مقالات

8.2: حل أنظمة المعادلات الخطية


تذكر مجموعة المعادلات التالية من مثال وزن الكتلة:

[40A + 15B = 100 بدون رقم ]

[25B = 50 + 50A غير رقم ]

كما تعلم ، يمكن كتابة نظام المعادلات أعلاه كمصفوفة معززة بالشكل التالي:

[ ابدأ {تقسيم}
غادر[
ابدأ {matrix}
40 & 15 \
-50 & 25
نهاية {matrix}
، منتصف فير ،
ابدأ {matrix}
100 \ 50
نهاية {matrix}
حق]
نهاية {تقسيم} غير رقم ]

سؤال

قسّم المصفوفة المعزّزة ( left [ start {matrix} A end {matrix} ، middle vert ، begin {matrix} b end {matrix} right] ) إلى الحجم الأيسر ( يسار (2 مرات 2 يمين) ) مصفوفة (أ ) وهو يمين ( يسار (2 مرات 1 يمين) ) مصفوفة (ب ). حدد المصفوفات (أ ) و (ب ) على أنهاحبيبيالمصفوفات:

سؤال

حل نظام المعادلات أعلاه باستخدامnp.linalg.solveدالة وتخزين القيمة في متجه باسم x:


حلول أنظمة المعادلات عبر الإنترنت

Wolfram | Alpha قادر على حل مجموعة متنوعة من أنظمة المعادلات. يمكنه حل أنظمة المعادلات الخطية أو الأنظمة التي تتضمن معادلات غير خطية ، ويمكنه البحث على وجه التحديد عن حلول أو حلول عدد صحيح على مجال آخر. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنه حل الأنظمة التي تنطوي على عدم المساواة والقيود العامة.


حل نظام من معادلتين خطيتين

لاحظ أن الأقواس مطلوبة. ثم حل هذه المعادلة من أجل x.

بدّل x ب 1 في y = x + 3 لتجد أن y = 1 + 3 = 4. مجموعة حلول هذا النظام هي <(1، 4)>.

ابدأ بحل معادلة واحدة لأحد المتغيرات بدلالة الأخرى. على سبيل المثال ، يؤدي حل المعادلة الأولى لـ x إلى:

الآن استبدل هذه النتيجة بـ x في المعادلة (2).

لحذف الكسر الأيسر ، اضرب طرفي المعادلة في 2 ثم حل من أجل ذ.

استبدل ذ = 5 مرة أخرى إلى المعادلة (3) لإيجاد x

مجموعة حلول النظام هي ((-2، 5)>. تحقق بالتعويض عن -2 لـ x و 5 من أجل ذ في كل من معادلات النظام.

حل نظام المعادلات الخطية عن طريق الجمع

طريقة أخرى لحل أنظمة معادلتين هي طريقة الجمع. بهذه الطريقة ، نقوم أولاً بضرب المعادلات على كلا الجانبين بأرقام مناسبة ، بحيث عند إضافتها ، يتم حذف متغير واحد. والنتيجة هي معادلة في متغير واحد يمكن حلها بالطرق المستخدمة في المعادلات الخطية. ثم يتم استبدال الحل في إحدى المعادلات الأصلية ، مما يجعل من الممكن حل المتغير الآخر. في هذه العملية ، يتم استبدال النظام المحدد بأنظمة جديدة لها نفس مجموعة الحلول مثل النظام الأصلي. تسمى الأنظمة التي لها نفس مجموعة الحلول أنظمة مكافئة. يتم توضيح طريقة الإضافة من خلال الأمثلة التالية.

احذف x ، اضرب طرفي المعادلة (4) في -2 وكلا طرفي المعادلة (S) في 3 للحصول على المعادلتين (6) و (7).

على الرغم من أن هذا النظام الجديد ليس هو نفسه النظام المحدد ، إلا أنه سيكون له نفس مجموعة الحلول.

أضف الآن المعادلتين لحذف x ، ثم حل الناتج عن y.

استبدل 2 بمعادلة yin (4) أو (5). اختيار المعادلة (4) يعطي

مجموعة حل النظام المعطى هي <(3 ، 2)> ، والتي يمكن التحقق منها بالتعويض عن x و 2 عن y في المعادلة (5).

نظرًا لأن طريقة الإضافة للحل تؤدي إلى إزالة متغير واحد من النظام ، فإنها تسمى أيضًا طريقة الحذف.


Go Math Grade 8 Answer Key الفصل 8 حل أنظمة المعادلات الخطية

هنا & # 8217s Go Math للصف 8 مفتاح الإجابة الفصل 8 حل أنظمة المعادلات الخطية لأفضل ممارسة للرياضيات. يمكنك التدرب عبر الإنترنت أو يمكنك أيضًا تنزيل ملف pdf المجاني الخاص بنا من Go Math Grade 8 الفصل 8 حل أنظمة المعادلات الخطية ومفتاح الإجابة والتدرب في وضع عدم الاتصال. مفتاح الإجابة Go Math Grade 8 مجاني لك وهو دليل موثوق به مع الحلول الصحيحة. أفضل دليل على الإنترنت ، Go Math Grade 8 Answer Key الفصل 8 حل أنظمة المعادلات الخطية للممارسة الجيدة والحصول على درجات رائعة. راجع مفتاح الحل Go Math Grade 8 لتعلم الطريقة السهلة لممارسة الرياضيات.

الدرس الأول: حل أنظمة المعادلات الخطية بالرسوم البيانية

الدرس الثاني: حل الأنظمة بالتعويض

الدرس 3: حل الأنظمة عن طريق الحذف

الدرس الرابع: حل الأنظمة عن طريق الحذف بالضرب

الدرس الخامس: حل الأنظمة الخاصة

الممارسة الموجهة & # 8211 حل أنظمة المعادلات الخطية بالرسوم البيانية & # 8211 الصفحة رقم 232

حل كل نظام من خلال الرسوم البيانية.

السؤال رقم 1.
( اليسار < ابدأص = 3 س -4 ص = س + 2 نهايةحق.)

اكتب أدناه:
______________

إجابه:

تفسير:
ص = 3 س & # 8211 4
ص = س + 2
حل نظام المعادلات الخطي هو نقطة تقاطع المعادلتين.
(3 ، 5) هو حل جملة المعادلات.
إذا كانت x = 3 ، y = 3 (3) & # 8211 4 = 9 & # 8211 4 = 5 y = 3 + 2 = 5
5 = 5 صحيح

السؤال 2.
( اليسار < ابدأس -3 ص = 2 - 3 س + 9 ص = -6 نهايةحق.)

اكتب أدناه:
______________

إجابه:

العديد من الحلول بلا حدود

تفسير:
س & # 8211 3 ص = 2
-3 س + 9 ص = -6
x & # 8211 3y & # 8211 x = -x + 2
-3 ص = -س + 2
ص = 1/3. x & # 8211 2/3
-3 س + 9 ص + 3 س = 3 س & # 8211 6
9 ص = 3 س & # 8211 6
ص = 3/9. x & # 8211 6/9
ص = 1/3. x & # 8211 2/3
حل نظام المعادلات الخطي هو تقاطع المعادلتين.
العديد من الحلول بلا حدود

السؤال 3.
كتبت السيدة موراليس اختبارًا من 15 سؤالًا يغطي التهجئة والمفردات. تساوي أسئلة الإملاء (س) 5 نقاط وأسئلة المفردات (ص) تساوي 10 نقاط. الحد الأقصى لعدد النقاط الممكنة في الاختبار هو 100.
أ. اكتب معادلة بصيغة الميل والمقطع لتمثيل عدد الأسئلة في الاختبار.

اكتب أدناه:
______________

تفسير:
كتبت السيدة موراليس اختبارًا من 15 سؤالًا يغطي التهجئة والمفردات. تساوي أسئلة الإملاء (س) 5 نقاط وأسئلة المفردات (ص) تساوي 10 نقاط.
س + ص = 15
x + y & # 8211 x = -x + 15
ص = -x + 15

السؤال 3.
ب. اكتب معادلة بصيغة الميل والمقطع لتمثيل العدد الإجمالي للنقاط في الاختبار.
اكتب أدناه:
______________

تفسير:
العدد الإجمالي للنقاط في الاختبار هو 100
5 س + 10 ص = 100
5 س + 10 ص & # 8211 5 س = -5 س + 100
10 ص = -5 س + 100
ص = -5 / 10. × + 100/10
ص = -1/2. x + 10

السؤال 3.
ج. ارسم حلول كلا المعادلتين.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:

السؤال 3.
د. استخدم الرسم البياني لمعرفة عدد كل نوع سؤال في الاختبار.
_________ الأسئلة الإملائية
_________ أسئلة المفردات

إجابه:
10 أسئلة إملائية
5 أسئلة في المفردات

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 4.
عندما ترسم نظامًا من المعادلات الخطية بالرسم البياني ، لماذا يمثل تقاطع الخطين حل النظام؟
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
يعني حل نظام المعادلات الخطية إيجاد الحلول التي ترضي جميع معادلات ذلك النظام. عندما نرسم نظامًا من المعادلات الخطية بالرسم البياني ، فإن نقطة التقاطع تقع على خط كل معادلة ، مما يعني أن ذلك يرضي جميع المعادلات. لذلك ، يعتبر الحل لهذا النظام.

حل أنظمة المعادلات الخطية بالرسم البياني & # 8211 الصفحة رقم 233

السؤال 5.
كلمات
A_________________ هي مجموعة المعادلات التي لها نفس المتغيرات.
______________

إجابه:
نظام المعادلات

تفسير:
نظام المعادلات هو مجموعة المعادلات التي لها نفس المتغيرات.

السؤال 6.
بدأ ثمانية أصدقاء مشروعًا تجاريًا. سيرتدون إما قبعة بيسبول أو قميص مطبوع عليه شعارهم أثناء العمل. إنهم يريدون إنفاق 36 دولارًا بالضبط على القمصان والقبعات. تكلفة القمصان 6 دولارات للواحدة ، والقبعات 3 دولارات للواحد
أ. اكتب نظام معادلات لوصف الموقف. دع x يمثل عدد القمصان ودع y يمثل عدد الأغطية.
______________

تفسير:
مجموع القبعات والقمصان هو 8. التكلفة الإجمالية للقبعات والقمصان 36 دولار.
س + ص = 8
6 س + 3 ص = 36

السؤال 6.
ب. ارسم النظام. ما هو الحل وماذا يمثل؟

اكتب أدناه:
______________

إجابه:
الحل هو (4، 4)

تفسير:
x + y & # 8211 x = -x + 8
ص = -x + 8
6 س + 3 ص & # 8211 6 س = -6 س + 36
3 ص = -6 س + 36
ص = -6 / 2. x + 36/3
ص = -2 س + 12
(4 ، 4). يجب أن يطلبوا 4 قمصان و 4 قبعات.

السؤال 7.
متعدد الخطوات يوضح الجدول تكلفة البولينج في اثنين من صالات البولينج.

أ. اكتب نظام المعادلات ، مع معادلة واحدة تصف تكلفة الوعاء في Bowl-o-Rama والأخرى تصف تكلفة الوعاء في Bowling Pinz. لكل معادلة ، دع x يمثل عدد الألعاب التي تم لعبها ودع y يمثل التكلفة الإجمالية.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
ص = 2.5 س + 2
ص = 2 س + 4

تفسير:
التكلفة في Bowl-o-Rama = & gt y = 2.5x + 2
التكلفة في Bowling Pinz = & gt y = 2x + 4

السؤال 7.
ب. ارسم النظام. ما هو الحل وماذا يمثل؟

اكتب أدناه:
______________

إجابه:

تفسير:
حل نظام المعادلات الخطي هو تقاطع المعادلتين.
(4, 12)
عند لعب 4 مباريات ، تبلغ التكلفة الإجمالية 12 دولارًا.

حل أنظمة المعادلات الخطية بالرسم البياني & # 8211 الصفحة رقم 234

السؤال 8.
يركض جيريمي متعدد الخطوات 7 أميال في الأسبوع ويزيد المسافة بمقدار ميل واحد كل أسبوع. يركض توني 3 أميال في الأسبوع ويزيد المسافة بمقدار ميلين كل أسبوع. في كم أسبوعًا سيجري جيريمي وتوني نفس المسافة؟ ماذا ستكون تلك المسافة؟
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
بعد 4 أسابيع ، سيجري جيريمي وتوني نفس المسافة وستكون تلك المسافة 11 ميلاً.

تفسير:
يركض جيريمي متعدد الخطوات 7 أميال في الأسبوع ويزيد المسافة بمقدار ميل واحد كل أسبوع.
ص = س + 7
يركض توني 3 أميال في الأسبوع ويزيد المسافة بمقدار ميلين كل أسبوع.
ص = 2 س + 3

حل نظام المعادلة الخطية هو (4 ، 11) مما يعني أنه بعد 4 أسابيع سيجري جيريمي وتوني نفس المسافة وستكون تلك المسافة 11 ميلاً.

السؤال 9.
التفكير النقدي اكتب موقفًا من العالم الحقيقي يمكن تمثيله بنظام المعادلات الموضحة أدناه.
( اليسار < ابدأص = 4 س + 10 ص = 3 س + 15 نهايةحق.)
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تبلغ رسوم الدخول إلى الصالة الرياضية الأولى 10 دولارات ، ولكل ساعة تقضيها هناك ، تدفع 4 دولارات إضافية. إذا أشرنا إلى x عدد الساعات التي يقضيها شخص ما في صالة الألعاب الرياضية ومع y تكون التكلفة الإجمالية
ص = 4x + 10
تبلغ رسوم الدخول إلى الصالة الرياضية الثانية 15 دولارًا ، ولكل ساعة تقضيها هناك ، تدفع 3 دولارات إضافية. إذا أشرنا إلى x عدد الساعات التي يقضيها شخص ما في صالة الألعاب الرياضية ومع y تكون التكلفة الإجمالية
ص = 3 س + 15
ص = 4x + 10
ص = 3 س + 15

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 10.
متعدد الخطوات يعرض الجدول خيارين يوفرهما مزود خدمة الإنترنت عالي السرعة.

أ. في كم شهر ستكون التكلفة الإجمالية لكلا الخيارين هي نفسها؟ كم ستكون تكلفة ذلك؟
________ الشهور
$ ________

تفسير:
لنفترض أن y هي التكلفة الإجمالية بعد x شهر
ص = 30 س + 50
لنفترض أن y هي التكلفة الإجمالية بعد x شهر
ص = 40 س
عوّض y = 40x في y = 30x + 50
40 س = 30 س + 50
40x & # 8211 30x = 50
10x = 50
س = 50/10
س = 5
ستكون التكلفة الإجمالية لكلا الخيارين كما هي بعد 5 أشهر. التكلفة الإجمالية ستكون ص = 40 (5) = 200 دولار.

السؤال 10.
ب. إذا كنت تخطط لإلغاء خدمة الإنترنت بعد 9 أشهر ، فما هو الخيار الأرخص؟ يشرح.
______________

إجابه:
عندما س = 9 أشهر
ص = 30 (9) + 50 = 320 دولارًا
ص = 40 (9) = 360 دولارًا
320 دولارًا و 360 دولارًا
الخيار 1 أرخص لأن التكلفة الإجمالية أقل بالنسبة للخيار 1

السؤال 11.
استخلاص الاستنتاجات كم عدد الحلول التي يشتمل عليها النظام المكون من x - y = 3 و ay - ax + 3a = 0 لرقم غير صفري أ؟ يشرح.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
س & # 8211 ص = 3
ay & # 8211 فأس + 3 أ = 0
ay & # 8211 ax + 3a & # 8211 3a = 0 & # 8211 3a
ay & # 8211 فأس = & # 8211 3 أ
أ (ص & # 8211 س) = -3 أ
ص & # 8211 س = -3
س & # 8211 ص = 3
كلا المعادلتين متطابقتان. نظام المعادلات الخطية له عدد لا نهائي من الحلول.

الممارسة الإرشادية & # 8211 حل الأنظمة بالتعويض & # 8211 الصفحة رقم 240

حل كل نظام من المعادلات الخطية بالتعويض.

السؤال رقم 1.
( اليسار < ابدأ3 س -2 ص = 9 ص = 2 س -7 نهايةحق.)
س = ________
ص = ________

تفسير:
( اليسار < ابدأ3 س -2 ص = 9 ص = 2 س -7 نهايةحق.)
عوض 2x & # 8211 7 في 3x & # 8211 2y = 9
3x & # 8211 2 (2x & # 8211 7) = 9
3x & # 8211 4x + 14 = 9
-س + 14 = 9
-x + 14 & # 8211 14 = 9 & # 8211 14
-x = -5
س = -5 / -1 = 5
ص = 2 (5) & # 8211 7 = 3
الحل هو (5، 3)

السؤال 2.
( اليسار < ابدأص = س -4 2 س + ص = 5 نهايةحق.)
س = ________
ص = ________

تفسير:
( اليسار < ابدأص = س -4 2 س + ص = 5 نهايةحق.)
2 س + س & # 8211 4 = 5
3 س & # 8211 4 = 5
3 س & # 8211 4 + 4 = 5 + 4
3 س = 9
س = 9/3 = 3
ص = 3 & # 8211 4 = -1
الحل هو (3، -1)

تفسير:
( اليسار < ابدأx + 4y = 6 y = -x + 3 endحق.)
عوّض y = -x + 3 في x + 4y = 6
س + 4 (-x + 3) = 6
x & # 8211 4x + 12 = 6
-3 س + 12 = 6
-3 س + 12 & # 8211 12 = 6 & # 8211 12
-3 س = -6
س = -6 / -3 = 2
ص = -2 + 3 = 1
الحل هو (2، 1)

السؤال 4.
( اليسار < ابدأx + 2y = 6 x-y = 3 endحق.)
س = ________
ص = ________

تفسير:
( اليسار < ابدأx + 2y = 6 x-y = 3 endحق.)
ص = س & # 8211 3
عوّض y = x & # 8211 3 في x + 2y = 6
س + 2 (س & # 8211 3) = 6
س + 2 س & # 8211 6 = 6
3 س = 12
س = 12/3
س = 4
4 & # 8211 ص = 3
-ص = 3 & # 8211 4
-ص = -1
ص = 1
الحل هو (4، 1)

حل كل نظام. تقدير الحل أولا.

السؤال 5.
( اليسار < ابدأ6 س + ص = 4 س -4 ص = 19 نهايةحق.)
تقدير ______________
حل ______________
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تقدير (2، -5)
الحل (1.4، -4.4)

تفسير:
( اليسار < ابدأ6 س + ص = 4 س -4 ص = 19 نهايةحق.)
لنجد & # 8217s التقدير برسم المعادلات بيانيًا
تقدير: (2، -5)

س = 4 ص + 19
6 (4y + 19) + y = 4
24 ص + 114 + ص = 4
25 ص + 114 = 4
25 ص = 4 & # 8211114
25 ص = -110
ص = -110 / 25
ص = -4.4
س + 4 (-4.4) = 19
س + 17.6 = 19
س = 19 & # 8211 17.6
س = 1.4
الحل هو (1.4، -4.4)

السؤال 6.
( اليسار < ابدأس + 2 ص = 8 3 س + 2 ص = 6 نهايةحق.)
تقدير ______________
حل ______________
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تقدير (-1 ، 5)
الحل (-1 ، 4.5)

تفسير:
( اليسار < ابدأس + 2 ص = 8 3 س + 2 ص = 6 نهايةحق.)
لنجد & # 8217s التقدير برسم المعادلات بيانيًا
تقدير: (-1 ، 5)

س = -2 ص + 8
عوّض بالمعادلة x = -2y + 8 في 3x + 2y = 6
3 (-2y + 8) + 2y = 6
-6 ص + 24 + 2 ص = 6
-4 ص = 6 & # 8211 24
-4 ص = -18
ص = -18 / -4
ص = 4.5
س + 2 (4.5) = 8
س + 9 = 8
س = 8 & # 8211 9
س = -1
الحل هو (-1، 4.5)

السؤال 7.
( اليسار < ابدأ3 س + ص = 4 5 س-ص = 22 نهايةحق.)
تقدير ______________
حل ______________
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تقدير (3 ، -6)
الحل (3.25، -5.75)

تفسير:
( اليسار < ابدأ3 س + ص = 4 5 س-ص = 22 نهايةحق.)
أوجد التقدير باستخدام رسم بياني للمعادلات.
تقدير: (3، -6)

ص = -3 س + 4
عوّض y = -3x + 4 في 5x & # 8211 y = 22
5 س & # 8211 (-3 س + 4) = 22
5 س + 3 س -4 = 22
8 س = 26
س = 26/8
س = 3.25
3 (3.25) + ص = 4
9.75 + ص = 4
ص = 4 & # 8211 9.75
ص = -5.75
الحل هو (3.25، -5.75)

السؤال 8.
( اليسار < ابدأ2 س + 7 ص = 2 س + ص = -1 نهايةحق.)
تقدير ______________
حل ______________
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تقدير (-2، 1)
الحل (-1.8 ، 0.8)

تفسير:
( اليسار < ابدأ2 س + 7 ص = 2 س + ص = -1 نهايةحق.)
أوجد التقدير باستخدام رسم بياني للمعادلات.
تقدير: (-2، 1)

ص = -x -1
عوّض y = -x & # 8211 1 في 2x + 7y = 2
2 س + 7 (-x & # 8211 1) = 2
2x & # 8211 7x -7 = 2
-5 س = 2 + 7
-5 س = 9
س = -9/5
س = -1.8
-1.8 + ص = -1
ص = -1 + 1.8
ص = 0.8
الحل هو (-1.8، 0.8)

السؤال 9.
تبلغ تكلفة تذاكر البالغين إلى مدينة ملاهي سبيس سيتي × دولار. تذاكر الأطفال تكلف y دولار. اشترت عائلة Henson تذاكر 3 أشخاص بالغين وطفل واحد مقابل 163 دولارًا. اشترت عائلة Garcia تذاكر لشخصين بالغين و 3 أطفال مقابل 174 دولارًا.
أ. اكتب معادلات لتمثيل تكلفة Hensons وتكلفة Garcias.
تكلفة Hensons: ________________
تكلفة جارسياس: __________________
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تكلفة Hensons: 3x + y = 163
تكلفة Garcias: 2x + 3y = 174

تفسير:
تكلفة Henson & # 8217s
3 س + ص = 163
تكلفة Garcia & # 8217s
2 س + 3 ص = 174

السؤال 9.
ب. حل النظام.
سعر تذكرة الكبار: _________ دولار
تكلفة Garcias: _________ دولار

إجابه:
سعر تذكرة البالغين: 45 دولارًا
تكلفة Garcias: 28 دولارًا

تفسير:
ص = -3 س + 163
عوّض y = -3x + 163 في 2x + 3y = 174
2 س + 3 (-3 س + 163) = 174
2 س -9 س + 489 = 174
-7 س = -315
س = -315 / -7 = 45
3 (45) + ص = 163
135 + ص = 163
ص = 163 & # 8211135
ص = 28
سعر تذكرة البالغين: 45 دولارًا
تكلفة Garcias: 28 دولارًا

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 10.
كيف يمكنك تحديد المتغير الذي تريد حله أولاً عند حل نظام خطي بالتعويض؟
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
يجب حل المتغير بمعامل الوحدة أولاً عند حل نظام خطي بالتعويض.

8.2 الممارسة المستقلة & # 8211 حل الأنظمة بالتعويض & # 8211 الصفحة رقم 241

السؤال 11.
تحقق من المعقولية يحل زاك النظام
( اليسار < ابدأس + ص = -3 س ص = 1 نهايةحق.)
ويجد الحل (1، -2). استخدم رسمًا بيانيًا لشرح ما إذا كان حل زاك معقولًا.

اكتب أدناه:
______________

إجابه:

توضيح:
( اليسار < ابدأس + ص = -3 س ص = 1 نهايةحق.)
إحداثي x للحل سالب ، وبالتالي فإن حل Zach & # 8217s غير معقول.

تمثيل مشاكل العالم الحقيقي اشترى أنجيلو تفاحًا وموزًا من كشك الفاكهة. اشترى 20 قطعة فاكهة وأنفق 11.50 دولارًا. تكلفة التفاح 0.50 والموز 0.75 لكل منهما.
أ. اكتب نظام معادلات لتمثيل المشكلة. (تلميح: ستمثل إحدى المعادلات عدد قطع الفاكهة. وستمثل المعادلة الثانية الأموال التي تنفق على الفاكهة.)

اكتب أدناه:
______________

إجابه:
س + ص = 20
0.5x + 0.75y = 11.5

توضيح:
س + ص = 20
0.5x + 0.75y = 11.5
حيث c هو عدد التفاح و y هو عدد الموز.

السؤال 12.
ب. حل النظام جبريًا. أخبر عن عدد التفاح والموز الذي اشتراه Angelo.
________ تفاح
________ موز

إجابه:
14 تفاحة
6 موزات

توضيح:
ص = -x + 20
عوّض y = -x + 20 في 0.5x + 0.75y = 11.5
0.5x + 0.75 (-x + 20) = 11.5
0.5x & # 8211 0.75x + 15 = 11.5
-0.25 س + 15 = 11.5
-0.25x = 11.5 & # 8211 15
-0.25x = -3.5
س = -3.5 / -0.25
س = 14
14 + ص = 20
ص = 6
اشترى أنجيلو 14 تفاحة و 6 موزات.

السؤال 13.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي يحتوي الجرة على n نيكل ودايمات. يوجد إجمالي 200 قطعة نقدية في الجرة. قيمة العملات 14.00 دولار. كم نيكل وكم عدد الدايمات في الجرة؟
________ نيكل
________ عشرة سنتات

إجابه:
120 نيكل
80 دايم

توضيح:
جرة تحتوي على نيكل ودايمات. يوجد إجمالي 200 قطعة نقدية في الجرة. قيمة العملات 14.00 دولار.
14 دولارًا = 1400 سنتًا
ن + د = 200
5 ن + 10 د = 1400
د = -n + 200
5 ن + 10 (-n + 200) = 1400
5n & # 8211 10n + 2000 = 1400
-5 ن = -600
ن = -600 / -5
ن = 120
120 + د = 200
د = 200 & # 8211120
د = 80
هناك 120 نيكل و 80 دايم في الجرة.

السؤال 14.
متعدد الخطوات يوضح الرسم البياني مثلثًا مكونًا من المحور x ، والخط 3x − 2y = 0 ، والخط x + 2y = 10. اتبع هذه الخطوات لإيجاد مساحة المثلث.
أ. أوجد إحداثيات النقطة أ بحل النظام
( اليسار < ابدأ3 س -2 ص = 0 س -2 ص = 10 نهايةحق.)
النقطة أ: ____________________

اكتب أدناه:
______________

إجابه:
النقطة أ: (2.5 ، 3.75) إحداثيات A هي (2.5 ، 3.75)

توضيح:
( اليسار < ابدأ3 س -2 ص = 0 س -2 ص = 10 نهايةحق.)
س = -2 ص + 10
عوّض x = -2y + 10 في 3x & # 8211 2y = 0
3 (-2y + 10) -2y = 0
-6y + 30 & # 8211 2y = 0
-8 ص = -30
ص = -30 / -8 = 3.75
س + 2 (3.75) = 10
س + 7.5 = 10
س = 10 & # 8211 7.5
س = 2.5
إحداثي أ هو (2.5 ، 3.75)

السؤال 14.
ب. استخدم إحداثيات النقطة أ لإيجاد ارتفاع المثلث.
ارتفاع:__________________
الارتفاع: ( فارك <□> <> ) وحدات

إجابه:
الارتفاع: 3.75
الارتفاع: ( فارك <15> <4> ) وحدات

توضيح:
ارتفاع المثلث هو إحداثي y لـ A
الارتفاع = 3.75

السؤال 14.
ج. ما طول قاعدة المثلث؟
قاعدة:________________
الوحدات الأساسية

توضيح:
طول القاعدة = 10

السؤال 14.
د. ما هي مساحة المثلث؟
أ = ______ ( فارك <> <> ) وحدات مربعة

إجابه:
أ = 18.75 وحدة مربعة
أ = 18 ( فارك <3> <4> ) وحدة مربعة

توضيح:
مساحة المثلث = 1/2. ارتفاع . قاعدة
المساحة = 1/2. 3.75 10 = 18.75

حل الأنظمة بالتعويض & # 8211 الصفحة رقم 242

السؤال 15.
يقوم Jed برسم رسم بياني لتصميم طائرة ورقية على شبكة إحداثيات. تقع الرؤوس الأربعة للطائرة الورقية في A (- ( frac <4> <3> ) ، ( frac <2> <3> )) ، B ( ( frac <14> <3> ) ، - ( frac <4> <3> )) ، C ( ( frac <14> <3> ) ، - ( frac <16> <3> )) ، و D ( ( فارك <2> <3> ) ، - ( فارك <16> <3> )). ستربط دعامة الطائرة الورقية النقطتين A و C. والأخرى ستربط النقطتين B و D. أوجد النقطة التي تتقاطع فيها الدعامات.

اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تتقاطع الدعامات مثل (8/3 ، 10/3)

توضيح:
1. من AC
المنحدر = (y2 & # 8211 y1) / (x2 & # 8211 x1) = [(-16/3) - (2/3)] ÷ [(14/3) & # 8211 (-4/3)] = (-18/3) ÷ (18/3) = -1
ص = م س + ب
2/3 = -1 (-4/3) + ب
2/3 = 4/3 + ب
1. من BD
المنحدر = (y2 & # 8211 y1) / (x2 & # 8211 x1) = [(-16/3) - (- 4/3)] ÷ [(2/3) & # 8211 (144/3)] = (-12/3) ÷ (-12/3) = 1
ص = م س + ب
-4/3 = 1 (14/3) + ب
-4/3 = 14/3 + ب
-18/3 = ب
-6 = ب
ص = م س + ب
ص = س -6
3. ص = -x -2/3
ص = س & # 8211 6
4. y = -x & # 8211 2/3
x & # 8211 6 = -x & # 8211 2/3
س = -x & # 8211 2/3 + 6
س = & # 8211 س + 16/3
2x = 16/3
س = 16/6
س = 8/3
ثم y = x & # 8211 6
ص = 8/3 & # 8211 18/3
ص = -10/3
تتقاطع الدعامات مثل (8/3 ، 10/3)

التركيز على التفكير العالي الترتيب

السؤال 16.
تحليل العلاقات فكر في النظام
( اليسار < ابدأ6x-3y = 15 x + 3y = -8 endحق.)
صف ثلاث طرق استبدال مختلفة يمكن استخدامها لحل هذا النظام. ثم حل النظام.
اكتب أدناه:
______________

توضيح:
نظرًا لوجود ثلاث طرق تعويض مختلفة ، يمكننا الكتابة
حل المعادلة الأولى من أجل y ، ثم عوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية.
حل المعادلة الثانية من أجل x ، ثم عوض بهذه القيمة في المعادلة الأولى.
حل أي من المعادلتين لـ 3y ، ثم عوض بهذه القيمة في المعادلة الأخرى.
من الطريقة الثانية ،
س + 3 ص = -8
س = -3 ص & # 82118
6 س & # 8211 3 ص = 15
6 (-3y & # 8211 8) -3y = 15
-18 س & # 8211 48 -3 ص = 15
-21 س & # 8211 48 = 15
-21 ص = 63
ص = -3
س + 3 ص = -8
س + 3 (-3) = -8
x & # 8211 9 = -8
س = 1
(1 ، -3) هو الجواب.

السؤال 17.
توصيل الأفكار الرياضية اشرح المزايا ، إن وجدت ، التي يتمتع بها حل نظام من المعادلات الخطية بالتعويض على حل نفس النظام عن طريق الرسم البياني.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
تتمثل ميزة حل نظام المعادلات الخطية عن طريق الرسوم البيانية في أنه من السهل نسبيًا القيام به ويتطلب القليل جدًا من الجبر.

السؤال 18.
المثابرة على حل المشكلات قم بإنشاء نظام من المعادلات بالصيغة
( اليسار < ابدأالفأس + بواسطة = C Dx + Ey = F النهايةحق.)
التي لديها (7، 2) كحل لها. اشرح كيف وجدت النظام.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
س + ص = 5
س & # 8211 ص = 9
يحل في:
س = (5 + 9) / 2 = 7
ص = 5-9) / 2 = -2
أ = 1 ، ب = 2 ، ج = 5
D = 1 ، E = -1 ، F = 9
س = 7
ص = -2
هو نظام (حتى لو كان تافهًا) من المعادلات ، لذا ستكون هذه الإجابة مقبولة.
الهدف من النظام هو العثور عليه SOLUTION SET وليس الاختتام بـ x = a و y = b

الممارسة الإرشادية & # 8211 حل الأنظمة عن طريق الإزالة & # 8211 الصفحة رقم 248

السؤال رقم 1.
حل النظام
( اليسار < ابدأ4x + 3y = 1 x-3y = -11 endحق.)
بإضافة.

اكتب أدناه:
______________

إجابه:
4 س + 3 ص = 1
x & # 8211 3y = -11
أضف المعادلتين أعلاه
4 س + 3 ص = 1
+ (س & # 8211 3 ص = -11)
أضف للتخلص من المتغير y
5 س + 0 ص = -10
بسّط وحل من أجل x
5 س = -10
اقسم كلا الجانبين على 5
س = -10/5 = -2
عوّض في إحدى المعادلات الأصلية وحل من أجل y.
4 (-2) + 3 ص = 1
-8 + 3 ص = 1
3 ص = 9
ص = 9/3 = 3
إذن (-2 ، 3) هو حل النظام.

حل كل نظام من المعادلات عن طريق الجمع أو الطرح.

السؤال 2.
( اليسار < ابدأس + 2 ص = -2 - 3 س + 2 ص = -10 نهايةحق.)
س = ________
ص = ________

توضيح:
( اليسار < ابدأس + 2 ص = -2 - 3 س + 2 ص = -10 نهايةحق.)
اطرح المعادلات
س + 2 ص = -2
- (- 3 س + 2 ص = -10)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
س + 2 ص + 3 س & # 8211 2 ص = -2 + 10
4 س = 8
س = 8/4 = 2
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
2 + 2 ص = -2
2 + 2 ص -2 = -2 -2
2 ص = -4
ص = -4/2 = -2
(2، -2) هو الجواب.

توضيح:
( اليسار < ابدأ3 س + ص = 23 3 س -2 ص = 8 نهايةحق.)
اطرح المعادلات
3 س + ص = 23
- (3x & # 8211 2y = 8)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
3x + y & # 8211 3x + 2y = 23 & # 82118
3 ص = 15
ص = 15/3 = 5
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
3 س + 5 = 23
3 س + 5 & # 8211 5 = 23 & # 8211 5
3 س = 18
س = 18/3 = 6
الحل هو (6 ، 5)

توضيح:
( اليسار < ابدأ-4 س -5 ص = 7 3 س + 5 ص = -14 نهايةحق.)
أضف المعادلات
-4x & # 8211 5y = 7
+ (3 س + 5 ص = -14)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
-4 س -5 ص + 3 س + 5 ص = 7-14
-x = -7
س = -7 / -1 = 7
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
3 (7) + 5 ص = -14
21 + 5 ص -21 = -14 -21
5 ص = -35
ص = -35/5 = -7
الجواب (7، -7).

توضيح:
( اليسار < ابدأx-2y = -19 5x + 2y = 1 endحق.)
أضف المعادلات
x & # 8211 2y = -19
+ (5 س + 2 ص = 1)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
x & # 8211 2y + 5x + 2y = -19 + 1
6 س = -18
س = -18/6 = -3
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
-3 -2 ص = -19
-3 -2 ص + 3 = -19 + 3
-2 ص = -16
ص = -16 / -2 = 8
الجواب (-3، 8)

توضيح:
( اليسار < ابدأ3 س + 4 ص = 18 - 2 س + 4 ص = 8 نهايةحق.)
اطرح المعادلات
3 س + 4 ص = 18
- (- 2 س + 4 ص = 8)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
3x + 4y + 2x & # 8211 4y = 18 & # 82118
5 س = 10
س = 10/5 = 2
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
3 (2) + 4 ص = 18
6 + 4y & # 8211 6 = 18 & # 8211 6
4 ص = 12
ص = 12/4 = 3
الحل هو (2، 3)

توضيح:
( اليسار < ابدأ-5 س + 7 ص = 11 - 5 س + 3 ص = 19 نهايةحق.)
اطرح المعادلات
-5 س + 7 ص = 11
- (- 5 س + 3 ص = 19)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
-5x + 7y + 5x & # 8211 3y = 11 & # 8211 19
4 ص = -8
ص = -8/4 = -2
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
-5 س + 7 (-2) = 11
-5 س -14 + 14 = 11 + 14
-5 س = 25
س = 25 / -5 = -5
الحل هو (-5، -2)

السؤال 8.
يحتوي طريق Green River السريع على حد أدنى وأقصى للسرعة. سافر توني لمدة ساعتين بأدنى حد للسرعة و 3.5 ساعة بأقصى حد ، أي مسافة 355 ميلاً. قاد راي ساعتين بأدنى حد للسرعة و 3 ساعات كحد أقصى ، مسافة 320 ميلاً. ما هي السرعتان المحددتان؟
أ. اكتب equatios لتمثيل مسافة توني ومسافة راي.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
مسافة توني & # 8217s: 2x + 3.5y = 355
مسافة راي & # 8217s: 2x + 3y = 320
حيث x هي السرعة الدنيا و y هي السرعة القصوى.

السؤال 8.
ب. حل النظام.
الحد الأدنى للسرعة:______________
الحد الأقصى للسرعة _______________
الحد الأدنى للسرعة: ________ ميل / ساعة
الحد الأقصى للسرعة: ________ ميل / ساعة

إجابه:
الحد الأدنى للسرعة: 55
الحد الأقصى للسرعة 70
الحد الأدنى للسرعة: 55 ميل / ساعة
الحد الأقصى للسرعة: 70 ميل / ساعة

توضيح:
اطرح المعادلات
2 س + 3.5 ص = 355
- (2 س + 3 ص = 320)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
2x + 3.5y & # 8211 2x & # 8211 3y = 355 & # 8211320
0.5 ص = 35
ص = 35 / 0.5 = 70
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
2 س + 3 (70) = 320
2x + 210 & # 8211210 = 320 & # 8211210
2 س = 110
س = 110/2 = 55
الحد الأدنى للسرعة: 55 ميلاً في الساعة
الحد الأقصى للسرعة: 70 ميلاً في الساعة

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 9.
هل يمكنك استخدام الجمع أو الطرح لحل أي نظام؟ يشرح.
________

إجابه:
لا ، يجب أن يكون لأحد المتغيرات نفس المعامل من أجل إضافة أو طرح النظام.

8.3 الممارسة المستقلة & # 8211 حل الأنظمة عن طريق الإزالة & # 8211 الصفحة رقم 249

السؤال 10.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي اشترت مارتا سمكة جديدة لحوض السمك في منزلها. اشترت 3 أسماك و 2 طبق من طبق السمك بإجمالي 13.95 دولارًا. اشترى هانك أيضًا أسماك الجوبي والبلاتيس لحوض السمك الخاص به. اشترى 3 أسماك و 4 أسماك بإجمالي 18.33 دولارًا. ابحث عن سعر الجوبي وسعر بلاتي.

غوبي: ________ دولار
بلاتي: ________ دولار

إجابه:
غوبي: 3.19 دولار
بلاتي: 2.19 دولار

توضيح:
3 س + 2 ص = 13.95
3 س + 4 ص = 18.33
حيث x هو سعر الوحدة لـ guppy و y هو سعر الوحدة لـ platy
اطرح المعادلات
3 س + 2 ص = 13.95
- (3 س + 4 ص = 18.33)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
3x + 2y & # 8211 3x & # 8211 4y = 13.95 & # 8211 18.33
-2 ص = -4.38
ص = -4.38 / -2 = 2.19
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
3 س + 2 (2.19) = 13.95
3x + 4.38 & # 8211 4.38 = 13.95 & # 8211 4.38
3 س = 9.57
س = 9.57 / 3 = 3.19
سعر الجوبي 3.19 دولار وسعر بلاتي 2.19 دولار

السؤال 11.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي القاعدة الخاصة بعدد الأسماك في حوض السمك المنزلي هي جالون واحد من الماء لكل بوصة من طول السمكة. يحتوي حوض أسماك مارتا على 13 جالونًا ، بينما يحتوي حوض أسماك هانك على 17 جالونًا. استنادًا إلى عدد الأسماك التي اشتروها في التمرين 10 ، ما هي مدة سمكة الجوبي وما هي مدة الصفيحة؟
طول الجوبي = ________ بوصة
طول بلاتي = ________ بوصة

إجابه:
طول الجوبي = 3 بوصات
طول بلاتي = 2 بوصة

توضيح:
3 س + 2 ص = 13
3 س + 4 ص = 17
حيث x هو طول الجوبي و y طول بلاتي
اطرح المعادلات
3 س + 2 ص = 13
- (3 س + 4 ص = 17)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
3x + 2y & # 8211 3x & # 8211 4y = 13 & # 8211 17
-2 ص = -4
ص = -4 / -2 = 2
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
3 س + 2 (2) = 13
3 س + 4 & # 8211 4 = 13 & # 8211 4
3 س = 9
س = 9/3 = 3
يبلغ طول سمكة الجوبي 3 بوصات وسعرها 2 بوصة

السؤال 12.
يمر الخط m بالنقطتين (6 ، 1) و (2 ، -3). يمر الخط n بالنقطتين (2 ، 3) و (5 ، -6). أوجد نقطة تقاطع هذين المستقيمين.
اكتب أدناه:
________________

إجابه:
تقاطع هذه الخطوط هو (3.5، -1.5)

توضيح:
أوجد ميل الخط m = (y2 & # 8211 y1) / (x2 & # 8211 x1) حيث (x2، y2) = (2، -3) و (x1، y1) = (6، 1)
المنحدر = (-3 -1) / (2 & # 8211 6) = -4 / -4 = 1
عوّض بقيمة م وأي من الزوج المرتب (س ، ص) في صيغة المعادلة بنقطة الميل: y & # 8211 y1 = m (x & # 8211 x1)
y & # 8211 1 = 1 (x & # 8211 6)
y & # 8211 1 = x & # 8211 6
ص = س & # 8211 6 + 1
س & # 8211 ص = 5
أوجد ميل الخط n = (y2 & # 8211 y1) / (x2 & # 8211 x1) حيث (x2، y2) = (5، -6) and (x1، y1) = (2، 3)
المنحدر = (-6 -3) / (5 & # 8211 2) = -9/3 = -3
عوّض بقيمة م وأي من الزوج المرتب (س ، ص) في صيغة المعادلة بنقطة الميل: y & # 8211 y1 = m (x & # 8211 x1)
y & # 8211 3 = -3 (x & # 8211 2)
y & # 8211 3 = -3x + 6
ص = -3 س + 6 + 3
3 س + ص = 9
أضف المعادلات
س & # 8211 ص = 5
+ (3 س + ص = 9)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
س & # 8211 ص + 3 س + ص = 5 + 9
4 س = 14
س = 14/4 = 3.5
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
3.5 & # 8211 ص = 5
3.5 & # 8211 y & # 8211 3.5 = 5 & # 8211 3.5
-ص = 1.5
ص = -1.5
تقاطع هذه الخطوط هو (3.5، -1.5)

السؤال 13.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي حصلت سيارتان على تغيير الزيت في نفس متجر السيارات. يفرض المتجر رسومًا على العملاء مقابل كل لتر من النفط بالإضافة إلى رسوم ثابتة للعمالة. يتطلب تغيير الزيت لسيارة واحدة 5 ليترات من النفط وتكلفة 22.45 دولارًا. تطلب تغيير الزيت للسيارة الأخرى 7 ليترات من الزيت وبتكلفة 25.45 دولارًا. كم هي أجرة العمل وكم هو كل لتر من النفط؟
رسوم العمل: ________ دولار
ربع نفط: ________ دولار

إجابه:
رسوم العمل: 14.95 دولار
ربع نفط: 1.5 دولار

توضيح:
5 س + ص = 22.45
7 س + ص = 25.45
حيث x هي تكلفة الوحدة لترات من النفط و y هي الرسوم الثابتة للعمالة
اطرح المعادلات
5 س + ص = 22.45
- (7 س + ص = 25.45)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
5x + y & # 8211 7x & # 8211 y = 22.45 & # 8211 25.45
-2 س = -3
س = -3 / -2 = 1.5
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
5 (1.5) + ص = 22.45
7.5 + y & # 8211 7.5 = 22.45 & # 8211 7.5
ص = 14.95
تبلغ رسوم العمل 14.95 دولارًا أمريكيًا وتبلغ تكلفة الوحدة ربع لتر من النفط 1.5 دولارًا أمريكيًا

السؤال 14.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي لاحظ مدير المبيعات أن عدد الوحدات المباعة لنمطي تي شيرت ، النمط A والنمط B ، كان هو نفسه خلال شهري يونيو ويوليو. في يونيو ، بلغ إجمالي المبيعات 2779 دولارًا أمريكيًا للنمطين ، مع بيع A مقابل 15.95 دولارًا لكل قميص وبيع B مقابل 22.95 دولارًا لكل قميص. في يوليو ، بلغ إجمالي مبيعات الطرازين 2385.10 دولارًا أمريكيًا ، مع بيع أ بنفس السعر وبيع ب بخصم 22٪ من سعر يونيو. كم عدد القمصان التي تم بيعها من كل طراز في شهري يونيو ويوليو مجتمعين؟
________ تم بيع قمصان من الطراز A والنمط B في شهري يونيو ويوليو.

إجابه:
15.95 × + 22.95 ص = 2779
15.95 س + 17.9 ص = 2385.10
حيث x هو رقم الستايل A القميص و y هو رقم القميص ذو النمط B
في يوليو ، بلغ سعر قميص الستايل B 22٪ من سعر قميص الستايل B في يونيو ، ومن ثم 0.78 (22.95) = 17.90
اطرح المعادلات
15.95 × + 22.95 ص = 2779
- (15.95x + 17.9y = 2385.10)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
15.95x + 22.95 & # 8211 15.95x & # 8211 17.9y = 2779 & # 8211 2385.10
5.05 ص = 393.9
ص = 393.9 / 5.05 = 78
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
15.95 × +22.95 (78) = 2779
15.95x + 1790.1 & # 8211 1790.1 = 2779 & # 8211 1790.1
15.95x = 988.9
س = 988.9 / 15.95 = 62
عدد الستايل الذي تم بيعه من قميص تي شيرت في يونيو هو 62.
نظرًا لأن عدد القمصان المباعة في كلا الرقمين هو نفسه ، فإن العدد الإجمالي = 2. 62 = 124.
عدد قمصان B التي تم بيعها في يونيو هو 78.
نظرًا لأن عدد القمصان المباعة في كلا الرقمين هو نفسه ، فإن العدد الإجمالي = 2. 78 = 156.

السؤال 15.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي تكلف تذاكر الكبار لمباراة كرة سلة 5 دولارات. تكلفة تذاكر الطلاب 1 دولار. تم جمع ما مجموعه 2874 دولارًا أمريكيًا من بيع 1246 تذكرة. كم عدد التذاكر التي تم بيعها من كل نوع؟
شكل 14
________ تذاكر الكبار
________ تذاكر الطلاب

إجابه:
407 تذاكر للبالغين
839 تذاكر للطلاب

توضيح:
س + ص = 1246
5 س + ص = 2874
حيث x هو عدد تذاكر البالغين المباعة و y هو عدد تذاكر الطلاب المباعة.
اطرح المعادلات
س + ص = 1246
- (5 س + ص = 2874)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
x + y & # 8211 5x & # 8211 y = 1246 & # 8211 2874
-4 س = -1628
س = -1628 / -4 = 407
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
407 + ص = 1246
407 + y & # 8211407 = 1246 & # 8211407
ص = 839
عدد تذاكر البالغين المباعة 407 وتذاكر الطلاب المباعة 839.

التركيز على التفكير العالي في النظام & # 8211 حل الأنظمة عن طريق الحذف & # 8211 الصفحة رقم 250

السؤال 16.
توصيل الأفكار الرياضية هل من الممكن حل النظام
( اليسار < ابدأ3 س -2 ص = 10 س + 2 ص = 6 نهايةحق.)
باستخدام الاستبدال؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح كيف. ما هي الطريقة الأكثر فعالية ، الاستبدال أو الحذف؟ لماذا ا؟
________

إجابه:
يمكن حل النظام بالتعويض حيث يمكن عزل x في المعادلة 2.
3 س & # 8211 2 ص = 10
س + 2 ص = 6
حل معادلة x في المعادلة.
س = -2 ص + 6
عوّض بالتعبير عن x في المعادلة الأخرى وحل.
3 (-2y + 6) -2y = 10
-6y + 18 & # 8211 2y = 10
-8 ص + 18 = 10
-8 ص = -8
ص = -8 / -8 = 1
عوّض بقيم y في إحدى المعادلات وحل من أجل المتغير الآخر x.
س + 2 (1) = 6
س = 4
الحل هو (4، 1)
نظرًا لأن القهوة إذا كان المتغير y معكوسًا ، فسيتم إزالته وحلها من أجل x في عدد أقل من الخطوات.
سيكون القضاء أكثر كفاءة.

السؤال 17.
استخدمت جيني الاستبدال لحل النظام
( اليسار < ابدأ2x + y = 8 x-y = 1 endحق.). حلها مبين أدناه.
الخطوة 1: y = -2x + 8 حل المعادلة الأولى من أجل y.
الخطوة 2: 2x + (-2x + 8) = 8 استبدل قيمة y في المعادلة الأصلية.
الخطوة 3: 2x & # 8211 2x + 8 = 8 استخدم خاصية التوزيع.
الخطوة 4: 8 = 8 بسّط.
أ. اشرح الخطأ اشرح الخطأ الذي ارتكبته جيني. صف كيفية تصحيحها.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
2 س + ص = 8
س & # 8211 ص = 1
يجب استبدال المعادلة المعاد كتابتها في المعادلة الأصلية الأخرى
الخطأ هو أن Jenny حلّت من أجل y في المعادلة الأولى واستبدلت بها في المعادلة الأصلية.
س & # 8211 (-2 س + 8) = 1
3x & # 8211 8 = 1
3 س = 9
س = 9/3 = 3
س = 3

السؤال 17.
ب. توصيل الأفكار الرياضية هل كانت إضافة المعادلات طريقة أفضل لحل النظام؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح السبب.
________

توضيح:
كمعامل ، إذا كان المتغير y هو عكس ذلك ، فسيتم إزالته وحلها من أجل x في عدد أقل من الخطوات.

الممارسة الإرشادية & # 8211 حل الأنظمة بالحذف بالضرب & # 8211 الصفحة رقم 256

السؤال رقم 1.
حل النظام
( اليسار < ابدأ3 س-ص = 8 - 2 س + 4 ص = -12 نهايةحق.)
بالضرب والجمع.

اكتب أدناه:
______________

إجابه:
( اليسار < ابدأ3 س-ص = 8 - 2 س + 4 ص = -12 نهايةحق.)
اضرب كل حد في المعادلة الأولى في 4 لتحصل على معاملات معاكسة للحدود y.
4 (3x & # 8211 ص = 8)
12x & # 8211 4y = 32
أضف المعادلة الثانية إلى المعادلة الجديدة
12x & # 8211 4y = 32
+ (- 2 س + 4 ص = -12)
أضف للتخلص من المتغير y
10x = 20
اقسم كلا الجانبين على 10
س = 20/10 = 2
عوض بإحدى المعادلات الأصلية وحل من أجل y
ص = 3 (2) & # 8211 8 = -1
S0، (2، -2) هو حل النظام.

حل كل جملة من المعادلات بضربها أولًا.

توضيح:
س + 4 ص = 2
2 س + 5 ص = 7
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (س + 4 ص = 2)
2 س + 8 ص = 4
اطرح المعادلات
2 س + 8 ص = 4
- (2 س + 5 ص = 7)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
2x + 8y & # 8211 2x & # 8211 5y = 4 & # 8211 7
3 ص = -3
ص = -3/3 = -1
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
س + 4 (-1) = 2
x & # 8211 4 + 4 = 2 + 4
س = 6
الحل: (6، -1)

توضيح:
( اليسار < ابدأ3 س + ص = -1 2 س + 3 ص = 18 نهايةحق.)
لحذف حد y ، اضرب المعادلة الأولى في 3
3 (3 س + ص = -1)
9 س + 3 ص = -3
اطرح المعادلات
9 س + 3 ص = -3
- (2 س + 3 ص = 18)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
9x + 3y & # 8211 2x & # 8211 3y = -3 -18
7 س = -21
س = -21/7
س = -3
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
3 (-3) + ص = -1
-9 + ص + 9 = -1 + 9
ص = 8
الحل: (-3، 8)

السؤال 4.
( اليسار < ابدأ2 س + 8 ص = 21 6 س-4 ص = 14 نهايةحق.)
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
الروح هي (3.5 ، 1.75)

توضيح:
( اليسار < ابدأ2 س + 8 ص = 21 6 س-4 ص = 14 نهايةحق.)
للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (6x & # 8211 4y = 14)
2 س + 8 ص = 21
أضف المعادلات
2 س + 8 ص = 21
+ (12x & # 8211 8y = 28)
تم حذف y فقد عكس المعاملات. حل ل x
2 س + 8 ص + 12 س & # 8211 8 ص = 21 + 28
14 س = 49
س = 49/14 = 3.5
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
6 (3.5) & # 8211 4y = 14
21 & # 8211 4y & # 8211 21 = 14 & # 8211 21
-4 ص = -7
ص = -7 / -4 = 1.75
الروح هي (3.5 ، 1.75)

توضيح:
( اليسار < ابدأ2 س + ص = 3 - س + 3 ص = -12 نهايةحق.)
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (-x + 3y = -12)
-2 س + 6 ص = -24
أضف المعادلات
2 س + ص = 3
+ (- 2 س + 6 ص = -24)
تم حذف x فقد عكس المعاملات. حل من أجل y
2x + y & # 8211 2x + 6y = 3 & # 8211 24
7 ص = -21
ص = -21/7 = -3
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
-x + 3 (-3) = -12
-x -9 + 9 = -12 + 9
-x = -3
س = 3
الروح (3 ، -3)

السؤال 6.
( اليسار < ابدأ6 س + 5 ص = 19 2 س + 3 ص = 5 نهايةحق.)
(________ , ________ )

إجابه:
الروح (4، -1)

توضيح:
( اليسار < ابدأ6 س + 5 ص = 19 2 س + 3 ص = 5 نهايةحق.)
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الثانية في 3
3 (2 س + 3 ص = 5)
6 س + 9 ص = 15
اطرح المعادلات
6 س + 5 ص = 19
- (6 س + 9 ص = 15)
تم حذف x فقد عكس المعاملات. حل من أجل y
6x + 5y & # 8211 6x & # 8211 9y = 19 & # 8211 15
-4 ص = 4
ص = 4 / -4 = -1
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
2 س + 3 (-1) = 5
2x & # 8211 3 + 3 = 5 + 3
2 س = 8
س = 8/2 = 4
الروح (4، -1)

السؤال 7.
( اليسار < ابدأ2 س + 5 ص = 16 - 4 س + 3 ص = 20 نهايةحق.)
(________ , ________ )

إجابه:
الروح هي (-2، 4)

توضيح:
( اليسار < ابدأ2 س + 5 ص = 16 - 4 س + 3 ص = 20 نهايةحق.)
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الأولى في 2
2 (2 س + 5 ص = 16)
4 س + 10 ص = 32
أضف المعادلات
4 س + 10 ص = 32
+ (- 4x + 3y = 20)
تم حذف x فقد عكس المعاملات. حل من أجل y
10 ص + 3 ص = 32 + 20
13 ص = 52
ص = 52/13 = 4
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
2 س + 5 (4) = 16
2 س + 20 & # 8211 20 = 16 & # 8211 20
2 س = -4
س = -4/2 = -2
الروح هي (-2، 4)

السؤال 8.
أنفق برايس 5.26 دولار على بعض التفاح بسعر 0.64 لكل منها وبعض الكمثرى بسعر 0.45 لكل منها. في متجر آخر ، كان بإمكانه شراء نفس العدد من التفاح بسعر .32 لكل منها ونفس العدد من الكمثرى عند 0.39 لكل منها ، بتكلفة إجمالية قدرها 3.62 دولار. كم عدد التفاح وكم الكمثرى التي اشتراها برايس؟
أ. اكتب معادلات لتمثيل نفقات برايس في كل متجر
أول متجر: _____________
المتجر الثاني: _____________
اكتب أدناه:
_____________

إجابه:
المتجر الأول: 0.64x + 0.45y = 5.26
المخزن الثاني: 0.32x + 0.39y = 3.62

توضيح:
أول مخزن = 0.64 س + 0.45 ص = 5.26
المخزن الثاني = 0.32x + 0.39y = 3.62
حيث x هو عدد التفاح و y هو عدد الكمثرى.

السؤال 8.
ب. حل النظام.
عدد التفاحات: _______
عدد الكمثرى: _______

إجابه:
عدد التفاحات: 4
عدد الكمثرى: 6

توضيح:
أول مخزن = 0.64 س + 0.45 ص = 5.26
المخزن الثاني = 0.32x + 0.39y = 3.62
اضرب ب 100
64 س + 45 ص = 526
32 س + 39 ص = 362
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (32 س + 39 ص = 362)
64 س + 45 ص = 526
اطرح المعادلات
64 س + 45 ص = 526
- (64 × + 78 ص = 724)
تم حذف x فقد عكس المعاملات. حل من أجل y
64x + 45y & # 8211 64x & # 8211 78y = 526 & # 8211724
33 ص = -198
ص = -198 / -33 = 6
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
32 س + 39 (6) = 362
32x + 234 & # 8211234 = 362 & # 8211234
32 س = 128
س = 128/32 = 4
اشترى 4 تفاحات و 6 كمثرى.

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 9.
عند حل نظام بالضرب ثم الجمع أو الطرح ، كيف تقرر الجمع أو الطرح؟
اكتب أدناه:
_____________

إجابه:
إذا كان المتغير له نفس المعامل ولكنه إشارة معكوسة ، نضيف وإذا كان لهما نفس الإشارة ، فإننا نطرح.

حل النظم بالحذف بالضرب & # 8211 الصفحة رقم 257

السؤال 10.
اشرح الخطأ الذي استخدمه جوين للتخلص من الضرب لحل النظام
( اليسار < ابدأ2x + 6y = 3 x-3y = -1 النهايةحق.)
يظهر عملها للعثور على x. اشرح خطأها. ثم حل النظام.
2 (س - 3 ص) = -1
2 س - 6 ص = -1
+ 2 س + 6 ص = 3
_____________
4 س + 0 ص = 2
س = ( فارك <1> <2> )
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
2 س + 6 ص = 3
x & # 8211 3y = -1
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (س & # 8211 3 ص = -1)
2x & # 8211 6y = -2
الخطأ هو أن Gnew لم يضرب التعبير بالكامل بـ 2.
أضف المعادلات
2 س + 6 ص = 3
+ (2x & # 8211 6y = -2)
تم حذف y فقد عكس المعاملات. حل ل x
2x + 6y + 2x & # 8211 6y = 3 & # 8211 2
4x = 1
س = 1/4
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
x & # 8211 3y = -1
1/4 & # 8211 3y & # 8211 1/4 = -1 -1 / 4
-3 ص = -5 / 4
ص = -5/4 (-3) = 5/12

السؤال 11.
تمثل مشاكل العالم الحقيقي في Raging River Sports ، تُباع أكياس النوم المليئة بالبوليستر مقابل 79 دولارًا. تباع أكياس النوم المملوءة بأسفل مقابل 149 دولارًا. في أسبوع واحد ، باع المتجر 14 كيس نوم مقابل 1456 دولارًا.
أ. لنفترض أن x يمثل عدد أكياس تعبئة البوليستر المباعة ودع y يمثل عدد أكياس التعبئة المباعة. اكتب مجموعة معادلات يمكنك حلها لإيجاد عدد كل نوع مباع.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
س + ص = 14
79 س + 149 ص = 1456
حيث x هي أكياس تعبئة البوليستر و y هي عدد أكياس التعبئة السفلية

السؤال 11.
ب. اشرح كيف يمكنك حل نظام y عن طريق الضرب والطرح.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
س + ص = 14
79 س + 149 ص = 1456
اضرب المعادلة الثانية في 79. اطرح المعادلة الجديدة من المعادلة الأولى وحل المعادلة الناتجة لـ y.

السؤال 11.
ج. اشرح كيف يمكنك حل نظام y باستخدام التعويض.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
حل المعادلة الثانية من أجل x. عوّض بالتعبير عن x في المعادلة الأولى وحل المعادلة الناتجة من أجل y.

السؤال 11.
د. كم عدد كل نوع من الحقائب التي تم بيعها؟
_______ تعبئة بوليستر
_______ ملء أسفل

إجابه:
9 حشوة بوليستر
5 ملء أسفل

توضيح:
س + ص = 14
79 س + 149 ص = 1456
لحذف حدود x ، اضرب المعادلة الثانية في 2
79 (س + ص = 14)
79 س + 149 ص = 1456
اطرح المعادلات
79 س + 79 ص = 1106
- (79 × + 149 ص = 1456)
تم حذف x فقد عكس المعاملات. حل من أجل y
79x + 79y & # 8211 79x & # 8211149y = 1106 & # 8211 1456
-70 ص = -350
ص = -350 / -70 = 5
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
س + 5 = 14
س = 14 & # 8211 5
س = 9
تم بيع 9 أكياس تعبئة بوليستر و 5 أكياس تعبئة أسفل.

السؤال 12.
ضعف عدد زائد ضعف عدد ثاني هو 310. الفرق بين الأرقام هو 55. أوجد الأرقام عن طريق كتابة وحل نظام معادلات. اشرح كيف قمت بحل النظام.
س = _______
ص = _______

توضيح:
2 س + 2 ص = 310
س & # 8211 ص = 55
للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (س & # 8211 ص = 55)
2 س & # 8211 2 ص = 110
أضف المعادلات
2 س + 2 ص = 310
+ (2x & # 8211 2y = 110)
تم حذف y فقد عكس المعاملات. حل ل x
2 س + 2 ص + 2 س & # 8211 2 ص = 310 + 110
4 س = 420
س = 420/4 = 105
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
105 & # 8211 ص = 55
ص = 105 & # 8211 55
ص = 50
الحل هو (105، 50)

حل النظم بالحذف بالضرب & # 8211 الصفحة رقم 258

السؤال 13.
تمثيل مشاكل العالم الواقعي في مزرعة تبيع فطائر التفاح ومرطبانات عصير التفاح. يوضح الجدول عدد التفاح اللازم لعمل فطيرة ووعاء من عصير التفاح. بالأمس ، قطفت المزرعة 169 تفاحًا من نوع Granny Smith و 95 تفاحة من Red Delicious. كم عدد الفطائر والجرار من عصير التفاح التي يمكن للمزرعة صنعها إذا تم استخدام كل تفاحة؟

_______ فطائر
_______ برطمانات من عصير التفاح

إجابه:
21 فطيرة
16 جرة من عصير التفاح

توضيح:
5 س + 4 ص = 169
3 س + 2 ص = 95
حيث x هو عدد التفاح اللازم للفطيرة و y هو عدد التفاح لوعاء عصير التفاح
للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (3 س + 2 ص = 95)
6 س + 4 ص = 190
اطرح المعادلات
5 س + 4 ص = 169
& # 8211 (6 س + 4 ص = 190)
تم حذف y فقد عكس المعاملات. حل ل x
5x + 4y & # 8211 6x & # 8211 4y = 169 & # 8211190
-x = -21
س = -21 / -1 = 21
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
5 (21) + 4 ص = 169
105 + 4y & # 8211105 = 169 & # 8211105
4 ص = 64
ص = 64/4 = 16
عدد التفاح المطلوب للفطيرة هو 21 وعدد التفاح في جرة عصير التفاح هو 16.

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 14.
اصنع تخمينًا حاولت لينا حل نظام من المعادلات الخطية جبريًا وفي هذه العملية وجدت المعادلة 5 = 9. اعتقدت لينا أن هناك شيئًا خاطئًا ، لذلك قامت برسم المعادلات ووجدت أنها خطوط متوازية. اشرح ما يمكن أن يعنيه الرسم البياني والمعادلة لينا.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الرسم البياني Lena & # 8217s هو خط متوازي مما يعني أن الرسم البياني لا يتقاطع مع بعضه البعض ، وبالتالي ليس لديهم حلول. المعادلة 5 = 9 تعني حذف المتغيرات وهذه العبارة غير صحيحة. هذا النظام الخطي ليس له حل.

السؤال 15.
ضع في اعتبارك النظام
( اليسار < ابدأ2 س + 3 ص = 6 3 س + 7 ص = -1 نهايةحق.)
أ. توصيل الأفكار الرياضية وصف كيفية حل النظام بضرب المعادلة الأولى في الثابت والطرح. لماذا قد تكون هذه الطريقة أقل من مثالية؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
ضرب المعادلة الأولى في الثابت والطرح
2 س + 3 ص = 6
3 س + 7 ص = -1
اضرب المعادلة الأولى في 1.5 واطرحها. سيكون هذا أقل من مثالي لأنك ستدخل الكسور العشرية في عملية الحل.

السؤال 15.
ب. استخلاص النتائج هل من الممكن حل النظام بضرب كلتا المعادلتين في ثوابت عدد صحيح؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح كيف.
اكتب أدناه:
____________

توضيح:
اضرب المعادلة الأولى في 3 والمعادلة الثانية في 2. كلا المعاملين على المدى x سيكونان 6. قم بحل المعادلة بحذف حدود x باستخدام الطرح.

السؤال 15.
ج. استخدم إجابتك من الجزء ب لحل النظام.
(_______ , _______)

توضيح:
2 س + 3 ص = 6
3 س + 7 ص = -1
اضرب المعادلة الأولى في 3 والمعادلة الثانية في 2.
3 (2 س + 3 ص = 6)
2 (3 س + 7 ص = -1)
اطرح المعادلات
6 س + 9 ص = 18
- (6 س + 14 ص = -2)
تم حذف x فقد عكس المعاملات. حل من أجل y
6x + 9y & # 8211 6x & # 8211 14y = 18 + 2
-5 ص = 20
ص = 20 / -5 = -4
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
2 س + 3 (-4) = 6
2 س = 18
س = 18/2 = 9
الحل هو (9، -4)

الممارسة الإرشادية & # 8211 حل حل الأنظمة الخاصة & # 8211 الصفحة رقم 262

استخدم الرسم البياني لحل كل نظام من المعادلات الخطية

السؤال رقم 1.
أ ( يسار < ابدأ4x-2y = -6 2x-y = 4 endحق.)
ب ( يسار < ابدأ4x-2y = -6 x + y = 6 النهايةحق.)
ج. ( يسار < ابدأ2x-y = 4 6x-3y = -12 endحق.)
الخطوة 1 حدد ما إذا كانت الرسوم البيانية للمعادلات في كل نظام تتقاطع أم متوازية أم أنها نفس الخط.

النظام أ: الرسوم البيانية __________
النظام ب: الرسوم البيانية __________
النظام ج: الرسوم البيانية __________

إجابه:
النظام أ: الرسوم البيانية متوازية
النظام ب: الرسوم البيانية متقاطعة
النظام ج: الرسوم البيانية هي نفس الخط

توضيح:
النظام أ: 4x & # 8211 2y = -6
2x & # 8211 ص = 4
النظام ب: 4x & # 8211 2y = -6
س + ص = 6
النظام C: 2x & # 8211 y = 4
6 س & # 8211 3 ص = 12

السؤال رقم 1.
الخطوة 2 حدد عدد النقاط المشتركة بين الرسوم البيانية.
أ. تشترك الخطوط المتقاطعة في _______________ نقطة (نقاط).
ب. الخطوط المتوازية لها _______________ نقطة (نقاط) مشتركة.
ج. نفس السطور لها ___________ نقطة (نقاط) مشتركة.
أ. __________
ب.__________
ج. __________

إجابه:
أ. تشترك الخطوط المتقاطعة في نقطة (نقاط) واحدة.
ب. الخطوط المتوازية ليس لها نقطة (نقاط) مشتركة.
ج. نفس السطور لديها عدد لا نهائي من النقاط المشتركة.

تفسير:
من الرسوم البيانية ،
تشترك الخطوط المتقاطعة في نقطة (نقاط) واحدة
الخطوط المتوازية ليس لها نقطة (نقاط) مشتركة
نفس السطور لديها عدد لا نهائي من النقاط المشتركة

السؤال رقم 1.
الخطوة 3 حل كل نظام.
يشتمل النظام A على __________ من النقاط المشتركة ، لذا فهو يحتوي على حل __________.
النظام B لديه __________ نقطة مشتركة. هذه النقطة هي الحل ، __________.
لدى النظام C __________ نقطة مشتركة. ________ الأزواج المرتبة على السطر ستجعل المعادلتين صحيحين.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
لا توجد نقاط مشتركة بين النظام "أ" ، لذا لا يوجد حل له. يشترك النظام "ب" في نقطة واحدة. هذه النقطة هي الحل ، (1،5). يحتوي النظام C على عدد لا حصر له من النقاط المشتركة. جميع الأزواج المرتبة على الخط ستجعل المعادلتين صحيحين.

تفسير:
عدد الحلول لكل نظام
لا توجد نقاط مشتركة بين النظام "أ" ، لذا لا يوجد حل له. يشترك النظام "ب" في نقطة واحدة. هذه النقطة هي الحل ، (1،5). يحتوي النظام C على عدد لا حصر له من النقاط المشتركة. جميع الأزواج المرتبة على الخط ستجعل المعادلتين صحيحين.

حل كل نظام. قل كم عدد الحلول لكل نظام.

إجابه:
عدد لا نهائي من الحلول

تفسير:
س & # 8211 3 ص = 4
-5 س + 15 ص = -20
لحذف حد y ، اضرب المعادلة الأولى في 5
5 (س & # 8211 3 ص = 4)
5 س & # 8211 15 ص = 20
أضف المعادلات
5x & # 8211 15y = 20
+ (- 5 س + 15 ص = -20)
يتم حذف x و y لأنه قد عكس المعاملات.
5x & # 8211 15y & # 8211 5x + 15y = 20 & # 8211 20
0 = 0
البيان صحيح ، وبالتالي فإن الحل يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

تفسير:
6 س + 2 ص = -4
3 س + ص = 4
للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الثانية في 5
2 (3 س + ص = 4)
6 س + 2 ص = 8
اطرح المعادلات
6 س + 2 ص = -4
- (6 س + 2 ص = 8)
يتم حذف x و y لأنه قد عكس المعاملات.
6x + 2y & # 8211 6x & # 8211 2y = -4 -8
0 = -12
البيان خاطئ ، وبالتالي لا يوجد حل للحل.

تفسير:
6x & # 8211 2y = -10
3 س + 4 ص = -25
للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الأولى في 2
2 (6x & # 8211 2y = -10)
12x & # 8211 4y = -20
أضف المعادلات
12x & # 8211 4y = -20
+ (3 س + 4 ص = -25)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x.
12x & # 8211 4y + 3x + 4y = -20 & # 8211 25
15x = -45
س = -45/15 = -3
عوّض بـ x في أي من المعادلات الأصلية وحل من أجل y
3 (-3) + 4 ص = -25
-9 + 4 ص + 9 = -25 + 9
4 ص = -16
ص = -16/4
ص = -4
يوجد حل واحد (-3، -4)

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 5.
عندما تحل مجموعة من المعادلات جبريًا ، كيف يمكنك معرفة ما إذا كان النظام يحتوي على صفر أو واحد أو عدد لا نهائي من الحلول؟
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
عندما يتم حذف x و y وتكون العبارة صحيحة ، يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.
عندما يتم حذف x و y وتكون العبارة خاطئة ، لا توجد حلول للنظام.
عندما يكون لدى النظام حل واحد عن طريق الحل ، يكون لدى النظام حل واحد.

8.5 الممارسة المستقلة & # 8211 حل الأنظمة الخاصة & # 8211 الصفحة رقم 263

حل كل نظام من خلال الرسوم البيانية. تحقق من إجابتك جبريًا.

السؤال 6.
( اليسار < ابدأ-2x + 6y = 12 x-3y = 3 النهايةحق.)

حل: ______________
___________

إجابه:
( اليسار < ابدأ-2x + 6y = 12 x-3y = 3 النهايةحق.)
ارسم المعادلات على نفس المستوى الإحداثي
لا يوجد حل لأن المعادلات متوازية

للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الثانية في 2
2 (س & # 8211 3 ص = 3)
2x & # 8211 6y = 6
أضف المعادلات
-2 س + 6 ص = 12
2x & # 8211 6y = 6
يتم حذف x و y لأنه قد عكس المعاملات.
-2x + 6y + 2x & # 8211 6y = 12 + 6
0 = 18
البيان خاطئ ، وبالتالي لا يوجد حل للنظام.

السؤال 7.
( اليسار < ابدأ15x + 5y = 5 3x + y = 1 endحق.)

حل: ______________
___________

إجابه:
( اليسار < ابدأ15x + 5y = 5 3x + y = 1 endحق.)
ارسم المعادلات على نفس المستوى الإحداثي

عدد لا نهائي من الحلول حيث تتداخل المعادلات
للتخلص من حد y ، اضرب المعادلة الثانية في 5
5 (3 س + ص = 1)
15x + 5y = 5
تربيع المعادلات
15x + 5y = 5
- (15 × + 5 ص = 5)
يتم حذف x و y لأنه قد عكس المعاملات.
15x + 5y -15x & # 8211 5y = 5 & # 8211 5
0 = 0
البيان صحيح ، وبالتالي فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

14 ، حدد عدد الحلول لكل نظام من المعادلات الخطية

السؤال 8.
نظام له رسوم بيانية نفس الميل ولكن تقاطعات y مختلفة
___________

تفسير:
المعادلات متوازية
لا توجد حلول

السؤال 9.
نظام له رسومه البيانية نفس تقاطعات y لكن منحدرات مختلفة
___________

تفسير:
المعادلات متقاطعة
حل واحد

السؤال 10.
نظام له رسوم بيانية نفس تقاطعات y ونفس المنحدرات
___________

إجابه:
العديد من الحلول بلا حدود

تفسير:
المعادلات متداخلة
العديد من الحلول بلا حدود

السؤال 11.
نظام يحتوي رسومه البيانية على تقاطعات y مختلفة ومنحدرات مختلفة
___________

تفسير:
المعادلات متقاطعة
حل واحد

تفسير:
المعادلات متوازية
لا توجد حلول

تفسير:
المعادلات متقاطعة
حل واحد

السؤال 14.
النظام الذي تم رسم رسوماته البيانية باستخدام جداول القيم هذه:

___________

تفسير:
المعادلات متوازية الميل هو نفسه لكلتا المعادلتين ولكن تقاطع y مختلف.
لا توجد حلول

السؤال 15.
رسم الاستنتاجات يظهر الرسم البياني للنظام الخطي في كتاب مدرسي. يمكنك أن ترى أن الخطوط لا تتقاطع على الرسم البياني ، لكنها أيضًا لا تبدو متوازية. هل يمكنك أن تستنتج أن النظام ليس لديه حل؟ يشرح.
___________

لا ، على الرغم من أن الخطوط لا تتقاطع في الرسم البياني ، إلا أنها تتقاطع عند نقطة غير موجودة في الرسم البياني. لإثبات أن النظام ليس له حل ، يجب عليك القيام بذلك جبريًا

حل الأنظمة الخاصة & # 8211 صفحة رقم 264

السؤال 16.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي تذهب مجموعتان مدرسيتان إلى حلبة تزلج على الجليد. تدفع مجموعة واحدة 243 دولارًا مقابل 36 قبولًا و 21 استئجارًا للتزلج. تدفع المجموعة الأخرى 81 دولارًا مقابل 12 قبولًا و 7 إيجارات للتزلج. دع x يمثل تكلفة الدخول ودع y يمثل تكلفة استئجار أداة تزلج. هل توجد معلومات كافية لإيجاد قيم x و y؟ يشرح.

___________

إجابه:
36 س + 21 ص = 243
12 س + 7 ص = 81
حيث x هي تكلفة القبول و y هي تكلفة إيجارات الحصة.
على الرغم من أنه يمكن استخدام المعلومات لتطوير نظام معادلة خطية ، حيث تحتوي كل معادلة على متغيرين عند حل النظام ، يكون عدد الحلول غير محدود ، ولا يمكن تحديد قيم x و y.
لا

السؤال 17.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي يتدرب خوان وتوري على لقاء مضمار. يبدأون تدريباتهم في نفس النقطة ، لكن توري يبدأ بعد دقيقة واحدة من خوان. كلاهما يعمل بسرعة 704 أقدام في الدقيقة. هل يلحق توري اللحاق بخوان؟ يشرح.
___________

إجابه:
لا يتم تشغيل كل من خوان وتوري بنفس المعدل ، لذا فإن الخطوط التي تمثل المسافات التي ركضها كل منهما تكون متوازية. لا يوجد حل للنظام

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 18.
تبرير المنطق يتكون النظام الخطي بدون حل من المعادلة y = 4x - 3 ومعادلة ثانية بالصيغة y = mx + b. ماذا يمكنك أن تقول عن قيم م وب؟ اشرح أسبابك.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
ص = 4x & # 8211 3
ص = م س + ب
نظرًا لعدم وجود حلول للنظام ، فإن المعادلتين متوازيتان. قيمة المنحدر ، م ستكون هي نفسها أي 4. قيمة تقاطع ص ، ب يمكن أن تكون أي رقم باستثناء -3 لأن ب مختلفة عن الخطوط المتوازية.

السؤال 19.
تبرير الاستدلال النظام الخطي الذي يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول يتكون من المعادلة 3x + 5 = 8 ومعادلة ثانية بالصيغة Ax + By = C. ماذا يمكنك أن تقول عن قيم A و B و C؟ اشرح أسبابك.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
3 س + 5 = 8
الفأس + ب = ج
نظرًا لأن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، يجب أن تكون قيم A و B و C هي نفس مضاعفات 3 و 5 و 8 على التوالي. تمثل المعادلتان سطرًا واحدًا ، لذا يجب أن تكون معاملات وثوابت إحدى المعادلات من مضاعفات الأخرى.

السؤال 20.
ارسم استنتاجات كل من النقطتين (2 ، -2) و (4 ، -4) هي حلول لنظام المعادلات الخطية. ما هي الاستنتاجات التي يمكنك التوصل إليها حول المعادلات والرسوم البيانية الخاصة بهم؟
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
إذا كان النظام يحتوي على أكثر من حل ، فإن المعادلات تمثل نفس الخط ولديها عدد لا نهائي من الحلول.

جاهز للمضي قدمًا؟ & # 8211 نموذج اختبار & # 8211 رقم الصفحة 265

8.1 حل أنظمة المعادلات الخطية بالرسوم البيانية

حل كل نظام من خلال الرسوم البيانية.

السؤال رقم 1.
( اليسار < ابدأص = س -1 ص = 2 س -3 نهايةحق.)

(________ , ________)

تفسير:
ص = س & # 8211 1
ص = 2 س & # 8211 3
ارسم المعادلات على نفس المستوى الإحداثي

حل النظام هو نقطة التقاطع
الحل هو (2، 1)

السؤال 2.
( اليسار < ابدأس + 2 ص = 1 - س + ص = 2 نهايةحق.)

(________ , ________)

تفسير:
س + 2 ص = 1
-x + ص = 2
ارسم المعادلات على نفس المستوى الإحداثي

حل النظام هو نقطة التقاطع
الحل هو (-1، 1)

8.2 حل الأنظمة بالتعويض

حل كل جملة من المعادلات بالتعويض.

تفسير:
ص = 2 س
س + ص = -9
عوّض بـ y من المعادلة 1 في المعادلة الأخرى.
س + 2 س = -9
3 س = -9
س = -9/3
س = -3
ثم ص = 2 (-3) = -6
الحل هو (-3، -6)

تفسير:
3 س & # 8211 2 ص = 11
س + 2 ص = 9
حل المعادلة 2 من أجل x
س = & # 8211 2 ص + 9
عوّض بـ x من المعادلة 2 في المعادلة الأخرى
3 (-2y + 9) & # 8211 2y = 11
-6 ص + 27 -2 ص = 11
-8 ص = -16
ص = -16 / -8 = 2
عوّض بـ y في أي من المعادلات لإيجاد x
س + 2 (2) = 9
س + 4 & # 8211 4 = 9 & # 8211 4
س = 5
الحل هو (5، 2)

8.3 حل الأنظمة عن طريق الحذف

حل كل نظام من المعادلات عن طريق الجمع أو الطرح.

تفسير:
( اليسار < ابدأ3 س + ص = 9 2 س + ص = 5 نهايةحق.)
اطرح المعادلات
3 س + ص = 9
- (2 س + ص = 5)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
3x + y & # 8211 2x & # 8211 y = 9 & # 8211 5
س = 4
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
2 (4) + ص = 5
8 + y & # 8211 8 = 5 & # 8211 8
ص = -3
الحل هو (4، -3)

تفسير:
( اليسار < ابدأ-x-2y = 4 3x + 2y = 4 endحق.)
أضف المعادلات
-x & # 8211 2y = 4
+ (3 س + 2 ص = 4)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
-x & # 8211 2y + 3x + 2y = 4 + 4
2 س = 8
س = 8/2 = 4
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
3 (4) + 2 ص = 4
12 + 2y & # 8211 12 = 4 & # 821112
2 ص = -8
ص = -8/2 = -4
الحل هو (4، -4)

8.4 حل الأنظمة عن طريق الحذف بالضرب

حل كل جملة من المعادلات بضربها أولًا.

تفسير:
( اليسار < ابدأس + 3 ص = -2 3 س + 4 ص = -1 نهايةحق.)
اطرح المعادلات
3 س + 9 ص = -6
- (3 س + 4 ص = -1)
يتم حذف x لأنه قد عكس المعاملات. حل من أجل y
3x + 9y & # 8211 3x & # 8211 4y = -6 + 1
5 ص = -5
ص = -5 / 5
ص = -1
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
س + 3 (-1) = -2
س & # 8211 3 = -2
س = -2 + 3
س = 1
الحل هو (1، -1)

السؤال 8.
( اليسار < ابدأ2 س + 8 ص = 22 3 س -2 ص = 5 نهايةحق.)
(________ , ________)

تفسير:
( اليسار < ابدأ2 س + 8 ص = 22 3 س -2 ص = 5 نهايةحق.)
اضرب المعادلة 2 في 4 بحيث يمكن حذف y
4 (3x & # 8211 2y = 5)
12x & # 8211 8y = 20
أضف المعادلات
2 س + 8 ص = 22
+ (12x & # 8211 8y = 20)
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x
2 س + 8 ص + 12 س & # 8211 8 ص = 22 + 20
14 س = 42
س = 42/14
س = 3
بالتعويض عن y في أي من المعادلتين لإيجاد x
2 (3) + 8 ص = 22
6 + 8 ص = 22
8 ص = 22 & # 8211 6
8 ص = 16
ص = 16/8
ص = 2
الحل هو (3، 2)

8.5 حل الأنظمة الخاصة

حل كل نظام. قل كم عدد الحلول لكل نظام.

تفسير:
( اليسار < ابدأ-2x + 8y = 5 x-4y = -3 النهايةحق.)
اضرب المعادلة 2 في 2 بحيث يمكن حذف y
2 (س & # 8211 4 ص = -3)
2x & # 8211 8y = -6
أضف المعادلات
-2 س + 8 ص = 5
+ (2x & # 8211 8y = -6)
يتم حذف x و y
-2x + 8y + 2x & # 8211 8y = 5 & # 8211 6
0 = -1
البيان خاطئ. ومن ثم ، فإن النظام ليس لديه حل.

إجابه:
عدد لا نهائي من الحلول

تفسير:
( اليسار < ابدأ6x + 18y = -12 x + 3y = -2 endحق.)
اضرب المعادلة 2 في 6 بحيث يمكن حذف x
6 (س + 3 ص = -2)
6 س + 18 ص = -12
اطرح المعادلات
6 س + 18 ص = -12
- (6 س + 18 ص = -12)
يتم حذف x و y
6 س + 18 ص -6 س -18 ص = -12 + 12
0 = 0
البيان صحيح. ومن ثم ، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

السؤال الجوهري

السؤال 11.
ما هي الحلول الممكنة لنظام المعادلات الخطية ، وماذا تمثلها بيانيًا؟
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
لا يمكن أن يكون لنظام المعادلات الخطية أي حل ، والذي يتم تمثيله بخطوط متوازية حل واحد ، والذي يتم تمثيله بخطوط متقاطعة وعدد لا نهائي من الحلول ، والذي يتم تمثيله بخطوط متداخلة.

الاستجابة المختارة & # 8211 مراجعة مختلطة & # 8211 رقم الصفحة 266

السؤال رقم 1.
الرسم البياني لأي معادلة معروضة؟

خيارات:
أ ص = −2 س + 2
ب. y = x + 2
ج ص = 2 س + 2
د ص = 2 س + 1

تفسير:
يُستبعد الخيار (أ) و (ب) لأن ميل الرسم البياني يساوي 2.
تم حذف الخيار (د) حيث يجب أن يكون تقاطع y من الرسم البياني 2.
الخيار ج هو معادلة الرسم البياني

السؤال 2.
ما هو أفضل وصف لحلول النظام
( اليسار < ابدأس + ص = -4 - 2 س -2 ص = 0 نهايةحق.)
خيارات:
حل واحد
ب. لا يوجد حل
C. عدد لانهائي
د (0، 0)

تفسير:
( اليسار < ابدأس + ص = -4 - 2 س -2 ص = 0 نهايةحق.)
اضرب المعادلة 1 في 2 بحيث يمكن حذف x
2 (س + ص = -4)
2 س + 2 ص = -8
أضف المعادلات
2 س + 2 ص = -8
-2x & # 8211 2y = 0
يتم حذف x و y
2x + 2y & # 8211 2x -2y = -8 + 0
0 = -8
البيان خاطئ. ومن ثم ، فإن النظام ليس لديه حل.

السؤال 3.
أي مما يلي يمثل 0.000056023 مكتوبًا بالتدوين العلمي؟
خيارات:
5.6023 × 10 5
ب 5.6023 × 10 4
ج 5.6023 × 10 -4
5.6023 × 10-5

تفسير:
انقل العلامة العشرية 5 نقاط إلى اليمين للحصول على المعادلة.
5.6023 × 10-5

السؤال 4.
وهو الحل ل
( اليسار < ابدأ2 س ص = 1 4x + ص = 11 نهايةحق.)
خيارات:
أ (2 ، 3)
ب. (3 ، 2)
ج (-2، 3)
د (3، -2)

تفسير:
( اليسار < ابدأ2 س ص = 1 4x + ص = 11 نهايةحق.)
أضف المعادلات
2 س & # 8211 ص = 1
4 س + ص = 11
يتم حذف y لأنه قد عكس المعاملات. حل ل x.
2x & # 8211 y + 4x + y = 1 + 11
6 س = 12
س = 12/6 = 2
بالتعويض عن x في أي من المعادلتين لإيجاد y
4 (2) + ص = 11
8 + ص = 11
ص = 11 & # 8211 8
ص = 3
الحل هو (2، 3)

السؤال 5.
ما هو التعبير الذي يمكنك استبداله في المعادلة المشار إليها لحلها
( اليسار < ابدأ3 س-ص = 5 س + 2 ص = 4 نهايةحق.)
خيارات:
أ. 2y & # 8211 4 لـ x في 3x & # 8211 y = 5
ب 4 & # 8211 x لـ y في 3x & # 8211 y = 5
3x & # 8211 5 لـ y في 3x & # 8211 y = 5
3x & # 8211 5 لـ y في x + 2y = 4

إجابه:
3x & # 8211 5 لـ y في x + 2y = 4

تفسير:
( اليسار < ابدأ3 س-ص = 5 س + 2 ص = 4 نهايةحق.)
حل المعادلة 1 من أجل y
ص = 3 س & # 8211 5
عوّض بالمعادلة الأخرى x + 2y = 4

السؤال 6.
ما هو حل نظام المعادلات الخطية الموضح على التمثيل البياني؟

خيارات:
أ -1
ب -2
ج (-1، -2)
د (-2، -1)

تفسير:
نقطة التقاطع هي (-1، -2) وهي حل النظام

السؤال 7.
ما الخطوة التي يمكنك استخدامها لبدء الحل
( اليسار < ابدأx-6y = 8 2x-5y = 3 النهايةحق.)
خيارات:
أ أضف 2x & # 8211 5y = 3 إلى x & # 8211 6y = 8.
ب- اضرب x & # 8211 6y = 8 في 2 وأضفه إلى 2x & # 8211 5y = 3.
ج- اضرب x & # 8211 6y = 8 في 2 واطرحها من 2x & # 8211 5y = 3.
د- عوّض x = 6y & # 8211 8 عن x في 2x & # 8211 5y = 3.

إجابه:
ج- اضرب x & # 8211 6y = 8 في 2 واطرحها من 2x & # 8211 5y = 3.

تفسير:
س & # 8211 6 ص = 8
2x & # 8211 5y = 3
اضرب المعادلة الأولى في 2 بحيث يكون معامل المتغير x هو نفسه في كلا المعادلتين
اطرح المعادلات لأن x لها نفس العلامة.

السؤال 8.
يبدأ منطاد الهواء الساخن في الارتفاع من الأرض بسرعة 4 أمتار في الثانية في نفس الوقت الذي ينفتح فيه مزلقة المظلي على ارتفاع 200 متر. ينزل المظلي بسرعة 6 أمتار في الثانية.
أ. حدد المتغيرات واكتب نظامًا يمثل الموقف.
اكتب أدناه:
_____________

إجابه:
يمثل y المسافة من الأرض ويمثل x الوقت بالثواني
ص = 4x
ص = -6 س + 200

السؤال 8.
ب. اوجد الحل. ماذا يعني ذلك؟
اكتب أدناه:
_____________

إجابه:
عوّض بـ y من المعادلة 1 في المعادلة 2
4 س = -6 س + 200
4 س + 6 س = -6 س + 200 + 6 س
10x = 200
س = 200/10 = 20
عوّض بـ x في أي من المعادلات وحل من أجل x
ص = 4 (20) = 80
الحل هو (20، 80)
يلتقي المنطاد والمظلة بعد 20 ثانية على ارتفاع 80 مترًا من الأرض.

استنتاج:

Go Math Grade 8 Answer Key الفصل 8 حل أنظمة المعادلات الخطية PDF لجميع الطلاب الذين يرغبون في تعلم الرياضيات. راجع أسئلة الفصل الثامن للصف الثامن جنبًا إلى جنب مع الإجابات والتفسيرات. ابدأ ممارستك على الفور الآن.


في الوحدة 6 ، يستكشف طلاب الصف الثامن ما يحدث عندما تفكر في معادلتين خطيتين في وقت واحد.إنهم يرسمون خطين في نفس المستوى الإحداثي ويسألون أنفسهم ما هي نقاط الإحداثيات التي تحقق كلا المعادلتين. يفكرون فيما يعنيه عندما لا يتقاطع خطان مطلقًا أو عندما يتداخلان تمامًا. يتعلم الطلاب الطرق الجبرية التي يمكن استخدامها لحل الأنظمة عندما لا تكون الرسوم البيانية فعالة. باستخدام بنية المعادلات في النظام ، سيحدد الطلاب ما إذا كان للأنظمة حل واحد أم لا أم لا نهائي دون حل النظام (MP.7). يستكشف الطلاب أيضًا العديد من التطبيقات الغنية التي يمكن نمذجتها باستخدام أنظمة المعادلات الخطية في متغيرين (MP.4).

سيستخدم الطلاب معرفتهم من وحدات الصف الثامن السابقة ، بما في ذلك العمل مع المعادلات الخطية الفردية والوظائف من المجموعات 8.EE.B و 8. F. سيحتاجون أيضًا إلى الاعتماد على مفاهيم من الصف السادس ، حيث فهموا حل المعادلة كعملية للإجابة على القيم التي تجعل المعادلة صحيحة.

في المدرسة الثانوية ، سيواصل الطلاب عملهم مع الأنظمة ، والعمل مع الدوال الخطية والقيمة المطلقة والتربيعية والأسية. سيقومون أيضًا برسم المتباينات الخطية والنظر في شكل حل نظام من المتباينات الخطية في المستوى الإحداثي.

السرعة: 15 يومًا تعليميًا (11 درسًا ، 3 أيام مرنة ، يوم تقييم واحد)

للحصول على إرشادات حول تعديل السرعة للعام الدراسي 2020-2021 بسبب إغلاق المدارس ، راجع التعديلات الموصى بها لنطاق الصف الثامن والتسلسل.

اشترك في Fishtank Plus لفتح الوصول إلى موارد إضافية لهذه الوحدة ، بما في ذلك:


طريقة الضرب المتقاطع لحل زوج من المعادلات الخطية

اتبع الإرشادات السهلة والبسيطة المدرجة أدناه أثناء حل زوج من المعادلات الخطية. هم على النحو التالي

  • لاحظ الزوج المعطى من المعادلات الخطية وقم بنقلها في شكل ax + by + c = 0
  • وتمثلهم على أنهم ثابت المعامل للحد x ، وثابت المعامل للحد y ، ومعامل x ، ومعامل y.
  • عبر ضرب تلك الثوابت.
  • عبر عن المضاعفات العرضية لـ x و y والثوابت تحت x و y و 1.
  • قم بمساواة بينهما لإيجاد قيم x ، y.

تحقق من الاشتقاق للحصول على مزيد من التفاصيل حول طريقة الضرب المتقاطع.

حل عام باستخدام طريقة الضرب التبادلي

دع زوج المعادلات الخطية في متغيرين هما

لحل هذه المعادلات الخطية اتبع الخطوات المدرجة أدناه

بالنظر إلى المعادلات الخطية المتزامنة في متغيرين هي

اضرب المعادلة (i) بـ b₂ والمعادلة (ii) بـ b₁.

اطرح المعادلة (4) من المعادلة (3)

[a₁b₂x + b₁b₂y + b₂c₁ = 0] & # 8211 [a₂b₁x + b₂b₁y + c₂b₁ = 0]

[a₁b₂x + b₁b₂y + b₂c₁] & # 8211 [a₂b₁x + b₂b₁y + c₂b₁] = 0

التعويض x = (c₂b₁ & # 8211 b₂c₁) / (a₁b₂ & # 8211 a₂b₁) في المعادلة (i)

حل المعادلات هو

تسمى الطريقة المذكورة أعلاه أساليب الضرب المتقاطع لأنها تستخدم تقنية الضرب التبادلي.

يمكنك أيضًا تمثيل الضرب التبادلي على النحو التالي.

أمثلة على طريقة الضرب المتقاطع

حل المعادلات الخطية x + y = 5، x & # 8211 y = 3 باستخدام طريقة الضرب التبادلي؟

نظام المعادلات الخطية المعطاة هي

عند كتابة المشارك بالطريقة التالية ، نحصل على:

بطريقة الضرب التبادلي:

لذلك ، الحل المطلوب هو x = 4 ، y = 1.

حل المعادلات الخطية المتزامنة 3x & # 8211 4y = 0، 9x & # 8211 8y = 12 بطريقة الضرب التبادلي؟

بالنظر إلى المعادلات الآنية ،

اضرب المعادلة (i) في -8 والمعادلة (ii) في -4.

اطرح المعادلة (4) من المعادلة (3)

[-24x + 32y = 0] & # 8211 [-36x + 32y + 48 = 0]

-24 س + 32 ص & # 8211 (-36 س + 32 ص + 48) = 0

-24x + 32y + 36x & # 8211 32y & # 8211 48 = 0

استبدل x = 4 في المعادلة (ii)

لذلك ، الحل المطلوب هو x = 4 ، y = 3.

حل المعادلات الخطية 2 س + 3 ص = 5 ، س & # 8211 4 ص = 8 باستخدام طريقة الضرب التبادلي؟


حل نظم المعادلات الخطية

نظرًا لأن حل نظام المعادلات الخطية هو مهارة أساسية سيتم استخدامها في الاستيفاء والتقريب ، سنناقش بإيجاز تقنية شائعة الاستخدام هنا. في الواقع ، ما سنستخدمه هو شكل أكثر عمومية. لنفترض أن لدينا مصفوفة معامل n & n n & nbsp ؛ A ، و n & nbsp ؛ مصفوفة مصطلح "ثابت" B ، ومصفوفة غير معروفة n & h مضروبة في X كما يلي:

افترض كذلك أنهم يستوفون العلاقة التالية:

إذا كان A و B معروفين ، فنحن بحاجة إلى طريقة سريعة لإيجاد قيمة X. يمكن للمرء أن يقترح ما يلي: حساب المصفوفة المعكوسة A -1 للحل ببساطة هو X = A -1 B. في حين أن هذه طريقة صحيحة لحل المشكلة ، إلا أنها مبالغة قليلاً. قد يلاحظ المرء أيضًا الحقيقة التالية: العمود j من المصفوفة B هو حاصل ضرب المصفوفة A والعمود j من المصفوفة X كما هو موضح أدناه:

بوضع هذا في الاعتبار ، يمكننا حل العمود j في X باستخدام A والعمود j من B. بهذه الطريقة ، فإن المشكلة المعطاة تعادل حل أنظمة h من المعادلات الخطية. في الواقع ، هذه ليست إستراتيجية جيدة لأنه في حل العمود 1 من المصفوفة X سيتم تدميرها ، ونتيجة لذلك ، لكل عمود نحتاج إلى عمل نسخة من المصفوفة A قبل تشغيل أداة حل النظام الخطي.

لذلك ، نحتاج إلى طريقة لا تستخدم انعكاس المصفوفة ولا يلزم نسخ المصفوفة A مرارًا وتكرارًا. طريقة ممكنة هي استخدام تقنية تحلل LU.

تحلل LU

إجراء فعال لحل ب = أ. X هو تحلل LU. في حين أن الطرق الأخرى مثل طريقة الإزالة Gaussian وطريقة Cholesky يمكن أن تؤدي المهمة بشكل جيد ، فإن طريقة تحليل LU يمكن أن تساعد في تسريع الحساب.

طريقة تحليل LU أولاً "تحلل" المصفوفة A إلى A = L. U ، حيث L و U عبارة عن مصفوفات مثلثة منخفضة ومصفوفة مثلثة عليا ، على التوالي. بتعبير أدق ، إذا كانت A عبارة عن مصفوفة n & n ، فإن L و U هما أيضًا مصفوفتان n & n مع نماذج مثل ما يلي:

استبدال أمامي

ما مدى سهولة هاتين الخطوتين؟ اتضح أنه سهل للغاية. فكر في الخطوة الأولى. توسيع B = L. Y يعطي

ليس من الصعب التحقق من أن العمود j من المصفوفة B هو حاصل ضرب المصفوفة A والعمود j من المصفوفة Y. لذلك ، يمكننا حل عمود واحد من Y في كل مرة. هذا موضح أدناه:

هذه المعادلة تعادل ما يلي:

من المعادلات أعلاه ، نرى أن y 1 = ب 1/ لتر 11. بمجرد أن نحصل على ذ 1 المتاحة ، المعادلة الثانية تنتج y 2 = (ب 2- ل 21 ذ 1) / لتر 22. الآن لدينا y 1 و ذ 2، من المعادلة 3 ، لدينا y 3 = (ب 3 - (ل 31 ذ 1 + ل 32 ذ 2) / لتر 33. وهكذا نحسب ذ 1 من المعادلة الأولى واستبدالها في الثانية لحساب y 2. مرة واحدة ذ 1 و ذ 2 متوفرة ، يتم استبدالها في المعادلة الثالثة لحل y 3. بتكرار هذه العملية ، عندما نصل إلى المعادلة i ، سيكون لدينا y 1، ذ 2و. ذ ط -1 متوفرة. ثم يتم تعويضهم في المعادلة i لإيجاد قيمة y أنا باستخدام الصيغة التالية:

لأن قيم y أنا يتم استبدالها لحل القيمة التالية لـ y ، ويشار إلى هذه العملية على أنها استبدال للأمام. يمكننا تكرار عملية الاستبدال إلى الأمام لكل عمود من Y والعمود المقابل له من B. والنتيجة هي الحل ص. فيما يلي خوارزمية:

    المدخلات: ماتريكس ب ن & مرات ح ومصفوفة مثلثة سفلية L. ن & مرات ح
    الإخراج: مصفوفة Y ن & مرات ح مثل أن B = L. Y يحمل.
    الخوارزمية:
      / * يوجد ح أعمدة * /
      بالنسبة لـ j: = 1 to h do
        / * قم بما يلي لكل عمود * /
        يبدأ
          / * احسب ذ 1 من العمود الحالي * /
          ذ 1 ، ي = ب 1 ، ي / لتر 1,1
          بالنسبة إلى i: = 2 إلى n do / * عناصر المعالجة في هذا العمود * /
            يبدأ
              المجموع: = 0 / * حل من أجل y أنا من العمود الحالي * /
              بالنسبة إلى k: = 1 إلى i -1 do
                المجموع: = مجموع + ل أنا ، ك & مرات ذ ك ، ي

              الاستبدال العكسي

              بعد أن يصبح Y متاحًا ، يمكننا إيجاد X من Y = U. X. توسيع هذه المعادلة والنظر فقط في عمود معين من Y والعمود المقابل من X ينتج عنه ما يلي:

              هذه المعادلة تعادل ما يلي:

              الآن ، x ن متاح على الفور من المعادلة n ، لأن x ن = ذ ن / ش ن ، ن . مرة واحدة x ن متاح ، بالتعويض عنه في المعادلة ن -1

              وحل من أجل x ن -1 ينتج س ن -1 = (ص ن -1- ش ن -1 ، ن x ن ) / ش ن -1 ، ن -1. الآن ، لدينا x ن و x ن -1. بالتعويض عنها في المعادلة ن -2

              وحل من أجل x ن -2 ينتج س ن -2 = [ذ ن -2- (ش ن -2 ، ن -1 x ن -1 + ش ن -2 ، ن x ن -)] / ش ن -2 ، ن -2.

              من x ن ، س ن -1 و x ن -2، يمكننا إيجاد قيمة x ن -3 من المعادلة ن -3. بشكل عام ، بعد x ن ، س ن -1و. x أنا +1 أصبح متاحًا ، يمكننا إيجاد قيمة x أنا من المعادلة i باستخدام العلاقة التالية:

              كرر هذه العملية حتى x 1 محسوبة. بعد ذلك ، تتوفر جميع قيم x غير المعروفة ويتم حل نظام المعادلات الخطية. تلخص الخوارزمية التالية هذه العملية:

                المدخلات: ماتريكس واي ن & مرات ح ومصفوفة مثلثة عليا U ن & مرات ح
                الإخراج: ماتريكس X ن & مرات ح مثل أن Y = U. X يحمل.
                الخوارزمية:
                  / * يوجد ح أعمدة * /
                  بالنسبة لـ j: = 1 to h do
                    / * قم بما يلي لكل عمود * /
                    يبدأ
                      / * احسب x ن من العمود الحالي * /
                      x ن ، ي = ذ ن ، ي / ش ن ، ن
                      بالنسبة إلى i: = n -1 وصولاً إلى 1 do / * عناصر المعالجة لهذا العمود * /
                        يبدأ
                          المجموع: = 0 / * حل من أجل x أنا في العمود الحالي * /
                          لـ k: = i +1 to n do
                            المجموع: = sum + u أنا ، ك & مرات x ك ، ي

                          هذه المرة نعمل للخلف ، من x ن إلى الوراء إلى x 1، وبالتالي ، يشار إلى هذه العملية باسم الاستبدال العكسي.

                          يجب أن يكون تحليل LU والبدائل الأمامية والخلفية ، بما في ذلك الإجراءات الفرعية / الوظائف ، متاحًا في العديد من الكتب المدرسية للطريقة العددية والمكتبات الرياضية. تحقق من كتاب الطرق العددية للحصول على التفاصيل.


                          القسم الفرعي 2.2.2 يمتد

                          سيكون من المهم معرفة ما هو الكل مجموعات خطية لمجموعة من النواقل

                          بمعنى آخر ، نود أن نفهم مجموعة جميع النواقل

                          بحيث تكون معادلة المتجه (في المجهول

                          لديه حل (أي متسق).

                          تعريف

                          هي مجموعة من جميع التوليفات الخطية من

                          هي المجموعة الفرعية امتدت من قبل أو تم إنشاؤها بواسطة النواقل

                          التعريف أعلاه هو الأول من عدة التعريفات الأساسية التي سنراها في هذا الكتاب المدرسي. إنها ضرورية لأنها تشكل جوهر موضوع الجبر الخطي: تعلم الجبر الخطي يعني (جزئيًا) تعلم هذه التعريفات. جميع التعريفات مهمة ، ولكن من الضروري أن تتعلم وتفهم التعريفات المميزة على هذا النحو.

                          تعيين تدوين منشئ

                          يقرأ على النحو التالي: "مجموعة كل الأشياء من النموذج

                          "الخط العمودي هو" بحيث "كل شيء على يساره هو" مجموعة كل الأشياء من هذا الشكل "، وكل شيء على اليمين هو الشرط الذي يجب أن ترضيه هذه الأشياء لتكون في المجموعة. يسمى تحديد مجموعة بهذه الطريقة تعيين تدوين منشئ.

                          كل الرموز الرياضية ما هي إلا اختصار: أي تسلسل للرموز يجب أن يُترجم إلى جملة عادية.


                          حل كل نظام بطريقة الاستبدال. إذا لم يكن هناك حل أو العديد من الحلول بلا حدود ،
                          لذلك اذكر. استخدم مجموعة الرموز للتعبير عن مجموعات الحلول.

                          حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الاستبدال
                          حل كل نظام بطريقة الاستبدال. إذا لم يكن هناك حل أو العديد من الحلول بلا حدود ،
                          لذلك اذكر. استخدم مجموعة الرموز للتعبير عن مجموعات الحلول.

                          14.
                          1 / 2x - 2 / 3y = -1
                          3/7 س + ص = 18

                          15. تحتفظ شركة إلكترونية بإحصاءات مقارنة في اثنين
                          المنتجات ، A و B. للأعوام 1980 إلى 1988 ، العدد الإجمالي
                          يتم الحصول على المنتج أ المباع (بالآلاف) من خلال المعادلة
                          y = 72x + 689 حيث x هو عدد السنوات منذ 1980. ل
                          في نفس الفترة الزمنية ، العدد الإجمالي للمنتج "ب" المُباع (بتنسيق
                          بالآلاف) بالمعادلة y = & # 872230x + 434 ، حيث x هي
                          العدد بالسنوات منذ 1980. استخدم طريقة الاستبدال ل
                          حل النظام ووصف معنى الحل.

                          16. رقم واحد هو 1 أقل من الرقم الثاني. مرتين في الثانية
                          العدد 19 أقل من 5 مرات الأول. أوجد العددين.


                          نظم المعادلات الخطية وحل المشكلات

                          يمكننا استخدام ميزة التقاطع من قائمة الرياضيات على شاشة الرسم البياني في TI-89 لحل نظام من معادلتين
                          في متغيرين.

                          القسم 8.1 ، مثال 4 (أ) حل بيانيا:
                          ص & # 8722 س = 1 ،
                          ص + س = 3.

                          نقوم برسم المعادلات في نفس نافذة العرض ثم نحدد إحداثيات نقطة التقاطع. تذكر ذلك
                          يجب إدخال المعادلتين في شكل & # 8220y = & # 8221 على شاشة محرر المعادلات ، لذلك نحل المعادلتين لـ y. لدينا y = x + 1 و
                          y = & # 8722x + 3. أدخل هذه المعادلات ، وارسمها في نافذة العرض القياسية ، وابحث عن نقطة تقاطعها كما هو موضح
                          في الصفحة 131 من هذا الدليل. نرى أن حل نظام المعادلات هو (1 ، 2).

                          عارضات ازياء
                          في بعض الأحيان نقوم بنمذجة حالتين مع وظائف خطية ثم نريد إيجاد نقطة تقاطع الرسوم البيانية الخاصة بهم.
                          القسم 8.1 ، مثال 6 (د) ، (هـ) يتم سرد أعداد المسافرين من الولايات المتحدة إلى كندا وأوروبا في الجدول التالي.

                          (د) استخدم الانحدار الخطي لإيجاد معادلتين خطيتين يمكن استخدامهما لتقدير عدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى كندا و
                          أوروبا ، بالملايين ، س سنوات بعد عام 1990.

                          (هـ) استخدم المعادلات الموجودة في الجزء (د) لتقدير السنة التي سيكون فيها عدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى أوروبا هو نفسه
                          بعدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى كندا.

                          (د) أدخل البيانات في محرر البيانات / المصفوفة كما هو موضح في الصفحة 136 من هذا الدليل. سوف نعبر عن السنوات كرقم
                          من السنوات منذ 1990 (بمعنى آخر ، 1990 هي السنة 0) وأدخلها في c1. ثم أدخل عدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى كندا ، في
                          الملايين في c2 وعدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى أوروبا بالملايين في c3.

                          استخدم الآن الانحدار الخطي لملاءمة دالة خطية للبيانات الموجودة في c1 و c2. يجب أيضًا نسخ الوظيفة إلى محرر المعادلة
                          شاشة. سنقوم بنسخه كـ y1. راجع الصفحة 137 من هذا الدليل للتعرف على الإجراءات التي يجب اتباعها. نحصل على y1 = 0.45x + 10.74.

                          بعد ذلك نلائم دالة خطية للبيانات الموجودة في c1 و c3 ، بإدخال c1 كـ x و c3 كـ y على شاشة الحساب. هذه الوظيفة سوف
                          يتم نسخها إلى شاشة محرر المعادلات كـ y2. لإدخال c3 كـ y ، ضع المؤشر الوامض في المربع y واضغط 3.
                          لتحديد y2 كوظيفة سيتم نسخ معادلة الانحدار إليها ، ضع المؤشر بجانب & # 8220Store Reg EQ إلى ، & # 8221 اضغط
                          ، استخدم المفتاح لتمييز y2 (x) واضغط. نحصل على y2 = 0.775x + 5.05.

                          (هـ) لتقدير السنة التي سيكون فيها عدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى أوروبا مساوياً لعدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى أوروبا.
                          كندا ، نحل نظام المعادلات
                          ص = 0.45 س + 10.74 ،
                          ص = 0.775 س + 5.05.

                          نقوم برسم المعادلات في نفس نافذة العرض ثم نستخدم خاصية التقاطع لإيجاد نقطة التقاطع.
                          من خلال عملية التجربة والخطأ ، نجد أن [0 ، 30 ، 0 ، 30] ، xscl = 2 ، yscl = 2 ، توفر نافذة جيدة لرؤية هذه النقطة.
                          نرى أن حل نظام المعادلات هو تقريبًا (17.51 ​​، 18.62) ، لذا فإن عدد المسافرين الأمريكيين إلى أوروبا
                          سيكون هو نفسه عدد المسافرين من الولايات المتحدة إلى كندا حوالي 17.5 سنة بعد عام 1990 ، أو في عام 2008.

                          إزالة باستخدام المواد

                          يمكن إدخال المصفوفات التي تحتوي على ما يصل إلى 999 صفًا و 99 عمودًا في TI-89. العمليات المكافئة للصف اللازمة لكتابة أ
                          يمكن إجراء مصفوفة في شكل صف-مستوى أو شكل صف-مستوى مخفض على الآلة الحاسبة ، أو يمكننا الانتقال مباشرة إلى صفوف الصف
                          شكل أو شكل صف الصف المختزل بأمر واحد. سوف نوضح النهج المباشر لإيجاد الصفوف منخفضة المستوى
                          شكل.

                          القسم 8.6 ، مثال 1 حل النظام التالي باستخدام حاسبة الرسوم البيانية:
                          2x + 5y & # 8722 8z = 7 ،
                          3x + 4y & # 8722 3z = 8 ،
                          5y & # 8722 2x = 9.

                          أولاً نعيد كتابة المعادلة الثالثة بالصيغة ax + by + cz = d:
                          2x + 5y & # 8722 8z = 7 ،
                          3x + 4y & # 8722 3z = 8 ،
                          & # 87222x + 5y = 9.

                          ثم ندخل مصفوفة المعامل

                          في محرر البيانات / المصفوفة. سوف نسمي المصفوفة أ. صحافة
                          للذهاب إلى محرر البيانات / المصفوفة وإعداد مصفوفة باسم A تتكون من 3 صفوف و 4 أعمدة. إذا كانت المصفوفة المسماة a قد سبق
                          تم حفظه في الآلة الحاسبة الخاصة بك ، سيتم عرض رسالة خطأ. إذا حدث هذا ، يمكنك تحديد اسم مختلف للمصفوفة التي نحن على وشك إدخالها أو يمكنك حذف المصفوفة الحالية أ ثم إدخال المصفوفة الجديدة كـ a. لحذف مصفوفة الصحافة
                          لتمييز اسم المصفوفة التي يتم حذفها ، ثم اضغط على (VAR-LINK هو ملف
                          العملية الثانية المرتبطة بالمفتاح.)

                          أدخل عناصر الصف الأول من المصفوفة بالضغط على 2 المؤشر
                          ينتقل إلى العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول من المصفوفة. أدخل عناصر الصفين الثاني والثالث من
                          مصفوفة معززة عن طريق كتابة كل منها على التوالي متبوعًا على النحو الوارد أعلاه. لاحظ أن الشاشة لا تعرض سوى ثلاثة أعمدة من
                          المصفوفة. يمكن استخدام مفاتيح الأسهم لتحريك المؤشر إلى أي عنصر في أي وقت.

                          يتم تنفيذ عمليات Matrix على الشاشة الرئيسية وتوجد في قائمة Math Matrix. صحافة
                          لمغادرة محرر المصفوفة والانتقال إلى هذه الشاشة. قم بالوصول إلى قائمة Math Matrix بالضغط على 4. (MATH هو ملف
                          العملية الثانية المرتبطة بالمفتاح الرقمي 5.) أمر نموذج الصف الصف المختزل هو العنصر 4 في هذه القائمة. انسخه إلى
                          خط دخول الشاشة الرئيسية بالضغط على 4. نرى الأمر & # 8220rref (& # 8221 على سطر الإدخال.

                          نظرًا لأننا نريد العثور على نموذج مرتبة صف مختزل للمصفوفة a ، فإننا ندخل a بالضغط أخيرًا على
                          انظر شكل الصف المخفّض للمصفوفة الأصلية. نرى أن حل نظام المعادلات هوإذا تم تحديد الوضع التلقائي أو التقريبي بدلاً من الوضع الدقيق).

                          تقييم المحددات
                          يمكننا تقييم المحددات باستخدام العملية & # 8220det & # 8221 من قائمة MATRIX MATH.

                          القسم 8.7 ، مثال 3 تقييم:

                          أدخل أولاً المصفوفة 3 × 3

                          كما هو موضح في الصفحتين 151 و 152 من هذا الدليل. سندخلها كمصفوفة أ.

                          ثم اضغط للذهاب إلى الشاشة الرئيسية. اضغط المقبل 4 للوصول إلى قائمة Math Matrix.
                          اضغط 2 لنسخ & # 8220det (& # 8221 العملية إلى سطر إدخال الشاشة الرئيسية. ثم أدخل اسم المصفوفة أ بالضغط أخيرًا ، اضغط للعثور على قيمة محدد المصفوفة أ.

                          عدم المساواة في متغيرين

                          يمكن رسم مجموعة حل المتباينة في متغيرين على TI-89.

                          القسم 8.9 ، مثال 4 استخدم حاسبة الرسوم البيانية لرسم المتباينة 8x + 3y & gt 24.
                          نكتب أولًا المعادلة ذات الصلة ، 8x + 3y = 24 ، ونحلها من أجل y. نحن نحصل سوف ندخل هذا كـ y1. صحافة

                          للذهاب إلى شاشة محرر المعادلات. إذا كان هناك إدخال لـ y1 حاليًا ، فقم بمسحه. امسح أو ألغِ تحديد أي معادلات أخرى أيضًا
                          التي تم إدخالها. أدخل الآن بما أن المتباينة تنص على أن 8x + 3y & gt 24 ، أو y أكبر من ، فإننا نريد
                          لتظليل نصف المستوى فوق التمثيل البياني لـ y1. للقيام بذلك ، استخدم المؤشر لتمييز y1. ثم اضغط لعرض قائمة النمط. اختر البند 7 أعلاه بالضغط على 7. (للتظليل أسفل خط سنضغط 8 لتحديد أدناه). ثم اضغط 6
                          لرؤية الرسم البياني لعدم المساواة في نافذة العرض القياسية.

                          لاحظ أنه عند اختيار & # 8220 shade أعلاه & # 8221 Style ، لا يمكن أيضًا تحديد نمط & # 8220Dot & # 8221 لذا يجب أن نضع في اعتبارنا
                          حقيقة أن الخط لم يتم تضمينه في الرسم البياني لعدم المساواة. إذا قمت برسم هذه اللامساواة يدويًا ، فستفعل ذلك
                          ارسم خطًا متقطعًا.

                          نظم عدم المساواة الخطية

                          يمكننا رسم أنظمة المتباينات بتظليل مجموعة الحلول لكل متباينة في النظام بنمط مختلف. متي
                          يتم تحديد خيارات النمط & # 8220shade أعلى & # 8221 أو & # 8220 ظل أدناه & # 8221 وتدور الآلة الحاسبة من خلال أربعة أنماط تظليل. خطوط عمودية
                          تظليل الوظيفة الأولى ، والخطوط الأفقية الثانية ، والخطوط المائلة المنحدرة سلبًا ، والثالثة ، والقطرية المائلة بشكل إيجابي
                          الخطوط الرابعة. تتكرر هذه الأنماط إذا تم رسم أكثر من أربع وظائف بيانية.

                          القسم 8.9 ، مثال 8 ارسم النظام
                          x + y & # 8804 4 ،
                          x & # 8722y & lt 4.

                          أولًا ، ارسم المعادلة x + y = 4 ، وأدخلها بالصيغة y = & # 8722x + 4. قررنا أن مجموعة حل x + y & # 8804 4 تتكون
                          من جميع النقاط الموجودة على أو أسفل الخط x + y = 4 ، أو y = & # 8722x + 4 ، لذلك نختار & # 8220shade أسفل & # 8221 النمط لهذه الوظيفة. الرسم البياني التالي
                          x & # 8722 y = 4 ، وإدخالها بالصيغة y = x & # 8722 4. مجموعة حل x & # 8722y & lt 4 هي جميع النقاط فوق السطر x & # 8722 y = 4 ، أو y = x & # 8722 4 ، لذا
                          لهذه الوظيفة اخترنا & # 8220 shade أعلاه & # 8221 النمط. (انظر المثال 4 أعلاه للحصول على إرشادات حول اختيار yles.) الآن اضغط 6
                          لعرض مجموعات الحلول لكل متباينة في النظام والمنطقة التي تتداخل فيها في نافذة العرض القياسية.
                          منطقة التداخل هي مجموعة حلول نظام المتباينات. ضع في اعتباري أن الخط x + y = 4 ، أو y = & # 8722x + 4 ، جزء
                          من مجموعة الحل بينما x & # 8722 y = 4 ، أو y = x & # 8722 4 ، ليست كذلك.


                          شاهد الفيديو: طريقة سحرية في حل نظام المعادلات الخطية (شهر اكتوبر 2021).