مقالات

15.7: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية - الرياضيات


في بعض الأحيان ، قد ينتهي بك الأمر إلى حساب حجم الأشكال التي لها أشكال أسطوانية ، أو مخروطية ، أو كروية ، وبدلاً من تقييم مثل هذه التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الديكارتية ، يمكنك تبسيط التكاملات عن طريق تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات أسطوانية أو كروية. في هذا الموضوع ، سوف نتعلم كيفية إجراء مثل هذه التحولات ثم تقييم التكاملات الثلاثية.

مقدمة

كما تعلمت في التكاملات الثلاثية في الإحداثيات المستطيلة ، تحتوي التكاملات الثلاثية على ثلاثة مكونات ، تسمى تقليديًا x, ذ، و ض. عند التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الأسطوانية أو الكروية أو العكس ، يجب تحويل كل مكون إلى المكون المقابل له في نظام الإحداثيات الآخر.

هناك ثلاثة أنظمة إحداثيات سننظر فيها. الأول هو التقليدي x, ذ، و ض يعرف النظام أيضًا باسم التنسيق الديكارتي للنظام ؛ يتم استكشاف الاثنين الآخرين أدناه.

التحويل إلى إحداثيات أسطوانية

تُعرف المجموعة الثانية من الإحداثيات بالإحداثيات الأسطوانية. يعد العمل في إحداثيات أسطوانية أمرًا ضروريًا مثل العمل في الإحداثيات القطبية في بعدين باستثناء أنه يجب علينا حساب ض-مكون النظام. عند التحول من الديكارتية إلى الأسطوانية ، x و ذ أصبحوا نظرائهم القطبيين. تذكر ذلك (x = r * cos theta ) ، (y = r * sin theta ) ، (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، و (tan theta = dfrac {y} {x} ). الآن ، التحويل ل ض هو ببساطة (ض = ض ). (r ) و ( theta ) قم بإنشاء مستوى موازٍ لملف س صالطائرة وإضافة ض عنصر يعطي الطائرة ببساطة "ارتفاع".

الآن ، لنفترض أن لدينا المعادلة (r = 1 ) لـ (0 leq theta <2 pi ). في بعدين ، سيعطينا ذلك ببساطة دائرة تتمحور حول ((0،0) ) بنصف قطر 1. عن طريق إضافة ض-المحور ، يبلغ ارتفاع الدائرة z ، مما يعطيها شكل أسطوانة ، ومن هنا جاءت تسمية الإحداثيات الأسطوانية.

كما هو موضح في التكاملات المزدوجة في الشكل القطبي ، عند تحويل تكامل مزدوج من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية ، يتم تحويل المصطلح (dA ) ، (dx ، dy ) في الديكارتي إلى مكافئته القطبية.

[ iint_ {D} f (x، y) dxdxy Rightarrow iint_ {D} f (r cos theta، r sin theta) rd ، r ، d theta ]

يحدث نفس التحويل مع التكاملات الثلاثية من الديكارتية إلى الأسطوانية للمصطلح (dV ) إلا أنه يجب عليك حساب المحور z بمصطلح (dz ).

[ iiint_ {D} f (x، y، z) dxdydz Rightarrow iiint_ {D} f (r cos theta، r sin theta، z) r ، dr ، d theta ؛ دز ]

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام إحداثيات أسطوانية

حول هذا التكامل الثلاثي إلى إحداثيات أسطوانية وقيمه

[ int _ {- 1} ^ {1} int_ {0} ^ { sqrt {1-x ^ 2}} int_ {0} ^ {y} x ^ 2dz ؛ دى dx nonumber ]

المحلول

هناك ثلاث خطوات يجب القيام بها من أجل تحويل التكامل الثلاثي بشكل صحيح إلى إحداثيات أسطوانية.

أولاً ، يجب تحويل الحدود من الديكارتية إلى الأسطوانية. بالنظر إلى ترتيب التكامل ، نعلم أن الحدود تبدو فعلاً مثل

[ int_ {x = -1} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = sqrt {1-x ^ 2}} int_ {z = 0} ^ {z = y} لا يوجد رقم ]

باستخدام التحويل الديكارتي إلى الأسطواني ، نرى أن الحدود الجديدة هي

[ int_ {x = -1} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = sqrt {1-x ^ 2}} int_ {z = 0} ^ {z = y} Rightarrow int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = r sin theta} nonumber ]

بعد ذلك ، نحول التكامل إلى ما يعادله الأسطواني

[x ^ 2 Rightarrow r ^ 2cos theta nonumber ]

ثالثًا ، نقوم بتحويل التفاضلات في نهاية التكامل إلى مكافئها الأسطواني مع الحرص على الإشارة إلى الترتيب الصحيح للتكامل

[dz ، dy ، dx Rightarrow r ، dz ، dr ، d theta nonumber ]

أخيرًا ، قمنا بتجميعها معًا ، وأصبح لدينا التكامل الأسطواني المحول حديثًا

[ int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {r sin theta} r ^ 2 cos ^ 2 theta r ، dz ، dr ، د ثيتا غير رقم ]

الآن ، نوجد قيمة التكامل

[ begin {align} & int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {r sin theta} r ^ 3 cos ^ 2 theta dz ، dr ، d theta nonumber & = int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} left [r ^ 3 cos ^ 2 theta * z right] _ {z = 0} ^ {z = r sin theta} dr ، d theta nonumber & = int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} r ^ 4 cos ^ 2 theta sin ، theta dr ، d theta nonumber & = int_ {0} ^ { pi} left [ dfrac {r ^ 5} {5} cos ^ 2 theta sin theta right] _ {r = 0} ^ {r = 1} d theta nonumber & = dfrac {1} {5} int_ {0} ^ { pi} cos ^ 2 theta sin theta d theta nonumber end {align} ]

باستخدام استبدال u ، نجد أن التكامل و ( cos ^ 2 theta sin theta ) يتكامل مع

[ dfrac {1} {5} left [- dfrac {1} {3} cos ^ 3 theta right] _ { theta = 0} ^ { theta = pi} nonumber ]

الذي يقيم ل

[ dfrac {1} {5} left [- dfrac {1} {3} cos ^ 3 ( pi) + dfrac {1} {3} cos ^ 3 (0) right] = dfrac {2} {15} nonumber ]

التحويل إلى إحداثيات كروية

يوضح الشكل 1 تمثيلًا مرئيًا للإحداثيات الكروية. نحدد ( rho ) على أنها المسافة من الأصل إلى النقطة (P ). تُنشئ النقطة (P ) والأصل مقطعًا خطيًا سنسميه ( bar {OP} ) ، (O ) هو الأصل. ( theta ) هي الزاوية في س ص مستوى من إسقاط ( شريط {OP} ) ، والذي يظهر كـ ( شريط {OQ} ). ( phi ) هي الزاوية بين ض-المحور و ( شريط {OP} ).

الشكل ( PageIndex {1} ): الإحداثيات الكروية (Duane Q. Nykamp) / CC BY-NC-SA 3.0

فيما يلي تحويلات الديكارتي إلى الكروية

تمامًا مثل (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، ( rho = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ) ومثل مع أسطواني ، ( ثيتا = tan ^ {- 1} ( dfrac {y} {x}) )

الشكل ( PageIndex {2} ): الإحداثيات الكروية (Duane Q. Nykamp) / CC BY-NC-SA 3.0

كما ترى من الشكل 2 ، (r = rho sin phi ) ، وباستخدام هذه العلاقات وغيرها من العلاقات المثلثية المرئية هنا ، يمكننا العثور على تحويلات لـ س ، ص ، و ض.

x و ذ تبدو مثل نظرائهم الأسطوانية. ومع ذلك ، تم استبدال (r ) بـ ( rho sin phi ). لذلك (x = rho sin phi cos theta ) و (y = rho sin phi sin theta ). أيضًا ، من المخططات ، نرى ذلك (z = rho cos phi ).

بالنسبة لمصطلح (dV ) للتكامل الثلاثي ، عند تحويله إلى إحداثيات كروية ، فإنه يصبح (dV = rho ^ 2 sin phi d rho d phi d theta ).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام الإحداثيات الكروية

سنجد الحجم بين الكرة ( rho = cos phi ) ونصف الكرة ( rho = 6 ). يوجد رسم تخطيطي للأشكال على اليمين.

المحلول

أولاً ، يجب أن نضع تكاملًا لحساب الحجم:

[V = int _ { theta_0} ^ { theta_1} int _ { phi_0} ^ { phi_1} int _ { rho_0} ^ { rho_1} dV ]

الآن نستبدل المصطلح (dV ) ونملأ حدود التكامل:

[V = int _ { theta_0 = 0} ^ { theta_1 = 2 pi} int _ { phi_0 = 0} ^ { phi_1 = dfrac { pi} {2}} int _ { rho_0 = cos phi} ^ { rho_1 = 6} rho ^ 2 sin phi d rho d phi d theta ]

من هناك نقيم التكامل:

[ begin {align} V & = dfrac {1} {3} int_ {0} ^ {2 pi} int_ {0} ^ { dfrac { pi} {2}} left (216- cos ^ 3 phi right) sin phi d phi d theta & = dfrac {1} {3} int_ {0} ^ {2 pi} [- 216 cos phi + dfrac { cos ^ 4 phi} {4}] ^ { dfrac { pi} {2}} _ {0} d theta & = dfrac {1} {3} int_ {0} ^ { 2 pi} left (216- dfrac {1} {4} right) d theta & dfrac {863} {4} (2 pi) & dfrac {863 pi} { 2} نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {3} )

يريد مايكل أن يأكل وعاء من حبوب Fruity Hoops. ومع ذلك ، يحتاج إلى الذهاب إلى المتجر والحصول على الحليب من أجل حبوبه ، وهو غير متأكد من كمية الحليب التي يجب شراؤها. يحتاج إلى مساعدتك في تحديد المبلغ المناسب للشراء. يمكن تمثيل حجم وعاء الحبوب الخاص به بالمنطقة المحددة أدناه بـ ( rho = 4 cos phi ) ويحدها أعلاه (z = 4 ). باستخدام هذه المعلومات ، اكتشف كمية الحليب التي سيحتاجها مايكل لملء وعاء الحبوب الخاص به. الوحدات بالأوقية.

أولاً ، نريد رسم مخطط ، يمثل الموقف ، من أجل مساعدتنا في اختيار حدود التكامل الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: شرح الإحداثيات الإسطوانية والكروية وعلاقتهم بالإحداثيات الكارتيزية (شهر اكتوبر 2021).