مقالات

10.5: حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة إكمال المربع


المنطق وراء الطريقة

لنفترض أننا نرغب في حل المعادلة التربيعية (x ^ 2 - 3x - 1 = 0 ). نحتاج إلى طريقة أخرى لحل المعادلات التربيعية.

الطريقة التي سنقوم بدراستها تعتمد على ثلاثية الحدود المربعة الكاملة واستخراج الجذور. تسمى الطريقة حل المعادلات التربيعية بواسطة استكمال المربع. ضع في اعتبارك المعادلة (x ^ 2 + 6x + 5 = 0 ).

يمكن حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل إلى عوامل ، لكننا سنستخدم طريقة إكمال المربع. سنشرح الطريقة بالتفصيل بعد أن ننظر إلى هذا المثال. أولًا نعيد كتابة المعادلة بالصيغة

(س ^ 2 + 6 س = -5 )

ثم جيدا يضيف (9 ) على كل جانب. نحن نحصل

(س ^ 2 + 6 س + 9 = -5 + 9 )

يعتبر الجانب الأيسر عامل ثلاثي الحدود مربع كامل.

((س + 3) ^ 2 = 4 )

يمكننا حل هذا عن طريق استخراج الجذور.

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x + 3 & = pm sqrt {4}
س + 3 & = م 2
س & = م 2 - 3
x & = pm 2 - 3 & text {and} & x = -2 - 3
x & = -1 & text {and} -5
نهاية {مجموعة} )

لاحظ أنه عندما تكون الجذور أعدادًا منطقية ، فإن المعادلة قابلة للتحليل.

السؤال الكبير هو ، "كيف عرفنا ذلك يضيف 9 إلى كل جانب من المعادلة؟ "يمكننا التحويل أي تظهر ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية في معادلة في شكل مربع كامل ثلاثي الحدود إذا عرفنا العدد الذي يجب إضافته إلى كلا الجانبين. يمكننا تحديد هذا الرقم المعين من خلال ملاحظة الموقف التالي:

ضع في اعتبارك مربع ذات الحدين والمربع الكامل الناتج عن ذلك

((س + ع) ^ 2 = س ^ 2 + 2 بكسل + ص ^ 2 )

لاحظ أنه يمكن الحصول على الحد الثابت (الرقم الذي نبحث عنه) من المصطلح الخطي (2px ). إذا أخذنا نصف معامل (x ) ، ( dfrac {20} {2} = p ) ، وقمنا بتربيعه ، نحصل على الحد الثابت (p ^ 2 ). هذا صحيح لكل ثلاثية حدود مربعة كاملة بمعامل رئيسي (1 ).

ملحوظة

في المثلث التربيعي الكامل مع المعامل الرئيسي (1 ) ، يكون الحد الثابت هو مربع نصف معامل الحد الخطي.

ادرس هذه الأمثلة لترى ما هو الحد الثابت الذي سيجعل المعطاة ذات الحدين إلى مربع كامل ثلاثي الحدود.

مثال ( PageIndex {1} )

(س ^ 2 + 6 س ). يجب أن يكون الثابت هو مربع نصف معامل (س ). بما أن معامل (س ) هو (6 ) ، فلدينا

( dfrac {6} {2} = 3 ) و (3 ^ 2 = 9 )

الثابت هو (9 ).

(س ^ 2 + 6 س + 9 = (س + 3) ^ 2 )

هذا هو ثلاثي الحدود مربع كامل.

مثال ( PageIndex {2} )

(أ ^ 2 + 10 أ ). يجب أن يكون الثابت هو مربع نصف معامل (أ ). بما أن معامل (أ ) هو (10 ​​) ، فلدينا

( dfrac {10} {2} = 5 ) و (5 ^ 2 = 25 ).

الثابت هو (25 )

(أ ^ 2 + 10 أ + 25 = (أ + 5) ^ 2 )

مثال ( PageIndex {3} )

(y ^ 2 + 3y ). يجب أن يكون الثابت هو مربع نصف معامل (ص ). بما أن معامل (ص ) هو (3 ) ، فلدينا

( dfrac {3} {2} ) و (( dfrac {3} {2}) ^ 2 = dfrac {9} {4} )

الثابت هو ( dfrac {9} {4} ).

(y ^ 2 + 3y + dfrac {9} {4} = (y + dfrac {3} {2}) ^ 2 )

طريقة استكمال المربع

الآن ، بهذه الملاحظات ، يمكننا وصف طريقة إكمال المربع.

طريقة استكمال المربع

  1. اكتب المعادلة بحيث يظهر الحد الثابت في الجانب الأيمن من المعادلة.
  2. إذا كان المعامل الرئيسي مختلفًا عن 1 ، فاقسم كل حد من المعادلة على هذا المعامل.
  3. خذ نصف معامل الحد الخطي ، ثم قم بتربيعه يضيف عليه على حد سواء جوانب المعادلة.
  4. ثلاثي الحدود على اليسار هو الآن ثلاثي حدود مربع كامل ويمكن تحليله إلى عوامل كـ (() ^ 2 ). الحد الأول بين القوسين هو الجذر التربيعي للمصطلح التربيعي. الحد الأخير بين القوسين هو نصف معامل المصطلح الخطي.
  5. حل هذه المعادلة باستخراج الجذور.

مجموعة العينة أ

حل المعادلات التالية.

مثال ( PageIndex {4} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x ^ 2 + 8x - 9 & = 0 & text {Add} 9 text {لكلا الجانبين.}
x ^ 2 + 8x & = 9 & text {نصف معامل} x text {is} 4، text {and} 4 ^ 2 text {is} 16. text {Add} 16 text { على كلا الجانبين. }
س ^ 2 + 8 س + 16 & = 9 + 16
x ^ 2 + 8x + 16 & = 25 & text {Factor. }
(x + 4) ^ 2 & = 25 & text {خذ الجذور التربيعية. }
س + 4 & = م 5
x & = pm 5-4 & +5-4 = 1، -5-4 = -9
س & = 1 ، -9
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {5} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
x ^ 2 - 3x - 1 & = 0 & text {Add} 1 text {لكلا الجانبين.}
&& text {نصف معامل} x text {is} dfrac {-3} {2}.
x ^ 2 - 3x & = 1 & text {تربيعه:} ( dfrac {-3} {2}) ^ 2 = dfrac {9} {4}. text {Add} dfrac {9} {4} text {لكل جانب.}
x ^ 2 - 3x + dfrac {9} {4} & = 1 + dfrac {9} {4}
x ^ 2 - 3x + dfrac {9} {4} & = dfrac {13} {4} & text {Factor. لاحظ أنه بما أن علامة الحد الأوسط من ثلاثي الحدود هي "-" ، فإن شكلها المعامل لها علامة "-".}
(x - dfrac {3} {2}) ^ 2 & = dfrac {13} {4} & text {الآن خذ الجذور التربيعية}
x - dfrac {3} {2} & = pm sqrt { dfrac {13} {4}}
x - dfrac {3} {2} & = pm sqrt { dfrac {13} {2}}
x & = pm dfrac { sqrt {13}} {2} + dfrac {3} {2}
x & = dfrac { pm sqrt {13} + 3} {2}
x & = dfrac {3 pm sqrt {13}} {2}
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {6} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
3a ^ 2 - 36a - 39 & = 0 & text {Add} 39 text {لكلا الجانبين.}
3a ^ 2 - 36a & = 39 & text {المعامل الرئيسي هو} 3 text {ونريده أن يكون} 1. text {قسّم كل مصطلح على} 3 text {. نصف معامل} a text {هو} -6
a ^ 2 - 12a & = 13 & text {تربيعه:} (-6) ^ 2 = 36 text {Add} 36 text {على كل جانب. }
أ ^ 2 - 12 أ + 36 & = 13 + 36
أ ^ 2 - 12 أ + 36 & = 49
(a-6) ^ 2 & = 49 & text {Factor. }
أ - 6 & = مساء 7
أ & = م 7 + 6 & +7 + 6 = 13 ، -7 + 6 = -1
نهاية {مجموعة} )

(أ = 13 ، -1 ).

مثال ( PageIndex {7} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
2 س ^ 2 + س + 4 & = 0
2 س ^ 2 + س & = -4
x ^ 2 + dfrac {1} {2} x & = -2
x ^ 2 + dfrac {1} {2} x + ( dfrac {1} {4}) ^ 2 & = -2 + ( dfrac {1} {4}) ^ 2
نهاية {مجموعة} )

((x + dfrac {1} {4}) ^ 2 = -2 + dfrac {1} {16} = dfrac {-32} {16} + dfrac {1} {16} = dfrac {-31} {16} )

بما أننا نعلم أن مربع أي رقم موجب ، فإن هذه المعادلة ليس لها حل رقم حقيقي.

مثال ( PageIndex {8} )

مشكلة الآلة الحاسبة:

حل (7a ^ 2 - 5a - 1 = 0 ). قرب كل حل لأقرب جزء من عشرة.

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
7 أ ^ 2 - 5 أ - 1 & = 0
7 أ ^ 2 - 5 أ & = 1
a ^ 2 - dfrac {5} {7} a & = dfrac {1} {7}
a ^ 2 - dfrac {5} {7} a + ( dfrac {5} {14}) ^ 2 & = dfrac {1} {7} + ( dfrac {5} {14}) ^ 2
(أ - dfrac {5} {14}) ^ 2 & = dfrac {1} {7} + dfrac {25} {196} & = dfrac {28} {196} + dfrac {25} { 196} = dfrac {53} {196}
أ - dfrac {5} {14} & = pm sqrt { dfrac {53} {196}} & = pm dfrac { sqrt {53}} {14}
نهاية {مجموعة} )

(a = dfrac {5} {14} pm dfrac { sqrt {53}} {14} = dfrac {5 pm sqrt {53}} {14} )

بالتقريب لأجزاء ، نحصل على (a حوالي -0.2 ). وبالتالي ، (a حوالي 0.9 ) و (- 0.2 ) لأقرب جزء من عشرة.

مجموعة الممارسة أ

حل كل من المعادلات التربيعية التالية باستخدام طريقة إكمال المربع.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

(س ^ 2 - 2 س - 48 = 0 )

إجابه

(س = -6 ، 8 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {2} )

(س ^ 2 + 3 س - 5 = 0 )

إجابه

(x = dfrac {-3 pm sqrt {29}} {2} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

(4 م ^ 2 + 5 م = -1 )

إجابه

(م = dfrac {-1} {4} ، -1 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {4} )

(5y ^ 2 - 2y - 4 = 0 )

إجابه

(y = dfrac {1 pm sqrt {21}} {5} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {5} )

مشكلة الآلة الحاسبة:

حل (3x ^ 2 - x - 1 = 0 ). قرب كل حل لأقرب جزء من عشرة.

إجابه

(س = 0.8 ، -0.4 )

تمارين

حل المعادلات في المسائل التالية بإكمال المربع.

تمرين ( PageIndex {1} )

(س ^ 2 + 2 س - 8 = 0 )

إجابه

(س = -4 ، 2 )

تمرين ( PageIndex {2} )

(ص ^ 2-5 ص - 6 = 0 )

تمرين ( PageIndex {3} )

(أ ^ 2 + 7 أ + 12 = 0 )

إجابه

(أ = -3 ، -4 )

تمرين ( PageIndex {4} )

(س ^ 2 - 10x + 16 = 0 )

تمرين ( PageIndex {5} )

(ص ^ 2 - 2 ص - 24 = 0 )

إجابه

(ص = -4 ، 6 )

تمرين ( PageIndex {6} )

(أ ^ 2 + 2 أ - 35 = 0 )

تمرين ( PageIndex {7} )

(س ^ 2 + 2 س + 5 = 0 )

إجابه

لا يوجد حل رقم حقيقي.

تمرين ( PageIndex {8} )

(س ^ 2-6 س + 1 = 0 )

تمرين ( PageIndex {9} )

(س ^ 2 + 4x + 4 = 0 )

إجابه

(س = -2 )

تمرين ( PageIndex {10} )

(أ ^ 2 + 4 أ + 7 = 0 )

تمرين ( PageIndex {11} )

(ب ^ 2 + 5 ب - 3 = 0 )

إجابه

(b = dfrac {-5 pm sqrt {37}} {2} )

تمرين ( PageIndex {12} )

(ب ^ 2-6 ب = 72 )

تمرين ( PageIndex {13} )

(أ ^ 2 + 10 أ - 9 = 0 )

إجابه

(a = -5 pm sqrt {34} )

تمرين ( PageIndex {14} )

(أ ^ 2 - 2 أ - 3 = 0 )

تمرين ( PageIndex {15} )

(س ^ 2 - 10x = 0 )

إجابه

(س = 10 ، 0 )

تمرين ( PageIndex {16} )

(ص ^ 2-8 ص = 0 )

تمرين ( PageIndex {17} )

(أ ^ 2 - 6 أ = 0 )

إجابه

(أ = 6 ، 0 )

تمرين ( PageIndex {18} )

(ب ^ 2 + 6 ب = 0 )

تمرين ( PageIndex {19} )

(- س ^ 2-14 س = 13 )

إجابه

(س = -13 ، -1 )

تمرين ( PageIndex {20} )

(- س ^ 2 + 8 س = -84 )

تمرين ( PageIndex {21} )

(2 أ ^ 2 + 2 أ - 1 = 0 )

إجابه

(a = dfrac {-1 pm sqrt {3}} {2} )

تمرين ( PageIndex {22} )

(4 ب ^ 2 - 8 ب = 16 )

تمرين ( PageIndex {23} )

(9x ^ 2 + 12x - 5 = 0 )

إجابه

(x = dfrac {1} {3}، - dfrac {5} {3} )

تمرين ( PageIndex {24} )

(16y ^ 2-8y - 3 = 0 )

تمرين ( PageIndex {25} )

(2 س ^ 2 + 5 س - 4 = 0 )

إجابه

(x = dfrac {-5 pm sqrt {57}} {4} )

تمرين ( PageIndex {26} )

(3 أ ^ 2 + 2 أ - 24 = 0 )

تمرين ( PageIndex {27} )

(س ^ 2 + 2 س + 8 = 0 )

إجابه

لا يوجد حل رقم حقيقي.

تمرين ( PageIndex {28} )

(ص ^ 2 - 3 ص + 10 = 0 )

تمرين ( PageIndex {29} )

(7 أ ^ 2 + 3 أ - 1 = 0 )

إجابه

(a = dfrac {-3 pm sqrt {37}} {14} )

مشاكل الآلة الحاسبة

للمسائل التالية ، قرب كل حل لأقرب جزء من مائة.

تمرين ( PageIndex {30} )

(5 م ^ 2 - 2 م - 6 = 0 )

تمرين ( PageIndex {31} )

(3 س ^ 2 + 5 ص = 7 )

إجابه

(ص = 0.91 ، −2.57 )

تمرين ( PageIndex {32} )

(1.8 س ^ 2 + 2.3 س - 4.1 = 0 )

تمرين ( PageIndex {33} )

(0.04a ^ 2 - 0.03a + 0.02 = 0 )

إجابه

لا يوجد حل رقم حقيقي.

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {34} )

حلل العامل (12ax - 6bx + 20ay - 10by ) عن طريق التجميع.

تمرين ( PageIndex {35} )

بيّن المتباينة المركبة (- 6 le -2x + 2 <-4 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {36} )

أوجد معادلة الخط المار بالنقطتين ((1، -2) ) و ((0، 4) )

تمرين ( PageIndex {37} )

ابحث عن المنتج: ( dfrac {x ^ 2 - 4x - 12} {x ^ 2 - 2x - 8} cdot dfrac {x ^ 2 - 3x - 4} {x ^ 2 - 3x - 18} )

إجابه

( dfrac {x + 1} {x + 3} )

تمرين ( PageIndex {38} )

استخدم طريقة استخراج الجذور لحل ((x-2) ^ 2 = 25 )


استكمال فئة طريقة المربع 10

انقل المصطلح الرقمي (ثابت) إلى الجانب الأيمن من المعادلة.

في نتيجة الخطوة 2 ، اكتب الحد "x" كمضاعف 2. & # xa0

يجب كتابة 6x بالشكل 2 (3) (x).

يجب كتابة 5x بالشكل 2 (x) (5/2). & # xa0

ستكون نتيجة الخطوة 3 على شكل & # xa0

أضف الآن y 2 & # xa0 إلى كل جانب لإكمال المربع الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة. & # xa0 & # xa0

في نتيجة الخطوة 4 ، إذا استخدمنا المتطابقة الجبرية

على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على & # xa0

حل (x + y) 2 & # xa0 = & # xa0 k + y 2 & # xa0 من أجل x بأخذ الجذر التربيعي على كلا الجانبين. & # xa0


10.2 يحل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا. إذا فاتتك مشكلة ، فارجع إلى القسم المذكور وراجع المادة.

حتى الآن ، قمنا بحل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل واستخدام خاصية الجذر التربيعي. في هذا القسم ، سنحل المعادلات التربيعية من خلال عملية تسمى "إكمال المربع".

أكمل مربع التعبير ذي الحدين

في القسم الأخير ، تمكنا من استخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة (ص - 7) 2 = 12 (ص - 7) 2 = 12 لأن الجانب الأيسر كان مربعًا كاملًا.

لقد حللنا أيضًا معادلة كان فيها الجانب الأيسر ثلاثي حدود مربع كامل ، ولكن كان علينا إعادة كتابتها بالصيغة (x - k) 2 (x - k) 2 لاستخدام خاصية الجذر التربيعي.

ماذا يحدث إذا لم يكن المتغير جزءًا من مربع كامل؟ هل يمكننا استخدام الجبر لعمل مربع كامل؟

دعونا ندرس نمط المربع ذي الحدين الذي استخدمناه عدة مرات. سوف ننظر إلى مثالين.

نمط المربعات ذات الحدين

يمكننا استخدام هذا النمط "لعمل" مربع كامل.

لاحظ أن الحد الأول لـ x 2 + 6 x x 2 + 6 x مربع ، x 2 x 2.

ما الرقم الذي يمكننا إضافته إلى x 2 + 6 x x 2 + 6 x لنحصل على مربع كامل ثلاثي الحدود؟

الآن ، نربّع الحد الثاني من ذات الحدين لنحصل على الحد الأخير من المثلث الثلاثي للمربع الكامل ، إذن نربّع ثلاثة لنحصل على الحد الأخير ، تسعة.

كيف

أكمل المربع.

لإكمال مربع x 2 + b x x 2 + b x:

مثال 10.14

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

المحلول

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

مثال 10.15

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين. م 2-26 م 2-26 م

المحلول

أكمل المربع لعمل مثلث ثلاثي الحدود كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

مثال 10.16

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

المحلول

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

مثال 10.17

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

المحلول

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. اكتب النتيجة كمربع ذي الحدين.

حل المعادلات التربيعية للصيغة x 2 + bx + ج = 0 بإكمال المربع

عند حل المعادلات ، يجب أن نفعل الشيء نفسه دائمًا لكلا طرفي المعادلة. هذا صحيح ، بالطبع ، عندما نحل معادلة تربيعية بإكمال المربع أيضًا. عندما نضيف حدًا إلى أحد طرفي المعادلة لنحصل على مربع كامل ثلاثي الحدود ، يجب أيضًا أن نضيف المصطلح نفسه إلى الجانب الآخر من المعادلة.

ثم نقوم بالتحليل إلى اليسار ونبسط على اليمين.

الآن أصبحت المعادلة في شكل يتم حلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي. يُعد إكمال المربع طريقة لتحويل المعادلة إلى الشكل الذي نحتاجه حتى نتمكن من استخدام خاصية الجذر التربيعي.

مثال 10.18

كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية للصيغة x 2 + b x + c = 0 x 2 + b x + c = 0 عن طريق إكمال المربع

المحلول

كيف

حل معادلة تربيعية بالصيغة x 2 + b x + c = 0 x 2 + b x + c = 0 بإكمال المربع.

  1. الخطوة 1. افصل الحدود المتغيرة في جانب والحدود الثابتة على الجانب الآخر.
  2. الخطوة 2. أوجد (1 2 · b) 2 (1 2 · b) 2 ، الرقم لإكمال المربع. أضفه إلى طرفي المعادلة.
  3. الخطوة 3. حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل كمربع ذي الحدين.
  4. الخطوة 4. استخدم خاصية الجذر التربيعي.
  5. الخطوة 5. بسّط الجذر ثم حل المعادلتين الناتجتين.
  6. الخطوة 6. تحقق من الحلول.

مثال 10.19

المحلول

مثال 10.20

المحلول

في المثال السابق ، لم يكن هناك حل حقيقي لأن (x + k) 2 (x + k) 2 كان يساوي عددًا سالبًا.

مثال 10.21

المحلول

هناك طريقة أخرى للتحقق من ذلك وهي استخدام الآلة الحاسبة. أوجد قيمة p 2 - 18 p p 2 - 18 p لكلا الحلين. يجب أن تكون الإجابة −6 −6.

سنبدأ المثال التالي بعزل الحدود المتغيرة على الجانب الأيسر من المعادلة.

مثال 10.22

المحلول

لحل المعادلة التالية ، يجب علينا أولاً جمع كل الحدود المتغيرة في الجانب الأيسر من المعادلة. ثم ننتقل كما فعلنا في الأمثلة السابقة.

مثال 10.23

المحلول

لاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة التالية في صورة عوامل. لكن الجانب الأيمن ليس صفرًا ، لذلك لا يمكننا استخدام خاصية المنتج الصفري. بدلاً من ذلك ، نضرب العوامل ثم نضع المعادلة في الصورة القياسية لحلها بإكمال المربع.

مثال 10.24

المحلول

نضرب ذات الحدين على اليسار.
أضف 15 لتحصل على الحدود المتغيرة في الطرف الأيسر.
خذ نصف 2 وربّعها. (1 2 (2)) 2 = 1 (1 2 (2)) 2 = 1
أضف 1 إلى كلا الجانبين.
حلل ثلاثي الحدود للمربع الكامل إلى عوامل كمربع ذي الحدين.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
حل من أجل x.
Rewite لإظهار حلين.
تبسيط.
التحقق من. نترك الشيك لك!

حل المعادلات التربيعية للصيغة فأس 2 + bx + ج = 0 بإكمال المربع

تعمل عملية إكمال المربع بشكل أفضل عندما يكون المعامل الأول هو واحد ، لذا فإن الجانب الأيسر من المعادلة يكون بالصيغة x 2 + b x + c x 2 + b x + c. إذا كان للمصطلح x 2 x 2 معامل ، فإننا نتخذ بعض الخطوات الأولية لجعل المعامل يساوي واحدًا.

في بعض الأحيان ، يمكن تحليل المعامل إلى عوامل من جميع الحدود الثلاثية للحدود. ستكون هذه استراتيجيتنا في المثال التالي.

مثال 10.25

المحلول

أخرج العامل المشترك الأكبر.
قسّم كلا الجانبين على 3 لعزل ثلاثي الحدود.
تبسيط.
اطرح 5 لتحصل على الحدود الثابتة على اليمين.
خذ نصف 4 وربّعها. (1 2 (4)) 2 = 4 (1 2 (4)) 2 = 4
أضف 4 إلى كلا الجانبين.
حلل ثلاثي الحدود للمربع الكامل إلى عوامل كمربع ذي الحدين.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
حل من أجل x.
أعد الكتابة لإظهار حلين.
تبسيط.
التحقق من.

لإكمال المربع ، يجب أن يكون المعامل الرئيسي واحدًا. عندما لا يكون المعامل الرئيسي عاملاً لجميع المصطلحات ، فسنقسم كلا طرفي المعادلة على المعامل الرئيسي. سيعطينا هذا كسرًا للمعامل الثاني. لقد رأينا بالفعل كيفية إكمال المربع بالكسور في هذا القسم.

مثال 10.26

المحلول

مثال 10.27

المحلول

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل المعادلات التربيعية من خلال إكمال المربع:

القسم 10.2 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

أكمل مربع التعبير ذي الحدين

في التدريبات التالية ، أكمل المربع لتحصل على مربع كامل ثلاثي الحدود. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

حل المعادلات التربيعية للصيغة س 2 + ب س + ج = 0 س 2 + ب س + ج = 0 من خلال استكمال الساحة

في التدريبات التالية ، قم بحلها بإكمال المربع.

حل المعادلات التربيعية للصيغة أ س 2 + ب س + ج = 0 أ س 2 + ب س + ج = 0 من خلال استكمال الساحة

في التدريبات التالية ، قم بحلها بإكمال المربع.

الرياضيات اليومية

تقوم رافي بتصميم ملعب مستطيل بمساحة 320 قدم مربع. يريد أن يكون أحد جوانب الملعب أطول بأربعة أقدام من الجانب الآخر. حل المعادلة ص 2 + 4 ص = 320 ص 2 + 4 ص = 320 ل ص ص ، طول جانب واحد من الملعب. ما هو طول الضلع الآخر؟

تريد إيفيت وضع حمام سباحة مربع في زاوية الفناء الخلفي لمنزلها. سيكون لها سطح 3 أقدام على الجانب الجنوبي من المسبح وسطح 9 أقدام على الجانب الغربي من المسبح. تبلغ مساحتها الإجمالية 1080 قدمًا مربعًا للمسبح وطابقين. حل المعادلة (ث + 3) (ث + 9) = 1080 (ث + 3) (ق + 9) = 1080 ل ث ، طول جانب من البركة.

تمارين الكتابة

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة المراجعة هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Elementary Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 22 أبريل 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/10-2-solve-quadratic-equations-by-completing-the-square

    © 22 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

    انقل المصطلح الرقمي (ثابت) إلى الجانب الأيمن من المعادلة.

    في نتيجة الخطوة 2 ، اكتب الحد "x" كمضاعف 2. & # xa0

    يجب كتابة 6x بالشكل 2 (3) (x).

    يجب كتابة 5x بالشكل 2 (x) (5/2). & # xa0

    ستكون نتيجة الخطوة 3 على شكل & # xa0

    أضف الآن y 2 & # xa0 إلى كل جانب لإكمال المربع الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة. & # xa0 & # xa0

    في نتيجة الخطوة 4 ، إذا استخدمنا المتطابقة الجبرية

    على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على & # xa0

    حل (x + y) 2 & # xa0 = & # xa0 k + y 2 & # xa0 من أجل x بأخذ الجذر التربيعي على كلا الجانبين. & # xa0

    حل المعادلة التربيعية التالية بإكمال طريقة التربيع.

    في المعادلة التربيعية المعطاة 9x 2 & # xa0- 12x + 4 = 0 ، قسّم المعادلة الكاملة على 9 (معامل x 2). & # xa0

    اطرح 4/9 من كل جانب. & # xa0

    في نتيجة الخطوة 2 ، اكتب الحد "x" كمضاعف 2. & # xa0

    أضف الآن (2/3) 2 & # xa0 إلى كل جانب لإكمال المربع الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة. & # xa0 & # xa0

    خذ الجذر التربيعي على كلا الجانبين. & # xa0

    حل المعادلة التربيعية التالية بإكمال طريقة التربيع.

    اكتب المعادلة التربيعية المعطاة في الصورة:

    اضرب كل جانب ب (x - 1). & # xa0

    قسّم المعادلة بأكملها على 3.

    في المعادلة التربيعية x 2 & # xa0- 2x - 3 = 0 ، معامل x 2 & # xa0is 1. & # xa0

    إذن ، ليس لدينا ما نفعله في هذه الخطوة. & # xa0

    أضف 3 إلى كل جانب من المعادلة & # xa0 x 2 & # xa0- 2x - 3 = 0.

    في نتيجة الخطوة 2 ، اكتب الحد "x" كمضاعف 2. & # xa0

    أضف الآن 1 2 & # xa0 إلى كل جانب لإكمال المربع على الجانب الأيسر من المعادلة. & # xa0 & # xa0

    خذ الجذر التربيعي على كلا الجانبين. & # xa0

    بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، & # xa0 إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، يرجى استخدام بحث google المخصص هنا.

    إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

    نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

    يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


    10.5: حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة إكمال المربع

    روابط أكاديمية خان حسب القسم #

    شاهد مقاطع الفيديو في الروابط أدناه لمشاهدة شرح محتوى الأقسام مرة أخرى. إذا كنت غائبًا عندما ننتقل إلى قسم ، فستحتاج إلى مشاهدة مقاطع الفيديو الخاصة بكل قسم. تقريبًا كل مقاطع الفيديو هذه أقصر من 10 دقائق.

    10.1 مقدمة. لرسم القطع المكافئ بالرسم البياني 10.1 تفسير الرسم البياني لنموذج تربيعي 10.1 استكشاف الرسوم البيانية التربيعية
    ليست أكاديمية خان
    10.2 وظائف تربيعية
    ليست أكاديمية خان
    10.3 حل الدوال التربيعية بطريقة الجذر التربيعي 10.3 حل المعادلات التربيعية بطريقة الجذر التربيعي 2
    10.3 طريقة الجذر التربيعي - الخطوات 10.3 طريقة الجذر التربيعي - الخطأ الشائع 10.3 حل المعادلات التربيعية عن طريق التمثيل البياني والجذر التربيعي
    ليست أكاديمية خان
    10.4 حل المعادلات التربيعية بالتحليل 10.4 الحل عن طريق التحليل - مثال أكثر صعوبة 10.4 الحل عن طريق التحليل - أبعاد المثلث
    10.4 حل بالتحليل - أبعاد الصندوق 10.4 حل بالتحليل إلى عوامل
    ليست أكاديمية خان
    10.5 استكمال الساحة
    10.5 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع 10.5 استكمال المربع برقم أمام x ^ 2 10.5 استكمال الساحة
    ليست أكاديمية خان
    10.6 الصيغة التربيعية 10.6 الصيغة التربيعية 2 10.6 إعادة الكتابة إلى النموذج القياسي لاستخدام الصيغة التربيعية
    10.6 الحل باستخدام الصيغة التربيعية
    ليست أكاديمية خان
    10.7 استخدام التمييز لإيجاد عدد الحلول الحقيقية 10.7 استخدام التمييز
    ليست أكاديمية خان
    10.8 اختيار نموذج خطي أو تربيعي أو أسي
    ليست أكاديمية خان

    سأعطيك نسخة من ورقة العمل في الفصل إذا كان من المقرر استحقاقها للحصول على درجة. إذا فقدت نسختك أو كنت غائبًا ولا تريد أن تتخلف عن الركب ، يمكنك الوصول إليها هنا وطباعة نسخة. لن يتم تعيين أو تقدير العديد من أوراق العمل هذه ، ولكن إذا كنت تريد تدريبًا إضافيًا ، فهناك خيارات لك هنا.


    السبب الوحيد الذي جعلنا نتمكن من حلها في الصفحة السابقة هو أنهم وضعوا بالفعل جميع ملفات x داخل مربع ، حتى نتمكن من نقل الجزء العددي تمامًا من المعادلة إلى الجانب الآخر من علامة & quotals & quot ؛ ثم الجذر التربيعي لكلا الجانبين. لن يقوموا دائمًا بتنسيق الأشياء بشكل جيد مثل هذا. إذن كيف ننتقل من معادلة تربيعية عادية مثل المذكورة أعلاه إلى معادلة جاهزة للجذر التربيعي؟

    سيتعين علينا & quot إكمال المربع & quot.

    إليك كيفية حل المعادلة الأخيرة في الصفحة السابقة ، إذا لم يتم تنسيقها بشكل جيد بالنسبة لنا.

    استخدم إكمال المربع لحل المشكلة x 2 و - 4x & ndash 8 = 0.

    كما أشرنا أعلاه ، لا تحسب هذه المعادلة التربيعية في الحسبان ، لذا لا يمكنني حل المعادلة بالتحليل. ولم يعطوني المعادلة بصيغة جاهزة لحساب الجذر التربيعي. لكن هناك طريقة يمكنني من خلالها معالجة المعادلة التربيعية لوضعها في هذا النموذج الجاهز للتجذير التربيعي ، حتى أتمكن من حلها.

    أولاً ، أضع الرقم الحر في الجانب الآخر من المعادلة:

    ثم ألقي نظرة على معامل x -المصطلح ، وهو & ndash4 في هذه الحالة. آخذ نصف هذا الرقم (بما في ذلك العلامة) ، مما يعطيني & ndash2. (أحتاج إلى تتبع هذه القيمة. ستعمل على تبسيط عملي لاحقًا.)

    ثم أقوم بتربيع هذه القيمة للحصول على +4 ، وأضف هذه القيمة التربيعية إلى كلا طرفي المعادلة:

    تخلق هذه العملية تعبيرًا تربيعيًا يمثل مربعًا كاملًا في الجانب الأيسر من المعادلة. يمكنني التحليل ، أو يمكنني ببساطة استبدال المعادلة التربيعية بالصيغة التربيعية ذات الحدين ، وهو المتغير ، x ، جنبًا إلى جنب مع رقم النصف الذي حصلت عليه من قبل (ولاحظت أنني سأحتاج لاحقًا) ، والذي كان & ndash2. في كلتا الحالتين ، أحصل على معادلة الجذر التربيعي:

    (أعلم أنه & quot & ndash2 & quot داخل الأقواس لأن نصف & ndash4 كان & ndash2. من خلال ملاحظة العلامة عندما أجد نصف المعامل ، أساعد في منع نفسي من العبث بالإشارة لاحقًا ، عندما أقوم بالتحويل إلى شكل مربع ذي الحدين.)

    (بالمناسبة ، تسمى هذه العملية & quot إكمال المربع & quot لأننا نضيف مصطلحًا لتحويل التعبير التربيعي إلى شيء عامل كمربع ذي الحدين ، أي أننا & quot؛ أكمل & & quot؛ التعبير لإنشاء مربع كامل ذي الحدين.)

    الآن يمكنني إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة وتبسيطهما وحلهما:

    باستخدام هذه الطريقة ، أحصل على نفس الإجابة التي حصلت عليها من قبل وهي:

    حل 2x 2 و - 5x + 1 = 0 بإكمال المربع.

    هناك خطوة إضافية واحدة لحل هذه المعادلة ، لأن المعامل الرئيسي ليس 1 ، وسأقسم أولاً لتحويل المعامل الرئيسي إلى 1. ها هي عمليتي:

    الآن وقد حصلت على جميع الحدود ذات المتغيرات في أحد طرفيها ، مع الحد العددي تمامًا في الطرف الآخر ، فأنا على استعداد لإكمال المربع في الطرف الأيسر. أولاً ، آخذ معامل المصطلح الخطي (مكتمل بعلامته) ، & ndash (5/2) ، واضربه في النصف ، ومربع:

    ثم أضفت هذه القيمة الجديدة إلى كلا الجانبين ، وقمت بالتحويل إلى الشكل التربيعي ذي الحدين على الجانب الأيسر ، وحل:

    يمكن الجمع بين المصطلحين الموجودين على الجانب الأيمن من السطر الأخير أعلاه فوق قاسم مشترك ، وغالبًا ما يتم كتابة هذه الإجابة (& quotedually & quot؟) ، خاصةً إذا تضمنت تعليمات التمرين اشتراط الجواب النهائي:

    في مكان آخر ، لدي درس حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع. يشرح هذا الدرس (إعادة) الخطوات ويعطي (المزيد) أمثلة لهذه العملية. يوضح أيضًا كيف يمكن اشتقاق الصيغة التربيعية من هذه العملية. إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التعليمات أو الممارسة حول هذا الموضوع ، فيرجى قراءة الدرس على الارتباط التشعبي أعلاه.

    بالمناسبة ، ما لم يتم إخبارك بذلك لديك لاستخدام إكمال المربع ، ربما لن تستخدم هذه الطريقة أبدًا في الممارسة الفعلية عند حل المعادلات التربيعية. إما أن تكون بعض الطرق الأخرى (مثل العوملة) واضحة وأسرع ، أو أن الصيغة التربيعية (التي تمت مراجعتها بعد ذلك) ستكون أسهل في الاستخدام. ومع ذلك ، إذا غطى الفصل الخاص بك إكمال المربع ، فيجب أن تتوقع أن يُطلب منك إظهار أنه يمكنك إكمال المربع لحل تربيعي في الاختبار التالي.

    يمكنك استخدام أداة Mathway أدناه للتدرب على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. ثم انقر فوق الزر وحدد & quotSolve من خلال إكمال المربع & quot لمقارنة إجابتك بإجابتك في Mathway. (أو تخطي الأداة وتوجه إلى الصفحة التالية.)

    (انقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot ليتم نقلك مباشرةً إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)


    متى يجب استخدام الطريقة المتقاطعة

    يمكن أن تكون طريقة التقاطع مفيدة للغاية في سيناريو حيث يكون معامل x² ليس 1. عادةً ما يكون من الصعب تحليل المعادلة التي يكون فيها معامل x² ليس 1 بشكل طبيعي.

    عند إكمال المربع ، نميل إلى قسمة كل حد على معامل a. قد يكون هذا أكثر تعقيدًا وإزعاجًا في بعض الحالات. اسمحوا لي أن أوضح بمثال:

    في هذه المعادلة ، نأتي بالحد الثابت أولاً إلى الطرف الآخر.

    في الخطوة التالية ، نقسم كل حد على معامل ، حيث نحصل على ،

    علينا إضافة مربع نصف معامل x لكلا الطرفين. معامل x يساوي 1/3 ونصفه 1/6.

    × 2 & # 8211 × 3 + 1 6 2 = 10 3 + 1 6 2

    لقد تخطينا بضع خطوات هنا ، لكن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 3 و 36 هو 36 ، لذلك قمنا بضرب البسط والمقام 10/3 في 12 ، ثم أضفنا الحدين. بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة ، نحصل على

    وبالتالي ، فإن حلول x هي ،

    كما ترى ، عندما تكون قيمة معامل x² أي شيء بخلاف 1 ، يمكننا قسمة كل حد على المعامل & # 8220a & # 8221 لمعرفة حل x.

    قد تتساءل عما إذا كانت هناك & # 8217 طريقة أسرع بدلاً من إكمال المربع لحل معادلة عندما يكون المعامل & # 8220a & # 8221 ليس 1. في الواقع ، تعتبر طريقة التقاطع مثالية جدًا للمعادلات التي لا يكون فيها معامل x² 1. اسمحوا لي أن أشرح ذلك بنفس المعادلة السابقة:

    الآن ، يمكننا التحقق مما إذا كان هذان المصطلحان يشكلان الحد الأوسط أم لا:

    الآن بعد أن تأكدنا من إضافة المصطلحين لإنشاء الحد الأوسط ، يمكننا استخدام طريقة التقاطع لتحليل المعادلة على النحو التالي:

    كما ترى ، لقد أضفت المصطلحين في الصف العلوي معًا وضربته في المصطلحين في الصف السفلي.

    هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص عندما يكون المعامل & # 8220a & # 8221 ليس 1. بدلاً من البحث في رأسك للعثور على العوامل المشتركة ، أو الاضطرار إلى حساب أرقام الكسور الكبيرة (كما في حالة إكمال المربع) ، تجعل الطريقة المتقاطعة العملية أسهل وأكثر سلاسة.


    مثال عملي

    لتوضيح الطريقة ، لنبدأ بالمعادلة التربيعية 2x 2 وناقص 8x وناقص 12 = 0.

    ضع الثابت في الحد الأول مساويًا لـ 1 بقسمة كلا الجانبين على 2:

    أعد ترتيب المعادلة عن طريق الجمع 6 على جانبي علامة التساوي:

    يأخذ 1/2 الحد الثاني ثابت ، وربعه ، وأضفه إلى كلا الجانبين. في هذه الحالة ، أضف (4/2) 2 = 2 2 على جانبي المعادلة:

    لاحظ أن التعبير × 2 وناقص 4 × + 2 2 يمكن تحليلها كمربع:

    خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة ، تذكر أن النتيجة يمكن أن تكون موجبة (+) رقم أو سالب (&ناقص) عدد:

    يضيف 2 لكلا الجانبين للحصول على إجابتك:


    10.5: حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة إكمال المربع

    الجذور التربيعية واستكمال المربع

    · حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

    · تحديد واستكمال ثلاثي الحدود التربيعية الكاملة.

    · حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع.

    يمكن حل المعادلات التربيعية بعدة طرق. قد تكون بالفعل على دراية بالعوملة لحل بعض المعادلات التربيعية. ومع ذلك ، لا يمكن تحليل جميع المعادلات التربيعية إلى عوامل. في هذا الموضوع ، ستستخدم الجذور التربيعية لتتعلم طريقة أخرى لحل المعادلات التربيعية - وستعمل هذه الطريقة مع الكل المعادلات التربيعية.

    حل المعادلات التربيعية باستخدام الجذور التربيعية

    طريقة واحدة لحل المعادلة التربيعية x 2 = 9 هي طرح 9 من كلا الطرفين لنحصل على طرف واحد يساوي 0: x 2-9 = 0. يمكن تحليل التعبير الموجود على اليسار إلى عوامل:

    (x + 3)(x - 3) = 0. باستخدام خاصية عامل الصفر ، أنت تعلم أن هذا يعني x + 3 = 0 أو x - 3 = 0 ، إذن x = - 3 أو 3.

    ستتيح لك خاصية أخرى حل هذه المعادلة بسهولة أكبر.

    لو x 2 = أ، من ثم x = أو.

    تشير الخاصية أعلاه إلى أنه يمكنك أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة ، ولكن عليك التفكير في حالتين: الجذر التربيعي الموجب لـ أ والجذر التربيعي السالب لـ أ.

    طريقة مختصرة لكتابة "" أو "" هي. غالبًا ما يُقرأ الرمز ± "إيجابي أو سلبي". إذا تم استخدامها كعملية (جمع أو طرح) ، تتم قراءتها "زائد أو ناقص".

    حل باستخدام خاصية الجذر التربيعي. x 2 = 9

    لأن جانب واحد هو ببساطة x 2 ، يمكنك الحصول على الجذر التربيعي لكلا الجانبين x على جانب واحد. لا تنس استخدام كل من الجذور التربيعية الموجبة والسالبة!

    x = ± 3 (أي ، x = 3 أو −3)

    لاحظ أن هناك فرقًا هنا في الحل x 2 = 9 وإيجاد. إلى عن على x 2 = 9 ، أنت تبحث عنه كل الأرقام الذي مربع هو 9. لأنك تريد فقط رئيسي (غير سالب) الجذر التربيعي. سيكون سالب الجذر التربيعي الأساسي كلاهما. ما لم يكن هناك رمز أمام علامة الراديكالية ، فإن القيمة غير السالبة فقط هي المطلوبة!

    في المثال أعلاه ، يمكنك أخذ الجذر التربيعي للطرفين بسهولة لأنه يوجد حد واحد فقط في كل جانب. في بعض المعادلات ، قد تحتاج إلى القيام ببعض الأعمال للحصول على المعادلة بهذه الصورة. ستجد أن هذا ينطوي على العزلة x 2 .

    يحل. 10x 2 + 5 = 85

    إذا حاولت أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة الأصلية ، فسيكون لديك على اليسار ، ولا يمكنك تبسيط ذلك. اطرح 5 من كلا الطرفين لتحصل على x 2 مصطلح في حد ذاته.

    يمكنك الآن أخذ الجذر التربيعي للطرفين ، لكنك ستحصل عليه

    كمعامل ، وسوف تحتاج إلى القسمة على هذا المعامل. ستكون القسمة على 10 قبل أخذ الجذر التربيعي أسهل قليلاً.

    الآن لديك فقط x 2 على اليسار ، لذا يمكنك استخدام خاصية الجذر التربيعي بسهولة.

    تأكد من تبسيط الجذر إن أمكن.

    في بعض الأحيان أكثر من مجرد x يتم تربيعه:

    يحل. (x – 2) 2 – 50 = 0

    Again, taking the square root of both sides at this stage will leave something you can’t work with on the left. Start by adding 50 to both sides.

    Because (x – 2) 2 is a squared quantity, you can take the square root of both sides.

    To isolate x on the left, you need to add 2 to both sides.

    Be sure to simplify the radical if possible.

    This method can be helpful when solving real-world problems.

    The formula for compounding interest annually is

    أ = ص(1 + ص) ر ، أين أ is the balance after ر years, when ص is the principal (initial amount invested) and ص is the interest rate.

    Find the interest rate ص if $3,000 is invested and grows to $3,307.50 after 2 years.

    أ = ص(1 + ص) ر

    First identify what you know. The amount after 2 years is 3,307.50, so

    أ = 3,307.50. This also means ر = 2. The principal ص is the original amount invested, so that is 3,000.

    Substitute the values for the variables you know. Only ص is left, so try to isolate ص.

    Dividing both sides by 3000 leaves only (1 + ص) 2 on the right. Because (1 + ص) 2 is a squared quantity you can use the Square Root Property.

    Using a calculator, you can find that is 1.05.

    Subtract 1 from both sides to isolate ص on the right.

    You now have two equations, one using 1.05 and one using −1.05.

    Simplifying the two equations gives two solutions to the equation.

    The interest rate is 0.05, or 5%.

    Notice that a negative interest rate doesn’t make sense for this context, so only the positive value could be the interest rate. The -2.05 is an extraneous solution and must be discarded.

    يحل. (x – 3) 2 – 2 = 16

    Correct. Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = , so x = 3 ± . Simplifying the radical gives .

    غير صحيح. You forgot the negative square root when you took the square root of both sides. Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = , so x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

    غير صحيح. There are two mistakes here: Knowing the square root of 16 may have made you forget that to solve this equation, the squared quantity needs to be isolated Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives

    x – 3 = . (Note that both the positive and negative square roots are included this is the other probable mistake.) So, x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

    غير صحيح. Knowing the square root of 16 may have made you forget that to solve this equation, the squared quantity needs to be isolated Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = . So, x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

    الكمال ثلاثي الحدود مربع

    Of course, quadratic equations often will not come in the format of the examples above. Most of them will have x مصطلحات. However, you may be able to factor the expression into a squared binomial—and if not, you can still use squared binomials to help you.

    First, let’s look at squared binomials. Some of the above examples have squared binomials: (1 + ص) 2 and (x – 2) 2 are squared binomials. (They are binomials, two terms, that are squared.) If you expand these, you get a ثلاثي الحدود المربع الكامل. For example, (1 + ص) 2 = (1 + ص)(1 + ص) = 1 + 2ص + ص 2 , or ص 2 + 2ص + 1. The trinomial ص 2 + 2ص + 1 is a perfect square trinomial. Notice that the first and last terms are squares (ص 2 and 1). The middle term is twice the product of the square roots of the first and last terms, the square roots are ص and 1, and the middle term is 2(ص)(1).

    Perfect square t rinomials have the form ص 2 + 2rs + s 2 and can be factored as (ص + s) 2 , or they have the form ص 2 – 2rs + s 2 and can be factored as (صs) 2. Let’s factor a perfect square trinomial into a squared binomial.


    Q: Given the definitions of f (x) and g(x) below, find the value of g(f(2)). f (x) = 3x? – 3x-3 g(x) = .

    A: Since, we have been given that f(x)=3x2-3x-3 -(i)g(x)=x+1-(ii)Our Aim is to Calculate gf2=?

    Q: The derivative of the function f(x)= 3sin²(x) is: f '(x) = 6 sin xcos x f '(x) = - 6 sinx cos x O Th.

    A: Given that fx=3 sin2x Differentiate the given function with respect to x. ddxfx=ddx3 sin2x=3ddxsin2x.

    Q: Convert the angle to D°​M'S" form, rounding to the nearest second. 51.26*

    ج: انقر لرؤية الجواب

    Q: . Find the exact values of the six circeular functions of e.

    A: Six circular functions of 'θ' sinθ,cosθ,tanθ,cscθ,secθ and cotθ According to the question, First con.

    Q: An aeroplane flies due north from Ikeja Airport for 500 km. It then flies on a bearing of 060° for a.

    ج: انقر لرؤية الجواب

    Q: Use a cofunction to write an expression equal to sec5π/11.

    ج: انقر لرؤية الجواب

    Q: Could you please explain how to find the domain of trig identities when verifying them? Can you find.

    A: Given: sinθsecθtanθ+cotθ=cos2-cos2θ

    Q: Find the length of side x in simplest radical form with a rational denominator. 45° 1 45°

    ج: انقر لرؤية الجواب

    Q: 2. Convert the polar equation to rectangular form. Simplify your answer p?sec @ = r?tanɰ sec 0 – rc.


    شاهد الفيديو: شرح طريقة نيوتن لإيجاد الجذور (شهر اكتوبر 2021).