مقالات

15.4: تكاملات مزدوجة في شكل قطبي


حتى الآن ، تعاملنا مع تكاملات مزدوجة في نظام الإحداثيات الديكارتية. هذا مفيد في المواقف التي يمكن فيها التعبير عن المجال ببساطة من حيث (x ) و (y ). ومع ذلك ، فإن العديد من المشاكل ليس من السهل رسمها. إذا كان المجال له خصائص الدائرة أو القلب ، فمن الأسهل حل التكامل باستخدام الإحداثيات القطبية.

مقدمة

يركز النظام الديكارتي على التنقل إلى نقطة معينة بناءً على بعدها عن المحاور x و y وأحيانًا z. في الشكل القطبي ، يوجد بشكل عام معلمتان للانتقال إلى نقطة ما: (r ) و ( ثيتا ). (r ) يمثل حجم المتجه الذي يمتد من الأصل إلى النقطة المرغوبة. بمعنى آخر ، (r ) هي المسافة مباشرة إلى نقطة الإحداثيات هذه. ( theta ) يمثل الزاوية التي يصنعها المتجه النظري سالف الذكر مع المحور السيني. هذا يخلق نوعًا دائريًا من الحركة حيث نضبط قيمة ( theta ) ، مما يسمح لنا بالتعبير عن دائرة نصف قطرها 1 كـ (r = 1 ) بدلاً من (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) بالإحداثيات الديكارتية.

صيغة التكامل المزدوج القطبي

تتضمن العديد من التكاملات المزدوجة التي واجهناها حتى الآن دوائر أو على الأقل تعبيرات بـ (x ^ 2 + y ^ 2 ). عندما نرى هذه التعبيرات ، يجب أن يرن الجرس ويجب أن نصرخ ، "ألا يمكننا استخدام الإحداثيات القطبية." الجواب هو "نعم" ولكن بحذر فقط. تذكر أنه عندما قمنا بتغيير المتغيرات في تكامل متغير واحد مثل (u = 2x ) ، احتجنا إلى إيجاد عامل التمدد (du = 2dx ). الفكرة متشابهة مع تكامل متغيرين. عندما نتغير إلى الإحداثيات القطبية ، سيكون هناك أيضًا عامل تمدد. هذا واضح حيث أن مساحة "الاستطلاع القطبي التشابك" ليست كما قد يتوقع المرء. الصورة مبينة أدناه.

حتى لو كانت ( Delta {r} ) و ( Delta {q} ) صغيرة جدًا ، فإن المنطقة ليست المنتج ( Delta {r} ، Delta {q} ). يأتي هذا من تعريف الراديان. القوس الذي يمتد ( Delta {q} ) راديان مسافة (r ) من الأصل له طول (r ، Delta {q} ). إذا كان كلا من ( Delta r ) و ( Delta q ) صغيرًا جدًا ، فإن مساحة المستطيل القطبي

[المنطقة = r دلتا {r} دلتا {q}. ]

هذا يقودنا إلى النظرية التالية

نظرية: التكامل المزدوج في الإحداثيات القطبية

لنفترض أن (f (x ، y) ) دالة مستمرة محددة عبر منطقة (R ) يحدها إحداثيات قطبية بواسطة

(r_1 (q)

ثم

[ iint_R f (x، y) ، dy ، dx = int _ { theta_1} ^ { theta_2} int_ {r_1 ( theta)} ^ {r_2 ( theta)} و (r cos ثيتا ، r الخطيئة ثيتا) ، r ، د ، د ثيتا. ]

لاحظ " (r )" الإضافي في النظرية

مناقشة نظرية مع تفصيل وصفي

يتم إعطاء مساحة المنطقة المغلقة والمحدودة (r ) في مستوى الإحداثيات القطبية بواسطة

[A = iint_ {R} ^ {} r ، د ، د ثيتا. ]

لإيجاد حدود المجال في هذه الصورة ، نستخدم أسلوبًا مشابهًا للتكاملات في شكل مستطيل. بدءًا من الأصل بـ (r = 0 ) نقوم بزيادة قيمة (r ) حتى نجد الحد الأقصى والحد الأدنى للمسافة الكلية من الأصل. وبالمثل ، بالنسبة إلى ( theta ) ، نبدأ عند ( theta = 0 ) ونجد الحد الأدنى والحد الأقصى للزوايا التي يصنعها المجال مع orgin. المسافة القصوى بعيدًا عن الأصل والزاوية القصوى مع الأصل التي تحدد الحدود تمثل الحد الأعلى للتكامل المزدوج. الحد الأدنى للمسافة والحد الأدنى للزاوية مع الأصل يجعل الحد الأدنى للتكامل المزدوج.

على سبيل المثال ، للعثور على حدود (r ) ، نتطلع إلى معرفة الحد الأدنى والحد الأقصى للمسافات الإجمالية من الأصل من حيث (r ). في بعض الأحيان ، ستعطيك المشكلات بوضوح المنحنيات التي تشكل المجال ، وفي أحيان أخرى قد تحتاج إلى إلقاء نظرة على الرسم البياني لتحديد المجال. بغض النظر ، إذا كان الأصل موجودًا في المجال ، فسيكون الحد الأدنى لـ (r ) 0. سيكون الحد الأعلى هو أي منحنى يشمل بقية المجال.

عادة ما يكون حساب ( theta ) أبسط. الحدود الدنيا والعليا هي الزوايا الدنيا والقصوى التي يصنعها المجال مع الأصل. يمكن استخدام الدوال المثلثية لتحديد الزوايا القصوى التي تصنعها الدالة مع الأصل.

إذا تم توفير معادلة ، فمن المفيد استخدام التحويلات:

[x = r ، cos ، theta ]

[y = r ، sin ، theta ]

لتحويل المعادلات من الديكارتي إلى الشكل القطبي. إذا كان لا بد من تحديد الحدود من الرسم البياني المقدم ، فقد يكون من المفيد التخمين والتحقق من خلال رسم بعض نقاط الاختبار لمعرفة ما إذا كانت حدودك تتطابق حقًا مع الرسم البياني المقدم.

إذا كنت بحاجة إلى تحويل جزء لا يتجزأ من الديكارتي إلى الشكل القطبي ، فقم برسم المجال باستخدام الحدود الديكارتية ومعرفتك بالمنحنيات في المجال الديكارتي. ثم استخدم الطريقة الموضحة أعلاه لاشتقاق الحدود في شكل قطبي. بمجرد إعداد التكامل ، يمكن حله تمامًا مثل التكامل باستخدام الإحداثيات المستطيلة.

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد الحجم في الجزء المكافئ

[z = 9 - x ^ 2 - y ^ 2 ]

التي تقع داخل الاسطوانة

[x ^ 2 + y ^ 2 = 4. ]

المحلول

الأسطح موضحة أدناه.

هذا بالتأكيد هو الحال بالنسبة للإحداثيات القطبية. المنطقة (R ) هي جزء من المستوى س ص الموجود داخل الاسطوانة. في الإحداثيات القطبية ، تحتوي الأسطوانة على معادلة

[r ^ 2 = 4. ]

أخذ الجذور التربيعية وتذكر أن (r ) موجب يعطي

[r = 2. ]

وبالتالي فإن الجزء الداخلي من الاسطوانة هو المستطيل القطبي

(0

تصبح معادلة القطع المكافئ

[z = 9 - r ^ 2. ]

نجد التكامل

[ int _0 ^ {2 pi} int_0 ^ 2 left (9-r ^ 2 right) r ، dr ، d theta. ]

هذا التكامل هو أمر روتيني ويتم تقييمه إلى (28 pi ).

مثال ( PageIndex {2} )

أوجد حجم جزء الكرة نصف القطر 3 المتبقي بعد حفر ثقب أسطواني نصف قطره 2 عبر المركز.

المحلول

الصورة مبينة أدناه

المنطقة هذه المرة هي الحلقة (الحلقة) بين الدوائر (r = 2 ) و (r = 3 ) كما هو موضح أدناه.

للكرة معادلة

[x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9. ]

في الإحداثيات القطبية هذا يقلل إلى

[r ^ 2 + z ^ 2 = 9. ]

حل لـ (ض ) بطرح (r ^ 2 ) وأخذ جذر تربيعي نحصل على الأسطح العلوية والسفلية من

[z = sqrt {9-r ^ 2} ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ z = - sqrt {9-r ^ 2}. ]

نحصل على التكامل المزدوج

[ int_0 ^ {2 pi} int_2 ^ 3 ( sqrt {9-r ^ 2} + sqrt {9-r ^ 2}) r ؛ الدكتور د ثيتا. ]

يمكن حل هذا التكامل عن طريق السماح

[u = 9 - r ^ 2 ؛ ؛ ؛ text {and} ؛ ؛ ؛ du = -2r ، dr. ]

بعد الاستبدال نحصل عليه

[ begin {align} & - dfrac {1} {2} int_ {0} ^ {2 pi} int_ {5} ^ {0} 2u ^ { frac {1} {2}} ؛ du d theta & = - dfrac {2} {3} int_ {0} ^ {2 pi} [u ^ { frac {3} {2}}] _ 5 ^ 0 ؛ d theta & = dfrac {20 sqrt {5} pi} {3}. end {align} ]

مثال ( PageIndex {3} )

غير التكامل الديكارتي إلى تكامل قطبي مكافئ ، ثم حله.

[ int_ {1} ^ { sqrt {3}} int_ {1} ^ {x} dydx ]

المحلول

النقطة عند ( ( sqrt {3} )، 1) بزاوية ( pi / 6 ) من الأصل. النقطة عند ( ( sqrt {3} ، sqrt {3} ) بزاوية ( pi / 4 ) من الأصل. من حيث (r ) ، المجال محدد بـ معادلتان (r = csc theta ) و (r = sqrt {3} sec theta ). وبالتالي ، فإن التكامل المحول هو

[ int_ {csc theta} ^ { sqrt {3} sec theta} int _ { pi / 6} ^ { pi / 4} rdrd theta. ]

يمكن الآن حل التكامل تمامًا مثل أي تكامل آخر.

[ begin {align} & int _ { pi / 6} ^ { pi / 4} int_ {csc theta} ^ { sqrt {3} sec theta} rdrd theta & = int _ { pi / 6} ^ { pi / 4} ( dfrac {3} {2} sec ^ 2 theta - dfrac {1} {2} csc ^ 2 theta) d theta & = left [ dfrac {3} {2} tan theta + dfrac {1} {2} cot theta right] _ { dfrac { pi} {6}} ^ { dfrac { pi} {4}} & = 2 - sqrt {3}. نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {4} )

أوجد مساحة المنطقة المقطوعة من الربع الأول بالمنحنى (r = sqrt {2 - sin2 theta} ).

المحلول

لاحظ أنه ليس من الضروري حتى رسم المنطقة في هذه الحالة لأن جميع المعلومات المطلوبة متوفرة بالفعل. نظرًا لوجود المنطقة في الربع الأول ، فإن المجال يحده ( theta = 0 ) و ( theta = dfrac { pi} {2} ). الحد الوحيد لـ (r ) هو (r = sqrt {2 - sin2 theta} ) لذا فإن التكامل هو

[ begin {align} & int_ {0} ^ { pi / 2} int_ {0} ^ { sqrt {2 - sin2 theta}} rdrd theta & = int_ {0} ^ { pi / 2} left [ dfrac {r ^ 2} {2} right] _ {0} ^ { sqrt {2 - sin2 theta}} d theta & = int_ { 0} ^ { pi / 2} dfrac {2 - sin2 theta} {2} d theta & = int_ {0} ^ { pi / 2} 1 - dfrac { sin2 theta } {2} d theta & = left [ theta + dfrac { cos2 theta} {4} right] _ {0} ^ { pi / 2} & = dfrac { pi} {2} - dfrac {1} {4}. نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {5} )

أوجد مساحة المنطقة المقطوعة من الربع الأول بالمنحنى (r = sqrt {2 - sin2 theta} ).

المحلول

لاحظ أنه ليس من الضروري حتى رسم المنطقة في هذه الحالة لأن جميع المعلومات المطلوبة متوفرة بالفعل. نهاية {محاذاة} ]


15.4: تكاملات مزدوجة في شكل قطبي

2. أوجد ( displaystyle iint limits_ << الجذر التربيعي <1 + 4+ 4> ، dA >> ) حيث (D ) هو النصف السفلي من ( + = 16).

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

يوجد أدناه رسم سريع للمنطقة (د ).

بالنسبة للتكاملات المزدوجة التي سيتم استخدام الإحداثيات القطبية فيها ، غالبًا ما لا يكون مخطط (D ) مفيدًا كمنطقة عامة.

ومع ذلك ، إذا لم يكن هناك شيء آخر ، فإنه يوضح أن الإحداثيات القطبية ستكون مطلوبة لهذه المشكلة. من الممكن وصف هذه المنطقة من حيث الإحداثيات الديكارتية ولكن أحد الحدود سيشمل الجذور التي غالبًا (ليس دائمًا ، ولكن غالبًا) تؤدي إلى عمل متكامل فوضوي.

يوضح الرسم أن المنطقة دائرية جزئيًا على الأقل ويجب أن يشير ذلك دائمًا إلى أن الإحداثيات القطبية ليست شيئًا سيئًا على الأقل للتفكير فيه. في هذه الحالة ، نظرًا للحدود الديكارتية كما تمت مناقشته أعلاه ، فإن الإحداثيات القطبية هي الطريقة الوحيدة السهلة للقيام بهذا التكامل. لاحظ أيضًا أن هذا التكامل سيكون مزعجًا من حيث الإحداثيات الديكارتية. نأمل أن يكون الشكل القطبي أسهل.

لاحظ أيضًا أنه بمجرد أن يكون لدينا الرسم التخطيطي ، يجب أن يكون تحديد الحدود القطبية بسيطًا جدًا.

حسنًا ، (D ) هو مجرد جزء من القرص ، لذا يجب ألا يكون إعداد الحدود أمرًا صعبًا للغاية. ها هم،

[يبدأ pi le theta le 2 pi ، 0 le r le 4 end] إظهار الخطوة 3

التكامل من حيث الإحداثيات القطبية هو إذن ،

عند تحويل التكامل ، لا تنس تحويل (x ) و (y ) إلى إحداثيات قطبية. في هذه الحالة ، لا تقم فقط باستبدال صيغ التحويل القطبي في (x ) و (y )! أذكر ذلك ( + = ) وسيكون التعامل مع التكامل أسهل بكثير.

أيضًا ، لا تنسَ أن (dA = r ، dr ، d theta ) ولذا سنحصل على (r ) إضافي في التكامل. يعد نسيان (r ) الإضافي أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في هذه الأنواع من المشكلات وفي هذه الحالة بدون (r ) الإضافي ، سيكون لدينا جزء أكثر سوءًا للتعامل معه.

هنا تكامل (r ).

أخيرًا ، إليك تكامل ( theta ).

لاحظ أنه على الرغم من أن هذا كان جزءًا لا يتجزأ من التقييم البسيط حقًا ، سترى قدرًا معقولاً من (< cos ^ 2> theta ) ، (< sin ^ 2> theta ) و ( الخطيئة theta cos theta ) في التكاملات القطبية لذا تأكد من أنك تعرف كيفية تكامل هذه المصطلحات!


حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات + ناقلات

ما هي الإحداثيات القطبية لنقطة في مسافتين؟

كيف نحول بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات المستطيلة؟

ما هو عنصر المنطقة في الإحداثيات القطبية؟

كيف نحول تكامل مزدوج في الإحداثيات المستطيلة إلى تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية؟

بينما قمنا بتعريف التكاملات المزدوجة بشكل طبيعي في نظام الإحداثيات المستطيلة ، بدءًا من المجالات التي هي مناطق مستطيلة ، هناك العديد من هذه التكاملات التي يصعب ، إن لم يكن من المستحيل ، تقييمها. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجال (D ) الذي يمثل دائرة الوحدة و (f (x، y) = e ^ <- x ^ 2 - y ^ 2> text <.> ) لدمج (f ) على (D text <،> ) سنستخدم التكامل المتكرر

بالنسبة لهذا التكامل المعين ، بغض النظر عن ترتيب التكامل ، لا يمكننا العثور على المشتق العكسي للتكامل بالإضافة إلى ذلك ، حتى لو تمكنا من إيجاد المشتق العكسي ، فإن الحدود الداخلية للتكامل تتضمن وظائف معقدة نسبيًا.

لذلك ، من المفيد أن تكون قادرًا على الترجمة إلى أنظمة إحداثيات أخرى حيث تكون حدود التكامل وتقييم التكاملات المعنية أبسط. في هذا القسم ، نقدم مناقشة سريعة لأحد هذه الأنظمة - الإحداثيات القطبية - ثم نقدم ونحقق في تشعباتها للتكاملات المزدوجة. يتيح لنا نظام الإحداثيات المستطيلة النظر في المجالات والرسوم البيانية المتعلقة بالشبكة المستطيلة. نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات بديل يسمح لنا بالنظر في المجالات الأقل ملاءمة للإحداثيات المستطيلة ، مثل الدوائر.

معاينة النشاط 11.5.1.

إحداثيات نقطة تحدد موقعها. على وجه الخصوص ، يتم إعطاء إحداثيات مستطيلة من نقطة (P ) بواسطة زوج مرتب ((س ، ص) نص <،> ) حيث (س ) هي المسافة (الموقعة) التي تقع النقطة منها (ص ) - المحور إلى (ف ) و (ص ) هي المسافة (الموقعة) التي تقع فيها النقطة من (س ) - المحور إلى (ف نص <.> ) في الإحداثيات القطبية ، نحدد موقع النقطة من خلال النظر في المسافة التي تقع فيها النقطة من الأصل ، (O = (0،0) text <،> ) والزاوية التي يقطعها جزء الخط من الأصل إلى أشكال (P ) بالمحور الموجب (س ).

حدد الإحداثيات المستطيلة للنقاط التالية:

النقطة (P ) التي تقع على بعد وحدة واحدة من الأصل على المحور الموجب (x ).

النقطة (Q ) التي تقع على بعد وحدتين من الأصل وتلك ( overline) يصنع زاوية ( frac < pi> <2> ) مع المحور الموجب (x ).

النقطة (R ) التي تقع على بعد 3 وحدات من الأصل بحيث ( overline) يصنع زاوية ( frac <2 pi> <3> ) مع المحور الموجب (x ).

يشير الجزء (أ) إلى أن قطعتين من المعلومات تحددان تمامًا موقع نقطة ما: إما إحداثيات ((س ، ص) ) التقليدية ، أو بالتناوب ، المسافة (r ) من النقطة إلى الأصل على طول بالزاوية ( theta ) التي يصنعها الخط من خلال الأصل والنقطة مع المحور (x ) - الموجب. نكتب " ((r، theta) )" للإشارة إلى موقع النقطة في تمثيل إحداثياتها القطبية. أوجد الإحداثيات القطبية للنقاط ذات الإحداثيات المستطيلة المعطاة.

حدد إحداثيات مستطيلة للنقطة لكل نقطة من النقاط التالية التي ترد إحداثياتها في شكل قطبي.

القسم الفرعي 11.5.1 الإحداثيات القطبية

يعتبر نظام الإحداثيات المستطيل هو الأنسب للرسوم البيانية والمناطق التي يتم اعتبارها بشكل طبيعي عبر شبكة مستطيلة. نظام الإحداثيات القطبية هو بديل يوفر خيارات جيدة للوظائف والمجالات التي لها خصائص دائرية أكثر. النقطة (P ) في الإحداثيات المستطيلة الموصوفة بواسطة زوج مرتب ((x، y) text <،> ) حيث (x ) هو الإزاحة من (P ) إلى ( y ) - المحور و (y ) هو الإزاحة من (P ) إلى (x ) - المحور ، كما هو موضح في نشاط المعاينة 11.5.1 ، يمكن أيضًا وصفه بالإحداثيات القطبية ((r ، theta) text <،> ) حيث (r ) هي المسافة من (P ) إلى الأصل و ( theta ) هي الزاوية التي شكلها مقطع السطر ( overline) والمحور الموجب (س ) - كما هو موضح على اليسار في الشكل 11.5.1.

يسمح علم المثلثات ونظرية فيثاغورس بالتحويل المباشر من المستطيل إلى القطب ، والعكس صحيح.

التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.
التحويل من مستطيل إلى قطبي ..

إذا أعطينا الإحداثيات المستطيلة ((x ، y) ) لنقطة (P text <،> ) فإن الإحداثيات القطبية ((r ، theta) ) لـ (P ) ترضي

التحويل من قطبي إلى مستطيل ..

إذا أعطينا الإحداثيات القطبية ((r ، theta) ) لنقطة (P text <،> ) ، فإن الإحداثيات المستطيلة ((x ، y) ) لـ (P ) ترضي

ملحوظة: الزاوية ( theta ) في الإحداثيات القطبية لنقطة ليست فريدة. يمكننا استبدال ( theta ) بـ ( theta + 2 pi ) وما زلنا في نفس النقطة الطرفية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن علامة ( tan ( theta) ) لا تحدد بشكل فريد الربع الذي يقع فيه ( theta ) ، لذلك علينا تحديد قيمة ( ثيتا ) من موقع النقطة. بمعنى آخر ، يجب إيلاء المزيد من العناية عند استخدام الإحداثيات القطبية بدلاً من الإحداثيات المستطيلة.

يمكننا رسم الرسوم البيانية للمنحنيات في الإحداثيات القطبية بنفس الطريقة التي نرسمها في الإحداثيات المستطيلة. ومع ذلك ، عند رسم الإحداثيات القطبية ، نستخدم شبكة تراعي التغيرات في الزوايا والتغيرات في المسافة من الأصل. على وجه الخصوص ، تقسم الزوايا ( ثيتا ) والمسافات (r ) الطائرة إلى أسافين صغيرة كما هو موضح على اليمين في الشكل 11.5.1.

النشاط 11.5.2.

يمكن لمعظم أجهزة الرسم البياني القطبية رسم المنحنيات في الإحداثيات القطبية بالشكل (r = f ( theta) text <.> ) استخدم مثل هذا الجهاز لإكمال هذا النشاط.

قبل رسم المنحنى القطبي (r = 1 ) (حيث ( ثيتا ) يمكن أن يكون له أي قيمة) ، فكر في الشكل الذي يجب أن يكون عليه ، في ضوء كيفية توصيل (r ) بـ (س ) ) و (y text <.> ) ثم استخدم التكنولوجيا المناسبة لرسم الرسم البياني واختبار حدسك.

لا تحدد المعادلة ( theta = 1 ) (r ) كدالة ( theta text <،> ) لذلك لا يمكننا رسم هذه المعادلة على العديد من الراسمات القطبية. ما رأيك في شكل المنحنى القطبي ( ثيتا = 1 )؟ لماذا ا؟

قبل رسم المنحنى القطبي (r = theta text <،> ) كيف يبدو الرسم البياني برأيك؟ لماذا ا؟ استخدم التكنولوجيا لرسم المنحنى ومقارنة حدسك.

كيف تبدو المنطقة المحددة بواسطة (1 leq r leq 3 ) (حيث ( theta ) يمكن أن يكون لها أي قيمة)؟ (تلميح: قارن بإجابتك من الجزء (أ).)

كيف تبدو المنطقة المحددة بواسطة (1 leq r leq 3 ) و ( pi / 4 leq theta leq pi / 2 )؟

ضع في اعتبارك المنحنى (r = sin ( theta) text <.> ) بالنسبة لبعض قيم ( theta ) سيكون لدينا (r lt 0 text <.> ) في هذه الحالات ، نرسم النقطة ((r، theta) ) كـ ((| r |، theta + pi) ) (بعبارة أخرى ، عندما (r lt 0 text <،> ) نعكس النقطة من خلال الأصل). مع أخذ ذلك في الاعتبار ، ما رأيك في شكل الرسم البياني (r = sin ( theta) )؟ ارسم هذا المنحنى باستخدام التكنولوجيا وقارن مع حدسك.

القسم الفرعي 11.5.2 التكامل في الإحداثيات القطبية

ضع في اعتبارك التكامل المزدوج

حيث (D ) هو قرص الوحدة. بينما لا يمكننا تقييم هذا التكامل بشكل مباشر في الإحداثيات المستطيلة ، فإن التغيير في الإحداثيات القطبية سيحوله إلى واحد يمكننا بسهولة إيجاد قيمته.

لقد رأينا كيفية تقييم تكامل مزدوج ( displaystyle iint_D f (x، y) ، dA ) كتكامل متكرر من النموذج

بإحداثيات مستطيلة ، لأننا نعلم أن (dA = dy ، dx ) في إحداثيات مستطيلة. لإجراء التغيير على الإحداثيات القطبية ، لا نحتاج فقط إلى تمثيل المتغيرات (x ) و (y ) في الإحداثيات القطبية ، ولكن يجب علينا أيضًا فهم كيفية كتابة عنصر المنطقة ، (dA text <، > ) في الإحداثيات القطبية. بمعنى ، يجب أن نحدد كيف يمكن كتابة عنصر المنطقة (dA ) من حيث (د ) و (د ثيتا ) في سياق الإحداثيات القطبية. نعالج هذا السؤال في النشاط التالي.

النشاط 11.5.3.

فكر في مستطيل قطبي (R text <،> ) مع (r ) بين (r_i ) و (r_) و ( theta ) بين ( theta_j ) و ( theta_) كما هو موضح على اليسار في الشكل 11.5.2. السماح ( دلتا r = r_-r_i ) و ( Delta theta = theta_- theta_j text <.> ) فليكن ( Delta A ) هي منطقة هذه المنطقة.

اشرح لماذا المنطقة ( Delta A ) في الإحداثيات القطبية ليست ( Delta r ، Delta theta text <.> )

الآن ابحث عن ( Delta A ) باتباع الخطوات التالية:

أوجد مساحة الحلقة (المنطقة التي تشبه الغسالة) بين (r_i ) و (r_) text <،> ) كما هو موضح على اليمين في الشكل 11.5.2. ستكون هذه المنطقة من حيث (r_i ) و (r_ نص <.> )

لاحظ أن المنطقة (R ) ليست سوى جزء من الحلقة ، لذا فإن مساحة ( Delta A ) من (R ) ليست سوى جزء من مساحة الحلقة. على سبيل المثال ، إذا ( theta_ - theta_i ) كانت ( frac < pi> <4> text <،> ) فإن الإسفين الناتج سيكون

من الحلقة بأكملها. في هذا السياق الأكثر عمومية ، باستخدام الإسفين بين الزاويتين الملاحظتين ، أي جزء من مساحة الحلقة هو المنطقة ( Delta A text <؟> )

اكتب تعبيرًا عن ( Delta A ) بدلالة (r_i text <،> ) (r_ text <،> ) ( theta_j text <،> ) و ( theta_ نص <.> )

أخيرًا ، اكتب المنطقة ( Delta A ) من حيث (r_i text <،> ) (r_ text <،> ) ( Delta r text <،> ) و ( Delta theta text <،> ) حيث تظهر كل كمية مرة واحدة فقط في التعبير. (تلميح: فكر في كيفية تحليل اختلاف المربعات.)

عندما نأخذ الحد مثل ( Delta r ) و ( Delta theta ) ننتقل إلى 0 ، ( Delta r ) يصبح (dr text <،> ) ( Delta theta ) يصبح (d theta text <،> ) و ( Delta A ) يصبح (dA text <،> ) عنصر المنطقة. باستخدام عملك في (iv) ، اكتب (dA ) من حيث (r text <،> ) (dr text <،> ) و (d theta text <.> )

من نتيجة النشاط 11.5.3 ، نرى أنه عندما نحول جزءًا لا يتجزأ من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات القطبية ، لا يجب علينا فقط تحويل (x ) و (y ) إلى من حيث (r ) و ( theta text <،> ) ولكن علينا أيضًا تغيير عنصر المنطقة إلى (dA = r ، dr ، d theta ) في الإحداثيات القطبية. كما رأينا في النشاط 11.5.3 ، يرجع السبب في العامل الإضافي لـ (r ) في عنصر المنطقة القطبية إلى حقيقة أنه في الإحداثيات القطبية ، يزداد عنصر منطقة المقطع العرضي كلما زاد (r ) ، بينما عنصر منطقة المقطع العرضي في الإحداثيات المستطيلة ثابت. لذلك ، بالنظر إلى تكامل مزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) في إحداثيات مستطيلة ، لكتابة تكامل متكرر مقابل في الإحداثيات القطبية ، نستبدل (x ) بـ (r cos ( theta) text <،> ) (y ) with (r sin ( theta) ) و (dA ) مع (r ، dr ، d theta text <.> ) بالطبع نحتاج إلى وصف المنطقة (د ) بالإحداثيات القطبية أيضًا. كي تختصر:

التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية.

يمكن تحويل التكامل المزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) في الإحداثيات المستطيلة إلى تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية كـ ( iint_D f (r cos ( theta)، r sin ()) ثيتا)) ، r ، د ، د ثيتا نص <.> )

مثال 11.5.3.

دع (f (x، y) = e ^) على القرص (D = <(x، y): x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 > text <.> ) سنقوم بتقييم ( iint_D f (x، y) ، dA نص <.> )

في الإحداثيات المستطيلة ، يمكن كتابة التكامل المزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) على أنه التكامل المتكرر

لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل المتكرر ، لأن (e ^) لا يحتوي على مشتق عكسي أولي فيما يتعلق إما (x ) أو (y text <.> ) ومع ذلك ، منذ (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) والمنطقة (D ) دائري ، من الطبيعي أن نتساءل عما إذا كان التحويل إلى إحداثيات قطبية سيسمح لنا بتقييم التكامل الجديد. للقيام بذلك ، نستبدل (x ) بـ (r cos ( theta) text <،> ) (y ) بـ (r sin ( theta) text <،> ) و (dy ، dx ) مع (r ، دكتور ، د ثيتا ) للحصول على

القرص (D ) موصوف في الإحداثيات القطبية بواسطة القيود (0 leq r leq 1 ) و (0 leq theta leq 2 pi text <.> ) لذلك ، فإنه يتبع الذي - التي

يمكننا تقييم التكامل القطبي المتكرر الناتج على النحو التالي:

على الرغم من عدم وجود قاعدة ثابتة بشأن متى يمكن أو يجب استخدام الإحداثيات القطبية ، فهي بديل طبيعي في أي وقت يمكن التعبير عن مجال التكامل ببساطة في شكل قطبي ، و / أو عندما يتضمن التكامل وتعبيرات مثل ( sqrt.)

النشاط 11.5.4.

ارسم المنطقة (د ) ثم اكتب التكامل المزدوج لـ (و ) فوق (د ) كمتكامل متكرر في الإحداثيات المستطيلة.

اكتب تكاملًا مزدوجًا لـ (f ) على (D ) باعتباره جزءًا لا يتجزأ من الإحداثيات القطبية.

احسب قيمة أحد التكاملات المتكررة. لماذا القيمة النهائية التي وجدتها ليست مفاجئة؟

النشاط 11.5.5.

ضع في اعتبارك الدائرة المعطاة بواسطة (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 ) كما هو موضح في الشكل 11.5.4.

حدد منحنى قطبي بالصيغة (r = f ( theta) ) الذي يتتبع الدائرة (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 text <.> ) (تلميح: تذكر ذلك يمكن وصف الدائرة المتمركزة في أصل نصف القطر (r ) بالمعادلات (x = r cos ( theta) ) و (y = r sin ( theta) text <.> ))

أوجد القيمة المتوسطة الدقيقة لـ (g (x، y) = sqrt) فوق الجزء الداخلي من الدائرة (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 text <.> )

ابحث عن الحجم الموجود أسفل السطح (h (x، y) = x ) فوق المنطقة (D text <،> ) حيث (D ) هي المنطقة التي يحدها السطر أعلاه (y = x ) وأسفل الدائرة (هذه هي المنطقة المظللة في الشكل 11.5.4).

اشرح لماذا من المفيد استخدام الإحداثيات القطبية في (ب) و (ج).

ملخص القسم الفرعي 11.5.3

التمثيل القطبي للنقطة (P ) هو الزوج المرتب ((r ، theta) ) حيث (r ) هو المسافة من الأصل إلى (P ) و ( ثيتا ) هي الزاوية التي يمر بها الشعاع من خلال الأصل و (P ) مع المحور (x ) - الموجب.

الإحداثيات القطبية (r ) و ( ثيتا ) لنقطة ((س ، ص) ) في الإحداثيات المستطيلة تلبي

الإحداثيات المستطيلة (س ) و (ص ) لنقطة ((ص ، ثيتا) ) في الإحداثيات القطبية تلبي

يتم تحديد عنصر المساحة (dA ) في الإحداثيات القطبية من خلال مساحة شريحة الحلقة ويعطى بواسطة

لتحويل التكامل المزدوج (< iint_D f (x، y) ، dA> ) إلى تكامل متكرر في الإحداثيات القطبية ، نستبدل (r cos ( theta) ) بـ (x text < ،> ) (r sin ( theta) ) لـ (y text <،> ) و (r ، dr ، d theta ) لـ (dA ) للحصول على المتكرر متكامل


حساب التفاضل والتكامل APEX

لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لتقييم التكاملات المزدوجة ، والتي تعطي الحجم الموقّع تحت السطح ، (z = f (x، y) text <،> ) فوق منطقة (R ) من (xy ) )-طائرة. المُتكامل هو ببساطة (f (x، y) text <،> ) ويتم تحديد حدود التكاملات بواسطة المنطقة (R text <.> )

من السهل وصف بعض المناطق (R ) باستخدام إحداثيات مستطيلة - أي مع المعادلات بالصيغة (y = f (x) text <،> ) (x = a text <،> ) إلخ ، ومع ذلك ، فإن بعض المناطق يسهل التعامل معها إذا قمنا بتمثيل حدودها باستخدام المعادلات القطبية بالشكل (r = f ( theta) text <،> ) ( theta = alpha text <،> ) إلخ.

الشكل الأساسي للتكامل المزدوج هو ( iint_R f (x، y) ، dA text <.> ) نحن نفسر هذا التكامل على النحو التالي: على المنطقة (R text <،> ) تلخيص الكثير من منتجات الارتفاعات (مُعطاة بواسطة (f (x_i، y_i) )) والمساحات (مُعطاة بواسطة ( Delta A_i )). وهذا يعني أن (dA ) يمثل "مساحة صغيرة". في الإحداثيات المستطيلة ، يمكننا وصف مستطيل صغير بأنه يحتوي على مساحة (dx ، dy ) أو (dy ، dx ) - مساحة المستطيل هي ببساطة الطول × العرض - تغيير بسيط في (x ) ) مرات تغيير طفيف في (y text <.> ) وهكذا نستبدل (dA ) في التكامل المزدوج بـ (dx ، dy ) أو (dy ، dx text <.> )

فكر الآن في تمثيل منطقة بإحداثيات قطبية. النظر في الشكل 15.3.2. (أ). لنفترض أن (R ) هي المنطقة في الربع الأول الذي يحده المنحنى. يمكننا تقريب هذه المنطقة باستخدام الشكل الطبيعي للإحداثيات القطبية: أجزاء من قطاعات الدوائر. في الشكل ، إحدى هذه المناطق مظللة ، كما هو موضح مرة أخرى في الشكل 15.3.2. (ب).

حيث أن مساحة قطاع دائرة نصف قطرها (r text <،> ) يقابلها زاوية ( theta text <،> ) هي (A = frac12r ^ 2 theta text < ،> ) يمكننا إيجاد مساحة المنطقة المظللة. يحتوي القطاع بأكمله على مساحة ( frac12r_2 ^ 2 Delta theta text <،> ) بينما يحتوي القطاع الأصغر غير المظلل على مساحة ( frac12r_1 ^ 2 Delta theta text <.> ) المنطقة المظللة هي الفرق بين هذه المناطق:

لاحظ أن ((r_2 + r_1) / 2 ) هو فقط متوسط ​​نصف القطر.

لتقريب المنطقة (R text <،> ) نستخدم العديد من هذه المناطق الفرعية ، يؤدي ذلك إلى تقليص الفرق (r_2-r_1 ) بين نصف القطر إلى 0 وتقليص التغيير في الزاوية ( Delta theta ) أيضًا إلى 0. نحن نمثل هذه التغييرات اللامتناهية في نصف القطر والزاوية كـ (د ) و (د ثيتا نص <،> ) على التوالي. أخيرًا ، نظرًا لأن (د ) صغير (r_2 تقريبًا r_1 نص <،> ) وهكذا ((r_2 + r_1) / 2 تقريبًا r_1 نص <.> ) وهكذا ، عندما ( dr ) و (d theta ) صغيران ،

بأخذ حد ، حيث يذهب عدد المناطق الفرعية إلى ما لا نهاية وكل من (r_2-r_1 ) و ( Delta theta ) يذهبان إلى 0 ، نحصل على

لذلك لتقييم ( iint_Rf (x، y) ، dA text <،> ) استبدل (dA ) بـ (r ، dr ، d theta text <.> ) قم بتحويل الوظيفة (f (x، y) ) إلى دالة ذات إحداثيات قطبية مع الاستبدالات (x = r cos ( theta) text <،> ) (y = r sin ( theta) text <.> ) أخيرًا ، ابحث عن الحدود (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) و ( alpha leq theta leq beta ) التي تصف (R text <.> ) هذا هو المبدأ الأساسي لهذا القسم ، لذلك نعيد ذكره هنا كفكرة أساسية.

الفكرة الرئيسية 15.3.3. تقييم التكامل المزدوج مع الإحداثيات القطبية.

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة مستمرة محددة فوق منطقة مغلقة ومحدودة (R ) في (xy ) - الطائرة ، حيث (R ) يحدها القطبية المعادلات ( alpha leq theta leq beta ) و (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) text <.> ) ثم

ستساعدنا الأمثلة على فهم هذه الفكرة الرئيسية.

مثال 15.3.4. حساب تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية.

ابحث عن الحجم الموقّع أسفل المستوى (z = 4-x-2y ) فوق القرص المحاط بالدائرة التي تحتوي على المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 text <.> )

يتم تحديد حدود التكامل فقط من خلال المنطقة (R ) التي نتكامل معها. في هذه الحالة ، يكون القرص ذو حد (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 text <.> ) نحتاج إلى إيجاد حدود قطبية لهذه المنطقة. قد يكون من المفيد مراجعة القسم 9.4 حدود هذا القرص هي (0 leq r leq 1 ) و (0 leq theta leq 2 pi text <.> )

نستبدل (f (x، y) ) بـ (f (r cos ( theta)، r sin ( theta)) text <.> ) وهذا يعني أننا نجري البدائل التالية:

أخيرًا ، نستبدل (dA ) في التكامل المزدوج بـ (r ، dr ، d theta text <.> ) وهذا يعطي التكامل النهائي المتكرر ، والذي نقوم بتقييمه:

يظهر السطح والمنطقة (R ) في الشكل 15.3.5.

مثال 15.3.7. حساب تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية.

ابحث عن الحجم أسفل المكافئ (z = 4- (x-2) ^ 2-y ^ 2 ) فوق المنطقة التي تحدها الدوائر ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) و ((س -2) ^ 2 + ص ^ 2 = 4 نص <.> )

للوهلة الأولى ، يبدو هذا وكأنه حجم يصعب حسابه لأن المنطقة (R ) (كما هو موضح في الشكل 15.3.8. (أ)) بها ثقب ، مما يؤدي إلى قطع جزء غريب من السطح ، كما هو موضح في الشكل 15.3.8 (ب). ومع ذلك ، من خلال وصف (R ) من حيث المعادلات القطبية ، ليس من الصعب جدًا حساب الحجم.

من السهل توضيح أن الدائرة ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) لها معادلة قطبية (r = 2 cos ( theta) text <،> ) وأن الدائرة ((x-2) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) له معادلة قطبية (r = 4 cos ( theta) text <.> ) يتم تتبع كل دائرة من هذه الدوائر على الفاصل الزمني ( 0 leq theta leq pi text <.> ) الحدود الموجودة على (r ) هي (2 cos ( theta) leq r leq 4 cos ( theta) text <. > )

استبدال (x ) بـ (r cos ( theta) ) في التكامل ، جنبًا إلى جنب مع استبدال (y ) بـ (r sin ( theta) text <،> ) يعدنا لذلك احسب التكامل المزدوج ( iint_Rf (x، y) ، dA text <:> )

لدمج ( cos ^ 4 ( theta) text <،> ) أعد كتابته كـ ( cos ^ 2 ( theta) cos ^ 2 ( theta) ) واستخدم صيغة تقليل الطاقة مرتين :

ننتقل من حيث توقفنا أعلاه ، لدينا

في حين أن هذا المثال لم يكن تافهاً ، إلا أن التكامل المزدوج كان كثير أصعب في التقييم لو استخدمنا إحداثيات مستطيلة.

مثال 15.3.9. حساب تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية.

أوجد الحجم تحت السطح ( ds f (x، y) = frac1) فوق قطاع الدائرة مع نصف قطر (أ ) متمركز في الأصل في الربع الأول ، كما هو موضح في الشكل 15.3.10.

المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها هي دائرة نصف قطرها (a text <،> ) مقصور على الربع الأول. وبالتالي ، في القطبية ، الحدود على (R ) هي (0 leq r leq a text <،> ) (0 leq theta leq pi / 2 text <.> ) تمت إعادة كتابة أداة التكامل بالقطبية كـ

نجد الحجم على النحو التالي:

أظهر العمل السابق أن هناك حدودا منطقة تحت ( فارك <1>) على المحور (س ) بأكمله. ومع ذلك ، يوضح المثال 15.3.9 أن هناك عددًا لا نهائيًا الصوت تحت ( فارك <1>) على كامل (س ص ) - الطائرة.

يوضح الشكل 15.3.10 أن (f ) يتقلص إلى ما يقرب من الصفر بسرعة كبيرة. Regardless, as (a) grows, so does the volume, without bound.

Example 15.3.11 . Finding the volume of a sphere.

Find the volume of a sphere with radius (a ext<.>)

The sphere of radius (a ext<,>) centered at the origin, has equation (x^2+y^2+z^2=a^2 ext<>) solving for (z ext<,>) we have (z=sqrt ext<.>) This gives the upper half of a sphere. We wish to find the volume under this top half, then double it to find the total volume.

The region we need to integrate over is the disk of radius (a ext<,>) centered at the origin. Polar bounds for this equation are (0leq rleq a ext<,>) (0leq hetaleq2pi ext<.>)

All together, the volume of a sphere with radius (a) is:

We can evaluate this inner integral with substitution. With (u=a^2-r^2 ext<,>) (du = -2r, dr ext<.>) The new bounds of integration are (u(0) = a^2) to (u(a)=0 ext<.>) Thus we have:

يبدأ amp = int_0^<2pi>int_^0ig(-u^<1/2>ig), du, d heta amp = int_0^<2pi>left.left(-frac23u^<3/2> ight) ight|_^0 d heta amp = int_0^<2pi>left(frac23a^3 ight), d heta amp = left.left(frac23a^3 heta ight) ight|_0^<2pi> amp = frac43pi a^3 ext <.>end

Generally, the formula for the volume of a sphere with radius (r) is given as (4/3pi r^3 ext<>) we have justified this formula with our calculation.

Example 15.3.13 . Finding the volume of a solid.

A sculptor wants to make a solid bronze cast of the solid shown in Figure 15.3.14, where the base of the solid has boundary, in polar coordinates, (r=cos(3 heta) ext<,>) and the top is defined by the plane (z=1-x+0.1y ext<.>) Find the volume of the solid.

From the outset, we should recognize that knowing how to set up this problem is probably more important than knowing how to compute the integrals. The iterated integral to come is not “hard” to evaluate, though it is long, requiring lots of algebra. Once the proper iterated integral is determined, one can use readily available technology to help compute the final answer.

The region (R) that we are integrating over is bound by (0leq rleq cos(3 heta) ext<,>) for (0leq hetaleqpi) (note that this rose curve is traced out on the interval ([0,pi] ext<,>) not ([0,2pi])). This gives us our bounds of integration. The integrand is (z=1-x+0.1y ext<>) converting to polar, we have that the volume (V) is:

Distributing the (r ext<,>) the inner integral is easy to evaluate, leading to

This integral takes time to compute by hand it is rather long and cumbersome. The powers of cosine need to be reduced, and products like (cos(3 heta)cos( heta)) need to be turned to sums using the Product To Sum formulas in the back cover of this text.

We rewrite (frac12cos^2(3 heta)) as (frac14(1+cos(6 heta)) ext<.>) We can also rewrite (frac13cos^3(3 heta)cos( heta)) as:

This last expression still needs simplification, but eventually all terms can be reduced to the form (acos(m heta)) or (asin(m heta)) for various values of (a) and (m ext<.>)

We forgo the algebra and recommend the reader employ technology, such as WolframAlpha extregistered, to compute the numeric answer. Such technology gives:

Since the units were not specified, we leave the result as almost (0.8) cubic units (meters, feet, etc.) Should the artist want to scale the piece uniformly, so that each rose petal had a length other than 1, she should keep in mind that scaling by a factor of (k) scales the volume by a factor of (k^3 ext<.>)

We have used iterated integrals to find areas of plane regions and volumes under surfaces. Just as a single integral can be used to compute much more than “area under the curve,” iterated integrals can be used to compute much more than we have thus far seen. The next two sections show two, among many, applications of iterated integrals.

تمارين تمارين

Terms and Concepts

When evaluating (iint_R f(x,y), dA) using polar coordinates, (f(x,y)) is replaced with and (dA) is replaced with .

Why would one be interested in evaluating a double integral with polar coordinates?

مشاكل

A function (f(x,y)) is given and a region (R) of the (xy)-plane is described. Set up and evaluate (iint_Rf(x,y), dA) using polar coordinates.

(f(x,y) = 3x-y+4) and (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=1 ext<.>)

(f(x,y) = 4x+4y ext<>) (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=4 ext<.>)

(f(x,y) = 8-y) and (R) is the region enclosed by the circles with polar equations (r=cos( heta)) and (r=3cos( heta) ext<.>)

(f(x,y) = 4 ext<>) (R) is the region enclosed by the petal of the rose curve (r=sin(2 heta)) in the first quadrant.

(f(x,y) = ln(x^2+y^2) ext<>) (R) is the annulus enclosed by the circles (x^2+y^2=1) and (x^2+y^2=4 ext<.>)

(f(x,y) = 1-x^2-y^2) and (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=1 ext<.>)

(f(x,y) = x^2-y^2 ext<>) (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=36) in the first and fourth quadrants.

(f(x,y) = (x-y)/(x+y) ext<>) (R) is the region enclosed by the lines (y=x ext<,>) (y=0) and the circle (x^2+y^2=1) in the first quadrant.

An iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.


The student should finish this class with:

  1. an understanding of limits and continuity of functions of several variables
  2. the ability to compute partial derivatives and directional derivatives
  3. an understanding of linear approximation for multi-variable functions
  4. an introduction to optimization of multi-variable functions using the second derivative test and Lagrange Multipliers
  5. the ability to evaluate iterated integrals
  6. the ability to use multiple integrals to calculate areas, volumes, masses and centers of mass for standard plane regions and solids
  7. an introduction to line integrals, path-independence, potential functions and surface integrals and
  8. an understanding of Green's Theorem, the Divergence Theorem and Stoke's Theorem.

قانوني

Privacy Overview

Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.

Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.


1 إجابة 1

Your initial integral $V=2int_<-R>^ int_<-R>^ sqrt,dx,dy$ has the wrong bounds.

The bounds $-R le x le R$ $-R le y le R$ define a square in the $xy$-plane of side length $2R,$centered at the origin.

The domain should be a disk in the $xy$-plane of radius $R,$centered at the origin.

A corrected version would be $-sqrt le y le sqrt$ $-R le x le R$ which yields the initial integral $V=2int_<-R>^ int_<-sqrt>^> sqrt ,dy,dx$ Another error is how you dealt with the substitutions $x = rcos heta$ $y = rsin heta$ The above substitutions can be used to replace $x,y$in the integrand, but $dx,dy$can't be replaced separately, since they each depend on على حد سواء $r$ and $ heta$.

The correct replacement is $dxdy = dA = rdrd heta$.

In terms of $r$and $ heta,$the domain $D$has the bounds $0 le r le R$ $0 le heta le 2pi$


APEX Calculus

We have used iterated integrals to evaluate double integrals, which give the signed volume under a surface, (z=f(x,y) ext<,>) over a region (R) of the (x)-(y) plane. The integrand is simply (f(x,y) ext<,>) and the bounds of the integrals are determined by the region (R ext<.>)

Some regions (R) are easy to describe using rectangular coordinates — that is, with equations of the form (y=f(x) ext<,>) (x=a ext<,>) etc. However, some regions are easier to handle if we represent their boundaries with polar equations of the form (r=f( heta) ext<,>) ( heta = alpha ext<,>) etc.

The basic form of the double integral is (iint_R f(x,y), dA ext<.>) We interpret this integral as follows: over the region (R ext<,>) sum up lots of products of heights (given by (f(x_i,y_i))) and areas (given by (Delta A_i)). That is, (dA) represents “a little bit of area.” In rectangular coordinates, we can describe a small rectangle as having area (dx, dy) or (dy, dx) — the area of a rectangle is simply length × width — a small change in (x) times a small change in (y ext<.>) Thus we replace (dA) in the double integral with (dx, dy) or (dy, dx ext<.>)

Now consider representing a region (R) with polar coordinates. Consider Figure 14.3.1.(a). Let (R) be the region in the first quadrant bounded by the curve. We can approximate this region using the natural shape of polar coordinates: portions of sectors of circles. In the figure, one such region is shaded, shown again in Figure 14.3.1.(b).

As the area of a sector of a circle with radius (r ext<,>) subtended by an angle ( heta ext<,>) is (A = frac12r^2 heta ext<,>) we can find the area of the shaded region. The whole sector has area (frac12r_2^2Delta heta ext<,>) whereas the smaller, unshaded sector has area (frac12r_1^2Delta heta ext<.>) The area of the shaded region is the difference of these areas:

Note that ((r_2+r_1)/2) is just the average of the two radii.

To approximate the region (R ext<,>) we use many such subregions doing so shrinks the difference (r_2-r_1) between radii to 0 and shrinks the change in angle (Delta heta) also to 0. We represent these infinitesimal changes in radius and angle as (dr) and (d heta ext<,>) respectively. Finally, as (dr) is small, (r_2approx r_1 ext<,>) and so ((r_2+r_1)/2approx r_1 ext<.>) Thus, when (dr) and (d heta) are small,

Taking a limit, where the number of subregions goes to infinity and both (r_2-r_1) and (Delta heta) go to 0, we get

So to evaluate (iint_Rf(x,y), dA ext<,>) replace (dA) with (r, dr, d heta ext<.>) Convert the function (z=f(x,y)) to a function with polar coordinates with the substitutions (x=rcos( heta) ext<,>) (y=rsin( heta) ext<.>) Finally, find bounds (g_1( heta)leq rleq g_2( heta)) and (alphaleq hetaleqeta) that describe (R ext<.>) This is the key principle of this section, so we restate it here as a Key Idea.

Key Idea 14.3.2 . Evaluating Double Integrals with Polar Coordinates.

Let (z=f(x,y)) be a continuous function defined over a closed, bounded region (R) in the (x)-(y) plane, where (R) is bounded by the polar equations (alphaleq hetaleqeta) and (g_1( heta)leq rleq g_2( heta) ext<.>) Then

Examples will help us understand this Key Idea.

Example 14.3.3 . Evaluating a double integral with polar coordinates.

Find the signed volume under the plane (z= 4-x-2y) over the disk bounded by the circle with equation (x^2+y^2=1 ext<.>)

The bounds of the integral are determined solely by the region (R) over which we are integrating. In this case, it is a disk with boundary (x^2+y^2=1 ext<.>) We need to find polar bounds for this region. It may help to review Section 10.4 bounds for this disk are (0leq rleq 1) and (0leq hetaleq 2pi ext<.>)

We replace (f(x,y)) with (f(rcos( heta) ,rsin( heta) ) ext<.>) That means we make the following substitutions:

Finally, we replace (dA) in the double integral with (r, dr, d heta ext<.>) This gives the final iterated integral, which we evaluate:

The surface and region (R) are shown in Figure 14.3.4.

Example 14.3.5 . Evaluating a double integral with polar coordinates.

Find the volume under the paraboloid (z=4-(x-2)^2-y^2) over the region bounded by the circles ((x-1)^2+y^2=1) and ((x-2)^2+y^2=4 ext<.>)

At first glance, this seems like a very hard volume to compute as the region (R) (shown in Figure 14.3.6.(a)) has a hole in it, cutting out a strange portion of the surface, as shown in Figure 14.3.6.(b). However, by describing (R) in terms of polar equations, the volume is not very difficult to compute.

It is straightforward to show that the circle ((x-1)^2+y^2=1) has polar equation (r=2cos( heta) ext<,>) and that the circle ((x-2)^2+y^2=4) has polar equation (r=4cos( heta) ext<.>) Each of these circles is traced out on the interval (0leq hetaleqpi ext<.>) The bounds on (r) are (2cos( heta) leq rleq 4cos( heta) ext<.>)

Replacing (x) with (rcos( heta)) in the integrand, along with replacing (y) with (rsin( heta) ext<,>) prepares us to evaluate the double integral (iint_Rf(x,y), dA ext<:>)

To integrate (cos^4( heta) ext<,>) rewrite it as (cos^2( heta) cos^2( heta)) and employ the power-reducing formula twice:

يبدأ cos^4( heta) amp =cos^2( heta) cos^2( heta) amp = frac12ig(1+cos(2 heta)ig)frac12ig(1+cos(2 heta)ig) amp = frac14ig(1+2cos(2 heta)+cos^2(2 heta)ig) amp =frac14Big(1+2cos(2 heta)+frac12ig(1+cos(4 heta)ig)Big) amp = frac38+frac12cos(2 heta)+frac18cos(4 heta). end

Picking up from where we left off above, we have

يبدأ amp =int_0^pifrac<44>3cos^4( heta) , d heta amp =int_0^pi frac<44>3left(frac38+frac12cos(2 heta)+frac18cos(4 heta) ight)d heta amp = left.frac<44>3left(frac<3>8 heta+frac14sin(2 heta)+frac<1><32>sin(4 heta) ight) ight|_0^pi amp =frac<11>2piapprox 17.279 ext <.>end

While this example was not trivial, the double integral would have been كثير harder to evaluate had we used rectangular coordinates.

Example 14.3.7 . Evaluating a double integral with polar coordinates.

Find the volume under the surface (ds f(x,y) =frac1) over the sector of the circle with radius (a) centered at the origin in the first quadrant, as shown in Figure 14.3.8.

The region (R) we are integrating over is a circle with radius (a ext<,>) restricted to the first quadrant. Thus, in polar, the bounds on (R) are (0leq rleq a ext<,>) (0leq hetaleqpi/2 ext<.>) The integrand is rewritten in polar as

We find the volume as follows:

Figure 14.3.8 shows that (f) shrinks to near 0 very quickly. Regardless, as (a) grows, so does the volume, without bound.

Previous work has shown that there is finite area under (frac<1>) over the entire (x)-axis. However, Example 14.3.7 shows that there is infinite volume under (frac<1>) over the entire (x)-(y) plane.

Example 14.3.9 . Finding the volume of a sphere.

Find the volume of a sphere with radius (a ext<.>)

The sphere of radius (a ext<,>) centered at the origin, has equation (x^2+y^2+z^2=a^2 ext<>) solving for (z ext<,>) we have (z=sqrt ext<.>) This gives the upper half of a sphere. We wish to find the volume under this top half, then double it to find the total volume.

The region we need to integrate over is the disk of radius (a ext<,>) centered at the origin. Polar bounds for this equation are (0leq rleq a ext<,>) (0leq hetaleq2pi ext<.>)

All together, the volume of a sphere with radius (a) is:

We can evaluate this inner integral with substitution. With (u=a^2-r^2 ext<,>) (du = -2r, dr ext<.>) The new bounds of integration are (u(0) = a^2) to (u(a)=0 ext<.>) Thus we have:

يبدأ amp = int_0^<2pi>int_^0ig(-u^<1/2>ig), du, d heta amp = int_0^<2pi>left.left(-frac23u^<3/2> ight) ight|_^0 d heta amp = int_0^<2pi>left(frac23a^3 ight), d heta amp = left.left(frac23a^3 heta ight) ight|_0^<2pi> amp = frac43pi a^3 ext <.>end

Generally, the formula for the volume of a sphere with radius (r) is given as (4/3pi r^3 ext<>) we have justified this formula with our calculation.

Example 14.3.10 . Finding the volume of a solid.

A sculptor wants to make a solid bronze cast of the solid shown in Figure 14.3.11, where the base of the solid has boundary, in polar coordinates, (r=cos(3 heta) ext<,>) and the top is defined by the plane (z=1-x+0.1y ext<.>) Find the volume of the solid.

From the outset, we should recognize that knowing how to set up this problem is probably more important than knowing how to compute the integrals. The iterated integral to come is not “hard” to evaluate, though it is long, requiring lots of algebra. Once the proper iterated integral is determined, one can use readily–available technology to help compute the final answer.

The region (R) that we are integrating over is bound by (0leq rleq cos(3 heta) ext<,>) for (0leq hetaleqpi) (note that this rose curve is traced out on the interval ([0,pi] ext<,>) not ([0,2pi])). This gives us our bounds of integration. The integrand is (z=1-x+0.1y ext<>) converting to polar, we have that the volume (V) is:

Distributing the (r ext<,>) the inner integral is easy to evaluate, leading to

This integral takes time to compute by hand it is rather long and cumbersome. The powers of cosine need to be reduced, and products like (cos(3 heta)cos( heta)) need to be turned to sums using the Product To Sum formulas in the back cover of this text.

We rewrite (frac12cos^2(3 heta)) as (frac14(1+cos(6 heta)) ext<.>) We can also rewrite (frac13cos^3(3 heta)cos( heta)) as:

This last expression still needs simplification, but eventually all terms can be reduced to the form (acos(m heta)) or (asin(m heta)) for various values of (a) and (m ext<.>)

We forgo the algebra and recommend the reader employ technology, such as WolframAlpha extregistered, to compute the numeric answer. Such technology gives:

Since the units were not specified, we leave the result as almost (0.8) cubic units (meters, feet, etc.) Should the artist want to scale the piece uniformly, so that each rose petal had a length other than 1, she should keep in mind that scaling by a factor of (k) scales the volume by a factor of (k^3 ext<.>)

We have used iterated integrals to find areas of plane regions and volumes under surfaces. Just as a single integral can be used to compute much more than “area under the curve,” iterated integrals can be used to compute much more than we have thus far seen. The next two sections show two, among many, applications of iterated integrals.

Exercises 14.3.1 Exercises

When evaluating (iint_R f(x,y), dA) using polar coordinates, (f(x,y)) is replaced with and (dA) is replaced with .

(fig(rcos( heta) ,rsin( heta) ig) ext<,>) (r, dr, d heta)

Why would one be interested in evaluating a double integral with polar coordinates?

Some regions in the (x)-(y) plane are easier to describe using polar coordinates than using rectangular coordinates. Also, some integrals are easier to evaluate one the polar substitutions have been made.

In the following exercises, a function (f(x,y)) is given and a region (R) of the (x)-(y) plane is described. Set up and evaluate (iint_Rf(x,y), dA) using polar coordinates.

Use polar coordinates to evaluate (iint_Rf(x,y),dA ext<,>) where (f(x,y) = 3x-y+4) and (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=1 ext<.>)

(f(x,y) = 4x+4y ext<>) (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=4 ext<.>)

(ds int_0^<2pi>int_0^2 ig(4rcos( heta) +4rsin( heta) ig)r, dr, d heta = 0)

Use polar coordinates to evaluate (iint_Rf(x,y),dA ext<,>) where (f(x,y) = 8-y) and (R) is the region enclosed by the circles with polar equations (r=cos( heta)) and (r=3cos( heta) ext<.>)

(f(x,y) = 4 ext<>) (R) is the region enclosed by the petal of the rose curve (r=sin(2 heta)) in the first quadrant.

(f(x,y) = ln(x^2+y^2) ext<>) (R) is the annulus enclosed by the circles (x^2+y^2=1) and (x^2+y^2=4 ext<.>)

(ds int_0^<2pi>int_<1>^ <2>ig(ln(r^2)ig)r, dr, d heta = 2piig(ln(16) -3/2ig))

Use polar coordinates to evaluate (iint_Rf(x,y),dA ext<,>) where (f(x,y) = 1-x^2-y^2) and (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=1 ext<.>)

(f(x,y) = x^2-y^2 ext<>) (R) is the region enclosed by the circle (x^2+y^2=36) in the first and fourth quadrants.

(ds int_<-pi/2>^int_<0>^ <6>ig(r^2cos^2( heta) -r^2sin^2( heta) ig)r, dr, d heta = int_<-pi/2>^int_<0>^ <6>ig(r^2cos(2 heta)ig)r, dr, d heta= 0)

(f(x,y) = (x-y)/(x+y) ext<>) (R) is the region enclosed by the lines (y=x ext<,>) (y=0) and the circle (x^2+y^2=1) in the first quadrant.

In the following exercises, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.


محتويات

The bilayer formed by membrane lipids serves as a containment unit of a living cell. Membrane lipids also form a matrix in which membrane proteins reside. Historically lipids were thought to merely serve a structural role. Functional roles of lipids are in fact many: They serve as regulatory agents in cell growth and adhesion. They participate in the biosynthesis of other biomolecules. They can serve to increase enzymatic activities of enzymes. [1]

Non-bilayer forming lipid like monogalactosyl diglyceride (MGDG) predominates the bulk lipids in thylakoid membranes, which when hydrated alone, forms reverse hexagonal cylindrical phase. However, in combination with other lipids and carotenoids/chlorophylls of thylakoid membranes, they too conform together as lipid bilayers. [2]

Membrane lipid language Edit

The membrane metabolites of polyunsaturated fatty acids (PUFAs) have an essential role in intercellular biochemical communications. Crawford (2010) in his chapter Long-chain polyunsaturated fatty acids in human brain evolution reported, with regard to the language of lipids, that the importance of the increased complexity of these lipids was brought about by aerobic metabolism, whereby the simple language of prokaryotes, with only a few words, was developed into a vocabulary of over 1,000 words of eukaryote cells.

About 500 million years ago, some nervous cells and some gut cells of vertebrates migrated and specialized in a more complex nervous system: the brain, and in uptake and storage of iodocompounds: the follicular thyroid. In the PUFAs, the presence of a double bond between two carbons (or carbon-carbon double bond) provides them with the possibility of changing their molecular structure through enzymes such as phospholipases, cyclooxygenases and lipoxygenases, etc. The resulting substances, called eicosanoids: prostaglandins (PG), leukotrienes (LT), lipoxins and thromboxane (TX) and docosanoids: resolvins, protectins, and maresins, are powerful lipid mediators that produce specific actions in the organism they organize inflammation, hemodynamic, immune response and the repair of tissue.

Many PUFAs cannot be synthesized by animal organisms and are considered أساسيا, and therefore should be incorporated into diets. These are: linoleic acid (C18:2 n-6), omega-6 and alpha-linolenic (C18:3 n-3) omega-3, arachidonic acid (AA) – omega – 6 (C20: 4n-6), and docosahexaenoic acid (DHA) – omega-3 (C22:6n-3). These PUFAs are incorporated into the phospholipidic membrane of all the cells of an organism. In parallel, ectodermic cells, differentiated into neuronal cells, became the primitive nervous system and brain. Both these cells synthesized iodolipids, as novel words of the chemical lipid language developed among cell membranes during the evolution of life. These biochemical signals among cells, since contact and modification of membranes in multicellular organisms formed the bases of adaptation to terrestrial environments, and their alterations are important in the mechanism of apoptosis, carcinogenesis and degenerative diseases, as well as for understand some problems discussed regarding human evolution (as Aquatic ape hypothesis). [3] [4] [5] [6] [7]

Phospholipids Edit

Phospholipids and glycolipids consist of two long, nonpolar (hydrophobic) hydrocarbon chains linked to a hydrophilic head group.

The heads of phospholipids are phosphorylated and they consist of either:

  • Glycerol (and hence the name phosphoglycerides given to this group of lipids), or
  • Sphingosine (e.g. sphingomyelin and ceramide).

Glycolipids Edit

The heads of glycolipids (glyco- stands for sugar) contain a sphingosine with one or several sugar units attached to it. The hydrophobic chains belong either to:

  • two fatty acids (FA) – in the case of the phosphoglycerides, or
  • one FA and the hydrocarbon tail of sphingosine – in the case of sphingomyelin and the glycolipids.

Galactolipids – monogalactosyl diglyceride (MGDG) and digalactosyl diglycreride (DGDG) form the predominant lipids in higher plant chloroplast thylakoid membranes liposomal structures formed by total lipid extract of thylakoid membranes have been found sensitive to sucrose as it turns bilayers into micellar structures. [9]

Fatty acids Edit

The fatty acids in phospho- and glycolipids usually contain an even number, typically between 14 and 24, of carbon atoms, with 16- and 18-carbon being the most common. FAs may be saturated or unsaturated, with the configuration of the double bonds nearly always رابطة الدول المستقلة. The length and the degree of unsaturation of FAs chains have a profound effect on membranes' fluidity. Plant thylakoid membranes maintain high fluidity, even at relatively cold environmental temperatures, due to the abundance of 18-carbon fatty acyl chains with three double bonds, linolenic acid, as has been revealed by 13-C NMR studies. [10]

Phosphoglycerides Edit

In phosphoglycerides, the hydroxyl groups at C-1 and C-2 of glycerol are esterified to the carboxyl groups of the FAs. The C-3 hydroxyl group is esterified to phosphoric acid. The resulting compound, called phosphatidate, is the simplest phosphoglycerate. Only small amounts of phosphatidate are present in membranes. However, it is a key intermediate in the biosynthesis of the other phosphoglycerides.

Sphingolipids Edit

Sphingosine is an amino alcohol that contains a long, unsaturated hydrocarbon chain. In sphingomyelin and glycolipids, the amino group of sphingosine is linked to FAs by an amide bond. In sphingomyelin the primary hydroxyl group of sphingosine is esterified to phosphoryl choline.

In glycolipids, the sugar component is attached to this group. The simplest glycolipid is cerebroside, in which there is only one sugar residue, either Glc or Gal. More complex glycolipids, such as gangliosides, contain a branched chain of as many as seven sugar residues.

Sterols Edit

The best known sterol is cholesterol, which is found in humans. Cholesterol also occurs naturally in other eukaryote cell membranes. Sterols have a hydrophobic four-membered fused ring rigid structure, and a small polar head group.

Cholesterol is bio-synthesised from mevalonate via a squalene cyclisation of terpenoids. Cell membranes require high levels of cholesterol – typically an average of 20% cholesterol in the whole membrane, increasing locally in raft areas up to 50% cholesterol (- % is molecular ratio). [11] It associates preferentially with sphingolipids (see diagram) in cholesterol-rich lipid rafts areas of the membranes in eukaryotic cells. [12] Formation of lipid rafts promotes aggregation of peripheral and transmembrane proteins including docking of SNARE and VAMP proteins. [13] Phytosterols, such as sitosterol and stigmasterol, and hopanoids serve a similar function in plants and prokaryotes.


شاهد الفيديو: : double integrals in polar coordinates (شهر اكتوبر 2021).