى ، ثم يضيف نقطة في S_0 ، في المستوى المتوازي الذي يمر عبر نقطة الأصل.

هذا ينهي مشكلتنا. لكن ما أشجعك على فعله الآن هو الانتقال إلى المحاضرة التالية ، ومشاهدة مقطع الفيديو التالي للتلاوة ، ثم العودة إلى هنا والتفكير في ما فعلناه حقًا هنا في هذا النصف من اللوحة.


يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة 3x2y ′ ′ + 7xy ′ + y = 03x2y ″ + 7xy ′ + y = 0 بالشكل yc = ax − 1 + bx − 13yc = ax − 1 + bx − 13 حيث aa ، bb هي ثوابت تعسفية و yp = 1 + 3xyp = 1 + 3x هو حل خاص للمعادلة غير المتجانسة 3x2y ′ ′ + 7xy ′ + y = 24x + 13x2y ″ + 7xy ′ + y = 24x +1 بالتراكب ، الحل العام من المعادلة 3x2y ′ ′ + 7xy ′ + y = 24x + 13x2y ″ + 7xy ′ + y = 24x +1 هي y = yc + ypy = yc + yp لذا y = y = ملاحظة: يجب عليك استخدام aa ، bb من أجل ثوابت اعتباطية. أوجد الحل الذي يفي بالشروط الأولية y (1) = 8 ، y ′ (1) = 8y (1) = 8 ، y ′ (1) = 8 y = y = توضح النظرية الأساسية لـ IVPs الخطية أن هذا الحل هو حل فريد لـ IVP على الفاصل الزمني Wronskian WW من مجموعة الحلول الأساسية y1 = x − 1y1 = x − 1 و y2 = x − 1/3y2 = x − 1/3 للمعادلة المتجانسة هي

في العلوم الفيزيائية ، المرحلة هي منطقة من الفضاء ، تكون خلالها جميع الخصائص الفيزيائية للمادة موحدة بشكل أساسي. ومن ثم عندما نشير إلى مرحلة فإننا نعني منطقة ذات تكوين متجانس تمامًا.

يشكل محلول الإيثانول في الماء مرحلة واحدة ، يمكن رؤية السائل فقط. هذا مثال نموذجي لخليط متجانس.

للمصفوفة أ من النظام لكي تكون قابلة للعكس ، يجب ألا يكون محددها مساويًا للصفر ، | A | 0, يوجد إذا- AC = CA = I ، حيث أنا مصفوفة متطابقة المعادلة المتجانسة مع مصفوفة المعامل A لها حل فريد:

AB = 0 ، ب =

وبالتالي ، B = (0 ، 0 ، 0. 0) هو حل فريد

2. نظام المعادلة غير المتجانس مع مصفوفة معامل A له حل فريد:

ص = هو حل فريد

3. كل معادلة غير متجانسة مع مصفوفة معامل A غير متسقة على النحو التالي:

بالنسبة للمعادلة- AY = D ، لها حل. l وبالتالي فإن مصفوفة المعامل غير متسقة بينما المصفوفة المعززة هي.

4. رتبة المصفوفة A = n ، وبالتالي فإن مساحة العمود A هي

5. منذ ذلك الحين ، مساحة العمود A = ، إذن x → xA هو واحد لواحد


معادلات متجانسة في Sin X و Cos S

تذكر أن الدرجة في مصطلح في المعادلة هي قوتها: 2x³ لها القوة 3.

إذا كانت درجات جميع الحدود في المعادلة هي نفسها ، فإن المعادلة تسمى أ معادلة متجانسة. فمثلا
الفأس + بواسطة = 0 هو الطلب الأول معادلة متجانسة
الفأس² + bxy + cy² = 0 هو الدرجة الثانية معادلة متجانسة ، وما إلى ذلك.
إذا عوضنا عن sin x و cos x عن x و y في معادلة متجانسة ، تصبح المعادلة معادلة متجانسة في sin x و cos x.
في هذا القسم سنلقي نظرة على حلول المعادلات المتجانسة في sin x و cos x.

معادلات متجانسة من الدرجة الأولى

يترك أ كوس س + ب sin x = 0 تكون معادلة معينة. بقسمة كلا الطرفين على cos x نحصل على أ كوس س / كوس س + ب جيب س / جوس س = 0 / كوس س (كوس س ≠ 0). هذا يبسط إلى
أ + ب الخطيئة س / كوس س = 0 ، بمعنى آخر. a + b tan x = 0 ⇒ tan x = -a / b ⇒ x = arctan (-a / b) + kπ، k ∈ Z.

مثال: حل sin x + cos x = 0

المحلول: بقسمة كلا الطرفين على cos x (cos x ≠ 0) نحصل على sin x / cos x + 1 = 0.
يمكننا إعادة كتابة هذا في صورة tan x = -1.
بما أن arctan (-1) = -45 ° = π / 4 ، لدينا x = π / 4 + kπ، k ∈ Z.

مثال: حل √3 cos x - 3 sin x = 0.

المحلول: دعونا نقسم كلا الطرفين على cos x (cos x ≠ 0). إذن لدينا
√3 - 3 sin x / cos x = 0 ، أي √3 - 3 tan x = 0 ⇒ tan x = √3 / 3.
بما أن arctan √3 / 3 = 30 ° = π / 6 ، فإن الحل هو x = π / 6 + kπ، k ∈ Z.

معادلات متجانسة من الدرجة الثانية

لنفترض أن a cos²x + (b cos x · sin x) + c sin²x = 0 معادلة معطاة. بقسمة كلا الجانبين على cos²x ، نحصل على:
a cos²x / cos²x + b cos x · sin x / cos²x + c sin²x / cos²x = 0 / cos²x (cos x ≠ 0) ، مما يبسط إلى
a + b sin x / cos x + c sin²x / cos²x = 0 ، أي a + b tan x + c tan²x = 0.
هذه معادلة تربيعية في tan x. يمكننا الآن إيجاد الحل باستخدام التحليل إلى عوامل.

مثال: حل cos²x - (3 cos x · sin x) - 4 sin²x = 0.

المحلول: دعونا نقسم كلا الطرفين على cos²x (cosx ≠ 0). إذن لدينا:
cos²x / cos²x - 3 cos x · sin x / cos²x - 4 sin²x / cos²x = 0 / cos²x ، أي:
1 - 3 sin x / cos x - 4 sin²x / cos²x = 0. يمكننا إعادة كتابة هذا بالشكل
1 - 3 tan x - 4 tan²x = 0
يعطينا تحليل المعادلة ما يلي:
(1-4 tan x) · (1 + tan x) = 0. هناك حالتان:

أ. إذا كانت 1-4 tan x = 0 ، فإن tan x = 1/4 وهكذا x = arctan 1/4 + kπ ، k ∈ Z. (1)
ب. إذا كان 1 + tan x = 0 ، فإن tan x = -1 وهكذا x =-/ 4 + nπ ، n ∈ Z (2)
الجمع (1) و (2) يعطينا الإجابة النهائية: x = ، ك ، ن ، Z.


المعادلات الوظيفية في العلوم التطبيقية

7.5.2 نهج سلسلة تايلور

ندرس فقط حالة المعادلات التفاضلية العادية الخطية التالية

أين و ، ح ، أأنا (أنا = 0, …, ن) هي وظائف قابلة للتفاضل بلا حدود في مجال معين D. بدون فقدان العمومية يمكننا افتراضها أ0(x) = 1.

نفترض أيضًا أن قيمة F معروف في ن نقاط المجال

باستخدام توسع تايلور لدينا

عن طريق التفريق (من - 1) ضرب المعادلة (7.125) ، نحصل عليها

حيث يشير الفهرس العلوي إلى ترتيب التمايز والوظائف أكي (ك = 1, 2, …, من + 1) بواسطة:

ومن الجدير بالذكر أنه بسبب أ0(x) = 1 ، المعامل الأول لجميع المعادلات في (7.127) يساوي 1.

المعادلات (7.126) ، بدون المصطلح التكميلي ، و (7.127) يمكن كتابتها ، في شكل مصفوفة ، كما

أين N ، D ، C ، B ، F ، H، و Δ F. هي المصفوفات التالية:

حيث الاعتماد الصريح للمصفوفات ن و د على x تم حذفه من أجل الوضوح. من (7.128) يمكننا حذف جميع مشتقات الدالة F والحصول على معادلة وظيفية. هذا ما نفعله في الفقرات التالية.

أولاً ، نتعامل مع المصفوفة بالصف (اختصار الثاني) لتحويل المصفوفة ن في وحدة معكوسة مصفوفة قطرية ص. تنتج هذه التحولات بعض التعديلات في المصفوفات د و حالتي أصبحت د* و ح* :

بعد ذلك ، نقوم بتحويل المصفوفة ج في المصفوفة الصفرية عن طريق معالجة الصفوف من المصفوفات م و جي. من السهل التحقق من أن هذا يعادل إجراء التحويل التالي

وبذلك يصبح النظام (7.128) مكافئًا للنظام

أين K = − CPH *.

أين (ص 1 … ص ن ) هو الصف الأخير من المصفوفة ب * −1 ، أي

بهذه الطريقة ، نحصل على معادلة فرق (7.131) من الترتيب n ، والتي تقارب (7.125).

بالإضافة إلى ذلك ، بمجرد إجراء التلاعبات لقيمة معينة م، إذا أراد المرء تنفيذ نفس العملية من أجل م + ص، يمكن للمرء أن يبدأ من المصفوفات التي تم التلاعب بها ن * و د * بدلا من البدء من الاولي ن و د المصفوفات ، مع التوفير المقابل في الوقت الحسابي.

إذا قمنا بزيادة قيمة م يجب أن نحصل على تقريب أفضل. ومع ذلك ، يمكن القيام بذلك دون زيادة قيمة ن. بمعنى آخر ، عن طريق الزيادة م نحصل على متتالية من معادلات الترتيب ن التي تقارب المعادلة التفاضلية الأولية. في النهاية ، سنحصل على معادلة فرق وهي نسخة طبق الأصل من معادلة تفاضلية البداية ، بمعنى أنها تعطي نفس الحلول عند نقاط الشبكة.

ولكن يمكننا أن نذهب إلى أبعد من ذلك ، لأن المعادلة (7.131) يمكن تفسيرها على أنها معادلة وظيفية واحدة في المتغيرات (x، Δ1، Δ2،…، Δن) ثم نحصل على معادلة وظيفية تعادل (7.125).

أدناه ، نقدم بعض الأمثلة.

(معادلة تفاضلية متجانسة ذات معاملات متغيرة).

نطبق الطريقة المذكورة أعلاه على المعادلة التفاضلية التالية

في هذه الحالة ، لأن ن = 1 ، نأخذ نقطة واحدة x + Δ.

مع م = 3 ، المصفوفات في (7.128) هي

(معادلة تفاضلية كاملة ذات معاملات متغيرة).

نطبق الآن الطريقة أعلاه على المعادلة

إلى عن على م = 3 ، جميع المصفوفات من نفس الشكل السابق باستثناء المصفوفة ح، الذي أصبح الآن

وهكذا تصبح معادلة الفرق التقريبية

(معادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة).

دعونا الآن نتعامل مع المعادلات الخطية الثابتة

بعد كل التلاعبات حصلنا عليها

أخيرًا نتعامل مع المعادلة

نبدأ بأخذ مرة أخرى م = 6 ونحصل على نفس الشيء اختصار الثاني و ج المصفوفات و


معادلة متجانسة مع أمثلة

يرضي دائمًا بـ x_1 = 0 و x_2 = 0 و x_3 = 0 ، لذلك يكون مثل هذا النظام دائمًا متسقًا. الحل (0 ، 0 ، 0) من المعادلات المتجانسة أعلاه (i) ، (ii) ، و (iii) يسمى الحل التافه. أي حل آخر للمعادلات (i) و (ii) و (iii) بخلاف الحل البسيط يسمى a غير تافه المحلول.

يمكن كتابة النظام أعلاه كـ

إذا كان left | A right | neq0 ، فإن A غير مفرد و A ^ <-1> موجود ، أي

في هذه الحالة ، يمتلك نظام المعادلات المتجانسة الحل البسيط فقط.
الآن نعتبر الحالة عندما يكون لدى النظام حل غير تافه. ضرب المعادلات (i) و (ii) و (iii) بـ A_ <11> و A_ <21> و A_ <31> على التوالي وإضافة المعادلات الناتجة (حيث A_ <11> ، A_ <21> و A_ <31> عوامل مساعدة للعناصر المقابلة من A) ،
لدينا
(a_ <11> + A_ <11> + a_ <21> A_ <21> + a_ <31> A_ <31>) x_1 + (a_ <12> A_ <11> + a_ <22> A_ <21> + a_ <32> A_ <31>) x_2 + (a_ <13> A_ <11> + a_ <23> A_ <21> + a_ <33> A_ <31>) x_3 = 0.

يسار | A right | x_2 = 0 و left | A right | x_3 = 0

لحل غير تافه ، واحد على الأقل من x_1 و x_2 و x_3 يختلف عن الصفر

دع x_1 ≠ 0 ، ثم من left | A right | x_1 = 0. ، لدينا left | A right | = 0.

لديه حل غير تافه لأن

ونطرح (ii) و (i) نحصل عليه

بوضع x_1 = -2x_3 و x_2 = x_3 في (III) ، نرى أن (-2x_3) + 3 (x_3) - x_3 = 0 ، مما يدل على أن المعادلة (i) و (ii) و (iii) هي راض عن

x_1 = -2t و x_2 = t و x_3 = t لأي قيمة حقيقية لـ t.
وبالتالي فإن النظام الذي يتكون من (i) و (ii) و (iii) يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.


بيّن أن المعادلة المجمعة لزوج من الخطوط التي تمر عبر الأصل هي معادلة متجانسة للدرجة 2 في x و y. ومن ثم أوجد المعادلة المجمعة للخطوط 2x + 3y = 0 و x - 2y = 0 - الرياضيات والإحصاء

بيّن أن المعادلة المجمعة لزوج من الخطوط التي تمر عبر الأصل هي معادلة متجانسة للدرجة 2 في x و y. ومن ثم أوجد المعادلة المجمعة للخطوط 2 س + 3 ص = 0 و س & ناقص 2 ص = 0

عرض الحل الحل

دع أ1س + ب1ص = 0 وأ2س + ب2y = 0 عبارة عن زوج من الخطوط التي تمر عبر الأصل.

في هذا إذا وضعنا ملف1أ2 = أ ، أ1ب2 + أ2ب1 = 2 س ، ب1ب2 = ب ، نحصل على ax 2 + 2hxy + by 2 = 0 وهي معادلة متجانسة للدرجة 2 في x و y.

الآن ، عند مقارنة 2x + 3y = 0 و x & 2y = 0 مع a1س + ب1ص = 0 وأ2س + ب2ص = 0 ،


الجسيمات والأمواج في البصريات الإلكترونية والميكروسكوب

2.2 البصريات الهندسية كتقريب

دعونا نوضح كيف يمكن الحصول على البصريات الهندسية كحالة محدودة لبصريات الموجة العددية عندما يميل الطول الموجي إلى الصفر أو العدد الموجي إلى اللانهاية (Sommerfeld ، 1950). النظر إلى الدالة الموجية [Eq. (66)] ، يمكننا أن نرى أنه للوهلة الأولى ، لا يمكن الحصول على اعتبارات كمية ، لأنها تتدهور.

ومع ذلك ، إذا افترضنا الافتراض التالي فيما يتعلق بشكل الحل:

أين أ(ص) و س(ص) هي وظائف حقيقية تسمى السعة و مرحلة، على التوالي ، للموجة ، ونقوم بإدخال هذه الوظيفة في المعادلة. (66) قبل أخذ النهاية نحصل على الأجزاء الحقيقية والخيالية من المعادلات

بينما ش(ص) هي وظيفة متغيرة بسرعة بسبب العامل ك0 في الأسي ، نعتبره أ(ص) و س(ص)، وتسمى أيضا ايكونال، أن تكون وظائف الإحداثيات المكانية المتغيرة ببطء ، والتي لا تتباعد معها ك0.

إذا أخذنا الحد k 0 → ∞ في هذه المرحلة ، فإننا نرى ذلك س(ص ) يجب أن تفي بالمعادلة التفاضلية غير المتجانسة (المعادلة eikonal) من الدرجة الأولى والدرجة الثانية:

من خلال النظر في نقطتين متجاورتين من الإحداثيات ص0 و ص1، يمكننا أيضًا كتابة ذلك

هذه المعادلة ، مقترنة بالمعادلة eikonal [مكافئ. (70)] ، يتيح لنا الحصول على الحل العام لـ س من خلال البدء من سطح عشوائي س(ص0) وببناء عائلة الأسطح الموازية لها تدريجياً. في كل من هذه الأسطح ، تكون المرحلة ثابتة بحيث تمثل سطوح الموجات خطوطها العمودية ، المعطاة بواسطة ∇س، في هذا الإطار مع عائلة الأشعة المرتبطة بالسطح.

ذات مرة س معروف ، من Eq. (69) يمكننا أن نستنتج كيف انحدار أ يختلف على طول اتجاه التدرج س. لا توجد معلومات حول كيفية انحدار أ يختلف في الاتجاه العمودي على التدرج س: هذا يعني عدم استمرارية السعة أ ليس ممنوعا في هذا الاتجاه.

دعونا نفكر في اثنين من التوضيحات البسيطة ولكن المفيدة لهذه الاعتبارات أولاً ، بافتراض أن الوسط متجانس مع معامل الانكسار الثابت ن، دعنا نظهر ما يحدث إذا كانت واجهة الموجة البداية عبارة عن موجة مستوية من المعادلة

أين كمرجع سابق هل متجه الوحدة عمودي على المستوى. يتم إعطاء المعادلة eikonal المقابلة بواسطة

إذا طبقنا المعادلة. (71) من أجل الحصول على سطح الموجة عند النقطة ص1، نحصل

وهي أيضًا موجة مستوية بنفس المستوى الطبيعي. لذلك تم إعطاء عائلة الجبهات الموجية بواسطة

ثانيًا ، دعونا ننظر في حالة مقدمة الموجة الكروية التي تنشأ من أصل نظام الإحداثيات لدينا ، مع مراعاة المعادلة

يتم إعطاء الوضع الطبيعي للسطح بواسطة متجه الوحدة

ثم تطبيق المعادل. (71) مرة أخرى للعثور على واجهة الموجة عند نقطة عامة ، نحصل عليها

(على سبيل المثال ، إذا ص1 تؤخذ على طول نفس اتجاه ص0)

يترتب على ذلك أن جميع الأسطح المقابلة لواجهات الموجة الكروية المتمركزة في الأصل موصوفة بالمعادلة

دعونا نلاحظ أنه في كلتا الحالتين ، تكون الأشعة عبارة عن خطوط مستقيمة: هذه نتيجة عامة يمكن توضيحها للوسائط المتجانسة.


س: هذا سؤال جبر خطي لنفترض أن A عبارة عن مصفوفة مربعة مع Col (A) هي مجموعة فرعية من Null (A). ص.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: لقد صنعت تكساس على مدار الثلاثين عامًا الماضية حوالي 31.5 مليون لوحة ترخيص. الترخيص المكون من ستة أرقام.

ج: تنسيق لوحة الأرقام هو L L N - L N N N حيث يشير L إلى الحرف ويشير N إلى العدد.

س:. حدد ما إذا كانت العلاقة تمثل y كدالة في x. T 4 4 14 2-13 0. 4 25 A) الوظيفة.

ج: ضع في اعتبارك الجدول المقدم ، علينا تحديد ما إذا كانت y دالة في x أم لا.

س: 1-احسب متجه الوحدة المماس إلى منحنى البارامتر المحدد بواسطة r (t) = (t ، t ^ 2 ، t ^ 3) عند النقطة r (1)

A: r (t) = (t، t2، t3) يتم إعطاء متجه الظل للوحدة بواسطة T (t) الصيغة التي تمت مناقشتها في im.

ج: وفقًا للمعلومات المقدمة ، يلزم العثور على جميع الأعداد المركبة z هكذا

س: أهلا وسهلا بك برجاء حل هذه المعادلة ، يرجى إيجاد نقاط مشتقة جزئية باستخدام Lagr.

ج: لنفترض أن P (x، y) تمثل نقطة على الدائرة و Q (1،2). المسافة من P (x، y) إلى (1،2) هي

س: 3. pVQ pra ovd vr pVr 4. prq = & gtp ^ r

ج: انقر لرؤية الجواب

س: ارسم الرسم البياني لـ f (x) بالنظر إلى ما يلي: lim f (x) = 2 f (-1) = 1 f (1) = 1 lim f (x): DNE x → -1 x →.

ج: النقطة المشار إليها (-1،1) هي جزء من الرسم البياني.

س: برهن إذا كان المثلث ABC = مثلث DEF ، فإن كل جانب من جوانب المثلث ABC يحتوي على نقطتين من النقطتين D و E.

ج: معطى: Δ ABC = Δ DEF للإثبات: يحتوي كل جانب من جوانب المثلث ABC على نقطتين من النقاط D و E و F.