مقالات

13.8E: تحسين وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين)


13.8: تحسين وظائف عدة متغيرات

البحث عن النقاط الحرجة

في التدريبات من 1 إلى 5 ، أوجد جميع النقاط الحرجة.

1) (و (س ، ص) = 1 + س ^ 2 + ص ^ 2 )

إجابه:
( (0,0))

2) (و (س ، ص) = 1 - (س -2) ^ 2 + (ص + 3) ^ 2 )

3) (و (س ، ص) = (3 س − 2) ^ 2 + (ص − 4) ^ 2 )

إجابه:
( left ( frac {2} {3}، 4 right) )

4) (f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 4−16xy )

إجابه:
((0،0) ، رباعي (-2 ، -2) ، رباعي (2،2) )

5) (f (x، y) = 15x ^ 3−3xy + 15y ^ 3 )

إجابه:
((0،0)، quad left ( frac {1} {15}، frac {1} {15} right) )

البحث عن Extrema واختبار الجزئيات الثاني

في التدريبات من 6 إلى 9 ، ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة واختبر النقاط القصوى أو نقاط السرج باستخدام الأساليب الجبرية (إكمال المربع) أو عن طريق فحص شكل المعادلة. حيثما أمكن ، تحقق من نتائجك باستخدام اختبار الجزء الثاني.

6) (f (x، y) = - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0 ، 0) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (0 ) في ((0 ، 0) ).
لتبرير ذلك ، ضع في اعتبارك حقيقة أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة ، لذلك لا يمكن لهذه الدالة أن تُرجع قيمة موجبة. نظرًا لأن قيمتها (0 ) عند النقطة الحرجة ((0 ، 0) ) ، فإننا نعلم أنها يجب أن تكون الوظيفة الحد الأقصى المطلق القيمة.

7) (و (س ، ص) = - س ^ 2−5 ص ^ 2 + 8 س − 10 ص − 13 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((4، -1) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (8 ) في ((4 ، −1) ).
لتبرير ذلك ، نكمل المربع في هذه الدالة ، مع الحرص على إخراج معامل الحدود قبل إكمال المربع.
[ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2−5y ^ 2 + 8x − 10y − 13 & = - (x ^ 2-8x quad quad) −5 (y ^ 2 + 2y quad quad) −13 & = - (x ^ 2-8x + 16) −5 (y ^ 2 + 2y + 1) −13 + 16 + 5 & = - (x- 4) ^ 2 -5 (ص + 1) ^ 2 + 8 نهاية {محاذاة *} ]
لاحظ أن هذه الدالة متعددة الحدود التربيعية تأخذ الشكل (z = - (x ^ 2 + y ^ 2) ) ، لذلك يمكننا أن نرى أنه سيكون لها نسبيا (وفي الواقع ، مطلق) أقصى عند قمته (النقطة الحرجة ((4 ، -1) )). يمكننا أيضًا أن نجادل بأنه نظرًا لأننا نطرح الحدود التربيعية من 8 ، فلا يمكننا الحصول على قيمة دالة أكبر من 8 ، وبما أننا نحصل على القيمة 8 عند النقطة الحرجة ((4 ، -1) ) ، فإننا تعرف أنها ستكون القيمة القصوى المطلقة لهذه الوظيفة.

8) (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 2x − 6y + 6 )

9) (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0، 0) )
Extrema: (f ) لديه حد أدنى نسبي من (1 ) في ((0،0) ).
لتبرير ذلك ، ضع في اعتبارك حقيقة أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة ، لذلك لا يمكن لهذه الدالة أن ترجع قيمة أقل من (1 ). نظرًا لأن قيمتها (1 ) عند النقطة الحرجة ((0 ، 0) ) ، فإننا نعلم أن (1 ) يجب أن تكون الوظيفة الحد الأدنى المطلق القيمة.

في التدريبات من 10 إلى 34 ، حدد أي نقاط حرجة واستخدم اختبار Patials الثاني لتحديد سلوك الوظيفة في كل نقطة حرجة ، سواء كان هناك حد أقصى أو أدنى أو نقطة سرج أو لا شيء من هذه. إذا فشل الاختبار الجزئي الثاني ، فحدد سلوك الوظيفة عند النقطة باستخدام طريقة أخرى وقم بتبرير إجابتك بوضوح.

10) (f (x، y) = - x ^ 3 + 4xy − 2y ^ 2 + 1 )

11) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: جميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ) هي نقاط حرجة لهذه الوظيفة.
Exrema: فشل اختبار الجزئيات الثاني.
نظرًا لأن (x ^ 2y ^ 2> 0 ) لكل (x ) و (y ) يختلفان عن الصفر ، و (x ^ 2y ^ 2 = 0 ) عندما يكون إما (x ) أو (y ) يساوي صفرًا (أو كليهما) ، ثم الحد الأدنى المطلق لـ (0 ) يحدث في جميع النقاط على (x ) - أو (y ) - المحاور ، أي لجميع النقاط على خطوط (س = 0 ) و (ص = 0 ).

12) (f (x، y) = x ^ 2−6x + y ^ 2 + 4y − 8 )

13) (و (س ، ص) = 2 س ص + 3 س + 4 ص )

إجابه:
كريت. النقاط: ( left (−2، - frac {3} {2} right) )
Exrema: (f ) بها نقطة سرج عند ( left (−2، - frac {3} {2}، - 6 right) ).

14) (و (س ، ص) = 8 س ص (س + ص) +7 )

15) (f (x، y) = x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) )
Exrema: (f ) بها نقطة سرج عند ((0،0،0) ).

16) (f (x، y) = x ^ 3 + y ^ 3−300x − 75y − 3 )

17) (f (x، y) = 9 ^ x ^ 4y ^ 4 )

إجابه:
كريت. نقاط: جميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ) هي نقاط حرجة لهذه الوظيفة.
Extrema: فشل اختبار الجزئيات الثاني.
نظرًا لأن المصطلح (-x ^ 4y ^ 4 <0 ) للجميع (x ) و (y ) يختلف عن الصفر ، و (-x ^ 4y ^ 4 = 0 ) عندما يكون إما (x ) أو (y ) يساوي صفرًا (أو كليهما) ، فلا يمكن لهذه الوظيفة الحصول على قيمة أكبر من (9 ) في أي مكان ، ولكنها (9 ) عند النقاط الحرجة. وبالتالي (f ) لها حد أقصى مطلق (9 ) في جميع النقاط على (س ) - أو (ص ) - محاور ، أي لجميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ).

18) (و (س ، ص) = س ^ 2 + 10xy + ص ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) )
Extrema: (f ) لديه نقطة سرج عند ((0،0،0) ).

19) (و (س ، ص) = س ^ 4 + ص ^ 2 + 2 س ص + 3 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0)، quad left (- frac { sqrt {2}} {2}، frac { sqrt {2}} {2} right)، quad left ( frac { sqrt {2}} {2} ، - frac { sqrt {2}} {2} right) )
Extrema: (f ) لها نقطة سرج عند ((0 ، 0 ، 3) ) ،
(f ) لديه حد أدنى محلي من (2.75 ) عند النقطة ( left (- frac { sqrt {2}} {2} ، frac { sqrt {2}} {2} حق) ).
(f ) لديه حد أدنى محلي من (2.75 ) عند النقطة ( left ( frac { sqrt {2}} {2} ، - frac { sqrt {2}} {2} حق) ).

20) (و (س ، ص) = 7 س ^ 2 ص + 9 س ص ^ 2 )

21) (f (x، y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2−8y )

إجابه:
كريت. نقاط: ((2،6) )
Extrema: يحتوي (f ) على حد أدنى نسبي من (-24 ) يقع في ((2،6) ).

22) (و (س ، ص) = 3 س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 )

23) (و (س ، ص) = ص ^ 2 + س ص + 3 ص + 2 س + 3 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((1، −2) )
Extrema: (f ) لديه نقطة سرج عند ((1، −2،1) ).

24) (f (x، y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2−3x )

25) (f (x، y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 − x ^ 2y )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0)، quad (-2،1)، quad (2،1) )
Extrema: (f ) لديه حد أدنى نسبي من (0 ) عند ((0،0) ) ونقاط السرج عند ((2،1،2) ) و ((2،1) ، 2) ).

26) (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص − ه ^ ص )

27) (f (x، y) = e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2 + 2x)} )

إجابه:
كريت. نقاط: ((-1،0) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (e ) يقع في ((-1،0) ).
انظر هذه المشكلة موضحة في CalcPlot3D.

28) (و (س ، ص) = س ^ 2 + س ص + ص ^ 2 − س − ص + 1 )

29) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص (9 - س + ص) )

إجابه:
كريت. نقاط: ( left ( frac {9} {2} ، - frac {9} {4} right) ، quad (9،0) ) ، وجميع النقاط على السطر (x = 0 )
Extrema: (f ) بها نقطة سرج عند ((9،0،0) ) والحد الأدنى النسبي (- 102.515625 ) عند ( left ( frac {9} {2}، - frac {9} {4} right) ).
في النقاط الحرجة على الخط (x = 0 ) ، لا يحتوي (f ) على نقاط قصوى أو نقاط سرج نسبية ، لكنها تمثل نوعًا من القاع على السطح.

30) (f (x، y) = - x ^ 2−5y ^ 2 + 10x − 30y − 62 )

31) (f (x، y) = 120x + 120y − xy − x ^ 2 − y ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((40،40) )
Extrema: (f ) لها حد أقصى نسبي (4800 ) يقع في ((40،40) ).

32) (و (س ، ص) = 2 س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 + 2 س − 3 )

33) (f (x، y) = x ^ 2 + x − 3xy + y ^ 3−5 )

إجابه:
كريت. النقاط: ( left ( frac {1} {4}، frac {1} {2} right) ) و ((1، 1) )
Extrema: (f ) بها نقطة سرج عند ( left ( frac {1} {4} ، frac {1} {2} ، - frac {79} {16} right) ) و حد أدنى نسبي من (-5 ) عند ((1،1) ).

34) (f (x، y) = 2xye ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

في التدريبات 35 - 37 ، حدد القيم القصوى ونقاط السرج. استخدم CAS لرسم الدالة.

35) [T] (f (x، y) = ye ^ x − e ^ y )

إجابه:

توجد نقطة السرج عند ((0،0، -1). )

36) [T] (f (x، y) = x sin (y) )

37) [T] (f (x، y) = sin (x) sin (y)، quad x∈ (0،2π)، quad y∈ (0،2π) )

إجابه:

توجد نقطة سرج عند ((π ، π) ، ) الحد الأقصى المحلي عند ( left ( frac {π} {2} ، frac {π} {2} right) ) و ( يسار ( frac {3π} {2} ، frac {3π} {2} right) ) ، والحد الأدنى المحلي عند ( left ( frac {π} {2} ، frac {3π} {2 } right) ) و ( left ( frac {3π} {2} ، frac {π} {2} right) ).

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • خلق بول سيبيرجر (كلية مجتمع مونرو) مشكلتين 19 و 29 ، وأضاف أرقامًا ديناميكية للمشكلتين 27 و 35.

تمارين حازمة لتحسين وظائف متغيرين.

فيما يلي عدد من الخطوات خطوة بخطوة قضية تحسين الوظيفةالتي تم حلها.

لفهم إجراء حل هذه المشكلات ، تحتاج إلى فهم التطبيقات بشكل منفصل عن المشتقات ، مثل كيفية حساب الحدود القصوى والدنيا في دالة.

المشكلة 2

أوجد عددًا بحيث يكون الفرق أكبر وأكبر من الصفر عندما تطرح مربعه.

من البيان نحصل على الوظيفة التالية:

في هذه الوظيفة علينا البحث عن الحد الأقصى.

للقيام بذلك ، نحسب المشتق الأول:

قمنا بتعيين الدالة على الصفر:

ونحل المعادلة:

حيث نحصل على أقصى حد ممكن.

للتحقق مما إذا كان الحد الأقصى هو الحد الأقصى ، نحصل على المشتق الثاني للدالة:

ونحسب أن قيمة المشتق الثاني هي تلك النقطة التي نراها أقل من الصفر ، ثم عند هذه النقطة يوجد حد أقصى:

وبالتالي فإن الرقم الذي نبحث عنه & # 8217re هو:

مشكلة 3

يجب أن تحتوي الورقة على 18 سم 2 من النص المطبوع. يجب أن يكون ارتفاع الهوامش العلوية والسفلية 2 سم والجانبين 1 سم. ما هي الأبعاد التي يجب أن تحتوي عليها الورقة بحيث يكون استهلاك الورق في حده الأدنى؟


التحسين المقيد

عند تحسين وظائف متغير واحد مثل y = f ⁢ (x) ، استخدمنا نظرية 3.1.1 ، نظرية القيمة القصوى ، التي تنص على أنه خلال الفترة المغلقة I ، يكون للوظيفة المستمرة قيمة قصوى وأدنى قيمة. للعثور على هذه القيم القصوى والدنيا ، قمنا بتقييم f في جميع النقاط الحرجة في الفاصل الزمني ، وكذلك عند نقاط النهاية ("الحد") للفاصل الزمني.

تنطبق نظرية وإجراءات مماثلة على وظائف متغيرين. تحقق الوظيفة المستمرة على مجموعة مغلقة أيضًا قيمة قصوى وأدنى (انظر النظرية التالية). يمكننا إيجاد هذه القيم عن طريق تقييم الدالة عند النقاط الحرجة في المجموعة وفوق حدود المجموعة. بعد توضيح نظرية القيمة القصوى هذه رسميًا ، نقدم أمثلة.

نظرية 13.8.3 القيمة القصوى نظرية

لنفترض أن z = f ⁢ (x، y) دالة مستمرة في مجموعة S مغلقة ومحدودة. ثم f لها قيمة قصوى مطلقة وقيمة دنيا مطلقة على S.

مثال 13.8.6 إيجاد القيم القصوى على مجموعة مغلقة

افترض أن f ⁢ (x، y) = x 2 - y 2 + 5 ولجعل S هو المثلث الذي له رءوس (- 1، - 2) و (0، 1) و (2، - 2). أوجد القيم القصوى والدنيا لـ f على S.

الحل يمكن أن يساعد في رؤية رسم بياني لـ f مع المجموعة S. في الشكل 13.8.5 (أ) يظهر المثلث الذي يحدد S في المستوى x - y في خط متقطع. فوقه سطح f نحن معنيون فقط بجزء f المحاط بـ "المثلث" على سطحه.


المشكلة 1

قررت إنشاء صندوق على شكل منشور مستطيل بحجم 1000 سم مكعب. أوجد الأبعاد x و y و z للمربع بحيث تكون مساحة السطح الإجمالية لجميع أوجه الصندوق الستة هي الحد الأدنى.
حل المشكلة 1:
يتم إعطاء المساحة الإجمالية أ لجميع الوجوه الستة للمنشور.
أ = 2 س ص + 2 ص + 2 ع س

يتم إعطاء حجم الصندوق من هنا
س ص = 1000
حل ما ورد أعلاه من أجل z.
ض = 1000 / (س ص)
عوّض z في التعبير عن المساحة A لتحصل عليها.
أ (س ، ص) = 2 س ص + 2 ص * 1000 / (س ص) + 2 س * 1000 / (س ص) = 2 س ص + 2000 / س + 2000 / ص
علينا الآن إيجاد x و y اللذان يصغران المساحة A. علينا أولًا إيجاد النقاط الحرجة ثم اختبار المشتقات الجزئية الثانية. يتم إعطاء المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لـ A بواسطة
أ x (س ، ص) = 2 ص - 2000 / (× 2)
أ ذ (س ، ص) = 2 س - 2000 / (ص 2)
تم العثور على النقاط الحرجة عن طريق تحديد Ax(س ، ص) = 0 و أذ(س ، ص) = 0 وحل النظام الذي تم الحصول عليه. الذي يعطي
2y - 2000 / (x 2) = 0 مما يعطي 2yx 2 = 2000
2x - 2000 / (y 2) = 0 مما يعطي 2xy 2 = 2000
حل ما ورد أعلاه للحصول على
س = 10 وص = 10
علينا الآن إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.
أ xx (س ، ص) = 4000 / (× 3)
أ س ص (س ، ص) = 4000 / (ص 3)
أ س ص (س ، ص) = 2
نحتاج الآن إلى اختبار قيم Axx، أس ص و أس ص عند النقطة (10،10) من أجل استخدام النظرية في الحدود الدنيا والحد الأقصى للدوال ذات المتغيرين.
د = أxx(10،10) أس ص(10،10) - أس ص 2 (10,10) = 4 * 4 - 4 = 12

المشكلة 2

حل المشكلة 2:
باستخدام كل الورق المقوى المتاح لعمل الصندوق ، يتم تحديد المساحة الإجمالية أ لجميع الوجوه الستة للمنشور.
أ = 2 س ص + 2 س + 2 ز س = 12
حجم V للمربع معطى بواسطة
V = xyz
حل المعادلة 2xy + 2yz + 2zx = 12 من أجل z
ض = (6 - س ص) / (س + ص)
عوّض عن z في التعبير عن المجلد V لتحصل على.
الخامس (س ، ص) = س ص (6 - س ص) / (س + ص)
لنوجد النقاط الحرجة بإيجاد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى أولًا
الخامسx(س ، ص) = -ص 2 (س 2 + 2 س ص - 6) / (س + ص) 2
الخامسذ(س ، ص) = -س 2 (ص 2 + 2 س ص - 6) / (س + ص) 2
نحل الآن نظام المعادلات المعطى بواسطة Vx = 0 و V.ذ = 0. أحد الحلول الواضحة تُعطى بالنقطة (0،0) ولكنه ليس ممكنًا فيزيائيًا. تم العثور على حلول أخرى عن طريق الإعداد
س 2 + 2 س ص - 6 = 0
و
ص 2 + 2 س ص - 6 = 0
نطرح مصطلح المعادلات بمصطلح نحصل عليه
س 2 - ص 2 = 0
حل لتحصل على
س = ص و س = - ص
الحل x = -y غير صالح لهذه المشكلة لأن كلا من x و y بعدين ولا يمكن أن يكونا سالبين. استخدم x = y في المعادلة x 2 + 2xy - 6 = 0 نحصل عليها
س 2 + 2 س 2-6 = 0
حل ل x
س = & # 87302
أوجد y
ص = س = & # 87302
لنجد الآن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية
الخامسxx(س ، ص) = -2 ص 2 (ص 2 + 6) / (س + ص) 3
الخامسس ص(س ، ص) = -2 س 2 (س 2 + 6) / (س + ص) 3
الخامسس ص(س ، ص) = -2 س ص (س 2 + 3 س ص + ص 2-6) / (س + ص) 3
نحتاج الآن إلى قيم Axx، أس ص و أس ص لإيجاد قيمة D = V.xx(& # 87302، & # 87302) الخامسس ص(& # 87302، & # 87302) - V.س ص 2 (& # 87302، & # 87302) من أجل استخدام النظرية في الحدود الدنيا والحد الأقصى للدوال ذات المتغيرين.

د = الخامسxx(& # 87302، & # 87302) الخامسس ص(& # 87302، & # 87302) - V.س ص 2 (𕔆,𕔆) = 5/2
D موجب و Vxx(& # 87302، & # 87302) = - & # 87302 سالبة وبالتالي فإن الحجم V هو الحد الأقصى لـ
س = & # 87302 متر
ص = & # 87302 متر
ض = (6- س ص) / (س + ص) = & # 87302 متر.

مشكلة 3

حل المشكلة 3:
تتمثل إحدى طرق إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى في أخذ نقطة (x ، y ، z) على المستوى لإيجاد المسافة بين هذه النقطة والنقطة المعينة وتقليلها. نظرًا لأن المسافة تتضمن الجذر التربيعي ، فمن الأفضل تقليل مربع المسافة. اجعل مربع المسافة بين النقطة المعطاة والنقطة (x ، y ، z) على المستوى f.
و (س ، ص ، ض) = (س - 1) 2 + (ص - 2) 2 + (ع + 1) 2
نحل الآن معادلة المستوى الذي نحصل عليه من أجل z
ض = 3 - س + ص
عوّض z في f بـ 3 - x + y في f.
و (س ، ص) = (س - 1) 2 + (ص - 2) 2 + (- س + ص + 4) 2
نوجد الآن مشتقات جزئية من الدرجة الأولى
Fx(س ، ص) = 2 (س - 1) + 2 (-1) (- س + ص + 4)
Fذ(س ، ص) = 2 (ص - 2) + 2 (-س + ص + 4)
علينا الآن إيجاد النقاط الحرجة بمساواة المشتقات الجزئية الأولى بصفر.
2 (س - 1) + 2 (-1) (- س + ص + 4) = 0 و 2 (ص - 2) + 2 (-س + ص + 4) = 0
نحل الآن نظام المعادلات للحصول على
(8/3 , 1/3 , 2/3)
نحسب الآن المشتقات من الدرجة الثانية
Fxx(س ، ص) = 4
Fس ص(س ، ص) = 4
Fس ص(س ، ص) = -2
علينا الآن إيجاد إشارة D = Fxx(8/3/3/3) وس ص(8/3/3) - فس ص 2 (8 / 3،1 / 3) من أجل استخدام النظرية في الحدود الدنيا والحدود القصوى للدوال ذات المتغيرين
د = 4 * 4 - (-2) 2 = 12
بما أن D موجبة و Fxx موجبة ، F لديها حد أدنى عند النقطة (8 / 3،1 / 3) الذي يتوافق مع نقطة على المستوى المعطى بواسطة
(8/3,-1/3,2/3)
المسافة d بين النقطة المحددة والمستوى مُعطاة
د = & # 8730 [(1 - 8/3) 2 + (2 - 1/3) 2 + (-1 - 2/3) 2]
= 5 / 𕔇

المزيد عن المشتقات الجزئية والوظائف متعددة المتغيرات. وظائف متعددة المتغيرات
الصفحة الرئيسية


تمارين 14.1

يمكنك استخدام Sage لرسم أسطح الرسم البياني للتحقق من عملك:

مثال 14.1.1 دع $ f (x، y) = (x-y) ^ 2 $. حدد المعادلات والأشكال للمقاطع العرضية عندما $ x = 0 $ ، $ y = 0 $ ، $ x = y $ ، وقم بوصف منحنيات المستوى. استخدم أداة رسم بياني ثلاثي الأبعاد لرسم بياني للسطح. (إجابه)

مثال 14.1.2 لنفترض أن $ f (x، y) = | x | + | y ​​| $. حدد المعادلات والأشكال للمقاطع العرضية عندما $ x = 0 $ ، $ y = 0 $ ، $ x = y $ ، وقم بوصف منحنيات المستوى. استخدم أداة رسم بياني ثلاثي الأبعاد لرسم بياني للسطح. (إجابه)

مثال 14.1.3 لنفترض أن $ f (x، y) = e ^ <- (x ^ 2 + y ^ 2)> sin (x ^ 2 + y ^ 2) $. حدد المعادلات والأشكال للمقاطع العرضية عندما $ x = 0 $ ، $ y = 0 $ ، $ x = y $ ، وقم بوصف منحنيات المستوى. استخدم أداة رسم بياني ثلاثي الأبعاد لرسم بياني للسطح. (إجابه)

مثال 14.1.4 دع $ f (x، y) = sin (x-y) $. حدد المعادلات والأشكال للمقاطع العرضية عندما $ x = 0 $ ، $ y = 0 $ ، $ x = y $ ، وقم بوصف منحنيات المستوى. استخدم أداة رسم بياني ثلاثي الأبعاد لرسم بياني للسطح. (إجابه)

مثال 14.1.5 دع $ f (x، y) = (x ^ 2-y ^ 2) ^ 2 $. حدد المعادلات والأشكال للمقاطع العرضية عندما $ x = 0 $ ، $ y = 0 $ ، $ x = y $ ، وقم بوصف منحنيات المستوى. استخدم أداة رسم بياني ثلاثي الأبعاد لرسم بياني للسطح. (إجابه)

مثال 14.1.6 أوجد مجال كل من الوظائف التالية لمتغيرين:

مثال 14.1.7 يوجد أدناه مجموعتان من منحنيات المستوى. واحد لمخروط ، والآخر لبارابولويد. أيهما؟ يشرح.


9.6 التحسين

تحسين غير مقيد. الهدف: معطى الدالة f (x) ، ابحث عن x * بحيث يتم تكبير f (x) أو تصغيره. إذا كانت f (x) قابلة للتفاضل ، فإننا نبحث عن x * بحيث تكون f '(x *) = 0. ومع ذلك ، قد يؤدي هذا إلى نقاط دنيا أو قصوى أو نقاط سرج محلية.

طريقة التنصيف. الهدف: معطى الدالة f (x) ، ابحث عن x * بحيث تكون f (x *) = 0. افترض أنك تعرف الفاصل الزمني [a ، b] بحيث أن f (a) 0.

طريقة نيوتن. تقريب تربيعي. تقارب سريع إذا كان قريبًا بما يكفي للإجابة. صيغ التحديث أدناه مخصصة لإيجاد جذر f (x) و f '(x).

طريقة نيوتن يمكن الاعتماد عليها فقط إذا بدأت "قريبة بدرجة كافية" من الحل. مثال سيء (Smale): f (x) = x ^ 3 - 2 * x + 2. إذا بدأت في الفاصل الزمني [-0.1 ، 0.1] ، تصل طريقة نيوتن إلى دورة 2 ثابتة. إذا بدأ على يسار الجذر الحقيقي السالب ، فسوف يتقارب.

للتعامل مع وظائف عامة قابلة للتفاضل أو وظيفتين قابلتين للتفاضل لمتغير واحد ، قد نعلن واجهة

يدير برنامج Newton.java طريقة نيوتن على دالة قابلة للتفاضل لحساب النقاط x * حيث f (x *) = 0 و f '(x *) = 0.

يُعطى احتمال العثور على إلكترون في حالة الإثارة 4s للهيدروجين ar radius r من خلال: f (x) = (1-3x / 4 + x 2/8 - x 3/192) 2 e -x / 2 ، أين x هو نصف قطر بوهر بوحدات نصف قطر (0.529173E-8 سم). يحتوي برنامج BohrRadius.java على صيغة f (x) و f '(x) و f' (x). ببدء طريقة نيوتن عند 0 و 4 و 5 و 13 و 22 ، نحصل على الجذور الثلاثة وجميع القيم الدنيا والحدود القصوى المحلية الخمسة.

طريقة نيوتن في الأبعاد الأعلى. [ربما حذف أو ترك كتدريب] استخدم لحل نظام المعادلات غير الخطية. بشكل عام ، لا توجد طرق جيدة لحل نظام المعادلات غير الخطي

حيث J هي المصفوفة اليعقوبية للمشتقات الجزئية. في الممارسة العملية ، لا نحسب معكوسًا صراحةً. بدلاً من حساب y = J -1 f ، نحل النظام الخطي للمعادلات Jy = f.

لتوضيح الطريقة ، افترض أننا نريد إيجاد حل (س ، ص) للنظام التالي من معادلتين غير خطيتين.

في هذا المثال ، تم إعطاء اليعقوبي بواسطة

إذا بدأنا طريقة نيوتن من النقطة (-0.6 ، 0.6) ، فسنحصل بسرعة على أحد الجذور (-1/2 ، مربع (3) / 2) حتى دقة الماكينة. الجذور الأخرى هي (-1/2، -sqrt (3) / 2) و (1، 0). يستخدم برنامج TestEquations.java الواجهة Equations.java و EquationSolver.java لحل نظام المعادلات. نستخدم مكتبة مصفوفة جامع لإجراء حسابات المصفوفة.

الاقوي. استخدم نفس الطريقة لتحسين دالة لعدة متغيرات. توجد طرق جيدة إذا كانت الوظيفة متعددة المتغيرات سلسة بدرجة كافية.

تحتاج إلى التدرج g (x) = & nablaf (x) و Hessian H (x) = & nabla 2 f (x). يعثر الأسلوب على x * حيث g (x *) = 0 ، ولكن يمكن أن يكون هذا الحد الأقصى أو الصغرى أو نقطة السرج. إذا كان Hessian موجبًا محددًا (جميع القيم الذاتية موجبة) ، فهذا حد أدنى إذا كانت جميع قيم eigenvalues ​​سالبة ، ثم تكون قيمة قصوى وإلا فهي نقطة سرج.

أيضًا ، تتغير المشتقات الثانية ببطء ، لذلك قد لا يكون من الضروري إعادة حساب هسه (أو تحلل LU الخاص به) في كل خطوة. من الناحية العملية ، من المكلف حساب هس بالضبط ، لذلك يُطلق على البعض الآخر شبه نيوتن الطرق المفضلة ، بما في ذلك قاعدة تحديث Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS).

البرمجة الخطية. إنشاء واجهة مصفوفة. يعمم ألعاب محصلتها الصفرية لشخصين ، والعديد من المشاكل في التحسين التوافقي ،. تشغيل AMPL من الويب.

البرمجة = التخطيط. أعط بعض التاريخ. لم يُعرف وجود مشكلة القرار في P لفترة طويلة. في عام 1979 ، حل خاشيان السؤال بالإيجاب وتصدر عناوين الصحف في صحيفة نيويورك تايمز باستخدام خوارزمية فرق تسد الهندسية المعروفة باسم خوارزمية بيضاوية. يتطلب عمليات بت O (N 4 L) حيث N هو عدد المتغيرات و L هو عدد البتات في الإدخال. على الرغم من أن هذا كان علامة بارزة في التحسين ، إلا أنه لم يؤد على الفور إلى خوارزمية عملية. في عام 1984 ، اقترح Karmarkar خوارزمية قياس إسقاطية تستغرق وقتًا O (N 3.5 L). لقد فتح الباب أمام عمليات التنفيذ الفعالة لأنه عادةً ما يكون الأداء أفضل بكثير من ضمان أسوأ الحالات. مختلف نقطة داخيلة تم اقتراح طرق في التسعينيات ، وأشهر تعقيد معروف هو O (N 3 L). الأهم من ذلك ، أن هذه الخوارزمية عملية وتنافسية مع طريقة simplex. كما أنها تمتد للتعامل مع مشاكل أكثر عمومية.

حلول البرمجة الخطية. في عام 1947 ، اقترح جورج دانتزيغ الخوارزمية البسيطة للبرمجة الخطية. واحدة من أعظم وأنجح الخوارزميات في كل العصور. البرمجة الخطية ، ولكن ليس القوة الصناعية. يوضح برنامج LPDemo.java كيفية استخدامه. الاقسام MPSReader و MPSWriter يمكنه تحليل ملفات الإدخال وكتابة ملفات الإخراج بتنسيق MPS القياسي. اختبار ملفات بيانات LP بتنسيق MPS.

المزيد من التطبيقات. تحتوي OR-Objects أيضًا على تلوين رسم بياني ، ومشكلة بائع متجول ، وتوجيه مركبة ، وأقصر مسار.


المشكلة رقم 13.7 في التمارين الإضافية لستيفن بويد: مشكلة تحسين استهلاك الطاقة

ضع في اعتبارك مركبة كهربائية ذات كتلة واحدة بالموضع $ x (t) ∈ℝ $ ، تتحرك بسرعة $ v (t) $ وتسارع $ a (t) $. تحتاج السيارة إلى المناورة من الوضع الأولي للراحة إلى الوضع النهائي $ x (T) $ في الوقت $ t = T $ الذي يرضي $ x (T) ≥x_f $. المتطلبات هي $ dot v≤A $ ، ≤v (t) ≤V $ ، $ v (T) ≤v_f $.

لنفترض أن $ p (t) و p_b (t) و p_d (t) $ هي الطاقة التي يتم توفيرها بواسطة البطارية ، والطاقة المفقودة في الكبح ، والطاقة المفقودة بسبب السحب على التوالي و $ k (t) $ هي الطاقة الحركية للمركبة وهي $ v (ر) ^ 2/2 دولار. ثم ، $ p (t) = dot k (t) + p_b (t) + p_d (t) $ حيث ، $ p_d (t) = cv (t) ^ 3 $ والقوة المستخدمة للفرملة $ p_b ( ر) يمكن التحكم في $.

خذ $ T = nh $ وقسم الفاصل الزمني [، T] $ إلى $ n $ فترات فرعية بطول $ h $ لتقدير معادلات حركة المركبة ، $ dot x = v ، dot v = a $. في شكل منفصل نحصل على المعادلات التالية

إجمالي الطاقة المستهلكة هو $ E = h sum_^p_r $.

قم بصياغة مشكلة تحسين للحد الأدنى من استهلاك الطاقة. اكتب كل المتغيرات والقيود عليها. حدد متغيرات القرار. علق على طبيعة المشكلة.

حل المشكلة بأخذ $ x_f = 12 m ، v_f = 2 m / s ، V = 10 m / s ، A = 2 m / s ^ 2 ، c = 2 ، h = 0.1 ، T = 5 s $.

أنا جديد إلى حد ما في التحسين المحدب وحل هذه الأنواع من المشاكل. لست متأكدًا من كيفية التعامل مع هذا. أعتقد أن صياغة مشكلة التحسين هي الجزء الصعب. أعتقد أنني أستطيع أن أقترب من حل المشكلة ، بمجرد أن أعرف بالضبط ما يجب القيام به. هي موضع تقدير الأفكار والتلميحات.

تحرير: اكتشفت مؤخرًا أن هذه المشكلة هي نفس المشكلة 13.7 من التمارين الإضافية في كتاب ستيفن بويد- إصدار 2020.


2.7.7. التحسين مع القيود¶

2.7.7.1. حدود الصندوق¶

تتوافق حدود الصندوق مع تحديد كل من المعلمات الفردية للتحسين. لاحظ أن بعض المشكلات التي لم تتم كتابتها في الأصل كحدود مربعة يمكن إعادة كتابتها على هذا النحو من خلال تغيير المتغيرات. يدعم كل من scipy.optimize.minimize_scalar () و scipy.optimize.minimize () القيود المرتبطة بحدود المعلمة:

2.7.7.2. قيود عامة¶

قيود المساواة وعدم المساواة المحددة كوظائف: و .

scipy.optimize.fmin_slsqp () برمجة التربيع الصغرى المتسلسلة: قيود المساواة وعدم المساواة:

تُعرف المشكلة المذكورة أعلاه بمشكلة لاسو في الإحصاء ، وتوجد حلول فعالة للغاية لها (على سبيل المثال في scikit-Learn). بشكل عام ، لا تستخدم المحاليل العامة عند وجود أدوات محددة.

مضاعفات لاغرانج

إذا كنت مستعدًا للقيام ببعض العمليات الحسابية ، فيمكن تحويل العديد من مشكلات التحسين المقيدة إلى مشكلات تحسين غير مقيدة باستخدام خدعة رياضية تُعرف باسم مضاعفات لاجرانج.


حساب التفاضل والتكامل المبكر المتعالي: التفاضل وحساب متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

تتضمن العديد من المشكلات التطبيقية المهمة إيجاد أفضل طريقة لإنجاز بعض المهام. غالبًا ما يتضمن ذلك العثور على القيمة القصوى أو الدنيا لبعض الوظائف: الحد الأدنى من الوقت للقيام برحلة معينة ، والحد الأدنى لتكلفة القيام بمهمة ، والحد الأقصى للطاقة التي يمكن أن يولدها الجهاز ، وما إلى ذلك. يمكن حل العديد من هذه المشكلات من خلال إيجاد الوظيفة المناسبة ثم استخدام تقنيات حساب التفاضل والتكامل لإيجاد القيمة القصوى أو الدنيا المطلوبة.

بشكل عام ، سيكون لمثل هذه المشكلة الشكل الرياضي التالي: ابحث عن أكبر (أو أصغر) قيمة لـ (f (x) ) عندما (a le x le b text <.> ) أحيانًا (a ) أو (ب ) لا نهائية ، لكن كثيرًا ما يفرض العالم الحقيقي بعض القيم التي قد تكون لدى (س ).

تختلف هذه المشكلة بطريقتين عن الحد الأقصى والحد الأدنى من المشكلات النسبية التي واجهناها عند رسم وظائف الرسوم البيانية: نحن مهتمون فقط بالوظيفة بين (أ ) و (ب نص <،> ) ونريد معرفة أكبر أو أصغر قيمة تأخذها (f (x) ) ، وليست مجرد قيم هي الأكبر أو الأصغر في فترة زمنية صغيرة. أي أننا لا نسعى إلى حد أقصى أو أدنى نسبي بل نسعى إلى أ عالمي (أو مطلق) الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

دليل لحل مشاكل التحسين.

حدد ما يجب تعظيمه أو تصغيره وما هي القيود.

ارسم مخططًا (إذا كان ذلك مناسبًا) وقم بتسميته.

حدد المتغيرات والوحدات التي يتم قياس قيمها بها. على سبيل المثال ، (A ) للمساحة بالمتر المربع ، (r ) نصف القطر بالبوصة ، (C ) للتكلفة باليورو. بمعنى آخر ، إذا لم تقدم المشكلة هذه المتغيرات ، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك.

اكتب صيغة للدالة المطلوب تكبيرها أو تصغيرها.

استخدم القيد المحدد للتعبير عن الصيغة من الخطوة 4 من حيث متغير واحد ، أي شيء مثل (f (x) ) (أو (A (x) text <،> ) (C (x) text <.> ) أيا كان الاسم المناسب). ثم حدد مجال هذه الوظيفة ، وهو عادة ( left [a، b right] ) أو ((a، b) text <.> )

ابحث عن النقاط الحرجة في (f text <.> ) قارن بين جميع القيم الحرجة ونقاط النهاية (أو ربما ( lim limits_) و (س) ) و ( ليم حدود_ f (x) ) أو رسم المنحنى إذا كان الفاصل الزمني مفتوحًا) لتحديد القيمة القصوى المطلقة لـ (f text <.> )

قدم الحل الخاص بك بشكل هادف ، والذي يتضمن الوحدة (الوحدات).

مثال 5.8.1. تعظيم أرباحك.

تريد بيع عدد معين (n ) من العناصر من أجل زيادة أرباحك. تخبرك أبحاث السوق أنه إذا حددت السعر عند 1.50 دولار ، فستتمكن من بيع 5000 عنصر ، ولكل 10 سنتات تخفض السعر إلى أقل من 1.50 دولار ، ستتمكن من بيع 1000 عنصر آخر. افترض أن إجمالي تكاليفك الثابتة ("تكاليف البدء") يبلغ 2000 دولار ، وأن تكلفة كل عنصر للإنتاج ("التكلفة الحدية") هي 0.50.

ابحث عن السعر الذي تريد تعيينه لكل عنصر وعدد العناصر المباعة من أجل زيادة الربح إلى أقصى حد ، وكذلك تحديد الحد الأقصى للربح الذي يمكنك الحصول عليه.

الخطوة الأولى هي تحويل المشكلة إلى مشكلة تعظيم دالة. نظرًا لأننا نريد تعظيم الربح عن طريق تحديد السعر لكل عنصر ، يجب أن نبحث عن دالة (P (x) ) تمثل الربح عندما يكون السعر لكل عنصر (x text <.> ) الربح هو العائد مطروحًا منه التكاليف ، والإيرادات هي عدد العناصر المباعة مضروبًا في السعر لكل عنصر ، لذلك نحصل على (P = nx-2000-0.50n text <.> ) عدد العناصر المباعة هو في حد ذاته دالة لـ (x text <،> ) (n = 5000 + 1000 (1.5-x) /0.10 ext <،> ) لأن ((1.5-x) /0.10 ) هو عدد مضاعفات 10 سنتات من السعر. أقل من 1.50 دولار. نحن الآن نستبدل (n ) في دالة الربح:

نريد معرفة الحد الأقصى لقيمة هذه الدالة عندما يكون (x ) بين 0 و (1.5 text <.> ) المشتق هو (P '(x) = - 20000x + 25000 text <،> ) وهو صفر عندما (x = 1.25 text <.> ) بما أن (P '' (x) = - 20000 lt 0 text <،> ) يجب أن يكون هناك حد أقصى نسبي عند (x = 1.25 text <،> ) وبما أن هذه هي القيمة الحرجة الوحيدة ، يجب أن تكون قيمة قصوى عامة أيضًا. (بالتناوب ، يمكننا حساب (P (0) = - 12000 text <،> ) (P (1.25) = 3625 text <،> ) و (P (1.5) = 3000 ) والملاحظة أن (P (1.25) ) هو الحد الأقصى من هذه.) وبالتالي فإن الحد الأقصى للربح هو 3625 دولارًا أمريكيًا ، يتم تحقيقه عندما حددنا السعر عند 1.25 دولارًا أمريكيًا وبيعنا 7500 عنصرًا.

مثال 5.8.2. تقليل متوسط ​​التكلفة.

تحدد الشركة المصنعة أن متوسط ​​التكلفة اليومية لإنتاج وحدات (ف ) هو

حدد عدد الوحدات التي يتم إنتاجها يوميًا مما يقلل من متوسط ​​التكلفة.

نلاحظ أولاً أن مجال الوظيفة ( overline) هو الفاصل الزمني المفتوح ((0، infty) text <.> ) احسب ،

ثم حل (C '(q) = 0 ) يعطي (q = 500 text <،> ) وهي النقطة الحرجة الوحيدة في (C text <.> ) بعد ذلك ،

لذلك ، من خلال اختبار المشتق الثاني ، (q = 500 ) هو حد أدنى نسبي لـ ( overline نص <.> )

علاوة على ذلك ، ( overline) مقعر لأعلى في كل مكان ، لذا فإن الحد الأدنى النسبي لـ ( overline) يجب أن يكون الحد الأقصى المطلق لـ ( overline text <.> ) وبالتالي فإن التكلفة الدنيا

أو 60 دولارًا للوحدة. رسم ( overline) يتبع.

مثال 5.8.3. تعظيم القدرة التصنيعية.

تشير التقديرات إلى أن معدل التشغيل لمصانع إحدى الشركات المصنعة الكبرى خلال فترة 365 يومًا معينة يتم تحديدها

نسبه مئويه. حدد اليوم الذي يتم فيه تكبير معدل التشغيل.

نرغب في إيجاد الحد الأقصى المطلق لـ (f ) في ([0،365] text <.> ) نحسب أولاً

لذلك ، (f '(t) = 0 يشير إلى t = -300 ) أو (300 text <.> ) لذا فإن النقطة الحرجة الوحيدة لـ (f ) هي (t = 300 ) ( بما أن (t = -300 ) خارج مجال (f )). تقييم (f (t) ) عند هذه النقطة الحرجة وكلا نقطتي النهاية ، كما نرى

وبالتالي ، كان معدل تشغيل القدرة التصنيعية بحد أقصى بعد 300 يوم.

مثال 5.8.4. أكبر مستطيل.

ابحث عن أكبر مستطيل (أي المستطيل ذو المساحة الأكبر) الذي يناسب الرسم البياني للقطع المكافئ ( ds y = x ^ 2 ) أسفل السطر (y = a ) ( (a ) هو قيمة ثابتة غير محددة) ، مع الجانب العلوي من المستطيل على الخط الأفقي (y = a text <> ) انظر أدناه.

نريد إيجاد القيمة القصوى لبعض الوظائف (A (x) ) التي تمثل المنطقة. ربما يكون أصعب جزء في هذه المشكلة هو تحديد ما يجب أن يمثله (س ). الزاوية اليمنى السفلية من المستطيل تقع عند ( ds (x، x ^ 2) text <،> ) وبمجرد اختيار هذا ، يتم تحديد المستطيل بالكامل. لذلك يمكننا ترك (x ) في (A (x) ) يكون (x ) من القطع المكافئ ( ds f (x) = x ^ 2 text <.> ) ثم المنطقة

مثال 5.8.5. أكبر مخروط.

إذا أدخلت أكبر مخروط ممكن داخل كرة ، فما الكسر الذي يشغله المخروط من حجم الكرة؟ (نقصد هنا بكلمة "مخروط" مخروطًا دائريًا قائمًا ، أي مخروط تكون قاعدته متعامدة مع محور التناظر ، والتي يكون المقطع العرضي لها بشكل متعامد مع محور التناظر عند أي نقطة دائرة. )

لنفترض أن (R ) هو نصف قطر الكرة ، واجعل (r ) و (ح ) نصف قطر القاعدة وارتفاع المخروط داخل الكرة. ما نريد تعظيمه هو حجم المخروط: ( ds pi r ^ 2h / 3 text <.> ) هنا (R ) قيمة ثابتة ، ولكن (r ) و ( ح ) يمكن أن تختلف. وبالتحديد ، يمكننا اختيار (r ) أن يكون أكبر حجم ممكن - يساوي (R ) - بأخذ الارتفاع مساويًا (R text <> ) أو يمكننا جعل ارتفاع المخروط (h ) أكبر على حساب جعل (r ) أقل قليلاً من (ص نص <.> ) انظر المقطع العرضي الموضح في الشكل الموضح أدناه. لقد وضعنا الصورة بطريقة ملائمة بالنسبة إلى المحورين (x ) - و (y ) - ، أي مع مركز الكرة في الأصل وقمة المخروط في أقصى اليسار على (س ) - المحور.

لاحظ أن الوظيفة التي نريد تكبيرها ، ( ds pi r ^ 2h / 3 text <،> ) تعتمد على اثنين المتغيرات. هذا هو الحال في كثير من الأحيان ، ولكن غالبًا ما يكون المتغيرين مرتبطين بطريقة ما بحيث لا يوجد "حقًا" سوى متغير واحد. لذا فإن خطوتنا التالية هي إيجاد العلاقة واستخدامها لحل أحد المتغيرات بدلالة الآخر ، بحيث يكون لديك دالة لمتغير واحد فقط لتعظيمها. في هذه المشكلة ، الشرط واضح في الشكل: الزاوية العلوية للمثلث ، وإحداثياتها ((hR ، r) text <،> ) يجب أن تكون على دائرة نصف القطر (R text <. > ) أي

يمكننا حلها من أجل (ح ) من حيث (r ) أو (r ) من حيث (ح نص <.> ) إما أنها تتضمن أخذ جذر تربيعي ، لكننا نلاحظ أن الحجم تحتوي الدالة على ( ds r ^ 2 text <،> ) ليس (r ) بمفردها ، لذلك من الأسهل حلها من أجل ( ds r ^ 2 ) مباشرة: ( ds r ^ 2 = R ^ 2- (hR) ^ 2 text <.> ) ثم نستبدل النتيجة في ( ds pi r ^ 2h / 3 text <:> )

نريد تكبير (V (h) ) عندما يكون (h ) بين 0 و (2R ) بما في ذلك نقاط النهاية. كما في المثال 5.8.4 ، نجادل بأن الحجم الصفري عند نقاط نهاية الفترة المغلقة يجعل حل المشكلة أسهل الآن نقوم بحل ( ds 0 = f '(h) = - pi h ^ 2 + (4 / 3) pi h R text <،> ) الحصول على (h = 0 ) أو (h = 4R / 3 text <.> ) نحن نحسب (V (0) = V (2R) = 0 ) و ( ds V (4R / 3) = (32/81) pi R ^ 3 text <.> ) الحد الأقصى هو الأخير لأن حجم الكرة هو ( ds (4) / 3) pi R ^ 3 text <،> ) جزء الكرة الذي يشغله المخروط هو

مثال 5.8.6. حاويات ذات حجم معين.

أنت تصنع حاويات أسطوانية لاحتواء حجم معين. لنفترض أن الجزء العلوي والسفلي مصنوعان من مادة باهظة الثمن (N ) أضعاف (التكلفة لكل وحدة مساحة) مثل المواد المستخدمة للجانب الجانبي من الأسطوانة.

أوجد (من حيث (N )) نسبة الارتفاع إلى نصف قطر القاعدة للأسطوانة التي تقلل من تكلفة صنع الحاويات.

دعونا أولاً نختار الأحرف لتمثيل أشياء مختلفة: (ح ) للارتفاع (r ) نصف قطر القاعدة ، (V ) لحجم الأسطوانة ، و (ج ) للتكلفة لكل وحدة مساحة من الجانب الجانبي للأسطوانة (V ) و (ج ) ثوابت ، (ح ) و (r ) متغيرات. الآن يمكننا كتابة تكلفة المواد:

مرة أخرى ، لدينا متغيرين ، يتم توفير العلاقة من خلال الحجم الثابت للأسطوانة: ( ds V = pi r ^ 2h text <.> ) نستخدم هذه العلاقة للتخلص من (h ) (يمكننا حذف (r text <،> ) ولكن سيكون الأمر أسهل قليلاً إذا حذفنا (h text <،> ) الذي يظهر في مكان واحد فقط في الصيغة أعلاه للتكلفة). النتيجه هي

نريد أن نعرف الحد الأدنى لقيمة هذه الوظيفة عندما يكون (r ) في ((0 ، infty) نص <.> ) قمنا الآن بتعيين ( ds 0 = f '(r) = - 2cV / r ^ 2 + 4Nc pi r text <،> ) إعطاء ( ds r = < root 3 of > text <.> ) بما أن ( ds f '(r) = 4cV / r ^ 3 + 4Nc pi ) موجبة عندما يكون (r ) موجبًا ، فهناك حد أدنى نسبي عند النقطة الحرجة القيمة ، وبالتالي الحد الأدنى العالمي نظرًا لوجود قيمة حرجة واحدة فقط.

أخيرًا ، منذ ( ds h = V / ( pi r ^ 2) text <،> )

لذلك تحدث التكلفة الدنيا عندما يكون الارتفاع (h ) هو (2N ) ضعف نصف القطر. على سبيل المثال ، إذا لم يكن هناك فرق في تكلفة المواد ، يكون الارتفاع ضعف نصف القطر (أو الارتفاع يساوي القطر).

مثال 5.8.7. مستطيلات منطقة معينة.

من بين جميع المستطيلات التي تبلغ مساحتها 100 ، ما هو أصغر محيط؟

أولاً ، يجب أن نترجم هذا إلى مشكلة رياضية بحتة نريد فيها إيجاد الحد الأدنى لقيمة دالة. إذا كان (x ) يشير إلى أحد جانبي المستطيل ، فيجب أن يكون الجانب المجاور (100 / x ) (حتى تكون المساحة 100). لذا فإن الوظيفة التي نريد تصغيرها هي

لأن المحيط ضعف الطول زائد ضعف عرض المستطيل. ليست كل قيم (x ) منطقية في هذه المشكلة: يجب أن تكون أطوال أضلاع المستطيلات موجبة ، لذلك (x & gt0 text <.> ) إذا كان (x & gt0 ) إذًا كذلك (100 / x ) text <،> ) لذلك لا نحتاج إلى شرط ثانٍ في (x text <.> )

بعد ذلك نجد (f '(x) ) ونضعه مساويًا للصفر: ( ds 0 = f' (x) = 2-200 / x ^ 2 text <.> ) حل (f ' (x) = 0 ) لـ (x ) يعطينا (x = pm 10 text <.> ) نحن مهتمون فقط بـ (x & gt0 text <،> ) لذا فقط القيمة ( x = 10 ) ذات فائدة. نظرًا لأنه يتم تعريف (f '(x) ) في كل مكان على الفاصل ((0، infty) text <،> ) لا توجد قيم حرجة ، ولا توجد نقاط نهاية. هل هناك حد أقصى أو أدنى أو لا شيء نسبي في (x = 10 text <؟> ) المشتق الثاني هو ( ds f '(x) = 400 / x ^ 3 text <،> ) و (f '(10) & gt0 text <،> ) لذلك يوجد حد أدنى نسبي. نظرًا لوجود قيمة حرجة واحدة فقط ، فهذا أيضًا هو الحد الأدنى العام ، لذا فإن المستطيل ذي المحيط الأصغر هو مربع (10 ​​ times10 ).

مثال 5.8.8. تقليل وقت السفر.

لنفترض أنك تريد الوصول إلى نقطة (أ ) تقع عبر الرمال من طريق قريب (انظر الرسم التخطيطي أدناه). افترض أن الطريق مستقيمة ، و (ب ) هي المسافة من (أ ) إلى أقرب نقطة (ج ) على الطريق. دع (v ) هي سرعتك على الطريق ، واجعل (w text <،> ) الأقل من (v text <،> ) هي سرعتك على الرمال. أنت الآن عند النقطة (D text <،> ) وهي مسافة (a ) من (C text <.> ) في أي نقطة يجب إيقاف تشغيل الطريق والرأس عبر الرمال لتقليل وقت السفر إلى (A text <؟> )

لنفترض أن (x ) هي المسافة الأقصر من (C ) حيث تقوم بإيقاف التشغيل ، أي المسافة من (B ) إلى (C text <.> ) نريد تقليل إجمالي وقت السفر . تذكر أنه عند السفر بسرعة ثابتة ، فإن الوقت هو المسافة مقسومة على السرعة.

أنت تسافر المسافة ( ds overline) بسرعة (v text <،> ) ثم المسافة ( ds overline) بسرعة (w text <.> ) منذ ( ds overline= a-x ) وبواسطة نظرية فيثاغورس ، ( ds overline= sqrt text <،> ) الوقت الإجمالي للرحلة هو

نريد إيجاد الحد الأدنى لقيمة (f ) عندما يكون (x ) بين 0 و (a text <.> ) كالعادة قمنا بتعيين (f '(x) = 0 ) وحلها لـ (x text <:> )

لاحظ أن (a ) لا يظهر في التعبير الأخير ، لكن (a ) ليس غير ذي صلة ، لأننا مهتمون فقط بالقيم الحرجة الموجودة في ([0، a] text <،> ) و ( ds wb / sqrt) إما في هذا الفاصل الزمني أم لا. إذا كان الأمر كذلك ، فيمكننا استخدام المشتق الثاني لاختباره:

نظرًا لأن هذا دائمًا ما يكون إيجابيًا ، فهناك حد أدنى نسبي عند النقطة الحرجة ، وبالتالي فهو حد أدنى عالمي أيضًا.

إذا لم تكن القيمة الحرجة في ([0، a] ) أكبر من (a text <.> ) في هذه الحالة يجب أن يحدث الحد الأدنى عند إحدى نقاط النهاية. يمكننا أن نحسب

ولكن من الصعب تحديد أيهما أصغر من خلال المقارنة المباشرة. إذا علمنا ، كما هو مرجح في الممارسة العملية ، قيم (v text <،> ) (w text <،> ) (a text <،> ) و (b text < ،> ) فمن السهل تحديد ذلك. ومع ذلك ، بقليل من الذكاء ، يمكننا تحديد الحد الأدنى بشكل عام. لقد رأينا أن (f '' (x) ) دائمًا موجب ، لذا فإن المشتق (f '(x) ) يتزايد دائمًا. نعلم أنه عند ( ds wb / sqrt) المشتق هو صفر ، لذلك بالنسبة لقيم (x ) الأقل من تلك القيمة الحرجة ، يكون المشتق سالبًا. هذا يعني أن (f (0) & gtf (a) text <،> ) لذا فإن الحد الأدنى يحدث عندما (x = a text <.> )

إذن فالنتيجة هي: إذا بدأت بعيدًا عن (C ) من ( ds wb / sqrt) فأنت تريد دائمًا قطع الرمال عندما تكون على مسافة ( ds wb / sqrt) من النقطة (C text <.> ) إذا بدأت أقرب من هذا إلى (C text <،> ) يجب أن تقطع الرمل مباشرة.

تمارين للقسم 5.8.
تمرين 5.8.1.

لنفترض أن الربح الشهري الذي تحققه الشركة المصنعة من بيع (q ) الوحدات التي قدمها

دولار. ما هو الحد الأقصى للربح الشهري؟

69500 ​​دولار شهريًا عند (q = 130 text <.> )

نلاحظ أولاً أن مجال (P ) هو (q in [0، infty) text <.> ) نفرق مرتين:

للعثور على أي نقاط حرجة في (P text <،> ) قمنا بتعيينها أولاً

بعد ذلك ، نبحث عن أي نقاط يكون فيها (P '(q) ) غير معرّف ، مما لا يعطي أي حلول. ومن ثم ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة لـ (P ) هي (q = 130 نص <.> ) منذ (P '' (130) lt 0 text <،> ) من خلال اختبار المشتق الثاني لـ القيم القصوى النسبية ، (P ) لها حد أقصى نسبي عند ((130، P (130)) = (130، 69500) text <.> )

علاوة على ذلك ، نظرًا لأن (P ) هو قطع مكافئ مقلوب ، يجب أن يكون هذا الحد الأقصى النسبي هو الحد الأقصى المطلق. وبالتالي ، فإن الحد الأقصى للربح الشهري هو 69،500 دولارًا أمريكيًا في الشهر. يحدث هذا الحد الأقصى عند إنتاج 130 وحدة.

تمرين 5.8.2.

لنفترض أن الربح اليومي الذي تحققه الشركة المصنعة من بيع الوحدات التي تم الحصول عليها

ما هو الحد الأقصى للربح اليومي؟

يجب أن يكون مجال دالة الربح ([0، infty) text <.> ) نحن نفرق الآن:

للعثور على النقاط الحرجة لـ (P text <،> ) قمنا بتعيين (P '(q) = 0 text <:> )

نظرًا لأن (q = 0 ) هي نقطة نهاية ، فلا يمكن أن تكون نقطة حرجة. ومن ثم ، فإن دالة الربح لها نقطة حرجة واحدة عند (q = 20/3 text <.> ) نلاحظ أيضًا أنه لا توجد نقاط حيث (P '(q) ) DNE ، وبالتالي فإن هذا لا يعطي المزيد نقاط حرجة.

نلاحظ أيضًا أن الربح يتناقص لجميع (q & gt 20/3 text <.> ) نستنتج أن الحد الأقصى للربح المطلق الذي تحققه الشركة المصنعة هو 29.63 دولارًا أمريكيًا في اليوم عند ضبط مستوى الإنتاج على 7 وحدات تقريبًا.

تمرين 5.8.3.

تحدد الشركة المصنعة أن التكلفة الإجمالية (C (q) ) للتصنيع (q ) من الوحدات في اليوم يتم إعطاؤها بواسطة

دولار. إذا تم بيع كل وحدة في

بالدولار ، ما هو مستوى الإنتاج اليومي الذي يعظم الربح اليومي؟

نبني أولاً الربح اليومي كدالة لـ (q text <.> )

لتحديد مجال (P text <،> ) نلاحظ أولاً أننا نطلب أن تكون الكمية المطلوبة (q ) وسعر الوحدة (p ) موجبين:

لذلك ، المجال هو ([0، 25000] text <.> )

بعد ذلك ، نجد النقاط الحرجة الداخلية لـ (P ) عن طريق الحساب

الذي يعطي حلاً منفردًا ، (q = 6000 ) (لاحظ أن هذه النقطة تقع في مجال (P )). نظرًا لعدم وجود نقاط (q ) في مجال (P ) لا يوجد لها (P '(q) ) ، يجب أن تكون هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة.

لقد حددنا دالة الربح في فترة زمنية مغلقة ، ومن ثم لتحديد الحد الأقصى المطلق ، يمكننا مقارنة قيمة دالة الربح في جميع النقاط الحرجة ونقاط النهاية:

لذلك يتم الوصول إلى الحد الأقصى المطلق عند (q = 6000 text <.> )

لذلك ، مع مستوى إنتاج (6000 ) وحدة في اليوم ، يتم تعظيم الربح عند 17600 دولار.

تمرين 5.8.4.

شركة معينة لديها تكلفة أسبوعية ثابتة تبلغ 10000 دولار ، وتكلفة إنتاج متغيرة تبلغ

دولار لكل وحدة. إذا كان عائد بيع (ف ) الوحدات في الأسبوع هو

ما هو مستوى الإنتاج الذي سيعظم الربح الأسبوعي؟

نقوم أولاً ببناء دالة الربح الأسبوعية ، (P (q) text <:> )

حيث (q geq 0 text <.> ) الآن احسب

نظرًا لأن (P '(q) ) DNE ليس له حلول ، قمنا بتعيين (P' (q) = 0 ) للعثور على أي نقاط حرجة.

باستخدام الصيغة التربيعية ، نجد حلين ، (q = 215.25 text <،> ) و (q = -1548.58 text <.> ) نرفض الجذر الثاني (لأنه ليس في مجال (ف )).

نقارن الآن الربح عند النقطة الحرجة وعند نقاط النهاية:

لذلك ، (q حوالي 215 ) هو الحد الأقصى المطلق لـ (P text <.> )

لذلك ، يكون الربح هو الحد الأقصى عندما يكون مستوى الإنتاج عند (215 ) وحدة تقريبًا في الأسبوع.

تمرين 5.8.5.

لنفترض أن التكلفة الشهرية الإجمالية لوحدات التصنيع قد تم تقديمها بواسطة

تحديد دالة متوسط ​​التكلفة ( overline نص <.> )

دالة متوسط ​​التكلفة ( overline) اعطي من قبل

تحديد مستوى الإنتاج الذي ينتج عنه أصغر متوسط ​​تكلفة إنتاج.

نرغب الآن في تقليل ( overline(ف) نص <.> ) قم بتعيين

مما يعطي حلين

ارفض الجذر السالب ، وقيّم ما إذا كانت النقطة الحرجة المتبقية هي قيمة عظمى أو صغرى نسبية.

وعلى وجه الخصوص ، ( overline"(173.205) & gt 0 text <.> ) بواسطة اختبار المشتق الثاني ، (q = 173.205 ) هو حد أدنى نسبي علاوة على ذلك ، منذ ( overline) مقعر للجميع (q & gt 0 text <،> ) نستنتج أن هذا هو الحد الأدنى المطلق. لذلك فإن مستوى الإنتاج الذي ينتج عنه الحد الأدنى لمتوسط ​​تكلفة الإنتاج هو حوالي (173 ) وحدة.

حدد مستوى الإنتاج الذي يكون متوسط ​​التكلفة مساويًا للتكلفة الحدية.

يتم إعطاء التكلفة الحدية بواسطة

الإعداد (C '(q) = overline(ف) نص <،> ) نجد

بالتعرف على هذه المعادلة من الجزء (ب) ، ورفض الحل السلبي كما في السابق ، نرى أن التكلفة الحدية تساوي متوسط ​​التكلفة عند (q حوالي 173 نص <.> )

ما الذي يمكنك استنتاجه من نتائجك؟

يتم تقليل متوسط ​​التكلفة عند ( overline = C '(q) text <> ) أي عندما تكون مساوية للتكلفة الحدية.

تمرين 5.8.6.

بالنظر إلى معادلة الطلب التالية ،

حيث (ع ) هو سعر الوحدة و (ف ) هو عدد الوحدات المصنعة في الأسبوع ، كم عدد الوحدات التي يجب تصنيعها وبيعها كل أسبوع من أجل زيادة إجمالي الإيرادات؟

نحدد أولاً مجال معادلة الطلب:

نعلم أيضًا أن (q ) يجب أن يكون عددًا موجبًا. لذلك ، يتم إعطاء دالة الإيرادات بواسطة

نحن نبحث الآن عن النقاط الحرجة لوظيفة الإيرادات. نحن نحسب

النقطة الوحيدة في مجال (R ) التي يكون (R ') غير معرّف لها هي عندما (q = 600 نص <.> ) نظرًا لأن هذه نقطة حدية ، فلا يمكن أن تكون نقطة حرجة. لذلك نحن بحاجة إلى حل (R '(q) = 0 text <:> )

لتحديد الحد الأقصى للإيرادات المطلقة ، نقارن

نستنتج أنه من أجل تعظيم الإيرادات ، يجب تصنيع وبيع (400 ) وحدة.

تمرين 5.8.7.

نحدد متوسط ​​الإيرادات كـ

أظهر أنه إذا كان (R (q) ) مقعرًا لأسفل ، فإن الحد الأقصى لمتوسط ​​الإيرادات يحدث عندما ( overline(ف) = ص '(ف) نص <.> )

من خلال اختبار المشتق الثاني ، تعطي النقطة الحرجة أقصى عائد.

لـ (q & gt 0 text <.> ) نفرق أولاً متوسط ​​الإيرادات:

لاحظ أن ( overline'(q) ) غير محدد عندما (q = 0 text <،> ) ولكن بما أن هذه النقطة ليست في مجال ( overline(ف) نص <،> ) نرفض هذا باعتباره نقطة حرجة. لذلك ، ستحدث النقطة الحرجة الوحيدة عندما

لاحظ أنه يمكن كتابة هذه المساواة الأخيرة كـ

ومن ثم ، فإن النقطة الحرجة لمتوسط ​​دالة الإيرادات ترضي

بالتفريق مرة أخرى ، نرى ذلك

لذلك ، عندما نرى ذلك (qR '(q) = q text <،> )

نظرًا لأن (R (q) ) مقعر في كل مكان و (q & gt0 text <،> ) هذا يعني أن متوسط ​​وظيفة الإيرادات مقعرة عند ( overline = R '(q) text <.> ) من خلال اختبار المشتق الثاني ، تكون هذه النقطة الحرجة هي الحد الأقصى النسبي.

تمرين 5.8.8.

الناتج المحلي الإجمالي لبلد معين في أعقاب أزمة وطنية (عند (t equiv 0 )) يتم تقريبه بواسطة

حيث يقاس (G (t) ) بمليارات الدولارات. متى يكون الناتج المحلي الإجمالي في أعلى مستوياته خلال هذه الفترة الزمنية؟

نحل الآن من أجل النقاط الحرجة لـ (G text <:> )

نظرًا لأن (t = 0 ) هي نقطة نهاية ، فهي ليست نقطة حرجة. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن (G '(t) ) معرّف للجميع (t ) في مجال (G text <،> ) نستنتج أن هناك (G ) لديه نقطة حرجة واحدة عند (t = 8 نص <.> )

نقارن الآن قيمة (G ) عند النقطة الحرجة وكلتا النقاط الحدودية:

لذلك ، فإن الناتج المحلي الإجمالي هو في أعلى مستوياته بعد 8 سنوات.

تمرين 5.8.9.

افترض أن المبلغ المالي في الحساب تم تقديمه بواسطة

آلاف الدولارات على مدى 55 عامًا. حدد السنة التي تكون فيها قيمة الحساب القصوى.

إعداد (a '(t) = 0 ) يعطي (t = 42.1814 ) الحل الحقيقي الوحيد. يقع هذا في مجال (a (t) ) وبالتالي فهو نقطة حرجة في (a text <.> ) الإعداد (a '(t) ) لا يعطي DNE أي حلول.

نستنتج أن قيمة الحساب هي القصوى بين العامين 42 و 43.

تمرين 5.8.10.

على مدار فترة زمنية مدتها 5 سنوات ، يتضح أن عدد (N ) المخابز المملوكة بشكل مستقل يتم تقديمه بواسطة

(بملايين المخابز). حدد القيمة القصوى المطلقة للدالة (N ) على الفاصل ([0،5] ) وفسر نتائجك.

(N ) به حد أدنى مطلق يبلغ 0.86 مليون مخبز عند حوالي (x = 3.1 ) وحد أقصى يبلغ 5.1 مليون مخبز عند حوالي (x = 0.8 text <.> )

نحن نفرق فيما يتعلق بـ (t text <:> )

للعثور على النقاط الحرجة ، قمنا بتعيين (N '(t) = 0 text <.> ) وهذا يعطي ثلاثة حلول: (t = 0.812897 text <،> ) (t = 3.0978 text <، > ) (t = 5.00359 text <.> ) عند النظر في مجال (N text <،> ) نرفض الحل الأخير. لذلك نقارن:

نستنتج أنه خلال فترة الخمس سنوات ، كان عدد المخابز هو الحد الأقصى بعد حوالي (0.8 ) عام ، وأقل بعد (3 ) سنوات.

تمرين 5.8.11.

هي دالة التكلفة اليومية لمنتج معين حيث يتم قياس (q ) بوحدات الآلاف. حدد مستوى الإنتاج الذي يقلل متوسط ​​التكلفة اليومية لكل وحدة.

نقوم أولاً ببناء دالة متوسط ​​التكلفة.

لـ (q & gt 0 text <.> ) للتمييز ، نجد ذلك

نظرًا لعدم وجود نقاط في مجال (C ) التي ( overline'(q) ) غير محدد ، يبقى تعيين ( overline'(ف) = 0 نص <:> )

نحن نعتبر مخطط الإشارة التالي لـ ( overline'(ف) نص <:> )

نظرًا لأن متوسط ​​التكلفة يتناقص على الفاصل ((0،86.9784) text <،> ) ويزيد من ((86.9784، ​​infty) text <،> ) نستنتج أن الحد الأدنى لمتوسط ​​التكلفة المطلق يحدث عندما يتم إنتاج حوالي 20000 وحدة.

تمرين 5.8.12.

أوجد أبعاد مستطيل أكبر مساحة ذات محيط ثابت (100 نص <.> )

افترض أن لدينا المستطيل التالي:

ثم يتم إعطاء المنطقة بواسطة

حيث لدينا هذا (x، y geq 0 text <.> )

سنستخدم القيد على المحيط لكتابة (y ) كدالة (x ):

لذلك ، يمكننا كتابة المساحة كدالة لمتغير واحد فقط:

مع المجال (0 leq x leq 50 text <.> ) وجدنا التفريق

هذا يعني أن (x = 25 ) هي النقطة الحرجة الوحيدة. قارن الآن:

نستنتج أن المنطقة يتم تكبيرها عندما تكون الأبعاد (25 ) × (25 نص <.> )

تمرين 5.8.13.

ابحث عن أبعاد مستطيل أكبر مساحة ذات محيط ثابت (P text <.> )

افترض أن لدينا المستطيل التالي:

ثم يتم إعطاء المنطقة بواسطة

والمحيط (بالنسبة لبعض الثابت الثابت (P )) هو

حيث لدينا هذا (x، y geq 0 text <.> )

سنستخدم القيد على المحيط لكتابة (y ) كدالة (x ):

لذلك ، يمكننا كتابة المساحة كدالة لمتغير واحد فقط:

بالمجال (0 leq x leq frac

<2> text <.> ) وجدنا التفريق

هذا يعني أن (x = P / 4 ) هي النقطة الحرجة الوحيدة. قارن الآن:

نستنتج أن المنطقة يتم تكبيرها عندما تكون الأبعاد ( dfrac

<4> ) x ( dfrac

<4> نص <.> )

تمرين 5.8.14.

المربع الذي يحتوي على قاعدة مربعة ولا يوجد رأس يحتوي على وحدة تخزين (100 نص <.> ) ابحث عن أبعاد الصندوق التي تتطلب أقل قدر من المواد للأضلاع الخمسة. أوجد أيضًا نسبة الارتفاع إلى جانب القاعدة.

لنفترض أن طول ضلع قاعدة الصندوق (l ) وأن ارتفاع المربع هو (ح نص <.> ) ثم حجم الصندوق هو

إذا كان حجم الصندوق مقيدًا ، فيمكننا الكتابة

لذلك ، فإن النقطة الحرجة لمساحة السطح هي (l = 2 cdot 5 ^ <2/3> text <.> )

نقوم بإنشاء مخطط الإشارة التالي لـ (S ' text <:> )

لذلك ، تتناقص مساحة السطح لـ (l in (0،2 cdot 5 ^ <2/3>) ) وتزداد لـ (l in (2 cdot 5 ^ <2/3>، infty) text <.> ) نستنتج أن مساحة السطح يتم تصغيرها بالأبعاد (2 cdot 5 ^ <2/3> ) x (2 cdot 5 ^ <2/3> ) x (5 ^ <2/3> text <.> )

تمرين 5.8.15.

الصندوق ذو القاعدة المربعة يحتوي على حجم (200 نص <.> ) يتكون الجزء السفلي والأعلى من خلال طي اللوحات من الجوانب الأربعة ، بحيث يتكون الجزء السفلي والعلوي من طبقتين من الورق المقوى. ابحث عن أبعاد الصندوق التي تتطلب أقل قدر من المواد. أوجد أيضًا نسبة الارتفاع إلى جانب القاعدة.

( ds root 3 of <100> times root 3 of <100> times 2 root 3 of <100> text <،> ) (h / s = 2 )

لنفترض أن أبعاد قاعدة الصندوق هي (l ) x (l text <،> ) وأن ارتفاع المربع هو (h text <.> ) وحدة التخزين إذن

ومساحة السطح (مع ملاحظة أن الجزء العلوي والسفلي يتضاعف) هو

نظرًا لأن الحجم مقيد عند (V = 200 نص <،> ) يمكننا الكتابة

التفريق بين (S ) فيما يتعلق (l text <،> ) نحسبها

نقوم بإنشاء مخطط الإشارة التالي لـ (S ' text <:> )

نستنتج أن مساحة السطح يتم تصغيرها بالأبعاد (10 ​​^ <2/3> ) x (10 ​​^ <2/3> ) x (2 cdot 10 ^ <2/3> text <. > )

تمرين 5.8.16.

المربع الذي يحتوي على قاعدة مربعة ولا يوجد قمة يجب أن يحتوي على وحدة تخزين (V نص <.> ) ابحث (من حيث (V )) عن أبعاد الصندوق التي تتطلب أقل مادة للأضلاع الخمسة. أوجد أيضًا نسبة الارتفاع إلى جانب القاعدة. (لن تشمل هذه النسبة (V text <.> ))

لنفترض أن طول ضلع قاعدة الصندوق (l ) وأن ارتفاع المربع هو (ح نص <.> ) ثم حجم الصندوق هو

إذا كان حجم الصندوق مقيدًا ، فيمكننا الكتابة

لذلك ، فإن النقطة الحرجة لمساحة السطح هي عندما (l = (2V) ^ <1/3> text <.> )

نقوم بإنشاء مخطط الإشارة التالي لـ (S ' text <:> )

لذلك ، يتم تصغير مساحة السطح بالأبعاد ((2V) ^ <1/3> ) x ((2V) ^ <1/3> ) x (h text <،> ) حيث

تمرين 5.8.17.

لديك (100 ) قدم من السياج لإنشاء منطقة لعب مستطيلة بجانب جدار منزلك. يحد جدار المنزل جانبًا واحدًا. ما هو أكبر حجم ممكن (بالقدم المربع) لمنطقة اللعب؟

نرسم المخطط التالي ، حيث تشير الخطوط الزرقاء إلى السياج ( (س ) و (ص ) تقاس بالأقدام):

نظرًا لوجود كمية ثابتة من مواد السياج ، فنحن نطلبها

ومن ثم ، يمكننا كتابة المنطقة كدالة لـ (x ) فقط:

لـ (0 leq x leq 50 text <.> ) اشتق الآن:

وهكذا فإن (x = 25 ) يعطي النقطة الحرجة الوحيدة. قارن الآن:

نستنتج أن 1250 قدمًا (^ 2 ) هي أقصى مساحة.

تمرين 5.8.18.

لديك (l ) أقدام من السياج لإنشاء منطقة لعب مستطيلة بجانب جدار منزلك. يحد جدار المنزل جانبًا واحدًا. ما هو أكبر حجم ممكن (بالقدم المربع) لمنطقة اللعب؟

نرسم المخطط التالي ، حيث تشير الخطوط الزرقاء إلى السياج ( (س ) و (ص ) تقاس بالأقدام):

نظرًا لوجود كمية ثابتة من مواد السياج ، فنحن نطلبها

ومن ثم ، يمكننا كتابة المنطقة كدالة لـ (x ) فقط:

لـ (0 leq x leq l / 2 text <.> ) اشتق الآن:

وهكذا فإن (x = l / 4 ) يعطي النقطة الحرجة الوحيدة. قارن الآن:

نستنتج أن ( dfrac<8> ) قدم (^ 2 ) هي المساحة القصوى.

تمرين 5.8.19.

يخبرك التسويق أنه إذا قمت بتعيين سعر عنصر على 10 دولارات ، فلن تتمكن من بيعه ، ولكن يمكنك بيع 500 عنصر مقابل كل دولار أقل من 10 دولارات تحدد السعر. افترض أن إجمالي تكاليفك الثابتة 3000 دولار ، وأن التكلفة الحدية هي 2 دولار لكل عنصر. ما هو أكبر ربح يمكنك تحقيقه؟

دع (q ) هو عدد الوحدات المعنية. إذا كان إجمالي تكاليفنا الثابتة 3000 دولار وتكلفتنا الحدية هي 2 دولار لكل وحدة ، فإن دالة التكلفة الإجمالية (C (q) ) (بالدولار) تُعطى بواسطة

الآن ، لنكن (p ) هو سعر الوحدة (بالدولار). ثم يخبرنا التسويق أنه يمكننا بيع (q = 500 ) وحدة لكل دولار أقل من 10 دولارات التي نحدد السعر بها. دعونا (0 le h le 10 text <.> ) ثم

بالنسبة للبعض (h in [0،10] text <.> ) نحتاج إلى بناء عائداتنا (R ) كدالة لـ (q text <،> ) ولذا فإننا نسمح ( ح = q / 500 ) (حيث قمنا بإعادة ترتيب المعادلة الثانية أعلاه). ثم،

أخيرًا ، نقوم ببناء دالة الربح (P ) كدالة (q ) للوحدات المباعة.

حيث (0 leq q leq 5000 text <.> )

الآن ، ابحث عن النقاط الحرجة في (P text <.> )

مما يعطي (q = 2000 ) النقطة الحرجة الداخلية الوحيدة لدينا. المقارنة

نستنتج أن الربح عند الحد الأقصى المطلق عندما نبيع (2000 ) وحدة. بما أن (q = 2000 text <،> ) هذا يعني أن (h = 4 ) وبالتالي (p = 10-4 = 6. ) لذلك ، يتم بيع كل وحدة بسعر 6 دولارات للوحدة. سيكون الربح المحقق 5000 دولار.

تمرين 5.8.20.

أوجد مساحة أكبر مستطيل يناسب نصف دائرة نصف قطرها (10 ​​) (يقع أحد جوانب المستطيل على طول قطر نصف الدائرة).

نرسم أولاً مخططًا للسيناريو. المنطقة المظللة هي المنطقة المراد تحسينها.

نرغب في كتابة المنطقة كدالة لـ (w ) فقط. لذا دع

حيث (0 leq w leq 200 text <.> )

يمكننا الآن التفريق فيما يتعلق بـ (w text <:> )

وهكذا فإن (A '(w) = 0 ) عندما يكون (w = pm sqrt <2> 100 ) و (A' (w) ) غير معرف عندما (w = pm 200 text <.> ) بما أن مجال (A ) هو (0 leq w leq 200 text <،> ) نستنتج أن هناك نقطة حرجة داخلية واحدة فقط عند (w = sqrt <2 > 100 text <.> ) نقارن الآن قيمة (A ) في هذه النقطة الحرجة مع قيمة (A ) عند النقاط الحدودية:

لذلك ، فإن أقصى مساحة للمستطيل هي (100 نص <.> )

تمرين 5.8.21.

أوجد مساحة أكبر مستطيل يناسب نصف دائرة نصف قطرها (r ) (يقع أحد جوانب المستطيل على طول قطر نصف الدائرة).

نرسم أولاً مخططًا للسيناريو. المنطقة المظللة هي المنطقة المراد تحسينها.

نرغب في كتابة المنطقة كدالة لـ (w ) فقط. لذا دع

يمكننا الآن التفريق فيما يتعلق بـ (w text <:> )

وهكذا فإن (A '(w) = 0 ) عندما يكون (w = pm sqrt <2> r ) و (A' (w) ) غير معرف عندما (w = pm 2r text <.> ) بما أن مجال (A ) هو (0 leq w leq 2r text <،> ) نستنتج أن هناك نقطة حرجة داخلية واحدة فقط عند (w = sqrt <2 > r text <.> ) نحن الآن نقارن قيمة (A ) في هذه النقطة الحرجة مع قيمة (A ) عند النقاط الحدودية:

لذلك ، فإن أقصى مساحة للمستطيل هي (r ^ 2 text <.> )

تمرين 5.8.22.

بالنسبة للأسطوانة التي تحتوي على مساحة سطح (50 نص <،> ) بما في ذلك الجزء العلوي والسفلي ، أوجد نسبة الارتفاع إلى نصف قطر القاعدة الذي يزيد الحجم.

دع (r ) يكون نصف القطر و (h ) يكون الارتفاع. ثم حجم الاسطوانة

وإجمالي مساحة السطح (بما في ذلك الجزء العلوي والسفلي) هو

يتيح لنا تقييد مساحة السطح كتابة (ح ) كدالة لـ (r نص <:> )

ومن ثم ، كدالة في نصف القطر ، نكتب

لاحظ أن مجال (V (r) ) هو (0 lt r leq frac <5> < sqrt < pi >> text <.> )

يمكننا الآن التفريق بين الحجم بالنسبة إلى (r text <:> )

الإعداد (V '(r) = 0 ) يعطي (r = pm frac <5> < sqrt <3 pi >> text <.> ) نحن نرفض الحل السلبي ، وهكذا نترك بنقطة حرجة واحدة فقط. لتحديد الحد الأقصى المطلق ، نقارن القيم:

نستنتج أن الحجم الأقصى يمكن تحقيقه بنسبة ارتفاع إلى نصف قطر تبلغ

تمرين 5.8.23.

بالنسبة للأسطوانة ذات مساحة السطح المحددة (S text <،> ) بما في ذلك الجزء العلوي والسفلي ، أوجد نسبة الارتفاع إلى نصف قطر القاعدة الذي يزيد الحجم.

دع (r ) يكون نصف القطر و (h ) يكون الارتفاع. ثم حجم الاسطوانة

وإجمالي مساحة السطح (بما في ذلك الجزء العلوي والسفلي) هو

تقييد مساحة السطح يسمح لنا بالكتابة (ح ) كدالة (r نص <:> )

ومن ثم ، كدالة في نصف القطر ، نكتب

لاحظ أن مجال (V (r) ) هو (0 lt r leq frac < sqrt> < sqrt < pi >> text <.> )

يمكننا الآن التفريق بين الحجم بالنسبة إلى (r text <:> )

الإعداد (V '(r) = 0 ) يعطي (r = pm frac < sqrt> < sqrt <3 pi >> text <.> ) نحن نرفض الحل السلبي ، وبالتالي نترك نقطة حرجة واحدة فقط. لتحديد الحد الأقصى المطلق ، نقارن القيم:

نستنتج أن الحجم الأقصى يمكن تحقيقه بنسبة ارتفاع إلى نصف قطر تبلغ

تمرين 5.8.24.

تريد عمل أوعية أسطوانية تتسع لتر واحد باستخدام أقل كمية من مواد البناء. الجانب مصنوع من قطعة مستطيلة الشكل من المواد ، ويمكن القيام بذلك دون إهدار أي مادة. ومع ذلك ، يتم قطع الجزء العلوي والسفلي من مربعات الجانب (2r text <،> ) بحيث تكون ( ds 2 (2r) ^ 2 = 8r ^ 2 ) من المواد مطلوبة (بدلاً من () ds 2 pi r ^ 2 text <،> ) وهي المساحة الإجمالية للجزء العلوي والسفلي). أوجد أبعاد الحاوية باستخدام أقل كمية من المواد ، وأيضًا أوجد نسبة الارتفاع إلى نصف القطر لهذه الحاوية.

نقوم بعمل المخططات التالية التي توضح كمية مواد البناء المطلوبة لكل حاوية. للأعلى والأسفل نحتاج:

وبالنسبة إلى جانب الأسطوانة ، نحتاج إلى:

افترض أنه تم قياس (r ) و (ح ) بالسنتيمتر. ثم تبلغ مساحة السطح الكلية لمواد البناء (سم (^ 2 ))

لدينا أيضًا قيود على الحجم: (لاحظ أن 1 لتر = 1000 سم (^ 3 ))

لذلك ، نكتب (لـ (r neq 0 ))

ولذا يمكننا كتابة مساحة السطح كدالة لنصف القطر فقط:

التفريق فيما يتعلق (r نص <،> ) نجد

لاحظ أن (S '(r) ) غير محدد عند (r = 0 text <،> ) لكن هذه النقطة ليست في مجال (S ) وبالتالي فهي ليست نقطة حرجة. الإعداد (S '(r) = 0 ) يعطي (r = 5 ) النقطة الحرجة الوحيدة.

وهكذا (S '' (r) & gt 0 ) للجميع (r & gt 0 text <.> )

نظرًا لأن (S ) مقعر في المجال بأكمله ، وله نقطة حرجة واحدة عند (r = 5 text <،> ) يجب أن يكون هذا هو الحد الأدنى المطلق. نستنتج أن كمية مواد البناء تقل عند (r = 5 ) سم و (ح = دفراك <40> < pi> ) سم. هذا يعطي نسبة

تمرين 5.8.25.

تريد عمل حاويات أسطوانية بحجم معين (V ) باستخدام أقل كمية من مواد البناء. الجانب مصنوع من قطعة مستطيلة الشكل من المواد ، ويمكن القيام بذلك دون إهدار أي مادة. ومع ذلك ، يتم قطع الجزء العلوي والسفلي من مربعات الجانب (2r text <،> ) بحيث يلزم ( ds 2 (2r) ^ 2 = 8r ^ 2 ) من المواد (بدلاً من () ds 2 pi r ^ 2 text <،> ) وهي المساحة الإجمالية للجزء العلوي والسفلي). أوجد النسبة المثلى للارتفاع إلى نصف القطر.

نقوم بعمل المخططات التالية التي توضح كمية مواد البناء المطلوبة لكل حاوية. للأعلى والأسفل نحتاج:

وبالنسبة إلى جانب الأسطوانة ، نحتاج إلى:

افترض أنه تم قياس (r ) و (ح ) في بعض الوحدات. ثم المساحة الإجمالية لمواد البناء (بالوحدات (^ 2 )) هي

لدينا أيضًا قيود على الحجم:

حيث (V ) بعض الشيء موجب ، ثابت غير صفري ويتم قياسه بالوحدات (^ 3 نص <.> ) لذلك ، نكتب (لـ (r neq 0 ))

ولذا يمكننا كتابة مساحة السطح كدالة لنصف القطر فقط:

التفريق فيما يتعلق (r نص <،> ) نجد

لاحظ أن (S '(r) ) غير محدد عند (r = 0 text <،> ) لكن هذه النقطة ليست في مجال (S ) وبالتالي فهي ليست نقطة حرجة. الإعداد (S '(r) = 0 ) يعطي (r = frac <1> <2> sqrt [3]) باعتبارها النقطة الحرجة الوحيدة.

وهكذا (S '' (r) & gt 0 ) للجميع (r & gt 0 text <.> )

نظرًا لأن (S ) مقعر في مجاله بالكامل ، وله نقطة حرجة واحدة عند (r = frac <1> <2> sqrt [3] text <،> ) يجب أن يكون هذا هو الحد الأدنى المطلق. نستنتج أن كمية مواد البناء تقل عند (r = frac <1> <2> sqrt [3]) سم و (ح = دفرك <4 مربع [3]> < pi> ) سم. هذا يعطي نسبة

تمرين 5.8.26.

بالنظر إلى مخروط دائري قائم ، يمكنك وضع مخروط مقلوب بداخله بحيث يكون رأسه في مركز قاعدة المخروط الأكبر وقاعدته موازية لقاعدة المخروط الأكبر. إذا اخترت المخروط المقلوب ليكون له أكبر حجم ممكن ، فما الكسر الذي يشغله من حجم المخروط الأكبر؟ لنفترض (H ) و (R ) ارتفاع ونصف قطر القاعدة للمخروط الأكبر ، وليكن (h ) و (r ) ارتفاع ونصف قطر القاعدة للمخروط الأصغر. تلميح

نقوم بعمل رسم تخطيطي للسيناريو الموصوف:

كلا المخروطين عبارة عن مخروط دائري صحيح ، لذلك إذا سمحنا (H ) و (R ) أن يكونا ارتفاع ونصف قطر المخروط الخارجي (الأكبر) ، على التوالي ، مع (h text <،> ) ( r ) نظرًا لكونه ارتفاع ونصف قطر المخروط الداخلي (الأصغر) ، يجب أن يكون لدينا:

ثم ، من خلال مثلثات مماثلة ،

لـ (0 lt r lt R ) و (0 lt h lt H text <.> ) لاحظ أنه إذا (h = H ) سنطلب (r = 0 text < ،> ) وبالمثل إذا (r = R ) كنا نطلب (h = 0 text <.> ) وبالمثل ، فإن أخذ إما (r ) أو (h ) يساوي الصفر سيؤدي إلى حجم صفر.

(H ) و (R ) ثابتان وغير صفري ، لذا يمكننا الكتابة

حجم المخروط الداخلي

وباستخدام العلاقة أعلاه ، لدينا (0 lt h lt H text <،> )

اشتق الآن فيما يتعلق بـ (h text <:> )

الحل (h = H ) ليس في مجال (V text <،> ) ولذا نحصل على نقطة حرجة واحدة عند (h = frac<3> text <.> ) نصف القطر المقابل هو (r = frac <2R> <3> text <.> ) وبالتالي ، فإن الحجم الأقصى للمخروط الداخلي هو

منذ حجم المخروط الخارجي

تمرين 5.8.27.

الحاوية التي تحتوي على حجم ثابت تُصنع على شكل أسطوانة ذات رأس نصف كروي. (الجزء العلوي نصف الكروي له نفس نصف قطر الأسطوانة.) أوجد نسبة الارتفاع إلى نصف قطر الأسطوانة مما يقلل تكلفة الحاوية إذا (أ) كانت التكلفة لكل وحدة مساحة في الجزء العلوي أكبر بمرتين من التكلفة لكل مساحة الوحدة من الجانب ، والحاوية مصنوعة بدون قاع (ب) كما هو الحال في (أ) ، باستثناء أن الحاوية مصنوعة من قاع دائري ، حيث تبلغ تكلفة الوحدة مساحة 1.5 ضعف تكلفة الوحدة منطقة الجانب.

الحاوية مكونة من جزئين:

لذلك ، فإن الحجم الإجمالي للحاوية (بالنسبة لبعض الثابت غير الصفري (V )) هو

هذا يعني أنه يمكننا الكتابة

إذا كانت الحاوية ستصنع بدون قاع ، فإن مساحة السطح الإجمالية تكون

إذا كانت تكلفة المادة العلوية ضعف تكلفة المادة الجانبية ، فإننا نريد تقليل دالة التكلفة:

باستخدام العلاقة (h = h (r) text <،> ) نكتب (لـ (r & gt0 ))

التفريق فيما يتعلق (r ) يعطي

قمنا بتعيين (C '(r) = 0 ) للعثور على نقطة حرجة واحدة (تذكر أن (r = 0 ) ليس في مجال (C )):

عند هذه القيمة من (r text <،> ) يكون الارتفاع المقابل

الآن إذا كانت الحاوية ستصنع بقاع دائري ، فإن إجمالي مساحة السطح

ومن ثم ، إذا كانت تكلفة المواد للأعلى هي ضعف تكلفة المادة الجانبية ، وتكلفة القاع 1.5 مرة لتكلفة المادة الجانبية ، فيمكننا إنشاء دالة التكلفة التالية:

لذلك كدالة لـ (r ) فقط ، نجد

عند هذه القيمة من (r text <،> ) ، فإن القيمة المقابلة لـ (h ) هي

تمرين 5.8.28.

قطعة من الورق المقوى 1 متر في (1/2 ) متر. يتم قطع مربع من كل زاوية ويتم طي الجوانب لعمل صندوق مفتوح من أعلى. ما هي أبعاد الصندوق بأقصى حجم ممكن؟

تقطع قطعة الكرتون كما يلي:

ينتج عن هذا مربع بأبعاد ((1-2x) times (0.5-2x) times x text <.> ) حجم هذا المربع هو إذن

لـ (0 leq x leq 0.25 text <.> ) نفرق:

وهكذا (V '(x) = 0 ) لـ (x = 1/4 pm 1 / sqrt <48> text <.> ) فقط واحدة من هذه النقاط الحرجة تقع في مجال ( V نص <:> )

نستنتج أن الأبعاد التي تزيد من حجم الصندوق هي

تمرين 5.8.29.

(أ) تُستخدم قطعة مربعة من الورق المقوى من الجانب (أ ) لعمل صندوق مفتوح من خلال قطع مربع صغير من كل زاوية وثني الجوانب. ما هو حجم المربع الذي يجب قطعه من كل زاوية حتى يكون للصندوق الحجم الأقصى؟ (ب) ماذا لو كانت قطعة الكرتون المستخدمة في صنع الصندوق عبارة عن مستطيل من الجوانب (أ ) و (ب نص <؟> )

نبدأ بالحالة العامة حيث لدينا السيناريو التالي: - يتم قطع قطعة الكرتون كما يلي:

افترض أن (b leq a text <.> ) ثم (0 leq x leq frac<2> text <.> ) وبالتالي فإن حجم المربع الناتج هو

الآن قم بتعيين (V '(x) = 0 text <،> ) الذي يعطي

ومن ثم ، (x = frac<6> ) هي النقطة الحرجة الوحيدة. نقارن:

نستنتج أن (x = frac<6> ) هو الحجم الأمثل للمربع.

الآن دعونا (a neq b text <.> ) منذ (x leq b / 2 text <،> ) وأخذنا (b lt a ) نرى ذلك

هي النقطة الحرجة الوحيدة. منذ

نستنتج أن اختيار (س ) هذا يجب أن يزيد الحجم.

تمرين 5.8.30.

تتكون النافذة من قطعة مستطيلة من الزجاج الشفاف مع قطعة نصف دائرية من الزجاج الملون أعلى الزجاج الملون ينقل فقط (1/2 ) قدر من الضوء لكل وحدة مساحة مثل الزجاج الصافي. إذا كانت المسافة من أعلى إلى أسفل (عبر كل من المستطيل ونصف الدائرة) هي 2 متر وكان عرض النافذة لا يزيد عن 1.5 مترًا ، فابحث عن أبعاد الجزء المستطيل من النافذة الذي يسمح بمرور أكبر قدر من الضوء.

(1.5 ) متر عرضًا بطول (1.25 ) مترًا

تمرين 5.8.31.

تتكون النافذة من قطعة مستطيلة من الزجاج الشفاف تعلوها قطعة نصف دائرية من الزجاج الملون. افترض أن الزجاج الملون ينقل فقط (k ) ضعف كمية الضوء لكل وحدة مساحة مثل الزجاج الشفاف ( (k ) بين (0 ) و (1 )).إذا كانت المسافة من أعلى إلى أسفل (عبر كل من المستطيل ونصف الدائرة) هي مسافة ثابتة (H text <،> ) ابحث (من حيث (k )) عن نسبة الجانب الرأسي إلى الجانب الأفقي من المستطيل الذي تسمح له النافذة بمرور أكبر قدر من الضوء.

إذا كانت النسبة (k le 2 / pi ) هي ((2-k pi) / 4 text <> ) إذا (k ge 2 / pi text <،> ) النسبة صفر: يجب أن تكون النافذة نصف دائرية ولا تحتوي على جزء مستطيل.

نجعل الرسم البياني التالي ، حيث (0 leq w leq 1.5 ) m:

لذلك ، فإن مساحة سطح النافذة هي مساحة سطح الجزء العلوي:

بالإضافة إلى مساحة الجزء المستطيل:

لذلك إذا كان الجزء العلوي ينقل نصف كمية الضوء التي ينقلها الجزء المستطيل فقط ، فيمكننا إنشاء الوظيفة التالية التي يجب تكبيرها:

حيث (0 leq w leq 1.5 text <.> ) نفرق:

لذلك (I '(w) = 0 ) عندما (w = frac <8> <4- pi> text <.> ) هذا ليس في مجال (I text <،> ) وبالتالي لا توجد نقاط حرجة. لذلك نقارن:

نستنتج أن كمية الضوء المسموح بدخولها تتضاعف عندما يكون عرض النافذة (1.5 ) م. نصنع الرسم البياني التالي:

لذلك ، فإن مساحة سطح النافذة هي مساحة سطح الجزء العلوي:

بالإضافة إلى مساحة الجزء المستطيل:

لذلك إذا كان الجزء العلوي يرسل فقط (0 leq k leq 1 ) ضعف كمية الضوء التي ينقلها الجزء المستطيل ، فيمكننا إنشاء الوظيفة التالية التي يجب تكبيرها:

حيث (0 leq w leq 2H text <.> ) نفرق:

حددنا (I '(w) = 0 ) للعثور على أي نقاط حرجة:

لذلك ، إذا لم يكن هناك نقطة حرجة إذا (k geq 2 / pi text <،> ). لكن بالنسبة لـ (0 leq k lt frac <2> < pi> text <،> ) هناك نقطة حرجة عند (w = dfrac<1- فارك<2>> نص <..> )

لنفكر أولاً في (k geq 2 / pi text <:> ) ثم نقارن

لذلك ، فإن النافذة التي تسمح بدخول أكبر قدر من الضوء هي نصف دائرة (أي يجب ألا يكون هناك جزء مستطيل).

الآن إذا (0 leq k lt 2 / pi text <،> ) وجدنا أن شدة الضوء تتضاعف عند (w = dfrac<1- فارك<2>> نص <.> )

تمرين 5.8.32.

أنت تصمم ملصقًا بحيث يحتوي على كمية ثابتة (أ ) من الطباعة (تقاس بالسنتيمتر المربع) ولها هوامش (أ ) سم في الأعلى والأسفل و (ب ) سم في الجانبين. ابحث عن نسبة البعد الرأسي إلى البعد الأفقي للمنطقة المطبوعة على الملصق إذا كنت تريد تقليل كمية اللوح الملصق المطلوب.

نقوم بعمل رسم تخطيطي للسيناريو الموصوف:

وبالتالي فإن المساحة الإجمالية للوحة الملصقات هي

نريد تصغير (f ) الخضوع للقيد (A = x times y text <.> ) نستخدم هذا القيد لكتابة (f ) كدالة لـ (x ) فقط:

لذلك ، فإن حل (f '(x) = 0 ) يعطي

نظرًا لأن (x ) طول ضلع ، فإننا نرفض الحل السالب. لذلك ، توجد نقطة حرجة واحدة عند (x = sqrt text <.> ) منذ ذلك الحين

وهو ما يفترض للجميع (x & gt0 text <،> ) نستنتج أن هذه النقطة الحرجة هي الحد الأدنى المطلق.

لذلك ، يتم تصغير مساحة لوحة الملصقات بنسبة

تمرين 5.8.33.

ما الكسر من حجم الكرة الذي تشغله أكبر أسطوانة يمكن وضعها داخل الكرة؟

ضع في اعتبارك المقطع العرضي التالي لأسطوانة نصف قطر (r_c ) وارتفاع (h ) داخل كرة نصف قطر (r_s text <:> )

ثم نرى أنه من أجل احتواء الأسطوانة داخل الكرة ، يجب أن يكون لدينا

حجم الاسطوانة

ولذا يمكننا استخدام القيد على (r_c ) للكتابة

هذه الصيغة صالحة فقط لـ (0 leq h leq 2r_s text <.> )

ضبط (V_c '(h) = 0 text <،> ) نجد

أن نكون النقطة الحرجة الوحيدة في (V_c ) (نحن نرفض الحل السلبي). نقارن الآن قيمة (V_c ) في هذه النقطة الحرجة وعند النقاط الحدودية:

لذلك ، فإن أقصى حجم ممكن للأسطوانة هو ( pi r_s ^ 2 text <.> ) وبالتالي فإن نسبة حجم هذه الأسطوانة إلى حجم الكرة هي

تمرين 5.8.34.

سيقبل مكتب البريد الأمريكي صندوقًا للشحن فقط إذا كان مجموع الطول والحجم 108 بوصات على الأكثر. (يمثل المقاس أقصى مسافة حول العبوة متعامدة على طول الصندوق المستطيل ، والطول هو الأكبر من ثلاثة أبعاد.) أوجد أبعاد أكبر صندوق مقبول بمربع أمامي وخلفي.

دع (l ) يكون طول الصندوق و (w ) يكون عرض الصندوق بالبوصة. إذا كان الصندوق يحتوي على وجوه أمامية وخلفية مربعة ، فيجب أن يكون حجم هذا الصندوق

حيث نطلب (l + 4w leq 108 text <.> ) من أجل تكبير الحجم ، دعنا

ثم يمكننا إعادة كتابة الحجم كدالة للطول فقط:

نحن نفرق الآن فيما يتعلق بـ (l text <:> )

والذي يعطي نقطة حرجة داخلية واحدة عند (l = 36 text <.> ) نحن الآن نقارن الأحجام:

ومن ثم ، فإن حجم الصندوق هو الحد الأقصى للأبعاد (36 مرات 18 مرات 18 ) بوصة.

تمرين 5.8.35.

ابحث عن أبعاد العلبة الأسطوانية الأخف وزنًا التي تحتوي على 0.25 لتر (= 250 سم (<> ^ 3 )) إذا كان الجزء العلوي والسفلي مصنوعًا من مادة ثقيلة (لكل وحدة مساحة) مثل المادة المستخدمة في الجانب.

تمرين 5.8.36.

الكوب الورقي المخروطي يستوعب (1/4 ) من اللتر. أوجد ارتفاع ونصف قطر المخروط مما يقلل كمية الورق اللازمة لصنع الكوب. استخدم الصيغة ( ds pi r sqrt) لمساحة جانب المخروط.

تمرين 5.8.37.

الكوب الورقي المخروطي يحتوي على حجم ثابت من الماء. أوجد نسبة الارتفاع إلى نصف قطر قاعدة المخروط مما يقلل كمية الورق اللازمة لصنع الكوب. استخدم الصيغة ( ds pi r sqrt) لمنطقة جانب المخروط ، تسمى منطقة المخروط.

تمرين 5.8.38.

أوجد الكسر من مساحة المثلث الذي يشغله أكبر مستطيل يمكن رسمه في المثلث (بحيث يكون أحد أضلاعه على طول أحد ضلوع المثلث). أظهر أن هذا الكسر لا يعتمد على أبعاد المثلث المحدد.

تمرين 5.8.39.

كيف تتأثر إجاباتك على المشكلة 5.8.19 إذا كانت التكلفة لكل عنصر لعناصر (x ) ، بدلاً من أن تكون 2 دولار فقط ، تقل عن 2 دولار بالتناسب مع (س ) (بسبب وفورات الحجم وخصومات الحجم ) بواقع سنت واحد لكل 25 سلعة منتجة؟


حساب الأعمال مع Excel

عندما كنا نقوم بتقييم وظائف متغير واحد ، كان علينا استبدال المتغير بمرجع خلية. نفعل الشيء نفسه لوظائف عدة متغيرات. علينا ببساطة استخدام العديد من مراجع الخلايا.

مثال 6.1.1. أرصدة بنكية.

ابحث عن مبلغ المال الذي سأمتلكه في البنك خلال 10 سنوات إذا قمت بإيداع 1000 دولار ودفع البنك فائدة بنسبة 5 ٪ ، مركبة كل ثلاثة أشهر. قم بإعداد المشكلة في Excel حتى أتمكن من استخدام ورقة العمل لمشاكل مماثلة بأرقام مختلفة.

الحل: نستخدم معادلة القيمة المستقبلية لإيداع واحد.

بدلاً من كتابة الأرقام في الصيغة ، نضعها في خلايا منفصلة ، حتى نتمكن بسهولة من تغيير قيم أي من المتغيرات الأربعة.

في نهاية 10 سنوات ، لدينا 1643.62 دولارًا في البنك. بمجرد تغيير القيم في ورقة العمل ، أجد أن تجميع الفائدة سنويًا يقلل المبلغ النهائي على 10 سنوات إلى 1.628.89 دولارًا ، بينما يؤدي التجميع الأسبوعي إلى زيادة المبلغ النهائي إلى 1648.33 دولارًا.

في هذا المثال لدينا ما يصل إلى أربعة متغيرات. يمكننا أن نختلف: الإيداع الأولي والسعر وعدد الفترات في السنة وسعر الفائدة. في الفصول السابقة لدينا متغير (على سبيل المثال q) والوظيفة (مثل الربح) التي تعتمد على (q text <.> ) يمكن كتابة هذه الوظيفة على أنها شيء مثل (الربح (q) = -3 q ^ 2 + 500q-1000 text <.> )

إذا قمنا بتبسيط الترميز قليلاً في هذا المثال حتى يكون لدينا

حيث FA هو المبلغ المستقبلي ، وهذه دالة لأربعة متغيرات d (الإيداع) ، r (سعر الفائدة) ، p (عدد المدفوعات) ، و y (عدد السنوات).

مثال 6.1.2. سعر الطلب من 2 نقطة.

ابحث عن إيرادات 500 عنصر واجهة مستخدم إذا علمت أن سعر الطلب لـ 100 عنصر واجهة هو 20 دولارًا ، وسعر الطلب لـ 200 أداة هو 18.75 دولارًا ، وأن سعر الطلب هو دالة خطية. قم بإعداد المشكلة في Excel حتى أتمكن من استخدام ورقة العمل لمشاكل مماثلة بأرقام مختلفة.

: لتسهيل قراءة ورقة العمل الخاصة بنا ، نستخدم الخلايا المسماة. علينا أولاً إيجاد معادلة لصيغة سعر الطلب. نحسب الميل والتقاطع لهذا الخط من النقطتين (100 ، 20) و (200 ، 18.75). بمجرد أن نحصل على هذه الوظيفة ، نجد أن سعر الطلب هو 15 دولارًا عندما تكون الكمية 500. ثم نحسب الإيرادات كسعر مضروبًا في الكمية.

في هذه المشكلة ، تعتبر الإيرادات دالة لـ 5 متغيرات: Demand1 و Demand2 و Price1 و Price2 و NewDemand.

المهمة التالية التي يجب مراعاتها هي عمل جدول قيم لوظيفة من عدة متغيرات. نظرًا لأن شاشاتنا لها بعدين ، فإننا ننظر أولاً إلى الحالة عندما نسمح بتغيير قيمتين. عندما قمنا بعمل جدول لمتغير واحد ، كان علينا استخدام مرجع الخلية المطلق والنسبي للتمييز بين القيم الثابتة المستخدمة لجميع الإدخالات والمتغيرات التي تغيرت في كل حالة. مع وظائف متغيرين ، سيكون لجدولنا صفوف حيث يكون أحد المتغيرات ثابتًا وأعمدة حيث يظل الآخر ثابتًا. نلاحظ أن الملء السريع لصيغة بالمرجع $ A5 سيبقي العمود ، A ثابتًا ولكنه يسمح بتغيير الصف. وبالمثل مع المرجع A $ 5 ، يمكن أن يتغير العمود ، لكن الصف ثابت.

مثال 6.1.3. بناء جدول بمتغيرين.

أرغب في إنتاج جدول يوضح المبلغ الذي أحتاج إلى وضعه في البنك للحصول على 100000 دولار في وقت ما في المستقبل. سأفترض أن الفائدة تتضاعف سنويًا. أريد أن يتم التعامل مع معدل الفائدة وعدد السنوات كمتغيرات ذات معدل فائدة يتراوح من 5٪ إلى 6٪ ويختلف طول الفترة الزمنية من 5 إلى 40 عامًا.

: نستخدم صيغة القيمة الحالية للإيداع الواحد. نظرًا لأن الفائدة تتضاعف سنويًا ، فإن الصيغة تبسط.

أثناء قيامنا ببناء الجدول ، سيكون المبلغ المستقبلي ثابتًا ، لذلك يجب تقديمه كمرجع مطلق. سيكون عدد السنوات في أسفل الجانب الأيسر من الجدول وسيكون ثابتًا عبر الصف ، لذلك يجب أن يحتوي مرجعها على علامة الدولار قبل الحرف. سيتم سرد سعر الفائدة عبر الجزء العلوي من الجدول ، لذلك يجب أن يكون مرجعها علامة الدولار قبل الرقم.

هذا يتيح لنا بناء الجدول الذي نرغب فيه. من الجدول الكامل ، نرى أنه يمكننا الحصول على 100000 دولار في البنك خلال 40 عامًا عن طريق إيداع 9722.22 دولارًا بفائدة 6٪. على النقيض من ذلك ، إذا ربحنا فائدة بنسبة 5٪ فقط وتمكنا من الاحتفاظ بالأموال في البنك لمدة 15 عامًا ، فعلينا أن نبدأ بمبلغ 48101.71 دولارًا.

وبالمثل ، قد نرغب في إعداد جدول يوضح الدفعة الشهرية على الرهن العقاري حيث يتم التعامل مع كل من معدل الفائدة السنوية وعدد السنوات كمتغيرات. سيكون مثل هذا المخطط مفيدًا في تحديد حجم الرهن العقاري الذي يمكن للفرد تحمله بأنواع مختلفة من الرهون العقارية.

مثال 6.1.4. دفع اقساط الرهن العقاري.

أريد إنتاج جدول يوضح الدفعة الشهرية لرهن عقاري بقيمة 100000 دولار مع مجموعة من معدلات الفائدة وأطوال الرهن العقاري.

: نستخدم الأمر PMT لإيجاد الدفعة الشهرية.

يمكننا أن نرى أن الدفعة الشهرية هي 421.60 دولارًا أمريكيًا لرهن عقاري بمعدل ثابت لمدة 30 عامًا بنسبة 3٪ مركبة شهريًا. بالنسبة لقرض عقاري لمدة 10 سنوات بنسبة 6 ٪ ، تزداد الدفعة إلى 1110.21 دولار.

بعد أن نبني جدولًا للدالة ، نود أيضًا أن نرى رسمًا بيانيًا للدالة. قدرات Excel على رسم الأسطح بالرسم البياني ليست واحدة من نقاط القوة في البرنامج. ومع ذلك ، من المفيد أن تكون "قادرًا على رؤية الصورة الكبيرة" من خلال النظر إلى الرسم البياني. سنلاحظ أيضًا كيفية رسم رسم بياني لسطح باستخدام Wolfram Alpha.

عندما نظرنا إلى نماذج السعر والكمية والتكلفة والإيرادات والأرباح ، قمنا بافتراض مبسط بأن الشركة تنتج منتجًا واحدًا فقط. نريد أن نفكر فيما يحدث مع منتجين.

مثال 6.1.5. الجدول والرسم البياني.

لدي شركة تنتج منتجين وأدوات وأدوات. وظيفتا الطلب هما:

قم بإنشاء جدول ورسم بياني للإيرادات كدالة لكمية الأدوات والأدوات التي تم إنتاجها.

الحل: يجب أن نبدأ بإنتاج صيغة للإيرادات. لتقصير المعادلات ، سنختصر المصطلحات أو نستخدم الأحرف الأولى. نحتاج إلى صيغ للإيرادات لكل منتج من منتجاتنا:

يعطي وضع المعادلات معًا معادلة للإيرادات.

بعد ذلك ، نقوم ببناء جدول بناء للوظيفة كما فعلنا أعلاه.

أخيرًا ، نود أن نرى رسمًا بيانيًا للدالة. نلاحظ أن المخططات ثلاثية الأبعاد في Excel لها عدد من العيوب. لا تسمي المخططات متغيرات الإدخال. لا تخبرنا هذه المخططات الأولى أيضًا بقيم المتغيرات التي تتوافق مع نقاط معينة على الرسم البياني. يمكن التغلب على بعض هذه العوائق ، ولكن فقط بعمل أكثر مما نرغب في إنفاقه في هذه الدورة. سنضيف خيارًا واحدًا غير بديهي فقط لجعل الرسوم البيانية تعمل بشكل أفضل.

سننقل أسماء المتغيرات من الزاوية اليسرى العليا من الرسم البياني إلى الصف أعلاه وإلى جانب البيانات. نترك خلية الزاوية فارغة. سيتيح لنا ذلك رؤية قيم المتغيرات في الرسوم البيانية. في الجدول ، نختار البيانات التي نرغب في رسمها بيانيًا. في هذا المثال نختار من الخلايا B4 إلى M12. أخيرًا نختار مخططًا لإدراجه. المخططات التي نهتم بها هي مخططات سطحية. أنواع الاهتمام هي 3-D Surface و Wireframe 3-D و contour. يبرز كل نوع من أنواع المخططات هذه بعض المعلومات المفيدة.

يعطي السطح ثلاثي الأبعاد صورة سريعة. إنه مفيد في رؤية القيم الدنيا والنظم المحلية.

يؤكد مخطط Wireframe 3-D على أنه يمكننا بناء صورة معقولة من المنحنيات التي تم الحصول عليها من خلال التعامل مع x أو y على أنه ثابت. يتيح لنا فهم دالة من متغيرين من خلال تجميع مجموعة من عدة وظائف لمتغير واحد. ستكون وجهة النظر هذه مفيدة عندما نحاول أخذ المشتقات.

يؤكد مخطط الكنتور على منحنيات المستوى. سيكون معدل التغيير أسرع في اتجاه عمودي على منحنيات المستوى.

بديل آخر لرؤية الرسم البياني هو استخدام Wolfram Alpha. لسوء الحظ ، يبدو أن الأسماء المتغيرة في Alpha مقصورة على حرف واحد ، أو حرف متبوع برقم. وهكذا نغير الصيغة إلى واحدة باستخدام الاسمين g و w.

دعونا نلقي نظرة على تقنيات هذا القسم في وظائف متغيرين. في القسم التالي ، نستكشف تقنيات لفهم وظائف العديد من المتغيرات من خلال التعامل مع بعض المتغيرات على أنها ثوابت.

تمارين تمارين: تقييم وظائف العديد من المتغيرات ورسمها بيانيًا

بالنسبة للتمارين من 1 إلى 9 ، قم بإعداد دفتر ملاحظات Excel ، وقم بتقييم الوظيفة المحددة لعدة متغيرات في القيم المحددة. يجب إعداد المصنف بحيث يمكن تغيير قيم الإدخال وإعادة حساب الصيغة بالقيم الجديدة.

قم بتقييم الدالة (f (x، y) = x ^ 2 + 3xy + 4y ^ 2 text <،> ) عندما (x = 4 text <،> ) و (y = -2 text <.> )

إعداد هذا بحيث يمكن تغيير قيم (x ) و (y ) بسهولة نحدد (x ) و (y ) في خلايا منفصلة ثم ندخل الوظيفة التي تحسب (f ( س ، ص) )