مقالات

2.3: الرسوم البيانية المثلثية الأساسية


أهداف التعلم

  • ارسم النسب المثلثية الست كوظائف على المستوى الديكارتي.
  • حدد مجال ومدى هذه الدوال المثلثية الست.
  • حدد راديان وقياس الدرجة ، بالإضافة إلى إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة والرسم البياني للزاوية الحرجة.

الدالة الأولى التي سنرسمها هي دالة الجيب. سنصف طريقة هندسية لإنشاء الرسم البياني باستخدام دائرة الوحدة. هذه هي دائرة نصف القطر (1 ) في (س ص ) - مستوى يتكون من جميع النقاط ((س ، ص) ) التي تحقق المعادلة (س ^ 2 + ص ^ 2 = 1 ) .

نرى في الشكل 5.1.1 أن أي نقطة على دائرة الوحدة لها إحداثيات ((x، y) = ( cos ؛ theta، sin ؛ theta) ) حيث ( theta ) هي الزاوية التي يقع فيها الجزء المستقيم من
أصل إلى ((س ، ص) ) يصنع مع المحور الموجب (س ) (حسب تعريف الجيب وجيب التمام). لذا ، عندما تدور النقطة ((x ، y) ) حول الدائرة ، يكون تنسيقها (y ) - هو ( sin ؛ theta ).

وبالتالي نحصل على تطابق بين (y ) - إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة والقيم (f ( theta) = sin ؛ theta ) ، كما هو موضح بالخطوط الأفقية من دائرة الوحدة للرسم البياني (f ( theta) = sin ؛ theta ) في الشكل 5.1.2 للزوايا ( theta = 0 ) ، ( tfrac { pi} {6} ) ، ( tfrac { pi} {3} ) ، ( tfrac { pi} {2} ).

يمكننا توسيع الصورة أعلاه لتشمل الزوايا من (0 ) إلى (2 pi ) راديان ، كما في الشكل 5.1.3. يوضح هذا ما يسمى أحيانًا بامتداد تعريف دائرة الوحدة لوظيفة الجيب.

نظرًا لأن الدوال المثلثية تتكرر كل (2 pi ) راديان ( (360 ^ circ )) ، فإننا نحصل ، على سبيل المثال ، على الرسم البياني التالي للوظيفة (y = sin ؛ x ) من أجل (x ) في الفاصل ([- 2 pi، 2 pi] ):

لرسم دالة جيب التمام ، يمكننا مرة أخرى استخدام فكرة دائرة الوحدة (باستخدام (x ) - إحداثيات نقطة تتحرك حول الدائرة) ، ولكن هناك طريقة أسهل. تذكر من القسم 1.5 أن ( cos ؛ x = sin ؛ (x + 90 ^ circ) ) للجميع (x ). لذلك ( cos ؛ 0 ^ circ ) لها نفس قيمة ( sin ؛ 90 ^ circ )، ( cos ؛ 90 ^ circ ) لها نفس القيمة ( sin ؛ 180 ^ circ )، ( cos ؛ 180 ^ circ ) له نفس القيمة ( sin ؛ 270 ^ circ ) وهكذا. بعبارة أخرى ، فإن التمثيل البياني لوظيفة جيب التمام هو مجرد رسم بياني لدالة الجيب المنقولة إلى غادر بواسطة (90 ^ circ = pi / 2 ) راديان ، كما في الشكل 5.1.5:

لرسم دالة الظل ، استخدم ( tan ؛ x = frac { sin ؛ x} { cos ؛ x} ) للحصول على الرسم البياني التالي:



الشكل 2.3.6 رسم بياني لـ (y = tan x )

تذكر أن الظل موجب للزوايا في QI و QIII ، وسالب في QII و QIV ، وهذا بالفعل ما يوضحه الرسم البياني في الشكل 5.1.6. نحن نعلم أن ( tan ؛ x ) لا يتم تعريفه عند ( cos ؛ x = 0 ) ، أي عند المضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ): (x = pm ، frac { pi} {2} )، ( pm ، frac {3 pi} {2} )، ( pm ، frac {5 pi} { 2} ) ، إلخ. يمكننا معرفة ما يحدث قرب تلك الزوايا بالنظر إلى دالتَي الجيب وجيب التمام. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى (x ) في QI بالقرب من ( frac { pi} {2} ) و ( sin ؛ x ) و ( cos ؛ x ) كلاهما موجب ، مع ( sin ؛ x ) قريب جدًا من (1 ) و ( cos ؛ x ) قريب جدًا من (0 ) ، لذا فإن حاصل القسمة ( tan ؛ x = frac { sin ؛ x} { cos ؛ x} ) رقم موجب كبير جدًا. وكلما اقترب (x ) من ( frac { pi} {2} ) ، زاد حجم ( tan ؛ x ). وبالتالي ، فإن (x = frac { pi} {2} ) هو ملف الخط المقارب الرأسي من الرسم البياني لـ (y = tan ؛ x ).

وبالمثل ، بالنسبة لـ (x ) في QII قريبة جدًا من ( frac { pi} {2} ) ، ( sin ؛ x ) قريبة جدًا من (1 ) و ( cos ؛ x ) سلبي وقريب جدًا من (0 ) ، لذا فإن حاصل القسمة ( tan ؛ x = frac { sin ؛ x} { cos ؛ x} ) هو رقم سالب هذا كبير جدًا ، ويزداد حجمه في الاتجاه السلبي كلما اقترب (x ) من ( frac { pi} {2} ). يوضح الرسم البياني هذا. وبالمثل ، نحصل على خطوط مقاربة عمودية على (x = - frac { pi} {2} ) و (x = frac {3 pi} {2} ) و (x = - frac { 3 pi} {2} ) ، كما في الشكل 5.1.6. لاحظ أن الرسم البياني لوظيفة الظل يتكرر كل ( pi ) راديان ، أي أسرع مرتين من تكرار الرسوم البيانية للجيب وجيب التمام.

يمكن تحديد الرسوم البيانية للدوال المثلثية المتبقية من خلال النظر إلى الرسوم البيانية لوظائفها المتبادلة. على سبيل المثال ، باستخدام ( csc ؛ x = frac {1} { sin ؛ x} ) يمكننا فقط إلقاء نظرة على الرسم البياني (y = sin ؛ x ) وعكس القيم. سنحصل على خطوط مقاربة عمودية عندما ( sin ؛ x = 0 ) ، أي عند مضاعفات ( pi ): (x = 0 ) ، ( pm ، pi ) ، ( pm ، 2 pi ) ، إلخ. يوضح الشكل 5.1.7 الرسم البياني لـ (y = csc ؛ x ) ، مع الرسم البياني (y = sin ؛ x ) (المتقطع منحنى) كمرجع.

وبالمثل ، يوضح الشكل 5.1.8 الرسم البياني لـ (y = sec ؛ x ) ، مع الرسم البياني لـ (y = cos ؛ x ) (المنحنى المتقطع) للرجوع إليه. لاحظ الخطوط المقاربة العمودية على (x = pm ، frac { pi} {2} )، ( pm ، frac {3 pi} {2} ). لاحظ أيضًا أن الرسم البياني هو مجرد رسم بياني لدالة قاطع التمام المنقولة إلى اليسار بمقدار ( frac { pi} {2} ) راديان.

يمكن أيضًا تحديد الرسم البياني لـ (y = cot ؛ x ) باستخدام ( cot ؛ x = frac {1} { tan ؛ x} ). بدلاً من ذلك ، يمكننا استخدام العلاقة ( cot ؛ x = - tan ؛ (x + 90 ^ circ) ) من القسم 1.5 ، بحيث يكون الرسم البياني لوظيفة cotangent مجرد رسم بياني لدالة الظل تحول إلى اليسار بمقدار ( frac { pi} {2} ) راديان ثم انعكس حول (x ) - المحور ، كما في الشكل 5.1.9:


MathHelp.com

يبدو الرسم البياني كالتالي:

هل ترى أن هذا التمثيل البياني الثاني أطول بثلاث مرات من الرسم البياني الأول؟ تغير السعة من 1 في الرسم البياني الأول إلى 3 في الثاني ، تمامًا كما تغير المضاعف أمام الجيب من 1 إلى 3. هذه العلاقة صحيحة دائمًا: أيًا كان الرقم A مضروبًا في دالة المثلث ، يمنحك السعة (أي & quottallness & quot أو & quotshortness & quot في الرسم البياني) في هذه الحالة ، فإن رقم السعة هذا كان 3.

ما هي سعة ذ(ر) = 0.5كوس(ر) ?

بالنسبة لهذه الوظيفة ، تُعطى قيمة مضاعف السعة A بمقدار 0.5 ، لذلك سيكون للدالة سعة:

ما هي سعة ذ(x) = & ndash2كوس(x) ?

بالنسبة لهذه الوظيفة ، تكون قيمة مضاعف السعة A هي & ndash2 ، لذا فإن السعة هي:

. وبالمناسبة ، سينقلب الرسم البياني أيضًا رأسًا على عقب بسبب علامة "الطرح".

من الناحية الفنية ، السعة هي القيمة المطلقة لكل ما يتم ضربه في دالة المثلث. السعة تقول فقط كيف & quottall & quot أو & quotshort & quot المنحنى متروك لك لتلاحظ ما إذا كان هناك & quotminus & quot في هذا المضاعف ، وبالتالي ما إذا كانت الوظيفة في الاتجاه المعتاد أم لا.

تذكر الرسم البياني الأول ، حيث يمثل الموجة الجيبية "العادية":

هل ترى كيف يتم ضغط هذا الرسم البياني الثالث من الجانبين ، مقارنةً بالرسم البياني الأول؟ هل ترى أن الموجة الجيبية تدور بسرعة مضاعفة ، لذا فإن مدتها نصف طولها فقط؟ هذه العلاقة صحيحة دائمًا: مهما كانت القيمة B التي يتم ضربها في المتغير (داخل دالة المثلث) ، يمكنك استخدام هذه القيمة للعثور على نقطة & omega ("omega" ، وليس "double-u") للدالة المثلثية ، وفقًا لهذا معادلة:

بالنسبة للجيب وجيب التمام (والمعاملة بالمثل) ، فإن الفترة & quot العادية & quot هي 2 & pi ، لذا فإن صيغتها هي:

صيغة الفترة للجيب وجيب التمام:

بالنسبة للظل والظل ، فإن الفترة & quot النظامية & quot هي & pi ، لذا فإن صيغتها هي:

صيغة الفترة للظل والظل:

في الموجة الجيبية الموضحة أعلاه ، كانت قيمة مضاعف الفترة B هي 2. (في بعض الأحيان تكون قيمة B داخل الدالة سالبة ، وهذا هو سبب وجود أشرطة ذات قيمة مطلقة في المقام.) ونتيجة لذلك ، كانت الفترة 2 & pi / 2 = & pi.

ما هي فترة F(ر) = كوس(3ر) ?

تنص صيغة الجيب وجيب التمام على أن الفترة المنتظمة هي 2 & pi. في كوس(3ر) ، ب = 3 ، لذلك سيكون لهذه الوظيفة فترة:

ما هي فترة ز(x) = تان(x/2) ?

تقول صيغة الظل والظل أن الفترة المنتظمة هي & pi. ل تان(ر/ 2) ، قيمة B تساوي 1/2 ، لذلك سيكون للدالة فترة:

تذكر مرة أخرى الرسم البياني الأول ، حيث يمثل الموجة الجيبية "العادية":

هل ترى أن الرسم البياني (الموضح باللون الأزرق في الرسم البياني أعلاه) قد تم إزاحته إلى اليمين بمقدار & pi / 3 وحدات من الرسم البياني العادي (يظهر باللون الرمادي)؟ هذه العلاقة صحيحة دائمًا: إذا كانت وسيطة الدالة (الشيء الذي تقوم بتوصيله بالدالة) من الشكل & quot (متغير) & ndash (رقم) = (متغير) & ndash C & quot ، فسيتم تحويل الرسم البياني إلى ال حق من خلال (عدد) الوحدات (أي بوحدات C) إذا كانت الوسيطة بالصيغة & quot (متغير) + (رقم) = (متغير) + C & quot ، يتم تحويل الرسم البياني إلى غادر بهذا (عدد) الوحدات (مرة أخرى ، بوحدات C). هذا التحول لليمين أو اليسار يسمى & quot التحول الطوري & quot.

ما هو التحول الطوري؟

داخل المتغير (أي داخل أقواس الوظيفة) ، تتم إضافة a & pi / 4 إلى المتغير. هذا يعني أن C = & pi / 4. لأن هذه القيمة مضاف إلى المتغير ، ثم يكون التحول إلى غادر. ثم يكون تحول المرحلة هو:

ما هو التحول الطور

الرقم C الموجود بالداخل مع المتغير هو 2 & pi / 3 ، لذلك سيكون هذا هو إزاحة الطور. هذا الرقم مطروح من المتغير ، لذلك سيكون التحول إلى حق.

لنتذكر مرة أخرى الرسم البياني للموجة الجيبية "العادية":

هل ترى كيف تم إزاحة الرسم البياني بمقدار ثلاث وحدات؟ هذه العلاقة صحيحة دائمًا: إذا تمت إضافة رقم D خارج الوظيفة ، فسيتم إزاحة الرسم البياني لأعلى بمقدار هذا العدد من الوحدات إذا تم طرح الرقم D ، ثم يتم إزاحة الرسم البياني لأسفل بمقدار هذا العدد من الوحدات.

بأي مقدار هو الرسم البياني ل ح(ر) = كوس(ر) & ndash 2 تحول وفي أي اتجاه؟

الجزء حساب المثلثات هو كوس(ر) الجزء المتحرك لأعلى أو لأسفل هو D = & ndash2. لا يوجد شيء آخر يحدث داخل الدالة ، ولا يوجد مضروب أمامها ، لذلك هذه هي موجة جيب التمام العادية ، لكنها:

تحولت إلى أسفل وحدتين

بأي مقدار هو الرسم البياني ل ر(x) = تان(x) + 0.6 تحول ، وفي أي اتجاه؟

الجزء حساب المثلثات هو تان(x) الجزء المتحرك لأعلى أو لأسفل هو + 0.6. إذن هذا هو منحنى الظل العادي ، لكن:

تحول لأعلى بمقدار 6/10 = 3/5 من الوحدة.

بتجميعها جميعًا من حيث الموجة الجيبية ، لدينا وظيفة الجيب العامة:

. حيث | A | السعة ، B تعطيك الفترة ، D تعطيك الإزاحة الرأسية (لأعلى أو لأسفل) ، C / B تستخدم لإيجاد إزاحة الطور.

& quot انتظر! & quot ، أسمعك تبكي & quot لماذا لا نستخدم C فقط لتغير الطور؟ & quot لأنه في بعض الأحيان تحدث أشياء أكثر تعقيدًا داخل الوظيفة. تذكر أن إنزياح الطور يأتي مما يُضاف أو يُطرح مباشرة إلى المتغير. إذا لم يكن المتغير وحيدًا (أي إذا كان هناك شيء مضروب فيه مباشرة) ، فهناك خطوة أخرى يجب اتباعها.

على سبيل المثال ، إذا كان لديك شيء مثل:

. تحول المرحلة ليس & وحدات بي! بدلاً من ذلك ، عليك أولاً عزل ما يحدث للمتغير عن طريق التحليل ، على النحو التالي:

يمكنك الآن أن ترى أن تحول الطور سيكون & pi / 2 وحدة ، وليس وحدات & pi. إذن ، يمكن إيجاد إنزياح الطور ، كصيغة ، بقسمة C على B.

ل F(ر) = أ Fر & ndash C) + D حيث F(ر) هي إحدى وظائف حساب المثلثات الأساسية ، لدينا:

(ملاحظة: تستخدم الكتب المختلفة أحرفًا مختلفة للإشارة إلى صيغة الفترة. في فصلك ، استخدم أيًا ما يستخدمه كتابك أو معلمك.)

أوجد السعة ، والدورة ، وانزياح الطور ، والانزياح الرأسي لـ

يتم إعطاء السعة بواسطة المضاعف في دالة المثلث. في هذه الحالة ، هناك & ndash2.5 مضروبًا مباشرة في الظل. هذا هو & quot A & quot من الصيغة ، ويخبرني أن السعة 2.5. (إذا كنت أرسم هذا الرسم البياني ، فسوف أحتاج إلى ملاحظة أن الرسم البياني للماس هذا سيكون مقلوبًا أيضًا.)

الفترة العادية للظل هي & pi. في هذه الدالة تحديدًا ، يوجد 4 مضروبًا في المتغير ، لذا ب = 4. بالتعويض في صيغة الدورة ، أحصل على.

للعثور على إزاحة الطور ، أحتاج إلى عزل المتغير بقيمة التحول ، لذلك أحتاج إلى تحليل 4 (المعروف أيضًا باسم & quot C & quot) التي يتم ضربها في المتغير. العامل هو:

ثم تحول المرحلة. لأن قيمة التحول هي مطروح من المتغير ، يكون التحول إلى اليمين.

(كان بإمكاني أيضًا استخدام طريقة أبسط ، مباشرة من الصيغة ، لقسمة C على B. كان هذا سيعطيني نفس القيمة ، ولكن بسرعة أكبر مع فرصة أقل لخطأ في التحليل. جربها في كلا الاتجاهين بنفسك ، و اكتشف أيهما تفضله بشكل أفضل. ثم تدرب عليه جيدًا قبل الاختبار التالي!)

يأتي الانزياح العمودي من القيمة التي تقع خارج دالة المثلث تمامًا وهي القيمة الخارجية 4 (المعروفة أيضًا باسم & quot D & quot من الصيغة). لأن هذا 4 هو مطروح من الظل ، سيكون التحول أربع وحدات إلى أسفل من خط الوسط المعتاد ، فإن x-محور.

تحول المرحلة: إلى اليمين بواسطة

التحول الرأسي: لأسفل بمقدار 4

حتى الآن ، نظرنا إلى العثور على المعلومات اللازمة للرسم البياني. الآن دعونا نرى كيف تبدو هذه العملية في التمرين، لأن هناك طريقة لجعل رسم هذه الرسوم البيانية أ كل أسهل بكثير مما يظهرون في الكتاب.


تحويل الرسوم المثلثية

توضح المخططات التالية كيفية تحديد تحول الرسم البياني المثلثي من معادلته. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول.


سعة الدوال المثلثية

سعة الدالة المثلثية هي أقصى إزاحة على الرسم البياني لتلك الدالة.

في حالة الدالتين sin و cos ، هذه القيمة هي المعامل الرئيسي للدالة.

إذا كانت y = A sin x ، فإن السعة هي | A |.

في حالة tan و cot و sec و csc ، ستكون السعة كبيرة بشكل لا نهائي بغض النظر عن قيمة A. ومع ذلك ، بالنسبة لمجال محدود ، فإن قيمة A ستحدد أقصى ارتفاع لهذه الدوال.

فترة الدالة المثلثية

دورة الدالة هي إزاحة x حيث يبدأ الرسم البياني للدالة في التكرار.

القيمة x = 2π هي النقطة التي يبدأ عندها الرسم البياني في تكرار قيمة الربع الأول. معامل x هو الثابت الذي يحدد الفترة.

الصيغة العامة هي y = A sin Bx حيث | A | هي السعة و B تحدد الفترة.

بالنسبة للدوال sin و cos و sec و csc ، يمكن إيجاد الدورة بواسطة P = 2π / B

مثال:
أوجد دورة الرسم البياني y = sin 2x وارسم التمثيل البياني لـ y = sin 2x لـ 0 2x ≤ π.

حل:
بما أن B = 2 ، فإن الفترة هي P = 2π / B = 2π / 2 = π

التحول الطوري للدوال المثلثية

الصيغة العامة لمعادلة دالة الجيب المثلثية هي
y = A sin B (x + C)
حيث A هو السعة ، يتم حساب الفترة بالثابت B ، و C هي انزياح الطور.

يمكن تحريك الرسم البياني y = sin x أو إزاحته لليسار أو لليمين. إذا كانت C موجبة ، يكون التحول إلى اليسار إذا كانت C سلبية ، يكون التحول إلى اليمين.

يمكن الحصول على شكل عام مماثل للوظائف المثلثية الأخرى.

مثال:
أوجد سعة ودورة وانزياح طور

حل:
اعادة كتابة

السعة 2 ، الدورة هي π وانزياح الطور / 4 وحدات إلى اليسار.

وظيفة الجيب الأساسية
تعريف الدوال الدورية ، الفترة ، تحول الطور ، السعة ، التحول الرأسي.
الوظيفة الدورية هي وظيفة يكرر رسمها البياني نفسه بنفس الطريقة من اليسار إلى اليمين.
فترة الدالة هي المسافة الأفقية المطلوبة لدورة كاملة.
فترة دالة الجيب وجيب التمام الأساسية هي 2π.
تردد الوظيفة هو مقلوب الفترة.
إن إنزياح الطور لوظيفة ما هو التحول الأفقي لوظيفة دورية.
اتساع الدالة هو نصف المسافة بين القيم القصوى والدنيا للدالة الدورية. السعة دائما موجبة.
التحول الرأسي للدالة هو التحول الرأسي لدالة دورية على طول المحور y.

تحويل الخطيئة وجيب التمام مع الاتساع والانزياح العمودي
f (x) = A sin (Bx + C) + D
قم بالتوسيع عموديًا عند | A | & GT 1
تعاقد عموديًا عند | A | & lt 1
تعكس عندما A & lt 1
السعة = | A |

تحول الخطيئة وجيب التمام مع فترة التحول والطور
f (x) = A sin (Bx + C) + D
تعاقد أفقيًا عند | B | & GT 1
يتم التوسيع أفقيًا عند 0 & lt | B | & lt 1
الدورة = (2π) / | B |

أمثلة على تحويل وظائف الجيب وجيب التمام الأساسية
f (x) = A sin (Bx + C) + D
التحول لأعلى عموديًا عند D & gt 0
التحول لأسفل عموديًا عندما D & lt 0

عروض تحولات الرسوم البيانية المثلثية: السعة ، الفترة ، وانزياح الطور أمبير

دوال مثلث الرسم البياني (الجيب وجيب التمام والظل) مع كل التحويلات
شرحت مقاطع الفيديو كيفية تغيرات السعة والدورة والأرقام في المعادلات.
الجزء 1: انظر ماذا تتصرف الترجمة العمودية والترجمة الأفقية والانعكاس في ثلاثة أمثلة منفصلة.
مثال 1: ارسم الرسم البياني لـ y = 3 + sin 2x
مثال 2: ارسم الرسم البياني لـ y = -1 + cos (x - π)

دوال مثلث الرسم البياني (الجيب وجيب التمام والظل) مع كل التحويلات
في هذه المجموعة من مقاطع الفيديو ، نرى كيف يتأثر خط التوازن بالانزياح الرأسي ، وكيف تتأثر نقطة البداية بانزياح أفقي (طور). تسمى تحولات الرسوم البيانية لأعلى ولأسفل أيضًا بالترجمات.

الجزء 2: مثال على كيفية تأثير الرسم البياني المماس وخطوطه المقاربة على التحولات المختلفة. يتم عرض مثال يتضمن كل نوع من التحويل الممكن ، كل ذلك في مشكلة واحدة.
مثال 1: ارسم الرسم البياني لـ y = -3 tan x + 5
مثال 2: ارسم الرسم البياني y = 2 + 3 cos 4π (x + 1/4)

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


زاوية الطور لا يتم تعريفه دائمًا بنفس الشكل مرحلة التحول.

المرحلة زاوية لمنحنى الجيب ذ = أ الخطيئة (bx + ج) عادةً ما تكون قيمة ج والمرحلة تحول يُعطى عادةً بواسطة "-c / b" ، كما رأينا أعلاه.

تذكير: في القسم الأخير ، رأينا كيفية التعبير عن منحنيات الجيب بدلالة التردد.

مثال: يفصل مهندسو الإلكترونيات مصطلحي "زاوية الطور" و "إزاحة الطور" ، ويستخدمون مزيجًا من الراديان والدرجات. قد يكون لدينا تيار معبر عنه على النحو التالي:

هذا يعني أن السعة هي `50 quotA & quot` ، والتردد هو` 100 & quotH & quot` وزاوية الطور`30 & deg`.

شاهد تطبيق زاوية الطور في تطبيق على دوائر التيار المتردد في فصل الأرقام المركبة.

راجع أيضًا مناقشة حول هذه المسألة في مرحلة التحول أو زاوية المرحلة؟ في مدونة الرياضيات.

لتبسيط الأمور في الوقت الحالي ، سنستخدم المصطلح في الغالب مرحلة التحول في هذا الفصل.


2.8.2: الرسوم البيانية المماسية

اضبط طول المنحنى ، أو المسافة قبل تكرار قيم y ، من (2 pi ).

مهمتك ، إذا اخترت قبولها ، حيث أن حساب المثلثات العامل هو العثور على النقطة وأصفار الوظيفة (y = dfrac <1> <2> tan 4x ).

رسم بياني لوظيفة الظل

الرسم البياني لـ دالة الظل يختلف كثيرًا عن دالتَي الجيب وجيب التمام. أولاً ، تذكر أن نسبة الظل هي ( tan theta = dfrac < text> < نص> ). بالراديان ، سيكون إحداثيات دالة الظل (( ثيتا ، تان ثيتا) )

بعد ( pi ) ، تتكرر قيم y ، مما يجعل دالة الظل دورية بفترة ( pi ).

الشكل ( PageIndex <1> )

يمثل الجزء الأحمر من الرسم البياني الإحداثيات في الجدول أعلاه. بتكرار هذا الجزء ، نحصل على الرسم البياني المماس بأكمله. لاحظ أن هناك خطوط مقاربة عمودية في (x = & minus dfrac <3 pi> <2> ) ، (& minus dfrac < pi> <2> ) ، ( dfrac < pi> <2 > ) و ( dfrac <3 pi> <2> ). إذا أردنا تمديد الرسم البياني في أي اتجاه ، فستظل هناك خطوط مقاربة عمودية عند المضاعفات الفردية pi 2. لذلك ، فإن المجال هو جميع الأرقام الحقيقية ، (x neq n pi pm dfrac < pi> <2> ) ، حيث (n ) عدد صحيح. سيكون النطاق جميع الأعداد الحقيقية. تمامًا كما هو الحال مع وظائف الجيب وجيب التمام ، يمكنك تغيير السعة وانزياح الطور والانزياح العمودي.

الصيغة القياسية للمعادلة هي (y = a tan b (x & minush) + k ) حيث (a ) و (b ) و (h ) و (k ) هي نفسها كما هو الحال بالنسبة للوظائف المثلثية الأخرى. من أجل التبسيط ، لن نتناول تحولات الطور (k) في هذا المفهوم.

لنرسم (y = 3 tan x + 1 ) من ([& minus2 pi، 2 pi] ) ونذكر المجال والنطاق.

أولًا ، السعة هي 3 ، مما يعني أن كل قيمة y ستتضاعف ثلاث مرات. بعد ذلك ، سنقوم بتحويل الدالة لأعلى بمقدار وحدة.

الشكل ( PageIndex <2> )

لاحظ أن الخطوط المقاربة العمودية لم تتغير. ال فترة من هذه الوظيفة لا يزال ( pi ). لذلك ، إذا أردنا تغيير فترة دالة الظل ، فسنستخدم صيغة مختلفة عما استخدمناه للجيب وجيب التمام. لتغيير فترة دالة الظل ، استخدم الصيغة ( dfrac < pi> < mid b mid> ).

سيكون المجال جميع الأرقام الحقيقية ، باستثناء مكان ظهور الخطوط المقاربة. لذلك ، سيكون مجال هذه الوظيفة (x in R ) ، (x not in n pi pm dfrac < pi> <2> ). النطاق هو كل الأرقام الحقيقية.

الآن ، دعنا نرسم (y = & ناقص tan 2 pi ) من ([0،2 pi] ) ، ونذكر المجال والنطاق ، ونجد جميع الأصفار داخل هذا المجال.

ستكون فترة وظيفة الظل هذه ( dfrac < pi> <2> ) وستنعكس المنحنيات على المحور x.

الشكل ( PageIndex <3> )

المجال هو جميع الأرقام الحقيقية ، (x not in dfrac < pi> <4> ، dfrac <3 pi> <4> ، dfrac <5 pi> <4> ، dfrac <7 pi> <4>، dfrac < pi> <4> pm dfrac < pi> <2> n ) حيث (n ) هو أي عدد صحيح. النطاق هو كل الأرقام الحقيقية. للعثور على الأصفار ، اضبط (y = 0 ).

أخيرًا ، دعنا نرسم (y = dfrac <1> <4> tan dfrac <1> <4> x ) من ([0،4 pi] ) ونذكر المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها فترة ( dfrac < pi> < dfrac <1> <4>> = 4 pi ). المجال عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية ، باستثناء (2 pi ، 6 pi ، 10 pi ، 2 pi pm 4 pi n ) ، حيث (n ) هو أي عدد صحيح. النطاق هو كل الأرقام الحقيقية.

الشكل ( PageIndex <4> )

في وقت سابق ، طُلب منك إيجاد نقطة وأصفار الدالة (y = dfrac <1> <2> tan 4x ).

الأصفار هي حيث y يساوي صفرًا.

أوجد فترة الدالة (y = & minus4 tan dfrac <3> <2> x ).

ابحث عن أصفار الوظيفة من المثال 2 ، من ([0،2 pi] ).

الأصفار هي حيث y يساوي صفرًا.

أوجد معادلة دالة الظل بسعة 8 ودورة (6 pi ).

المعادلة العامة هي (y = a tan bx ). نعلم أن (أ = 8 ). دع & rsquos يستخدم الفترة لحل التردد ، أو (ب ).

المعادلة هي (y = 8 tan dfrac <1> <6> x ).

إعادة النظر

ارسم وظائف الظل التالية على ([0،4 pi] ). حدد الفترة والمجال والمدى.

  1. (ص = 2 تان س )
  2. (y = & ناقص dfrac <1> <3> tan x )
  3. (ص = & ناقص تان 3 س )
  4. (ص = 4 تان 2 س )
  5. (y = dfrac <1> [2> tan 4x )
  6. (y = & ناقص tan dfrac <1> <2> x )
  7. (ص = 4 + تان س )
  8. (ص = & ناقص 3 + تان 3 س )
  9. (y = 1 + dfrac <2> <3> tan dfrac <1> <2> x )
  10. أوجد أصفار الوظيفة من رقم 1.
  11. أوجد أصفار الوظيفة من رقم 3.
  12. أوجد أصفار الوظيفة من الرقم 5.

اكتب معادلة دالة الظل بالصيغة (y = a tan bx ) بالسعة والدورة المحددين.


أمثلة أساسية

ابحث عن معادلة للرسم البياني التالي:

أولاً ، لاحظ أن القيمة القصوى التي حققها الرسم البياني هي y = 5 y = 5 y = 5 وأن أدنى قيمة حققها الرسم البياني هي y = - 1 y = -1 y = - 1. هذا يعني أن سعة الرسم البياني هي 5 - (- 1) 2 = 3 فارك <5 - (- 1)> <2> = 3 2 5 - (- 1) = 3 ، مما يعني أن ثابت ضرب المثلثية الوظيفة هي 3 3 3. إذا أخذنا في الاعتبار دالة الجيب ، فإن الانزياح الرأسي للرسم البياني هو القيمة القصوى مطروحًا منها السعة ، أو 5 - 3 = 2. 5 - 3 = 2. 5 - 3 = 2. دورة الرسم البياني هي 6 π - (- 2 π) = 8 π 6 pi - (-2 pi) = 8 pi 6 π - (- 2 π) = 8 π.

إذن ، إحدى المعادلات المحتملة للرسم البياني هي

3 sin ⁡ (x 4 - π) + 2. □ 3 sin left ( frac<4> - pi right) +2. _ square 3 sin (4 x - π) + 2. □


المجال والمدى لوظائف الظل

لاحظ أن الدالة y = tan (x) تتكون من خطوط مقاربة عمودية عند . لذلك،

لـ & # 8211 ص = و (س) = تان (س)

النطاق: جميع الأرقام الحقيقية (أو y ∈ R)

نطاق الظل: مُعرَّف لجميع قيم x الحقيقية ، باستثناء س ≠ (2 ن + 1) (/ 2)، حيث n هو أي عدد صحيح.

الظل هو دالة فردية

نتيجة ل. من النطاق والنطاق أعلاه ، ستؤثر التغييرات على النطاق ولكنها ستؤثر على المجال.

الرسم البياني لدالة tan (x)


علم المثلثات

في الفصل الرابع ، رأينا أن سعة الرسم البياني ودورته وخط الوسط له يتم تحديدها بواسطة المعاملات في صيغتها. يتصرف (جيب وجيب الأعداد الحقيقية) بنفس الطريقة.

فترة القسم الفرعي والخط الوسط والسعة

تسمى التغييرات في السعة ، والدورة ، والخط الوسط في الرسوم البيانية الأساسية للجيب وجيب التمام.

  • يؤدي تغيير خط الوسط إلى إزاحة الرسم البياني عموديًا.
  • يؤدي تغيير السعة إلى تمديد الرسم البياني أو ضغطه رأسيًا.
  • يؤدي تغيير الفترة إلى تمديد الرسم البياني أو ضغطه أفقيًا.

أولاً ، سننظر في التغييرات في السعة.

مثال 7.1.

قارن الرسوم البيانية (f (x) = 2 sin x ) و (g (x) = 0.5 sin x ) بالرسم البياني (y = sin x text <.> )

مع ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان ، قم برسم الوظائف الثلاث في نافذة ZTrig (اضغط على ZOOM 7). تظهر الرسوم البيانية أدناه.

جميع الرسوم البيانية الثلاثة لها نفس الفترة ( (2 pi )) والخط الوسط ( (ص = 0 )) ، لكن الرسم البياني (f ) له سعة 2 ، والرسم البياني (ز ) لديه سعة 0.5.

يتم إعطاء سعة (y = A sin t ) بواسطة ( abs A text <،> ) ونفس الشيء ينطبق على (y = A cos t text <.> ) In التمرين التالي ، تذكر أن السعة دائمًا رقم غير سالب.

نقطة تفتيش 7.2.

قارن الرسوم البيانية لـ (f (x) = 3 cos x ) و (g (x) = - 3 cos x ) مع الرسم البياني لـ (y = cos x text <.> )

كلا الرسمين البيانيين لهما سعة 3. ينعكس الرسم البياني (g (x) = - 3 cos x ) حول (x ) - المحور.

بعد ذلك ، سننظر في التغييرات في فترة الرسم البياني.

مثال 7.3.

قارن الرسوم البيانية لـ (f (x) = cos 2x ) و (g (x) = cos dfrac <1> <3> x ) مع الرسم البياني لـ (y = cos x text <.> )

مع ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان ، رسم بياني (f (x) = cos 2x ) و (y = cos x ) في نفس النافذة ، كما هو موضح أدناه.

كلا الرسمين البيانيين لهما نفس السعة ( (1 )) والخط الوسط ( (y = 0 )) ، لكن الرسم البياني (f ) يكمل دورتين من (0 ) إلى (2 بي ) ) بدلاً من واحد. فترة (f (x) = cos alert <2> x ) هي ( dfrac <2 pi> < alert <2>> = pi text <.> )

الآن رسم بياني (g (x) = cos dfrac <1> <3> x ) و (y = cos x ) في نفس النافذة. قم بتعيين Xmin (= 0 ) و Xmax (= 6 pi text <.> )

الرسم البياني لـ (g (x) = cos alert < dfrac <1> <3>> x ) يكمل دورة واحدة بين (0 ) و (6 pi text <.> ) الخاص به الفترة هي ( dfrac <2 pi> < alert < dfrac <1> <3> >> = 6 pi text <.> )

يتم إعطاء فترة (y = cos Bt ) بواسطة ( dfrac <2 pi> < abs B> text <،> ) وينطبق الشيء نفسه على (y = sin Bt ) نص <.> )

نقطة تفتيش 7.4.
  1. قارن الرسم البياني لـ (f (x) = sin 3x ) بالرسم البياني لـ (y = sin x text <.> ) استخدم النافذة Xmin (= 0 text <،> ) Xmax (= 2 pi text <،> ) Ymin (= - 2 text <،> ) Ymax (= 2 text <.> )
  2. قارن الرسم البياني لـ (g (x) = sin dfrac <1> <4> x ) بالرسم البياني (y = sin x text <.> ) استخدم النافذة Xmin (= 0 text <،> ) Xmax (= 8 pi text <،> ) Ymin (= - 2 text <،> ) Ymax (= 2 text <.> )
  1. يكمل الرسم البياني (f ) 3 دورات من (0 ) إلى (2 pi text <.> ) فترته هي ( dfrac <2 pi> <3> text <.> )
  2. يكمل الرسم البياني (g ) دورة واحدة من (0 ) إلى (8 pi text <.> ) فدورته هي (8 pi text <.> )

بعد ذلك سننظر في التغييرات في خط الوسط.

مثال 7.5.

قارن الرسم البياني (f (x) = 2 + sin x ) بالرسم البياني لـ (y = sin x text <.> )

رسم كلا الوظيفتين في نافذة ZTrig. تظهر الرسوم البيانية أدناه.

كل نقطة على الرسم البياني (f (x) = 2 + sin x ) لها (y ) - تنسق وحدتين أعلى من النقطة المقابلة على الرسم البياني (y = sin x text <. > ) وهكذا ، فإن الرسم البياني (f (x) = 2 + sin x ) يتم إزاحته رأسيًا بمقدار وحدتين بالنسبة إلى الرسم البياني لـ (y = sin x text <.> ) على وجه الخصوص ، خط الوسط (f (x) = alert <2> + sin x ) هو السطر (y = alert <2> text <.> )

نقطة تفتيش 7.6.

قارن الرسم البياني لـ (g (x) = - 3+ cos x ) بالرسم البياني لـ (y = cos x text <.> )

تم إزاحة الرسم البياني لـ (g ) لأسفل بمقدار 3 وحدات. خط الوسط هو (ص = -3 نص <.> )

هنا ملخص النتائج التي توصلنا إليها.

السعة والفترة والخط الوسط للوظائف الجيبية.

الرسوم البيانية الفرعية للوظائف الجيبية

قيم المعلمات (أ ،

ك ) تحديد شكل الرسوم البيانية ل

من خلال ضبط السعة والدورة والخط الوسط لمخطط الجيب أو جيب التمام ، يمكننا رسم هذه الدوال الجيبية.

مثال 7.7.
  1. اذكر السعة والدورة والخط الوسط لـ (y = 2 + 3 cos 4t text <.> )
  2. ارسم يدويًا رسمًا بيانيًا لـ (y = 2 + 3 cos 4t text <.> )

تتمثل إحدى طرق عمل رسم تخطيطي سريع للرسم البياني الجيبي في استخدام جدول القيم. الحيلة هي اختيار قيم ملائمة لمتغير الإدخال. في الجدول أدناه ، لاحظ أننا نختار الزوايا الرباعية كقيم إدخال للدالة المثلثية.

(ر ) (4 طن ) ( cos 4t ) (3 cos 4t ) (ص = 2 + cos 4t )
( hphantom <0000> ) (تنبيه <0> ) (1) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) (تنبيه < dfrac < pi> <2>> ) (0) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) (تنبيه < pi> ) (-1) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( تنبيه < dfrac <3 بي> <2>> ) (0) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( تنبيه <2 بي> ) (1) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )

نعمل الآن للخلف من (4t ) للعثور على قيم (t text <،> ) وإلى الأمام من ( cos 4t ) للعثور على قيم (y text <.> )

(ر ) (4 طن ) ( cos 4t ) (3 cos 4t ) (ص = 2 + cos 4t )
(0) (0) (1) (3) (5)
( blert < dfrac < pi> <8>> ) ( dfrac < pi> <2> ) (0) (0) ( blert <2> )
( blert < dfrac < pi> <4>> ) ( بي ) (-1) (-3) ( blert <-1> )
( blert < dfrac <3 pi> <8>> ) ( dfrac <3 بي> <2> ) (0) (0) ( blert <2> )
( blert < dfrac < pi> <2>> ) (2 بي ) (1) (3) ( blert <5> )

لاحظ من الجدول أن الرسم البياني يكمل دورة واحدة من (t = 0 ) إلى (t = dfrac < pi> <2> text <،> ) مما يؤكد أن الفترة هي ( dfrac < pi> <2> text <.> ) أخيرًا ، نرسم النقاط ((t ، y) ) من الجدول ، ونستخدمها "كنقاط إرشادية" لرسم رسم بياني جيبي ، كما هو موضح أدناه.

نقطة تفتيش 7.8.

أكمل الجدول وارسم رسمًا بيانيًا لـ (y = 4-2 sin dfrac<3> نص <.> )

(ر ) ( dfrac<3>) ( الخطيئة dfrac<3>) (- 2 الخطيئة dfrac<3>) (y = 4-2 sin dfrac<3>)
( hphantom <0000> ) (تنبيه <0> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) (تنبيه < dfrac < pi> <2>> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) (تنبيه < pi> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) (تنبيه < dfrac <3 بي> <2>> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
( hphantom <0000> ) ( تنبيه <2 بي> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
(ر ) ( فارك<3>) ( sin frac<3>) (- 2 sin frac<3>) (ص = 4-2 خطيئة فارك<3>)
(0) (0) (0) (0) (4)
( فارك <3 بي> <2> ) ( فارك < بي> <2> ) (1) (-2) (2)
(3 بي ) ( بي ) (0) (0) (4)
( فارك <9 بي> <2> ) ( فارك <3 بي> <2> ) (-1) (2) (6)
(6 بي ) (2 بي ) (0) (0) (4)

النمذجة الفرعية مع الوظائف الجيبية

تُستخدم الوظائف الجيبية لنمذجة مجموعة كبيرة ومتنوعة من الظواهر الفيزيائية ، بما في ذلك الموجات الصوتية والضوئية والمد والجزر ومدارات الكواكب ودورات حياة النباتات والحيوانات. وغالبًا ما تُستخدم أيضًا لتقريب الوظائف الدورية غير الجيبية تمامًا ، مثل ضغط الدم.

مثال 7.9.

يتراوح ضغط الدم النموذجي للبالغين الأصحاء ، المقاس بالمليمترات من الزئبق ، بين 70 و 110 ، ومعدل ضربات القلب النموذجي هو 60 نبضة في الدقيقة. اكتب دالة جيبية تقارب ضغط الدم ، وارسم مخططها البياني.

نود دالة على الشكل (y = k + a sin Bt text <،> ) لذلك يجب أن نجد قيم المعلمات (A،

  • خط الوسط للرسم البياني (y = dfrac <70 + 110> <2> = 90 text <،> ) والسعة هي (110-90 = 20 text <،> ) لذا ( أ = 20 ) و (ك = 90 نص <.> )
  • يتكرر الرسم البياني 60 مرة في الدقيقة ، لذا فإن الفترة هي ( dfrac <1> <60> ) دقيقة ، و (B = dfrac <2 pi> < dfrac <1> <60>> = 120 pi text <.> )

يظهر الرسم البياني للوظيفة أدناه.

الملاحظة 7.10.

في المثال 5 ، كان من الممكن أن نختار إما دالة الجيب أو دالة جيب التمام لنمذجة ضغط الدم كلاهما يصف السلوك الدوري الموصوف. ومع ذلك ، إذا أعطيت لنا ، أو نرغب في تحديد ، نقطة البداية لوظيفة جيبية ، يمكن أن يكون أحد الخيارات أكثر ملاءمة من الآخر. ضع في اعتبارك الوظائف الموضحة أدناه.

جميع الوظائف الأربع لها نفس السعة والدورة ، لكنها تبدأ عند نقاط مختلفة في الدورة.

  • تبدأ الرسوم البيانية في (أ) و (ب) على خط الوسط ، لذلك من الأفضل نمذجتها من خلال دوال الجيب.
  • يبدأ الرسم البياني في (ب) بالتناقص بدلاً من الزيادة ، لذا فإن المعامل (A ) سالب.
  • The graph in (c) is modeled by a cosine, because it starts at the maximum point, and the graph in (d) starts at the minimum point, so we choose a negative cosine to model it.

(In Section 7.2, we'll consider sinusoidal functions that start at other positions on the cycle.)

In Exercise 5, note the starting point of the graph, and choose the most appropriate sinusoidal function to model the function.

Checkpoint 7.11 .

The graph below shows the voltage of a generator, as seen on an oscilloscope.

  1. Write a sinusoidal function for the voltage level.
  2. What is the frequency of the signal, in cycles per second?

Subsection The Tangent Function

The transformations of shifting and stretching can be applied to the tangent function as well. The graph of (y= an x) does not have an amplitude, but we can see any vertical stretch by comparing the function values at the guidepoints.

Example 7.12 .

Recall that the period of the tangent function is (pi ext<.>) We make a table of values for one cycle of the function, choosing multiples of (dfrac<4>) as the inputs for the tangent function. Then we plot the guidepoints, and sketch a tangent function through them. الرسم البياني مبين أدناه.

we see that the graph is stretched vertically by a factor of (A=3 ext<.>) The midline is (y=1 ext<,>) so the graph is shifted up by 1 unit. Finally, the coefficient (B=2) compresses the graph horizontally by a factor of 2, so the period of the graph is (dfrac<2> ext<,>) and there are four cycles between (0) and (2pi)

Checkpoint 7.13 .

Find an equation of the form

Review the following skills you will need for this section.

Algebra Refresher 7.1 .

Algebra Refresher Answers

Subsection Section 7.1 Summary

Subsubsection Vocabulary

Subsubsection Concepts

  1. Changes to the amplitude, period, and midline of the basic sine and cosine graphs are called . Changing the midline shifts the graph vertically, changing the amplitude stretches or compresses the graph vertically, and changing the period stretches or compresses the graph horizontally.
Amplitude, Period, and Midline of Sinusoidal Functions.

Subsubsection Study Questions

  1. Count from (0) to (2pi) by multiples of (dfrac<4> ext<.>)
  2. Count from (0) to (2pi) by multiples of (dfrac<6> ext<.>)
  3. Transformationhe maximum value of a certain sinusoidal function is (M ext<,>) and its minimum value is (m ext<.>) What is the midline of the function? What is its amplitude?
  4. (f(x)=k+A an x ext<,>) and (f(0)=4,

Subsubsection Skills

  1. Identify the amplitude, period, and midline of a circular function #1–8, 23–30
  2. Graph a circular function #9–16, 31–44
  3. Find a formula for the graph of a circular function #17–30
  4. Model periodic phenomena with circular functions #45–52
  5. Graph transformations of the tangent function #535–8
  6. Solve trigonometric equations graphically #59–70

Exercises Homework 7-1

For Problems 1–8, state the amplitude, period, and midline of the graph.

In Problems 9–16, we use transformations to sketch graphs of the functions in Problems 1–8. Sketch one cycle of each graph by hand and label scales on the axes.

For Problems 17–22, write an equation for the graph using sine or cosine.

  1. State the amplitude, period, and midline of the graph.
  2. Write an equation for the graph using sine or cosine.

In Problems 31–36, we use a table of values to sketch circular functions.

  1. Complete the table of values for the function.
  2. Sketch a graph of the function and label the scales on the axes.
(ر ) (2t) (cos 2t) (-5cos 2t) (2-5cos 2t)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) ( بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2 بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(ر ) (3t) (sin 3t) (4sin 3t) (-2+4sin 3t)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) ( بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2 بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(ر ) (dfrac<2>) (cos dfrac<2>) (3cos dfrac<2>) (1+3cos dfrac<2>)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) ( بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2 بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(ر ) (dfrac<4>) (sin dfrac<4>) (3sin dfrac<4>) (-2-3sin dfrac<4>)
(hphantom<0000>) (0) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) ( بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (dfrac<3pi><2>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (2 بي ) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)
(hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>) (hphantom<0000>)

For Problems 37–44, label the scales on the axes for the graph.

The height of the tide in Cabot Cove can be approximated by a sinusoidal function. At 5 am on July 23, the water level reached its high mark at the 20-foot line on the pier, and at 11 am, the water level was at its lowest at the 4-foot line.

  1. Sketch a graph of (W(t) ext<,>) the water level as a function of time, from 5 am on July 23 to 5 am on July 24.
  2. Write an equation for the function.

The population of mosquitoes at Marsh Lake is a sinusoidal function of time. The population peaks around June 1 at about 6000 mosquitoes per square kilometer, and is smallest on December 1, at 1000 mosquitoes per square kilometer.

  1. Sketch a graph of (M(t) ext<,>) the number of mosquitoes as a function of the month, where (t=0) on June 1.
  2. Write an equation for the function.

The paddlewheel on the Delta Queen steamboat is 28 feet in diameter, and is rotating once every ten seconds. The bottom of the paddlewheel is 4 feet below the surface of the water.

  1. The ship's logo is painted on one of the paddlewheel blades. At (t=0 ext<,>) the blade with the logo is at the top of the wheel. Sketch a graph of the logo's heightabove the water as a function of (t ext<.>)
  2. Write an equation for the function.

Delbert's bicycle wheel is 24 inches in diameter, and he has a light attached to the spokes 10 inches from the center of the wheel. It is dark, and he is cycling home slowly from work. The bicycle wheel makes one revolution every second.

  1. At (t=0 ext<,>) the light is at its highest point the bicycle wheel. Sketch a graph of the light's height as a function of (t ext<.>)
  2. Write an equation for the function.

For Problems 49–52, write an equation for the sinusoidal function whose graph is shown.

The number of hours of daylight in Salt Lake City varies from a minimum of 9.6 hours on the winter solstice to a maximum of 14.4 hours on the summer solstice. Time is measured in months, starting at the winter solstice.

A weight is 6.5 feet above the floor, suspended from the ceiling by a spring. The weight is pulled down to 5 feet above the floor and released, rising past 6.5 feet in 0.5 seconds before attaining its maximum height of feet. The weight oscillates between its minimum and maximum height.

The voltage used in U.S. electrical current changes from 155V to 155V and back 60 times each second.

Although the moon is spherical, what we see from earth looks like a disk, sometimes only partly visible. The percentage of the moon's disk that is visible varies between 0 (at new moon) to 100 (at full moon), over a 28-day cycle.


2.3: Basic Trigonometric Graphs

The next trig function is the tangent, but that's difficult to show on the unit circle. So let's take a closer look at the sine and cosines graphs, keeping in mind that tan(&theta) = الخطيئة(&theta)/cos(&theta) .

The tangent will be zero wherever its numerator (the sine) is zero. This happens at 0 , &pi , 2&pi , 3&pi , etc, and at &ndash&pi , &ndash2&pi , &ndash3&pi , etc. Let's just consider the region from &ndash&pi to 2&pi , for now. So the tangent will be zero (that is, it will cross the x-axis) at &ndash&pi , 0 , &pi , and 2&pi .

The tangent will be undefined wherever its denominator (the cosine) is zero. Thinking back to when you learned about graphing rational functions, a zero in the denominator means you'll have a vertical asymptote. So the tangent will have vertical asymptotes wherever the cosine is zero: at &ndash&pi/2 , &pi/2 , and 3&pi/2 . Let's put dots for the zeroes and dashed vertical lines for the asymptotes:

Now we can use what we know about sine, cosine, and asymptotes to fill in the rest of the tangent's graph: We know that the graph will never touch or cross the vertical asymptotes we know that, between a zero and an asymptote, the graph will either be below the axis (and slide down the asymptote to negative infinity) or else be above the axis (and skinny up the asymptote to positive infinity). Between zero and &pi/2 , sine and cosine are both positive. This means that the tangent, being their quotient, is positive, so the graph slides up the asymptote: Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

Between &pi/2 and &pi , sine is positive but cosine is negative. These opposite signs mean that the tangent quotient will be negative, so it will come up the asymptote from below, to meet the x -axis at x = &pi :

Since sine and cosine are periodic, then tangent has to be, as well. A quick check of the signs tells us how to fill in the rest of the graph:

  • &ndash&pi to &ndash&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • &ndash&pi/2 to 0 : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative
  • &pi to 3&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • 3&pi/2 to 2&pi : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative

Now we can complete our graph:

The Tangent Graph

As you can see, the tangent has a period of &pi , with each period separated by a vertical asymptote. The concept of "amplitude" doesn't really apply.

For graphing, draw in the zeroes at x = 0 , &pi , 2&pi , etc, and dash in the vertical asymptotes midway between each zero. Then draw in the curve. You can plot a few more points if you like, but you don't generally gain much from doing so.

If you prefer memorizing graphs, then memorize the above. But I always had trouble keeping straight anything much past sine and cosine, so I used the reasoning demonstrated above to figure out the tangent (and the other trig) graphs. As long as you know your sines and cosines very well, you'll be able to figure out everything else.


شاهد الفيديو: طريقه سهله لرسم الدوال المثلثيه مهندس خالد (شهر اكتوبر 2021).