مقالات

5.2.1: حل مسائل النسبة المئوية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد المبلغ والقاعدة والنسبة المئوية في مشكلة النسبة المئوية.
  • ابحث عن المجهول في مشكلة النسبة المئوية.

النسب المئوية عبارة عن نسبة عدد و 100 ، لذلك يسهل مقارنتها من الكسور ، حيث أن لها دائمًا نفس المقام ، 100. قد يحصل المتجر على تخفيض بنسبة 10٪ على المبيعات. دائمًا ما يكون المبلغ المدخر هو نفس الجزء أو الكسر من السعر ، ولكن السعر الأعلى يعني اقتطاع المزيد من الأموال. تعمل أسعار الفائدة على حساب التوفير بنفس الطريقة. كلما زادت الأموال التي تضعها في حسابك ، زادت الفوائد التي تحصل عليها. من المفيد فهم كيفية حساب هذه النسب المئوية.

يمتلك Jeff قسيمة في Guitar Store بخصم 15٪ على أي عملية شراء بقيمة 100 دولار أو أكثر. إنه يريد شراء جيتار مستعمل بسعر 220 دولارًا عليه. يتساءل جيف عن المبلغ الذي ستحصل عليه القسيمة من السعر الأصلي البالغ 220 دولارًا.

المشاكل التي تنطوي على النسب المئوية لها أي ثلاث كميات للعمل معها: نسبه مئويه، ال مقدار، و ال قاعدة.

النسبة المئوية لها رمز النسبة المئوية (٪) أو كلمة "نسبة مئوية". في المشكلة أعلاه ، 15٪ هو النسبة المئوية لسعر الشراء.

الأساس هو المبلغ كله. في المشكلة أعلاه ، سعر الجيتار بالكامل هو 220 دولارًا ، وهو السعر الأساسي.

المبلغ هو الرقم الذي يتعلق بالنسبة المئوية. إنه دائمًا جزء من الكل. في المشكلة أعلاه ، المبلغ غير معروف. بما أن النسبة هي النسبة المئوية إيقاف، سيكون المبلغ هو مقدار إيقاف من السعر.

ستعود إلى هذه المشكلة بعد قليل. توضح الأمثلة التالية كيفية تحديد الأجزاء الثلاثة: النسبة المئوية والأساس والمبلغ.

مثال

حدد النسبة المئوية والمبلغ والقاعدة في هذه المشكلة.

30 هو 20٪ من العدد؟

المحلول

نسبه مئويه: النسبة المئوية هي الرقم الذي يحتوي على رمز٪: 20٪.

قاعدة: الأساس هو كامل المبلغ ، وهو غير معروف في هذه الحالة.

مقدار: المبلغ على أساس النسبة المئوية هو 30.

إجابه:

النسبة المئوية = 20٪

الكمية = 30

القاعدة = غير معروف

تشير المشكلة السابقة إلى أن 30 جزء من رقم آخر. هذا يعني 30 هو المبلغ. لاحظ أنه يمكن إعادة كتابة هذه المشكلة: 20٪ ما هو الرقم 30؟

ممارسه الرياضه

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ في هذه المشكلة:

ما هي النسبة المئوية من 30 تساوي 3؟

إجابه

النسبة غير معروفة ، لأن المشكلة تنص على "ماذا او ما في المائة؟ "الأساس هو الكل في الموقف ، وبالتالي فإن الأساس هو 30. المبلغ هو جزء من الكل ، وهو 3 في هذه الحالة.

يمكن حل مشاكل النسبة المئوية عن طريق الكتابة المعادلات. تستخدم المعادلة علامة التساوي (=) لإظهار أن تعبيرين رياضيين لهما نفس القيمة.

النسب المئوية هي كسور ، ومثل الكسور تمامًا ، عند إيجاد نسبة مئوية (أو جزء ، أو جزء) من مبلغ آخر ، فإنك تضرب.

النسبة المئوية للقاعدة هي المبلغ.

نسبه مئويه التابع قاعدة هل مقدار.

( text {Percent} { color {red} cdot} text {Base} { color {blue} =} text {Amount} )

في الأمثلة أدناه ، يتم تمثيل المجهول بالحرف ( n ). يمكن تمثيل المجهول بأي حرف أو مربع ( مربع ) أو حتى علامة استفهام.

مثال

اكتب معادلة تمثل المشكلة التالية.

30 هو 20٪ من العدد؟

المحلول

20٪ ما هو العدد 30؟أعد كتابة المشكلة بالصيغة "النسبة المئوية للأساس هي المبلغ".

النسبة هي: 20٪

القاعدة: غير معروفة

المبلغ: 30

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ.

( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} )

( 20 ٪ cdot n = 30 )

اكتب معادلة النسبة المئوية. باستخدام ( n ) للقاعدة ، وهي القيمة غير المعروفة.

( 20 ٪ cdot n = 30 )

بمجرد الحصول على معادلة ، يمكنك حلها وإيجاد القيمة غير المعروفة. للقيام بذلك ، فكر في العلاقة بين الضرب والقسمة. انظر إلى أزواج حقائق الضرب والقسمة أدناه ، وابحث عن نمط في كل صف.

عمليه الضربقسم
( 2 cdot 3 = 6 ) ( 6 div 2 = 3 )
( 8 cdot 5 = 40 ) ( 40 div 8 = 5 )
( 7 cdot 4 = 28 ) ( 28 شعبة 7 = 4 )
( 6 cdot 9 = 54 ) ( 54 div 6 = 9 )

الضرب والقسمة عمليات عكسية. ما يفعله المرء برقم ، "يلغي" الآخر.

عندما يكون لديك معادلة مثل ( 20 ٪ cdot n = 30 ) ، يمكنك قسمة 30 على 20٪ للعثور على المجهول: ( n = 30 div 20 ٪ ).

يمكنك حل هذا عن طريق كتابة النسبة المئوية في صورة عدد عشري أو كسر ثم القسمة.

( n = 30 div 20 ٪ = 30 div 0.20 = 150 )

مثال

ما النسبة المئوية من 72 تساوي 9؟

المحلول

النسبة المئوية: غير معروف

القاعدة: 72

الكمية: 9

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ.
( n cdot 72 = 9 )اكتب معادلة النسبة المئوية: ( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} ). استخدم ( n ) للمجهول (نسبة مئوية).
( n = 9 div 72 )قسّم للتراجع عن مضاعفة ( n ) مرات 72.
( ابدأ {مجموعة} {r}
0.125 \
72 longdiv {9.000}
نهاية {مجموعة} )
قسّم 9 على 72 لإيجاد قيمة ( n ) ، المجهول.

( n = 0.125 )

( n = 12.5 ٪ )

انقل العلامة العشرية منزلتين إلى اليمين لكتابة العلامة العشرية في صورة نسبة مئوية.

( 12.5 ٪ text {of} 72 text {is} 9 ).

يمكنك تقدير لمعرفة ما إذا كانت الإجابة معقولة. استخدم 10٪ و 20٪ ، أرقام قريبة من 12.5٪ ، لترى ما إذا كانت قريبة من الإجابة.

( 10 ٪ نص {of} 72 = 0.1 cdot 72 = 7.2 )

( 20 ٪ نص {of} 72 = 0.2 cdot 72 = 14.4 )

لاحظ أن 9 تتراوح بين 7.2 و 14.4 ، لذا فإن 12.5٪ معقولة لأنها تتراوح بين 10٪ و 20٪.

مثال

ما هو 110٪ من 24؟

المحلول

النسبة: 110٪

القاعدة: 24

المبلغ: غير معروف

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ.
( 110 ٪ cdot 24 = n )

اكتب معادلة النسبة المئوية.

( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} ).

المبلغ غير معروف ، لذا استخدم ( n ).

( 1.10 cdot 24 = n )اكتب النسبة المئوية في صورة عدد عشري بتحريك العلامة العشرية منزلتين إلى اليسار.
( 1.10 cdot 24 = 26.4 = n )اضرب 24 في 1.10 أو 1.1.

( 26.4 text {is} 110 ٪ text {of} 24 ).

هذه المشكلة أسهل قليلاً في التقدير. 100٪ من 24 تساوي 24. و 110٪ أكثر بقليل من 24. لذا ، 26.4 إجابة معقولة.

ممارسه الرياضه

18 ما هي نسبة 48؟

  1. ( 0.375 \%)
  2. ( 8.64 \%)
  3. ( 37.5 \%)
  4. ( 864 \%)
إجابه
  1. ( 0.375 \%)

    غير صحيح. ربما تكون قد قمت بالحساب بشكل صحيح ، لكنك نسيت تحريك الفاصلة العشرية عندما تعيد كتابة إجابتك كنسبة مئوية. معادلة هذه المشكلة هي ( n cdot 48 = 18 ). التقسيم المقابل هو ( 18 div 48 ) ، لذا ( n = 0.375 ). تعطي إعادة كتابة هذا الرقم العشري في صورة نسبة مئوية الإجابة الصحيحة ، ( 37.5 ٪ ).

  2. ( 8.64 \%)

    غير صحيح. ربما استخدمت ( 18 ) أو ( 48 ) كنسبة مئوية ، بدلاً من المبلغ أو الأساس. معادلة هذه المشكلة هي ( n cdot 48 = 18 ). التقسيم المقابل هو ( 18 div 48 ) ، لذا ( n = 0.375 ). تعطي إعادة كتابة هذا الرقم العشري في صورة نسبة مئوية الإجابة الصحيحة ، ( 37.5 ٪ ).

  3. ( 37.5 \%)

    صيح. معادلة هذه المشكلة هي ( n cdot 48 = 18 ). التقسيم المقابل هو ( 18 div 48 ) ، لذا ( n = 0.375 ). إعادة كتابة هذا الرقم العشري كنسبة مئوية يعطي ( 37.5 ٪ ).

  4. ( 864 \%)

    غير صحيح. من المحتمل أنك استخدمت 18 أو 48 كنسبة مئوية ، بدلاً من المبلغ أو الأساس ، ونسيت أيضًا إعادة كتابة النسبة المئوية كعدد عشري قبل الضرب. معادلة هذه المشكلة هي ( n cdot 48 = 18 ). التقسيم المقابل هو ( 18 div 48 ) ، لذا ( n = 0.375 ). تعطي إعادة كتابة هذا الرقم العشري في صورة نسبة مئوية الإجابة الصحيحة ، ( 37.5 ٪ ).

يمكن أيضًا حل مشكلات النسبة المئوية عن طريق كتابة أ نسبة. النسبة هي معادلة تحدد نسبتين أو كسرين متساويين مع بعضهما البعض. مع مشاكل النسبة المئوية ، إحدى النسب هي النسبة المئوية ، مكتوبة كـ ( frac {n} {100} ). النسبة الأخرى هي المبلغ إلى الأساس.

( text {Percent} = frac { text {amount}} { text {base}} )

مثال

اكتب نسبة لإيجاد إجابة السؤال التالي.

30 هو 20٪ من العدد؟

المحلول

( frac {20} {100} = frac { text {amount}} { text {base}} )النسبة في هذه المشكلة هي 20٪. اكتب هذه النسبة المئوية في صورة كسرية ، بحيث يكون المقام 100.
( frac {20} {100} = frac {30} {n} )تتم كتابة النسبة المئوية على أنها النسبة ( frac {20} {100} ) ، والمبلغ 30 ، والأساس غير معروف.
( ابدأ {مجموعة} {r}
20 cdot n = 30 cdot 100
20 cdot n = 3،000
ن = 3000 ديف 20
ن = 150
نهاية {مجموعة} )
الضرب التبادلي وحل من أجل المجهول ( n ) بقسمة 3000 على 20.

30 هو 20٪ من 150.

مثال

ما النسبة المئوية من 72 تساوي 9؟

المحلول

( ابدأ {مجموعة} {r}
text {Percent} = frac { text {amount}} { text {base}}
frac {n} {100} = frac {9} {72}
نهاية {مجموعة} )
النسبة المئوية هي نسبة ( n ) إلى 100. المبلغ 9 ، والأساس 72.
( ابدأ {مجموعة} {r}
n cdot 72 = 9 cdot 100
n cdot 72 = 900
ن = 900 div 72
ن = 12.5
نهاية {مجموعة} )
الضرب التبادلي وحل من أجل ( n ) بقسمة 900 على 72.
( 12.5 ٪ text {of} 72 text {is} 9 )النسبة المئوية هي ( frac {12.5} {100} = 12.5 ٪ ).

مثال

ما هو 110٪ من 24؟

المحلول

( ابدأ {مجموعة} {ل}
text {Percent} = frac { text {amount}} { text {base}}
frac {110} {100} = frac {n} {24}
نهاية {مجموعة} )
النسبة المئوية هي النسبة ( frac {110} {100} ). المبلغ غير معروف ، والأساس هو 24.
( ابدأ {مجموعة} {r}
24 cdot 110 = 100 cdot n
2640 div 100 = n
26.4 = ن
نهاية {مجموعة} )
الضرب التبادلي وحل من أجل ( n ) بقسمة 2640 على 100.
( 26.4 text {is} 110 ٪ text {of} 24 )

ممارسه الرياضه

18 هو 125٪ من أي رقم؟

  1. ( 0.144)
  2. ( 14.4)
  3. ( 22.5)
  4. ( 694 frac {4} {9} ) (أو حوالي ( 694.4 ))
إجابه
  1. ( 0.144)

    غير صحيح. ربما لم تكتب نسبة وقسمت فقط 18 على 125. أو أنك أعددت بشكل غير صحيح كسرًا واحدًا كـ ( frac {18} {125} ) وقمت بتعيين هذا مساويًا للقاعدة ، ( n ). النسبة المئوية في هذه الحالة هي 125٪ ، لذا يجب أن يكون الكسر الواحد ( frac {125} {100} ). الأساس غير معروف والمقدار 18 ، لذا فإن الكسر الآخر هو ( frac {18} {n} ). حل النسبة ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) يعطي ( n = 14.4 ).

  2. ( 14.4)

    صيح. النسبة المئوية في هذه الحالة هي 125٪ ، لذا يجب أن يكون الكسر الواحد ( frac {125} {100} ). الأساس غير معروف والمقدار 18 ، لذا فإن الكسر الآخر هو ( frac {18} {n} ). حل النسبة ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) يعطي ( n = 14.4 ).

  3. ( 22.5)

    غير صحيح. ربما تضع المبلغ (18) على 100 في النسبة ، بدلاً من النسبة المئوية (125). ربما كنت تعتقد أن 18 هي النسبة المئوية و 125 هي القاعدة. النسبة المئوية الصحيحة للنسبة هي ( frac {125} {100} ). الأساس غير معروف والمقدار 18 ، لذا فإن الكسر الآخر هو ( frac {18} {n} ). حل النسبة ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) يعطي ( n = 14.4 ).

  4. ( 694 frac {4} {9} ) (أو حوالي ( 694.4 ))

    غير صحيح. ربما خلطت المبلغ (18) مع النسبة المئوية (125) عند إعداد النسبة. النسبة المئوية الصحيحة للنسبة هي ( frac {125} {100} ). القاعدة غير معروفة والمقدار 18 ، لذا فإن الكسر الآخر هو ( frac {18} {n} ). حل النسبة ( frac {125} {100} = frac {18} {n} ) يعطي ( n = 14.4 ).

دعونا نعود إلى المشكلة التي تم طرحها في البداية. يمكنك الآن حل هذه المشكلة كما هو موضح في المثال التالي.

مثال

يمتلك Jeff قسيمة في Guitar Store بخصم 15٪ على أي عملية شراء بقيمة 100 دولار أو أكثر. يتساءل جيف عن مقدار المال الذي ستحصل عليه القسيمة من السعر الأصلي البالغ 220 دولارًا.

المحلول

كم تبلغ 15٪ من 220 دولارًا؟تبسيط المشاكل عن طريق حذف الكلمات الزائدة.

النسبة: 15٪

القاعدة: 220

المبلغ: ( n )

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ.
( 15 ٪ cdot 220 = n )

اكتب معادلة النسبة المئوية.

( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} )

( 0.15 cdot 220 = 33 )حول 15٪ إلى 0.15 ، ثم اضرب في 220. 15٪ من 220 دولارًا هي 33 دولارًا.

ستأخذ القسيمة 33 دولارًا من السعر الأصلي.

يمكنك تقدير لمعرفة ما إذا كانت الإجابة معقولة. نظرًا لأن 15٪ في منتصف الطريق بين 10٪ و 20٪ ، ابحث عن هذه الأرقام.

( ابدأ {مجموعة} {ل}
10 ٪ نص {من} 220 = 0.1 cdot 220 = 22
20 ٪ نص {من} 220 = 0.2 cdot 220 = 44
نهاية {مجموعة} )

الإجابة ، 33 ، تتراوح بين 22 و 44. لذا يبدو أن 33 دولارًا معقولاً.

هناك العديد من المواقف الأخرى التي تنطوي على النسب المئوية. أدناه فقط عدد قليل.

مثال

اشترت إيفلين بعض الكتب من المكتبة المحلية. كان إجمالي فاتورتها 31.50 دولارًا ، والتي تضمنت ضريبة بنسبة 5 ٪. كم كانت تكلفة الكتب قبل الضريبة؟

المحلول

ما هو الرقم + 5٪ من هذا الرقم وهو 31.50 دولارًا؟في هذه المشكلة ، تعلم أن ضريبة 5٪ تضاف إلى تكلفة الكتب. لذلك إذا كانت تكلفة الكتب 100٪ ، فإن التكلفة بالإضافة إلى الضريبة هي 105٪.

105٪ من أي عدد = 31.50؟

النسبة: 105٪

القاعدة: ( n )

المبلغ: 31.50.000

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ.
( 105 ٪ cdot n = 31.50 )

اكتب معادلة النسبة المئوية.

( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} ).

( 1.05 cdot n = 31.50 )حوّل 105٪ إلى عدد عشري.
( n = 31.50 div 1.05 = 30 )قسّم للتراجع عن مضاعفة ( n ) مرات 1.05.

تكلفة الكتب 30 دولارًا قبل الضريبة.

مثال

عملت سوزانا 20 ساعة في وظيفتها الأسبوع الماضي. عملت هذا الأسبوع 35 ساعة. من حيث النسبة المئوية ، ما مقدار العمل الذي عملت به هذا الأسبوع مقارنة بالأسبوع الماضي؟

المحلول

35 ما هي نسبة 20؟تبسيط المشكلة عن طريق حذف الكلمات الزائدة.

النسبة المئوية: ( n )

القاعدة: 20

المبلغ: 35

حدد النسبة المئوية والقاعدة والمبلغ.
( n cdot 20 = 35 )

اكتب معادلة النسبة المئوية.

( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} ).

( n = 35 div 20 )قسّم للتراجع عن مضاعفة ( n ) مرات 20.
( n = 1.75 = 175 ٪ )حول 1.75 إلى نسبة مئوية.

بما أن 35 هي 175٪ من 20 ، عملت سوزانا 75٪ هذا الأسبوع أكثر مما عملت الأسبوع الماضي. (يمكنك التفكير في هذا على أنه ، "عملت سوزانا بنسبة 100٪ من الساعات التي عملت بها الأسبوع الماضي ، بالإضافة إلى 75٪ أكثر.")

تتكون مشاكل النسبة المئوية من ثلاثة أجزاء: النسبة المئوية والأساس (أو الكل) والمبلغ. قد يكون أي جزء من هذه الأجزاء قيمة غير معروفة يمكن العثور عليها. لحل مشاكل النسبة المئوية ، يمكنك استخدام المعادلة ، ( text {Percent} cdot text {Base} = text {Amount} ) ، وحل الأرقام غير المعروفة. أو يمكنك إعداد النسبة ، ( text {Percent} = frac { text {amount}} { text {base}} ) ، حيث النسبة المئوية هي نسبة رقم إلى 100. أنت يمكن بعد ذلك استخدام الضرب التبادلي لحل النسبة.


شاهد الفيديو: الجزء الأول من درس النسبة المئوية مع تطبيقين (شهر اكتوبر 2021).