مقالات

34:17 التنازل في فئته - التحليلات والقضاء على Gaussian


34:17 التنازل في فئته - التحليلات والقضاء على Gaussian

يُكمل شور الامتثال لقواعد Lambek & # x27s الفئوية: وجهة نظر أخرى للتخلص الغاوسي وتحلل LU

على مدى ثلاثة عقود ، شهدت مكملات شور تطبيقات متزايدة في الجبر الخطي ، غالبًا كتجريدات للتخلص الغاوسي. من المعروف أنهم يخضعون لبعض الهويات غير البديهية ، مثل Crabtree و Haynsworth & # x27s خاصية الحاصل. بدأنا هذا العمل نسأل عما إذا كانت هناك نظرية لتقرير خصائصها بشكل عام.

Lambek & # x27s Categorial Grammar هو نظام استنتاجي تمت صياغته عام 1958 بواسطة Lambek كأساس رياضي لحساب التفاضل والتكامل اللغوي. نظهر أن القواعد الفئوية تعطي نظامًا استنتاجيًا لاشتقاق الهويات التي تخضع لتحليلات LU و UL ، والتخلص من Gaussian ، ومكملات Schur.

للوهلة الأولى ، تبدو هذه نتيجة غريبة ، تربط بين موضوعين غير مرتبطين. ومع ذلك ، فبالعودة إلى الماضي ، يكون ذلك نتيجة للطريقة التي يستخدم بها كلاهما حواجز القسمة. قد يكون لها تطبيقات في تطوير الأشكال النحوية والخوارزميات العددية.


قاعدة الإبهام / TLDR: عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام أرقام الفاصلة العائمة (مثل أنواع البيانات المزدوجة والمفردة والعائمة في العديد من لغات البرمجة الشائعة) ، استخدم التدوير الجزئي إلا إذا كنت تعلم أنك آمن بدونها وقم بإكمال التمحور فقط عندما تعلم أنك بحاجة إليه.

أطول شرح: تحتوي المصفوفة المربعة $ A $ على عامل $ LU $ (بدون محور) إذا ، وفقط إذا ، لم يتم العثور على أي صفر في الموضع المحوري عند حساب معامل $ LU $ بقيمة $ A $. ومع ذلك ، متى يتم إجراء الحسابات باستخدام أرقام الفاصلة العائمة كمحور تقريبا يمكن أن يؤدي الصفر إلى أخطاء كبيرة في التقريب. الحل البسيط هو دائمًا تبديل صفوف المصفوفة بحيث يتم اختيار أكبر إدخال غير صفري في عمود على أنه إدخال محوري. هذا يضمن عدم اختيار ما يقرب من الصفر. يذهب التمحور الكامل إلى أبعد من ذلك باستخدام تباديل الصفوف والأعمدة لتحديد أكبر إدخال في المصفوفة بأكملها كمدخل محوري.

الفقرة أعلاه هي صورة بديهية خاسرة لسبب ضرورة التمحور. يمكن للمرء أيضًا إثبات وجود حدود خطأ حادة عن طريق تتبع انتشار الأخطاء بعناية خلال حساب التحليل للعوامل $ LU $ بالكامل. طريقة واحدة لهيكلة هذا الخطأ هو ما يسمى ب تقدير الخطأ العكسي. في تقدير الخطأ العكسي لحل نظام خطي من المعادلات $ Ax = b $ ، حد واحد للاضطراب $ E $ الضروري لجعل الحل المحسوب $ hatأنتجت $ عن طريق القيام بإزالة Gaussian متبوعًا باستبدال خلفي بالضبط حل لنظام قريب من المعادلات الخطية $ (A + E) hat = ب دولار. يمكن أن يكون تقدير الخطأ العكسي كاشفاً للغاية ، على سبيل المثال ، إذا تم تحديد المصفوفة $ A $ بقياسات نظام هندسي مع بعض تفاوت الخطأ. إذا كانت إدخالات $ A $ معروفة فقط $ pm 1 ٪ $ وكان الخطأ التراجعي أقل من .1 ٪ $ ، فإن الأخطاء العددية التي حدثت أثناء حساباتنا تكون أصغر من أخطاء القياس وقد قمنا بعمل أحسنت. TLDR الكمية $ E $ كمية معقولة لقياس الخطأ في التحليل إلى عوامل $ LU $ والحل الخطي الناتج.

للتخلص من Gaussian بدون التمحور ، يمكن أن يكون الخطأ العكسي سيئًا بشكل تعسفي. لحسن الحظ ، بالنسبة للتدوير الجزئي ، يمكن تقييد الخطأ العكسي $ E $ كـ $ | E | _ infty le 6n ^ 3 rho | A | _ infty u + mbox$ $ <> ^ dagger $. هنا ، $ | cdot | _ infty $ هو مصفوفة المشغل $ infty $ -norm و $ u $ هو تقريب الوحدة الذي يحدد دقة حسابات الفاصلة العائمة ($ u حوالي 10 ^ <-16> $ لحساب الدقة المزدوجة IEE). تُعرف الكمية $ rho $ بأنها عامل النمو للتمحور الجزئي. بينما من الممكن أن يصل حجم $ rho $ إلى $ 2 ^في الممارسة العملية ، ينمو $ rho $ بشكل متواضع جدًا مع $ n $. $ <> ^ dagger $ فيما يتعلق بحقيقة أن $ rho $ ينمو بشكل متواضع للغاية في معظم التطبيقات ، كتب المحلل العددي الأسطوري كاهان أن "النمو المحوري غير المحتمل [مع التمحور الجزئي] هو ظاهرة تحدث فقط للمحللين العدديين الذين يبحثون عن تلك الظاهرة ". $ <> ^ $

ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يكتب المصفوفات التي يفشل فيها التمحور الجزئي في إعطاء إجابة دقيقة بسبب عامل النمو الأسي $ rho = 2 ^$. أظهر ويلكينسون أن عامل النمو ل التمحور الكامل أصغر بكثير في أسوأ الحالات $ rho le n ^ <1/2> (2 cdot 3 ^ <1/2> cdots n ^ <1 / n-1>) ^ <1/2> $. من الناحية العملية ، يكون $ rho $ للتمحور الكامل دائمًا أقل من $ 100 $. $ <> ^ dagger $

بعد الخوض في التفاصيل ، يمكنك أن ترى أن هذا عمل دقيق ، وحتى في المجال الكلاسيكي للجبر الخطي العددي ، هناك فجوة إلى حد ما بين النظرية والتجربة. بشكل عام ، يعتبر القضاء على Gaussian مع التمحور الجزئي موثوقًا للغاية. ما لم تكن تعلم أنه يمكنك الابتعاد دون التمحور (المصفوفات المتماثلة الموجبة والمصفوفات السائدة قطريًا أمثلة بارزة) ، يجب على المرء استخدام التمحور الجزئي للحصول على نتيجة دقيقة. (أو عوض بشيء ذكي. على سبيل المثال ، تستخدم SuperLU "التمحور الثابت" حيث يتم "أفضل تخمين" التمحور قبل البدء في التحليل إلى عوامل $ LU $ ثم عدم التمحور أثناء التضمين إلى عوامل. ويتم تعويض فقدان الدقة في هذا الأسلوب من خلال باستخدام بضع خطوات من الصقل التكراري.)

إذا لم يكن التمحور الجزئي دقيقًا بما فيه الكفاية ، فيمكن للمرء الانتقال إلى استخدام التمحور الكامل بدلاً من ذلك لعامل النمو المنخفض. كما يشير user3417 ، هناك طرق أخرى لحل $ Ax = b $ بخلاف استخدام الأساليب القائمة على العوامل $ LU $ وقد تكون هذه الطرق أسرع وأكثر دقة من إزالة Gaussian مع التمحور الكامل. على سبيل المثال ، يتم تشغيل عامل تحليل $ QR $ في عمليات $ O (n ^ 3) $ وليس له عامل نمو. قد تكون هناك حالات خاصة عندما يرغب المرء حقًا في استخدام عامل $ LU $: على سبيل المثال ، يمكن استخدام نهج قائم على الإقصاء Gaussian لبناء عوامل تحافظ على البنية لمصفوفة تشبه Cauchy. في هذه الحالة ، قد يكون التمحور الكامل (أو تمحور ابن عمه القريب) هو أفضل طريقة.

$ <> ^ dagger $ Reference Golub و Van Loan حسابات المصفوفة الإصدار الرابع الفصل 3.4

$ <> ^ $ مقتبس من Higham's دقة واستقرار الخوارزميات العددية الطبعة الثانية الفصل 9


يرمز LU إلى & # 8216Lower Upper & # 8217 ، وبالتالي فإن تحلل LU لمصفوفة (A ) هو تحلل بحيث

حيث (L ) مثلث سفلي و (U ) مثلث علوي.

الآن ، تحلل LU هو في الأساس تصفية غاوسية ، لكننا نعمل فقط مع المصفوفة (A ) (على عكس المصفوفة المعززة).

لنراجع & # 8217s كيفية عمل الإزالة الغاوسية (ge). سنتعامل مع (3 مرات 3 ) نظام المعادلات من أجل الإيجاز ، ولكن كل شيء هنا يعمم على الحالة (n times n ). ضع في اعتبارك المعادلة التالية:

من أجل التبسيط ، دعنا نفترض أن المصفوفة الموجودة في أقصى اليسار (A ) ليست مفردة. لحل النظام باستخدام ge ، نبدأ بالمصفوفة & # 8216augmented & # 8217:

نبدأ من الإدخال الأول (a_ <11> ). إذا كان (a_ <11> neq 0 ) ، فإننا نقسم الصف الأول على (a_ <11> ) ثم نطرح المضاعف المناسب للصف الأول من كل من الصفوف الأخرى ، مع وضع الصفر على الإدخال الأول من كل الصفوف. (إذا كان (a_ <11> ) صفرًا ، فنحن بحاجة إلى تبديل الصفوف. ولن ندخل في تفاصيل ذلك هنا.) والنتيجة هي كما يلي:

نكرر إجراء الصف الثاني ، ونقسم أولاً على الإدخال الأول ، ثم نطرح المضاعف المناسب للصف الناتج من كل من الصفين الثالث والأول ، بحيث يكون الإدخال الثاني في الصف 1 وفي الصف 3 صفرًا. نحن يستطع تابع حتى المصفوفة على اليسار هي الهوية. في هذه الحالة ، يمكننا بعد ذلك & # 8216 قراءة الحل & # 8217: أي ، المتجه (x ) هو متجه العمود الناتج على اليمين. عادة ، يكون التوقف عنده أكثر فاعلية صف مخفض eschelon شكل (مثلث علوي ، مع تلك الموجودة على القطر) ، ثم استخدم استبدال الخلفي للحصول على الإجابة النهائية.

لاحظ أنه في بعض الحالات ، من الضروري تبديل الصفوف للحصول على نموذج eschelon للصف المختزل. هذا يسمي التمحور الجزئي. إذا تعاملنا أيضًا مع الأعمدة ، فهذا يسمى تمحور كامل.

تجدر الإشارة إلى أننا قد نحصل على معكوس المصفوفة باستخدام ge ، عن طريق تقليل المصفوفة (A ) إلى الهوية ، مع مصفوفة الهوية باعتبارها الجزء المعزز.

الآن ، كل هذا جيد عندما نحل نظامًا مرة واحدة ، لنتيجة واحدة (ب ). تتضمن العديد من التطبيقات حلولًا لمشاكل متعددة ، حيث لا يتغير الجانب الأيسر من معادلة المصفوفة ، ولكن هناك العديد من متجهات النتائج (ب ). في هذه الحالة ، يكون أكثر كفاءة تتحلل (أ) .

أولاً ، نبدأ تمامًا كما في ge ، لكننا & # 8216 نتتبع & # 8217 المضاعفات المختلفة المطلوبة لإزالة الإدخالات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة

نحتاج إلى ضرب الصف (1 ) في (2 ) والطرح من الصف (2 ) لإزالة الإدخال الأول في الصف (2 ) ، ثم ضرب الصف (1 ) في ( 4 ) وطرح من الصف (3 ). بدلاً من إدخال الأصفار في المدخلات الأولى للصفوف (2 ) و (3 ) ، نسجل المضاعفات المطلوبة لحذفها ، على النحو التالي:

ثم نحذف الإدخال الثاني في الصف الثالث:

والآن لدينا التحلل:

يمكننا حل النظام عن طريق حل مشكلتين للتعويض العكسي:

كلاهما (O (n ^ 2) ) ، لذلك يكون التحليل أكثر فاعلية عندما تكون هناك نتائج متعددة لحلها.

لاحظ أن استخدامات التحلل الورقي التمحور الجزئي (يتم تبديل صفوف المصفوفة لاستخدام المحور الأكبر). هذا لأن المحاور الصغيرة يمكن أن تؤدي إلى عدم الاستقرار العددي. سبب آخر لضرورة استخدام وظائف المكتبة كلما أمكن ذلك!


جدول الخوارزميات العددية

هذا جدول زمني مؤقت للدورة ومن المرجح أن يتغير دون سابق إنذار في مكان آخر. بالإضافة إلى ذلك ، سيتم نشر تفاصيل واجبات منزلية وروابط لنتائج زملائك لمراجعة الأقران ، لذا يرجى الرجوع إلى الجدول الزمني بشكل متكرر لتفاصيل المهمة وتواريخ الاستحقاق والنتائج المقارنة.

Prolegomena ، قضايا الآلة والتمثيل الرقمي ، مقدمة

نظرة عامة على جبر المصفوفة ، الحذف الغاوسي

أدوات إضافية لمجموعة الأدوات (لا يلزم تقديمها بشكل منفصل للحصول على تقدير ولكن سيتم استخدامها للتحقق من مهام البرمجة الأخرى.)

  • ضرب المصفوفات للمصفوفات ذات الحجم المناسب بشكل تعسفي
  • إضافة مصفوفة لمصفوفات عشوائية بحجم مناسب
  • المصفوفة / الضرب المتجه بواسطة عددي
  • حاصل الضرب النقطي للمتجهات (مصفوفات ن × 1)

ابحث عن آلة epsilon للعوامات والمضاعفات (موعد التسليم 15 يناير). انظر واستخدم الخوارزمية 1.3.1 في الصفحة 9 من النص.

قم بإنشاء وإخراج رسم بياني ، مع ما لا يقل عن 50 حاوية ، لتوزيع عشوائي غاوسي باستخدام مولد توزيع عشوائي موحد (الاستحقاق 20 يناير). انظر واستخدم (كما هو مطلوب) المعادلتان المرقمتان 1.6.10a و 1.6.10b في الصفحة 20 من النص. تحقق من أن المتوسط ​​= 0 والانحراف المعياري = 1 للتوزيع الذي تقوم بإنشائه. أخيرًا ، قم بإنشاء توزيع متوسطه = 73 وانحرافه المعياري = 16 وتحقق من النتائج.

تطبيق طرق إزالة Gauss-Jordan و Gaussian (الخوارزميات 2.2.1 و 2.3.1)

المصفوفة المقلوبة ، المحددات ، تحلل LU ، رقم الشرط ، الأنظمة غير المكيفة.

قم بتوسيع طريقة حذف Gauss-Jordan و Gaussian لإيجاد مقلوب المصفوفة (الخوارزمية 2.2.2) وتكييف الخوارزمية 2.3.1 لإيجاد محددات المصفوفة (الخوارزمية 2.3.2). ملاحظة: نحن نستعد لتطبيق طرق المصفوفة على مشكلة انحراف الصورة.


ملاحظات الصف

الأسابيع 9-10 (29 فبراير - 11 مارس)

  • الهندسة LP
  • تحليل الحساسية
  • هندسة البرمجة الخطية
  • تحليل الحساسية
  • تحليل الحساسية: مثال على شركة المنتجات الخرسانية
  • المنتجات الخرسانية 2 (الحلول)
  • مثال مزرعة الأسرة
  • ناقش النماذج 11-20
  • ازدواجية هندسية
  • مشاكل الحساسية

الأسبوع الثامن (22-26 فبراير)

  • نظرية الازدواجية
  • الهندسة LP
  • خوارزمية Simplex المزدوجة
  • هندسة البرمجة الخطية
  • خوارزمية Simplex المزدوجة
  • عمل نماذج 16-20
  • تعليقات من المصحح على الاختبار 4: المتوسط ​​كان 60/80 نقطة. في السؤال الأول ، خلط كثير من الناس الفرق بين لوحة غير محدودة ولوحة منحطة. كان هناك العديد من الأخطاء في السؤال 2 (خوارزمية الطور البسيط). أوصي بمراجعة حساباتك مرتين أثناء العمل. أيضًا ، من المحتمل أن تتطلب عمليات أقل إذا لم تحمل `` الصف z '' في المرحلة الأولى.

الأسبوع السابع (16-19 فبراير)

  • 11/9: نظرية الازدواجية
  • 11/17: النظرية الأساسية للبرمجة الخطية والازدواجية القوية والتراخي التكميلي
  • التراخي التكميلي
  • تدريب إضافي على طريقة simplex: المشكلات 3.1 ، 3.2 ، 3.9 ، 3.3.10 من هذه النشرة.

الأسبوع السادس (8-12 فبراير)

  • القسم 3: هل تعمل خوارزمية Simplex؟
  • القسم 4: نظرية الازدواجية
  • 2/8: هل تعمل الخوارزمية البسيطة؟
  • 2/10: خوارزمية بسيطة ثنائية الطور
  • 2/12: النظرية الأساسية لـ LPs ، الازدواجية القوية ، التراخي التكميلي
  • عمل نماذج 11-15. يستحق في الفصل يوم الأربعاء 2/17
  • خوارزمية بسيطة ثنائية الطور

الأسبوع الخامس (1-5 فبراير)

  • القسم 3: هل تعمل خوارزمية Simplex؟
  • تعليقات من المصحح على الاختبار 3:
  • 2 / 1،3: هل تعمل الخوارزمية البسيطة؟
  • كرر المشكلات من "Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin" باستخدام Maultiplication الأيسر مع مصفوفات التصفية Gaussian. تعلم أن تقرأ الحل الأمثل للثنائي من اللوحة المثلى للبدائية. في كل خطوة من خطوات الطريقة ، تعلم قراءة الحل العملي الأساسي الحالي وقيمة دالة الهدف.

الأسبوع الرابع (25-29 يناير)

  • القسم 2: خوارزمية Simplex
  • المصفوفات وهياكل الكتلة والقضاء الغاوسي
  • 1/25: خوارزمية Simplex ، I: الأساسيات (النهاية)
  • 1/27: خوارزمية Simplex II: اللغة والترميز والجبر الخطي
  • 1/29: النماذج
  • قم بعمل نماذج 6-10 من رابط "النماذج" أعلاه.
  • كرر المشكلات من "Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin" باستخدام طريقة tableau.

الأسبوع الثالث (19 يناير - 22 يناير)

  • اقرأ من ملاحظات الفصل
    • القسم 2: خوارزمية Simplex (الأقسام 1.1-1.2)
    • LP في شكل قياسي
    • خوارزمية Simplex I: الأساسيات
    • تحويل LPs إلى النموذج القياسي
    • خوارزمية Simplex لـ LPs ذات الأصل المجدي (طريقة القاموس) (تستمر حتى الأسبوع المقبل)

    الأسبوع الثاني (11-15 يناير)

    • اقرأ من ملاحظات الفصل
      • القسم 1: مقدمة
      • 1/11: مقدمة في البرمجة الخطية
      • 1/13،15: نمذجة LP
      • قم بعمل النماذج 1-5 من رابط "النماذج" أعلاه.

      الأسبوع الأول (4-8 يناير)

      • تعليقات من المصنف على الاختبار 1: بشكل عام ، كان أداء الأشخاص جيدًا ، ولكن السؤال 4 كان صعبًا - لم يفهمه أحد بالشكل الصحيح. لقد أخذت نقطة للسؤال 2 ب إذا قاموا بنقل المصفوفة وبدأوا في تقليل الصفوف ، بدلاً من استخدام نموذج المستوى الذي قاموا بحسابه بالفعل. لقد تناولت أيضًا نقطة للسؤال 3 ب إذا قالوا شيئًا مثل `` المصفوفة ليس لها معكوس لأنها مفردة '' لأن هذا كان مجرد إعادة صياغة لما كان من المفترض أن يبرره. متوسط ​​النقاط كان 7.9 / 13 نقطة.
      • اقرأ من ملاحظات الفصل
        • مراجعة الجبر الخطي (تشمل عينة من مسائل الاختبار في النهاية)
        • المصفوفات وهياكل الكتلة والقضاء الغاوسي
        • القسم 1: مقدمة (الأقسام 1.1،1.2)
        • 1/4: المحاضرة 1: مراجعة الجبر الخطي
        • 1 / 6،8: محاضرة 2: مقدمة في البرمجة الخطية
        • حلول رسومية لـ LPs ثنائية الأبعاد
        • المشكلة 1.1 (أ) ، (ب)
        • مشكلة 1.4
        • المشكلة 1.6
        • مشكلة 1.8
        • مشكلة 2.4.1
        • مشكلة 2.4.4
        • مشكلة 2.4.6
        • النمذجة: مزج الحبوب ، جدولة كشك الرسوم ، مشكلة مكتب البريد
        • تحويل LPs إلى نموذج قياسي: المشكلتان 2 و 3 في هذه النشرة (ملف pdf)
        • حل LPs بيانياً: كلا المشكلتين في هذه النشرة (ملف pdf)
        • يمكنك تجربة المشاكل في ملاحظات P. Tseng (الموزعة في الفصل).
        • يمكنك أيضًا تجربة المشكلات المتبقية من الفصل الأول في Chvatal

        نظرة عامة: الأسبوع الثاني (12-16 يناير)

        واجبات القراءة: الفصل 2 من Chvatal

        • طريقة simplex العشرة الأوائل خوارزمية في القرن العشرين ، انظر أيضًا صفحة الويب هذه
        • متغيرات الركود والقرار ، القاموس ، الحل الأساسي المجدي
        • المتغيرات الأساسية ، المتغيرات غير الأساسية ، المتغيرات المدخلة ، المتغيرات المتبقية
        • اختبار النسبة الدنيا ، الصف المحوري ، التمحور
        • أوبتيما متعددة
        • الخوارزمية البسيطة
        • كيفية التعرف على ما إذا كان LP لديه أفضلية متعددة أو أفضلية فريدة.
        • كيفية كتابة جميع الحلول المثلى لـ LP عندما يكون هناك العديد من الخيارات المثلى.
        • المشكلة 2.1 (أ)
        • المشكلة 2.1 (ج) - حل هذه المشكلة بيانياً أيضًا وتحقق من حصولك على نفس الحل الأمثل.
        • مشكلة 2.2
        • مشكلة 2.3.6
        • حل باستخدام طريقة simplex (من J. Burke) ملف pdf
        • يمكنك تجربة المشكلات الموجودة في ملاحظات P. Tseng (الموزعة في الفصل) - على وجه الخصوص جرب جميع المشكلات في الأقسام 2.3 و 2.4 و 2.5.
        • انظر إلى جميع الأمثلة في الفصل 2 من Chvatal و 2.1 (ب).

        نظرة عامة: الأسبوع الثالث (19-23 يناير)

        واجبات القراءة: الفصل 3 من Chvatal (التهيئة) والهندسة لطريقة simplex

        • مستوي مفرط ، مسارات الحافة
        • مشكلة مساعدة ، قاموس عملي / غير عملي ، المرحلة الأولى والمرحلة الثانية
        • قمة متدهورة ، قاعدة المعامل الأكبر ، توقف ، LPs غير المحدود
        • هندسة الخوارزمية البسيطة.
        • بالنظر إلى المنطقة المجدية ، كيفية إعادة بناء القاموس عند رأس معين للمنطقة المجدية.
        • المرحلة الأولى من طريقة simplex لتحديد ما إذا كان LP غير ممكن أم لا. إذا كان LP ممكنًا ، فكيف تحصل على أول قاموس ممكن.
        • كيف تتحقق مما إذا كانت قمة الرأس الحالية متدهورة.
        • كيف تتحقق مما إذا كانت طريقة simplex متوقفة.
        • كيف تتحقق مما إذا كان LP غير مقيد.

        (مشاكل هندسية) كل المشاكل من هذه الورقة: ملف pdf

        • المشكلة 3.9 (أ)
        • طريقة بسيطة ثنائية الطور (من J. Burke) ملف pdf
        • مشكلة 2 من ورقة المسائل الهندسية في الواجب البيتي.
        • مشكلة شفاتال 3.9 (ج)

        نظرة عامة: الأسبوع الرابع (26-30 يناير)

        واجبات القراءة: الفصل 3 من كتاب شفاتال

        • ركوب الدراجات ، المحور المتدهور ، الرأس المتدهور ، طريقة الاضطراب
        • القواعد المحورية ، أصغر قاعدة منخفضة ، قاعدة الزيادة الأكبر
        • قمة متدهورة ، قاعدة المعامل الأكبر ، توقف ، LPs غير المحدود
        • كيف تتحقق مما إذا كانت قمة الرأس الحالية متدهورة.
        • كيف تتحقق مما إذا كانت طريقة simplex متوقفة.
        • كيف تتحقق مما إذا كان LP غير مقيد.
        • كيفية اكتشاف ركوب الدراجات والهندسة وراء ركوب الدراجات.
        • دليل على أن الأساس الثابت له قاموس فريد مرتبط به.
        • كيفية منع ركوب الدراجات - قاعدة بلاند وطريقة الاضطراب.
        • النظرية الأساسية للبرمجة الخطية (البيان والإثبات).
        • تعقيد الخوارزمية البسيطة وأمثلة Klee-Minty.
        • المشكلة 3.1
        • المشكلة 3.2
        • المشكلة 3.9 (ب)
        • المشكلة 3.10
        • المشكلة 4.1 (ب) ، (ج) - يمكنك فعل ذلك بيانياً

        نظرة عامة: الأسبوع الخامس (2-6 فبراير)

        واجبات القراءة: الفصل 4 من كتاب شفاتال

        • القواعد المحورية ، أصغر قاعدة منخفضة ، قاعدة الزيادة الأكبر
        • تعقيد الخوارزمية البسيطة وأمثلة Klee-Minty.

        34:17 التنازل في فئته - التحليلات والقضاء على Gaussian

        يوم الأربعاء 3 فبراير

        اقرأ القسمين 1.1 و 1.2

        اعمل من خلال القيام بجولة في Maple ضمن قائمة تعليمات Maple
        اعمل من خلال مقدمة الدكتور بيكر إلى Maple: mw pdf Solutions

        اعمل من خلال الدليل التعليمي لبدء التشغيل السريع لـ Maple على الأقل ضمن مواد تدريب Maple.

        يوم الاثنين 8 فبراير

        اقرأ القسمين 1.1 و 1.2
        الصفحات 14-15 # 1 ب (استخدم نظرية القيمة المتوسطة) ، 3 ب (استخدم نظرية القيمة المتوسطة) ، 8 ، 10 ، (حلول 8 و 10 ميجاوات pdf) ، متدرج 7abc (يمكن استخدام Maple) (الحل mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 10 فبراير

        اقرأ القسم 1.3
        20-22 # 1bd، 3d، 4g (answer = .284)، 7a، 11، graded 2d (Solution)

        يوم الجمعة الموافق 12 فبراير

        اقرأ القسم 1.2
        المشروع 1: p.14 # 12ab (باستثناء استخدام Maple) (الحل mw pdf)

        بالنسبة للإعادة لأي شخص يقل عن 20/20 كدرجة ، قم بنفس المشكلة مع الوظيفة f (x) = ln (x 4 +3) (الحل mw pdf)

        يوم الاثنين 15 فبراير

        اقرأ القسم 1.4
        ص 28-29 ، 1 د ، 3 ، 7 ، 10 أ (الحلول - الحلول مرقمة بشكل مختلف عن المشاكل ، لكنها موجودة هنا) ، 11 أب (الحلول - الحلول مرقمة بشكل مختلف عن المشاكل ، لكنها موجودة هنا) ، متدرج:

        X1: أوجد معدل تقارب ليمن - & GT & # x221E ن / (ن 3 +2) = 0. (محلول)
        X2: أوجد معدل تقارب ليمح - & GT0 ه ح = 1. (حل)

        للإعادة:

        XX1: أوجد معدل تقارب ليمن - & GT & # x221E 6n 2 / (3n 5 +5) = 0. (محلول)
        XX2: أوجد معدل تقارب ليمح - & GT0 (1 + ه ح) = 2. (حل)

        يوم الأربعاء الموافق 17 فبراير

        المشروع 2:

        في جداول المثلثات القديمة التي تم استخدامها قبل انتشار الآلات الحاسبة ، انتقلت الجداول فقط من 0 درجة إلى 45 درجة ويمكن الحصول على جميع القيم المثلثية من الخطيئة إلى الحاسب الآلي منها. استخدم تيلور متعدد الحدود لعمل جدول خطيئة من 0 إلى 45 درجة بدقة لأربعة أرقام ، واطبع النتائج لكل 5 درجات. تذكر تغيير الدرجات لعملك إلى راديان. ابدأ بإيجاد درجة تيلور كثيرة الحدود التي تقارب الخطيئة من 0 إلى Pi / 4 بخطأ أقل من 0.0005. يمكنك استخدام الآلة الحاسبة الخاصة بك للتحقق من دقة نتائجك ، ولكن تأكد من إظهار الخطوات الضرورية للعملية.

        الحلول: mw pdf

        إعادة المشروع 2:

        قم بإنشاء جدول دالة أسية يرتفع بمقدار أعشار من 0 إلى 1. نريد أن تكون هذه القيم دقيقة لأربعة منازل عشرية بعد التقريب ، أي ضمن 0.0005 من القيم الدقيقة. نقوم بذلك باستخدام كثير حدود تايلور حول x0= 0 لتقريب الدالة الأسية. ومع ذلك ، يجب علينا أولاً إيجاد درجة تيلور متعدد الحدود التي ستمنحنا الدقة المطلوبة. نقوم بذلك من خلال إيجاد الحد الأعلى للخطأ من الدرجة n من تيلور متعدد الحدود. ضع في اعتبارك أن exp (x) هو مشتق خاص به ، وأن exp (x) يتزايد ، وأن exp (1) & lt3.

        الحلول: mw pdf

        يوم الاثنين الموافق 22 فبراير

        اقرأ الأقسام 2.1 و 2.2
        ص 38 # 3 ج (باليد) (الحل) ، 5 ب (الحل: mw pdf) ، 7 (الحل: mw pdf) ، 11 (الحل) ، المصنف 9 (الحل: mw pdf) ، 12 (يدويًا) (الحل) )

        الأربعاء 24 فبراير

        اقرأ القسم 2.3
        الصفحات 43-44 # 1a (باليد) ، 3d (باليد) ، 13b (الحل: mw pdf) ، 15 (16 في 3rd) ، متدرج 2a (يدويًا) (الحل) ، 4b (فقط في [1 ، 2]) (الحل: mw pdf)

        الجمعة 26 فبراير

        اقرأ القسمين 2.3 و 2.4
        ص 43-44 # 1 ب (يدويًا) ، 5 أ (يدويًا) ، 13 أ ، متدرج 2 ب (يدويًا) (محلول)
        ص 49-50 # 3 أ (باليد) ، 7 ب ، 17 ، متدرج 16 أ (الحلول: ميغاواط pdf)

        يوم الأربعاء 3 مارس

        اقرأ القسم 2.5
        ص. 54 # 1d (باليد) ، 5a (i-ii) (باليد) (الحل) ، 7a (لاحظ أن الأس هو -2 n ، وليس -2n) (الحل) ، متدرج 6a (باليد) (الحل) ، X (استخدم طريقة ستيفنسن لتقريب الجذر في [2،3] لـ 2 + sin xx = 0 إلى 10 -5 - في خطوات غير Stephensen ، استخدم النقطة الثابتة مع x = 2 + sin x) (الحل: ميغاواط pdf) ،

        اقرأ القسم 2.6
        ص 58-59 # 2 أ (استخدم نيوتن و هورنر الخوارزميات حسب الضرورة ، يمكنها التحقق من عملك باستخدام POLY على الآلة الحاسبة) ، 4 ب ، 12 (أرقام المجموعة: = 20 ، تقييم التعبير في الصفحة 59 ، ثم استخدم نيوتن لمعرفة مدى جودة Fibinacci) ، متدرج 2d (الحل: mw pdf) ، 4c (الحل: mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 10 مارس

        اقرأ القسم 3.2
        ص 73-75 # 1 أ (2) (تأكد يدويًا من أن تكون في وضع راديان - قيم cos مقربة إلى 6 أرقام عشرية) (الحل) ، 2 أ (2) (الحل) ، 3 أ (القيقب) (الحل mw pdf ) ، 7a (Maple) (الحل mw pdf) ، متدرج 10 (Maple - لا تستخدم الأرقام: = 4) (الحل: mw pdf)
        ملاحظة: لاستخدام اللوغاريتم المشترك للقاعدة 10 في Maple ، دعنا نقول للعثور على السجل للأساس 10 من 85 ، قم بما يلي:
        & gtevalf (log10 (85))

        اقرأ القسم 3.3
        ص 81-82 # 1a (قم بعمل الدرجة 2 فقط مع النقاط الثلاث الأولى يدويًا) ، متدرجًا 6 [انظر إلى إخراج Maple التالي: mw pdf. ما الذي تحتاج إلى إضافته أو تغييره للحصول عليه تقسيم_الفرق في نيلب للعمل بشكل صحيح.] (الحل: mw pdf) ، 12

        اقرأ القسم 3.4
        ص 86-87 # 1c (يدويًا - قارن الإجابة بوظيفة # 2c) ، متدرج 4a (اقترح Maple) (الحل: mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 17 مارس

        اقرأ الأقسام 3.5
        ص 97-99 (مشروع) # 5 ج ، 11 (باستثناء دع أ = 2) (حل) ، متدرج 12 (حل) ، & مثل العثور على شريحة مكعبة مجانية يدويًا للنقاط [0،1] ، [1،2] و [2، -1] & quot (حل)

        اقرأ القسم 4.2
        الصفحات 114-15 # 1g ، 3c ، 5a ، 11 ، 13a ، متدرج 4c ، 6a (الحل: mw pdf)

        الأربعاء 24 مارس

        اقرأ القسم 4.3
        ص 122-24 # 1g ، 2g ، 3g ، 5 ، متدرج 4 ، 8 (الحلول: ميغاواط pdf)

        اقرأ القسم 4.4
        الصفحات 130-32 # 1a، 3b، متدرج 2f، 4a (الحلول: mw pdf)

        اقرأ القسم 4.5
        ص 137-38 # 1 أ ، 3 ج ، متدرج 2 ب (الحل: mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 31 مارس

        اقرأ القسم 4.6
        ص 143-45 # 1b ، 3c ، متدرج 3b (الحل: mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 7 أبريل

        اقرأ القسم 5.2
        ص 182-83 # 1d (فقط أظهر أن IVP لديه حل فريد واعثر على الحل) ، 8 (فقط أظهر أن IVP لديه حل فريد واعثر على الحل) ، متدرج 1c (فقط أظهر أن IVP لديه حل فريد و اعثر على الحل) (الحل: mw pdf)

        (مشروع اختياري - تمت إضافة 10 نقاط إضافية إلى درجة المشروع) اكتب إجراءً gaussian ينفذ تربيع gaussian. بالنسبة للمعلمات ، ستحتاج إلى الوظيفة f (النوع الجبري) ، والحد الأدنى للتكامل أ (النوع الرقمي) ، والحد الأعلى للتكامل ب (النوع الرقمي) ، ودرجة Legendre متعدد الحدود n لاستخدامها (اكتب posint) ، و متغير الإرجاع S (اسم النوع). يمكن وضع عبارة with (orthopoly) داخل جسم الإجراء. جميع البيانات التي تحتاجها موجودة في أوراق العمل gaussian.mw و gaussian.pdf. يجب أن يكون الناتج الوحيد هو قيمة التكامل. اختبر الإجراء الخاص بك بشأن المشكلة 3 أ في الصفحة 138. (الحلول: mw pdf)

        اقرأ القسم 5.2
        ص 182-83 # 1 ج (باليد) ، 3 ب ، 9 أ (ثنائي) (الحلول: ميغاواط pdf) ، متدرج 8 أ (ثنائي) (الحلول: ميغاواط pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 14 أبريل

        اقرأ القسم 5.2
        ص 182-83 # 5c (الحلول: mw pdf) ، 9e (الحلول: mw pdf) ، متدرج 8e (الحلول: mw pdf)

        الاثنين ، أبريل19

        اقرأ القسم 5.4
        ص. 198 # 3b (فقط استخدم طريقة Adams-Bashforth المكونة من أربع خطوات) (الحلول: mw pdf) ، 4b (الحلول: mw pdf) ، متدرج 3c (فقط استخدم طريقة Adams-Bashforth المكونة من أربع خطوات - استخدم الحل لـ DE الواردة في النص) (الحلول: mw pdf) ، 4c (الحلول: mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 21 أبريل

        اقرأ القسمين 5.5 و 5.6
        p.203 # 3b (الحل: mw pdf) ، متدرج 4d (الحل: mw pdf)
        ص 213-14 # 3c (إذا لم تكن تستخدم NA ، فاستخدم abserr = Float (1، -4) - تجاهل hmax و hmin) (الحلول: mw pdf) ، متدرج 4b ((إذا لم تكن تستخدم NA ، فاستخدم abserr = Float (1، -6) - تجاهل hmax و hmin) (الحلول: mw pdf)

        اقرأ القسم 5.7
        ص 221-22 # 1 ب (الحل: mw pdf) ، 2c (الحل: mw pdf) ، متدرج 6 (الحلول: mw pdf) (استخدم rk4 لجميع المشكلات مع h = 0.1 لـ # 6)

        اقرأ القسم 5.8
        ص. 227 # 1a (باستخدام طريقة rk4) (الحل: mw pdf) ، 1b (طريقة rosenbrock) (الحل: mw pdf) ، متدرج 1d (باستخدام طريقة lsode [backfull]) (الحل: mw pdf)

        يوم الأربعاء الموافق 28 أبريل

        اقرأ القسم 6.2
        ص 238-240 # 1acg (فقط رسم بياني يدويًا - كما هو الحال في فئة الجبر) ، 3f (حذف Gaussiam يدويًا) ، متدرج 4d (إزالة Gaussian مع Maple ، مجموعة الأرقام: = 7) (الحل: mw pdf)

        اقرأ القسم 6.3
        ص. 246-47 # 7d (مجموعة الأرقام: = 3 ، تقريب مكون من 3 أرقام) ، 8d (مجموعة الأرقام: = 3 ، تقريب مكون من 3 أرقام) ، متدرج 5d (استخدم التدوير المحوري الكامل بالأرقام: = 10) (الحل: mw pdf)

        اقرأ القسم 6.4
        ص 256-60 # 2de (بالإضافة إلى البحث عن محددات كل منها يدويًا) ، متدرج 4 ب (الحل: mw pdf)

        اقرأ القسم 6.5
        ص 265-66 # 1 أ ، 3 ق.م ، متدرج 5 أ (تجاهل التعليمات الواردة في 2 أ لثانيا = 1 لكل i.) (الحل: mw pdf)

        اقرأ القسم 7.2
        ص 284-85 # 1ac، 3bc، 5a، متدرج 2b (الحل: mw pdf)

        اقرأ القسم 7.3
        ص 291-92 # 1ag ، 5ag ، متدرج ساعتين (الحل: mw pdf)


        34:17 التنازل في فئته - التحليلات والقضاء على Gaussian

        ساعات العمل: MW: 3: 30-4: 30 وعن طريق التعيين (فقط تحدث معي بعد الفصل ، أو أرسل لي بريدًا إلكترونيًا)

        المكتب: APM 5256 ، هاتف. (858) 534-2734

        مساعدو التدريس: جيريمي جرين (البريد الإلكتروني: [email protected]) ساعات العمل: MW10-11: 30 APM 6434 و Michael Kelly (البريد الإلكتروني: [email protected]) ساعات العمل: F10-12 APM 6333

        حساب الدرجة: يتم احتساب الدرجة من درجاتك في النهائي (50٪) ، 2 منتصف الفصل الدراسي (20٪ لكل منهما) ، والواجب المنزلي (10٪). درجة النجاح للنهائي المطلوبة لاجتياز الدورة! سأجعل التدريب النهائي متاحًا قبل النهائي الحقيقي.

        منتصف المدة: 10/20 و 11/17 في الفصل

        نصوص

        المنهج: هو مقرر ثانٍ في الجبر الخطي يركز على الجوانب والتطبيقات الحسابية ، مع تقديم المفاهيم الهندسية. نبدأ بمراجعة سريعة للطرق الأساسية لحل أنظمة المعادلات الخطية والفراغات والمفاهيم الهندسية المرتبطة بها. ستغطي التطبيقات الرسوم البيانية والشبكات ، وأقل مشاكل التربيعية ، وتحويل فورييه السريع ، والفرق والمعادلات التفاضلية والحلول العددية لهذه. ستذهب الدورة إلى أبعد من الدورة الأولى في تحليل المصفوفات. ينتج القطر عن عوامل لمعظم المصفوفات المربعة ولكن بشكل عام لدينا المثلث والشكل الأردني العادي. ينتج عن إزالة Gaussian و Gram-Schmidt orthogonalization تحليلات ولكن الأكثر فائدة هو تحليل القيمة المفردة ، والذي يمكن استخدامه على وجه الخصوص لبناء عكسي زائف عندما لا يكون هناك معكوس لحل مشاكل المربع الأقل.

        المنهج التفصيلي المؤقت (قد يتغير ، أي أننا قد نذهب أسرع قليلاً أو أبطأ مما هو مذكور):

        الأسبوع 1 (حتى 10/1): 1.1-7 ، 2.1 المصفوفات ووظائف الحذف الغاوسية ، الفراغات المتجهة والفراغات الفرعية
        الأسبوع 2: 2.2-5 حل Ax = b ، الاستقلال الخطي ، الأساس والأبعاد
        الأسبوع 3: 2.4-6 المساحات الفرعية الأساسية الأربعة ، الرسوم البيانية والشبكات ، التحولات الخطية
        الأسبوع 4: 3.1-3.4 المتجهات المتعامدة والفئات الفرعية ، الإسقاطات ، المربعات الصغرى ، المصفوفات المتعامدة ، غرام شميت ،
        الأسبوع الخامس: 3.5: تحويل فورييه السريع ، 4.1-4 محددات
        الأسبوع السادس:
        الأسبوع السابع:
        الأسبوع الثامن:
        الأسبوع التاسع:
        الأسبوع العاشر:

        يجب تشغيل الواجبات المنزلية في التاريخ المحدد أو قبله ، عادةً يوم الأربعاء في أو قبل 5 مساءً. يجب أن يتوفر صندوق بريد في الطابق السادس من APM ، ولكن تحقق من TAs أولاً في الأسبوع الأول. لا يلزم تسليم واجبات منزلية يوم الأربعاء عندما يتم جدولة منتصف الفصل الدراسي. ومع ذلك ، قد تكون بعض الواجبات المنزلية أيضًا جزءًا من المادة المطلوبة لمنتصف المدة. من المهم جدًا أن تحل مشاكل الواجبات المنزلية لأن معظم مشاكل الامتحان ستكون من مشاكل متنوعة في الواجبات المنزلية.

        إخلاء المسؤولية: سأحاول الحصول على الواجب المنزلي على الشبكة في الوقت المناسب. بسبب الوقت والقيود الأخرى ، قد لا يكون هذا ممكنًا دائمًا. لذلك لا تعني حقيقة عدم وجود مهمة تم نشرها في تاريخ معين بالضرورة عدم وجود واجب منزلي مستحق.

        9/29: ثانية. 1.2: 3 ، 10 ، ثانية. 1.3: 3 (خطأ مطبعي: المعادلة 2 -> المعادلة 1 ، المعادلة 3 -> المعادلة 2) ، 18 ، 31 ، ثانية. 1.4: 6 ، 10 ، 30.32

        لمدة 10/6: ثانية. 1.5: 1 ، 4 ، 15 ، ثانية. 1.6: 4،6،22،35،50 ، ثانية. 1.7: 3،6 ثانية. 2.1: 3 ، 7abcf ، 8 ، 25 ، 26 ،

        لمدة 10/13: ثانية. 2.2: 5 ، 8 ، 10 ، 24 ، 25 ، ثانية: 2.3: 2،10 ، 12،13،20،26،30 ، ثانية. 2.4: 2،5،8،27،28 ،

        لـ 10/27: ثانية 2.5: 6 ، 8 ، ثانية. 2.6: 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 16 ، 18 ، 22 ، 33 ، ثانية. 3.1: 2 ، 7 ، 11 ، 14 ، 16 ، 19 ، 22 ، 32 ، 37 ، 44 ، 51 ، ثانية. 3.2: 14 ، 17 ، 19 ، 21 ،

        لمدة 11/3: ثانية. 3.3: 4،6،12 ، 17 ، 22 ، 27 ، ثانية. 3.4: 13 ، 15 ، 16 ، 21 ، 23 ، (تمت إزالة 30) ، ثانية. 3.5: 11،14 ،

        لمدة 11/10: ثانية. 4.2: 2،7،10،12،14،18،28 ، ثانية. 4.3: 3،5،28،43 ، ثانية. 4.4: 5 ، 10 ، 14 ، 18 ،

        لـ 11/17: لا يلزم تسليمها ، ولكنها ذات صلة بمنتصف المدة. سيتم نشر الحلول أدناه: ثانية. 5.1: 5 ، 7 ، 14 ، 25 ، 27 ، ثانية. 5.2: 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 15 ، 21 ، 29 ، 30 ، 34 ، 40 ،

        لمدة 11/24: ثانية. 5.3: 2 ، 8 ، 10 ، 12 ، 15 ، 25 ، 28 ، ثانية. 5.4: 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 9 ،

        لمدة 12/1: ثانية. 5.5: 16،17،18،36،38 ، 41،44،46 ثانية. 5.6: 3 ، 8 ، 11 ، 13 ، 17 (استخدم 5R في الصفحة 296) ، 25 ، 31 ، 41 ، 44 ،

        للنهائي (لا يلزم تسليمه ، ولكن سيتم نشر الحلول النهائية لاحقًا): Sec 6.2: 2،4،8،23،27،29،30 ، القسم 6.3: 2،3،5،10،15 ، 19 ،

        حلول للفترات النصفية: لقد تجاوزت مساعدي المساعدة النصفية في أقسام. لذلك لن ننشر حلولاً للفترات النصفية. ومع ذلك ، سأوضح أدناه كيف تتشابه مشاكل منتصف المدة الثانية مع مشاكل الواجبات المنزلية ، والتي يمكنك البحث عن حلول لها ، أو أعطي بعض المؤشرات الأخرى حول كيفية القيام بها.

        كانت المشكلة 1 (أ) مثل المشكلة 7 في القسم 2.6 ، ولكنها أسهل ، وبالنسبة إلى (ب) كان عليك فقط تربيع المصفوفة.

        كانت المشكلة 2 (أ) هي Gram-Schmidt (الحل: (1،2،2،0) و (0،2 ، -2،1)) ، كانت المشكلة 2 (ب) مثل المشكلة 16 في القسم 3.1 على سبيل المثال ، أنت can solve it by calculating the null space of the 2 by 4 matrix with rows (1,2,2,0) and (1,4,0,1). Problem 2(c) is just the projection u of x onto S, which is u = (1,10/3, 2/3, 2/3)^T, and for 2(d) we have u as in 2(c) and v = x - u .

        In Problem 3 you calculate the determinant by putting it into echelon form (solution: 1), and for (b) det(2C)=8 det(C).

        Problem 4(a),(b) was like Problem 14 of Section 5.1. To review: B has rank 1, and hence the null space has dimension 3, and we have had several problems where one calculates a basis for a nullspace. For a rank 1 matrix, any column vector is an eigenvector. In our case, B can be written as B=vv^T, where v^T=(1,-1,1,-1). Then you see that Bv=vv^Tv=4v. For 4(c) you just have to know that the columns of S consist of a basis of eigenvectors of B, which have been calculated in parts (a) and (b), and that the diagonal entries of Lambda are the eigenvalues of B, i.e. 4,0,0,0 to solve part (d) (here we assume that the first column of S is the eigenvector for 4, and the following three column vectors are a basis for the null space of B).

        Final: We will have the same rules for the final as for the midterm. One cheat sheet, no calculators, books or other tools. Please bring bluebook/paper. I will post solutions for homework problems below. The new problems start with posting 8, part of which was already made available for the second midterm. Here is also a practice final given by another professor, with solutions. Please read below how my final may differ from that practice final, and for further tips.

        Office hours for exam week: Jeremy: TW 9-12 (APM 6434), Hans Wenzl: MT 3-4+ (i.e. I'll stay beyond 4 if there are students around) (APM 5256)

        More remarks: The practice final has two problems concerning calculating determinants, and two problems concerning solving linear equations and fundamental subspaces. Probably, our final will contain somewhat fewer problems of that type. Also, we have not covered material for question 8(c). Instead, some of the following problems may be on the exam:

        - Calculate SVD for a given matrix

        - Matrix of a linear transformation

        - Exponential or large power of a matrix solution of system of differential equation

        - Properties of positive definite matrices, of symmetric matrices, Hermitian matrices

        Midterm: The second midterm takes place in class on Wednesday, 11/17. The material goes primarily over the assignments for 10/27 until 11/17. Previous material will only be relevant if it is needed in connection with problems of these later sections. You are allowed to use one hand-written cheat sheet, but no books or calculators. Below is a practice midterm with solutions (but only look at the solutions after you have tried the problems in serious. You can also find solutions for homework problems below that.


        Columbia University UN2010 Section 003 Linear algebra, Spring 2017

        Our teaching assistants hold their office hours in the Help Room in Math 406. The Help Room is open Monday-Thursday 9am-6pm and Friday 9am-4pm. You can go there any time during open hours to get help with the material (not just from our TAs).

        كتاب مدرسي Otto Bretscher Linear algebra with applications, Fifth edition. Cheaper 4th edition is fine too, except for the homework problems, which come from the 5th edition. If you buy the fourth edition, you'll need to get the correct problems from a friend who has the 5th edition

        Syllabus: Our goal is to cover chapters 1 through 8 of the textbook, with few omissions. The topics are: systems of linear equations and Gaussian elimination, matrices, linear transformations, subspaces, linear spaces, orthogonality and the Gram-Schmidt, determinants, eigenvalues, eigenvectors, symmetric matrices.

        Homework: Homework consists in reading the textbook sections before class according to the schedule of lectures and writing down (and turning in) the solutions of problems. The homework problems will be assigned on Tuesdays in Class, due Tuesday the next week before class. Drop the homework off to the hw box with my name on it on the 4th floor of the Math building Two lowest homework scores will be dropped. Graded homework can be picked up from a tray on the 6th floor (up the stairs, turn left and through the door, the table with hw trays is to your left half the hall way). LATE HOMEWORK WON'T BE ACCEPTED. The numerical grade for the course will be the following linear combination:
        15% homework, 25% each midterm, 35% final.

        Homework Assignment

        Homework 1, due Tuesday January 24th. Solve in Section 1.1: # 6, 18, 24, 37, 44 and in Section 1.2: # 2, 4, 9, 11, 18.


        Homework 2, due Tuesday January 31st. Solve in Section 1.2: # 29, 37, 67, in Section 1.3: # 2. 8, 9, 24, 50 and in Section 2.1: # 6, 8.


        Homework 3, due Tuesday February 7th. Solve in Section 2.2: # 14, 32, 39, in Section 2.3: # 7, 20, 47, 60 and in Section 2.4: # 4, 30, 84.


        Homework 4, due Tuesday February 28th. Solve in Section 3.1: # 7, 20, 34, 46, 50 in Section 3.2: # 3, 14, 15, 37, 41.


        Homework 5, due March 7th. Solve in Section 3.2: # 46, 52, 57 in Section 3.3: # 16, 27, 33, 36, 39, 62, 69.


        Homework 6, due March 21st. Solve in Section 3.4: # 45, 60, 82, in Section 4.1: # 29, 49, 59, in Section 4.2: # 7, 53, 65, 70, in Section 4.3: # 38, 62.


        Homework 7, due April 4th. Solve in Section 5.1: # 12, 14, 16, 23, 31 and in Section 5.2: # 29, 35, 38, 44.


        Homework 8, due April 11th. Solve in Section 5.3: # 30, 38, 42, 67 and in Section 5.5: # 5, 10, 16, 20.


        Homework 9, due April 18th. Solve in Section 6.1: # 10, 15, 28, 50 and in Section 6.2: # 5, 23, 31, 43, 45, 54.


        Homework 10, due April 25th. Solve in Section 6.3: # 10, 11, 38, 39, in Section 7.1 : # 13, 44, 53, 64 and in section 7.2 # 2, 22, 33, 45.


        34: 17 In-Class Assignment - Decompositions and Gaussian Elimination

        The Final Course Average will come from 3 sources: Graded Quizzes, Midterm Exams, and the Comprehensive Final Exam. All individual scores on graded work will be converted to percentage scores. Then these percentage scores will be used to calculate your Final Course Average using the following criteria:

        • Graded Quiz Average contributes 15%.
        • Midterm Exam Average contributes 65%.
        • Comprehensive Final Exam contributes 20%.

        You may take each of the Graded Quizzes one time before the deadline date and time that appear to the right of the quiz link in the Quiz and Test System for that quiz.

          • Graded Quizzes in Math 1114 are accessible from any location.
          • You will have scores for 17 Graded Quizzes this semester.
          • Your scores on Graded Quizzes will count in your final course average. See the Deadlines section below for details Only the highest 12 Graded Quiz scores will be used to calculate your ending Quiz % Average at the end of the semester. انظر Deadlines section below for details.

          For more details about Graded Quizzes and how to study for your quizzes, go to the الإختبارات صفحة.

          Proctored Exams:

          • Midterm Exams:
            • Each Midterm Exam consists of 18 problems in multiple-choice format covering the same material as the corresponding Practice Problems.
            • You may take each midterm exam one time before the deadline date and time that appear to the right of the exam link in the Quiz and Test System for that exam.
            • Midterm Exams are only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.
            • All 4 of your Midterm Exams will count in your Midterm Exam Average. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), when calculating your ending Midterm Exam Average at the end of the semester, the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam percentage score is higher. انظر Deadlines section below for details.

            • The Final Exam consists of 25 problems in multiple-choice format covering all the course content.
            • You may take the Final Exam one time before the deadline.
            • The Final Exam is only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.

            For more details about Proctored Exams, including Honor System and calculator policies, go to the Proctored Exams صفحة.

            Deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will be strictly enforced. You can find your deadline for graded work by logging into the Quiz and Test System and viewing the "Must Be Started By" date and time that appear to the right of the link for each graded quiz or exam. As implied by the "Must Be Started By" statement, the deadline is the latest day and time that you can begin your graded work. Unless there are documented extenuating circumstances (see *NOTE* below), deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will not be extended.

              Midterm Exams:

            A missed exam will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam is higher.

            A missed quiz will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), your Graded Quiz Average will be calculated using the percentage scores from your highest 12 Graded Quiz scores.

            *NOTE* For extenuating circumstances, you must contact Schiffert Health Center or Student Advocacy in 109 Eggleston Hall to provide documentation to your college. You are expected to work ahead so that you do not miss a deadline due to a one or two day illness or other unforeseen circumstance that fails to satisfy Schiffert or Student Advocacy requirements for documentation. Failure to meet this expectation is not a valid reason for a deadline extension.

            The Undergraduate Honor Code pledge that each member of the university community agrees to abide by states:

            "As a Hokie, I will conduct myself with honor and integrity at all times. I will not lie, cheat, or steal, nor will I accept the actions of those who do."

            Students enrolled in this course are responsible for abiding by the Honor Code. A student who has doubts about how the Honor Code applies to any assignment is responsible for obtaining specific guidance from the course instructor before submitting the assignment for evaluation. Ignorance of the rules does not exclude any member of the University community from the requirements and expectations of the Honor Code.


            شاهد الفيديو: Function Decomposition Diagram: FDD, مخطط التقسيم االوظائفي (شهر اكتوبر 2021).