مقالات

11: أنظمة المعادلات الخطية


11: أنظمة المعادلات الخطية

نظام المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية (تلك التي ترسم خطوطًا مستقيمة) أبسط من المعادلات غير الخطية ، وأبسط نظام خطي هو واحد مع معادلتين ومتغيرين.

الآن ضع في اعتبارك النظام ثنائي المتغير التالي من المعادلات الخطية:

نظرًا لأن المعادلتين أعلاه في نظام ، فإننا نتعامل معهم معًا في نفس الوقت. على وجه الخصوص ، يمكننا رسمها معًا على نفس نظام المحور ، مثل هذا:

حل معادلة واحدة هو أي نقطة تقع على خط تلك المعادلة. حل نظام المعادلات هو أي نقطة تقع على كل سطر في النظام. على سبيل المثال ، النقطة الحمراء الموجودة على اليمين ليست حلاً للنظام ، لأنها ليست على أي من الخطين:

النقطة الأرجوانية على اليمين هي حل للنظام ، لأنها تقع في كلا الخطين:

على وجه الخصوص ، تشير هذه النقطة الأرجوانية إلى تقاطع الخطين. نظرًا لأن هذه النقطة على كلا الخطين ، فإنها تحل كلا المعادلتين ، لذا فهي تحل نظام المعادلة بأكمله. وهذه العلاقة صحيحة دائمًا: بالنسبة لأنظمة المعادلات ، فإن & quot & quot ؛ حلول الاقتباس & quot. يمكنك تأكيد الحل عن طريق إدخاله في نظام المعادلات والتأكد من أن الحل يعمل في كل معادلة.

معادلة متسقة ومستقلة:

إضافة (i) و (ii) ، - y = 10 & agrave y = -10

إذن ، النظام لديه حل فريد x = - 9 ، y = -10.

لذا ، فإن النظام ثابت ومستقل.

المعادلة: متسقة ومعتمدة

المعادلتان متطابقتان. هذا هو أنها تتزامن. كل حل لـ (i) هو حل (ii) أيضًا. لذا ، فإن النظام متسق ومعتمد.

حلول نظام المعادلات الخطية بتطبيق قاعدة المصفوفة و Cramer & rsquos:


النظر في الحلول باستخدام نموذج الأنظمة الخطية القياسية

الشكل القياسي لنظام المعادلات الخطية هو كما يلي:

ال xتمثل جميع المتغيرات ، كثوابت ، و أ, ب, ج، وما إلى ذلك كلها تمثل ثابتًا.

يحصل أساسيات الجبر 2 للدمى الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


محتويات

مثال تافه تحرير

نظام معادلة واحدة في مجهول واحد

ومع ذلك ، يُنظر إلى النظام الخطي بشكل عام على أنه يحتوي على معادلتين على الأقل.

مثال بسيط غير بديهي تحرير

يتضمن أبسط نوع من النظام الخطي غير البدائي معادلتين ومتغيرين:

طريقة واحدة لحل مثل هذا النظام على النحو التالي. أولاً ، حل المعادلة العلوية لـ x < displaystyle x> بدلالة y < displaystyle y>:

الآن استبدل هذا التعبير عن x في المعادلة السفلية:

نظام عام م المعادلات الخطية مع ن يمكن كتابة المجهول كـ

غالبًا ما تكون المعاملات والمجهول أرقامًا حقيقية أو معقدة ، ولكن يُنظر أيضًا إلى الأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية ، مثل كثيرات الحدود وعناصر بنية جبرية مجردة.

تحرير معادلة المتجه

أحد وجهات النظر المفيدة للغاية هو أن كل مجهول هو وزن لمتجه العمود في تركيبة خطية.

هذا يسمح لكل لغة ونظرية مساحات ناقلات (أو بشكل عام ، الوحدات) لتحمله. على سبيل المثال ، يُطلق على مجموعة كل التركيبات الخطية الممكنة للمتجهات الموجودة على الجانب الأيسر اسمها امتداد، ويكون للمعادلات حل فقط عندما يكون المتجه الأيمن ضمن هذا النطاق. إذا كان لكل متجه ضمن هذا الامتداد تعبير واحد بالضبط كمجموعة خطية من المتجهات اليسرى ، فإن أي حل يكون فريدًا. على أي حال ، فإن الامتداد له امتداد أساس من النواقل المستقلة خطيًا التي تضمن تعبيرًا واحدًا بالضبط وعدد المتجهات في هذا الأساس (لها البعد) لا يمكن أن يكون أكبر من م أو ن، ولكن يمكن أن تكون أصغر. هذا مهم لأنه إذا كان لدينا م نواقل مستقلة حل مضمون بغض النظر عن الجانب الأيمن ، وبخلاف ذلك غير مضمون.

تحرير معادلة المصفوفة

معادلة المتجه تعادل معادلة مصفوفة للصيغة

أين أ هو م×ن مصفوفة، x هو متجه عمود مع ن إدخالات و ب هو متجه عمود مع م إدخالات.

يتم الآن التعبير عن عدد المتجهات في أساس الامتداد باسم مرتبة من المصفوفة.

أ المحلول النظام الخطي هو تخصيص قيم للمتغيرات x1, x2, . xن بحيث يتم استيفاء كل من المعادلات. تسمى مجموعة جميع الحلول الممكنة مجموعة الحل.

قد يتصرف النظام الخطي بإحدى الطرق الثلاث الممكنة:

  1. النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.
  2. النظام لديه واحد حل فريد.
  3. النظام لديه لا حل.

تحرير التفسير الهندسي

لنظام يتضمن متغيرين (x و ذ) ، تحدد كل معادلة خطية خطاً على س ص-طائرة. نظرًا لأن حل النظام الخطي يجب أن يفي بجميع المعادلات ، فإن مجموعة الحلول هي تقاطع هذه الخطوط ، وبالتالي فهي إما خط أو نقطة واحدة أو مجموعة فارغة.

بالنسبة إلى ثلاثة متغيرات ، تحدد كل معادلة خطية مستوى في فضاء ثلاثي الأبعاد ، ومجموعة الحلول هي تقاطع هذه المستويات. وبالتالي قد تكون مجموعة الحلول مستويًا أو خطًا أو نقطة واحدة أو مجموعة فارغة. على سبيل المثال ، نظرًا لأن ثلاث مستويات متوازية لا تحتوي على نقطة مشتركة ، فإن مجموعة حلول معادلاتها تكون فارغة ومجموعة حل معادلات ثلاث مستويات متقاطعة عند نقطة ما تكون نقطة واحدة إذا مرت ثلاث مستويات من خلال نقطتين ، فإن معادلاتها لها في على الأقل حلين شائعين في الواقع ، مجموعة الحلول لا نهائية وتتكون من كل الخطوط التي تمر عبر هذه النقاط. [6]

إلى عن على ن المتغيرات ، كل معادلة خطية تحدد المستوى الفائق في نمساحة الأبعاد. مجموعة الحلول هي تقاطع هذه الطائرات الفائقة ، وهي مسطحة ، والتي قد يكون لها أي بعد أقل من ن.

تعديل السلوك العام

بشكل عام ، يتم تحديد سلوك النظام الخطي من خلال العلاقة بين عدد المعادلات وعدد المجهول. هنا ، تعني كلمة "بشكل عام" أنه قد يحدث سلوك مختلف لقيم محددة لمعاملات المعادلات.

  • بشكل عام ، النظام الذي يحتوي على معادلات أقل من المجهول لديه عدد لا نهائي من الحلول ، ولكن قد لا يكون له حل. يُعرف هذا النظام باسم نظام غير محدد.
  • بشكل عام ، النظام الذي يحتوي على نفس عدد المعادلات والمجهول له حل فريد واحد.
  • بشكل عام ، النظام الذي يحتوي على معادلات أكثر من المجهول ليس له حل. يُعرف مثل هذا النظام أيضًا بالنظام المفرط التحديد.

في الحالة الأولى ، يكون حجم مجموعة الحلول ، بشكل عام ، مساويًا لـ نم ، أين ن هو عدد المتغيرات و م هو عدد المعادلات.

توضح الصور التالية هذا الانقسام في حالة متغيرين:

معادلة واحدة معادلتان ثلاث معادلات

يحتوي النظام الأول على عدد لا نهائي من الحلول ، أي جميع النقاط على الخط الأزرق. النظام الثاني لديه حل فريد واحد وهو تقاطع الخطين. النظام الثالث ليس له حلول ، لأن الخطوط الثلاثة لا تشترك في نقطة مشتركة.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الصور أعلاه تظهر فقط الحالة الأكثر شيوعًا (الحالة العامة). من الممكن أن لا يكون لنظام من معادلتين واثنين من المجهولين أي حل (إذا كان الخطان متوازيان) ، أو لنظام من ثلاث معادلات واثنين من المجهولين ليكون قابلاً للحل (إذا تقاطعت الخطوط الثلاثة عند نقطة واحدة).

نظام المعادلات الخطية يتصرف بشكل مختلف عن الحالة العامة إذا كانت المعادلات كذلك تعتمد خطيا، أو إذا كان كذلك تتعارض وليس له معادلات أكثر من المجهول.

تحرير الاستقلال

معادلات النظام الخطي هي لا يعتمد إذا لم يكن من الممكن اشتقاق أي من المعادلات جبريًا من المعادلات الأخرى. عندما تكون المعادلات مستقلة ، تحتوي كل معادلة على معلومات جديدة حول المتغيرات ، ويزيد إزالة أي من المعادلات من حجم مجموعة الحلول. بالنسبة إلى المعادلات الخطية ، يكون الاستقلال المنطقي هو نفسه الاستقلال الخطي.

على سبيل المثال ، المعادلات

ليست مستقلة - فهي نفس المعادلة عند قياسها بمعامل اثنين ، وستنتج رسومًا بيانية متطابقة. هذا مثال على التكافؤ في نظام المعادلات الخطية.

للحصول على مثال أكثر تعقيدًا ، المعادلات

ليست مستقلة ، لأن المعادلة الثالثة هي مجموع المعادلتين الأخريين. في الواقع ، يمكن اشتقاق أي من هذه المعادلتين من المعادلتين الأخريين ، ويمكن إزالة أي من المعادلات دون التأثير على مجموعة الحلول. الرسوم البيانية لهذه المعادلات هي ثلاثة خطوط تتقاطع عند نقطة واحدة.

تحرير الاتساق

النظام الخطي هو تتعارض إذا لم يكن لها حل ، وإلا يقال ثابتة. عندما يكون النظام غير متسق ، فمن الممكن اشتقاق تناقض من المعادلات ، والذي يمكن إعادة كتابته دائمًا على أنه البيان 0 = 1.

على سبيل المثال ، المعادلات

غير متسقة. في الواقع ، بطرح المعادلة الأولى من الثانية وضرب كلا طرفي النتيجة في 1/6 ، نحصل على 0 = 1. الرسوم البيانية لهذه المعادلات على س ص- الطائرة زوج من الخطوط المتوازية.

من الممكن أن تكون ثلاث معادلات خطية غير متسقة ، على الرغم من أن أيًا منهما متسقة معًا. على سبيل المثال ، المعادلات

غير متسقة. بجمع المعادلتين الأوليين معًا نحصل على 3x + 2ذ = 2 ، والتي يمكن طرحها من المعادلة الثالثة للحصول على 0 = 1. أي معادلتين من هذه المعادلات لها حل مشترك. يمكن أن تحدث نفس الظاهرة لأي عدد من المعادلات.

بشكل عام ، تحدث التناقضات إذا كانت الجوانب اليسرى من المعادلات في نظام ما تعتمد خطيًا ، وكانت المصطلحات الثابتة لا تفي بعلاقة التبعية. دائمًا ما يكون نظام المعادلات التي تكون جوانبها اليسرى مستقلة خطيًا ثابتًا.

بعبارة أخرى ، وفقًا لنظرية روشيه كابيلي ، فإن أي نظام معادلات (مفرط التحديد أو غير ذلك) يكون غير متسق إذا كانت مرتبة المصفوفة المعززة أكبر من مرتبة مصفوفة المعامل. من ناحية أخرى ، إذا كانت رتب هاتين المصفوفتين متساوية ، يجب أن يحتوي النظام على حل واحد على الأقل. يكون الحل فريدًا إذا وفقط إذا كانت الرتبة تساوي عدد المتغيرات. وإلا فإن الحل العام ك المعلمات المجانية حيث ك هو الفرق بين عدد المتغيرات والترتيب وبالتالي في مثل هذه الحالة هناك عدد لا حصر له من الحلول. لا يمكن أن تكون رتبة نظام المعادلات (أي رتبة المصفوفة المعززة) أعلى من [عدد المتغيرات] + 1 ، مما يعني أنه يمكن دائمًا اختزال النظام الذي يحتوي على أي عدد من المعادلات إلى نظام يحتوي على عدد المعادلات المستقلة التي تساوي على الأكثر [عدد المتغيرات] + 1.

تحرير التكافؤ

نظامان خطيان يستخدمان نفس مجموعة المتغيرات هما ما يعادل إذا كان من الممكن اشتقاق كل من المعادلات في النظام الثاني جبريًا من المعادلات في النظام الأول ، والعكس صحيح. نظامان متكافئان إذا كان أي منهما غير متسق أو كانت كل معادلة لكل منهما عبارة عن مجموعة خطية من معادلات الآخر. ويترتب على ذلك أن نظامين خطيين متكافئين إذا وفقط إذا كان لديهم نفس مجموعة الحلول.

هناك عدة خوارزميات لحل نظام المعادلات الخطية.

وصف الحل تحرير

عندما تكون مجموعة الحلول محدودة ، يتم تقليلها إلى عنصر واحد. في هذه الحالة ، يتم وصف الحل الفريد من خلال سلسلة من المعادلات التي تكون جوانبها اليسرى هي أسماء المجهول والجانب الأيمن هي القيم المقابلة ، على سبيل المثال (x = 3 ، y = - 2 ، z = 6 ) . عندما يتم إصلاح طلب على المجهول ، على سبيل المثال الترتيب الأبجدي ، يمكن وصف الحل بأنه متجه للقيم ، مثل (3 ، - 2 ، 6) للمثال السابق.

لوصف مجموعة بعدد لا حصر له من الحلول ، عادةً ما يتم تعيين بعض المتغيرات على أنها مجانا (أو لا يعتمد، أو مثل حدود) ، مما يعني أنه يُسمح لهم بأخذ أي قيمة ، بينما المتغيرات المتبقية يعتمد على قيم المتغيرات الحرة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النظام التالي:

يمكن وصف مجموعة الحلول لهذا النظام بالمعادلات التالية:

هنا ض هو المتغير الحر ، بينما x و ذ تعتمد على ض. يمكن الحصول على أي نقطة في مجموعة الحلول باختيار قيمة أولاً ض، ثم حساب القيم المقابلة لـ x و ذ.

يعطي كل متغير حر مساحة الحل درجة واحدة من الحرية ، وعددها يساوي أبعاد مجموعة الحلول. على سبيل المثال ، مجموعة الحلول للمعادلة أعلاه عبارة عن خط ، حيث يمكن اختيار نقطة في مجموعة الحلول عن طريق تحديد قيمة المعلمة ض. قد يصف الحل اللانهائي ذي الترتيب الأعلى مستوى أو مجموعة ذات أبعاد أعلى.

قد تؤدي الاختيارات المختلفة للمتغيرات المجانية إلى أوصاف مختلفة لمجموعة الحلول نفسها. على سبيل المثال ، يمكن بدلاً من ذلك وصف حل المعادلات أعلاه على النحو التالي:

هنا x هو المتغير الحر ، و ذ و ض تعتمد.

حذف المتغيرات تحرير

إن أبسط طريقة لحل نظام المعادلات الخطية هي التخلص من المتغيرات بشكل متكرر. يمكن وصف هذه الطريقة على النحو التالي:

  1. في المعادلة الأولى ، قم بحل أحد المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى.
  2. عوّض بهذا التعبير في المعادلات المتبقية. ينتج عن هذا نظام معادلات مع معادلة أقل وأخرى غير معروفة.
  3. كرر حتى يتم تقليل النظام إلى معادلة خطية واحدة.
  4. حل هذه المعادلة ثم عوض بها حتى يتم إيجاد الحل بالكامل.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النظام التالي:

حل المعادلة الأولى ل x يعطي x = 5 + 2ض − 3ذ ، وإدخال هذا في المعادلة الثانية والثالثة ينتج عنه

حل أول هذه المعادلات من أجل ذ عائدات ذ = 2 + 3ض ، وإدخال هذا في المعادلة الثانية ينتج عنه ض = 2. لدينا الآن:

أستعاض ض = 2 في المعادلة الثانية تعطي ذ = 8 والتعويض ض = 2 و ذ = 8 في العائد المعادلة الأولى x = -15. لذلك ، فإن مجموعة الحلول هي النقطة المفردة (x, ذ, ض) = (−15, 8, 2) .

تحرير تخفيض الصف

في تخفيض الصف (المعروف أيضًا باسم القضاء الغاوسي) ، يتم تمثيل النظام الخطي كمصفوفة معززة:

يتم تعديل هذه المصفوفة بعد ذلك باستخدام عمليات الصف الأولية حتى تصل إلى شكل مستوى الصف المختزل. هناك ثلاثة أنواع من عمليات الصف الأولية:

اكتب 1: قم بتبديل مواضع صفين. النوع 2: اضرب صفًا في عدد غير صفري. النوع 3: أضف إلى صف واحد مضاعفًا رقميًا لصف آخر.

نظرًا لأن هذه العمليات قابلة للانعكاس ، فإن المصفوفة المعززة التي يتم إنتاجها تمثل دائمًا نظامًا خطيًا يعادل الأصل.

هناك العديد من الخوارزميات المحددة لتقليل المصفوفة المعززة على الصفوف ، وأبسطها إزالة Gaussian و Gauss-Jordan. يوضح الحساب التالي حذف Gauss-Jordan المطبق على المصفوفة أعلاه:

تكون المصفوفة الأخيرة في شكل تسلسل صف مختزل ، وتمثل النظام x = −15 , ذ = 8 , ض = 2. توضح المقارنة مع المثال الوارد في القسم السابق حول الحذف الجبري للمتغيرات أن هاتين الطريقتين هما في الواقع نفس الاختلاف يكمن في كيفية تدوين الحسابات.

تحرير قاعدة كرامر

حكم كرامر هي صيغة صريحة لحل نظام المعادلات الخطية ، مع إعطاء كل متغير حاصل قسمة محددين. على سبيل المثال ، حل النظام

لكل متغير ، المقام هو محدد مصفوفة المعاملات ، بينما البسط هو محدد المصفوفة التي تم فيها استبدال عمود واحد بمتجه الحدود الثابتة.

على الرغم من أهمية قاعدة كرامر من الناحية النظرية ، إلا أنها ذات قيمة عملية قليلة للمصفوفات الكبيرة ، لأن حساب المحددات الكبيرة مرهق إلى حد ما. (في الواقع ، يتم حساب المحددات الكبيرة بسهولة باستخدام تقليل الصفوف.) علاوة على ذلك ، فإن قاعدة كرامر لها خصائص عددية سيئة للغاية ، مما يجعلها غير مناسبة لحل حتى الأنظمة الصغيرة بشكل موثوق ، ما لم يتم تنفيذ العمليات في الحساب العقلاني بدقة غير محدودة. [ بحاجة لمصدر ]

مصفوفة حل تحرير

حيث A - 1 < displaystyle A ^ <-1>> هو معكوس أ. بشكل عام ، بغض النظر عما إذا كان م=ن أم لا وبغض النظر عن رتبة أ، يتم إعطاء جميع الحلول (إن وجدت) باستخدام Moore-Penrose pseudoinverse لـ أ، تدل على A + < displaystyle A ^ <+ >> ، على النحو التالي:

طرق أخرى تحرير

بينما يمكن حل الأنظمة المكونة من ثلاث أو أربع معادلات بسهولة يدويًا (انظر كراكوفيان) ، غالبًا ما تستخدم أجهزة الكمبيوتر للأنظمة الأكبر. تعتمد الخوارزمية القياسية لحل نظام المعادلات الخطية على الحذف الغاوسي مع بعض التعديلات. أولاً ، من الضروري تجنب القسمة على أعداد صغيرة ، مما قد يؤدي إلى نتائج غير دقيقة. يمكن القيام بذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلات إذا لزم الأمر ، وهي عملية تعرف باسم التمحور. ثانيًا ، لا تقوم الخوارزمية بإزالة Gaussian تمامًا ، ولكنها تحسب تحلل LU للمصفوفة أ. هذه في الغالب أداة تنظيمية ، لكنها أسرع بكثير إذا كان على المرء أن يحل عدة أنظمة بنفس المصفوفة أ لكن نواقل مختلفة ب.

إذا كانت المصفوفة أ له هيكل خاص ، يمكن استغلاله للحصول على خوارزميات أسرع أو أكثر دقة. على سبيل المثال ، يمكن حل الأنظمة ذات المصفوفة المحددة الموجبة المتماثلة بسرعة مضاعفة مع تحلل تشوليسكي. العودية ليفينسون هي طريقة سريعة لمصفوفات Toeplitz. توجد أيضًا طرق خاصة للمصفوفات التي تحتوي على العديد من العناصر الصفرية (تسمى المصفوفات المتفرقة) ، والتي تظهر غالبًا في التطبيقات.

غالبًا ما يتم اتباع نهج مختلف تمامًا للأنظمة الكبيرة جدًا ، والتي قد تستغرق الكثير من الوقت أو الذاكرة. الفكرة هي البدء بتقريب أولي للحل (الذي لا يجب أن يكون دقيقًا على الإطلاق) ، وتغيير هذا التقريب بعدة خطوات لتقريبه من الحل الحقيقي. بمجرد أن يكون التقريب دقيقًا بدرجة كافية ، يعتبر هذا هو الحل للنظام. هذا يؤدي إلى فئة الطرق التكرارية. بالنسبة لبعض المصفوفات المتفرقة ، يعمل إدخال العشوائية على تحسين سرعة الطرق التكرارية. [7]

نظام المعادلات الخطية هو متجانس إذا كانت جميع الشروط الثابتة تساوي صفرًا:

النظام المتجانس يكافئ معادلة المصفوفة بالشكل

أين أ هو م × ن مصفوفة، x هو متجه عمود مع ن إدخالات و 0 هو المتجه الصفري مع م إدخالات.

مجموعة الحلول المتجانسة Edit

يحتوي كل نظام متجانس على حل واحد على الأقل ، يُعرف باسم صفر (أو تافه) الحل ، والذي يتم الحصول عليه عن طريق تخصيص قيمة صفر لكل من المتغيرات. إذا كان النظام يحتوي على مصفوفة غير مفردة (det (أ) ≠ 0) فهو أيضًا الحل الوحيد. إذا كان النظام يحتوي على مصفوفة مفردة ، فهناك مجموعة حلول مع عدد لا نهائي من الحلول. تحتوي مجموعة الحلول هذه على الخصائص الإضافية التالية:

  1. لو ش و الخامس هما متجهان يمثلان حلولًا لنظام متجانس ، ثم مجموع المتجه ش + الخامس هو أيضًا حل للنظام.
  2. لو ش هو متجه يمثل حلاً لنظام متجانس ، و ص هو أي عدد ، إذن صش هو أيضًا حل للنظام.

هذه هي بالضبط الخصائص المطلوبة لمجموعة الحلول لتكون مساحة جزئية خطية لـ ر ن . على وجه الخصوص ، الحل الذي تم تعيينه لنظام متجانس هو نفس المساحة الفارغة للمصفوفة المقابلة أ. يمكن إيجاد الحلول العددية لنظام متجانس بتحلل قيم وحيد.

فيما يتعلق بالأنظمة غير المتجانسة تحرير

هناك علاقة وثيقة بين حلول النظام الخطي وحلول النظام المتجانس المقابل:

على وجه التحديد ، إذا ص هو أي حل محدد للنظام الخطي أx = ب ، ثم يمكن وصف مجموعة الحلول بأكملها على أنها

هندسيًا ، هذا يقول أن الحل قد تم تعيينه لـ أx = ب هي ترجمة لمجموعة الحلول ل أx = 0 . على وجه التحديد ، يمكن الحصول على السطح المسطح للنظام الأول عن طريق ترجمة الفضاء الجزئي الخطي للنظام المتجانس بواسطة المتجه ص.

هذا المنطق ينطبق فقط إذا كان النظام أx = ب لديه حل واحد على الأقل. يحدث هذا فقط إذا كان المتجه ب يكمن في صورة التحول الخطي أ.


حل أنظمة من معادلات خطية ثنائية وثلاثية باستخدام الطرق الجبرية

استخدام قاعدة كريمر لحل أنظمة من معادلتين

تطبيق أنظمة المعادلات على فصل الكسور

المعادلات الخطية لها متغيرات لا تتجاوز قوة واحد. على سبيل المثال ، المعادلة 2x + 3ذض = 0 خطي. يمكن أن يحتوي نظام المعادلات الخطية على أي عدد من المعادلات وأي عدد من المتغيرات. لكن الأنظمة الوحيدة التي لديها إمكانية وجود حل فريد هي تلك التي يكون لديك فيها على الأقل عدد من المعادلات مثل المتغيرات. عند البحث عن حلول لأنظمة المعادلات ، تحاول الحصول على قيمة عددية واحدة لـ x، واحدة لأجل ذ، واحدة لأجل ض، وهكذا. نوع آخر من الحلول هو القاعدة أو التعميم الذي يربط قيم المتغيرات ببعضها البعض.

في هذا الفصل ، تستخدم الاستبدال والحذف لحل الأنظمة الخطية. يمكنك أيضًا استخدام قاعدة كريمر كبديل عندما تصبح الإجابات الجزئية سيئة. أخيرًا ، تقوم بتحليل الكسور ، مما يعني تقسيم الكسور إلى كسور أبسط. تكون المعادلات الخطية مفيدة جدًا عندما يكون التحلل مطلوبًا (أراهن أنك لم تتوقع أبدًا قراءة هذا التحلل.

يحصل مصنف الجبر الثاني للدمى ، الإصدار الثاني الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


تحديد أنظمة المعادلات والتعبير عنها

الآن بعد أن أصبح لدينا عدة طرق لحل أنظمة المعادلات ، يمكننا استخدام الطرق لتحديد الأنظمة غير المتسقة. أذكر أن نظام غير متسق يتكون من خطوط متوازية لها نفس المنحدر ولكن مختلفة [لاتكس] y [/ لاتكس] - تقاطعات. لن يتقاطعوا أبدا. عند البحث عن حل لنظام غير متسق ، سنخرج ببيان خاطئ ، مثل [اللاتكس] 12 = 0 [/ اللاتكس].

مثال 8: حل نظام غير متناسق من المعادلات

حل نظام المعادلات التالي.

يمكننا التعامل مع هذه المشكلة بطريقتين. نظرًا لأن إحدى المعادلات قد تم حلها بالفعل لـ [اللاتكس] x [/ اللاتكس] ، فإن الخطوة الأكثر وضوحًا هي استخدام الاستبدال.

[اللاتكس] ابدأس + 2 ص = 13 يسار (9-2 س يمين) + 2 ص = 13 9 + 0 ص = 13 9 = 13 نهاية[/ اللاتكس]

من الواضح أن هذا البيان هو تناقض لأن [اللاتكس] 9 ne 13 [/ اللاتكس]. لذلك ، النظام ليس لديه حل.

تتمثل الطريقة الثانية في معالجة المعادلات أولاً بحيث تكون كلتاهما في صيغة تقاطع ميل. نتعامل مع المعادلة الأولى على النحو التالي.

ثم نحول المعادلة الثانية إلى صيغة الميل والمقطع.

بمقارنة المعادلات ، نرى أن لديهم نفس الميل ولكنهم مختلفون ذ- اعتراضات. لذلك ، فإن الخطوط متوازية ولا تتقاطع.

تحليل الحل

تؤكد كتابة المعادلات في صيغة الميل والمقطع أن النظام غير متسق لأن جميع الخطوط ستتقاطع في النهاية ما لم تكن متوازية. لن تتقاطع الخطوط المتوازية أبدًا ، وبالتالي لا يوجد أي نقاط مشتركة بين الخطين. تظهر الرسوم البيانية للمعادلات في هذا المثال في الشكل 8.

جربها

حل نظام المعادلات التالي في متغيرين.

لا حل. إنه نظام غير متسق.


مشاكل الجبر الكلامية مع الأنظمة

  • إذا كنت تتساءل عن المتغير (أو المجهول) الذي يجب أن يكون عليه عند العمل على مشكلة كلامية ، فابحث عما تطلبه المشكلة. هذا عادة ما يكون المتغير الخاص بك!
  • إذا لم تكن متأكدًا من كيفية إعداد المعادلات ، فاستخدم أرقامًا منتظمة (أرقام بسيطة!) واطلع على ما تفعله. ثم ضع المتغيرات مرة أخرى!

إجمالي دخل الاستثمار السنوي (الفائدة) هو $283 .

ما المبلغ الذي استثمرته والدة Lindsay بكل سعر؟

حدد متغيرًا ، وانظر إلى ما تطلبه المشكلة. استخدم متغيرين: اسمحوا (س = ) مبلغ المال المستثمر فيه 3% و (y = ) مبلغ المال المستثمر فيه 2.5% .

دخل أو فائدة الاستثمار السنوي هو المبلغ الذي نحصل عليه من النسب المئوية السنوية. (هذا هو مقدار المال الذي يمنحه لنا البنك للاحتفاظ بأموالنا هناك.) للحصول على الفائدة ، اضرب كل نسبة مئوية بالمبلغ المستثمر بهذا المعدل. اجمع هذه المبالغ لتحصل على الفائدة الإجمالية.

لدينا معادلتان ومجهولان. يجب أن يساوي المبلغ الإجمالي ((x + y) ) 10000 ، والفائدة ((. 03x + .025y) ) يجب أن تساوي 283 :

كم لتر من هذين النوعين المختلفين من الحليب يجب خلطهما معًا لإنتاجهما 10 لترات من الحليب قليل الدسم 2% زبدة؟

تذكر أنه إذا كانت مشكلة الخليط تتطلب أ نقي حل (ليس في هذه المشكلة) ، استخدم 100% بالنسبة المئوية!

(لاحظ أننا قمنا بحل مشكلة خليط مماثلة باستخدام متغير واحد فقط هنا في ال مشاكل الجبر الكلامية قسم.)

يمكننا أيضًا إعداد مشاكل مختلطة بنوع الشكل أدناه. نجمع الحدود داخل المربع ، ثم نضرب المبالغ الموجودة في المربعات في النسب المئوية أعلى المربعات ، ثم نجمعها. سيعطينا هذا المعادلتين.

الآن دعونا نجري العمليات الحسابية (استخدام الاستبدال)!

يتم خلط الحبوب لتوفير خليط من 50 الجنيهات التي يتم بيعها $6.40 لكل جنيه.

كم يجب استخدام كل نوع من أنواع حبوب البن في الإنشاء 50 أرطال من الخليط؟

حدد أولاً متغيرين لعدد أرطال كل نوع من أنواع حبوب البن. دعونا (س = ) عدد أرطال $8 القهوة ، و (ص = ) عدد أرطال $4 قهوة.

الآن دعونا نجري العمليات الحسابية (استخدام الاستبدال)!

( displaystyle beginس + ص = 50 8 س + 4 ص = 50 يسار (<6.4> يمين) نهاية) ( displaystyle beginy = 50-x 8x + 4 left (<50-x> right) = 320 8x + 200-4x = 320 4x = 120 ، ، ، ، ، x = 30 y = 50-30 = 20 8x + 4y = 50 (6.4) النهاية)


المفاهيم الرئيسية

  • مجموعة الحلول هي مجموعة ثلاثية مرتبة [لاتكس] يسار < يسار (س ، ص ، ض يمين) يمين > [/ لاتكس] يمثل تقاطع ثلاث مستويات في الفضاء.
  • يمكن حل نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات باستخدام سلسلة من الخطوات التي تفرض حذف متغير. تتضمن الخطوات تبديل ترتيب المعادلات ، وضرب طرفي المعادلة بثابت غير صفري ، وإضافة مضاعف غير صفري لمعادلة ما إلى معادلة أخرى.
  • أنظمة من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات مفيدة في حل العديد من الأنواع المختلفة من مشاكل العالم الحقيقي.
  • نظام المعادلات في ثلاثة متغيرات غير متسق في حالة عدم وجود حل. بعد إجراء عمليات الإقصاء ، تكون النتيجة تناقضًا.
  • يمكن أن تنتج أنظمة المعادلات في ثلاثة متغيرات غير متسقة من ثلاثة مستويات متوازية ، ومستويين متوازيين ومستوى واحد متقاطع ، أو ثلاثة مستويات تتقاطع مع الاثنين الآخرين ولكن ليس في نفس الموقع.
  • يعتمد نظام المعادلات في ثلاثة متغيرات إذا كان يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. بعد إجراء عمليات الإقصاء ، تكون النتيجة هوية.
  • يمكن أن تنتج أنظمة المعادلات في ثلاثة متغيرات تعتمد على ثلاثة مستويات متطابقة ، أو ثلاثة مستويات متقاطعة عند خط ما ، أو مستويين متطابقين يتقاطعان مع الثالث على خط.

11: أنظمة المعادلات الخطية

حل المعادلات الخطية

سيكون هناك العديد من الأمثلة في دراستك لعلم الأحياء حيث سيكون عليك حل معادلة. هنا ، نناقش حل المعادلات الخطية بدءًا من معادلة خطية في متغير واحد ، ثم حل نظام من معادلتين خطيتين بطريقتين مختلفتين.

مثال بسيط: معادلة خطية في متغير واحد

يعتبر حل المعادلات الخطية في متغير واحد أمرًا مباشرًا ، كما هو موضح في المثال التالي. لنفترض أننا مطالبون بحل المعادلة التالية ،

أولاً ، ندرك أن هذه معادلة في متغير واحد ، x. لحل هذه المعادلة يعني إيجاد قيمة x بحيث تكون المعادلة أعلاه صحيحة. للقيام بذلك ، فإننا نعزل x من خلال توزيع المصطلحات المتشابهة والجمع بينها ،

لذلك ، نجد ذلك x = 1/4 يحل المعادلة أعلاه.

حل نظام من معادلتين خطيتين

يكافئ حل نظام من معادلتين خطيتين إيجاد النقطة (x, ذ) حيث يتقاطع الخطان. سنصف طريقتين مختلفتين تستخدمان لحل نظام من معادلتين خطيتين: الاستبدال والحذف.

ملاحظة تحذير

بغض النظر عن الطريقة المستخدمة ، يجب أن تتذكر أن هناك معادلتين ضروريتين لحل مجهولين
(عادة x و ذ). معادلة واحدة لا تكفي. على سبيل المثال ، لا يمكننا حل المعادلة ذ = فأس + ب إلى عن على x و ذ. أفضل ما يمكننا القيام به هو التعبير ذ من ناحية x، كما

طريقة الاستبدال

غالبًا ما تكون طريقة الاستبدال طريقة سريعة لحل معادلتين خطيتين. كما هو مذكور أعلاه ، فإن حل معادلتين خطيتين يكافئ إيجاد النقطة التي يتقاطع عندها الخطان.

ضع في اعتبارك السطرين التاليين المعطاة بواسطة المعادلة ،

يمكنك تحديد النقطة في س ص- المستوي الذي يتقاطع فيه هذان الخطان دون رسم رسم بياني؟

لتحديد نقطة التقاطع بالتعويض ، نحل إحدى المعادلات لأي منهما x أو ذ واستبدل هذا في المعادلة الأخرى. في حالتنا ، تم بالفعل حل المعادلة 1 من أجل ذ. استبدال هذه القيمة ذ في المعادلة 2 يعطي ،

لاحظ أننا اختزلنا المعادلتين في متغيرين إلى معادلة واحدة في متغير واحد. نحل الآن المعادلة أعلاه لـ x من خلال الجمع بين المصطلحات المتشابهة ،

وهكذا نجد x-تنسيق نقطة التقاطع لتكون x = 3.

للعثور على المقابل ذ-تنسيق نقطة التقاطع ، نستبدل x- التنسيق الذي وجدناه للتو في أي معادلة خطية على النحو التالي ،

باستخدام المعادلة الخطية الأخرى ، نجد اتفاقًا ،

لذلك ، فإن الخطوط ذ = 3x & ناقص 11 و ذ = & ناقص 5x + 13 يتقاطع عند النقطة (3 ، -2).

يمكنك التحقق من هذه النقطة بيانيا كما هو موضح أدناه ،

التعويض هو طريقة مناسبة لحل أنظمة المعادلات عندما يكون لإحدى المعادلتين معامل واحد على أي منهما x أو ذ. إذا لم يكن معامل المتغير 1 ، يصبح الاستبدال أكثر تعقيدًا. تأمل المثال التالي ،

بما أن أيا من المعادلتين لها معامل 1 على x أو ذ، علينا حلها x أو ذ من أجل إجراء استبدال. على سبيل المثال ، يمكننا إيجاد قيمة x في المعادلة الأولى ،

هذا تعبير محرج عن المظهر x أنه يتعين علينا التعويض في المعادلة 2 على النحو التالي ،

بينما يمكننا المضي قدمًا في حلها ذ، يمكنك أن ترى أن الاستبدال أنتج تعبيرًا مسيئًا ، ومن السهل ارتكاب خطأ بمثل هذا التعبير. سننظر الآن في طريقة أبسط لحل مثل هذه المعادلات.


حل نظام من معادلتين خطيتين - طريقة الحذف

سنتعلم الآن حل النظام السابق من معادلتين خطيتين عن طريق الحذف ،

الفكرة العامة وراء الحذف هي ضرب كلا طرفي كل معادلة في ثابت يسمح بأحد المتغيرات (إما x أو ذ) ليتم حذفها عند إضافة المعادلتين أو طرحهما.

في هذا المثال ، سنزيل المتغير x. معامل x هي 3 في المعادلة 1 و 2 في المعادلة 2. لذلك ، إذا أردنا حذف المتغير x، علينا أن نجعل معاملات x تساوي بعضها البعض وتطرح المعادلات أو عكس بعضها البعض وتجمع المعادلات. أسهل الطرق للقيام بذلك هي ضرب كلا طرفي المعادلة الأولى في 2 وكلا طرفي المعادلة الثانية في 3 على النحو التالي ،

الآن معامل x في المعادلة 1 هو 6 ، ومعامل x في المعادلة 2 هو -6. بجمع المعادلتين معًا ، يمكننا الحذف x تماما كما هو مبين ،

الآن نحن بحاجة إلى إيجاد x-تنسيق نقطة التقاطع. يمكننا القيام بذلك عن طريق التعويض بقيمة ذ، في هذه الحالة ذ = 2 في المعادلة الخطية على النحو التالي ،

باستخدام المعادلة الخطية الأخرى نصل إلى نفس النتيجة ،

وهكذا نجد أن حل هذا النظام من المعادلات الخطية هو (x, ذ) = (5, 2).

لتوضيح الحذف بمثال آخر ، ضع في اعتبارك نظام المعادلات التالي ،

للقضاء على المتغير x، يمكنك ضرب طرفي المعادلة الأولى في 8 وكلا طرفي الثانية في 3 ،

لإنهاء الإقصاء x، يمكنك طرح المعادلة 2 من المعادلة 1 على النحو التالي ،

بدلاً من ذلك ، يمكنك حذف المتغير ذ بضرب طرفي المعادلة الأولى في 2 مثل ،

لإنهاء الإقصاء ذ، يمكنك إضافة المعادلة 1 إلى المعادلة 2 على النحو التالي ،

من الجيد التحقق من الحل الخاص بك.

في المثال أعلاه ، وجدنا الحل هو للتحقق من ذلك ، استبدلنا قيم x و ذ في المعادلة الأصلية للتحقق من الاتفاق ،

كم عدد الحلول التي يجب أن أتوقعها؟

قد يكون لنظام من معادلتين خطيتين حل واحد ، أو لا يوجد حل ، أو عدد لا نهائي من الحلول. لقد رأينا للتو ثلاثة أمثلة لأنظمة خطية لها حل واحد. مثال على نظام ليس له حل كما يلي ،

إذا حاولنا إيجاد حل ، فإننا نضرب المعادلة 2 في 3 لنحصل على ،

بإضافة هذه المعادلة إلى المعادلة 1 التي نحصل عليها ،

من الواضح أن هذا البيان ليس صحيحًا. وبالتالي ، فإن نظام المعادلات الخطية هذا ليس له حل. إذا كنت سترسم هاتين المعادلتين بيانيًا ، فسترى أن المستقيمين اللذين يمثلان هاتين المعادلتين متوازيان. خطوط متوازية مميزة ذ- لن تتقاطع أبدًا وبالتالي لا تقدم أي حل.

مثال على معادلتين خطيتين لهما عدد لا حصر له من الحلول على النحو التالي ،

إذا ضربنا المعادلة 2 في 3 نحصل عليها ،

كما ترى ، فإن الضرب في 3 المعادلة المحولة 2 إلى المعادلة 1 ، وطرح المعادلتين يعطي ،


شاهد الفيديو: طريقة سحرية في حل نظام المعادلات الخطية (شهر اكتوبر 2021).