مقالات

1.2: العوامل والمنتجات والأسس


  • عوامل
  • الأسية

لنبدأ مراجعتنا للحساب من خلال تذكر معنى الضرب للأعداد الصحيحة (أرقام العد والصفر)

عمليه الضرب

عمليه الضرب هو وصف الإضافة المتكررة.

في الإضافة

(7+7+7+7 )

الرقم 7 يتكرر على شكل الإضافة* 4 مرات. لذلك نقول لدينا أربعة ضرب سبعة ووصفها بالكتابة

(4 · 7)

تشير النقطة المرفوعة بين الرقمين 4 و 7 إلى الضرب. توجهنا النقطة إلى ضرب العددين اللذين تفصل بينهما. في الجبر ، تُفضل النقطة على الرمز × للدلالة على الضرب لأن الحرف x غالبًا ما يستخدم لتمثيل رقم. هكذا،

(4 · 7=7+7+7+7)

العوامل والمنتجات

في عملية الضرب ، تسمى الأعداد التي يتم ضربها عوامل. نتيجة الضرب تسمى منتج. على سبيل المثال ، في الضرب

(4 · 7=28 )

الرقمان 4 و 7 عاملين ، والرقم 28 هو حاصل الضرب. نقول أن 4 و 7 هما عاملا العدد 28. (ليسا العاملان الوحيدان في العدد 28. هل يمكنك التفكير في الآخرين؟)

الآن نحن نعرف ذلك

(عامل) · (عامل) = المنتج

يشير هذا إلى أن الرقم الأول هو عامل الرقم الثاني إذا تم تقسيم الرقم الأول إلى الرقم الثاني بدون باقي. على سبيل المثال ، منذ ذلك الحين

(4 · 7=28)

كل من 4 و 7 عوامل العدد 28 لأن كلا من 4 و 7 يقسمان إلى 28 بدون باقي.

في كثير من الأحيان ، يتم تكرار رقم معين كعامل في الضرب. على سبيل المثال ، في الضرب

(7 · 7 · 7 · 7)

الرقم 7 يتكرر كعامل 4 مرات. نصف ذلك بكتابة (7 ^ {4} ). هكذا،

(7 · 7 · 7 · 7=7^4)

العامل المكرر هو الرقم الأدنى (الأساس) ، والرقم الذي يسجل عدد مرات تكرار العامل هو الرقم الأعلى (مرتفع). الرقم المرتفع يسمى الأس.

التعريف: الأس

ان الأس هو رقم يسجل عدد المرات التي يحدث فيها الرقم المرتبط به كعامل في الضرب.

بالنسبة للأمثلة 1 و 2 و 3 ، اكتب كل منتج باستخدام الأس.

مثال ( PageIndex {1} )

(3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ) بما أن 3 تحدث كعامل 6 مرات ،

(3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3=3^6)

مثال ( PageIndex {2} )

(8 · 8 ) بما أن 8 تحدث كعامل مرتين ،

(8 · 8=8^2)

مثال ( PageIndex { 3} )

(5 · 5 · 5 · 9 · 9 ) بما أن العدد 5 يحدث كعامل 3 مرات ، فلدينا (5 ^ {3} ). نظرًا لأن الرقم 9 يحدث كعامل مرتين ، فلدينا (9 ^ {2} ). يجب أن نرى البدائل التالية.


إذن لدينا

(5 · 5 · 5 · 9 · 9=5^3 · 9^2)

مثال ( PageIndex {4} )

قم بتوسيع (3 ^ {5} ). الأساس هو 3 لذا فهو العامل المتكرر. الأس هو 5 ويسجل عدد مرات تكرار الأساس 3. وبالتالي ، يجب تكرار 3 كعامل 5 مرات.

(3^5 =3 · 3 · 3 · 3 · 3)

مثال ( PageIndex {5} )

قم بتوسيع (6 ^ {2} ) · (10 ​​^ {4} ). تدوين (6 ^ {2} ) · (10 ​​^ {4} ) يسجل الحقائق التالية: 6 يجب أن يتكرر كعامل مرتين و 10 يتكرر كعامل 4 مرات. هكذا،

(6^2 · 10^4=6 · 6 · 10 · 10 · 10 · 10)

بالنسبة للمسائل التالية ، اكتب كل منتج باستخدام الأس.

تمرين ( PageIndex {1} )

8 · 8 · 8

إجابه

(8^3)

تمرين ( PageIndex {2} )

12 · 12 · 12 · 12 · 12

إجابه

(12^5)

تمرين ( PageIndex {3} )

1 · 1

إجابه

(1^2)

تمرين ( PageIndex {4} )

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 4 · 4

إجابه

(3^5) · (4^2)

تمرين ( PageIndex {5} )

2 · 2 · 2 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9

إجابه

(2^3) · (9^8)

تمرين ( PageIndex {6} )

3 · 3 · 10 · 10 · 10

إجابه

(3^2) · (10^3)

تمرين ( PageIndex {7} )

3 · 3 · 3 · 4 · 4

إجابه

(3^5) · (4^2)

تمرين ( PageIndex {8} )

افترض أن كل من الحرفين x و y يُستخدمان لتمثيل الأرقام. استخدم الأس للتعبير عن المنتج التالي.

(x ) · (x ) · (x ) · (y ) · (y )

إجابه

(س ^ 3 ) · (ص ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {9} )

(س )· (س )· (س )· (س )· (س )· (ص )· (ص )· (ص )

إجابه

(س ^ 5 ) · (ص ^ 3 )

بالنسبة للمشكلات التالية ، قم بتوسيع كل منتج (لا تحسب القيمة الفعلية).

تمرين ( PageIndex {10} )

(3^4)

إجابه

3 · 3 · 3 · 3

تمرين ( PageIndex {11} )

(4^3)

إجابه

4 · 4 · 4

تمرين ( PageIndex {12} )

(2^5)

إجابه

2 · 2 · 2 · 2 · 2

تمرين ( PageIndex {13} )

(9^6)

إجابه

9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9

تمرين ( PageIndex {14} )

(5^3) · (6^2)

إجابه

5 · 5 · 5 · 6 · 6

تمرين ( PageIndex {15} )

(2^7) · (3^4)

إجابه

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3

تمرين ( PageIndex {16} )

(س ^ 4 ) · (ص ^ 4 )

إجابه

(x ) · (x ) · (x ) · (x ) · (y ) · (y ) · (y ) · (y )

تمرين ( PageIndex {17} )

(س ^ 6 ) · (ص ^ 2 )

إجابه

(x ) · (x ) · (x ) · (x ) · (x ) · (x ) · (y ) · (y )

بالنسبة للمشكلات التالية ، حدد جميع عوامل العدد الصحيح لكل رقم. على سبيل المثال ، المجموعة الكاملة من عوامل الأعداد الصحيحة 6 هي 1 ، 2 ، 3 ، 6.

تمرين ( PageIndex {18} )

20

إجابه

1, 2, 4, 5, 10, 20

تمرين ( PageIndex {19} )

14

إجابه

1, 2, 7, 14

تمرين ( PageIndex {20} )

12

إجابه

1, 2, 3, 4, 6, 12

تمرين ( PageIndex {21} )

30

إجابه

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

تمرين ( PageIndex {22} )

21

إجابه

1, 3, 7, 21

تمرين ( PageIndex {23} )

45

إجابه

1, 3, 5, 9, 15, 45

تمرين ( PageIndex {24} )

11

إجابه

1, 11

تمرين ( PageIndex {25} )

17

إجابه

1, 17

تمرين ( PageIndex {26} )

19

إجابه

1, 19

تمرين ( PageIndex {27} )

2

إجابه

1, 2


1.2: العوامل والمنتجات والأس

1. شكل العامل: 1x1x1x1
صيغة الأس: 1 ^ 4
النموذج القياسي: 1

2. شكل العامل: 2x2x2
صيغة الأس: 2 ^ 3
المعيار: 8

3-شكل العامل: (-6) (- 6) (- 6)
صيغة الأس: (-6) ^ 3
المعيار: -216

4.شكل العامل: 5x5x5
شكل الأس: 5 ^ 3
المعيار 125

6. شكل العامل: 3x3x3x3
الأس: 3 ^ 4
المعيار: 81

7.2 × 2 × 2 × 2 × 2.5 بوصة
الأس: 2 ^ 5
قياسي: 32

8. NxN
الأس N ^ 2
قياسي: N / A لأن N لا تعني & # 039t أي شيء في هذه المشكلة

9. شكل العامل: RxRxRxRxR
الأس: R ^ 5
قياسي: N / A


1.2 الدعاة والترميز العلمي

عادةً ما يواجه علماء الرياضيات والعلماء والاقتصاديون أعدادًا كبيرة جدًا وصغيرة جدًا. لكن قد لا يكون من الواضح مدى شيوع مثل هذه الأرقام في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، البكسل هو أصغر وحدة ضوء يمكن إدراكها وتسجيلها بواسطة كاميرا رقمية. قد تسجل كاميرا معينة صورة تبلغ 2048 بكسل × 1536 بكسل ، وهي صورة عالية الدقة للغاية. يمكنه أيضًا إدراك عمق اللون (التدرجات اللونية) حتى 48 بت لكل إطار ، ويمكنه تصوير ما يعادل 24 إطارًا في الثانية. أكبر عدد ممكن من المعلومات المستخدمة لتصوير فيلم رقمي مدته ساعة واحدة (3600 ثانية) هو إذن عدد كبير للغاية.

استخدام قاعدة المنتج للأسس

والنتيجة هي أن x 3 ⋅ x 4 = x 3 + 4 = x 7. س 3 ⋅ × 4 = س 3 + 4 = س 7.

لاحظ أن أُس المنتج هو مجموع أسس المصطلحات. بمعنى آخر ، عند ضرب التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونضيف الأسس. هذا ال حاصل ضرب الأسس.

الآن فكر في مثال بأرقام حقيقية.

قاعدة المنتج للأسس

مثال 1

باستخدام قاعدة المنتج

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

حل

استخدم قاعدة حاصل الضرب لتبسيط كل تعبير.

في البداية ، قد يبدو أنه لا يمكننا تبسيط حاصل ضرب ثلاثة عوامل. ومع ذلك ، باستخدام الخاصية الترابطية للضرب ، ابدأ بتبسيط الأولين.

لاحظ أننا حصلنا على نفس النتيجة بجمع الأسس الثلاثة في خطوة واحدة.

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدام قاعدة حاصل القسمة للأسس

ال قاعدة حاصل الأسس يسمح لنا بتبسيط التعبير الذي يقسم رقمين لهما نفس الأساس لكن الأسس مختلفة. بطريقة مشابهة لقاعدة حاصل الضرب ، يمكننا تبسيط تعبير مثل y m y n و y m y n حيث m & gt n. م & جي تي ن. ضع في اعتبارك المثال y 9 y 5. ص 9 ص 5. نفذ القسمة بحذف العوامل المشتركة.

لاحظ أن أس حاصل القسمة هو الفرق بين الأسس للمقسوم عليه والمقسوم عليه.

بمعنى آخر ، عند قسمة التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونطرح الأسس.

قاعدة حاصل الأسس

مثال 2

باستخدام قاعدة الحاصل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

حل

استخدم قاعدة خارج القسمة لتبسيط كل تعبير.

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدام قاعدة الأسس

افترض أن التعبير الأسي قد تم رفعه إلى قوة ما. هل يمكننا تبسيط النتيجة؟ نعم. للقيام بذلك ، نستخدم ملف حكم قوة الأسس. ضع في اعتبارك التعبير (x 2) 3. (× 2) 3. يتم ضرب التعبير الموجود داخل الأقواس مرتين لأنه يحتوي على أس 2. ثم يتم ضرب النتيجة ثلاث مرات لأن التعبير بأكمله يحتوي على أس 3.

احرص على التمييز بين استخدامات قاعدة المنتج وقاعدة القوة. عند استخدام قاعدة حاصل الضرب ، يتم رفع المصطلحات المختلفة بنفس الأسس إلى الأس. في هذه الحالة ، تقوم بجمع الأسس. عند استخدام قاعدة القوة ، يتم رفع المصطلح في التدوين الأسي إلى قوة. في هذه الحالة ، تقوم بضرب الأسس.

قاعدة قوة الأسس

مثال 3

استخدام قاعدة القوة

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

حل

استخدم قاعدة الأس لتبسيط كل تعبير.

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدام قاعدة الأس الصفري للأسس

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

قاعدة الأس الصفري للأسس

مثال 4

استخدام قاعدة الأُس الصفرية

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية.

حل

استخدم الأس الصفري والقواعد الأخرى لتبسيط كل تعبير.


−3 × 5 × 5 = −3 ⋅ × 5 × 5 = −3 ⋅ × 5-5 = −3 ⋅ × 0 = −3 ⋅ 1 = −3 −3 × 5 × 5 = −3 ⋅ × 5 × 5 = −3 ⋅ x 5-5 = −3 ⋅ x 0 = −3 ⋅ 1 = −3


(j 2 k) 4 (j 2 k) ⋅ (j 2 k) 3 = (j 2 k) 4 (j 2 k) 1 + 3 استخدم قاعدة حاصل الضرب في المقام. = (j 2 k) 4 (j 2 k) 4 بسّط. = (j 2 k) 4 - 4 استخدم قاعدة خارج القسمة. = (j 2 k) 0 بسّط. = 1 (j 2 k) 4 (j 2 k) ⋅ (j 2 k) 3 = (j 2 k) 4 (j 2 k) 1 + 3 استخدم قاعدة الضرب في المقام. = (j 2 k) 4 (j 2 k) 4 بسّط. = (j 2 k) 4 - 4 استخدم قاعدة خارج القسمة. = (j 2 k) 0 بسّط. = 1


5 (r s 2) 2 (r s 2) 2 = 5 (r s 2) 2 - 2 استخدم قاعدة خارج القسمة. = 5 (r s 2) 0 بسّط. = 5 ⋅ 1 استخدم قاعدة الأس الصفرية. = 5 بسّط. 5 (r s 2) 2 (r s 2) 2 = 5 (r s 2) 2 - 2 استخدم قاعدة خارج القسمة. = 5 (r s 2) 0 بسّط. = 5 ⋅ 1 استخدم قاعدة الأس الصفرية. = 5 بسّط.

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية.

استخدام قاعدة الأسس السالبة

اقسم تعبيرًا أسيًا على تعبير أسي آخر بأس أكبر. استخدم مثالنا h 3 h 5. ح 3 ح 5.

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

يصبح العامل ذو الأس السالب هو نفس العامل بأس موجب إذا تم نقله عبر شريط الكسر - من البسط إلى المقام أو العكس.

القاعدة السلبية للأسس

مثال 5

استخدام قاعدة الأس السالبة

اكتب كلًا من حاصل القسمة التالي بأساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

حل

اكتب كلًا من حاصل القسمة التالي بأساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

مثال 6

استخدام قواعد المنتج والحاصل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

حل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

إيجاد قوة المنتج

لتبسيط قوة حاصل ضرب مقدارين أسيين ، يمكننا استخدام قوة قاعدة منتج الأسس ، الذي يقسم قوة منتج العوامل إلى منتج قوى العوامل. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك (p q) 3. (ص ف) 3. نبدأ باستخدام الخواص الترابطية والتبادلية للضرب لإعادة تجميع العوامل.

بمعنى آخر ، (p q) 3 = p 3 q 3. (ص ف) 3 = ص 3 س 3.

قوة قاعدة المنتج للأسس

مثال 7

استخدام قوة قاعدة المنتج

بسّط كل منتج من المنتجات التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب. اكتب إجابات بأسس موجبة.

حل

استخدم قواعد الضرب والحاصل والتعريفات الجديدة لتبسيط كل تعبير.

بسّط كل منتج من المنتجات التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب. اكتب إجابات بأسس موجبة.

إيجاد قوة حاصل القسمة

لتبسيط قوة خارج قسمة مقدارين ، يمكننا استخدام قوة قاعدة حاصل القسمة ، التي تنص على أن قوة حاصل العوامل هي حاصل قسمة قوى العوامل. على سبيل المثال ، دعنا نلقي نظرة على المثال التالي.

دعونا نعيد كتابة المشكلة الأصلية بشكل مختلف وننظر إلى النتيجة.

يبدو من الخطوتين الأخيرتين أنه يمكننا استخدام قوة قاعدة حاصل الضرب كقوة لقاعدة خارج القسمة.

قوة قاعدة حاصل الأسس

المثال 8

استخدام قوة قاعدة حاصل القسمة

بسّط كل من خارج القسمة التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة خارج القسمة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

حل

بسّط كل من خارج القسمة التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة خارج القسمة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

تبسيط التعبيرات الأسية

تذكر أن لتبسيط تعبير ما يعني إعادة كتابته عن طريق دمج المصطلحات أو الأسس بعبارة أخرى ، لكتابة التعبير بشكل أكثر بساطة بحدود أقل. يمكن دمج قواعد الأسس لتبسيط التعابير.

المثال 9

تبسيط التعبيرات الأسية

بسّط كل تعبير واكتب الإجابة بأسس موجبة فقط.

حل


  1. (6 m 2 n −1) 3 = (6) 3 (m 2) 3 (n −1) 3 قوة قاعدة حاصل الضرب = 6 3 m 2 ⋅ 3 n −1 ⋅ 3 قاعدة الأس = 216 m 6 n −3 بسّط. = 216 m 6 n 3 قاعدة الأس السالبة (6 m 2 n −1) 3 = (6) 3 (m 2) 3 (n −1) 3 قوة قاعدة حاصل الضرب = 6 3 m 2 ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 قاعدة القوة = 216 m 6 n −3 بسّط. = 216 m 6 n 3 قاعدة الأس السالبة

  2. 17 5 ⋅ 17 −4 ⋅ 17 −3 = 17 5 - 4 - 3 قاعدة حاصل الضرب = 17 −2 بسّط. = 1 17 2 أو 1 289 قاعدة الأس السالبة 17 5 ⋅ 17 −4 ⋅ 17 −3 = 17 5 - 4 - 3 قاعدة حاصل الضرب = 17 −2 بسّط. = 1 17 2 أو 1 289 قاعدة الأس السالبة

  3. (u −1 vv −1) 2 = (u −1 v) 2 (v −1) 2 قوة قاعدة خارج القسمة = u −2 v 2 v −2 قوة قاعدة حاصل الضرب = u −2 v 2 - (−2) قاعدة خارج القسمة = u −2 v 4 بسّط. = v 4 u 2 قاعدة الأس السالبة (u −1 vv −1) 2 = (u −1 v) 2 (v −1) 2 قوة قاعدة خارج القسمة = u −2 v 2 v −2 أس قاعدة حاصل الضرب = u −2 v 2 - (−2) قاعدة خارج القسمة = u −2 v 4 بسّط. = v 4 u 2 قاعدة الأس السالبة

  4. (−2 a 3 b - 1) (5 a −2 b 2) = −2 ⋅ 5 ⋅ a 3 a −2 ⋅ b −1 ⋅ b 2 القوانين التبادلية والترابطية للضرب = −10 ⋅ a 3-2 ⋅ b −1 + 2 قاعدة حاصل الضرب = −10 ab بسّط. (−2 a 3 b - 1) (5 a −2 b 2) = −2 ⋅ 5 ⋅ a 3 a −2 ⋅ b −1 ⋅ b 2 القوانين التبادلية والترابطية للضرب = −10 ⋅ a 3-2 ⋅ b −1 + 2 قاعدة حاصل الضرب = −10 ab بسّط.

  5. (x 2 2) 4 (x 2 2) −4 = (x 2 2) 4 - 4 قاعدة حاصل الضرب = (x 2 2) 0 بسّط. = 1 قاعدة الأس الصفرية (x 2 2) 4 (x 2 2) −4 = (x 2 2) 4 - 4 قاعدة حاصل الضرب = (x 2 2) 0 بسّط. = 1 قاعدة الأس الصفرية

  6. (3 w 2) 5 (6 w −2) 2 = (3) 5 ⋅ (w 2) 5 (6) 2 ⋅ (w −2) 2 قوة قاعدة حاصل الضرب = 3 5 w 2 5 6 2 w −2 ⋅ 2 قاعدة الأس = 243 w 10 36 w −4 بسّط. = 27 w 10 - (−4) 4 قاعدة خارج القسمة واختصر الكسر = 27 w 14 4 بسّط. (3 w 2) 5 (6 w −2) 2 = (3) 5 ⋅ (w 2) 5 (6) 2 ⋅ (w −2) 2 قوة قاعدة حاصل الضرب = 3 5 w 2 5 6 2 w −2 ⋅ 2 قاعدة الأس = 243 w 10 36 w −4 بسّط. = 27 w 10 - (−4) 4 قاعدة خارج القسمة واختصر الكسر = 27 w 14 4 بسّط.

بسّط كل تعبير واكتب الإجابة بأسس موجبة فقط.

استخدام الترميز العلمي

يُطلق على طريقة الاختزال لكتابة الأعداد الصغيرة جدًا والكبيرة جدًا تدوينًا علميًا ، حيث نعبر عن الأعداد من حيث الأسس من 10. لكتابة رقم بالتدوين العلمي ، انقل الفاصلة العشرية إلى يمين الرقم الأول في الرقم . اكتب الأرقام كرقم عشري بين 1 و 10. عد عدد الأماكن ن أنك قمت بنقل العلامة العشرية. اضرب الرقم العشري في 10 مرفوعًا إلى أس ن. إذا قمت بتحريك الفاصلة العشرية إلى اليسار كما في عدد كبير جدًا ، فإن n n تكون موجبة. إذا قمت بتحريك الفاصلة العشرية إلى اليمين كما في عدد كبير صغير ، فإن n n تكون سالبة.

على سبيل المثال ، ضع في الاعتبار الرقم 2،780،418. انقل العلامة العشرية إلى اليسار حتى تصبح على يمين أول رقم غير صفري ، وهو 2.

نحصل على 2.780418 بتحريك العلامة العشرية 6 أماكن إلى اليسار. إذن ، أس 10 هو 6 ، وهو موجب لأننا نقلنا الفاصلة العشرية إلى اليسار. هذا ما يجب أن نتوقعه لعدد كبير.

العمل بأعداد صغيرة مشابه. خذ على سبيل المثال نصف قطر الإلكترون 0.00000000000047 م. نفذ نفس سلسلة الخطوات الموضحة أعلاه ، باستثناء نقل الفاصلة العشرية إلى اليمين.

احرص على عدم تضمين الصفر البادئ في العد. ننقل الفاصلة العشرية 13 مرتبة إلى اليمين ، لذلك أس 10 هو 13. الأس سالب لأننا نقلنا الفاصلة العشرية إلى اليمين. هذا ما يجب أن نتوقعه لعدد صغير.

الترميز العلمي

يتم كتابة رقم بالتدوين العلمي إذا كان مكتوبًا بالصيغة a × 10 n ، a × 10 n ، حيث 1 ≤ | أ | & lt 10 1 ≤ | أ | & lt 10 و n n عدد صحيح.


1.2: العوامل والمنتجات والأسس

في كثير من الأحيان ، سواء في العلوم أو في أي مكان آخر ، يحتاج المرء إلى العمل بقيم كبيرة جدًا تتضمن تحليلاتها بعض الأرقام التي يتم ضربها بنفسها عدة مرات. ضع في اعتبارك ما يلي ، على سبيل المثال:

  • سرعة الضوء تقارب 300.000.000 دولار للمتر في الثانية
  • تُعطى الكتلة الذرية لعنصر بدلالة الجرام لكل 602.200.000.000.000.000.000.000 دولار من ذرات هذا العنصر.
  • عدد البتات الموجودة في تيرابايت من البيانات هو $ 8،796،093،022،208 $

يمكن أن يكون إجراء أي حسابات بالقيم الموضحة أعلاه مملاً إذا تُركت في هذه النماذج الطويلة - خاصةً إذا تم إجراء الحسابات يدويًا. ومع ذلك ، يمكننا الاستفادة من بعض العوامل المتكررة لهذه الأرقام لكتابتها في شكل أفضل بكثير.

لاحظ ، في المثالين الأولين ، السلاسل الطويلة للأصفار.

تذكر ، يمكننا إضافة أصفار إلى نهاية أي رقم عن طريق الضرب في عدد ما قدره 10 دولارات

(2.1.4) & # 8211 قواعد الأس السالبة والصفر

قاعدة الأس الصفري

العودة إلى قاعدة حاصل القسمة. لقد عملنا مع التعبيرات التي [اللاتكس] a & gtb [/ latex] بحيث لا يكون الفرق [اللاتكس] a-b [/ اللاتكس] صفرًا أو سالبًا.

قاعدة الحاصل (القسمة) للأسس

لأي رقم غير صفري [لاتكس] x [/ لاتكس] وأي أعداد صحيحة [لاتكس] أ [/ لاتكس] و [لاتكس] ب [/ لاتكس]: [لاتكس] displaystyle frac <<^>><<^>>=<^> [/ لاتكس]

ماذا سيحدث إذا [لاتكس] أ = ب [/ لاتكس]؟ في هذه الحالة ، سنستخدم صفر قاعدة الأسس لتبسيط التعبير إلى 1. لنرى كيف يتم ذلك ، دعونا نبدأ بمثال.

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

إذا عدنا بين الإجابتين ، تكون النتيجة [اللاتكس]^ <0> = 1 [/ لاتكس]. هذا صحيح بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري ، أو أي متغير يمثل رقمًا حقيقيًا.

الاستثناء الوحيد هو التعبير [اللاتكس] <0> ^ <0> [/ اللاتكس]. يظهر هذا لاحقًا في الدورات التدريبية الأكثر تقدمًا ، ولكن في الوقت الحالي ، سنعتبر أن القيمة غير محددة.

قاعدة الأس الصفري للأسس

لأي رقم حقيقي غير صفري [لاتكس] أ [/ لاتكس] ، تنص قاعدة الأس الصفرية على أن

مثال

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية.

  1. [لاتكس] كبير فارك <^<3>><^ <3>> [/ لاتكس]
  2. [لاتكس] كبير فارك <-3^<5>><^ <5>> [/ لاتكس]
  3. [لاتكس] كبير فارك << يسار (^ <2> k right)> ^ <4>> < left (^ <2> ك يمين) cdot < يسار (^ <2> k right)> ^ <3>> [/ لاتكس]
  4. [لاتكس] كبير فارك <5 < يسار (ص^ <2> right)> ^ <2>> << يسار (r^ <2> right)> ^ <2>> [/ latex]

استخدم الأس الصفري والقواعد الأخرى لتبسيط كل تعبير.

[لاتكس] كبير إبدأ hfill frac <-3^<5>><^ <5>> & = & -3 cdot frac <^<5>><^ <5>> hfill & = & -3 cdot ^ <5 - 5> hfill & = & -3 cdot ^ <0> hfill & = & -3 cdot 1 hfill & = & -3 hfill end[/ اللاتكس]

في الفيديو التالي ، سترى المزيد من الأمثلة على المقادير المبسطة التي قد يكون أسسها صفرًا.

قاعدة الأس السالبة

تحدث نتيجة مفيدة أخرى إذا قمنا بتخفيف شرط [اللاتكس] a & gtb [/ اللاتكس] في قاعدة حاصل القسمة إلى أبعد من ذلك. على سبيل المثال ، هل يمكننا تبسيط [اللاتكس] displaystyle frac <^<3>><^ <5>> [/ لاتكس]؟ عندما يكون [اللاتكس] a & ltb [/ اللاتكس] - أي حيث يكون الاختلاف [اللاتكس] a-b [/ اللاتكس] سالبًا - يمكننا استخدام القاعدة السالبة للأسس لتبسيط التعبير إلى مقلوبه.

اقسم تعبيرًا أسيًا على تعبير أسي آخر بأس أكبر. استخدم مثالنا ، [اللاتكس] displaystyle frac <^<3>><^ <5>> [/ لاتكس].

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

بتجميع الإجابات معًا ، لدينا [لاتكس] displaystyle ^ <-2> = فارك <1> <^ <2>> [/ لاتكس]. هذا صحيح بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري ، أو أي متغير يمثل عددًا حقيقيًا غير صفري.

يصبح العامل ذو الأس السالب هو نفس العامل بأس موجب إذا تم نقله عبر شريط الكسر - من البسط إلى المقام أو العكس.

القاعدة السلبية للأسس

لأي عدد حقيقي غير صفري [لاتكس] أ [/ لاتكس] ورقم طبيعي [لاتكس] ن [/ لاتكس] ، تنص القاعدة السلبية للأسس على أن

مثال

اكتب كلًا من حاصل القسمة التالي بأساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

حل

  1. [لاتكس] كبير فارك << (2 ب)> ^ <3>> << (2 ب)> ^ <10>> = <(2 ب)> ^ <3 - 10> = <(2 ب)> ^ <- 7> = فارك <1> << (2b)> ^ <7>> [/ لاتكس]
  2. [لاتكس] كبير فارك <^ <2> cdot z> <^ <4>> = فارك <^<2+1>><^ <4>> = فارك <^<3>><^<4>>=^<3 - 4>=^ <-1> = فارك <1>[/ اللاتكس]
  3. [لاتكس] كبير فارك << يسار (-5^ <3> right)> ^ <4>> << يسار (-5^ <3> right)> ^ <8>> = <يسار (-5^ <3> right)> ^ <4-8> = <يسار (-5^ <3> right)> ^ <-4> = frac <1> << left (-5^ <3> right)> ^ <4>> [/ latex]

سترى في الفيديو التالي أمثلة على تبسيط المقادير ذات الأسس السالبة.

اجمع قواعد الأس لتبسيط التعابير

في الأمثلة التالية ، سنجمع بين استخدام قواعد الضرب والحاصل لتبسيط التعبيرات التي قد يكون لشروطها أس سالب أو صفر.

مثال

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

حل

  1. [لاتكس]^ <2> cdot ^<-8>=^<2 - 8>=^ <-6> = فارك <1> <^ <6>> [/ لاتكس]
  2. [لاتكس] < left (-x right)> ^ <5> cdot < left (-x right)> ^ <-5> = < left (-x right)> ^ <5 - 5 > = < left (-x right)> ^ <0> = 1 [/ latex]
  3. [لاتكس] displaystyle frac <-7z> << left (-7z right)> ^ <5>> = frac << left (-7z right)> ^ <1>> << left (-7z right)> ^ <5>> = < left (-7z right)> ^ <1-5> = < left (-7z right)> ^ <-4> = frac <1 > << left (-7z right)> ^ <4>> [/ latex]

يعرض الفيديو التالي مزيدًا من الأمثلة حول كيفية الجمع بين استخدام قواعد الضرب والحاصل لتبسيط التعبيرات التي قد تحتوي مصطلحاتها على أسس سالبة أو صفرية.


1.2: العوامل والمنتجات والأسس

لنبدأ بهذا القسم ببعض التكاملات التي يجب أن نكون قادرين بالفعل على القيام بها لنبدأ. دعونا أولاً نلقي نظرة على ما يلي.

لذلك ، كان هذا بسيطًا بما فيه الكفاية. الآن ، دعونا نلقي نظرة على ،

للقيام بهذا التكامل سوف نستخدم البديل التالي.

مرة أخرى ، من السهل القيام به بشرط أن تتذكر كيفية إجراء الاستبدالات. بالمناسبة ، تأكد من أنه يمكنك إجراء هذه الأنواع من البدائل بسرعة وسهولة. من الآن فصاعدًا ، سنقوم بهذه الأنواع من الاستبدالات في رؤوسنا. إذا كان عليك التوقف وكتابتها مع كل مشكلة ، فستجد أن حل هذه المشكلات سيستغرق وقتًا أطول بكثير.

الآن ، دعونا نلقي نظرة على التكامل الذي نريد حقًا القيام به.

إذا كان لدينا للتو (x ) في حد ذاته أو (<< bf> ^ <6x>> ) في حد ذاته يمكننا القيام بالتكامل بسهولة كافية. وبالمثل ، إذا كان التكامل هو (x << bf>^<6>>> ) يمكننا عمل التكامل بالتعويض. ومع ذلك ، لسوء الحظ ، لا يعتبر أي من هذين الخيارين. لذلك ، في هذه المرحلة ، ليس لدينا المعرفة اللازمة للقيام بهذا التكامل.

للقيام بهذا التكامل ، سنحتاج إلى استخدام التكامل بالأجزاء ، لذا دعنا نشتق صيغة التكامل بالأجزاء. سنبدأ بقاعدة المنتج.

الآن ، ادمج كلا الجانبين.

الجانب الأيسر سهل بما فيه الكفاية للتكامل (نحن نعلم أن دمج المشتق فقط "يلغي" المشتق) وسنقسم الجانب الأيمن من التكامل.

لاحظ أنه من الناحية الفنية كان يجب أن يكون لدينا ثابت تكامل يظهر على الجانب الأيسر بعد إجراء التكامل. يمكننا إسقاطها في هذه المرحلة لأن ثوابت التكامل الأخرى ستظهر على طول الطريق وسينتهي بهم الأمر بامتصاص هذا.

أخيرًا ، أعد كتابة الصيغة على النحو التالي وسنصل إلى صيغة التكامل حسب الأجزاء.

ومع ذلك ، فهذه ليست أسهل صيغة لاستخدامها. لذا ، فلنقم بتبديلين.

[يبدأu = f left (x right) hspace <0.5in> v = g left (x right) & amp du = f ' left (x right) ، dx hspace <0.5in> dv = ز ' يسار (س يمين) ، دكس نهاية]

كلاهما مجرد استبدالات قياسية في حساب التفاضل والتكامل 1 والتي نأمل أن تكون معتادًا عليها الآن. لا تشغل بالك بحقيقة أننا نستخدم بديلين هنا. سيعملون بنفس الطريقة.

يعطينا استخدام هذه الاستبدالات الصيغة التي يعتقدها معظم الناس على أنها صيغة التكامل حسب الأجزاء.

تكامل اجزاء

لاستخدام هذه الصيغة ، سنحتاج إلى تحديد (u ) و (dv ) ، وحساب (du ) و (v ) ثم استخدام الصيغة. لاحظ أيضًا أن الحوسبة (v ) سهلة للغاية. كل ما علينا فعله هو دمج (dv ).

أحد الأشياء الأكثر تعقيدًا حول استخدام هذه الصيغة هو أنك تحتاج إلى أن تكون قادرًا على تحديد كل من (u ) و (dv ) بشكل صحيح. لن يكون من الواضح دائمًا ما هي الخيارات الصحيحة وسنقوم ، في بعض الأحيان ، باتخاذ القرار الخاطئ. هذا ليس شيئا يدعو للقلق. إذا اتخذنا خيارًا خاطئًا ، فيمكننا دائمًا العودة وتجربة مجموعة مختلفة من الخيارات.

هذا يؤدي إلى السؤال الواضح حول كيف نعرف ما إذا كنا قد اتخذنا الخيار الصحيح لـ (u ) و (dv )؟ الجواب في الواقع بسيط جدا. لقد اتخذنا الاختيارات الصحيحة لـ (u ) و (dv ) إذا كان التكامل الجديد (الموجود على يمين الصيغة) هو واحد يمكننا بالفعل تكامله بعد استخدام صيغة التكامل حسب الأجزاء.

لذلك ، دعونا نلقي نظرة على التكامل أعلاه الذي ذكرناه أننا أردنا القيام به.

لذا ، على مستوى ما ، فإن المشكلة هنا هي (x ) الموجودة أمام الأسي. إذا لم يكن ذلك موجودًا ، فيمكننا القيام بالتكامل. لاحظ أيضًا أنه عند إجراء التكامل بالأجزاء ، سيتم تمييز أي شيء نختاره (u ). لذلك ، يبدو أن اختيار (u = x ) سيكون اختيارًا جيدًا لأنه عند التفريق بين (س ) سوف يتم استبعاده.

الآن بعد أن اخترنا (u ) نعلم أن (dv ) سيكون كل شيء متبقي. إذن ، إليك خيارات (u ) و (dv ) بالإضافة إلى (du ) و (v ).

بمجرد الانتهاء من التكامل الأخير في المسألة ، سنضيف ثابت التكامل للحصول على الإجابة النهائية.

لاحظ أيضًا أنه ، كما هو مذكور أعلاه ، نعلم أننا اتخذنا خيارًا صحيحًا لـ (u ) و (dv ) عندما حصلنا على تكامل جديد نقوم بتقييمه بالفعل بعد تطبيق صيغة التكامل بالأجزاء.

بعد ذلك ، دعنا نلقي نظرة على التكامل بالأجزاء للتكاملات المحددة. صيغة التكامل بالأجزاء للتكاملات المحددة هي ،

التكامل بالأجزاء ، التكاملات المحددة

لاحظ أن ( left. right | _a ^ b ) في المصطلح الأول هو مجرد تدوين تقييم متكامل قياسي يجب أن تكون على دراية به في هذه المرحلة. كل ما نقوم به هو تقييم المصطلح ، الأشعة فوق البنفسجية في هذه الحالة ، عند (ب ) ثم اطرح من تقييم المصطلح في (أ ).

على مستوى ما ، لا نحتاج حقًا إلى صيغة هنا لأننا نعلم أنه عند إجراء تكاملات محددة ، كل ما نحتاج إليه هو تقييم التكامل غير المحدد ثم إجراء التقييم. في الواقع ، من المحتمل أن يكون هذا أسهل قليلاً لأننا لسنا بحاجة إلى تتبع تقييم كل مصطلح بهذه الطريقة.

دعنا نلقي نظرة سريعة على تكامل محدد باستخدام التكامل حسب الأجزاء.

هذا هو نفس التكامل الذي نظرنا إليه في المثال الأول ، لذا سنستخدم نفس (u ) و (dv ) للحصول عليه ،

كما هو مذكور أعلاه ، يمكننا بنفس السهولة استخدام النتيجة من المثال الأول لإجراء التقييم. نعلم ، من المثال الأول ،

باستخدام هذا يمكننا أن ننتقل بسرعة إلى تقييم التكامل المحدد على النحو التالي ،

تعتبر كلتا طريقتين لتقييم التكاملات المحددة مع التكامل بجزء بسيط للغاية ، لذا فإن الطريقة التي تختار استخدامها متروك لك إلى حد كبير.

نظرًا لأننا نحتاج إلى أن نكون قادرين على القيام بالتكامل غير المحدد من أجل القيام بالتكامل المحدد والقيام بمبالغ متكاملة محددة لا تزيد عن تقييم التكامل غير المحدد في نقطتين ، فسوف نركز على عمل تكاملات غير محددة في بقية هذا القسم . في الواقع ، سيكون هذا هو الحال في معظم هذا الفصل. سنقوم بعمل تكاملات غير محددة أكثر بكثير من التكاملات المحددة.

دعونا نلقي نظرة على المزيد من الأمثلة.

هناك طريقتان للمضي قدما في هذا المثال. بالنسبة للكثيرين ، أول شيء يحاولونه هو ضرب جيب التمام في الأقواس ، وتقسيم التكامل ثم إجراء التكامل على أجزاء على التكامل الأول.

في حين أن هذه طريقة مقبولة تمامًا لحل المشكلة ، إلا أنها تتطلب عملًا أكثر مما نحتاج إليه حقًا. بدلاً من تقسيم التكامل ، دعنا بدلاً من ذلك نستخدم الخيارات التالية لـ (u ) و (dv ).

[يبدأu & = 3t + 5 & hspace <0.5in> dv & = cos left (< frac<4>> right) ، dt du & = 3 ، dt & hspace <0.5in> v & = 4 sin left (< frac<4>> right) end]

لاحظ أننا استخرجنا أي ثوابت من التكامل عندما استخدمنا صيغة التكامل حسب الأجزاء. عادة ما نفعل ذلك لتبسيط التكامل قليلًا.

في هذا المثال ، سنستخدم الخيارات التالية لـ (u ) و (dv ).

[يبدأش & = & hspace <0.5in> dv & = sin left (<10w> right) ، dw du & = 2w ، dw & hspace <0.5in> v & = - frac <1> < <10>> cos left (<10w> right) end]

في هذا المثال ، على عكس الأمثلة السابقة ، سيتطلب التكامل الجديد أيضًا تكاملًا حسب الأجزاء. بالنسبة لهذا التكامل الثاني ، سنستخدم الخيارات التالية.

[يبدأu & = w & hspace <0.5in> dv & = cos left (<10w> right) ، dw du & = ، dw & hspace <0.5in> v & = frac <1 > <<10>> sin left (<10w> right) end]

كن حذرًا مع المعامل على التكامل للتطبيق الثاني للتكامل بالأجزاء. نظرًا لأن التكامل مضروب في ( frac <1> <5> ) ، فنحن بحاجة إلى التأكد من أن نتائج إجراء التكامل فعليًا يتم ضربها أيضًا في ( frac <1> <5> ). يعد نسيان القيام بذلك أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا في مشاكل التكامل حسب الأجزاء.

كما أوضحنا هذا المثال الأخير ، سنحتاج أحيانًا إلى أكثر من تطبيق واحد للتكامل حسب الأجزاء لتقييم التكامل بشكل كامل. هذا شيء سيحدث لذلك لا تتحمس له عندما يحدث.

في هذا المثال التالي ، نحتاج إلى الاعتراف بنقطة مهمة حول تقنيات التكامل. يمكن عمل بعض التكاملات باستخدام عدة تقنيات مختلفة. هذا هو الحال مع التكامل في المثال التالي.

لاحظ أولاً أنه لا توجد دوال مثلثية أو أسي في هذا التكامل. في حين أن التكامل الجيد من خلال تكاملات الأجزاء سيتضمن وظائف حساب المثلثات و / أو الدوال الأسية ، فلن تنحصر جميعها في فكرة توقع ظهورها.

في هذه الحالة ، سنستخدم الخيارات التالية لـ (u ) و (dv ).

الآن دعونا نجري التكامل مع الاستبدال. يمكننا استخدام التعويض التالي.

[u = x + 1 hspace <0.5in> x = u - 1 hspace <0.5in> du = dx ]

لاحظ أننا سنستخدم التعويض مرتين ، مرة للكمية تحت الجذر التربيعي ومرة ​​أخرى للكمية الموجودة تحت الجذر التربيعي ومرة ​​أخرى لـ (x ) أمام الجذر التربيعي. التكامل إذن ،

لذلك ، استخدمنا طريقتين مختلفتين للتكامل في هذا المثال وحصلنا على إجابتين مختلفتين. إذن يجب أن يكون السؤال الواضح هو: هل فعلنا شيئًا خاطئًا؟

في الواقع ، لم نرتكب أي خطأ. علينا أن نتذكر الحقيقة التالية من حساب التفاضل والتكامل 1.

[< rm> ، ، f ' left (x right) = g' left (x right) ، ، ، < rm> ، ، ، و يسار (س يمين) = ز يسار (س يمين) + ج ]

بمعنى آخر ، إذا كانت هناك وظيفتان لهما نفس المشتق ، فإنهما لن يختلفان عن أكثر من ثابت. إذن ، كيف ينطبق هذا على المشكلة المذكورة أعلاه؟ حدد أولاً ما يلي ،

[f ' left (x right) = g' left (x right) = x sqrt ]

ثم يمكننا حساب (f left (x right) ) و (g left (x right) ) من خلال التكامل على النحو التالي ،

سنستخدم التكامل بالأجزاء للتكامل الأول والتعويض عن التكامل الثاني. ثم وفقًا للحقيقة (f left (x right) ) و (g left (x right) ) يجب ألا يختلفا أكثر من ثابت. دعنا نتحقق من هذا ونرى ما إذا كان هذا هو الحال. يمكننا التحقق من أنهما يختلفان بما لا يزيد عن ثابت إذا ألقينا نظرة على الاختلاف بين الاثنين وقمنا ببعض المعالجة الجبرية والتبسيط.

لذلك ، في هذه الحالة ، اتضح أن الوظيفتين لهما نفس الوظيفة تمامًا لأن الفرق هو صفر. لاحظ أن هذا لن يحدث دائمًا. أحيانًا ينتج الفرق ثابتًا غير صفري. For an example of this check out the Constant of Integration section in the Calculus I notes.

So just what have we learned? First, there will, on occasion, be more than one method for evaluating an integral. Secondly, we saw that different methods will often lead to different answers. Last, even though the answers are different it can be shown, sometimes with a lot of work, that they differ by no more than a constant.

When we are faced with an integral the first thing that we’ll need to decide is if there is more than one way to do the integral. If there is more than one way we’ll then need to determine which method we should use. The general rule of thumb that I use in my classes is that you should use the method that you find easiest. This may not be the method that others find easiest, but that doesn’t make it the wrong method.

One of the more common mistakes with integration by parts is for people to get too locked into perceived patterns. For instance, all of the previous examples used the basic pattern of taking (u) to be the polynomial that sat in front of another function and then letting (dv) be the other function. This will not always happen so we need to be careful and not get locked into any patterns that we think we see.

Let’s take a look at some integrals that don’t fit into the above pattern.

So, unlike any of the other integral we’ve done to this point there is only a single function in the integral and no polynomial sitting in front of the logarithm.

The first choice of many people here is to try and fit this into the pattern from above and make the following choices for (u) and (dv).

This leads to a real problem however since that means (v) must be,

In other words, we would need to know the answer ahead of time in order to actually do the problem. So, this choice simply won’t work.

Therefore, if the logarithm doesn’t belong in the (dv) it must belong instead in the (u). So, let’s use the following choices instead

[يبدأu & = ln x & hspace <0.5in>dv & = ,dx du & = frac<1>dx & hspace<0.5in>v & = xend]

So, if we again try to use the pattern from the first few examples for this integral our choices for (u) and (dv) would probably be the following.

However, as with the previous example this won’t work since we can’t easily compute (v).

This is not an easy integral to do. However, notice that if we had an () in the integral along with the root we could very easily do the integral with a substitution. Also notice that we do have a lot of (x)’s floating around in the original integral. So instead of putting all the (x)’s (outside of the root) in the (u) let’s split them up as follows.

We can now easily compute (v) and after using integration by parts we get,

So, in the previous two examples we saw cases that didn’t quite fit into any perceived pattern that we might have gotten from the first couple of examples. This is always something that we need to be on the lookout for with integration by parts.

Let’s take a look at another example that also illustrates another integration technique that sometimes arises out of integration by parts problems.

Okay, to this point we’ve always picked (u) in such a way that upon differentiating it would make that portion go away or at the very least put it the integral into a form that would make it easier to deal with. In this case no matter which part we make (u) it will never go away in the differentiation process.

It doesn’t much matter which we choose to be (u) so we’ll choose in the following way. Note however that we could choose the other way as well and we’ll get the same result in the end.

[يبدأu & = cos heta & hspace<0.5in>dv & = <<f>^ heta >,d heta du & = - sin heta ,d heta & hspace<0.5in>v & = <<f>^ heta >end]

[int<<<<f>^ heta >cos heta ,d heta >> = <<f>^ heta >cos heta + int<<<<f>^ heta >sin heta ,d heta >>]

So, it looks like we’ll do integration by parts again. Here are our choices this time.

[يبدأu & = sin heta & hspace<0.5in>dv & = <<f>^ heta >,d heta du & = cos heta ,d heta & hspace<0.5in>v & = <<f>^ heta >end]

[int<<<<f>^ heta >cos heta ,d heta >> = <<f>^ heta >cos heta + <<f>^ heta >sin heta - int<<<<f>^ heta >cos heta ,d heta >>]

Now, at this point it looks like we’re just running in circles. However, notice that we now have the same integral on both sides and on the right side it’s got a minus sign in front of it. This means that we can add the integral to both sides to get,

[2int<<<<f>^ heta >cos heta ,d heta >> = <<f>^ heta >cos heta + <<f>^ heta >sin heta ]

All we need to do now is divide by 2 and we’re done. The integral is,

[int<<<<f>^ heta >cos heta ,d heta >> = frac<1><2>left( <<<f>^ heta >cos heta + <<f>^ heta >sin heta > ight) + c]

Notice that after dividing by the two we add in the constant of integration at that point.

This idea of integrating until you get the same integral on both sides of the equal sign and then simply solving for the integral is kind of nice to remember. It doesn’t show up all that often, but when it does it may be the only way to actually do the integral.

Note as well that this is really just Algebra, admittedly done in a way that you may not be used to seeing it, but it is really just Algebra.

At this stage of your mathematical career everyone can solve,

[x = 3 - xhspace <0.5in> o hspace <0.5in>x = frac<3><2>]

We are still solving an “equation”. The only difference is that instead of solving for an (x) in we are solving for an integral and instead of a nice constant, “3” in the above Algebra problem, we’ve got a “messier” function.

We’ve got one more example to do. As we will see some problems could require us to do integration by parts numerous times and there is a short hand method that will allow us to do multiple applications of integration by parts quickly and easily.

We start off by choosing (u) and (dv) as we always would. However, instead of computing (du) and (v) we put these into the following table. We then differentiate down the column corresponding to (u) until we hit zero. In the column corresponding to (dv) we integrate once for each entry in the first column. There is also a third column which we will explain in a bit and it always starts with a “+” and then alternates signs as shown.

Now, multiply along the diagonals shown in the table. In front of each product put the sign in the third column that corresponds to the “(u)” term for that product. In this case this would give,

We’ve got the integral. This is much easier than writing down all the various (u)’s and (dv)’s that we’d have to do otherwise.

So, in this section we’ve seen how to do integration by parts. In your later math classes this is liable to be one of the more frequent integration techniques that you’ll encounter.

It is important to not get too locked into patterns that you may think you’ve seen. In most cases any pattern that you think you’ve seen can (and will be) violated at some point in time. Be careful!


أمثلة

Multiply x 3 times x 5 :
We could expand to (x*x*x) * (x*x*x*x*x), then count the factors of x and convert back to exponent form. Since there are now 8 factors of x, we write x8.
Where did the 8 come from? Well, we have 3 factors of x for the x 3 and 5 factors of x for x 5 , and that adds to 8 factors of x . Since x is still our base and our new exponent is 8 we can write our product as x 8 .
When we multiply two numbers having the same base, we can add the original exponents to find the new exponent of the product. This sounds like a shortcut (AKA: RULE):

The Product Rule for Exponents: a m * a n = a m + n .

Divide x 7 by x 4 :
Expand to . An x on the top will divide to 1 with one of the x’s on the bottom until there are no more x’s on the bottom, leaving 3 x’s on top over a 1 on the bottom: , which simplifies to or x 3 .
We also notice that 7 – 4 = 3, which is our shortcut (Rule) to find our quotient.

The Quotient Rule for Exponents: a m / a n = a m–n .

Find (x 3 ) 4 :
Expand to (x 3 )*(x 3 )*(x 3 )*(x 3 ). Now apply the product rule: x 3+3+3+3 = x 12 .
Notice also that 3*4 = 12. We can multiply the exponent by the power to simplify, so we have a shortcut (Rule) to find our power:

The Power Rule for Exponents: (a m ) n = a m*n .

Find x -2 :
Remember the Quotient Rule: x m / x n = x m-n .
What happens when n is > m? You get a negative exponent. Let’s see what this looks like in expanded form:

If we apply the Quotient Rule, we get x 3–5 = x –2 .
Therefore, x –2 = 1/x 2

Negative Exponent Rule: x –n = 1/x n .

Again, it goes back to the Quotient Rule: Find x 3 /x 3 .

Zero Exponent Rule: x 0 = 1, for all x ≠ 0.

Summary of Rules (think: shortcuts)
The Product Rule for Exponents: a m * a n = a m + n .
To find the product of two numbers with the same base, add the exponents.

The Quotient Rule for Exponents: a m / a n = a m–n .
To find the quotient of two numbers with the same base, subtract the exponent of the denominator from the exponent of the numerator.

The Power Rule for Exponents: (a m ) n = a m*n .
To raise a number with an exponent to a power, multiply the exponent times the power.

Negative Exponent Rule: x –n = 1/x n .
Invert the base to change a negative exponent into a positive.

Zero Exponent Rule: x 0 = 1, for .
Any non-zero number raised to the zeroth power is 1.


Laws Explained

The first three laws above ( x 1 = x , x 0 = 1 and x -1 = 1/x ) are just part of the natural sequence of exponents. Have a look at this:

Example: Powers of 5
.. etc..
5 2 1 × 5 × 5 25
5 1 1 × 5 5
5 0 1 1
5 -1 1 ÷ 5 0.2
5 -2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04
.. etc..

Look at that table for a while . notice that positive, zero or negative exponents are really part of the same pattern, i.e. 5 times larger (or 5 times smaller) depending on whether the exponent gets larger (or smaller).


What is a Fractional Exponent?

A fractional exponent is a technique for expressing powers and roots together. The general form of a fractional exponent is:

ب n/m = ( m √ب) n = m √ (b ن ), let us define some the terms of this expression.

The radicand is the under the radical sign √. In this case our radicand is ب ن

The index or order of the radical is the number indicating the root being taken. In the expression: ب n/m = ( m √ب) n = m √ (b ن ), the order or index of radical is the number m.

This is the number whose root is being calculated. The base is denoted with a letter b.

The power determines how many times the value is root is multiplied by itself to get the base. It is normally denoted with a letter n.


1.2: Factors, Products, and Exponents

exponents and factors and fractions

What about them? Need specific questions to respond

JUST DO THE PROBLEM YOURSELF DONT REALLY ON THIS WEBSITE TO GIVE YOU THE ANSWERS, COME HERE TO CHECK THEM LATER IN LIFE YOU ARE GONNA REGRET NOT LEARNING IT YOURSELF GO TO HE||

That second response was not from me. I apologize for whoever sent it.

I didn't send "sorry i asked one"

hey these are the questions
1. one is which statement is true 27/19 < 11/30
or 17/31 >19/14

2. is 7.7.7.7.7
5seven or 7 to squre 5

Question 1: Both of them are false.

Question 2: The answer is 7 to the power of 5

I believe the question you are looking for is this:

If so the correct answer is D :)

do you have all the answers for the test plzz.
im failing

What is the lesson number?

I might not be able to find the lesson so you might have to just send all the questions.

It seems i cant find the lesson, so you will have to copy and paste them here, and i will answer them for you.

it is for lesson 12 unit 3

but here is the 3rd question
3. 5 to the power of 2-(2 times 7 to the power of 2)
A. -1,127
B. 1,127
C. -73
D. -171

4. (-2) to the power of 3
A. -8
B. -6
C. 8
D. 6

5. 64 times 4 to the power of 2 minus 3 times 2 to the power of 2
A. 1,031
B. 4,084
C.1,036
D.1,012

this test plzz help me there is 26 question on it i hope you know what test this is

and thank you for helping sliver where best friends now

do you have all the answers for those 26 questions

and did you find the test i was talking about

its lesson 12 unit 3 exponents and factors and fractions

Yeah I found it, expect the answers soon

OK THANK YOU
are going to send it soon

um, the test wont let me see the questions, would you mind just copy and pasting all the questions here? I would have no problem doing them

i cant past them so i well write it i guess

6. write 1,762 in scientific notation
A.1.762 TIMES 10 TO THE POWER OF 4
B.1.762 times 10 to the power of 3
C.17.62 times 10 to the power of 3
D. 17.62 times 10 to the power of 1

7. write 1.04 times 10 to the power of 2 in standard form
A. 10,400
B.104
C.1,040
D.0.04

8. find the LCM of 25 and 20
A.5
B.500
C.100
D.125

9. tell which number is prime: 19,28,49,63
A.63
B.49
C.28
D.19

10. find the GCF of 48 and 30
A.12
B.6
C.8
D.5
11. find the missing number 32 over 52 = black over 13
A.9
B.4
C.7
D.8

12. Mach each point with one of the following fractions 5 over 6 and 7 over 12 and 1 over 8 and 5 over 16
A. A= 5 over 6,B=5 over 16,c=7 over 12,d=1 over 8
B. A=1 over 8,B=5 over 16,C=17 over 12,d=5 over 6
C. A= 7 over 12,b=5 over 6,c=15 over 16,d=1 over 8
D. A= 5 over 16,B= 1 over 8,C= 7 over 12,D=5 over 6

13. write 4 and 3 over 8 as an improper fraction
أ. 32 over 8
b.35 over 8
c.20 over 8
د. 29 over 8

14. write a mixed number and an improper fraction for the model below
[ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ ]
[ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ ]
[ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][x ][ x ] [ x ][ x ][ ]
[ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ x ] [ x ][ x ][ ]

A.3 and 2 over 3=11 over 3
B. 3 and 2 over 3=8 over 3
C.3 and 8 over 12=8 over 3
D.3 and 1 over 3=10 over 3

15. match each point with one of the following rational numbers
A. A= - 3 over 4,B= -0.55,c= - 3 over 8,D=-025
B. A= -0.55,B= -0.25,C= - 1 over 8,D= - 3 over 8
C. A= - 3 over 8,B= -0.55,C= -0.25,D= - 1 over 8
D. A= - 3 over 4,B= -0.25, c= -0.55,D= - 3 over 8

16.
A class is selling magazines as a fundraiser. Of the 200 magazines sold, Ananda sold 1 over 8 of them. Gina sold 0.065 of the magazines. Ben sold 3 over 100 of the magazines and Fatima sold 0.105 of the magazines. Who sold the most magazines?

A. Fatima
B. Gina
C. Ben
D. Ananda

17. find the digit that makes 3,43_divisible by 9
A. 8
B.7
C.5
D.6

18. which of these number is divisible by 6
A.2,188
B.4,140
C.6,975
D.9,406

19. test 62,004 for divisibility by 2,3,4,5,9, or 10
A. is is not divisible by any of the numbers
B. 2,3
C. 2,3,9
D.2

20. during the season, a basketball player attempted 414 shots and made 174 of them. what fraction of the shots did the player make? write your answer in the simplest form.

A. 29 over 69
B. 87 over 207
C. 17 over 41
D. 14 over 46

21. write 40 over 12 as a whole or mixed number in simplest form

A. 4 and 8 over 12
B. 3 and 10 over 12
C. 3 and 1 over 3
D. 4 and 1 and a half

22. write 5 over 18 as a decimal
__
A. 0.27

23. Bill has a batting average of .290. write this decimal as a fraction in simples form

A. 29 over 100
B.2.9 over 10
C. 0.29 over 100
D. 290 over 1,000

24.
The local readers club has a set of 64 hardback books and a set of 24 paperbacks. Each set can be divided equally among the club members. what is the greatest possible number of club members?

25. short answer be sure to show you work
write 2.96 as a mixed number or fraction in simplest form show work


شاهد الفيديو: Alpha-Wiskunde Gr10 Differensiasie Eksponente (شهر اكتوبر 2021).