مقالات

7.1.1: الأشكال ذات الأبعاد 1 و 2 - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحديد وتعريف النقاط والخطوط ومقاطع الخط والأشعة والمستويات.
  • صنف الزوايا على أنها حادة ، أو قائمة ، أو منفرجة ، أو مستقيمة.

أنت تستخدم المصطلحات الهندسية في اللغة اليومية ، غالبًا دون التفكير في ذلك. على سبيل المثال ، في أي وقت تقول فيه "امشي على طول هذا الخط" أو "احترس ، يميل هذا الطريق سريعًا إلى اليسار" ، فأنت تستخدم مصطلحات هندسية لفهم البيئة من حولك. أنت تستخدم هذه المصطلحات بمرونة ، والناس بشكل عام يعرفون ما الذي تتحدث عنه.

في عالم الرياضيات ، كل من هذه المصطلحات الهندسية لها تعريف محدد. من المهم معرفة هذه التعريفات ، وكذلك كيفية تكوين الأشكال المختلفة ، للتعرف على لغة الهندسة. لنبدأ بالشكل الهندسي الأساسي: المستوى.

أ طائرة هو سطح مستو يستمر إلى الأبد (أو ، من الناحية الرياضية ، إلى ما لا نهاية) في كل اتجاه. لها بعدين: الطول والعرض.

يمكنك تصور طائرة عن طريق وضع قطعة من الورق على طاولة. تخيل الآن أن قطعة الورق تظل مسطحة تمامًا وتمتد بقدر ما يمكنك رؤيته في اتجاهين ، من اليسار إلى اليمين ومن الأمام إلى الخلف. تمنحك هذه القطعة العملاقة من الورق إحساسًا بما يشبه المستوى الهندسي: فهي تستمر بلا حدود في اتجاهين. (على عكس مثال قطعة الورق ، فإن المستوى الهندسي ليس له ارتفاع.)

يمكن أن يحتوي المستوى على عدد من الأشكال الهندسية. الفكرة الهندسية الأساسية هي أ هدفالتي ليس لها أبعاد. النقطة هي ببساطة موقع على متن الطائرة. يتم تمثيلها بنقطة. ثلاث نقاط لا تقع في خط مستقيم ستحدد المستوى.

الصورة أدناه تظهر أربع نقاط معنون أ, ب, ج، و د.

نقطتان على المستوى تحدد الخط. أ خط هو شكل أحادي البعد يتكون من عدد لا حصر له من النقاط الفردية الموضوعة جنبًا إلى جنب. في الهندسة ، يُفترض أن تكون جميع الخطوط مستقيمة ؛ إذا انحنى ، يطلق عليهم منحنى. يستمر الخط بلا حدود في اتجاهين.

يوجد أدناه السطر ( A B ) أو ، في التدوين الهندسي ، ( overleftrightarrow {A B} ). تشير الأسهم إلى أن الخط يستمر في السير إلى الأبد في الاتجاهين. يمكن أيضًا تسمية هذا الخط باسم line ( BA ). في حين أن ترتيب النقاط لا يهم بالنسبة إلى السطر ، فمن المعتاد تسمية النقطتين بترتيب أبجدي.

توضح الصورة أدناه النقاط ( A ) و ( B ) والخط ( overleftrightarrow {A B} ).

مثال

اسم الخط الموضح باللون الأحمر.

المحلول

يمر الخط الأحمر بالنقطتين ( C ) و ( F ) ، لذا يكون الخط ( overleftrightarrow {C F} ).

( overleftrightarrow {C F} )

هناك نوعان من الأرقام الأخرى للنظر فيها. القسم بين أي نقطتين على خط يسمى أ القطعة المستقيمة. يمكن أن يكون الجزء المستقيم طويلًا جدًا أو قصيرًا جدًا أو في مكان ما بينهما. الفرق بين الخط والجزء المستقيم هو أن المقطع المستقيم له نقطتا نهاية والخط يستمر إلى الأبد. يُرمز إلى المقطع المستقيم بنقطتي نهايته ، كما هو الحال في ( overline {C D} ).

أ شعاع نقطة نهاية واحدة وتستمر إلى الأبد في اتجاه واحد. يسمي علماء الرياضيات شعاعًا بترميز مثل ( overrightarrow {E F} ) ، حيث النقطة ( E ) هي نقطة النهاية و ( F ) هي نقطة على الشعاع. عند تسمية شعاع ، نقول دائمًا نقطة النهاية أولاً. لاحظ أن ( overrightarrow {FE} ) سيكون له نقطة النهاية عند ( F ) ، ويستمر خلال ( E ) ، وهو شعاع مختلف عن ( overrightarrow {EF} ) ، والتي سيكون لها نقطة نهاية عند ( E ) ، والمتابعة من خلال ( F ).

قد يكون مصطلح "شعاع" مألوفًا لأنه كلمة شائعة في اللغة الإنجليزية. غالبًا ما يستخدم مصطلح "راي" عند الحديث عن الضوء. بينما يشبه شعاع الضوء المصطلح الهندسي "شعاع" ، فإنه لا يستمر إلى الأبد ، وله بعض العرض. الشعاع الهندسي ليس له عرض ؛ الطول فقط.

يوجد أدناه صورة شعاع ( E F ) أو ( overrightarrow {E F} ). لاحظ أن نقطة النهاية هي ( E ).

مثال

حدد كل خط وقطعة خطية في الصورة أدناه.

المحلول

نقطتان تحددان الخط ، ويتم الإشارة إلى الخط بالسهام. هناك سطرين في هذه الصورة: ( overleftrightarrow {C E} ) و ( overleftrightarrow {B G} ).

المقطع المستقيم هو قسم يقع بين نقطتين. ( overline {D F} ) عبارة عن قطعة مستقيمة. ولكن هناك أيضًا قسمان آخران من الخطوط على الأسطر نفسها: ( overline {C E} ) و ( overline {B G} ).

الأسطر: ( overleftrightarrow {C E} ، overleftrightarrow {B G} )

مقاطع الخط: ( overline {D F} ، overline {C E} ، overline {B G} )

مثال

حدد كل نقطة وشعاع في الصورة أدناه.

المحلول

هناك أربع نقاط: ( A ، B ، C text {و} D ).

هناك أيضًا ثلاثة أشعة ، على الرغم من أن واحدًا فقط قد يكون واضحًا.

يبدأ Ray ( overrightarrow {B C} ) من النقطة (B ) ويمر عبر ( C ). يوجد شعاعان آخران على السطر ( overrightarrow {A D} ): هما ( overrightarrow {D A} ) و ( overrightarrow {A D} ).

النقاط: ( A، B، C، D )

الأشعة: ( overrightarrow {B C}، overrightarrow {A D}، overrightarrow {D A} )

ممارسه الرياضه

أي مما يلي هو ليس ممثلة في الصورة أدناه؟

  1. ( overleftrightarrow {B G} )
  2. ( overrightarrow {B A} )
  3. ( overline {D F} )
  4. ( overrightarrow {A C} )
إجابه
  1. ( overleftrightarrow {B G} )

    غير صحيح. يمر الخط بالنقطتين ( B ) و ( G ) ، لذلك يظهر ( overleftrightarrow {B G} ). ( overleftrightarrow {B A} ) ، غير معروض في هذه الصورة.

  2. ( overrightarrow {B A} )

    صيح. لا تظهر هذه الصورة أي شعاع يبدأ من النقطة ( B ) ويمر بالنقطة ( A ).

  3. ( overline {D F} )

    غير صحيح. يوجد جزء خط يربط بين النقاط ( D ) و ( F ) ، لذلك يظهر ( overleftrightarrow {D F} ). ( overleftrightarrow {B A} ) ، غير معروض في هذه الصورة.

  4. ( overrightarrow {A C} )

    غير صحيح. يوجد شعاع يبدأ من النقطة ( A ) ويمر بالنقطة ( C ) ، لذلك يظهر ( overrightarrow {A C} ). ( overrightarrow {B A} ) ، غير معروض في هذه الصورة.

الخطوط ، ومقاطع الخط ، والنقاط ، والأشعة هي اللبنات الأساسية لأشكال أخرى. على سبيل المثال ، يشكل شعاعين بنقطة نهاية مشتركة شكل زاوية. تسمى نقطة النهاية المشتركة للزاوية بـ قمة الرأس.

الزاوية ( A B C ) موضحة أدناه. يمكن أيضًا تسمية هذه الزاوية ( الزاوية أ ب ج ) ، ( الزاوية ج ب أ ) ، أو ببساطة ( الزاوية ب ). عند تسمية الزوايا ، احرص على تضمين الرأس (هنا ، أشر ( ب ) كحرف متوسط.

تُظهر الصورة أدناه بعض الزوايا على مستوى. لاحظ أن تسمية كل زاوية مكتوبة "نقطة - رأس - نقطة ،" وأن التدوين الهندسي على الشكل ( الزاوية أ ب ج ).

أحيانًا تكون الزوايا ضيقة جدًا ؛ أحيانًا تكون واسعة جدًا. عندما يتحدث الناس عن "حجم" زاوية ، فإنهم يشيرون إلى القوس بين الشعاعين. لا علاقة لطول الأشعة بحجم الزاوية نفسها. غالبًا ما تشتمل رسومات الزوايا على قوس (كما هو موضح أعلاه) لمساعدة القارئ على تحديد "الجانب" الصحيح للزاوية.

فكر في وجه الساعة التناظرية. عقربا الدقائق والساعات ثابتان عند نقطة ما في منتصف الساعة. مع مرور الوقت ، تدور العقارب حول النقطة الثابتة ، مما يجعل الزوايا أكبر وأصغر مع تقدمهما. لا يؤثر طول اليدين على الزاوية التي تصنعها اليدين.

يتم قياس الزاوية بالدرجات ، ويتم تمثيلها برمز الدرجة ، وهو عبارة عن دائرة صغيرة في أعلى يمين الرقم. على سبيل المثال ، يتم تعريف الدائرة على أنها تحتوي على 360ا. (في التزلج وكرة السلة ، يشير "أداء 360 درجة" إلى القفز والقيام بدوران كامل للجسم.)

أ زاوية مستقيمة هي أي درجة تقيس بالضبط 90ا. يمثل هذا بالضبط ربع المسافة حول الدائرة. تحتوي المستطيلات على أربع زوايا قائمة بالضبط. غالبًا ما تستخدم علامة الزاوية للإشارة إلى الزاوية اليمنى ، كما هو موضح في الزاوية اليمنى ( D C B ) أدناه.

الزوايا التي تقع بين 0ا و 90ا (أصغر من الزوايا القائمة) تسمى زوايا حادة. الزوايا التي تقع بين 90ا و 180ا (أكبر من الزوايا القائمة وأقل من 180ا) وتسمى زوايا منفرجة. وزاوية تساوي 180 بالضبطا يسمى أ زاوية قائمة لأنها تشكل خطا مستقيما!

مثال

قم بتسمية كل زاوية أدناه على أنها حادة أو مستقيمة أو منفرجة.

المحلول

يمكنك البدء بتحديد أي زوايا قائمة.

( الزاوية G F I ) هي الزاوية اليمنى ، كما هو مشار إليه بعلامة الزاوية عند الرأس ( F ).

ستكون الزوايا الحادة أصغر من ( الزاوية G F I ) (أو أقل من 90ا). هذا يعني أن ( زاوية د أ ب ) و ( زاوية م ل ن ) حادان.

( الزاوية T Q S ) أكبر من

( الزاوية G F I ) ، إذن فهي زاوية منفرجة.

( زاوية د أ ب ) و ( زاوية م ل ن ) زوايا حادة.

( الزاوية G F I ) هي الزاوية اليمنى.

( الزاوية T Q S ) زاوية منفرجة.

مثال

حدد كل نقطة وشعاع وزاوية في الشكل أدناه.

المحلول

ابدأ بتحديد كل نقطة في الشكل. هناك 4: ( E، F، G، text {and} J ).

الآن ابحث عن أشعة. يبدأ الشعاع من نقطة ما ، ثم يستمر من خلال نقطة أخرى باتجاه اللانهاية (يشار إليها بسهم).

تبدأ ثلاثة أشعة من النقطة ( J ): ( overrightarrow {J E} ) و ( overrightarrow {J F} ) و ( overrightarrow {J G} ). لكن لاحظ أيضًا أن الشعاع يمكن أن يبدأ من النقطة ( F ) ويمر من خلال ( J ) و ( G ) ، ويمكن أن يبدأ شعاع آخر عند النقطة ( G ) ويمر من خلال ( J ) و ( F ). يمكن تمثيل هذه الأشعة بـ ( overrightarrow {G F} ) و ( overrightarrow {F G} )

أخيرًا ، ابحث عن الزوايا.

( الزاوية E J G ) منفرجة ، ( الزاوية E J F ) حاد ، و ( الزاوية F J G ) مستقيم. (لا تنس تلك الزوايا المستقيمة!)

النقاط: ( E، F، G، J )

الأشعة: ( overrightarrow {J E}، overrightarrow {J G}، overrightarrow {J F}، overrightarrow {G F}، overrightarrow {F G} )

الزوايا: ( الزاوية EJ G الزاوية E J F الزاوية F J G )

ممارسه الرياضه

حدد الزوايا الحادة في الصورة أدناه.

  1. ( زاوية W A X ، زاوية X A Y ، نص {و} زاوية Y A Z )
  2. ( زاوية W A Y نص {and} زاوية Y A Z )
  3. ( زاوية W A X نص {and} زاوية Y A Z )
  4. ( زاوية W A Z نص {and} زاوية X A Y )
إجابه
  1. ( زاوية W A X ، زاوية X A Y ، نص {و} زاوية Y A Z )

    غير صحيح. ( الزاوية W A X ) و ( الزاوية Y A Z ) كلاهما زاويتان حادتان ، لكن ( الزاوية X A Y ) زاوية منفرجة. لذلك فقط ( الزاوية W A X ) و ( الزاوية Y A Z ) هما زاويتان حادتان.

  2. ( زاوية W A Y نص {and} زاوية Y A Z )

    غير صحيح. ( الزاوية Y A Z ) زاوية حادة ، لكن ( الزاوية W A Y ) زاوية منفرجة. كلاهما ( الزاوية W A X ) و ( الزاوية Y A Z ) زاويتان حادتان.

  3. ( زاوية W A X نص {and} زاوية Y A Z )

    صيح. كلاهما ( الزاوية W A X ) و ( الزاوية Y A Z ) زاويتان حادتان.

  4. ( زاوية W A Z نص {and} زاوية X A Y )

    غير صحيح. ( الزاوية W A Z ) زاوية مستقيمة و ( الزاوية X A Y ) زاوية منفرجة. كلاهما ( الزاوية W A X ) و ( الزاوية Y A Z ) زاويتان حادتان.

يمكن أن يساعدك تعلم كيفية قياس الزوايا على أن تصبح أكثر راحة في تحديد الفرق بين قياسات الزوايا. على سبيل المثال ، كيف هو 135ا زاوية مختلفة عن 45ا زاوية؟

يتطلب قياس الزوايا أ منقلة، وهي أداة نصف دائرية تحتوي على 180 علامة تجزئة فردية. كل علامة تجزئة تمثل 1ا. (فكر في الأمر على هذا النحو: الدائرة 360ا، إذًا نصف الدائرة تساوي 180ا.) لاستخدام المنقلة ، قم بالخطوات الثلاث التالية:

  1. يصطف رأس الزاوية مع النقطة الموجودة في منتصف الجانب المسطح (أسفل) المنقلة ،
  2. محاذاة جانب واحد من الزاوية مع الخط الموجود على المنقلة عند علامة درجة الصفر ، و
  3. انظر إلى القسم المنحني للمنقلة لقراءة القياس.

نشاط تفاعلي تكميلي

للتمرن على استخدام المنقلة ، جرب النشاط أدناه:

يوضح لك المثال أدناه كيفية استخدام منقلة لقياس حجم الزاوية.

مثال

استخدم منقلة لقياس الزاوية الموضحة أدناه.

المحلول

استخدم منقلة لقياس الزاوية.

قم بمحاذاة النقطة الزرقاء على المنقلة مع رأس الزاوية التي تريد قياسها.

قم بتدوير المنقلة حول رأس الزاوية حتى يتم محاذاة جانب الزاوية مع علامة 0 درجة للمنقلة.

اقرأ قياس الزاوية بالدرجات. ابدأ بضلع الزاوية المحاذي للصفرا علامة المنقلة والعد حتى من 0ا. هذه الزاوية قياسها 38ا.

قياس الزاوية 38ا.

ممارسه الرياضه

ما هو قياس الزاوية الموضح أدناه؟

  1. 45ا
  2. 135ا
  3. 145ا
  4. 180ا
إجابه
  1. 45ا

    غير صحيح. يبدو أنك بدأت العد من الجانب الخطأ. في الصورة أعلاه ، لاحظ كيف يتم محاذاة الجانب السفلي للزاوية مع 0ا على السطح الخارجي للمنقلة. استمر في اتباع هذه الأرقام في اتجاه عقارب الساعة (10 ، 20 ، 30 ، ...) حتى تصل إلى النقطة التي يتقاطع فيها الجانب الآخر من الزاوية مع المنقلة. الإجابة الصحيحة هي 135ا.

  2. 135ا

    صيح. تمت محاذاة هذه المنقلة بشكل صحيح ، والقياس الصحيح هو 135ا.

  3. 145ا

    غير صحيح. يبدو أنك تعتقد أن جانب الزاوية يتقاطع مع المنقلة بين 140ا و 150ا؛ إنها تتخطى فعليًا ما بين 130ا و 140ا. الإجابة الصحيحة هي 135ا.

  4. 180ا

    غير صحيح. نظرت إلى الجانب الخطأ من الزاوية. الإجابة الصحيحة هي 135ا.

الأشكال والأشكال الهندسية في كل مكان حولنا. النقطة هي كائن خالي من الأبعاد يحدد موقعًا معينًا على مستوى. يتكون الخط من عدد لا حصر له من النقاط ، وكلها مرتبة بجانب بعضها البعض في نمط مستقيم ، وتستمر إلى الأبد. يبدأ الشعاع من نقطة واحدة ويمضي نحو اللانهاية في اتجاه واحد فقط. يمكن وصف الطائرة بأنها لوحة قماشية ثنائية الأبعاد تستمر إلى الأبد.

عندما يتشارك شعاعين في نقطة نهاية ، تتشكل زاوية. يمكن وصف الزوايا بأنها حادة ، أو مستقيمة ، أو منفرجة ، أو مستقيمة ، ويتم قياسها بالدرجات. يمكنك استخدام المنقلة (أداة رياضية خاصة) لقياس حجم أي زاوية بدقة.


مساحة ثنائية الأبعاد

مساحة ثنائية الأبعاد (المعروف أيضًا باسم مساحة ثنائية الأبعاد, 2-الفضاء، أو مساحة ثنائية الأبعاد) هو إعداد هندسي تتطلب قيمتان (تسمى معلمات) لتحديد موضع عنصر (أي نقطة). غالبًا ما تعمل المجموعة ℝ 2 من أزواج الأعداد الحقيقية ذات البنية المناسبة كمثال أساسي لمساحة إقليدية ثنائية الأبعاد. لتعميم المفهوم ، انظر البعد.

يمكن النظر إلى الفضاء ثنائي الأبعاد على أنه إسقاط للكون المادي على مستوى. عادة ، يُعتقد أنها مساحة إقليدية ويسمى البعدين الطول والعرض.


كيفية بناء مخطط الجذع والأوراق

سنقوم الآن بتوضيح ثلاثة أمثلة مختارة بعناية.

24, 10, 13, 2, 28, 34, 65, 67, 55, 34, 25, 59, 8, 39, 61

أولاً ، رتب هذه البيانات

2, 6, 10, 13, 24, 25, 28, 34, 34, 39, 55, 59, 61, 65, 67

سوف نستخدم 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 كسيقان. المؤامرة معروضة أدناه:

يمكن أن يساعدك مخطط الجذع والأوراق في التعرف بسرعة على مدى تكرار حدوث البيانات. على سبيل المثال ، ستظهر نظرة سريعة على الشكل أعلاه أن الرقم 34 يحدث في أغلب الأحيان. يمكن أن يساعدك أيضًا في تحديد قيمة البيانات الأقل والأكبر بسرعة.

هذه المرة ، البيانات بالترتيب بالفعل

104, 107, 112, 115, 115, 116, 123, 130, 134, 145, 147

سنستخدم 10 و 11 و 12 و 13 و 14 كسيقان. المؤامرة معروضة أدناه:

في بعض الأحيان ، يكون من المفيد إظهار الأوراق على جانبي الساق. لنفترض على سبيل المثال أنك تدرس الجبر في فصلين مختلفين.

قد ترغب في هذه الحالة في مقارنة أداء الفئات لمعرفة أي فئة كان أداءها أفضل.

درجة للفئة أ: 60 ، 68 ، 70 ، 75 ، 84 ، 86 ، 90 ، 91 ، 92 ، 94 ، 94 ، 96 ، 100 ، 100

درجة للفئة B: 60 ، 60 ، 70 ، 71 ، 73 ، 73 ، 75 ، 76 ، 77 ، 84 ، 85 ، 86 ، 91 ، 92

المؤامرة معروضة أدناه:

نظرة سريعة على الرسم البياني وسترى أن أداء الفئة أ أفضل بكثير من أداء الفئة ب.

حصلت الفئة B على درجات في السبعينيات أكثر من الفئة أ.

حصلت الفئة أ على درجات أكثر في التسعينيات من الفئة ب.

هذه واحدة من السمات الجيدة لمؤامرات الساق والأوراق. يساعدك على إلقاء نظرة سريعة على الرسم البياني وفحص البيانات للوصول إلى نتيجة سليمة.


دروس HST وصيغة الرياضيات

المثلثات نصف المربعة ، أو HSTs ، هي واحدة من وحدات كتلة اللحاف العلوية في خياطة اللحف. عدد الطرق في كيفية استخدامها لا حصر له ، ومن المؤكد أن عدد كتل لحاف HST بالآلاف! أود أن أقول إن كتل لحاف HST هي المفضلة لدي لهذا السبب بالذات. يمكنك جعلها بأي حجم ، في أي قماش ، واليوم أشرح لك كيفية صنعها باستخدام الطريقتين الأكثر شيوعًا & # 8211 الطريقة التقليدية والطريقة البديلة. يتطلب كلاهما مربعين من القماش ، لكن حجم وطريقة الخياطة سيحددان عدد HSTs التي تقوم بإنشائها دفعة واحدة.

الطريقة التقليدية

ستنشئ هذه الطريقة وحدتين HST من قطعتين من القماش. فائدة هذه الطريقة هي أنك & # 8217re تعمل بحبيبات القماش ، وبالتالي تقل فرصة التمدد عند خياطة الوحدات معًا. هذه الطريقة جيدة أيضًا لتقطيع السلسلة ، على الرغم من أنه قد يكون من السهل أن تفقد المسار الذي من المفترض أن تقوم بخياطة 1/4 & # 8243 بعيدًا عن & # 8230 أم أنه أنا فقط ؟!

لتحديد حجم المربعات التي تحتاج إلى قطعها ، كل ما تحتاج إلى معرفته هو ماذا تم الانتهاء من الحجم الذي تحتاجه & # 8211 أي ، ما هو الحجم الذي تريد أن تكون عليه مرة واحدة معًا & # 8211 ثم أضف 7/8 & # 8243 إلى هذا القياس. ومع ذلك ، أوصي بشدة بإضافة البوصة بأكملها لتترك لنفسك بعض الزيادات في القطع لتحسين دقتك.

الخطوة 1. ضع مربعين من القماش على الجانب الأيمن معًا. ارسم خطًا قطريًا من زاوية إلى الزاوية المقابلة.

2. قم بخياطة 1/4 & # 8243 من أي من جانبي الغرزة الخلفية للخط عند كل طرف لتأمين اللحامات الخاصة بك.

الخطوة 3. قص على طول الخط المرسوم ، وافتح قطع القماش واضغط على اللحامات لفتحها.

قد تحتاج إلى تقليص حجمها جميعًا أو تحقيق حجم معين ، اعتمادًا على مدى دقة قصك وخياطتك!

طريقة بديلة

تستخدم هذه الطريقة مربعات أكبر من القماش ولكنك تنشئ 4 وحدات HST من القماش. إنها تخلق حوافًا متحيزة ، ولكن الضغط الدقيق (لا & # 8217t & # 8220iron & # 8221 ذهابًا وإيابًا ، فقط اضغط لأسفل بمكواة ساخنة وبدون بخار) والتثبيت إذا كنت بحاجة إلى هذا الأمان الإضافي يجب أن يعني أنك لا تحصل على أي إجهاد التحيز.

تعتبر العمليات الحسابية للطرق البديلة أكثر تعقيدًا بكثير ، وبدلاً من ذلك ، فإننا & # 8217re نعمل مع غير مكتمل القياسات & # 8211 أي ، ما هو حجم HSTs قبل أن تقوم بخياطةها جميعًا معًا. لقد تركت القياسات & # 8220raw & # 8221 بحيث يمكنك معرفة مقدار الزيادة التي تريد العمل بها. على سبيل المثال ، سيمنحك المربع الساحر 5 & # 8243 أربعة HSTs غير مكتملة 3.18 & # 8243 ، مما يعني أنه يمكنك قصها إلى مربع 3 & # 8243 وينتهي الأمر بـ 2.5 & # 8243 HSTs مكتملة بمجرد حياكتها.

الخطوة 1. ضع مربعين من القماش على الجانب الأيمن معًا. خياطة حول الخارج قليلا 1/4 & # 8243 من الحافة.

الخطوة 2. قص كلا القطرين للحصول على أربع قطع. افتح قطع القماش واضغط على اللحامات لفتحها.

الخطوة 3. قم بقص HSTs بالحجم غير المكتمل اللازم لمشروعك.

قارن الزوج

تعتمد الطريقة التي تختار استخدامها على عدد HSTs التي تحتاجها ، وكم تحتاج من كل مجموعة! دعونا نقارن & # 8217s:

أنت بحاجة إلى 24 HSTs 2.5 & # 8243 غير مكتملة لكتلة تموجات 12 & # 8243 منتهية. باستخدام الطريقة البديلة ، ستحتاج إلى قطع ستة مربعات 4.5 & # 8243 من كلا القماشين ، مما يعني أنك ستحتاج إلى قماش بحجم 9 & # 8243 × 13.5 & # 8243 لكل قماش. وسوف تقوم بخياطة 6 طبقات.

باستخدام الطريقة التقليدية ، ستحتاج إلى قطع اثني عشر مربعًا من كلا القماشين 3 & # 8243 ، مما يعني أنك ستحتاج إلى 9 & # 8243 × 12 & # 8243 لكل قماش. وسوف تقوم بخياطة 24 خياطة.

كلما كبر حجم المثلثات ، وكلما احتجت إلى مزيد من الخياطة ، زادت كفاءة القماش بالطريقة البديلة ، بالإضافة إلى تقليل طبقات الخياطة! إذا كنت مرتاحًا لحافة التحيز ، فهي بالتأكيد الطريق الأفضل. إذا كنت تحتاج فقط إلى عدد قليل من HSTs ، مثل كتلة نحلة خياطة اللحف ، أو تريد مجموعة متنوعة من المطبوعات داخل الكتلة ، فإن الطريقة التقليدية هي الطريق للحصول على مجموعة متنوعة من المطبوعات المطلوبة وحتى لا تفاجئ عضو النحل الخاص بك حواف التحيز.

دروس أخرى

إذا كنت ترغب في إنشاء ثمانية HSTs في وقت واحد ، أو إنشاء HSTs من شرائط من القماش ، أو ترغب في التحقق من أوراق المثلث ، فلدي هذه الدروس أيضًا! ما عليك سوى اتباع تلك الروابط إلى الرابط الذي تهتم به.


أوراق عمل المنطقة

تنقلك الروابط أدناه إلى صفحات أوراق عمل المنطقة القابلة للطباعة. احسب مساحة المستطيلات والمربعات والمثلثات ومتوازيات الأضلاع وشبه المنحرف والدوائر.

ابحث عن مساحة الأشكال عن طريق حساب عدد بلاطات الوحدة المربعة المعروضة. هذه أوراق عمل أساسية للغاية.

أوجد مساحة المستطيلات والمربعات باستخدام الصيغة منطقة = الطول مرات العرض.

تحتوي هذه الصفحة على مجموعة أوراق عمل لحساب مساحات المثلثات.

تحتوي ملفات PDF هذه على دوائر بنصف قطر أو قطر موضح. يجب على الطلاب حساب مساحات الدوائر باستخدام الصيغة الصحيحة.

ستجد هنا سلسلة من أوراق العمل حول منطقة شبه المنحرف ومتوازيات الأضلاع.

تحتوي أوراق العمل هذه على أشكال غير منتظمة (مصنوعة من مستطلين أو أكثر من الأشكال المستقيمة). يجد الطلاب مناطق المستطيلات الفردية ويجمعونها معًا.

احسب مساحة سطح المنشورات المستطيلة ، والأهرامات ، والأسطوانات ، والمجالات ، والأشكال الصلبة غير المنتظمة.

تتضمن هذه الصفحة أوراق عمل لحساب مناطق الدوائر. يتميز أيضًا بالمحيط ونصف القطر والقطر.

ابحث عن محيط المضلعات المختلفة باستخدام هذه الألعاب والأنشطة وأوراق العمل القابلة للطباعة.


أسعار الوحدات (الدرجة 7)



على سبيل المثال ، إذا كان الشخص يسير مسافة نصف ميل في كل ربع ساعة ، فاحسب معدل الوحدة على أنه الكسر المركب 1/2/1/4 ميل في الساعة ، أي ما يعادل 2 ميل في الساعة.

أهداف التعلم المقترحة

  • يمكنني حساب معدلات الوحدات للكميات المرتبطة بنسب الكسور (الطول والمساحة والكميات الأخرى أمبير).
  • يمكنني استخدام العلاقات النسبية لحل مشاكل العالم الحقيقي.
  • يمكنني تبسيط المعدل ومعدل الوحدة والنسبة بالقسمة.
  • يمكنني حساب معدل الوحدة ككسر معقد.
  • حساب معدلات الوحدات المرتبطة بنسب الكسور

النسب ومعدلات وحدة أمبير
النسبة هي مقارنة بين كميتين حسب القسمة
المعدل هو النسبة التي تقارن الكميات بوحدات مختلفة
معدل الوحدة هو معدل مقامه 1.

أمثلة:
1. يوضح الجدول أسعار العبوات المختلفة لبطاقات الفهرسة. ما هو الحجم الأقل تكلفة للوحدة؟

2. تحويل 30 جرام / دقيقة كوب / ثانية. (تلميح: 16 كوب = 1 جالون)

4. يستطيع سام عمل 15 بيتزا في 2.5 ساعة. على هذا المعدل ، كم يمكن أن يكسب في يوم عمل مدته 8 ساعات؟ ما هو معدل سام في الساعة؟

5. على مدى 5 أيام ، قامت كيمبرلي بقص 300 رأس من الأغنام. كم ستكون قادرة على القص في 26 يومًا؟ كم كان سعرها في اليوم؟

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


11.3 نفس الرسم ، مقاييس مختلفة

ساحة انتظار سيارات مستطيلة بطول 120 قدمًا وعرض 75 قدمًا.

  • رسم لين رسمًا بمقياس لموقف السيارات بمقياس من 1 بوصة إلى 15 قدمًا. يبلغ حجم الرسم الذي أنتجته 8 بوصات في 5 بوصات.
  • رسم دييغو رسمًا آخر لموقف السيارات بمقياس من 1 إلى 180. الرسم الذي أنتجه هو أيضًا 8 بوصات في 5 بوصات.
  1. اشرح أو أظهر كيف سينتج كل مقياس رسمًا 8 × 5 بوصات.
  2. قم بعمل رسم بمقياس آخر لنفس ساحة الانتظار بمقياس من 1 بوصة إلى 20 قدمًا. كن مستعدًا لشرح أسبابك.
  3. عبر عن مقياس من 1 بوصة إلى 20 قدمًا كمقياس بدون وحدات. اشرح أسبابك.

أوجد الوسيط في الرياضيات

المشكلة: عائلة دوران لديها 5 أطفال تتراوح أعمارهم بين 9 و 12 و 7 و 16 و 13. ما هو عمر الطفل الأوسط؟

الحل: ترتيب أعمار الأطفال من الأقل إلى الأكبر ، نحصل على:

الجواب: سن الطفل الأوسط هو الرقم الوسيط في البيانات وهو 12.

في المسألة أعلاه ، وجدنا وسيط مجموعة مكونة من 5 أعداد.

تعريف: ال الوسيط من مجموعة البيانات هو الرقم الوسيط في المجموعة. الوسيط هو أيضًا الرقم الذي يقع في منتصف المجموعة. للعثور على الوسيط ، يجب أولاً ترتيب البيانات بالترتيب من الأصغر إلى الأكبر.

لتذكر تعريف الوسيط ، ما عليك سوى التفكير في وسيط الطريق ، وهو الجزء الأوسط من الطريق. في المسألة أعلاه ، 12 هو الوسيط: وهو الرقم الذي يقع في منتصف المجموعة. هناك طفلان أكبر من 12 عامًا وطفلين أصغر من 12 عامًا. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

مثال 1: سافرت عائلة جيمسون عبر 7 ولايات في إجازتهم الصيفية. تختلف أسعار البنزين من دولة إلى أخرى. ما هو متوسط ​​سعر البنزين؟

$1.79, $1.61, $1.96, $2.09, $1.84, $1,75, $2.11

الحل: ترتيب البيانات من الأقل إلى الأكبر ، نحصل على:

$1.61, $1.75, $1.79, $1.84, $1.96, $2.09, $2.11

الإجابة: متوسط ​​سعر البنزين 1.84 دولار. (كانت هناك 3 ولايات ذات أسعار أعلى للبنزين و 3 دول ذات أسعار أقل).

مثال 2: خلال فترة التصحيح الأولى ، كانت درجات اختبار نيكول للرياضيات هي 90 و 92 و 93 و 88 و 95 و 88 و 97 و 87 و 98. ما هي الدرجة المتوسطة للاختبار؟

الحل: ترتيب البيانات من الأقل إلى الأكبر ، نحصل على:

87, 88, 88, 90, 92, 93, 95, 96, 98

الإجابة: كانت متوسط ​​درجات الاختبار 92. (كانت أربع درجات أعلى من 92 وأربع درجات أقل.)

في كل من الأمثلة المذكورة أعلاه ، يوجد عدد فردي من العناصر في كل مجموعة بيانات. في المثال 1 ، هناك 7 أرقام في مجموعة البيانات في المثال 2 هناك 9 أرقام. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي يوجد فيها عدد زوجي من العناصر في مجموعة البيانات.

مثال 3: أكمل 4 مشاركين سباق ماراثون. ما هو متوسط ​​وقت السباق؟

الحل: ترتيب البيانات من الأقل إلى الأكبر ، نحصل على:

نظرًا لوجود عدد زوجي من العناصر في مجموعة البيانات ، فإننا نحسب الوسيط بأخذ متوسط ​​الرقمين الوسيطين.

الإجابة: كان متوسط ​​وقت السباق 4.3 ساعة.

مثال 4: رواتب 8 موظفين يعملون في شركة صغيرة مذكورة أدناه. ما هو متوسط ​​الراتب؟

$40,000, $29,000, $35,500, $31,000, $43,000, $30,000, $27,000, $32,000

الحل: ترتيب البيانات من الأقل إلى الأكبر ، نحصل على:

$27,000, $29,000, $30,000, $31,000, $32,000, $35,500, $40,000, $43,000

نظرًا لوجود عدد زوجي من العناصر في مجموعة البيانات ، فإننا نحسب الوسيط بأخذ متوسط ​​الرقمين الوسيطين.

الجواب: متوسط ​​الراتب 31500 دولار.

ملخص: ال الوسيط من مجموعة البيانات هو الرقم الوسيط في المجموعة. الوسيط هو أيضًا الرقم الذي يقع في منتصف المجموعة. للعثور على الوسيط ، يجب ترتيب البيانات بالترتيب من الأصغر إلى الأكبر. إذا كان هناك عدد زوجي من العناصر في مجموعة البيانات ، فسيتم العثور على الوسيط بأخذ المتوسط ​​(المتوسط) للعددين الوسيطين.

تمارين

الاتجاهات: ابحث عن وسيط كل مجموعة من البيانات. انقر مرة واحدة في مربع الإجابة واكتب إجابتك ثم انقر فوق "إدخال". بعد النقر فوق ENTER ، ستظهر رسالة في مربع النتائج للإشارة إلى ما إذا كانت إجابتك صحيحة أم غير صحيحة. للبدء من جديد ، انقر فوق مسح.


عمليات ناقلات

دعونا ننظر في المتجه v الذي نقطته الأولية هي الأصل في نظام إحداثيات xy ونقطة نهايته هي. نقول أن المتجه في الموقف القياسي والإشارة إليه على أنه ناقل موقع. لاحظ أن الزوج المرتب يعرّف المتجه بشكل فريد. وبالتالي يمكننا استخدامها للدلالة على المتجه. للتأكيد على أننا نفكر في المتجه ولتجنب الخلط بين التدوين والترميز المرتب بين الزوجين والفاصل الزمني ، فإننا نكتب عمومًا
ت =.

التنسيق أ هو العددية مكون أفقي من المتجه ، والإحداثيات ب هو العددية المكون الرأسي من المتجه. بواسطة العددية، نعني أ عددي الكمية بدلا من أ المتجه كمية. وبالتالي ، يعتبر أن يكون شكل مكون من v. لاحظ أن a و b ليسا متجهين ولا يجب الخلط بينه وبين تعريف مكون المتجه.

فكر الآن مع A = (x1، ذ1) و C = (x2، ذ2). دعونا نرى كيفية إيجاد متجه الموضع المكافئ لـ. كما ترى في الشكل أدناه ، تم نقل النقطة الأولية A إلى الأصل (0 ، 0). تم العثور على إحداثيات P بطرح إحداثيات A من إحداثيات C. وهكذا ، P = (x2 - س1، ذ2 - ذ1) ومتجه الموقع هو.

يمكن إثبات ذلك ولها نفس الحجم والاتجاه وبالتالي فهي متكافئة. وهكذا ، = =.

ال شكل مكون من مع A = (x1، ذ1) و C = (x2، ذ2) يكون
= .

مثال 1 أوجد الصيغة المكونة لـ if C = (- 4، - 3) و F = (1، 5).

لاحظ أن المتجه يكافئ متجه الموقع مع كما هو موضح في الشكل أعلاه.

الآن بعد أن عرفنا كيفية كتابة المتجهات في شكل مكون ، دعنا نعيد صياغة بعض التعريفات.
من السهل تحديد طول المتجه v عندما تكون مكونات المتجه معروفة. بالنسبة لـ v = ، لدينا
| v | 2 = ت 2 1 + الخامس 2 2 باستخدام نظرية فيثاغورس
| v | = & جذر الخامس 2 1 + الخامس 2 2 .

ال الطول، أو الحجم، من المتجه v = مُعطى بواسطة | v | = & جذر الخامس 2 1 + الخامس 2 2 .

نواقل هي ما يعادل إذا كان لديهم نفس الحجم ونفس الاتجاه.

دع u = و v =. ثم
= إذا وفقط إذا ش1 = v1 و أنت2 = v2.

العمليات على النواقل

لضرب المتجه v في رقم حقيقي موجب ، نضرب طوله في الرقم. اتجاهها يبقى كما هو. عندما يتم ضرب المتجه v في 2 على سبيل المثال ، يتضاعف طوله ولا يتغير اتجاهه. عندما يُضرب المتجه في 1.6 ، يزداد طوله بنسبة 60٪ ويظل اتجاهه كما هو. لضرب المتجه v في رقم حقيقي سالب ، نضرب طوله في الرقم ونعكس اتجاهه. عندما يضرب المتجه في 2 ، يتضاعف طوله وينعكس اتجاهه. نظرًا لأن الأرقام الحقيقية تعمل مثل عوامل القياس في الضرب المتجه ، فإننا نسميها عددي وتسمى المنتجات kv مضاعفات العددية من

بالنسبة لعدد حقيقي ك والمتجه v = ، فإن منتج عددي من k و v هو
كيلو فولت = ك. =.
المتجه kv هو أ عددي متعدد من المتجه v.

مثال 2 دع u = و w =. أوجد - 7w و 3u و - 1w.

المحلول
- 7 واط = - 7. = ،
3u = 3. = ،
- 1w = - 1. =.

يمكننا الآن إضافة متجهين باستخدام المكونات. لإضافة متجهين معطى في شكل مكون ، نضيف المكونات المقابلة. دع u = و v =. ثم
u + v =

على سبيل المثال ، إذا كانت v = و w = ، إذن
v + w = ​​=

قبل أن نحدد الطرح المتجه ، نحتاج إلى تعريف - v. عكس v = الموضح أدناه هو
- v = (- 1) .v = (- 1) =

يتضمن طرح المتجه مثل u - v طرح المكونات المقابلة. نظهر هذا بإعادة كتابة u - v كـ u + (- v). إذا كان u = و v = ، إذن
u - v = u + (- v) = + = =

يمكننا توضيح الطرح المتجه باستخدام متوازي الأضلاع ، تمامًا كما فعلنا مع الجمع المتجه.

الطرح المتجه

من المثير للاهتمام مقارنة مجموع متجهين مع اختلاف نفس المتجهين في نفس متوازي الأضلاع. المتجهان u + v و u - v هما قطري متوازي الأضلاع.

مثال 3 قم بإجراء العمليات الحسابية التالية ، حيث u = و v =.
أ) ش + الخامس
ب) ش - 6 فولت
ج) 3u + 4v
د) | 5 فولت - 2 ش |

المحلول
أ) ش + ت = + = =
ب) ش - 6 ف = - 6. = - =
ج) 3 ش + 4 ف = 3. + 4. = + =
د) | 5 فولت - 2 ش | = | 5. - 2. | = | - | = | | = & radic (- 29) 2 + 21 2 = & radic 1282 & asymp 35،8

قبل أن نذكر خصائص الجمع المتجه والضرب القياسي ، نحتاج إلى تعريف متجه خاص آخر - المتجه الصفري. المتجه الذي تكون نقطته الأولية والنهائية هو ناقل صفر، يُرمز إليها بـ O ، أو. حجمها هو 0. بالإضافة إلى المتجه ، فإن المتجه الصفري هو متجه الهوية المضافة:
v + O = v. + =
تشترك العمليات على المتجهات في العديد من الخصائص نفسها مثل العمليات على الأرقام الحقيقية.

خواص إضافة المتجهات والضرب العددي

لجميع المتجهات u و v و w ولكل العددية b و c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v 0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b (cv) = (bc) v.
7. (ب + ج) v = bv + cv.
8. ب (u + v) = bu + bv.

نواقل الوحدة

يسمى متجه المقدار أو الطول 1 أ حتى النصر. المتجه v = متجه وحدة لأن
| v | = | | = & radic (- 3/5) 2 + (4/5) 2 = & radic 9/25 + 16/25 = & radic 25/25 = & radic 1 = 1.

مثال 4 ابحث عن متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه w =.

المحلول نجد أولًا طول w:
| w | = & جذر (- 3) 2 + 5 2 = & جذر 34. وبالتالي نريد متجهًا طوله 1 / وجذر 34 من w واتجاهه هو نفسه المتجه w. هذا المتجه
u = w / & radic 34 = / & radic 34 = 34، 5 / & radic 34>.
المتجه u هو متجه وحدة لأن
| ش | = | w / & radic 34 | = = & جذر 34/34 = & جذر 1 = 1.

إذا كان v متجهًا و v & ne O ، إذن
(1 / | v |) & bull v أو v / | v | ،
هو حتى النصر في اتجاه v.

على الرغم من أن متجهات الوحدة يمكن أن يكون لها أي اتجاه ، إلا أن متجهات الوحدة الموازية لمحوري x و y مفيدة بشكل خاص. يتم تعريفهم على أنهم
أنا = و ي =.

يمكن التعبير عن أي متجه على أنه ملف تركيبة خطية من نواقل الوحدة i و j. على سبيل المثال ، دع v =. ثم
ت = = + = ت1 + v2 = v1أنا + v2ي.

مثال 5 عبر عن المتجه r = كمجموعة خطية من i و j.

المحلول
r = = 2i + (- 6) j = 2i - 6j.

مثال 6 اكتب المتجه q = - i + 7j في صورة مكونة.

المحلولف = - أنا + 7 ي = -1 ط + 7 ي =

يمكن أيضًا إجراء عمليات المتجهات عندما تتم كتابة المتجهات كمجموعات خطية من i و j.

مثال 7 إذا كانت a = 5i - 2j و b = -i + 8j ، فأوجد 3a - b.

المحلول
3 أ - ب = 3 (5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6j + i - 8j = 16i - 14j.

زوايا الاتجاه

النقطة النهائية P لمتجه الوحدة في الوضع القياسي هي نقطة على دائرة الوحدة يُرمز إليها بـ (cos & theta، sin & theta). وبالتالي يمكن التعبير عن متجه الوحدة في شكل مكون ،
ش = ،
أو كمجموعة خطية من متجهي الوحدة i و j ،
u = (cos & theta) i + (sin & theta) j ،
حيث مكونات u هي وظائف زاوية الاتجاه &theta measured counterclockwise from the x - axis to the vector. As &theta varies from 0 to 2&pi, the point P traces the circle x 2 + y 2 = 1. This takes in all possible directions for unit vectors so the equation u = (cos&theta)i + (sin&theta)j describes every possible unit vector in the plane.

المثال 8 Calculate and sketch the unit vector u = (cos&theta)i + (sin&theta)j for &theta = 2&pi/3. Include the unit circle in your sketch.

المحلول
u = (cos(2&pi/3))i + (sin(2&pi/3))j = (- 1/2)i + (&radic 3 /2)j

Let v = with direction angle &theta. Using the definition of the tangent function, we can determine the direction angle from the components of v:

المثال 9 Determine the direction angle &theta of the vector w = - 4i - 3j.

المحلول We know that
w = - 4i - 3j = .
Thus we have
tan&theta = (- 3)/(- 4) = 3/4 and &theta = tan - 1 (3/4).
Since w is in the third quadrant, we know that &theta is a third-quadrant angle. The reference angle is
tan - 1 (3/4) &asymp 37°, and &theta &asymp 180° + 37°, or 217°.

It is convenient for work with applied problems and in subsequent courses, such as calculus, to have a way to express a vector so that both its magnitude and its direction can be determined, or read, easily. Let v be a vector. Then v/|v| is a unit vector in the same direction as v. Thus we have
v/|v| = (cos&theta)i + (sin&theta)j
v = |v|[(cos&theta)i + (sin&theta)j] Multiplying by |v|
v = |v|(cos&theta)i + |v|(sin&theta)j.

المثال 10 Airplane Speed and Direction. An airplane travels on a bearing of 100° at an airspeed of 190 km/h while a wind is blowing 48 km/h from 220°. Find the ground speed of the airplane and the direction of its track, or course, over the ground.

المحلول We first make a drawing. The wind is represented by and the velocity vector of the airplane by . The resultant velocity vector is v, the sum of the two vectors:
v = + .

The bearing (measured from north) of the airspeed vector is 100°. Its direction angle (measured counterclockwise from the positive x - axis) is 350°. The bearing (measured from north) of the wind vector is 220°. Its direction angle (measured counterclockwise from the positive x - axis) is 50°. The magnitudes of and are 190 and 48, respectively.We have
= 190(cos350°)i + 190(sin350°)j, and
= 48(cos50°)i + 48(sin50°)j.
هكذا،
v = +
= [190(cos350°)i + 190(sin350°)j] + [48(cos50°)i + 48(sin50°)j]
= [190(cos350°)i + 48(cos50°)i] + [190(sin350°)j + 48(sin50°)j]
&asymp 217,97i + 3,78j.
From this form, we can determine the ground speed and the course:
Ground speed &asymp &radic (217,97) 2 + (3,78) 2 &asymp 218 km/h.
We let &alpha be the direction angle of v. Then
tan&alpha = 3,78/217,97
&alpha = tan - 1 3,78/217,97 &asymp 1°.
Thus the course of the airplane (the direction from north) is 90° - 1°, or 89°.

Angle Between Vectors

When a vector is multiplied by a scalar, the result is a vector. When two vectors are added, the result is also a vector. Thus we might expect the product of two vectors to be a vector as well, but it is not. ال المنتج نقطة of two vectors is a real number, or scalar. This product is useful in finding the angle between two vectors and in determining whether two vectors are perpendicular.

ال المنتج نقطة of two vectors u = and v = is
u &bull v = u1.v1 + u2.v2
(Note that u1الخامس1 + u2الخامس2 is a scalar, not a vector.)

المثال 11 Find the indicated dot product when
u = , v = and w = .
a)u &bull w
b)w &bull v

المحلول
a) u &bull w = 2(- 3) + (- 5)1 = - 6 - 5 = - 11
b) w &bull v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

The dot product can be used to find the angle between two vectors. The angle between two vectors is the smallest positive angle formed by the two directed line segments. Thus the angle &theta between u and v is the same angle as between v and u,and 0 &le &theta &le &pi.

If &theta is the angle between two nonzero vectors u and v, then
cos&theta = (u &bull v)/|u||v|.

Example 12 Find the angle between u = and v = .

المحلول We begin by finding u &bull v, |u|, and |v|:
u &bull v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = &radic 3 2 + 7 2 = &radic 58 , and
|v| = &radic (- 4) 2 + 2 2 = &radic 20 .
ثم
cos&alpha = (u &bull v)/|u||v| = 2/&radic 58 .&radic 20
&alpha = cos - 1 (2/&radic 58 .&radic 20 )
&alpha &asymp 86,6°.

Forces in Equilibrium

When several forces act through the same point on an object, their vector sum must be O in order for a balance to occur. When a balance occurs, then the object is either stationary or moving in a straight line without acceleration. The fact that the vector sum must be O for a balance, and vice versa, allows us to solve many applied problems involving forces.

Example 13 Suspended Block. A 350-lb block is suspended by two cables, as shown at left. At point A, there are three forces acting: W, the block pulling down, and R and S, the two cables pulling upward and outward. Find the tension in each cable.

المحلول We draw a force diagram with the initial points of each vector at the origin. For there to be a balance, the vector sum must be the vector O:

R + S + W = O.
We can express each vector in terms of its magnitude and its direction angle:
R = |R|[(cos125°)i + (sin125°)j],
S = |S|[(cos37°)i + (sin37°)j], and
W = |W|[(cos270°)i + (sin270°)j]
= 350(cos270°)i + 350(sin270°)j
= -350j cos270° = 0 sin270° = - 1.
Substituting for R, S, and W in R + S + W + O, we have
[|R|(cos125°) + |S|(cos37°)]i + [|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350]j = 0i + 0j.
This gives us a system of equations:
|R|(cos125°) + |S|(cos37°) = 0,
|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350 = 0.
Solving this system, we get
|R| &asymp 280 and |S| &asymp 201.
The tensions in the cables are 280 lb and 201 lb.


Correlation: Definition and Importance of Proper Data Interpretation

- Guide Authored by Corin B. Arenas, published on September 25, 2019

Ever thought of how our needs impact prices? How about your stress levels in relation to your financial habits? All these are situations that require correlation analysis.

Read on to learn more about correlation, why it&rsquos important, and how it can help you understand random connections better.

What is Correlation?

The study of how variables are related is called correlation analysis.

Correlation measures the strength of how two things are related. Britannica defines it as the degree of association between 2 random variables.

In statistics, correlational analysis is a method used to evaluate the strength of a relationship between two numerically measured, continuous variables. Unlike controlled experiments, the defining aspect of correlational studies is that neither of the variables are manipulated.

In finance, the correlation can measure the movement of a stock with that of a benchmark index.

Correlation is commonly used to test associations between quantitative variables or categorical variables . The correlation between graphs of 2 data sets signify the degree to which they are similar to each other.

  1. Quantitative variables – Refers to numeric data in statistics. Examples include percentage, decimals, map coordinates, rates, prices, etc.
  2. Categorical variables – Refers to qualitative data which are descriptions of groups or things. These are not numerical. Examples include voting preference, race, cities, hair color, favorite movie, etc.

Measuring the Strength Between 2 Variables

A correlation coefficient formula is used to determine the relationship strength between 2 continuous variables.

The formula was developed by British statistician Karl Pearson in the 1890s, which is why the value is called the Pearson correlation coefficient (r) . The equation was derived from an idea proposed by statistician and sociologist Sir Francis Galton. See the formula below:

Pearson&rsquos correlation coefficient is also known as the &lsquoproduct moment correlation coefficient&rsquo (PMCC). It has a value between -1 and 1 where:

  • A zero result signifies no relationship at all
  • 1 signifies a strong positive relationship
  • -1 signifies a strong negative relationship

What these results indicate:

  • Zero result – It means the two variables do not have any linear relation at all. Some connection may exist between the two, but not in a linear manner.
  • Positive correlation – A variable rises simultaneously with the other and moves in the same direction. High numerical figures on one set relates to high numerical figures of the other set.
  • Negative correlation – A variable decreases as the other variable increases. They move in opposite directions. High numerical figures on one set relates to the low numerical figures of the other set.

When plotted in a graph, here&rsquos how variable relationships translate visually:

Positive and Negative Numerical Relationships

When we study market trends, positive correlation is commonly found between product demand and price .

Prices increase when firms cannot produce enough supplies for the consumer&rsquos needs. This is the fundamental concept behind the law of supply and demand. Consumer spending and gross domestic product (GDP) are two variables that maintain a positive correlation with each other.

When it comes to investments, there is a positive correlation between the amount of risk and potential for return. However, there is no guarantee that taking a higher risk will often yield greater return.

To counteract this, investments with varying levels of risk are placed together in a portfolio to diversify it. This helps maximize returns while lessening the potential for large drawdowns as volatility spikes within a particular asset class.

Here are other examples of positive correlation:

  • Weight and height
  • Caloric intake and weight
  • Computer use and grade point average (GPA)
  • Child&rsquos eye color and relatives&rsquo eye color
  • Time of investment and compounding interests

In finance, a negative correlation or an inverse relationship occurs between investment returns of 2 different assets. A good example is negative correlation between equities and bonds . It indicates that bonds perform well when equities sell off.

However, note that the correlation between these variables is not static. Since it&rsquos continuous, it means the correlation may shift over time, from negative to positive, and vice versa. But for majority of the time, U.S. equities and bonds have had a negative correlation since the late 1990s.

Other examples of negative correlation include:

  • Amount of money earned and time spent with family
  • Number of cigarettes per day and lifespan
  • Cold temperatures and electricity cost (in a tropical area)
  • Amount of snow fall and number of cars on the road
  • Positive behavior in healthcare professionals and patient mortality rates
  • Positive financial habits and level of stress

Correlation vs. Causation

Correlational research models do not always indicate causal relationships.

Knowing that two variables are associated does not automatically mean one causes the other. A correlational link between two variables may simply report that their trend moves in a synchronized manner.

For a causal relationship to occur, a variable must directly cause the other.

For instance, we might establish there is a correlation between the number of roads built in the U.S. and the number of children born in the U.S. While we might see more roads being constructed and more children are being born, it does not mean the relationship is a causal one.

It leads us to consider a third hidden variable which directly affects the behavior of the two variables. If a researcher is unaware of this confounding variable, they may interpret the data incorrectly.

For this example, people might think the construction of roads causes the birth of more children. It&rsquos a ridiculous assumption, one that&rsquos often made fun of at the Spurious Correlations site.

If we think about it, the third variable causing more road constructions and child births can be attributed to the general improvement of the U.S. economy.

Flawed Research Models and Correlational Interpretations

A 2015 article in the American Scientist pointed out how misinterpretation of correlations can render research papers inaccurate and useless. It can also be dangerously misleading to medical practitioners and the public.

The story referred to a 2012 study published in the New England Journal of Medicine, claiming that chocolate consumption could boost cognitive function. Again, the correlation did not account for the nature of the quantitative link. It only presented strong similarities between the variables.

If peer reviewed journals overlook flaws in research methods and interpretation, what more with general biomedical news? The incident alarmed medical and scientific communities, calling for proper research parameters to prevent the spread of misleading information.

However, even when experts criticized the study, many news outlets still reported its findings. The paper was never retracted and has been cited several times.

It calls to mind how George E.P. Box described statistical models as oversimplifications of reality:

&ldquoEssentially, all [statistical] models are wrong, but some are useful.&rdquo

-George E. P. Box, &lsquoEmpirical Model Building and Response Surfaces&rsquo

The Takeaway

Knowing the right way to use correlations can help pinpoint what connects two variables. This in turn helps predict future trends based on the patterns they create.

However, careless use of correlation can be misleading to the public. Which is why it&rsquos important to set proper research models before using correlations to justify a study.

Correlation analysis is crucial for all sorts of fields, such as government and health care sectors. Companies also use correlations to analyze budgets and create effective business plans.


شاهد الفيديو: رياضيات تانية ابتدائي. الأشكال ثلاثية الأبعاد. تيرم 1- فصل 5 - جزء 5. الاسكوله (شهر اكتوبر 2021).