مقالات

5.8: المعادلات الخطية في متغيرين - الرياضيات


حلول المعادلات الخطية في متغيرين

حل معادلة في اثنين المتغيرات

لقد اكتشفنا أن المعادلة هي طريقة رياضية للتعبير عن علاقة المساواة بين الكميات. إذا كانت العلاقة بين كميتين ، فستحتوي المعادلة على متغيرين. نقول أن المعادلة في متغيرين لها حل إذا كانت مرتبة زوج من القيم يمكن العثور عليها بحيث عندما يتم استبدال هاتين القيمتين في المعادلة ينتج بيان صحيح. يتضح هذا عندما نلاحظ بعض الحلول للمعادلة (y = 2x + 5 ).

( ابدأ {مجموعة} {l}
س = 4 ، ص = 13 ؛ quad text {since} 13 = 2 (4) +5 text {is true}
س = 1 ، ص = 7 ؛ quad text {since} 7 = 2 (1) +5 text {صحيح. }
س = 0 ، ص = 5 ؛ quad text {since} 5 = 2 (0) +5 text {صحيح. }
س = -6 ، ص = -7 ؛ quad text {since} -7 = 2 (-6) +5 text {صحيح. }
نهاية {مجموعة} )

الأزواج المرتبة كحلول

من المهم أن تضع في اعتبارك أن حل المعادلة الخطية في متغيرين هو زوج مرتب من القيم ، قيمة واحدة لكل متغير. لا يكون الحل معروفًا تمامًا حتى قيم على حد سواء المتغيرات المحددة.

المتغيرات المستقلة والمعتمدة

تذكر أنه في المعادلة ، أي متغير يمكن تخصيص قيمته بحرية يُقال إنه متغير مستقل. أي متغير يتم تحديد قيمته بمجرد تعيين القيمة أو القيم الأخرى يُقال إنه أ المتغير التابع. إذا كان المتغير المستقل في المعادلة الخطية هو x والمتغير التابع هو y ، وكان حل المعادلة هو x = a و y = b ، فيتم كتابة الحل بالشكل

الزوج المطلوب: ((أ ، ب) )

أمر زوج

في زوج مرتب، ((أ ، ب) ) ، المكون الأول ، (أ ) ، يعطي قيمة المتغير المستقل ، والمكون الثاني ، (ب ) ، يعطي قيمة المتغير التابع.

يمكننا استخدام الأزواج المرتبة لإظهار بعض الحلول للمعادلة (y = 6x − 7 ).

مثال ( PageIndex {1} )

((0, -7))

إذا (س = 0 ) و (ص = -7 ) ، نحصل على بيان صحيح عند الاستبدال والحساب

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
ص & = & 6 س -7
-7 & = & 6 (0) -7 & text {هل هذا صحيح؟}
-7 & = & - 7 & text {هل هذا صحيح؟}
-7 & = & 41 & text {نعم ، هذا صحيح}
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {2} )

((8, 41))

إذا (س = 8 ) و (ص = 41 ) ، نحصل على بيان صحيح عند الاستبدال والحساب

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
ص & = & 6 س -7
41 & = & 6 (8) -7 & text {هل هذا صحيح؟}
41 & = & 48-7 & text {هل هذا صحيح؟}
41 & = & 41 & text {نعم ، هذا صحيح}
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {3} )

((-4, -31))

إذا (س = 8 ) و (ص = 41 ) ، نحصل على بيان صحيح عند الاستبدال والحساب

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
ص & = & 6 س -7
-31 & = & 6 (-4) -7 & text {هل هذا صحيح؟}
-31 & = & - 24-7 & text {هل هذا صحيح؟}
-31 & = & - 31 & text {نعم ، هذا صحيح}
نهاية {مجموعة} )

هذه ليست سوى ثلاثة من الحلول العديدة اللانهائية لهذه المعادلة.

مجموعة العينة أ

ابحث عن حل لكل من المعادلات الخطية التالية في متغيرين واكتب الحل كزوج مرتب.

مثال ( PageIndex {4} )

(
y = 3 x-6 ، text {if} x = 1
)
استبدل 1 بـ (x ) واحسب وحل من أجل (y ).
(
تبدأ {محاذاة}
ص & = 3 (1) -6
&=3-6 \
&=-3
نهاية {محاذاة}
)
ومن ثم ، فإن أحد الحلول هو ((1 ، -3) ).

مثال ( PageIndex {5} )

(
ص = 15-4 س ، نص {إذا} س = -10
)
استبدل -10 بـ (x ) واحسب وحل من أجل (y ).
(
تبدأ {محاذاة}
ص & = 15-4 (-10)
&=15+40 \
&=55
نهاية {محاذاة}
)
ومن ثم ، فإن أحد الحلول هو ((- 10،55) ).

مثال ( PageIndex {6} )

(
ب = -9 أ + 21 ، نص {إذا} أ = 2
)
استبدل 2 بـ (a ) واحسب وحل من أجل (b ).
(
تبدأ {محاذاة}
ب & = - 9 (2) +21
&=-18+21 \
&=3
نهاية {محاذاة}
)
ومن ثم ، فإن أحد الحلول هو ((2،3) ).

مثال ( PageIndex {7} )

(5 x-2 y = 1، text {if} x = 0 )
استبدل 0 بـ (x ) واحسب وحل من أجل (y ).
(
تبدأ {محاذاة}
5 (0) -2 ص & = 1
0-2 ص & = 1
-2 ص & = 1
ص & = - dfrac {1} {2}
نهاية {محاذاة}
)
ومن ثم ، فإن أحد الحلول هو ( left (0، - dfrac {1} {2} right) ).

مجموعة الممارسة أ

ابحث عن حل لكل من المعادلات الخطية التالية في متغيرين واكتب الحل كزوج مرتب.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

(ص = 7 س − 20 ) ، إذا (س = 3 )

إجابه

((3, 1))

مشكلة الممارسة ( PageIndex {2} )

(م = −6n + 1 ) ، إذا (n = 2 )

إجابه

((2, −11))

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

(ب = 3 أ − 7 ) ، إذا (أ = 0 )

إجابه

((0, −7))

مشكلة الممارسة ( PageIndex {4} )

(10x − 5y − 20 = 0 ) ، إذا (س = −8 )

إجابه

((−8, −20))

مشكلة الممارسة ( PageIndex {5} )

(3 أ + 2 ب + 6 = 0 ) ، إذا (أ = −1 )

إجابه

((- 1، dfrac {-3} {2}) )

تمارين

بالنسبة للمسائل التالية ، حل المعادلات الخطية في متغيرين.

تمرين ( PageIndex {1} )

(ص = 8 س + 14 ) ، إذا (س = 1 )

إجابه

((1,22))

تمرين ( PageIndex {2} )

(ص = -2 س + 1 ) ، إذا (س = 0 )

تمرين ( PageIndex {3} )

(ص = 5 س + 6 ) ، إذا (س = 4 )

إجابه

((4,26))

تمرين ( PageIndex {4} )

(س + ص = 7 ) إذا (س = 8 )

تمرين ( PageIndex {5} )

(3 س + 4 ص = 0 ) إذا (س = −3 )

إجابه

((- 3، dfrac {9} {4}) )

تمرين ( PageIndex {6} )

(- 2x + y = 1 ) ، إذا (x = dfrac {1} {2} )

تمرين ( PageIndex {7} )

(5x − 3y + 1 = 0 ) إذا (x = −6 )

إجابه

((- 6، - dfrac {29} {3}) )

تمرين ( PageIndex {8} )

(- 4x − 4y = 4 ) ، إذا (ص = 7 )

تمرين ( PageIndex {9} )

(2 س + 6 ص = 1 ) ، إذا (ص = 0 )

إجابه

(( dfrac {1} {2}، 0) )

تمرين ( PageIndex {10} )

(- س − y = 0 ) ، إذا (y = dfrac {14} {3} )

تمرين ( PageIndex {11} )

(ص = س ) ، إذا (س = 1 )

إجابه

((1,1))

تمرين ( PageIndex {12} )

(س + ص = 0 ) ، إذا (س = 0 )

تمرين ( PageIndex {13} )

(y + dfrac {3} {4} = x ) ، إذا (x = dfrac {9} {4} )

إجابه

(( dfrac {9} {4}، dfrac {3} {2}) )

تمرين ( PageIndex {14} )

(ص + 17 = س ) إذا (س = -12 )

تمرين ( PageIndex {15} )

(- 20y + 14x = 1 ) ، إذا (x = 8 )

إجابه

((8، dfrac {111} {20}) )

تمرين ( PageIndex {16} )

( dfrac {3} {5} y + dfrac {1} {4} x = dfrac {1} {2} ) ، إذا (x = -3 )

تمرين ( PageIndex {17} )

( dfrac {1} {5} x + y = -9 ) ، إذا (y = -1 ).

إجابه

((−40,−1))

تمرين ( PageIndex {18} )

(ص + 7 − س = 0 ) ، إذا (س = * )

تمرين ( PageIndex {19} )

(2 س + 31 ص − 3 = 0 ) إذا (س = أ )

إجابه

((a، dfrac {3-2a} {31}) )

تمرين ( PageIndex {20} )

(436 س + 189 ص = 881 ) إذا (س = −4231 )

تمرين ( PageIndex {21} )

(ص = 6 (س − 7) ) إذا (س = 2 )

إجابه

((2,−30))

تمرين ( PageIndex {22} )

(ص = 2 (4x + 5) ) إذا (س = −1 )

تمرين ( PageIndex {23} )

(5y = 9 (x − 3) ) إذا (x = 2 )

إجابه

((2، - dfrac {9} {5}) )

تمرين ( PageIndex {24} )

(3y = 4 (4x + 1) ) إذا (x = −3 )

تمرين ( PageIndex {25} )

(- 2 ص = 3 (2 س − 5) ) ، إذا (س = 6 )

إجابه

((6، - dfrac {21} {2}) )

تمرين ( PageIndex {26} )

(- 8 ص = 7 (8 س + 2) ) إذا (س = 0 )

تمرين ( PageIndex {27} )

(ب = 4 أ − 12 ) ، إذا (أ = −7 )

إجابه

((−7,−40))

تمرين ( PageIndex {28} )

(ب = −5a + 21 ) ، إذا (أ = -9 )

تمرين ( PageIndex {29} )

(4 ب − 6 = 2 أ + 1 ) إذا (أ = 0 )

إجابه

((0، dfrac {7} {4}) )

تمرين ( PageIndex {30} )

(- 5 م + 11 = n + 1 ) ، إذا (n = 4 )

تمرين ( PageIndex {31} )

(3 (ر + 2) = 4 (ث − 9) ) ، إذا (ق = 1 )

إجابه

((1، - dfrac {38} {3}) )

تمرين ( PageIndex {32} )

(7 (ر − 6) = 10 (2 / ث) ) ، إذا (ق = 5 )

تمرين ( PageIndex {33} )

(ص = 0 × + 5 ) ، إذا (س = 1 )

إجابه

((1,5))

تمرين ( PageIndex {34} )

(2y = 0 x − 11 ) ، إذا (x = −7 )

تمرين ( PageIndex {35} )

(- ص = 0 × + 10 ) ، إذا (س = 3 )

إجابه

((3,−10))

تمرين ( PageIndex {36} )

(- 5y = 0 x − 1 ) ، إذا (x = 0 )

تمرين ( PageIndex {37} )

(ص = 0 (س − 1) +6 ) ، إذا (س = 1 )

إجابه

((1,6))

تمرين ( PageIndex {38} )

(ص = 0 (3 س + 9) −1 ) ، إذا (س = 12 )

تمرين ( PageIndex {39} )

ينتج عن فحص سرعات الفوز في سباق السيارات إنديانابوليس 500 من 1961 إلى 1970 المعادلة (y = 1.93x + 137.60 ) ، حيث (x ) هو عدد السنوات من 1960 و (y ) سرعة الفوز. تم استخدام الأساليب الإحصائية للحصول على المعادلة ، وفي عام معين ، تعطي المعادلة سرعة الفوز التقريبية فقط. استخدم المعادلة (y = 1.93x + 137.60 ) لإيجاد سرعة الفوز التقريبية بها

  1. 1965
  2. 1970
  3. 1986
  4. 1990
إجابه

(أ) ما يقرب من 147 ميلاً في الساعة باستخدام ((5،147.25) )
(ب) 157 ميلاً في الساعة تقريبًا باستخدام ((10،156.9) )
(ج) ما يقرب من 188 ميلاً في الساعة باستخدام ((26187.78) )
(د) ما يقرب من 196 ميلاً في الساعة باستخدام ((30195.5) )

تمرين ( PageIndex {40} )

في نظرية الكهرباء ، يربط قانون أوم التيار الكهربائي بالجهد بالمعادلة (y = 0.00082x ) ، حيث (x ) هو الجهد بالفولت و (y ) هو التيار بالأمبير. تم العثور على هذه المعادلة بالطرق الإحصائية وللجهد المعطى ينتج فقط قيمة تقريبية للتيار. استخدم المعادلة (y = 0.00082x ) لإيجاد التيار التقريبي لجهد مقداره

  1. 6 فولت
  2. 10 فولت

تمرين ( PageIndex {41} )

تم استخدام الأساليب الإحصائية للحصول على علاقة بين العدد الفعلي والمبلغ عنه للغواصات الألمانية التي غرقت كل شهر من قبل البحرية الأمريكية في الحرب العالمية الثانية. المعادلة التي تعبر عن العدد التقريبي للغرق الفعلي ، (y ) ، لعدد معين من الغرق المبلغ عنها ، (x ) ، هي (y = 1.04x + 0.76 ). ابحث عن العدد التقريبي للغرق الفعلي للغواصات الألمانية إذا كان العدد المبلغ عنه من الغرق هو

  1. 4
  2. 9
  3. 10
إجابه

(أ) ما يقرب من 5 غرق باستخدام ((4،4.92) )
(ب) ما يقرب من 10 غرق باستخدام ((9،10.12) )
(ج) ما يقرب من 11 غرقًا باستخدام ((10،11.16) )

تمرين ( PageIndex {42} )

تم استخدام الطرق الإحصائية للحصول على علاقة بين وزن القلب (بالملليغرام) ووزن الجسم (بالمليغرام) لنسل يبلغ من العمر 10 أشهر مصاب بالسكري من ذكور الفئران المهجنة. المعادلة التي تعبر عن وزن الجسم التقريبي لوزن قلب معين هي (y = 0.213x − 4.44 ). ابحث عن وزن الجسم التقريبي لوزن القلب

  1. 210 مجم
  2. 245 مجم

تمرين ( PageIndex {43} )

تم استخدام الطرق الإحصائية لإنتاج المعادلة (ص = 0.176 س − 0.64 ). تعطي هذه المعادلة العدد التقريبي لخلايا الدم الحمراء (بالملايين) لدم الكلب ، (ص ) ، لحجم خلية معبأة (بالمليمترات) ، (س ). أوجد العدد التقريبي لخلايا الدم الحمراء لحجم خلية معبأ بـ

  1. 40 ملم
  2. 42 ملم
إجابه

(أ) ما يقرب من 6.4 باستخدام ((40،6.4) )
(ب) ما يقرب من 4.752 باستخدام ((42،7.752) )

تمرين ( PageIndex {44} )

يمكن أن تعمل الآلة الصناعية بسرعات مختلفة. ينتج الجهاز أيضًا عناصر معيبة ، ويبدو أن عدد العناصر المعيبة التي ينتجها مرتبط بالسرعة التي يعمل بها الجهاز. وجدت الطرق الإحصائية أن المعادلة (y = 0.73x − 0.86 ) قادرة على إعطاء العدد التقريبي للعناصر المعيبة ، (y ) ، لسرعة آلة معينة ، (x ). استخدم هذه المعادلة لإيجاد العدد التقريبي للعناصر المعيبة لسرعة آلة تبلغ

  1. 9
  2. 12

تمرين ( PageIndex {45} )

وجدت شركة كمبيوتر ، باستخدام تقنيات إحصائية ، أن هناك علاقة بين درجات اختبار الكفاءة لعمال خط التجميع وإنتاجيتهم. باستخدام البيانات المتراكمة على مدى فترة زمنية ، تم اشتقاق المعادلة (y = 0.89x − 41.78 ). يمثل (س ) درجة اختبار الكفاءة و (ص ) العدد التقريبي المقابل للعناصر التي يتم تجميعها في الساعة. تقدير عدد العناصر التي ينتجها عامل بدرجة الكفاءة

  1. 80
  2. 95
إجابه

(أ) ما يقرب من 29 عنصرًا باستخدام ((80،29.42) )
(ب) ما يقرب من 43 عنصرًا باستخدام ((95،42.77) )

تمرين ( PageIndex {46} )

استطاع الكيميائيون ، باستخدام التقنيات الإحصائية ، التعبير عن الوزن التقريبي لبروميد البوتاسيوم ، (W ) ، الذي سيذوب في 100 جرام من الماء عند (T ) درجة مئوية. المعادلة التي تعبر عن هذه العلاقة هي (W = 0.52T + 54.2 ). استخدم هذه المعادلة للتنبؤ بوزن بروميد البوتاسيوم الذي سيذوب في 100 جرام من الماء الذي يتم تسخينه إلى درجة حرارة

  1. 70 درجة مئوية
  2. 95 درجة مئوية

تمرين ( PageIndex {47} )

تمكن قسم التسويق في شركة كبيرة من التعبير عن العلاقة بين الطلب على المنتج وسعره باستخدام التقنيات الإحصائية. وجد القسم ، من خلال تحليل الدراسات التي أجريت في ستة مجالات سوق مختلفة ، أن المعادلة التي تعطي الطلب التقريبي على منتج (بآلاف الوحدات) لسعر معين (بالسنت) هي (y = −14.15x + 257.11 ) . أوجد العدد التقريبي للوحدات المطلوبة عندما يكون السعر

  1. $0.12
  2. $0.15
إجابه

(أ) ما يقرب من 87 وحدة باستخدام ((12،87.31) )
(ب) ما يقرب من 45 وحدة باستخدام ((15،44.86) )

تمرين ( PageIndex {48} )

تدعي إدارة برنامج القراءة السريعة أن الزيادة التقريبية للسرعة (بالكلمات في الدقيقة) ، (G ) ، مرتبطة بعدد الأسابيع التي يقضيها البرنامج ، (W ) ، يتم الحصول عليها من خلال المعادلة (G = 26.68 واط − 7.44 ). توقع زيادة السرعة التقريبية للطالب الذي قضى

  1. 3 أسابيع في البرنامج
  2. 10 أسابيع في البرنامج

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {49} )

ابحث عن المنتج. ((4x − 1) (3x + 5) ).

إجابه

(12x ^ 2 + 17x − 5 )

تمرين ( PageIndex {50} )

ابحث عن المنتج. ((5x + 2) (5x − 2) )

تمرين ( PageIndex {51} )

حل المعادلة (6 [2 (x − 4) +1] = 3 [2 (x − 7)] ).

إجابه

(س = 0 )

تمرين ( PageIndex {52} )

حل المتباينة (- 3a− (أ − 5) ≥a + 10 ).

تمرين ( PageIndex {53} )

حل المتباينة المركبة (- 1 <4y + 11 <27 ).

إجابه

(- 3 <ص <4 )


أسئلة MCQ للصف 8 الرياضيات الفصل 2 المعادلات الخطية في متغير واحد مع الإجابات

يمكن للطلاب الوصول إلى أسئلة NCERT MCQ للصف 8 الرياضيات الفصل 2 المعادلات الخطية في متغير واحد مع إجابات Pdf تنزيل مجاني للمساعدة في التحضير للاختبار الخاص بك ويمكنك الحصول على الفصل جيدًا. استخدم أسئلة MCQ للرياضيات للصف 8 مع الإجابات أثناء التحضير وسجل أقصى درجات في الامتحان. يمكن للطلاب تنزيل أسئلة المعادلات الخطية في متغير واحد من فئة 8 أسئلة MCQ مع إجابات من هنا واختبار مهارات حل المشكلات لديهم. امسح جميع الأساسيات واستعد جيدًا للامتحان بأخذ المساعدة من المعادلات الخطية للصف الثامن رياضيات الفصل 2 في أسئلة هدف متغيرة واحدة.


محتويات

كثيرا ما المصطلح معادلة خط مستقيم يشير ضمنيًا إلى حالة متغير واحد فقط.

في هذه الحالة ، يمكن وضع المعادلة بالصيغة

وله حل فريد

في الحالة العامة حيث أ ≠ 0. في هذه الحالة ، الاسم مجهول يعطى بشكل معقول للمتغير x.

لو أ = 0 ، هناك حالتان. إما أن b يساوي 0 ، وكل رقم هو حل. غير ذلك ب ≠ 0 ولا يوجد حل. في هذه الحالة الأخيرة ، يقال أن المعادلة غير متسقة.

في حالة وجود متغيرين ، يمكن وضع أي معادلة خطية في النموذج

حيث المتغيرات هي x و y والمعاملات هي a و b و c.

المعادلة المكافئة (وهي معادلة لها نفس الحلول تمامًا) هي

مع أ = أ, ب = ب ، و ج = –ج

يتم أحيانًا إعطاء هذه المتغيرات المكافئة أسماء عامة ، مثل الشكل العام أو النموذج القياسي. [1]

هناك أشكال أخرى للمعادلة الخطية (انظر أدناه) ، والتي يمكن تحويلها جميعًا في الشكل القياسي باستخدام معالجات جبرية بسيطة ، مثل إضافة نفس الكمية إلى كل من أعضاء المعادلة ، أو ضرب كلا العضوين بنفس الثابت غير الصفري.

تحرير الوظيفة الخطية

لو ب ≠ 0 المعادلة

هي معادلة خطية في المتغير الفردي y لكل قيمة x. لذلك فإن لها حلًا فريدًا لـ y ، والذي تم تقديمه بواسطة

هذا يحدد وظيفة. الرسم البياني لهذه الدالة هو خط ذو ميل - أ ب < displaystyle - < frac >> وتقاطع ص - ج ب. >.> تسمى الوظائف التي يكون رسمها البياني خطًا بشكل عام وظائف خطية في سياق التفاضل والتكامل. ومع ذلك ، في الجبر الخطي ، فإن الوظيفة الخطية هي وظيفة تعين مجموعًا لمجموع صور المحصلة. لذلك ، بالنسبة لهذا التعريف ، تكون الوظيفة المذكورة أعلاه خطية فقط عندما ج = 0 ، أي عندما يمر الخط عبر الأصل. لتجنب الالتباس ، غالبًا ما يتم استدعاء الوظائف التي يكون رسمها البياني خطًا عشوائيًا وظائف أفيني.


Rd شارما 2019 للفصل 9 الرياضيات الفصل 7 - المعادلات الخطية في متغيرين

Rd Sharma 2019 Solutions for Class 9 Maths الفصل 7 المعادلات الخطية في متغيرين مقدمة هنا مع تفسيرات بسيطة خطوة بخطوة. تحظى هذه الحلول للمعادلات الخطية في متغيرين بشعبية كبيرة بين طلاب الصف التاسع في المعادلات الخطية في الرياضيات في متغيرين ، وهي حلول مفيدة لإكمال واجبك المنزلي بسرعة والتحضير للامتحانات. جميع الأسئلة والأجوبة من كتاب Rd Sharma 2019 of Class 9 Maths Chapter 7 متوفرة هنا مجانًا. ستحب أيضًا التجربة الخالية من الإعلانات على حلول Meritnation's Rd Sharma 2019. تم إعداد جميع حلول Rd Sharma 2019 للصف 9 الرياضيات من قبل خبراء وهي دقيقة بنسبة 100٪.

الصفحة رقم 7.23:

السؤال رقم 1:

ارسم الرسم البياني لكل من المعادلات الخطية التالية في متغيرين:

إجابه:

(أنا) لقد أعطينا ،

الآن ، استبدال x = 0 بوصة ذ = 4 & - x، نحن نحصل

أستعاض x = 4 بوصة ذ = 4 & - x، نحن نحصل

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الذي يمثله المعطى

(ثانيا) لقد أعطينا ،

الآن ، استبدال x = 0 بوصة ذ = x & - 2 ، نحصل عليه

أستعاض x = 2 بوصة ذ = x & - 2 ، نحصل عليه

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

الآن ، نستبدل ، نحصل على

استبدال x = & ndash6 في ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

(رابعا) لقد أعطينا ،

الآن ، بالتعويض عن x = 1 في ، نحصل على

بالتعويض عن x = 3 بوصة ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

(الخامس) لقد أعطينا ،

الآن ، بالتعويض عن x = 0 في ، نحصل على

بالتعويض عن x = 5 بوصة ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

(السادس) لقد أعطينا ،

الآن ، بالتعويض عن x = 0 في ، نحصل على

بالتعويض عن x = 4 بوصة ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

(السابع) لقد أعطينا ،

الآن ، بالتعويض عن x = 5 في ، نحصل على

بالتعويض عن x = 8 بوصة ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

(ثامنا) لقد أعطينا ،

الآن ، بالتعويض عن x = 1 في ، نحصل على

بالتعويض عن x = 5 بوصة ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

الصفحة رقم 7.23:

السؤال 2:

اكتب معادلات خطين يمران (3 ، 12). كم عدد هذه الخطوط ، ولماذا؟

إجابه:

نحن نلاحظ ذلك x = 3 و ذ = 12 هو حل المعادلات التالية

إذن ، نحصل على معادلات خطين يمران (3 ، 12) هي 4x & - ذ = 0 و 3x & - ذ + 3 = 0.

نحن نعلم أنه بالمرور عبر نقطة معينة يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط. لذلك ، هناك عدد لانهائي من الخطوط التي تمر عبر (3،12)

الصفحة رقم 7.23:

السؤال 3:

يتقاضى سكوتر بثلاث عجلات 15 روبية للكيلومتر الأول و 8 روبية لكل كيلومتر لاحق. لمسافة x km ، يتم دفع مبلغ Rs y. اكتب المعادلة الخطية التي تمثل المعلومات أعلاه.

إجابه:

مجموع الأجرة روبية ذ لتغطية مسافة x يتم إعطاء km بواسطة
ص = 15 + 8 (س & ناقص 1)
ص = 15 + 8 س & ناقص 8
ص = 8 س + 7

أين روبية ذ هو إجمالي الأجرة (x & ndash 1) حيث تم بالفعل إعطاء تكلفة الكيلومتر الأول 15 روبية ويجب طرح 1 من إجمالي المسافة المقطوعة لخصم تكلفة الكيلومتر الأول.

الصفحة رقم 7.23:

السؤال 4:

ارسم النقطتين (3،5) و (ناقص 1 ، 3) على ورقة الرسم البياني وتأكد من أن الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط يمر أيضًا عبر النقطة (1 ، 4).

إجابه:

الرسم البياني المطلوب أدناه: -

من خلال رسم النقاط المعطاة (3 ، 5) و (& ndash1 ، 3) على ورقة الرسم البياني ، نحصل على الخط BC.

لقد رسمنا بالفعل النقطة أ (1 ، 4) على المستوى المحدد بواسطة الخطوط المتقاطعة.

لذلك ، ثبت أن الخط المستقيم الذي يمر عبر (3 ، 5) و (& ndash1 ، 3) يمر أيضًا عبر A (1 ، 4).

الصفحة رقم 7.23:

السؤال الخامس:

من الخيارات الواردة أدناه ، اختر المعادلة التي يظهر الرسم البياني لها في الشكل.

إجابه:

لدينا إحداثيات (1، & ndash1) و (& ndash1، 1) كحل لإحدى المعادلات التالية.

سنعوض بقيمة كلا الإحداثيين في كل معادلة ونجد المعادلة التي تحقق الإحداثيات المعطاة.

(أنا) لقد أعطينا ،

لذلك ، لا تمثل المعادلة المعطاة الرسم البياني في الشكل.

(ثانيا) لقد أعطينا ،

لذلك ، فإن الحلول المقدمة تفي بهذه المعادلة. وبالتالي ، فإن المعادلة هي التي يتم إعطاء الرسم البياني لها.

الصفحة رقم 7.24:

السؤال 6:

من الخيارات الواردة أدناه ، اختر المعادلة التي يظهر الرسم البياني لها في الشكل.

إجابه:

لدينا إحداثيات (& ndash1، 3) و (2، 0) كحل لإحدى المعادلات التالية.

سنعوض بقيمة كلا الإحداثيين في كل معادلة ونجد المعادلة التي تحقق الإحداثيات المعطاة.

(أنا) لقد أعطينا ،

لذلك ، فإن الحلول المقدمة لا تفي بهذه المعادلة.

(ثانيا) لقد أعطينا ،

لذلك ، فإن الحلول المقدمة لا تفي بهذه المعادلة تمامًا.

(ثالثا) لقد أعطينا ،

لذلك ، فإن الحلول المقدمة تفي بهذه المعادلة. وبالتالي ، فإن المعادلة هي التي يتم إعطاء الرسم البياني لها.

الصفحة رقم 7.24:

السؤال 7:

إذا كانت النقطة (2، & ناقص 2) تقع على الرسم البياني للمعادلة الخطية 5x + كذ = 4 ، أوجد قيمة ك.

إجابه:

من المسلم به أن النقطة تكمن في المعادلة المعطاة ،

من الواضح أن النقطة المعطاة هي حل المعادلة المعطاة.

بالتعويض في المعادلة المعطاة ، نحصل على

الصفحة رقم 7.24:

السؤال الثامن:

ارسم الرسم البياني للمعادلة 2 س + 3 ص = 12. من الرسم البياني ، أوجد إحداثيات النقطة:

(i) الذي إحداثياته ​​y تساوي 3.

(2) الذي يكون إحداثي س منه هو & ناقص 3.

إجابه:

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

من خلال رسم المعادلة الموضحة على الرسم البياني ، نحصل على النقطة B (0 ، 4) و C (6،0).

(أنا) إحداثيات النقطة التي ذ المحور 3 أ

(ثانيا) إحداثيات النقطة التي x - التنسيق هو & ndash3 د

الصفحة رقم 7.24:

السؤال 9:

ارسم الرسم البياني لكل من المعادلات الواردة أدناه. ابحث أيضًا عن إحداثيات النقاط التي يقطع فيها الرسم البياني محاور الإحداثيات:

إجابه:

(أنا) لقد أعطينا ،

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

إحداثيات النقاط حيث يقطع الرسم البياني محاور التنسيق ذ المحور و

(ثانيا) لقد أعطينا ،

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

إحداثيات النقاط حيث يقطع الرسم البياني محاور التنسيق ذ المحور و

(ثالثا) لقد أعطينا ،

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

إحداثيات النقاط حيث يقطع الرسم البياني محاور التنسيق ذ المحور و

(رابعا) لقد أعطينا ،

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

إحداثيات النقاط حيث يقطع الرسم البياني محاور التنسيق ذ المحور و

الصفحة رقم 7.24:

السؤال 10:

مكتبة الإعارة لها رسوم ثابتة للأيام الثلاثة الأولى ورسم إضافي عن كل يوم بعد ذلك. دفع أروشي 27 روبية لكتاب محفوظ لمدة سبعة أيام. إذا كانت الرسوم الثابتة هي روبية x والرسوم اليومية هي روبية ذ. اكتب المعادلة الخطية التي تمثل المعلومات أعلاه.

إجابه:

إجمالي الرسوم 27 روبية منها روبية x للأيام الثلاثة الأولى و Rs ذ في اليوم لمدة 4 أيام أخرى

هنا ، يتم أخذ رسوم الأيام الثلاثة الأولى بالفعل في روبية x وعلينا إيجاد رسوم الأيام الأربعة المتبقية حيث يتم الاحتفاظ بالكتاب لمدة 7 أيام.

الصفحة رقم 7.24:

السؤال 11:

الرقم هو 27 أكثر من الرقم الذي تم الحصول عليه عن طريق عكس أرقامه. إذا كانت وحدته & # 39s و 10 & # 39s الرقم x و ذ على التوالي ، اكتب المعادلة الخطية التي تمثل البيان أعلاه.

إجابه:

الرقم المعطى لنا في شكل yx,

أين ذ يمثل مكان العشرة و rsquos من الرقم

و x يمثل وحدة & rsquos مكان الرقم

الرقم الذي تم الحصول عليه عن طريق عكس أرقام الرقم هو

يُعطى لنا أن الرقم الأصلي هو 27 أكثر من الرقم الذي تم الحصول عليه من خلال عكس أرقامه

الصفحة رقم 7.24:

السؤال 12:

مجموع رقم مكون من رقمين والعدد الذي تم الحصول عليه عن طريق عكس ترتيب أرقامه هو 121. إذا كانت الوحدات وأرقام العشرة # 39 من الرقم x و ذ على التوالي ، ثم اكتب المعادلة الخطية التي تمثل البيان أعلاه.

إجابه:

الرقم المعطى لنا في شكل yx.

أين ذ يمثل مكان العشرة و rsquo s من الرقم

و x يمثل مكان وحدات العدد

الرقم الذي تم الحصول عليه عن طريق عكس أرقام الرقم هو

نعلم أن مجموع هذين العددين هو 121

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 13:

ارسم الرسم البياني للمعادلة 2x + ذ = 6. ظلل المنطقة التي يحدها الرسم البياني ومحاور الإحداثيات. أوجد أيضًا مساحة المنطقة المظللة.

إجابه:

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

المنطقة التي يحدها الرسم البياني هي ABC والتي تشكل مثلثًا.

قطة ذ المحور هو قاعدة المثلث الذي AC = 6 وحدات عليه ذ محور.

BC في x المحور هو ارتفاع المثلث الذي به BC = 3 وحدات x محور.

مساحة المثلث ABC ، ​​على سبيل المثال أ اعطي من قبل

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 14:

ارسم التمثيل البياني للمعادلة x 3 + y 4 = 1. ابحث أيضًا عن مساحة المثلث المكونة من محاور الخط والإحداثيات.

إجابه:

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

المنطقة التي يحدها الرسم البياني هي ABC والتي تشكل خطًا خلفيًا.

قطة ذ المحور هو قاعدة الزائدة التي لها AC = 4 وحدات ذ محور.

BC في x المحور هو ارتفاع الزائدة التي لها BC = 3 وحدات x محور.

منطقة traingle ABC ، ​​على سبيل المثال أ اعطي من قبل

الصفحة رقم 7.25:

السؤال الخامس عشر:

إجابه:

لكل قيمة xسواء كانت إيجابية أو سلبية ، نحصل عليها ذ كرقم موجب.

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 16:

ارسم مخطط y = | x | + 2.

إجابه:

لكل قيمة xسواء كانت إيجابية أو سلبية ، نحصل عليها ذ كرقم موجب والحد الأدنى لقيمة ذ يساوي 2 وحدة

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 17:

ارسم الرسوم البيانية للمعادلات الخطية التالية على نفس ورقة الرسم البياني:
2 س + 3 ص = 12 ، س & ناقص ص = 1

أوجد إحداثيات رءوس المثلث المكون من خطين مستقيمين والمساحة التي يحدها هذين الخطين والمحور x.

إجابه:

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

رسم A (0،4) و E (6،0) على الرسم البياني ومن خلال ضم النقاط ، نحصل على الرسم البياني للمعادلة.

الآن ، بالتعويض في y = x - 1 ، نحصل على

بالتعويض في y = x - 1 نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

رسم D (0،1) و E (-1،0) على الرسم البياني ومن خلال ضم النقاط ، نحصل على الرسم البياني للمعادلة.

من خلال تقاطع الخطوط المكونة من الرسم البياني وعلى الرسم البياني ، يتكون المثلث ABC عليه ذ محور.

قطة ذ المحور هو قاعدة المثلث ABC حيث AC = 5 وحدات ذ محور.

ارسم FE عموديًا من F على ذ محور.

FE بالتوازي مع x المحور هو ارتفاع المثلث ABC الذي يحتوي على FE = 3 وحدات x محور.

مساحة المثلث ABC ، ​​على سبيل المثال أ اعطي من قبل

A = 1 2 Base & # 215 Height & # 160 & # 160 & # 160 = 1 2 AC & # 215 FE & # 160 & # 160 & # 160 = 1 2 5 & # 215 3 & # 160 & # 160 & # 160 = 15 2 & # 160 مترًا مربعًا. & # 160 وحدة

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 18:

ارسم الرسوم البيانية للمعادلات الخطية 4x & ناقص 3ذ + 4 = 0 و 4x + 3ذ & minus20 = 0. أوجد المنطقة التي تحدها هذه الخطوط ومحور x.

إجابه:

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

رسم E (0،) و A (-1،0) على الرسم البياني ومن خلال ضم النقاط نحصل على الرسم البياني للمعادلة.

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

رسم D (0،) و B (5،0) على الرسم البياني ومن خلال ضم النقاط ، نحصل على الرسم البياني للمعادلة.

من خلال تقاطع الخطوط المكونة من الرسم البياني وعلى الرسم البياني ، يتكون المثلث ABC عليه x محور.

خفاش x المحور هو قاعدة المثلث ABC حيث AB = 6 وحدات x محور.

ارسم CF عموديًا من C إلى x محور.

CF موازية ل ذ المحور هو ارتفاع المثلث ABC الذي يحتوي على CF = 4 وحدات ذ محور.

مساحة المثلث ABC ، ​​على سبيل المثال أ اعطي من قبل

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 19:

يتم إعطاء مسار القطار A بالمعادلة 3x + 4ذ & ناقص 12 = 0 ومسار قطار آخر ب من المعادلة 6x + 8ذ & ناقص 48 = 0. قم بتمثيل هذا الموقف بيانياً.

إجابه:

لقد حصلنا على طريق القطار A ،

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

رسم A (4،0) و E (0،3) على الرسم البياني ومن خلال ضم النقاط ، نحصل على الرسم البياني للمعادلة.

لقد حصلنا على مسار القطار B ،

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

رسم C (0،6) و D (8،0) على الرسم البياني ومن خلال ضم النقاط ، نحصل على الرسم البياني للمعادلة

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 20:

رافيش يخبر ابنته أروشي ، & # 39 & # 39 قبل سبع سنوات ، كنت أكبر بسبع مرات من عمري. أيضًا ، بعد ثلاث سنوات من الآن ، سأكون ثلاثة أضعاف عمرك & # 39 & # 39. إذا كانت الأعمار الحالية من Aarushi و Ravish موجودة x و ذ سنوات على التوالي ، تمثل هذه الحالة جبريًا وكذلك بيانياً.

إجابه:

نعطي عصر رافيش الحالي ذ سنوات و Aarushi as x سنوات.

عمر رافيش منذ سبع سنوات

عمر الأروشي قبل سبع سنوات

قال رافيش بالفعل إنه قبل سبع سنوات كان يبلغ من العمر سبع مرات ثم كان أروشي في ذلك الوقت

سن رافيش بعد ثلاث سنوات من الآن

عمر العروشي ثلاث سنوات من الآن

لقد قال رافيش بالفعل إنه بعد ثلاث سنوات من الآن سيكون عمره ثلاث مرات ثم أروشي سيكون في ذلك الوقت

(1) و (2) هما التمثيل الجبري للبيان المعطى.

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

الآن ، نستبدل ، نحصل على

وهكذا ، لدينا الجدول التالي الذي يعرض الاحداثيات والإحداثيات للنقاط على الخط الممثلة بالمعادلة المعطاة

يمثل الخط الأحمر المعادلة.

يمثل الخط الأزرق المعادلة.

الصفحة رقم 7.25:

السؤال 21:

كان العروشي يقود سيارة بسرعة موحدة تبلغ 60 كم / ساعة. ارسم الرسم البياني للمسافة والوقت. من الرسم البياني ، أوجد المسافة التي قطعها أروشي في

إجابه:

يقود العروشي السيارة بسرعة موحدة تبلغ 60 كم / ساعة.

نحن نمثل الوقت على المحور السيني والمسافة على المحور ص


نعلم أن السيارة تسير بسرعة موحدة 60 كم / ساعة. هذا يعني أن السيارة تقطع مسافة 60 كم كل ساعة. وبالتالي فإن الرسم البياني الذي نحصل عليه هو خط مستقيم.

ونعلم أيضًا أنه عندما تكون السيارة في حالة سكون ، فالمسافة المقطوعة هي 0 كم ، والسرعة 0 كم / ساعة والوقت أيضًا 0 ساعة.
وبالتالي ، سيمر الخط المستقيم المحدد عبر O (0،0) و M (1،60).

انضم إلى النقطتين O و M وقم بتمديد الخط في كلا الاتجاهين.

الآن ، نرسم خطًا منقطًا يوازي ذ-محور من x = 1 2 يلتقي بالرسم البياني للخط المستقيم عند L الذي نرسم منه خطًا يوازيه x-المحور الذي يتقاطع ذ- المحور عند 30. وهكذا ، في 1 2 ساعة ، تكون المسافة التي تقطعها السيارة 30 كم.

الآن ، نرسم خطًا منقطًا يوازي ذ-محور من x = 2 1 2 يلتقي بالرسم البياني للخط المستقيم عند N الذي منه نرسم خطًا يوازيه x-المحور الذي يتقاطع ذ- المحور عند 150. وهكذا ، في 2 1 2 ساعة ، تكون المسافة التي تقطعها السيارة 150 كم.

المسافة المقطوعة بالساعات معطاة

المسافة المقطوعة بالساعات معطاة

الصفحة رقم 7.3:

السؤال رقم 1:

عبر عن المعادلات الخطية التالية بالصيغة فأس + بواسطة + ج = 0 وتشير إلى قيم أ, ب و ج في كل حالة:


طريقة الاستبدال

لحل نظام من معادلتين في متغيرين باستخدام طريقة الاستبدال ، نستخدم الخطوات الموضحة أدناه:

  • الخطوة 1: حل إحدى المعادلات لمتغير واحد.
  • الخطوة 2: استبدل هذا في المعادلة الأخرى للحصول على معادلة من حيث متغير واحد.
  • الخطوة 3: قم بحلها من أجل المتغير.
  • الخطوة 4: استبدلها في أي من المعادلات للحصول على قيمة متغير آخر.

مثال: حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة التعويض.
س + 2 ص -7 = 0
2 س -5 ص + 13 = 0

المحلول: دعونا نحل المعادلة ، x + 2y-7 = 0 من أجل y:
س + 2 ص -7 = 0
⇒2y = 7-x
⇒ ص = (7-س) / 2

عوض بهذا في المعادلة ، 2x-5y + 13 = 0:

عوّض x = 1 هذا في المعادلة y = (7-x) / 2:
ص = (7-1) / 2 = 3
إذن ، حل النظام المعطى هو x = 1 و y = 3.

عبر طريقة الضرب

النظر في نظام المعادلات الخطية: أ1س + ب1ص + ج1= 0 و أ2س + ب2ص + ج2=0
لحل هذا باستخدام طريقة الضرب التبادلي ، نكتب أولاً معاملات كل من x و y والثوابت على النحو التالي:

هنا ، تشير الأسهم إلى أنه يجب مضاعفة تلك المعاملات. نكتب الآن المعادلة التالية عن طريق الضرب التبادلي وطرح حاصل الضرب.
[ dfrac c_ <2> -b_ <2> c_ <1>> = dfrac a_ <2> -c_ <2> a_ <1>> = dfrac <1> ب_ <2> -a_ <2> ب_ <1>> ]

من هذه المعادلة ، نحصل على معادلتين:

حل كل من هذه لـ x و y ، حل النظام المعطى هو:

طريقة الاستبعاد

لحل نظام من معادلتين في متغيرين باستخدام طريقة الحذف ، نستخدم الخطوات التالية:

  • الخطوة 1: إذا كانت إضافة المعادلات ستؤدي إلى إلغاء متغير.
  • الخطوة 2: إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاضرب إحدى المعادلتين أو كليهما إما بمعامل x أو y بحيث تؤدي إضافتهما إلى إلغاء أي متغير من المتغيرات.
  • الخطوة 3: حل المعادلة المتغيرة المفردة الناتجة.
  • الخطوة 4: استبدلها بأي من المعادلات للحصول على قيمة متغير آخر.

مثال: حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة الحذف.
2 س + 3 ص -11 = 0
3 س + 2 ص -9 = 0

بإضافة هاتين المعادلتين لن يؤدي إلى إلغاء أي متغير. دعونا نهدف إلى إلغاء x. معاملا x في كلا المعادلتين هما 2 و 3. LCM هو 6. سنجعل معاملات x في كلتا المعادلتين هي 6 و -6 بحيث يتم إلغاء حدي x عندما نضيف المعادلتين.

3 × (2 س + 3 ص -11 = 0)
⇒ 6 س + 9 ص -33 = 0
-2 × (3 س + 2 ص -9 = 0)
⇒ -6x-4y + 18 = 0

الآن سنضيف هاتين المعادلتين:
6 س + 9 ص -33 = 0
-6 س -4 ص + 18 = 0
عند إضافة كلتا المعادلتين أعلاه نحصل عليه ،
⇒ 5 ص 15 = 0
⇒ 5 ص = 15
⇒ ص = 3

عوّض بهذا في إحدى المعادلتين المعطاة وحل المتغير الناتج من أجل x.
2 س + 3 ص -11 = 0
⇒ 2x+3(3)-11=0
⇒ 2x+9-11=0
⇒ 2x=2
⇒ x=1

Therefore, the solution of the given system of equations is x=1 and y=3.

Determinant Method

The determinant of a 2 x 2 matrix is obtained by cross multiplying elements starting from the top left corner and subtracting the products.

Consider a system of linear equations: (a_<1>)x + (b_<1>)y = (c_<1>) and (a_<2>)x + (b_<2>)y = (c_<2>)

To solve them using the determinants method (which is also known as Crammer's Rule):

  • We first find the determinant formed by the coefficients of x and y and label it Δ.
    Δ = [left|egina_1 & b_1 a_2 & b_2end الحق | = a_1 b_2 - a_2b_1]
  • We then find the determinant (Delta_x) which is obtained by replacing the first column of Δ with constants.
    (Δ_) = [left|eginc_1 & b_1 c_2 & b_2end الحق | = c_1 b_2 - c_2b_1]
  • We then find the determinant (Delta_y) which is obtained by replacing the second column of Δ with constants.
    (Δ_) = [left|egina_1 & c_1 a_2 & c_2end الحق | = a_1 c_2 - a_2c_1]

Then the solution of the given system of linear equations is obtained by the formulas:

Tips to Remember

While solving the equations using either the substitution method or the elimination method:

  • If we get an equation that is true (i.e., something like 0 = 0, -1 = -1, etc), then it means that the system has an infinite number of solutions.
  • If we get an equation that is false (i.e., something like 0 = 2, 3 = -1, etc), then it means that the system has no solution.

Topics Related to Linear Equations in Two Variables


Common Core State Standards*- Mathematics: 8th Grade

Common Core State Standards Adopted: 2011

CCSS.Math.Content.8.NS: The Number System

CCSS.Math.Content.8.NS.A: Know that there are numbers that are not rational, and approximate them by rational numbers.

CCSS.Math.Content.8.NS.A.2: Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g., π²).

CCSS.Math.Content.8.EE: Expressions and Equations

CCSS.Math.Content.8.EE.A: Work with radicals and integer exponents.

CCSS.Math.Content.8.EE.A.1: Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions.

CCSS.Math.Content.8.EE.A.3: Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other.

CCSS.Math.Content.8.EE.A.4: Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.

CCSS.Math.Content.8.EE.B: Understand the connections between proportional relationships, lines, and linear equations.

CCSS.Math.Content.8.EE.B.5: Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways.

CCSS.Math.Content.8.EE.C: Analyze and solve linear equations and pairs of simultaneous linear equations.

CCSS.Math.Content.8.EE.C.7b: Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.

CCSS.Math.Content.8.EE.C.8a: Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously.

CCSS.Math.Content.8.EE.C.8b: Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection.

CCSS.Math.Content.8.EE.C.8c: Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables.

CCSS.Math.Content.8.F.A: Define, evaluate, and compare functions.

CCSS.Math.Content.8.F.A.1: Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.

CCSS.Math.Content.8.F.A.3: Interpret the equation 𝘺 = 𝘮𝘹 + 𝘣 as defining a linear function, whose graph is a straight line give examples of functions that are not linear.

CCSS.Math.Content.8.F.B: Use functions to model relationships between quantities.

CCSS.Math.Content.8.F.B.4: Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two (𝘹, 𝘺) values, including reading these from a table or from a graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.

CCSS.Math.Content.8.F.B.5: Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.

CCSS.Math.Content.8.G.A: Understand congruence and similarity using physical models, transparencies, or geometry software.

CCSS.Math.Content.8.G.A.1a: Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length.

CCSS.Math.Content.8.G.A.1b: Angles are taken to angles of the same measure.

CCSS.Math.Content.8.G.A.1c: Parallel lines are taken to parallel lines.

CCSS.Math.Content.8.G.A.3: Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.

CCSS.Math.Content.8.G.A.5: Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by a transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles.

CCSS.Math.Content.8.G.B: Understand and apply the Pythagorean Theorem.

CCSS.Math.Content.8.G.B.6: Explain a proof of the Pythagorean Theorem and its converse.

CCSS.Math.Content.8.G.B.7: Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems in two and three dimensions.

CCSS.Math.Content.8.G.B.8: Apply the Pythagorean Theorem to find the distance between two points in a coordinate system.

CCSS.Math.Content.8.G.C: Solve real-world and mathematical problems involving volume of cylinders, cones, and spheres.

CCSS.Math.Content.8.G.C.9: Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS.Math.Content.8.SP: Statistics and Probability

CCSS.Math.Content.8.SP.A: Investigate patterns of association in bivariate data.

CCSS.Math.Content.8.SP.A.1: Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association.

CCSS.Math.Content.8.SP.A.2: Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line.

CCSS.Math.Content.8.SP.A.3: Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept.

Correlation last revised: 9/16/2020

* Copyright 2010 National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. كل الحقوق محفوظة.


Solving a system of linear equations

There are many methods for solving a system of linear equation, one of them is elimination method.

As the name suggest in elimination method, we eliminate one of the variables by subtracting one equation from another (or first multiplying one of the equation with some number and then subtracting from other equation).

Step 1 : We eliminate “y” from (1) by adding (2) to (1)

Step 2 : We take the value of “x” from (4) and substitute it in (1)

From (4) and (5) we can say that x+y = 0 and x-y = 4 have a solution (2,-2). But what about (3)? Does it have same solution?

Step 3 : Substitute the value of (2,-2) in equation (3)

So, (2,-2) satisfies the equation. Hence, it is a solution of aforementioned system of linear equations.


Substitution and Elimination Method - Pair of Linear Equations in Two Variables, CBSE, Class 10, Mat Class 10 Notes | EduRev

ALGEBRAIC METHOD OF SOLVING A PAIR OF LINEAR EQUATIONS IN TWO VARIABLES
Some times, graphical method does not give an accurate answer. While reading the co-ordinate of a point on a graph paper we are likely to make an error. So we require some precise method to obtain accurate result. The algebraic methods are given below :
(i) Method of elimination by substitution.
(ii) Method of elimination by equating the coefficients.
(iii) Method of cross multiplication.

ALGEBRAIC SOLUTION BY SUBSTITUTION METHOD
To solve a pair of linear equations in two variables x and y by substitution method, we follow the following steps:
Step-I : Write the given equations
أ1x + b1y + c1 = 0 . (أنا)
و أ2x + b2y + c2 = 0 . (ثانيا)
Step-II : Choose one of the two equations and express y in terms of x (or x in terms of y), i.e., express, one variable in terms of the other.
Step-III : Substitute this value of y obtained in step-II, in the other equation to get a linear equation in x.
Step-IV : Solve the linear equation obtained in step-III and get the value of x.
Step-V : Substitute this value of x in the relation obtained in step-II and find the value of y.

Ex.6 Solve for x and y : 4x + 3y = 24, 3y – 2x = 6.
سول.
4x + 3y = 24 . (أنا)
3y – 2x = 6 . (ثانيا)
From equation (i), we get

Substituting in equation (ii), we get

⇒ 24 – 4x – 2x = 6
⇒ – 6x = – 24 + 6
⇒ 6x = 18
⇒ x = 3
Substituting x = 3 in (iii), we get

Hence, x = 3, y = 4.

ALGEBRAIC SOLUTION BY ELIMINATION METHOD
To solve a pair of linear equations in two variables x and y by elimination method, we follow the following steps:
Step-I : Write the given equations
أ1x + b1y + c1 = 0 . (أنا)
و أ2x + b2y + c2 = 0 . (ثانيا)
Step-II : Multiply the given equations by suitable numbers so that the coefficient of one of the variables are numerically equal.
Step-III : If the numerically equal coefficients are opposite in sign, then add the new equations otherwise subtract.
Step-IV : Solve the linear equations in one variable obtained in step-III and get the value of one variable.
Step-V : Substitute this value of the variable obtained in step-IV in any of the two equations and find the value of the other variable.

Ex.7 Solve the following pair of linear equations by elimination method : 3x + 4y = 10 and 2x – 2y = 2.
سول.
We have, 3x + 4y = 10 . (أنا)
and 2x – 2y = 2 . (ثانيا)
Multiplying (ii) by 2, we get 4x – 4y = 4 . (ثالثا)
Adding (i) and (iii), we get 7x = 14 ⇒ x = 2
Putting x = 2 in equation (ii), we get 2 × 2 – 2y = 2⇒ 2y = 4 – 2  y = 1
Hence, the solution is x = 2 and y = 1

Ex.8 Solve : ax + by = c, bx + ay = 1 + c
سول.
ax + by = c . (أنا)
bx + ay = 1 + c . (ثانيا)
Adding (i) and (ii), we get
(a + b) x + (a + b) y = 2c + 1

Subtracting (iv) from (iii) we get

ALGEBRAIC SOLUTION BY CROSS-MULTIPLICATION METHOD
Consider the system of linear equations
أ1x + b1y + c1 = 0 . (أنا)
أ2x + b2y + c2 = 0 . (ثانيا)
To solve it by cross multiplication method, we follow the following steps :
Step-I : Write the coefficients as follows :

The arrows between the two numbers indicate that they are to be multiplied. The products with upward arrows are to be subtracted from the products with downward arrows.
To apply above formula, all the terms must be in left to the equal sign in the system of equations –
Now, by above mentioned rule, equation (i) reduces to

Case-I : If a1ب2 – a2ب1 ⇒0 x and y have some finite values, with unique solution for the system of equations.
Case-II : If a1ب2 – a2ب1 = 0 ⇒a1/a2= b1/b2
Here two cases arise :


. (ثانيا)

So (i) and (ii) are dependent,so there are infinite number of solutions.

So system of equations is inconsistent.

Ex.9 Solve by cross-multiplicaiton method : x + 2y + 1 = 0 and 2x – 3y – 12 = 0
سول.
We have,x + 2y + 1 = 0 and 2x – 3y – 12 = 0
By cross-multiplication method, we have

Hence the solution is x = 3 and y = –2.

. (أنا)

. (ثانيا)


Important Questions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables

Expert teachers at CBSETuts.com collected and solved 2 Marks and 4 mark important questions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables. All the solutions given in this page are solved based on CBSE marking scheme and NCERT guidelines.

Short Answer Type Question I [2 Marks]

السؤال رقم 1.
Solve the following pair of linear equations:
y -4x= 1
6x- 5y= 9
المحلول:

Short Answer Type Questions II [3 Marks]

السؤال 2.
A part of monthly Hostel charge is fixed and the remaining depends on the number of days one has taken food in the mess. When Swati takes food for 20 days, she has to pay 13000 as hostel charges whereas, Mansi who takes food for 25 days pays ? 3500 as hostel charges. Find the fixed charges and the cost of food per day.
Solution:

السؤال 3.
Solve using cross multiplication method:
x+y=1
2x – 3y = 11
Solution:

Long Answer Type Question [4 Marks]

السؤال 4.
Draw the graphs of the pair of equations x + 2y = 5 and 2x-3y = – 4. Also find the points where the lines meet the x-axis.
Solution:

Short Answer Type Question I [2 Marks]

السؤال 5.
Find whether the lines representing the following pair of linear equations intersect at a point, are parallel or coincident: 2x – 3y + 6 = 0,4x – 5y + 2 = 0
Solution:

Short Answer Type Questions II [3 Marks]

السؤال 6.
Given a linear equation 3x-5y = 11. Form another linear equation in these variables such that the geometric representation of the pair so formed is:
(i) intersecting lines
(ii) coincident lines
(iii) parallel lines
Solution:

السؤال 7.
Solve for x and y
x + 2y – 3= 0
3x – 2y + 7 = 0
Solution:

Long Answer Type Question [4 Marks]

السؤال 8.
4 chairs and 3 tables cost ? 2100 and 5 chairs and 2 tables cost ? 1750. Find the cost of one chair and one table separately
Solution:

Short Answer Type Questions II [3 Marks]

السؤال 9.
Solve for x andy:
2x= 5y + 4
3x-2y + 16 = 0
Solution:

السؤال 10.
Solve for x andy:

Solution:

السؤال 11.
Solve for x and y:

6(ax + by) = 3a + 2b
6(bx – ay) = 3b -2a

Solution:


السؤال 12.
Solve the following pair of equations by reducing them to a pair of linear equations:

Solution:

السؤال 13.
Determine graphically whether the following pair of linear equations 2x – 3y = 5 3x + 4y = – 1 has
(i) a unique solution
(ii) infinitely many solutions or
(iii) no solution
Solution:

Question 14.
Find those integral values of m for which the c-coordinate of the point of intersection of lines represented by y = mx + 1 and 3x + 4y = 9 is an integer.
Solution:

Long Answer Type Questions [4 Marks]

السؤال 15.
In a two digit number, the digit in the unit place is twice of the digit in the tenth place. If the digits are reversed, the new number is 27 more than the given number. ابحث عن الرقم.
Solution:

السؤال 16.
Solve the following system of linear equations graphically.
3x + y – 12 = 0
x – 3y + 6 = 0
Shade the region bounded by the lines and ii>axis. Also, find the area of shaded region.
Solution:

السؤال 17.
The owner of a taxi company decides to run all the taxi on CNG fuels instead of petrol/ diesel. The taxi charges in city comprises of fixed charges together with the charge for the distance covered.
For a journey of 13 km, the charge paid is ? 129 and for journey of 22 km, the charge paid is ^ 210.
(i) What will a person have to pay for travelling a distance of 32 km?
(ii) Why did he decide to use CNG for his taxi as a fuel?
Solution:

السؤال 18.
The area of a rectangle reduces by 160 m if its length is increased by 5 m and breadth is reduced by 4 m. However, if length is decreased by 10 m and breadth is increased by 2 m, then its area is decreased by 100 m2. العثور على أبعاد المستطيل.
Solution:

السؤال 19.
At a certain time in a zoo, the number of heads and the number of legs of tiger and peacocks were counted and it was found that there were 47 heads and 152 legs. Find the number of tigers and peacocks in the zoo:
Why it is necessary to conserve these animals?
Solution:

Short Answer Type Question I [2 Marks]

السؤال 20.
If the system of equations
6x + 2y = 3 and kx + y = 2 has a unique solution, find the value of k.
Solution:

Short Answer Type Questions II [3 Marks]

السؤال 21.
Determine the value of m and n so that the following pair of linear equations have infinite number of solutions.
(2m – l)x + 3y = 5
3x + (n- l)y = 2
Solution:

Question 22.
For what values of p and q will the following pair of linear equations has infinitely many solutions?
4x + 5y = 2
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q-p + 1
Solution:

السؤال 23.
Solve the following pair of equations for x and y

Solution:

السؤال 24.
8 men and 12 boys can finish a piece of work in 10 days, while 6 men and 8 boys can finish it in 14 days. Find the time taken by one man alone and that by one boy alone to finish the work.
Solution:

Long Answer Type Questions [4 Marks]

السؤال 25.
A two digit number is equal to 7 times the sum of its digits. The number formed by reversing its digits is less than the original number by 18. Find the original number.
Solution:

Question 26.
The age of the father is twice the sum of the ages of his 2 children. After 20 years, his age will be equal to the sum of the ages of his children. Find the age of the father.
Solution:

Question 27.
Places A and B are 80 km apart from each other on a highway. A car starts from A and another from B at the same time. If they move in same direction they meet in 8 hrs and if they move in opposite directions they meet in 1 hr 20 minutes. Find speeds of the cars.
Solution:

Long Answer Type Questions [4 Marks]

Question 28.
For what value of k will the pair of equations have no solution?
3x + y = 1
(2k-l)x+ (k-l)y = 2k+l
Solution:

Question 29.
Solve for x and y:

Solution:

Question 30.
Solve the following pair of linear equations graphically, x + 3y = 62x-3y = 12
Also find the area of the triangle formed by the lines representing the given equations withy-axis.
Solution:

Short Answer Type Questions I [2 Marks]

Question 31.
Solve: 99x + lOly = 499
lOlx + 99y = 501
Solution:

Question 32.
For what value of p will the following system of equations has no solution
(2p -1) x + (p -1) y = 2p + 1
y + 3x – 1 = 0
Solution:

Short Answer Type Questions II [3 Marks]

Question 33.
The sum of the digits of a two digit number is 12. The number obtained by interchanging the two digits exceeds the given number by 18. Find the number.
Solution:

Question 34.
In the figure, ABCDE is a pentagon with BE 11 CD and BC 11 DE. BC is perpendicular to CD. If the perimeter of ABCDE is 21 cm, find the value of x andy.
Solution:


Question 35.
The sum of the numerator and denominator of a fraction is 12. If 1 is added to both the numerator and the denominator the fraction becomes 3/4. Find the fraction.
Solution:

Question 36.
4 men and 6 boys can finish a piece of work in 5 days while 3 men and 4 boys can finish it in 7 days. Find the time taken by 1 man alone or that by 1 boy alone.
Solution:

Question 37.
A man travels 600 km partly by train and partly by car. It takes 8 hours and 40 minutes if he travels 320 km by train and the rest by car. It would take 30 minutes more if he travels 200 km by train and the rest by car. Find the speed of the train and the car separately.
Solution:

Long Answer Type Questions [4 Marks]

Question 38.
Solve the equations graphically:
2x + y = 2
2y-x = 4
What is the area of the triangle formed by the two lines and the liney = 0?
Solution:

Question 39.
Draw the graphs of the following equations: x + y — 5 x-y = 5
(i) Find the solution of the equations from the graph.
(ii) Shade the triangular region formed by the lines and they-axis.
Solution:

Short Answer Type Questions I [2 Marks]

السؤال 40.
Find the value of k for which the following pair of linear equations have infinitely
many solutions : 2x + 3y = 7 (k – l)x + (k + 2)y = 3k
Solution:

السؤال 41.
Find the value of m for which the pair of linear equations 2x + 3y – 7 = 0 and (m – l)x + (m + l)y = (3m – 1) has infinitely many solutions.
Solution:

السؤال 42.
For what value of k will the following pair of linear equations have no solution?
2x + 3y = 9
6x + (k – 2)y = (3k – 2).
Solution:

السؤال 43.
For what value of p will the following pair of linear equations have infinitely many solutions?
(p – 3)x + 3y = p
px + py = 12
Solution:

السؤال 44.
Find the values of a and b for which the following pair of linear equations has infinitely many solutions: 2x + 3y = 7 3/4(a + b)x + (2a – b)y = 21
Solution:

السؤال 45.
Solve the following pair of equations:

Solution:


السؤال 46.
The sum of the numerator and the denominator of a fraction is 4 more than twice the numerator. If 3 is added to each of the numerator and denominator, their ratio becomes 2 : 3. Find the fraction. [All India]
Solution:

السؤال 47.
A number consists of two digits. When the number is divided by the sum of its digits, the quotient is 7. If 27 is subtracted from the number, the digits interchange their places, find the number
Solution:

Very Short Answer Type Questions [1 Mark]

السؤال 48.
Find the value of a so that the point (3, a), lies on the line represented by 2x-3y = 5
Solution:

السؤال 49.
Find the number of solutions of the following pair of linear equations .
x + 2y – 8 = 0
2x + 4y = 16
Solution:

السؤال 50.
Write whether the following pair of linear equations is consistent or not
x +y = 14,
x-y = 4
Solution:

Short Answer Type Questions I [2 Marks]

السؤال 51.
Find the value of k for which the pair of linear equations
kx + 3y = k – 2 and 12x + ky = k has no solution.
Solution:

السؤال 52.
Solve for x andy:

Solution:

السؤال 53.
Without drawing the graph, find out the lines representing the following pair of linear equations intersect at a point, are parallel or coincident.

Solution:

Question 54.
Solve the following system of equations forx andy

Solution:

Question 55.
Solve the following pair of equations

Solution:


5.8: Linear Equations in Two Variables - Mathematics

A linear equation is an equation that describes a straight line on a graph. You can remember this by the "line" part of the name linear equation.

Linear equations have a standard form that looks like this:

Where A, B, and C are coefficients (numbers) while x and y are variables.

You can think of the x and y variables as points on a graph.

Example linear equations:

You can plug numbers into A, B, and C of the above standard form to make linear equations:

2x + 3y = 7
x + 7y = 12
3x - y = 1

Linear Equations Represent Lines

At first it may seem strange that an equation represents a line on a graph. To make a line you need two points. Then you can draw a line through those two points.

The x and y variables in the linear equation represent the x and y coordinates on a graph. If you plug in a number for x, you can calculate the corresponding number for y. Those two numbers show a point on a graph. If you keep plugging in numbers for x and y in a linear equation, you will find that all the points together make a straight line.


شاهد الفيديو: حل المعادلات بطريقة المصفوفات طريقة سهلة جدا (شهر اكتوبر 2021).