مقالات

1.1: مقدمة في المعادلات الخطية


أهداف التعلم

  • ما هي إحدى العادات المزعجة لعلماء الرياضيات؟
  • ما هو الفرق بين الثوابت والمعاملات؟
  • هل يمكن أن يكون المعامل في المعادلة الخطية (0 )؟

سنبدأ هذا القسم بفحص مشكلة ربما تعرف بالفعل كيفية حلها.

مثال ( PageIndex {1} )

افترض أن هناك جرة تحتوي على كرات حمراء وزرقاء وخضراء. قيل لك أن هناك إجمالي 30 كرة في الجرة ؛ عدد الرخام الأحمر ضعف عدد الكرات الخضراء ؛ عدد الكرات الزرقاء هو نفس مجموع الرخام الأحمر والأخضر. كم عدد الكرات من كل لون؟

حل

يمكننا محاولة حل هذه المشكلة ببعض التجارب والخطأ ، وربما نحصل على الإجابة الصحيحة دون بذل الكثير من الجهد. ومع ذلك ، فإن هذا لن يفسح المجال لتعلم أسلوب جيد لحل المشكلات الأكبر ، لذلك دعونا نكون أكثر رياضية حول هذا الموضوع.

دعنا (r ) نمثل عدد الكرات الحمراء ، ولنتيح (ب ) و (ز ) للإشارة إلى عدد الكرات الزرقاء والخضراء ، على التوالي. يمكننا استخدام العبارات المعطاة حول الكرات الموجودة في الجرة لإنشاء بعض المعادلات.

نظرًا لأننا نعلم أن هناك 30 كرة من الرخام في المرطبان ، فإننا نعلم أن [ label {eq: rbg30} r + b + g = 30. ] أيضًا ، قيل لنا أن هناك ضعف عدد كرات الرخام الأحمر مثل الرخام الأخضر ، لذلك نعلم أن [ label {eq: r2g} r = 2g. ] أخيرًا ، نعلم أن عدد الكرات الزرقاء هو نفس مجموع الرخام الأحمر والأخضر ، لذلك لدينا [ تسمية { مكافئ: brg} ب = ص + ز. ]

من هذه المرحلة ، لا توجد طريقة واحدة "صحيحة" للعمل. بدلاً من ذلك ، هناك العديد من الطرق لاستخدام هذه المعلومات لإيجاد الحل. إحدى الطرق هي دمج الأفكار من المعادلات ( eqref {eq: r2g} ) و ( eqref {eq: brg} ) ؛ في ( eqref {eq: brg} ) استبدل (r ) بـ (2g ). هذا يعطينا [ label {eq: b3g} b = 2g + g = 3g. ] يمكننا بعد ذلك دمج المعادلات ( eqref {eq: rbg30} ) ، ( eqref {eq: r2g} ) و ( eqref {eq: b3g} ) باستبدال (r ) في ( eqref {eq: rbg30} ) بـ (2g ) كما فعلنا من قبل ، واستبدال (b ) بـ (3g ) للحصول على [ start {align} r + b + g & = 30 notag 2g + 3g + g & = 30 notag 6g & = 30 notag label {eq: g5} ز & = 5 نهاية {محاذاة} ]

يمكننا الآن استخدام المعادلة ( eqref {eq: g5} ) للعثور على (r ) و (b ) ؛ نعلم من ( eqref {eq: r2g} ) أن (r = 2g = 10 ) ومن ثم منذ (r + b + g = 30 ) ، نجد ذلك بسهولة (b = 15 ) .

غالبًا ما يرى علماء الرياضيات حلولًا لمشكلات معينة ثم يسألون "ماذا لو ( ldots )؟" إنها عادة مزعجة من الأفضل أن نطورها - يجب أن نتعلم كيف نفكر مثل عالم الرياضيات. ما هي الأنواع الصحيحة من أسئلة "ماذا لو" التي يجب طرحها؟ إليك عادة مزعجة أخرى لعلماء الرياضيات: غالبًا ما يطرحون أسئلة "خاطئة". أي أنهم غالبًا ما يطرحون أسئلة ويجدون أن الإجابة ليست مثيرة للاهتمام بشكل خاص. لكن طرح أسئلة كافية غالبًا ما يؤدي إلى بعض الأسئلة الجيدة "الصحيحة". لذلك لا تخافوا من فعل شيء "خاطئ" ؛ نحن علماء الرياضيات نفعل ذلك طوال الوقت.

إذن ما هو السؤال الجيد الذي يجب طرحه بعد مشاهدة مثال ( PageIndex {1} )؟ فيما يلي سؤالان محتملان:

  1. هل كان علينا حقًا استدعاء الكرات الحمراء " (r )"؟ هل يمكن أن نسميها " (ف )"؟

  2. ماذا لو كان لدينا 60 كرة في البداية بدلاً من 30؟

دعونا نلقي نظرة على السؤال الأول. هل سيتغير حل مشكلتنا إذا أطلقنا على الكرات الحمراء (ف )؟ بالطبع لا. في النهاية ، وجدنا أن (q = 10 ) ، وسنعرف أن هذا يعني أن لدينا 10 كرات حمراء.

الآن دعونا نلقي نظرة على السؤال الثاني. لنفترض أن لدينا 60 كرة ، لكن العلاقات الأخرى ظلت كما هي. كيف سيتغير الوضع والحل؟ دعنا نقارن المعادلات "الأصلية" بالمعادلات "الجديدة".

إبداعيجديد
(ص + ب + ج = 30 ) (ص + ب + ج = 60 )
(ص = 2 جرام ) (ص = 2 جرام )
(ب = ص + ز ) (ب = ص + ز )

جدول ( PageIndex {1} )

من خلال فحص هذه المعادلات ، نرى أنه لم يتغير شيء باستثناء المعادلة الأولى. ليس من المبالغة في الخيال أن نرى أننا سنحل هذه المشكلة الجديدة تمامًا بنفس الطريقة التي حلنا بها المشكلة الأصلية ، باستثناء أنه سيكون لدينا ضعف عدد كل نوع من الكرة.

استنتاج من الإجابة على هذين السؤالين هو: لا يهم ما نسميه متغيراتنا ، وبينما يؤدي تغيير الثوابت في المعادلات إلى تغيير الحل ، فإنها لا تغير حقًا طريقة كيف نحل هذه المعادلات.

في الواقع ، إنه اكتشاف رائع أن ندرك أن كل ما نهتم به هو الثوابت و ال المعاملات من المعادلات. من خلال التعامل مع هذه الأمور بشكل منهجي ، يمكننا حل أي مجموعة من المعادلات الخطية بطريقة لطيفة جدًا. قبل أن نمضي قدمًا ، يجب أن نحدد أولاً ما هي المعادلة الخطية.

التعريف: معادلة خطية

أ معادلة خط مستقيم هي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة [a_1x_1 + a_2x_2 + cdots + a_nx_n = c ] حيث تكون (x_i ) متغيرات (المجهول) و (a_i ) معاملات و (c ) ثابت.
أ نظام المعادلات الخطية هي مجموعة من المعادلات الخطية التي تتضمن نفس المتغيرات.
أ المحلول نظام المعادلات الخطية عبارة عن مجموعة من القيم للمتغيرات (x_i ) بحيث يتم استيفاء كل معادلة في النظام.

لذلك في المثال ( PageIndex {1} ) ، عندما أجبنا "كم عدد كرات كل لون هناك؟" ، كنا نجيب أيضًا "إيجاد حل لنظام معين من المعادلات الخطية."

فيما يلي أمثلة على المعادلات الخطية:

[ start {align} begin {align} 2x + 3y-7z & = 29 x_1 + frac72x_2 + x_3-x_4 + 17x_5 & = sqrt [3] {- 10} y_1 + 14 ^ 2y_4 + 4 & = y_2 + 13-y_1 sqrt {7} r + pi s + frac {3t} {5} & = cos (45 ^ circ) end {align} end {align} ]

لاحظ أن المعاملات والثوابت يمكن أن تكون كسورًا وأرقامًا غير منطقية (مثل ( pi ) و ( sqrt [3] {- 10} ) و ( cos (45 ^ circ) )). المتغيرات تأتي فقط في شكل (a_ix_i ) ؛ أي متغير واحد فقط مضروبًا في معامل. (لاحظ أن ( frac {3t} {5} = frac35t ) ، مجرد متغير مضروب في المعامل.) أيضًا ، لا يهم حقًا أي جانب من المعادلة نضع المتغيرات والثوابت ، على الرغم من نكتبها في معظم الأحيان مع المتغيرات على اليسار والثوابت على اليمين.

لن نعتبر مجموعة المعادلات أعلاه تشكل نظامًا من المعادلات ، حيث تستخدم كل معادلة متغيرات مسماة بشكل مختلف. مثال على نظام المعادلات الخطية هو [ start {align} begin {align} x_1-x_2 + x_3 + x_4 & = 1 2x_1 + 3x_2 + x_4 & = 25 x_2 + x_3 & = 10 end { محاذاة} نهاية {محاذاة} ]

من المهم ملاحظة أنه لم تستخدم جميع المعادلات جميع المتغيرات (من الأكثر دقة أن نقول إن المعاملات يمكن أن تكون 0 ، لذلك كان من الممكن كتابة المعادلة الأخيرة كـ (0x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 10 ) ). أيضًا ، لا يعني وجود أربعة مجاهيل أن لدينا أربع معادلات. كان من الممكن أن نحصل على عدد أقل ، أو واحد فقط ، وكان بإمكاننا الحصول على المزيد.

للحصول على شعور أفضل بالمعادلة الخطية ، نشير إلى بعض الأمثلة على ماهية المعادلة الخطية ليس المعادلات الخطية.

[ start {align} start {align} 2xy + z & = 1 5x ^ 2 + 2y ^ 5 & = 100 frac1x + sqrt {y} + 24z & = 3 sin ^ 2x_1 + cos ^ 2x_2 & = 29 2 ^ {x_1} + ln x_2 & = 13 end {align} end {align} ]

المثال الأول ليس معادلة خطية لأن المتغيرين (س ) و (ص ) مضروبتان معًا. الثانية ليست معادلة خطية لأن المتغيرات ترفع إلى قوى أخرى غير 1 ؛ هذه أيضًا مشكلة في المعادلة الثالثة (تذكر أن (1 / x = x ^ {- 1} ) و ( sqrt {x} = x ^ {1/2} )). لا يمكن أن تكون متغيراتنا وسيطة دالة مثل ( sin ) أو ( cos ) أو ( ln ) ، ولا يمكن رفع متغيراتنا كأسس.

في هذه المرحلة ، لا يزال يتعين علينا مناقشة كيفية إيجاد حل فعال لنظام المعادلات الخطية. هذا هو هدف الأقسام القادمة. الآن نحن نركز على تحديد المعادلات الخطية. من المفيد أيضًا أن "يلين" من خلال حل بعض أنظمة المعادلات باستخدام أي طريقة متوفرة لدينا لتحديث ذاكرتنا حول العملية الأساسية.


جامعة ولاية كانساس

يغطي هذا الفيديو:
* مفردات المفردات: خطي ، درجة أولى ، معادلة ، حل
* الفرق بين التعابير والمعادلات
* خصائص المساواة
* خطوات حل المعادلات الخطية بما في ذلك الهدف العام

أمثلة:

1.2 أمثلة على حل المعادلات الخطية

يغطي هذا الفيديو:
* العمل من خلال جميع خطوات حل المعادلات الخطية
* تفاصيل خطوة بخطوة حول كيفية التحقق من الحل الخاص بك
* عرض طرق متعددة لحل المعادلات الخطية
* تذكير بأن الكسور غير الصحيحة أفضل من الكسور المختلطة و / أو الكسور العشرية

أمثلة:

1.3 أمثلة أساسية لحل المعادلات المنطقية الخطية

يغطي هذا الفيديو:
* ما معنى عقلاني
* مراجعة خطوات حل المعادلات الخطية
* مراجعة عمليات الكسر الأساسية
* مراجعة عملية فحص الحلول

أمثلة:

1.4 أمثلة متقدمة لحل معادلة منطقية خطية

يغطي هذا الفيديو:
* مراجعة خطوات حل المعادلة المنطقية الخطية
* مراجعة عمليات الكسر الأساسية

أمثلة:

1.5 حل المعادلات المنطقية الخطية باستخدام الخدعة السحرية

يغطي هذا الفيديو:
* خطوات الاستفادة من طريقة الخدعة السحرية
* مراجعة كيفية العثور على شاشة LCD (أقل قاسم مشترك)
* خطوات حل المعادلات الكسرية بحذف جميع قواسم الكسور
* لماذا تعتبر طريقة الخدعة السحرية أفضل من طريقة الكسر

أمثلة:

1.6 استخدام الخدعة السحرية مع المتغيرات في المقام

يغطي هذا الفيديو:
* مراجعة سبب كون طريقة الحيلة السحرية أفضل من طرق الكسر
* لماذا يجب عليك التحقق من الإجابات إذا كانت هناك متغيرات في المقام
* مراجعة خطوات استخدام الخدعة السحرية
* مراجعة كيفية عمل الطرح بين الكسور بشكل مختلف عن الجمع
* كيفية التعامل مع أكثر من مصطلح في القواسم الفردية
* ماذا يحدث عندما لا يتم فحص الحل الخاص بك بشكل صحيح
* الفرق بين لا حل وغير محدد

أمثلة:

1.7 استخدام الخدعة السحرية مع كثيرات الحدود في المقام

يغطي هذا الفيديو:
* كيف تؤكد كثيرات الحدود في المقام على الخطوة الأولى في التحليل
* مراجعة خطوات استخدام الخدعة السحرية
* مراجعة كيفية عمل الطرح بين الكسور بشكل مختلف عن الجمع
* كيفية التعامل مع أكثر من مصطلح في القواسم الفردية

أمثلة:


حل

يمكننا إيجاد أي من النقاط المعطاة على السطر $ y = 2x + 1 $ من خلال معرفة ما إذا كان إحداثيات $ x $ و $ y $ تفي بالمعادلة. بالنسبة للنقطة الأولى ، حيث $ y = 1 $ و $ x = 0 $ ، نرى ذلك

وهذا صحيح ، وبالتالي فإن النقطة $ (0،1) $ على المحك. ومع ذلك ، بالنسبة إلى $ (2، -1) $ ، باستبدال $ x = 2 $ و $ y = -1 $ ، يكون لدينا

وهكذا فإن $ (2، -1) $ ليس على المحك.

بالاستمرار بهذه الطريقة ، نرى أن $ (0،1) و (2،5) و (1 / 2،2) $ و $ (- 1، -1) $ هي نقاط على السطر و $ (2، - 1) $ و $ (. 5،1) $ ليست نقاط على المحك.

يمكننا إيجاد ثلاث نقاط أخرى عن طريق الاختيار التعسفي لقيمة $ x $ واستخدام معادلة الخط للعثور على قيم $ y $ المقابلة: $ (- 2، -3)، (1، 3)، (-1/2 ، 0) دولار.

باختيار قيم $ x $ ، مثل $ x = 0 $ ، $ x = 1 $ ، $ x = 2 $ ، $ x = -1 $ ، و $ x = -2 $ ، نجد $ y $ المقابل القيم ولها عدة نقاط تقع على الرسم البياني للوظيفة:

من خلال رسم هذه النقاط ، نصل إلى الرسم البياني التالي:

يمكن كتابة دالة خطية بالصيغة $ y = mx + b $ ، وهذه المعادلة غير مكتوبة بهذه الصيغة. قد نتساءل عما إذا كان يمكن كتابته بهذا الشكل باستخدام خدعة ذكية لم نفكر فيها بعد. إذا كانت دالة خطية ، فسيكون رسمها البياني خطًا مستقيمًا. الرسم البياني لـ $ y = 2x ^ 2 + 1 $ يحتوي على النقاط الخمس المذكورة أعلاه ، وهذه النقاط الخمس لا تقع في خط. وبالتالي ، فهي ليست دالة خطية.

فيما يلي قائمة بالاختلافات بين هاتين الوظيفتين. قد تتضمن الإجابات المحتملة بعض الاختلافات أو كلها أو أكثر.

  • الرسم الأول عبارة عن خط مستقيم ، والرسم الثاني منحني.
  • الحد $ x $ تربيع في الدالة الثانية وليس في الأولى.
  • الدالة الأولى لها قيم $ y $ سالبة وموجبة ، والدالة الثانية لن تحتوي أبدًا على قيم $ y $ سالبة.
  • مع زيادة $ x $ بمبالغ متساوية ، تزداد قيم $ y $ في الوظيفة الأولى أيضًا بمبالغ متساوية (معدل التغيير ثابت) لكن قيم $ y $ للدالة الثانية تزداد بمبالغ أكبر وأكبر (معدل التغيير يتزايد) حيث يصبح $ | x | $ أكبر.
  • الوظيفة الأولى لها انحدار ثابت (انحدار). يتغير انحدار الوظيفة الثانية.
  • الوظيفة الثانية متناظرة حول المحور $ y $ ، والدالة الأولى ليست كذلك.
  • تتجاوز الوظيفة الأولى المحور $ x $ (عند $ (- 1 / 2،0) $) ، ولا تتخطى الوظيفة الثانية المحور $ x $ أبدًا.
  • كل قيمة $ y $ في الوظيفة الأولى لها قيمة $ x $ واحدة بالضبط. في الوظيفة الثانية ، تحتوي معظم قيم $ y $ على قيمتين محتملتين لـ $ x $ (على سبيل المثال: $ (- 2،9) $ و $ (2،9) $ يقع كلاهما على الرسم البياني الثاني).

اكسيومجيك

1.1 مقدمة لأنظمة المعادلات الخطية 2012-03-23

يعرّف هذا الفصل المعادلات الخطية ، وأنظمة المعادلات الخطية ، وكيفية تمثيلها باستخدام المصفوفات ، وكيفية استخدام عمليات الصفوف الأولية على مصفوفة لإيجاد مجموعة الحلول لنظام المعادلات المقابلة.

هناك 13 تمرين ، أنا & # 8217 م أقوم برقم 8 ورقم 10.

8
ضع في اعتبارك نظام المعادلات

بيّن أنه لكي يكون هذا النظام متسقًا ، يجب أن تفي بالثوابت.

يكون النظام متسقًا إذا كان لديه حل واحد على الأقل. يمكننا إضافة معادلة إلى أخرى دون تغيير مجموعة حلول النظام ، لذلك دعونا نجرب ذلك. ينتج عن إضافة المعادلة الأولى إلى الثانية

الجانب الأيسر من هذه المعادلة مطابق للجانب الأيسر من المعادلة الثالثة. هذا يعني أنه من أجل وجود حل يحل كلا المعادلتين ، يجب أن تكون الأطراف اليمنى متساوية ، مما يعني ضمناً.

10

لأي قيمة (قيم) للثابت يعمل النظام

ليس لديك حلول؟ حل واحد بالضبط؟ عدد لا نهائي من الحلول؟ اشرح أسبابك.

أولاً ، اضرب المعادلة الأولى في 2. هذا لا يغير مجموعة حلول النظام. الآن الجانبين الأيسر من كلا المعادلتين متساويان ، ومن السهل أن نرى أن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول إذا (بما أن المعادلات عندها متساوية) ، ولا توجد حلول إذا (بما أن ذلك يعني ضمناً). لا توجد قيمة لذلك ستؤدي إلى حل واحد بالضبط.


مثال 3

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟ ما هو ملف ذ- التقاطع وما هو المنحدر؟ فسرهم باستخدام جمل كاملة.

المتغير المستقل (x) هو عدد ساعات معلمي سفيتلانا في كل جلسة.

المتغير التابع (ذ) هو المبلغ الذي تكسبه سفيتلانا بالدولار عن كل جلسة.

ال ذ- التقاطع هو 25 (أ = 25).
في بداية جلسة التدريس الخصوصي ، تتقاضى سفيتلانا رسومًا لمرة واحدة قدرها 25 دولارًا (هذا هو الوقت x = 0).

المنحدر 15 (ب = 15).
في كل جلسة ، تكسب سفيتلانا 15 دولارًا عن كل ساعة تقوم بتدريسها.

جربها

يقوم إيثان بإصلاح الأجهزة المنزلية مثل غسالات الصحون والثلاجات. مقابل كل زيارة ، يتقاضى 25 دولارًا بالإضافة إلى 20 دولارًا لكل ساعة عمل. المعادلة الخطية التي تعبر عن المبلغ الإجمالي للأموال التي يكسبها إيثان لكل زيارة هي ذ = 25 + 20x.

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟ ما هو ملف ذ- التقاطع وما هو المنحدر؟ فسرهم باستخدام جمل كاملة.

المتغير المستقل (س) هو عدد ساعات عمل إيثان في كل زيارة.

المتغير التابع (ص) هو المبلغ الذي يكسبه إيثان عن كل زيارة بالدولار.

تقاطع y هو 25 (أ = 25).
في بداية الزيارة ، يفرض إيثان رسومًا لمرة واحدة قدرها 25 دولارًا (وهذا عندما تكون x = 0).

الميل 20 (ب = 20).
في كل زيارة ، يكسب إيثان 20 دولارًا عن كل ساعة يعمل فيها.


1.1: مقدمة في المعادلات الخطية

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نحن نحل أنظمة المعادلات في متغيرين وثلاثة متغيرات ونفسر النتائج هندسيًا.

SYS-0010: مقدمة في أنظمة المعادلات الخطية

لقد درست بالتأكيد المعادلات الخطية لسنوات عديدة حتى الآن. ربما تكون أسهل طريقة لوصف المعادلات الخطية هي أنها معادلات متعددة الحدود حيث يكون كل مصطلح إما ثابتًا أو له درجة 1.

An -tuple هو ملف المحلول إلى المعادلة بشرط أن تحول المعادلة إلى بيان صحيح. تسمى مجموعة جميع المجموعات التي تمثل حلولًا لمعادلة معينة رسم بياني من المعادلة. الرسم البياني لمعادلة خطية في متغيرين هو خط في. الرسم البياني لمعادلة خطية في ثلاثة متغيرات هو مستوى في. في for ، نقول إن الرسم البياني لمعادلة خطية هو a مستوي مفرط. لا يمكن تصور المستوى الفائق ، ولكن لا يزال بإمكاننا التحدث عن تقاطعات الطائرات الفائقة وصفاتها الأخرى بمصطلحات جبرية.

في الجبر الخطي ، غالبًا ما نبحث عن حلول أنظمة المعادلات الخطية أو أنظمة خطية. عادة ما يتم كتابة نظام خطي من المعادلات والمجهول على النحو التالي

أ حل لنظام من المعادلات الخطية في المتغيرات هو -tuple الذي يرضي كل معادلة في النظام. جميع حلول نظام المعادلات ، مجتمعة ، تشكل أ مجموعة الحل. سنركز على الأساليب الجبرية لإيجاد مجموعات الحلول ، لكننا سننظر أيضًا في الجانب الهندسي للأنظمة لاكتساب رؤى إضافية.

جبر النظم الخطية

ربما تكون على دراية بطريقتين جبريتين لحل أنظمة المعادلات الخطية. تتطلب إحدى الطرق منا إيجاد متغير واحد بدلالة الآخر (المتغيرات) ، ثم التعويض. تتضمن الطريقة الثانية إضافة مضاعفات إحدى المعادلات إلى معادلة أخرى من أجل حذف أحد المتغيرات. الطريقة الثانية ستشكل الأساس لخوارزمية سنقوم بتطويرها لحل الأنظمة الخطية وإجراء العمليات الحسابية الأخرى المتعلقة بالأنظمة. بداية مشكلة الاستكشاف: يوضح systwoeqs1 كيفية عمل الطريقة الثانية.

أخيرًا ، يمكننا تبديل ترتيب المعادلات لعرضها في الصف العلوي. هذا يعطينا

يمكن كتابة هذا الحل كزوج مرتب.

للحصول على حل لمشكلة الاستكشاف ، استخدمنا ثلاثة systwoeqs1 عمليات الصف الابتدائية. هذه العمليات هي:

  • تبديل ترتيب المعادلتين
  • ضرب طرفي المعادلة في نفس الثابت غير الصفري
  • إضافة مضاعف معادلة إلى أخرى

في كل مرحلة من مراحل العملية ، بدا نظام المعادلات مختلفًا عن النظام الأصلي ، ولكن الفحص السريع سيقنعك بأن جميع الأنظمة الستة لها نفس الحل:. يُقال أن الأنظمة (مكافئ: الخطوة 1) - (مكافئ: الخطوة 6) ما يعادل.

اتضح أنه إذا تم تحويل نظام المعادلات إلى نظام آخر من خلال سلسلة من عمليات الصف الأولية ، فإن النظام الجديد سيكون مكافئًا للنظام الأصلي ، بمعنى آخر ، سيكون لكلا النظامين نفس مجموعة الحلول. سنضفي الطابع الرسمي على هذا البيان في القسم الأخير من هذه الوحدة.

  • تبديل الصف والصف:
  • ضرب طرفي المعادلة بنفس الثابت غير الصفري ، واستبدال المعادلة بالنتيجة:
  • إضافة الأوقات من الصف إلى الصف واستبدال الصف بالنتيجة:

سنحقق ذلك باستخدام متغير مناسب في صف واحد "لمحو" هذا المتغير من الصفين الآخرين. على سبيل المثال ، يمكننا استخدام المعادلة الثالثة للتخلص من المعادلة الأولى وفي المعادلة الثانية. للقيام بذلك ، اضرب الصف الثالث في وأضفه إلى الصف العلوي ، ثم اضرب الصف الثالث في وأضفه إلى الصف الثاني. لدينا الآن: في الخطوة السابقة كان متغيرًا مناسبًا لاستخدامه لأن المعامل الموجود أمامه كان 1. لم يعد لدينا متغير ذو معامل 1. يمكننا إنشاء معامل من 1 باستخدام القسمة ، لكن هذا سيؤدي إلى كسور ، جعل الحسابات مرهقة. بدلاً من ذلك ، سنطرح ضعف الصف الثاني من الصف الأول. هذا يعطينا:

نضيف بعد ذلك سبعة في الصف الأول إلى الصف الثاني ، ونطرح أربعة في الصف الأول من الصف الثالث.

الآن نقسم كلا جانبي الصف الثاني على.

جمع ضرب الصف الثاني إلى الصف الأول وطرح ضرب الصف الثاني من الصف الثالث يعطينا

أخيرًا ، يعطينا إعادة ترتيب الصفوف

وبالتالي فإن النظام لديه حل فريد.

في هذه المرحلة ، قد تتساءل عما إذا كان من الممكن دائمًا استخدام نظام من ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل واستخدام عمليات الصف الأولية لتحويله إلى نظام بالصيغة. الإجابة المختصرة على هذا السؤال هي لا. يعني وجود نظام مكافئ من هذا الشكل أن النظام الأصلي لديه حل فريد. ومع ذلك ، من الممكن أن لا يكون للنظام أي حلول أو أن يكون لديه عدد لا نهائي من الحلول. سوف ندرس هذه الاحتمالات المختلفة من منظور جبري في الوحدات اللاحقة. في الوقت الحالي ، سنحاول اكتساب نظرة ثاقبة لوجود الحلول وتفردها من خلال الهندسة.

هندسة النظم الخطية في متغيرين

بداية مشكلة الاستكشاف: تقدم systwoeqs1 مثالاً لنظام خطي من معادلتين ومجهولين مع حل فريد.

هندسيًا ، الرسم البياني لكل معادلة عبارة عن خط في. النقطة هي حل لكلتا المعادلتين ، لذا يجب أن تقع في كلا الخطين. يوضح الرسم البياني أدناه تقاطع المستقيمين عند.

بالنظر إلى نظام من معادلتين مجهولين ، هناك ثلاث نتائج هندسية محتملة. أولاً ، تتقاطع الرسوم البيانية للمعادلتين عند نقطة ما. إذا كان هذا هو الحال ، فإن النظام لديه حل واحد بالضبط. نقول أن النظام هو ثابتة وله حل فريد.

ثانيًا ، قد لا توجد نقاط مشتركة بين الخطين. إذا كان هذا هو الحال ، فإن النظام ليس لديه حلول. نقول أن النظام هو تتعارض.

أخيرًا ، قد يتطابق الخطان. في هذه الحالة ، هناك عدد لا نهائي من النقاط التي تحقق كلا المعادلتين في وقت واحد. نقول أن النظام متسق ولديه عدد لا نهائي من الحلول.

على عكس الحالة في المثال على سبيل المثال: systwoeqs2 ، هناك قيم وتفي بالمعادلة الثانية. في الواقع ، أي زوج مرتب يرضي المعادلة الأولى سوف يرضي المعادلة الثانية. وبالتالي ، فإن مجموعة الحلول لهذا النظام هي نفس مجموعة جميع حلول.

عندما نرسم معادلتين في النظام الأصلي ، نجد أن الخطين متطابقان.

بالنظر إلى نظام خطي في متغيرين وأكثر من معادلتين ، لدينا مجموعة متنوعة من الاحتمالات الهندسية. تم تصوير ثلاثة منهم أدناه. أولاً ، من الممكن أن تتقاطع الرسوم البيانية لجميع المعادلات في النظام عند نقطة واحدة ، مما يمنحنا حلاً فريدًا.

ثانيًا ، من الممكن ألا يكون هناك نقاط مشتركة بين الرسوم البيانية.

إذا كانت هذه هي الحالة ، فإن النظام غير متسق.

هندسة النظم الخطية في ثلاثة متغيرات

في مثال على سبيل المثال: threeeqthreevars1 قمنا بحل النظام الخطي التالي المكون من ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل وجدنا أن النظام لديه حل فريد. الرسم البياني لكل معادلة هو مستوى. تتقاطع المستويات الثلاثة عند نقطة واحدة ، كما هو موضح في الشكل.

بالنظر إلى نظام خطي من ثلاث معادلات وثلاثة متغيرات ، هناك ثلاث طرق يمكن للنظام من خلالها أن يكون متسقًا. أولاً ، يمكن أن تتقاطع المستويات الثلاثة في نقطة واحدة ، مما يمنحنا حلاً فريدًا.

ثانيًا ، يمكن أن تتقاطع الطائرات الثلاث في خط ، لتشكل شكل عجلة مجداف. في هذه الحالة ، كل نقطة على طول خط التقاطع هي حل للنظام ، مما يعطينا عددًا لا نهائي من الحلول.

أخيرًا ، يمكن أن تتطابق الطائرات الثلاث. إذا كان هذا هو الحال ، فهناك عدد لا نهائي من الحلول.

هناك أربع طرق لأن يكون النظام غير متسق. تم تصويرهم أدناه.

الأنظمة المكافئة وعمليات الصف الأولي

في بداية مشكلة الاستكشاف: systwoeqs1 قدمنا ​​عمليات الصف الأولية والأنظمة المكافئة. نحن الآن نجعل هذه التعريفات رسمية.

ليس من الصعب أن نرى أن إجراء سلسلة من عمليات الصفوف الأولية على نظام معادلات ينتج نظامًا مكافئًا. يمكننا تبرير ذلك من خلال النظر في عمليات السطر واحدة تلو الأخرى. من الواضح أن ترتيب المعادلات لأسفل لا يؤثر على مجموعة الحلول ، لذلك العنصر: rowswap ينتج نظامًا مكافئًا. بعد ذلك ، تعلمت منذ سنوات أن ضرب كلا طرفي المعادلة في ثابت غير صفري لا يغير مجموعة الحلول الخاصة بها ، مما يؤدي إلى إنشاء هذا العنصر: ينتج Constantmult نظامًا مكافئًا. صحيح أيضًا أن العنصر: ينتج addrow نظامًا مكافئًا. لرؤية هذا ، لاحظ أن مضاعف المعادلة لا يزال معادلة ، لذلك إذا أضفنا مضاعفًا لمعادلة إلى معادلة أخرى في النظام ، فإننا نضيف نفس الشيء إلى كلا الطرفين ، وهو ما لا يغير مجموعة حل تلك المعادلة ، ولا النظام.


النوع الأساسي من الارتباط هو الارتباط الخطي. يمكن تعريف هذا النوع من العلاقات جبريًا من خلال المعادلات المستخدمة ، عدديًا بقيم البيانات الفعلية أو المتوقعة ، أو بيانياً من منحنى مرسوم. (تصنف الخطوط على أنها منحنيات مستقيمة.) جبريًا ، تأخذ المعادلة الخطية الشكل عادةً ص = م س + ب، أين م و ب هي ثوابت ، x هو المتغير المستقل ، ذ هو المتغير التابع. في سياق إحصائي ، تتم كتابة معادلة خطية في النموذج ص = أ + ب س، أين أو ب هي الثوابت. يستخدم هذا النموذج لمساعدة القراء على التمييز بين السياق الإحصائي والسياق الجبري. في المعادلة ص = أ + ب س، ثابت ب يضاعف ال x عامل (ب يسمى المعامل) باسم ميل. يصف المنحدر معدل التغيير بين المتغيرات المستقلة والتابعة بمعنى آخر ، يصف معدل التغيير التغيير الذي يحدث في المتغير التابع مع تغيير المتغير المستقل. في المعادلة ص = أ + ب س، الثابت a يسمى ذ-تقاطع. بيانيا ، فإن ملف ذ-تقاطع هو ذ تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للخط مع ذ محور. عند هذه النقطة x = 0.

ال منحدر خط هي قيمة تصف معدل التغيير بين المتغيرات المستقلة والتابعة. ال ميل يخبرنا كيف المتغير التابع (ذ) التغييرات لكل وحدة زيادة في المستقل (x) متغير في المتوسط. ال ذ-تقاطع يستخدم لوصف المتغير التابع عندما يساوي المتغير المستقل صفرًا. بيانياً ، يتم تمثيل المنحدر بثلاثة أنواع من الخطوط في الإحصائيات الأولية.


طرق حل المعادلات الخطية

جمال حسن ابو قاسم. رفيق إسلام ، في محاكاة مكامن البترول ، 2006

9.2.3 مشاكل التدفق ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد (المصفوفات المتفرقة)

يمكن الحصول على المعادلات الخطية لمشاكل التدفق ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد عن طريق (1) كتابة معادلة التدفق باستخدام طريقة CVFD ، (2) كتابة تعريف المجموعة ψ ن للحظر ن في 2D أو 3D ، باستخدام الشكل 3-1 للتدوين الهندسي لتعريف الكتلة أو الشكل 3-3 للترتيب الطبيعي للكتل ، كما هو موضح في الأقسام 3.2.1 و 3.2.2 ، وتعريف المجموعة ξن للحظر نو (3) كتابة معادلة التدفق بشكل موسع. على سبيل المثال ، نستخدم المعادل. 8.1 في الخطوة 1 للتدفق ثلاثي الأبعاد لسائل غير قابل للضغط ، ينتج عنه

إذا كان الخزان له حدود تدفق (ξن = <> ونتيجة لذلك ، Σ l ∈ ξ n q s c l ، n = 0 لجميع قيم ن) وإذا كانت الآبار لها معدلات تدفق محددة ، فإن المعادلة. يمكن إعادة ترتيب 9.40 كـ

في الخطوة 2 ، نحدد block ن ككتلة في مساحة ثلاثية الأبعاد [ن ≡ (أنا, ي, ك)]. تبعا لذلك ، ψن كما هو موضح في الشكل 3-3 ج ،

شريطة أن يتم ترتيب كتل الخزان باستخدام الترتيب الطبيعي ، مع ترتيب الكتل في أنا الاتجاه ي الاتجاه ، وأخيرًا ك اتجاه. الآن مكافئ. 9.41 والتعريف الجديد لـ ψن التي قدمها مكافئ. يوفر 9.42 المعادلة المطلوبة.

في الخطوة 3 ، نقوم بتوسيع المعادلة. 9.41 مثل

الضغوط غير المعروفة في المعادلة. يتم إعادة ترتيب 9.43 بالترتيب الموضح في الشكل 9-2 ، مما ينتج عنه

الشكل 9-2. ترتيب المجهول من الكتل المجاورة في معادلات التدفق.

مكافئ. 9.44 هي المعادلة الخطية للتدفق ثلاثي الأبعاد لسائل غير قابل للضغط. المجهول في هذه المعادلة هو: p n - n x n y، p n - n x، p n - 1، p n، p n + 1، p n + n x، and p n + n x n y، Eq. يمكن التعبير عن 9.44 كـ

إذا كان مكافئ. 9.45 مكتوب لكل كتلة ن = 1, 2, 3…, ن أين ن = نx × نذ × نض في خزان مستطيل ، سيكون لمعادلة المصفوفة سبعة أقطار (مصفوفة معامل سباعي الأضلاع) كما هو موضح في الشكل 9-3 ج. تدفق السوائل في خزان ثنائي الأبعاد (بن = أن = 0) بحدود منتظمة ينتج عنها معادلة مصفوفة بخمسة أقطار (مصفوفة معامل خماسي الأضلاع) كما هو موضح في الشكل 9-3 ب. تدفق السوائل في خزان أحادي الأبعاد (بن = سن = نن = أن = 0) ينتج عن معادلة مصفوفة ذات ثلاثة أقطار (مصفوفة معامل ثلاثية الأضلاع) كما هو موضح في الشكل 9-3 أ.

الشكل 9-3. مصفوفات المعامل في مشاكل التدفق 1D و 2 D و 3D.

يمكن الحصول على حلول معادلات المصفوفة هذه باستخدام محلل مصفوفة النطاق g. مثل هذا الحل ليس أكثر من استخدام إزالة Gaussian LU التحليل إلى عوامل ، والذي يعمل فقط على العناصر الموجودة داخل النطاقات الخارجية للمصفوفة المتفرقة. لا يتم تشغيل الأصفار الموجودة خارج النطاقات الخارجية. يُطلق على عدد عناصر الصف (أو العمود) داخل النطاقات الخارجية النطاق الترددي (2بث + 1) أين بث = 1 لمشاكل التدفق 1D ، بث = نx لمشاكل التدفق ثنائي الأبعاد ، و بث = نx × نذ لمشاكل التدفق ثلاثي الأبعاد كما هو موضح في الشكل 9-3. الخوارزمية التالية هي خوارزمية g-band. يتم تنفيذ خوارزمية g-band في ثلاث خطوات رئيسية: خطوة التهيئة ، وخطوة الحذف إلى الأمام ، وخطوة الاستبدال الخلفي.

رموز الكمبيوتر FORTRAN التي تستخدم هذه الخوارزمية متوفرة في الأدبيات (عزيز وستاري 1979 ، أبو قاسم وإرتكين 1992). تتطلب مثل هذه البرامج تخزين عناصر المصفوفة داخل النطاقات الخارجية من ناحية الصف في متجه (مصفوفة أحادية البعد).


تفاصيل ورشة العمل

الفصل الأول. مقدمة وخلفية وانحدار متعدد
1.1 مقدمة
1.2 مقدمة موجزة لجبر المصفوفة
1.3 الانحدار الخطي كنموذج معادلة إنشائية
1.4 حدود نموذج الانحدار المتعدد

الفصل 2. مسار التحليل: مقدمة
2.1 نموذج تحليل المسار
2.2 تحديد النموذج
2.3 تقدير النموذج

الفصل 3. تحليل المسار: مواضيع متقدمة
3.1 تقييم ملاءمة النموذج
3.2 مقارنات النماذج
3.3 مؤشرات تقدير وتعديل النموذج
3.4 اختبار التأثيرات المباشرة وغير المباشرة
3.5 الافتراضات (الدراسة الذاتية)

الفصل 4. تحليل عامل التأكيد
4.1 تحليل عامل التأكيد
4.2 القضايا والملحقات (الدراسة الذاتية)

الفصل 5. نماذج المعادلات الهيكلية مع المتغيرات الكامنة
5.1 مقدمة لنماذج المعادلات الهيكلية
5.2 تركيب وتقييم نماذج المعادلات الهيكلية
5.3 اعتبارات إضافية: التقدير بالتوزيعات غير العادية ، والقدرة الحاسوبية ، والنماذج المكافئة (الدراسة الذاتية)

تستهدف ورشة العمل هذه على نطاق واسع التطبيقات البحثية في العلوم السلوكية والصحية والتعليمية والنفسية ، على الرغم من أن الأساليب تنطبق على العديد من التخصصات الأخرى أيضًا. نوصي بأن يكون لدى المشاركين معرفة عملية بنموذج الانحدار العام. قد يرغب أولئك الذين يحتاجون إلى تجديد المعلومات في التحقق من الحلقات في قائمة تشغيل الانحدار الخطي على YouTube.

سيتم تقديم عروض البرامج الحية في R في نهاية كل يوم وسيتم نشر العروض التوضيحية المسجلة مسبقًا في Stata و Mplus كل يوم. لاحظ أنه يمكن تنزيل R مجانًا. في حين أنه من المفيد أن يكون لديك بعض الإلمام بـ R ، إلا أن هذا ليس ضروريًا. المحاضرات التي تشكل غالبية ورشة العمل مستقلة عن البرامج

هدفنا المحفز هو توفير تجربة تعليمية مكثفة وممتعة. نحن نسعى جاهدين لتحقيق توازن متساو بين المفاهيم الأساسية للنموذج الإحصائي الأساسي جنبًا إلى جنب مع التطبيق العملي وتفسير نماذج المعادلات الهيكلية المجهزة لبيانات تجريبية حقيقية. تم تصميم ورشة العمل الخاصة بنا لتزويد المشاركين بالمواد والتعليمات اللازمة لتطوير فهم حقيقي لنماذج المعادلات الهيكلية والقدرة على تطبيق مجموعة متنوعة من هذه النماذج بشكل مدروس على بياناتهم الخاصة.

شارك دان باور وباتريك كوران في تدريس ورشة العمل وإلقاء محاضرات بديلة على مدار اليوم. نحن نقدم نسخة بتنسيق PDF من ملاحظات الدورة التدريبية وملف PDF مع عروض برمجية شاملة بالإضافة إلى البيانات والرمز لجميع الأمثلة ملفات PDF ليست محدودة زمنياً ويمكن الاحتفاظ بها إلى أجل غير مسمى ولكن لا ينبغي توزيعها على الآخرين دون الحصول على إذن مسبق.

يرجى الاطلاع على نسخ من مذكرات المحاضرة وملاحظات R من ورشة عمل التسويق عبر محركات البحث التي مدتها 5 أيام

ستبدأ محاضرات البث المباشر في الساعة 9:00 صباحًا وتنتهي في الساعة 4:00 مساءً. التوقيت الشرقي (الولايات المتحدة) كل يوم. بعد المحاضرات ، سيتم تقديم عروض الكمبيوتر في R من الساعة 4:00 إلى 5:00 مساءً. التوقيت الشرقي (الولايات المتحدة). There will be 15 minute morning and afternoon breaks and a one-hour lunch break, the exact times of which are determined during the lecture. Local time zones within which the participant is connected must be adjusted to correspond to Eastern Time (US).

Participants can ask text-based questions using a Zoom function that will be monitored by CenterStat staff and conveyed to the instructor. If a question cannot be answered during the lecture, a text response will be provided at a later time.

Because participants are receiving the Livestream from Zoom and not broadcasting video images back, the connectivity requirements are minimal. A minimum of 150kbps (kilobytes per second) is required to participate in a video webinar, and this can be wired or wireless. Given typical home internet connections or personal WiFi access, these requirements are quite low. For example, it is recommended that a 3000kbps (or 3mbps, megabytes per second) connection be used to stream a movie on Netflix. A typical WiFi hotspot on a typical cell phone is 20-30mbps, thus any standard internet connection should allow for uninterrupted participation in the webinar. See https://www.speedtest.net/ to evaluate your own connection speed. Note that a typical source of connectivity problems in the home is linking the device to the WiFi broadcast unit, so be certain your device is has uninterrupted lines of site to the wireless modem see, e.g., https://www.familyhandyman.com/smart-homeowner/9-simple-tips-for-faster-wi-fi/

The Livestream does not have DVR-like controls and thus cannot be paused or rewound during the session itself. However, full recordings of Livestream workshops will be available to rewatch for 14 days following the completion of the workshop.

The recordings cannot be saved by the participant and will not be available after the fourteen day period. You can log in to your account to access these recordings. The recordings cannot be downloaded by the participant and will not be available after access has expired.

CenterStat by Curran-Bauer Analytics is not able to provide technical support for end-user issues with the Livestream. As such, participants are fully responsible for connectivity that supports the Livestream of audio and video. Information will be provided about the minimum required bandwidth and methods for testing connectivity. However, in the low probability that a participant is not able to connect, there will be access to the recorded sessions for 6 months following the completion of the workshop. If you need assistance accessing recordings or with your CenterStat account, please contact support.


Differential Equations and Linear Algebra, 1.1: Overview of Differential Equations

Linear equations include dy/dt = y, dy/dt = –y, dy/dt = 2ty. The equation dy/dt = ذ*ذ is nonlinear.

OK. Well, the idea of this first video is to tell you what's coming, to give a kind of outline of what is reasonable to learn about ordinary differential equations. And a big part of the series will be videos on first order equations and videos on second order equations. Those are the ones you see most in applications. And those are the ones you can understand and solve, when you're fortunate.

So first order equations means first derivatives come into the equation. So that's a nice equation that we will solve, we'll spend a lot of time on. The derivative is-- that's the rate of change of y-- the changes in the unknown y-- as time goes forward are partly from depending on the solution itself. That's the idea of a differential equation, that it connects the changes with the function y as it is.

And then you have inputs called q of t, which produce their own change. They go into the system. They become part of y. And they grow, decay, oscillate, whatever y of t does. So that is a linear equation with a right-hand side, with an input, a forcing term.

And here is a nonlinear equation. The derivative of y. The slope depends on y. So it's a differential equation. But f of y could be y squared over y cubed or the sine of y or the exponential of y. So it could be not linear. Linear means that we see y by itself. Here we won't. Well, we'll come pretty close to getting a solution, because it's a first order equation. And the most general first order equation, the function would depend on t and y. The input would change with time. Here, the input depends only on the current value of y.

I might think of y as money in a bank, growing, decaying, oscillating. Or I might think of y as the distance on a spring. Lots of applications coming.

OK. So those are first order equations. And second order have second derivatives. The second derivative is the acceleration. It tells you about the bending of the curve.

If I have a graph, the first derivative we know gives the slope of the graph. Is it going up? Is it going down? Is it a maximum?

The second derivative tells you the bending of the graph. How it goes away from a straight line. So and that's acceleration. So Newton's law-- the physics we all live with-- would be acceleration is some force. And there is a force that depends, again, linearly-- that's a keyword-- on y. Just y to the first power.

And here is a little bit more general equation. In Newton's law, the acceleration is multiplied by the mass. So this includes a physical constant here, the mass.

Then there could be some damping. If I have motion, there may be friction slowing it down. That depends on the first derivative, the velocity.

And then there could be the same kind of forced term that depends on y itself. And there could be some outside force, some person or machine that's creating movement. An external forcing term.

So that's a big equation. And let me just say, at this point, we let things be nonlinear. And we had a pretty good chance. If we get these to be non-linear, the chance at second order has dropped. And the further we go, the more we need linearity and maybe even constant coefficients. m, b, and k. So that's really the problem that we can solve as we get good at it is a linear equation-- second order, let's say-- with constant coefficients. But that's pretty much pushing what we can hope to do explicitly and really understand the solution, because so linear with constant coefficients. Say it again. That's the good equations.

And I think of solutions in two ways. If I have a really nice function like a exponential. Exponentials are the great functions of differential equations, the great functions in this series. You'll see them over and over. Exponentials. Say f of t equals-- e to the t. Or e to the omega t. Or e to the i omega t. That i is the square root of minus 1.

In those cases, we will get a similarly nice function for the solution. Those are the best. We get a function that we know like exponentials. And we get solutions that we know.

Second best are we get some function we don't especially know. In that case, the solution probably involves an integral of f, or two integrals of f. We have a formula for it. That formula includes an integration that we would have to do, either look it up or do it numerically.

And then when we get to completely non-linear functions, or we have varying coefficients, then we're going to go numerically. So really, the wide, wide part of the subject ends up as numerical solutions. But you've got a whole bunch of videos coming that have nice functions and nice solutions.

OK. So that's first order and second order. Now there's more, because a system doesn't usually consist of just a single resistor or a single spring. In reality, we have many equations. And we need to deal with those.

So y is now a vector. y1, y2, to yn. n different unknowns. n different equations. That's n equation. So here that is an n by n matrix. So it's first order. Constant coefficient. So we'll be able to get somewhere. But it's a system of n coupled equations.

And so is this one with a second derivative. Second derivative of the solution. But again, y1 to yn. And we have a matrix, usually a symmetric matrix there, we hope, multiplying y.

So again, linear. Constant coefficients. But several equations at once. And that will bring in the idea of eigenvalues and eigenvectors. Eigenvalues and eigenvectors is a key bit of linear algebra that makes these problems simple, because it turns this coupled problem into n uncoupled problems. n first order equations that we can solve separately. Or n second order equations that we can solve separately. That's the goal with matrices is to uncouple them.

OK. And then really the big reality of this subject is that solutions are found numerically and very efficiently. And there's a lot to learn about that, a lot to learn. And MATLAB is a first-class package that gives you numerical solutions with many options.

One of the options may be the favorite. ODE for ordinary differential equations 4 5. And that is numbers 4, 5. Well, Cleve Moler, who wrote the package MATLAB, is going to create a series of parallel videos explaining the steps toward numerical solution.

Those steps begin with a very simple method. Maybe I'll put the creator's name down. Euler. So you can know that because Euler was centuries ago, he didn't have a computer. But he had a simple way of approximating. So Euler might be ODE 1. And now we've left Euler behind. Euler is fine, but not sufficiently accurate.

ODE 45, that 4 and 5 indicate a much higher accuracy, much more flexibility in that package. So starting with Euler, Cleve Moler will explain several steps that reach a really workhorse package.

So that's a parallel series where you'll see the codes. This will be a chalk and blackboard series, where I'll find solutions in exponential form. And if I can, I would like to conclude the series by reaching partial differential equations.

So I'll just write some partial differential equations here, so you know what they mean. And that's a goal which I hope to reach.

So one partial differential equation would be du dt-- you see partial derivatives-- is second derivative. So I have two variables now. Time, which I always have. And here is x in the space direction. That's called the heat equation. That's a very important constant coefficient, partial differential equation.

So PDE, as distinct from ODE. And so I write down one more. The second derivative of u is the same right-hand side second derivative in the x direction. That would be called the wave equation.

So this is like the first order equation in time. It's like a big system. In fact, it's like an infinite size system of equations. First order in time. Or second order in time. Heat equation. Wave equation.

And I would like to also include a the Laplace equation. Well, if we get there. So those are goals for the end of the series that go beyond some courses in ODEs. But the main goal here is to give you the standard clear picture of the basic differential equations that we can solve and understand.


شاهد الفيديو: Introduction to Systems of Linear Equationsالجزء الأول (شهر اكتوبر 2021).