مقالات

1.2: مثلثات قائمة خاصة


أهداف التعلم

  • يتعرف على مثلثات قائمة خاصة.
  • استخدم حصص المثلث القائم الزاوية الخاصة لحل المثلثات القائمة الزاوية.

30-60-90 مثلثات قائمة

الوتر يساوي ضعف الساق الأصغر ، بينما الساق الأكبر ( sqrt {3} ) مضروبًا في الأصغر.

يسمى أحد المثلثين القائمين الخاصين أ 30-60-90 مثلثبعد زواياه الثلاث.

30-60-90 نظرية: إذا كان للمثلث قياسات زاوية (30 ^ { circ} ) و (60 ^ { circ} ) و (90 ^ { circ} ) ، فإن الأضلاع تكون في النسبة (x: x sqrt {3}: 2x ).

دائمًا ما تكون الساق الأقصر (x ) ، والساق الأطول دائمًا (x sqrt {3} ) ، وتر دائمًا (2x ). إذا نسيت هذه النظريات ، فلا يزال بإمكانك استخدام نظرية فيثاغورس.

ماذا لو أعطيت مثلث قائم الزاوية من 30-60-90 وطول أحد أضلاعه؟ كيف يمكنك معرفة أطوال جوانبها الأخرى؟

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد قيمة (x ) و (y ).

المحلول

لقد حصلنا على ساق أطول.

( start {align} x sqrt {3} & = 12 x & = 12 sqrt {3} cdot dfrac { sqrt {3}} { sqrt {3}} = 12 dfrac { sqrt {3}} {3} = 4 sqrt {3} & text {الوتر هو} y & = 2 (4 sqrt {3}) = 8 sqrt {3} end {align} )

مثال ( PageIndex {2} )

أوجد قيمة (x ) و (y ).

المحلول

لدينا الوتر.

( begin {align} 2x & = 16 x & = 8 text {الرجل الأطول} y & = 8 cdot sqrt {3} & = 8 sqrt {3} end {align} )

مثال ( PageIndex {3} )

أوجد طول الأضلاع المفقودة.

المحلول

نحصل على ساق أقصر. إذا كان (x = 5 ) ، إذن الساق الأطول ، (b = 5 sqrt {3} ) ، والوتر ، (c = 2 (5) = 10 ).

مثال ( PageIndex {4} )

أوجد طول الأضلاع المفقودة.

المحلول

لدينا الوتر. (2x = 20 ) ، وبالتالي فإن الساق الأقصر (f = dfrac {20} {2} = 10 ) والساق الأطول (g = 10 sqrt {3} ).

مثال ( PageIndex {5} )

المستطيل به جوانب 4 و (4 sqrt {3} ). ما هو طول القطر؟

المحلول

إذا لم تحصل على صورة ، ارسم واحدة.

الطولان هما (x ) أو (x sqrt {3} ) ، لذا سيكون القطر (2x ) أو (2 (4) = 8 ).

إذا لم تتعرف على هذا المثلث 30-60-90 ، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس أيضًا.

( start {align} 4 ^ 2 + (4 sqrt {3}) ^ 2 & = d ^ 2 16 + 48 & = d ^ 2 d = sqrt {64} & = 8 end {بمحاذاة } )

إعادة النظر

  1. في المثلث 30-60-90 ، إذا كانت الضلع الأقصر 5 ، فإن الساق الأطول هي __________ والوتر ___________.
  2. في المثلث 30-60-90 ، إذا كانت الضلع الأقصر (x ) ، فالساق الأطول هي __________ والوتر ___________.
  3. مستطيل له أضلاع بطول 6 و (6 sqrt {3} ). ما هو طول القطر؟
  4. ضلعا المستطيل (المتقابلان) يساويان 10 والقطر 20. ما طول الضلعين الآخرين

45-45-90 مثلثات قائمة

المثلث القائم الزاوية ذو الأرجل المتطابقة والزوايا الحادة هو مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. يسمى هذا المثلث أيضًا أ 45-45-90 مثلث (سميت بعد قياس الزاوية).

( Delta ABC ) مثلث قائم الزاوية به (m angle A = 90 ^ { circ} ) و ( overline {AB} cong overline {AC} ) و (m angle ب = م زاوية ج = 45 ^ { دائرة} ).

45-45-90 نظرية: إذا كان المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين ، فإن أضلاعه تكون في النسبة (x: x: x sqrt {2} ). لأي مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين هي (س ) و وتر دائمًا (x sqrt {2} ).

ماذا لو أعطيت مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين وطول أحد أضلاعه؟ كيف يمكنك معرفة أطوال جوانبها الأخرى؟

مثال ( PageIndex {6} )

أوجد طول (س ).

المحلول

استخدم النسبة (x: x: x sqrt {2} ).

هنا ، لدينا الوتر. حل من أجل (x ) في النسبة.

( start {align} x sqrt {2} = 16 x = 16 sqrt {2} cdot dfrac { sqrt {2}} { sqrt {2}} = dfrac {16 sqrt {2}} {2} = 8 sqrt {2} end {align} )

مثال ( PageIndex {7} )

أوجد طول (x ) ، حيث (x ) هو وتر المثلث 45-45-90 بطول الساق (5 sqrt {3} ).

المحلول

استخدم النسبة (x: x: x sqrt {2} ).

(x = 5 sqrt {3} cdot sqrt {2} = 5 sqrt {6} )

مثال ( PageIndex {8} )

أوجد طول الضلع المفقود.

المحلول

استخدم النسبة (x: x: x sqrt {2} ). (TV = 6 ) لأنها تساوي (ST ). إذًا ، (SV = 6 cdot sqrt {2} = 6 sqrt {2} ).

مثال ( PageIndex {9} )

أوجد طول الضلع المفقود.

المحلول

استخدم النسبة (x: x: x sqrt {2} ). (AB = 9 sqrt {2} ) لأنها تساوي (AC ). إذن ، (BC = 9 sqrt {2} cdot sqrt {2} = 9 cdot 2 = 18 ).

مثال ( PageIndex {10} )

مربع له قطر طوله 10 ، ما أطوال أضلاعه؟

المحلول

ارسم صورة.

نعلم أن نصف المربع هو مثلث 45-45-90 ، لذلك (10 ​​= s sqrt {2} ).

( start {align} s sqrt {2} & = 10 s & = 10 sqrt {2} cdot dfrac { sqrt {2}} { sqrt {2}} = dfrac {10 sqrt {2}} {2} = 5 sqrt {2} end {align} )

إعادة النظر

  1. في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، إذا كان طول الساق 4 ، فإن الوتر يكون __________.
  2. في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، إذا كان الرجل هو x ، فإن الوتر يكون __________.
  3. مربع له أضلاع طولها 15. ما هو طول القطر؟
  4. قطر المربع هو 22. ما طول كل ضلع؟

كلمات

شرطتعريف
30-60-90 نظريةإذا كانت قياسات زوايا المثلث 30 و 60 و 90 درجة ، فإن الأضلاع تكون في النسبة (x: x sqrt {3}: 2x )
45-45-90 نظريةلأي مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، إذا كانت الأرجل بطول x وحدة ، يكون الوتر دائمًا (x sqrt {2} ).
الوترالوتر في المثلث القائم الزاوية هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية. إنه مقابل الزاوية اليمنى.
أرجل مثلث قائم الزاويةأرجل المثلث القائم الزاوية هما الضلعان الأقصر للمثلث الأيمن. الأرجل متاخمة للزاوية اليمنى.
نظرية فيثاغورسنظرية فيثاغورس هي علاقة رياضية بين أضلاع مثلث قائم الزاوية ، معطاة من خلال (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ) ، حيث a و b هي أرجل المثلث و c هو وتر المثلث .
أصوليعلامة ( sqrt {} ) أو الجذر التربيعي.

مصادر إضافية

فيديو: حل مثلث قائم الزاوية

الأنشطة: 30-60-90 سؤال مناقشة حول المثلثات القائمة

مساعدات الدراسة: دليل دراسة المثلثات اليمنى الخاصة

الممارسة: 30-60-90 مثلثات قائمة 45-45-90 مثلثات قائمة

العالم الحقيقي: خوض الحرب على المخدرات باستخدام الهندسة والمثلثات الخاصة


1.8: نسب ومثلثات قائمة خاصة

ال نظرية فيثاغورس يعد أمرًا رائعًا لإيجاد الضلع الثالث لمثلث قائم الزاوية عندما تعرف بالفعل ضلعين آخرين. هناك بعض المثلثات مثل 30-60-90 و45-45-90 وهي شائعة جدًا لدرجة أنه من المفيد معرفة النسب الجانبية دون استخدام نظرية فيثاغورس في كل مرة. يتيح لك استخدام هذه الأنماط أيضًا حل الجوانب المفقودة من هذه المثلثات الخاصة تمامًا عندما تعرف طول ضلع واحد فقط.

إذا كان المثلث قائمًا 45-45-90 أضلاعه 6 بوصات و 6 بوصات و (س ) بوصة ، فما قيمة (س )؟

مثلثات قائمة خاصة

هناك ثلاثة أنواع من المثلثات القائمة الزاوية الخاصة ، مثلثات 30-60-90 ، ومثلثات 45-45-90 ، ومثلثات فيثاغورس الثلاثية.

30-60-90 مثلثات

يحتوي المثلث الأيمن 30-60-90 على نسب جانبية (x ) ، (x sqrt <3> ) ، (2x ).

الشكل ( PageIndex <1> )

تأكد من نظرية فيثاغورس:

45-45-90 مثلثات

المثلث الأيمن 45-45-90 له نسب جانبية (x، x، x sqrt <2> ).

الشكل ( PageIndex <2> )

تأكد من نظرية فيثاغورس:

لاحظ أن ترتيب النسب الجانبية (x، x sqrt <3>، 2x ) و (x، x، x sqrt <2> ) مهم لأن لكل نسبة جانب زاوية مقابلة. في كل المثلثات ، تتوافق الأضلاع الأصغر مع الزوايا الأصغر والأضلاع الأكبر تتوافق دائمًا مع الزوايا الأكبر.

الشكل ( PageIndex <3> )

المثلثات الثلاثية فيثاغورس

ثلاثة أضعاف عدد فيثاغورس هي مثلثات قائمة خاصة ذات جوانب صحيحة. بالرغم من أن الزوايا ليست أعدادًا صحيحة ، إلا أن معرفة النسب الجانبية مفيدة جدًا لأنها تظهر في كل مكان. إن معرفة تضاعف الأعداد هذه يوفر أيضًا الكثير من الوقت من تكرار نظرية فيثاغورس. فيما يلي بعض الأمثلة على ثلاثة أضعاف عدد فيثاغورس:

يمكن إيجاد المزيد من ثلاثة أضعاف عدد فيثاغورس بقياس أي عدد آخر عدد فيثاغورس ثلاثي. فمثلا:

(3،4،5 rightarrow 6،8،10 ) (تم التحجيم بمعامل 2)

يمكن إيجاد عدد أكبر من ثلاثة أضعاف فيثاغورس بأخذ أي عدد صحيح فردي مثل 11 ، وتربيعه للحصول على 121 ، وتقليل النتيجة إلى النصف للحصول على 60.5. الرقم الأصلي 11 والرقمان اللذان يكونان 0.5 أعلاه وأدناه (60 و 61) سيكونان دائمًا عددًا ثلاثيًا فيثاغورس.

سُئلت سابقًا عن مثلث قائم الزاوية 45-45-90 بجوانب 6 بوصات و 6 بوصات و (س ) بوصات.

إذا كان بإمكانك التعرف على نمط المثلث القائم 45-45-90 ، فإن المثلث القائم الزاوية الذي له أرجل 6 بوصات و 6 بوصات له وتر يساوي (6 sqrt <2> ) بوصة. (س = 6 الجذر التربيعي <2> ).

مثلث قائم الزاوية 30-60-90 له وتر طوله 10. ما أطوال ضلعين آخرين؟

الوتر هو الضلع المقابل لـ 90. أحيانًا يكون من المفيد رسم صورة أو عمل طاولة.


محتويات

يتم تحديد المثلثات اليمنى الخاصة "القائمة على الزاوية" من خلال النسبة الصحيحة للزوايا التي يتكون منها المثلث. النسبة الصحيحة لزوايا هذه المثلثات هي بحيث أن الزاوية (اليمنى) الأكبر تساوي مجموع الزوايا الأصغر: . يتم استنتاج أطوال الأضلاع بشكل عام من أساس دائرة الوحدة أو الطرق الهندسية الأخرى. هذا النموذج هو الأكثر إثارة للاهتمام لأنه يمكن استخدامه لإعادة إنتاج قيم الدوال المثلثية للزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة أمبير.

45-45-90 مثلث

أطوال أضلاع المثلث 45-45-90

ينتج عن بناء قطري لمربع مثلث تكون زواياه الثلاث في النسبة . مع جمع الزوايا الثلاث حتى 180 درجة (π) ، قياس الزوايا على التوالي 45 درجة 45° و 90 درجة الجانبين في النسبة

دليل بسيط. لنفترض أن لديك مثل هذا المثلث مع الأرجل أ و ب والوتر ج. لنفترض أن أ = 1. بما أن قياس زاويتين 45 درجة ، فهذا مثلث متساوي الساقين ولدينا ب = 1. حقيقة أن يتبع مباشرة من نظرية فيثاغورس.

30-60-90 مثلث

أطوال أضلاع مثلث 30-60-90

هذا مثلث زواياه الثلاث في النسبة /> ، وقياسه على التوالي 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة. نظرًا لأن هذا المثلث هو نصف مثلث متساوي الأضلاع ، يشير البعض إلى هذا على أنه مثلث hemieq. التعيين 30-60-90 ليس مرهقًا فحسب ، بل يشير إلى الدرجة ، وهو تقسيم تعسفي للقياس الزاوي. الجانبين في النسبة />.

الدليل على هذه الحقيقة واضح باستخدام علم المثلثات. على الرغم من أن البرهان الهندسي أقل وضوحًا ، إلا أنه تافه أيضًا:

ارسم مثلثًا متساوي الأضلاع ABC بطول الجانب 2 وبنقطة د كنقطة منتصف الجزء قبل الميلاد. ارسم خط ارتفاع من أ ل د. ثم ABD هو مثلث 30-60-90 (Hemieq) مع وتر في الطول 2و القاعدة BD من الطول 1. حقيقة أن الساق المتبقية ميلادي له طول يتبع مباشرة من نظرية فيثاغورس.


مثلثات قائمة خاصة 45 45 90

المثلث الأيمن الخاص الشهير الآخر هو مثلث 45 & # xB0 45 & # xB0 90 & # xB0. & aposs هو المثلث الأيمن الوحيد الممكن وهو أيضًا مثلث متساوي الساقين. أيضًا ، يُظهر الشكل الذي تم إنشاؤه عندما قطعنا المربع على طول القطر:

هل تشعر بالفضول حيال خصائص هذا المثلث و aposs؟ ألق نظرة على أداتنا حول المثلث 45 & # xB0 45 & # xB0 90 & # xB0.


أنواع المثلث الأيمن الخاص

أكثر المثلثين الأيمن الخاص شيوعًا هما:

45-45-90 مثلث

المثلث 45-45-90 هو مثلث قائم الزاوية تقيس زواياه الثلاث 45 درجة و 45 درجة و 90 درجة. نسبة أطوال أضلاعه (القاعدة: الارتفاع: الوتر) هي 1: 1: √2.

30-60-90 مثلث

المثلث 30-60-90 هو مثلث قائم الزاوية قياس زواياه الثلاث 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة. نسبة أطوال أضلاعه (القاعدة: الارتفاع: الوتر) هي 1: √3: 2.

بصرف النظر عن النوعين المذكورين أعلاه ، هناك بعض المثلثات القائمة الأخرى الخاصة.

آخرون: ثلاثية فيثاغورس

تحتوي بعض المثلثات القائمة على جوانب ذات أطوال صحيحة وتسمى مجتمعة ثلاثية فيثاغورس. يمكن تذكر مثل هذه المثلثات بسهولة وأي مضاعف للأضلاع ينتج نفس العلاقة. يمكن أن تتكون ثلاثية فيثاغورس من ثلاثة أنواع:

  • ثلاثيات فيثاغورس مشتركة: جوانب بأطوال عدد صحيح. أمثلة & # 8211 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17 و7-24-25 و9-40-41.
  • تقريبا ثلاثيات فيثاغورس متساوية الساقين: جوانب ذات أطوال صحيحة ولكن متساوية الساقين تقريبًا. أمثلة & # 8211 20-21-29 ، 119-120-169 ، 696-697-985 ، و 4،059-4،060-5،741.
  • الجوانب التي هي في تقدم هندسي: يُعرف أيضًا باسم مثلث كبلر ، إذا كانت الأضلاع في تقدم هندسي a ، ar ، ar 2 ، فإن النسبة المشتركة r تُعطى بواسطة r = √φ حيث φ هي النسبة الذهبية.

الهندسة: مثلثات يمنى خاصة

يمكن أن يوفر التعرف على المثلثات القائمة على اليمين اختصارًا عند الإجابة على بعض الأسئلة الهندسية. المثلث القائم الزاوية الخاص هو مثلث قائم الزاوية تكون أضلاعه في نسبة معينة تسمى ثلاثية فيثاغورس. يمكنك أيضًا استخدام نظرية فيثاغورس & quot ، ولكن إذا كان بإمكانك أن ترى أنه مثلث خاص ، فيمكن أن يوفر لك بعض الحسابات.

توضح الأشكال التالية بعض الأمثلة لمثلثات قائمة خاصة وثلاثيات فيثاغورس. قم بالتمرير لأسفل الصفحة إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التوضيحات حول المثلثات القائمة الزاوية الخاصة وثلاثيات فيثاغورس ومقاطع الفيديو وأوراق العمل.

ما هو المثلث 45 ° -45 ° -90 °؟

المثلث 45 درجة -45 درجة -90 درجة هو مثلث قائم الزاوية زواياه 45 درجة و 45 درجة و 90 درجة. أطوال جوانب المثلث 45 درجة -45 درجة -90 درجة هي بنسبة 1: 1: √2.

يجب أن يكون المثلث الأيمن الذي له جانبان متساويان في الطول هو 45 درجة و 45 درجة و 90 درجة.

يمكنك أيضًا التعرف على مثلث 45 درجة -45 درجة -90 درجة من الزوايا. يجب أن يكون المثلث القائم الزاوية بزاوية 45 درجة مثلثًا قائمًا خاصًا بزاوية 45 درجة -45 درجة -90 درجة.

Side1: Side2: Hypotenuse = x: x: x & radic2

مثال 1:
أوجد طول وتر المثلث القائم الزاوية إذا كان طول الضلعين الآخرين 3 بوصات.

المحلول:
الخطوة 1: هذا مثلث قائم الزاوية له جانبان متساويان لذا يجب أن يكون مثلث 45 درجة -45 درجة -90 درجة.

الخطوة 2: لقد علمت أن كلا الجانبين 3. إذا كانت القيمة الأولى والثانية للنسبة x: x: x√2 تساوي 3 ، فإن طول الضلع الثالث هو 3√2.

الجواب: طول الوتر 3√2 بوصة.

المثال 2:
أوجد أطوال ضلعين آخرين من المثلث القائم الزاوية إذا كان طول الوتر 4√2 بوصة وإحدى زواياه 45 °.

المحلول:
الخطوة 1: هذا مثلث قائم الزاوية به مثلث 45 درجة -45 درجة -90 درجة.

لقد علمت أن الوتر يساوي 4√2. إذا كانت القيمة الثالثة للنسبة n: n: n√2 تساوي 4√2 ، فإن أطوال الضلعين الآخرين يجب أن تكون 4.

الجواب: طول الضلعين 4 بوصات.

ما هو المثلث 30 ° -60 ° -90 °؟

نوع آخر من المثلثات القائمة هو المثلث 30 ° -60 ° -90 °. هذا مثلث قائم الزاوية زواياه 30 درجة -60 درجة -90 درجة. أطوال أضلاع المثلث 30 ° -60 ° -90 ° هي بنسبة 1: √3: 2.

يمكنك أيضًا التعرف على مثلث 30 درجة -60 درجة -90 درجة من الزوايا. ما دمت تعلم أن إحدى الزوايا في مثلث الزاوية القائمة هي إما 30 درجة أو 60 درجة ، فيجب أن تكون مثلثًا قائمًا خاصًا من 30 درجة إلى 60 درجة - 90 درجة. يجب أن يكون المثلث القائم الزاوية بزاوية 30 درجة أو 60 درجة مثلثًا قائمًا خاصًا بزاوية 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة.

Side1: Side2: Hypotenuse = x: x & radic3: 2x

مثال 1:
أوجد طول وتر المثلث القائم الزاوية إذا كان أطوال الضلعين الآخرين 4 بوصات و 4 و 3 بوصات.

المحلول:
الخطوة 1: اختبر نسبة الأطوال لمعرفة ما إذا كانت تناسب النسبة n: n√2: 2n.

الخطوة 2: نعم ، إنه مثلث 30 درجة -60 درجة -90 درجة لـ x = 4

الخطوة 3: احسب الضلع الثالث.

الجواب: طول الوتر 8 بوصات.

المثال 2:
أوجد طولي ضلعي المثلث القائم الزاوية إذا كان طول الوتر 8 بوصات وإحدى زواياه 30 درجة.

المحلول:
الخطوة 1: هذا مثلث قائم الزاوية بزاوية 30 درجة لذا يجب أن يكون مثلث 30 درجة -60 درجة -90 درجة.

لقد علمت أن الوتر يساوي 8.
بالتعويض عن 8 في القيمة الثالثة للنسبة x: x√3: 2x ، نحصل على 2x = 8 ⇒ x = 4.

أستعاض x = 4 في القيمة الأولى والثانية للنسبة نحصل على أن الضلعين الآخرين هما 4 و 4√3.

الجواب: أطوال الضلعين 4 بوصات و 4/3 بوصات.

مثلثات خاصة - زوايا مهمة - 30 درجة ، 45 درجة ، 60 درجة
45 ° -45 ° -90 ° مثلثات ، 30 ° -60 ° -90 ° مثلثات.

المثلثات الأساسية التي يجب أن تعرفها
يتم تصنيف المثلثات حسب الزاوية والزاوية.

ستتعلم في هذا الفيديو:

  1. 3-4-5 مثلثات ومثلثات مماثلة.
  2. 5-12-13 مثلثات ومثلثات مماثلة.
  3. 45-45-90 مثلثات قائمة.
  4. 30-60-90 مثلثات.
  5. مثلثات متساوية الأضلاع.
  6. العلاقة بين مثلث متساوي الأضلاع و30-60-90.

كيف تحل مثلثات قائم الزاوية الخاصة؟
عند حل المثلثات القائمة الزاوية ، تذكر أن طول وتر المثلث 30-60-90 له ضعف طول أحد أضلاعه ، وأن المثلث 45-45-90 له ضلعان متساويان.

المثلثات القائمة في الهندسة
مثلثات 45-45-90 و30-60-90 درجة.

ناقش مثلثين خاصين قائم الزاوية ، وكيفية اشتقاق الصيغ لإيجاد أطوال أضلاع المثلثين بمعرفة طول أحد أضلاعهما ، وبعض الأمثلة باستخدامهما.

ما هي ثلاثية فيثاغورس؟
أي مجموعة من 3 قيم صحيحة تحقق المعادلة: أ 2 + ب 2 = ج 2 تسمى ثلاثية فيثاغورس. أي مثلث له أضلاع تشكل ثلاثية فيثاغورس يجب أن يكون مثلثًا قائم الزاوية. بعض الأمثلة على مثلثات فيثاغورس الثلاثية هي: 3-4-5 مثلثات و5-12-13 مثلثات.

ما هو المثلث 3-4-5؟
المثلث 3-4-5 هو مثلث قائم الزاوية أطوالها بنسبة 3: 4: 5. عندما تحصل على أطوال ضلعي مثلث قائم الزاوية ، تحقق من نسبة الأطوال لمعرفة ما إذا كانت تناسب نسبة 3: 4: 5.

الجانب 1: الجانب 2: الوتر = 3n: 4n: 5n

مثال 1:
أوجد طول وتر المثلث القائم الزاوية إذا كان أطوال الضلعين الآخرين 6 بوصات و 8 بوصات.

المحلول:
الخطوة 1: اختبر نسبة الأطوال لمعرفة ما إذا كانت تناسب نسبة 3n: 4n: 5n.

الخطوة 2: نعم ، إنه مثلث 3-4-5 لـ n = 2.

الخطوة 3: احسب الضلع الثالث.

الجواب: طول الوتر 10 بوصات.

المثال 2:
أوجد طول أحد أضلاع المثلث القائم إذا كان طول الوتر 15 بوصة وطول الضلع الآخر 12 بوصة.

المحلول:
الخطوة 1: اختبر نسبة الأطوال لمعرفة ما إذا كانت تناسب نسبة 3n: 4n: 5n.

الخطوة 2: نعم ، إنه مثلث 3-4-5 لـ n = 3.

الخطوة 3: احسب الضلع الثالث.

الجواب: طول الضلع 9 بوصات.

ما هو المثلث 5-12-13؟
المثلث 5-12-13 هو مثلث قائم الزاوية أطوالها بنسبة 5:12:13. إنه مثال آخر لمثلث قائم الزاوية.

3-4-5 و5-12-13 أمثلة على ثلاثية فيثاغورس. عادة ما يتم كتابتها كـ (3 ، 4 ، 5) و (5 ، 12 ، 13). بشكل عام ، تتكون ثلاثية فيثاغورس من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة مثل أ 2 + ب 2 = ج 2. اثنتان أخريان من ثلاثيات فيثاغورس شائعة الاستخدام هما (8 ، 15 ، 17) و (7 ، 24 ، 25)

مفاهيم وأنماط ثلاثية فيثاغورس

أمثلة وعائلات ثلاثية فيثاغورس

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


1.2: مثلثات قائمة خاصة

قيم المثلث الأساسية

هناك عدد قليل (أ جدا قليل) الزوايا التي لها قيم مثلثية نسبية & مثل & مثل ، تتضمن ، في أسوأ الأحوال ، جذرًا تربيعيًا واحدًا. نظرًا لقيمها البسيطة نسبيًا ، فهذه هي الزوايا التي سيتم استخدامها عادةً في مسائل الرياضيات (في حساب التفاضل والتكامل ، على وجه الخصوص) ، وستكون كذلك متوقع لحفظ قيم هذه الزوايا.

عادة ، تقدم الكتب المدرسية هذه القيم في جدول يتوقع منك حفظه. ولكن من السهل تذكر الصور بشكل عام (في الاختبارات وما إلى ذلك). سيوضح هذا الدرس الطريقة التي يعمل بها العديد من الأشخاص حقا تتبع هذه القيم.

45 & deg-Angle Values ​​(من مثلث 45-45-90)

إذا كنت تريد العمل بزاوية 45 درجة ، فقم برسم المثلث 45-45-90 درجة على اليمين ، باستخدام القيم المعطاة لأطوال الأضلاع:

نختار طول وحدة واحدة للأضلاع المتطابقة لأنه أبسط ، ثم نحصل على الجذر التربيعي(2) القيمة باستخدام نظرية فيثاغورس. (لاحظ أنه غير ذي صلة ما هي أطوال المثلث الفعلي الذي تتعامل معه مع هذا المثلث المرجعي الذي يمنحك النسب ، وبالتالي القيم المثلثية.) & quottheta & quot (الدائرة المحصورة مع الخط الذي يمر عبرها) في الزاوية اليسرى السفلية هي الزاوية التي سنستخدمها. (اتجاه الزاوية المعينة التي يريدون العمل بها غير ذي صلة ، لأنه يمكنك دائمًا تدوير المثلث أعلاه لوضعه في أي اتجاه تريده.)

إذا كانوا ، في تمرين معين ، يريدون فقط القيمة المثلثية للزاوية ، فقم بقراءتها من المثلث: جيب ثيتا (عكس) فوق (الوتر) ، أو 1 /الجذر التربيعي(2) جيب تمام ثيتا (المجاور) فوق (الوتر) ، أو 1 /الجذر التربيعي(2) وظل ثيتا (المقابل) فوق (المجاور) ، أو 1/1 = 1. (قد يرغب نصك أو معلمك في & اقتباس & اقتباس هذه النسب ، وفي هذه الحالة تحصل على الخطيئة(ثيتا) = الجذر التربيعي(2) / 2 و كوس(ثيتا) = الجذر التربيعي(2) / 2. تصبح قضية التبرير هذه كثير أقل أهمية بمجرد أن تصل إلى حساب التفاضل والتكامل. )

من ناحية أخرى ، افترض أنهم قدموا لك مثلثًا بزاوية 45 درجة حيث يبلغ طول ضلعيه المتوافقين 14 وحدة ، على سبيل المثال ، ويريدون منك إيجاد طول الضلع الثالث. حسنًا ، ستضرب 1 في 14 لتحصل على 14 للأضلاع المتطابقة. ثم تضرب بمثلثات متشابهة الجذر التربيعي(2) بنسبة 14 للحصول على 14الجذر التربيعي(2) لطول الوتر.

أو افترض أنهم أخبروك أن الوتر يساوي 12 وحدة. لنكتشف ما علينا الضرب به للحصول على أطوال الأضلاع المتطابقة. دع هذا المضاعف يكون & quot x & مثل. ثم xsqrt(2) = 12 ، إذن x = 12/الجذر التربيعي(2) = 12الجذر التربيعي(2)/2 = 6الجذر التربيعي(2). ثم أطوال الأضلاع المطابقة هي 1 مرات 6الجذر التربيعي(2)= 6الجذر التربيعي(2) وحدة. حقوق النشر ونسخ إليزابيث ستابيل 2000-2011 جميع الحقوق محفوظة

يمكنك أن تجد أي شيء تحتاجه من هذا المثلث المرجعي. بدلًا من محاولة حفظ جدول كامل (إذا لم يكن ذلك مناسبًا لك) ، احفظ هذا المثلث ببساطة.

30 & deg- و 60 & deg-Angle Values ​​(من 30-60-90 مثلثًا)

إذا كنت بحاجة إلى العمل بزاوية 30 - أو 60 درجة ، فإن العملية مشابهة لما سبق ، لكن الإعداد أطول قليلاً.

بالنسبة إلى أي من الزوايا ، هذا هو المثلث الذي تبدأ به:

هذا مثلث 60-60-60 (أي مثلث متساوي الأضلاع) طول أضلاعه وحدتان.


قم بإسقاط المنصف العمودي من الزاوية العلوية لأسفل إلى الجانب السفلي:

لاحظ أن هذا المنصف هو أيضًا ارتفاع (ارتفاع) المثلث.

باستخدام نظرية فيثاغورس ، نحصل على أن طول المنصف يساوي الجذر التربيعي(3) ، وشكل المنصف 30-60-90 مثلثات.

إذا كنت تقوم بعمل مثلث 60 درجة ، فاستخدم الزاوية الموضحة أعلاه كـ & quotalpha & quot (the funny-looking & quot أ & quot في الزاوية السفلية) إذا كنت تقوم بعمل مثلث من 30 درجة ، فاستخدم الزاوية التي تحمل علامة & quotbeta & quot (المظهر المضحك & quot ب & quot في الزاوية العليا).

للعمل بزوايا 60 درجة ، صورتك هي نصف المثلث:

. وللحصول على زوايا 30 درجة ، تكون صورتك هي نفس النصف ، لكن تم تدويرها:

يمكنك العثور على القيم والنسب المثلثية مع المثلثات 30 درجة و 60 درجة بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال مع المثلث ذي 45 درجة.

قد تحصل على أحد هؤلاء المعلمين الذي لا يريدك أن ترسم هذه الصور (لأنه من المفترض أن تحفظ كل شيء الآن). حسنًا ، هذا هو سبب احتواء قلمك الرصاص على ممحاة. قال معلمي في حساب التفاضل والتكامل 2 إنه إذا رسمنا الصور في اختباراتنا ، فسيتم احتساب المشكلة بأكملها بشكل خاطئ. لقد قمت برسم الصور على أي حال ، ولكن بشكل خفيف للغاية ، ومسحها جميعًا قبل أن أقوم بإجراء الاختبارات. لم يكن يعرف أبدًا ، وقد نجحت في الدورة التدريبية. أنت تفعل ما يجب عليك القيام به.

من ناحية أخرى ، يفضل بعض الأشخاص الجداول والمخططات. إذا كانت الجداول تعمل بشكل أفضل بالنسبة لك ، فإن هذا الجدول يوصى به بشدة ، حيث تم & quot اختباره في الحقل & quot بواسطة مدرب عامل:


كيفية حل 45 45 90 مثلث

للمساعدة في توضيح شكل المثلث الأيمن الخاص مع 45 45 90 زواياه ، وكذلك شرح القيم التي يجب عليك العمل بها للمضي قدمًا ، سنستخدم المثال أدناه. يُظهر المثلث القياسي 45 45 90 الذي يمكن أن يساعدك في فهم النسب التي تظهر عند استخدام هذا المثلث.

تم اختيار 1 لاستخدامه على أنه طول الأضلاع المتساوية في هذا المثلث الخاص ، حيث أن & aposs هو أبسط طريقة للعمل معه. فكيف نجد الوتر؟

45 45 90 مثلث خاص

هذا مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. نظرًا لأنه مثلث قائم الزاوية ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الوتر.

مع الوتر ، لدينا معلومات لتحديد ما يلي:

يمكنك أن ترى أننا ننظر إلى "ثيتا" بزاوية 45 درجة ، ويجب أن تتذكر SOHCAHTOA ، مما يساعدك على تذكر الجوانب التي ستحتاج إلى اتخاذها للعثور على الجيب وجيب التمام والظل. هذه هي الطريقة التي حصلنا بها على أن الجيب هو 1 2 frac <1> < sqrt <2>> 2

1 ، بما أن 1 هو طول الضلع المقابل لـ 45 درجة ، والوتر هو 2 sqrt <2> 2

. بالنسبة لجيب التمام ، ستحتاج إلى الضلع المجاور فوق الوتر ، والذي يمنحك 1 2 frac <1> < sqrt <2>> 2

1. أخيرًا ، بالنسبة إلى الظل ، فإنه & aposs المقابل على المجاور ، مما يمنحك 1 1 frac <1> <1> 1

1 ، أو في شكل أكثر بساطة ، 1 فقط.

مع العلم أنك ستحتاج إلى حفظ هذه القيم ، يمكنك اختيار إلزامها بالذاكرة ، أو يمكنك إعادة رسم هذا المثلث واستخدام SOHCAHTOA لمساعدتك في العثور على نسب الزاوية و aposs. في كلتا الحالتين ، نأمل من خلال شرح مكونات المثلث لك ، أن يكون لديك الآن فهم أفضل للمثلث الخاص 45 45 90 وكيف ظهرت نسبه.


مثلث أيمن خاص جديد: 15 درجة ؛ 75 درجة ؛ 90 درجة

في تحليل سابق ، Fractal Triangles ، قمت باستكشاف سلسلة من المثلثات التي تكمل المثلثات الأساسية والخاصة التي يتم تقديمها في الكتب المدرسية حول الهندسة. في هذا المقال ، سأقدم مثلثًا أساسيًا ، في رأيي ، تم تجاهله خلال دراسة الهندسة. إن تفسيري هو أن سلسلة المثلثات هذه لقرون قد ركزت بشكل لا مبرر له على المثلثات الأساسية والخاصة ، كما لو كانت في الواقع المثلثات الوحيدة ذات الصلة.

في تحليل سابق لسلسلة من المثلثات الكسورية ، أوضحت كيف أن المثلثات الكسورية مكملة للمثلثات الأساسية والخاصة التي يتم الاستشهاد بها تقليديًا. فيما يلي عرض موجز للمثلثات الأساسية والخاصة المعروضة في الكتب المدرسية حول الهندسة.

يتم ذكر المثلثات الأساسية 3 & # 149 4 & # 149 5 و 5 & # 149 12 & # 149 13 بشكل عام في معظم الكتب المدرسية حول الهندسة. يتم عرض هذه المثلثات كقياسات جانبية لها. بينما يتم تقديم المثلثات الخاصة 45º & # 149 45º & # 149 90º و 30º & # 149 60º & # 149 90º كقياسات زواياها. تتعلق أسباب هذا العرض التعسفي برغبة قديمة في العمل بأعداد صحيحة. لقد تم الاستشهاد بأن القدماء تجنبوا التعبيرات العشرية للأرقام غير المنطقية ويبدو أن هذا لا يزال هو الحال اليوم. على الرغم من أن علاجات المثلثات 1 & ​​# 149 1 & # 149 2 و 1 & # 149 3 & # 149 2 شائعة ، إلا أنه نادرًا ما يجد المرء أي دراسة أولية تتعلق بالمثلث 1 & # 1492 & # 149 5. مرة أخرى ، قد يكون لهذا علاقة بالتعبير الكسري عن زواياها. زوايا المثلث 1 & # 149 2 & # 149 5 هي: 26.5651º & # 149 63.4349º & # 149 90º. لا عجب في الإشارة إلى هذا المثلث من خلال قياسات جانبه وإن كان ذلك رمزياً بواسطة الجذر التربيعي للرقم 5. 1 & # 149 2 & # 149 5 التي تترجم إلى قياسات جانبية 1 & # 149 2 & # 149 2.236067978.

يمكن تلخيص السلسلتين المختلفتين من المثلثات القائمة ، جنبًا إلى جنب مع المثلث الفركتلي ، بالطريقة التالية:

عندما أنظر إلى هذا الموضع المحدد لسلسلة المثلث المختلفة ، يبرز عنصر واحد: منطق اعتبار المثلث 15º & # 149 75º & # 149 90º. بعبارة أخرى ، يخبرنا المنطق أنه يمكن اعتبار سلسلة من المثلثات بزيادات / إنقاصات من خمس عشرة درجة:

لا يسع المرء إلا أن يتساءل لماذا لم يتم تقديم سلسلة المثلثات الخاصة في تطورها الواضح ، وقد تم التأكيد على اثنين فقط من المثلثات ضمن السلسلة في الكتب المدرسية حول الهندسة على مر القرون. من أجل فهم الأهمية المحتملة للنظر في المثلث الخاص 15º & # 149 75º & # 149 90º ، جنبًا إلى جنب مع سلسلته المقابلة ، توجد بعض التعليقات بالترتيب فيما يتعلق بمقياس درجة حرارة الأرض / المصفوفة.

على مدى السنوات القليلة الماضية ، كنت أقدم فكرة استخدام مقياس درجة الحرارة الديناميكي الحراري الذي يحتوي على نقطة غليان الماء (BPW) كوحدة واحدة (1.0) و / أو نقطة تجمد الماء (FPW) كوحدة واحدة (1.0) ). تم تقديم الاختلافات في هذه المقاييس في سلسلة مقالات Earth / matriX ، لكنني سأركز على المقياس الذي يستخدم نقطة تجمد الماء كوحدة واحدة في هذا المقال. إذا قام أحدهم بتعيين نقطة تجمد الماء كوحدة واحدة (1.0) ، فسيتم تسجيل نقطة غليان الماء على أنها 1.3661 على نفس المقياس ، حيث يكون الصفر المطلق 0.00 بالضبط. يتم تمثيل الفرق ، إذن ، بين نقطة تجمد الماء (1.0) ونقطة غليان الماء (1.3661) بقيمة .3661 على مقياس درجة حرارة الأرض / matriX الديناميكي الحراري.


شاهد الفيديو: البحث السادس هندسة المثلثات الخاصة (شهر اكتوبر 2021).