مقالات

2.1: نظم المعادلات - الرياضيات


بالعودة عند دراسة المعادلات الخطية ، وجدنا تقاطع سطرين. بينما لم نسميها بهذا الشكل في ذلك الوقت ، كنا نحل نظام معادلات. للبدء ، سنراجع مثالاً على نوع المشكلة التي قمنا بحلها من قبل.

مثال ( PageIndex {1} )

تنتج شركة صغيرة سلال هدايا الصابون والمستحضرات. تكلف العمالة والمرافق والمصروفات الثابتة الأخرى 6000 دولار شهريًا. تبلغ تكلفة إنتاج كل سلة 8 دولارات ، وتباع بسعر 20 دولارًا. كم عدد السلال التي تحتاج الشركة لبيعها كل شهر لتحقيق التعادل؟

حل

من الناحية التجارية ، تعني "نقطة التعادل" أن الإيرادات (الأموال التي يتم جلبها) تساوي التكاليف. على الرغم من أنه يمكن التعامل مع هذه المشكلة بعدة طرق ، فسوف نتعامل هنا من خلال إنشاء وظيفتين خطيتين ، واحدة للتكاليف والأخرى للإيرادات.

دعنا نحدد (n ) ليكون عدد سلال الهدايا التي تبيعها الشركة في الشهر. هناك 6000 دولار من التكاليف الثابتة كل شهر ، وتزداد التكاليف بمقدار 8 دولارات لكل سلة ، لذلك يمكننا كتابة الدالة الخطية للتكاليف ، (C ) ، على النحو التالي:

[C (n) = 6000 + 8n nonumber ]

كل عملية بيع تجلب 20 دولارًا ، وبالتالي فإن الإيرادات ، (ص ) ، بعد البيع (n ) السلال ستكون:

[R (n) = 20 ن بلا رقم ]

للعثور على نقطة التعادل ، نبحث عن عدد السلال حيث ستساوي الإيرادات التكاليف. بمعنى آخر ، إذا أردنا رسم الدالتين الخطيتين بالرسم البياني ، فإننا نبحث عن النقطة التي تقع في كلا الخطين ؛ الحل هو النقطة التي تحقق كلا المعادلتين.

في هذه الحالة يمكننا على الأرجح حل المشكلة من الرسم البياني نفسه ، ولكن يمكننا أيضًا حلها جبريًا عن طريق جعل المعادلات متساوية:

[ start {array} {rclll} R (n) & = & C (n) && 20n & = & 6000 + 8n && text {Subtract} 8n text {from كلا الجانبين} 12n & = & 6000 && text {Divide} n & = & frac {6000} {12} = 500 && text {قيم أي دالة عند هذا الإدخال} R (500) & = & C (500) = 10000 && end {array} nonumber ]

نقطة التعادل عند 500 سلة. يجب أن تبيع الشركة 500 سلة في الشهر ، وعند هذه النقطة ستغطي إيراداتها البالغة 10 آلاف دولار إجمالي تكاليفها البالغة 10 آلاف دولار.

يوضح المثال أعلاه نوعًا واحدًا من نظام المعادلات ، حيث يتم إعطاء كلا المعادلتين في شكل وظيفي. عندما تتم كتابة المعادلات بهذه الطريقة ، يكون من السهل حل النظام باستخدام الاستبدال ، عن طريق جعل المخرجات متساوية ، وحل المدخلات. ومع ذلك ، لا تتم كتابة العديد من مسائل نظام المعادلات بهذه الطريقة.

مثال ( PageIndex {2} )

تنتج شركة إصدارًا أساسيًا ومتميزًا من منتجها. يتطلب الإصدار الأساسي 20 دقيقة من التجميع و 15 دقيقة للرسم. يتطلب الإصدار المتميز 30 دقيقة من التجميع و 30 دقيقة من الطلاء. إذا كان لدى الشركة طاقم عمل يبلغ 3900 دقيقة من التجميع و 3300 دقيقة من الطلاء كل أسبوع. إذا كانت الشركة تريد الاستفادة الكاملة من جميع ساعات العمل ، فكم عدد كل عنصر يجب أن تنتجه؟

حل

لاحظ أولاً أن هذه المشكلة لها متغيرين ، أو متغيرين مجهولين - عدد المنتجات الأساسية التي يجب صنعها ، وعدد المنتجات المتميزة التي يجب صنعها. هناك أيضًا قيدان - ساعات التجميع وساعات الرسم المتاحة. سيعطينا هذا معادلتين في مجهولين ، ما نسميه نظام المعادلات 2 × 2.

سنبدأ بتحديد المتغيرات الخاصة بنا:

(ب ): عدد المنتجات الأساسية المنتجة

(ع ): عدد المنتجات المتميزة المنتجة

الآن يمكننا إنشاء معادلاتنا بناءً على القيود. يتطلب كل منتج أساسي 20 دقيقة من التجميع ، لذا فإن إنتاج العناصر (ب ) يتطلب 20 (ب ) دقيقة. يتطلب كل منتج متميز 30 دقيقة من التجميع ، لذا فإن إنتاج (ع ) عناصر سيتطلب 30 (ع ) دقيقة. معًا ، لدينا 3900 دقيقة ، مما يمنحنا المعادلة:

[20b + 30p = 3900 nonumber ]

باستخدام نفس الأسلوب للرسم يعطي المعادلة

[15b + 30p = 3300 بدون رقم ]

تشكل هذه معًا نظام المعادلات الخاص بنا. يتم كتابتها أحيانًا كزوج مع قوس مجعد على اليسار للإشارة إلى أنه يجب اعتبارها معادلات متصلة.

[ left { begin {calling} 20b + 30p = 3900 15b + 30p = 3300 end {collect} right. لا يوجد رقم ]

كما كان من قبل ، فإن هدفنا هو إيجاد زوج من القيم ، (b ، p ) ، التي تحقق كلا المعادلتين. سنعود لهذه المشكلة ونحلها قريبا.

في حين أنه قد لا يكون واضحًا ، فإن المعادلة (20b + 30p = 3900 ) التي أنشأناها أعلاه هي معادلة خطية ، مثل المعادلات الخطية من المثال الأول ، تمت كتابتها بشكل مختلف. يمكننا ، إذا رغبت في ذلك ، حل هذه المعادلة من أجل (p ) لكتابتها في شكل تقاطع ميل:

[30p = 3900 - 20b، quad text {so} quad p = 130 - frac {2} {3} b nonumber ]

عادة لا نقوم بهذا ، لأنه غالبًا ما يجعل حل النظام أكثر صعوبة عند استخدام تقنيات أخرى. للتعمق في هذا الأمر ، دعنا أولاً نوضح معنى إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية.

التعريف: نظام المعادلات الخطية

يتكون نظام المعادلات الخطية من معادلتين خطيتين أو أكثر تتكون من متغيرين أو أكثر بحيث يتم النظر في جميع المعادلات في النظام في وقت واحد.

حل النظام هو مجموعة من القيم العددية لكل متغير في النظام تفي بجميع المعادلات في النظام في نفس الوقت.

لن يكون لكل نظام حل واحد بالضبط ، لكننا سننظر عن كثب في ذلك لاحقًا. للتحقق لمعرفة ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام المعادلات ، يمكنك:

  1. عوّض الزوج المرتب في كل معادلة في النظام.
  2. حدد ما إذا كانت العبارات الصحيحة ناتجة عن الاستبدال في كلتا المعادلتين ؛ إذا كان الأمر كذلك ، فإن الزوج المرتب هو الحل.

مثال ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب ((5،1) ) هو حل لنظام المعادلات المحدد.

حل

[ left { begin {collect} x + 3y = 8 hfill 2x - 9 = y hfill end {collect} right. لا يوجد رقم ]

عوّض الزوج المرتب ((5،1) ) في كلا المعادلتين.

[ start {align *} (5) + 3 (1) & = 8 & 8 & = 8 & { text {True}} 2 (5) - 9 & = (1) & 1 & = 1 & { text {True}} end {align *} nonumber ]

يفي الزوج المرتب ((5،1) ) بكلتا المعادلتين ، لذا فهو حل النظام.

هناك ثلاث طرق شائعة لحل أنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين. الأول هو الحل بالرسم البياني. في المثال الأول أعلاه قمنا برسم كلتا المعادلتين بالرسم البياني ، وكان حل النظام هو تقاطع الخطين.

مثال ( PageIndex {4} )

حل نظام المعادلات التالي عن طريق التمثيل البياني.

[ begin {collect} 2x + y = - 8 x - y = - 1 end {collect} nonumber ]

حل

حل المعادلة الأولى من أجل (y. )

[ begin {align *} 2x + y & = - 8 y & = - 2x - 8 end {align *} nonumber ]

حل المعادلة الثانية من أجل (y. )

[ start {align *} x - y & = - 1 y & = x + 1 end {align *} nonumber ]

ارسم كلا المعادلتين على نفس مجموعة المحاور. يبدو أن الخطوط تتقاطع عند النقطة ((- 3 ، - 2) ). يمكننا التحقق للتأكد من أن هذا هو حل النظام عن طريق التعويض بالزوج المرتب في كلا المعادلتين.

[ start {align *} 2 (- 3) + (- 2) & = - 8 & - 8 & = - 8 & text {True} (- 3) - (- 2) & = - 1 & - 1 & = - 1 & text {True} end {align *} nonumber ]

حل النظام هو الزوج المرتب ((- 3 ، - 2) ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حل نظام المعادلات التالي عن طريق التمثيل البياني.

[ begin {align *} 2x - 5y & = - 25 - 4x + 5y & = 35 end {align *} nonumber ]

إجابه

حل النظام هو الزوج المرتب ((- 5،3) ).

في حين أن هذه الطريقة يمكن أن تعمل بشكل جيد بما فيه الكفاية عندما تكون قيم الحل كلاهما عددًا صحيحًا ، إلا أنها لا تكون مفيدة جدًا عندما لا يكون التقاطع عند نقطة واضحة. بالإضافة إلى ذلك ، يتطلب حل كلا المعادلتين لـ (y ) ، مما يضيف خطوات إضافية. بسبب هذه القيود ، نادرًا ما يتم استخدام الحل عن طريق الرسوم البيانية ، ولكن يمكن أن يكون مفيدًا للتحقق مما إذا كانت إجاباتك الجبرية معقولة.

حل نظام بالتعويض

هناك طريقة أخرى لحل نظام المعادلات وهي طريقة التعويض ، حيث نحل إحدى المعادلات لمتغير واحد ثم نستبدل النتيجة في المعادلة الثانية لحل المتغير الثاني.

حل نظام باستخدام التعويض

  1. حل إحدى المعادلتين لأحد المتغيرات بدلالة الأخرى.
  2. عوّض بتعبير هذا المتغير في المعادلة الثانية ، ثم حل المتغير المتبقي.
  3. عوّض بهذا الحل في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الأول. إذا أمكن ، اكتب الحل كزوج مرتب.
  4. افحص الحل في كلا المعادلتين.

تم حل المشكلة التي فعلناها في المثال 1 تقنيًا عن طريق الاستبدال ، ولكن تم تسهيلها نظرًا لأن كلا المعادلتين تم حلهما بالفعل لمتغير واحد ، (y ). يتم عرض مثال لحالة أكثر نموذجية بعد ذلك.

مثال ( PageIndex {5} )

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

[ start {align *} - x + y & = - 5 2x - 5y & = 1 end {align *} nonumber ]

حل

أولاً ، سنحل المعادلة الأولى لـ (y ).

[ start {align *} - x + y & = - 5 y & = x - 5 end {align *} nonumber ]

يمكننا الآن استبدال التعبير (x - 5 ) عن (y ) في المعادلة الثانية.

[ start {align *} 2x - y & = - 5y 2x-5 (x-5) & = 1 2x-5x + 25 & = 1 -3x & = -24 x & = 8 نهاية {محاذاة *} غير رقم ]

الآن ، نعوض (x = 8 ) في المعادلة الأولى ونحل من أجل (y. )

[ start {align *} - (8) + y & = - 5 y & = 3 end {align *} nonumber ]

الحل هو ((8،3) ).

يمكننا التحقق من الحل بتعويض ((8،3) ) في كلا المعادلتين.

[ begin {align *} - x + y & = - 5 & - (8) + (3) & = -5 & text {True} 2x-5 & = 1 & 2 ( 8) -5 (3) & = 1 & text {True} end {align *} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {2} )

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

[ start {align *} x & = y + 3 4 & = 3x - 2y end {align *} nonumber ]

إجابه

( (-2, -5) )

يمكن دائمًا استخدام التعويض ، ولكنه خيار جيد بشكل خاص عندما يكون لأحد المتغيرات في إحدى المعادلات معامل 1 أو -1 ، مما يسهل حل هذا المتغير دون إدخال الكسور. هذا شائع إلى حد ما في العديد من التطبيقات.

مثال ( PageIndex {6} )

تقاعدت جوليا للتو ولديها 600 ألف دولار في حساب التقاعد الخاص بها والتي تحتاج إلى إعادة تخصيصها لتحقيق الدخل. إنها تبحث في استثمارين: معاش سنوي مضمون للغاية يوفر فائدة بنسبة 3٪ ، وصندوق سندات أكثر خطورة إلى حد ما بمتوسط ​​فائدة 7٪. إنها تود أن تستثمر أقل قدر ممكن في صندوق السندات الأكثر خطورة ، لكنها تحتاج إلى إنتاج 40 ألف دولار سنويًا من الفوائد لتعيش عليها. كم يجب أن تستثمر في كل حساب؟

حل

لاحظ أن هناك مجهولين في هذه المشكلة: المبلغ الذي يجب أن تستثمره في الأقساط السنوية والمبلغ الذي يجب أن تستثمره في صندوق السندات. يمكننا أن نبدأ بتحديد المتغيرات للمجهول:

(أ ): المبلغ (بالدولار) الذي تستثمره في القسط السنوي

(ب ): المبلغ (بالدولار) الذي تستثمره في صندوق السندات.

تأتي معادلتنا الأولى من ملاحظة أنها ستستثمر معًا 600000 دولار:

[أ + ب = 600000 بلا رقم ]

ستأتي معادلتنا الثانية من الفائدة. تحصل على 3٪ من الأقساط السنوية ، لذا فإن الفائدة المكتسبة في السنة ستكون (0.03a ). وبالمثل ، فإن الفائدة المكتسبة على صندوق السندات في السنة ستكون (0.07b ). معًا ، يحتاج هؤلاء إلى إجمالي 40000 دولار ، مع إعطاء المعادلة:

[0.03a + 0.07b = 40.000 عدد غير رقمي ]

تشكل هاتان المعادلتان معًا نظامنا. المعادلة الأولى هي مرشح مثالي للخطوة الأولى للاستبدال - يمكننا بسهولة حل معادلة (أ ) أو (ب ):

[أ = 600000 - ب بلا رقم ]

ثم يمكننا التعويض عن هذا المقدار أ في المعادلة الثانية وحلها.

[ start {align *} 0.03 (600،000 - b) + 0.07b & = 30،000 18،000 - 0.03b + 0.07b & = 40،000 0.04b & = 22،000 b & = 550،000 end {align * } لا يوجد رقم ]

الآن استبدل هذا مرة أخرى في المعادلة (أ = 600000 - ب ) لإيجاد (أ )

[ start {align *} a & = 600،000 - 550،000 a & = 50،000 end {align *} nonumber ]

من أجل الوصول إلى هدفها ، سيتعين على جوليا استثمار 550 ألف دولار في صندوق السندات و 50 ألف دولار في الأقساط السنوية.

حل نظام بطريقة الإضافة

الطريقة الثالثة لحل أنظمة المعادلات الخطية هي طريقة الجمع ، وتسمى أيضًا طريقة الحذف. في هذه الطريقة ، نضيف حدين لهما نفس المتغير ، لكن المعاملين المعاكسين ، بحيث يكون المجموع صفرًا. بالطبع ، لم يتم إعداد كل الأنظمة باستخدام مصطلحي متغير واحد لهما معاملات معاكسة. في كثير من الأحيان يجب علينا تعديل إحدى المعادلتين أو كليهما عن طريق الضرب بحيث يتم حذف متغير واحد عن طريق الجمع.

حل نظام بطريقة الإضافة

  1. اكتب كلا المعادلتين مع (س ) و (ص ) - المتغيرات الموجودة على الجانب الأيسر من علامة التساوي والثوابت على اليمين.
  2. اكتب معادلة واحدة فوق الأخرى ، واصطف المتغيرات المقابلة. إذا كان أحد المتغيرات في المعادلة العليا يحتوي على المعامل المعاكس لنفس المتغير في المعادلة السفلية ، أضف المعادلتين معًا ، واستبعد متغيرًا واحدًا. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاستخدم الضرب برقم غير صفري بحيث يكون لأحد المتغيرات في المعادلة العليا المعامل المعاكس لنفس المتغير في المعادلة السفلية ، ثم أضف المعادلات لاستبعاد المتغير.
  3. حل المعادلة الناتجة عن المتغير المتبقي.
  4. عوّض بهذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية وحل من أجل المتغير الثاني.
  5. افحص الحل بتعويض القيم في المعادلة الأخرى.

غالبًا ما يتطلب استخدام طريقة الإضافة ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما بثابت ، لذا ستزيل المصطلحات. باستخدام هذه الأساليب ، يمكننا إعادة النظر في المعادلة من المثال 2.

مثال ( PageIndex {7} )

في المثال 2 ، قمنا بإعداد النظام أدناه. حلها.

[ left {{ begin {array} {c} {20b + 30p = 3900} {15b + 30p = 3300} end {array}} right. لا يوجد رقم ]

حل

لن تؤدي إضافة المعادلات إلى استبعاد المتغير ، لكننا نلاحظ أن المعاملات في (p ) هي نفسها ، لذا فإن ضرب إحدى المعادلات في (- 1 ) سيغير علامة المعاملات. ضرب المعادلة الثانية في (- 1 ) يعطي النظام

[ start {array} {c} {20b + 30p = 3900} {- 15b - 30p = - 3300} end {array} nonumber ]

إضافة هذه المعادلات يعطي

[ start {collect} 5b = 600 hfill b = 120 hfill end {collect} nonumber ]

استبدال (ب = 30 ) في المعادلة الأولى ،

[ begin {align *} 20 (120) + 30p & = 3900 2400 + 30p & = 3900 30p & = 1500 p & = 50 end {align *} nonumber ]

الحل هو (b = 120 ، p = 50 ) ، مما يعني أن الشركة يجب أن تنتج 120 منتجًا أساسيًا و 50 منتجًا متميزًا للاستفادة الكاملة من ساعات العمل.

التحقق من إجابتنا في المعادلة الثانية:

[ start {align *} 15 (120) + 30 (50) & = 3300 1800 + 1500 & = 3300 3300 & = 3300 end {align *} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {3} )

حل جملة المعادلات عن طريق الجمع.

[ start {align *} 2x - 7y & = 2 3x + y & = - 20 end {align *} nonumber ]

إجابه

( (-6, -2) )

مثال ( PageIndex {8} )

حل نظام المعادلات المحدد في متغيرين عن طريق الجمع.

[ begin {align *} 2x + 3y & = -16 5x - 10y & = 30 end {align *} ]

حل

تحتوي إحدى المعادلات على (2x ) والأخرى تحتوي على (5x. ) المضاعف المشترك الأصغر هو (10x ) لذلك سيتعين علينا ضرب كلا المعادلتين في ثابت من أجل حذف متغير واحد. لنحذف (x ) بضرب المعادلة الأولى في (- 5 ) والمعادلة الثانية بـ (2 ).

[ start {align *} -5 (2x + 3y) & = - 5 (- 16) - 10x - 15y & = 80 2 (5x - 10y) & = 2 (30) 10x - 20y & = 60 end {align *} nonumber ]

ثم نجمع المعادلتين معًا.

[ start {align *} - 10x - 15y & = 80 10x - 20y & = 60 hline - 35y & = 140 y & = - 4 end {align *} nonumber ]

عوّض (y = - 4 ) في المعادلة الأولى الأصلية.

[ start {align *} 2x + 3 (- 4) & = - 16 2x - 12 & = - 16 2x & = - 4 x & = - 2 end {align *} لا يوجد رقم ]

الحل هو ((- 2 ، - 4) ). تحقق من ذلك في المعادلة الأخرى.

[ start {align *} 5x - 10y & = 30 5 (- 2) - 10 (- 4) & = 30 -10 + 40 & = 30 30 & = 30 end { محاذاة *} غير رقم ]

تمرين ( PageIndex {4} )

حل جملة المعادلات عن طريق الجمع.

[ start {align *} 2x + 3y & = 8 3x + 5y & = 10 end {align *} ]

إجابه

((10, -4))

الأنظمة التابعة وغير المتسقة

حتى الآن ، نظرنا فقط في الحالات التي يوجد فيها حل واحد بالضبط للنظام. يمكننا تصنيف أنظمة المعادلات الخطية بعدد الحلول. أ نظام متسق من المعادلات لها حل واحد على الأقل. يعتبر النظام المتسق أن يكون نظام مستقل إذا كان يحتوي على حل واحد ، مثل الأمثلة التي اكتشفناها للتو. الخطان لهما منحدرات مختلفة ويتقاطعان عند نقطة واحدة في المستوى.

يعتبر النظام المتسق أن يكون متكل النظام إذا كانت المعادلات لها نفس الميل ونفس الشيء ص-يعترض. بمعنى آخر ، تتطابق الخطوط بحيث تمثل المعادلات نفس الخط. كل نقطة على الخط تمثل زوج إحداثيات يرضي النظام. وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من الحلول.

نوع آخر من نظام المعادلات الخطية هو نظام غير متسق، وهو الخط الذي تمثل فيه المعادلات خطين متوازيين. الخطوط لها نفس الميل ومختلفة ص-يعترض. لا توجد نقاط مشتركة لكلا الخطين ؛ وبالتالي ، لا يوجد حل للنظام.

أنواع الأنظمة الخطية

  • ان نظام مستقل لديه زوج حل واحد بالضبط ((س ، ص) ). النقطة التي يتقاطع عندها الخطان هي الحل الوحيد.
  • ان نظام غير متسق ليس له حل. لاحظ أن الخطين متوازيان ولن يتقاطعان أبدًا.
  • أ نظام تابع عدد لا نهائي من الحلول. الخطوط متزامنة. إنهما نفس الخط ، لذا فإن كل زوج إحداثيات على الخط هو حل لكلتا المعادلتين.

    نظام مستقل

    نظام غير متناسق

    نظام تابع

يمكننا استخدام الاستبدال أو الإضافة لتحديد الأنظمة غير المتسقة. تذكر أن النظام غير المتسق يتكون من خطوط متوازية لها نفس الميل ولكنها مختلفة ذ- اعتراضات. لن يتقاطعوا أبدا. عند البحث عن حل لنظام غير متناسق ، سنخرج ببيان خاطئ ، مثل (12 = 0 ).

مثال ( PageIndex {9} )

حل جملة المعادلات التالية.

[ start {align *} x & = 9 - 2y x + 2y & = 13 end {align *} ]

حل

يمكننا التعامل مع هذه المشكلة بطريقتين. نظرًا لأن إحدى المعادلات قد تم حلها بالفعل من أجل (س ، ) ، فإن الخطوة الأكثر وضوحًا هي استخدام التعويض.

[ start {align *} x + 2y & = 13 (9 - 2y) + 2y & = 13 9 + 0y & = 13 9 & = 13 end {align *} nonumber ]

من الواضح أن هذا البيان هو تناقض (بيان خاطئ) بسبب (9 ne 13 ). لذلك ، لا يوجد لدى النظام حل ، والنظام غير متسق.

تذكر أن نظام المعادلات التابع في متغيرين هو نظام تمثل فيه المعادلتان نفس الخط. تحتوي الأنظمة التابعة على عدد لا حصر له من الحلول لأن جميع النقاط الموجودة في سطر واحد موجودة أيضًا على الخط الآخر. بعد استخدام الاستبدال أو الجمع ، ستكون المعادلة الناتجة عبارة عن هوية ، مثل (0 = 0. )

مثال ( PageIndex {10} )

أوجد حلًا لنظام المعادلات باستخدام طريقة الجمع.

[ start {align *} x + 3y & = 2 3x + 9y & = 6 end {align *} nonumber ]

حل

باستخدام طريقة الجمع ، نريد حذف أحد المتغيرات عن طريق إضافة المعادلات. في هذه الحالة ، دعنا نركز على حذف (x. ) إذا ضربنا طرفي المعادلة الأولى في (- 3 ) ، فسنكون قادرين على حذف (x )-عامل.

[س + 3 ص = 2 ]

اضرب طرفي المعادلة في - 3 ،

[ start {align *} (- 3) (x + 3y) & = (- 3) (2) - 3x - 9y & = - 6 end {align *} nonumber ]

[ start {align *} - 3x - 9y & = - 6 3x + 9y & = 6 hline 0 & = 0 hfill end {align *} nonumber ]

يمكننا أن نرى أنه سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول التي تحقق كلا المعادلتين. في بعض الحالات ، يكفي إدراك وجود عدد غير محدود من الحلول ، ويمكننا التوقف عند هذا الحد. في حالات أخرى ، سنرغب في وصف مجموعة الحلول.

تتمثل إحدى الطرق في القول ببساطة إنها مجموعة النقاط التي ترضي (x + 3y = 2 ) ، ولكن غالبًا ما نحل هذه المعادلة لـ (y ) ووصف الحل كمجموعة من النقاط ( يسار (س) ، - frac {1} {3} x + frac {2} {3} right) ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حل الأنظمة:

أ. [ begin {align *} 2y - 2x & = 2 2y - 2x & = 6 end {align *} ]

ب. [ begin {align *} y - 2x & = 5 - 3y + 6x & = - 15 end {align *} ]

إجابه

أ. لا حل. النظام غير متسق.

ب. النظام يعتمد لذلك هناك حلول لا نهائية للنموذج ((x، 2x + 5). )

أنظمة ذات 3 متغيرات في 3 مجاهيل

في أنظمة ذات متغيرين ، كان الحل عبارة عن زوج مرتب ((س ، ص) ) يحقق كلا المعادلتين. ال مجموعة الحل إلى نظام ثلاثة في ثلاثة هو ترتيب ثلاثي ((س ، ص ، ض) ). بيانيا ، يحدد الثلاثي المرتبة النقطة التي هي تقاطع ثلاث مستويات في الفضاء. يمكنك تصور هذا التقاطع من خلال تخيل أي ركن في غرفة مستطيلة. يتم تحديد الزاوية بثلاث مستويات: جداران متجاوران والأرضية (أو السقف). أي نقطة يلتقي فيها جداران مع أرضية تمثل تقاطع ثلاث طائرات.

مثال ( PageIndex {11} )

حدد ما إذا كانت الثلاثية المرتبة ((3، - 2،1) ) هي حل للنظام.

[ start {align *} x + y + z & = 2 6x - 4y + 5z & = 31 5x + 2y + 2z & = 13 end {align *} ]

حل

سوف نتحقق من كل معادلة عن طريق استبدال قيم الثلاثية المرتبة لـ (x ، ) (y ، ) و (z. )

[ start {align *} x + y + z & = 2 (3) + (-2) + (1) & = 2 text {True} & end {align *} ]

[ start {align *} 6x - 4y + 5z & = 31 6 (3) - 4 (-2) + 5 (1) & = 31 18 + 8 + 5 & = 31 text {صواب} & end {محاذاة *} ]

[ تبدأ {محاذاة *} 5x + 2y + 2z & = 13 5 (3) + 2 (-2) + 2 (1) & = 13 15 - 4 + 2 & = 13 text {صواب} & end {محاذاة *} ]

الثلاثي المرتب ((3، - 2،1) ) هو بالفعل حل للنظام.

يمكننا الاستفادة من التقنيات التي تعلمناها في القسم الأخير لحل (3 مرات 3 ) أنظمة المعادلات عن طريق تقليل المشكلة إلى واحدة نعرف بالفعل كيفية حلها.

باستخدام نظام خطي مكون من ثلاث معادلات ، حل من أجل ثلاثة غير معروف

1. اختر أي زوج من المعادلات وحلها من أجل متغير واحد.

2. اختر زوجًا آخر من المعادلات وحلها من أجل نفس المتغير.

3. لقد أنشأت نظامًا من معادلتين في مجهولين. قم بحل نظام اثنين في اثنين الناتج.

4. أعد استبدال المتغيرات المعروفة في أي من المعادلات الأصلية وحل المتغير المفقود.

مثال ( PageIndex {12} )

ابحث عن حل للنظام التالي. يتم ترقيم المعادلات حتى نتمكن من الرجوع إليها بسهولة أكبر.

[ start {align *} x - 2y + 3z & = 9 & (1) - x + 3y - z & = - 6 & (2) 2x - 5y + 5z & = 17 & (3) end {align *} nonumber ]

حل

سيكون هناك دائمًا العديد من الخيارات حول من أين تبدأ ، ولكن الخطوة الأولى الأكثر وضوحًا هنا هي حذف (x ) عن طريق إضافة المعادلتين (1) و (2).

[ start {align *} x - 2y + 3z & = 9 & (1) - x + 3y - z & = - 6 & (2) hline y + 2z & = 3 & (4) end {align *} nonumber ]

الخطوة الثانية هي ضرب المعادلة (1) في (- 2 ) وإضافة النتيجة إلى المعادلة (3). ستزيل هاتان الخطوتان المتغير (x. )

[ begin {align *} - 2x + 4y - 6z & = - 18 & (1) text {مضروبًا في -2} 2x - 5y + 5z & = 17 & (3) hline - y - z & = - 1 & (5) hfill end {align *} nonumber ]

في المعادلتين (4) و (5) ، أنشأنا نظامًا جديدًا ثنائي في اثنين. يمكننا حل المعادلتين من أجل (z ).

[ start {align *} y + 2z & = 3 & (4) - y - z & = - 1 & (5) hline z & = 2 & (6) end {align *} لا يوجد رقم ]

باختيار معادلة واحدة من كل نظام جديد ، نحصل على الشكل المثلثي العلوي:

[ start {align *} x - 2y + 3z & = 9 & (1) y + 2z & = 3 & (4) z & = 2 & (6) end {align *} لا يوجد رقم ]

بعد ذلك ، نعوض (ض = 2 ) في المعادلة (4) ونحل من أجل (ص ).

[ start {align *} y + 2 (2) & = 3 y + 4 & = 3 y & = -1 end {align *} nonumber ]

أخيرًا ، يمكننا استبدال (z = 2 ) و (y = - 1 ) في المعادلة (1). سيؤدي ذلك إلى حل (س ).

[ start {align *} x - 2 (- 1) + 3 (2) & = 9 x + 2 + 6 & = 9 x & = 1 end {align *} nonumber ]

الحل هو الثلاثي المرتبة ((1 ، - 1،2) ).

تمرين ( PageIndex {6} )

حل جملة المعادلات في ثلاثة متغيرات.

[ start {align *} 2x + y - 2z & = - 1 3x - 3y - z & = 5 x - 2y + 3z & = 6 end {align *} nonumber ]

إجابه

((1, -1, 1))

تعتمد العديد من المشاكل في الحياة الواقعية على أكثر من مجهولين.

مثال ( PageIndex {13} )

تحاول تشاد التخطيط لوجبة تلبي أهدافًا غذائية محددة. يريد أن يصنع طبقًا يحتوي على الأرز والتوفو والفول السوداني بحيث يوفر 30 جرامًا من البروتين و 14 جرامًا من الدهون و 50 جرامًا من الكربوهيدرات. ما المقدار الذي يجب أن يستخدمه من كل مكون؟

حل

أولاً ، نفترض أن أي مكونات أخرى مستخدمة في الوصفة لا تساهم بشكل كبير في التغذية التي يجب أخذها في الاعتبار. للإجابة على هذا السؤال ، سنحتاج أولاً إلى معرفة المحتوى الغذائي للمكونات. البحث عن هذه:

الأرز الأبيض: 1 كوب يوفر: 0 جرام دهون ، 44 جرام كربوهيدرات ، 4 جرام بروتين

التوفو: 1 كوب يوفر: 10 جرام دهون ، 5 جرام كربوهيدرات ، 20 جرام بروتين

الفول السوداني: 1 كوب يوفر: 72 جرام دهون ، 31 جرام كربوهيدرات ، 35 جرام بروتين

الآن يمكننا تحديد المتغيرات الخاصة بنا. نحن مهتمون بكمية كل مكون لاستخدامه ، لذلك سنحدد متغيراتنا على أنها كمية كل مكون:

(r ): أكواب من الأرز (t ): أكواب من التوفو (ع ): أكواب من الفول السوداني.

الآن لكل عنصر غذائي ، يمكننا إنشاء معادلة. نظرًا لأن كوبًا واحدًا من الأرز يوفر 44 جرامًا من الكربوهيدرات ، فإن الأكواب ستوفر (44 ر ) جرامًا من الكربوهيدرات. على نفس المنوال ر ستوفر أكواب التوفو (5 طن ) جرامًا ، و (ع ) أكواب من الفول السوداني توفر (ع ) جرامًا. معًا نريد أن توفر وصفتنا 50 جرامًا من الكربوهيدرات ، مع إعطاء المعادلة:

[44r + 5t + 31p = 50 nonumber ]

فعل الشيء نفسه بالنسبة للدهون والبروتين يعطي النظام الكامل:

[ start {align *} 44r + 5t + 31p & = 50 10t + 72p & = 14 4r + 20t + 35p & = 30 end {align *} nonumber ]

الآن يمكننا حل النظام.

الخطوة 1. لاحظ أن معادلة المقطع لا تتضمن المتغير (r ). لتبسيط الأمور ، قد تكون الخطوة الأولى هي تبادل المعادلتين الأخيرتين بحيث تصطف المعادلتان اللتان تحتويان على ثلاثة متغيرات.

[ start {align *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) 4r + 20t + 35p & = 30 & (2) 10t + 72p & = 14 & (3) end {محاذاة *} ]

الخطوة 2. بما أن (r ) قد تم حذفه بالفعل في المعادلة الأخيرة ، فسوف نحذف (r ) من المعادلتين الأوليين. اضرب المعادلة (2) ب -11.

[ start {align *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) - 44r - 220t - 385p & = -330 & (2) 10t + 72p & = 14 & (3) نهاية {محاذاة *} غير رقم ]

الخطوة 3. أضف المعادلتين (1) و (2) ، واكتب النتيجة في صورة صف 2.

[ start {align *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) - 215t - 384p & = -280 & (2) 10t + 72p & = 14 & (3) end {محاذاة *} ]

الخطوة 4. اضرب المعادلة (2) في 2 والمعادلة (3) في 43

[ start {align *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) -430t - 708p & = -560 & (2) 430t + 3096p & = 602 & (3) end {محاذاة *} ]

الخطوة 5. أضف المعادلتين (2) و (3) ، واكتب النتيجة في الصف 3

[ start {align *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) - 430t - 708p & = - 560 & (2) 2388p & = 42 & (3) end {align *} لا يوجد رقم ]

الخطوة 6. حل من أجل (p ) في المعادلة 3. لمشكلة حقيقية مثل هذه ، التقريب العشري ربما يكون جيدًا.

[ begin {align *} 2388p & = 42 p & = frac {42} {2388} almost 0.0176 end {align *} nonumber ]

الخطوة 7. أعد استبدال قيمة (p ) في المعادلة (2) لحل (t ).

[ start {align *} - 430t - 708 (0.0176) & = - 560 - 430t - 12.4608 & = - 560 - 430t & = - 547.5392 t & = frac {- 547.5392} {- 430} حوالي 1.273 end {align *} nonumber ]

الخطوة 8. استبدل قيم (p ) و (t ) في المعادلة (1) وحل من أجل (r ).

[ start {align *} 44r + 5 (1.273) + 31 (0.0176) & = 50 44r & = 43.0894 r & حوالي 0.979 end {align *} ]

لتحقيق أهدافه الغذائية ، يجب على تشاد استخدام 0.979 كوبًا من الأرز ، و 1.273 كوبًا من التوفو ، و 0.0176 كوبًا من الفول السوداني.

كان هذا النظام بالذات غير سار إلى حد ما لحلها. سنتعلم في بقية الفصل بعض التقنيات الأخرى لحل الأنظمة المعقدة.

موضوعات مهمة في هذا القسم

حل الأنظمة

الرسوم البيانية

إزالة

إضافة

إقامة أنظمة المعادلات

أنظمة غير متناسقة ومعتمدة

حل 3 في 3 أنظمة


شاهد الفيديو: انظمة المعادلات الخطية بمتغيرين (شهر اكتوبر 2021).