مقالات

2.1: إضافة الأعداد الصحيحة


مثل عملنا مع الأعداد الصحيحة ، فإن أفضل طريقة لتفسير جمع الأعداد الصحيحة من خلال استخدام مخططات خط الأعداد. ومع ذلك ، قبل أن نبدأ ، دعونا نتوقف لحظة لمناقشة مفهوم المتجه.

ثلاثة أبعاد

أ المتجه هو كائن رياضي يمتلك صفتين استيراد: (1) الحجم أو الطول ، و (2) الدليل.

النواقل هي أداة أساسية لحل المشكلات في الرياضيات والعلوم والهندسة. في الفيزياء ، يتم استخدام المتجهات لتمثيل القوى والموضع والسرعة والتسارع ، بينما يستخدم المهندسون المتجهات لتمثيل القوى الداخلية والخارجية على الهياكل ، مثل الجسور والمباني. في هذه الدورة ، وفي هذا القسم تحديدًا ، سنركز على استخدام المتجهات للمساعدة في شرح إضافة الأعداد الصحيحة.

المتجهات على خط الأعداد

ضع في اعتبارك خط الأعداد في الشكل ( PageIndex {1} ).

فوق الخط ، رسمنا متجهًا يبدأ الذيل من العدد الصحيح 0 ورأس السهم منتهيًا عند العدد الصحيح 4. وهناك شيئان مهمان يجب ملاحظتهما حول هذا المتجه:

  1. مقدار (طول) المتجه في الشكل ( PageIndex {1} ) هو أربعة.
  2. يشير المتجه في الشكل ( PageIndex {1} ) إلى اليمين.

سنتفق على أن المتجه في الشكل ( PageIndex {1} ) يمثل موجب أربعة. ليس من المهم أن يبدأ المتجه من الأصل. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، المتجه الموضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

مرة أخرى ، هناك ملاحظتان مهمتان يجب القيام بهما:

  1. حجم (طول) المتجه في الشكل ( PageIndex {2} ) هو أربعة.
  2. يشير المتجه في الشكل ( PageIndex {2} ) إلى اليمين.

نأمل أن يكون لديك فكرة. أي متجه بطول 4 ويشير إلى اليمين سيمثل موجب أربعة ، بغض النظر عن نقطة البداية أو النهاية. على العكس من ذلك ، ضع في اعتبارك المتجه في الشكل ( PageIndex {3} ) ، والذي يبدأ من العدد الصحيح 4 وينتهي عند العدد الصحيح −3.

ملاحظتان:

  1. حجم (طول) المتجه في الشكل ( PageIndex {3} ) هو سبعة.
  2. يشير المتجه في الشكل ( PageIndex {3} ) إلى اليسار.

سنتفق على أن المتجه في الشكل ( PageIndex {3} ) يمثل سالب سبعة. يمكننا تحديد نقاط بداية ونهاية مختلفة للمتجه الخاص بنا ، ولكن طالما أن طول المتجه سبعة ويشير إلى اليسار ، فإنه يمثل العدد الصحيح −7.

ملاحظة مهمة

يمثل المتجه الذي يشير إلى اليمين أ إيجابي عدد. المتجه الذي يشير إلى اليسار يمثل a نفي عدد.

المقدار والقيمة المطلقة

في الشكل ( PageIndex {1} ) والشكل ( PageIndex {2} ) ، تمثل المتجهات المصورة العدد الصحيح موجب أربعة. لاحظ أن القيمة المطلقة لأربعة هي أربعة ؛ أي | 4 | = 4. لاحظ أيضًا أن هذه القيمة المطلقة هي مقدار أو طول المتجهات التي تمثل العدد الصحيح الموجب أربعة في الشكل ( PageIndex {1} ) والشكل ( PageIndex {2} ).

في الشكل ( PageIndex {3} ) ، يمثل المتجه المصور العدد الصحيح −7. لاحظ أن | - 7 | = 7. يوضح هذا أن القيمة المطلقة تمثل مقدار أو طول المتجه الذي يمثل −7.

المقدار والقيمة المطلقة

إذا أ هو عدد صحيح ، ثم |أ| يعطي مقدار أو طول المتجه الذي يمثل العدد الصحيح أ.

إضافة الأعداد الصحيحة ذات العلامات المتشابهة

نظرًا لأن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أيضًا أعداد صحيحة ، فقد رأينا بالفعل كيفية الإضافة إليها في القسم 1.2.

مثال 1

أوجد المجموع 3 + 4.

حل

لإضافة الأعداد الصحيحة الموجبة 3 و 4 ، تابع ما يلي.

  1. ابدأ بالعدد الصحيح 0 ، ثم ارسم متجهًا بطول 3 وحدات يشير إلى اليمين ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ). هذا السهم له مقدار (طول) ثلاثة ويمثل عددًا صحيحًا موجبًا 3.
  2. ارسم متجهًا ثانيًا بطول أربعة يشير إلى اليمين ، بدءًا من نهاية المتجه الأول الذي يمثل العدد الصحيح الموجب 3. هذا السهم له المقدار (الطول) أربعة ويمثل العدد الصحيح الموجب 4.
  3. يمكن تمثيل مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة 3 و 4 بواسطة متجه يبدأ من العدد الصحيح 0 وينتهي عند العدد الصحيح الموجب 7. ومع ذلك ، نفضل وضع علامة على هذا المجموع على خط الأعداد كنقطة صلبة عند العدد الصحيح الموجب 7 يمثل هذا العدد مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة 3 و 4.

وهكذا ، 3 + 4 = 7

ممارسه الرياضه

استخدم مخطط خط الأعداد لإظهار المجموع 5 + 7.

إجابه

12

يتم إضافة الأعداد الصحيحة السلبية بطريقة مماثلة.

مثال 2

أوجد مجموع −3 + (- 4).

حل

لإضافة الأعداد الصحيحة السالبة −3 و 4 ، تابع ما يلي.

  1. ابدأ بالعدد الصحيح 0 ، ثم ارسم متجهًا بطول 3 وحدات مشيرًا إلى اليسار ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ). هذا السهم له مقدار (طول) ثلاثة ويمثل العدد الصحيح السالب 3.
  2. ارسم متجهًا ثانيًا بطول أربعة يشير إلى اليسار ، بدءًا من نهاية المتجه الأول الذي يمثل العدد الصحيح السالب −3. هذا السهم له مقدار (طول) أربعة ويمثل العدد الصحيح السالب −4.
  3. يمكن تمثيل مجموع الأعداد الصحيحة السالبة −3 و 4 بمتجه يبدأ من العدد الصحيح 0 وينتهي عند العدد الصحيح السالب −7. ومع ذلك ، نفضل وضع علامة على هذا المجموع على خط الأعداد كنقطة صلبة عند العدد الصحيح السالب −7. يمثل هذا العدد مجموع الأعداد الصحيحة السالبة −3 و 4.

وبالتالي ، −3 + (- 4) = −7.

بالاعتماد على الحدس الجسدي. تخيل أنك "تسير على خط الأعداد" في الشكل ( PageIndex {5} ). تبدأ من نقطة الأصل (صفر) وتأخذ 3 خطوات إلى اليسار. بعد ذلك ، تمشي أربع خطوات إضافية إلى اليسار، تهبط على الرقم −7

ممارسه الرياضه

استخدم مخطط خط الأعداد لإظهار المجموع −7 + (- 3).

إجابه

−10

لا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن الإجراء المستخدم لإضافة عددين صحيحين سالبين يتألف من خطوتين.

جمع عدد صحيحين سالبين

لإضافة عددين سالبين ، تابع ما يلي:

  1. اجمع مقادير الأعداد الصحيحة.
  2. بادئة العلامة السلبية المشتركة

مثال 3

أوجد المبالغ: (أ) −4 + ​​(- 5) ، (ب) −12 + (−9) ، (ج) −2 + (- 16).

حل

سنفحص ثلاثة مناهج منفصلة ولكنها متكافئة ، كما تمت مناقشته في السرد أعلاه.

أ) التخطيطي خط الأعداد

يوضح أن (−4) + (−5) = −9.

ب) بالاعتماد على الحدس الجسدي ، ابدأ من الصفر ، وامش 12 وحدة إلى اليسار ، ثم 9 وحدات إضافية إلى اليسار. يجب أن تجد نفسك 21 وحدة على يسار الأصل (صفر). ومن ثم ، −12 + (−9) = −21.

ج) باتباع الخوارزمية أعلاه في "إضافة عدد صحيحين سالبين" ، قم أولاً بإضافة مقادير 2 و 16 ؛ أي 2 + 16 = 18. الآن بادِئ بالإشارة المشتركة. ومن ثم ، −2 + (- 16) = 18.

ممارسه الرياضه

أوجد المجموع: −5 + (- 9).

إجابه

−14

إضافة عدد صحيح بعلامات غير متشابهة

إن إضافة أعداد صحيحة بعلامات غير متشابهة ليست أصعب من إضافة أعداد صحيحة بعلامات متشابهة.

مثال 4

أوجد مجموع −8 + 4.

حل

لإيجاد المجموع −8 + 4 تابع ما يلي:

  1. ابدأ بالعدد الصحيح 0 ، ثم ارسم متجهًا بطول ثماني وحدات يشير إلى اليسار ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ). هذا السهم له مقدار (طول) ثمانية ويمثل العدد الصحيح السالب 8.
  2. ارسم متجهًا ثانيًا بطول أربعة يشير إلى اليمين ، بدءًا من نهاية المتجه الأول الذي يمثل العدد الصحيح السالب −8. هذا السهم (الموضح أيضًا في الشكل ( PageIndex {6} )) له مقدار (طول) أربعة ويمثل عددًا صحيحًا موجبًا 4.
  3. يمكن تمثيل مجموع الأعداد الصحيحة السالبة −8 و 4 بواسطة متجه يبدأ من العدد الصحيح 0 وينتهي عند العدد الصحيح السالب −4. ومع ذلك ، نفضل وضع علامة على هذا المجموع على خط الأعداد كنقطة صلبة عند العدد الصحيح السالب −4. يمثل هذا العدد مجموع الأعداد الصحيحة −8 و 4.

وبالتالي ، −8 + 4 = −4.

بالاعتماد على الحدس الجسدي. تخيل أنك "تسير على خط الأعداد في الشكل ( PageIndex {6} ). تبدأ من نقطة الأصل (صفر) وتمشي ثماني خطوات إلى اليسار. بعد ذلك ، استدر وامشِ أربع خطوات إلى اليمين، تهبط على الرقم −4.

ممارسه الرياضه

استخدم مخطط خط الأعداد لإظهار المجموع −9 + 2.

إجابه

−7

لاحظ أن إضافة أعداد صحيحة بعلامات غير متشابهة هي أ عملية طرح. يرجع ذلك إلى انعكاس الاتجاه الذي حدث في رسم الشكل ( PageIndex {6} ) في المثال 4.

إضافة عددين صحيحين بعلامات غير متشابهة

لإضافة عددين صحيحين بعلامات غير متشابهة ، تابع ما يلي:

  1. اطرح المقدار الأصغر من المقدار الأكبر.
  2. بادئة علامة الرقم بالمقدار الأكبر.

على سبيل المثال ، لإيجاد مجموع −8 + 4 في المثال 4 ، نلاحظ أن العددين الصحيحين 8 و 4 لهما مقادير 8 و 4 على التوالي. سنطبق بعد ذلك العملية الموضحة في "إضافة رقمين صحيحين بعلامات غير متشابهة".

  1. اطرح الحجم الأصغر من الحجم الأكبر ؛ أي 8 - 4 = 4.
  2. بادئة علامة الرقم بالمقدار الأكبر. نظرًا لأن المقدار −8 أكبر وإشارته سالبة ، فإننا نضع بادئة سالبة لاختلاف المقادير. وبالتالي ، −8 + 4 = −4.

مثال 5

أوجد المبالغ: (أ) 5+ (8) ، (ب) −12+ 16 ، و (ج) −117 + 115.

حل

سنفحص ثلاثة مناهج منفصلة ولكنها متكافئة ، كما تمت مناقشته في السرد أعلاه.

أ) التخطيطي خط الأعداد

يوضح أن 5 + (−8) = -3.

ب) بالاعتماد على الحدس الجسدي ، ابدأ من الصفر ، وامش 12 وحدة إلى اليسار ، ثم استدر وامش 16 وحدة إلى اليمين. يجب أن تجد نفسك 4 وحدات على يمين الأصل (صفر). ومن ثم ، 12 + 16 = 4.

ج) باتباع الخوارزمية في "إضافة عددين صحيحين بعلامات غير متشابهة" ، اطرح الحجم الأصغر من الحجم الأكبر ، وبالتالي 117−115 = 2. نظرًا لأن −117 لها الحجم الأكبر وإشارتها سالبة ، فإننا نبدأ إشارة سالبة فرق المقادير. وبالتالي ، 117 + 115 = 2.

ممارسه الرياضه

استخدم مخطط خط الأعداد لإظهار المجموع 5 + (−11).

إجابه

−6

خواص جمع الأعداد الصحيحة

سيسعدك معرفة أن خصائص الجمع للأعداد الصحيحة تنطبق أيضًا على إضافة الأعداد الصحيحة.

الخاصية التبادلية للإضافة

يترك أ و ب تمثل عددين صحيحين. ثم،

[أ + ب = ب + أ. بلا رقم ]

مثال 6

أظهر أن 5 + (−7) = −7 + 5.

حل

تخطيطي خط الأعداد

يوضح أن 5 + (−7) = −2. من ناحية أخرى ، خط الأعداد التخطيطي

يوضح أن −7 + 5 = −2. لذلك ، 5 + (−7) = 7 + 5.

ممارسه الرياضه

استخدم مخطط خط الأعداد لتوضح أن −8 + 6 هو نفسه 6 + (−8).

إضافة الأعداد الصحيحة هي أيضا ترابطية.

الملكية الترابطية للإضافة

يترك أ, ب، و ج تمثل الأعداد الصحيحة. ثم،

[(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) بلا رقم ].

مثال 7

أظهر ذلك (−9 + 6) + 2 = 9 + (6 + 2).

حل

على اليسار ، تتطلب رموز التجميع أن نضيف −9 و 6 أولاً. هكذا،

[ ابدأ {محاذاة} (9 + 6) + 2 & = −3 + 2 ~ & = −1. نهاية {محاذاة} غير رقم ]

على اليمين ، تتطلب رموز التجميع أن نضيف 6 و 2 أولاً. هكذا،

[ ابدأ {محاذاة} −9 + (6 + 2) & = −9 + 8 ~ & = −1. نهاية {محاذاة} غير رقم ]

كلا الطرفين يبسط إلى 1. إذن (−9 + 6) + 2 = −9 + (6 + 2).

ممارسه الرياضه

بيّن أن التعبير (−8 + 5) + 3 هو نفسه −8 + (5 + 3) عن طريق تبسيط كل من التعبيرين بشكل مستقل.

خاصية الهوية المضافة

الرقم الصحيح صفر يسمى حيادي الجمع. إذا أ هو أي عدد صحيح ، إذن

أ +0= أ و 0 + أ = أ.

وهكذا ، على سبيل المثال ، −8 + 0 = −8 و 0 + (−113) = −113.

أخيرًا ، كل عدد صحيح له نقيض فريد يسمى المعكوس الجمعي.

الخاصية المعكوسة المضافة

يترك أ تمثل أي عدد صحيح. ثم هناك عدد صحيح فريد -أ، ودعا عكس أو المعكوس الجمعي من أ، مثل ذلك

أ + (−أ) = 0 و -أ + أ = 0.

المثال 8

أظهر أن 5 + (−5) = 0.

حل

تخطيطي خط الأعداد

يظهر بوضوح أن 5 + (−5) = 0.

ممارسه الرياضه

استخدم مخطط خط الأعداد لإظهار أن 9 + (−9) = 0.

ملاحظة مهمة

لقد استخدمنا عدة عبارات مكافئة لنطق العدد الصحيح -أ. لقد استخدمنا "عكس أ،" "نفي أ، "و" المعكوس الجمعي لـ أ. " كل الكلمات المنطوقة متساوية.

التجمع من أجل الكفاءة

يتطلب ترتيب العمليات إجراء جميع الإضافات عند حدوثها ، والعمل من اليسار إلى اليمين.

المثال 9

بسّط −7 + 8 + (- 9) + 12.

حل

نقوم بإجراء الإضافات فور حدوثها ، والعمل من اليسار إلى اليمين.

[ begin {align} = 7 + 8 + (-9) +12 = 1 + (-9) +12 ~ & textcolor {red} { text {العمل من اليسار إلى اليمين ،} -7 + 8 = 1 .} = -8 + 12 ~ & textcolor {red} { text {العمل من اليسار إلى اليمين ،} 1 + (-9_ = -8.} = 4 ~ & textcolor {red} {~ - 8 + 12 = 4} نهاية {محاذاة} غير رقم ]

وبالتالي ، −7 + 8 + (- 9) + 12 = 4.

ممارسه الرياضه

بسّط: −8 + 9 + (- 4) + 2.

إجابه

−1

تخبرنا الخاصية التبادلية للجمع أن تغيير ترتيب الجمع لا يغير الإجابة. تخبرنا الخاصية الترابطية للإضافة أن المبلغ لا يتأثر بإعادة التجميع. لنعمل مثال 9 مرة أخرى ، أولاً تجميع الأرقام الموجبة والسالبة معًا.

المثال 10

بسّط −7 + 8 + (- 9) + 12.

حل

تسمح لنا الخصائص التبادلية والارتباطية بتغيير ترتيب الإضافة وإعادة التجميع.

[ begin {align} -7 + 8 + (-9) + 12 = -7 + (-9) + 8 + 12 ~ & textcolor {red} { text {استخدم الخاصية التبادلية لتغيير الترتيب. }} = [-7 + (- 9)] + [8 + 12] ~ & textcolor {red} { text {استخدم الخاصية الترابطية لإعادة التجميع.}} = -16 + 20 ~ & textcolor {red} { text {أضف السلبيات. أضف الإيجابيات.}} = 4 ~ & textcolor {أحمر} { text {إضافة نهائية واحدة.}} end {align} nonumber ]

وبالتالي ، −7 + 8 + (- 9) + 12 = 4.

ممارسه الرياضه

بسّط: −11 + 7 + (12) + 3.

إجابه

−13

للوهلة الأولى ، يبدو أنه لا توجد ميزة في استخدام الأسلوب في المثال 10 على التقنية المستخدمة في المثال 9. ومع ذلك ، فإن الأسلوب في المثال 10 أسرع كثيرًا في الممارسة ، خاصة إذا قمت بحذف بعض الخطوات التوضيحية.

التجمع الفعال

عندما يُطلب منك العثور على مجموع عدد من الأعداد الصحيحة ، يكون من الأكثر فاعلية أن نجمع أولاً جميع الأعداد الصحيحة الموجبة ، ثم نجمع السلبيات ، ثم نجمع النتائج.

المثال 11

بسّط −7 + 8 + (- 9) + 12.

حل

اجمع الأعداد الصحيحة الموجبة أولاً ، ثم السلبيات ، ثم اجمع النتائج.

[ begin {align} -7 + 8 + (-9) +12 = 20 + (-16) ~ & textcolor {red} { text {أضف الإيجابيات:} 8 + 12 = 20.} ~ & textcolor {red} { text {Add the negatives:} -7 + (-9) = -16.} = 4 ~ & textcolor {red} { text {Add the results:} 20 + (-16) = 4.} نهاية {محاذاة} غير رقم ]

وبالتالي ، −7 + 8 + (- 9) + 12 = 4.

ممارسه الرياضه

بسّط: −11 + 3 + (2) + 7.

إجابه

−3

استخدام الترميز الصحيح

لا تكتب أبدا + -! هذا هو التدوين

9 + 4 و - 8 + 6

لا ينبغي أن تستخدم. بدلاً من ذلك ، استخدم رموز التجميع على النحو التالي:

9 + (- 4) و 8 + (- 6)

تمارين

في التدريبات 1-12 ، ما هو العدد الصحيح الذي يمثله المتجه المحدد؟

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.


في التدريبات من 13 إلى 36 ، أوجد مجموع الأعداد الصحيحة المعطاة.

13. −15 + 1

14. −1 + 18

15. 18 + (−10)

16. 2+(−19)

17. −10 + (−12)

18. −1+(−7)

19. 5 + 10

20. 1 + 12

21. 2+5

22. 14 + 1

23. 19 + (−15)

24. 20 + (−17)

25. −2+(−7)

26. −14 + (−6)

27. −6 + 16

28. −2 + 14

29. −11 + (−6)

30. −7+(−8)

31. 14 + (−9)

32. 5+(−15)

33. 10 + 11

34. 14 + 11

35. −13 + 1

36. −8+2


في التدريبات 37-52 ، اذكر خاصية الإضافة التي تصورها الهوية المقدمة.

37. −1 + (3 + (−8)) = (−1 + 3) + (−8)

38. −4 + (6 + (−5)) = (−4 + 6) + (−5)

39. 7+(−7) = 0

40. 14 + (−14) = 0

41. 15 + (−18) = −18 + 15

42. 14 + (−8) = −8 + 14

43. −15 + 0 = −15

44. −11 + 0 = −11

45. −7 + (1 + (−6)) = (−7 + 1) + (−6)

46. −4 + (8 + (−1)) = (−4 + 8) + (−1)

47. 17 + (−2) = −2 + 17

48. 5+(−13) = −13 + 5

49. −4+0= −4

50. −7+0= −7

51. 19 + (−19) = 0

52. 5+(−5) = 0


في التدريبات 53-64 ، حدد المعكوس الجمعي للعدد الصحيح المحدد.

53. 18

54. 10

55. 12

56. 15

57. −16

58. −4

59. 11

60. 13

61. −15

62. −19

63. −18

64. −9


في تمارين 65-80 ، أوجد مجموع الأعداد الصحيحة المعطاة.

65. 6+(−1) + 3 + (−4)

66. 6+(−3) + 2 + (−7)

67. 15 + (−1) + 2

68. 11 + (−16) + 16

69. −17 + 12 + 3

70. −5+(−3) + 2

71. 7 + 20 + 19

72. 14 + (−14) + (−20)

73. 4+(−8) + 2 + (−5)

74. 6+(−3) + 7 + (−2)

75. 7+(−8) + 2 + (−1)

76. 8+(−9) + 5 + (−3)

77. 9+(−3) + 4 + (−1)

78. 1+(−9) + 7 + (−6)

79. 9 + 10 + 2

80. −6 + 15 + (−18)


81. حساب البنك. فتح جيري حسابًا مصرفيًا جديدًا ، وأودع شيكًا بمبلغ 215 دولارًا. ثم قام بسحب عدة عمليات سحب بقيمة 40 دولارًا و 75 دولارًا و 20 دولارًا قبل إيداع شيك آخر بمبلغ 185 دولارًا. كم هو في حساب جيري الآن؟

82. غرق البحر الميت. بسبب حركة الصفائح التكتونية ، يغرق البحر الميت حوالي متر واحد كل عام. إذا كان يبلغ حاليًا 418 مترًا ، فماذا سيكون ارتفاع البحر الميت في 5 سنوات؟ اكتب تعبيرًا يمثل هذا الموقف ويحسب النتيجة.

83. الربح والخسارة. يتم عرض الأرباح والخسائر للأشهر الستة الأولى من السنة المالية لشركة صغيرة في الرسم البياني الشريطي التالي. جمع الأرباح والخسائر من كل شهر. هل كان هناك صافي ربح أو خسارة خلال فترة الستة أشهر؟ كم ثمن؟

84. هل كان هناك صافي ربح أو خسارة خلال فترة الستة أشهر؟ كم ثمن؟


الإجابات

1. 4

3. 6

5. −5

7. −6

9. 10

11. −7

13. −14

15. 8

17. −22

19. 15

21. 7

23. 4

25. −9

27. 10

29. −17

31. 5

33. 21

35. −12

37- خاصية الجمع الإضافية

39. الخاصية العكسية المضافة

41- الملكية التبادلية للإضافة

43. خاصية الهوية المضافة

45- خاصية الجمع الإضافية

47- الملكية التبادلية للإضافة

49. خاصية الهوية المضافة

51. خاصية معكوسة مضافة

53. −18

55. −12

57. 16

59. −11

61. 15

63. 18

65. 4

67. 16

69. −2

71. 46

73. −7

75. 0

77. 9

79. 21

81. $265

83. صافي الربح: 24000 دولار


شاهد الفيديو: How to solve and model multiplying whole numbers and fractions (شهر اكتوبر 2021).