مقالات

5.1: نظرية الأعداد - القسمة والمطابقة - الرياضيات


5.1: نظرية الأعداد - القسمة والمطابقة - الرياضيات

5.1: نظرية الأعداد - القسمة والمطابقة - الرياضيات

ماذا او ما؟ مقدمة

توصي معايير الدولة الأساسية المشتركة بأن يكون طلاب الصف السادس قادرين على كتابة وتفسير التعبيرات العددية والعثور على العوامل والمضاعفات المشتركة. يقدم هذا الفصل هذه المفاهيم ، باستخدام استراتيجيات وأنشطة القراءة والكتابة لتعزيز الفهم وقد يسمح للطلاب حتى بتقدير مرح وجماليات الأرقام. غالبًا ما يعتبر الطلاب والمعلمون أن نظرية الأعداد هي الجزء الممتع من الرياضيات! كلما كانت القاعدة التي يمتلكها الطلاب أقوى في العمليات التي تتضمن أرقامًا وعوامل أولية ومركبة ، كان من الأسهل تطبيق هذه المعرفة على الجبر.

لماذا ا؟ أهداف

في هذا الفصل ، سيقوم طلاب مرحلة ما قبل الجبر بما يلي:

& middot & emsp تطوير وحل الألغاز العددية

& middot & emsp تعلم إعادة صياغة المحتوى

& middot & emsp العمل مع جداول تحليل السمات الدلالية لعرض معرفتهم بمفاهيم نظرية الأعداد

الدرس الصغير 4.1 قواعد القسمة

CCSS Standard 6.NS: نظام الأرقام

احسب بطلاقة باستخدام الأعداد متعددة الأرقام واكتشف العوامل المشتركة والمضاعفات.

توفر قواعد القابلية للقسمة اختصارات لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على رقم آخر بدلاً من الاضطرار إلى القسمة المطولة. تمنح معرفة هذه القواعد طلاب ما قبل الجبر أداة مفيدة للرياضيات الذهنية وحل المشكلات.

أ رئيس الرقم هو عدد صحيح موجب يحتوي على 1 فقط وهو نفسه كعوامل (قواسم). على سبيل المثال ، الرقم 2 يحتوي فقط على 1 و 2 كعاملين ، و 13 لديه 1 فقط ونفسه كعاملين له. إذن ، 2 و 13 عددان أوليان. أ مركب الرقم له أكثر من عاملين. على سبيل المثال ، الرقم 4 يحتوي على 1 و 2 و 4 كعوامل له ، مما يجعل 4 رقمًا مركبًا. الرقم 1 هو حالة خاصة: فهو لا يعتبر أوليًا ولا مركبًا ، لأن 1 = 1 × 1 × 1 × 1. لاحظ أن 1 هو العامل الوحيد في حد ذاته.

القسمة خاصية مفيدة للأعداد الصحيحة. على سبيل المثال ، 2 تقسم 8 و 5 تقسم 15.

نصيحة تدريسية

من المهم عدم الخلط بين رمز القسمة (|) وشريط الكسر ، مثل "/" في الكسر أو 25/102. في الواقع ، يمكننا أن نقول هنا أن 25 لا تقسم 102 ، لأن 25 و 102 لا يوجد بينهما عوامل مشتركة. احرص على رسم علامة "الانقسامات" كخط عمودي لتعزيز الاختلاف.

& middot & emsp هذا صحيح ، منذ ذلك الحين .

& middot & emsp خطأ لأنه لا يوجد عدد صحيح عند ضربه في 7 يعطي 20. العددين 7 و 20 يقال إنهما "أوليان نسبيًا" ، مما يعني أنه لا يوجد بينهما عوامل مشتركة باستثناء 1.

& middot & emsp صحيح منذ ذلك الحين . يجب توخي الحذر عند التعامل مع 0 وقابلية القسمة ، لأنه بشكل عام لا يمكن تقسيم الرقم على 0.

& middot & emsp خطأ لأنه لا يوجد عدد صحيح ينتج عنه 6 عند ضربه في 0.

ال حكم القسمة هو أن عددًا صحيحًا بشكل عام يقسم أ عددًا صحيحًا آخر ب ، ، إذا كان هناك عدد صحيح n بحيث .

نصيحة تدريسية

إيف تعني "إذا وفقط إذا". هذا يعني أنه يمكنك إعادة كتابة القاعدة مع عكس الشرط. فمثلا، يدل ، و يدل . لذلك نكتب iff .

إن معرفة العديد من قواعد القسمة التالية مفيد عند القسمة الذهنية لأعداد كبيرة على أعداد صغيرة. على سبيل المثال ، 52266 يقبل القسمة على 2 لأن الرقم الأخير في الوحدة زوجي. كما أنه قابل للقسمة على 6. دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا تحديد السبب.

القسمة على 2: الرقم قابل للقسمة على 2 إذا كان رقمه الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.

القسمة على 3: الرقم قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3 ، منذ ذلك الحين و . أيضا ، 15 قابلة للقسمة على 3 منذ ذلك الحين .

القسمة على 4: الرقم قابل للقسمة على 4 إذا كان الرقم المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 4. مثال: 13،564 يقبل القسمة على 4 لأن . لاحظ أن 52266 لا تقبل القسمة على 4 لأن 4 لا تقسم 66.

القسمة على 5: الرقم قابل للقسمة على 5 إذا كان الرقم الأخير هو 5 أو 0. لاحظ أن الرقم 52266 لا يقبل القسمة على 5 ، ولكن رقم مثل 6050 قابل للقسمة لأن الرقم الأخير للوحدة هو 0.

القسمة على 6: الرقم قابل للقسمة على 6 إذا كان قابل للقسمة على 2 وقابل للقسمة على 3. تذكر أن "و" تعني أنه يجب أن يحدث في كليهما. أذكر الرقم 52266 أعلاه. يمكننا الآن رؤية 52266 قابلة للقسمة على 6 منذ ذلك الحين و .

القسمة على 8: الرقم قابل للقسمة على 8 إذا كانت الأرقام الثلاثة الأخيرة تشكل رقمًا يقبل القسمة على 8. لاحظ أن 52266 لا يقبل القسمة على 8 لأن 266 لا يقبل القسمة على 8. أيضًا ، 4 لا تقسم 52266 لذلك لا يمكن لـ 8 تقسيمها.

القسمة على 9: الرقم قابل للقسمة على 9 iff مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9. لاحظ أن 52266 لا يقبل القسمة على 9 منذ ذلك الحين و 9 لا تقسم 21. لاحظ أيضًا أن 3 قد تقسم رقمًا ، لكن هذا لا يعني 9 إرادة.

القسمة على 10: الرقم قابل للقسمة على 10 إذا كان رقم وحدته هو 0. في الواقع ، الرقم قابل للقسمة على إذا كانت الأرقام n الأخيرة من الرقم هي 0 ثانية. لاحظ أن الرقم 4800 يقبل القسمة على نظرًا لأنه ينتهي بـ 2s و 250.000 يقبل القسمة على لأنه ينتهي بأربعة أصفار.

العدد 142،460 قابل للقسمة على 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 10 ولكن ليس 9:

& middot & emspIt قابلة للقسمة على 2 لأن رقم الوحدة هو 0.

& middot & emspIt يقبل القسمة على 3 منذ مجموع الأرقام ، ، و 3 يقسم 15.

& middot & emspIt قابلة للقسمة على 4 لأن الرقمين الأخيرين يعطي الرقم 60 ، و 4 يقسم 60.

& middot & emspIt يقبل القسمة على 5 لأن 142،460 ينتهي بصفر.

& middot & emspIt قابلة للقسمة على 6 لأن 2 و 3 عدد أولي نسبيًا ، وكلاهما يقسم 142،460.

& middot & emspIt هو ليس يقبل القسمة على 9 لأن مجموع أرقامه لا يقبل القسمة على 9.

& middot & emspIt يقبل القسمة على 10 لأن رقم الوحدة هو 0.

عندما تحتاج إلى إيجاد حاصل القسمة واستخدامه ، فإن قواعد القسمة تساعد فقط إلى حد معين. ولكن إذا كنت مهتمًا بالعثور على عوامل العدد متعدد الأرقام ، فإن معرفة جميع قواعد القسمة الأساسية تجعل العملية تسير بشكل أسرع.

النشاط 4.1: عدد الألغاز

ماذا او ما؟ وصف

يمكن استخدام هذا النشاط مع العديد من العمليات الرياضية المختلفة ولكنه يعمل جيدًا بشكل خاص مع قواعد القابلية للقسمة. يعمل الطلاب في أزواج لإنشاء الألغاز بناءً على النموذج الموضح أدناه.

لماذا ا؟ أهداف

خلال هذا النشاط ، فإن طلاب مرحلة ما قبل الجبر:

& middot & emsp العمل في أزواج لإنشاء الألغاز الرقمية

& middot & emsp مراجعة ومناقشة قواعد القسمة

& middot & emsp تنافس وتعاون لإيجاد حل ألغاز أكثر تعقيدًا

& middot & emsp استخدم أو تعلم كيفية استخدام الأرقام بطريقة إبداعية

كيف؟ مثال

فيما يلي لغز رقم نموذج: "أفكر في رقم تضاف أرقامه إلى رقم قابل للقسمة على 9. ما هي الأرقام الأخرى التي يجب أن تقسم رقمي؟"إجابه: 1 و 3.

يمكن لأزواج الطلاب مشاركة وحل الألغاز الخاصة ببعضهم البعض ، ومناقشة كيفية عثورهم على الإجابات.

ورقة العمل 4.1: عدد الألغاز باستخدام قواعد القسمة

الاتجاهات: حاول الإجابة على الألغاز العددية التالية.

1. أفكر في رقم يقبل القسمة على 6. ما هي الأعداد الصحيحة الأخرى التي ستقسم رقمي؟

2. رقمي أيضًا قابل للقسمة على 4 وأقل من 20. هل يمكنك تخمين رقمي؟

3. أفكر في رقم يقبل القسمة على 12. ما هي الأعداد الصحيحة الأخرى التي ستقسم رقمي؟

4. رقمي أيضًا قابل للقسمة على 11 ، لكن لا يقبل القسمة على 8. هل يمكنك العثور على رقمي؟

5. هل هناك أكثر من احتمال للغز 4؟ _____ إذا كان الأمر كذلك ، فما هذا الاحتمال؟

6. أفكر في رقم يقبل القسمة على 9 وبين الأعداد 30 و 50. هل يجب أن يقبل الرقم على 3؟ _____ ب 2؟ _____

7. إذا كان الرقم في اللغز 6 غير قابل للقسمة على 4 ، فما هو رقمي؟

الان حان دورك. مع شريك ، تبادل الأفكار وكتابة اللغز الخاص بك. تداول الألغاز مع زوج آخر ، وحاولي حل بعضهما البعض. عند الانتهاء ، ناقش المشكلة وأنشئ مشكلة أخرى.

حلول لورقة العمل 4.1

1. أفكر في رقم يقبل القسمة على 6. ما هي الأعداد الصحيحة الأخرى التي ستقسم رقمي؟ 2 و 3

2. رقمي قابل للقسمة أيضًا على 4 وأقل من 20. هل يمكنك تخمين رقمي؟ 12

3. أفكر في رقم يقبل القسمة على 12. ما هي الأعداد الصحيحة الأخرى التي ستقسم رقمي؟ 1, 2, 3, 4, 6

4. رقمي قابل للقسمة أيضًا على 11 ، لكن لا يقبل القسمة على 8. هل يمكنك العثور على رقمي؟ 132

5. هل هناك أكثر من احتمال للغز 4؟ نعم. إذا كان الأمر كذلك ، ما هو هذا الاحتمال؟ 924

6. أفكر في رقم يقبل القسمة على 9 وبين الرقمين 30 و 50. هل يجب أن يقبل الرقم على 3؟ نعم. بواسطة 2؟ ليس بالضرورة

7. إذا كان الرقم في اللغز 6 غير قابل للقسمة على 4 ، فما هو رقمي؟ 45

النشاط 4.2: بكلماتك الخاصة: نشاط إعادة الصياغة

ماذا او ما؟ وصف

أحد الأعذار الأكثر شيوعًا التي يقدمها الطلاب لعدم قراءة المواد في كتبهم المدرسية هو أنهم لا يفهمون اللغة. يساعد هذا النشاط الطلاب على استهداف وتفسير المفاهيم الأساسية. من خلال إعادة كتابة الفقرات الرياضية ، يقوم الطلاب بإزالة الغموض عن المحتوى الرياضي وإضفاء المعنى الشخصي عليه.

خصص للطلاب أجزاء صغيرة من نص ما قبل الجبر لقراءتها وإعادة كتابتها بكلماتهم الخاصة. يعمل هذا النشاط بشكل جيد مع تعريفات المفاهيم والنظريات والأمثلة. إن قيام الطلاب بقراءة نسخهم الخاصة لبعضهم البعض يسمح للكتاب الطلاب بالنظر في تفسيرات مختلفة وتحديد المفاهيم الخاطئة. إذا تم تسليم الكتابة ، يمكنك تقييم فهم طلابك للمادة.

تعد إعادة صياغة قواعد القابلية للقسمة أو إعادة كتابتها طريقة جيدة لتذكرها.

لماذا ا؟ أهداف

خلال هذا النشاط ، فإن طلاب مرحلة ما قبل الجبر:

& middot & emsp أعد صياغة المحتوى في الأجزاء المخصصة من النص

& middot & emsp: ركز على الأفكار المهمة في المحتوى أو الدرس

& middot & emsp شارك نشاط إعادة الصياغة مع أقرانهم

كيف؟ مثال

هناك ثلاثة أنواع من الأعداد الصحيحة الموجبة: الأعداد الأولية والأرقام المركبة و "1." الأعداد الأولية لها عاملين فقط ، 1 ونفسها. الأرقام المركبة لها أكثر من عاملين. الرقم 1 فريد لأنه لا يتناسب مع الأعداد الأولية أو المركبات.

الأعداد الأولية تشبه 2: تحتوي على 1 و 2 فقط كعامليها 13 ، على سبيل المثال ، لها فقط 1 و 13 كعاملين لها. الأعداد المركبة ليست أولية مثل الرقم 4 ، الذي يحتوي على ثلاثة عوامل: 1 و 2 و 4. الرقم 1 مختلف: له عامل واحد فقط ، وهو 1!

ورقة العمل 4.2: بكلماتك الخاصة: نشاط إعادة الصياغة

الاتجاهات: في كتاب ما قبل الجبر الخاص بك ، أعد قراءة الدرس الخاص بقواعد القابلية للقسمة. ثم اتبع التوجيهات أدناه ، مع إعادة صياغة المحتوى (بكلماتك الخاصة).

أعد كتابة قاعدة القسمة على 2 بكلماتك الخاصة.

كيف تختلف قواعد القسمة لـ 3 و 9 على حد سواء؟

إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 6 ، فما هي الأرقام الأخرى التي يمكن بالضرورة القسمة عليها؟

قواعد القسمة على 4 و 8 متشابهة جدًا. يشرح.

هل يمكنك وضع قاعدة للقسمة على 12 أو 24؟ ما الذي يجعل هذه القواعد مشابهة لقاعدة 6؟

النشاط 4.3: المربع السحري

ماذا او ما؟ وصف

يجمع نشاط المربع السحري بين نشاط المطابقة مع المؤامرات والرياضيات في المربع السحري (فاكا وأمبير فاكا ، 1999). يتكون تنسيق نشاط المطابقة من عمودين ، أحدهما للمفاهيم والآخر للتعريفات أو الحقائق أو الأمثلة أو الأوصاف. عندما يحل الطالب نشاط المطابقة ، فإنه يضع الأرقام في المربع المناسب داخل المربع السحري.

للتحقق من إجاباتهم ، يقوم الطلاب بإضافة الأرقام في كل صف وفي كل عمود وفي كل قطري. يجب أن تكون هذه المبالغ متساوية. يشار إلى هذا المجموع على أنه "الرقم السحري" للمربع. في بعض الأحيان ، تلخص الأرقام الموجودة في الصفوف فقط الرقم السحري ويحتوي قطري واحد أو أكثر على قيم لا تضيف ما يصل إلى الرقم السحري.

أي موضوع رياضيات يحتوي على قائمة من الميزات أو القواعد ذات الصلة ، مثل قواعد القابلية للقسمة ، يفسح المجال بشكل جيد لتمرين المطابقة. في المقابل ، يعطي المربع السحري تنسيقًا رائعًا للعثور على التطابقات الصحيحة ونشرها من تمرين المطابقة.

لماذا ا؟ أهداف

خلال هذا النشاط ، فإن طلاب مرحلة ما قبل الجبر:

& middot & emsp قم بتثبيت معاني المفاهيم أو الكلمات

& middot & emsp تعرف على ميزات المربع السحري

كيف؟ مثال

المربعات السحرية أدناه عبارة عن مربعات وحدة 3 × 3. لاحظ أن الخلايا الموجودة في هذا المربع السحري بالتحديد تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 9 بدون تكرار. عندما تضيف الأرقام في كل عمود وفي كل صف وفي كل قطري ، يكون مجموعك 15. ويسمى هذا الرقم الرقم السحري.

ورقة العمل 4.3: المربع السحري: قواعد القسمة

الاتجاهات: حدد أفضل إجابة لكل من المفاهيم الموجودة على اليسار من القواعد المرقمة الموجودة على اليمين. ضع الرقم في مكانه الصحيح في المربع السحري. أضف كل صف وأضف كل عمود. إذا كانت هذه المبالغ هي نفس العدد ، فقد وجدت الرقم السحري والمفاهيم المتطابقة بشكل صحيح مع قواعدها.

1. مجموع الأرقام الزوجية مطروحًا منه مجموع الأرقام الفردية يقبل القسمة على 11.

3. العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 8.

4. مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3.

5. الرقم قابل للقسمة على 2 و 3.

6. العدد المكون من آخر رقمين يقبل القسمة على 4.

7. مجموع كل الأرقام يقبل القسمة على 9.

8. رقم الوحدة هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.

الدرس الصغير 4.2 أكبر القاسم المشترك والمضاعف المشترك الأصغر

CCSS Standard 6.NS: نظام الأرقام

احسب بطلاقة باستخدام الأعداد متعددة الأرقام واكتشف العوامل المشتركة والمضاعفات.

العامل المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لهما تطبيقات عديدة في الرياضيات. أولاً ، نناقش العامل المشترك الأكبر.

أ عامل مشترك هو مضاعف أو مقسوم عليه مشترك برقمين أو أكثر. ال العامل المشترك الاكبر (يُطلق عليه غالبًا القاسم المشترك الأكبر ، GCD) هو أكبر عامل يشترك فيه رقمان أو أكثر من المصطلحات. يتم استخدام GCD لتبسيط الكسور. مثال: .

هناك طريقتان لإيجاد GCD لرقمين أو أكثر: طريقة جميع العوامل وطريقة التحليل الأولي.

طريقة جميع العوامل لإيجاد GCD

1. اكتب (أو ضع قائمة) جميع عوامل الأعداد الصحيحة لكل رقم.

2. ضع دائرة حول العوامل المشتركة أو ضع خطًا تحتها.

3. حدد أكبر العوامل المشتركة.

مثال: ابحث عن GCD للأعداد 60 و 96 و 156 ، باستخدام طريقة جميع العوامل:

60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

156: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156

لذلك ، فإن GCD لـ 60 و 96 و .

نصيحة تدريسية

يرغب بعض الطلاب في التوقف عن تدوين العوامل عندما يجدون عاملًا واحدًا مشتركًا بين الأرقام ، على سبيل المثال ، 4 هو عامل مشترك هو 60 و 96 و 156. ومع ذلك ، للعثور على أعظم العامل المشترك ، يجب أن يسردوا جميع عوامل كل رقم.

طريقة العوملة الأولية لإيجاد GCD

1. أوجد كل العوامل الأولية لكل رقم. اكتب كل رقم على أنه حاصل ضرب عوامله الأولية.

2. عبر عن كل العوامل التي تتكرر في الصورة الأسية.

3. أوجد جميع العوامل الأولية المشتركة بأقل قدر من القوة.

تحقق من خلال ضرب العوامل المشتركة بينهما للوصول إلى GCD.

نصيحة تدريسية

يمكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب كمنتج فريد من الأعداد الأولية.

مثال: . هذا المنتج من الأعداد الأولية متساوٍ فقط حتى 24.

مثال: أوجد GCD للأرقام 60 و 96 و 156 باستخدام طريقة التحليل الأولي. يعطي الصف الأخير التحليل الأولي لكل رقم من الأرقام الموجودة في الصف الأول.

الأرقام 60 و 96 و 156 لها و 3 مشترك. لذلك ، GCD هو .

بعد ذلك ، نعتبر أقل مضاعف مشترك (LCM) ، وتسمى أيضًا ملف القاسم المشترك الأصغر (LCD) ، عند جمع الكسور أو طرحها.

أ المضاعف المشترك هو رقم مركب يقسمه رقمان أو أكثر (بدون احتساب 1). ال أقل مضاعف مشترك هو أصغر عدد يمكن أن يقسم إليه رقمان أو أكثر.

عند جمع الكسور ، علينا إيجاد مقام مشترك وتغيير الكسور إلى آحاد ذات المقام المشترك من أجل جمع البسط.

كما هو الحال مع GCD ، هناك طريقتان لإيجاد المضاعف المشترك: طريقة جميع المضاعفات وطريقة التحليل الأولي.

طريقة الكل المضاعفات لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

1. ابحث عن عدة مضاعفات (على الأقل خمسة لتبدأ) لرقمين أو أكثر.

2. حدد أقل المضاعفات المشتركة بين الأرقام وستكتشف المضاعف المشترك الأصغر.

مثال: أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ 8 و 12 و 30 باستخدام طريقة جميع المضاعفات:

8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120

12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108, 120

30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210

بطريقة المضاعفات ، فإن المضاعف المشترك الأصغر يساوي 120. وعادة ما يتم كتابته المضاعف المشترك الأصغر .

نصيحة تدريسية

من المستحيل سرد كافة مضاعفات أي رقم. لذا اطلب من الطلاب سرد جميع المضاعفات حتى المضاعف الذي يشترك فيه أول رقمين. ثم يجب أن يسردوا مضاعفات العدد الثالث حتى يجدوا واحدًا مشتركًا مع جميع الأعداد الثلاثة. أكد أنه قد يضطر إلى تكرار هذه العملية أكثر من مرة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر.

طريقة العوملة الأولية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

1. أوجد جميع العوامل الأولية لكل عدد. اكتب كل رقم على أنه حاصل ضرب عوامله الأولية.

2. عبر عن كل العوامل التي تتكرر في الصورة الأسية.

3. أوجد كل العوامل المختلفة لقواهم العظمى.

4. اضرب ، وستحصل على المضاعف المشترك الأصغر.

مثال: أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة التحليل الأولي. تذكر التحليل الأولي للأرقام 60 و 96 و 156:

العوامل المختلفة هي 2 و 3 و 5 و 13. العوامل المختلفة لقواها العظمى هي 2 5 و 3 و 5 و 13. المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب جميع العوامل المختلفة (إلى أقصى قوتها) ، وهو .

مثال: أوجد المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 30 ، 42) باستخدام طريقة التحليل الأولي:

لذلك ، LCM.

النشاط 4.4: تحليل السمات الدلالية

ماذا او ما؟ وصف

تحليل السمات الدلالية (Baldwin، Ford، & amp Readance، 1981) هو استراتيجية قراءة تطلب من الطلاب إكمال مصفوفة توضح كيف أن المصطلحات والمفاهيم المختلفة متشابهة أو مختلفة. المصطلحات أو المفاهيم مرتبطة أو تندرج تحت فئة معينة. تتكون المصفوفة نفسها من عدة أعمدة. يحتوي العمود الأول على قائمة بالمصطلحات. تحتوي الأعمدة المتبقية على عناوين تهجئة أو تسأل عن الميزات التي قد تشترك فيها المصطلحات أو المفاهيم.

يتميز كل من GCF و LCM بخصائص مماثلة ، وطريقة العثور على أي منهما متشابهة. لاستخدام طريقة التحليل الأولي لإيجاد العامل المشترك الأكبر أو المضاعف المشترك الأصغر ، عامل أولاً كل رقم في منتج الأعداد الأولية. في طرق جميع العوامل وجميع المضاعفات ، اكتب كل عوامل العامل المشترك الأكبر وأي عدد من المضاعفات اللازمة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. يعد استخدام تحليل السمات الدلالية منتدى جيدًا لعرض أوجه التشابه والاختلاف بين هذه العمليات.

لماذا ا؟ أهداف

خلال هذا النشاط ، فإن طلاب مرحلة ما قبل الجبر:

& middot & emsp قارن وتباين سمات المفاهيم الرياضية ذات الصلة

& middot & emsp لخص هذه المعلومات

& middot & emsp ارجع إلى المصفوفة المكتملة عند المراجعة للامتحانات

كيف؟ مثال

يعرض الجدول التالي تحليلاً لقواعد معينة للقسمة. اكتب نعم أو لا (الإجابات معطاة في هذا المثال) في الخلية وفقًا للميزات الموجودة في الجزء العلوي مع أنواع الأرقام الموجودة على طول العمود الموجود في أقصى اليسار.

ورقة العمل 4.4: تحليل السمات الدلالية

الاتجاهات: أجب بنعم أو لا على السؤال المطروح في كل خلية. في العمود الأيمن ، اكتب اسمًا آخر لكل عملية.

ورقة العمل 4.5: تحليل السمات الدلالية

يمكن التعبير عن الرقم 5 في نموذج مستطيل واحد ، أي مستطيل مقسم إلى خمس وحدات أو مربعات متصلة ومتساوية الحجم. إذا كان المستطيل عبارة عن شريط أفقي ، فسيتم كتابة صفه حسب أحجام الأعمدة بالشكل 5 × 1. إذا كان المستطيل شريطًا رأسيًا ، فسيتم التعبير عنه على أنه 1 (صف) في 5 (أعمدة ، أو 1 × 5). نظرًا لأن العوامل الوحيدة لـ 5 هي 5 و 1 ، فلديها نموذج مستطيل واحد فقط:

نموذج المستطيل هذا لـ 5 عبارة عن صف واحد في 5 أعمدة. سنعتبر أن 5 أعمدة في صف واحد لها نفس المصفوفة المستطيلة.

المصفوفتان التاليتان ، و ، تمثل الرقم 4:

الاتجاهات: املأ الجدول في الصفحة التالية بالعوامل وعدد المستطيلات (العوامل) التي يمكن تشكيلها بالرقم المشار إليه. ثم استخدم نتائجك للإجابة على الأسئلة التي تلي الجدول.

لاحظ أن كل نموذج مستطيل يمثل زوجًا من العوامل.

يعطي عمود الأبعاد زوجًا من العوامل لكل رقم ، والتي تمثل أيضًا أبعاد كل صفيف مستطيل. على سبيل المثال ، يحتوي الرقم 2 على عاملين فقط: 1 و 2. وبالتالي ، يحتوي الرقم 2 على مجموعة مستطيلة واحدة بأبعاد 1 × 2 وصف mdashone وعمودين.


الحساب وحدات

دعونا ن يكون عدد صحيح موجب. نشير إلى المجموعة ([0..n-1] ) بواسطة ( mathbb_ن).

نحن نعتبر أن العددين الصحيحين (x ، y ) هو نفسه إذا كان (x ) و (y ) يختلفان بمضاعفات (n ) ، ونكتب هذا كـ (x = y pmod) ، وقل أن (س ) و (ص ) تتطابق modulo (n ). قد نحذف ( pmod) عندما يكون واضحا من السياق. كل عدد صحيح (x ) مطابق لبعض (y ) في ( mathbb_ن). عندما نضيف أو نطرح مضاعفات (n ) من عدد صحيح (x ) للوصول إلى بعض (y in mathbb_n ) نقول هي تقليص (x ) modulo (n ) و (y ) هو ملف بقايا.

كان بإمكاننا اختيار مجموعات مختلفة لـ ( mathbb_n ) ، على سبيل المثال يمكننا إضافة (n ) إلى كل عضو ، ولكن الافتراضي سيكون ([0..n-1] ). العناصر في هذا التمثيل المعين لـ ( mathbb_n ) أقل المخلفات.

مثال: (38 = 3 pmod <5> ) منذ (38 = 7 مرات 5 + 3 ). (- 3 = 11 pmod <14> ) منذ (- 3 = (-1) مرات 14 + 11 ).

ما هي الطريقة الطبيعية لإجراء العمليات الحسابية في ( mathbb_ن)؟ بالنظر إلى عنصرين (x، y in mathbb_n ) ، يمكننا جمعها أو طرحها أو ضربها كأعداد صحيحة ، وبعد ذلك ستكون النتيجة مطابقة لأحد العناصر في ( mathbb_ن).

مثال: (6 + 7 = 1 pmod <12> ) (3 times 20 = 10 pmod <50> ) (12-14 = 16 pmod <18> ).

تتصرف هذه العمليات بشكل مشابه لنظيراتها العادية. ومع ذلك ، لا يوجد مفهوم للحجم. قول (0 & # 9664 Number Theory Euclid's Algorithm & # 9654


معايير ولاية أركنساس للرياضيات: الصف الخامس

في الوقت الحالي ، اقترح Perma-Bound فقط عناوين مقترحة للصفوف K-8 في مجالات العلوم والدراسات الاجتماعية. ونحن نعمل على توسيع هذا.

AR.NO.1. العدد والعمليات: تحسس الأرقام: يجب أن يفهم الطلاب الأرقام وطرق تمثيل الأرقام والعلاقات بين الأرقام وأنظمة الأرقام

رقم 1.5.1. الأعداد المنطقية: استخدم النماذج والتمثيلات المرئية لتطوير مفاهيم ما يلي: الكسور: أجزاء من الوحدة تضم أجزاء من مواقع المجموعة على مواقع خطوط الأرقام على أقسام المسطرة (الكسور المعيارية) من الأعداد الصحيحة. النسب: جزء إلى جزء (صبيان إلى 3 فتيات) جزء إلى كامل (صبيان إلى 5 أشخاص). النسب المئوية: جزء إلى 100

رقم 1.5.2. الأعداد المنطقية: تطوير فهم القيمة المكانية العشرية باستخدام النماذج

رقم 1.5.3. الأعداد النسبية: تحديد مكافئات الكسور العشرية والنسبة المئوية للكسور المعيارية

رقم 1.5.4. الأعداد النسبية: تقريب ومقارنة الكسور العشرية بقيمة مكانية معينة (عدد صحيح ، أعشار ، مائة)

رقم 1.5.5. الأعداد المنطقية: استخدم نماذج الكسور المعيارية وأشكالها المكافئة لتحليل حجم الكسور لتحديد أن التبسيط لا يغير قيمة الكسر للتحويل بين الأرقام المختلطة والكسور غير الصحيحة

رقم 1.5.6. الأعداد النسبية: استخدم النماذج للتمييز بين المربعات الكاملة حتى 100 والأرقام الأخرى

AR.NO.2. العدد والعمليات: خصائص العمليات العددية: يجب أن يفهم الطلاب معاني العمليات وكيفية ارتباطها ببعضها البعض

رقم 2.5.1. نظرية الأعداد: استخدم قواعد القسمة لتحديد ما إذا كان الرقم عاملًا لرقم آخر (2 ، 3 ، 5 ، 10)

رقم 2.5.2. نظرية الأعداد: تحديد الخصائص التبادلية والترابطية

رقم 2.5.3. نظرية الأعداد: التعرف على خاصية التوزيع باستخدام النماذج الفيزيائية لحل مشاكل الحساب والعالم الحقيقي

رقم 2.5.4. نظرية الأعداد: تطبيق القواعد (الاصطلاحات) لترتيب العمليات على الأعداد الصحيحة حيث يتم تعديل الحسابات من اليسار إلى اليمين فقط باستخدام الأقواس

رقم 2.5.5. نظرية الأعداد: نموذج الجمع والطرح وضرب الكسور ذات القواسم والكسور العشرية المتشابهة وغير المتشابهة

AR.NO.3. العدد والعمليات: العمليات العددية والتقدير: يجب على الطلاب الحساب بطلاقة وتقديم تقديرات معقولة

رقم 3.5.1. الطلاقة الحسابية: تطوير واستخدام مجموعة متنوعة من الخوارزميات بطلاقة حسابية لإجراء عمليات عدد صحيح باستخدام الجمع والطرح (حتى 5 أرقام) ، والضرب (حتى 3 أرقام × 2 رقم) ، والقسمة (حتى مقسوم على رقمين ) تفسير الباقي ، بما في ذلك مشاكل العالم الحقيقي

رقم 3.5.2. الطلاقة الحسابية: تطوير واستخدام الخوارزميات لجمع وطرح الأرقام التي تحتوي على الكسور العشرية (حتى خانة الألف) ، وضرب الكسور العشرية ، (المئات × العشر) ، وقسمة الكسور العشرية على قواسم الأعداد الصحيحة ، ولجمع وطرح الكسور ذات القواسم المتشابهة

رقم 3.5.3. الطلاقة الحسابية: حل ، باستخدام التكنولوجيا المناسبة وبدونها ، مشاكل من خطوتين باستخدام مجموعة متنوعة من الأساليب والأدوات (مثل الكائنات والحساب الذهني والورق والقلم الرصاص)

رقم 3.5.4. التقدير: تطوير واستخدام استراتيجيات لتقدير نتائج حسابات العدد الصحيح والحكم على مدى معقولية هذه النتائج

رقم 3.5.5. تطبيق الحساب: استخدم عوامل الأعداد: لإدخال الأسس لإيجاد العوامل المشتركة لعددين لتبسيط الكسور إلى أدنى حد

AR.A.4. الجبر: الأنماط والعلاقات والوظائف: يجب على الطلاب التعرف على الأنماط والعلاقات والوظائف ووصفها وتطويرها

أ-4-5-1. الأنماط والعلاقات والوظائف: حل المشكلات عن طريق إيجاد المصطلح التالي أو المصطلح المفقود في نموذج أو جدول وظيفي باستخدام مواقف العالم الحقيقي

أ / 4/5/2. الأنماط والعلاقات والوظائف: تفسير وكتابة قاعدة لجدول دالة ذات عملية واحدة

AR.A.5. الجبر: التمثيلات الجبرية: يجب على الطلاب تمثيل وتحليل المواقف والهياكل الرياضية باستخدام الرموز الجبرية

أ / 5/5/1. التعبيرات والمعادلات والمتباينات: نمذجة المعادلات البسيطة وحلها بطرق غير رسمية باستخدام المعالجات والتكنولوجيا المناسبة

أ / 5/5/2. التعبيرات والمعادلات والمتباينات: اكتب تعبيرات تحتوي على متغير واحد (حرف يمثل كمية غير معروفة) باستخدام قواعد الجمع والطرح

أ / 5-5-3. التعبيرات والمعادلات والمتباينات: تحديد وكتابة وتقييم التعبيرات الجبرية بمتغير واحد بالتعويض

AR.A.6. الجبر: النماذج الجبرية: يجب على الطلاب تطوير وتطبيق النماذج الرياضية لتمثيل وفهم العلاقات الكمية

أ / 6-5-1. النماذج والعلاقات الجبرية: استخلص الاستنتاجات وقم بعمل تنبؤات ، باستخدام التكنولوجيا المناسبة وبدونها ، من النماذج والجداول والرسوم البيانية الخطية

AR.A.7. الجبر: تحليل التغيير: يجب على الطلاب تحليل التغيير في سياقات مختلفة

أ / 7-5-1. تحليل التغيير: نموذج ووصف الكميات التي تتغير باستخدام مواقف العالم الحقيقي

AR.G.8. الهندسة: الخصائص الهندسية: يجب على الطلاب تحليل خصائص وخصائص الأشكال الهندسية ثنائية وثلاثية الأبعاد وتطوير الحجج الرياضية حول العلاقات الهندسية

G.8.5.1. خصائص الأشكال الهندسية: تحديد ونمذجة المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة بما في ذلك العشاري

G.8.5.2. خصائص الأشكال الهندسية: تحديد ورسم الزوايا المتطابقة والمجاورة والمنفرجة والحادة والقائمة والمستقيمة (تسمية أجزاء من الزاوية: قمة الرأس والأشعة والداخلية والخارجية)

G.8.5.3. خصائص الأشكال الهندسية: نموذج وتحديد الدائرة ونصف القطر والقطر والمركز والمحيط والوتر

G.8.5.4. خصائص الأشكال الهندسية: نموذج وتحديد خصائص الأشكال المتطابقة

AR.G.9. الهندسة: تحويل الأشكال: يجب على الطلاب تطبيق التحويلات واستخدام التناظر لتحليل المواقف الرياضية

G.9.5.1. التناظر والتحولات: توقع ووصف نتائج الترجمة (الشريحة) ، والانعكاس (الوجه) ، والدوران (الدوران) ، مما يوضح أن الشكل الذي تم تحويله لم يتغير

AR.G.10. الهندسة: تنسيق الهندسة: يجب على الطلاب تحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية باستخدام هندسة الإحداثيات وأنظمة التمثيل الأخرى

G.10.5.1. تنسيق الهندسة: استخدم المفردات الهندسية (الأفقي / المحور السيني ، المحور الرأسي / المحور الصادي ، الأزواج المرتبة) لوصف الموقع ونقاط الرسم في الربع 1

AR.G.11. الهندسة: التصور والنماذج الهندسية: يجب على الطلاب استخدام التصور والتفكير المكاني والنمذجة الهندسية

G.11.5.1. التصور المكاني والنماذج: باستخدام ورق الشبكة ، ارسم وحدد أنماطًا ثنائية الأبعاد (شبكات) للمكعبات

AR.M.12. القياس: السمات المادية: يجب على الطلاب استخدام سمات وأدوات القياس لوصف ومقارنة الأشياء الرياضية وعالم الواقع.

M.12.5.1. السمات والأدوات: تحديد واختيار الوحدات والأدوات المناسبة للقياس

M.12.5.2. السمات والأدوات: قم بإجراء تحويلات داخل نظام القياس المعتاد في مشاكل العالم الحقيقي

M.12.5.3. السمات والأدوات: إنشاء بادئات مرجعية من خلال تجربة البادئات بالملي والسنتي والكيلو

M.12.5.4. السمات والأدوات: فهم متى يجب استخدام الوحدات الخطية لوصف المحيط ، والوحدات المربعة لوصف المساحة أو مساحة السطح ، والوحدات المكعبة لوصف الحجم ، في مواقف العالم الحقيقي

M.12.5.5. السمات والأدوات: نمذجة الفروق بين تغطية الوجوه (مساحة السطح / الشباك) وتعبئة الجزء الداخلي (حجم المكعبات)

AR.M.13. القياس: أنظمة القياس: يجب على الطلاب تحديد واستخدام وحدات وأنظمة وعمليات القياس

M.13.5.1. السمات والأدوات: حل مشاكل العالم الحقيقي التي تتضمن وقتًا منقضيًا واحدًا ، والعد للأمام (التقويم والساعة)

M.13.5.2. السمات والأدوات: تحديد وحدة القياس أو أداة القياس التي تطابق سياق حالة المشكلة

م 13.5.3. السمات والأدوات: ارسم وقس المسافة إلى أقرب سم و 1/4 بوصة بدقة

م 13.5.4. السمات والأدوات: تطوير واستخدام الاستراتيجيات لحل مشاكل العالم الحقيقي التي تشمل محيط المستطيلات ومساحتها

م 13.5.5. السمات والأدوات: احسب المسافة بين نقطتين على خط أفقي أو رأسي وقارن أطوال المسارات على الشبكة

م 13.5.6. السمات والأدوات: استخدم الزوايا المعيارية لتقدير قياس الزوايا

AR.M.14. تحليل البيانات والاحتمالية: تمثيل البيانات: يجب على الطلاب صياغة الأسئلة التي يمكن معالجتها بالبيانات وجمعها وتنظيمها وعرضها

DAP.14.5.1. جمع البيانات وتنظيمها وعرضها: قم بتطوير الأسئلة المناسبة للاستطلاعات

DAP.14.5.2. جمع البيانات وتنظيمها وعرضها: اجمع البيانات العددية والفئوية باستخدام الاستطلاعات والملاحظات والتجارب التي من شأنها أن تؤدي إلى الرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية الخطية والمخططات الخطية والمخططات الجذعية والأوراق

DAP.14.5.3. جمع البيانات وتنظيمها وعرضها: إنشاء وتفسير جداول التكرار والمخططات والمخططات الخطية والمخططات الجذعية والورقية والرسوم البيانية الشريطية

AR.M.15. تحليل البيانات والاحتمالية: تحليل البيانات: يجب على الطلاب اختيار واستخدام الأساليب الإحصائية المناسبة لتحليل البيانات

DAP.15.5.1. تحليل البيانات: تفسير الرسوم البيانية مثل الرسوم البيانية الخطية والرسوم البيانية ذات الأعمدة المزدوجة والرسوم البيانية الدائرية

DAP.15.5.2. تحليل البيانات: تحديد النطاق والمتوسط ​​والوسيط والوضع (مجموعات بيانات العدد الصحيح) ، باستخدام التكنولوجيا المناسبة وبدونها ، وشرح ما يشير إليه كل منها حول مجموعة البيانات

AR.M.16. تحليل البيانات والاحتمالية: الاستدلالات والتنبؤات: يجب على الطلاب تطوير وتقييم الاستنتاجات والتنبؤات التي تستند إلى البيانات

DAP.16.5.1. تحليل البيانات: قم بعمل تنبؤات وتبرير الاستنتاجات بناءً على البيانات

AR.M.17. تحليل البيانات والاحتمالية: الاحتمال: يجب على الطلاب فهم وتطبيق المفاهيم الأساسية للاحتمالية

DAP.17.5.1. تحليل البيانات: تحديد وتوقع احتمالية الأحداث ضمن تجربة بسيطة

DAP.17.5.2. تحليل البيانات: ضع قائمة واشرح جميع النتائج المحتملة في موقف معين


نظرية الأعداد

Number Theory هي نسخة مترجمة ومراجعة حديثًا من الكتاب المدرسي التمهيدي الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع في المجر. يغطي الكتاب الموضوعات المعتادة لنظرية الأعداد التمهيدية: القسمة ، الأعداد الأولية ، معادلات ديوفانتين ، الوظائف الحسابية ، وما إلى ذلك. كما يقدم العديد من الموضوعات الأكثر تقدمًا بما في ذلك التطابق في الدرجة العليا ، ونظرية الأعداد الجبرية ، ونظرية الأعداد التوافقية ، واختبار البدائية ، والتشفير. The development is carefully laid out with ample illustrative examples and a treasure trove of beautiful and challenging problems. The exposition is both clear and precise.

The book is suitable for both graduate and undergraduate courses with enough material to fill two or more semesters and could be used as a source for independent study and capstone projects. Freud and Gyarmati are well-known mathematicians and mathematical educators in Hungary, and the Hungarian version of this book is legendary there. The authors' personal pedagogical style as a facet of the rich Hungarian tradition shines clearly through. It will inspire and exhilarate readers.

Limited solutions are freely available electronically: click here.

القراء

Undergraduate and graduate students interested in number theory.

Reviews & Endorsements

I think the book is not only the best book on number theory, but the best textbook I have ever seen. Beginning students can gain a solid foundation in number theory, advanced students can challenge themselves with the often deep and always delightful exercises, and everyone, including experts in the field, can discover new topics or attain a better understanding of familiar ones. As with masterpieces in music in literature, one gets more out of it with each additional visit.

-- Béla Bajnok, Gettysburg College, The American Mathematical Monthly


Methods of Solving Number Theory Problems

Through its engaging and unusual problems, this book demonstrates methods of reasoning necessary for learning number theory. Every technique is followed by problems (as well as detailed hints and solutions) that apply theorems immediately, so readers can solve a variety of abstract problems in a systematic, creative manner. New solutions often require the ingenious use of earlier mathematical concepts - not the memorization of formulas and facts. Questions also often permit experimental numeric validation or visual interpretation to encourage the combined use of deductive and intuitive thinking.

The first chapter starts with simple topics like even and odd numbers, divisibility, and prime numbers and helps the reader to solve quite complex, Olympiad-type problems right away. It also covers properties of the perfect, amicable, and figurate numbers and introduces congruence. The next chapter begins with the Euclidean algorithm, explores the representations of integer numbers in different bases, and examines continued fractions, quadratic irrationalities, and the Lagrange Theorem. The last section of Chapter Two is an exploration of different methods of proofs. The third chapter is dedicated to solving Diophantine linear and nonlinear equations and includes different methods of solving Fermat’s (Pell’s) equations. It also covers Fermat’s factorization techniques and methods of solving challenging problems involving exponent and factorials. Chapter Four reviews the Pythagorean triple and quadruple and emphasizes their connection with geometry, trigonometry, algebraic geometry, and stereographic projection. A special case of Waring’s problem as a representation of a number by the sum of the squares or cubes of other numbers is covered, as well as quadratic residuals, Legendre and Jacobi symbols, and interesting word problems related to the properties of numbers. Appendices provide a historic overview of number theory and its main developments from the ancient cultures in Greece, Babylon, and Egypt to the modern day.

Drawing from cases collected by an accomplished female mathematician, Methods in Solving Number Theory Problems is designed as a self-study guide or supplementary textbook for a one-semester course in introductory number theory. It can also be used to prepare for mathematical Olympiads. Elementary algebra, arithmetic and some calculus knowledge are the only prerequisites. Number theory gives precise proofs and theorems of an irreproachable rigor and sharpens analytical thinking, which makes this book perfect for anyone looking to build their mathematical confidence.

Ellina Grigorieva, PhD, is Professor of Mathematics at Texas Women's University, Denton, TX, USA.


Book Description

Number Systems: A Path into Rigorous Mathematics aims to introduce number systems to an undergraduate audience in a way that emphasises the importance of rigour, and with a focus on providing detailed but accessible explanations of theorems and their proofs. The book continually seeks to build upon students' intuitive ideas of how numbers and arithmetic work, and to guide them towards the means to embed this natural understanding into a more structured framework of understanding.

The author’s motivation for writing this book is that most previous texts, which have complete coverage of the subject, have not provided the level of explanation needed for first-year students. On the other hand, those that do give good explanations tend to focus broadly on Foundations or Analysis and provide incomplete coverage of Number Systems.


2 إجابات 2

That depends on your definition of the remainder, which in turn depends on a definition of 'integer division'.

It's quite easy for positive numbers: the result of division is the largest integer not exceeding the exact result. For example 5/8 = 0. Then the remainder is 5–8*(8/5) = 5–8*0 = 5.

For negative numbers, however, a problem appears with a meaning of 'the largest'. One can assume it is the value largest with respect to its absolute value, i.e. the result is rounded towards zero (some programming languages work this way) then the integer division (–5)/8 results in –0=0, and the remainder is –5.
Or one can take literally the largest value, in which case (–5)/8=–1 and then the remainder is 3.

A quick answer is that when we work with modulo ن and you are using the following definition:

two numbers, namely a and b, are congruent modulo ن <=> a%n = b%n

We have to consider the same criteria in order for them to be equal, and that is, to consider a remainder of the same sign as the divisor.

The long answer involves some group theory in there. It is not easy to sumarize in a few words, but can be simply explained, using the example you have provided along the way. First, we will consider the group of remainders modulo, that is, a set of posible positive remainders when a integer is divided by ن. Through the perspective of the group, -3 and 5 are the same element, because -3 + 8 = 5.


Number Theory: 10 (Dover Books on Mathematics)

Soul Modes: You Are Not One Ordinary Woman. You're Four Extraordinary Ones.

Game Programming Patterns

Finally I can download and read Number Theory: 10 (Dover Books on Mathematics) Thank you!

I was worry at first time when I got redirected to the membership site. But now I really excited that I found this libraries! thank you very much (kiss)

I don't think it will worked, but my best friend showed me this site and it does! I received my most wanted books

My friends are so angry because they don't know how I have all this high quality ebooks. And I still keep silent haha.

It's very easy to get high quality ebooks here, thanks! )

I just wanna say one word. WONDERFUL!! thanks you!

The are so many fake sites which said they have the book that I want like latest Harry Potter. This is the first that worked!

Just click on the FREE REGISTRATION button and create an account. it's only takes 5 minutes :)


5.1: Number theory- divisibility and congruence - Mathematics

Learning to calculate is to mathematics what learning to read is to literature -- necessary, though not especially interesting. In school, most of us took math classes in which we learned to do something (i.e., multiply numbers, solve for x, take derivatives), and then spent months improving our technique. At the end of the day, though, performing these calculations is neither thought-provoking nor particularly useful, as your smartphone can perform them many times faster than even the fastest mathematician.

Instead of focusing on calculation, this course will take us on a guided adventure through some of the most beautiful ideas in classical and contemporary mathematics. These ideas have intrigued many of history's most creative minds, inspired them to think deeply about what might appear trivial, and ultimately contributed towards our collective understanding of the world. Despite requiring no prerequisites beyond an elementary-school education, this course will cover some of the most central topics in modern mathematics, including cardinality, prime numbers, geometry, and symmetry groups. In the end, it is the capacity for careful thought, not the ability to precisely and quickly calculate, that is the primary concern, and lasting contribution, of mathematical thinking.

Homework: A problem set will be assigned most weeks. The first part of each assignment is designed to ensure your comprehension of the basic material covered in class the second part will require more thinking and is designed to facilitate your own mathematical development beyond basic comprehension. In general, assignments will be due at least one week after they are assigned. Late submissions cannot be accepted, though I will drop your two lowest scores. Solutions must be clearly written if you need to, first work out all solutions on scrap paper, and then carefully rewrite your work on the paper you eventually hand in. Assignments must be turned in on paper.

Working Together: At its best, learning is a collaborative effort, and so students are strongly encouraged to work together on assignments. That said, merely copying another person's work does not involve working -- or learning -- and is not allowed. Each student must turn in a separate copy of the solutions.

Quizzes and Exams: Ten-minute quizzes will be administered most Wednesdays studying for these is not necessary. There will be two mid-term exams (February 15 and TBA) and one final exam. If you are unable to take an exam as scheduled, please notify me in advance.

Writing Assignments: There will be one or two writing assignments during the semester more details will be provided later.

وضع العلامات: Your final grade will be determined based on the following:

الواجب المنزلي 200 points (10 assignments, 20 points each)
Quizzes 100 points (10 quizzes, 10 points each)
الامتحانات 150 points (3 exams, 50 points each)
Writing Assignments 50 points

Expectations: Watching movies will not land you a job in Hollywood, nor will sitting and watching workout videos get you in shape. Likewise, merely watching me and Dominick explain material and solve problems will not make you into a good mathematician. The most important element in your own learning is the time you spend thinking about problems. Don't forget this.

Help: Learning mathematics is hard. Do not feel bashful to ask for help when you do not understand something or feel that you are falling behind. If you cannot make it to scheduled office hours, please be in touch to set up an alternate time to meet. In addition to meeting with me and Dominick, please avail yourselves of the many Penn help resources, including the Math Centers, the Tutoring Center, and the Weingarten Learning Resources Center. Additional information can be found at https://www.math.upenn.edu/ugrad/.

رصيد إضافي: I will occasionally mention particularly challenging problems, and will post these to the course webpage. A solution for such a problem will be rewarded with extra credit towards the final grade these points will not affect any curve for the class. In addition, I will also periodically describe special problems, the solution to any of which will be rewarded with an A in the course.

Syllabus

1 W 1/13 Introduction, representing numbers, sign-value systems, Roman numerals
2 F 1/15 Roman numerals, positional number systems, decimal number system
M 1/18 NO CLASS
3 W 1/20 Positional number systems, decimal, binary, and other bases
4 F 1/22 Sets, &cap, &cup, &isin, ¬in, N, Z, Q
5 M 1/25 Sets, ⊂, set-builder notation, cardinality
6 W 1/27 Definitions, size of a set, cardinality, 1-to-1 matchings between sets
7 F 1/29 Cardinality, countable sets, real numbers
8 M 2/1 Uncountable sets, Cantor, diagonalization
9 W 2/3 Number theory, primes and composites, Euclid's proof
10 F 2/5 Finding primes, Sieve of Eratosthenes, Fermat primes, Goldbach conjecture
11 M 2/8 Fundamental Theorem of Arithmetic, divisibility, Euclid’s Lemma, existence of prime factorizations
12 W 2/10 Uniqueness of prime factorizations, introduction to mathematical induction
13 F 2/12 Review of number systems, sets, cardinality, and prime numbers
14 M 2/15 FIRST MIDTERM EXAM
15 W 2/17 Introduction to Graph Theory
16 F 2/19 Graphs, vertex degrees, connected, ك-regular, and complete graphs
17 M 2/22 Graph isomorphism
18 W 2/24 Planar and non-planar graphs
19 F 2/26 Polyhedral graphs and the Platonic solids
20 M 2/29 Platonic solids, dual graphs and dual polyhedra
21 W 3/2 Duals, soccer balls, map colorings
22 F 3/4 Map colorings, 6-color graph theorem
SPRING BREAK
23 M 3/14 Euler paths and cycles, Bridges of Konigsburg
24 W 3/16 Hamiltonian paths, applications
25 F 3/18 Review of graph theory
26 M 3/21 SECOND MIDTERM EXAM
27 W 3/23 Secure communication, encryption, ciphers, modular arithmetic
28 F 3/25 Modular arithmetic: addition
29 M 3/28 Modular arithmetic: multiplication, remainders, dividing by 9
30 W 3/30 Modular arithmetic: exponentiation
31 F 4/1 Fermat's Little Theorem, secret colors
32 M 4/4 Diffie-Helmann key exchange
33 W 4/6 Random numbers
34 F 4/8 Linear congruent generators
35 M 4/11 Symmetry and binary operators, closure, identity elements
36 W 4/13 Binary operators, inverses, associativity, group definition
37 F 4/15 Modular groups, geometric groups, braid theory
38 M 4/18 Group order, group isomorphism
39 W 4/20 Symmetry groups of shapes, cyclic groups, dihedral groups
40 F 4/22 Symmetry groups of the Platonic solids
41 M 4/25 * Special lecture *
42 W 4/27 Review
M 5/2 FINAL EXAM, 9AM, Towne 100
الواجب المنزلي

Below are listed the weekly assignments, and the due date for each. Questions and answers about the homework assignments and midterms can be found here.

Assignment 1 January 22 Solutions
Assignment 2 February 1 Solutions
Assignment 3 February 8 Solutions
Assignment 4 February 12 Solutions
Assignment 5 February 29 Solutions
Assignment 6 March 14 Solutions
Assignment 7 March 18 Solutions
Assignment 8 April 4 Solutions
Assignment 9 April 11 Solutions
Assignment 10 April 18 Solutions
Assignment 11 April 25 Solutions
Writing assignment April 27

Quizzes. Ten-minute quizzes are administered most Wednesdays studying for these is not necessary.

Lecture Notes and Additional Material I will periodically add notes and references to interesting readings related to our discussions during the lectures. If you do notice mistakes, please let me know.

Lecture notes 1 -- Number Systems
Lecture notes 2 -- Sets
Lecture notes 3 -- Cardinality
Lecture notes 4 -- Prime Numbers
Lecture notes 5 -- Graph Theory
5.1 Intro and Basics
5.2 Isomorphism
5.3 Planar Graphs and Euler's Formula
5.4 Polyhedral Graphs and the Platonic Solids
5.5 Map Colorings
5.6 Euler Paths and Cycles
Lecture notes 6 -- Modular Arithmetic and Applications
6.1 Intro to Encryption
6.2 Modular Arithmetic Basics
6.3 Modular Exponentiation
6.4 Diffie-Hellman Key Exchange
6.5 Random Numbers
Lecture notes 7 -- Symmetry and Group Theory
7.1 Shapes and Symmetries
7.2 Binary Operators
7.3 Groups
7.4 Symmetry Groups of Shapes

Here is a beautiful article by Dieter Kotschick entitled "The Topology and Combinatorics of Soccer Balls", published in Scientific American. Some of the material in the article overlaps with what we have already covered in class, but there is much much more which we could not cover.

Here is a beautiful article by Brian Hayes entitled "Graph Theory in Practice", published in Scientific American. This article provides some overview of Graph Theory, with attention paid to applications in understanding social networks. Notice that it was printed in 2000, several years before Facebook was founded.

Here is a beautiful article by Brian Hayes entitled "Connecting the Dots", published in Scientific American. This article provides some overview of the role that graph theory, and complete graphs in particular, play in national security.

Some notes and exercises related to sets can be found in Book of Proof, by Richard Hammack. In particular, Sections 1.1, 1.3, and 1.5 discuss sets, set-builder notation, subsets, unions, and intersections solutions to all exercises can be found in the back of the book.

The following website has several tools for converting numbers from one base to another.


Extra Credit Problems. The problems below are more challenging than those we have considered so far in class. A correct solution for any of them will be awarded with 5 extra points towards the final grade.

1 Prove that it is possible to draw a circle centered at (&radic 2, 1/3) that contains any number of points of the form (أ,ب) where أ و ب are both integers. This can be used to show that for any number of points ن, a circle can be drawn in the plane that encloses exactly ن lattice points.
2 In class we proved that every planar graph could be colored using 6 colors in such a way that any pair of vertices connected by an edge are colored differently. Write up a nice proof that every planar graph can be colored using only 5 colors. Proofs can be found in many places online.

Open Problems. The problems are below are "open", which means that so far they have not been solved. Solution of any of these problems will be rewarded with an A in the course. Work reflecting serious thinking about any of these problems, even if they do not lead to a solution, will be awarded with extra credit.


شاهد الفيديو: نظرية الأعداد المحاضرة الثانية قابلية القسمة ومبرهنة اقليدس (شهر اكتوبر 2021).