مقالات

2.6: معكوس المصفوفة - الرياضيات


2.6: معكوس المصفوفة - الرياضيات

أوجد معكوس المصفوفة في $ GL (2 ،، ، Bbb Z_ ) $.

ما هي الخطوات والأسباب اللازمة لحساب المصفوفة التالية في GL (2، $ Bbb Z_ <11> $):

لقد وجدت أن الإجابة هي $ start 9 & amp9 10 & amp8 النهاية$ ، لكنني خسرت نقطتين (من أصل 10) على السؤال - وهذا هو سبب ارتباكي.

لقد وجدت أن المحدد هو -8 ، وهو 3 في $ ℤ_ <11> $ وبالتالي ، في حساب المعكوس ، $ left ( frac13 right) $ = 4 في $ ℤ_ <11> $. بينما كنت أحسب المعكوس ، حصلت على هذه المصفوفة الوسيطة $ M ^ <-1> = start 20 أمبير <-24> <-12> & amp8 النهاية$ الذي قمت بتحويله بعد ذلك إلى mod 11 للحصول على إجابتي النهائية. قام أستاذي بوضع دائرة حول -12 و -24 في المصفوفة وسأل "ما هو معكوس" 24 "؟" كان هذا هو المكان الذي فقدت فيه النقاط ، ولست متأكدًا تمامًا من السبب. لقد تحدثت إلى أستاذي حول هذا الأمر ، وذهبت بعيدًا معتقدًا أنني فهمت ولكن بعد التفكير ، ما زلت غير متأكد. كان منطقه على طول خطوط -12 و -24 هي انعكاسات مضافة. ولكن بعد ذلك أضيع. لا أفهم لماذا طريقة الحساب الخاصة بي "غير صحيحة". إذا كان هناك أي شيء غير واضح ، أو إذا كان هناك أي خطأ في التنسيق (هذه أول مشاركة لي على هذا الموقع) ، فيرجى إبلاغي بذلك وسأبذل قصارى جهدي لتوضيح / إصلاح أي شيء! شكرا.

(أيضًا ، إذا كان ذلك مفيدًا ، فيمكنني نشر حسابي بالكامل مع كل خطوة بالتفصيل)


2 إجابات 2

سؤال: & quot لماذا يتضمن معكوس المصفوفة القسمة على المحدد؟ & quot

إجابه: نستخدم المصفوفة المرافقة والمحدد لإثبات وجود معكوس المصفوفة على النحو التالي:

& quotadjugate matrix & quot $ ad (A) $ لها خاصية $ ad (A) A = Aad (A) = det (A) I $ حيث $ det (-): Mat (n، k) rightarrow k $ هو a الخريطة مع $ det (AB) = det (A) det (B) $. هنا $ Mat (n، k) $ هي مجموعة المصفوفات $ n times n $ مع المعاملات في $ k $. $ det (A) $ هو & quotdeterminant & quot للمصفوفة $ A $ كما هو محدد في مقرر الجبر الخطي.

ليما: المصفوفة المربعة $ A $ لها معكوس iff $ det (A) neq 0 $.

دليل - إثبات: إذا كان $ det (A) neq 0 $ يتبع $ A ^ <-1>: = frac <1>ad (A) $ معكوس. على العكس من ذلك ، افترض أن هناك مصفوفة $ B $ مع $ AB = BA = I $. يليه $ det (AB) = det (A) det (B) = 1 $ ومن ثم $ det (A) neq 0 $.

ومن هنا تشير المصفوفة المرافقة وخريطة المحددات إلى وجود معكوس $ A $: المصفوفة $ A $ لها معكوس فريد $ A ^ <-1> $ iff $ det (A) neq 0 $.

مثال: دعونا نبدأ أ = تبدأ أ & أمبير ب ج & أمبير د نهاية نهاية

وحدد المصفوفة المساعدة $ ad (A) $ by

يوجد بشكل عام لأي $ n مرات n $ -matrix $ A $ مصفوفة فريدة $ ad (A) $ مع $ ad (A) A = Aad (A) = det (A) I $. تم إثبات هذه النتيجة في أي مقرر جبر خطي جاد. ومن هنا فإن ما سبق يثبت Lemma بشكل صريح لأي مصفوفة بقيمة $ 2 times 2 $.


مثال من الحياة الواقعية: الحافلة والقطار

قامت مجموعة برحلة في أ أوتوبيس، بسعر 3 دولارات لكل طفل و 3.20 دولارات لكل شخص بالغ ليصبح المجموع 118.40 دولارًا أمريكيًا.

أخذوا قطار العودة إلى 3.50 دولارًا أمريكيًا لكل طفل و 3.60 دولارًا أمريكيًا لكل شخص بالغ ليصبح المجموع 135.20 دولارًا أمريكيًا.

كم عدد الأطفال وكم عدد البالغين؟

أولاً ، لنقم بإعداد المصفوفات (كن حذرًا لتصحيح الصفوف والأعمدة!):

هذا تمامًا مثل المثال أعلاه:

لحلها نحتاج إلى معكوس & quotA & quot:

الآن لدينا المعكوس الذي يمكننا حله باستخدام:

كان هناك 16 طفلاً و 22 بالغًا!

يبدو الجواب مثل السحر. لكنها تقوم على رياضيات جيدة.

تساعد الحسابات من هذا القبيل (ولكن باستخدام مصفوفات أكبر بكثير) المهندسين في تصميم المباني ، وتستخدم في ألعاب الفيديو والرسوم المتحركة للكمبيوتر لجعل الأشياء تبدو ثلاثية الأبعاد ، والعديد من الأماكن الأخرى.

يتم إجراء الحسابات عن طريق الكمبيوتر ، ولكن يجب أن يفهم الناس الصيغ.


كما هو مذكور في تعليق saulspatz ، يمكن اعتبار عملية السطر ضربًا يسارًا بواسطة مصفوفة أخرى. اعتبر $ A = left ( begin 1 & amp 2 4 & amp 5 النهاية حق). $

طرح الصف الأول من الثانية 4 مرات هو نفسه الضرب في $ R_1 $: $ R_1A = left ( begin 1 & amp 0 -4 & amp 1 end يمين) يسار ( ابدأ 1 & amp 2 4 & amp 5 النهاية يمين) = يسار ( ابدأ 1 & amp 2 0 & amp -3 end حق) $

ضرب الصف الثاني في $ -1 / 3 $ هو نفسه الضرب في $ R_2 $: $ R_2R_1A = left ( begin 1 & amp 0 0 & amp - frac <1> <3> end يمين) يسار ( ابدأ 1 & amp 2 0 & amp -3 end يمين) = يسار ( ابدأ 1 & amp 2 0 & amp 1 end حق) $

طرح الصف الثاني من الصف الأول مرتين هو نفسه الضرب في $ R_3 $: $ R_3R_2R_1A = begin 1 & amp -2 0 & amp 1 end يبدأ 1 & amp 2 0 & amp 1 end = ابدأ 1 & amp 0 0 & amp 1 end = أنا دولار

الآن نرى أن $ (R_3R_2R_1) A = I $ ، لذلك من خلال تعريف المصفوفة المعكوسة $ R_3R_2R_1 = A ^ <-1> $. ومع ذلك ، عندما نطبق نفس العملية على المصفوفة $ B $ ، نكتشف ما يلي: $ R_3R_2R_1B = (R_3R_2R_1) B = A ^ <-1> B $


كيفية إيجاد معكوس مصفوفة 3 & # 2153

الصيغة لحساب معكوس مصفوفة 3 & # 2153 على النحو التالي:

بعد ذلك سنرى كيفية حساب معكوس مصفوفة 3 & # 2153 عن طريق حل تمرين خطوة بخطوة:

مثال

أوجد معكوس المصفوفة 3 & # 2153 التالية:

لتحديد معكوس المصفوفة ، علينا تطبيق الصيغة التالية:

لذلك ، علينا حساب محدد المصفوفة والتحقق من اختلافها عن 0. لذلك نقوم بتقييم محدد المصفوفة 3 & # 2153 باستخدام توسع العامل المساعد:

محدد المصفوفة ليس 0 ، لذا فإن المصفوفة قابلة للعكس.

لذلك ، باستبدال قيمة المحدد في الصيغة ، سيكون معكوس المصفوفة:

الآن علينا حساب النقطة المجاورة للمصفوفة A. للقيام بذلك ، علينا استبدال كل عنصر من عناصر المصفوفة A بعاملها المساعد للحصول على مصفوفة العامل المساعد ، ثم نبدل مصفوفة العامل المساعد.

تذكر أن صيغة حساب العامل المساعد i، j للمصفوفة هي كما يلي:

أين ماي جاي هي i ، j الثانوية للمصفوفة ، أي المحدد الناتج عن حذف الصف الأول والعمود j من المصفوفة.

لذا فإن العوامل المساعدة لعناصر المصفوفة أ هي:

بمجرد أن نحسب جميع العوامل المساعدة ، علينا ببساطة استبدال كل إدخال من A بعامله المساعد:

ونقوم بتحويل مصفوفة العامل المساعد لإيجاد المصفوفة المرافقة:

وبالتالي ، فإننا نستبدل المصفوفة المرافقة في صيغة معكوس المصفوفة:

وأخيرًا ، نضرب كل حد في المصفوفة في الكسر:

بمجرد أن نرى كيفية حساب معكوس المصفوفة 3 & # 2153 ، يمكنك التدرب على التدريبات التالية التي تم حلها خطوة بخطوة لفهم المفهوم تمامًا.

ممارسة

المشكلة 4

اقلب مصفوفة الأبعاد 3 & # 2153 التالية بطريقة المصفوفة المساعدة:

صيغة المصفوفة العكسية هي:

نحل أولاً محدد المصفوفة باستخدام توسع العامل المساعد:

المحدد غير صفري ، لذلك يمكن عكس المصفوفة.

بمجرد حل المحدد ، نجد العامل المساعد لكل عنصر من عناصر المصفوفة A:

نحسب الآن مصفوفة العامل المساعد عن طريق استبدال كل عنصر بعامله المساعد:

ونقوم بنقل مصفوفة العامل المساعد للحصول على المصفوفة المجاورة للمصفوفة A:

إذن المصفوفة المقلوبة هي:

المشكلة 5

أوجد معكوس المصفوفة التالية من الرتبة 3 بواسطة خوارزمية المصفوفة المساعدة:

صيغة إيجاد معكوس مصفوفة من الرتبة 3 هي كما يلي:

لذلك ، علينا أولاً حساب محدد المصفوفة للتحقق من قابلية انعكاس المصفوفة:

محدد المصفوفة A يساوي صفرًا المصفوفة غير قابلة للعكسبعبارة أخرى ، معكوس المصفوفة أ غير موجود.

المشكلة 6

نفذ انعكاس المصفوفة لمصفوفة البعد 3 & # 2153 التالية بطريقة المصفوفة المرافقة:

لعكس المصفوفة 3 & # 2153 ، يتعين علينا تطبيق الصيغة التالية:

أولاً نقوم بتقييم محدد المصفوفة 3 & # 2153:

المحدد غير صفري ، لذلك يمكن عكس المصفوفة.

بمجرد حل المحدد ، نجد العوامل المساعدة لجميع عناصر المصفوفة A:

نحسب الآن مصفوفة العامل المساعد عن طريق استبدال كل عنصر من عناصر المصفوفة A بعاملها المساعد:

نتبادل مصفوفة العامل المساعد لإيجاد المصفوفة المرافقة:

ونطبق صيغة معكوس المصفوفة 3 & # 2153:


تعدد الأشكال من المواد

في هذا القسم ، يتم إدخال عناصر الهوية المضاعفة والمعاكسات المضاعفة واستخدامها لحل معادلات المصفوفة. هذا يؤدي إلى طريقة أخرى لحل أنظمة المعادلات.

مواد الهوية خاصية الهوية للأرقام الحقيقية تقول أن أ * أنا = أ و أنا * أ = أ لأي رقم حقيقي أ. إذا كان لابد من وجود مصفوفة هوية مضاعفة I ، مثل:

لأي مصفوفة A ، يجب أن تكون أنا و A مصفوفات مربعة من نفس الحجم. وإلا فلن يكون من الممكن العثور على كلا المنتجين. على سبيل المثال ، لنفترض أن A هي المصفوفة 2 X 2 ودعنا

تمثل مصفوفة الوحدة 2 × 2. للعثور علي ، استخدم حقيقة أن IA = A ، أو

ضرب المصفوفتين على الجانب الأيسر من هذه المعادلة وتعيين عناصر مصفوفة حاصل الضرب مساوية للعناصر المقابلة من A يعطي نظام المعادلات التالي مع المتغيرات x11 و x12 و x21 و x22

لاحظ أن هذا في الحقيقة نظامان من المعادلات في متغيرين. استخدم إحدى طرق الفصل السابق لإيجاد حل هذا النظام: x11 = 1 ، x12 = x21 = 0 ، و X22 = 1. من حل النظام ، تكون مصفوفة الوحدة 2 X 2 هي

تحقق من ذلك باستخدام هذا التعريف لـ I ، كل من Al = A و IA = A.

مثال 1 التحقق من ملكية الهوية

يترك

تحقق من أن MI = M و IM = M.

تقترح مصفوفة الهوية 2 × 2 الموجودة أعلاه التعميم التالي:

لأي قيمة لـ n ، توجد مصفوفة متطابقة n X n بها l أسفل القطر و 0 في مكان آخر. ال ن × ن يتم إعطاء مصفوفة الهوية بواسطة ل أين:

هنا aij = 1 عندما i = j (العناصر القطرية) و aaj = 0 بخلاف ذلك.


مثال 2 - بيان والتحقق من مصفوفة الهوية 3 × 3

دع K =

بالنظر إلى مصفوفة الهوية 3 × 3 أنا وأظهر أن KI = K.

مصفوفة وحدة 3 × 3 هي

من خلال تعريف ضرب المصفوفة ،


الانعكاسات المتعددة لكل رقم حقيقي غير صفري a ، هناك معكوس ضربي l / a مثل ذلك

تذكر أنه يمكن أيضًا كتابة l / a على ^ (- 1). في الجزء المتبقي من هذا القسم ، تم تطوير طريقة لإيجاد معكوس ضربي للمصفوفات المربعة. المعكوس الضربي للمصفوفة A مكتوب على A ^ (- 1). يجب أن تلبي هذه المصفوفة البيانات


يمكن إيجاد المعكوس الضرب للمصفوفة باستخدام تحويلات صف المصفوفة الواردة في البرنامج التعليمي السابق وتكرارها هنا للراحة.

مصفوفة تحويلات صفوف

تحويلات صف المصفوفة هي:

تبادل أي صفين من المصفوفة

ضرب عناصر أي صف من المصفوفة في نفس العددية غير الصفرية k و

دع المصفوفة العكسية المجهولة تكون

من خلال تعريف معكوس المصفوفة ، AA ^ (- 1) = 1 ، أو


تعيين العناصر المقابلة على قدم المساواة يعطي نظام المعادلات


نظرًا لأن المعادلتين (1) و (3) تتضمن فقط x و z ، بينما المعادلتان (2) و (4) تتضمن فقط y و w ، فإن هذه المعادلات الأربع تؤدي إلى نظامين من المعادلات ،

تعطي كتابة النظامين كمصفوفات معززة

يمكن حل كل من هذه الأنظمة بطريقة Gauss-Jordan. ومع ذلك ، نظرًا لأن العناصر الموجودة على يسار الشريط العمودي متطابقة ، يمكن دمج النظامين في المصفوفة المدمجة الواحدة ،

وحلها في وقت واحد على النحو التالي. قم بتبادل الصفين للحصول على 1 في الجزء الأيسر العلوي.

اضرب الصف الأول في -2 وأضف النتائج إلى الصف الثاني لتحصل عليها


الآن ، للحصول على I في الصف الثاني ، موضع العمود الثاني ، اضرب الصف الثاني في 1/6.

أخيرًا ، أضف الصف الثاني إلى الصف الأول للحصول على 0 في العمود الثاني أعلى 1.


تعطي الأرقام الموجودة في العمود الأول على يمين الشريط الرأسي قيم x و z. يعطي العمود الثاني قيمتي y و w. هذا هو،

للتحقق ، اضرب A في A ^ (- 1). يجب أن تكون النتيجة أنا


تحقق من أن أ - 1 أ = أنا أيضًا. أخيرا،

عملية إيجاد المعكوس الضربي A ^ (- 1) ن × ن نلخص أدناه المصفوفة أ التي لها معكوس.

البحث عن مصفوفة عكسية
للحصول على A ^ (- 1) ن × ن المصفوفة A التي يوجد لها A ^ (- 1) ، اتبع هذه الخطوات.

1. شكل المصفوفة المعززة [A / I] ، حيث أنا ن × ن مصفوفة الهوية.
2. قم بإجراء تحويلات الصفوف على [A | I] للحصول على مصفوفة من النموذج [I | B].
3. المصفوفة B هي A ^ (- 1).
4. تحقق من خلال إظهار أن BA = AB = I.

تنبيه فقط المصفوفات المربعة لها مقلوب ، لكن ليس كل مصفوفة مربعة لها معكوس. إذا وجد معكوس ، فهو فريد. أي أن أي مصفوفة مربعة لا تحتوي على أكثر من معكوس واحد. لاحظ أن الرمز A ^ (- 1) لا يعني 1 / A الرمز A ^ (- 1) هو مجرد تدوين لعكس المصفوفة A.


خوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة:

لنفترض أن المصفوفة المربعة أ تم الحصول على معكوسها.

  1. البحث عن | A |. إذا كان | A | = 0 ، اكتب & # 8220Inverse غير موجود & # 8221. إذا كان | A | 0 اكتب & # 8220 المعنى موجود & # 8221 وانتقل إلى الخطوة 2.
  2. ابحث عن العامل المساعد لجميع عناصر A.
  3. اكتب مصفوفة العامل المساعد لـ A.
  4. اكتب
  5. تحقق مما إذا كان العكس صحيحًا من خلال = I (مصفوفة الهوية).

لنفترض أن مصفوفة 2 * 2 A لا يساوي محددها 0. حيث يكون a ، b ، c ، d عددًا ، يكون معكوسًا


2.6: معكوس المصفوفة - الرياضيات

оличество зарегистрированных учащихся: 49 тыс.

تدور هذه الدورة حول المصفوفات ، وتغطي بإيجاز الجبر الخطي الذي يجب أن يعرفه المهندس. يتم تقديم الرياضيات في هذا المقرر الدراسي على مستوى طالب مدرسة ثانوية متقدم ، ولكن عادةً ما يجب على الطلاب أخذ هذه الدورة التدريبية بعد إكمال دورة حساب التفاضل والتكامل الفردية على مستوى الجامعة. لا توجد مشتقات أو تكاملات في هذا المقرر الدراسي ، ولكن من المتوقع أن يكون الطلاب قد وصلوا إلى مستوى كافٍ من النضج الرياضي. ومع ذلك ، فإن أي شخص يريد تعلم أساسيات جبر المصفوفة مرحب به للانضمام. تحتوي الدورة على 38 مقطع فيديو محاضرة قصيرة ، مع بعض المشاكل التي يجب حلها بعد كل محاضرة. وبعد كل موضوع جوهري ، يوجد اختبار تمرين قصير. يمكن العثور على حلول للمشكلات واختبارات الممارسة في ملاحظات المحاضرات التي يقدمها المعلم. هناك ما مجموعه أربعة أسابيع في الدورة التدريبية ، وفي نهاية كل أسبوع هناك اختبار تقييمي. قم بتنزيل ملاحظات المحاضرة: http://www.math.ust.hk/

machas / matrix-algebra-for-engineering.pdf شاهد الفيديو الترويجي: https://youtu.be/IZcyZHomFQc

Получаемые навыки

الجبر الخطي ، الرياضيات الهندسية

Рецензии

كان المعلم ودودًا حقًا. كان الجبر الخطي تهديدًا لي ، لكنه أساسي للهندسة. بعد هذه الدورة أنا واثق جدًا من الجبر الخطي. شكرا جزيلا.

لقد تعلمت المعرفة الأولية للمساحات المتجهة ومشكلة قيمة eigen التي ستساعدني على دراسة معلوماتي الكمومية جيدًا ، شكرًا سيدي على هذه الدورة الرائعة.

المصفوفات عبارة عن مصفوفات مستطيلة من الأرقام أو الأشياء الرياضية الأخرى. نحدد المصفوفات وكيفية جمعها وضربها ، ومناقشة بعض المصفوفات الخاصة مثل الهوية والمصفوفة الصفرية ، والتعرف على عمليات النقل والعكس ، وتحديد المصفوفات المتعامدة والتبديل.

Реподаватели

جيفري ر.شاسنوف

Екст видео

[موسيقى] سنتعرف على ماهية المصفوفة المعكوسة الآن. المصفوفات المعكوسة مهمة جدًا في جبر المصفوفة. ومن المهم معرفة أنه ليست كل المصفوفات قابلة للعكس. إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس ، فإننا نقول إن لها مصفوفة معكوسة ، لكن العديد من المصفوفات غير قابلة للعكس. لذلك سوف نتطرق إلى هذا الموضوع في هذا الفيديو وبعد ذلك ، سوف نتعمق أكثر في وقت لاحق. إذن ما هي معكوس المصفوفة؟ لذا إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس ، فيمكننا كتابة أن A مضروبًا في معكوسها ، والذي نشير إليه على أنه A أس -1 ، يساوي مصفوفة الوحدة ، حسنًا. لذلك & # x27s مثل مقلوب الضرب للأرقام. ولا يهم الترتيب الذي تكتبه بهذا ، لذلك هذا هو نفسه المعكوس A ، حسنًا؟ يجب أن تكون A مصفوفة مربعة. يجب أن تكون قيمة A هي n على n ، وهي مصفوفة مربعة. وكما قلت ، ليست كل المصفوفات قابلة للعكس. لذلك هناك بعض العلاقات المعينة. إذا كان لديك حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين قابلتين للانعكاس ، وتريد إيجاد معكوس ذلك ، فإن هذا يعمل بطريقة مشابهة للطريقة التي يعمل بها المدور. هذا هو مقلوب ب في معكوس أ. إنه دليل بسيط نسبيًا ، وسوف أتركه لكم يا رفاق للتمرين. الآخر هو ماذا لو كنت تبحث عن معكوس مدور المصفوفة ، حسنًا؟ هذا هو معكوس المصفوفة منقول. لذا فإن حقيقة أو نظرية أخرى & # x27ll سأتركها لك لتقوم بها في التمارين ، حسنًا. ما أريد فعله في هذا الفيديو هو حساب معكوس مصفوفة اثنين في اثنين. لذا يمكننا إعداد بعض المعادلات بشكل صحيح ، لذا دع & # x27s ننظر إلى المصفوفة اثنين في اثنين. إذن ، سيكون لدينا عام اثنان في اثنين ، أ ، ب ، ج ، د ، وأريد ضرب هذه المصفوفة في معكوسها للحصول على مصفوفة الوحدة. إذن ، المعكوس هو المصفوفة التي لا نعرفها ، بحيث تكون & # x27s مصفوفة غير معروفة. لذا اسمحوا لي أن أكتب ذلك كعمود أول ، & # x27ll أكتب كـ x1 y1 ، والعمود الثاني ، أنا & # x27ll اكتب x2 y2 وهذا & # x27s من المفترض أن تكون مصفوفة الهوية لذا دعني أكتب ذلك. من المفترض أن & # x27s تساوي 1 0 0 1. حسنًا ، الهدف هنا هو تحديد ما هو معكوس هذه المصفوفة في اثنين ، أليس كذلك؟ يجب أن أوضح هذا ، هذه هي المصفوفة أ. هذه هي المصفوفة معكوس المصفوفة A ، وهذه المصفوفة الوحدة. حسنًا ، نريد إيجاد معكوس A. حسنًا ، كيف نفعل ذلك؟ حسنًا ، علينا كتابة المعادلات. حسنًا ، إذا كتبنا المعادلات التي يمثلها منتج المصفوفة هذا ، فربما يمكننا حل المجهول. لذا دعونا & # x27s نرى ، ما هذا؟ لذلك نستخدم ضرب المصفوفة. إذن لدينا ax1 + by1. Ax1 + by1 يساوي 1 ، أليس كذلك؟ ثم لدينا ax2 + by2. وماذا يساوي ذلك؟ هذا & # x27s يساوي 0 ، أليس كذلك؟ ثم في الصف الثاني ، لدينا cx1 + dy1. وهذا واحد يساوي 0. وأخيرًا ، لدينا cx2 + dy2. وهذا العنصر الأخير هنا وهو 1 ، حسنًا. لدينا أربعة مجاهيل ، x1 ، و y1 ، و x2 ، و y2. ولدينا أربع معادلات. لذلك تعتقد أنه يمكننا إيجاد المجهول. حسنًا ، فكيف سنفعل ذلك؟ أعتقد أن أسهل طريقة هي استخدام هذه المعادلات مع 0 على الجانب الأيمن. تسمى تلك المعادلات المتجانسة. ويمكننا حل هذه المعادلات من أجل y & # x27s. لذا يمكننا إيجاد y1 ، يمكننا إيجاد y2 ، لذا دعونا نفعل ذلك & # x27s. يمكنني وضع ذلك هنا ، الآن بالنسبة لـ y1 أولاً. لذا dy1 = -cx1. ثم نوجد قيمة y1. إذن نحصل على y1 ، يمينًا ، ناقص cx1 مقسومًا على d ، أي ناقص c على d x1 ، صحيح. ويمكننا حل المعادلة الثانية لإيجاد y2. إذن يمكننا طرح -ax2 وقسمة b. إذن -a على b ، إذن هذا y2 = -a على b x2 ، حسنًا؟ إذن يمكننا حذف y1 و y2 لصالح x1 و x2. والآن ، ننتقل إلى المعادلة الأولى ، فلنقل & # x27s أننا نحذف y1. لذلك نحصل على ax1 ، + by1 ، لذا by1. لذا بدلاً من موجب ، يمكننا استخدام ناقص هنا ، -bc على d. X1 = 1 ، صحيح؟ يمكننا الضرب في d والقسمة على d ، أليس كذلك؟ ثم حل هذه المعادلة من أجل x1. إذن ، يمكنك تحليل x1 ، ومن ثم يكون لديك ضرب a d ناقص b c ، مقسومًا على d ، وبعد ذلك يمكنك إخراج ذلك إلى الجانب الآخر. لذا إذا سمحت لي بتخطي بعض خطوات الجبر ونأمل ألا ترتكب خطأً. يمكن أن يكون لدينا x1 = ، لذلك لدينا ad- bc على d ، ونقلب ذلك بحيث & # x27s d على ad- bc. حسنًا ، إذن لدينا & # x27ve حصلنا على x1. إذا كان لدينا & # x27ve x1 ، إذن لدينا y1 أيضًا ، أليس كذلك؟ إذن ، y1 بدلالة x1 ، لذا & # x27s ناقص c على d x1. يُلغى d ، لذا يصبح ناقص c ، فوق ad- bc. حسنًا ، نحن جيدون & # x27. الآن علينا إيجاد x2 و y2. إذن لدينا y2 هنا بدلالة x2. الآن ، نحتاج إلى استخدام المعادلة الرابعة ، أليس كذلك؟ نستخدم المعادلة الأولى فقط ، لذا نحتاج الآن إلى المعادلة الرابعة. لذا نعوض بـ y2 ، دعوني أكتبها هنا. إذن لدينا cx2 + dy2 ، وبذلك يصبح --ad على b x2 = 1. مرة أخرى ، نفعل نفس الشيء ، لذا لدينا a b هنا في المقام. إذن لدينا bc ثم b. ثم يمكننا حل هذا من أجل x2 ، لذا نحصل على x2 ، دعني أفعل ذلك هنا أولاً. لذلك حصلنا على x2 = b على bc- ad. لذا فإن bc- ad هو مجرد سلبي لـ ad- bc. لذا يمكننا تغيير العلامة هنا حتى نتمكن من كتابة x2 = -b على ad- bc. حسنًا ، لقد أوشكنا على الانتهاء. لدينا x2 ، والآن نحتاج فقط y2. لذا فإن y2 تساوي = -a على bx2 ، لذلك تلغي علامات الطرح ، ويصبح ذلك بعد ذلك a over-bc. حسنًا ، لقد حصلنا على النتيجة. لذا اسمحوا لي أن أضعها هنا ، أنا & # x27ll استخدم لونًا مختلفًا حتى ترى ذلك. آسف جدًا ، سأكتب على وجهي وربما أقل قليلاً. إذن لدينا معكوس A ، حسنًا. إذن ما هو معكوس A؟ إذن ، x1 ، x2 ، لذا هناك & # x27s دائمًا 1 على ad- bc ، لذا 1 على ad- bc. ثم لدينا المصفوفة ، المصفوفة هي x1 x2 ، إذن d- b ثم لدينا y1 y2. إذن لدينا -ca ، حسنًا؟ هذا & # x27s معكوس المصفوفة. مثير للاهتمام ، أ ب ج د ، معكوس ذلك يساوي 1 على أ ب ج د. ثم المصفوفة نفسها ، العناصر القطرية تتغير ، لذلك لدينا da. ثم نرفض العناصر خارج القطر ، -b و -c. هذه القطعة هنا ad- bc ، هي ما نسميه محدد A هو ad- bc ، وهذا & # x27s لمصفوفة اثنين في اثنين. هذه مصفوفة اثنين في اثنين ، المحدد هو ad- bc. والمثير للاهتمام هنا أنه إذا كان ad- bc = 0 ، فإنك & # x27re تقسم على 0 ، لذلك لا توجد مصفوفة معكوسة. إذن ، محدد a = 0 ، إذن المعكوس غير موجود ، حسنًا؟ المصفوفة ليست قابلة للعكس. هذه & # x27s نتيجة مهمة للغاية ، ونحن & # x27ll ندخلها أكثر من أجل مصفوفة n من n العامة. حسنًا ، هذه الصيغة لعكس مصفوفة اثنين في اثنين هي شيء لا أتذكره عادةً. ولكن إذا كنت & # x27 طالبًا في دورة جبر المصفوفة ، فمن المحتمل أن تكون حفظ هذه الصيغة فكرة جيدة ، حسنًا. لذلك ماذا فعلنا؟ قدمنا ​​فكرة المصفوفة المعكوسة. A ، A معكوس يساوي A هو مصفوفة الوحدة. لدينا بعض الهويات. معكوس A B هو معكوس B معكوس A. معكوس مدور يساوي A مدور معكوس. ثم اشتقنا & # x27 باستخدام حل نظام مكون من أربع معادلات وأربعة مجاهيل. نشتق صيغة معكوس مصفوفة اثنين في اثنين. & # x27m Jeff Chasnov ، شكرًا على المشاهدة ، وسأراك في الفيديو التالي.


لنفترض أنك حصلت على معادلة في متغير واحد مثل $ 4x = 10 $. ثم ستجد قيمة $ x $ التي تحل هذه المعادلة بضرب المعادلة في معكوس 4: $ color < frac14> cdot 4x = color < frac14> cdot 10 $ ، لذا سيكون الحل $ x = 2.5 $.

في بعض الأحيان يمكننا القيام بشيء مشابه جدًا لحل أنظمة المعادلات الخطية في هذه الحالة ، سنستخدم معكوس مصفوفة المعامل. لكن علينا أولاً التحقق من وجود هذا المعكوس! شروط وجود معكوس مصفوفة المعامل هي نفسها تلك الخاصة باستخدام قاعدة كرامر ، أي

1. يجب أن يحتوي النظام على نفس عدد المعادلات مثل المتغيرات ، أي يجب أن تكون مصفوفة معامل النظام مربعة.

2. يجب أن يكون محدد مصفوفة المعامل غير صفري. السبب ، بالطبع ، هو أن معكوس المصفوفة يوجد بالضبط عندما يكون محددها غير صفري.

3. لاستخدام هذه الطريقة ، اتبع الخطوات الموضحة في النظام التالي:

$ تبدأ -x + 3y + z & = 1 2x + 5y & = 3 3x + y - 2z & = -2 end $

الخطوة 1: أعد كتابة النظام باستخدام ضرب المصفوفة:

وكتابة مصفوفة المعامل كـ A ، لدينا

الخطوة 2: أوجد معكوس مصفوفة المعامل A. في هذه الحالة يكون معكوس

الخطوة 3: اضرب طرفي المعادلة (التي كتبتها في الخطوة رقم 1) بالمصفوفة $ A ^ <-1> $.


شاهد الفيديو: رياضيات. معكوس المصفوفة 33 (شهر اكتوبر 2021).