مقالات

5.3: حل المعادلات بالصيغة ax = b و x / a = b - الرياضيات


خاصية المساواة في القسمة والضرب

تذكر أن علامة المساواة في المعادلة تشير إلى أن الرقم الذي يمثله التعبير الموجود على الجانب الأيسر هو نفس الرقم الذي يمثله التعبير على الجانب الأيمن يشير إلى خاصية المساواة في القسمة والضرب ، والتي تنص على:

  1. يمكننا الحصول على معادلة مكافئة من خلال يقسم كلا الجانبين من المعادلة بنفس الرقم غير الصفري ، أي إذا (c not = 0 ) ، فإن (a = b ) يساوي ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {ج} ).
  2. يمكننا الحصول على معادلة مكافئة من خلال ضرب كلا الجانبين من المعادلة بنفس الرقم غير الصفري ، أي إذا (c not = 0 ) ، فإن (a = b ) يساوي (ac = bc ).

يمكننا استخدام هذه النتائج لعزل x ، وبالتالي حل معادلة x.

مثال ( PageIndex {1} )

حل (الفأس = ب ) من أجل (س )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
ax & = & b & a text {مرتبط بـ} x text {بالضرب. }
&&& text {تراجع عن الارتباط من خلال الغوص في كلا الجانبين من خلال} a
dfrac {ax} {a} & = & dfrac {b} {a}
dfrac { not {a} x} {a} & = & dfrac {b} {a}
1 cdot x & = & dfrac {b} {a} & dfrac {a} {a} = 1 text {and} 1 text {هو الهوية المضاعفة. } 1 cdot x = x
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {2} )

حل ( dfrac {x} {a} = b ) من أجل (x )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x & = & dfrac {b} {a} & text {هذه المعادلة تعادل الأولى ويتم حلها بواسطة} x
dfrac {x} {a} & = & b & a text {مرتبط بـ} x text {بالتقسيم. تراجع عن الاقتران}
&&& text {بضرب كلا الجانبين في} a
a cdot dfrac {x} {a} & = & a cdot b
ليس {a} cdot dfrac {x} { not {a}} & = & ab
1 cdot x & = & ab & dfrac {a} {a} = 1 text {and} 1 text {هو الهوية المضاعفة. } 1 cdot x = x
x & = & ab & text {تعادل هذه المعادلة الأولى ويتم حلها من أجل} x
نهاية {مجموعة} )

حل (ax = b ) و ( dfrac {x} {a} = b ) لـ (x )

طريقة لحل (ax = b ) و ( dfrac {x} {a} = b )

لحل (الفأس = ب ) من أجل (س ) ، نقسم كلا الجانبين من المعادلة بواسطة (أ ).

لحل ( dfrac {x} {a} = b ) من أجل (x ) ، اضرب كلا الجانبين من المعادلة بواسطة (أ ).

مجموعة العينة أ

مثال ( PageIndex {3} )

حل (5x = 35 ) من أجل (x ).

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
يقترن 5x & = & 35 & 5 text {بـ} x text {بالضرب. تراجع عن}
&&& text {اقتران بقسمة الجانبين على} 5.
dfrac {5x} {5} & = & dfrac {35} {5}
dfrac { not {5} x} { not {5}} & = & 7
1 cdot x & = & 7 & dfrac {5} {5} = 1 text {and} 1 text {هو هوية مضاعفة. } 1 cdot x = x.
س & = & 7
نهاية {مجموعة} )

الشيك:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
5 (7) & = & 35 & text {هل هذا صحيح؟ }
35 & = & 35 & text {نعم ، هذا صحيح. }
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {4} )

حل ( dfrac {x} {4} = 5 ) من أجل (x ).

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {x} {4} & = & 5 & 4 text {مرتبط بـ} x text {بالتقسيم. تراجع عن الاقتران بواسطة}
&&& text {ضرب كلا الجانبين في} 4.
4 cdot dfrac {x} {4} & = & 4 cdot 5
ليس {4} cdot dfrac {x} { not {4}} & = & 4 cdot 5
1 cdot x & = & 20 & dfrac {4} {4} = 1 text {and} 1 text {هو الهوية المضاعفة. } 1 cdot x = x.
س & = & 20
نهاية {مجموعة} )

الشيك:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {20} {4} & = & 5 & text {هل هذا صحيح؟ }
5 & ​​= & 5 & text {نعم ، هذا صحيح.}
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {5} )

حل ( dfrac {2y} {9} = 3 ) من أجل (y ).

الطريقة الأولى (استخدام الإلغاء):

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {2y} {9} & = & 3 & 9 text {مرتبط بـ} y text {حسب القسمة. تراجع عن الاقتران بواسطة}
&&& text {ضرب كلا الجانبين في} 9.
( ليس {9}) ( dfrac {2y} {ليس {9}}) & = & (9) (3)
2y & = & 27 & 2 text {مرتبط بـ} y {بالضرب. تراجع عن}
&&& نص {اقتران بقسمة الجانبين على} 2.
dfrac {ليس {2} y} {ليس {2}} & = & dfrac {27} {2}
y & = & dfrac {27} {2}
نهاية {مجموعة} )

الشيك:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac { not {2} ( dfrac {27} { not {2}})} {9} & = & 3 & text {هل هذا صحيح؟}
dfrac {27} {9} & = & 3 & text {هل هذا صحيح؟}
3 & = & 3 & text {نعم ، هذا صحيح. }
نهاية {مجموعة} )

الطريقة (2) (استخدام المعاملة بالمثل):
( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {2y} {9} & = & 3 & text {منذ} dfrac {2y} {9} = dfrac {2} {9} y ، dfrac {2} {9} text {مرتبط بـ} y text {بالضرب. }
&&& text {ثم ، منذ} dfrac {9} {2} cdot dfrac {2} {9} = 1 text {، الهوية المضاعفة ، يمكننا}
&&& text {التراجع عن الرابطة بضرب كلا الجانبين في} dfrac {9} {2}
( dfrac {9} {2}) ( dfrac {2y} {9}) & = & ( dfrac {9} {2}) (3)
( dfrac {9} {2} cdot dfrac {2} {9}) y & = & dfrac {27} {2}
1 cdot y & = & dfrac {27} {2}
y & = & dfrac {27} {2}
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {6} )

حل المعادلة الحرفية ( dfrac {4ax} {m} = 3b ) من أجل (x ).

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {4ax} {m} & = & 3b & m text {مرتبط بـ} x text {بالتقسيم. تراجع عن الاقتران بواسطة}
&&& text {ضرب كلا الجانبين في} م.
ليس {m} ( dfrac {4ax} { not {m}}) & = & m cdot 3b
4ax & = & 3bm & 4a text {مرتبط بـ} x text {بالضرب. تراجع عن}
&&& text {اقتران بضرب كلا الجانبين في} 4 أ
dfrac { not {4a} x} { not {4a}} & = & dfrac {3bm} {4a}
x & = & dfrac {3bm} {4a}
نهاية {مجموعة} )

الشيك:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {4a ( dfrac {3bm} {4a})} {m} & = & 3b & text {هل هذا صحيح؟ }
dfrac { not {4a} ( dfrac {3bm} { not {4a}})} {m} & = & 3b & text {هل هذا صحيح؟}
dfrac {3b not {m}} { not {m}} & = & 3b & text {هل هذا صحيح؟}
3b & = & 3b & text {نعم ، هذا صحيح.}
نهاية {مجموعة} )

مجموعة الممارسة أ

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

حل (6 أ = 42 ) من أجل (أ ).

إجابه

(أ = 7 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {2} )

حل (- 12 م = 16 ) من أجل (م ).

إجابه

(م = - dfrac {4} {3} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

حل ( dfrac {y} {8} = -2 ) من أجل (y )

إجابه

(ص = -16 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {4} )

حل (6.42x = 1.09 ) من أجل (x )

إجابه

(س = 0.17 ) (مقرب لأقرب منزلتين عشريتين)

مشكلة الممارسة ( PageIndex {5} )

حل ( dfrac {5k} {12} = 2 ) من أجل (k ).

إجابه

(k = dfrac {24} {5} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {6} )

حل ( dfrac {-ab} {2c} = 4d ) من أجل (b ).

إجابه

(b = dfrac {-8cd} {a} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {7} )

حل ( dfrac {3xy} {4} = 9xh ) من أجل (y ).

إجابه

(ص = 12 س )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {8} )

حل ( dfrac {2k ^ 2mn} {5pq} = -6n ) من أجل (m ).

إجابه

(m = dfrac {-15pq} {ك ^ 2} )

تمارين

حل كل من المعادلات الشرطية في المسائل التالية.

تمرين ( PageIndex {1} )

(3 س = 42 )

إجابه

(س = 14 )

تمرين ( PageIndex {2} )

(5 ص = 75 )

تمرين ( PageIndex {3} )

(6 س = 48 )

إجابه

(س = 8 )

تمرين ( PageIndex {4} )

(8 س = 56 )

تمرين ( PageIndex {5} )

(4x = 56 )

إجابه

(س = 14 )

تمرين ( PageIndex {6} )

(3 س = 93 )

تمرين ( PageIndex {7} )

(5 أ = -80 )

إجابه

(أ = -16 )

تمرين ( PageIndex {8} )

(9 م = -108 )

تمرين ( PageIndex {9} )

(6 ع = -108 )

إجابه

(ع = -18 )

تمرين ( PageIndex {10} )

(12 س = −180 )

تمرين ( PageIndex {11} )

(- 4 أ = 16 )

إجابه

(أ = -4 )

تمرين ( PageIndex {12} )

(- 20 س = 100 )

تمرين ( PageIndex {13} )

(- 6 س = −42 )

إجابه

(س = 7 )

تمرين ( PageIndex {14} )

(- 8 م = −40 )

تمرين ( PageIndex {15} )

(- 3 كيلو = 126 )

إجابه

(ك = −42 )

تمرين ( PageIndex {16} )

(- 9 ص = 126 )

تمرين ( PageIndex {17} )

( dfrac {x} {6} = 1 )

إجابه

(س = 6 )

تمرين ( PageIndex {18} )

( dfrac {أ} {5} = 6 )

تمرين ( PageIndex {19} )

( dfrac {k} {7} = 6 )

إجابه

(ك = 42 )

تمرين ( PageIndex {20} )

( dfrac {x} {3} = 72 )

تمرين ( PageIndex {21} )

( dfrac {x} {8} = 96 )

إجابه

(س = 768 )

تمرين ( PageIndex {22} )

( dfrac {y} {- 3} = -4 )

تمرين ( PageIndex {23} )

( dfrac {m} {7} = -8 )

إجابه

(م = -56 )

تمرين ( PageIndex {24} )

( dfrac {k} {18} = 47 )

تمرين ( PageIndex {25} )

( dfrac {f} {- 62} = 103 )

إجابه

(و = -6386 )

تمرين ( PageIndex {26} )

(3.06 م = 12.546 )

تمرين ( PageIndex {27} )

(5.012 ك = 0.30072 )

إجابه

(ك = 0.06 )

تمرين ( PageIndex {28} )

( dfrac {x} {2.19} = 5 )

تمرين ( PageIndex {29} )

( dfrac {y} {4.11} = 2.3 )

إجابه

(ص = 9.453 )

تمرين ( PageIndex {30} )

( dfrac {4y} {7} = 2 )

تمرين ( PageIndex {31} )

( dfrac {3m} {10} = -1 )

إجابه

(م = dfrac {-10} {3} )

تمرين ( PageIndex {32} )

( dfrac {5k} {6} = 8 )

تمرين ( PageIndex {33} )

( dfrac {8 س} {- 7} = -3 )

إجابه

(ح = dfrac {21} {8} )

تمرين ( PageIndex {34} )

( dfrac {-16z} {21} = -4 )

تمرين ( PageIndex {35} )

حل (pq = 7r ) من أجل (ع )

إجابه

(p = dfrac {7r} {q} )

تمرين ( PageIndex {36} )

حل (m ^ 2n = 2s ) من أجل (n )

تمرين ( PageIndex {37} )

حل (2.8ab = 5.6d ) من أجل (b )

إجابه

(b = dfrac {2d} {a} )

تمرين ( PageIndex {38} )

حل ( dfrac {mnp} {2k} = 4k ) من أجل (p )

تمرين ( PageIndex {39} )

حل ( dfrac {-8a ^ 2b} {3c} = -5a ^ 2 ) من أجل (b ).

إجابه

(b = dfrac {15c} {8} )

تمرين ( PageIndex {40} )

حل ( dfrac {3pcb} {2m} = 2b ) من أجل (pc )

تمرين ( PageIndex {41} )

حل ( dfrac {8rst} {3p} = -2prs ) من أجل (t ).

إجابه

(t = - dfrac {-3p ^ 2} {4} )

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {42} )

بسّط (( dfrac {2x ^ 0y ^ 0z ^ 3} {z ^ 2}) ^ 5 )

تمرين ( PageIndex {43} )

صنف (10x ^ 3-7x ) على أنه أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود. حدد درجتها واكتب المعامل العددي لكل عنصر.

إجابه

ذو الحدين. الدرجة الثالثة 10 ، −7

تمرين ( PageIndex {44} )

بسّط (3a ^ 2-2a + 4a (a + 2) )

تمرين ( PageIndex {45} )

حدد مجال المعادلة (y = dfrac {3} {7 + x} ).

إجابه

جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 7

تمرين ( PageIndex {46} )

حل المعادلة الشرطية (س + 6 = −2 ).


حل المعادلات الخطية (بما في ذلك القيم السالبة) - صيغة الفأس + ب = ج المتغيرات (أ)

معلمون يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات كاختبارات أو مهام تدريبية أو أدوات تعليمية (على سبيل المثال في العمل الجماعي أو للسقالات أو في مركز التعلم). آباء يمكن أن يعملوا مع أطفالهم لمنحهم مزيدًا من الممارسة ، أو لمساعدتهم على تعلم مهارة رياضيات جديدة أو للحفاظ على مهاراتهم جديدة خلال فترات الراحة المدرسية. الطلاب يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات لإتقان مهارة في الرياضيات من خلال الممارسة ، في مجموعة دراسة أو لتعليم الأقران.

استخدم الأزرار أدناه لطباعة أو فتح أو تنزيل إصدار PDF من ملف حل المعادلات الخطية (بما في ذلك القيم السالبة) - شكل الفأس + ب = ج التباينات (أ) ورقة العمل الرياضية. حجم ملف PDF هو 42173 بايت. يتم عرض صور المعاينة للصفحتين الأولى والثانية (إن وجدت). إذا كان هناك المزيد من الإصدارات من ورقة العمل هذه ، فستتوفر الإصدارات الأخرى أسفل صور المعاينة. لمزيد من المعلومات المشابهة ، استخدم شريط البحث للبحث عن بعض أو كل هذه الكلمات الرئيسية: الجبر والرياضيات والرياضيات وحل المعادلات الخطية .

ال مطبعة سيبدأ الزر مربع حوار الطباعة الخاص بالمستعرض الخاص بك. ال فتح الزر سيفتح ملف PDF الكامل في علامة تبويب جديدة في متصفحك. ال مدرس سيبدأ الزر في تنزيل ملف PDF الكامل بما في ذلك الأسئلة والأجوبة (إن وجدت). اذا كان طالب علم الزر موجود ، فسيبدأ تنزيل صفحة (صفحات) الأسئلة فقط. قد تتوفر خيارات إضافية عن طريق النقر بزر الماوس الأيمن على زر (أو الضغط على شاشة تعمل باللمس). لا أرى الأزرار!

حل المعادلات الخطية (بما في ذلك القيم السالبة) - الصيغة ax + b = c الاختلافات (A) الرياضيات ورقة العمل الصفحة 1 حل المعادلات الخطية (بما في ذلك القيم السالبة) - الصيغة ax + b = c الاختلافات (A) الرياضيات ورقة العمل الصفحة 2

استخدام المعادلة الزائفة لحل نظام محدد بشكل مفرط من المعادلات الخطية

بشكل عام ، لا يوجد حل للأنظمة المحددة بشكل مفرط (انظر 2.4 الأنظمة المحددة بشكل زائد). في الصورة التالية لا جدوى من تقاطع الأسطر الثلاثة المقابلة لثلاث معادلات:

هناك معادلات (3) أكثر من عدد غير معروف (2) لذلك هذا نظام معادلات محدد بشكل مفرط

العكسي الزائف يحل النظام في منظور الخطأ المربع الأقل: يجد الحل الذي يقلل من الخطأ. سنرى هذا بشكل أكثر وضوحا مع مثال.

العكسي الزائف يحل النظام في منظور الخطأ التربيعي الأقل

مثال 2.

في هذا المثال ، سننظر في هذه المجموعة المكونة من ثلاث معادلات ذات مجهولين:

$ تبدأ -2x_1 + 2 = x_2 4x_1 + 8 = x_2 -1x_1 + 2 = x_2 end Leftrightarrow ابدأ -2x_1 - x_2 = -2 4x_1 - x_2 = -8 -1x_1 - x_2 = -2 النهاية $

دعونا نرى تمثيلهم الرسومي:

تمثيل لنظام المعادلة المحدد بشكل مفرط

نحن نرى في الواقع أنه لا يوجد حل.

بوضع هذا في نموذج المصفوفة لدينا:

$ بكالوريوس = بكالوريوس Leftrightarrow ابدأ -2 & amp -1 4 & amp -1 -1 & amp -1 النهاية يبدأ x_1 x_2 end = ابدأ -2 -8 -2 نهاية $

سنقوم الآن بحساب المعكوس الزائف لـ $ bs $:

الآن وقد قمنا بحساب المعكوس الزائف لـ $ bs $:

يمكننا استخدامه للعثور على $ bsمع العلم أن:

في بعدين لدينا ، إحداثيات $ bs$ هي

$ تبدأ -1.06451613 3.64516129 نهاية $

دعونا نرسم هذه النقطة مع خطوط المعادلات:

يمكن استخدام العكسي الكاذب لإيجاد النقطة التي تقلل من متوسط ​​الخطأ التربيعي

ربما كنت تتوقع أن تكون النقطة في مركز ثقل المثلث (راجع محلول المربع الأقل في مركز المثلث). ليس هذا هو الحال لأن المعادلات لا يتم تحجيمها بنفس الطريقة. في الواقع ، تقع النقطة عند تقاطع سيميوسيات المثلث الثلاثة.

مثال 3.

يمكن استخدام هذه الطريقة أيضًا لملاءمة خط مع مجموعة من النقاط. لنأخذ نقاط البيانات التالية:

نريد أن نلائم خطًا مع مجموعة نقاط البيانات هذه

لدينا هذه المجموعة من $ bs$ و $ بكالوريوس$ ونبحث عن السطر $ y = mx + b $ الذي يقلل الخطأ. يمكن تقييم الخطأ على أنه مجموع الاختلافات بين نقاط البيانات الملائمة والفعلية. يمكننا تمثيل نقاط البيانات باستخدام معادلات مصفوفة:

( بكالوريوس = بكالوريوس Leftrightarrow ابدأ 0 & amp 1 1 & amp 1 2 & amp 1 3 & amp 1 3 & amp 1 4 & amp 1 end يبدأ م b end = ابدأ 2 4 0 2 5 3 end)

(يبدأ 0 م + 1 ب = 2 1m + 1b = 4 2m + 1b = 0 3m + 1b = 2 3m + 1b = 5 4m + 1b = 3 نهاية)

لدينا مجموعة المعادلات $ mx + b = y $. يتم استخدام تلك لإعادة معلمة التقاطع. على سبيل المثال ، في المعادلة الأولى المقابلة للنقطة الأولى ، لدينا جيدًا $ x = 0 $ و $ y = 2 $. قد يكون هذا محيرًا لأن المتجه $ bs هنا$ يتوافق مع المعاملات. هذا لأن المشكلة تختلف عن الأمثلة الأخرى: نحن نبحث عن معاملات الخط وليس عن قيم $ x $ و $ y $ غير المعروفة. احتفظنا بهذا الترميز للإشارة إلى التشابه مع الأمثلة الأخيرة.

لذلك سنقوم ببناء هذه المصفوفات ونحاول استخدام العكسي الزائف لإيجاد معادلة الخط لتقليل الخطأ (الفرق بين الخط ونقاط البيانات الفعلية).


حل المعادلات الخطية - صيغة ax + b = c (A)

معلمون يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات كاختبارات أو مهام تدريبية أو أدوات تعليمية (على سبيل المثال في العمل الجماعي أو للسقالات أو في مركز التعلم). آباء يمكن أن يعملوا مع أطفالهم لمنحهم مزيدًا من الممارسة ، أو لمساعدتهم على تعلم مهارة رياضيات جديدة أو للحفاظ على مهاراتهم جديدة خلال فترات الراحة المدرسية. الطلاب يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات لإتقان مهارة في الرياضيات من خلال الممارسة ، في مجموعة دراسة أو لتعليم الأقران.

استخدم الأزرار أدناه لطباعة أو فتح أو تنزيل إصدار PDF من ملف حل المعادلات الخطية - نموذج الفأس + ب = ج (أ) ورقة العمل الرياضية. حجم ملف PDF هو 33348 بايت. يتم عرض صور المعاينة للصفحتين الأولى والثانية (إن وجدت). إذا كان هناك المزيد من الإصدارات من ورقة العمل هذه ، فستتوفر الإصدارات الأخرى أسفل صور المعاينة. لمزيد من المعلومات المشابهة ، استخدم شريط البحث للبحث عن بعض أو كل هذه الكلمات الرئيسية: الجبر والرياضيات والرياضيات وحل المعادلات الخطية .

ال مطبعة سيبدأ الزر مربع حوار الطباعة الخاص بالمستعرض الخاص بك. ال فتح الزر سيفتح ملف PDF الكامل في علامة تبويب جديدة في متصفحك. ال مدرس سيبدأ الزر في تنزيل ملف PDF الكامل بما في ذلك الأسئلة والأجوبة (إن وجدت). اذا كان طالب علم الزر موجود ، فسيبدأ تنزيل صفحة (صفحات) الأسئلة فقط. قد تتوفر خيارات إضافية عن طريق النقر بزر الماوس الأيمن على زر (أو الضغط على شاشة تعمل باللمس). لا أرى الأزرار!

حل المعادلات الخطية - الصيغة ax + b = c (A) Math Worksheet الصفحة 1 حل المعادلات الخطية - الصيغة ax + b = c (A) Math Worksheet الصفحة 2

حل معادلة القيمة المطلقة

يسمح حلالا لحل المعادلة التي تنطوي على قيمه مطلقه إنه قادر على حل المعادلات الخطية باستخدام القيم المطلقة والمعادلات التربيعية التي تتضمن قيمًا مطلقة وأيضًا أنواع أخرى من المعادلات ذات القيم المطلقة.

    يعرض solver تفاصيل حساب المعادلة الخطية ذات القيمة المطلقة. يعرض solver خطوات الحساب لحل المعادلة التربيعية ذات القيمة المطلقة.

$ sum_^ n x_i y_i = a sum_^ n x_i ^ 2 + b sum_^ nx_i ^ 3 $ sum_^ n x_i ^ 2 y_i = a sum_^ n x_i ^ 3 + b sum_^ nx_i ^ 4 دولار

يُشتق هذا بالبدء بتعبير لمجموع الأخطاء التربيعية

دولار SSE = sum_^ n (y_i - hat_i) ^ 2 دولار أمريكي SSE = sum_^ n (y_i - (ax_i + bx_i ^ 2)) ^ 2 $

خذ المشتقات الجزئية بالنسبة إلى $ a $ و $ b $ وقم بتعيين كل منها على $:

ثم مع بعض إعادة الترتيب والتبسيط تحصل على $ - sum_^ n x_i y_i + a sum_^ n x_i ^ 2 + b sum_^ n x_i ^ 3 = 0 $ - sum_^ n x_i ^ 2 y_i + a sum_^ n x_i ^ 3 + b sum_^ n x_i ^ 4 = 0 دولار


لمحة عامة عن الرياضيات البابلية

عاش البابليون في بلاد ما بين النهرين ، السهل الخصب بين نهري دجلة والفرات.



هنا ملف خريطة المنطقة حيث ازدهرت الحضارة.


كانت المنطقة مركز الحضارة السومرية التي ازدهرت قبل 3500 قبل الميلاد. كانت هذه حضارة متقدمة لبناء المدن ودعم الناس بأنظمة الري والنظام القانوني والإدارة وحتى الخدمات البريدية. تم تطوير الكتابة والعد على أساس النظام الستيني ، أي القاعدة 60. حوالي 2300 قبل الميلاد غزا الأكاديون المنطقة ولبعض الوقت اختلطت الثقافة الأكثر تخلفًا للأكاديين بالثقافة الأكثر تقدمًا للسومريين. اخترع الأكاديون العداد كأداة للعد وقاموا بتطوير طرق حسابية خرقاء إلى حد ما مع لعب الجمع والطرح والضرب والقسمة جميعًا دورًا. ومع ذلك ، ثار السومريون ضد الحكم الأكادي وبحلول عام 2100 قبل الميلاد عادوا إلى السيطرة.

لكن الحضارة البابلية ، التي كانت الرياضيات موضوع هذا المقال ، حلت محل حضارة السومريين من حوالي 2000 قبل الميلاد. كان البابليون شعبًا ساميًا غزا بلاد ما بين النهرين وهزم السومريين وبحلول عام 1900 قبل الميلاد أسسوا عاصمتهم في بابل.

طور السومريون شكلاً تجريديًا للكتابة يعتمد على الرموز المسمارية (أي على شكل إسفين). كانت رموزهم مكتوبة على ألواح طينية مبللة تم خبزها في الشمس الحارقة وبقيت عدة آلاف من هذه الألواح حتى يومنا هذا. كان استخدام قلم على وسط من الطين هو الذي أدى إلى استخدام الرموز المسمارية حيث لا يمكن رسم الخطوط المنحنية. تبنى البابليون اللاحقون نفس أسلوب الكتابة المسمارية على الألواح الطينية.


هنا أحد الأجهزة اللوحية الخاصة بهم


تتعلق العديد من الأجهزة اللوحية بموضوعات رائعة رغم أنها لا تحتوي على رياضيات عميقة. على سبيل المثال ، ذكرنا أعلاه أنظمة الري للحضارات المبكرة في بلاد ما بين النهرين. تمت مناقشة هذه في [40] حيث كتب موروي: -

كانت مهمة مهمة لحكام بلاد ما بين النهرين حفر القنوات وصيانتها ، لأن القنوات لم تكن ضرورية للري فحسب ، بل كانت مفيدة أيضًا لنقل البضائع والجيوش. يجب أن يكون الحكام أو كبار المسؤولين الحكوميين قد أمروا علماء الرياضيات البابليين بحساب عدد العمال والأيام اللازمة لبناء قناة ، ولحساب إجمالي نفقات أجور العمال.

هناك العديد من النصوص الرياضية البابلية القديمة التي يطلب فيها كميات مختلفة تتعلق بحفر القناة. وهي YBC 4666 و 7164 و VAT 7528 ، وكلها مكتوبة باللغة السومرية. و YBC 9874 و BM 85196 ، رقم 15 ، وهي مكتوبة باللغة الأكادية. . من وجهة النظر الرياضية ، هذه المشاكل بسيطة نسبيًا.

كان لدى البابليين نظام أعداد متقدم ، بطريقة ما أكثر تقدمًا من أنظمتنا الحالية. لقد كان نظامًا موضعيًا بقاعدة 60 بدلاً من النظام باستخدام القاعدة 10 على نطاق واسع اليوم. لمزيد من التفاصيل حول الأرقام البابلية ، وكذلك مناقشة حول نظريات استخدامهم للقاعدة 60 ، راجع مقالتنا عن الأرقام البابلية.

قسم البابليون اليوم إلى 24 ساعة ، كل ساعة إلى 60 دقيقة ، كل دقيقة إلى 60 ثانية. استمر هذا النوع من العد لمدة 4000 عام. كتابة 5 ساعات و 25 '30 "، أي 5 ساعات ، 25 دقيقة ، 30 ثانية ، هو فقط لكتابة الكسر الستيني ، 5 25 60 30 3600 5 large frac <25> <60> normalsize large frac < 30> <3600> normalsize 5 6 0 2 5 3 6 0 0 3 0. نعتمد الترميز 5 25، 30 لهذا العدد الستيني ، لمزيد من التفاصيل حول هذا الترميز راجع مقالتنا عن الأرقام البابلية. كأساس 10 كسر العدد الستيني 5 25 ، 30 هو 5 4 10 2100 51000 5 كبير فارك <4> <10> عادي الحجم كبير فارك <2> <100> معيار الحجم كبير فارك <5> < 1000> القياس الطبيعي 5 1 0 4 1 0 0 2 1 0 0 0 5 وهو مكتوب في صورة 5.425 بالتدوين العشري.

ربما كان أكثر الجوانب المدهشة في مهارات الحساب لدى البابليين هو بناءهم للجداول للمساعدة في الحساب. لوحين عُثر عليهما في سنكرة على نهر الفرات عام 1854 يعودان إلى عام 2000 ق. يعطون مربعات للأعداد حتى 59 ومكعبات حتى 32. يعطي الجدول 8 2 = 1 ، 4 8 ^ <2> = 1،4 8 2 = 1 ، 4 وهو ما يمثل

استخدم البابليون الصيغة

مما يدل على أن جدول المربعات هو كل ما هو ضروري لضرب الأرقام ، ببساطة أخذ الفرق بين المربعين اللذين تم البحث عنه في الجدول ثم أخذ ربع الإجابة.

التقسيم عملية أصعب. لم يكن لدى البابليين خوارزمية للقسمة المطولة. بدلاً من ذلك ، استندوا في طريقتهم إلى حقيقة أن

ذهبت الرياضيات البابلية إلى أبعد من الحسابات الحسابية. في مقالنا عن نظرية فيثاغورس في الرياضيات البابلية ، نفحص بعض أفكارهم الهندسية وأيضًا بعض الأفكار الأساسية في نظرية الأعداد. في هذه المقالة ندرس الآن بعض الجبر الذي طوره البابليون ، وخاصة المشاكل التي أدت إلى المعادلات وحلها.

أشرنا أعلاه إلى أن البابليين اشتهروا بصناعة الطاولات. الآن يمكن استخدام هذه لحل المعادلات. على سبيل المثال ، قاموا ببناء جداول لـ n 3 + n 2 n ^ <3> + n ^ <2> n 3 + n 2 ثم ، بمساعدة هذه الجداول ، يمكن حل معادلات تكعيبية معينة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة

ليس من السهل فهم هذه الحسابات من قبل الكاتب ما لم نترجمها إلى تدوين جبري حديث. علينا أن نحل

لحل معادلة تربيعية ، استخدم البابليون أساسًا الصيغة القياسية. اعتبروا نوعين من المعادلات التربيعية ، وهما

لاحظ أنه في كل حالة يكون هذا هو الجذر الموجب من جذري المعادلة التربيعية والجذر الذي سيكون له معنى في حل المشكلات "الحقيقية". على سبيل المثال المشكلات التي قادت البابليين إلى معادلات من هذا النوع غالبًا ما تتعلق بمنطقة المستطيل. على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء المساحة وتم إعطاء المقدار الذي يتجاوز الطول به العرض ، فإن العرض يفي بمعادلة تربيعية ومن ثم يطبقون الإصدار الأول من الصيغة أعلاه.

تشير مشكلة على لوح من العصور البابلية القديمة إلى أن مساحة المستطيل تساوي 1 ، 0 وأن طوله يتجاوز عرضه بمقدار 7. المعادلة

في [10] يقدم بريمان 13 مثالًا نموذجيًا للمسائل التي تؤدي إلى معادلات تربيعية مأخوذة من الألواح البابلية القديمة.

إذا أدت المشكلات التي تتضمن مساحة المستطيلات إلى معادلات تربيعية ، فإن المشكلات التي تتضمن حجم التنقيب المستطيل ("القبو") تؤدي إلى معادلات تكعيبية. قرص الطين BM 85200 + الذي يحتوي على 36 مشكلة من هذا النوع ، هو أقدم محاولة معروفة لإعداد وحل المعادلات التكعيبية. يناقش Hoyrup هذا الجهاز اللوحي الرائع في [26]. بالطبع لم يصل البابليون إلى صيغة عامة لحل المكعبات. لن يتم العثور على هذا لأكثر من ثلاثة آلاف سنة.


حل المعادلات التربيعية بأمثلة الصيغة التربيعية

تتدحرج الكرة على منحدر وتقطع مسافة d = t 2 & # xa0- 0.75t قدم في t ثانية. أوجد & # xa0 الوقت عندما تكون المسافة المقطوعة & # xa0 بواسطة الكرة 11.25 قدمًا.

دع t يكون الوقت بالثواني عندما & # xa0 المسافة المقطوعة & # xa0 بواسطة الكرة 11.25 قدمًا.

المسافة المقطوعة بالكرة = 11.25 قدمًا.

اضرب كل جانب في 100.

عوّض بالقيم أعلاه لـ a و b و c في الصيغة التربيعية. & # xa0

لا يمكن أن يكون مقدار الوقت المستغرق قيمة سالبة.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، & # xa0 إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


قدرات موسعة

صفائف طويلة احسب باستخدام المصفوفات التي تحتوي على صفوف أكثر مما تتناسب مع الذاكرة.

تدعم هذه الوظيفة المصفوفات الطويلة مع وجود قيود:

بالنسبة إلى بناء الجملة Z = X Y ، يجب أن تكون المصفوفة X عددية أو مصفوفة طويلة بنفس عدد الصفوف مثل Y.

إنشاء كود C / C ++ قم بإنشاء كود C و C ++ باستخدام MATLAB & # 174 Coder & # 8482.

ملاحظات الاستخدام والقيود:

بالنسبة لمدخلات المصفوفة المتفرقة ، يجب أن تكون مكتبة الرياضيات القياسية C99 أو أحدث.

إنشاء رمز GPU قم بإنشاء كود CUDA & # 174 لوحدات معالجة الرسومات NVIDIA & # 174 باستخدام GPU Coder & # 8482.

ملاحظات الاستخدام والقيود:

بالنسبة لمدخلات المصفوفة المتفرقة ، يجب أن تكون مكتبة الرياضيات القياسية C99 أو أحدث.

صفيفات GPU تسريع التعليمات البرمجية من خلال التشغيل على وحدة معالجة الرسومات (GPU) باستخدام Parallel Computing Toolbox & # 8482.

ملاحظات الاستخدام والقيود:

إذا كانت A مستطيلة ، فيجب أن تكون أيضًا غير متقطعة.

تطبع وظيفة MATLAB mldivide تحذيرًا إذا كان مقياس A سيئًا أو قريبًا من المفرد أو رتبًا ناقصًا. يتعذر على gpuArray mldivide التحقق من هذا الشرط. اتخذ إجراءات لتجنب هذا الشرط.

الأعداد الصحيحة 64 بت غير مدعومة.

لمزيد من المعلومات ، راجع تشغيل وظائف MATLAB على GPU (Parallel Computing Toolbox).

المصفوفات الموزعة قسّم المصفوفات الكبيرة عبر الذاكرة المدمجة لمجموعتك باستخدام Parallel Computing Toolbox & # 8482.

ملاحظات الاستخدام والقيود:

تطبع وظيفة MATLAB mldivide تحذيرًا إذا كان مقياس A سيئًا أو قريبًا من المفرد أو رتبًا ناقصًا. المصفوفة الموزعة mldivide غير قادرة على التحقق من هذا الشرط. اتخذ إجراءات لتجنب هذا الشرط.

إذا كانت A عبارة عن مصفوفة M-by-N مع N & gt M ، للمصفوفات الموزعة ، يحسب mldivide حلاً يقلل القاعدة (X). والنتيجة هي نفسها نتيجة PINV (A) * B.

لمزيد من المعلومات ، راجع تشغيل وظائف MATLAB باستخدام المصفوفات الموزعة (Parallel Computing Toolbox).


شاهد الفيديو: طريقة حل معادلة من الدرجة الثالثة - بكالوريا BAC - How to solve cubic equation (شهر اكتوبر 2021).