مقالات

3.3: حل المعادلات المثلثية


أهداف التعلم

  • استخدم المتطابقات الأساسية لحل المعادلات المثلثية.
  • التعبير عن المقادير المثلثية في أبسط صورة.
  • حل المعادلات المثلثية بالتحليل.
  • حل المعادلات المثلثية باستخدام الصيغة التربيعية.

يُعرف طاليس من ميليتس (حوالي 625-547 قبل الميلاد) بأنه مؤسس الهندسة. الأسطورة هي أنه حسب ارتفاع الهرم الأكبر بالجيزة في مصر باستخدام نظرية مثلثات متشابهةالذي طوره بقياس ظل عصاه. استنادًا إلى النسب ، فإن لهذه النظرية تطبيقات في عدد من المجالات ، بما في ذلك الهندسة الكسورية والهندسة والهندسة المعمارية. غالبًا ما يتم العثور على زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض باستخدام مثلثات متشابهة.

في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، نظرنا في المتطابقات المثلثية. الهويات صحيحة لجميع القيم في مجال المتغير. في هذا القسم ، نبدأ دراستنا للمعادلات المثلثية لدراسة سيناريوهات العالم الحقيقي مثل إيجاد أبعاد الأهرامات.

حل المعادلات المثلثية الخطية في الجيب وجيب التمام

المعادلات المثلثية هي ، كما يوحي الاسم ، معادلات تتضمن الدوال المثلثية. متشابهة من نواحٍ عديدة لحل المعادلات متعددة الحدود أو المعادلات المنطقية ، فقط القيم المحددة للمتغير ستكون حلولًا ، إذا كانت هناك حلول على الإطلاق. غالبًا ما نحل المعادلة المثلثية خلال فترة زمنية محددة. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، سيُطلب منا إيجاد جميع الحلول الممكنة ، وبما أن الدوال المثلثية دورية ، تتكرر الحلول خلال كل فترة. بمعنى آخر ، قد تحتوي المعادلات المثلثية على عدد لا حصر له من الحلول. بالإضافة إلى ذلك ، مثل المعادلات المنطقية ، يجب النظر في مجال الوظيفة قبل أن نفترض أن أي حل صالح. ال فترة لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام هي (2 pi ). بمعنى آخر ، كل (2 pi ) وحدة ، فإن ملف ص-تكرار القيم. إذا احتجنا إلى إيجاد جميع الحلول الممكنة ، فعلينا إضافة (2 pi k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح ، إلى الحل الأولي. تذكر القاعدة التي تعطي التنسيق لذكر جميع الحلول الممكنة لوظيفة حيث تكون الفترة (2 pi ):

[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]

توجد قواعد مماثلة للإشارة إلى جميع الحلول الممكنة للدوال المثلثية الأخرى. يتطلب حل المعادلات المثلثية نفس تقنيات حل المعادلات الجبرية. نقرأ المعادلة من اليسار إلى اليمين ، أفقيًا ، مثل الجملة. نبحث عن الأنماط المعروفة ، والعوامل ، والعثور على قواسم مشتركة ، واستبدال تعبيرات معينة بمتغير لنجعل حل عملية أكثر وضوحًا. ومع ذلك ، مع المعادلات المثلثية ، لدينا أيضًا ميزة استخدام الهويات التي قمنا بتطويرها في الأقسام السابقة.

مثال ( PageIndex {1A} ): حل معادلة خطية مثلثية تتضمن دالة جيب التمام

ابحث عن جميع الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة ( cos theta = dfrac {1} {2} ).

المحلول

من دائرة الوحدة ، نعرف ذلك

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} [4pt] theta & = dfrac { pi} {3} ، space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]

هذه هي الحلول في الفاصل ([0،2 pi] ). يتم تقديم جميع الحلول الممكنة بواسطة

[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {and} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi nonumber ]

حيث (ك ) عدد صحيح.

مثال ( PageIndex {1B} ): حل معادلة خطية تتضمن دالة الجيب

ابحث عن جميع الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة ( sin t = dfrac {1} {2} ).

المحلول

يعني حل جميع القيم الممكنة لـ (t ) أن الحلول تشمل زوايا تتجاوز فترة (2 pi ). من القسم الخاص بمطابقات الجمع والفرق ، يمكننا أن نرى أن الحلول هي (t = dfrac { pi} {6} ) و (t = dfrac {5 pi} {6} ). لكن المشكلة تطلب جميع القيم الممكنة التي تحل المعادلة. لذلك ، الجواب

[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {and} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k nonumber ]

حيث (ك ) عدد صحيح.

الكيفية: بإعطاء معادلة مثلثية ، حل باستخدام الجبر

  1. ابحث عن نمط يشير إلى خاصية جبرية ، مثل اختلاف المربعات أو فرصة التحليل.
  2. استبدل التعبير المثلثي بمتغير واحد ، مثل (x ) أو (u ).
  3. حل المعادلة بنفس طريقة حل المعادلة الجبرية.
  4. استبدل التعبير المثلثي مرة أخرى بالمتغير في التعبيرات الناتجة.
  5. حل من أجل الزاوية.

مثال ( PageIndex {2} ): حل المعادلة الخطية المثلثية

حل المعادلة بالضبط: (2 cos theta − 3 = −5 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

استخدم الأساليب الجبرية لحل المعادلة.

[ start {align *} 2 cos theta-3 & = -5 2 cos theta & = -2 cos theta & = -1 theta & = pi end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

حل المعادلة الخطية التالية بالضبط على الفاصل ([0،2 pi) ): (2 sin x + 1 = 0 ).

إجابه

(x = dfrac {7 pi} {6}، space dfrac {11 pi} {6} )

حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية واحدة

عندما نحصل على معادلات تتضمن واحدة فقط من الدوال المثلثية الست ، فإن حلولها تتضمن استخدام التقنيات الجبرية ودائرة الوحدة (انظر [الرابط]). نحتاج إلى وضع العديد من الاعتبارات عندما تتضمن المعادلة دوال مثلثية بخلاف الجيب وجيب التمام. يجب النظر إلى المشكلات التي تنطوي على عمليات تبادل للدوال المثلثية الأولية من منظور جبري. بعبارة أخرى ، سنكتب دالة المقلوب ، ونوجد قيمة الزوايا باستخدام الدالة. أيضًا ، تختلف المعادلة التي تتضمن دالة الظل اختلافًا طفيفًا عن المعادلة التي تحتوي على دالة الجيب أو دالة الجيب. أولاً ، كما نعلم ، فإن فترة الظل هي ( pi ) ، وليست (2 pi ). علاوة على ذلك ، فإن مجال الظل هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء مضاعفات الأعداد الصحيحة الفردية لـ ( dfrac { pi} {2} ) ، ما لم تفرض مشكلة قيودها الخاصة على المجال بالطبع.

مثال ( PageIndex {3A} ): حل المعادلة المثلثية التي تتضمن جيبًا

حل المشكلة تمامًا: (2 { sin} ^ 2 theta − 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

نظرًا لأنه لا يمكن تحليل هذه المشكلة بسهولة ، فسنحلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي. أولاً ، نستخدم الجبر لعزل ( sin theta ). ثم سنجد الزوايا.

[ ابدأ {محاذاة *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0
2 { sin} ^ 2 ثيتا & = 1
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2}
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}}
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}}
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2}
theta & = dfrac { pi} {4} ، space dfrac {3 pi} {4} ، space dfrac {5 pi} {4} ، space dfrac {7 pi} {4 }
النهاية {محاذاة *} ]

التحليلات

مثل ( sin theta = - dfrac {1} {2} ) ، لاحظ أن جميع الحلول الأربعة تقع في الربعين الثالث والرابع.

مثال ( PageIndex {3B} ): حل معادلة مثلثية تتضمن قاطع التمام

حل المعادلة التالية بالضبط: ( csc theta = −2 ) ، (0≤ theta <4 pi ).

المحلول

نريد جميع قيم ( theta ) التي ( csc theta = −2 ) عبر الفاصل (0≤ theta <4 pi ).

[ begin {align *} csc theta & = -2 dfrac {1} { sin theta} & = -2 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6} ، space dfrac {11 pi} {6} ، space dfrac {19 pi} {6} ، space dfrac {23 pi} { 6} end {align *} ]

مثال ( PageIndex {3C} ): حل معادلة تتضمن الظل

حل المعادلة تمامًا: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

تذكر أن وظيفة الظل لها فترة ( pi ). على الفاصل ([0، pi) ) وبزاوية ( dfrac { pi} {4} ) ، يكون للماس قيمة (1 ). ومع ذلك ، فإن الزاوية التي نريدها هي ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). وبالتالي ، إذا كان ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ) ، إذن

[ begin {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k بي نهاية {محاذاة *} ]

خلال الفترة ([0،2 pi) ) ، لدينا حلين:

( theta = dfrac {3 pi} {4} ) و ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد كل الحلول من أجل ( tan x = sqrt {3} ).

إجابه

( dfrac { pi} {3} pm pi k )

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد جميع حلول المعادلة التي تتضمن الظل

حدد جميع الحلول الدقيقة للمعادلة (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ) ، (0≤x <2 pi ).

المحلول

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الجبر فقط. افصل التعبير ( tan x ) الموجود على الجانب الأيسر من علامة التساوي.

هناك زاويتان على دائرة الوحدة لهما قيمة ظل الزاوية (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) و ( theta = dfrac {7 pi } {4} ).

حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة

لا يمكن حل جميع الوظائف بالضبط باستخدام دائرة الوحدة فقط. عندما يتعين علينا حل معادلة تتضمن زاوية غير إحدى الزوايا الخاصة ، فسنحتاج إلى استخدام الآلة الحاسبة. تأكد من ضبطه على الوضع المناسب ، إما درجات أو راديان ، اعتمادًا على معايير المشكلة المحددة.

مثال ( PageIndex {5A} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل معادلة مثلثية تتضمن جيب الزاوية

استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة ( sin theta = 0.8 ) حيث ( theta ) بوحدات الراديان.

المحلول

تأكد من ضبط الوضع على راديان. لإيجاد ( theta ) ، استخدم دالة الجيب العكسي. في معظم الآلات الحاسبة ، ستحتاج إلى الضغط على 2اختصار الثاني ثم زر SIN لإظهار الوظيفة ({ sin} ^ {- 1} ). ما يظهر على الشاشة هو ({ sin} ^ {- 1} ) الآلة الحاسبة جاهزة للإدخال داخل الأقواس. لهذه المشكلة ، ندخل ({ sin} ^ {- 1} (0.8) ) ، ونضغط على ENTER. وهكذا ، إلى أربعة منازل عشرية ،

({ sin} ^ {- 1} (0.8) ≈0.9273 )

الحل

( theta≈0.9273 م 2 بي ك )

قياس الزاوية بالدرجات هو

[ begin {align *} theta & almost 53.1 ^ { circ} theta & almost 180 ^ { circ} -53.1 ^ { circ} & almost 126.9 ^ { circ} end {محاذاة *} ]

التحليلات

لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعيد الزاوية فقط في الأرباع I أو IV لوظيفة الجيب نظرًا لأن هذا هو نطاق الجيب المعكوس. يتم الحصول على الزاوية الأخرى باستخدام ( pi− theta ).

مثال ( PageIndex {5B} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل المعادلة المثلثية التي تتضمن القاطع

استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة ( sec θ = −4، ) مع إعطاء إجابتك بالتقدير الدائري.

المحلول

يمكننا أن نبدأ ببعض الجبر.

[ begin {align *} sec theta & = -4 dfrac {1} { cos theta} & = -4 cos theta & = - dfrac {1} {4} end {محاذاة *} ]

تأكد من أن الوضع MODE بالتقدير الدائري. الآن استخدم الدالة العكسية لجيب التمام

[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & حوالي 1.8235 theta & almost 1.8235 + 2 pi k end {محاذاة *} ]

بما أن ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) و ( pi≈3.14 ) ، فإن (1.8235 ) بين هذين الرقمين ، وبالتالي فإن ( theta≈1.8235 ) يقع في الربع الثاني . جيب التمام سلبي أيضًا في الربع الثالث. لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعيد الزاوية في الأرباع I أو II فقط لدالة جيب التمام ، لأن هذا هو نطاق معكوس جيب التمام. راجع الشكل ( PageIndex {2} ).

إذن ، علينا أيضًا إيجاد قياس الزاوية في الربع III. في الربع الثالث ، الزاوية المرجعية هي ( theta '' pi − 1.8235≈1.3181 ). الحل الآخر في الربع الثالث هو ( ( theta '≈ pi + 1.3181≈4.4597 ).

الحلول هي ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) و ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).

تمرين ( PageIndex {3} )

حل ( cos theta = −0.2 ).

إجابه

( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) و ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )

حل المعادلات المثلثية بالصيغة التربيعية

حل أ معادلة من الدرجة الثانية قد يكون الأمر أكثر تعقيدًا ، ولكن مرة أخرى ، يمكننا استخدام الجبر كما نفعل مع أي معادلة تربيعية. انظر إلى نمط المعادلة. هل هناك أكثر من دالة مثلثية في المعادلة أم هناك دالة واحدة فقط؟ أي دالة مثلثية تربيع؟ إذا كانت هناك دالة واحدة فقط ممثلة وكان أحد المصطلحين تربيعًا ، ففكر في الشكل القياسي للقيمة التربيعية. استبدل الدالة المثلثية بمتغير مثل (x ) أو (u ). إذا جعل التعويض المعادلة تبدو وكأنها معادلة تربيعية ، فيمكننا استخدام نفس الطرق لحل المعادلات التربيعية لحل المعادلات المثلثية.

مثال ( PageIndex {6A} ): حل معادلة مثلثية في صيغة تربيعية

حل المعادلة بالضبط: ({ cos} ^ 2 theta + 3 cos theta − 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

نبدأ باستخدام الاستبدال واستبدال ( cos theta ) بـ (x ). ليس من الضروري استخدام الاستبدال ، ولكنه قد يجعل حل المشكلة بصريًا أسهل. دع ( cos theta = x ). لدينا

(س ^ 2 + 3 س − 1 = 0 )

لا يمكن تحليل المعادلة إلى عوامل ، لذلك سنستخدم الصيغة التربيعية: (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

[ begin {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} & = dfrac {- 3 مساءً sqrt {13}} {2} end {align *} ]

استبدل (x ) بـ ( cos theta ) وحل.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {- 3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]

لاحظ أنه يتم استخدام علامة + فقط. هذا لأننا حصلنا على خطأ عند حل ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) في آلة حاسبة ، لأن مجال دالة جيب التمام العكسي هو ([−1،1] ). ومع ذلك ، هناك حل ثان:

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & almost 1.26 end { محاذاة *} ]

يقع هذا الجانب النهائي للزاوية في الربع الأول. نظرًا لأن جيب التمام موجب أيضًا في الربع الرابع ، فإن الحل الثاني هو

[ begin {align *} theta & = 2 pi - { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & almost 5.02 النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {6B} ): حل معادلة مثلثية في صيغة تربيعية بالتحليل إلى عوامل

حل المعادلة بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta − 5 sin theta + 3 = 0 ) ، (0≤ theta≤2 pi ).

المحلول

باستخدام التجميع ، يمكن تحليل هذه المعادلة التربيعية. إما أن تجري الاستبدال الحقيقي ، ( sin theta = u ) ، أو تخيله ، كما نأخذ في الحسبان:

[ start {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {الآن قم بتعيين كل عامل يساوي الصفر.} 2 sin theta-3 & = 0 2 sin theta & = 3 sin theta & = dfrac {3} {2} sin theta-1 & = 0 sin theta & = 1 end {align *} ]

حل بعد ذلك من أجل ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ) ، لأن نطاق دالة الجيب هو ([−1،1] ). ومع ذلك ، ( sin theta = 1 ) ، بإعطاء الحل ( theta = dfrac { pi} {2} ).

التحليلات

تأكد من التحقق من جميع الحلول في المجال المحدد لأن بعض العوامل ليس لها حل.

تمرين ( PageIndex {4} )

حل ({ sin} ^ 2 theta = 2 cos theta + 2 ) ، (0≤ theta≤2 pi ). [تلميح: إجراء استبدال للتعبير عن المعادلة فقط من ناحية جيب التمام.]

إجابه

( cos theta = −1 ) ( theta = pi )

مثال ( PageIndex {7A} ): حل معادلة مثلثية باستخدام الجبر

حل بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta + sin theta = 0 ؛ space 0≤ theta <2 pi )

المحلول

يجب أن تبدو هذه المشكلة مألوفة لأنها تشبه التربيعية. دع ( sin theta = x ). تصبح المعادلة (2x ^ 2 + x = 0 ). نبدأ بالتحليل:

[ ابدأ {محاذاة *}
2 س ^ 2 + س & = 0
x (2x + 1) & = 0 qquad text {ضع كل عامل مساويًا للصفر.}
س & = 0
2x + 1 & = 0
x & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]
بعد ذلك ، استبدل التعبير الأصلي ( sin theta ) عن (x ) في المعادلة. هكذا،
[ start {align *} sin theta & = 0
ثيتا & = 0 ، pi
sin theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6}
النهاية {محاذاة *} ]

الحلول داخل المجال (0≤ theta <2 pi ) هي ( theta = 0، pi، dfrac {7 pi} {6}، dfrac {11 pi} {6} ).

إذا فضلنا عدم التعويض ، يمكننا حل المعادلة باتباع نفس نمط التحليل وجعل كل عامل مساويًا للصفر.

[ start {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 sin theta & = 0 theta & = 0، pi 2 sin theta + 1 & = 0 2 sin theta & = -1 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]

التحليلات

يمكننا رؤية الحلول على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {3} ). في الفاصل الزمني (0≤ theta <2 pi ) ، يتقاطع الرسم البياني مع (x )-المحور أربع مرات ، في الحلول المذكورة. لاحظ أن المعادلات المثلثية التي تكون في شكل تربيعي يمكن أن تسفر عن أربعة حلول بدلاً من المعادلات التربيعية المتوقعة. في هذا المثال ، كل حل (زاوية) يقابل قيمة الجيب الموجبة سينتج زاويتين من شأنها أن تؤدي إلى تلك القيمة.

يمكننا التحقق من الحلول على دائرة الوحدة من خلال النتيجة في القسم الخاص بهويات الجمع والفرق أيضًا.

مثال ( PageIndex {7B} ): حل المعادلة المثلثية التربيعية في الصورة

حل المعادلة التربيعية في الشكل بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

يمكننا التحليل باستخدام التجميع. يمكن العثور على قيم الحل لـ ( theta ) في دائرة الوحدة.

[ start {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 2 sin theta-1 & = 0 sin theta & = dfrac {1 } {2} theta & = dfrac { pi} {6} ، dfrac {5 pi} {6} sin theta & = 1 theta & = dfrac { pi} {2 } نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

حل المعادلة التربيعية (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta = 0 ).

إجابه

( dfrac { pi} {2} ، space dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3} ، space dfrac {3 pi} {2} )

حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات الأساسية

بينما يمكن استخدام الجبر لحل عدد من المعادلات المثلثية ، يمكننا أيضًا استخدام المتطابقات الأساسية لأنها تجعل حل المعادلات أبسط. تذكر أن الأساليب التي نستخدمها في الحل ليست هي نفسها المستخدمة في التحقق من الهويات. تنطبق القواعد الأساسية للجبر هنا ، بدلاً من إعادة كتابة جانب واحد من الهوية لمطابقة الجانب الآخر. في المثال التالي ، نستخدم متطابقتين لتبسيط المعادلة.

مثال ( PageIndex {8} ): حل معادلة باستخدام هوية

حل المعادلة بالضبط باستخدام المتطابقة: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

إذا أعدنا كتابة الجانب الأيمن ، فيمكننا كتابة المعادلة بدلالة جيب التمام:

[ ابدأ {محاذاة *}
3 cos theta + 3 & = 2 { sin} ^ 2 theta
3 cos theta + 3 & = 2 (1 - { cos} ^ 2 ثيتا)
3 cos theta + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 theta
2 { cos} ^ 2 theta + 3 cos theta + 1 & = 0
(2 cos theta + 1) ( cos theta + 1) & = 0
2 كوس ثيتا + 1 & = 0
cos theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3}
cos ثيتا + 1 & = 0
cos ثيتا & = -1
ثيتا & = بي
النهاية {محاذاة *} ]

حلولنا هي ( theta = dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3} ، space pi ).

حل المعادلات المثلثية ذات الزوايا المتعددة

أحيانًا لا يكون من الممكن حل معادلة مثلثية بمطابقات لها زوايا متعددة ، مثل ( sin (2x) ) أو ( cos (3x) ). عند مواجهة هذه المعادلات ، تذكر أن (y = sin (2x) ) ضغط أفقي بعامل 2 من الدالة (y = sin x ). في الفاصل الزمني (2 pi ) ، يمكننا رسم فترتين من (y = sin (2x) ) ، على عكس دورة واحدة من (y = sin x ). يقودنا ضغط الرسم البياني هذا إلى الاعتقاد بأنه قد يكون هناك ضعف x- تداخلات أو حلول لـ ( sin (2x) = 0 ) مقارنة بـ ( sin x = 0 ). ستساعدنا هذه المعلومات في حل المعادلة.

مثال ( PageIndex {9} ): حل معادلة مثلثية متعددة الزوايا

قم بحل بالضبط: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) في ([0،2 pi) ).

المحلول

يمكننا أن نرى أن هذه المعادلة هي المعادلة القياسية بمضاعف زاوية. إذا كان ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ) ، نعلم أن ( alpha ) يقع في الربعين الأول والرابع. بينما ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) لن ينتج عنها سوى حلول في الربعين الأول والثاني ، فإننا ندرك أن حلول المعادلة ( cos theta = dfrac {1} {2} ) في الربعين الأول والرابع.

لذلك ، فإن الزوايا المحتملة هي ( theta = dfrac { pi} {3} ) و ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). لذا ، (2x = dfrac { pi} {3} ) أو (2x = dfrac {5 pi} {3} ) ، مما يعني أن (x = dfrac { pi} {6 } ) أو (x = dfrac {5 pi} {6} ). هل لهذا معنى؟ نعم ، لأن ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).

هل هناك أي إجابات أخرى محتملة؟ دعونا نعود إلى خطوتنا الأولى.

في الربع الأول ، (2x = dfrac { pi} {3} ) ، لذلك (x = dfrac { pi} {6} ) كما هو موضح. دعونا نلتف حول الدائرة مرة أخرى:

[ ابدأ {محاذاة *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3}
& = dfrac {7 pi} {3}
x & = dfrac {7 pi} {6}
text {ينتج عن دوران آخر}
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3}
& = dfrac {13 pi} {3}
النهاية {محاذاة *} ]

(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ) ، لذا فإن قيمة (x ) هذه أكبر من (2 pi ) ، لذا فهي ليست حلاً في ( [0،2 pi) ).

في الربع الرابع ، (2x = dfrac {5 pi} {3} ) ، لذلك (x = dfrac {5 pi} {6} ) كما هو موضح. دعونا نلتف حول الدائرة مرة أخرى:

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]

لذلك (x = dfrac {11 pi} {6} ).

ينتج تناوب واحد

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]

(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ) ، لذا فإن قيمة (x ) هذه أكبر من (2 pi ) ، لذا فهي ليست حلاً في ( [0،2 pi) ).

حلولنا هي (x = dfrac { pi} {6} و space dfrac {5 pi} {6} و space dfrac {7 pi} {6} ) و ( dfrac {11 pi} {6} ). لاحظ أنه عندما نحل مشكلة على شكل (sin (nx) = c ) ، يجب أن نلتف حول دائرة الوحدة (n ) مرات.

المفاهيم الرئيسية

  • عند حل المعادلات المثلثية الخطية ، يمكننا استخدام الأساليب الجبرية تمامًا كما نفعل مع حل المعادلات الجبرية. ابحث عن الأنماط ، مثل فرق المربعات ، أو الشكل التربيعي ، أو التعبير الذي يفسح المجال جيدًا للتعويض. راجع المثال ( PageIndex {1} ) ، والمثال ( PageIndex {2} ) ، والمثال ( PageIndex {3} ).
  • يمكن حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية أو التحقق منها باستخدام دائرة الوحدة. راجع المثال ( PageIndex {4} ) ، والمثال ( PageIndex {5} ) ، والمثال ( PageIndex {6} ) ، والمثال ( PageIndex {7} ).
  • يمكننا أيضًا حل المعادلات المثلثية باستخدام حاسبة الرسوم البيانية. راجع المثال ( PageIndex {8} ) والمثال ( PageIndex {9} ).
  • تظهر العديد من المعادلات التربيعية في الشكل. يمكننا استخدام التعويض لجعل المعادلة تبدو أبسط ، ثم نستخدم نفس الأساليب التي نستخدمها في حل المعادلة التربيعية الجبرية: التحليل ، والصيغة التربيعية ، وما إلى ذلك. انظر المثال ( PageIndex {10} ) ، مثال ( PageIndex { 11} ) ، ومثال ( PageIndex {12} ) ، ومثال ( PageIndex {13} ).
  • يمكننا أيضًا استخدام المتطابقات لحل المعادلة المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {14} ) ، والمثال ( PageIndex {15} ) ، والمثال ( PageIndex {16} ).
  • يمكننا استخدام التعويض لحل معادلة مثلثية متعددة الزوايا ، وهي ضغط دالة مثلثية قياسية. سنحتاج إلى أخذ الضغط في الاعتبار والتحقق من أننا وجدنا جميع الحلول في الفترة الزمنية المحددة. راجع المثال ( PageIndex {17} ).
  • يمكن نمذجة سيناريوهات العالم الحقيقي وحلها باستخدام نظرية فيثاغورس والدوال المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {18} ).


شاهد الفيديو: الحساب المثلثي: طريقة مبسطة لحل تمرين المعادلات المثلثية Tronc communRésoudre les équations tri (شهر اكتوبر 2021).