مقالات

8.10: قسمة كثيرات الحدود - رياضيات


قسمة كثير الحدود على واحد

توضح الأمثلة التالية كيفية قسمة كثير الحدود على monomial. عملية القسمة بسيطة للغاية وتستند إلى إضافة التعبيرات المنطقية.

( dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} )

قلب هذه المعادلة نحصل عليها

( dfrac {a + b} {c} = dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} )

الآن نحن ببساطة نقسم (ج ) إلى (أ ) و (ج ) إلى (ب ). يجب أن يقترح هذا قاعدة.

قسمة كثير الحدود على عدد أحادي

لتقسيم كثير الحدود على monomial ، قسّم كل حد من كثير الحدود على monomial.

مجموعة العينة أ

مثال ( PageIndex {1} )

( dfrac {3x ^ 2 + x - 11} {x} ). قسّم كل حد من (3x ^ 2 + x - 11 ) على (x ).

( dfrac {3x ^ 2} {x} + dfrac {x} {x} - dfrac {11} {x} = 3x + 1 - dfrac {11} {x} )

مثال ( PageIndex {2} )

( dfrac {8x ^ 3 + 4a ^ 2 - 16a + 9} {2a ^ 2}. قسّم كل حد من (8a ^ 3 + 4a ^ 2 - 16a + 9 ) على (2a ^ 2 ) .

مثال ( PageIndex {3} )

( dfrac {4b ^ 6 - 9b ^ 4 - 2b + 5} {- 4b ^ 2} ). قسّم كل حد من (4b ^ 6 - 9b ^ 4 - 2b + 5 ) على (- 4b ^ 2 ).

( dfrac {4b ^ 6} {- 4b ^ 2} - dfrac {9b ^ 4} {- 4b ^ 2} - dfrac {2b} {- 4b ^ 2} + dfrac {5} {- 4b ^ 2} = -b ^ 4 + dfrac {9} {4} b ^ 2 + dfrac {1} {2b} - dfrac {5} {4b ^ 2} )

مجموعة الممارسة أ

قم بإجراء الأقسام التالية.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

( dfrac {2x ^ 2 + x - 1} {x} )

إجابه

(2x + 1 - dfrac {1} {x} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {2} )

( dfrac {3x ^ 3 + 4x ^ 2 + 10x - 4} {x ^ 2} )

إجابه

(3x + 4 + dfrac {10} {x} - dfrac {4} {x ^ 2} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

( dfrac {a ^ 2b + 3ab ^ 2 + 2b} {ab} )

إجابه

(a + 3b + dfrac {2} {a} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {4} )

( dfrac {14x ^ 2y ^ 2 - 7xy} {7xy} )

إجابه

(2xy − 1 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {5} )

( dfrac {10m ^ 3n ^ 2 + 15m ^ 2n ^ 3 - 20mn} {- 5m} )

إجابه

(- 2 م ^ 2 ن ^ 2 - 3 مليون ^ 3 + 4 ن )

عملية التقسيم

درسنا في القسم 8.3 طريقة تقليل التعبيرات المنطقية. على سبيل المثال ، لاحظنا كيفية تقليل تعبير مثل

( dfrac {x ^ 2 - 2x - 8} {x ^ 2 - 3x - 4} )

كانت طريقتنا هي تحليل كل من البسط والمقام ، ثم قسمة العوامل المشتركة.

( dfrac {(x-4) (x + 2)} {(x-4) (x + 1)} )

( dfrac { إلغاء {(x-4)} (x + 2)} { إلغاء {(x-4)} (x + 1)} )

( dfrac {x + 2} {x + 1} )

عندما لا يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام ، فقد يستمر التقسيم ، لكن العملية تكون أكثر تعقيدًا من مجرد التحليل. طريقة قسمة كثير الحدود على أخرى هي إلى حد كبير نفس طريقة قسمة رقم واحد على آخر. أولاً ، سنراجع خطوات قسمة الأرقام.

( dfrac {35} {8} ). علينا قسمة 35 على 8.

نحاول 4 ، لأن 32 على 8 يساوي 4.

اضرب 4 ب 8

اطرح 32 من 35

بما أن الباقي 3 أقل من المقسوم عليه 8 ، فقد انتهينا من القسمة 32.

(4 dfrac {3} {8} ). يتم التعبير عن حاصل القسمة كرقم كسري.

كانت العملية هي القسمة والضرب والطرح.

مراجعة طرح كثيرات الحدود

يعد طرح كثيرات الحدود خطوة مهمة جدًا في عملية قسمة كثير الحدود على أخرى. دعونا نراجع عملية الطرح بملاحظة بعض الأمثلة.

1. اطرح (x -2 ) من (x-5 ) ؛ أي ، ابحث عن ((x-5) - (x-2) ).

بما أن (x-2 ) مسبوقة بعلامة ناقص ، فقم بإزالة الأقواس وغيّر علامة كل مصطلح ثم أضف.

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x-5 && x-5
- (x-2) && -x + 2
text {_______} & = & text {_______}
&&-3
نهاية {مجموعة} )

النتيجة (- 3 ).

2. اطرح (x ^ 3 + 3x ^ 2 ) من (x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1 ).

بما أن (x ^ 3 + 3x ^ 2 ) مسبوقة بعلامة ناقص ، فقم بإزالة الأقواس وغيّر علامة كل مصطلح ثم أضف.

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1 && x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1
- (x ^ 3 + 3x ^ 2) && -x ^ 3 - 3x ^ 2
text {_______________} & = & text {_______________}
&& x ^ 2 + x - 1
نهاية {مجموعة} )

النتيجة هي (x ^ 2 + x - 1 )

3. اطرح (x ^ 2 + 3x ) من (x ^ 2 + 1 )

يمكننا كتابة (x ^ 2 + 1 ) كـ (x ^ 2 + 0x + 1 ).

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x ^ 2 + 1 && x ^ 2 + 0x + 1 && x ^ 2 + 0x + 1
- (x ^ 2 + 3x) && - (x ^ 2 + 3x) && -x ^ 2 - 3x
text {____________} & = & text {____________} & = & text {____________}
&&&& -3x + 1
نهاية {مجموعة} )

قسمة كثير الحدود على كثير الحدود

سنلاحظ الآن بعض الأمثلة على قسمة كثيرة الحدود على أخرى. العملية هي نفس العملية المستخدمة مع الأعداد الصحيحة: قسمة ، ضرب ، طرح ، قسمة ، ضرب ، طرح ، ...

تحدث عمليات القسمة والضرب والطرح على حدة. تنتهي العملية عندما يكون الباقي كثير الحدود أقل درجة من المقسوم عليه متعدد الحدود.

مجموعة العينة ب

نفذ القسمة.

مثال ( PageIndex {4} )

( dfrac {x-5} {x-2} ). يجب أن نقسم (x-5 ) على (x-2 ).

(1 - dfrac {3} {x-2} )

هكذا،

( dfrac {x-5} {x-2} = 1 - dfrac {3} {x-2} )

مثال ( PageIndex {5} )

( dfrac {x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1} {x + 3} ). يجب أن نقسم (x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1 ) على (x + 3 ).

(x ^ 2 + x - 2 + dfrac {5} {x + 3} )

هكذا،

( dfrac {x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1} {x + 3} = x ^ 2 + x - 2 + dfrac {5} {x + 3} )

مجموعة الممارسة ب

قم بإجراء الأقسام التالية.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {6} )

( dfrac {x + 6} {x-1} )

إجابه

(1 + dfrac {7} {x-1} )

مشكلة في الممارسة ( PageIndex {7} )

( dfrac {x ^ 2 + 2x + 5} {x + 3} )

إجابه

(x - 1 + dfrac {8} {x + 3} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {8} )

( dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 - x - 2} {x + 8} )

إجابه

(x ^ 2 - 7x + 55 - dfrac {442} {x + 8} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {9} )

( dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 - 3x + 1} {x ^ 2 + 4x - 5} )

إجابه

(x - 3 + dfrac {14x - 14} {x ^ 2 + 4x - 5} = x - 3 + dfrac {14} {x + 5} )

مجموعة العينة ج

مثال ( PageIndex {6} )

قسّم (2x ^ 3 - 4x + 1 ) على (x + 6 )

( dfrac {2x ^ 3 - 4x + 1} {x + 6} ) لاحظ أن الحد (x ^ 2 ) في البسط مفقود. يمكننا تجنب أي لبس عن طريق الكتابة

( dfrac {2x ^ 3 + 0x ^ 2 - 4x + 1} {x + 6} ) قسّم واضرب واطرح.

( dfrac {2x ^ 3 - 4x + 1} {x + 6} = 2x ^ 3 - 12x + 68 - dfrac {407} {x + 6} )

مجموعة الممارسة ج

قم بإجراء الأقسام التالية.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {10} )

( dfrac {x ^ 2 - 3} {x + 2} )

إجابه

(x - 2 + dfrac {1} {x + 2} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {11} )

( dfrac {4x ^ 2 - 1} {x-3} )

إجابه

(4x + 12 + dfrac {35} {x-3} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {12} )

( dfrac {x ^ 3 + 2x + 2} {x-2} )

إجابه

(x ^ 2 + 2x + 6 + dfrac {14} {x-2} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {13} )

( dfrac {6x ^ 3 + 5x ^ 2 - 1} {2x + 3} )

إجابه

(3x ^ 2 - 2x + 3 - dfrac {10} {2x + 3} )

تمارين

للمشاكل التالية ، قم بإجراء الأقسام.

تمرين ( PageIndex {1} )

( dfrac {6a + 12} {2} )

إجابه

(3 أ + 6 )

تمرين ( PageIndex {2} )

( dfrac {12b - 6} {3} )

تمرين ( PageIndex {3} )

( dfrac {8y - 4} {- 4} )

إجابه

(- 2 عام + 1 )

تمرين ( PageIndex {4} )

( dfrac {21a - 9} {- 3} )

تمرين ( PageIndex {5} )

( dfrac {3x ^ 2 - 6x} {- 3} )

إجابه

(- س (س − 2) )

تمرين ( PageIndex {6} )

( dfrac {4y ^ 2 - 2y} {2y} )

تمرين ( PageIndex {7} )

( dfrac {9a ^ 2 + 3a} {2a} )

إجابه

(3 أ + 1 )

تمرين ( PageIndex {8} )

( dfrac {20x ^ 2 + 10x} {5x} )

تمرين ( PageIndex {9} )

( dfrac {6x ^ 3 + 2x ^ 2 + 8x} {2x} )

إجابه

(3 س ^ 2 + س + 4 )

تمرين ( PageIndex {10} )

( dfrac {26y ^ 3 + 13y ^ 2 + 39y} {13y} )

تمرين ( PageIndex {11} )

( dfrac {a ^ 2b ^ 2 + 4a ^ 2b + 6ab ^ 2 - 10ab} {ab} )

إجابه

(أب + 4 أ + 6 ب − 10 )

تمرين ( PageIndex {12} )

( dfrac {7x ^ 3y + 8x ^ 2y ^ 3 + 3xy ^ 4 - 4xy} {xy} )

تمرين ( PageIndex {13} )

( dfrac {5x ^ 3y ^ 3 - 15x ^ 2y ^ 2 + 20xy} {- 5xy} )

إجابه

(- س ^ 2 ص ^ 2 + 3 س ص - 4 )

تمرين ( PageIndex {14} )

( dfrac {4a ^ 2b ^ 3 - 8ab ^ 4 + 12ab ^ 2} {- 2ab ^ 2} )

تمرين ( PageIndex {15} )

( dfrac {6a ^ 2y ^ 2 + 12a ^ 2y + 18a ^ 2} {24a ^ 2} )

إجابه

( dfrac {1} {4} y ^ 2 + dfrac {1} {2} y + dfrac {3} {4} )

تمرين ( PageIndex {16} )

( dfrac {3c ^ 3y ^ 3 + 99c ^ 3y ^ 4 - 12c ^ 3y ^ 5} {3x ^ 3y ^ 3} )

تمرين ( PageIndex {17} )

( dfrac {16ax ^ 2 - 20ax ^ 3 + 24ax ^ 4} {6a ^ 4} )

إجابه

( dfrac {8x ^ 2 - 10x ^ 3 + 12x ^ 4} {3a ^ 3} ) أو ( dfrac {12x ^ 4 - 10x ^ 3 + 8x ^ 2} {3a ^ 2} )

تمرين ( PageIndex {18} )

( dfrac {21ay ^ 3 - 18ay ^ 2 - 15ay} {6ay ^ 2} )

تمرين ( PageIndex {19} )

( dfrac {-14b ^ 2c ^ 2 + 21b ^ 3 - 28c ^ 3} {- 7a ^ 2c ^ 3} )

إجابه

( dfrac {2b ^ 2 - 3b ^ 3c + 4c} {a ^ 2c} )

تمرين ( PageIndex {20} )

( dfrac {-30a ^ 2b ^ 4 - 35a ^ 2b ^ 3 - 25a ^ 2} {- 5b ^ 3} )

تمرين ( PageIndex {21} )

( dfrac {x + 6} {x-2} )

إجابه

(1 + dfrac {8} {x-2} )

تمرين ( PageIndex {22} )

( dfrac {y + 7} {y + 1} )

تمرين ( PageIndex {23} )

( dfrac {x ^ 2 - x + 4} {x + 2} )

إجابه

(x - 3 + dfrac {10} {x + 2} )

تمرين ( PageIndex {24} )

( dfrac {x ^ 2 + 2x - 1} {x + 1} )

تمرين ( PageIndex {25} )

( dfrac {x ^ 2 - x + 3} {x + 1} )

إجابه

(x - 2 + dfrac {5} {x + 1} )

تمرين ( PageIndex {26} )

( dfrac {x ^ 2 + 5x + 5} {x + 5} )

تمرين ( PageIndex {27} )

( dfrac {x ^ 2 - 2} {x + 1} )

إجابه

(x - 1 - dfrac {1} {x + 1} )

تمرين ( PageIndex {28} )

( dfrac {a ^ 2 - 6} {a + 2} )

تمرين ( PageIndex {29} )

( dfrac {y ^ 2 + 4} {y + 2} )

إجابه

(y - 2 + dfrac {8} {y + 2} )

تمرين ( PageIndex {30} )

( dfrac {x ^ 2 + 36} {x + 6} )

تمرين ( PageIndex {31} )

( dfrac {x ^ 3 - 1} {x + 1} )

إجابه

(x ^ 2 - x + 1 - dfrac {2} {x + 1} )

تمرين ( PageIndex {32} )

( dfrac {a ^ 3 - 8} {a + 2} )

تمرين ( PageIndex {33} )

( dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2 + x - 2} {x-2} )

إجابه

(x ^ 2 + 5x + 11 + dfrac {20} {x-2} )

تمرين ( PageIndex {34} )

( dfrac {a ^ 3 + 2a ^ 2 - a + 1} {a - 3} )

تمرين ( PageIndex {35} )

( dfrac {x ^ 3 + 2x + 1} {x - 3} )

تمرين ( PageIndex {36} )

( dfrac {y ^ 3 + 2y ^ 2 + 4} {y + 2} )

إجابه

(y ^ 2 + y - 2 + dfrac {8} {y + 2} )

تمرين ( PageIndex {37} )

( dfrac {y ^ 3 + 5y ^ 2 - 3} {y - 1} )

تمرين ( PageIndex {38} )

( dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2} {x + 3} )

إجابه

(س ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {39} )

( dfrac {a ^ 2 + 2a} {a + 2} )

تمرين ( PageIndex {40} )

( dfrac {x ^ 2 - x - 6} {x ^ 2 - 2x - 3} )

إجابه

(1 + dfrac {1} {x + 1} )

تمرين ( PageIndex {41} )

( dfrac {a ^ 2 + 5a + 4} {a ^ 2 - a - 2} )

تمرين ( PageIndex {42} )

( dfrac {2y ^ 2 + 5y + 3} {y ^ 2 - 3y - 4} )

إجابه

(2 + dfrac {11} {y-4} )

تمرين ( PageIndex {43} )

( dfrac {3a ^ 2 + 4a + 2} {3a + 4} )

تمرين ( PageIndex {44} )

( dfrac {6x ^ 2 + 8x - 1} {3x + 4} )

إجابه

(2x - dfrac {1} {3x + 4} )

تمرين ( PageIndex {45} )

( dfrac {20y ^ 2 + 15y - 4} {4y + 3} )

تمرين ( PageIndex {46} )

( dfrac {4x ^ 3 + 4x ^ 2 - 3x - 2} {2x - 1} )

إجابه

(2x ^ 2 + 3x - dfrac {2} {2x - 1} )

تمرين ( PageIndex {47} )

( dfrac {9a ^ 3 - 18a ^ 2 8a - 1} {3a - 2} )

تمرين ( PageIndex {48} )

( dfrac {4x ^ 4 - 4x ^ 3 + 2x ^ 2 - 2x - 1} {x-1} )

إجابه

(4x ^ 3 + 2x - dfrac {1} {x-1} )

تمرين ( PageIndex {49} )

( dfrac {3y ^ 4 + 9y ^ 3 - 2y ^ 2 - 6y + 4} {y + 3} )

تمرين ( PageIndex {50} )

( dfrac {3y ^ 2 + 3y + 5} {y ^ 2 + y + 1} )

إجابه

(3 + dfrac {2} {y ^ 2 + y + 1} )

تمرين ( PageIndex {51} )

( dfrac {2a ^ 2 + 4a + 1} {a ^ 2 + 2a + 3} )

تمرين ( PageIndex {52} )

( dfrac {8z ^ 6 - 4z ^ 5 - 8z ^ 4 + 8z ^ 3 + 3z ^ 2 - 14z} {2z - 3} )

إجابه

(4z ^ 5 + 4z ^ 4 + 2z ^ 3 + 7z ^ 2 + 12z + 11 + dfrac {33} {2z - 3} )

تمرين ( PageIndex {53} )

( dfrac {9 a ^ {7} +15 a ^ {6} +4 a ^ {5} -3 a ^ {4} -a ^ {3} +12 a ^ {2} + a-5} {3 أ + 1} )

تمرين ( PageIndex {54} )

((2x ^ 5 + 5x ^ 4-1) div (2x + 5) )

إجابه

(x ^ 4 - dfrac {1} {2x + 5} )

تمرين ( PageIndex {55} )

((6a ^ 4 - 2a ^ 3 - 3a ^ 2 + a + 4) div (3a - 1) )

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {56} )

ابحث عن المنتج. ( dfrac {x ^ 2 + 2x - 8} {x ^ 2 - 9} cdot dfrac {2x + 6} {4x - 8} )

إجابه

( dfrac {x + 4} {2 (x-3)} )

تمرين ( PageIndex {57} )

أوجد المجموع. ( dfrac {x-7} {x + 5} + dfrac {x + 4} {x - 2} )

تمرين ( PageIndex {58} )

حل المعادلة ( dfrac {1} {x + 3} + dfrac {1} {x - 3} = dfrac {1} {x ^ 2 - 9} )

إجابه

(س = dfrac {1} {2} )

تمرين ( PageIndex {59} )

عند طرح نفس الرقم من كل من بسط ومقام (dfrac {3} {10} ) ، تكون النتيجة ( dfrac {1} {8} ). ما هو الرقم الذي يتم طرحه؟

تمرين ( PageIndex {60} )

بسّط ( dfrac { frac {1} {x + 5}} { frac {4} {x ^ {2} -25}} )

إجابه

( dfrac {x-5} {4} )


قسمة كثيرات الحدود على ذات الحدين

دعنا ننتقل إلى مثال خطوة بخطوة لنرى كيف يعمل هذا:

أولاً ، سنكتب هذا كمسألة قسمة مطولة:

الآن سوف نتبع الخطوات المذكورة أعلاه.


الخطوة 1:قسمة سنقسم الحد الأول من كثير الحدود
بواسطة x. ، لذلك يذهب في الجزء العلوي كجزء من إجابتنا:

الخطوة الرابعة: يجلب. ببساطة أنزل المصطلح التالي في كثير الحدود:

الخطوة الخامسة: يكرر. الآن نبدأ مرة أخرى في البداية مع القسمة
قسّم: الآن سنقسم الحد الأول من إجابتنا 5x 2 على x. ، 5x في الجزء العلوي كجزء من إجابتنا:

تتضاعف: الآن نضرب القطعة التي وضعناها للتو كجزء من الإجابة (5x) في ذات الحدين بالكامل (x + 2). هذا مكتوب في الأسفل (تمامًا كما نفعل في مسألة القسمة المطولة الحسابية).

طرح او خصم: علينا الآن أن نطرح. تذكر أنه لطرح كثير الحدود عليك تغيير إشارة كل حد ثم دمج الحدود المتشابهة كما هو موضح هنا:

يجلب: ببساطة أنزل المصطلح التالي في كثير الحدود:

يكرر: مرة أخرى نبدأ من البداية مع القسمة

قسّم: الآن سنقسم الحد الأول من الإجابة -3x على x.
، لذلك يظهر الرقم -3 في الجزء العلوي كجزء من إجابتنا:

الخطوة السادسة: طرح او خصم. نحتاج الآن إلى طرح -3x-6 .. تذكر أنه لطرح كثير الحدود ، عليك تغيير علامة كل حد ثم دمج الحدود المتشابهة كما هو موضح هنا:

ليس لدينا باق ، لذلك انتهينا ، وإجابتنا هي ثلاثية في الأعلى:

كما ترى ، هناك الكثير من الخطوات لهذه المشكلات ، لكن الخطوات متكررة ، لذلك بمجرد فهم النمط ، يمكنك حلها دون الكثير من المتاعب. خذ بضع دقائق لقراءة الخطوات المذكورة أعلاه مرة أخرى ، وحل المشكلة بنفسك على ورقة كما تذهب.

الآن ، حاول حل هذه المشكلة بنفسك:. للحصول على المساعدة ، ابحث في الخطوات أعلاه واعمل على كل خطوة من خطوات المشكلة الجديدة قطعة قطعة.


مثال عملي 4: القسمة المطولة

استخدم طريقة القسمة المطولة لتحديد حاصل القسمة (Q (x) ) والباقي (R (x) ) إذا (a (x) = 2x ^ <3> - x ^ <2> - 6x + 16 ) مقسومة على (ب (س) = س - 1 ). اكتب إجابتك بالصيغة (a (x) = b (x) cdot Q (x) + R (x) ).

اكتب التعابير المعروفة وغير المعروفة

استخدم طريقة القسمة المطولة لتحديد (Q (x) ) و (R (x) )

تأكد من كتابة (a (x) ) و (b (x) ) بترتيب تنازلي للأسس. إذا كان مصطلح من درجة معينة مفقودًا من (a (x) ) ، فاكتب المصطلح بمعامل ( text <0> ).

يبدأ & amp 2x ^ <2> + x - 5 x-1 & amp | overline <2x ^ <3> - x ^ <2> - 6x + 16> - & amp left ( underline <2x ^ <3> - 2x ^ <2>> right) & amp text < > 0 + x ^ <2> - 6x & amp text <> - left ( underline - x> right) & amp text <> quad quad 0 -5x + 16 & amp text <> quad quad - left ( underline <-5x + 5> right) & amp text <> quad quad qquad 0 + 11 end

اكتب الإجابة النهائية

القسمة التركيبية هي طريقة أبسط وأكثر كفاءة لتقسيم كثيرات الحدود. يسمح لنا بتحديد حاصل القسمة والباقي من خلال النظر في معاملات المصطلحات في كل من كثيرات الحدود دون الحاجة إلى إعادة كتابة المتغير والأس لكل حد. إذا كان مصطلح من درجة معينة مفقودًا من (a (x) ) ، فاكتب المصطلح بمعامل ( text <0> ). على سبيل المثال ، يجب كتابة (a (x) = 5x ^ <3> + 6x - 1 ) كـ (a (x) = 5x ^ <3> + 0x ^ <2> + 6x - 1 ).

لاحظ أنه بالنسبة للتقسيم التركيبي:

  • معاملات المقسوم ( (أ (س) )) مكتوبة أسفل الخط الأفقي.
  • تتم كتابة معاملات حاصل القسمة ( (Q (x) )) فوق الخط الأفقي.
  • نضيف المعاملات بدلاً من الطرح كما هو الحال مع القسمة المطولة
  • نستخدم الإشارة المعاكسة للمقسوم عليه ( (b (x) )) المقسوم عليه ((x - 1) ) ونستخدم ( text <+1> ).
  • معامل الحد (س ) في المقسوم عليه هو ( نص <1> ) ، لذلك (q_ <2> = أ_ <3> ).

الغرض من هذه المهمة هو التأكيد على استخدام نظرية الباقي (والتي من الواضح أنه يجب اعتبار المناقشة شرطًا أساسيًا للمهمة) كطريقة لتحديد البنية في كثير الحدود في المعادلات ، وفي هذه الحالة بالذات ، كبديل. لقسمة كثيرات الحدود.

في الواقع ، أحد مسارات الحل الممكنة هو استخدام قسمة كثيرة الحدود لتقسيم $ P (x) $ على $ (x - 2) $ وتحديد الباقي بدلالة $ a $ ، ثم حل لـ $ a $ عن طريق تعيين الباقي على قدم المساواة إلى الصفر. ومع ذلك ، تصبح عملية القسمة صعبة مع تشغيل المعامل غير المعروف $ a $. هناك طريقة أكثر وضوحًا تتمثل في استخدام نظرية المتبقي (A-APR.2) ، والتي تنص على أنه إذا كان $ (x - 2) $ سيكون عاملاً في $ P (x) $ ، فيجب أن يكون $ P (2) $ يساوي صفر.


القسمة التركيبية هي طريقة لأداء القسمة المطولة للعديد من الحدود. لا تستخدم الطريقة لتقسيم العوامل ولكن لإيجاد صفر (أو جذور) كثيرات الحدود. تُستخدم قاعدة روفيني للتقسيم المطول. إليك آلة حاسبة للجبر عبر الإنترنت لـ القسمة التركيبية للمعادلات كثيرة الحدود باستخدام قاعدة رافيني بدرجة ثالثة. أدخل الأرقام العشرية في الأماكن المناسبة لحل المشكلة.

مثال

حل معادلة تكعيبية 4x 3 + 3x 2 + 2x + 7 في x + 2.

من x + 2 ، يمكننا الاشتقاق ،
س = -2.
لنفكر في معاملات المعادلة على النحو التالي: 4 3 2 7
اعتبر 0 حاصل قسمة في البداية ،
ومن هنا أصبحت المعادلة كـ
4 3 2 7
(-) 0
--------------------------------
4
--------------------------------
الآن اضرب -2 في الباقي 4 (-2 & مرات 4 = -8) ، والذي سيكون حاصل قسمة الخطوة التالية.

الخطوة التالية هي ضرب 5 في -2 ، للحصول على (5 & مرات -2 = -10) ، يجب استخدام -10 كحاصل قسمة تالي.
4 3 2 7
(-) 0 -8 10
--------------------------------
4 -5 12
--------------------------------

اضرب -8 ب -2 لتحصل على 16.
4 3 2 7
(-) 0 -8 10 -24
--------------------------------
4 -5 12 -17
--------------------------------
ومن ثم فإن المعادلة متعددة الحدود هي 4x²-5x + 12-17 / x + 2.


7 تعليقات و raquo

عندما يكتشف الناس أنني & # 8217m أدرس الرياضيات ، فإنهم دائمًا ما يذهبون ، & # 8220 لا مفر! هل يمكنك إجراء القسمة المطولة ، لم أفهم ذلك مطلقًا & # 8221 وعندما أرد & # 8220 مرحبًا ، يمكنني القسمة المطولة باستخدام x & # 8217s و y & # 8217s ، & # 8221 أعجبوا جيدًا!

لا أستطيع أن أتذكر أين تعلمت ذلك ، ربما على مستوى الرياضيات الإضافي؟

تعليق كريج & # 8212 الأحد 19 يونيو 2005 6:54 مساءً #

عدد قليل جدًا من الطلاب يدرسون المزيد من الرياضيات هذه الأيام لدرجة أن الحكومة تمول مشروعًا سيسمح للمدارس والكليات بالتجمع معًا لتعليم الطلاب حيث لا يوجد ما يكفي لإدارة الفصول الدراسية في مدرسة أو كلية معينة.

إنه & # 8217s إدانة حزينة لحالة شؤون الرياضيات هذه الأيام.

تعليق ستيف & # 8212 الأحد 19 يونيو 2005 7:33 مساء #

هذا & # 8217s سيء حقًا ، يمكنني & # 8217t أن أتخيل أنني & # 8217d على الإطلاق ذهبت لدراسة الرياضيات على مستوى الدرجة إذا كان إجراء المزيد من الرياضيات قد أثار اهتمامي. علاوة على ذلك ، تصبح السنة الأولى من شهادتك أسهل كثيرًا إذا كنت & # 8217 قد قمت ببعض الأعداد المركبة وما إلى ذلك قبل & # 8230

تعليق كريج & # 8212 الاثنين 20 يونيو 2005 8:10 مساء #

مرحبًا ، أنا جديد جدًا في مادة اللاتكس ، لذا ربما يكون سؤالي غبيًا & # 8230. آسف إذا كان الأمر كذلك. أحاول استخدام polyhornerscheme [x = 1] لكني أستمر في الحصول على تسلسل تحكم غير محدد. هل تعرف ما الخطأ الذي يمكن أن يكون وما علي فعله لاستخدام هذا الأمر؟ شكرًا مقدمًا على مساعدتك ، Aude

تعليق أودي & # 8212 الأربعاء 24 أغسطس 2005 1:35 مساء #

عادةً ما تحصل على هذا الخطأ إذا أخطأت في كتابة أمر LaTeX. حاول تقليل رمز LaTeX في المستند حتى تجد مصدر الخطأ.

هل هذا المثال البسيط يعمل؟

تعليق بواسطة ستيف & # 8212 الأربعاء 24 أغسطس 2005 2:29 مساءً #

اود
قد تكون المشكلة أن لديك إصدارًا قديمًا من متعدد الحدود لا يدعم & # 8217t مخطط متعدد الزوايا. حاول التغيير إلى أحدث إصدار هنا

تعليق بواسطة ستيف & # 8212 الأحد 9 أكتوبر 2005 11:45 صباحا #

ماذا لو كنت تريد عرض القسمة المطولة لكثيرات الحدود في شكل نمطي. على سبيل المثال ، أحاول قسمة كثير الحدود لفترة طويلة في mod7


8.10: قسمة كثيرات الحدود - رياضيات

في هذا القسم سنبدأ في النظر إلى كثيرات الحدود. ستظهر كثيرات الحدود في كل قسم تقريبًا من كل فصل في الجزء المتبقي من هذه المادة ولذا فمن المهم أن تفهمها.

سنبدأ مع كثيرات الحدود في متغير واحد. كثيرات الحدود في متغير واحد هي تعبيرات جبرية تتكون من مصطلحات في النموذج (أ) حيث (n ) غير سالب (بمعنى آخر. موجب أو صفر) عدد صحيح و (أ ) هو رقم حقيقي ويسمى معامل في الرياضيات او درجة من المصطلح. ال الدرجة العلمية من كثير الحدود في متغير واحد هو الأس الأكبر في كثير الحدود.

لاحظ أننا غالبًا ما نسقط الجزء "في متغير واحد" ونقول فقط كثير الحدود.

فيما يلي أمثلة على كثيرات الحدود ودرجاتها.

لذلك ، ليس من الضروري أن تحتوي كثير الحدود على جميع قوى (x ) كما نرى في المثال الأول. أيضًا ، يمكن أن تتكون كثيرات الحدود من مصطلح واحد كما نرى في المثالين الثالث والخامس.

ربما ينبغي أن نناقش المثال الأخير أكثر من ذلك بقليل. هذه في الحقيقة متعددة الحدود حتى أنها قد لا تبدو واحدة. تذكر أن كثير الحدود هو أي تعبير جبري يتكون من حدود بالصيغة (a). طريقة أخرى لكتابة المثال الأخير هي

توضح الكتابة بهذه الطريقة أن الأس الموجود في (x ) هو صفر (وهذا يفسر أيضًا الدرجة ...) ولذا يمكننا أن نرى أنها كثيرة الحدود في متغير واحد.

فيما يلي بعض الأمثلة على الأشياء التي ليست كثيرة الحدود.

الأول ليس متعدد الحدود لأنه يحتوي على أس سالب ويجب أن تكون جميع الأسس في كثير الحدود موجبة.

لمعرفة السبب الذي يجعل الثانية ليست كثيرة الحدود ، دعنا نعيد كتابتها قليلاً.

بتحويل الجذر إلى صورة أس ، نرى أن هناك جذرًا نسبيًا في التعبير الجبري. يجب أن تكون جميع الأسس في التعبير الجبري أعدادًا صحيحة غير سالبة حتى يكون التعبير الجبري متعدد الحدود. كقاعدة عامة ، إذا كان للتعبير الجبري جذري ، فإنه ليس متعدد الحدود.

دعنا نعيد كتابة الثالث لنرى لماذا ليس متعدد الحدود.

إذن ، هذا التعبير الجبري له حقًا أس سالب فيه ونعلم أن هذا غير مسموح به. القاعدة الأخرى هي أنه إذا كان هناك أي متغيرات في مقام الكسر ، فإن التعبير الجبري ليس متعدد الحدود.

لاحظ أن هذا لا يعني أن الجذور والكسور غير مسموح بها في كثيرات الحدود. لا يمكنهم فقط إشراك المتغيرات. على سبيل المثال ، ما يلي هو كثير الحدود

يوجد الكثير من الجذور والكسور في هذا التعبير الجبري ، لكن مقامات الكسور هي أرقام فقط وجذور كل جذري ليست سوى أرقام. يظهر كل (x ) في التعبير الجبري في البسط ويكون الأس عددًا صحيحًا موجبًا (أو صفرًا). لذلك فهذه كثيرة الحدود.

بعد ذلك ، دعونا نلقي نظرة سريعة على كثيرات الحدود في متغيرين. كثيرات الحدود في متغيرين هي تعبيرات جبرية تتكون من مصطلحات في النموذج (أ). درجة كل حد في كثير الحدود في متغيرين هي مجموع الأسس في كل مصطلح و الدرجة العلمية من كثير الحدود هو أكبر مجموع من هذا القبيل.

فيما يلي بعض الأمثلة على كثيرات الحدود في متغيرين ودرجاتهما.

في هذه الأنواع من كثيرات الحدود ، لا يحتاج كل مصطلح إلى كل من (x ) 's و (y ) ، في الواقع كما نرى في المثال الأخير ، لا يحتاجون إلى أي مصطلحات تحتوي كلا من (س ) و (ص ). أيضًا ، قد تأتي درجة كثير الحدود من مصطلحات تتضمن متغيرًا واحدًا فقط. لاحظ أيضًا أن المصطلحات المتعددة قد يكون لها نفس الدرجة.

يمكننا أيضًا التحدث عن كثيرات الحدود في ثلاثة متغيرات ، أو أربعة متغيرات أو العديد من المتغيرات التي نحتاجها. الغالبية العظمى من كثيرات الحدود التي سنراها في هذه الدورة التدريبية متعددة الحدود في متغير واحد ، وبالتالي فإن معظم الأمثلة في باقي هذا القسم ستكون متعددة الحدود في متغير واحد.

بعد ذلك ، نحتاج إلى التخلص من بعض المصطلحات. أ أحادي هي كثيرة حدود تتكون من مصطلح واحد بالضبط. أ ذات الحدين هي كثيرة الحدود تتكون من فترتين بالضبط. أخيرًا ، أ ثلاثي الحدود هي كثيرة الحدود تتكون من ثلاثة مصطلحات بالضبط. سنستخدم هذه المصطلحات بشكل متقطع لذا من المحتمل أن تكون على دراية بها إلى حد ما على الأقل.

نحتاج الآن إلى الحديث عن جمع كثيرات الحدود وطرحها وضربها. ستلاحظ أننا استبعدنا قسمة كثيرات الحدود. سيتم مناقشة ذلك في قسم لاحق حيث سنستخدم قسمة كثيرات الحدود في كثير من الأحيان.

قبل أن نبدأ هذه المناقشة فعليًا ، علينا أن نتذكر قانون التوزيع. سيتم استخدام هذا بشكل متكرر في الجزء المتبقي من هذا القسم. هنا قانون التوزيع.

سنبدأ بجمع وطرح كثيرات الحدود. ربما يكون من الأفضل القيام بذلك مع بعض الأمثلة.

أول شيء علينا فعله هو كتابة العملية التي طلب منا القيام بها.

[ يسار (<6- 10 + س - 45> يمين) + يسار (<13- 9x + 4> right) ]

في هذه الحالة ، لا يلزم استخدام الأقواس لأننا نضيف كثيرات الحدود. إنهم موجودون هناك ببساطة لتوضيح العملية التي نقوم بها. لإضافة اثنين من كثيرات الحدود ، كل ما نفعله هو الجمع بين الشروط المتشابهة. هذا يعني أنه لكل مصطلح له نفس الأس ، سنضيف أو نطرح معامل هذا المصطلح.

مرة أخرى ، دعونا نكتب العملية التي نقوم بها هنا. سنحتاج أيضًا إلى توخي الحذر الشديد بشأن الترتيب الذي نكتب به الأشياء. ها هي العملية

هذه المرة ، الأقواس حول الحد الثاني مطلوبة تمامًا. نحن نطرح كثير الحدود بالكامل ويجب أن يكون الأقواس موجودًا للتأكد من أننا في الواقع نطرح كثير الحدود بالكامل.

عند القيام بالطرح ، فإن أول شيء سنفعله هو توزيع علامة الطرح من خلال الأقواس. هذا يعني أننا سنغير العلامة الموجودة على كل حد في كثير الحدود الثاني. لاحظ أن كل ما نقوم به هنا هو ضرب "-1" في كثير الحدود الثاني باستخدام قانون التوزيع. بعد توزيع الطرح على القوس ، نجمع الحدود المتشابهة مرة أخرى.

هنا العمل لهذه المشكلة.

لاحظ أنه في بعض الأحيان يتم استبعاد المصطلح تمامًا بعد تمشيط المصطلحات المشابهة كما فعل (x ) هنا. سيحدث هذا في بعض الأحيان ، لذا لا تكن متحمسًا بشأنه عندما يحدث.

دعنا الآن ننتقل إلى ضرب كثيرات الحدود. مرة أخرى ، من الأفضل القيام بذلك في مثال.

  1. (4 يسار (<- 6x + 2> right) )
  2. ( يسار (<3x + 5> يمين) يسار ( حق))
  3. ( يسار (<4- x> right) left (<6 - 3x> right) )
  4. ( يسار (<3x + 7y> يمين) يسار ( حق))
  5. ( يسار (<2x + 3> يمين) يسار (<- x + 1> right) )

هذا ليس أكثر من تطبيق سريع لقانون التوزيع.

[ يسار (<3x + 5> يمين) يسار ( right) ] هذا سيستخدم طريقة FOIL لضرب هاتين الحدين.

تذكر أن طريقة FOIL لن تعمل إلا عند ضرب حدين. إذا لم يكن أي من كثيرات الحدود ذو حدين ، فلن تعمل طريقة FOIL.

لاحظ أيضًا أن كل ما نقوم به هنا هو ضرب كل حد في كثير الحدود الثاني في كل حد في كثير الحدود الأول. يعد اختصار FOIL طريقة مناسبة لتذكر ذلك.

مرة أخرى ، سنحبط هذا الأمر.

[ يسار (<4- x> right) left (<6 - 3x> right) = 24 - 12 - 6x + 3 = - 12 + 27 - 6x ]

لا يزال بإمكاننا FOIL ذات الحدين التي تتضمن أكثر من متغير واحد ، لذلك لا تتحمّس بشأن هذه الأنواع من المشاكل عند ظهورها.

[ يسار (<3x + 7y> يمين) يسار ( يمين) = 3 - 6xy + 7xy - 14 = 3 + س ص - 14]

في هذه الحالة ، لن تعمل طريقة FOIL لأن كثير الحدود الثاني ليس ذو الحدين. تذكر مع ذلك أن اختصار FOIL كان مجرد طريقة لتذكر أننا نضرب كل حد في كثير الحدود الثاني في كل حد في كثير الحدود الأول.

هذا كل ما علينا القيام به هنا.

[ يسار (<2x + 3> يمين) يسار (<- x + 1> right) = 2 - 2 + 2 س + 3 - 3 س + 3 = 2 + - x + 3 ]

فلنعمل على مجموعة أخرى من الأمثلة التي ستوضح بعض الصيغ اللطيفة لبعض المنتجات الخاصة. سنقدم الصيغ بعد المثال.

يمكننا استخدام FOIL في هذا ، لذلك دعونا نفعل ذلك.

[ يسار (<3x + 5> يمين) يسار (<3x - 5> يمين) = 9 - 15 × + 15 - 25 = 9 - 25]

في هذه الحالة ، تسقط الشروط الوسطى.

تذكر الآن أن (<4 ^ 2> = left (4 right) left (4 right) = 16 ). التربيع مع كثيرات الحدود يعمل بنفس الطريقة. في هذه الحالة لدينا ،

[< left (<2x + 6> right) ^ 2> = left (<2x + 6> right) left (<2x + 6> right) = 4 + 12 س + 12 س + 36 = 4 + 24 × + 36 ]

هذا واحد مطابق تقريبًا للجزء السابق.

[< left (<1 - 7x> right) ^ 2> = left (<1 - 7x> right) left (<1 - 7x> right) = 1 - 7x - 7x + 49 = 1-14 س + 49]

هذا الجزء هنا لتذكيرنا بأننا بحاجة إلى توخي الحذر مع المعاملات. عندما نحصل على معامل ، يجب أن نحسب الأس أولًا ثم نضرب المعامل.

[4 < اليسار ( يمين) ^ 2> = 4 يسار ( يمين شمال( يمين) = 4 يسار (<+ 6x + 9> right) = 4 + 24 × + 36 ]

يمكنك فقط ضرب المعامل من خلال مجموعة من الأقواس إذا كان هناك أس "1" على القوس. إذا كان هناك أي أس آخر ، فلا يمكنك ضرب المعامل من خلال القوس.

فقط لتوضيح النقطة.

من الواضح أن هذا يختلف عن الإجابة الصحيحة ، لذا كن حذرًا!

تستخدم جميع أجزاء هذا المثال أحد المنتجات الخاصة التالية.

احرص على عدم ارتكاب الأخطاء التالية!

هذه أخطاء شائعة جدًا يرتكبها الطلاب غالبًا عندما يبدأون في تعلم كيفية ضرب كثيرات الحدود.


حل المكعب المخفض

معادلة الاستدعاء الأول [2]
[2 ، مكرر]

إذا كان p و q صفرًا ، فإن t يساوي صفرًا. خلافًا لذلك ، فإننا نأخذ في الاعتبار الحالات التي تكون فيها قيمة p أو q صفراً وعندما لا يكون كلاهما صفراً:

التكعيب يقلل إلى معادلات قابلة للحل على الفور

إذا كانت p = 0 ، فإن المعادلة [2] ، تصبح:

إذا كانت q = 0 ، فإن المعادلة [2] تصبح:

إذا كانت p = 0 ، فإن t = & # 8731 (-q) ، وجذور المعادلة الأصلية هي:
x1= & # 8731 (-q) - أ / 3 (باستخدام المعادلة 3: x = t-a / 3)
x2,3= & # 8731 (-q) [- 1/2 & plusmn & # 8730 (3) i / 2] - a / 3 (بضرب t في الجذور التكعيبية غير النسبية لواحد: -1/2 + & # 8730 (3) i / 2 و -1 / 2 - & # 8730 (3) ط / 2)
إذا كانت q = 0 ، إذن لدينا t 3 + pt = 0 ، لنحصل على t1= 0 ، و2,3 هي حلول ر 2 + p = 0 أو
x1 = -a / 3 (باستخدام المعادلة 3: x = t-a / 3)
x 2،3 = & plusmn & # 8730 (-p) -a / 3 (بضرب t بجذر واحد: +1 و (-1))
بطبيعة الحال ، إذا كانت p أو q صفرًا ، فقد حللنا المعادلة. إذا لم يكن كذلك ، فإننا نستمر.

يتم تقليل التكعيب إلى معادلة في p و q ، حيث لا يكون أي منهما صفرًا

قيمتي p و q في المعادلة أدناه ليستا صفراً. [2 ، مكرر]
لذا ، يجب علينا حل هذه المعادلة. ضع في اعتبارك أنه بالنسبة لرقمين u و v:

[ملاحظة: هذا هو المكافئ التكعيبي لإكمال المربع في التربيعية.]
وإذا استبدلنا بـ [2]:
ص = 3uv و
-q = u 3 -v 3 ودع t = u-v
نجد أنه نظرًا لأن النتيجة هي صفر ، فإن u-v هو جذر معادلتنا. بإيجاد قيمتي u و v ، سنتمكن من حل التكعيب. سوف يتضح السبب.
نستبدل v ، باستخدام:
[4]
(لاحظ أن u لا يمكن أن يكون صفرًا ، لأن p سيكون أيضًا صفرًا ، وقد تعاملنا مع هذه الحالة أعلاه. لذلك لا u ولا v تساوي صفرًا هنا.)
في:
[5]
تحصل:

الضرب في جميع أنحاء u 3:
[6]
الآن ، هذه المعادلة تربيعية في u 3 ، لذا نعرف كيفية حلها ، ومن ثم التكعيبي!

أو مبسط:
[7]
هناك 3 جذور للمكعب ، وليس 6 ، كما هو مذكور أعلاه ، ولكن لحسن الحظ ، وجدنا أنه لا يهم أي من قيم & plusmn التي نأخذها ، وعادة ما أستخدم علامة الجمع. تم بالفعل تناول المناسبات التي قد تسبب مشاكل أعلاه. لذلك ، سأقوم بإسقاط علامة & plusmn بهدوء ، وأحتفظ بعلامة +. (بطبيعة الحال ، سيتحقق القارئ الجاد من صحة ذلك!)
من المعادلة 5 ، يمكننا إيجاد v 3:
[8]
من الواضح تمامًا أن المميز ، D أو & # 916 ، هو البت في الجذر التربيعي.
[9]
إذا كان & # 916 = 0 ، فإن كل الجذور حقيقية ، واثنان على الأقل متساويان.
إذا كان & # 916 & gt0 ، إذن & # 8730 (& # 916) رقمًا حقيقيًا ، وبالتالي فإن جذرًا واحدًا (الجذر الرئيسي) حقيقي ، والآخران أرقام معقدة.
إذا كان & # 916 & lt0 ، إذن & # 8730 (& # 916) خياليًا ، لذا فإن كل الجذور حقيقية ، وستكون u و v أعدادًا معقدة. هذا ما يسمى بالحالة غير القابلة للاختزال من العصور القديمة (بالطبع ، لا يمكن اختزالها بالحسابات المعقدة) ، عندما نحتاج إلى استخدام العمليات الحسابية المعقدة.

استبدال & # 916 في 7 و 8 ، لدينا:
[10]
و:
[11]


مدونة Symbolab

قد يبدو هذا محيرًا بعض الشيء ، لذلك سنستعرض مثالين خطوة بخطوة لفهم كيفية حل هذه المشكلات بشكل أفضل.

1. تنظيم كل كثير الحدود بترتيب عالٍ
يمكننا تخطي هذه الخطوة لأن كثيرات الحدود مرتبة بالفعل
2. أنشئ في شكل قسمة مطولة

1. تنظيم كل كثير الحدود بترتيب عالٍ
فارك <(2x ^ 2 + 5x-18)>

2. أنشئ في شكل قسمة مطولة

3. اكتب 0 كمعامل للحدود الناقصة في المقسوم
يمكننا تخطي هذه الخطوة لأنه لا توجد حدود مفقودة.

4. قسّم الحد الأول من المقسوم (البسط) على الحد الأول للمقسوم عليه (المقام)
frac <2x ^ 2>= 2x

5. اضرب المقسوم عليه بهذا الحد
2 س (س + 4) = 2 س ^ 2 + 8 س

يعد قسمة كثيرات الحدود باستخدام القسمة المطولة أمرًا صعبًا للغاية. من السهل جدًا تخطي الأس ، ولديك خطأ جبري ، ونسيان الخطوة. هذا هو سبب أهمية ممارسة هذا النوع من المشاكل. الطريقة الوحيدة للتحسن في ذلك هي الاستمرار في ممارستها. تحقق من Symbolab & # 8217s Practice للتعرف على مشكلات التدريب والاختبارات.


شاهد الفيديو: الصف الثانى الثانوى علمى وادبى. تفاضل. ايجاد النهاية باستخدام القسمة التركيبية ج2 (شهر اكتوبر 2021).