مقالات

1.4: الدوال الخطية - الرياضيات


عندما تقفز في سيارة أجرة في لاس فيغاس ، سيقرأ العداد على الفور 3.30 دولار ؛ هذا هو "انخفاض" الشحنة التي يتم إجراؤها عند تنشيط عداد التاكسي. باستخدام المتغيرات الوصفية ، نختار م لأميال و ج للتكلفة بالدولار كدالة للأميال: (C (م) ).

نحن نعلم على وجه اليقين أن (C (0) = 3.30 ) ، نظرًا لأنه يتم تقييم رسوم الإسقاط البالغة 3.30 دولارًا أمريكيًا بغض النظر عن عدد الأميال المقطوعة. منذ أن تمت إضافة 2.60 دولار لكل ميل مدفوع ، إذن

[C (1) = 3.30 + 2.60 = 5.90 nonumber ]

إذا قطعنا بعد ذلك ميلًا ثانيًا ، فسيتم إضافة 2.60 دولار إلى التكلفة:

[C (2) = 3.30 + 2.60 + 2.60 = 3.30 + 2.60 (2) = 8.50 nonumber ]

إذا قطعنا ميلًا ثالثًا ، فسيتم إضافة 2.60 دولار إلى التكلفة:

[C (3) = 3.30 + 2.60 + 2.60 + 2.60 = 3.30 + 2.60 (3) = 11.10 nonumber ]

من هذا قد نلاحظ النمط ، ونستنتج أنه إذا تم قطع (م ) أميال ،

(C (m) = 3.30 + 2.60m ) لأننا نبدأ برسوم إسقاط 3.30 دولار ثم نضيف 2.60 دولار لكل ميل زيادة.

من الجيد التحقق من أن الوحدات منطقية في هذه المعادلة. تُقاس رسوم الإسقاط البالغة 3.30 دولارًا أمريكيًا بالدولار الأمريكي ؛ يتم قياس تكلفة 2.60 دولار بالدولار لكل ميل.

[C (m) = 3.30 text {dollar} + left (2.60 dfrac { text {dollar}} { text {mile}} right) left (m ؛ text {miles} right )لا يوجد رقم ]

عندما يتم ضرب دولارات لكل ميل في عدد الأميال ، تكون النتيجة عدد الدولارات ، ومطابقة الوحدات الموجودة في 3.30 ، ومطابقة الوحدات المرغوبة لـ ج وظيفة.

لاحظ أن هذه المعادلة (C (m) = 3.30 + 2.60m ) تتكون من كميتين. الأول هو التهمة الثابتة 3.30 دولار والتي لا تتغير بناءً على قيمة المدخلات. والثاني هو 2.60 دولار لكل ميل ، وهو أ معدل التغيير. في المعادلة ، يتم ضرب معدل التغيير هذا في قيمة الإدخال.

بالنظر إلى هذه المشكلة نفسها في تنسيق الجدول ، يمكننا أيضًا رؤية تغيرات التكلفة بمقدار 2.60 دولارًا لكل زيادة قدرها ميل واحد.

(م )0123
(سم))3.305.908.5011.10

من المهم هنا ملاحظة أنه في هذه المعادلة ، فإن معدل التغيير ثابت؛ على أي فترة ، يكون معدل التغيير هو نفسه.

برسم هذه المعادلة بالرسم البياني ، (C (m) = 3.30 + 2.60m ) نرى أن الشكل عبارة عن خط ، وهو كيف تحصل هذه الوظائف على أسمائها: وظائف خطية.

عندما يكون عدد الأميال صفرًا ، تكون التكلفة 3.30 دولارًا ، مما يعطي النقطة (0 ، 3.30) على الرسم البياني. هذا هو التقاطع الرأسي أو (C (m) ). الرسم البياني يتزايد في خط مستقيم من اليسار إلى اليمين لأن التكلفة ترتفع بمقدار 2.60 دولار لكل ميل ؛ يظل هذا المعدل ثابتًا.

في هذا المثال ، شاهدت تكلفة سيارة الأجرة على شكل كلمات ومعادلة وجدول وفي شكل رسومي. كلما كان ذلك ممكنًا ، تأكد من أنه يمكنك ربط هذه التمثيلات الأربعة معًا لبناء مهاراتك باستمرار. من المهم ملاحظة أنك لن تكون دائمًا قادرًا على العثور على جميع التمثيلات الأربعة لمشكلة ما ، وبالتالي فإن القدرة على العمل مع الأشكال الأربعة كلها أمر مهم للغاية.

التعريف: دالة خطية

أ دالة خطية هي وظيفة ينتج رسمها البياني خطًا. يمكن دائمًا كتابة الوظائف الخطية في النموذج

(f (x) = b + mx ) أو (f (x) = mx + b ) ؛ إنها متكافئة

أين

  • (b ) هي القيمة الأولية أو القيمة الأولية للدالة (عند الإدخال ، x = 0) ، و
  • (م ) هو المعدل الثابت لتغيير الوظيفة

يحب الكثير من الناس كتابة وظائف خطية بالصيغة (f (x) = b + mx ) لأنها تتوافق مع الطريقة التي نميل إلى التحدث بها: "يبدأ الإخراج عند (b ) ويزداد بمعدل (م). "

لهذا السبب وحده سنستخدم النموذج (f (x) = b + mx ) للعديد من الأمثلة ، لكن تذكر أنها متكافئة ويمكن كتابتها بشكل صحيح في كلا الاتجاهين.

التعريف: انحدار وتزايد / تناقص

(م ) هو المعدل الثابت لتغيير الوظيفة (يسمى أيضًا ميل). المنحدر يحدد الميل ما إذا كانت الدالة دالة متزايدة أم دالة تناقصية.

(f (x) = b + mx ) هو في ازدياد تعمل إذا (م> 0 )

(f (x) = b + mx ) هو أ تناقص تعمل إذا (م <0 )

إذا كان (م = 0 ) ، معدل التغيير صفر ، والدالة (f (x) = b + 0 x = b ) هي مجرد خط أفقي يمر عبر النقطة (0، (b )) ، لا زيادة ولا تناقص.

مثال ( PageIndex {1} )

لبدء إنتاج نموذج جديد من العجلات المخصصة ، سيتعين على الشركة شراء معدات جديدة بقيمة 30 ألف دولار. كل عجلة مصنوعة يكلفهم 40 دولارًا من الإمدادات واليد العاملة اكتب معادلة التكلفة الإجمالية ، (TC ) ، لإنتاج (q ) العجلات. ما هي تكاليفهم الإجمالية في السنة الأولى إذا كانوا يتوقعون بيع 240 عجلة؟

حل

القيمة الأولية لهذه الوظيفة هي 30000 ، نظرًا لأن هذه هي تكاليف بدء التشغيل ، لذلك (TC (0) = 30000 ). تزداد التكلفة بمقدار 40 دولارًا لكل عجلة مصنوعة ، وبالتالي فإن معدل التغيير هو 40 دولارًا لكل عجلة. باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا كتابة الصيغة:

[TC (q) = 30،000 + 40q. nonumber ]

(TC (q) ) هي دالة خطية متزايدة.

باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا توقع التكلفة الإجمالية لـ 240 عجلة:

[TC (240) = 30.000 + 40 (240) = 30.000 + 9600 = 39600. nonumber ]

التكلفة الإجمالية ستكون 39600 دولار.

التعريف: حساب معدل التغيير

إعطاء قيمتين للإدخال ، (x_ {1} { rm ؛ و ؛} x_ {2} ) ، وقيمتان متناظرتان للإخراج ، (y_ {1} { rm ؛ و ؛} y_ {2} ) ، أو مجموعة من النقاط ، ((x_ {1} { rm، ؛ ؛} y_ {1}) ) و ((x_ {2} { rm، ؛ ؛} y_ {2}) ) ، إذا أردنا إيجاد دالة خطية تحتوي على كلتا النقطتين يمكننا حساب معدل التغيير ، م:

[m = dfrac { rm تغيير ؛ في؛ الإخراج} { rm تغيير ؛ في؛ input} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

يُطلق أيضًا على معدل تغيير الدالة الخطية اسم ميل من الخط.

لاحظ في تدوين الوظيفة ، (y_ {1} = f (x_ {1}) ) و (y_ {2} = f (x_ {2}) ) ، حتى نتمكن من الكتابة بشكل مكافئ

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

مثال ( PageIndex {2} )

زاد عدد سكان المدينة من 23400 إلى 27800 بين عامي 2002 و 2006. أوجد معدل تغير السكان خلال هذه الفترة الزمنية.

حل

معدل التغيير سيربط التغيير في عدد السكان بالتغير في الوقت. زاد عدد السكان بمقدار (27800-23400 = 4400 ) شخصًا خلال فترة 4 سنوات. للعثور على معدل التغيير ، تغير عدد الأشخاص في السنة من خلال:

[ dfrac {4400 text {people}} {4 text {years}} = 1100 dfrac { text {people}} { text {year}} = 1100 text {people per year} nonumber ]

لاحظ أننا علمنا أن عدد السكان يتزايد ، لذلك نتوقع أن تكون قيمة (م ) موجبة. هذه طريقة سريعة للتحقق مما إذا كانت قيمتك معقولة.

مثال ( PageIndex {3} )

يعتمد الضغط ، (P ) ، بالجنيه لكل بوصة مربعة (PSI) على الغطاس على عمقهم تحت سطح الماء ، (د ) ، بالأقدام ، باتباع المعادلة (P (d) = 14.696 + 0.434d ). فسر مكونات هذه الوظيفة.

حل

معدل التغيير ، أو الميل ، 0.434 سيكون له وحدات ( dfrac { text {output}} { text {input}} = dfrac { text {pressure}} { text {deep}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). هذا يخبرنا أن الضغط على الغواص يزداد بمقدار 0.434 رطل لكل بوصة مربعة لكل قدم يزداد عمقها.

سيكون للقيمة الأولية ، 14.696 ، نفس وحدات الإخراج ، لذلك يخبرنا هذا أنه على عمق 0 قدم ، سيكون الضغط على الغواص 14.696 رطل لكل بوصة مربعة.

مثال ( PageIndex {4} )

إذا كانت (f (x) ) دالة خطية ، (f (3) = - 2 ) ، و (f (8) = 1 ) ، فأوجد معدل التغيير.

حل

(f (3) = - 2 ) يخبرنا أن الإدخال 3 يتوافق مع الناتج -2 ، و (f (8) = 1 ) يخبرنا أن الإدخال 8 يتوافق مع الناتج 1. للعثور على معدل التغيير ، نقسم التغيير في الناتج بالتغيير في المدخلات:

[m = dfrac { text {change in output}} { text {change in input}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} إذا رغبت في ذلك ، يمكننا أيضًا كتابة هذا كـ (م = 0.6 )

لاحظ أنه ليس من المهم أي زوج من القيم يأتي أولاً في عمليات الطرح طالما أن قيمة الإخراج الأولى المستخدمة تتوافق مع قيمة الإدخال الأولى المستخدمة.

تمرين ( PageIndex {2} )

بمعلومية النقطتين (2، 3) و (0، 4) ، أوجد معدل التغيير. هل هذه الوظيفة تتزايد أم تتناقص؟

إجابه

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ) ؛ المتناقص بسبب (م <0 )

يمكننا الآن إيجاد معدل التغيير بالنظر إلى زوجين من المدخلات والمخرجات ، ويمكننا كتابة معادلة للدالة الخطية بمجرد أن نحصل على معدل التغيير والقيمة الأولية. إذا كان لدينا زوجان من المدخلات والمخرجات ولم يتضمنا القيمة الأولية للدالة ، فسنضطر إلى حلها.

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب معادلة للدالة الخطية مرسومة إلى اليمين.

حل

بالنظر إلى الرسم البياني ، قد نلاحظ أنه يمر بالنقطتين (0 ، 7) و (4 ، 4). من القيمة الأولى ، نعلم أن القيمة الأولية للدالة هي (b = 7 ) ، لذلك في هذه الحالة سنحتاج فقط إلى حساب معدل التغيير:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} nonumber ]

هذا يسمح لنا بكتابة المعادلة:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

إذا كانت (f (x) ) دالة خطية ، (f (3) = - 2 ) ، و (f (8) = 1 ) ، ابحث عن معادلة للدالة.

حل

في المثال 3 ، حسبنا معدل التغيير ليكون (m = dfrac {3} {5} ). في هذه الحالة ، لا نعرف القيمة الأولية (f (0) ) ، لذلك سيتعين علينا حلها. باستخدام معدل التغيير ، نعلم أن المعادلة سيكون لها الشكل (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). نظرًا لأننا نعرف قيمة الدالة عند (x = 3 ) ، يمكننا تقييم الدالة عند 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] بما أننا نعلم أن (f (3) = - 2 ) ، يمكننا الاستبدال في الجانب الأيسر

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] هذا يترك لنا معادلة يمكننا حلها من أجل القيمة الأولية

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} nonumber ]

بدمج هذا مع قيمة معدل التغيير ، يمكننا الآن كتابة صيغة لهذه الدالة:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x nonumber ]

مثال ( PageIndex {7} )

من خلال العمل كمندوب مبيعات تأمين ، يكسب إيليا راتبًا أساسيًا وعمولة على كل بوليصة تأمين جديدة ، لذلك يعتمد الدخل الأسبوعي لإيليا ، (I ) ، على عدد السياسات الجديدة ، (n ) ، التي يبيعها خلال الأسبوع. في الأسبوع الماضي ، باع 3 وثائق جديدة ، وحقق 760 دولارًا عن الأسبوع. في الأسبوع السابق ، باع 5 وثائق جديدة ، وحقق 920 دولارًا. ابحث عن معادلة (I (n) ) ، وفسر معنى مكونات المعادلة.

حل

تعطينا المعلومات المعطاة زوجين من المدخلات والمخرجات: (3760) و (5920). نبدأ بإيجاد معدل التغيير.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 nonumber ]

يمكن أن يساعدنا تتبع الوحدات في تفسير هذه الكمية. زاد الدخل بمقدار 160 دولارًا عندما زاد عدد السياسات بمقدار 2 ، وبالتالي فإن معدل التغيير هو 80 دولارًا لكل بوليصة ؛ يكسب إيليا عمولة قدرها 80 دولارًا عن كل وثيقة يتم بيعها خلال الأسبوع.

يمكننا بعد ذلك إيجاد القيمة الأولية

[I (n) = b + 80n nonumber ] ثم عندما (n = 3 ) ، (I (3) = 760 ) ، إعطاء

[760 = b + 80 (3) nonumber ] هذا يسمح لنا بحل (b )

[ب = 760-80 (3) = 520 بدون رقم ]

هذه القيمة هي قيمة البداية للدالة. هذا هو دخل إيليا عندما (n = 0 ) ، مما يعني عدم بيع بوالص التأمين الجديدة. يمكننا تفسير هذا على أنه الراتب الأساسي لإيليا للأسبوع ، والذي لا يعتمد على عدد الوثائق المباعة.

كتابة المعادلة النهائية:

[أنا (ن) = 520 + 80 ن بلا رقم ]

تفسيرنا النهائي هو: الراتب الأساسي لإيليا هو 520 دولارًا في الأسبوع ، وهو يكسب عمولة إضافية قدرها 80 دولارًا لكل بوليصة بيع كل أسبوع.

استرجاع

النظر إلى المثال 7:

حدد المتغيرات المستقلة والتابعة.

ما هو المجال والنطاق المعقول؟

هل هذه الوظيفة فردية؟

إجابه

(n ) (عدد السياسات المباعة) هو المتغير المستقل

(I (n) ) (الدخل الأسبوعي كدالة لسياسات البيع) هو المتغير التابع.

النطاق المعقول هو (0 ، 15) ({} ^ {*} )

النطاق المعقول هو (540 دولارًا ، 1740 دولارًا) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) قد تختلف الإجابات نظرًا لذكر المنطق ؛ 15 هو الحد الأعلى التعسفي على أساس بيع 3 سياسات في اليوم في أسبوع عمل 5 أيام و 1740 دولارًا يتوافق مع المجال.

نعم هذه الوظيفة هي واحد لواحد

تمرين ( PageIndex {3} )

الرصيد في حساب دفع كليتك ، (C ) ، هو دالة لعدد الأرباع ، (q ) ، التي تحضرها. فسر الدالة (C (a) = 20000-4000q ) بالكلمات. كم عدد أرباع الكلية التي يمكنك دفع رسومها حتى يصبح هذا الحساب فارغًا؟

إجابه

يبدأ حساب الكلية الخاص بك بمبلغ 20000 دولار فيه ، وتقوم بسحب 4000 دولار كل ربع سنة (أو يحتوي حسابك على 20000 دولار وينخفض ​​بمقدار 4000 دولار كل ربع سنة.) حل (C (a) = 0 ) يعطي (أ = 5 ). يمكنك الدفع مقابل 5 أرباع قبل نفاد الأموال الموجودة في هذا الحساب.

مثال ( PageIndex {8} )

بالنظر إلى الجدول أدناه ، اكتب معادلة خطية تمثل قيم الجدول

(w ) ، عدد الأسابيع0246
(P (w) ) ، عدد الفئران1000108011601240

حل

يمكننا أن نرى من الجدول أن القيمة الأولية للفئران هي 1000 حتى في التنسيق الخطي

[P (w) = b + mw، : b = 1000 nonumber ]

بدلاً من إيجاد قيمة (م ) ، يمكننا أن نلاحظ من الجدول أن عدد السكان يرتفع بمقدار 80 لكل أسبوعين بعد ذلك. هذا المعدل ثابت من الأسبوع 0 إلى الأسبوع 2 و 4 و 6. معدل التغيير هو 80 جرذًا لكل أسبوعين. يمكن تبسيط هذا إلى 40 جرذًا في الأسبوع ويمكننا الكتابة

[P (w) = b + mw text {as} P (w) = 1000 + 40w nonumber ]

إذا لم تكن قد لاحظت ذلك من الجدول ، فلا يزال بإمكانك إيجاد الميل باستخدام أي نقطتين من الجدول. على سبيل المثال ، باستخدام (2 ، 1080) و (6 ، 1240) ،

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {الفئران في الأسبوع} nonumber ]

موضوعات مهمة في هذا القسم

  • تعريف النمذجة
  • تعريف دالة خطية
  • هيكل دالة خطية
  • زيادة الوظائف وتقليلها
  • إيجاد التقاطع الرأسي (0 ، ب)
  • إيجاد المنحدر / معدل التغيير ، م
  • تفسير الدوال الخطية

لوحة ماهاراشترا - الدرجة 10 - حلول الرياضيات - الفصل الأول - المعادلات الخطية في مجموعة ممارسة متغيرين 1.4

مجلس ولاية ماهاراشترا ، الحلول القياسية العاشرة ، الفصل الأول ، المعادلات الخطية في متغيرين - فيما يلي جميع حلول مجلس MH لمجموعة الممارسة القياسية العاشرة للرياضيات 1.4. يحتوي هذا الحل على أسئلة وإجابات وصور وتفسيرات لمجموعة الممارسة الكاملة 1.4 بعنوان المعادلات الخطية في متغيرين للرياضيات يتم تدريسهما في المعيار العاشر. إذا كنت طالبًا في المستوى العاشر وتستخدم كتاب مجلس ولاية ماهاراشترا لدراسة الرياضيات ، فيجب أن تصادف تمرن على تعيين 1.4 المعادلات الخطية في متغيرين. بعد دراسة الدرس ، يجب أن تبحث عن إجابات لأسئلته. هنا يمكنك الحصول على حلول لوحة ماهاراشترا الكاملة للرياضيات القياسية العاشرة ، الفصل الأول ، المعادلات الخطية في متغيرين في مكان واحد.


1.4: الدوال الخطية - الرياضيات

يتم إنشاء العديد من الوظائف في التطبيقات من وظائف بسيطة عن طريق إدخال ثوابت في أماكن مختلفة. من المهم فهم تأثير هذه الثوابت على مظهر الرسم البياني.

التحولات الأفقية. إذا استبدلنا $ x $ بـ $ x-C $ في كل مكان يظهر فيه في صيغة $ f (x) $ ، فإن الرسم البياني ينزاح أكثر من $ C $ إلى اليمين. (إذا كان $ C $ سالبًا ، فهذا يعني أن الرسم البياني يتحول إلى $ | C | $ إلى اليسار.) على سبيل المثال ، الرسم البياني لـ $ y = (x-2) ^ 2 $ هو $ x ^ 2 $ - تحوّل القطع المكافئ ليحصل على رأسه عند النقطة 2 على المحور $ x $. الرسم البياني لـ $ y = (x + 1) ^ 2 $ هو نفس القطع المكافئ الذي انزاح إلى اليسار بحيث يكون رأسه عند $ -1 $ على المحور $ x $. لاحظ جيدًا: عند استبدال $ x $ بـ $ x-C $ ، يجب أن ننتبه إلى المعنى وليس المظهر فقط. بدءًا من $ y = x ^ 2 $ واستبدال $ x $ بـ $ x-2 $ ، نحصل على $ y = x-2 ^ 2 $. هذا هو $ y = x-4 $ ، وهو خط بميله 1 ، وليس قطع مكافئ مبدل.

التحولات العمودية. إذا استبدلنا $ y $ بـ $ y-D $ ، فإن الرسم البياني يتحرك لأعلى $ D $ وحدة. (إذا كان $ D $ سالبًا ، فهذا يعني أن الرسم البياني يتحرك لأسفل $ | D | وحدات $.) إذا كانت الصيغة مكتوبة بالصيغة $ y = f (x) $ وإذا تم استبدال $ y $ بـ $ yD $ للحصول على $ yD = f (x) $ ، يمكننا بشكل مكافئ نقل $ D $ إلى الجانب الآخر من المعادلة وكتابة $ y = f (x) + D $. وبالتالي ، يمكن ذكر هذا المبدأ: للحصول على الرسم البياني لـ $ y = f (x) + D $ ، خذ الرسم البياني $ y = f (x) $ وحركه $ D $ للوحدات للأعلى. على سبيل المثال ، يمكن الحصول على الوظيفة $ y = x ^ 2-4x = (x-2) ^ 2-4 $ من $ y = (x-2) ^ 2 $ (انظر الفقرة الأخيرة) عن طريق تحريك الرسم البياني 4 وحدات أسفل. والنتيجة هي $ x ^ 2 $ -parabola إزاحة وحدتين إلى اليمين و 4 وحدات لأسفل بحيث يكون رأسها عند النقطة $ (2، -4) $.

تحذير. لا تخلط بين $ f (x) + D $ و $ f (x + D) $. على سبيل المثال ، إذا كانت $ f (x) $ هي الوظيفة $ x ^ 2 $ ، فإن $ f (x) + 2 $ هي الوظيفة $ x ^ 2 + 2 $ ، بينما $ f (x + 2) $ هي الدالة $ (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 $.

مثال 1.4.1 (الدوائر) يبدأ مثال مهم للمبدأين المذكورين أعلاه بالدائرة $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $. هذه هي دائرة نصف القطر $ r $ المتمركزة في الأصل. (كما رأينا ، هذه ليست دالة واحدة $ y = f (x) $ ، بل وظيفتان $ y = pm sqrtوضع $ y معًا على أي حال ، فإن مبدأي التحول ينطبقان على معادلات مثل هذه التي ليست بالصيغة $ y = f (x) $.) إذا استبدلنا $ x $ بـ $ xC $ واستبدلنا $ y $ بـ $ y-Dmdash الحصول على المعادلة $ (xC) ^ 2 + (yD) ^ 2 = r ^ 2mdash التأثير على الدائرة هو تحريكها $ C $ إلى اليمين و $ D $ للأعلى ، وبالتالي الحصول على دائرة نصف القطر $ r $ متمركزة عند النقطة $ (C، D) $. يخبرنا هذا بكيفية كتابة معادلة أي دائرة ، وليس بالضرورة أن تتمركز في الأصل.

سنرغب لاحقًا في استخدام مبدأين آخرين بشأن تأثيرات الثوابت على مظهر الرسم البياني للدالة.

تمدد أفقي. إذا تم استبدال $ x $ بـ $ x / A $ في الصيغة و $ A> 1 $ ، فإن التأثير على الرسم البياني هو توسيعه بمعامل $ A $ في $ x $ -direction (بعيدًا عن المحور $ y $). إذا كان $ A $ بين 0 و 1 ، فإن التأثير على الرسم البياني هو أن يتقلص بمعامل قدره $ 1 / A $ (باتجاه المحور $ y $). نستخدم كلمة "تمدد" لتعني التوسع أو العقد.

على سبيل المثال ، استبدال $ x $ بـ $ x / 0.5 = x / (1/2) = 2x $ له تأثير الانكماش نحو المحور $ y $ بمعامل قدره 2. إذا كان $ A $ سلبيًا ، فإننا نتوسع بمعامل $ | A | $ ثم اقلب المحور $ y $. وبالتالي ، فإن استبدال $ x $ بـ $ -x $ له تأثير أخذ صورة معكوسة للرسم البياني فيما يتعلق بالمحور $ y $. على سبيل المثال ، الدالة $ y = sqrt <-x> $ ، والتي لها المجال $ $ ، يتم الحصول عليها بأخذ الرسم البياني لـ $ sqrt$ وقلبه حول محور $ y $ في الربع الثاني.

تمدد عمودي. إذا تم استبدال $ y $ بـ $ y / B $ في الصيغة و $ B> 0 $ ، فإن التأثير على الرسم البياني هو توسيعه بعامل $ B $ في الاتجاه الرأسي. كما كان من قبل ، يعد هذا توسعًا أو انكماشًا اعتمادًا على ما إذا كان $ B $ أكبر أو أصغر من واحد. لاحظ أنه إذا كانت لدينا دالة $ y = f (x) $ ، فإن استبدال $ y $ ب $ y / B $ يعادل ضرب الدالة على اليمين في $ B $: $ y = Bf (x) $. التأثير على الرسم البياني هو توسيع الصورة بعيدًا عن المحور $ x $ بمعامل $ B $ إذا كان $ B> 1 ​​$ ، لتقليصها نحو المحور $ x $ بمعامل 1 / B $ إذا كان المثال 1.4.2 (القطع الناقصة) يتم إعطاء مثال أساسي لمبدأي التوسع بواسطة an القطع الناقص لمحور شبه رئيسي $ a $ ومحور شبه دائري $ b $. نحصل على مثل هذا القطع الناقص من خلال البدء بدائرة الوحدة و mdash دائرة نصف القطر 1 المتمركزة في الأصل ، والتي تكون معادلتها $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1mdas ، والتوسع بمعامل $ a $ أفقيًا وبمعامل $ ب $ عموديا. للحصول على معادلة القطع الناقص الناتج ، والذي يتجاوز المحور $ x $ عند $ pm a $ ويتخطى المحور $ y $ عند $ pm b $ ، نستبدل $ x $ بـ $ x / a $ و $ y $ على $ y / b $ في معادلة دائرة الوحدة. هذا يعطي $ left ( يمين) ^ 2 + يسار ( right) ^ 2 = 1 qquad hbox qquad +=1. $

أخيرًا ، إذا أردنا تحليل دالة تتضمن كلاً من التحولات والتمدد ، فمن الأسهل عادةً التعامل مع التمدد أولاً ، ثم التحولات. على سبيل المثال ، إذا أردنا توسيع دالة بواسطة عامل $ A $ في $ x $ -direction ثم تحويل $ C $ إلى اليمين ، فإننا نقوم بذلك عن طريق استبدال $ x $ أولاً بـ $ x / A $ و ثم بواسطة $ (xC) $ في الصيغة. على سبيل المثال ، افترض أنه بعد توسيع دائرة الوحدة بمقدار $ a $ في الاتجاه $ x $ و $ b $ في الاتجاه $ y $ للحصول على القطع الناقص في الفقرة الأخيرة ، أردنا بعد ذلك إزاحته مسافة $ h $ إلى اليمين والمسافة $ k $ لأعلى ، بحيث تتمركز عند النقطة $ (h، k) $. سيكون للقطع الناقص الجديد المعادلة $ left ( يمين) ^ 2 + يسار ( يمين) ^ 2 = 1. لاحظ جيدًا أن هذا يختلف عن إجراء التحولات الأولى بواسطة $ h $ و $ k $ ثم التوسعات بمقدار $ a $ و $ b $: $ left (-h يمين) ^ 2 + يسار (-ك يمين) ^ 2 = 1. $ انظر الشكل 1.4.1.


التاريخ المبكر للمعادلات الخطية

المعادلات الخطية والمفاهيم الأساسية الأخرى للجبر لها تاريخ طويل يمتد إلى آلاف السنين. طور قدماء بلاد ما بين النهرين والمصريين والإغريق والصينيين والهنود أساليب رياضية كانت بمثابة أسس مبكرة للجبر الحديث. لكن معظم المؤرخين يعتبرون أن والد علم الجبر هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي (780-850 م) ، وهو عالم في أكاديمية بيت الحكمة فيما يعرف الآن ببغداد. في الواقع ، تأتي كلمة الجبر من الجبار، وهو مصطلح يستخدمه الخوارزمي لوصف تقنية إضافة كميات متساوية إلى طرفي المعادلة من أجل تبسيطها.

الشكل 3: صفحة من أشهر كتاب الخوارزمي كتاب الجبار والمقبيلة، والذي يترجم تقريبًا إلى كتاب الإصلاح والتوازن. على الرغم من أن المعنى قد تغير بمرور الوقت ، فإن المصطلح الجبار أدى في النهاية إلى ظهور المصطلح اللاتيني الجبروأخيراً إلى العصر الحديث الجبر.

لكن الرياضيات التي مارسها الخوارزمي وأسلافه بدت مختلفة تمامًا عما نعتقد أنه الجبر اليوم. ولعل الاختلاف الأكبر هو أن الخوارزمي لم يستخدم الرموز الرياضية. لم يستخدم المتغيرات للوقوف على مجاهيل أو ثوابت ، ولم يستخدم الرموز للإشارة إلى عمليات مثل الجمع والطرح التي أجراها عليها. بدلاً من العمل مع المعادلات ، تم وصف كل عملية حسابية قام بها الخوارزمي بالكلمات - معظمها لغة يومية مع بعض المصطلحات الفنية ، مثل الجبار. كان يكتب عادة عن الرياضيات اللازمة لأغراض عملية ، مثل قسمة الميراث أو حفر القنوات.

اليوم ، يعد استخدام الرموز والمعادلات أمرًا محوريًا في الجبر لدرجة أنه من المنطقي أن نسأل: لماذا تعتبر مسائل كلمة الخوارزمي حتى الجبر؟ الميزات الرئيسية هي:

  • إيجاد كمية غير معروفة (والتي تفصلهم عن العمليات الحسابية البسيطة) ،
  • اتباع نهج رقمي (بدلاً من نهج مكاني أو هندسي بحت كما فعل العديد من العلماء اليونانيين) ، و
  • توضيح القواعد أو الأساليب العامة للعمل مع الأرقام (مثل الجبار).

كما درس الخوارزمي الحساب ، خاصة أنه كان يمارس في الهند. بناءً على العلماء الهنود الأوائل ، كتب أحد أوائل النصوص المعروفة التي تصف النظام العشري ، والعمليات التي نسميها الآن الضرب والقسمة ، ودائرة صغيرة يبدو أنها تستخدم مثل الصفر (الشكل 3).

خلال القرن الثاني عشر ، تُرجمت أجزاء من كتابات الخوارزمي إلى اللاتينية وقرأها علماء يعملون في أوروبا. قدم هؤلاء العلماء تدريجيًا رموزًا للعمليات والأرقام والمتغيرات. أدى هذا في النهاية إلى تطوير المعادلات كما نفكر فيها اليوم.

لماذا يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي "أبو الجبر"؟


الصف 7

درجه 6

وقت الذروة: العوامل والمضاعفات

نظرية الأعداد ، بما في ذلك العوامل ، والمضاعفات ، والأعداد الأولية ، والمركبات ، وترتيب العوامل الأولية للعمليات ، وخاصية التوزيع.

مقارنة القطع والقطع: النسب والأعداد النسبية والمعادلة

النسبة ، معدل الوحدة ، جداول الأسعار ، الأعداد المنطقية ، الكسور العشرية ، النسب المئوية ، التكافؤ ، القيمة المطلقة ، خط الأعداد.

دع & rsquos تكون عقلانية: فهم عمليات الكسر

الجمع والطرح والضرب وقسمة الكسور وعائلات الحقائق.

التغطية والإحاطة: قياس ثنائي الأبعاد

علاقات المساحة والمحيط ومساحة ومحيط المضلعات ومساحة السطح وحجم المنشورات المستطيلة.

العمليات العشرية: الحوسبة بالأرقام العشرية والنسب المئوية

جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور العشرية وحلول التقدير أ ٪ من ب = ج

المتغيرات والأنماط: التركيز على الجبر

المتغيرات ، التعبيرات المتغيرة ، المعادلات ، المتباينات تمثيل العلاقات في الجداول ، الرسوم البيانية ، المعادلات.

بيانات عنا: الإحصاء وتحليل البيانات

تحليل توزيعات البيانات ، بما في ذلك الشكل ، وقياسات المركز (المتوسط ​​، الوسيط ، النمط) والتغير (المدى ، النطاق بين الشرائح الربعية ، يعني الانحراف المطلق).

الصف 7

الأشكال والتصاميم: هندسة ثنائية الأبعاد

المضلعات ، قياس الزوايا ، مجموع زوايا المضلعات ، شروط المثلث الفريد ، الخطوط المتوازية والمستعرضات.

إبراز السلبية: الأعداد الصحيحة والأرقام النسبية

الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد المنطقية ، القيمة المطلقة ، الأضداد ، ترتيب العمليات ، خاصية التوزيع.

التمدد والانكماش: فهم التشابه

توسيع الشكل وتأثير عوامل المقياس على المحيط والمنطقة وتنسيق القواعد والنسب بين الأرقام المتشابهة وداخلها باستخدام التشابه لإيجاد المقاييس.

المقارنة والتحجيم: النسب ، المعدلات ، النسبة المئوية ، النسب

النسب ، معدل الوحدة ، جداول الأسعار ، ثابت التناسب ، حل النسب ، يشمل هوامش الربح ، الخصومات ، العمولة ، القياس ، التحويل.

المضي قدما مباشرة: العلاقات الخطية

تمثيل العلاقات الخطية في الرسوم البيانية والجداول والمعادلات وحل المعادلات الخطية الميل والتقاطع وكتابة معادلة للعلاقة الخطية معطى النقاط.

ماذا تتوقع: الاحتمالية والقيمة المتوقعة

نماذج الاحتمالات ، الاحتمال التجريبي والنظري ، تحليل الأحداث المركبة.

التعبئة والتغليف: قياس ثلاثي الأبعاد

محيط مساحة الدائرة ومساحة السطح للمنشورات المستطيلة والمتعددة الأضلاع ، حجم أسطوانات الأهرامات ، المخاريط ، المجالات المستوية للمنشورات ، تأثير الهرم للقياس على مساحة السطح والحجم.

العينات والسكان: عمل المقارنات والتنبؤات

خطط أخذ العينات وتأثير حجم العينة والتنبؤ بإحصاءات السكان والمحاكاة ومقارنة إحصائيات العينة لاستخلاص استنتاجات حول مجموعتين من السكان.

الصف الثامن

التفكير بالنماذج الرياضية: الاختلافات الخطية والمعكوسة

النماذج والمعادلات الخطية ، نماذج التباين العكسي والمعادلات ، تباين البيانات العددية والفئوية.

أبحث عن فيثاغورس: نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس والعكس ، الجذور التربيعية ، الجذور التكعيبية ، الأعداد الحقيقية وغير المنطقية ، معادلة الدائرة.

ينمو ، ينمو ، ينمو: وظائف أسية

تمثل النمو الأسي مع الجداول والرسوم البيانية وقواعد المعادلات للأسس ، والتدوين العلمي ، عوامل النمو / الاضمحلال الأسي ومعدلاته.

قلها بالرموز: جعل معنى الرموز

التعبيرات المتكافئة ، حل المعادلات التربيعية الخطية تحدد وتمثل الدوال الخطية والأسية والتربيعية.

الفراشات ، دواليب الهواء وورق الحائط: التماثل والتحولات

التناظر ، التحولات ، التطابق ، التشابه ، تنسيق البراهين.

إنه في النظام: نظم المعادلات الخطية والمتباينات

حل الأنظمة الخطية بيانياً وجبرياً ، أنظمة الدوال والمتباينات ، حل أنظمة المتباينات الخطية.

الجبر 1

التفكير بالنماذج الرياضية: الاختلافات الخطية والمعكوسة

النماذج والمعادلات الخطية ، نماذج التباين العكسي والمعادلات ، تباين البيانات العددية والفئوية.

أبحث عن فيثاغورس: نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس والعكس ، الجذور التربيعية ، الجذور التكعيبية ، الأعداد الحقيقية وغير المنطقية ، معادلة الدائرة.

ينمو ، ينمو ، ينمو: وظائف أسية

تمثل النمو الأسي مع الجداول والرسوم البيانية وقواعد المعادلات للأسس ، والتدوين العلمي ، عوامل النمو / الاضمحلال الأسي ومعدلاته.

الضفادع والبراغيث والمكعبات الملونة: وظائف من الدرجة الثانية

تمثيل الدوال التربيعية ، تحليل التعبيرات التربيعية ، أنماط التغيير ، تأثير المعلمات.

قلها بالرموز: جعل معنى الرموز

التعبيرات المتكافئة ، حل المعادلات التربيعية الخطية تحدد وتمثل الدوال الخطية والأسية والتربيعية.

الفراشات ، دواليب الهواء وورق الحائط: التماثل والتحولات

التناظر ، التحولات ، التطابق ، التشابه ، تنسيق البراهين.

إنه في النظام: نظم المعادلات الخطية والمتباينات

حل الأنظمة الخطية بيانياً وجبرياً ، أنظمة الدوال والمتباينات ، حل أنظمة المتباينات الخطية.


دليل خطوة بخطوة لكتابة المعادلات الخطية

  • معادلة الخط في صيغة تقاطع الميل هي: ( color)
  • حدد المنحدر.
  • ابحث عن (y ) - التقاطع. يمكن القيام بذلك عن طريق استبدال ميل وإحداثيات نقطة ((س ، ص) ) على الخط.

كتابة المعادلات الخطية & # 8211 مثال 1:

ما هي معادلة الخط المار عبر ((1، -2) ) وميله (6 )؟

الشكل العام للميل والمقطع لمعادلة الخط هو (y = mx + b ) ، حيث m هو المنحدر و b هو (y ) - التقاطع.
بالتعويض عن النقطة المعطاة والميل المعطى ، لدينا: (- 2 = (1) (6) + b )
إذن ، (ب = -2-6 = -8 ) ، والمعادلة المطلوبة هي (ص = 6 س -8 ).

كتابة المعادلات الخطية & # 8211 مثال 2:

اكتب معادلة الخط من خلال ((1 ، 1) ) و ((- 1 ، 3) ).

سلوب (= فارك- y_ <1>> & # 8211 x_ <1>> = فارك <3- 1> <- 1- 1> = فارك <2> <-2> = -1 → م = -1 )
لإيجاد قيمة ب ، يمكنك استخدام أي من النقطتين. ستكون الإجابة هي نفسها: (y = -x + b )
((1،1) → 1 = -1 + ب → ب = 2 )
((- 1،3) → 3 = - (- 1) + ب → ب = 2 )
معادلة الخط هي: (y = -x + 2 )

كتابة المعادلات الخطية & # 8211 مثال 3:

ما هي معادلة الخط المار عبر ((2، –2) ) وميله (7 )؟

صيغة الميل العام لمعادلة الخط هي (y = mx + b ) ، حيث (m ) هو المنحدر و (b ) هو (y - ) التقاطع.
بالتعويض عن النقطة المعطاة والميل المعطى ، لدينا: (- 2 = (7) (2) + b )
إذن ، (b = –2-14 = -16 ) ، والمعادلة المطلوبة هي (y = 7x-16 ).

كتابة المعادلات الخطية & # 8211 مثال 4:

اكتب معادلة الخط المستقيم خلال ((2،1) ) و ((- 1،4) ).

سلوب (= فارك- y_ <1>> & # 8211 x_ <1>> = frac <4- 1> <- 1- 2> = فارك <3> <-3> = -1 → م = -1 )
لإيجاد قيمة ب ، يمكنك استخدام أي من النقطتين. ستكون الإجابة هي نفسها: (y = -x + b )
((2،1) → 1 = -2 + ب → ب = 3 )
((-1،4) → 4 = - (- 1) + ب → ب = 3 )
معادلة الخط هي: (y = -x + 3 )


مجلس ولاية ماهاراشترا ، الفصل 10 ، حلول الرياضيات ، الفصل الأول ، المعادلات الخطية في مجموعة ممارسة متغيرين 1.5

السؤال رقم 1.
يختلف رقمان بمقدار 3. مجموع ضعف العدد الأصغر وثلاث مرات العدد الأكبر هو 19. أوجد الأرقام.
حل:
لنفترض أن العدد الأكبر هو x والصغير هو y.
وفقًا للشرط الأول ، x & # 8211 y = 3 & # 8230 (i)
حسب الشرط الثاني
3x + 2y = 19 & # 8230 (ii)
بضرب المعادلة (i) في 2 ، نحصل على
2x & # 8211 2y = 6 & # 8230 (iii)
بإضافة المعادلتين (ii) و (iii) ، نحصل عليها

بالتعويض عن x = 5 في المعادلة (i) ، نحصل على
5 & ​​# 8211 ص = 3
∴ 5 & # 8211 3 = ص
∴ ص = 2
الأرقام المطلوبة هي 5 و 2.

السؤال 2.
أكمل ما يلي.

حل:
الأضلاع المتقابلة من المستطيل متساوية.
∴ 2 س + ص + 8 ​​= 4x & # 8211 ص
∴ 8 = 4x & # 8211 2x & # 8211 y & # 8211 y
∴ 2x & # 8211 2y = 8
∴ x & # 8211 y = 4 & # 8230 (i) [قسمة كلا الجانبين على 2]
أيضًا ، x + 4 = 2y
∴ x & # 8211 2y = -4 & # 8230 (ii)
بطرح المعادلة (ii) من (i) نحصل عليها

بالتعويض عن y = 8 في المعادلة (i) ، نحصل على
س & # 8211 8 = 4
∴ س = 4 + 8
∴ س = 12
الآن ، طول المستطيل = 4x & # 8211 ص
= 4(12) – 8
= 48 – 8
∴ طول المستطيل = 40
اتساع المستطيل = 2y = 2 (8) = 16
محيط المستطيل = 2 (الطول + العرض)
= 2(40 + 16)
= 2(56)
∴ محيط المستطيل = 112 وحدة
مساحة المستطيل = الطول × العرض
= 40 × 16
∴ مساحة المستطيل = 640 مترًا مربعًا
∴ x = 12 و y = 8 ، محيط المستطيل 112 وحدة ومساحة المستطيل 640 مترًا مربعًا.

السؤال 3.
مجموع عمر الأب ومرتين عمر ابنه هو 70. إذا ضاعفنا عمر الأب وأضفناه إلى عمر ابنه يكون المجموع 95. ابحث عن أعمارهم الحالية.
حل:
اجعل الأعمار الحالية للأب والابن x سنة و y سنة على التوالي.
حسب الشرط الأول
س + 2 ص = 70 & # 8230 (ط)
حسب الشرط الثاني
2 س + ص = 95 & # 8230 (ب)
بضرب المعادلة (i) في 2 ، نحصل على
2x + 4y = 140 & # 8230 (iii)
بطرح المعادلة (ii) من (iii) نحصل عليها

بالتعويض عن y = 15 في المعادلة (i) ، نحصل على
س + 2 (15) = 7O
⇒ س + 30 = 70
⇒ س = 70 & # 8211 30
∴ س = 40
الأعمار الحالية للأب والابن 40 سنة و 15 سنة على التوالي.

السؤال 4.
مقام الكسر هو 4 أكثر من ضعف البسط. Denominator becomes 12 times the numerator, if both the numerator and the denominator are reduced by 6. Find the fraction.
حل:
Let the numerator of the fraction be x and the denominator be y.
∴ Fraction = (frac < x > < y >)
According to the first condition,
y = 2x + 4
∴ 2x – y = -4 …(i)
According to the second condition,
(y – 6)= 12(x – 6)
∴ y – 6 = 12x – 72
∴ 12x – y = 72 – 6
∴ 12x – y = 66 …(ii)
Subtracting equation (i) from (ii), we get

السؤال 5.
Two types of boxes A, B ,are to be placed in a truck having capacity of 10 tons. When 150 boxes of type A and 100 boxes of type B are loaded in the truck, it weights 10 tons. But when 260 boxes of type A are loaded in the truck, it can still accommodate 40 boxes of type B, so that it is fully loaded. Find the weight of each type of box.
حل:
Let the weights of box of type A be x kg and that of box of type B be y kg.
1 ton = 1000 kg
∴ 10 tons = 10000 kg
According to the first condition,
150x + 100y = 10000
∴ 3x + 2y = 200 …(i) [Dividing both sides by 50]
According to the second condition,
260x + 40y = 10000
∴ 13x + 2y = 500 …(ii) [Dividing both sides by 20]
Subtracting equation (i) from (ii), we get

∴ The weights of box of type A is 30 kg and that of box of type B is 55 kg.

السؤال 6.
Out of 1900 km, Vishal travelled some distance by bus and some by aeroplane. Bus travels with average speed 60 km/hr and the average speed of aeroplane is 700 km/hr. It takes 5 hours to complete the journey. Find the distance Vishal travelled by bus.
حل:
Let the distance Vishal travelled by bus be x km and by aeroplane be y km.
According to the first condition,
x + y = 1900 …(i)
( ext < Time >=frac< ext < Distance >>< ext < Speed >> )
∴ Time required to cover x km by bus = (frac < x > < 60 >) hr
Time required to cover y km by aeroplane
= (frac < y > < 700 >) hr
According to the second condition,

Multiplying equation (i) by 6, we get
6x + 6y= 11400 …(iii)
Subtracting equation (iii) from (ii), we get

∴ The distance Vishal travelled by bus is 150 km.

السؤال رقم 1.
There are some instructions given below. Frame the equations from the information and write them in the blank boxes shown by arrows. (Textbook pg. no. 20)
إجابه:


Formally, a linear function is a function F(x):صص such that the graph of F is a line. This means the domain or input of F is a real number ص and the range or output of F is also a real number ص. Usually we write ذ(x) or just ذ in place of F(x). So the formal statement means:

  • we input or substitute a real number x into the linear function
  • the linear function outputs or gives a real number ذ و
  • all of these points (x,ذ) make a line.

There are three main forms for writing linear functions: slope-intercept, standard و parametric.

Slope-intercept form Edit

ال slope-intercept (also called point-slope or explicit) form of a linear function is y ( x ) = m x + b or y = m x + b . This form has 2 variables x و у and 2 constants م و ب.

  • The letters م و ب are constants. [4] Before working with a linear function, we replace م و ب with actual real numbers.
  • The letters x و ذ are variables. [5]
  • In slope-intercept form, the letter م stands for the slope and ب stands for the y-intercept.
    • المتغير x is called the independent variable or argument. Any real number x يمكن ان يكون input أو substituted into a linear function. The function will then output the corresponding value for ذ.
    • المتغير ذ is called the dependent variable. It is the output value after substituting an input value for x.
      lines are included. The line is horizontal if and only if م=0. Then we have just ذ=ب. حيث ب is a real number, this is a constant function. So a constant function is also a linear function. lines are never included because a vertical line is not a function. [5] A vertical line does not pass the vertical line test. (A vertical line is defined by the equation: x=ب أين ب is a real number.) lines are included. The line is slanted if and only if م≠0. [6]
    • The slope-intercept form is unique. A different value of م or a different value of ب gives a different line.
    • A linear function is a polynomial function of first or zero degree in one variable х .
    • The constant term is ب. إذا استبدلنا x=0 into the function, we get ذ=ب. So the number ب هل ذ-intercept and the line crosses the у-axis at the point (0,ب).
    • إذا م≠0, the number –b /م هل x-intercept or root or zero and ( –b /م,0) is the point where the line crosses the х-axis. Here the value of the function is zero.
    • The coefficientم من x is called the slope أو gradient of the line. For each line, the number م is a constant and so the slope is constant for the whole line. The slope determines both the direction and steepness of the line. Direction and steepness are called the rate of change. لذلك rate of change هو م and it is constant for each line.
      • The sign of م determines the direction. إذا م>0 then the linear function is increasing if م<0 then the function is decreasing.
      • The absolute value of م determines the steepness. If |م|<1 then the slope is gentle if |م|>1 then the slope is steep.
      • If the slope of a line is م and (х,у) is any point on the line, we must also have the point (х+1, ذ+م) on the line.

      مثال: ذ=–2x+4. The slope is م= –2 and the ذ-intercept is ب=4 or the point (0,4). Substituting ذ=0 and solving for x, we get 0=–2x+4 or x=2. وبالتالي x=2 is the root of this linear function and the point (2,0) is the x-intercept. Since the slope is م = –2, the line is decreasing. Since |–2|=2>1, the decrease is نسبيا steep. For each change in х of 1 (to the right), the value of у changes -2 (goes down).

      • ال graph of a line is determined by two points. To graph a linear function, we can substitute two different values for x into the function and solve for the corresponding ذ-values. We graph these two points. Using a straightedge, we draw the line through these two points extending it past both points.

      مثال: ذ=–2x+4. Substituting x=0 we get ذ=4 (this is the ذ-intercept) and thus the point (0,4). Substituting x=1, we get ذ=2 and thus the point (1,2). Plot these points and draw the line. (Notice that the 2nd point is 1 to the right and 2 down from the 1st point. As we said in the above example, this happens because the slope is م= –2)

      • A linear function that is not a constant function is a bijection. It will output each real number (surjection) for exactly one input value (injection).

      مثال: ذ= –x+2. Suppose ذ= –1. We substitute ذ= –1 and get: –1= –'x+2 or x=3. This is the only solution. We can do this for any ذ-value.

      Standard form Edit

      • The standard form has 2 variables x و у and 3 constants أ, B، و ج that are replaced by actual real numbers before working. This form is often used in geometry and in systems of linear equations.

      مثال: The linear function 3x–2ذ=1 is in standard form. The constants are أ=3, B=–2 and ج=1.

      مثال: The lines 3x–2ذ=1 and 6x–4ذ=2 are coincident (same line). Here the factor is: ك=2. We multiplied the first equation by 2 to get the second equation. The unique slope-intercept form of this line is: ذ=1.5x–0.5 (solve either equation for y).

      Vector-Parametric form Edit

      • The parametric or vector or vector-parametric form has 1 parameterر, 2 variables x و у, and 4 constants أ1, أ2, x1، و ذ1. The coefficients أ1, أ2, x1، و ذ1 نكون ليس uniquely determined. The line passes through the points А=(x1,ذ1) و B=(x1+أ1,ذ1+أ2) so that taking taking any other points or even just reversing the order ot the points will result in different constants for the same line.
      • The parameter ر is not visible on the graph.
      • Engineers usually use the letter ر for the parameter. Mathematicians often use the Greek letter λ.

      مثال: X=(–1,1)+ر(2,3), t∈ص is a line in vector form. Here: أ1=2, أ2=3, x1=–1 and x2=1. The line goes through the points (x1,ذ1)=(–1,1) and (x1+أ1,ذ1+أ2)=(1,4). The corresponding parametric form of this line is: x(ر)= –1+2ر, ذ(ر)=1+3ر. The unique slope-intercept form of this line is: ذ(x)=1.5x+2.5 (solve the first equation for ر and substitute this result into the second equation).

      • The vector-parametric form of a line extends naturally to lines in 3-dimensional and higher spaces. The other forms do not.

      مثال: X=(–1,1,2)+ر(2,3,–1), t∈ص is a line in 3-dimensional space. The line goes through the points (–1,1,2) and (1,4,1).

      In the context where it is defined, the derivative of a function is a measure of the rate of change of function values with respect to change in input values. A linear function has a constant rate of change. This rate of change is the slope م. وبالتالي م is the derivative. [8] This is often written:

      مثال: ذ= –2x+4. هنا م= –2 and so ذ′= –2.

      Often, the terms linear equation و linear function are confused. Both are polynomials. However, the word linear في linear equation means that all terms with variables are first degree. [9] [10] (The word linear في linear function means the graph is a line.) A linear equation can have 1, 2, 3, or more variables. So a linear equation is a linear function only if it has exactly 2 variables. (A linear equation in one variable is a point on the number line and a linear equation in 3 variables is a plane in 3-dimensional space.)

      Many countries and disciplines use different letters and ordering for the different forms.


      أمثلة

      Any horizontal translation will affect the domain and leave the range unchanged. Any vertical translation will affect the range and the leave the domain unchanged.

      Apply the same translation to the domain or range that you apply to the x-coordinates or the y-coordinates. This works because the domain can be written in interval notation as the interval between two x-coordinates. Likewise for the range as the interval between two y-coordinates.

      In the following table, remember that domain and range are given in interval notation. If you're not familiar with interval notation, then please check the prerequisite chapter. The first line is the definition statement and should be used to determine the rest of the answers.

      Graph ترجمة Domain Range
      y=f(x) لا أحد (-2,5) [4,8]
      y=f(x-2) right 2 (0,7) [4,8]
      y=f(x)-2 down 2 (-2,5) [2,6]
      y=3f(x) multiply each y by 3 (-2,5) [12,24]
      y=f(3x) divide each x by 3 (-2/3,5/3) [4,8]
      y=2f(x-3)-5 multiply each y by 2 and subtract 5
      add 3 to every x
      (1,8) [3,11]
      y=-f(x) reflect about x-axis (-2,5) [-8,-4]
      y=1/f(x) take the reciprocal of each y (-2,5) [1/8,1/4]

      Notice on the last two that the order in the range has changed. This is because in interval notation, the smaller number always comes first.


      Types of GMAT Problems

      Solving a linear equation involves isolating the variable on one side of the equation. To do so, use mathematical operations on both sides of the equation. Adding or subtracting the same numbers from both sides does not change the equation. Similarly, the equation will remain unchanged after multiplying or dividing both sides of the equation by the same number.

      1. Multiply both sides by 3.
        27x - 9 = 2x-4.
      2. Add 9 to both sides.
        27x = 2x + 5.
      3. Subtract 2x from both sides.
        25x = 5.
      4. Divide both sides by 25.
        x= (5/25) = (1/5)

      If there are two variables, pick one variable and choose a number for it to equal. Substitute the chosen number into the equation and solve for the second variable. For equations with more than two variables, choose numbers for every variable but one. Substitute all of the numbers in and solve for the final variable.


      شاهد الفيديو: الصف الحادي عشر المسار الأدبي الرياضيات الدوال الخطية 1 (شهر اكتوبر 2021).