مقالات

6.5: التحليل بالتجميع - الرياضيات


استخدام التجميع لتحليل كثير الحدود إلى عوامل

في بعض الأحيان ، لن يكون لكثير الحدود عامل مشترك بين كل مصطلح. ومع ذلك ، ربما لا نزال قادرين على إنتاج صيغة محللة إلى عوامل لكثيرات الحدود.

كثير الحدود (x ^ 3 + 3x ^ 2−6x − 18 ) ليس له عامل واحد مشترك لكل حد. ومع ذلك ، نلاحظ ذلك إذا كنا مجموعة معًا ، أول حدين والثاني حدين ، نرى أن كل ذي حدين ناتج له عامل خاص مشترك بين كلا الحدين.

أخرج العامل (x ^ 2 ) من أول حدين ، وعامل (- 6 ) من الحدين الآخرين.

(س ^ 2 (س + 3) - 6 (س + 3) )

ننظر الآن عن كثب في ذات الحدين. يحتوي كل من المصطلحين على العامل (س + 3 ).

أخرج العامل ((x + 3) ).

((x + 3) (x ^ 2-6) ) هو العامل النهائي

(س ^ 3 + 3 س ^ 2−6 س − 18 = (س + 3) (س ^ 2-6) )

معرفة وقت تجربة طريقة التجميع

يتم تنبيهنا إلى فكرة التجميع عند وجود كثير الحدود الذي نفكر فيه إما من هذه الصفات:

  1. لا يوجد عامل مشترك الكل مصطلحات
  2. ا حتى في عدد المصطلحات

عند التحليل عن طريق التجميع ، فإن علامة ( (+ ) أو (- )) للعامل الذي نخرجه سوف مستخدم (ولكن ليس دائمًا) تكون هي نفسها علامة المصطلح الأول في تلك المجموعة.

مجموعة العينة أ

مثال ( PageIndex {1} )

حلل العامل (8a ^ 2b ^ 4 - 4b ^ 4 + 14a ^ 2 - 7 )

  1. نلاحظ عدم وجود عامل مشترك بين جميع المصطلحات.
  2. نرى أن هناك أربعة حدود ، عدد زوجي.
  3. نرى أن المصطلحين 1 و 2 يشتركان في (+ 4b ^ 4 ) (نظرًا لأن المصطلح الأول في المجموعة هو (+ 8a ^ 2b ^ 4 )).
  4. نلاحظ أن المصطلحين الثالث والرابع يشتركان في (+ 7 ) (نظرًا لأن المصطلح الأول في المجموعة هو (+ 14a ^ 2 )).

(8a ^ 2b ^ 4-4b ^ 4 + 14a ^ 2-7 = (2a ^ 2-1) (4b ^ 4 + 7) )

مجموعة الممارسة أ

استخدم طريقة التجميع لتحليل كثيرات الحدود التالية.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

(فأس + ay + bx + بقلم )

إجابه

((أ + ب) (س + ص) )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {2} )

(2 ص +8 م +5 م +20 م)

إجابه

((2 م + 5 ن) (أ + 4) )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

(a ^ 2x ^ 3 + 4a ^ 2y ^ 3 + 3bx ^ 3 + 12by ^ 3 )

إجابه

((أ ^ 2 + 3 ب) (س ^ 3 + 4 ص ^ 3) )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {4} )

(15 م × + 10 نكس − 6 سنوات ، 4 ني )

إجابه

((5 س − 2 ص) (3 م + 2 ن) )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {5} )

(40abx - 24abxy - 35c ^ 2x + 21c ^ 2xy )

إجابه

(x (8ab − 7c ^ 2) (5−3y) )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {6} )

عند تحليل كثير الحدود إلى عوامل (8a ^ 2b ^ 4−4b ^ 4 + 14a ^ 2−78 ) في العينة A ، قمنا بتجميع المصطلحين 1 و 2 و 3 و 4. هل يمكننا تجميع المصطلحين 1 و 3 و 2 معًا و 4؟ جرب هذا.

(8a ^ 2b ^ 4−4b ^ 4 + 14a ^ 2−78 = )

إجابه

نعم

هل نحصل على نفس النتيجة؟ إذا كانت النتائج لا تبدو متشابهة تمامًا ، فتذكر الخاصية التبادلية للضرب.

تمارين

بالنسبة للمشكلات التالية ، استخدم طريقة التجميع لتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. قد لا تكون بعض كثيرات الحدود قابلة للتحليل باستخدام طريقة التجميع.

تمرين ( PageIndex {1} )

(2 أب + 3 أ + 18 ب + 27 )

إجابه

((2 ب + 3) (أ + 9) )

تمرين ( PageIndex {2} )

(س ص − 7 س + 4 ص 28 )

تمرين ( PageIndex {3} )

(س ص + س + 3 ص + 3 )

إجابه

((ص + 1) (س + 3) )

تمرين ( PageIndex {4} )

(النائب + 3mq + np + 3nq )

تمرين ( PageIndex {5} )

(ar + 4as + 5br + 20bs )

إجابه

((أ + 5 ب) (ص + 4 ث) )

تمرين ( PageIndex {6} )

(14ax − 6bx + 21ay − 9 by )

تمرين ( PageIndex {7} )

(12mx b 6bx + 21ay − 9by )

إجابه

(3 (4mx − 2bx + 7ay − 3by) ) غير قابل للتحليل بالتجميع

تمرين ( PageIndex {8} )

(36ak − 8ah − 27bk + 6bh )

تمرين ( PageIndex {9} )

(أ ^ 2 ب ^ 2 + 2 أ ^ 2 + 3 ب ^ 2 + 6 )

إجابه

((أ ^ 2 + 3) (ب ^ 2 + 2) )

تمرين ( PageIndex {10} )

(3 ن ^ 2 + 6 ن + 9 م ^ 3 + 12 م )

تمرين ( PageIndex {11} )

(8y ^ 4 - 5y ^ 3 + 12z ^ 2 - 10z )

إجابه

غير قابل للتحليل بالتجميع

تمرين ( PageIndex {12} )

(س ^ 2 + 4x - 3y ^ 2 + ص )

تمرين ( PageIndex {13} )

(س ^ 2 - 3 س + س ص - 3 ص )

إجابه

((س + ص) (س − 3) )

تمرين ( PageIndex {14} )

(2 ن ^ 2 + 12 ن − 5 مليون − 30 م )

تمرين ( PageIndex {15} )

(4pq − 7p + 3q ^ 2−21 )

إجابه

غير قابل للتحليل بالتجميع

تمرين ( PageIndex {16} )

(8x ^ 2 + 16xy − 5x − 10y )

تمرين ( PageIndex {17} )

(12 ثانية ^ 2-27 ثانية − 8 + 18 طن )

إجابه

((4 ثوانٍ − 9) (3 ثوانٍ − 2 طن) )

تمرين ( PageIndex {18} )

(15x ^ 2−12x − 10xy + 8y )

تمرين ( PageIndex {19} )

(a ^ 4b ^ 4 + 3a ^ 5b ^ 5 + 2a ^ 2b ^ 2 + 6a ^ 3b ^ 3 )

إجابه

(a ^ 2b ^ 2 (a ^ 2b ^ 2 + 2) (1 + 3ab) )

تمرين ( PageIndex {20} )

(4a ^ 3bc − 14a ^ 2bc ^ 3 + 10abc ^ 2−35bc ^ 4 )

تمرين ( PageIndex {21} )

(5x ^ 2y ^ 3z + 3x ^ 3yw − 10y ^ 3z ^ 2−6wxyz )

إجابه

(ص (5y ^ 2z + 3xw) (س ^ 2−2z) )

تمرين ( PageIndex {22} )

(a ^ 3b ^ 2cd + abc ^ 2dx − a ^ 2bxy − cx ^ 2y )

تمرين ( PageIndex {23} )

(5 م ^ {10} n ^ {17} ص ^ 3 - م ^ 6n ^ 7p ^ 4 - 40 م ^ 4n ^ {10} qt ^ 2 + 8pqt ^ 2 )

إجابه

((م ^ 6n ^ 7p ^ 3−8qt ^ 2) (5 م ^ 4n ^ {10} −p) )

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {24} )

بسّط ((x ^ 5y ^ 3) (x ^ 2y) )

تمرين ( PageIndex {25} )

استخدم الترميز العلمي لإيجاد حاصل ضرب ((3 times 10 ^ {- 5}) (2 times 10 ^ 2) ).

إجابه

(6 مرات 10 ^ {- 3} )

تمرين ( PageIndex {26} )

أوجد مجال المعادلة (y = dfrac {6} {x + 5} )

تمرين ( PageIndex {27} )

بناء الرسم البياني لعدم المساواة (y ge -2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {28} )

حلل العامل (8a ^ 4b ^ 4 + 12a ^ 3b ^ 5 - 8a ^ 2b ^ 3 )


التحليل إلى عوامل التجميع: $ xw + 3x - 6w - 18 $ والعامل: $ 3x ^ 2-5x-2 $

هاتان المشكلتان في العوملة جعلتني في حيرة من أمري. أنا متأكد من أن عملية التخصيم صحيحة. على الرغم من أنني أحصل على علامة غير صحيحة عبر الإنترنت. للتأكد ، أطلب منك المساعدة. عند تقديم إجابة لمشكلة عوملة ، هل من الصحيح ببساطة كتابة الحل على النحو التالي:

$ xw + 3x - 6w - 18 = (x-6) (w + 3) 3x ^ 2 - 5x - 2 = (3x + 1) (x-2) $

أم أن هناك طريقة أكثر رسمية وصحيحة لتوضيح ذلك؟


إجراء تحليل التعبيرات الجبرية بالتجميع

اتبع الخطوات أدناه للعثور على تحليل عامل تعبير معين باستخدام الخطوات أدناه.

(ط) أخرج عاملاً من كل مجموعة من مجموعات التعبير المحدد.
(2) حلل كل مجموعة
(3) أخيرًا ، أخرج العامل المشترك.

شروط العوملة عن طريق تجميع الأمثلة

1. تحليل التعبير الجبري إلى عوامل

المحلول:
التعبير المعطى هو 2ma + mb + 2na + nb.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما 2ma + mb والشرطان الثانيان هما 2na + nb.
خذ m مشترك من أول حدين.
م (2 أ + ب)
خذ n مشترك من الحدين الآخرين.
ن (2 أ + ب)
م (2 أ + ب) + ن (2 أ + ب)
ثم خذ (2a + b) من التعبير أعلاه.
(2 أ + ب) (م + ن)

الحل النهائي هو (2a + b) (m + n).

المحلول:
التعبير المعطى 3xm & # 8211 ym & # 8211 3xn + yn.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول فترتين هما 3xm & # 8211 ym ، والثانيان هما & # 8211 3xn + yn.
خذ m مشترك من أول حدين.
م (3x & # 8211 ص)
خذ -n مشتركًا من المصطلحين الآخرين.
-n (3x & # 8211 y)
م (3 س & # 8211 ص) & # 8211 ن (3 س & # 8211 ص)
ثم خذ (3x & # 8211 y) مشتركًا من التعبير أعلاه.
(3x & # 8211 y) (m & # 8211 ن)

الإجابة النهائية هي (3x & # 8211 y) (m & # 8211 n).

المحلول:
التعبير المعطى هو 12a 2 + 6ab & # 8211 4ma - 2mb.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما 12a 2 + 6ab والشرطان الثانيان هما & # 8211 4ma - 2mb.
خذ 6a مشتركًا من أول حدين.
6 أ (2 أ + ب)
خذ -2m مشترك من المصطلحين الآخرين.
-2 م (2 أ + ب)
6 أ (2 أ + ب) & # 8211 2 م (2 أ + ب)
ثم خذ (2a + b) من التعبير أعلاه.
(2 أ + ب) (6 أ & # 8211 2 م)

الإجابة النهائية هي (2a + b) (6a & # 8211 2m).

(iv) am 2 & # 8211 bm 2 + an 2 & # 8211 bn 2 + ar 2 & # 8211 br 2

المحلول:
التعبير هو am 2 & # 8211 bm 2 + an 2 & # 8211 bn 2 + ar 2 & # 8211 br 2.
جمِّع الحدين الأولين ، والحدين الأوسطين ، والحدود الأخيرة.
أول حدين هما am 2 & # 8211 bm 2 ، والشرطان الأوسطان هما + an 2 & # 8211 bn 2 ، وآخر حدين هما + ar 2 & # 8211 br 2.
خذ م 2 مشتركًا من أول حدين.
م 2 (أ & # 8211 ب)
خذ n 2 المشترك من الحدين الأوسطين.
العدد 2 (أ & # 8211 ب)
خذ r 2 مشتركًا من الحدين الأوسطين.
ص 2 (أ & # 8211 ب)
م 2 (أ & # 8211 ب) + ن 2 (أ & # 8211 ب) + ص 2 (أ & # 8211 ب)
ثم خذ (a & # 8211 b) من التعبير أعلاه.
(أ & # 8211 ب) (م 2 + ن 2 + ص 2)

الإجابة النهائية هي (a & # 8211 b) (m 2 + n 2 + r 2).

المحلول:
التعبير المعطى هو ax & # 8211 ay + bx - بواسطة.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما ax & # 8211 ay والشرطان الثانيان هما + bx - by.
خذ عامًا مشتركًا من أول حدين.
أ (س & # 8211 ذ)
خذ ب مشتركًا من الحدين الآخرين.
ب (س & # 8211 ذ)
أ (س & # 8211 ص) + ب (س & # 8211 ص)
ثم خذ (x & # 8211 y) من التعبير أعلاه.
(س & # 8211 ص) (أ + ب)

الإجابة النهائية هي (x & # 8211 y) (a + b).

2. تحليل التعبير الجبري التالي إلى عوامل

المحلول:
إذا كان التعبير هو 4 أ + 2 أب + ب + 2.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما 4a + 2ab والشرطان الثانيان هما b + 2.
خذ 2a مشتركًا من أول حدين.
2 أ (2 + ب)
خذ 1 مشترك من المصطلحين الآخرين.
1 (ب + 2)
2 أ (2 + ب) + 1 (2 + ب)
ثم خذ (2 + b) عام من التعبير أعلاه.
(2 + ب) (2 أ + 1)

الحل المهائي هو (2 + b) (2a + 1).

المحلول:
إذا كان التعبير هو 3 م 3 + 5 م 2 + 3 م + 5.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما 3 م 3 + 5 م 2 والحدين الثانيين هما 3 م + 5.
خذ م 2 مشتركًا من أول حدين.
م 2 (3 م + 5)
خذ 1 مشترك من المصطلحين الآخرين.
1 (3 م + 5)
م 2 (3 م + 5) + 1 (3 م + 5)
ثم خذ (3m + 5) من التعبير أعلاه.
(3 م + 5) (م 2 + 1)

الحل المهائي هو (3m + 5) (m 2 + 1).

المحلول:
إذا كان التعبير هو ب 3 + 3 ب 2 + ب + 3.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما b 3 + 3b 2 والشرطان الثانيان هما b + 3.
خذ b 2 مشتركًا من أول حدين.
ب 2 (ب + 3)
خذ 1 مشترك من المصطلحين الآخرين.
1 (ب + 3)
ب 2 (ب + 3) + 1 (ب + 3)
ثم خذ (b + 3) عام من التعبير أعلاه.
(ب + 3) (ب 2 + 1)

الحل المهائي هو (b + 3) (b 2 + 1).

المحلول:
إذا كان التعبير هو 1 + s + s 2 t + s 3 t.
جمّع أول حدين وآخر حدين.
أول حدين هما 1 + s والحدين الثانيين هما s 2 t + s 3 t.
خذ 1 مشترك من أول حدين.
1 (1+)
خذ s 2 t مشتركًا من الحدين الآخرين.
ق 2 ر (1 + ث)
1 (1 + s) + s 2 t (1 + s)
ثم خذ (1 + s) من التعبير أعلاه.
(1 + s) (1 + s 2 t)

الحل المهائي هو (1 + s) (1 + s 2 t).

المحلول:
التعبير المعطى هو m & # 8211 1 & # 8211 (m & # 8211 1) 2 + bm - b.
قم بتجميع الحدين الأولين ، الحدين الأوسط والأخير.
أول حدين هما m & # 8211 1 ، والحد الأوسط & # 8211 (m & # 8211 1) 2 ، وآخر حدين هما bm - b.
خذ 1 مشترك من أول حدين.
1 (م & # 8211 1)
خذ 1 مشترك من المدى المتوسط.
& # 8211 (م & # 8211 1) 2
خذ ب مشترك من آخر حدين.
ب (م - 1)
1 (م & # 8211 1) & # 8211 (م & # 8211 1) 2 + ب (م - 1)
ثم خذ (م - 1) مشترك من التعبير أعلاه.
(م - 1) (1 & # 8211 م + 1 + ب)
(م - 1) (2 + ب & # 8211 م)


6.5: التحليل بالتجميع - الرياضيات

في القسم الأخير ، أوضحنا لك كيفية تحليل كثيرات الحدود بأربعة حدود من خلال التجميع. ثلاثي الحدود من شكل [لاتكس] أ^ <2> + bx + c [/ latex] أكثر تعقيدًا بعض الشيء في التحليل. بالنسبة لثلاثيات الحدود ، يمكننا ذلك عامل بالتجميع بقسمة x المصطلح في مجموع حدين ، مع تحليل كل جزء من التعبير على حدة ، ثم تحليل العامل المشترك الأكبر للتعبير بأكمله. ثلاثي الحدود [اللاتكس] 2يمكن إعادة كتابة ^ <2> + 5x + 3 [/ latex] كـ [latex] left (2x + 3 right) left (x + 1 right) [/ latex] باستخدام هذه العملية. نبدأ بإعادة كتابة التعبير الأصلي كـ [لاتكس] 2^ <2> + 2x + 3x + 3 [/ latex] ثم عامل كل جزء من التعبير للحصول على [اللاتكس] 2x left (x + 1 right) +3 left (x + 1 right) [/ اللاتكس]. ثم نسحب العامل المشترك الأكبر الخاص بـ [اللاتكس] يسار (x + 1 يمين) [/ اللاتكس] لإيجاد التعبير المحلل إلى عوامل.

يوجد أدناه ملخص للخطوات التي سنستخدمها متبوعًا بمثال يوضح كيفية استخدام الخطوة.

تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل بالصيغة [اللاتكس] ax ^ + bx + c [/ latex]

لتحليل ثلاثي الحدود بالصيغة [اللاتكس] ax ^ <2> + bx + c [/ latex] ، ابحث عن عددين صحيحين ، ص و س، مجموعهم ب ومنتج من هو أ.

أعد كتابة ثلاثي الحدود كـ [latex] ax ^ <2> + rx + sx + c [/ latex] ثم استخدم التجميع وخاصية التوزيع لتحليل كثير الحدود.

الخطوة الأولى في هذه العملية هي معرفة ما هو رقمين لاستخدامهما لإعادة كتابة x كمجموع فترتين جديدتين. من المفيد صنع طاولة لتتبع عملك. نحن نبحث عن رقمين بمنتج [لاتكس] 6 [/ لاتكس] ومجموع [لاتكس] 5 [/ لاتكس]

عوامل [اللاتكس] 2 cdot3 = 6 [/ اللاتكس] مجموع العوامل
[لاتكس] 1.6 [/ لاتكس] [لاتكس] 7 [/ لاتكس]
[لاتكس] -1 ، -6 [/ لاتكس] [لاتكس] -7 [/ لاتكس]
[لاتكس] 2،3 [/ لاتكس] [لاتكس] 5 [/ لاتكس]
[لاتكس] -2 ، -3 [/ لاتكس] [لاتكس] -5 [/ لاتكس]

الزوج [اللاتكس] p = 2 text <و> q = 3 [/ latex] سيعطي الصحيح x المصطلح ، لذلك سنعيد كتابته باستخدام العوامل الجديدة:

يمكننا الآن تجميع كثير الحدود في معدين ذي حدين.

حدد العامل المشترك الأكبر لكل ذي حدين.

[اللاتكس] 2x [/ اللاتكس] هو إطار GCF لـ [اللاتكس] (2x ^ 2 + 2x) [/ اللاتكس] و [اللاتكس] 3 [/ اللاتكس] هو GCF لـ [اللاتكس] (3x + 3) [/ اللاتكس ]. استخدم هذا لإعادة كتابة كثير الحدود:

لاحظ كيف نترك العلامات في ذات الحدين والإضافة التي تربطهم. كن حذرًا مع العلامات عندما تقوم بإخراج عامل المناخ العام. العامل المشترك الأكبر في كثير الحدود الجديد لدينا هو [اللاتكس] (x + 1) [/ اللاتكس]. نحن نأخذ في الاعتبار هذا أيضًا:

أحيانًا يكون من المفيد كتابة كثير الحدود بصريًا على النحو [اللاتكس] (x + 1) 2x + (x + 1) 3 [/ اللاتكس] قبل أن تحلل العامل المشترك. هذه مسألة تفضيل بحت. الضرب هو تبادلي ، لذلك الترتيب لا يهم.

الآن دعنا نرى كيف تعمل هذه الإستراتيجية لتحليل [اللاتكس] 6z ^ <2> + 11z + 4 [/ latex].

في هذا ثلاثي الحدود ، [لاتكس] أ = 6 [/ لاتكس] ، [لاتكس] ب = 11 [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ج = 4 [/ لاتكس]. وفقًا للإستراتيجية ، فأنت بحاجة إلى إيجاد عاملين ، ص و س، مجموعها [latex] b = 11 [/ latex] ومنتجها [latex] a cdot= 6 cdot4 = 24 [/ لاتكس]. يمكنك عمل مخطط لتنظيم مجموعات العوامل الممكنة. (لاحظ أن هذا الرسم البياني يحتوي على أرقام موجبة فقط. منذ أ هو إيجابي و ب إيجابية ، يمكنك التأكد من أن العاملين الذين تبحث عنهم & # 8217re أيضًا أرقام موجبة.)

العوامل التي يكون منتجها [اللاتكس] 24 [/ latex] مجموع العوامل
[لاتكس] 1 cdot24 = 24 [/ لاتكس] [لاتكس] 1 + 24 = 25 [/ لاتكس]
[لاتكس] 2 cdot12 = 24 [/ لاتكس] [لاتكس] 2 + 12 = 14 [/ لاتكس]
[لاتكس] 3 cdot8 = 24 [/ لاتكس] [لاتكس] 3 + 8 = 11 [/ لاتكس]
[لاتكس] 4 cdot6 = 24 [/ لاتكس] [لاتكس] 4 + 6 = 10 [/ لاتكس]

هناك مجموعة واحدة فقط يكون فيها المنتج [لاتكس] 24 [/ لاتكس] ويكون المجموع [لاتكس] 11 [/ لاتكس] ، وهذا هو عندما [لاتكس] ص = 3 [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ق = 8 [/ لاتكس]. دعنا نستخدم هذه القيم لتحليل ثلاثي الحدود الأصلي.

مثال

أزواج المجموعة. استخدم التجميع للنظر في المصطلحات في أزواج.

عامل [اللاتكس] 3 [/ اللاتكس]ض من المجموعة الأولى و [لاتكس] 4 [/ لاتكس] من المجموعة الثانية.

أخرج العامل [latex] left (2z + 1 right) [/ latex].

إجابه

الآن ، دعونا نلقي & # 8217s نظرة على مثال حيث تكون c سالبة.

مثال

عامل [اللاتكس] 5^ <2> + 7x - 6 [/ لاتكس] بالتجميع.

لدينا ثلاثي الحدود مع [لاتكس] أ = 5 ، ب = 7 [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ج = -6 [/ لاتكس]. أولاً ، حدد [اللاتكس] ac = -30 [/ latex]. نحتاج إلى إيجاد رقمين بمنتج [لاتكس] -30 [/ لاتكس] ومجموع [لاتكس] 7 [/ لاتكس]. في الجدول ، نقوم بسرد العوامل حتى نجد زوجًا بالمجموع المطلوب.

عوامل [اللاتكس] -30 [/ اللاتكس] مجموع العوامل
[لاتكس] 1، -30 [/ لاتكس] [لاتكس] -29 [/ لاتكس]
[لاتكس] -1،30 [/ لاتكس] [اللاتكس] 29 [/ اللاتكس]
[لاتكس] 2، -15 [/ لاتكس] [لاتكس] -13 [/ لاتكس]
[لاتكس] -2،15 [/ لاتكس] [لاتكس] 13 [/ لاتكس]
[لاتكس] 3 ، -10 [/ لاتكس] [لاتكس] -7 [/ لاتكس]
[لاتكس] -3،10 [/ لاتكس] [لاتكس] 7 [/ لاتكس]

إذن [اللاتكس] p = -3 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] q = 10 [/ اللاتكس].

يمكننا التحقق من عملنا بالضرب. استخدم FOIL لتأكيد أن [اللاتكس] left (5x - 3 right) left (x + 2 right) = 5^ <2> + 7x - 6 [/ لاتكس].

يمكننا تلخيص عمليتنا بالطريقة التالية:

الكيفية: يُعطى ثلاثي الحدود بالشكل [لاتكس] أ^ + bx + c [/ latex] ، عامل بالتجميع

  1. قائمة عوامل [اللاتكس] التيار المتناوب [/ اللاتكس].
  2. ابحث عن [لاتكس] ع [/ لاتكس] و [لاتكس] ف [/ لاتكس] ، زوج من عوامل [لاتكس] تيار متردد [/ لاتكس] بمجموع [لاتكس] ب [/ لاتكس].
  3. أعد كتابة التعبير الأصلي كـ [اللاتكس] أ^ <2> + px + qx + c [/ اللاتكس].
  4. اسحب الصندوق الأخضر للمناخ [اللاتكس] أ^ <2> + بكسل [/ لاتكس].
  5. اسحب إطار التعاون العالمي للخارج الخاص بـ [اللاتكس] qx + c [/ اللاتكس].
  6. أخرج العامل المشترك الأكبر للتعبير.

جربها

في الفيديو التالي ، نقدم مثالًا آخر لتحليل ثلاثي الحدود باستخدام التجميع. في هذا المثال ، الحد الأوسط ، ب ، سلبي. لاحظ كيف أن وجود حد متوسط ​​سلبي ومصطلح c موجب يؤثر على خيارات r و s عند التحليل.

باستخدام هذه الإستراتيجية ، يصبح تحليل المعاملات الثلاثية أمرًا سريعًا وممتعًا بمجرد أن تحصل على الفكرة. جرب الأمثلة التالية بنفسك قبل النظر إلى الحل.

سنعرض مثالين آخرين حتى تتمكن من التعرف على مجموعة متنوعة من النتائج المحتملة لتحليل هذا النوع من ثلاثي الحدود.

مثال

أوجد عددين p ، q مثل أن [اللاتكس] p cdot= 18 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] p + q = 9 [/ اللاتكس].

[اللاتكس] 9 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] 18 [/ اللاتكس] كلاهما إيجابي ، لذلك سننظر فقط في العوامل الإيجابية.

عوامل [اللاتكس] 2 cdot9 = 18 [/ اللاتكس] مجموع العوامل
[لاتكس] 1 ، 18 [/ لاتكس] [اللاتكس] 19 [/ اللاتكس]
[لاتكس] 3،6 [/ لاتكس] [لاتكس] 9 [/ لاتكس]

يمكننا التوقف لأننا وجدنا عواملنا.

أعد كتابة التعبير الأصلي والمجموعة.

أخرج العامل المشترك الأكبر من كل ذي حدين واكتبه كمنتج من حدين:

إليك مثال لتجربته حيث يكون c سالبًا.

مثال

عوامل [اللاتكس] 6 cdot-1 = -6 [/ latex] مجموع العوامل
[لاتكس] -1،6 [/ لاتكس] [لاتكس] 5 [/ لاتكس]
[لاتكس] 1، -6 [/ لاتكس] [لاتكس] -5 [/ لاتكس]
[لاتكس] -2،3 [/ لاتكس] [لاتكس] 1 [/ لاتكس]

يمكننا التوقف لأننا وجدنا عواملنا.

أعد كتابة التعبير الأصلي والمجموعة.

أخرج العامل المشترك الأكبر من كل ذي حدين واكتبه كمنتج من حدين:

رئيسيات ثلاثيات

قبل المضي قدمًا ، تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تحليل جميع القيم الثلاثية باستخدام أزواج الأعداد الصحيحة. خذ ثلاثي الحدود [اللاتكس] 2z ^ <2> + 35z + 7 [/ latex] ، على سبيل المثال. هل يمكنك التفكير في عددين صحيحين مجموعهما [اللاتكس] b = 35 [/ latex] ومنتجهما [اللاتكس] a cdot= 2 cdot7 = 14 [/ لاتكس]؟ لا يوجد! هذا النوع من ثلاثي الحدود ، الذي لا يمكن تحليله إلى عوامل باستخدام الأعداد الصحيحة ، يسمى ثلاثي الحدود الأولي. في مثالنا الأخير ، سترى أنه في بعض الأحيان ، ستواجه كثيرات الحدود التي ، على الرغم من بذل قصارى جهدك ، لا يمكن تضمينها في ناتج حدين.

مثال

عوامل [اللاتكس] 7 cdot <-5> = -35 [/ اللاتكس] مجموع العوامل
[لاتكس] -1 ، 35 [/ لاتكس] [اللاتكس] 34 [/ اللاتكس]
[لاتكس] 1، -35 [/ لاتكس] [لاتكس] -34 [/ لاتكس]
[لاتكس] -5 ، 7 [/ لاتكس] [لاتكس] 2 [/ لاتكس]
[لاتكس] -7،5 [/ لاتكس] [لاتكس] -2 [/ لاتكس]

لا يمكن تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل. لا تضيف أيًا من العوامل ما يصل إلى [اللاتكس] -16 [/ اللاتكس]

تحليل العامل المشترك الأكبر

الآن بعد أن أصبحت على دراية بطريقة التجميع للتخصيم ، سنبدأ الآن في النظر في بعض الاستراتيجيات المفيدة لتسهيل عملية العوملة. يجب أن تكون خطوتك الأولى عند إجراء التحليل دائمًا هي البحث عن العوامل المشتركة للمصطلحات الثلاثة. ضع في اعتبارك الأمثلة أدناه.

ثلاثي الحدود أخرج العامل المشترك عامل
[لاتكس] 2x ^ <2> + 10x + 12 [/ لاتكس] [لاتكس] 2 (x ^ <2> + 5x + 6) [/ لاتكس] [لاتكس] 2 يسار (x + 2 يمين) يسار (x + 3 يمين) [/ لاتكس]
[لاتكس] −5a ^ <2> −15a − 10 [/ لاتكس] [لاتكس] −5 (أ ^ <2> + 3a + 2) [/ لاتكس] [لاتكس] −5 يسار (أ + 2 يمين) يسار (أ + 1 يمين) [/ لاتكس]
[اللاتكس] c ^ <3> –8c ^ <2> + 15c [/ latex] [اللاتكس] c left (c ^ <2> –8c + 15 right) [/ latex] [اللاتكس] c left (c – 5 right) left (c – 3 right) [/ latex]
[اللاتكس] y ^ <4> –9y ^ <3> –10y ^ <2> [/ latex] [اللاتكس] y ^ <2> left (y ^ <2> –9y – 10 right) [/ latex] [اللاتكس] y ^ <2> left (y – 10 right) left (y + 1 right) [/ latex]

لاحظ أنه بمجرد تحديد العامل المشترك واستخراجه ، يمكنك تحليل ثلاثي الحدود المتبقي كالمعتاد. هذه العملية موضحة أدناه.

مثال

x هو أيضًا عامل مشترك ، لذا عامل x.

الآن يمكنك تحليل ثلاثي الحدود [اللاتكس] x ^ <2> –x – 30 [/ latex]. لايجاد ص و س، حدد رقمين منتجهما [لاتكس] 30 [/ لاتكس] ومجموعهما [لاتكس] 1 [/ لاتكس].

زوج العوامل هو [لاتكس] −6 [/ لاتكس] و [لاتكس] 5 [/ لاتكس]. لذا استبدل [اللاتكس] –x [/ اللاتكس] بـ [اللاتكس] −6x + 5x [/ اللاتكس].

استخدم التجميع للنظر في المصطلحات في أزواج.

عامل x من المجموعة الأولى والعامل [اللاتكس] 5 [/ اللاتكس] من المجموعة الثانية.

ثم عامل [اللاتكس] x – 6 [/ لاتكس].

إجابه

الشكل العام للثلاثيات ذات المعامل الرئيسي أ هو [اللاتكس] ax ^ <2> + bx + c [/ latex]. في بعض الأحيان عامل أ يمكن أخذها في الاعتبار كما رأيت أعلاه يحدث هذا عندما أ يمكن أخذها في الاعتبار من جميع المصطلحات الثلاثة. ستكون ثلاثية الحدود المتبقية التي لا تزال بحاجة إلى العوملة أكثر بساطة ، حيث يكون المصطلح الرئيسي فقط مصطلح [اللاتكس] x ^ <2> [/ latex] ، بدلاً من مصطلح [اللاتكس] ax ^ <2> [/ latex].

تحليل السالب

في بعض الحالات ، أ سلبية ، كما في [اللاتكس] −4h ^ <2> + 11h + 3 [/ latex]. غالبًا ما يكون من المنطقي استبعاد [اللاتكس] −1 [/ اللاتكس] كخطوة أولى في التحليل ، لأن القيام بذلك سيغير علامة [اللاتكس] الفأس ^ <2> [/ اللاتكس] من السلبية إلى الإيجابية الثلاثية المتبقية أسهل في التحليل.

مثال

لتحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل ، تحتاج إلى معرفة كيفية إعادة كتابة [اللاتكس] −11h [/ اللاتكس]. منتج [اللاتكس] rs = 4 cdot − 3 = −12 [/ اللاتكس] ، ومجموع [اللاتكس] rs = −11 [/ اللاتكس].

[لاتكس] r cdot= −12 [/ لاتكس] [اللاتكس] r + s = −11 [/ لاتكس]
[لاتكس] −12 cdot1 = −12 [/ لاتكس] [اللاتكس] −12 + 1 = −11 [/ لاتكس]
[لاتكس] −6 cdot2 = −12 [/ لاتكس] [اللاتكس] −6 + 2 = −4 [/ لاتكس]
[لاتكس] −4 cdot3 = −12 [/ لاتكس] [اللاتكس] −4 + ​​3 = -1 [/ لاتكس]

أعد كتابة المصطلح الأوسط [اللاتكس] −11h [/ latex] بالشكل [اللاتكس] −12h + 1h [/ latex].

العامل [اللاتكس] 4 [/ اللاتكس]ح من الزوج الأول. لا يمكن تحليل المجموعة الثانية إلى عوامل أخرى ، ولكن يمكنك كتابتها كـ [لاتكس] +1 يسار (h – 3 يمين) [/ لاتكس] منذ [لاتكس] +1 يسار (h – 3 يمين) = يسار (h – 3 right) [/ اللاتكس]. هذا يساعد في أخذ العوامل في الخطوة التالية.

أخرج العامل المشترك من [اللاتكس] left (h – 3 right) [/ latex]. لاحظ أن [اللاتكس] يسار (h – 3 right) left (4h + 1 right) [/ latex] يأتي [latex] +1 [/ latex] من المصطلح [latex] +1 يسار (h – 3 right) [/ latex] في الخطوة السابقة.

إجابه

لاحظ أنه يمكن أيضًا كتابة الإجابة أعلاه كـ [لاتكس] يسار (−h + 3 يمين) يسار (4h + 1 يمين) [/ لاتكس] أو [لاتكس] يسار (h – 3 يمين) يسار (−4h – 1 right) [/ latex] إذا قمت بضرب [اللاتكس] −1 [/ latex] مرات في أحد العوامل الأخرى.

في مثال الفيديو التالي ، سنعمل على تحليل ثلاثي الحدود الذي يكون حده الرئيسي سالبًا. سترى كيف ، من خلال إخراج إشارة السالب إلى عوامل ، يصبح تحليل ثلاثي الحدود أسهل.


أول شيء سأجربه هو العوامل من الدرجة الأولى ، والتي يجب أن تكون بالصيغة $ n + d $ ، وفقًا لنظرية الجذور المنطقية ، حيث $ d $ هو قاسم عدد صحيح يساوي $ 4 $.

بمجرد استنفاد هذه الاحتمالات ، فإن العوامل الوحيدة المتبقية للتحقق منها هي العوامل التربيعية:

$ n ^ 4 + 4n ^ 3 + 8n ^ 2 + 8n + 4 = (n ^ 2 + an + b) (n ^ 2 + cn + d) $

حيث $ a، b، c، d $ هي أعداد صحيحة مع القيود الضمنية من خلال جمع قوى مثل $ n $. على سبيل المثال ، $ bd = 4 $. لا يوجد الكثير من هؤلاء للتحقق.

ينتج كثير الحدود هذا عن خدعة لإيجاد عوامل خالية من التربيع. يأخذ المرء مشتق كثير الحدود $ 4n ^ 3 + 12n ^ 2 + 16n + 8 $ ، ويحسب القاسم المشترك الأكبر للمشتق مع الأصل:

4 ن ^ 3 + 12 ن ^ 2 + 16 ن + 8 = 4 (ن ^ 3 + 3 ن ^ 2 + 4 ن + 2) = 4 (ن + 1) (ن ^ 2 + 2 ن + 2) دولار

بطريقة أو بأخرى ، يجد المرء عوامل كثيرة الحدود الأصلية مثل $ (n ^ 2 + 2n + 2) ^ 2 $.

هذا هو النهج القائم على التعرف على الأنماط.

أذكر مثلث باسكال $ 1 1 quad 1 1 quad 2 quad 1 1 quad 3 quad 3 quad 1 1 quad 4 quad 6 quad 4 quad 1 $ المعاملات من كثير الحدود المطروح هي $ 1 quad 4 quad 8 quad 8 quad 4 $ تبدو "قريبة" من $ 5 ^صف دولار فوق المثلث. هذا يقترح علينا إعادة كتابة كثير الحدود كمجموع $ (n + 1) ^ 4 $ بالإضافة إلى بعض القطع الصغيرة:

$ n ^ 4 + 4n ^ 3 + 8n ^ 2 + 8n + 4 = (n + 1) ^ 4 + 2n ^ 2 + 4n + 3 $

معامل القطعة الصغيرة $ 2 quad 4 quad 3 $ يبدو الآن ضعف $ 3 ^صف دولار فوق المثلث. هذا يقترح علينا إعادة كتابة القطعة الصغيرة كمجموع $ 2 (n + 1) ^ 2 $ بالإضافة إلى قطعة أصغر.

بجمعهما ، نحصل على شيء يمكن للمرء أن يكمل المربع. أكمل المربع وانتهينا من الأساس!

$ n ^ 4 + 4n ^ 3 + 8n ^ 2 + 8n + 4 = (n + 1) ^ 4 + 2 (n + 1) ^ 2 + 1 = ((n + 1) ^ 2 + 1) ^ 2 = (ن ^ 2 + 2 ن + 2) ^ 2 دولار


أمثلة محلولة على التخصيم عن طريق التجميع

(ط) 12p + 15
(2) 14 ص - 21
(iii) 9q - 12q²

(ط) التعبير المعطى هو 12p + 15.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(3 * 4) ص + (3 * 5).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
3 (4p + 5).

ثم 12p + 15 يساوي 3 (4p + 5).

(2) التعبير المعطى هو 14p & # 8211 21.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(7 * 2) ص & # 8211 (7 * 3).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
7 (2p & # 8211 3).

ثم 14p - 21 تساوي 7 (2p - 3).

(3) التعبير المعطى هو 9q - 12q ^ 2.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(3 * 3) ف - (3 * 4) ف ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
3q (3-4Q).

ثم 9q - 12q ^ 2 يساوي 3q (3-4q).

2. عامل عن طريق تجميع التعبيرات

(ط) 16x² - 24xy
(2) 15xy² - 20x²y
(3) 12a²b³ - 21a³b²

(ط) التعبير المعطى هو 16x ^ 2 - 24xy.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(4 * 4) × ^ 2 - (4 * 6) س ص.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
4x (4x - 6y).

إذن 16x ^ 2 - 24xy يساوي 4x (4x - 6y).

(2) التعبير المحدد هو 15xy ^ 2 - 20x ^ 2y.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(5 * 3) xy ^ 2 - (5 * 4) x ^ 2y.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
5xy (3y - 4x).

إذن ، 15xy ^ 2 - 20x ^ 2y يساوي 5xy (3y - 4x).

(3) التعبير المعطى هو 12a ^ 2b ^ 3 - 21a ^ 3b ^ 2.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(3 * 4) أ ^ 2 ب ^ 3 - (3 * 7) أ ^ 3 ب ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
3 أ ^ 2 ب ^ 2 (4 ب - 7 أ).

ثم ، 12a ^ 2b ^ 3 - 21a ^ 3b ^ 2 يساوي 3a ^ 2b ^ 2 (4b - 7a).

3. تحليل التعبيرات إلى عوامل

(ط) 24 أ³ - 36 أ² ب.
(2) 10 أ³ - 15 أ²
(3) 36a³b - 60a²b³c

(ط) التعبير المعطى هو 24a ^ 3 - 36a ^ 2b.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(6 * 4) أ ^ 3 - (6 * 6) أ ^ 2 ب.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
6 أ ^ 2 (4 أ - 6 ب).

بعد ذلك ، 24a ^ 3 - 36a ^ 2b تساوي 6a ^ 2 (4a - 6b).

(2) التعبير المعطى هو 10 أ ^ 3 - 15 أ ^ 2.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(5 * 2) أ ^ 3 - (5 * 3) أ ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
5 أ ^ 2 (2 أ - 3).

إذن ، 10a ^ 3 - 15a ^ 2 تساوي 5a ^ 2 (2a - 3).

(3) التعبير المعطى هو 36a ^ 3b - 60a ^ 2b ^ 3c.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(6 * 6) أ ^ 3 ب - (6 * 10) أ ^ 2 ب ^ 3 ج.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
6 أ ^ 2 ب (6 أ - 10 ب ^ 2 ج).

إذن ، 36a ^ 3b - 60a ^ 2b ^ 3c تساوي 6a ^ 2b (6a - 10b ^ 2c).

(ط) 9a³ - 6a² + 12a.
(2) 8 أ² - 72 أب + 12 أ.
(iii) 18x³y³ - 27x²y³ + 36xy²

(ط) التعبير المعطى هو 9a³ - 6a² + 12a.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(3 * 3) أ ^ 3 - (3 * 2) أ ^ 2 + (3 * 4) أ.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
3 أ (3 أ ^ 2 - 2 أ + 4).

ثم 9a ^ 3 - 6a ^ 2 + 12a تساوي 3a (3a ^ 2 - 2a + 4).

(2) التعبير المعطى هو 8a ^ 2 - 72ab + 12a.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(4 * 2) أ ^ 2 - (4 * 18) أب + (4 * 3) أ.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
4 أ (2 أ - 18 ب + 3 أ).

ثم 8a ^ 2 - 72ab + 12a يساوي 4a (2a - 18b + 3a).

(iii) التعبير المعطى هو 18x³y³ - 27x²y³ + 36x³y²
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(9 * 2) x ^ 3y ^ 3 - (9 * 3) x ^ 2y ^ 3 + (9 * 4) x ^ 3y ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
9x ^ 2y ^ 2 (2xy -3y + 4x).

إذن ، 18x³y³ - 27x²y³ + 36x³y² يساوي 9x ^ 2y ^ 2 (2xy -3y + 4x).

5. كيف عامل بالتجميع؟

(ط) 14a³ + 21a ^ 4b - 28a²b²
(ii) -5 - 10x + 20x²

(ط) التعبير المعطى هو 14a ^ 3 + 21a ^ 4b - 28a ^ 2b ^ 2.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
(7 * 2) أ ^ 3 + (7 * 3) أ ^ 4 ب - (7 * 4) أ ^ 2 ب ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
7 أ ^ 2 (2 أ + 3 أ ^ 2 ب - 4 ب ^ 2).

بعد ذلك ، 14a ^ 3 + 21a ^ 4b - 28a ^ 2b ^ 2 تساوي 7a ^ 2 (2a + 3a ^ 2b - 4b ^ 2).

(2) التعبير المعطى هو -5 - 10x + 20x ^ 2.
قم بتوسيع التعبير المحدد. هذا هو،
-5 - (5 * 2) x + (5 * 4) x ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
5 (-1 - 2x + 4x ^ 2).

ثم ، -5 - 10x + 20x ^ 2 يساوي 5 (-1 - 2x + 4x ^ 2).

(ط) أ (أ + 3) + 5 (أ + 3)
(2) 5 أ (أ & # 8211 4) & # 8211 7 (أ & # 8211 4).
(iii) 2x (1 & # 8211 y) + 3 (1 & # 8211 y).

(ط) التعبير المعطى هو أ (أ + 3) + 5 (أ + 3).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(أ + 3) (أ + 5)

ثم ، a (a + 3) + 5 (a + 3) يساوي (a + 3) (a + 5).

(2) التعبير المعطى هو 5a (a & # 8211 4) & # 8211 7 (a & # 8211 4).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(أ - 4) (5 أ - 7).

ثم 5 أ (أ - 4) - 7 (أ - 4) يساوي (أ - 4) (5 أ - 7).

(3) التعبير المعطى هو 2x (1 - y) + 3 (1 - y).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(1 - ص) (2 س + 3).

ثم 2x (1 - y) + 3 (1- y) يساوي (1 - y) (2x + 3).

7. تحليل التعبيرات

(ط) 6 س (س - 2 ص) + 5 ص (س - 2 ص).
(2) p³ (2x & # 8211 y) + p² (2x & # 8211 y).

(ط) التعبير المعطى هو 6x (x - 2y) + 5y (x - 2y).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(س - 2 ص) (6 س + 5 ص).

إذن ، 6x (x - 2y) + 5y (x - 2y) يساوي (x - 2y) (6x + 5y).

(2) التعبير المعطى هو p ^ 3 (2x - y) + p ^ 2 (2x - y).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(2 س - ص) ص ^ 2 (ص + 1).

ثم ، p ^ 3 (2x - y) + p ^ 2 (2x - y) يساوي p ^ 2 (2x - y) (p + 1).

8. كيف يتم التحليل عن طريق تجميع كثيرات الحدود؟

(ط) 9x (3x - 5y) - 12x² (3x - 5y)
(2) (أ + 5) ² & # 8211 4 (أ + 5)
(iii) 3 (x - 2y) ² & # 8211 5 (x - 2y)

(ط) التعبير المعطى هو 9x (3x - 5y) - 12x² (3x - 5y).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
3x (3x - 5y) (3 - 4x).

ثم 9x (3x - 5y) - 12x² (3x - 5y) تساوي 3x (3x - 5y) (3 - 4x).

(2) التعبير المعطى هو (أ + 5) ^ 2-4 (أ + 5).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(أ + 5) [(أ + 5) - 4] = (أ + 5) (أ + 1).

ثم (أ + 5) ^ 2 - 4 (أ + 5) يساوي (أ + 5) (أ + 1).

(iii) التعبير المعطى هو 3 (x - 2y) ² & # 8211 5 (x - 2y).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(س - 2 ص) [3 (س - 2 ص) - 5].

إذن ، 3 (x - 2y) ² & # 8211 5 (x - 2y) تساوي (x - 2y) [3 (x - 2y) - 5].

(ط) 2x + 6y & # 8211 3 (x + 3y) ²
(2) 16 (2x - 3y) ² & # 8211 4 (2x - 3y)
(iii) ص (x & # 8211 3) + q (3 & # 8211 x)
(4) 12 (2 أ - 3 ب) ² & # 8211 16 (3 ب - 2 أ).
(ت) (أ + ب) (2 أ + 5) & # 8211 (أ + ب) (أ + 3).

(ط) التعبير المعطى هو 2x + 6y - 3 (x + 3y) ^ 2.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
2 (س + 3 ص) - 3 (س + 3 ص) ^ 2 = (س + 3 ص) (2 - 3 (س + 3 ص)).

إذن 2x + 6y - 3 (x + 3y) ^ 2 يساوي (x + 3y) (2 - 3 (x + 3y)).

(2) التعبير المعطى هو 16 (2x - 3y) ² & # 8211 4 (2x - 3y).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
4 (2x - 3y) [4 (2x - 3y) - 1].

ثم 16 (2x - 3y) ² & # 8211 4 (2x - 3y) تساوي 4 (2x - 3y) [4 (2x - 3y) - 1].

(3) التعبير المعطى هو
ص (س & # 8211 3) + ف (3 & # 8211 س).
يمكننا كتابتها بالصيغة p (x - 3) - q (x - 3).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(س - 3) (ف - ف).

ثم ، p (x & # 8211 3) + q (3 & # 8211 x) تساوي (x - 3) (p - q).

(4) التعبير المعطى هو 12 (2 أ - 3 ب) ² & # 8211 16 (3 ب - 2 أ).
قم بتوسيع التعبير أعلاه. هذا هو،
12 (2 أ - 3 ب) ^ 2 + 32 أ - 48 ب.
يمكننا كتابتها على النحو 12 (2 أ - 3 ب) ^ 2 + 16 (2 أ - 3 ب).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
4 (2 أ - 3 ب) [3 (2 أ - 3 ب) + 4].

ثم ، 12 (2 أ - 3 ب) ² & # 8211 16 (3 ب - 2 أ) يساوي 4 (2 أ - 3 ب) [3 (2 أ - 3 ب) + 4].

(ت) التعبير المعطى هو (أ + ب) (2 أ + 5) & # 8211 (أ + ب) (أ + 3).
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(أ + ب) [(2 أ + 5) - (أ + 3)] = (أ + ب) (أ + 2).

ثم ، (أ + ب) (2 أ + 5) & # 8211 (أ + ب) (أ + 3) يساوي (أ + ب) (أ + 2).

10. كيف يتم التحليل عن طريق تجميع كثيرات الحدود؟

(ط) xp + yp + xq + yq.
(الثاني) p² & # 8211 sp & # 8211 qp + sq.
(iii) xy² & # 8211 yz² & # 8211 xy + z²
(4) a² & # 8211 ac + ab – bc.
(v) 6xy & # 8211 y² + 12xz - 2yz.

(ط) التعبير المعطى هو xp + yp + xq + yq.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
p (x + y) + q (x + y) = (x + y) (p + q).

ثم xp + yp + xq + yq يساوي (x + y) (p + q).

(2) التعبير المعطى هو p2 & # 8211 sp & # 8211 qp + sq.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
ص (ع - ق) - ف (ف - ق) = (ص - ق) (ف - ف).

ثم ، p2 & # 8211 sp & # 8211 qp + sq يساوي (p - s) (p - q).

(iii) التعبير المعطى هو xy² & # 8211 yz² & # 8211 xy + z²
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
xy ^ 2 - xy - yz ^ 2 + z ^ 2 = xy (y - 1) - z (yz - z).

إذن ، xy² & # 8211 yz² & # 8211 xy + z² يساوي xy (y - 1) - z (yz - z).

(4): التعبير المعطى هو a2 & # 8211 ac + ab - bc.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
أ (أ - ج) + ب (أ - ج) = (أ - ج) (أ + ب).

إذن ، a2 & # 8211 ac + ab - bc يساوي (أ - ج) (أ + ب).

(v) التعبير المعطى هو 6xy & # 8211 y² + 12xz - 2yz.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
ص (6 س - ص) + 2 ز (6 س - ص) = (6 س - ص) (ص + 2 ع).

إذن ، 6xy & # 8211 y² + 12xz - 2yz يساوي (6x - y) (y + 2z).

(ط) (أ - 2 ب) ² + 4 أ –8 ب
(2) ب² & # 8211 أب (1 & # 8211 أ) & # 8211 أ³
(iii) (rp + sq) ² + (sp & # 8211 rq) ²
(4) pq² + (p & # 8211 1) q & # 8211 1

(ط) التعبير المعطى هو (أ - 2 ب) ² + 4 أ –8 ب.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(أ - 2 ب) ² + 4 (أ - 2 ب) = (أ - 2 ب) (أ - 2 ب + 4).

ثم (أ - 2 ب) ² + 4 أ –8 ب يساوي (أ - 2 ب) (أ - 2 ب + 4).

(2) التعبير المعطى هو b² & # 8211 ab (1 & # 8211 a) & # 8211 a³
يمكننا كتابتها كـ b ^ 2 - ab + a ^ 2b - a ^ 3.
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
ب (ب - أ) + أ ^ 2 (ب - أ) = (ب - أ) (ب + أ ^ 2).

ثم ، b² & # 8211 ab (1 & # 8211 a) & # 8211 a³ يساوي (b - a) (b + a ^ 2).

(iii) التعبير المعطى (rp + sq) ² + (sp & # 8211 rq) ²
يمكننا كتابتها كـ (rp) ^ 2 + (sq) ^ 2 + 2rpsq + (sp) ^ 2 + (rq) ^ 2 - 2rpsq
إنه يساوي (rp) ^ 2 + (sq) ^ 2 + (sp) ^ 2 + (rq) ^ 2
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
r ^ 2 (p ^ 2 + q ^ 2) + s ^ 2 (p ^ 2 + q ^ 2) = (p ^ 2 + q ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2)

ثم (rp + sq) ² + (sp & # 8211 rq) ² يساوي (p ^ 2 + q ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2)

(4) التعبير المعطى هو pq² + (p & # 8211 1) q & # 8211 1.
يمكننا كتابتها كـ pq ^ 2 + pq - q - 1 = pq (q +1) - (q + 1)
أخرج العامل المشترك الأكبر. هذا هو،
(ف + 1) (ص -1).

ثم ، pq² + (p & # 8211 1) q & # 8211 1 يساوي (q + 1) (pq - 1).

12. تحليل العبارات الجبرية

(ط) p³ - 3p² + p & # 8211 3
(ii) xy (p² + q²) & # 8211 pq (x² + y²)
(iii) p² & # 8211 p (x + 2y) + 2xy

(i) The given expression is p 3 – 3p 2 + p – 3.
We can write it as p^2(p – 3) + (p – 3)
Factor out the greatest common factor. That is, (p – 3) (p^2 + 1).

Then, p 3 – 3p 2 + p – 3is equal to (p – 3) (p^2 + 1).

(ii) The given expression is xy (p 2 + q 2 ) – pq (x 2 + y 2 ).
We can write it as xyp^2 + xyq^2 – pqx^2 – pqy^2.
Factor out the greatest common factor. That is, xp (yp –qx) – yq (yp–qx) = (yp – qx) (xp – yq).

Then, xy (p 2 + q 2 ) – pq (x 2 + y 2 )is equal to (yp – qx) (xp – yq).

(iii) The given expression is p 2 – p(x + 2y) + 2xy.
We can write it as p^2 – px – 2py + 2xy.
Factor out the greatest common factor. That is, p(p -2y) – x(p – 2y) = (p – 2y) (p – x).


The expression x 2 + 5x + 6 has three terms right now, so we need to write it with 4 terms before we can group terms.

5x = 3x + 2x, so x 2 + 5x + 6 becomes x 2 + 3x + 2x + 6.

Group x 2 with 3x and 2x with 6 and then factor each group.

We get (x 2 + 3x) + (2x + 6) = x*(x + 3) + 2*(x + 3) = (x + 3) * (x + 2)

In this example, if you group x 2 with 2x and 3x with 6, you will get the same answer. Try doing that.

Notice that there is more than one way we can expand 5x, so different groupings are possible. 5x is also equal to 4x + x, 6x -x, 7x-2x, 8x-3x, and so forth.

However, not all groupings will work!

This brings light to the fact that this way of factoring by grouping can be very tedious sometimes.

Although it is always good to know, it is not always a straightforward method to factor trinomials.

At first, you may be tempted to say that -4x can be equal to: -2x + -2x, or -3x + -x, so one of them will work.

Wrong! The right combination is -6x + 2x

So, x 2 + -4x + -12 = x 2 + -6x + 2x + -12

Group x 2 with -6x and 2x with -12

(x 2 + -6x) + (2x + -12) = x *(x &minus 6) + 2 * (x &minus 6) = (x &minus 6)*(x + 2)

3y 2 + 14y + 8 = 3y 2 + 12y + 2y + 8 = (3y 2 + 12y) + (2y + 8) = 3y(y + 4) + 2(y + 4)

So, 3y 2 + 14y + 8 = (y + 4)(3y + 2)

This problem is very complicated because you have too many choices for things you can add to get -41x.

It turns out that the right combination is - 44x + 3x

There is good news though since there is a technique to use to find the right combination a little bit faster when factoring by grouping.

Then, find factors of -132 that will add up to -41

11x 2 + -41x + -12 = 11x 2 + -44x + 3x + -12

11x 2 + -44x + 3x + -12 = 11x(x &minus 4) + 3(x &minus 4) = (x &minus 4)(11x + 3)

-14 + -12 = -26 and -14 * -12 = 168, so the right combination is

6x 2 - 26x + 28 = 6x 2 + -14x + -12x + 28

6x 2 + -14x + -12x + 28 = (6x 2 + -14x) + (-12x + 28)= 2x(3x + -7) + -4(3x + -7)

6x 2 - 26x + 28 = (3x + -7) * (2x + -4)

Use factoring by grouping only if you have no other choices!


Solution to Question a)
We first find a common factor in 2 x 2 - 4 and factor it as follows:
2 x 2 - 4 x = 2 x (x - 2)
We next find a common factor in the x y - 2 y and factor it as follows:
x y - 2 y = y (x - 2)
Use the common factor (x - 2) and factor the given polynomial as follows:
2 x 2 - 4 x + x y - 2 y = ( 2 x 2 - 4 x ) + (x y - 2 y)

= 2 x (x - 2) + y (x - 2) = (x - 2) (2x + y)

Solution to Question b)
Find a common factor in x 2 + 3 x and factor it as follows:
x 2 + 3 x = x (x + 3)
We next find a common factor in the - 2 x - 6 and factor it as follows:
- 2 x - 6 = - 2 (x + 3)
Use the common factor (x + 3) to factor the given polynomial as follows:
x 2 + 3 x - 2 x - 6 = ( x 2 + 3 x ) + (- 2 x - 6)
= x (x + 3) - 2 (x + 3) = (x + 3) (x - 2)
Graphical Interpretation of Factorization for a Polynomial in one Variable
The graph of the given polynomial in b) above y = x 2 + 3 x - 2 x - 6 is shown below. x = - 3 makes the factor (x + 3) equal to zero and x = 2 makes the factor x - 2 يساوي الصفر. كلاهما x = -3 و x = 2 appears as x-intercepts in the graph of the given polynomial.

Figure 1. Graph of polynomial x^2 + 3x - 2x - 6.


استنتاج: One way to check our factoring is to graph the given polynomial and check that the x intercepts corresponds to the zeros of the factors included in the factorization.

Solution to Question c)
Find a common factor in 15 x 2 - 3 x and factor it as follows:
15 x 2 - 3 x = 3 x (5 x - 1)
We next find a common factor in the 10 x - 2 and factor it as follows:
10 x - 2 = 2 (5 x - 1)
Use the common factor (5 x - 1) to factor the given polynomial as follows:
15 x 2 - 3 x + 10 x - 2 = ( 15 x 2 - 3 x ) + (10 x - 2)
= 3 x (5 x - 1) + 2 (5 x - 1) = (5 x - 1) (3 x + 2)

Solution to Question d)
The given polynomial has three terms with no common factor. One way to factor is to rewrite it replacing x بواسطة 4 x - 3 x على النحو التالي:
4 x 2 + x - 3 = 4 x 2 + 4 x - 3 x - 3
We can now factor 4 x 2 + 4 x على النحو التالي:
4 x 2 + 4 x = 4 x (x + 1)
We next factor - 3 x - 3 على النحو التالي:
- 3 x - 3 = - 3 (x + 1)
Use the common factor (x + 1) to factor the given polynomial as follows:
4 x 2 + x - 3 = 4 x 2 + 4 x - 3 x - 3 = (4 x 2 + 4 x) + (- 3 x - 3)
= 4 x (x + 1) - 3 (x + 1) = (x + 1) (4 x - 3)

Solution to Question e)
لاحظ أن x is a common factor to all terms in the given polynomial. Hence we start by factoring as follows:
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( x y + 3 + x y 2 + 3 y)
Rewrite by grouping terms as follows
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( (x y + x y 2 ) + (3 + 3 y) )
The terms in (x y + x y 2 ) has the factor x y and the terms in (3 + 3 y) has the common factor 3. Hence we factor as follows
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( (x y + x y 2 ) + (3 + 3 y) )
= x( x y (1 + y) + 3 (1 + y) ) = x (1 + y)( x y + 3)

Solution to Question f)
Note that there are 5 terms in the given polynomial with common factor to all of them. Rewrite the polynomial replacing - x بواسطة - 3 x + 2 x as follows.
3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2 = 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2
We shall now factor the equivalent polynomial 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2. We can now group the first 3 terms and factor as follows:
3 x 2 + 3 x y - 3 x = 3 x (x + y - 1)
We now group the last three terms and factor as follows
2 x + 2 y - 2 = 2 (x + y - 1 )
The two groups have the common factor (x + y - 1 ) and the given polynomial is factored as follows:
3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2 = 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2
= (3 x 2 + 3 x y - 3 x) + (2 x + 2 y - 2)
= 3x ( x + y - 1) + 2 (x + y - 1) = (x + y - 1) (3x + 2)

More References and links


Factoring by Grouping

Factoring by grouping is a technique used in a very specific case, and is likely the technique you'll use the least in this section. However, when it's applicable, it gets the job done, and fast.

It works best when you're given a polynomial whose terms don't الكل have a greatest common factor, but perhaps بعض of them do have factors in common. Basically, you'll group the large polynomial into two smaller parts, both of which contain terms with common factors. Then, you'll factor both of those smaller groups individually. Sound confusing? Probably. However, when you see it at work in an example, it's easier to understand what's going on.

مثال 2: Factor the polynomial 2x 3 - 4x 2 - 3x + 6.

المحلول: Unfortunately, these terms don't have any factor in common (except 1, and that's true of any group of terms). However, look at the polynomial as two groups, each containing two terms.

Kelley's Cautions

The key to ensuring that factoring by grouping works right is getting the factored binomials to match in Example 2, both binomials were (x - 2). Basically, this means you should decide whether to factor out the GCF or its opposite from the second group to make them match if you don't, you won't be able to finish the problem.

Notice that the left group has a GCF of 2x 2 go ahead and factor that out and pay special attention to the binomial that results.

You've Got Problems

Problem 2: Factor the polynomial 12x 4 + 6x 3 + 14x + 7.

You can factor a 3 out of the second group of terms, but it's more useful to factor out a -3. لماذا ا؟ If you do, the binomial that results exactly matches the binomial you got when you factored the first group.

Here's the part that sometimes confuses students. You should now factor out the binomial (x - 2) from both terms. At first it feels weird factoring out something other than a monomial, but it's definitely allowed. When you pull that (x - 2) out, all you're left with in the first term is the 2x 2 , which was hanging out front, and in the second term, just the -3 remains. So, write the binomial, and pop the leftovers in a set of parentheses after it, like so:

Excerpted from The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 by W. Michael Kelley. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. Used by arrangement with Alpha Books, a member of Penguin Group (USA) Inc.


6.1 Greatest Common Factor and Factor by Grouping

Factor 56 into primes.
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 1.2.

Find the least common multiple (LCM) of 18 and 24.
If you missed this problem, review Example 1.3.

أوجد العامل المشترك الأكبر لاثنين أو أكثر من التعبيرات

Earlier we multiplied factors together to get a product . Now, we will reverse this process we will start with a product and then break it down into its factors. Splitting a product into factors is called factoring .

We have learned how to factor numbers to find the least common multiple (LCM) of two or more numbers. Now we will factor expressions and find the greatest common factor of two or more expressions. الطريقة التي نستخدمها تشبه ما استخدمناه لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

العامل المشترك الاكبر

ال العامل المشترك الاكبر (GCF) of two or more expressions is the largest expression that is a factor of all the expressions.

We summarize the steps we use to find the greatest common factor.

كيف

Find the greatest common factor (GCF) of two expressions.

  1. الخطوة 1. حلل كل معامل إلى أعداد أولية. اكتب كل المتغيرات مع الأس في شكل موسع.
  2. الخطوة 2. ضع قائمة بجميع العوامل — مطابقة العوامل المشتركة في عمود. في كل عمود ، ضع دائرة حول العوامل المشتركة.
  3. الخطوة 3. نذكر العوامل المشتركة التي تشترك فيها كل التعبيرات.
  4. الخطوة 4. اضرب العوامل.

The next example will show us the steps to find the greatest common factor of three expressions.

Example 6.1

Find the greatest common factor of 21 x 3 , 9 x 2 , 15 x . 21 × 3 ، 9 × 2 ، 15 ×.

المحلول

Factor each coefficient into primes and write the
variables with exponents in expanded form.
ضع دائرة حول العوامل المشتركة في كل عمود.
نذكر العوامل المشتركة.
اضرب العوامل.
The GCF of 21 x 3 21 x 3 , 9 x 2 9 x 2 and 15 x 15 x is 3 x 3 x .

أوجد العامل المشترك الأكبر: 25 م 4 ، 35 م 3 ، 20 م 2. 25 م 4 ، 35 م 3 ، 20 م 2.

Find the greatest common factor: 14 x 3 , 70 x 2 , 105 x . 14 x 3 , 70 x 2 , 105 x .

حلل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود

We state the Distributive Property here just as you saw it in earlier chapters and “in reverse.”

Distributive Property

If أ, ب، و ج are real numbers, then

النموذج الموجود على اليسار يستخدم للضرب. يستخدم النموذج الموجود على اليمين في التحليل.

So how do you use the Distributive Property to factor a polynomial ? You just find the GCF of all the terms and write the polynomial as a product!

Example 6.2

How to Use the Distributive Property to factor a polynomial

Factor: 8 m 3 − 12 m 2 n + 20 m n 2 . 8 m 3 − 12 m 2 n + 20 m n 2 .

المحلول

Factor: 9 x y 2 + 6 x 2 y 2 + 21 y 3 . 9 x y 2 + 6 x 2 y 2 + 21 y 3 .

Factor: 3 p 3 − 6 p 2 q + 9 p q 3 . 3 p 3 − 6 p 2 q + 9 p q 3 .

كيف

حلل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود إلى عوامل.

  1. الخطوة 1. أوجد العامل المشترك الأكبر لجميع شروط كثير الحدود.
  2. الخطوة 2. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام GCF.
  3. Step 3. Use the “reverse” Distributive Property to factor the expression.
  4. الخطوة 4. تحقق من خلال ضرب العوامل.

Factor as a Noun and a Verb

We use “factor” as both a noun and a verb:

Example 6.3

المحلول

Example 6.4

Factor: 8 x 3 y − 10 x 2 y 2 + 12 x y 3 . 8 x 3 y − 10 x 2 y 2 + 12 x y 3 .

المحلول

Factor: 15 x 3 y − 3 x 2 y 2 + 6 x y 3 . 15 x 3 y − 3 x 2 y 2 + 6 x y 3 .

Factor: 8 a 3 b + 2 a 2 b 2 − 6 a b 3 . 8 a 3 b + 2 a 2 b 2 − 6 a b 3 .

When the leading coefficient is negative, we factor the negative out as part of the GCF.

Example 6.5

Factor: −4 a 3 + 36 a 2 − 8 a . −4 a 3 + 36 a 2 − 8 a .

المحلول

المعامل الرئيسي سالب ، لذا فإن العامل المشترك الأكبر سيكون سالبًا.

Factor: −4 b 3 + 16 b 2 − 8 b . −4 b 3 + 16 b 2 − 8 b .

Factor: −7 a 3 + 21 a 2 − 14 a . −7 a 3 + 21 a 2 − 14 a .

So far our greatest common factors have been monomials. In the next example, the greatest common factor is a binomial.

Example 6.6

Factor: 3 y ( y + 7 ) − 4 ( y + 7 ) . 3 y ( y + 7 ) − 4 ( y + 7 ) .

المحلول

The GCF is the binomial y + 7 . y + 7 .

Factor: 4 m ( m + 3 ) − 7 ( m + 3 ) . 4 m ( m + 3 ) − 7 ( m + 3 ) .

Factor: 8 n ( n − 4 ) + 5 ( n − 4 ) . 8 n ( n − 4 ) + 5 ( n − 4 ) .

عامل بالتجميع

Sometimes there is no common factor of all the terms of a polynomial. When there are four terms we separate the polynomial into two parts with two terms in each part. Then look for the GCF in each part. If the polynomial can be factored, you will find a common factor emerges from both parts. Not all polynomials can be factored. Just like some numbers are prime , some polynomials are prime.

Example 6.7

How to Factor a Polynomial by Grouping

Factor by grouping: x y + 3 y + 2 x + 6 . x y + 3 y + 2 x + 6 .

المحلول

Factor by grouping: x y + 8 y + 3 x + 24 . x y + 8 y + 3 x + 24 .

Factor by grouping: a b + 7 b + 8 a + 56 . a b + 7 b + 8 a + 56 .

كيف

Factor by grouping.

  1. Step 1. Group terms with common factors.
  2. Step 2. Factor out the common factor in each group.
  3. Step 3. Factor the common factor from the expression.
  4. الخطوة 4. تحقق من خلال ضرب العوامل.

Example 6.8

Factor by grouping: ⓐ x 2 + 3 x − 2 x − 6 x 2 + 3 x − 2 x − 6 ⓑ 6 x 2 − 3 x − 4 x + 2 . 6 x 2 − 3 x − 4 x + 2 .

المحلول

Section 6.1 Exercises

مع التدريب يأتي الإتقان

أوجد العامل المشترك الأكبر لاثنين أو أكثر من التعبيرات

ابحث في التمارين التالية عن العامل المشترك الأكبر.

35 x 3 y 2 , 10 x 4 y , 5 x 5 y 3 35 x 3 y 2 , 10 x 4 y , 5 x 5 y 3

27 p 2 q 3 , 45 p 3 q 4 , 9 p 4 q 3 27 p 2 q 3 , 45 p 3 q 4 , 9 p 4 q 3

حلل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود

في التدريبات التالية ، استخدم العامل المشترك الأكبر من كل كثيرة الحدود.

12 x y 2 + 18 x 2 y 2 − 30 y 3 12 x y 2 + 18 x 2 y 2 − 30 y 3

21 p q 2 + 35 p 2 q 2 − 28 q 3 21 p q 2 + 35 p 2 q 2 − 28 q 3

20 x 3 y − 4 x 2 y 2 + 12 x y 3 20 x 3 y − 4 x 2 y 2 + 12 x y 3

24 a 3 b + 6 a 2 b 2 − 18 a b 3 24 a 3 b + 6 a 2 b 2 − 18 a b 3

−4 p 3 q − 12 p 2 q 2 + 16 p q 2 −4 p 3 q − 12 p 2 q 2 + 16 p q 2

−6 a 3 b − 12 a 2 b 2 + 18 a b 2 −6 a 3 b − 12 a 2 b 2 + 18 a b 2

عامل بالتجميع

In the following exercises, factor by grouping.

الممارسة المختلطة

In the following exercises, factor.

−4 x 3 y 5 − x 2 y 3 + 12 x y 4 −4 x 3 y 5 − x 2 y 3 + 12 x y 4

تمارين الكتابة

What does it mean to say a polynomial is in factored form?

How do you check result after factoring a polynomial?

The greatest common factor of 36 and 60 is 12. Explain what this means.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة المراجعة هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! You have achieved your goals in this section! فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ Be specific!

... مع بعض المساعدة. This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential - every topic builds upon previous work. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك أن تطلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لم أفهم! This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-1-greatest-common-factor-and-factor-by-grouping

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    شاهد الفيديو: الصف السابع الرياضيات تحليل المقادير الجبرية 1 (شهر اكتوبر 2021).